Teoria Pruebas No Par (2)

PRUEBAS NO PARAMÉTRICAS

Se utilizan cuando no se conoce la distribución o no se cumplen lossupuestos de la distribución normal

DISTRIBUCIÓN CHI-CUADRADO

Permite relalizar pruebas de bondad de ajuste y pruebas de independencia

Chi Cuadrado de la muestra gl =1

Alfa = Zona de rechazo

gl =10

Distribución Chi-Cuadrado

PRUEBAS DE BONDAD DE AJUSTE

Medidas sobre que tan cerca se ajustan los datos muestrales observados a una forma de distribución particular planteada como hipótesisSi el ajuste es razonablemente cercano, puede concluirse que sí exite la forma de distribución planteada como hipótesis

Por ejemplo:

Ho: La distribución poblacional es uniforme Ha: La distribución poblacional no es uniforme

Se usa el estadístico Chi-Cuadrado

Oi = Frecuencia de los eventos observados en los datos muestrales

Ei = Frecuencia de los eventos esperados si la hipótesis nula es correcta Para que la prueba sea confiable Ei >= 5. De otra forma se combinan las categorias para

f(X2)

X2

χ2=∑i=1

K (Oi−Ei )2

Ei

cumplir con este requisito.K = Número de categorías o clases

Ejemplo:

Se venden n = 48 botes en 4 meses. Si la demanda es uniforme se esperaría que se vendieran 12 botes / mes. La cantidad real que se vendió fue:

Ventas (Oi) Ventas (Ei)Tipo de bote observadas esperadas

A 15 12B 11 12C 10 12D 12 12

DISTR.CHI

Entonces el estadístico Chi Cuadrado de la muestra es = 1.17 el valor P corresp.= 0.76020817

El Chi Cuadrado de excel se determina con alfa = 0.05 y K - 1 grados de libetad = 3

Chi cuadrado de excel = 7.815

El estadístico Chi cuadrado calculado de 1.17 es menor al de excel de 7.815 por tanto se aceptala hipótesis nula

PRUEBA.CHI.INVOtro ejemplo:

Ho: Se mantuvo el patrón de 60% créditos comerciales, 30% extranjeros y 10% personalesHa: No se mantuvo el patrón deseado

Tipo de Frec. (Oi) Frec. (Ei)Crédito Observada Esperada

Comercial 62 51 60%Personal 10 8.5 10%

Extranjero 13 25.5 30%

TOTAL 85 85 DISTR.CHI

Estadístico Chi Cuadrado de la muestra = 8.76 Valor P = 0.01252536Chi Cuadrado de excel con alfa 0.1 y gl = K (Categorías) - 1 = 2 es 4.605 Ho se rechaza, no se mantuvo el patrón

PRUEBA.CHI.INVPRUEBA DE NORMALIDAD

Ho: Los niveles de llenado se ditribuyen normalmenteHa: Los niveles de llenado no se ditribuyen normalmente

Frecuencias .esperadas .. . . .. . .. Ei=npi

La presión de llenado de tanques de immersión promedio debe ser de 600 lb con una desviación estándar de 10 lb.Se mide el nivel de llenado de 1000 tanques:

Frec. (Oi) Probabilidad Frec. (Ei)PSI Observada de ocurrencia Esperada

0 - 579.9 20 0.0228 228 580 - 589.9 142 0.1359 135.9590 - 599.9 310 0.3413 341.3600 - 609.9 370 0.3413 341.3610 - 619.9 128 0.1359 135.9620 - arriba 30 0.0228 22.8

TOTAL 1000 1 1000

Por ejemplo para las frecuencias por debajo de 580:

Z = (X-Media) / Desv. Estándar = (580 - 600) / 10 = -2

P(Z<= -2) = 0.0228

Para el caso del área entre 580 y 590:

Z = (X -Media) / Desv. Estándar = (590 - 600) / 10 = -1

P(Z<=-1) = 0.15865525

P(580 < X < 590 ) = 0.1598 - 0.0228 = 0.1359

Etcetera DISTR.CHI

El estadístico Chi Cuadrado de la muestra es = 8.63 Valor P = 0.12476391

El Chi Cuadrado de excel para alfa = 0.05 y K - 1 = 6 - 1 = 5 Gl. Es 11.07

Por tanto no se rechaza Ho y se sigue una distribución normal

NOTA: Si la media y desviación estándar poblacionales no fueran conocidas se hubieran tenido que estimar de los datos muestrales entonces m = 2 y los gl. = K - m - 1 = 3

PRUEBA.CHI.INV

TABLAS DE CONTINGENCIA - PRUEBAS DE INDEPENDENCIA

Permite probar la hipótesis de independencia de dos variables, por ejemplo:para probar la efectividad de un nuevo insecticida por 100 consumidores:

A - Clasifica- B - Ubicación ción Urbano Rural Total f = Filas = 3

> Promedio 20 11 31 c = Columnas = 2Promedio 40 8 48

< Promedio 15 6 21Total 75 25 100

Las hipótesis son:

Ho: La clasificación y la ubicación son independientesHa: La clasificación y la ubicación no son independientes

Las frecuencias esperadas se determinan como sigue:

Eij = (Suma renglón i x Suma columna j ) / Total

E11 = 31 * 75 / 100 = 23.3E12 =48 * 75 / 100 = 36Etcetera

La tabla completa queda como sigue:

A - Clasifica- B - Ubicación ción Urbano Rural Total

> Promedio 20 11 3123.3 7.75

Promedio 40 8 4836 12

< Promedio 15 6 2115.8 5.25

Total 75 25 100DISTR.CHI

El estadístico Chi Cuadrado de la muestra = 3.76 Valor P correspondiente = 0.15259011

El estadístico de excel se determina con alfa = 0.1 para (f-1)(c-1) gl = 2 gl. Dando 4.605

Por tanto no se rechaza Ho y la Ubicación y Clasificación son independientes

PRUEBA.CHI.INV

El estadístico Chi cuadrado calculado de 1.17 es menor al de excel de 7.815 por tanto se acepta

La presión de llenado de tanques de immersión promedio debe ser de 600 lb con una desviación

NOTA: Si la media y desviación estándar poblacionales no fueran conocidas se hubieran

PRUEBA DEL SIGNO

Es una prueba de hipótesis que compara las distribuciones de dos poblaciones.

Se asume que se tienen datos de antes y después para una muestra y se desea comparar estos conjuntos de datos correspondientes.No se tiene interés en la diferencia sino únicamente en si resulta un signo + o -.

m = número de signos menos y p = número de signos más

Ho: m = p Ho: m <= p Ho: m >= pHa: m<> p Ha: m > p Ha: m < p

Por ejemplo se trata de probar la efectividad de un juego promocional en las ventas en tiendas:

Ventas antes Ventas con Tienda del juego el juego Signo

1 42 40 + Los signos menos indican incremento 2 57 60 - de las ventas ya que se resta el Antes 3 38 38 0 menos el Después4 49 47 +5 63 65 -6 36 39 -7 48 49 -8 58 50 +9 47 47 0

10 51 52 -11 83 72 +12 27 33 -

Se trata de probar la hipótesis:

Ho: m <= pHa: m > p

Ignorando los 0's se tienen 6 signos más y 4 signos menos para un total de n = 10 signos.

Si probabilidad de ambos signos es de pi = 0.5. 0.01953125

De la tabla C del apéndice III o DISTR.BINOM, la probabilidad de 6 o más signos menos es:

P( m >= 6 | n = 10, pi = 0.5) = 1 - P( X <= 5) = 1 - 06230 = 0.3770

o P ( p <= 4 | n = 10, pi = 0.5) = 0.377 DISTR.BINOM(4,10,0.5,verdadero)

Como este valor de P = 0.377 es mayor que un alfa de 0.05 entonces no se rechaza Hoindicando que el juego promocional no incremena las ventas

Para el caso de muestras grandes n >= 30 se puede aproximar al uso de Z, con k = número designos más o menos. Si k < n/2 se utiliza k + 0.5 y en caso contrario se usa k - 0.5 parautilizar la distribución normal que es continua.

Por ejemplo al comparar dos tipos de 10 bandas en su desgaste se obtuvieron,ignorando los 0s:

m = 8, p = 1

Si Ho: m = p Ha: m<> p

Usando la tabla C del apéndice III o la función e Excel DISTR.BINOM

P (p <= 1 | n = 9, pi = 0.5) = 0.0195

o P (m >= 8 | n = 9, pi = 0.5) = 1 - P(m <= 7) = 1 - 0.9805 = 0.0195

Con Alfa /2 = 0.025 siendo mayor al valor P de la probabilidad serechaza la hipótesis Ho y el desgaste es diferente

Usando el estadístico Z se tiene:

Z=k±0. 5−0 .5n

0 .5√n

Por ejemplo al comparar dos tipos de 10 bandas en su desgaste se obtuvieron,ignorando los 0s:

Unidad 14 Pruebas no paramétricasPruebas Chi cuadrEjercicio 1

Frecuencia (Oi)Frecuencia (Ei)Tipos de Créditoobservada esperadas Oi-Ei (Oi-Ei)2 (Oi-Ei)2 / Ei

Autos 55 66.66 -11.66 135.9556 2.03953795Estudiantes 47 66.66 -19.66 386.5156 5.79831383

98 66.66 31.34 982.1956 14.7344074200 199.98 22.5722592

Ho: Los tres tipos de crédito se conceden en la misma proporciónHa: Los tres tipos de crédito no se conceden en la misma proporción

El Chi Cuadrado de excel se determina con alfa = 0.05 y K - 1 grados de libetad = 2Chi cuadrado de excel = 5.99146455

Dado que el valor k1 = 22.57 > 5,99 se rechaza la Ho:

Ejercicio 2

Frecuencia (Oi)Frecuencia (Ei)Tipos de Créditoobservada esperadas Oi-Ei (Oi-Ei)2 (Oi-Ei)2 / Ei

Autos 55 50 5 25 0.5Estudiantes 47 50 -3 9 0.18

98 100 -2 4 0.04200 200 0.72

Ho: Se mantuvo el patrón deseado para créditos generales el 50%, para autos el 25% y para estudiantes 25%Ha: No se mantuvo el patrón deseado para créditos generales el 50%, para autos el 25% y para estudiantes 25%

El Chi Cuadrado de excel se determina con alfa = 0.05 y K - 1 grados de libetad = 2Chi cuadrado de excel = 5.99146455

Dado que el valor k1 = 0.72 menor que 5,99 no se rechaza la Ho:

PRUEBA DE SIGNOS

Ejercicio 6

Publicidad 1 Publicidad 2 Diferencia

Propósitos generales

Propósitos generales

8 7 19 3 6 Mas 115 2 3 Menos 37 8 -19 5 44 5 -13 7 -48 2 69 1 85 3 27 7 08 2 68 2 67 3 49 8 1

Ejercicio 7

Con grasa Sin grasa Diferencia10 15 -512 13 -1 Mas 314 12 2 Menos 618 9 917 17 018 19 -1 n= 95 3 2

21 27 -66 12 -68 14 -6

Ha : m≠pHo : m=p

P (m≤3|n=14 , π=0. 5 )=0 . 287

P (m≥11|n=14,π=0 . 5 )=1−p (m≤10 )=1−0 . 9713 =0. 0287

Debido a que α= 0 . 10/2 = 0 . 05 > 0 . 0287 Se rechaza la Ho .

PRUEBA U DE MANN-WHITNEY

Ejercicio 10

Mujeres Rango Hombres Rango2.12 13.02 23.15 33.42 43.72 54.42 6

4.45 74.87 85.12 9.5 5.12 9.5

5.42 115.72 12

Ha : m≻pHo : m≥p

P (m≻3|n=9 , π=0 . 5 )=0. 2539

P (m≥6|n=9,π=0. 5 )=1−p (m≤5 )=1−0 .7461 =0 . 2539

Debido a que α= 0 . 10/2 = 0 . 05 ≺ 0 . 253 No se rechaza la Ho .

Ho :U 1≥U2

Ha :U 1≺U 2

5.83 136.43 146.49 15

8.17 168.79 178.89 189.02 199.73 20

66.5 143.5

Para un valor de alfa del 10%-1.28155157

Conclusiones: Dado que Z=-2.9 se encuentra en la zona de rechazose rechaza la Ho y se acepta la Ha.

Ejercicio 12

n1= 42n2= 35

Para un valor de alfa del 5% Z=1.96

Conclusiones: Dado que Z=1.96 se encuentra en la zona de rechazose rechaza la Ho y se acepta la Ha.

∑ R1=66 .5

∑ R2=143 .5

U1=10∗10+10∗(10+1 )

2−66 . 5=88.5

U 2=10∗10+10∗(10+1 )

2−143 .5=11. 5

μu=10∗10

2=50

σ u=√10∗10 (10+10+1 )12

=13.22

Z=11. 5−5013 .22

=−2 . 91

∑ R1=1833. 5

∑ R2=1169. 5

U1=42∗35+42∗(42+1 )

2−1833 .5=539 .5

U 2=42∗35+35 (35+1 )

2−1169. 5=930 . 5

μu=42∗35

2=735

σ u=√42∗35 ( 42+35+1 )12

=97 . 74

Z=930 .5−73597 .74

=2

Ho :U 1=U2

Ha :U 1≠U2

CORRELACIÓN DE RANGOS DE SPERMAN

Ejercicio 14

Ingreso Consumo di= x-y x-ycuadrado97 55 1 3 -2 458 63 6 2 4 1669 54 3 4 -1 147 37 8 9 -1 158 45 6 7 -1 138 38 9 8 1 191 71 2 1 1 167 52 5 6 -1 168 53 4 5 -1 147 37 8 9 -1 148 37 7 9 -2 4

32

No existe relación entre las dos variables

Existe relación entre las dos variables

De tabla n apendice 3 Para un valor alfa del 5% y n=11 r=0.6091

Dado que rs= 0.85 mayor que r= 0.6091 la Ho.se rechaza.

Clasificación del ingreso X

Clasificación Consumo Y

α=5%

rs=1−6∑ di2

n ( n2−1 )

rs=1−6(32 )

11 (112−1 )=1−192

1320=0 . 85

Ho : Ps=0

Ha : Ps≠0

U 2=42∗35+35 (35+1 )

2−1169. 5=930 . 5

Ejercicio 15

Tiempo Nota di= x-y x-ycuadrado21 67 2 2 0 018 58 3 4 -1 115 59 5 3 2 417 54 4 5 -1 118 58 3 4 -1 125 80 1 1 0 018 14 3 9 -6 36

4 15 8 8 0 06 19 6 7 -1 15 21 7 6 1 1

45


Existe relación entre las dos variables

De tabla n apendice 3 Para un valor alfa del 10% y n=10 r=0.5515

Dado que rs= 0.72 mayor que r= 0.5515 la Ho.se rechaza.

Clasificación del Tiempo X

Clasificación Nota Y

Ho : Ps=0

Ha : Ps≠0

rs=1−6 (45 )

10 ( 102−1 )=1−270

990=0 . 72

PRUEBA DE KRUSKAL-WALLIS

Ejercicio 18

Planta 1 Rango Planta 2 Rango Planta 3 Rango25 6 31 12.5 29 10.536 15 28 8.5 28 8.538 16 39 17 22 431 12.5 41 18 26 729 10.5 21 3 24 533 14 20 1.5 20 1.5

74 60.5 36.5

Para un alfa de 5% k-1 gl

Dado que la Ho no se rechaza.

Ejercicio 19

K=12n (n+1 ) [∑ Ri

2

ni]−3 (n+1 )

K=1218 (18+1 ) [742

6+60 . 52

6+36 .52

6 ]−3 (18+1 )=0 .035(912 . 66+610 . 041+222. 04 )−57=0. 035 (1744 .741 )−57=4 .06

K0 .05 ,2=5 . 991

K=4 . 06≺5.991

Mezcla 1 Rango Mezcla 2 Rango Mezcla 3 Rango3 2.5 3 2.5 10 25.56 7.5 4 4 8 149 21.5 8 14 9 21.55 5 9 21.5 8 146 7.5 7 9.5 7 9.5

44 51.5 84.5


Dado que la Ho se rechaza.

Determinación de diferencias estadísticamente significativas

Valor critíco Ck

Dado que No hay diferencia entre la Mezcla 1 y la Mezcla 2

K=1220 (20+1 ) [442

5+51. 52

5+84 . 52

5+94 . 52

5 ]−3 (20+1 )=0 . 028(387 . 2+530 . 45+1428. 05+4465 . 12)−63=

K=0.028 (6810.82 )−63=127 .7

K0 .05 ,3=7 . 815

K=127 . 7≻7 ,815

R1=445

=8 .8 R2=51 . 5

5=10 . 3R3=

84 . 55

=16 . 9R4=94 . 5

5=18 . 9

R1−R2=8 .8−10 . 3=−1 .5

R1−R3=8 .8−16 .9=−8 .1

R1−R4=8 .8−18.9=−10 .1

R2−R3=10 .3−16 . 9=−6 . 6

R2−R4=10 . 3−18 . 9=−8 . 6

R3−R4=16 . 9−18 . 9=−2

Ck=√7 .815 [20 (20+1)12 ] [1

5+

15 ]=10 .45

R1−R2=−1.5≺10 . 45






R1−R2=−1.5≺10 . 45

R1−R3=−8 . 1≺10. 45

R1−R4=−10 .1≺10 . 45

R2−R3=−6 . 6≺10 .45

R2−R4=−8. 6≺10 . 45

R3−R4=−2≺10 . 45

Unidad 14 Pruebas no paramétricas


Ho: Se mantuvo el patrón deseado para créditos generales el 50%, para autos el 25% y para estudiantes 25%Ha: No se mantuvo el patrón deseado para créditos generales el 50%, para autos el 25% y para estudiantes 25%


pm

P (m≥11|n=14,π=0 . 5 )=1−p (m≤10 )=1−0 . 9713 =0. 0287

Debido a que α= 0 . 10/2 = 0 . 05 > 0 . 0287 Se rechaza la Ho .

P (m≥6|n=9,π=0. 5 )=1−p (m≤5 )=1−0 .7461 =0 . 2539

Debido a que α= 0 . 10/2 = 0 . 05 ≺ 0 . 253 No se rechaza la Ho .

Para un valor de alfa del 10%

Conclusiones: Dado que Z=-2.9 se encuentra en la zona de rechazose rechaza la Ho y se acepta la Ha.

Para un valor de alfa del 5% Z=1.96

Conclusiones: Dado que Z=1.96 se encuentra en la zona de rechazose rechaza la Ho y se acepta la Ha.

μu=10∗10

2=50

σ u=√10∗10 (10+10+1 )12

=13.22

Z=11.5−5013 . 22

=−2 .91

μu=42∗35

2=735

σ u=√42∗35 ( 42+35+1 )12

=97 . 74

Z=930 .5−73597 .74

=2

¿El coeficiente de correlación de rangos de Spearmansugiere alguna relación?


α=5%

¿El coeficiente de correlación de rangos de Spearmansugiere alguna relación?


α=10 %

Ejercicio 19

K=1218 (18+1 ) [742

6+60 . 52

6+36 .52

6 ]−3 (18+1 )=0 .035(912 . 66+610 . 041+222. 04 )−57=0. 035 (1744 .741 )−57=4 .06

Mezcla 4 Rango Mezcla 1 Rango Mezcla 28 14 3 1.5 3

10 25.5 6 5.5 411 27 9 15 8

8 14 5 4 98 14 6 5.5 7

94.5 31.5



Lo cual quiere decir que no se observó una diferencia significativa en los incrementos en peso de los cachorros al 5%

K=1220 (20+1 ) [442

5+51. 52

5+84 . 52

5+94 . 52

5 ]−3 (20+1 )=0 . 028(387 . 2+530 . 45+1428. 05+4465 . 12)−63= K=1220 (20+1 ) [31 .52

5+372

5+60 .52

5+76 .52

5 ]−3 (20+1 )=0 . 028(198 . 45+273 . 8+732 . 05+1155. 2)−63=

K=0.028 (2359.5 )−63=3 . 066

K0 .05 ,3=7 . 815

K=3 .066≺7 ,815

Rango Mezcla 3 Rango Mezcla 4 Rango1.5 10 17.5 8 10.5

3 8 10.5 10 25.510.5 9 15 11 19

15 8 10.5 8 10.57 7 7 8 10.5

37 60.5 76

Ho: Todas los incrementos en el peso permanecen igualesHa: No todos los incrementos en el peso permanecen iguales


Lo cual quiere decir que no se observó una diferencia significativa en los incrementos en peso de los cachorros al 5%

K=1220 (20+1 ) [31 .52

5+372

5+60 .52

5+76 .52

5 ]−3 (20+1 )=0 . 028(198 . 45+273 . 8+732 . 05+1155. 2)−63=

PRUEBA U DE MANN WHITNEY

Contrasta la igualdad de dos distribuciones poblacionales, se basa en la suposición de que dos muestras aleatorias se sacan independientemente de variables continuas. Es la contraparte dela prueba paramétrica t aunque no requiere que las diferencias de las muestras estén distribuidas normalmente.

La prueba puede realizarse para analizar la igualdad de las dos medias o medianaspoblacionales. Para el caso de medias, se debe asumir que las poblaciones son simétricasy que tienen la misma varianza, si el supuesto de simetría se elimina entonces la medianareemplaza a la media como estadístico de prueba.

Los datos se ordenan en forma ascendente:

Ejemplo: Se trata de probar si el tiempo de enfriamiento de piezas de barro después de serhorneadas con dos métodos diferentes presenta los mismos resultados.

Método 1: 27, 31, 28, 29, 39, 40, 35, 33, 32, 36, 37, 43Método 2: 34, 24, 38, 28, 30, 34, 37, 42, 41, 44

Ordenado los datos se tiene:

Método 1 Rango Método 2 Rango 24 1

27 228 3.5 28 3.5 Promedio de rangos correspondientes29 5

30 631 732 833 9

34 10.534 10.5

35 1236 1337 14.5 37 14.5 38 16

39 1740 18

41 1942 20

43 2144 22

Suma 130 123rangos

Se calcula el estadístico U de Mann Whitney para la primera y segunda muestras,así como la media y la distribución estándar de la distribución U:

U1 = (12)(10) + (12)(12 + 1) / 2 - 130 = 68

U2 = (12)(10) + (10)(10 + 1) / 2 -123 = 52

Media U = (12)(10) / 2 = 60

Desv. Est. U = 15.17

Valor de Z para normalizar U = (Ui - Media U ) / Desv. Est. U

Las hipótesis son:

Ho: Media 1 = Media 2Ha: Media 1 <> Media 2

Se puede utilizar de manera arbitraria U1 o U2, escogiendo U2 se tiene:

Zu2 = (52 - 60) / 15.17 = - 0.53 Valor P = 0.29805597

SI alfa es 0.1 entonces Z de excel para alfa entre dos es -1.65

Por tanto no se rechaza Ho

NOTA: Para pruebas de una cola, si se trata de cola derecha, se utiliza el valor de U que sea mayor y para cola izquierda el valor de U que sea menor.

Estadístico . Pr imera .muestra .. . . .U 1=n1n2+n1 (n1+1 )2

−∑ R1

Estadístico .Segunda .muestra . . .. .U2=n1n2+n2(n2+1)2

−∑ R2

Media .de . la .distribución ..U . . .. . . .. μu=n1n2

2

Desviación.estándar .de .. .U . .. . . .. . .σu=√n1 n2( n1+n2+1)12

Contrasta la igualdad de dos distribuciones poblacionales, se basa en la suposición de que dos

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Teoria Pruebas No Par (2)