Teoria Sobre Aplicaciones de La Derivada

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL DEL TCHIRA VICERRECTORADO ACADMICO

DECANATO DE DOCENCIA DEPARTAMENTO DE MATEMTICA Y FSICA ASIGNATURA MATEMTICA I. (Cdigo 0826101 )

LAPSO ACADMICO 2012-2

UNIDAD 4

APLICACIONES DE LA DERIVADA

Elaborado por: Profa. Jeraldyne Moncada.

Prof. Leonardo Prez Material didctico en revisin

San Cristbal, septiembre 2013

4. APLICACIONES DE LA DERIVADA

En la unidad 4 se plantearon y aplicaron reglas con la finalidad de desarrollar

actividades operativas para calcular de manera rpida y eficiente derivadas de funciones

algebraicas y trascendentes presentadas de manera implcita o explcita. Adems, cuando se

introdujo la definicin de derivada se hizo a travs del problema de la recta tangente a una

curva en un punto, considerada como la primera interpretacin geomtrica que se le da a la

derivada. En la unidad que se desarrollar a continuacin se mostrar otras aplicaciones

geomtricas y fsicas de la derivada.

Se plantear que la derivada tambin sirve para determinar el ritmo de cambio de

una variable con respecto a otra en un instante, lo que le confiere utilidad en una amplia

variedad de situaciones, entre las que se pueden mencionar: ritmos de crecimiento de

poblacin, ritmos de produccin, flujo de un lquido, movimientos horizontales o verticales

(velocidad, aceleracin). Aunado a ello se presentan problemas de optimizacin, los cuales

consisten en determinar los valores mximos y mnimos de una funcin.

Por otra parte, se presentar una regla practica para calcular lmites que producen

formas indeterminadas 00

y haciendo uso del Clculo Diferencial. Dicha regla recibe el

nombre de regla de . L Hopital`

Finalmente, se presenta un resumen sobre los lineamientos, para hacer el anlisis y

trazar la grafica de una funcin, basados en criterios de derivacin.

4.1 RECTA TANGENTE Y RECTA NORMAL. La idea principal con la que se desarrollar esta seccin es: El valor de la derivada

en cualquier punto de una curva representa la pendiente de la recta tangente a la curva en

dicho punto

4.1.1. Recta tangente:

Sea f una funcin derivable en c . La ecuacin de la recta tangente a la grfica de

f en el punto ( )( ),P c f c es: ( ) ( )ty f c m x c = donde ( )tm f c= .

2

4.1.2. Recta normal:

Sea f una funcin derivable en . La ecuacin de la recta normal a la grfica de c

f en el punto ( )( ),P c f c es: ( ) ( )ny f c m x c = donde 1nt

mm

= , con 0tm

ACTIVIDAD N 1 Resolver los ejercicios del 26 al 35 (ver material de ejercicios propuestos)

4.2 TEOREMA DE ROLLE.

Si f es una funcin continua en el intervalo cerrado [ ],a b y derivable en el intervalo abierto ( tal que ),a b ( ) ( )f a f b= , entonces existe un punto ( ),c a b tal que

( ) 0f c =Geomtricamente, se puede decir que si se cumplen las

condiciones del teorema de Rolle se garantiza la

existencia de un ( ),c a b donde la recta tangente a la curva de f es paralela al eje , es decir, es una recta

horizontal

x


4.3 TEOREMA DEL VALOR INTERMEDIO ( LAGRANGE ).

Si f es una funcin continua en el intervalo cerrado [ ],a b y derivable en el intervalo abierto ( , entonces existe un punto ),a b ( ),c a b tal que ( ) ( ) ( )f b f af c

b a =

3

Geomtricamente, se puede decir que si se cumplen las

condiciones del teorema del Valor Intermedio se

garantiza la existencia de un ( ),c a b donde la recta tangente a la curva de f es paralela a la recta secante a

la curva de f que pasa por los puntos ( )( ),a f a y ( )( ),b f b


4.4 REGLA DE . L HOPITAL`Si y f g son derivables en un intervalo abierto ( )ba, que contenga a , excepto

posiblemente en el propio , y c

c ( ) 0 xg para toda en x ( )ba, , excepto posiblemente en el propio c , y si adems ( )( )xg

xfLimcx

produce la indeterminacin 00 o

, entonces ( )( )

( )( )xgxfLim

xgxfLim

cxcx =

Este resultado tambin es vlido si se sustituye c por

En caso que se produzca la indeterminacin 0, .0, 1 , 0 , 0 se debe llevar a las indeterminaciones

00 o

para poder aplicar la Regla de L`Hopital. Para ello se sugiere:

1. Si el produce la indeterminacin ( ) ( )xgxfLimcx

0 , entonces la Regla de L`Hopital se debe aplicar al ( )

( )xgxfLim

cx 1 o ( )

( )xfxgLim

cx 1.

2. Si el

)()(

)()(

xqxh

xgxfLim

cx produce la indeterminacin , entonces la Regla

de L`Hopital se debe aplicar al )()(

)()()()(xqxg

xhxgxqxfLimcx

.

4

3. Si el ( ( ) ( )n nx cLim f x g x

) produce la indeterminacin , entonces la Regla de L`Hopital se debe aplicar al

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )1 2 2( ) ( )

( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) ( )

n nn n

n n nx c n n n n n n

f x g xLim

f x f x g x f x g x g x

+ + + + 1n

.

4. Si el ( ) ( )[ ]xg

cxxfLim

produce la indeterminacin , o , entonces el 1 00 0

( ) ( )[ ] kxgcx

exfLim =

donde )(

1))(ln(

xg

xfLimkcx

= o ))(ln(

1)(

xf

xgLimkcx

= . Para obtener

el valor de se aplica la Regla de L`Hopital. k


4.5 EXTREMOS ABSOLUTOS DE UNA FUNCIN.

En forma muy general, los extremos absolutos de una funcin son los puntos donde

esta funcin alcanza el mayor valor (mximo absoluto de una funcin) o el menor valor

(mnimo absoluto de una funcin).

4.5.1. Definicin de extremos absolutos de una funcin:

Sea una funcin y c un elemento del dominio de f f

1.- (c) es el mnimo absoluto de en el Dom f si (c) f f f (x) para todo x del Dom f. f2.- (c) es el mximo absoluto de f en el Dom f si (c) (x) para todo x del Dom f. f f f El mximo absoluto y el mnimo absoluto de una funcin en todo su dominio son

los valores extremos de la funcin.

Las graficas mostradas a continuacin corresponden a funciones continuas definidas

en intervalo cerrado [ ] ,a b

5

En la grfica (a): los extremos absolutos ocurren en los extremos del intervalo

, es decir, en y [ ,a b] x a= x b= . ( )f a es el mnimo absoluto de f y ( )f b es el mximo absoluto de f .

En la grfica (b): los extremos absolutos ocurren en los extremos del intervalo

, es decir, en y [ ,a b] x a= x b= . es el mximo absoluto de ( )g a g y es el mnimo absoluto de

( )g b

g .

En la grfica (c): los extremos absolutos de ocurren en valores h 0x y 1x que estn

dentro del intervalo [ ] . es el mnimo absoluto de h y es el mximo absoluto de . Se observa que en

,a b 0( )h x 1( )h x

h 0x y 1x la derivada vale cero, es decir, 0( ) 0h x = y , pues la pendiente de la recta tangente a la curva de h en dichos puntos vale

cero.

( )1 0h x =

En la grfica (d): los extremos absolutos de p ocurren en valores 0x y 1x que estn

dentro del intervalo [ ] : ,a b 0( )p x es el mnimo absoluto de p y 1( )p x es el mximo absoluto de p . Se observa que en 0x y 1x la derivada no existe, pues en estos puntos la

grfica presenta puntos angulosos.

En las graficas (e) y (f): se muestran combinaciones de los casos anteriores.

6

Los casos anteriores muestran que los extremos absolutos de una funcin continua

definida en un intervalo [ pueden ocurrir en: 1) los extremos del intervalo. 2) En los puntos que estn dentro de dicho intervalo y que hacen que la primera derivada sea cero o

no exista, estos puntos reciben un nombre especial nmeros crticos.

]

f

,a b

4.5.2. Definicin de nmero crtico de una funcin f:

Sea una funcin definida en c. Se dice que f Domc es un nmero crtico de f si ( ) ( )0 o no existe.f c f c =

4.5.3. Teorema de los extremos absolutos de f:

Sea una funcin continua definida en el intervalo cerrado f [ ]ba , . Los extremos absolutos de la funcin ocurren en x a= , x b= o en los nmeros crticos de . f

4.5.4. Estrategia para localizar extremos absolutos de f en un intervalo cerrado [ ]ba , : Para hallar los extremos absolutos de una funcin continua en un intervalo cerrado

, se procede as:

f

[ ba , ]1.- Calcular 'f

2.- Hallar los nmeros crticos de en f [ ]ba , . 3.- Evaluar en cada nmero crtico de f ( )ba , . 4.- Evaluar en los extremos del intervalo cerrado f [ ]ba , , es decir, en y en x a= x b= . 5.- La ms grande de todas las imgenes es el mximo absoluto y la ms pequea es el

mnimo absoluto.


7

4.6 FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES. 4.6.1. Teorema sobre el criterio de crecimiento y decrecimiento de f: Sea una funcin en el intervalo cerrado f [ ]ba , y derivable en el intervalo abierto ( ) . ba ,1.- Si para todo x en , entonces es creciente en 0)(' >xf ( ba , ) f [ ]ba , . 2.- Si para todo x en ( , entonces es decreciente en 0)('

Se observa que los intervalos de monotona estn separados por los puntos y

que son nmeros crticos de h , y por que es un punto de discontinuidad de la

funcin.

,b c

d a

En conclusin: dos intervalos de monotona (con compartimientos distintos) de una

funcin estn separados por un nmero crtico de f o por un punto de discontinuidad de la

funcin.

4.6.2. Estrategias para hallar los intervalos donde una funcin es creciente o

decreciente:

1.- Determinar el dominio de . f

2.- Hallar los puntos de discontinuidad de f (si los hay).

3.- Calcular 'f

4.- Determinar los nmeros crticos de . f

5.- Representar grficamente el dominio de y sobre l ubicar los valores obtenidos en (2)

y (4) para determinar los intervalos de estudio.

f

6.- Evaluar el signo de (x) en cada uno de los intervalos establecidos. f

7.- Usar el teorema 5.6.1 para decidir si crece o decrece o es constante en cada intervalo. f


4.7 EXTREMOS RELATIVOS DE UNA FUNCIN.

En la grafica de f se observa que: en el intervalo abierto ( ),a b Domf 1x produce la mayor de las imgenes, en el intervalo abierto ( ),b c Domf 2x produce la menor de las imgenes, en el intervalo abierto ( ),c d Domf 3x produce la mayor de las imgenes y 4x

9

produce la menor de las imgenes. ( )1f x , ( )2f x , ( )3f x y ( )4f x reciben el nombre de extremos relativos de una funcin y se definirn a continuacin.

4.7.1 Definicin de extremos relativos de una funcin:

1.- (c) es el mnimo relativo de si existe un intervalo abierto que

contiene a c, tal que

f f ( ), Doma b f( ) ( )f c f x para todo ( ),x a b

2.- (c) es el mximo relativo de f si existe un intervalo abierto que

contiene a c, tal que

f ( ), Doma b f( ) ( )f c f x para todo ( ),x a b

En tal sentido, los mximos y mnimos relativos, son los puntos en los que la

funcin alcanza el mayor o menor valor, pero localmente, estudiado solamente en los

alrededores del punto, es decir, comparar el ( )f c con respecto a las imgenes de los y no con respecto a todas las imgenes de los ( ), Domx a b f Domx f como es el

caso de los extremos absolutos.

En la grafica de f tambin se observa que ( )1f x y ( )4f x vale cero, por otra parte ( )2f x y ( )3f x no existe, es decir 1x , 2x , 3x y 4x son nmeros crticos de f . Esta proposicin se generaliza en el siguiente teorema.

10

4.7.2. Teorema de los extremos relativos de f:

Si f tiene un mximo relativo o un mnimo relativo en x c= , entonces c es un nmero crtico de . f

Es importante aclarar que el reciproco no se cumple, es decir, si c es un nmero

crtico de , no necesariamente f ( )f c representa un extremo relativo, en tal sentido, los nmeros crticos son candidatos a producir extremos relativos de . f

4.7.3. Criterio de la primera derivada:

A partir de la grafica de f se completa la siguiente tabla

Intervalo de monotona o nmero crtico

Signo de ( )f x Interpretacin ( ),a + f creciente

a 0 Mximo relativo

( ),a b - f decreciente b 0 Mnimo relativo

( ),b c + f creciente c NE Mximo relativo

( ),c d - f decreciente d NE Mnimo relativo

( ),d + + f creciente

11

Lo establecido en la tabla anterior se puede generalizar en el siguiente criterio.

4.7.4. Criterio de la primera derivada:

Sea un nmero crtico de una funcin f continua en un intervalo abierto I que contiene

c . Si f es derivable en ese intervalo, excepto quizs en c , entonces (c

a )f c puede clasificarse as:

1.- Si ( )f x cambia en c de negativa a positiva, entonces ( )f c es un mnimo relativo de . f2.- Si ( )f x cambia en c de positiva a negativa, entonces ( )f c es un mximo relativo de . f3.- Si ( )f x no cambia de signo en , entonces la funcin c f no tiene extremo local en . c

4.7.5. Estrategias para determinar los extremos relativos de una funcin aplicando el

criterio de la primera derivada:


2.- Calcular 'f


4.- Representar grficamente el dominio de y sobre l ubicar los valores obtenidos en (3)

para determinar los intervalos de estudio.

f

5.- Completar la siguiente tabla. En la interpretacin usar el criterio de la primera derivada

para decidir si el nmero crtico de produce un mximo relativo, un mnimo relativo o no

produce extremos locales:

f

Punto o

intervalo

Nmero de

prueba f (x)

Signo de

f Interpretacin


12

4.8 SENTIDO DE CONCAVIDAD DE UNA CURVA. PUNTOS DE INFLEXIN

La caracterizacin geomtrica de la concavidad de una curva es:

La grafica (1) muestra que la curva de f es cncava hacia arriba, pues sus rectas tangentes se encuentran siempre por debajo de dicha curva.

La grafica (2) muestra que la curva de f es cncava hacia abajo, pues sus rectas tangentes se encuentran siempre por arriba de dicha curva.

La grafica 3 muestra que en el punto ( )( ),c f c la curva cambia de concavidad. Dicho punto recibe el nombre de punto de inflexin.

4.8.1. Definicin de concavidad:

Sea derivable en un intervalo abierto I. La grfica de es cncava hacia arriba en I si

es creciente en ese intervalo y cncava hacia abajo en I si es decreciente en l.

f f

f f

4.8.2. Teorema sobre el criterio de concavidad:

Sea una funcin cuya segunda derivada existe en un intervalo abierto I. f

1.- Si es positiva para todo x en I, la grfica de es cncava hacia arriba en I. ( )xf f2.-Si es negativa para todo x en I, la grfica de es cncava hacia abajo en I. ( )xf f

4.8.3. Definicin de nmero crtico de la primera derivada ( )f : Sea una funcin definida en c. Se dice que f Domc f es un nmero crtico de f si

( ) ( )0 o no existe.f c f c =

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4.8.4. Teorema sobre los puntos de inflexin.

Si es un punto de inflexin de la grfica de , entonces c es un nmero critico

de

( )( ,c f c ) ff .

4.8.5. Teorema sobre el criterio de la segunda derivada para determinar extremos

relativos de una funcin.

Sea una funcin tal que f ( ) 0= cf o ( ) existenocf y cuya segunda derivada existe en un intervalo abierto que contiene a c.

1.- Si es positiva, entonces ( )cf ( )f c es un mnimo relativo. 2.- Si es negativa, entonces ( )cf ( )f c es un mximo relativo. Si , este criterio no decide y ha de recurrirse al criterio de la primera

derivada.

( ) 0= cf 4.8.6. Estrategias para determinar los extremos relativos de una funcin aplicando

el criterio de la segunda derivada:

f


2.- Calcular 'f


4.- Calcular f 5.- Evaluar los nmeros crticos de en f f y aplicar el teorema 5.8.5.

4.8.7. Estrategias para determinar intervalos de concavidad y puntos de inflexin de

una funcin : f


2.- Determinar los puntos de discontinuidad de f

3.- Calcular 'f

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4.- Calcular f 5.- Determinar los nmeros crticos de . 'f6.- Representar grficamente el dominio de y sobre l ubicar los valores obtenidos en (2)

y (5) para determinar los intervalos de estudio.

f

7.- Completar la siguiente tabla. Para la interpretacin usar el teorema 5.8.2 y la definicin

de punto de inflexin.

Punto o

intervalo

Nmero de

prueba f (x)

Signo de

f Interpretacin


4.9 RESUMEN PARA EL ANLISIS GENERAL DE FUNCIONES. Sea una funcin real de variable real f

1. Determinar el dominio de , es decir, los valores para los cuales la funcin est

definida.

f

2. Determinar las intersecciones con los ejes e x y. Para hallar las intersecciones con

el eje se deben buscar los valores de para los cuales x x y es cero. Para hallar las

intersecciones con el eje y se deben buscar los valores de y para los cuales es

cero.

x

3. Probar simetra:

Simetra con respecto al eje y: si al sustituir por x x en la ecuacin se obtiene una expresin equivalente.

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Simetra con respecto al origen: si al sustituir por x x y por en la ecuacin se obtiene una expresin equivalente.

y y

4. Verificar si la grfica tiene asntotas:

Asntotas verticales: si ( )xf tiende a infinito (o menos infinito) cuando tiende a c por la derecha o por la izquierda, se dice que la recta

x

cx= es una asntota vertical de la grafica de . Si viene dada como una expresin fraccionaria; las asntotas

verticales son las rectas

f f

cx= , donde son los valores para los cuales el denominador de la funcin es cero y el numerador distinto de cero.

c

Asntota horizontal: si el valor del lmite de ( )xf cuando tiende a + es x L entonces la recta es una asntota horizontal por la derecha. Si el valor del

lmite de cuando x tiende a - es

Ly=( )xf L entonces la recta es una asntota

horizontal por la izquierda. Para calcular lmites en el infinito de expresiones

racionales se puede aplicar el criterio de los grados: (a) si el grado del numerador es

igual al grado del denominador, entonces el valor del lmite es el cociente entre los

coeficientes principales; (b) si el grado del numerador es menor al grado del

denominador, entonces el lmite vale cero; (c) si el grado del numerador es mayor al

grado del denominador, entonces el lmite es infinito

Ly=

Asntota oblicua: se dice que la grfica de una funcin racional (sin factores

comunes) tiene una asntota oblicua si el grado del numerador excede en uno al

grado del denominador. Para hallar la asntota oblicua, se efecta la divisin de los

polinomios, donde se obtiene como cociente un polinomio de grado uno de la forma

. La recta es la asntota oblicua. bax+ baxy +=5. Calcular y . ( )xf ( )xf 6. Determinar los nmeros crticos de , es decir, los valores del dominio de para

los que no existe o

f x f

( )xf ( )xf =0. Estos nmeros son los candidatos a producir extremos relativos de . f

7. Determinar los nmeros crticos de f , es decir, los valores x del dominio de para los que no existe. Estos valores son los candidatos a producir puntos

f

( ) 0= xf ( )xf

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de inflexin, es decir, los puntos donde la grfica de la funcin cambia de

concavidad.

8. Graficar el dominio y sobre l ubicar los nmeros crticos de y , y los puntos

de discontinuidad de para formar los intervalos de estudio.

f f f f

9. Completar la siguiente tabla

Punto o

intervalo

Nmero de

prueba f (x)

Signo de

f Signo de

f Interpretacin *

*Criterios para la interpretacin de los resultados obtenidos en la tabla:

Para determinar si en un nmero crtico de existe un valor mximo relativo, un valor mnimo relativo o no se tiene ningn extremo relativo se aplica uno de los siguientes criterios:

f

Criterio de la primera derivada Sea una funcin y un nmero crtico de f c f Si ( )f x cambia en de negativa a positiva, entonces c ( )f c es mnimo relativo de . f Si ( )f x cambia en de positiva a negativa, entonces c ( )f c es mximo relativo de . f Si ( )f x no cambia de signo en , entonces c f no tiene extremo relativo en . c

Criterio de la segunda derivada Sea una funcin y c un nmero crtico de cuya segunda derivada existe en un intervalo abierto que contiene a c.

f f

Si es positiva, entonces ( )cf ( )f c es un mnimo relativo. Si es negativa, entonces ( )cf ( )f c es un mximo relativo. Si , este criterio no decide y ha de recurrirse al criterio de la primera

derivada. ( ) 0= cf

Para determinar si en un nmero crtico de f existe un punto de inflexin se aplica: Si cambia de signo en c , entonces ( )xf ( )f c es un punto de inflexin de la

grafica de . f

Si no cambia de signo en c , entonces ( )xf ( )f c no representa punto de inflexin.

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Para determinar los intervalos en los que crece, decrece o es constante se aplica: f

es creciente en un intervalo abierto si f )(xf es positiva para cualquier valor x de dicho intervalo.

es decreciente en un intervalo abierto si f )(xf es negativa para cualquier valor de dicho intervalo.

x

es constante en un intervalo abierto si f )(xf es igual a cero para cualquier valor de dicho intervalo.

x

Para determinar los intervalos en los que es cncava hacia arriba o cncava hacia

abajo se aplica:

f

es cncava hacia arriba en un intervalo abierto si f )(xf es positiva para cualquier valor de dicho intervalo. x

es cncava hacia abajo en un intervalo abierto si f )(xf es negativa para cualquier valor de dicho intervalo. x

10. Analizar las pendientes de cada una de las tangentes de inflexin para determinar el

trazado de la curva de alrededor de dicho punto. f


4.10 LA DERIVADA COMO RAZN DE CAMBIO.

Inicialmente, la derivada se plante como una herramienta que permite calcular la

pendiente de la recta tangente a una curva en un determinado punto (interpretacin

geomtrica).Ahora, se observar que tambin sirve para determinar el ritmo de cambio de

una variable con respecto a otra en un instante, lo que le confiere utilidad en una amplia

variedad de situaciones, entre las que se pueden mencionar: ritmos de crecimiento de

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poblacin, ritmos de produccin, flujo de un lquido, movimientos horizontales o verticales

(velocidad, aceleracin).

Para resolver este tipo de ejercicios se sugiere: 1. Leer detenidamente el problema para entender claramente la situacin propuesta

con el objeto de: hacer un esbozo, identificar las variables que cambian con el

tiempo y escribir los datos en funcin de las variables identificadas.

2. Escribir una ecuacin que relacione a las variables que cambian con el tiempo.

3. Derivar implcitamente la ecuacin planteada.

4. Sustituir los datos en la ecuacin resultante y despejar la variable requerida.

5. En funcin del resultado obtenido, responder a la incgnita planteada en el

problema.


BIBLIOGRAFA GRANVILLE, W.(2008). Clculo diferencial e integral. Mxico. Limusa. LARSON, R., LEITHOLD, L. (1.998). Clculo. Mxico: Oxford University Press. Sptima edicin. PITA, C. (1.998). Clculo en una variable. Mxico: Prentice Hall Hispanoamrica, S. A.

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