TEORAS DE LAS ECUACIONES MATEMTICAS

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Teoras de las ecuaciones matemticas

1. Introduccin2. Marco terico3. Las Ecuaciones Lineales4. Resolucin de Ecuaciones5. Importancia de las Ecuaciones y su aplicacin6. Conclusiones y recomendaciones7. BibliografaIntroduccin

En este trabajo sobre las ecuaciones vamos a resear diferentes aspectos donde examinaremos estas operaciones matemticas su sus formas ms sencillas.

Es a partir de la Segunda mitad del siglo VXII y siguientes donde surge el desarrollo de esta importante disciplina de las ciencias exactas, y definimos el termino ecuacin como una igualdad en la que hay una o varias cantidades desconocidas llamadas incgnitas y que solo se verifica o es verdadera para determinados valores de las incgnitas, las cuales se representan por las ltimas letras del alfabeto x, y, z x u v.

Destacndose para la poca los matemticos mas importantes y sobresalientes como Isaac Newton, Galilei Galileo, Scrates Descartes y otros ms.

Por esto en este contenido del presente trabajo sobre las ecuaciones vamos a ver el trmino ecuacin sus diferentes definiciones, clasificacin, su importancia y su aplicacin en la vida diaria.

Para esta facilitacin hemos recopilado datos en diferentes fuentes tales como Algebra de Aurelio Baldor, Diccionario Enciclopdico Nutico Maior http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuasi%C3%B3nFolleto, Matemtica Propedutica.

Marco terico

LA ECUACIN

Definiciones:

Ecuacin es una igualdad en la que hay una o varias cantidades desconocidas llamadas incgnitas y que solo se verifica o es verdadera para determinados valores de las incgnitas, las cuales se representan por las ltimas letras del alfabeto x, y, z x u v. Una ecuacin es una igualdad que contiene una o ms incgnitas.

Ecuacin: igualdad que solo se cumple para ciertos valores de la variable o variables desconocidas (incgnitas) que entran en ella. Pueden ser de una o de varias incgnitas; estas pueden tener un nmero infinito (- determinado) o infinito (-indeterminado), de valores numricos (races)

Ecuacin Algebraica: Es la que se representa en forma polinmica, su grado viene determinado por el exponente que afecta a la incgnita en el polinomio. Aquella que expresa la relacin entre una o varias variables sus funciones o sus derivados.

Ecuacin Qumica; Es la representacin de una relacin qumica

Ecuacin Astronmica diferencia que hay entre el lugar o movimiento medio y el verdadero o aparente de un astro.

Ecuacin. Igualdad entre dos expresiones matemticas, sin importar el valor que tomen las variables implicadas en cada expresin (denominados miembros de la ecuacin, el primer miembro es el que aparece antes del signo de igualdad, y el segundo miembro es el que aparece en segundo lugar, aunque es perfectamente vlido permutarlos).

En muchos problemas matemticos, la condicin del problema se expresa en forma de ecuacin algebraica; se llama solucin de la ecuacin a cualquier valor de las variables de la ecuacin que cumpla la igualdad; es decir, a cualquier elemento del conjunto de nmeros o elementos, sobre el que se plantea la ecuacin, que cumpla la condicin de satisfacer la ecuacin. Al igual que en otros problemas matemticos, es posible que ningn valor de la incgnita haga cierta la igualdad. Tambin puede que todo valor posible de la incgnita valga. Estas ltimas expresiones se llaman identidades. Si en lugar de una igualdad se trata de una desigualdad entre dos expresiones, se denominar inecuacin.Clasificacin De Las Ecuaciones.

Las ecuaciones se pueden clasificar de varias formas:

a) Por el nmero de incgnitas. Las ecuaciones pueden tener una o ms incgnitas. Por ejemplo la ecuacin 3x + 4 = 10, slo tiene una incgnita, la ecuacin 3x - y = 5, tiene dos y 5xy - 3x2 + z = 8 tiene tres incgnitas. Las ecuaciones con una incgnita se pueden imaginar cmo puntos sobre el eje x. Las de dos incgnitas como curvas en un plano. Las de tres incgnitas como curvas en un espacio de tres dimensiones.

b) Por el grado de la incgnita. Las ecuaciones de una incgnita se pueden clasificar por el grado de la incgnita (el grado es el exponente ms alto de la incgnita).

Hay frmulas generales para resolver las ecuaciones de grado 1 a 4 (pero las frmulas son complicadas y difciles de recordar para grado mayor que 2). Si no se puede descomponer la ecuacin en factores, cualquier ecuacin, sea del grado que sea, se puede resolver de esta forma:

Utilizando estas ecuaciones, tendramos un sistema de ecuaciones que nos permitira obtener las soluciones.

c) Por el nmero de trminos:

c1) Ecuaciones binmicos:

Las ecuaciones con dos trminos se llaman ecuaciones binmicos. Llamndolas en funcin del nmero de trminos, se suelen llamar poli nmicas.

Cmo se resuelven las ecuaciones?

Lo primero que hay que saber es que toda ecuacin algebraica de grado n con coeficientes reales o complejos tiene al menos una raz real o compleja. Este enunciado es el teorema fundamental del lgebra. D' Alembert fue el primer matemtico que di una demostracin, pero no era completa. Se considera a Gauss como el primer matemtico que di una demostracin rigurosa.

a) Ecuaciones de primer grado y una incgnita

Las ecuaciones de la forma ax + b = 0 son muy sencillas de resolver, basta con despejar la x. Despejar la x significa dejar la x sola a un lado del signo igual. Para pasar un nmero, o una variable, al otro lado del signo igual tenemos que seguir estas reglas:

-Si est sumando pasa restando y si esta restando pasa sumando. En nuestro caso quedara ax = -b

Si est multiplicando pasa dividiendo y si est dividiendo pasa multiplicando. En nuestro caso x = -b/a.

b) Ecuaciones de segundo grado y una incgnita

Las ecuaciones de la forma ax2 + bx - c = 0, tambin son muy sencillas de resolver. Basta aplicar la siguiente frmula:

Obtendremos dos soluciones, una cuando sumamos a -b la raz y lo dividimos por 2a, y otra solucin cuando restamos a -b la raz y lo dividimos por 2a.

c) Ecuaciones de tercer grado y una incgnita

Aunque hay frmula para resolver las ecuaciones de tercer grado, no merece la pena aprenderse la frmula, pues hay otros mtodos de resolver la ecuacin de una forma ms cmoda.

Sin embargo, vamos a ver cmo se resuelve un tipo concreto de ecuaciones de tercer grado, las del tipo x3 + mx = n (por supuesto si la ecuacin aparece 'disfrazada' de esta forma ax3 + bx + c = 0, se puede convertir en la forma anterior, dividiendo todos los trminos por a, m = b/a y n = -c/a)

El mtodo para resolver estas ecuaciones se llama mtodo de Cardano, pues se atribuye a Girolamo Cardano (1501-1576) su descubrimiento.

El mtodo es el siguiente:

Las ecuaciones de este tipo son famosas y los profesores suelen ponerlas en los exmenes. Quedareis muy bien si adems citis el libro en que apareci por primera vez y el autor (Libro: Ars Magna. Autor: Girolamo Cardano).

d) Ecuaciones de cualquier grado y una incgnita

El mtodo ms frecuente de resolver ecuaciones de grado superior a 2 es descomponer la ecuacin en factores (dividiendo la ecuacin por los posibles divisores), con lo que, si tenemos suerte, la ecuacin se reduce a un producto de otras ecuaciones de grado menor que ya podemos resolver por las frmulas anteriores.

A veces nos ponen una ecuacin de segundo grado disfrazada. Lo veris con un ejemplo: 3x4 + 2x2 - 5 = 0. En esta ecuacin si hacemos el cambio de variable x2 = t, nos queda 3t2 + 2t - 5 = 0. En este caso, hacis el cambio de variable, resolvis la ecuacin de segundo grado y despus despejis la x (calculando la raz cuadrada del valor que hemos obtenido para t).

Si ninguno de los mtodos anteriores os da resultado, sorprenderis a vuestro profesor resolviendo la ecuacin por este mtodo:

Utilizando estas ecuaciones, tendramos un sistema de ecuaciones que nos permitira obtener las soluciones.

Ecuaciones Diferenciales

Las ecuaciones que has encontrado hasta ahora responden en su mayor parte a la necesidad de obtener los valores numricos de ciertas magnitudes. Cuando, por ejemplo, al buscar los mximos y los mnimos de funciones se resolva una ecuacin y se encontraban los puntos para los cuales se anulaba la velocidad de variacin de una funcin, o cuando se considera el problema de hallar las races de un polinomio, se trata siempre de hallar nmeros concretos.

Pero en las aplicaciones de las matemticas surgen a menudo problemas de una clase cualitativamente diferente: problemas en los que la incgnita es a su vez una funcin, es decir, una ley que expresa la dependencia de ciertas variables respecto de otras. Por ejemplo, al investigar el proceso de enfriamiento de un cuerpo hay que determinar cmo vara la temperatura en el transcurso del tiempo; para describir el movimiento de un planeta o de una estrella o de una partcula cualquiera debe determinarse la dependencia de sus coordenadas con respecto al tiempo, etc.

Con frecuencia es posible plantear una ecuacin que permite encontrar las funciones desconocidas pedidas, y estas ecuaciones reciben el nombre de ecuaciones funcionales. Su naturaleza puede ser, en general, muy diversa; de hecho podemos decir que ya conocemos el ejemplo ms sencillo y primitivo de una ecuacin funcional: las funciones implcitas.

La clase ms importante de ecuaciones funcionales son las ecuaciones diferenciales; esto es, ecuaciones en las que adems de la funcin desconocida aparecen tambin algunas de sus derivadas de diversos ordenes.

La enorme importancia de las ecuaciones diferenciales en las matemticas, y especialmente en sus aplicaciones, se debe principalmente al hecho de que la investigacin de muchos problemas de ciencia y tecnologa puede reducirse a la solucin de tales ecuaciones. Los clculos que requiere la construccin de maquinaria elctrica o de dispositivos radiotcnicos, el clculo de trayectorias de proyectiles, la investigacin de la estabilidad de aeronaves en vuelo o del curso de una reaccin qumica, todo ello depende de la solucin de ecuaciones diferenciales.

Sucede con frecuencia que las leyes fsicas que gobiernan un fenmeno se escriben en forma de ecuaciones diferenciales, por lo que stas, en s, constituyen una expresin cuantitativa de dichas leyes: por ejemplo las leyes de conservacin de la masa y de la energa trmica, las leyes de la mecnica, etc., se expresan en forma de ecuaciones diferenciales.

La teora de las ecuaciones diferenciales comenz a desarrollarse a finales del siglo XVII, casi simultneamente con la aparicin del Clculo diferencial e integral. En el momento actual, las ecuaciones diferenciales se han convertido en una herramienta poderosa para la investigacin de los fenmenos naturales.

En la Mecnica, la Astronoma, la Fsica y la Tecnologa han sido causa de enorme progreso. Del estudio de las ecuaciones diferenciales del movimiento de los cuerpos celestes dedujo Newton las leyes del movimiento planetario descubiertas empricamente por Kepler. En 1846 Le Verrier predijo la existencia del planeta Neptuno y determin su posicin en el cielo basndose en el anlisis numrico de esas mismas ecuaciones.

Las Ecuaciones Lineales

Historia De Las Ecuaciones Lineales.

La primera fase, que comprende el periodo de 1700 a. de C. a 1700 d. de C., se caracteriz por la invencin gradual de smbolos y la resolucin de ecuaciones. Dentro de esta fase encontramos un lgebra desarrollada por los griegos (300 a. de C.), llamada lgebra geomtrica, rica en mtodos geomtricos para resolver ecuaciones algebraicas.

La introduccin de la notacin simblica asociada a Vite (1540-1603), marca el inicio de una nueva etapa en la cual Descartes (1596-1650) contribuye de forma importante al desarrollo de dicha notacin. En este momento, el lgebra se convierte en la ciencia de los clculos simblicos y de las ecuaciones. Posteriormente, Euler (1707-1783) la define como la teora de los "clculos con cantidades de distintas clases" (clculos con nmeros racionales enteros, fracciones ordinarias, races cuadradas y cbicas, progresiones y todo tipo de ecuaciones).Para llegar al actual proceso de resolucin de la ecuacin ax + b = c han pasado ms de 3.000 aos.

Los egipcios nos dejaron en sus papiros (sobre todo en el de Rhid -1.650 a. de C- y el de Mosc -1.850 a, de C.-) multitud de problemas matemticos resueltos. La mayora de ellos son de tipo aritmtico y respondan a situaciones concretas de la vida diaria; sin embargo, encontramos algunos que podemos clasificar como algebraicos, pues no se refiere a ningn objeto concreto.

En stos, de una forma retrica, obtenan una solucin realizando operaciones con los datos de forma anloga a como hoy resolvemos dichas ecuaciones.

Las ecuaciones ms utilizadas por los egipcios eran de la forma:

x + ax =b

x + ax + bx = 0

donde a, b y c eran nmeros conocidos y x la incgnita que ellos denominaban aha o montn.

Una ecuacin lineal que aparece en el papiro de Rhid, responde al problema siguiente: "Un montn y un sptimo del mismo es igual a 24".

En notacin moderna, la ecuacin sera: x + 1 / 7 x = 24. La solucin la obtena por un mtodo que hoy conocemos con el nombre de "mtodo de la falsa posicin" o "regula falsi". Consiste en tomar un valor concreto para la incgnita, probamos con l y si se verifica la igualdad ya tenemos la solucin, si no, mediante clculos obtendremos la solucin exacta.

Supongamos que fuera 7 la solucin, al sustituir en la x nos dara: 7 + 1/7 7 = 8 , y como nuestra solucin es 24 , es decir, 83 , la solucin es 21 = 3 7 , ya que 3 (7 + 1/7 - 7) = 24.

Generalmente, el clculo de la solucin correcta no era tan fcil como en este caso e implicaba numerosas operaciones con fracciones unitarias (fracciones con numerador la unidad), cuyo uso dominaban los egipcios. En cuanto el simbolismo, solamente en algunas ocasiones utilizaban el dibujo de un par de piernas andando en direccin de la escritura o invertidas, para representar la suma y resta, respectivamente.Los babilonios (el mayor nmero de documentos corresponde al periodo 600 a. de C. a 300 d. de C.) casi no le prestaron atencin a las ecuaciones lineales, quizs por considerarlas demasiado elementales, y trabajaron ms los sistemas de ecuaciones lineales y las ecuaciones de segundo grado.

Entre las pocas que aparecen, tenemos la ecuacin 5x = 8 . En las tablas en base sexagesimal hallaban el recproco de cinco que era 12/60 y en la tabla de multiplicar por 8 , encontramos 8 12/60 = 1 36/60 Los matemticos griegos no tuvieron problemas con las ecuaciones lineales y, exceptuando a Diophante (250 d. de C.), no se dedicaron mucho al lgebra, pues su preocupacin era como hemos visto, mayor por la geometra. Sobre la vida de Diophante aparece en los siglos V o VI un epigrama algebraico que constituye una ecuacin lineal y dice:

"Transente, sta es la tumba de Diophante: es l quien con esta sorprendente distribucin te dice el nmero de aos que vivi. Su juventud ocup su sexta parte, despus durante la doceava parte su mejilla se cubri con el primer vello. Pas an una sptima parte de su vida antes de tomar esposa y, cinco aos despus, tuvo un precioso nio que, una vez alcanzada la mitad de la edad de su padre, pereci de una muerte desgraciada. Su padre tuvo que sobrevivirle, llorndole durante cuatro aos. De todo esto, deduce su edad. "

Historia de los Sistemas de Ecuaciones Lineales

Los sistemas de ecuaciones lineales fueron ya resueltos por los babilonios, los cuales llamaban a las incgnitas con palabras tales como longitud, anchura, rea, o volumen , sin que tuvieran relacin con problemas de medida.

Un ejemplo tomado de una tablilla babilnica plantea la resolucin de un sistema de ecuaciones en los siguientes trminos: 1/4 anchura + longitud = 7 manos longitud + anchura = 10 manos

Para resolverlo comienzan asignando el valor 5 a una mano y observaban que la solucin poda ser: anchura = 20, longitud = 30 . Para comprobarlo utilizaban un mtodo parecido al de eliminacin. En nuestra notacin, sera:

y + 4x = 28 y + x = 10 Restando la segunda de la primera, se obtiene 3x = 18 , es decir, x = 6 e y = 4 . 3x/3 = 18/3 x = 6

Tambin resolvan sistemas de ecuaciones, donde alguna de ellas era cuadrtica.

Los griegos tambin resolvan algunos sistemas de ecuaciones, pero uti1izando mtodos geomtricos. Thymaridas (400 a. de C.) haba encontrado una frmula para resolver un determinado sistema de n ecuaciones con n incgnitas.

Diophante resuelve tambin problemas en los que aparecan sistemas de ecuaciones, pero transformndolos en una ecuacin lineal.

Diophante slo aceptaba las soluciones positivas, pues lo que buscaba era resolver problemas y no ecuaciones. Utiliz ya un lgebra sincopada como hemos sealado anteriormente. Sin embargo, unas de las dificultades que encontramos en la resolucin de ecuaciones por Diophante es que carece de un mtodo general y utiliza en cada problema mtodos a veces excesivamente ingeniosos.

Los sistemas de ecuaciones aparecen tambin en los documentos indios. No obstante, no llegan a obtener mtodos generales de resolucin, sino que resuelven tipos especiales de ecuaciones.

El libro El arte matemtico , de autor chino desconocido (siglo III a. de C.), contiene algunos problemas donde se resuelven ecuaciones. En ellos encontramos un esbozo del mtodo de las matrices para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Uno de dichos problemas equivale a resolver un sistema de tres ecuaciones lineales por dicho mtodo matricial.

Desarrollo Del Concepto

En una ecuacin existen cantidades desconocidas (incgnitas), que en general se designan por letras minsculas de la parte final del alfabeto: x, y, z y cantidades conocidas (coeficientes), que pueden designarse por letras minsculas iniciales del alfabeto: a, b, c. Lo anterior lo introdujo el matemtico Ren Descartes en 1637.

En la ecuacin: ax + b = c

a, b y c son coeficientes, x es la incgnita

En la ecuacin 5z 4 = 16

Los coeficientes son los enteros 5, 4, y 16 y la incgnita es z.

Llamaremos races o soluciones de la ecuacin a los valores de las incgnitas que cumplen la igualdad.

Ejemplos:

Si voy al Correo con $500 y quiero despachar 3 cartas (franqueo nacional: $150) qu vuelto recibir? Si v representa el valor del vuelto, ste tiene que cumplir:

500 = 3 x 150 + v

En la ecuacin anterior v es la incgnita y el valor v = 50 es la solucin.

Clasificacin De Las Ecuaciones Con Una Incgnita:

Las ecuaciones se catalogan segn el exponente o potencia ms alto que tenga la incgnita. As,

6x + 34 = 5 es una ecuacin de primer grado.

8x2 + 7x +45 = 3 es una ecuacin de segundo grado.

4 x3 + 35 x2 3x + 2 =7 es una ecuacin de tercer grado.

Resolucin de Ecuaciones

Resolver una ecuacin es encontrar el o los valores de la incgnita que satisface la igualdad. Por ejemplo la ecuacin:

500 = 450 + v (el caso del vuelto)

se satisface para

v = 50

Luego el vuelto de franquear 3 cartas con $500 es $50.

Una Ecuacin Funcional es una ecuacin en la que las constantes y variables que intervienen no son nmeros reales sino funciones. Si en la ecuacin aparece algn operador diferencial se llaman ecuaciones diferenciales.

Cmo Resolver Una Ecuacin De Primer Grado

Para la resolucin de ecuaciones de primer grado podramos definir un esquema con los pasos necesarios. Para empezar realizaremos una ecuacin de primer grado sencilla:

9x 9 + 108x 6x 92 = 16x + 28 + 396

Nuestro objetivo principal es dejar sola la x en uno de los trminos, el izquierdo o el derecho.1- Transposicin: Lo primero que debemos hacer es colocar los trminos con X en un lado, y los nmeros en otro. Para ello, podemos ver que hay algunos nmeros que tendremos que pasar al otro trmino. Esto lo podemos hacer teniendo en cuenta que:

Si el nmero est restando (Ej: -6): Pasa al otro lado sumando (+6)

Si el nmero est sumando (Ej: +9): Pasa al otro lado restando (-9)

Si el nmero est multiplicando (Ej: 2) Pasa al otro lado dividiendo (en forma fraccionaria) (n/2)

Si el nmero est dividiendo (en forma fraccionaria) (Ej: n/5) Pasa al otro lado multiplicando (5)

Una vez hemos pasado todos los trminos en nuestra ecuacin, sta quedara as:

9x + 108x 6x 16x = 28 + 396 + 9 + 92

Como podrs comprobar, todos los monomios con X han quedado a la izquierda del signo igual, y todos los nmeros enteros se han quedado en la derecha.

2- Simplificacin:

Nuestro siguiente objetivo es convertir nuestra ecuacin en otra equivalente ms simple y corta, por lo que realizaremos la operacin de polinomios que se nos plantea.

Es decir: en nuestro caso, por un lado realizamos la operacin: 9x+108x-6x-16x Y por otro lado: 28+396+9+92

De forma que nuestra ecuacin pasara a ser sta:

95x = 525

3- Despejar:

Ahora es cuando debemos cumplir nuestro objetivo final, dejar la X completamente sola; para ello volveremos a recurrir a la transposicin.Es decir: en nuestra ecuacin deberamos pasar el 95 al otro lado, y, como est multiplicando, pasa dividiendo (sin cambiar de signo):

x = 525 / 95

Comprueba que el ejercicio ya est tericamente resuelto, ya que tenemos una igualdad en la que nos dice que la x ocultaba el nmero 525/95. Sin embargo, debemos simplificar esto.

Resolvemos la fraccin (Numerador dividido entre denominador) en caso de que el resultado diera exacto; si nos diera decimal, simplificamos la fraccin y se es el resultado.

En nuestra ecuacin, vemos que el resultado de la fraccin es decimal (525:95=5.5263157894737) por lo tanto x=525/95

Resolucin De Ecuaciones De Primer Grado (Problema)

Pongamos el siguiente problema: nmero de canicas que tengo ms tres es igual al doble de las canicas que tengo menos 2. Cuntas canicas tengo? El primer paso para resolver este problema es expresar el enunciado como una expresin algebraica:

x + 3 = 2x 2

El enunciado est expresado, pero no podemos ver claramente cul es el valor de x; para ello se sigue este procedimiento:

x + 3 = 2x 2

Primero se pasan todas las x al primer trmino y los trminos independientes al segundo. Para ello tenemos en cuenta que cualquier expresin pasa al otro trmino haciendo la operacin opuesta. As obtenemos:

x 2x = 2 3

Que, simplificado, resulta:

x = 5

Esta expresin nos lleva a una regla muy importante del lgebra, que dice que si modificamos igualmente ambos trminos de una ecuacin, el resultado es el mismo. Esto significa que podemos sumar, restar, multiplicar, dividir, elevar y radicar los dos trminos de la ecuacin por el mismo nmero, sin que sta sufra cambios. En este caso, si multiplicamos ambos trminos por -1 obtendremos:

x = 5

El problema est resuelto

Todas las ecuaciones de segundo grado pueden tener como mucho 2 soluciones vlidas. Para la resolucin de ecuaciones de segundo grado tenemos que distinguir entre tres tipos distintos de ecuaciones:

-Ecuaciones de la forma ax2 + c = 0Este tipo de ecuaciones son las ms sencillas de resolver, ya que se resuelven igual que las de primer grado. Tengamos por ejemplo:

x2 16 = 0

Pasamos -16 al segundo trmino

x2 = 16

Ahora pasamos el exponente al segundo trmino, haciendo la operacin opuesta; en este caso, raz cuadrada

Principio del formulario

Final del formulario

La ecuacin ya est resuelta

-Ecuaciones de la forma ax2 + bx = 0Tengamos:

3x2 + 9x = 0

En este tipo de ecuaciones, lo primero que hacemos es declarar x como factor comn de ambas expresiones:

x(3x + 9) = 0

Esta expresin es una multiplicacin cuyo resultado es 0; por lo tanto, uno de los factores tiene que ser igual a 0. As que, o el primer factor (x) es igual a cero (sta es la primera solucin), o:

3x + 9 = 0

3x = 9

Por lo tanto, las 2 soluciones vlidas para esta ecuacin son 0 y -3

-Ecuaciones de la forma ax2 + bx + c = 0

Tengamos por ejemplo la ecuacin:

x2 + 5x + 6

Para resolver este tipo de ecuaciones utilizamos directamente la siguiente frmula:

Por lo tanto, para resolver esta ecuacin sustituimos las letras por los nmeros:

A partir de esta frmula obtenemos que las soluciones vlidas para esta ecuacin son -2 y -3

Ecuacin de segundo grado

Ecuacin de tercer grado

Ecuacin de cuarto grado

Ecuacin de quinto grado

Ecuaciones con radicales

Ecuacin qumica

Sistema de ecuaciones

Importancia de las Ecuaciones y su aplicacin

La clase ms importante de ecuaciones funcionales son las ecuaciones diferenciales; esto es, ecuaciones en las que adems de la funcin desconocida aparecen tambin algunas de sus derivadas de diversos ordenes.

La enorme importancia de las ecuaciones diferenciales en las matemticas, y especialmente en sus aplicaciones, se debe principalmente al hecho de que la investigacin de muchos problemas de ciencia y tecnologa puede reducirse a la solucin de tales ecuaciones.

Los clculos que requiere la construccin de maquinaria elctrica o de dispositivos radiotcnicos, el clculo de trayectorias de proyectiles, la investigacin de la estabilidad de aeronaves en vuelo, navegacin o del curso de una reaccin qumica, todo ello depende de la solucin de ecuaciones diferenciales.

Sobre El Aparato Matemtico De La Mecnica.

Hemos citado ejemplos de aplicacin del anlisis matemtico en la rama de los fenmenos elctricos y magnticos al igual que en las teoras del calor y de las ondas. Con estos ejemplos, el problema, naturalmente, no se agota.

Los mtodos analticos penetraron en muchas ramas de las ciencias naturales, adquiriendo en ellas el significado de medios operativos resolutivos. Casi en primer lugar penetraron en la mecnica, determinando su contenido. La mecnica analtica adquiri su aspecto clsico precisamente como un estudio sobre las ecuaciones diferenciales que expresan las propiedades de las trayectorias de cualquier sistema mecnico.

Breve Comentario Sobre Algunos Valiosos Aportes De Una Mujer Sorprendente.

Como es conocido, a lo largo de la historia de las matemticas, hasta el siglo XIX fueron pocas las mujeres que se dedicaron de una forma u otra a la profundizacin del conocimiento cientfico, pues no se les era permitido por el simple hecho de ser mujer. A mediados del propio siglo XIX justamente en el ao 1850 naci en Mosc Sofa Vasilievna Kovalevskaya quien adems de ser la primera mujer en el mundo profesor de matemticas, brind una gran ayuda para el desarrollo de la teora de las ecuaciones en derivadas parciales. Segn se conoce, los teoremas de existencia tuvieron en la historia de las ecuaciones diferenciales un doble significado. Resolvan la cuestin sobre el rigor y la validez de su aplicacin y al mismo tiempo, los mtodos brindaban la base para la elaboracin de los mtodos de integracin numrica de las ecuaciones diferenciales.

Conclusiones y recomendaciones

Esta facilitacin de Matemtica Propedutica y que en esta ocasin hemos tomado el tema sobre las ecuaciones ha sido para recordar, y retroalimentarnos con esos conocimientos que habamos adquirido y que ya habamos olvidado,

Por esto ha sido tan importante volver a practicarlos y debemos profundizar aun mas en esta importante materia a travs de las personalidades que se encargaron de enriquecerla y dejarnos sus aportes para nuestros conocimientos y su aplicacin.

El anlisis matemtico en el siglo XVIII se enriqueci con el potente y variado aparato del desarrollo de funciones en series de diferentes tipos. Este aparato fue creado bajo la influencia directa de los problemas de la fsica matemtica. La construccin de una teora de series lo suficientemente general y rigurosa se convirti hacia finales de siglo en un problema de primera lnea, de cuya solucin dependan los xitos prcticos del anlisis matemtico.

Las reglas de diferenciacin en su gran mayora fueron elaboradas ya en los trabajos de Leibniz y los hermanos Bernoulli. La ampliacin de estas reglas en relacin con la ampliacin de la clase de funciones investigadas no presentaba dificultades importantes.

As, tras la expresin analtica de las funciones trigonomtricas, exponenciales y otras clases de funciones, fueron inmediatamente obtenidas las expresiones analticas de sus derivadas.

As vemos como las ecuaciones, su aplicacin e importancia en la vida diaria son utilizadas de manera general en lo que es la investigacin de diferentes problemas de ciencia y tecnologa puede reducirse a la solucin de tales ecuaciones.

Los clculos que requiere la construccin de maquinaria elctrica o de dispositivos radiotcnicos, el clculo de trayectorias de proyectiles, la investigacin de la estabilidad de aeronaves en vuelo la navegacin o del curso de una reaccin qumica, todo ello depende de la solucin de ecuaciones diferenciales.

Bibliografa

Libros:

Algebra de Aurelio Baldor

Diccionario Enciclopdico Nutico Mayor

Matemtica IV, Educacin Media, Segundo Grado, Segundo Ciclo, Secretara de Estado de

Educacin Pea Geraldino, Rafael

Folletos:

Matemtica Propedutica. (UTE)

Autor:

Ing.+Lic. Yunior Andrs Castillo S.

Pgina Web: yuniorandrescastillo.galeon.com

Correo: yuniorcastillo@yahoo.comyuniorandrescastillosilverio@facebook.comTwitter: @yuniorcastillosCelular: 1-829-725-8571Santiago de los Caballeros,

Repblica Dominicana,

2014.

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