Gua de estudio 1Nmero Natural
Nmero Natural
Introduccin
El concepto de nmero surge de la propiedad abstracta que tienen
en comn los grupos de un lobo, oveja, etc., o bien de dos lobos,
ovejas, etc. y es a lo que llamamos nmero. Los nmeros son objetos
abstractos que indican cantidad. En esta unidad analizaremos el
conjunto de los Nmeros Naturales y la aritmtica definida sobre l.
Los nmeros naturales son los nmeros que usamos para contar; uno,
dos, tres, cuatro, etc. y tambin para ordenar: 1, 2, 3, 4, Les
damos un nombre, Nmeros naturales. El hombre primitivo solo necesit
algunos cuantos nmeros, los cuales represent mediante marcas en
huesos o madera. La conciencia del nmero se extendi lo suficiente
para necesitar expresar esta propiedad en lenguaje simblico,
primero a travs de objetos como piedras, luego mediante muescas,
despus a travs de los dedos de la mano y, posteriormente empleando
lo que nos distingue de los animales: el lenguaje, cuyo desarrollo
es esencial para el pensamiento matemtico abstracto. Se puede
abordar la construccin del conjunto de los nmeros naturales de dos
formas: Desde un punto de vista axiomtico, esto es, estableciendo
un nmero de axiomas, y a partir de ellos probar una serie de
teoremas que no son otra cosa que sus propiedades (mtodo seguido
por Peano y Hilbert). A travs del clculo de clases de equivalencia
obtenidas por la relacin de coordinabilidad entre conjuntos (mtodo
iniciado por Cantor, Frege y perfeccionado por Russell).
En este curso veremos algunos aspectos vinculados al segundo
enfoque.
Cardinal de un conjunto y nmero natural
Se dice que dos conjuntos son coordinables cuando puede
establecerse entre ambos conjuntos una relacin uno a uno.Cuando dos
conjuntos son coordinables decimos que tienen el mismo cardinal.Si
los conjuntos son finitos, el cardinal del conjunto es lo que
llamamos un nmero natural.
En otras palabras el tres (que nosotros representamos con el
smbolo 3, los romanos con el III, etc) es lo que tienen en comn
todos los conjuntos con tres elementos, es por lo tanto una
abstraccin que hacemos de los objetos del conjunto.
Operaciones en N
Una operacin binaria en N es una regla que asigna a cada para
ordenado de naturales (a1, a2) un natural b
Ya que hemos definido los nmeros naturales en trminos de
cardinales de conjuntos, seguiremos con esa idea para definir las
operaciones SUMA y PRODUCTO.
Esta idea es en realidad muy sencilla e intuitiva y prcticamente
todos la hemos aplicado al realizar nuestras primeras sumas.Si uno
representa los nmeros con la cantidad correspondiente de puntitos o
rayitas, para obtener la suma, simplemente debe contar el total de
rayitas (el cardinal del conjunto unin)
Propiedades de la suma
Asociativa:
Conmutativa:
Existencia de neutro:
Estas propiedades pueden deducirse de las propiedades de la unin
de conjuntos. Vale aclarar que el 0 puede considerarse como el
cardinal del conjunto vaco.
Producto.
El producto por un natural puede definirse a partir del producto
cartesiano de conjuntos, pero para no introducir demasiados
conceptos nuevos, podemos definirlo de la siguiente manera que es
muy intuitiva tambin.Este tipo de definicin, llamadas por
recurrencia, es habitual en Matemtica y consiste en definir el
concepto para un primer elemento y luego dar una ley de construccin
para el siguiente de cualquier elemento.
De esa manera queda definido el producto de un natural n por
cualquier natural.Ms all de la complicacin por lo nuevo de esta
definicin, puedes observar que en el fondo es la que conocemos
desde nuestros primeros aos: Multiplicar un natural n por un
natural m es sumar m veces el trmino nEj. 8x5=8+8+8+8+8 (fcil
no?)
Propiedades
Asociativa:
Conmutativa:
Existencia de neutro:
Propiedad distributiva del producto respecto de la suma
Orden en N
Existe en el conjunto de los nmeros naturales, una relacin de
orden: ser mayor que.
Todos sabemos que 5 es mayor que 3 (anotamos ).Imaginemos que
tenemos un conjunto de nios y un conjunto de sillas y que sin
contarlos queremos determinar si hay mayor nmero de sillas o de
nios.Evidentemente podemos sentar a cada nio en una silla y se
pueden dar tres situaciones:Quedan sillas vacas, quedan nios
parados, o cada nio tiene una silla.Si quedan sillas vacas decimos
que el nmero de nios es menor que el nmero de sillas, si quedan
nios parados decimos que el nmero de sillas es menor que el nmero
de nios, si cada nio tiene su silla y no sobra ninguna decimos que
hay la misma cantidad.
Nota:Esta relacin, define en N un orden total estricto, pues se
cumple la propiedad de
Tricotoma: para dos naturales n y m cualquiera se cumple una y
solo una de las siguientes afirmaciones
Transitividad: Dados tres naturales
Observaciones.
Se puede ver, con sta definicin que 0 es menor que cualquier
natural distinto de l.La relacin menor que es compatible con la
suma y el producto por un natural distinto de cero.
Es decir:
Representacin de N en la recta.
Esta relacin de orden puede representarse grficamente en una
recta.Para ello debemos asignar un punto al 0 y un punto al 1, de
esa manera queda determinado un punto de la recta correspondiente a
cada nmero natural. La distancia de cada punto al siguiente es la
misma.
Potencia de base natural y exponente natural.
As como puede interpretarse el producto como una suma reiterada
tambin la potencia puede interpretarse como un producto
reiteradoIgualmente veremos la defnicin por recurrencia:
Dado un natural
Propiedades.
Las cinco propiedades fundamentales de la potencia son:
Sustraccin en N
Se puede definir la sustraccin o resta de Naturales, pero
debemos tener presente que NO ES UNA OPERACIN en dicho conjunto
pues no est definida para cualquier par de nmeros naturales.
Dados ,
A m y n los llamamos respectivamente minuendo y sustraendo.
Observamos que la condicin impuesta: sustraendo menor o igual que
el minuendo, es necesaria y suficiente para que exista el natural
d, llamado resta o diferencia.
Observacin.
La definicin es absolutamente intuitiva y es muy sencilla de
comprender cuando volvemos al concepto de nmero natural vinculado
al cardinal de un conjunto.Si a un conjunto de cardinal m le quito
n elementos, d ser el cardinal del conjunto resultante.
Piensa si la sustraccin cumple alguna de las propiedades que
tienen la suma y el producto. Justifica.
