Materia: Lgica

Ctedra: Oller

Terico: N 5 8 de Abril de 2013

Tema: Diagramacin de argumentos.

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Vamos a retomar el tema de anlisis y reconstruccin de argumentos y lo vamos a

hacer con una tcnica que es tpica de la lgica informal: la diagramacin de

argumentos. Como se menciona en el texto de Copi en la edicin ms

reciente se sola atribuir esta tcnica a un autor que public un libro de

introduccin a la lgica en los aos 50, pero como sucede con todo, cuando se

empieza a investigar se encuentran antecedentes ms remotos. Hay un antecedente

ms remoto en el siglo XX de diagramacin de argumentos pero en el mbito del

derecho: el mtodo de Wigmore1, y todava ms atrs, a mediados del siglo XIX

hay otro autor de un texto de lgica que tambin utiliza la diagramacin de

argumentos en un sentido ms o menos cercano al que es comn hoy en da.

La diagramacin de argumentos en la actualidad viene en dos variedades

principales. Hay dos mtodos principales, en el sentido sociolgico de ms

influyentes, de diagramacin de argumentos en lgica informal. Uno es el mtodo

de un filsofo anglo-americano que muri hace poco, Stephen Toulmin. Toulmin

en los aos 50 en un texto que se llama Los usos del argumento2, presenta un

esquema de anlisis de argumento que se suele llamar El esquema de Toulmin,

dentro de un libro filosfico en el que se crtica a la lgica formal contempornea

1 Wigmore, J. H. (1913). "The problem of proof". Illinois Law Review 8 (2): 77103.

2 Toulmin, S. (1958). The uses of argument. Cambridge: Cambridge University Press.

como instrumento para el anlisis de argumentos. El esquema de Toulmin, no s si

ustedes lo han visto en alguna materia del CBC

Estudiante: En pensamiento cientfico.

Profesor: Bueno, el esquema de Toulmin se independiza de las tesis filosficas del

libro y tiene mucho xito en los departamentos de comunicacin, de anlisis del

discurso, etctera. Y se populariza tambin en los textos de introduccin a la

lgica por lo menos en Norteamrica y Canad. Toulmin es un autor muy

interesante que escribi sobre muchos temas, de manera que es una injusticia

rescatarlo solo por este esquema.

Entonces, por una parte tenemos el mtodo de Toulmin y por otro lado tenemos lo

que vamos a empezar a ver que es la diagramacin estndar, lo que se suele llamar

el mtodo estndar de diagramacin de argumentos. El mtodo estndar de

diagramacin de argumentos tiene su origen en estos autores norteamericanos del

los aos 50, pero como ya les digo, parece tener races ms profundas en la

historia de la lgica y del anlisis del discurso legal. En la actualidad, tambin se

utiliza en inteligencia artificial. Pero, en la tradicin filosfica de el anlisis de la

estructura de argumentos, los lugares clsicos en los ltimos veinte aos son dos

libros de este autor James Freeman, que se llama La dialctica y la

macroestructura de los argumentos3 y el ms reciente se llama La estructura de

los argumentos4. De cualquier modo es un campo de investigacin abierto y al

cual se ha aadido ltimamente una serie de programas para la diagramacin de

argumentos. Pueden jugar con algn programa gratuito de diagramacin de

argumentos como Araucaria5 u Ova

6.

Para qu sirve la diagramacin de argumentos? Hasta ahora lo que hemos visto

en el anlisis y reconstruccin de argumentos nos permita distinguir entre

3 Freeman, J. B. (1991). Dialectics and the Macrostructure of Argument: A Theory of Argument Structure. Berlin:

Foris.

4 Freeman, J. B. (2011). Argument Structure. Representation and Theory. Dordrecht: Springer.

5 http://araucaria.computing.dundee.ac.uk/doku.php

6 http://ova.computing.dundee.ac.uk

premisas y conclusin. Llegbamos hasta ah. La conclusin era la oracin que

pretendamos fundamentar y las premisas eran las proposiciones que pretendan

cumplir ese fin de fundamentacin. Ahora bien, esto no nos aclara de qu manera

las premisas pretenden cumplir ese fin, es decir, pretenden apoyar a la conclusin.

La diagramacin de argumentos lo que hace es tratar de revelar esa cuestin: cmo

las premisas se relacionan entre s y con la conclusin para cumplir su finalidad de

apoyar o su pretensin de apoyar fundamentar a la conclusin.

Adems, aunque el mtodo de diagramacin, como les dije, se considera un

mtodo tpico de la lgica informal para el anlisis de argumentos, est

estrechamente relacionado con cuestiones de lgica formal, como vamos a ver

enseguida.

La idea que fundamenta el mtodo de diagramacin estndar es muy sencilla: las

premisas pueden apoyar a la conclusin de diversas maneras y hay algunas

maneras que son maneras bsicas o estructuras bsicas en las que las premisas se

pueden relacionar entre s y con la conclusin. En el caso de argumentos

complejos cuando uno quiere reconstruir esta cuestin, la manera en que las

premisas apoyan a la conclusin y se relacionan entre s, lo que uno hace es

combinar estas maneras bsicas de relacin. Es decir, el anlisis de una estructura

compleja tendra que resultar de la combinacin de estas maneras bsicas de

relacionarse las premisas entre s y con la conclusin.

En un diagrama de tipo estndar estamos viendo la teora estndar, no la de

Toulmin tenemos dos tipos de elementos bsicos. Tenemos puntos y tenemos

una relacin entre los puntos. Visto de manera abstracta lo que tenemos es un

rbol, una estructura de rbol. Ustedes han visto un ejemplo de la estructura de

rbol, si ya llegaron a eso, en los prcticos cuando vieron el rbol de

descomposicin de las frmulas. Llegaron a eso?

Estudiantes: S.

Profesor: Bien. Entonces ac lo que construimos es un diagrama estndar de

argumento. Los elementos abstractos de este rbol son un conjunto de puntos y

una relacin entre estos puntos. Grficamente lo que vamos a tener son crculos,

crculos que tienen dentro suyo un nmero natural que numera una de las

proposiciones de un argumento. Y el segundo elemento son flechas que relacionan

estos otros elementos que son los crculos. Las flechas corresponden a una

relacin de ordenacin de esos puntos.

Intuitivamente lo que tenemos son crculos numerados que estn representado

proposiciones, que pueden ser premisas, conclusiones intermedias o conclusiones

finales. En un argumento complejo adems de la conclusin final suelen tener

conclusiones intermedias. Y la flecha lo que representa intuitivamente es la

relacin de apoyo que se pretende que una premisa otorga por s sola o en

conjuncin con otras premisas a una determinada proposicin, a una determinada

conclusin que puede ser intermedia o final. El resultado de todo esto es un rbol:

el diagrama estndar de un argumento es un rbol que nos revela de qu manera

apoyan las premisas a las conclusiones y cmo se relacionan entre s las premisas.

Diagramas de argumentos:

Crculo numerado (representa proposiciones)

Flecha: Relacin de apoyo que las premisas otorgan por s solas

(o con otras) a una determinada proposicin

(sea intermedia o final)

Cules son las estructuras bsicas en la teora estndar de argumentos? Tenemos

una estructura que es la estructura ms simple que podemos tener a la cual vamos

a llamar estructura simple:

Estructura simple:

3

1. Dios no existe

2. Todo esta permitido

Apoya la conclusin

Tenemos una premisa que apoya a una conclusin, pongamos por caso que 1 es la

proposicin Dios no existe y que 2 es la proposicin Todo est permitido. Entonces

el argumento Dios no existe, por lo tanto todo est permitido puede ser diagramado

mediante este diagrama que tiene una estructura simple, la estructura ms elemental que

uno puede tener. Una premisa que apoya a una conclusin.

Otra estructura bsica es la que se suele llamar estructura convergente:

Estructura convergente: 1. Se vio entrar a Juan en el lugar del crimen

minutos antes del crimen.

2. Las huellas dactilares estn en el lugar del crimen.

3. Juan cometi el crimen.

Antes de seguir les aclaro que la terminologa respecto a las estructuras bsicas no es

uniforme en todos los autores. Pueden encontrar la misma estructura con otro nombre.

En general vamos a adoptar el nombre que les da Freeman en sus textos, que es el lugar

clsico de anlisis de estructuras de argumentos en los ltimos veinte, veinticinco aos.

Entonces, en la terminologa que vamos a adoptar esto se va a llamar estructura

convergente Qu caracterstica tiene la estructura convergente? La conclusin est

apoyada por ms de una premisa. Aqu pusimos dos premisas pero puede haber ms.

Cul es la caracterstica de la estructura convergente? Es que este apoyo es

independiente. Es decir, que 1 y 2 apoyan a 3 de manera independiente. Qu quiere

decir esto? Que si yo elimino 2, 1 sigue apoyando a 3, sigue otorgndole cierto apoyo.

1

2

1

3

2

Si elimino 1, 2 sigue apoyando independientemente a 3. Un ejemplo paradigmtico es el

siguiente: supnganse que la conclusin es Juan cometi el crimen. Entonces 1 puede

ser Se vio entrar a Juan al lugar del crimen unos minutos antes de que se produjese. Y

2 puede ser Las huellas dactilares de Juan aparecieron en el lugar del crimen.

Entonces estas dos premisas otorgan apoyo de manera independiente a Juan cometi el

crimen. Qu quiere decir que el apoyo sea independiente? Que si elimino 2, 1 sigue

otorgndole cierto apoyo a la conclusin Juan cometi el crimen. Y lo mismo pasa

con 2, si yo elimino 1, aun cuando he eliminado 1, 2 le sigue otorgando cierto apoyo,

cierto fundamento, a la conclusin Juan cometi el crimen. Por supuesto que si uno

toma las dos en conjunto el apoyo que le otorgan a la conclusin es mayor. Este

argumento es un caso de argumento no deductivo. Porque el hecho de que hayan visto

entrar a Juan minutos antes de que se haya cometido el crimen y que las huellas

dactilares de Juan estn en lugar del crimen no permite inferir deductivamente de

manera necesaria que Juan cometi el crimen.

Algo que hay que notar es que las flechas indican la relacin de apoyo o de

fundamentacin, pero no distinguen entre apoyo deductivo y apoyo no deductivo. En

este caso lo que tenemos es una relacin de fundamentacin no deductiva. Pero

podramos tener la deductiva. Por ejemplo, supnganse que alguien me dice Esta

materia no la promociona nadie (todava no me lo dijeron pero seguramente lo dirn).

Entonces yo tomo la lista de notas y digo Miren, Juan Prez promocion, Mara

Gonzlez promocion, por lo tanto no es cierto que nadie promociona esta materia,

alguien promociona esta materia. Fjense que ac la premisa Juan Prez promocion

permite por s sola inferir deductivamente Hay alguien que promocion la materia o

lo que es equivalente No es cierto que nadie promocion la materia, y del mismo

modo Mara Gonzlez promocion la materia permite inferir de manera

independiente, deductivamente ahora, que No es cierto que nadie promocion la

materia. Es decir, en la tcnica de diagramacin de argumentos estndar la flecha

indica la relacin de apoyo o de pretensin de fundamentacin. Pero no distingue entre

pretensin de fundamentacin deductiva y no deductiva. Freeman, como vamos a ver

despus, soluciona esto agregando algn elemento ms a los elementos bsicos de un

diagrama en la tradicin estndar de diagramacin de argumentos. Por su parte,

Toulmin, en su diagrama, tiene un elemento que se llama modalizador que indica

explcitamente cmo se relacionan los fundamentos de la conclusin con la conclusin.

Bueno, veamos otra estructura bsica. Hay veces en que las premisas apoyan a la

conclusin pero en conjunto, no de manera independiente. Cada una por s sola no

otorga el apoyo pretendido a la conclusin. Este diagrama, esta estructura bsica se

llama enlazada:

A diferencia de lo que sucede con la estructura convergente, las premisas que en este

diagrama que ponemos como ejemplo son dos, pero podran que ser ms de dos

apoyan a la conclusin pero no de manera independiente sino de manera conjunta. De

manera que si eliminamos alguna de esas premisas ya no obtenemos el apoyo

pretendido para la conclusin. Un ejemplo sencillo. Vamos a tomar una modificacin

del argumento que pusimos para ejemplificar la estructura simple. Supongamos que la

primera premisa es Si Dios no existe, todo est permitido. Y la premisa dos es Dios

no existe y tres (la conclusin) es Todo est permitido.

1. Si Dios no existe, todo est permitido.

2. Dios no existe.

3. Todo est permitido.

Entonces tenemos dos premisas como en el caso anterior en la estructura convergente y

una conclusin. Pero a diferencia del caso anterior, si uno elimina alguna de las

premisas, por ejemplo si elimina Si Dios no existe, todo est permitido, de Dios no

existe no se sigue deductivamente que Todo est permitido. Y lo mismo sucede con

el caso de la otra premisa. Si uno elimina la otra premisa no se cumple la pretensin de

quien formul el argumento. Quien formul el argumento pretende que la conclusin se

infiera deductivamente de estas premisas de manera enlazada.

La idea es que uno puede realizar la diagramacin de argumentos en diferentes etapas

de la reconstruccin de un argumento. Como habamos visto la reconstruccin de

1

3

2

argumentos suele incluir la reposicin de premisas implcitas. Entonces antes de la

reconstruccin, el argumento que vimos en primer lugar tiene una estructura simple.

Dios no existe, por lo tanto todo est permitido. Pero si uno reconstruye este

argumento, se pregunta cul o cules son las premisas que uno sensatamente podra

suponer que estn implcitas y que quien formul el argumento tena en mente?

Podemos suponer que en el caso del argumento que vimos en primer lugar quien

formul el argumento dej implcita la premisa Si Dios no existe, todo est permitido.

Entonces, si realizamos la diagramacin de argumentos despus de la reconstruccin

tenemos que hacer figurar en el diagrama las premisas implcitas y distinguirlas de las

premisas explicitas. Bueno, esto lo tenemos que hacer con algn recurso grfico que

distinga los dos tipos de premisas. En el Copi tienen la siguiente convencin: un crculo

en el cual la lnea que marcan el permetro no es continua sino discontinua indica que

esa es una premisa implcita.

2 Premisa implcita

Entonces, si reconstruimos al argumento y queremos diagramar el argumento

reconstruido, nos va a interesar distinguir premisas implcitas de premisas explicitas.

Otra estructura bsica es la estructura divergente:

Estructura divergente:

1. El determinismo es verdadero.

2. Mis acciones no son libres.

3. Las oraciones contingentes referidas al futuro

tiene un valor de verdad definido en el presente.

1

3

2 3

1

Tengo una proposicin que fundamenta dos o ms conclusiones. Recuerden que aqu lo

que ponemos como ejemplo es el ms sencillo que puede existir de cada estructura

bsica. En este caso una misma premisa apoya dos o ms conclusiones diferentes.

Supongamos que 1 es la proposicin El determinismo es verdadero. Para

determinismo vamos a adoptar la definicin del autor que mencionamos en el primer

terico ukasiewicz, que define determinismo de la siguiente manera: determinismo

es la tesis segn la cual si una oracin es verdadera en un tiempo T es verdadera en todo

tiempo anterior a T. Se ve qu relacin hay con el determinismo en el sentido

intuitivo? Vean este ejemplo: Me ca en la calle hoy, eso es verdadero hoy a las diez

de la maana, pero si el determinismo es verdadero esa oracin ya fue verdadera en todo

tiempo pasado, ya estaba determinado en todo tiempo pasado y en todo tiempo pasado

la oracin tena el valor de verdad verdadero. ukasiewicz pretende precisar la nocin

de determinismo y entonces propone adoptar esta definicin precisa de determinismo

que se corresponde ms o menos bien con la caracterizacin intuitiva. Bueno, El

determinismo es verdadero, esta es la premisa. Y ella permite fundamentar dos

oraciones, la oracin Mis acciones no son libres y Las proposiciones contingentes

referidas al futuro tienen un valor determinado en el momento presente. Esta ltima

oracin tiene que ver con el problema que plantea Aristteles en De interpretatione, 9.

Si yo tengo una oracin como Maana llover en Buenos Aires, esa es una oracin

contingente, no es necesaria como Dos ms dos es igual a cuatro y es una oracin

referida al futuro. Aristteles en ese texto establece una relacin entre esta cuestin

semntica el valor de verdad de las oraciones contingentes referidas al futuro con

una cuestin metafsica que es la del determinismo o fatalismo. Si uno sostiene que las

oraciones contingentes referidas al futuro tienen un valor de verdad determinado

verdadero o falsoen el momento presente, entonces, segn Aristteles, se est

comprometiendo con el determinismo o con el fatalismo.

Otra estructura bsica, y no molestamos ms, es la estructura serial:

Estructura serial:

1. El determinismo es verdadero.

2. No soy causa primera de mis acciones.

3. No soy libre ni responsable de mis acciones.

1

3

2

En general los argumentos con algn grado de complicacin tienen conclusiones

intermedias. Por ejemplo, 1: El determinismo es verdadero permite concluir 2:

No soy causa primera de mis acciones y, a su vez, 2 apoya a 3: No soy libre ni

responsable de mis acciones. Entonces, tenemos que 1 apoya 2, que funciona

como conclusin intermedia, y a su vez 2 funciona como apoyo a 3, que funciona

como conclusin final. Este esquema es el ms sencillo que uno puede tener en

una estructura serial.

Estudiante: Si la 2 no estuviera, cuando reconstruyo debera ponerla como

implcita s o s?

Profesor: Uno puede realizar la diagramacin de argumentos en distintas etapas de

la reconstruccin del argumento. Justamente, una de las utilidades de la

diagramacin de un argumento es hacer explcito qu falta, qu premisas debera

uno reponer y hacer explcitas. Uno puede hacer la diagramacin en cualquier

momento del proceso de anlisis y reconstruccin. Podes hacer la diagramacin

del argumento tal como este est presentado y ah preguntarte: y qu falta?

Cmo se relaciona lo que falta con las otras premisas y con la conclusin?

La idea es que si la pretensin de quienes crearon esta teora estndar es exitosa,

entonces cualquier argumento complejo va a poder diagramarse como

combinacin de esas estructuras bsicas.

Vamos a tratar de aplicar esta tcnica en un argumento sencillo que aparece en las

Meditaciones metafsicas, tercera meditacin. Les leo el argumento:

Solo me queda por examinar de qu modo he adquirido esa idea [se refiere a la idea

de Dios], pues no la he recibido por los sentidos y nunca se me ha presentado

inesperadamente como las ideas de las cosas sensibles, cuando tales cosas se

presentan o parecen hacerlo a los rganos externos de mis sentidos. Tampoco es

puro efecto o ficcin de mi espritu, pues no est en m poder aumentarla o

disminuirla en cosa alguna y por consiguiente no queda sino decir que al igual que

la idea de m mismo ha nacido conmigo a partir del momento mismo en que yo he

sido creado.

Cul es la conclusin? Empecemos por ah.

Estudiante: Que la idea de Dios es innata.

Profesor: Que la idea de Dios es innata. Entonces, tenemos en el texto una

conclusin que podemos parafrasear como La idea de Dios es innata. Ahora

bien, cules son las premisas que Descartes trae a cuento para fundamentar esta

conclusin? Y, hay alguna premisa implcita?

Estudiante: No la percibo a travs de los rganos sensibles es una y No puede

ser una ficcin de mi espritu.

Estudiante: Porque no la puedo modificar.

Estudiante: Creo que hay una premisa implcita que es la caracterizacin de las

ideas, si son adquiridas o no.

Profesor: En relacin con este argumento en particular, cul parece ser la premisa

implcita respecto del origen de las ideas?

Estudiante: Hay ideas innatas

Profesor: Hay ideas innatas, ideas que provienen de los sentidos e ideas que son

ficciones del espritu. O sea que hay una premisa implcita en el argumento

cartesiano, implcita en este fragmento pero que es explcita en el contexto ms

amplio de las Meditaciones metafsicas, que afirma que o bien el origen de una

idea es sensible o bien es una idea innata o bien es una ficcin de mi espritu.

Cmo funcionan las restantes premisas explcitas?

Estudiante: Se descarta primero que sea de los sentidos y se da un fundamento

Estudiante: Dice no la puedo aumentar ni disminuir por lo tanto no es ficcin de

mi espritu.

Profesor: Entonces, tenemos una conclusin que es La idea de Dios es innata y

Cules son las premisas que pretenden otorgar el fundamento a esta conclusin? Una

implcita que es Las ideas pueden generarse en los sentidos o bien ser innatas o bien

ser ficciones del espritu, eso est presupuesto en este pasaje y explicitado en otras

partes de las Meditaciones metafsicas. Entonces lo que hacemos es un proceso de

eliminacin de alternativas y eliminamos la alternativa El origen de la idea de Dios es

sensible y hay una fundamentacin para esto, que es que la idea de Dios no se me

presenta inesperadamente al espritu cuando se me presenta a los sentidos como suele

suceder con las ideas sensibles. Eliminamos la otra alternativa que es La idea de Dios

es una ficcin de mi espritu. Cul es el fundamento que se otorga a esta proposicin?

Que no puedo aumentar ni disminuir en nada la idea de Dios, en conjuncin con la

proposicin implcita Las ideas ficticias pueden aumentarse o disminuirse a voluntad

o, Si no puedo agregar ni quitar nada a una idea, entonces esa idea no es una ficcin de

mi espritu. Yo tengo la idea de dragn, esta es una idea ficticia, y puedo agregarle o

quitarle notas, como la de ser verde. Pero no puedo hacer esto con la idea de Dios, y

entonces esto me prueba que no es una idea ficticia.

El argumento reconstruido es el siguiente:

1. La idea de Dios nunca se me ha presentado inesperadamente.

2. Las ideas de las cosas sensibles se presentan inesperadamente cuando tales cosas

se presentan, o parecen hacerlo, a los rganos externos de mis sentidos.

3. No he recibido la idea de Dios a travs de los sentidos.

4. No puedo agregar ni quitar nada a la idea de Dios.

[5] Si no puedo agregar ni quitar nada a una idea, entonces esa idea no es una

ficcin de mi espritu.

6. La idea de Dios no es una ficcin de mi espritu.

[7] Toda idea es, o bien innata, o bien una ficcin de mi espritu, o bien una idea

que he recibido de los sentidos.

8. La idea de Dios es innata en m.

Diagrama del argumento:

5

7

Como ven, no es fsica cuntica pero tiene cierta dificultad, de manera que los

aliento a que estudien este tema. Nosotros combinamos en este ejercicio

reconstruccin con diagramacin, hicimos la diagramacin luego de la

reconstruccin.

Cmo se relaciona esto con lgica formal? Vemos esto y terminamos. Cuando

ustedes avancen un poquito en el curso, en los prcticos van a ver un tipo de

argumentos que se llaman demostraciones o derivaciones. Es necesario notar que

en algunos textos, como el Gamut, se reserva el trmino demostracin para las

derivaciones a partir de cero premisas, es decir para las derivaciones a partir de un

conjunto vaco de premisas. Una demostracin de una frmula de la lgica

proposicional a partir de un conjunto de premisas consiste en una secuencia lineal

de frmulas que muestran cmo a partir de las premisas usando reglas de

inferencia uno puede obtener la frmula final de esa secuencia lineal. Parece

complejo pero no lo es. Supnganse que ustedes quieren demostrar que a partir del

conjunto de premisas {pq, p} las llaves indican conjunto es posible inferir

{qs}: en smbolos,

1 2

3

4

6

8

{(p q), p} (q s). Entonces lo que hacen es una demostracin, una

secuencia lineal de frmulas que comienza con las premisas, sigue con frmulas

que pueden obtenerse aplicando las reglas de inferencia a lneas anteriores de la

secuencia y termina con la frmula que constituye la conclusin del argumento:

1) (p q) Pr

2) p Pr

3) q De 1 y 2 x MP(modus ponens)

4) (q s) De 3xAdicin

Aplican la famosa regla de inferencia llamada modus ponens o modus ponendo

ponens.

Modus Ponens

( )

Una instancia de esta forma argumental es: Si est lloviendo, Juan est en el cine.

Est lloviendo. Por lo tanto, Juan est en el cine.

Bueno, entonces aplican esta regla de inferencia a 1 y 2 e infieren q en 3; a la

derecha indican como lo obtuvieron. Para obtener la conclusin utilizan otra regla

que indica que si ustedes tienen como premisa entonces pueden inferir ( ).

Adicin (Introduccin de la disyuncin)

( )

Por ejemplo: de Juan habla ingls es posible deducir Juan habla ingls o

francs, ya que no es posible que la premisa sea verdadera y la conclusin falsa.

Entonces ac aplican esa regla y adicionan s y eso sale de 3 por la regla de

introduccin de la disyuncin, el nombre clsico de la regla es Adicin. Esto es

una demostracin, es un argumento que muestra como obtener a partir de las

premisas una determinada conclusin aplicando las reglas de inferencia que tienen

en el sistema. Esto es, como ven, una secuencia lineal. Hay un orden lineal

indicado por nmeros naturales. Pero una demostracin tambin puede

diagramarse como estuvimos diagramando nosotros los argumentos del lenguaje

natural. Hay dos creadores independientes de esta presentacin de la lgica que se

llama deduccin natural, que son Gentzen, un alemn, y un polaco, Jakowski.

Jakowski usaba esta manera de presentar la deduccin natural, pero Gentzen en

su trabajo presenta las demostraciones bajo la forma de rboles, es decir que

cuando ustedes analizan al estilo Gentzen una demostracin, lo que hacen es un

rbol. Es decir, hacen esto que estamos haciendo ac. Cul sera el rbol de esta

demostracin? Bueno, la idea es sencilla:

Gentzen

(p q) p MP

q

Ad.

(q s)

Ponemos las premisas que pretenden fundamentar a una proposicin arriba de ella

e indicamos tambin como se relacionan esas premisas entre s. Gentzen no usa

flechas sino rayas horizontales. (pq) y p nos permiten inferir de manera

enlazada q, por eso las ponemos a las dos arriba de la raya horizontal. A su vez q

permite inferir por s solo (qs). A la derecha ponemos las reglas que utilizamos,

no necesitamos poner los nmeros porque se ve claramente cules son las

premisas para la aplicacin de la regla ya que figuran inmediatamente sobre la

lnea. La idea es que las demostraciones que van a aprender a hacer en las clases

prcticas pueden analizarse y diagramarse a la manera en que diagramamos los

argumentos del lenguaje natural. Bueno, terminamos aqu por hoy.