UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMÓN

FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍA

CARRERA DE INGENIERÍA CIVIL

ANÁLISIS DE SECCIÓNES CAJÓN Y VIGAS BPR EN PUENTES

CURVOS A TRAVÉS DE ESTUDIOS Y COMPARACIONES EN

RADIOS DE CURVATURA DE 50 – 100 M.

PROYECTO DE GRADO, PRESENTADO PARA OPTAR AL DIPLOMA ACADEMICO

DE LICENCIATURA EN INGENIERIA CIVIL

AUTOR:

GUERRERO ANAGUA IVAN FRANKLIN

TUTOR:

Ing. FLORERO ORTUÑO OSCAR

Cochabamba – Bolivia

2014

“BENDITOS SEAN LOS

OBSTACULOS, TAN SÓLO POR LA

SATISFACIÓN DE VENCERLOS”

Carlos Raúl Ondina

IV

ÍNDICE GENERAL

ÍNDICE GENERAL ......................................................................................................................... IV

ÍNDICE DE FIGURAS ..................................................................................................................... IX

ÍNDICE DE TABLAS .................................................................................................................... XIII

CAPITULO I INTRODUCCIÓN

1.1. INTRODUCCIÓN ....................................................................................................................... 1

1.2. ANTECEDENTES ...................................................................................................................... 2

1.3. JUSTIFICACIÓN ........................................................................................................................ 4

1.4. OBJETIVOS ................................................................................................................................ 5

1.4.1. Objetivo general ............................................................................................................. 5

1.4.2. Objetivos específicos...................................................................................................... 5

CAPITULO II PUENTES

2.1. CLASIFICACION DE PUENTES SEGÚN SU TRAZO GEOMETRICO ................................. 6

2.1.1. Puentes Rectos ................................................................................................................... 6

2.1.2. Puentes Oblicuos ................................................................................................................ 7

2.1.3. Puentes Curvos ................................................................................................................. 10

2.2. EJEMPLOS DE PUENTES CURVOS ...................................................................................... 13

2.2.1. Puente Antahuancana ....................................................................................................... 13

2.2.2. Puente Quebrada Honda ................................................................................................... 14

CAPITULO III PUENTES CURVOS DE SECCIÓN CAJÓN

3.1. VIGA CURVA ........................................................................................................................... 16

3.1.1. Ecuaciones de la Elástica ................................................................................................. 16

3.1.2. Transformación de Torque en las fuerzas seccionales de torsión .................................... 20

3.2. TORSION EN SECCION DE PARED DELGADA ................................................................. 26

3.2.1. Torsión Uniforme ............................................................................................................. 26

3.2.2. Torsión Alabeada ............................................................................................................. 31

3.2.3. Torsión Mixta ................................................................................................................... 37

3.3. FUERZAS DEL PREESFORZADO ......................................................................................... 42

3.3.1. Pretensado ........................................................................................................................ 42

3.3.2. Tendones en puentes curvos............................................................................................. 45

3.4. SECCIONES CAJÓN ................................................................................................................ 50

3.4.1. Secciones Cajón y Tipos ................................................................................................. 50

3.4.2. Distorsión de Secciones Cajón ......................................................................................... 53

3.4.3. Efectos arrastre por cortante ............................................................................................. 56

V

CAPITULO IV PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR

4.1. CONFIGURACION DE PUENTES CURVOS ......................................................................... 58

4.1.1. Uso de Acordes ................................................................................................................ 58

4.1.2. Configuración de Vigas I ................................................................................................. 60

4.1.3. Súper elevación y Sobreancho de curva ........................................................................... 61

4.2. DISEÑO PRELIMINAR ............................................................................................................ 63

4.2.1. Desplazamiento Cuerda Arco .......................................................................................... 63

4.2.2. Profundidad de Filete ....................................................................................................... 64

4.2.3. Exceso de inclinación ....................................................................................................... 67

4.2.4. Centro de gravedad de un arco ......................................................................................... 69

4.3. ANALISIS ESTRUCTURAL APROXIMADO ........................................................................ 70

4.3.1. Análisis como un perfil de marco recto ........................................................................... 70

4.3.2. Torsión ............................................................................................................................. 71

4.3.3. Momentos finales ............................................................................................................. 71

4.4. ANALISIS ESTRUCTURAL DE PUENTES CURVOS VIGA LOSA.................................... 72

4.4.1. Flexión Longitudinal ........................................................................................................ 72

4.4.2. Torsión ............................................................................................................................. 72

CAPITULO V MÉTODOS DE ANÁLISIS DE PUENTES CURVOS

5.1.INTRODUCCION ...................................................................................................................... 80

5.2.FORMAS DE CALCULO DE TABLEROS DE PUENTES ..................................................... 81

5.3.MÉTODOS DE CÁLCULO ....................................................................................................... 82

5.4.METODOS DE REPARTO TRANSVERSAL .......................................................................... 85

5.5.MÉTODO DE ANALISIS PUENTES CURVOS ...................................................................... 86

5.5.1.Losa Ortótropa Circular ..................................................................................................... 86

5.5.2. Método Emparrillado Plano Circular ................................................................................ 93

5.5.3. Lamina Plegada Circular ................................................................................................... 96

5.5.4. Método de los Elementos Finitos .................................................................................... 100

CAPITULO VI CARGAS EN PUENTES CURVOS 6.1. INTRODUCCION ................................................................................................................... 105 6.2. CARGAS PERMANENTES ................................................................................................... 106 6.2.1. Cargas muerta de los componentes estructurales .......................................................... 106 6.2.2. Carga de superficie de desgaste .................................................................................... 107 6.3. CARGAS TRANSITORIAS .................................................................................................... 108 6.3.1. Cargas Vehiculares ........................................................................................................ 108 6.3.2. Fuerza Centrifuga .......................................................................................................... 110 6.4. FUERZAS DEBIDAS A DEFORMACIONES ....................................................................... 112 6.4.1. Temperatura .................................................................................................................. 112 6.4.2. Fluencia y Retracción .................................................................................................... 115

CAPITULO VII DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR 7.1. INTRODUCCIÓN ................................................................................................................... 117 7.2. DESCRIPCION DEL PUENTE .............................................................................................. 118 7.2.1. Sección transversal ......................................................................................................... 118 7.2.2. Geometría en planta ....................................................................................................... 120 7.2.3. Materiales ....................................................................................................................... 120

7.3. ANALISIS Y DISEÑO DE LAS BARRERAS TIPO JERSEY .............................................. 121 7.3.1. Descripción .................................................................................................................... 121 7.3.2. Resistencia a flexión alrededor de un eje vertical de la barrera (Mw) ........................... 122 7.3.3. Resistencia a flexión alrededor de un eje paralelo al eje longitudinal (Mc) .................. 123 7.4. ANALISIS Y DISEÑO DEL TABLERO ................................................................................ 130 7.4.1. Dimensionamiento de la losa ......................................................................................... 130 7.4.2. Dimensionamiento de la losa interior ............................................................................ 130 7.4.3. Dimensionamiento de la losa voladizo curva exterior ................................................... 146 7.5. PROPIEDADES GEOMETRIAS ............................................................................................ 154 7.5.1. Propiedades geométrica viga BPR ................................................................................. 154 7.5.2. Propiedades geométricas sección compuesta ................................................................. 156 7.6. ANALISIS ESTRUCTURAL POR MÉTODO SIMPLIFICADO .......................................... 158 7.6.1. Análisis de cargas .......................................................................................................... 158 7.6.2. Factores de corrección por curvatura ............................................................................ 161 7.6.3. Factor de distribución para viga interior ....................................................................... 164 7.6.4. Momentos de flexión en vigas interior y exterior ......................................................... 165 7.6.5. Verificación de la sección ............................................................................................. 166 7.7. ANALISIS ESTRUCTURAL POR METODO DE ELEMENTOS FINITOS ........................ 167 7.7.1. Modelos computacionales ............................................................................................ 167 7.8. FACTORES Y COMBINACIONES DE CARGA .................................................................. 173 7.8.1. Modificadores de carga ......................................................................................................... 173 7.8.2. Combinaciones de carga y factores de carga .............................................................. 173 7.9. PREEESFUERZO .................................................................................................................... 173 7.9.1. Preesfuerzo inicial ....................................................................................................... 173 7.9.2. Preesfuerzo en modelo estructural .............................................................................. 174 7.10. VERIFICACION A TORSION ............................................................................................. 175 7.10.1. Torsión en vigas ........................................................................................................ 175 7.11. DISEÑO A CORTE Y TORSION ......................................................................................... 177 7.11.1. Diseño a torsión ........................................................................................................ 177 7.11.2. Verificación a corte ................................................................................................... 181 7.12. PÉRDIDAS Y PREESFUERZO FINAL ............................................................................... 183

VI

CAPITULO VI CARGAS EN PUENTES CURVOS 6.1. INTRODUCCION ................................................................................................................... 105 6.2. CARGAS PERMANENTES ................................................................................................... 106 6.2.1. Cargas muerta de los componentes estructurales .......................................................... 106 6.2.2. Carga de superficie de desgaste .................................................................................... 107 6.3. CARGAS TRANSITORIAS .................................................................................................... 108 6.3.1. Cargas Vehiculares ........................................................................................................ 108 6.3.2. Fuerza Centrifuga .......................................................................................................... 110 6.4. FUERZAS DEBIDAS A DEFORMACIONES ....................................................................... 112 6.4.1. Temperatura .................................................................................................................. 112 6.4.2. Fluencia y Retracción .................................................................................................... 115

CAPITULO VII DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR 7.1. INTRODUCCIÓN ................................................................................................................... 117 7.2. DESCRIPCION DEL PUENTE .............................................................................................. 118 7.2.1. Sección transversal ......................................................................................................... 118 7.2.2. Geometría en planta ....................................................................................................... 120 7.2.3. Materiales ....................................................................................................................... 120

7.3. ANALISIS Y DISEÑO DE LAS BARRERAS TIPO JERSEY .............................................. 121 7.3.1. Descripción .................................................................................................................... 121 7.3.2. Resistencia a flexión alrededor de un eje vertical de la barrera (Mw) ........................... 122 7.3.3. Resistencia a flexión alrededor de un eje paralelo al eje longitudinal (Mc) .................. 123 7.4. ANALISIS Y DISEÑO DEL TABLERO ................................................................................ 130 7.4.1. Dimensionamiento de la losa ......................................................................................... 130 7.4.2. Dimensionamiento de la losa interior ............................................................................ 130 7.4.3. Dimensionamiento de la losa voladizo curva exterior ................................................... 146 7.5. PROPIEDADES GEOMETRIAS ............................................................................................ 154 7.5.1. Propiedades geométrica viga BPR ................................................................................. 154 7.5.2. Propiedades geométricas sección compuesta ................................................................. 156 7.6. ANALISIS ESTRUCTURAL POR MÉTODO SIMPLIFICADO .......................................... 158 7.6.1. Análisis de cargas .......................................................................................................... 158 7.6.2. Factores de corrección por curvatura ............................................................................ 161 7.6.3. Factor de distribución para viga interior ....................................................................... 164 7.6.4. Momentos de flexión en vigas interior y exterior ......................................................... 165 7.6.5. Verificación de la sección ............................................................................................. 166 7.7. ANALISIS ESTRUCTURAL POR METODO DE ELEMENTOS FINITOS ........................ 167 7.7.1. Modelos computacionales ............................................................................................ 167 7.8. FACTORES Y COMBINACIONES DE CARGA .................................................................. 173 7.8.1. Modificadores de carga ......................................................................................................... 173 7.8.2. Combinaciones de carga y factores de carga .............................................................. 173 7.9. PREEESFUERZO .................................................................................................................... 173 7.9.1. Preesfuerzo inicial ....................................................................................................... 173 7.9.2. Preesfuerzo en modelo estructural .............................................................................. 174 7.10. VERIFICACION A TORSION ............................................................................................. 175 7.10.1. Torsión en vigas ........................................................................................................ 175 7.11. DISEÑO A CORTE Y TORSION ......................................................................................... 177 7.11.1. Diseño a torsión ........................................................................................................ 177 7.11.2. Verificación a corte ................................................................................................... 181 7.12. PÉRDIDAS Y PREESFUERZO FINAL ............................................................................... 183

DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR 7.1. INTRODUCCIÓN ................................................................................................................... 117 7.2. DESCRIPCION DEL PUENTE .............................................................................................. 118 7.2.1. Sección transversal ......................................................................................................... 118 7.2.2. Geometría en planta ....................................................................................................... 120 7.2.3. Materiales ....................................................................................................................... 120

7.3. ANALISIS Y DISEÑO DE LAS BARRERAS TIPO JERSEY .............................................. 121 7.3.1. Descripción .................................................................................................................... 121 7.3.2. Resistencia a flexión alrededor de un eje vertical de la barrera (Mw) ........................... 122 7.3.3. Resistencia a flexión alrededor de un eje paralelo al eje longitudinal (Mc) .................. 123 7.4. ANALISIS Y DISEÑO DEL TABLERO ................................................................................ 130 7.4.1. Dimensionamiento de la losa ......................................................................................... 130 7.4.2. Dimensionamiento de la losa interior ............................................................................ 130 7.4.3. Dimensionamiento de la losa voladizo curva exterior ................................................... 146 7.5. PROPIEDADES GEOMETRIAS ............................................................................................ 154 7.5.1. Propiedades geométrica viga BPR ................................................................................. 154 7.5.2. Propiedades geométricas sección compuesta ................................................................. 156 7.6. ANALISIS ESTRUCTURAL POR MÉTODO SIMPLIFICADO .......................................... 158 7.6.1. Análisis de cargas .......................................................................................................... 158 7.6.2. Factores de corrección por curvatura ............................................................................ 161 7.6.3. Factor de distribución para viga interior ....................................................................... 164 7.6.4. Momentos de flexión en vigas interior y exterior ......................................................... 165 7.6.5. Verificación de la sección ............................................................................................. 166 7.7. ANALISIS ESTRUCTURAL POR METODO DE ELEMENTOS FINITOS ........................ 167 7.7.1. Modelos computacionales ............................................................................................ 167 7.8. FACTORES Y COMBINACIONES DE CARGA .................................................................. 173 7.8.1. Modificadores de carga ......................................................................................................... 173 7.8.2. Combinaciones de carga y factores de carga .............................................................. 173 7.9. PREEESFUERZO .................................................................................................................... 173 7.9.1. Preesfuerzo inicial ....................................................................................................... 173 7.9.2. Preesfuerzo en modelo estructural .............................................................................. 174 7.10. VERIFICACION A TORSION ............................................................................................. 175 7.10.1. Torsión en vigas ........................................................................................................ 175 7.11. DISEÑO A CORTE Y TORSION ......................................................................................... 177 7.11.1. Diseño a torsión ........................................................................................................ 177 7.11.2. Verificación a corte ................................................................................................... 181 7.12. PÉRDIDAS Y PREESFUERZO FINAL ............................................................................... 183 7.12.1. Pérdidas del preesfuerzo ........................................................................................... 183 7.12.2. Perdidas dependientes del tiempo ............................................................................. 185 7.12.3. Acortamiento elástico............................................................................................... 186 7.12.4. Pérdidas por fricción ................................................................................................. 186 7.12.5. Pérdidas por acuñamiento de anclajes ....................................................................... 188 7.12.6. Pérdida total .............................................................................................................. 188 7.12.7. Preesfuerzo final ........................................................................................................ 189 7.13. VERIFICACION DE TENSIONES....................................................................................... 189 7.14. VERIFICACION ADICIONALES ........................................................................................ 191 7.14.1. Verificación a la rotura.............................................................................................. 191 7.14.2. Verificación a la fatiga .............................................................................................. 192 7.14.3. Límites de refuerzo ................................................................................................... 193 7.14.4. Refuerzo mínimo ....................................................................................................... 194 7.14.5. Armadura de piel ....................................................................................................... 195 7.14.6. Verificación de deflexiones ....................................................................................... 195 7.15. ARMADO Y TRAYECTORIA DE CABLES ...................................................................... 197 7.15.1. Armado viga postensada ............................................................................................ 197

VII

7.15.2. Coordenadas de vainas ............................................................................................... 198 7.15.3. Resumen de coordenadas de vainas ........................................................................... 200 7.16. ANALISIS Y DISEÑO DE DIAGRAGMAS ........................................................................ 201 7.16.1. Análisis y diseño estructural ...................................................................................... 201 7.16.2. Armadura de piel ........................................................................................................ 202 7.16.3. Armadura transversal ................................................................................................. 202

CAPITULO VIII DISEÑO PUENTES CURVOS CAJON 8.1.INTRODUCCIÓN .................................................................................................................... 204 8.2.DATOS PRELIMINARES ....................................................................................................... 205 8.2.1. Normas de diseño ........................................................................................................... 205 8.2.2. Materiales ....................................................................................................................... 205 8.3. DIMENSIONES PUENTE CURVO ....................................................................................... 206 8.3.1. Dimensiones en planta ................................................................................................... 206 8.3.2. Dimensiones en elevación .............................................................................................. 207 8.3.3. Dimensiones de la sección transversal ........................................................................... 209 8.3.4. Peso y volúmenes de las dovelas ................................................................................... 214 8.4. DESCRIPCION DEL TRAZADO DE CABLES .................................................................... 215 8.4.1. Descripción de cables longitudinales ............................................................................. 215 8.4.2. Trazado de cables de voladizo ....................................................................................... 215 8.5. CALCULO DE PERDIDAS DE PREESFUERZO ................................................................. 218 8.5.1. Pérdidas por fricción ...................................................................................................... 218 8.5.2. Pérdidas por deslizamiento de anclaje ........................................................................... 220 8.5.3. Acortamiento elástico..................................................................................................... 222 8.5.4. Perdida dependientes del tiempo .................................................................................... 224 8.5.5. Perdida totales ................................................................................................................ 225 8.6. DISEÑO ETAPA DE CONSTRUCCIÓN ............................................................................... 225 8.6.1. Verificación de los esfuerzos admisibles para t = 0 ....................................................... 225 8.6.2. Verificación de los esfuerzos admisibles para t = ∞...................................................... 230 8.7. CONTROL DE FLECHAS ...................................................................................................... 232 8.7.1. Introducción ................................................................................................................... 232 8.7.2. Evaluación de las flechas debido a la deformación lenta ............................................... 233 8.7.3. Calculo de las flechas ..................................................................................................... 235 8.8. ANALISIS ESTRUCTURAL PUENTE CAJON CURVO ..................................................... 237 8.8.1. Análisis de cargas .......................................................................................................... 237 8.8.2. Modelos estructurales ................................................................................................... 241 8.9. DISEÑO EN ETAPAS PERMANENTES ............................................................................... 247 8.9.1. Redistribución de momentos por fluencia ..................................................................... 248 8.9.2. Combinaciones de carga en estado de servicio ............................................................. 249 8.9.3. Verificación de esfuerzos en etapas .............................................................................. 252 8.9.4. Diseño de cables solidarios ........................................................................................... 252 8.10. DISEÑO DE LA SECCION TRANSVERSAL ..................................................................... 254 8.10.1. Diseño a corte .............................................................................................................. 254 8.10.2. Diseño a torsión .......................................................................................................... 257 8.10.3. Análisis estructurales de sección transversales ........................................................... 258 8.10.4. Diseño a flexión en secciones transversales ................................................................ 260 8.11. DISEÑO DE DIAFRAGMAS ............................................................................................... 263 8.11.1. Análisis y diseño ......................................................................................................... 263 8.11.2. Armadura de piel ......................................................................................................... 264

VIII

CAPITULO IX PROCESOS CONSTRUCTIVOS DE PUENTES CURVOS

9.1. VOLADOZ SUCESIVOS HORMIGONADOS IN SITU ....................................................... 266 9.1.1. Procedimiento constructivo ........................................................................................... 266 9.1.2. Ejecución de la dovela cero ........................................................................................... 268 9.1.3. Ejecución de dovelas ..................................................................................................... 269 9.1.4. Proceso de desmontaje del carro de avance .................................................................. 272 9.1.5. Dovela de cierre ............................................................................................................ 272 9.1.6. Tesado de cierre ............................................................................................................ 273 9.2. LANZAMIENTO DE VIGAS PREFABRICADAS ................................................................ 273 9.2.1. Procedimiento constructivo ............................................................................................ 273 9.2.2. Emplazamiento lugar de fabricación .............................................................................. 273 9.2.3. Colocación de armadura pasiva ..................................................................................... 274 9.2.4. Preparación de las vainas en el interior de las vigas ...................................................... 275 9.2.5. Encofrados y su colocación ............................................................................................ 276 9.2.6. Hormigonado ................................................................................................................. 277 9.2.7. Colocación de los torones y del anclaje activo .............................................................. 278 9.2.8. Tesado de los cables ....................................................................................................... 279 9.2.9. Inyección de lechada en la vaina .................................................................................... 280 9.2.10. Lanzamiento de vigas ................................................................................................... 280

CAPITULO X COMPARACIONES TÉCNICAS Y ECONÓMICAS 10.1. INTRODUCCIÓN ................................................................................................................ 281 10.2. COMPARACION TECNICA ESTRUCTURAL ................................................................. 282 10.2.1. Deformaciones .......................................................................................................... 282 10.2.2. Reacciones ................................................................................................................ 285 10.2.3. Demandas .................................................................................................................. 287 10.3. COMPARACION ECONÓMICA ........................................................................................ 291 10.3.1 Costos de ítems superestructuras ............................................................................... 291 10.3.2 Costo de superestructuras .......................................................................................... 294 10.3.3 Análisis y comparaciones ........................................................................................... 295

CAPITULO XI CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

11.1. CONLUSIONES ........................................................................................................... 296

11.2. RECOMENDACIONES ................................................................................................ 299

IX

ÍNDICE DE FIGURAS

Figura 1. 1: Viaduc du Quai de la Rapée (París, 1905) ............................................................... 3 Figura 1. 2: Puente Quebrada Honda (Camino Potosí-Tarija, 2012) ............................................ 4 Figura 2. 1: Puente Recto .............................................................................................................. 7 Figura 2. 2: Puente Oblicuo .......................................................................................................... 8 Figura 2. 3: Flechas diferentes de las Vigas Principales, en cortes ortogonales A y B ............... 8 Figura 2. 4: Losas Oblicuas, características más importantes ....................................................... 9 Figura 2. 5: Puente Curvo ........................................................................................................... 10 Figura 2. 6: Definición de Angulo Central ................................................................................. 11 Figura 2. 7: Modelo Tridimensional de columna vertebral puente curvo cajón ......................... 12 Figura 2. 8: Puente Antahuancana .............................................................................................. 13 Figura 2. 9: Dimensiones Viga Puente Antahuancana ................................................................ 14 Figura 2. 10: Puente Quebrada Honda ........................................................................................ 15 Figura 3. 1: Signos convencionales para la geometría y carga de viga curva ............................. 17 Figura 3. 2: Signos convencionales para las fuerzas seccionales................................................ 17 Figura 3. 3: Elemento diferencial de una viga curva .................................................................. 18 Figura 3. 4: Viga curva de un tramo y Esfuerzos........................................................................ 20 Figura 3. 5: Momentos de flexión y torsión en un elemento de viga diferencial ........................ 21 Figura 3. 6: Fuerzas de desviación debido a la viga curva ......................................................... 21 Figura 3. 7: Fuerzas de desviación de la compresión y tensión en una viga cajón .................... 22 Figura 3. 8: Flujo cortante en un elemento de viga curvada ....................................................... 23 Figura 3. 9: Fuerzas de Corte Torsionales .................................................................................. 23 Figura 3. 10: Fuerzas de Corte por Torsión y Fuerzas de desviación ......................................... 24 Figura 3. 11 Torsión de alabeo en una curva sección en doble T: .............................................. 24 Figura 3. 12: Torsión de St. Venant en una sección transversal cerrada ................................... 30 Figura 3. 13: Ejemplo de torsión Alabeada................................................................................. 32 Figura 3. 14: Torsión con alabeo ................................................................................................ 33 Figura 3. 15: Componentes de fuerza de pretensado .................................................................. 42 Figura 3. 16: Flujo cortante en una sección cajón....................................................................... 45 Figura 3. 17: Disposición de tendón viga isostática para compensar flexión y torsión .............. 47 Figura 3. 18: Fuerzas Transversales ............................................................................................ 47 Figura 3. 19: Fuerzas transversales en un elemento de viga ....................................................... 48 Figura 3. 20: Arreglo tendón Teórica en una viga compensar la flexión y torsión ..................... 49 Figura 3. 21: Disposición de los tendones de vigas continúas compensar la torsión .................. 50 Figura 3. 22: Conjunto de elementos de una viga cajón ............................................................. 50 Figura 3. 23: Ejemplos de secciones transversales de una sola célula ........................................ 51 Figura 3. 24: Ejemplos de secciones transversales multicelulares .............................................. 52 Figura 3. 25: Flexión de vigas cajón ........................................................................................... 53 Figura 3. 26: Distorsión de viga cajón ........................................................................................ 54 Figura 3. 27: Cargas excéntrica en secciones cajón .................................................................... 54 Figura 3. 28: Distorsión de sección cajón unicelular .................................................................. 55 Figura 3. 29: Arrastre por cortante en una viga cajón ................................................................. 56 Figura 3. 30: Factores anchura eficaces para arrastre por cortante en centro de vano ................ 57

X

Figura 4. 1. Arreglos de Vigas Prefabricadas de Puentes en Curvos .......................................... 61

Figura 4. 2. Desplazamiento de cuerda de arco .......................................................................... 63

Figura 4. 3. Efecto Filete en Vigas en I ...................................................................................... 65

Figura 4. 4: Efecto de la curva horizontal ................................................................................... 66

Figura 4. 5: Efectos de grado ...................................................................................................... 67

Figura 4. 6: Torcedura resultante del cambio de grado ............................................................... 68

Figura 4. 7: Centro de gravedad de Arco .................................................................................... 69

Figura 4. 8: Propiedades de una superficie curva plana .............................................................. 70

Figura 4. 9: Momentos extremo negativo que contrarrestar la torsión en vigas ......................... 71

Figura 4. 10: Torsión y curvatura ............................................................................................... 73

Figura 4. 11: Torsión de una viga simple curvada ...................................................................... 74

Figura 4. 12: Torsión de una viga continúa curvada ................................................................... 75

Figura 4. 13: Entramados simples ............................................................................................... 76

Figura 5. 1: Losa ortótropa.......................................................................................................... 81

Figura 5. 2: Laminada Plegada ................................................................................................... 82

Figura 5. 3: Emparrillado ............................................................................................................ 82

Figura 5. 4: Emparrillado y elemento finitos .............................................................................. 83

Figura 5. 5: Planta de la placa ortótropa ..................................................................................... 86

Figura 5. 6: Esfuerzos en un elemento diferencial de placa ........................................................ 87

Figura 5. 7: Matriz de rigidez de la viga j. Armónico n-simo. .................................................... 90

Figura 5. 8: Barra curva .............................................................................................................. 91

Figura 5. 9: Emparrillado plano .................................................................................................. 93

Figura 5. 10: Lamina tronco de cono .......................................................................................... 95

Figura 5. 11: Modelo de elementos finitos ................................................................................. 99

Figura 5. 12: Esfuerzos en placas ............................................................................................. 100

Figura 6. 1: Cargas de diseño AASHTO HL-93 ....................................................................... 109

Figura 6. 2: Diagrama de cuerpo libre de las fuerzas centrifugas ............................................. 111

Figura 6. 3: Elongación inducida por la temperatura ................................................................ 113

Figura 6. 4: Curvatura inducida por la temperatura .................................................................. 113

Figura 6. 5: Diseño del gradiente de temperatura ..................................................................... 115

Figura 7. 1: Sección transversal en mitad del tramo del puente................................................ 119 Figura 7. 2: Geometría en planta del puente ............................................................................. 120 Figura 7. 3: Dimensiones y armadura de barreras tipo jersey ................................................... 122 Figura 7. 4: Sección simplificada de barrera tipo jersey ........................................................... 122 Figura 7. 5: Flexión en secciones A1 y A2 de barreras jersey .................................................. 124 Figura 7. 6: Carga de choque en barreras jersey ...................................................................... 126 Figura 7. 7: Longitud de anclaje refuerzo de barreras jersey a losa .......................................... 128 Figura 7. 8: Detalle de barras de refuerzo barrera jersey ......................................................... 129 Figura 7. 9: Posición del máximo momento positivo ............................................................... 130 Figura 7. 10: Momentos por carga muerta en losa .................................................................... 131 Figura 7. 11: Momentos por barandas ...................................................................................... 132 Figura 7. 12: Momento por capa de rodadura ........................................................................... 132 Figura 7. 13: Línea de influencia apoyo B ................................................................................ 133 Figura 7. 14: Momento negativo por carga viva ....................................................................... 134 Figura 7. 15: Línea de influencia tramo AB ............................................................................. 136

XI

Figura 7. 16: Momentos positivos por carga viva ..................................................................... 137 Figura 7. 17: Espesor y peralte efectivo losa ............................................................................ 138 Figura 7. 18: Detalle de armado losa interior............................................................................ 142 Figura 7. 19: Sección fisura losa ............................................................................................... 143 Figura 7. 20: Momento producido por choque en losa ............................................................. 148 Figura 7. 21: Refuerzo de acero en losa exterior ...................................................................... 149 Figura 7. 22: Fuerzas de tensión en losa de borde .................................................................... 150 Figura 7. 23: Detalle de armado unión losa baranda ................................................................. 151 Figura 7. 24: Dimensiones viga ................................................................................................ 155 Figura 7. 25: Centro de Gravedad de la curva .......................................................................... 162 Figura 7. 26: Propiedades del grupo de apoyos viga ................................................................ 162 Figura 7. 27: Excentricidad carril cargado ................................................................................ 163 Figura 7. 28: Excentricidad de camiones de carga .................................................................... 163 Figura 7. 29: Modelo 1 emparrillado de vigas .......................................................................... 167 Figura 7. 30: Carga en joints modelo 3 ..................................................................................... 169 Figura 7. 31: Carril cargado ...................................................................................................... 171 Figura 7. 32: Características del camión de diseño ................................................................... 171 Figura 7. 33: Momento producido por fuerza centrifuga .......................................................... 172 Figura 7. 34: Cables de postensado en modelo computacional ................................................ 175 Figura 7. 35: Deformaciones y esfuerzos longitudinales seccion compuesta ........................... 177 Figura 7. 36: Coordenadas de vainas ........................................................................................ 197

Figura 8. 1: Vista en planta ....................................................................................................... 207 Figura 8. 2: Alturas h1, ho y h intermedias ................................................................................ 208 Figura 8. 3: Determinación ancho efectivo ............................................................................... 209 Figura 8. 4: Detalle geométrico de las cartelas ......................................................................... 212 Figura 8. 5: Sección transversal ................................................................................................ 213 Figura 8. 6: Posición de los cables en la sección cero .............................................................. 216 Figura 8. 7 Excentricidades por dovela ..................................................................................... 217 Figura 8. 8: Estados de carga para verificar esfuerzos .............................................................. 226 Figura 8. 9: Deformaciones y contra flechas de las dovelas ..................................................... 234 Figura 8. 10: Puente curvo continúo hiperestático .................................................................... 237 Figura 8. 11: Fuerza centrifuga ................................................................................................. 238 Figura 8. 12: Gradiente de temperatura vertical positivo en superestructuras de Hº ................ 240 Figura 8. 13: Modelo computacional por secuencia de construcción ....................................... 241 Figura 8. 14: Cargas debidas a barandas y rodadura en puentes ............................................... 243 Figura 8. 15: Posiciones de la carga viva en puentes ................................................................ 244 Figura 8. 16: Cargas por temperatura en CSiBridge ................................................................. 246 Figura 8. 17: Disposición de cables en modelo computacional ................................................ 247 Figura 8. 18: Momentos por fluencia lenta del concreto .......................................................... 248 Figura 8. 19: Fuerzas en Servicio I y II .................................................................................... 250 Figura 8. 20: Fuerzas en Servicio III y IV ................................................................................ 250 Figura 8. 21: Momentos por carga viva en dovelas .................................................................. 259 Figura 8. 22: Momentos por carga viva en dovelas .................................................................. 260 Figura 8. 25: Refuerzo requerido en alma interior .................................................................... 261

Figura 9. 1: Avance en forma de T ........................................................................................... 267 Figura 9. 2: Encofrado de la dovela 0 ....................................................................................... 267 Figura 9. 3: Ejecución de la dovela 0 etapa 1 ........................................................................... 268 Figura 9. 4: Ejecución de la dovela 0 etapa 2 ........................................................................... 268

XII

Figura 9. 5: Ejecución de la dovela 0 etapa 3 ........................................................................... 269 Figura 9. 6: Hormigonado de la dovela de cierre ...................................................................... 270 Figura 9. 7: Cables de pretensado en dovelas .......................................................................... 271 Figura 9. 8: Ejecución de la dovela de cierre ........................................................................... 272 Figura 9. 9: Mesa de apoyo ....................................................................................................... 274 Figura 9. 10: Enferrado de armadura pasiva ............................................................................. 274 Figura 9. 11: Replanteo de vainas ............................................................................................. 275 Figura 9. 12: Encofrados de viga .............................................................................................. 276 Figura 9. 13: Colocación de los cables de preesfuerzo en la viga............................................. 278 Figura 9. 14: Equipos de tesado ................................................................................................ 279

Figura 10. 1: Diagrama de barras de deformaciones en puentes curvos ................................... 283

Figura 10. 2: Deformaciones en z puentes curvos con sección cajón radio 50m ...................... 284

Figura 10. 3: Deformaciones en z puente curvo con vigas BPR radio 50m ............................. 284

Figura 10. 4: Deformaciones en z puentes curvos con sección cajón radio 100m .................... 284

Figura 10. 5: Deformaciones en z puente curvo con vigas BPR radio 100m ........................... 284

Figura 10. 6: Modelo puente curvo R=50m con vigas BPR ..................................................... 285

Figura 10. 7: Modelo puente curvo R=50m con sección cajón ................................................ 286

Figura 10. 8: Figura 10. 7: Modelo puente curvo R=100m con sección cajón ......................... 286

Figura 10. 9: Modelo puente curvo R=100m con vigas BPR ................................................... 287

Figura 10. 10: Momentos flextores en puentes curvo de R=50m ............................................. 289

Figura 10. 11: Momentos flextores en puentes curvo de R=100m ........................................... 290

Figura 10. 12: Cortantes y torsiones en puentes de curvos de R=50m y R=100m ................... 290

XIII

ÍNDICE DE TABLAS

Tabla 3- 1: Momentos flectores y torsores de Ejemplo 3.1 ........................................................ 22

Tabla 3- 2: Dominios de la torsión ............................................................................................. 41

Tabla 3- 3: Analogía de flexión y torsión alabeada .................................................................... 42 Tabla 4- 1 Radios y Desplazamientos de Diferentes Longitudes de Vigas ................................ 61 Tabla 4- 2: Radio mínimo absoluto en curvas horizontales ........................................................ 63 Tabla 4- 3: Ensanchamientos de calzadas ................................................................................... 64 Tabla 6- 1: Densidades de materiales ....................................................................................... 108 Tabla 6- 2: Combinaciones de carga y factores de carga .......................................................... 109 Tabla 6- 3: Valores de Vo y Zo de corrientes arriba ................................................................. 118 Tabla 6- 4: Presiones básicas PB correspondientes a VB = 160 km/h ....................................... 118 Tabla 6- 5: PB para diferentes ángulos de ataque (VB = 160 km/h) .......................................... 119 Tabla 6- 6: Rangos de temperatura ........................................................................................... 120 Tabla 6- 7: Gradientes de temperaturas .................................................................................... 121 Tabla 7- 1: Momentos flectores en losa interior ....................................................................... 134 Tabla 7- 2: Momento mayorados por resisttencia1 ................................................................... 137 Tabla 7- 3: Momentos estimados .............................................................................................. 166 Tabla 7- 4: Estimación del preesfuerzo fibra inferior ............................................................... 166 Tabla 7- 5: Cortantes y momentos modelo1 ............................................................................. 168 Tabla 7- 6: Modelo 2 losa curva por MEF ................................................................................ 168 Tabla 7- 7: Cortantes y momentos modelo2 ............................................................................. 169 Tabla 7- 8: Cortantes y momentos modelo3 ............................................................................. 170 Tabla 7- 9: Cortantes y momento modelo 4 y 5 ........................................................................ 172 Tabla 7- 10: Momentos torsores en vigas ................................................................................. 175 Tabla 7- 11: Deflexiones ........................................................................................................... 196 Tabla 7- 12: Coordenadas de vainas ......................................................................................... 200 Tabla 8- 1: Variación de la altura en función de la distancia .................................................... 208 Tabla 8- 2: Variación de espesores en la losa inferior .............................................................. 212 Tabla 8- 3: Tabla de propiedades de secciones transversales ................................................... 213 Tabla 8- 4: Propiedades físicas de las dovelas .......................................................................... 214 Tabla 8- 5: Excentricidades en secciones ................................................................................. 218 Tabla 8- 6: Perdidas por fricción en los cables ......................................................................... 220 Tabla 8- 7: Perdidas por deslizamiento de anclaje en los cables .............................................. 222 Tabla 8- 8: Pérdidas totales ....................................................................................................... 225 Tabla 8- 9: Esfuerzos en las fibras sección A ........................................................................... 228 Tabla 8- 10: Esfuerzos en las fibras sección B ......................................................................... 229 Tabla 8- 11: Esfuerzos en las fibras sección C ......................................................................... 229 Tabla 8- 12: Esfuerzos en las fibras sección D ......................................................................... 229 Tabla 8- 13: Esfuerzos en las fibras sección E.......................................................................... 229 Tabla 8- 14: Esfuerzos en las fibras sección F .......................................................................... 229 Tabla 8- 15: Esfuerzos en las fibras sección G ......................................................................... 230 Tabla 8- 16: Esfuerzos en las fibras sección H ......................................................................... 230

XIV

Tabla 8- 1: Variación de la altura en función de la distancia .................................................... 208 Tabla 8- 2: Variación de espesores en la losa inferior .............................................................. 212 Tabla 8- 3: Tabla de propiedades de secciones transversales ................................................... 213 Tabla 8- 4: Propiedades físicas de las dovelas .......................................................................... 214 Tabla 8- 5: Excentricidades en secciones ................................................................................. 218 Tabla 8- 6: Perdidas por fricción en los cables ......................................................................... 220 Tabla 8- 7: Perdidas por deslizamiento de anclaje en los cables .............................................. 222 Tabla 8- 8: Pérdidas totales ....................................................................................................... 225 Tabla 8- 9: Esfuerzos en las fibras sección A ........................................................................... 228 Tabla 8- 10: Esfuerzos en las fibras sección B ......................................................................... 229 Tabla 8- 11: Esfuerzos en las fibras sección C ......................................................................... 229 Tabla 8- 12: Esfuerzos en las fibras sección D ......................................................................... 229 Tabla 8- 13: Esfuerzos en las fibras sección E.......................................................................... 229 Tabla 8- 14: Esfuerzos en las fibras sección F .......................................................................... 229 Tabla 8- 15: Esfuerzos en las fibras sección G ......................................................................... 230 Tabla 8- 16: Esfuerzos en las fibras sección H ......................................................................... 230 Tabla 8- 17: Esfuerzo fibras en t = ∞ sección A ....................................................................... 230 Tabla 8- 18: Esfuerzo fibras en t = ∞ sección B ....................................................................... 231 Tabla 8- 19: Esfuerzo fibras en t = ∞ sección C ....................................................................... 231 Tabla 8- 20: Esfuerzo fibras en t = ∞ sección D ....................................................................... 231 Tabla 8- 21: Esfuerzo fibras en t = ∞ sección E ....................................................................... 231 Tabla 8- 22: Esfuerzo fibras en t = ∞ sección F........................................................................ 231 Tabla 8- 23: Esfuerzo fibras en t = ∞ sección G ....................................................................... 232 Tabla 8- 24: Esfuerzo fibras en t = ∞ sección H ....................................................................... 232 Tabla 8- 25: Planilla resumen deflexiones ................................................................................ 236 Tabla 8- 26: Bases para los gradientes de temperatura ............................................................. 239 Tabla 8- 27: Rangos de temperatura ......................................................................................... 240 Tabla 8- 28: Fuerzas en etapas de construcción ........................................................................ 242 Tabla 8- 29: Fuerzas debido a DC y DW .................................................................................. 243 Tabla 8- 30: Máximos y mínimos por carga viva y fuerza centrifuga ...................................... 245 Tabla 8- 31: Fuerzas debido a cargas de temperatura ............................................................... 246 Tabla 8- 32: Fuerzas debido al preesfuerzo .............................................................................. 247 Tabla 8- 33: Momentos por fluencia ......................................................................................... 249 Tabla 8- 34: Fuerzas en Resistencia I y II ................................................................................. 251 Tabla 8- 35: Fuerzas en Resistencia III y IV ............................................................................ 251 Tabla 8- 36: Verificación etapas de servicio ............................................................................. 252 Tabla 8- 37: Esfuerzos en cables solidarios .............................................................................. 253 Tabla 8- 38: Propiedades geométricas dovelas para torsión ..................................................... 256 Tabla 8- 39: Diseño a corte en dovelas ..................................................................................... 256 Tabla 8- 40: Calculo de refuerzo por cortante en dovelas ........................................................ 256 Tabla 8- 41: Calculo de refuerzo por torsión ............................................................................ 258 Tabla 8- 42: Refuerzo de acero provisto por corte y torsión .................................................... 258 Tabla 8- 43: Momentos flextores en dovelas ............................................................................ 259 Tabla 8- 44 Refuerzo requerido en losa superior ...................................................................... 260 Tabla 8- 45 Refuerzo requerido en losa inferior ....................................................................... 260 Tabla 8- 46 Refuerzo requerido en alma exterior ..................................................................... 261 Tabla 8- 47: Refuerzo de acero provisto en losa superior e inferior ......................................... 262 Tabla 8- 48: Refuerzo de acero provisto en alma interior y exterior ........................................ 262

Tabla 10- 1: Deformaciones en puentes curvo de R=50m y R=100m ...................................... 282 Tabla 10- 1: Deformaciones en puentes curvo de R=50m y R=100m ...................................... 282

Tabla 10- 2: Reacciones de apoyo puente curvo R=50m con vigas BPR ................................. 285

Tabla 10- 3: Reacciones de apoyo puente curvo R=50 con sección cajón ............................... 286

Tabla 10- 4: Reacciones de apoyo puente curvo R=100 con sección cajón ............................. 286

Tabla 10- 5: Reacciones de apoyo puente curvo R=100m con vigas BPR ............................... 287

Tabla 10- 6: Fuerzas máximas y mínimas en puentes curvos de R=50m y R=100m ............... 288

Tabla 10- 7: Costo de Hormigón tipo "A" R210 ...................................................................... 291

Tabla 10- 8: Costo de Hormigón tipo "P" ................................................................................. 291

Tabla 10- 9: Costo de Acero estructural ................................................................................... 292

Tabla 10- 10: Costo de Cable para pretensado 12v 1/2" ........................................................... 292

Tabla 10- 11: Costo de Inyección de cables ............................................................................. 293

Tabla 10- 12: Costo de barandas ............................................................................................... 293

Tabla 10- 13: Costo de lanzamiento de vigas ........................................................................... 293

Tabla 10- 14 Costo puente curvo con vigas BPR radio 100m .................................................. 294

Tabla 10- 15 Costo puente curvo cajo radio 100m ................................................................... 294

Tabla 10- 16 Costo puente curvo con vigas BPR radio 50m .................................................... 294

Tabla 10- 17 Costo puente curvo cajo radio 50m ..................................................................... 295

1

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Capítulo1

INTRODUCCIÓN

1.1. INTRODUCCIÓN

En el presente documento se propone una metodología para el análisis y diseño de

puentes curvos en vigas de sección cajón preesforzado y vigas BPR, basadas en el análisis

estructural mediante el método de elementos finitos MEF. Para efectuar tal desarrollo se

modelara los puentes con ayuda del programa CSiBridge con el cual se podrá obtener los

esfuerzos de las estructura y como también se podrá analizar la torsión de dichos

elementos. Una vez propuesta la metodología de análisis se procederá a estudiar el

comportamiento de las diferentes secciones para luego realizar el diseño de la viga cajón y

las vigas BPR para radios de curvatura horizontal de 50m y 100m.

Finalmente se realizara la comparación estructural de las dos secciones, después de un

análisis de procesos constructivos y costos para así poder determinar cómo conclusiones

cuál de las dos secciones es la que mejor se comporta en nuestro medio en radios

considerables y pequeños.

CAPITULO 1 INTRODUCCION

2

1.2. ANTECEDENTES

En los últimos años los diseños viales incluyen en sus propuestas la construcción de

puentes curvos esto como alternativa de solución a restricciones topográficas, urbanísticas y

geométricas. En grandes ciudades el puente es una necesidad latente específicamente en

zonas de gran cogestión vehicular y con grandes limitaciones geométricas.

Para el urbanista y el diseñador vial el puente curvo constituye una solución eficiente,

porque este permite cubrir grandes luces y proporcionar el peralte deseado a la vía al

tiempo que brinda condiciones estéticamente agradables.

No fue sino hasta la década de 1850 que se logró la construcción de la línea de

ferrocarriles Alpinos donde se podía ver que en su trazo se debían construir puentes en

curvas horizontales estos sin exceder los radios de curvatura mínima y asegurando siempre

la velocidad de transito atractivo, es así que en el puente Britania del Stephen se introdujo

por primera vez el hierro de soldadura. La aplicación inicialmente no coherente de las

florecientes teorías estáticas, y solo el conocimiento aproximado de los problemas de

estabilidad y los efectos dinámicos de las cargas ferroviarias afectaron a los puentes de

hierro provocando incertidumbres en los usuarios. Algunos desastres importantes, como el

colapso de la Taybrücke en Escocia en 1879 y la de la Birsbrücke Múnich en 1891 llevó a

un renacimiento de la construcción masiva de algunos puentes viejo los cuales fueron

sustituidos por puentes de hormigón [1].

Es así que a partir del siglo XX los puentes curvos han ganado popularidad ya que estos

se convirtieron en importantes elementos de enlaces de pasos elevados, autopista o

carreteras, un gran ejemplo es el Viaduc du Quai de la Rapée el cual fue construido para el

paso del metro de París en 1905, este está constituido por una curva cerrada con cerchas de

dos vanos continuos (Figura 1.1).

En la década de los años 30 el hormigón postensado es que entran en la construcción de

puentes y así también en la de puentes curvos estos en sección cajón comúnmente pero

también en emparrillados de vigas o trazos poligonales de vigas rectas las cuales

simplifican el trazo curvo.

CAPITULO 1 INTRODUCCION

3

Actualmente en Bolivia no existe una normativa para el diseño de puentes curvos

horizontales, por lo que convencionalmente se recurre al código de diseño AASTHO

(AASHTO, 2010) para su dimensionamiento. Las especificaciones para diseño de puentes

curvos horizontales del código AASHTO (en sus ediciones 1980, 1993 y 2003) es una de

las únicas normativas para este tipo de puentes, siendo el código japonés la otra alternativa

disponible a nivel mundial (Japan Road Association -JRA-, 1988) [2].

La Asociación Americana de Funcionarios de Carreteras y Transportación (AASHTO)

regula el diseño estructural de los puentes horizontalmente curvos a través Especificaciones

Guía para horizontalmente Curved. Esta guía fue desarrollada por el Consorcio de equipos

de investigación de la Universidad (CURT) en 1976 y fue publicado por primera vez por

AASHTO en 1980. En su primera edición, la guía de especificaciones incluye disposiciones

que se desarrolló por CURT y (LFD) las disposiciones que fueron desarrollados por

American Iron and Steel Institute bajo el proyecto 1900 de diseño factor de carga de diseño

por tensiones admisibles (ASD). Varios cambios se han hecho a las especificaciones de

guía desde 1981. En 1993 una nueva versión de las especificaciones de guía fue publicada

por AASHTO. Sin embargo, estas nuevas especificaciones no incluyen la última

investigación extensa en esta área [3].

El sistema de carretera de Bolivia en la Red Fundamental en los últimos tiempos se

podido observar que en sus trazos geométricos se incluyen puentes en curvas horizontales

Figura 1. 1: Viaduc du Quai de la Rapée (París, 1905)

CAPITULO 1 INTRODUCCION

4

estos como alternativa de pasos a quebradas pronunciadas o depreciaciones topográficas

uno de los recientes puentes curvos que se construyeron en nuestro país es el Puente

Quebrada Honda que se muestra en la (Figura 1.2).

La experiencia a lo largo de los años ha mostrado que la sección cajón unicelular ha

tenido un mejor desempeño esto por su gran rigidez a flexión y torsión, su naturalidad, y

esbeltez, además del efecto estético. Por otro lado, el cálculo y la dificultad de construcción

son parámetros que todavía siguen en estudio y debatidos.

1.3. JUSTIFICACIÓN

La investigación tiene como propuesta buscar, mediante la aplicación de la teoría y los

conceptos básicos de los puentes encontrar explicaciones a las diferentes situaciones,

limitantes en las dimensiones, ventajas y desventajas que ofrecen las secciones tipo cajón y

vigas BPR en puentes curvos horizontales.

Para lograr el cumplimiento de los objetivos de estudio se usaran técnicas de

investigación como instrumento para analizar la sección más adecuada en puentes curvos, a

través de comparaciones técnicas en base a comportamiento teóricos en la estructura de los

puentes curvos que se observaran a lo largo de la investigación, tomando en cuenta también

el tiempo y costo de ejecución de los mismos.

Figura 1. 2: Puente Quebrada Honda (Camino Potosí-Tarija, 2012)

CAPITULO 1 INTRODUCCION

5

De acuerdo con los objetivos de la investigación, su resultado permitirá encontrar

soluciones concretas a problemas en la selección de la sección más adecuada en puentes

curvos para radios de 50 – 100 m. que inciden en el correcto funcionamiento de dichos tipo

de puentes.

1.4. OBJETIVOS

1.4.1. Objetivo general

Realizar el análisis y diseño de secciones tipo cajón y vigas BPR, para determinar el

comportamiento estructural y ver cuál de ellas es la más apropiada para su construcción en

radios de curvatura de 50 y 100m

1.4.2. Objetivos específicos

Describir los conceptos de análisis estructural de puentes curvos y sus métodos

Analizar estructuralmente puentes curvos de radios de 50m y 100m con secciones

cajón y vigas BPR.

Diseñar las superestructuras de puentes curvos con secciones cajón y vigas BPR en

radios de 50m y 100m.

Describir un proceso constructivo para la ejecución de puentes curvos en sección

cajón y vigas BPR

Comparar técnica y económicamente las secciones cajón y las vigas BPR en puente

curvos de radio de 50 y 100 m.

6

1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111

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1Capítulo2

PUENTES

2.1.CLASIFICACION DE PUENTES SEGÚN SU TRAZO GEOMETRICO

2.1.1. Puentes Rectos

Un puentes es ortogonal (Figura 2.1) cuando el ángulo formado por el eje de la vía con

el eje del obstáculo es recto (∝ = 90º), estos son construidos generalmente en nuestro

medio de concreto armado o hormigón preesforzado. 111111111111111111111111

Los puentes 1rectos pueden presentar una variada forma en cuanto a su sección

transversal se refiera, pero esto dependerá mucho del claro que uno quiera salvar o el

obstáculo que quiera pasar, el uso del postensado es muy común en este tipo de estructura

pudiendo así poder alcanzar luces hasta 45m, su forma de sección de las vigas por lo

general son casi parecidas a las de una I dado le así un resistencia muy alta a la flexión, sin

1 La primordial ventaja de los tramos rectos de Hº ºAº sobre las bóvedas de fábricas o arcos de Hº ºAº, es

que aquéllos sólo producen reacciones verticales en los apoyos y permiten, por lo tanto, reducir sensiblemente

el volumen de pilas y estribos, y sobre todo el de sus cimientos, que suelen ser factores decisivos en los

presupuestos [6].

CAPITULO 2 PUENTES

7

embargo, vigas de fundición en el lugar monolíticas con la losa de cubierta (viga T) son

utilizadas en claros hasta 20m, pero en tramos relativamente menor a los 12 m los puente

losa suelen ser económicamente rentables. [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8]

Figura 2. 1: Puente Recto

El análisis estructural de puentes ortogonales se lo puede realizar siguiendo métodos

tradicionales como el cálculo de líneas de influencia siguiendo el Teorema de Müller que

nos dice que la “Línea de Influencia es proporcional a la deformación producida por la

carga”. Sin embargo en los últimos tiempos gracias a los avances de los ordenadores es que

existe en el mercado programas computacionales que realizar el análisis estructural de

puentes mediante método de los elementos finitos los cuales son más precisos.

2.1.2. Puentes Oblicuos

Los puentes esviajados (Figura 2.2) son aquellos donde el eje de la estructura con el eje

del obstáculo forma un ángulo distinto a noventa (∝≠90º). Estos tipos de puentes no

presentan mucha dificultad si estos llevan vigas; sin embargo, cuando es el caso de una losa

la cual está simplemente apoyada los esfuerzos que se generan en ella se presentan de una

forma muy diferente a la de una losa recta, las fuerzas aumentan y todo esto dependerá del

ángulo de oblicuidad que tenga el puente.

CAPITULO 2 PUENTES

8

Para ángulos de cruce ∝ que estén en el rango de valores de 60 ≤∝≤ 90, puentes con

vigas-losa oblicuos pueden ser calculados y dimensionados, con suficiente exactitud, como

puentes rectangulares. Solamente en las esquinas obtusas, el apoyo extremo debería

dimensionarse con un incremento de las cargas verticales de aproximadamente 1/sen∝

según [7] . Para menores valores de ángulo ∝, las diferencias de flecha de las vigas

principales en sentido ortogonal como se los muestra en la Figura 2.3 adquiere mucha

importancia, porque según el grado de empotramiento que tenga la losa de tablero se

originara torsión en las almas de las vigas principales, todo esto dependerá de la relación de

rigidez a torsión entre la rigidez a la flexión de dichas vigas, mientras mayor sea el valor

mayor torsión abra en ellas. El analisis de estos tipos de puentes se lo puede realizar

mediante los métodos aproximado del reglamento (AASHTO-LRFD2012) o por métodos

más modernos como el de los elementos finitos los cuales son ampliamente explicados en

el Capitulo5

.

Figura 2. 3: Flechas diferentes de las Vigas Principales, en cortes ortogonales A y B

Figura 2. 2: Puente Oblicuo

CAPITULO 2 PUENTES

9

En los puentes de losas oblicuas las cargas que se transmiten a los apoyos tratando de

seguir el camino más corto para llegar a ellos. Entonces se puede observar que los planos

de esfuerzos máximos no son paralelos al eje del camión con lo que la deformación de losa

esviajada tendera a la de una superficie alabeada [8]. La determinación de esfuerzos de esta

estructura actualmente ya no es un problema eso gracias a los numerosos elementos

auxiliares que fueron elaborados con ayuda de los computadores, tales como líneas de

influencia de los momentos, hasta programas de elementos finitos. Por lo tanto el

proyectista y el constructor deben tener un conocimiento esencial sobre el comportamiento

de losas oblicuas, los valores que más influyen en el comportamiento estructural son los

que se muestra en la (Figura 2.4):

Angulo de cruce ∝ de aproximadamente 20º hasta 70º; para α>70º, la influencia

de la oblicuidad puede ser despreciada

Relación 𝑏/𝑙 donde 𝑏 = ancho de la losa perpendicular al eje del puente , 𝑙 =

luz perpendicular a la líneas de apoyo

Forma de apoyo: apoyo lineal que permite giro alrededor de línea del apoyo, o

apoyos individuales de libre giro y distancia entre estos apoyos, o

empotramientos extremos en las paredes de los estribos. En lo que sigue se ha

supuesto en primer lugar apoyos lineales articulares.

Figura 2. 4: Losas Oblicuas, características más importantes

CAPITULO 2 PUENTES

10

2.1.3. Puentes Curvos

Los 2puentes curvos (Figura 2.5) son aquellos donde el ángulo ∝ varia a lo largo del eje

del puente este puede ser construido con vigas curvas o rectas en función de su curvatura,

los puentes viga losa no son los más adecuados para este tipo, porque la curvatura origina

torsión que puede ser absorbida de mejor manera mediante una viga cajón o losas, pese a

ello se han construido muchos puentes curvos con viga placa en nuestro medio, por lo tanto

esto es posible dentro de ciertos límites determinados en primera instancia por el ángulo al

centro ∝ entre los apoyos, en tanto que el radio de curvatura influye menos.

Las características principales de este tipo de puentes son los exigidos radios de

curvatura; sus cantos deben estar desde 0.8m hasta 2.2m y la luz que puede cubrir debe

estar ente 20m y 42 m. Estas estructuras son utilizadas en esquemas isostáticos e

hiperestáticos, puentes curvos de radio constante y tramos rectos, se pueden realizar en

canto constante o variable.

En el caso de puentes curvos con viga losa de un solo tramo el ángulo al centro no debe

exceder a los veinte grados ∝≤ 20º, para viga continuas no se deberá ángulos al centro

mayores que cuarenta ∝≤ 40º por tramo. Robustas vigas transversales (diafragmas) en los

2 Los puentes con incluso ligera curvatura pueden desarrollar grandes fuerzas radiales en los cojinetes de

apoyo. Por lo tanto, Se recomienda el análisis térmico de todos los puentes curvos. [A2012]

Figura 2. 5: Puente Curvo

CAPITULO 2 PUENTES

11

apoyos son adecuados. Otro de los parámetros que deben ser tomar en cuenta en puentes

curvos con vigas sesgadas es el desplazamiento de la cuerda respecto al eje curvo el cual es

visto en el Capítulo 4.

Puentes Curvos con sección cajón son los más adecuados ya que estos siguen la curva y

además tienen una gran rigidez a la torsión. Según el reglamento AASTHO-LRFD 2012

estos puentes podrán ser calculados por los factores de dicha norma si este tiene un ángulo

central mostrado en la (Figura2.6) no mayor que 34º. En puentes donde el ángulo ∝ es

menor que 12º podrán ser estos calculados como si fueran rectos ya que la curvatura no

tiene mucha incidencia en ellos, un modelo estructural de marco plano podrían ser el más

ideal para este.

Figura 2. 6: Definición de Angulo Central

Múltiples vanos de puentes curvos de sección cajón que se encuentren en el rango

numérico de 12 ≤∝≤ 34 pueden ser calculados como una columna vertebral compuesta

por segmentos rectos los cuales tengan un ángulo central mayor que 3.5º mostrados en la

Figura 2.7. Los diafragmas en puentes curvos son considerados elementos importantes en la

estructura estos deben ser dispuestos tanto en el comienzo del tramo es decir en el apoyo

como en los tramos intermedios esto por el motivo de proporcionar resistencia a la torsión

y apoyar las losas en los puntos de discontinuidad o en los puntos angulares.

CAPITULO 2 PUENTES

12

Figura 2. 7: Modelo Tridimensional de columna vertebral puente curvo cajón

Puentes curvos metálicos son también utilizados, estos tienen un mejor comportamiento

que los puentes de concreto ya que con estos se puede reducir de gran manera el peso de la

estructura en consecuencia la torsión.

En diferentes estados de Norte América (USA) estos puentes son muy usados esto por

la facilidad del proceso constructivo ya que las piezas pueden ser acomodadas según la

curva sin ningún problema, sin embargo estas estructuras tienen un alto costo de

mantenimiento, al estar en la intemperie sufren de corrosión. Actualmente en nuestro medio

no existen puentes curvos metálicos por la razón del alto costo de perfiles metálicos y

además de no poseer en el mercado una variedad de secciones de perfiles, pero también se

puede mencionar que existe una gran cantidad de investigaciones sobre este tipo; además,

de existir normativas coma las especificaciones de las AASHTO CURVED STELL que

están siendo constantemente actualizadas.

CAPITULO 2 PUENTES

13

2.2. EJEMPLOS DE PUENTES CURVOS

2.2.1. Puente Antahuancana3

El puente Antahuancana (Figura 2.8) se encuentra ubicado sobre la ruta fundamental 4,

a 116 km desde la ciudad de Cochabamba. Esta estructura fue construida en la década de

los años setenta, está compuesto por tres tramos isostáticos, el primero (lado Cochabamba)

es de 26.00 metros, al medio de 20.00 metros y el ultimo (lado Santa Cruz) es de 20.00

metros, teniendo así el puente una longitud de 66 metros.

Figura 2. 8: Puente Antahuancana

La infraestructura está compuesta por dos estribos y dos pilas, la pila del lado de

Cochabamba tiene una altura de 19.80 metros y la del lado Santa Cruz tiene una altura de

14.70 metros. El puente se encuentra en una Curva horizontal de 114.59 m de radio donde

el peralte de la misma es del 10%, teniendo también una pendiente longitudinal 7%. El

ancho de carril del mismo es de 3.50 para un tránsito bidireccional, el sobre ancho de curva

exterior es de 1m. La superestructura está conformada por cuatro vigas BPR donde las

dimensiones de las mismas es mostrados en la (Figura 2.9) la separación de ellas son de 2m

la losa de tablero tiene un espesor de 20 cm y tiene la forma de curva en planta la mayor

longitud de voladizo en la curva exterior es de 80 cm y de 120 cm en la interior.

3 Los datos fueron obtenidos de diapositivas de la empresa ALVAREZ Ltda.

CAPITULO 2 PUENTES

14

Figura 2. 9: Dimensiones Viga Puente Antahuancana

El puente hasta antes del año 2012 sufría un deterioro en las pilas ya que estas tenían

deformación alta mente visibles, se presume que esto fue generado por un aparente

movimiento, o bien del talud del estribo lado Cochabamba o bien del talud del estribo lado

Santa Cruz, que genera un empuje sobre la superestructura del puente, sus apoyos y por

ende también la infraestructura para el cual no fueron diseñados. Es así que la empresa

Álvarez Ltda como manera de reforzar el puente implementa un arco con micro pilotes

lado Santa Cruz y fundación directa lado Cochabamba, donde este tiene la función de

estabilizar los apoyos intermedios.

2.2.2. Puente Quebrada Honda

El puente Quebrada Honda es una de las obras de arte del camino carretero Los

Libertadores está ubicado en la progresiva 43+300 del frente 1 tramo II Lecori – Camargo.

La estructura tiene una longitud de 190 m en tres tramos: tramo central de 80 m y tramos

extremos de 55 m. La infraestructura4 está constituida por dos pilas de hormigón armado de

16,36 m (lado Potosí) y 22,0 m (lado Tarija),cabezal o encepado de pilotes y pilotes de 1,20

m de diámetro con base ensanchada a 2,10 m y 10,0 m de longitud, en los extremos se

tienen estribos de hormigón armado con fundación directa.

4 Datos de la infraestructura en http://connalsrl.com/

CAPITULO 2 PUENTES

15

Figura 2. 10: Puente Quebrada Honda

La superestructura ejecutada mediante la técnica de volados sucesivos está constituida

por 11 dovelas que se ejecutan a ambos lados de las pilas partiendo de las dovelas de

arranque haciendo un total de 44 dovelas, adicionalmente se tiene la dovela clave o de

cierre, con lo cual se tiene un total de 45 dovelas de 3,0 m con una longitud de 135,0 m.

Las dovelas de arranque sobre ambas pilas tienen una longitud de 11,0 cada una,

haciendo un total de 22,0 m, con lo cual se tiene una longitud de 157,0 m. Finalmente se

tienen los tramos extremos vaciados en sitio con una longitud de 16,5 m cada uno haciendo

un total de 33,0 m, con lo cual se completa la longitud total de la superestructura a 190,0 m.

16

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1Capítulo3

PUENTES CURVOS DE SECCIÓN CAJÓN

3.1. VIGA CURVA

3.1.1. Ecuaciones de la Elástica

El método simplificado de análisis para una viga curva en esta sección es solamente

válido cuando el eje del puente es un arco circular de radio constante o cuando se tiene

curvas circulares simples. Sin embargo no es el único caso también existe curvas

horizontales donde el radio puede variar a lo largo de la longitud del puente, esto es el caso

de curvas circulares compuestas y curvas helicoidales. Para estos casos se puede considerar

un radio constante promedio que puede ser asumido por cada tramo, lo que hace posible el

uso de los cálculos simplificados propuestos.

Las convenciones de notación son mostradas en la (Figura 3.1) donde 𝑠 es el eje de la

viga curva, 𝑟 el radio de curvatura, 𝜑 ángulo de apertura, 𝑞 carga vertical, 𝑒 excentricidad

de la carga y 𝑡 el esfuerzo de torsión externa. .111111111111111111111111

CAPITULO 3 PUENTES CURVOS CAJÓN

17

Figura 3. 1: Signos convencionales para la geometría y carga de viga curva

Figura 3. 2: Signos convencionales para las fuerzas seccionales

Las ecuaciones de equilibrio para el elemento diferencial de una viga curva que se

muestra en la (Figura 3.3) son:

𝑑𝑉 + 𝑞𝑑𝑠 = 0 (a)

𝑑𝑇 + 𝑀𝑑𝜑 + (𝑒 ∙ 𝑞 + 𝑡)𝑑𝑠 = 0 (b)

𝑑𝑀 − 𝑇𝑑𝜑 − 𝑉𝑑𝑠 = 0 (c)

CAPITULO 3 PUENTES CURVOS CAJÓN

18

Figura 3. 3: Elemento diferencial de una viga curva

Si dividimos cada ecuación entre 𝑑𝑠 y sustituyendo 1/𝑟 por 𝑑𝜑/𝑑𝑠 se obtiene entonces

las siguientes tres ecuaciones:

𝑑𝑉

𝑑𝑠= −𝑞

(d)

𝑑𝑇

𝑑𝑠+

𝑀

𝑟= −𝑒 ∙ 𝑞 − 𝑡

(e)

𝑑𝑀

𝑑𝑠−

𝑇

𝑟= 𝑉

(f)

Derivando la ecuación (f) respecto de 𝑠 y sustituyendo la ecuación (d) en ella, se

obtiene el siguiente par de ecuaciones diferenciales:

𝑑2𝑀

𝑑𝑠2= − (𝑞 −

1

𝑟

𝑑𝑇

𝑑𝑠)

(g)

𝑑𝑇

𝑑𝑠= − (

𝑀

𝑟+ 𝑒 ∙ 𝑞 + 𝑡) = −𝑚𝑡

(3. 1)

donde 𝑚𝑡 es el momento de torsión total equivalente

Una solución iterativa de la ecuación (g) y (e) se puede desarrollar dividiendo la

expresión (e) entre 𝑟 donde:

CAPITULO 3 PUENTES CURVOS CAJÓN

19

−1

𝑟

𝑑𝑇

𝑑𝑠=

𝑀

𝑟2+

𝑒 ∙ 𝑞

𝑟+

𝑡

𝑟

(h)

si expresamos 𝑀 como una función lineal de 𝑞𝑙2, entonces podemos reescribir la ecuación

como:

−1

𝑟

𝑑𝑇

𝑑𝑠=

1

𝑟2

𝑞 ∙ 𝑙2

𝐶+

𝑒 ∙ 𝑞

𝑟+

1

𝑟= 𝑞 (

𝑙2

𝑟2𝐶+

𝑒

𝑟+

𝑡

𝑟 ∙ 𝑞)

Asumiendo 𝑙 < 𝑟, 𝑒 < 𝑟 y 𝑡/𝑟 < 𝑞, se deduce entonces que el lado izquierdo de la

ecuación (h) es pequeño en relación a 𝑞. Por lo tanto, el término 𝑑𝑇/𝑟 𝑑𝑠 pueden

despreciarse en la ecuación (g) que se transforma en:

𝑑2𝑀1

𝑑𝑠2= −𝑞

(i)

Entonces los momentos de flexión de la viga curva son igual a 𝑀1, los cuales son

aproximadamente iguales a los momentos en una viga recta de longitud igual al arco. Una

primera aproximación de los momentos de torsión se obtiene por la sustitución de la

solución de la ecuación (i) en la ecuación (e):

𝑑𝑇1

𝑑𝑠= −(

𝑀1

𝑟+ 𝑒 ∙ 𝑞 + 𝑡)

(j)

Esta es la ecuación de equilibrio de torsión de una barra recta, que de este modo se

puede resolver utilizando los métodos clásicos de la mecánica estructural. El término 𝑀1/𝑟

es normalmente la carga dominante en esta ecuación.

La estimación inicial de 𝑀1 puede ser refinado por la medio de la sustitución de 𝑇1 en la

ecuación (g)

𝑑2𝑀2

𝑑𝑠2= − (𝑞 −

1

𝑟

𝑑𝑇1

𝑑𝑠)

El cálculo iterativo converge rápidamente pero este método aproximado normalmente

no satisface la compatibilidad cuando se usa para los sistemas estáticamente

indeterminados, para los que se obtiene una solución exacta sólo cuando la relación de

rigidez a la flexión con la rigidez a la torsional 𝐸𝐼/𝐺𝐾 es igual a 0. El método hace; sin

CAPITULO 3 PUENTES CURVOS CAJÓN

20

embargo, satisfacer el equilibrio. La solución calcula utilizando el método aproximado por

lo tanto corresponde a una pequeña redistribución de las fuerzas en sección de la solución

exacta.

Ejemplo 3.1.

La viga se muestra en la figura 3.4a. Giro es restringido en ambos extremos; flexión

rotaciones son restringidos en un extremo. Una carga uniformemente distribuida se aplica

sobre toda la longitud. Se supone que 𝑙/𝑟 = 0.2 y 𝐼𝐸 / 𝐺𝐾 = 1.0. Los resultados de la

análisis se dan en la figura 3.4b, y en la tabla 7.1. Los resultados del aproximado análisis

coinciden estrechamente con la solución exacta.

Figura 3. 4: Viga curva de un tramo y Esfuerzos

Sección M1 T1 M T

A

1

2

3B

-125.00

0.00

62.50

62.50

0.00

0.00

2.87

0.78

-2.34

-4.17

-125.00

-0.28

62.46

62.55

0.00

-0.02

2.86

1.05

-2.34

-4.16 Tabla 3- 1: Momentos flectores y torsores de Ejemplo 3.1

3.1.2. Transformación de Torque en las fuerzas seccionales de torsión

La suma vectorial de los momentos de flexión 𝑀 y 𝑀 + 𝑑𝑀 en un elemento

diferencial de una viga curvada se denota 𝑚𝑡 𝑑𝑠 (Fig. 3.5). Debido a que es tangente al eje

longitudinal del elemento, 𝑚𝑡 𝑑𝑠 pueden considerarse como un par de torsión. Es evidente

que a partir del triángulo de fuerza se muestra en la figura 3.5 que 𝑚𝑡 = 𝑀/𝑟. Esta

CAPITULO 3 PUENTES CURVOS CAJÓN

21

expresión también se puede formular teniendo en cuenta las fuerzas de desviación que

actúan sobre el elemento, que se define como la suma vectorial de las fuerzas de

compresión y de tracción de flexión, respectivamente (Fig. 3.6). Las fuerzas de desviación

se formulan de la siguiente manera:

𝑞𝐷𝑑𝑠 = 𝐷𝑑𝜑 𝑞𝑧𝑑𝑠 = 𝑍𝑑𝜑

El brazo de palanca interno se denota z. Haciendo la sustitución 𝐷 = 𝑀/𝑧 ,𝑍 = −𝑀/𝑧,

y 𝑑𝜑 = 𝑑𝑠/𝑟, se obtienen las siguientes ecuaciones:

𝑞𝐷 =𝐷

𝑟=

𝑀

2𝑟 𝑞𝑧 =

𝑍

𝑟=

𝑀

𝑧𝑟

Figura 3. 5: Momentos de flexión y torsión en un elemento de viga diferencial

Figura 3. 6: Fuerzas de desviación debido a la viga curva

La pareja que se forme por 𝑞𝐷 y 𝑞𝑧 se denota por 𝑚𝑡

𝑚𝑡𝑑𝑠 = 𝑞𝐷 𝑧𝑑𝑠 = −𝑞𝑧 𝑧𝑑𝑠

CAPITULO 3 PUENTES CURVOS CAJÓN

22

𝑚𝑡 = 𝑞𝐷𝑧 = −𝑞𝑧𝑧 =𝑀

𝑟

(a)

que es el mismo resultado como se obtiene a partir del modelo de la figura 3.4

Figura 3. 7: Fuerzas de desviación de la compresión a flexión y tensión en una viga cajón

En la caja de secciones transversales, las fuerzas de desvío se localizan en las losas

superior e inferior (Fig. 3.7) Por lo tanto

𝑞𝑡𝑠 =𝑀

ℎ𝑜𝑟=

𝑚𝑡

ℎ𝑜 𝑦 𝑞𝑏𝑠 =

𝑀

ℎ𝑜𝑟=

𝑚𝑡

ℎ𝑜

(b)

Cuando 𝑒 y 𝑡 son cero en la ecuación (3.1), el momento 𝑚𝑡 𝑑𝑠 será en equilibrio con el

momento de torsión 𝑇:

𝑑𝑇

𝑑𝑠= −𝑚𝑡 =

𝑀

𝑟

(c)

Se supone que la torsión en secciones de caja es resistida principalmente por un flujo de

cizallamiento 𝜈 cerrado (Fig.3.8). Por consiguiente, la diferencia en 𝑑𝜈 flujo de

cizallamiento a través del elemento se puede expresar en términos de la diferencia en el

momento de torsión

𝑑𝜈 =𝑑𝑇

2𝑏𝑜ℎ𝑜

(d)

CAPITULO 3 PUENTES CURVOS CAJÓN

23

Figura 3. 8: Flujo cortante en un elemento de viga curvada

Combinando las ecuaciones (c) y (d), se obtiene la siguiente expresión para 𝑑𝜈/𝑑𝑠

como una función de M:

𝑑𝜈

𝑑𝑠=

𝑑𝑇

𝑑𝑠

1

2𝑏𝑜ℎ𝑜= −

𝑚𝑡

2𝑏𝑜ℎ𝑜= −

𝑀

2𝑏𝑜ℎ𝑜𝑟

Las fuerzas de corte corresponden por unidad de longitud en la losa superior, losa

inferior, y nervios se dan en la figura 3.9. Adición de la fuerzas de desvío 𝑞𝑡𝑠 y 𝑞𝑏𝑠

(ecuaciones (b)) produce el estado de equilibrio mostrado en la figura 3.9. Las fuerzas de

corte resultantes de la introducción de par de torsión producen transversal y flexión

longitudinal en la viga. Este fenómeno es discutido en detalle en la Sección 3.2. Si las

tensiones inducidas por la flexión transversal son altas, puede ser preferible proporcionar

diafragmas intermedios. Las fuerzas de desvío 𝑞𝑡𝑠 y 𝑞𝑏𝑠 continuación, se transferirán a

través de flexión longitudinal a los diafragmas, donde se introducen en la sección

transversal como un par concentradas.

Figura 3. 9: Fuerzas de Corte Torsionales

CAPITULO 3 PUENTES CURVOS CAJÓN

24

Figura 3. 10: Fuerzas de Corte por Torsión y Fuerzas de desviación

En vigas curvadas con sección transversal abierta, 𝑚𝑡 puede resolverse en un par

estáticamente equivalente de fuerzas verticales aplicadas en el plano de los elementos

laminares (fig. 3.11c):

Figura 3. 11 Torsión de alabeo en una curva sección en doble T:

a, fuerzas de desvío debido a la tensión a la flexión y compresión; b, transversal aproximada momentos de flexión

debido a las fuerzas de desviación; c, diferencial web de carga debido a la mt torque

�̅� =𝑚𝑡

𝑏𝑜=

𝑀(𝑞)

𝑟𝑏𝑜

(3. 2)

donde q es la carga dada, aplicada simétricamente alrededor del eje longitudinal de la viga.

El momento de flexión longitudinal en cada mitad de la viga se puede suponer igual a la

mitad el momento debido a 𝑞,𝑀(𝑞)/2 más el momento debido a �̅� 𝑀(𝑞):

𝑀𝑖𝑛𝑡 =𝑀(𝑞)

2− 𝑀(�̅�) 𝑀𝑒𝑥𝑡 =

𝑀(𝑞)

2+ 𝑀(�̅�)

donde "interior" y "exterior" se definen en relación con el centro de curvatura. Cuando

𝑀(𝑞) es positivo |𝑀𝑖𝑛𝑡| < |𝑀𝑒𝑥𝑡|; cuando 𝑀(𝑞) es negativo |𝑀𝑖𝑛𝑡| > |𝑀𝑒𝑥𝑡| . (Como una

primera aproximación, se puede suponer que 𝑀𝑖𝑛𝑡 = 𝑀𝑒𝑥𝑡 = 𝑀(𝑞)/2 ).

CAPITULO 3 PUENTES CURVOS CAJÓN

25

Las fuerzas de desvío 𝑞𝑧 y 𝑞𝐷 se calculan para el extensible de flexión y fuerzas de

compresión de cada medio de la viga. Suponiendo que 𝑀(𝑞) es positivo, las fuerzas de

tracción se dan por las ecuaciones siguientes:

𝑍𝑖𝑛𝑡 =1

𝑧(

𝑀(𝑞)

2− 𝑀(�̅�)) 𝑀𝑒𝑥𝑡 =

1

𝑧(

𝑀(𝑞)

2+ 𝑀(�̅�))

donde 𝑧 es el brazo de palanca interno. Las fuerzas de desvío correspondientes son

𝑞𝑧,𝑖𝑛𝑡 =𝑍𝑖𝑛𝑡

𝑟 𝑞𝑧,𝑒𝑥𝑡 =

𝑍𝑒𝑥𝑡

𝑟

Estas fuerzas inducen flexión transversal en las redes y en la losa superior. En la

intersección de las redes y la losa superior, los momentos transversales están dados por las

siguientes ecuaciones:

𝑚𝑖𝑛𝑡 ≅ 𝑞𝑧,𝑖𝑛𝑡𝑧 =1

𝑟(

𝑀(𝑞)

2− 𝑀(�̅�))

(3. 3)

𝑚𝑒𝑥𝑡 ≅ 𝑞𝑧,𝑒𝑥𝑡𝑧 =1

𝑟(

𝑀(𝑞)

2+ 𝑀(�̅�))

(3. 4)

Ejemplo 3.2

Para un puente de un solo tramo simplemente calcular la flexión y torsión fija en ambos

extremos. El intervalo 𝑙, es 30 m, y el radio de curvatura, 𝑟, es de 200 m. La distancia entre

las líneas centrales de las almas, bo, es de 6,5 m. Una carga uniforme de 150 kN / m, denota

por g, se aplica. El momento de flexión en centro de la luz se calcula aproximadamente por

una viga recta:

𝑀(𝑔) =𝑔𝑙2

8=

(150)(30)2

8= 16900 𝐾𝑁 ∙ 𝑚

El par de torsión en centro de la luz se calcula mediante la ecuación (3.1):

𝑚𝑡 =𝑀(𝑔)

𝑟=

16900

200= 84.5 𝐾𝑁 ∙ 𝑚/𝑚

CAPITULO 3 PUENTES CURVOS CAJÓN

26

y se resuelve en los pares �̅�:

�̅� =𝑚𝑡

𝑏𝑜=

84.5

6.5= 13.0 𝐾𝑁/𝑚

La carga �̅� se distribuye de manera parabólica a lo largo de la longitud de la viga. El

momento M (�̅�) se puede aproximar como sigue:

𝑀(�̅�) =�̅�𝑙2

9.6=

(13.0)(30)2

9.6= 1220 𝐾𝑁 ∙ 𝑚

Se calculan los momentos transversales en la intersección de las bandas y la losa superior

utilizando las ecuaciones (7.3) y (7.4)

𝑚𝑖𝑛𝑡 =1

200(

16900

2− 1220) = 36.2 𝐾𝑁 ∙ 𝑚/𝑚

𝑚𝑒𝑥𝑡 =1

200(

16900

2+ 1220) = 48.4 𝐾𝑁 ∙ 𝑚/𝑚

3.2.TORSION EN SECCION DE PARED DELGADA

3.2.1. Torsión Uniforme

Teoría de Saint Venant

Una pieza prismática está sometida a torsión uniforme cuando el momento torsor que en

ella actúa es constante a lo largo de la misma y además los alabeos que se producen en las

secciones no tienen ninguna coacción que impida su libre movimiento.

Lógicamente las anteriores condiciones son ideales, por lo que en la práctica rara vez se

presentan en toda su pureza. Sin embargo, aparecen multitud de casos en que, con un grado

de aproximación razonable, su estado de torsión puede ser asimilado a torsión uniforme.

Ello sucede fundamentalmente, tal como se analizará más adelante, con piezas de sección

maciza y con perfiles cerrados de pared delgada.

Las hipótesis básicas para la torsión uniforme son las siguientes:

CAPITULO 3 PUENTES CURVOS CAJÓN

27

a) Todas las secciones rectas de la pieza giran un ángulo φ1 alrededor de un eje, paralelo al

eje de la pieza, denominado eje de torsión. Al punto situado en la intersección de dicho eje

de torsión con una sección recta se le denomina centro de torsión.

b) El giro θ = dφ1/dx1 por unidad de longitud es constante para toda la pieza. Esto significa

que, dada una rebanada diferencial, el giro relativo entre las dos secciones es constante.

c) Cada punto de una sección recta experimenta un alabeo (movimiento en dirección x1) de

valor u1(x2, x3). Dicho alabeo no es función de x1, sino que es el mismo para cualquier

sección. Por este motivo, las tensiones normales σ1 en la sección son nulas.

Formulación de la Torsión de Saint Venant

Se supone que no se produce tensiones longitudinales de flexión al actuar un momento

torsor 𝑀𝑧, la sección gira un ángulo 𝜃 alrededor del eje z (normal al plano de la sección)

que pasa por el centro de cortantes.

Los desplazamientos en el plano de la sección de un punto de coordenadas (x, y) son:

𝑣 = 𝑥𝜃 (e)

𝑢 = −𝑦𝜃 (f)

Con 𝑢 y 𝑣 desplazamiento según los ejes 𝑥 e 𝑦 respectivamente. Se supone que 𝜃 depende

de 𝑧 únicamente y no de 𝑥 e 𝑦.

El movimiento longitudinal (según el eje z) del mismo punto se denota por 𝑤.

Las deformaciones de corte 𝛾𝑥𝑧, 𝛾𝑦𝑧 son:

𝛾𝑥𝑧 =𝜕𝑢

𝜕𝑧+

𝜕𝑤

𝜕𝑥= −𝑦𝜃′ +

𝜕𝑤

𝜕𝑥

(k)

𝛾𝑦𝑧 =𝜕𝑣

𝜕𝑧+

𝜕𝑤

𝜕𝑦= 𝑥𝜃′ +

𝜕𝑤

𝜕𝑥

(b)

CAPITULO 3 PUENTES CURVOS CAJÓN

28

Las relaciones tensión-deformación son para un material isótropo son:

𝜏𝑥𝑧 =1

𝐺𝛾𝑥𝑧 𝑦 𝜏𝑦𝑧 =

1

𝐺𝛾𝑦𝑧

(c)

Donde la condición de equilibrio de una fibra implica que:

𝜕𝜏𝑥𝑧

𝜕𝑥+

𝜕𝜏𝑦𝑧

𝜕𝑦= 0

(d)

Por otra parte, el momento exterior de torsión es equilibrado por las tensiones cortantes 𝜏𝑥𝑧

y 𝜏𝑦𝑧 es decir:

𝑀𝑧 = ∬ (𝑦𝜏𝑥𝑧 − 𝑥𝜏𝑦𝑧)𝑑𝐴1

𝐴

(e)

El problema se resuelve introduciendo la función de tensión∅, definido como sigue:

𝜏𝑥𝑧 =𝜕∅

𝜕𝑦 ; 𝜏𝑦𝑧 = −

𝜕∅

𝜕𝑥

(f)

Con lo que resulta la ecuación diferencial:

𝜕2∅

𝜕𝑥2+

𝜕2∅

𝜕𝑦2= −2𝐺𝜃

(3. 5)

Con las pertinentes condiciones de contorno. Normalmente borde libre, implica la

anulación de la tensión tangencia:

𝜎𝑥𝑧 =𝜕∅

𝜕𝑦cos 𝛼 +

𝜕∅

𝜕𝑥𝑠𝑒𝑛 𝛼 =

𝜕∅

𝜕𝑛= 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 (𝑥, 𝑦) ∈ �̅�

El valor del ángulo 𝜃 se deduce de la condición de equilibrio global del momento torsor, es

decir:

𝑀𝑧 = ∬ (𝑦𝜕∅

𝜕𝑦+ 𝑥

𝜕∅

𝜕𝑥) 𝑑𝐴 = 2 ∬ ∅𝑑𝐴

1

𝐴

1

𝐴

CAPITULO 3 PUENTES CURVOS CAJÓN

29

Se designa como constante torsional de Saint Venant J a las características de la sección

definida por la relación:

𝑀𝑧 = 𝐺𝐽𝑑𝜃

𝑑𝑍

(3. 6)

Con 𝐺 =𝐸

2(1+𝑣) módulo de elasticidad transversal

La expresión de J, es entonces:

𝐽 = −4 ∬ ∅𝑑𝐴

1

𝐴

𝜕2∅𝜕𝑥2 +

𝜕2∅𝜕𝑦2

(3. 7)

El valor de J puede ser aproximado para secciones macizas mediante la expresión:

𝐽 =𝐴4

40 𝐼𝑝

(3. 8)

Donde A= área de la sección transversal, 𝐼𝑝 =momento polar de inercia respecto al

centro de cortantes (que se puede suponer coincide con el centro de gravedad), con

𝐼𝑝 = 𝐼𝑥 + 𝐼𝑦

Las deformaciones de la viga debido a la torsión inducida a flexión transversal y

longitudinal, sin embargo, son pequeñas en relación con las deformaciones debidas a flujo

de cizallamiento de torsión. La deformación total debido a la torsión por lo tanto se puede

suponer igual a la deformación en torsión pura 𝜃, definido por la siguiente ecuación:

𝜃(𝑥) = ∫𝑇(𝑥)

𝐺𝐽𝑑𝑥 + 𝐶

(3. 9)

donde se obtiene C de las condiciones de contorno y 𝐽 se define como la constante de

torsión de la sección.

Entonces el valor de J para una sección cajón no fisurado puede ser obtenida usando el

método de trabajo A. segmento de viga Virtual de la longitud dx es considerado. La

longitud y el grosor de la sección del elemento i se denotan b y t, respectivamente. El

CAPITULO 3 PUENTES CURVOS CAJÓN

30

verdadero momento de torsión T se supone para producir el giro d. la correspondiente

deformación de corte de sección de elemento i es

𝛾𝑡𝑑𝑥 =𝑇

2𝐴𝑜𝐺𝑡𝑡𝑑𝑥

El momento de torsión virtual de T = 1 produce el flujo de tensiones 𝑢 = 1/2𝐴𝑜. El

esfuerzo cortante en la sección correspondiente elemento 𝑖 es

�̅�𝑏𝑖 =𝑏𝑖

2𝐴𝑜

El trabajo externo e interno de las fuerzas virtuales y desplazamientos reales se puede

equiparar

1 ∙ 𝑑𝜃 = ∑(�̅�𝑏𝑖)(𝛾𝑖𝑑𝑥) = ∑ (𝑏𝑖

2𝐴𝑜) (

𝑇

2𝐴𝑜𝐺𝑡𝑖𝑑𝑥)

𝑖𝑖

Resulta que

𝑑𝜃

𝑑𝑥= ∑

𝑏𝑡

2𝐴𝑜

𝑇

2𝐴𝑜𝐺𝑡𝑖= ∑

𝑇

4𝐺𝐴𝑜2

𝑏𝑖

𝑡𝑖=

𝑇

𝐺𝑖

∑ (𝑏𝑖/𝑡𝑖)𝑖

4𝐴𝑜2

𝑖

donde J se define como la constante de torsión

𝐽 =4𝐴𝑜

2

∑ 𝑏𝑖/𝑡𝑖𝑖

(3. 10)

Figura 3. 12: Torsión de St. Venant en una sección transversal cerrada

CAPITULO 3 PUENTES CURVOS CAJÓN

31

3.2.2. Torsión Alabeada

Teoría de Vlassov

En la teoría de la torsión uniforme (también llamada torsión según Saint-Venant), cada

punto de las correspondientes secciones rectas alabea libremente sin que exista ninguna

coacción a dicho movimiento. Ello comporta que el ángulo específico de torsión sea el

mismo para todas las secciones de la pieza y que la distribución de tensiones tangenciales

tampoco dependa de la coordenada x1.

Si se considera, sin embargo, la pieza como formando parte de todo un conjunto

estructural, los mencionados alabeos no serán en general libres, sino que normalmente

existirá algún tipo de coacción. De esta forma, los alabeos pueden dejar de ser uniforme a

lo largo del eje de la pieza. Lógicamente, si dichos alabeos están coaccionados aparecerán

unas tensiones normales 𝜎1 variables punto a punto en la sección y función de la sección

que se considere. Además, y como consecuencia de la variabilidad a lo largo del eje de la

pieza de las tensiones normales, aparecerán asimismo unas tensiones tangenciales 𝜏 (que,

como se verá más adelante, son constantes en el espesor) que producirán un momento

torsor 𝑀𝑤 denominado momento de alabeo. Lógicamente, el momento torsor total 𝑇 que

actúa en una sección es la suma del mencionado torsor 𝑀𝑤 y del producido por la torsión

uniforme 𝑀𝑡. Es decir, 𝑇 = 𝑀𝑧𝑣 + 𝑀𝑧𝑤

Formulación de la Torsión de Vlassov

Como se ha indicado anteriormente, cuando existe, en los extremos de la viga, coacción

al alabeo de la sección aparece una tensiones longitudinales que induce, otras cortantes, las

cuales integradas producen una torsión adicional a la anteriormente estudiada o de Saint

Venant. Ahora las secciones planas no permanecen planas después de la formación. Por lo

tanto, un momento torsor total 𝑇 se descompone ahora en la siguiente forma Figura 3.12a:

𝑇 = 𝑀𝑧𝑣 + 𝑀𝑧𝑣 (3. 10)

CAPITULO 3 PUENTES CURVOS CAJÓN

32

en donde 𝑀𝑧𝑣 corresponde al momento torsor de Saint Venant o sin alabeo, y 𝑀𝑧𝑤 es el

debido a la coacción al alabeo. Para la determinación de estos dos sumandos se considera

primeramente el caso sencillo de la sección abierta y pared delgada de la Figura 3.13.

La línea media de la sección referida a un sistema de ejes coordenados de origen C es:

𝑥 = 𝑥(𝑠) 𝑦 = 𝑦(𝑠)

con parámetros del arco s medido desde un borde. Sean (𝑥𝑜 , 𝑦𝑜) las coordenadas del centro

de la sección O. La distancia 𝜌𝑜desde este punto a la tangente en un punto genérico P(x, y)

de la línea media dada por la expresión:

𝜌𝑜 = 𝜌 + 𝑥𝑜𝑠𝑒𝑛 𝛼 + 𝑦𝑜 cos 𝛼 = 𝜌 − 𝑥𝑜

𝑑𝑦

𝑑𝑠+ 𝑥𝑜

𝑑𝑥

𝑑𝑠

(3. 11)

Figura 3. 13: Ejemplo de torsión Alabeada

CAPITULO 3 PUENTES CURVOS CAJÓN

33

Sea 𝜃 el ángulo de giro de torsión de la sección alrededor de O. Se desprende de la

Figura 3.4 la siguiente igualdad:

𝜕�̅�

𝜕𝑠+

𝜕𝑣

𝜕𝑧= 𝜇 = 0

es decir:

𝑑�̅� = −𝛾𝑑𝑠 = −𝜌0

𝑑𝜃

𝑑𝑧𝑑𝑠 = −𝜌𝑜𝜃′𝑑𝑠

(3. 12)

En donde los movimientos �̅� se miden en el sentido de la z creciente. El acento

significa derivada respecto a la dirección longitudinal (luz) z. De la ecuación (3.12) se

deduce:

�̅� = −𝜃′ ∫ 𝜌𝑜𝑑𝑠 + 𝑘𝑜(𝑧)𝑠

0

con 𝑘𝑜(𝑧) una constante función de la distancia z

Figura 3. 14: Torsión con alabeo

La tensión longitudinal 𝜎𝑠(𝑠) se obtiene mediante la ecuación de Hooke a nivel de

rebanada elemental, es decir:

𝜎𝑧 = 𝜎𝑧(𝑠) = 𝐸𝛿𝑧(𝑠) = 𝐸𝑑�̅�

𝑑𝑧= 𝐸{−𝜃′′ ∫ 𝜌𝑜𝑑𝑠 + 𝑘′

𝑜(𝑧)𝑠

0

}

CAPITULO 3 PUENTES CURVOS CAJÓN

34

El equilibrio de un elemento de pared se puede deducir de la inspección de la figura

3.14 b en donde ahora las tensiones cortantes debidas al alabeo se designara por 𝜏𝑤,

obteniéndose la siguiente ecuación.

𝜏𝑤𝑒 = − ∫𝜕𝜎𝑧

𝜕𝑧𝑒 𝑑𝑠

𝑠

0

(3. 13)

Por otra parte, el equilibrio de tensiones en toda la sección conduce a las igualdades:

𝑍 = ∫ 𝜎𝑧 𝑒 𝑑𝑠𝑙

0

= 0 = −𝜃′′ ∫ 𝐸𝑙

0{∫ 𝜌0𝑑𝜉

𝑠0

}𝑒 𝑑𝑠 + 𝑘′

0 ∫ 𝐸 𝑒 𝑑𝑠 = 0𝑙

0

𝑀𝑥 = ∫ 𝜎𝑧 𝑒𝑦 𝑑𝑠𝑙

0

= 0 = −𝜃′′ ∫ 𝐸𝑙

0

{∫ 𝜌0𝑑𝜉𝑠

0

} 𝑒 𝑑𝑠 + 𝑘′0 ∫ 𝐸 𝑒𝑦 𝑑𝑠 = 0

𝑙

0

(3. 14)

𝑀𝑦 = ∫ 𝜎𝑧 𝑒𝑥 𝑑𝑠𝑙

0

= 0 = −𝜃′′ ∫ 𝐸𝑙

0{∫ 𝜌0𝑑𝜉

𝑠0

}𝑒 𝑑𝑠 + 𝑘′

0 ∫ 𝐸 𝑒𝑥 𝑑𝑠 = 0𝑙

0

con objeto de simplificar estas ecuaciones de equilibrio se considera la integral:

𝑤𝑜 = ∫ 𝜌𝑜𝑑𝑠𝑠

0

y la igualdad (3.11) obteniéndose:

𝑤𝑜 = ∫ 𝜌𝑜𝑑𝑠 = ∫ 𝜌𝑑𝑠 − 𝑥𝑜{𝑦 − 𝑦(0)} + 𝑦𝑜{𝑥 − 𝑥(0)}𝑠

0

𝑠

0

= 𝑤 − 𝑥0{𝑦 − 𝑦(0)} + 𝑦𝑜{𝑥 − 𝑥(0)} se define que:

𝑤 = ∫ 𝜌𝑠

0

𝑑𝑠

La segunda ecuación se transforma:

𝜃′′ {∫ 𝐸𝑤𝑒𝑦𝑑𝑠 − ∫ 𝐸𝑙

0

𝑦0{𝑥𝑙

0

− 𝑥(0)} 𝑒𝑦 𝑑𝑠

− ∫ 𝐸𝑥0{𝑦 − 𝑦(0)} 𝑒𝑥𝑑𝑠 − 𝑘′𝑜 ∫ 𝐸𝑒𝑦𝑑𝑠 = 0

𝑙

0

𝑙

0

(3. 15)

CAPITULO 3 PUENTES CURVOS CAJÓN

35

pero si se elige como el origen C de coordenadas el cdg se tiene:

∫ 𝐸 𝑒𝑥 𝑑𝑠 = 0𝑙

0

, ∫ 𝐸 𝑒𝑦 𝑑𝑠 = 0𝑙

0

y por otra parte se escribe los momentos de segundo orden:

𝐼𝑥𝑦 = ∫ 𝐸 𝑒𝑥 𝑑𝑠; 𝐼𝑥𝑥 = ∫ 𝐸 𝑒𝑥2 𝑑𝑠; 𝐼𝑦𝑦 = ∫ 𝐸 𝑒𝑦2𝑑𝑠𝑙

0

𝑙

0

𝑙

0

Finalmente, considerando las definiciones dadas la ecuación (3.15) se convierte en la

siguiente

𝜃′′{𝐼𝑤𝑦 + 𝑦(0)𝐼𝑥𝑦 − 𝑥(0)𝐼𝑦𝑦} = 0

y análogamente con la ecuación tercera de las (3.14) se deduce:

𝜃′′{𝐼𝑤𝑥 + 𝑦(0)𝐼𝑥𝑥 − 𝑥(0)𝐼𝑥𝑦} = 0

Estas dos ecuaciones permiten determinar las constantes de integración x (0), y (0), que

se comprueban corresponden a la situación del centro de esfuerzos cortantes. De la primera

de las (A.16) se obtiene:

−𝜃´´ ∫ 𝐸 𝑒 𝑤𝑜𝑑𝑠 + 𝐸0 𝐴0 𝑘´0

𝑙

0

= 0

con

𝐸0𝐴0 = ∫ 𝐸 𝑙

0

𝑒𝑑𝑠 𝑦 𝑤𝑜 = ∫ 𝜌0 𝑑𝑠𝑙

0

La expresión de la tensión longitudinal ahora se puede escribir como sigue:

𝜎𝑧 = 𝐸{−𝜃′′ ∫ 𝜌𝑜 𝑑𝑠 + 𝑘′0} = −𝐸𝜃′′ ∫ 𝜌0𝑑𝑠 +𝐸 𝜃′′

𝐸0𝐴0∫ 𝐸 𝑒 𝑤 𝑑𝑠

𝑙

0

𝑙

0

𝑙

0

es decir:

𝜎𝑧𝑤 = 𝜎𝑠 = 𝐸𝜃′′ (1

𝐴𝑜𝐸𝑜∫ 𝐸 𝑒 𝑤𝑜𝑑𝑠 − 𝑤𝑜

𝑙

0

) = 𝐸𝜃′′𝑤1

(3. 16)

CAPITULO 3 PUENTES CURVOS CAJÓN

36

Por último, la ecuación de equilibrio (A.15) se puede escribir como se indica a

continuación

𝜏𝑤𝑒 = −𝜃′′′ ∫ 𝐸 𝑒 𝑤1 𝑑𝑠𝑠

0

= −𝜃′′′𝑆𝑤 (3. 17)

el momento torsor que produce estas tensiones cortantes 𝜏𝑤, del alabeo es directamente

𝑀𝑧𝑤 = ∫ 𝜏𝑤𝑒𝜌𝑜𝑑𝑠𝑙

0

= −𝜃′′′ ∫ 𝑆𝑤𝜌0𝑑𝑠𝑙

0 = −𝜃′′′𝐸𝑜𝐼𝑤 (3. 18)

en donde 𝐼𝑤 se denomina la constante de alabeo y 𝐸𝑜 es el valor medio 𝐸, es decir,

𝐸𝑜 =1

𝑙∫ 𝐸 𝑑𝑠

𝑙

0

El momento de alabeo 𝐸𝐼𝑤 constituye una constante importante en la sección. Su

expresión puede ser obtenida de una forma cómoda, como sigue:

𝐼𝑤 = ∫ 𝑤12 𝑒 𝑑𝑠

𝑙

0

(3. 19)

Se suele definir el bimomento como 𝐵𝑖 = 𝐸𝐼𝑤𝜃′′. Su interpretación física, en una

sección en doble te, puede se los dos momentos flectores (de signos opuestos) actuando en

los planos de las alas de la viga. Las tensiones longitudinales de flexión se deducen en

función del bimomento al considerar (3.16), resulta:

𝜎𝑧 =𝐵𝑖 ∙ 𝑤1

𝐼𝑤

que constituye una fórmula similar a la de flexión de vigas.

𝑀𝑧 = 𝑀𝑧𝑤 + 𝑀𝑧𝑣

𝑀𝑧𝑣 = 𝐺𝐽𝜃′ (Torsor de Saint Venant)

𝑀𝑧𝑤 = −𝐸𝑜𝐼𝑤𝜃′′′ (Torsor producida por el Alabeo)

CAPITULO 3 PUENTES CURVOS CAJÓN

37

3.2.3. Torsión Mixta

La interacción de la torsión de Saint-Venant 𝑀𝑧𝑣 y torsión alabeo 𝑀𝑧𝑤 requiere tener

en cuenta cada vez que ambos efectos son del mismo orden de magnitud. En cualquier

punto z a lo largo del miembro, el momento de torsión 𝑀𝑧 es igual a la suma de los dos

efectos como se muestra en la ecuación (3.10)

La parte de Saint-Venant del momento de torsión es proporcional a la primera derivada

del ángulo de giro como se muestra en la expresión (3.6)

La deformación de torsión, por otro lado, es proporcional a la primera derivada de la

deformación momento 𝑀𝑧𝑤. El momento deformación se define en la ecuación (3.18)

Los signos de los momentos de torsión se determinan por la siguiente convención: Un

momento de torsión que actúa sobre una sección transversal con un positivo normal

exterior es positivo siempre que provoca una rotación positiva (en + 𝜃-sentido) de la

sección transversal. Por el contrario, un momento de torsión que actúa sobre una sección

transversal con un negativo normal exterior debe girar en el negativo 𝜃 - el sentido de ser

positivo.

El símbolo 𝑚𝑡 denota una carga de torsión aplicada externamente por unidad de

longitud y es positivo si se aplica en el sentido positivo de 𝜃.

La condición de equilibrio para un elemento de la longitud del miembro de 𝑑𝑧 puede así

ser formulada como sigue:

−𝑇 + 𝑚𝑡𝑑𝑧 + (𝑇 +𝑑𝑇

𝑑𝑧𝑑𝑧) = 0

lo que simplifica a:

−𝑑𝑇

𝑑𝑧= 𝑚𝑡

CAPITULO 3 PUENTES CURVOS CAJÓN

38

Si el momento de torsión que es, de acuerdo a la ecuación (3.10), dividido en los dos

componentes del 𝑀𝑧𝑣 y 𝑀𝑧𝑤 y si este último se introducen de acuerdo con las expresiones

(3.6) y (3.18), la siguiente ecuación diferencial fundamental para la torsión mixta resulta:

(𝐸𝐼𝑤𝜃′′′)

′− (𝐺𝐽𝜃′)′ = 𝑚𝑡

Desde la siguiente teoría se limita a los miembros prismáticos, esta lineal ecuación

diferencial de cuarto orden tendrá coeficientes constantes, entonces estas queda definida

como:

𝐸𝐼w

𝑑4𝜃

𝑑𝑧4− 𝐺𝐽

𝑑2𝜃

𝑑𝑧2= 𝑚𝑡

(3. 20)

donde 𝜃(𝑧) es el giro de una sección cualquiera respecto al centro de esfuerzos cortantes, E,

G son el módulo de Young y el módulo de rigidez a cortante, J es el módulo de torsión y 𝐼𝑤

es el módulo de alabeo, m(t) es el momento distribuido a lo largo de la viga. La ecuación

(3.20) se reorganiza introduciendo un parámetro denominado esbeltez torsional

𝜆 = 𝐿√𝐺𝐽/𝐸𝐼w (3. 21)

que mide la proporción entre la rigidez seccional de ambos mecanismos de torsión: la

torsión uniforme GJ y la torsión alabeada EI. La ecuación se hace adimensional haciendo

x= Lξ e introduciendo la coordenada relativa ξ 𝜖 [0; 1]. Así, la Ecuación (3.20) se puede

escribir como

𝐸𝐼ΩΩ

𝐿4(

𝑑4𝜃

𝑑𝜉4− 𝜆2

𝑑2𝜃

𝑑𝜉2) = 𝑚(𝜉)

La solución general de la ecuación es de la forma

𝜃(𝜉) = 𝛼 + 𝛽 sinh(𝜆𝜉) + 𝛾 cosh(𝜆𝜉) + 𝜃𝑝(𝜉)

Donde ∝, 𝛽, 𝛾 son constantes de integracion a obtener con las condiciones de contorno y

𝜃𝑝(ξ ) es una solución particular de la ecuación completa. Obtenida la solución en giros los

esfuerzos asociados al problema de torsión se obtienen como Torsor uniforme, torsor de

alabeo y Bimomento explicado en las ecuaciones:

CAPITULO 3 PUENTES CURVOS CAJÓN

39

Torsor uniforme: 𝑇𝐽(𝜉) =𝐺𝐽

𝐿

𝑑𝜃

𝑑𝜉

Torsor de alabeo: 𝑇𝐼(𝜉) = −𝐸𝐼𝑤

𝐿3

𝑑3𝜃

𝑑𝜉3

Bimomento: 𝐵(𝜉) =𝐸𝐼𝑤

𝐿2

𝑑2𝜃

𝑑𝜉2

El parámetro 𝜆 gobierna el reparto del torsor total en cada sección 𝑇𝐽 + 𝑇𝐼 entre cada una de

sus componentes. En las zonas cercanas a secciones con alabeo coartado es predominante el

comportamiento alabeado mientras que en las zonas alejadas el reparto dependerá de la

longitud de la viga respecto al radio de giro a torsión 𝑖𝑇 = √𝐸𝐼w/𝐺𝐽 = 𝐿/𝜆. En general

para el análisis de la torsión de una viga de longitud L y con condiciones de contorno en los

extremos, un criterio para veri car que mecanismos de torsión son predominantes es el dado

por la Tabla 3-2. Se comprueba que valores bajos de la esbeltez torsional se corresponden a

secciones esbeltas (se asume abiertas) en vigas cortas en relación al radio de giro de la

sección.

Dominio de la Torsión Esbeltez torsional Ecuación de la Torsión

Alabeada pura 𝜆 = 0 𝐸𝐼w𝜃𝑖𝑣 = 𝑚𝑡

Alabeada dominante

Mixta

Uniforme

0 < 𝜆 < 2.0

0 ≤ 𝜆 < 5.0

5 ≤ 𝜆 ≤ 10

𝐸𝐼ΩΩ𝜃𝑖𝑣 + 𝐺𝐽𝜃′′ = 𝑚𝑡

Uniforme pura 𝜆 → ∞ 𝐺𝐽𝜃′′ = −𝑚𝑡

Tabla 3- 2: Dominios de la torsión

A partir de la división presentada en la Tabla 3-2, obtener la solución de torsión en

vigas con esbeltez torsional nula se reduce a resolver una viga a flexión pues la ecuación

que gobierna el fenómeno de la torsión alabeada pura, 𝐸𝐼w𝜃𝑖𝑣 = 𝑚𝑡 es exactamente igual a

la de la flexión en vigas de Euler-Bernouilli, 𝐸𝐼𝑤𝑖𝑣 = 𝑞(𝑥): es lo que se denomina

analogía de la flexión. Básicamente, se trata de traducir condiciones de contorno, fuerzas y

variables a un problema analogía de flexión. En la Tabla 3-3 se muestra la correspondencia

entre los dos problemas.

Es obvio que resulta mucho más intuitivo obtener estas variables que los torsores y

bimomentos asociados, cuya naturaleza es bastante más complicada de entender. Resulta en

CAPITULO 3 PUENTES CURVOS CAJÓN

40

general más cómodo trabajar en la obtención de movimientos o en la resolución de vigas

hiperestáticas a flexión mediante métodos clásicos como los teoremas de Mohr o los

teoremas de Castigliano [16], por mencionar alguno. Además el problema de

éxito nos ayuda enormemente a interpretar físicamente el problema de la torsión, pues

esfuerzos análogos producen tensiones de la misma naturaleza. Esto se puede visualizar con

las tensiones normales:

En el problema de la flexión se calculan a partir de los sectores, por lo que en el

problema de la torsión tienen exactamente la misma expresión pero en función de los

bimomentos, tal y como se observa en la Tabla 3-2. La misma analogía se puede realizar

entre tensiones tangenciales, torsores y cortantes. Esta analogía es muy útil pues nos

permite predecir a priori las secciones más solicitadas por simple observación de los

diagramas de cortantes y flectores de la analogía de la flexión.

Esto es especialmente útil cuando tenemos una viga con múltiples apoyos intermedios y

diferentes configuraciones de carga. Nótese que la analogía de la flexión tal y como la

hemos presentado no podemos usarla para obtener la respuesta en torsión para el caso

general de la torsión mixta 𝜆 ≠ 0, pues aparece el término de la torsión uniforme.

CAPITULO 3 PUENTES CURVOS CAJÓN

41

Tabla 3- 3: Analogía de flexión y torsión alabeada

CAPITULO 3 PUENTES CURVOS CAJÓN

42

3.3. FUERZAS DEL PREESFORZADO

3.3.1. Pretensado

En sistemas estáticamente determinadas, las fuerzas en el acero de pretensado están en

equilibrio con las fuerzas seccionales en el hormigón. Por consiguiente, las últimas fuerzas

se pueden obtener directamente a partir de los componentes correspondientes de la primera.

Suponiendo que el ángulo de inclinación del tendón es pequeño, los componentes de fuerza

de tensión previa relativa al centro del sistema de coordenadas de la figura 3.15 son los

siguientes.

𝑃𝑥 ≅ 𝑃 𝑀𝑥 = 𝑃𝑧𝑎𝑦 − 𝑃𝑦𝑎𝑧

𝑃𝑧 = 𝑃𝑥

𝑑𝑎𝑦

𝑑𝑥 𝑀𝑦 = 𝑃𝑥𝑎𝑧

𝑃𝑧 = 𝑃𝑥

𝑑𝑎𝑧

𝑑𝑥 𝑀𝑧 = −𝑃𝑥𝑎𝑦

The torsional moment is defined with respect to the shear center:

𝑇 = 𝑀𝑥 − 𝑃𝑥𝑐𝑦 + 𝑃𝑦𝑐𝑧 = 𝑃𝑧(𝑎𝑦 − 𝑐𝑦) − 𝑃𝑦(𝑎𝑧 − 𝑐𝑧)

Figura 3. 15: Componentes de fuerza de pretensado

CAPITULO 3 PUENTES CURVOS CAJÓN

43

Cada uno de estos componentes corresponde a una fuerza de corte igual y opuesta en el

hormigón:

𝑁𝑐 = −𝑃𝑥 𝑀𝑐,𝑥 = −𝑃𝑥 (𝑎𝑦

𝑑𝑎𝑧

𝑑𝑥− 𝑎𝑧

𝑑𝑎𝑦

𝑑𝑥)

𝑉𝑐,𝑦 = −𝑃𝑥

𝑑𝑎𝑦

𝑑𝑥 𝑀𝑐,𝑥 = −𝑃𝑥𝑎𝑥

𝑉𝑐,𝑧 = −𝑃𝑥

𝑑𝑎𝑦

𝑑𝑥 𝑀𝑐,𝑥 = −𝑃𝑥𝑎𝑥

𝑇𝑐 = −𝑃𝑥 [(𝑎𝑦 − 𝑐𝑦)𝑑𝑎𝑧

𝑑𝑥− (𝑎𝑧 − 𝑐𝑧)

𝑑𝑎𝑦

𝑑𝑥]

(3. 22)

Las fuerzas seccionales de hormigón producidas por varios tendones se obtienen a partir

de la superposición de las componentes de fuerza de cada tendón individual.

La curvatura del perfil de tendón o curvatura de la misma, produce fuerzas de desvío

normales al eje longitudinal de la viga. Estos deben ser equilibrados en la sección de

hormigón, ya sea por flujo de cizallamiento diferencial o por las fuerzas de desviación de

las tensiones normales. Aunque la fuerza de desviación del tendón se puede suponer

concentrado en un solo lugar, las tensiones de hormigón equilibrarte se distribuyen

típicamente sobre toda la sección. Flexión transversal en la sección transversal será por lo

tanto ser inducida. Desde los momentos transversales de flexión son necesarios para el

equilibrio, deben ser consideradas en estado límite último.

La fuerza de desviación de los tendones debido a la curvatura de la viga en el plano xy

está en equilibrio con las fuerzas de desvío de las tensiones normales en el hormigón

debido a 𝑁𝑐,𝑀𝑐,𝑦 y 𝑀𝑐,𝑧:

𝑞𝑃,𝑦𝑐𝑔

= 𝑞𝑃,𝑦𝑐𝑔

Donde

𝑞𝑃,𝑦𝑐𝑔

= −𝑃𝑥

𝑟 𝑞𝑃,𝑦

𝑐𝑔= −

1

𝑟𝜎𝑥(𝑁𝑐, 𝑀𝑐,𝑦, 𝑀𝑐,𝑧)

CAPITULO 3 PUENTES CURVOS CAJÓN

44

Las fuerzas de desvío de los tendones debido al perfil del tendón con respecto al eje de

la viga están dadas por las siguientes expresiones:

𝑞𝑃,𝑦𝑝𝑡 =

𝑑𝑃𝑦

𝑑𝑥= 𝑃𝑥

𝑑2𝑎𝑦

𝑑𝑥2 𝑦 𝑞𝑃,𝑧

𝑝𝑡 =𝑑𝑃𝑧

𝑑𝑥= 𝑃𝑥

𝑑2𝑎𝑧

𝑑𝑥2

Se supone que 𝑞𝑃,𝑦𝑝𝑡

y 𝑞𝑃,𝑧𝑝𝑡

se aplican en el centro de corte. Por consiguiente, el par

correspondiente es:

𝑚𝑡,𝑃 = −𝑞𝑃,𝑦𝑝𝑡 (𝑎𝑧 − 𝑐𝑧) + 𝑞𝑃,𝑧

𝑝𝑡 (𝑎𝑦 − 𝑐𝑦)

𝑚𝑡,𝑃 = 𝑃𝑥[−𝑑2𝑎𝑦

𝑑𝑥2(𝑎𝑧 − 𝑐𝑧) +

𝑑2𝑎𝑧

𝑑𝑥2(𝑎𝑦 − 𝑐𝑌)

Estas fuerzas se equilibran en la sección de hormigón por el flujo de cizallamiento

diferencia 𝑑𝑣/𝑑𝑥 debido a 𝑉𝑐,𝑦,𝑉𝑐,𝑧, y 𝑇𝑐. En una viga prismática, la distribución de los

𝑑𝑣/𝑑𝑥 en la sección transversal es geométricamente similar a la distribución 𝑉𝑐,𝑦,𝑉𝑐,𝑧 y 𝑇𝑐

se muestran en la Figura 3.16. Para el elemento de viga debe ser considerado en el cálculo

de 𝑑𝑣/𝑑𝑥.

La distribución exacta del flujo de cizallamiento diferencial a menudo no es necesaria

para el cálculo de los momentos de flexión transversales. No es suficiente en casos para

calcular las fuerzas de corte en la losa superior, losa inferior, y las telas por equilibrar 𝑞𝑃,𝑦𝑝𝑡

,

𝑞𝑃.𝑧𝑝𝑡

, y 𝑚𝑡.𝐹. Así, las fuerzas de corte en el balance losa superior e inferior 𝑞𝑃.𝑦𝑝𝑡

, las fuerzas

de corte en el balance redes 𝑞𝑃.𝑧𝑝𝑡

, y 𝑚𝑡.𝐹 se equilibra con un flujo cerrado alrededor de la

caja.

En sistemas estáticamente indeterminada, los momentos redundantes debido a la tensión

previa se pueden determinar fácilmente utilizando el método aproximado presentado en la

Sección 3.1 La ecuación (3.1) se utiliza para calcular el par debido al momento redundante

debido a pretensado en la viga recta, 𝑀𝑠𝑃,1:

𝑚𝑡,𝑠𝑃 =𝑀𝑠𝑃,1

𝑟

CAPITULO 3 PUENTES CURVOS CAJÓN

45

Figura 3. 16: Flujo cortante en una sección cajón

a, debido a 𝑽𝒄,𝒚; b, debido a 𝑽𝒄,𝒙; c, debido a 𝑻𝒄

Los momentos de torsión redundantes debido a la tensión previa,𝑇𝑠,𝑝, se calculan a

partir de 𝑚𝑡,𝑠𝑃 y de los momentos de torsión debido a la tensión previa en el sistema

estáticamente determinado, 𝑇𝑜𝑝

3.3.2. Tendones en puentes curvos

El concepto pretensado para puentes curvos se basa normalmente en las mismas

consideraciones que para los puentes rectos. Como mínimo, las tensiones de tracción en la

losa de la cubierta debido a la carga permanente deben ser prevenidas. La torsión, que

aumenta los esfuerzos de tracción a la flexión, debe ser considerado en el cálculo de la

fuerza de pretensado requerido. Los tendones de los puentes curvos se pueden organizar

igual que los puentes rectos. Es también posible, sin embargo, disponer los tendones para

mejorar el comportamiento de la estructura no sólo en la flexión y cortante, sino también

en torsión.

En vigas cajón, los tendones que contrarrestan la torsión pueden estar dispuestos en los

elementos laminares o en las losas superior e inferior. El perfil requerido tendón puede ser

elegido, por ejemplo, para equilibrar alguna fracción de los momentos de torsión debido a

la carga muerta. En un sistema estáticamente determinado, el momento de torsión inducida

por un tendón individuo está dado por la siguiente expresión:

𝑇𝑐(𝑃) = −𝑃𝑥 [(𝑎𝑦 − 𝑐𝑦)𝑑𝑎𝑧

𝑑𝑥− (𝑎𝑧 − 𝑐𝑧)

𝑑𝑎𝑦

𝑑𝑥]

(3. 23)

CAPITULO 3 PUENTES CURVOS CAJÓN

46

Cuando el tendón se encuentra en una red y (𝑎𝑦- 𝑐𝑦) es constante, de la pendiente,

𝑑𝑎𝑧/𝑑𝑥 puede ser elegido para que coincida con el diagrama de momento de torsión

debido a las cargas en cada punto a lo largo de la viga. Del mismo modo, cuando el tendón

está situado en la losa superior o inferior y (𝑎𝑧- 𝑐𝑧) es constante, de torsión puede ser

equilibrada por una elección apropiada de 𝑑𝑎𝑦/𝑑𝑥.

En vigas simplemente apoyadas, es posible disponer los tendones para equilibrar un

diagrama de momento de torsión sin que se modifique el efecto del pretensado en la

flexión. Esto se logra mediante la localización de los tendones en el alma exterior por

encima, y los tendones en los nervios interiores a continuación, el perfil determinado para

el comportamiento a la flexión (fig. 3.17). Como se muestra en la figura 3.18, el equilibrio

de la torsión de esta manera aumenta la flexión transversal. Ahorro en el refuerzo de torsión

se consiguen por lo tanto en el coste de refuerzo adicional para el curvado transversal.

Los tendones en las losas superior e inferior pueden compensar la torsión y la flexión

transversal (fig. 3.19). En esta disposición, los ahorros en el refuerzo de la torsión y la

flexión transversal se obtienen a costa de pretensado adicional.

Por estas razones, por lo tanto, el equilibrio de la torsión por pretensado se evita

normalmente. Independientemente de la disposición del tendón, el ahorro en refuerzo son

pequeñas y casi siempre compensado, cabo por las dificultades en la construcción. En vigas

continuas, es imposible equilibrar un diagrama de momento de torsión dada ajustando el

perfil de los tendones en las redes sin reducir el efecto de flexión del pretensado (fig. 3.20).

CAPITULO 3 PUENTES CURVOS CAJÓN

47

Figura 3. 17: Disposición de tendón viga isostática para compensar flexión y torsión

a, modelo; b, momentos de torsión debido a la carga muerta, Tc; c, arreglo tendón para equilibrar Tc; d, arreglo

de tendón para equilibrar los momentos de flexión debido a la carga muerta; e; superposición de arreglos (d) para

equilibrar la torsión y flexión

Figura 3. 18: Fuerzas Transversales

a, debido a la carga; b, debido al pretensado con tendones

en las bandas dispuestos como en la figura 3.17

CAPITULO 3 PUENTES CURVOS CAJÓN

48

Si la torsión en vigas continuas debe ser compensada por pretensado, es preferible utilizar

tendones adicionales en las losas superior e inferior (fig. 3.21). En vigas rectas con soportes

no sesgar, el efecto de pretensado longitudinal se limita esencialmente al comportamiento

estructural longitudinal. Pretensado contribuye directamente a la resistencia a la flexión de

las secciones transversales; la fuerza de los rendimientos de los tendones en tanto,

considera en el cálculo de Mg. La componente vertical del pretensado, Vp, normalmente

actúa contra la fuerza cortante debido a la carga. Se puede añadir a la resistencia de la

sección transversal, o, de manera equivalente, a la cortante de diseño.

𝑉𝑑,𝑒𝑓𝑓 = 𝑉𝑑 + 𝑉𝑝

Cualquier fuerza transversal seccionales inducidas por el pretensado de vigas rectas son

pequeñas y pueden despreciarse

Figura 3. 19: Fuerzas transversales en un elemento de viga

a, debido a la carga; b, debido al pretensado con

tendones en las losas superior e inferior

CAPITULO 3 PUENTES CURVOS CAJÓN

49

Figura 3. 20: Arreglo tendón Teórica en una viga continua para compensar la flexión y torsión

a, modelo; b, momentos de torsión debido a la carga muerta, Tc; c, disposición de tendón para equilibrar Tc; d,

arreglo de tendón para equilibrar los momentos de flexión debido a la carga muerta; e, superposición de arreglos

(c) y (d) para equilibrar la torsión y flexión

En vigas curvadas, el efecto de pretensado longitudinal es más penetrante. Como se

muestra en las figuras 3.18 y 3.19, de pretensado también induce la torsión y la flexión

transversal. El momento de torsión inducido por pretensado, Tp, se puede añadir a la

torsión de diseño de una manera similar a la cortante longitudinal:

𝑇𝑑,𝑒𝑓𝑓 = 𝑇𝑑 + 𝑇𝑝

Fuerzas de sección transversal efectiva también se utilizan para el diseño de elementos

de sección transversal bajo los efectos combinados de flexión y cizalladura transversal:

𝑚𝑑,𝑒𝑓𝑓 = 𝑚𝑑 + 𝑚𝑝

CAPITULO 3 PUENTES CURVOS CAJÓN

50

Figura 3. 21: Disposición de los tendones de vigas continúas para compensar la torsión

Los componentes de las fuerzas seccionales efectivos debido al pretensado (Vp, Tp,

mp) deben calcularse utilizando Po cuando la fuerza de corte de diseño se reduce el

pretensado y 1.2Po, cuando se aumenta el pretensado.

3.4. SECCIONES CAJÓN

3.4.1. Secciones Cajón y Tipos

La alta resistencia a la torsión de vigas cajón hace ideales para vigas curvadas en planta.

En su placa de forma y caja vigas simples se puede considerar como un conjunto de

membranas y bridas como se muestra en la Figura 3.22

Figura 3. 22: Conjunto de elementos de una viga cajón

CAPITULO 3 PUENTES CURVOS CAJÓN

51

Con el fin de reducir el peso propio de estas vigas y así lograr economía, se emplean

secciones de placa delgadas (que tienen dimensiones laterales grandes en comparación con

sus espesores). De ahí pandeo y de la reserva de post-pandeo fortalezas locales de placas

son criterios de diseño importantes. Bridas en una viga de telas caja y en la placa y la caja

de vigas a menudo se refuerzan con refuerzos para permitir el uso eficiente de placas

delgadas. El diseñador tiene que encontrar una combinación de espesor de la placa y el

espaciamiento de refuerzo que se traducirá en la sección más óptima con un costo reducido

peso y la fabricación. Estados límite de códigos de diseño han puesto un mayor énfasis en

el desarrollo de nuevos enfoques basados en la resistencia a la rotura de la placa y la caja de

vigas y sus componentes.

Secciones transversales huecas en comparación con proporciones de sección-transversal

completa de gran inercia y módulo de sección con respecto al área de sección transversal.

Esto da como resultado una buena utilización del material y puede ser debido a los grandes

diámetros de núcleo consiguientes parece ser particularmente adecuado para construcciones

pretensadas, estas secciones transversales. Debido a la relativamente gran rigidez a la

torsión de la viga de caja es particularmente favorable para puentes de ferrocarril y para

puentes horizontalmente curvadas. Al ser cerrado provoca un flujo de corte donde al mismo

tiempo una reducción de la flexión y por lo tanto tiene una buena distribución para el

resultado fuera del centro de carga.

Figura 3. 23: Ejemplos de secciones transversales de una sola célula

En la formación de secciones huecas es en principio diferente y unicelular secciones

transversales multicelulares (Figuras 3.23 y 3.24)

CAPITULO 3 PUENTES CURVOS CAJÓN

52

Figura 3. 24: Ejemplos de secciones transversales multicelulares

Otra característica distintiva es la inclinación de las barras. Esto puede sondear

dispuesto o inclinado. Cantos perpendiculares son ventajas durante la instalación de la

armadura y hormigonado. Debido a la inclinación de las bandas (normalmente 4:1 o 3:1),

reduce el lapso de la placa inferior. También se puede lograr que la viga cajón se apoyar

directamente sobre el pilar (transferencia de carga directa) o pilares estrechos son posibles.

El análisis elástico lineal para el caso de vigas de planteados, tales como la que se

muestra en la Figura 3.25 la vertical (Figura 3.25 (a)) y horizontales (Figura 3.25 (d))

componentes de las cargas aplicadas producen tensiones de flexión elásticas (Figura 3.25

(b) y (e)) y tensiones de cizallamiento (Figura 3.25 (c) y (f)) cuando actúan a través del

centro de corte. Estas fuerzas producen par de torsión sobre la sección transversal si actúan

excéntricamente con respecto al centro de corte. Secciones de la caja son muy fuertes en

comparación con perfiles en I en la resistencia de torsión.

CAPITULO 3 PUENTES CURVOS CAJÓN

53

Figura 3. 25: Flexión de vigas cajón

El supuesto de la teoría de la flexión simple es razonablemente precisa si la relación-

lapso-a la profundidad de la placa o cuadro vigas excede de aproximadamente 4. Sin

embargo, a causa de diferencial flexión en planos verticales, las secciones transversales

son sometidas a la deformación. Otro aspecto de la conducta no permitida para en el

simple tratamiento de la torsión es la posible distorsión de la sección transversal.

Distorsión introduce adicional estrés de varios tipos, y estos tienen que ser permitido para.

Sin embargo, el efecto de la distorsión puede ser controlado por el la rigidez y el

espaciamiento de los marcos transversales o diafragmas. En el caso de secciones en la que

la anchura entre las redes es muy, surge la pregunta grande y casi igual a la duración

acerca de la efectividad de la anchura completa de la brida. Hay, evidentemente, tiene que

haber alguna limitación en el 'ancho efectivo' de bridas de relaciones ancho / longitud

superiores. Estas limitaciones son debido a la intrusión de arrastre por cortante.

3.4.2. Distorsión de Secciones Cajón

La distorsión de una sola célula de caja viga puede ser sustancialmente mayor que la de

una estructura multicelular porque las bridas superior e inferior son capaces de doblarse en

el plano de lado Figura 3.26 (a) ilustra la distorsión de una caja-viga. La brida superior se

mueve hacia arriba y la banda izquierda se mueve hacia abajo. Figura (Una fotografía de la

distorsión de modelos de plástico de longitudes cortas de la caja se muestra en la figura.

3.26.) Figura 3.26 (b) muestra los momentos transversales de flexión debido a la flexión

fuera del plano de las placas, mientras que la fig. 3.26 (c) muestra los esfuerzos

longitudinales debido a la flexión en el plano.

CAPITULO 3 PUENTES CURVOS CAJÓN

54

Figura 3. 26: Distorsión de viga cajón

(b) distorsión viga fuera del plano de flexión y (c) en el plano de flexión (alabeo) tensiones

La figura 3.27 muestra cómo las fuerzas de distorsión se desarrollan en la estructura. La

carga excéntrica en la fig. 3.27(a) puede ser considerado como un componente anti

simétrica en (b) y un componente simétrico en (c). El componente simétrico provoca

flexión vertical del conjunto viga-cajón. El componente anti simétrica no puede equipararse

directamente a la torsión en la caja porque torsión pura implica un sistema de flujos de

cizallamiento alrededor de la celda como se muestra en la figura. 3.27 (e). La carga anti

simétrica en la fig. 3.27 (b), que se vuelve a dibujar en (d) es equivalente a la combinación

de los flujos de cizallamiento torsión pura en (E) y los flujos de cizallamiento distorsión en

(f). El par de torsión que participan en la torsión pura en (e) es igual al par de la carga anti

simétrica (d). El cizallamiento distorsión fluye en (f) se equilibran entre sí y no tienen

resultante red, pero, al mismo tiempo que causan distorsión de la celda como se muestra en

la figura 3.23. Una viga-cajón es muy rígida en torsión pura y la mayor parte del giro de la

plataforma se debe a la distorsión, a menos que la caja se apoya con diafragmas o refuerzos

transversales.

Figura 3. 27: Cargas excéntrica en secciones cajón

(b) componente antisimétrica; (c) componente simétrica; (d) = (b);

(e) los flujos de cizalla torsión pura; y (f) los flujos de cizalla distorsión

CAPITULO 3 PUENTES CURVOS CAJÓN

55

Arriostra miento transversal o marcos proporcionan un método muy eficaz para

rigidizar una caja-viga contra la distorsión. La cantidad de refuerzo que es apropiada

involucra un compromiso entre rigidez a la torsión, lo que es beneficioso para la

distribución de la carga eficiente, y la flexibilidad de distorsión que ayuda a la estructura

extendió las cargas entre los soportes. Una estructura de caja que es muy rígida contra la

distorsión y de torsión no puede descansar cómodamente sobre cojinetes en virtud de

bandas adyacentes, y la distribución de las reacciones entre redes podría ser muy sensible a

la compresibilidad y asentamiento diferencial de los cojinetes. Si los cojinetes están cerca

de toda la reacción se puede entrar en un rodamiento.

Un marco transversal o diafragma es casi sin duda requieren entre telarañas en cada

soporte. La sección de la caja es poco probable que tenga la rigidez suficiente para

controlar las deformaciones de distorsión en las cargas concentradas de las reacciones de

apoyo, o la fuerza suficiente para transferir cargas de corte entre webs. Un diafragma

proporciona una acción de atar apuntalamiento diagonal que reacciona con la cizalla

distorsión de flujos mostrado en la figura. 3.27 (f).

Distorsión de la curva vigas cajón es más complicada porque la torsión y la flexión

interactúan a lo largo del tramo y todas las cargas contribuyen a desviaciones de distorsión

y tensiones.

Figura 3. 28: Distorsión de sección cajón unicelular

CAPITULO 3 PUENTES CURVOS CAJÓN

56

3.4.3. Efectos arrastre por cortante

Estructuras de viga cajón en puentes están sometidas a esfuerzos de flexión de modo

que la distribución de la tensión normal en una sección transversal debe tener en cuenta el

fenómeno de arrastre por cortante, que influye tanto en tensión y compresión. Debido a la

acción de la gran deformación por cizallamiento en el plano de las bridas, las cepas

longitudinales en las áreas centrales son menos que en las áreas adyacentes a la unión de

web de brida, y la deflexión vertical de las áreas centrales son menos de la deflexión en la

unión de web-brida. El resultado es que la distribución de esfuerzos de compresión a través

de la brida no es uniforme durante las primeras etapas de carga, y el efecto de esto es

reducir la rigidez elástica de la viga en flexión. Este fenómeno de primer orden induce una

distribución de tensión normal no uniforme a través de la anchura de las alas, siendo mayor

a lo largo de la unión de web-brida de las tensiones debido a los requisitos de

compatibilidad.

La distribución de la tensión no uniforme a través de la anchura de la brida se ilustra en

la Figura 3.29. El procedimiento comúnmente adoptado en el diseño es para reemplazar la

anchura real de la brida por una amplitud efectiva que, cuando se utiliza junto

Figura 3. 29: Arrastre por cortante en una viga cajón

Con la teoría de viga simple, conduce a una estimación correcta del máximo las

tensiones de la brida o el desvío del haz como se requiera. El factor de amplitud eficaz para

una brida rígida depende en la geometría de la caja, la relación del área de refuerzo a área

de la placa (As = btf), condiciones de apoyo y la distribución de carga. Moffat y Dowling

CAPITULO 3 PUENTES CURVOS CAJÓN

57

(1975) han aportado, en base en extensos estudios que utilizan el método de elementos

finitos, una imagen completa del efecto arrastre por cortante en el comportamiento de la

caja de vigas.

Figura 3. 30: Factores anchura eficaces para arrastre por cortante en el centro de vano

Un estudio paramétrico detallado que tiene ha llevado a cabo es muy útil para los

diseñadores para el cálculo de los anchos de ala efectivo en todas las posiciones en el lapso

de una viga cajón de dimensiones en planta dadas y transversal proporciones, sometidos a

punto o distribuidos carga. La variación del factor de amplitud eficaz con relación de

aspecto de B / L por la amplitud eficaz en la mitad del tramo, debido a una carga puntual en

se muestra la mitad del tramo y debido a una carga uniformemente distribuida en la figura

3.30 para dos valores de As = BTF (0 y 1,0).

El efecto más significativo de arrastre por cortante en el comportamiento del punto de

vigas cargadas es reducir la rigidez total. Si la viga sigue cargado después de ceder tiene

ocurrido cerca de la interfaz ala-alma, entonces el rendimiento se extenderá a través de la

pestaña, dando así un sistema más uniforme distribución de la tensión. Resultados de las

pruebas han demostrado que la redistribución completa de tensión a través de la brida se

han llevado a cabo como viga se acerca a su resistencia a la rotura y el descuido de efecto

arrastre por cortante no tiene efecto significativo debilitamiento de la resistencia a la rotura

de las bridas de compresión rígidas. .

58

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Capítulo 4

PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR

4.1. CONFIGURACION DE PUENTES CURVOS

4.1.1. Uso de Acordes

Los puentes curvos horizontales pueden ser diseñados y construidos como una serie de

segmentos rectos cortos, o acordes, los cuales se aproximan el arco teórico. Estas vigas son

fabricadas en tramos rectos, con un pequeño ángulo en las articulaciones de forma. La

excepción es viga monorriel, en la que la superficie de viga de hormigón es la superficie de

rodadura de las ruedas del vehículo monorraíl. Dichas vigas monorriel se hacen en una

forma ajustable que se puede doblar para formar un arco suave.

Estas estructuras pueden ser ejecutadas si el desplazamiento entre el arco y su cuerda

máxima es igual a 𝐿𝑐2/8𝑅, donde Lc es la longitud de cuerda y R es el radio de curvatura,

aunque se trata de una aproximación, es una buena forma de determinar la misma. Debido a

CAPITULO 4 PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR

59

que la longitud puede ser o bien la longitud del arco La, o la longitud de la cuerda Lc,

esta fórmula muestra que el desplazamiento varía con el cuadrado de la longitud de cuerda.

La forma más sencilla para apoyar un camino curvado es usar vigas rectas debajo de

una cubierta curvada. Si el desplazamiento entre la cuerda y el arco es demasiado grande, la

apariencia será pobre, y la viga exterior en la parte exterior de la curva será requerida para

soportar demasiada carga adicional. Es deseable que el desplazamiento arco y cuerda se

limite a 1.5 pies, (0.5 m.) y que el borde de la brida superior de la viga esté a menos de 0,5

pies, (0,15 m.) hasta el borde de la losa. Tabla 4.1 muestra los radios de curva mínimo que

se ajusta al requisito 1.5 pies de desplazamiento máximo. Este límite es a menudo

excedido, pero cada caso debe ser examinado por la aceptabilidad.

Longitud

Viga

[m]

Radio [m]

Desplazamiento [m]

50.00 100.00 150.00 200.00

13.50 0.4584 0.2282 0.1520 0.1139

15.00 0.5668 0.2818 0.1877 0.1407

20.00 1.0136 0.5017 0.3338 0.2502

25.00 1.5962 0.7854 0.5220 0.3911

30.00 2.3209 1.1335 0.7525 0.5636

Tabla 4- 1 Radios y Desplazamientos de Diferentes Longitudes de Vigas

La forma más sencilla y rentable de construir puentes curvos es utilizar vigas rectas

prefabricadas y pretensadas. El análisis y el diseño son idénticos a la de una viga recta con

la única diferencia del cálculo de cargas en la viga exterior. La "regla de la palanca" [LRFD

Art. C4.6.2.2.1] puede ser utilizado de la misma manera como para un puente recto,

siempre y cuando el voladizo variable se represente. Además, la longitud del tramo extra en

el exterior de la curva debe, por supuesto, ser utilizado en el diseño de estas vigas.

Para situaciones en las que el desplazamiento supera los 1,5 pies (0,5 m.), puede ser

necesario aumentar el número de acordes, es decir el número de vigas. Un método consiste

en combinar vigas tipo I y con vigas tipo T, este método es descrito más adelante y se

CAPITULO 4 PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR

60

puede tener mayor referencia sobre esto en [20]. Con dos vigas, la compensación se

reducirá a un factor de 4; y con tres vigas, la compensación se reducirá en un factor de 9.

4.1.2. Configuración de Vigas I

El uso del hormigón postensado requiere que el ancho del nervio sea más grueso que 6

pulg. AASHTO-PCI indica que en vigas T y otras estándar vigas I, para acomodar los

conductos de postensado y refuerzo de estribos de corte o torsión, el espesor del alma

mínimo debe ser de 7 a 8 pulg. (20 cm.), según [20].

La continuidad es muy deseable en los puentes curvos, porque esta reduce en gran

medida la torsión resultante de las cargas aplicadas, y reduce el exceso de carga sobre la

viga exterior en el exterior de la curva. Esta continuidad se puede lograr vaciando la losa

monolíticamente con las vigas, para así poder tener continuidad del tablero del puente.

Los diafragmas a menudo se omiten en los puentes rectos cortos. Sin embargo, en

puentes curvados, los miembros transversales, que se hará referencia como travesaños en

este capítulo debido a su papel único, se requieren para contrarrestar tanto los efectos de

torsión y las fuerzas laterales que resultan de la curvatura. Los travesaños también deben

ser lo suficientemente profundos como para sujetar el reborde inferior.

En las alineaciones curvas.

Las vigas prefabricadas se pueden disponer a lo largo de las cuerdas del arco, resultando

así un voladizo de ancho variable. Los ejes de los apoyos se pueden establecer paralelos

entre sí o radiales a la alineación de la misma (Figura 4.1).

CAPITULO 4 PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR

61

Figura 4. 1. Arreglos de Vigas Prefabricadas de Puentes en Curvos

La primera disposición permite que todas las vigas de un lapso determinado tengan la

misma longitud [9]. Esta se prefiere para viaductos a lo largo de laderas de montañas, en

donde las bases normalmente deben estar alineadas paralelas al vector gradiente del vector

gradiente de la pendiente. Vigas de longitudes desiguales por lo general se pueden hacer sin

demasiada dificultad y con menor costo

4.1.3. Súper elevación y Sobreancho de curva

En puente curvos horizontales se deberá tener una sobre elevación o peralte todo esto

por el hecho de contrarresta la fuerza centrífuga que se ejerce hacia los vehículos por

encontrarse en un curva horizontal, este valor es medido en porcentaje, el cual es calculado

y depende del radio. Para lo cual la referencia [21] nos muestra una tabla en la que la

velocidad de transito está en función del peralte.

Caminos Colectores – Locales – Desarrollo

Vp emáx f Rmin

Km/h (%) (m)

30 7 0,215 25

40 7 0,198 50

50 7 0,182 80

60 7 0,165 120

70 7 0,149 180

80 7 0,132 250

Carreteras – Autopistas Autorrutas - Primarios

80 8 0,122 250

90 8 0,114 330

100 8 0,105 425

110 8 0,096 540

120 8 0,087 700

Tabla 4- 2: Radio mínimo absoluto en curvas horizontales

CAPITULO 4 PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR

62

Cuando un vehículo circula por una curva horizontal ocupa un ancho de calzada mayor

que en recta, esto debido a que por rigidez y dimensiones del vehículo sus ruedas traseras

siguen una trayectoria distinta a la de las ruedas delanteras, ocasionando dificultad a los

conductores para mantener su vehículo en el eje del carril de circulación. En estas

circunstancias y con el propósito de que las condiciones de operación de los vehículos en

las curvas sean similares, este aumento del ancho se denomina sobreancho de curva.

El cálculo del sobreancho se desarrolla mediante el análisis geométrico de las

trayectorias que describen los diferentes vehículos. La tabla 4-3 permite calcular el

ensanchamiento total de la calzada (Em), donde Lt es el largo total del vehículo, L1 la

distancia entre para choques delantero y el ultimo eje camión tractor, y L2 distancia entre

pivote mesa de apoyo y ultimo eje del tándem trasero. El ensanchamiento de la curva

interior (e.int) es del 65 al 70% según Tabla 4-3 y exterior (e.ext) del 30 al 35%.

TIPO DE

VEHÍCULO

(Lt en m)

PARÁMETRO

DE CÁLCULO

(m)

E

(m)

e.int

(m)

e.ext

(m)

RADIOS LIMTE

(m)

CALZADA EN RECTA 7,0 m (n = 2) 0,5 ≤ E ≤ 3,0 m E=e.int + e. ext h1 = 0,6 m h2= 0,4 m

Camión Unid. Simple

Lt=11,0*

Bus Corriente

Lt = 12,00

Lo = 9,5 (Lo2/R) – 0,2 0,65 E 0,35 E 30 ≤ R ≤ 130

Bus de Turismo

Lt=13,2*

Bus de Turismo

Lt = 14,00*

Lo = 10,5

Lo = 10,6 (Lo2/R) – 0,2 0,65 E 0,35 E 35 ≤ R ≤ 160

Semitrailer

Lt=16,4

L1 = 5,6

L2 = 10,0

((L12+ L22)/R) – 0,2

0,70 E 0,30 E

45 ≤ R ≤ 190

Semitrailer

Lt=18,6*

L1 = 5,6

L2 = 12,2 60 ≤ R ≤ 260

Semitrailer

Lt=22,4*

L1 = 5,6

L2 = 15,5 ((L12+ L22)/R) – 0,2 85 ≤ R ≤ 380

Tabla 4- 3: Ensanchamientos de calzadas

CAPITULO 4 PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR

63

4.2. DISEÑO PRELIMINAR

4.2.1. Desplazamiento Cuerda Arco

A pesar de la inmensa potencia de cálculo disponible, aproximaciones simples siguen

siendo de gran utilidad para el diseño preliminar. Son rápidos de usar, y le dan al diseñador

una "sensación" de cómo un cambio en un parámetro afecta a otros parámetros.

El desplazamiento entre arco y cuerda máxima se llama la ordenada media o la

"Sagitta" (Sagitta en latín significa "flecha") y representado por el símbolo, s. Como se

indicó en la Sección 4.1.1, la Sagitta es aproximadamente igual a 𝐿𝑐2/8𝑅. La derivación es

simple y se muestra en la Figura 4.2. Una vez más, ya que estos son aproximaciones, no es

importante si se utiliza la longitud de arco o longitud de la cuerda.

Figura 4. 2. Desplazamiento de cuerda de arco

Por teorema de Pitágoras se tiene:

𝑎2 + (𝐿𝑐

2)

2

= 𝑅2 (a)

También se tiene del grafico

𝑎 = 𝑅 − 𝑠 (b)

CAPITULO 4 PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR

64

Reemplazando (b) en (a) se tiene:

𝑅2 − 2𝑅𝑠 + 𝑠2 +𝐿𝑐

2

4= 𝑅2 (b)

Pero s es pequeño en comparación con R y Lc. Por lo tanto, ignoramos s2 y resolviendo

para s se tiene:

𝑠 =𝐿𝑎

2

8𝑅

(4. 1)

𝑠 = 𝑅 (1 − cos∆

2)

(4. 2)

La fórmula subestima ligeramente la distancia, s. La aproximación es ligeramente mejor

si la longitud es tomada como la longitud del arco, 𝐿𝑎 .Sin embargo para un cálculo más

preciso se puede tomar en cuenta la ecuación 4.2 mostrado en [19], la cual está en función

del ángulo de deflexión ∆ y el radio de curvatura R.

𝐿𝑐 = 2𝑅𝑠𝑒𝑛∆

2

(4. 3)

4.2.2. Profundidad de Filete

La cartela losa es la distancia entre la parte superior de una viga y la parte inferior de la

losa de calzada. La cartela varía en profundidad a lo largo de la longitud de la viga para

acomodar la curvatura de la viga y los efectos geométricos de la superficie de la carretera

incluyendo peraltes, curvas verticales y curvas horizontales.

El concepto básico en la determinación de la dimensión "A" requerida es proporcionar

una apoyo sobre la viga de tal manera que la parte superior de la viga no sea menor que la

profundidad de filete (típicamente de 2 cm) por debajo de la parte inferior de la losa en el

centro del vano. Esto establece que la inclinación real de la viga podría ser superior al valor

calculado por 1 ¾" (4,5 cm.) antes de que la parte superior de la viga interfiera con la

colchoneta inferior de refuerzo de la losa. Es deseable disponer de puntos de curvatura

horizontal y vertical en las transiciones de súper elevación fuera de la estructura del puente,

CAPITULO 4 PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR

65

ya que esto simplifica en gran medida los requisitos geométricos en la pierna de la losa. Sin

embargo se puede ver que puentes se aprietan en las infraestructuras existentes, teniendo así

transiciones geométricas en su estructura.

Cada efecto geométrico es considerado independientemente de los otros. El efecto

geométrico total es la suma algebraica de cada efecto individual. La distancia entre la parte

superior de la viga y la parte superior de la superficie de la calzada, debe ser al menos el

espesor de la losa de calzada más la profundidad de filete.

Figura 4. 3. Efecto Filete en Vigas en I

∆= 𝑡𝑙𝑜𝑠𝑎 + 𝑡𝑓𝑖𝑙𝑒𝑡𝑒 (4. 4)

El perfil de efectos toma en cuenta los cambios en el perfil de la carretera a lo largo de

la longitud de la viga. Estos cambios incluyen cambios de grado, efectos de la curva

vertical, y las desviaciones de desplazamiento entre la línea central de la viga y la

alineación causada por vigas y/o curvatura acompañadas en la alineación. Cuando todas las

vigas en un tramo son paralelas y la duración está contenida enteramente dentro de los

límites de una curva vertical y/o horizontal, el efecto del perfil es simplemente la suma de

la curva efecto vertical y el efecto de la curva horizontal.

CAPITULO 4 PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR

66

Figura 4. 4: Efecto de la curva horizontal

𝜙 =Δ

𝑅

𝜙 =𝑠

4𝑅

tan 𝜙 ≈ 𝜙

tan 𝜙 ≈2𝐻

𝑠

𝐻 =𝑠

2tan 𝜙 ≈

𝑠

2𝜙 =

𝑠

2∙

𝑠

4𝑅=

𝑠2

8𝑅

∆ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 𝑐𝑢𝑟𝑣𝑒 𝑒𝑓𝑓𝑒𝑐𝑡=𝑠2

8𝑅∙ 𝑚 (4. 4)

CAPITULO 4 PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR

67

4.2.3. Exceso de inclinación

Los efectos de grado afectan a la geometría de la viga prefabricada. La longitud de

inclinación se incrementa a lo largo del plano en una cantidad 𝛾2𝐿/2 donde 𝛾 es expresado

con un decimal. La viga prefabricada se hace normalmente en forma de un rectángulo como

se ve en la elevación de la figura 4.5. Es decir los extremos de la viga son generalmente

perpendiculares al eje a lo largo de la viga, en lugar de ser verticales en la posición final de

la viga. Del mismo modo los diafragmas son perpendiculares con el eje de la viga.

Figura 4. 5: Efectos de grado

La longitud de la inclinación de una viga en un grado es mayor que la longitud en planta

por una cantidad 𝐻2/2 𝐿, donde 𝐻 es la diferencia en la elevación de los dos extremos de la

viga. Esta es una fórmula bien conocida, y es idéntica a la anterior explicada, (𝛾 es igual a

𝐻/𝐿). La derivación es similar a la del desplazamiento cuerda arco. Se utiliza el teorema de

Pitágoras, descuidando una pequeña cantidad de segundo orden.

CAPITULO 4 PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR

68

Figura 4. 6: Torcedura resultante del cambio de grado

La longitud de un arco es más largo que su cuerda por una cantidad 8𝑠2/3𝐿𝑐, donde s es

el desplazamiento de cuerda de arco y Lc la longitud de la cuerda. El exceso de longitud

también se puede expresar como 𝐿𝑐3/24𝑅2. Esta fórmula se deriva mediante la

aproximación de la longitud de arco como una serie de acordes cortos, a continuación, se

toma el límite como la longitud de cuerda se aproxima a cero. Como resultado de la

torcedura de grado la forma de una viga curvada en un grado es una hélice, que tiene la

misma forma de una barandilla en una "espiral" (más correctamente, helicoidales).

Para comprender mejor el giro en una viga curva causada por el grado, se considere la

posibilidad de una viga curvada a 90 grados (1.57 radianes) en planta, hecha sin torsión,

con extremos cuadrados como se ilustra en la figura 4.6. El apoyo en el punto B se eleva

CAPITULO 4 PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR

69

más alto que en el punto A en un importe de 1,57 𝛾𝑅 como se muestra en la elevación B-B.

Por lo tanto, la viga se inclinó en un ángulo de 1,57 𝛾𝑅. En el punto B, los lados de la viga

no están en plomada; ellos serán inclinados en un ángulo 1,57 𝛾𝑅. Además se debe tener en

cuenta que en el punto C, el punto medio de la viga, la elevación de esta no será la mitad de

1,57 𝛾𝑅 como debe ser.

Elevación B'-B, Figura 4.6, muestra la elevación de la viga fabricada a una hélice

verdadera. Los extremos y los lados de la viga estarán en plomada en los apoyos A y B, y la

elevación en C estará correcta. La viga debe estar retorcida por un importe 1,57 𝛾𝑅.

Generalizando para ángulos distintos de 1,57 radianes, la cantidad de giro es 𝜓𝛾, o (La/R) 𝛾

donde La es la longitud del arco.

La aproximación es la siguiente: El ángulo de torsión es suficientemente pequeño para

ser ignorado en la fabricación de la viga. Si el giro se ignora en la fabricación de la viga,

deberá tenerse en cuenta que cuando la viga se encuentra en el campo, no será posible

conseguir la verticalidad de los extremos. Si el giro aparentemente es lo suficientemente

grande como para ser medible, la viga deberá dividirse en la diferencia de la fuerza vertical

de los dos extremos. Esto dará como resultado que el punto medio de la viga este en la

elevación adecuada.

4.2.4. Centro de gravedad de un arco

El centro de gravedad de un arco y de una carga aplicada a lo largo del arco está

desplazado de la cuerda a 2𝑠/3 o 𝐿𝑐2/12𝑅. Ver figura 4.7.

Figura 4. 7: Centro de gravedad de Arco

CAPITULO 4 PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR

70

El área de una superficie curva con extremos radiales, tales como una cubierta de

puente, es igual a 𝐵𝐿𝑎, donde B es el ancho y 𝐿𝑎 es la longitud de arco a lo largo de la línea

central. Ver Figura 4.8. El centro de gravedad de una superficie curva se encuentra fuera

del centro de gravedad de la línea central del arco, porque hay más área fuera de la línea

central que dentro. Esta excentricidad adicional, 𝑒 es igual a 𝐵2/12𝑅. Por consiguiente, el

desplazamiento de la cuerda para el centro de gravedad de la superficie total es de

(𝐿𝑐2 + 𝐵2)/12𝑅. Cuando los extremos del puente no son radiales, se requiere un cálculo

más detallado para el área y centroide de la superficie.

Figura 4. 8: Propiedades de una superficie curva plana

4.3. ANALISIS ESTRUCTURAL APROXIMADO

4.3.1. Análisis como un perfil de marco recto

Los momentos de flexión en una viga curvada debido a las cargas verticales pueden

analizarse teniendo en cuenta que la viga sea recta de amplitud igual a la longitud de arco

de la viga curva. Esta aproximación es muy buena, y lo suficientemente precisa para el

diseño preliminar.

CAPITULO 4 PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR

71

4.3.2. Torsión

Aunque los momentos de flexión se pueden estimar mediante el análisis de una viga

recta de longitud igual a la longitud del arco de la viga curva, lo mismo no se puede decirse

de los momentos de torsión.

Momentos de torsión son necesarios para el equilibrio de una viga curvada. Figura 4.7

muestra que, como se señaló en el subtítulo 4.2.4, el centro de gravedad de un arco (y de las

cargas aplicadas a lo largo de ese arco) está desplazado desde una línea a través de los

soportes de una viga en un lapso de cantidad igual a 𝐿𝑐2/12𝑅. Entonces el momento del

peso, W, sobre los soportes es 𝑊𝐿𝑐2/12𝑅. Este es resistido por momentos de torsión en

cada extremo de la viga, aproximadamente igual a 𝑊𝐿𝑐2/24𝑅. Una vez más, debido a que

estos son aproximaciones, un valor conocido de 𝐿𝑎 se puede utilizar en lugar de 𝐿𝑐.

4.3.3. Momentos finales

La presencia de momentos en los extremos de las vigas continuas reduce

significativamente los momentos de torsión en el soporte. Como se muestra en la Figura

4.9, momentos en los extremos tienen un componente que ayuda a resistir la excentricidad

del peso, W, aplicada al arco.

Para una viga cargada uniformemente, termina fijo el momento final de WLa/12 el

reduce el momento de torsión en el apoyo aproximadamente igual a cero. Para vigas

continuas, el momento de torsión en el apoyo no será cero, pero por lo general será menos

de la mitad de la duración de momento de torsión sencilla en el soporte. Esto se discute en

más detalle en la Sección 4.4.2.

Figura 4. 9: Momentos extremo negativo que contrarrestar la torsión en vigas continuas

CAPITULO 4 PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR

72

4.4.ANALISIS ESTRUCTURAL DE PUENTES CURVOS VIGA LOSA

4.4.1. Flexión Longitudinal

El análisis de un perfil como marco recto es idéntico como se señaló anteriormente, los

momentos de flexión longitudinal son prácticamente los mismos que los de una viga recta

de longitud desarrollada. Sin embargo, la distribución de las cargas a las vigas será

diferente en puentes curvos.

Las cargas sobre la viga exterior Los cortantes y momentos en la viga exterior en el

exterior de la curva son sustancialmente mayores que para otras vigas en el puente. Esto es

causado por los siguientes factores:

• La longitud del arco en el exterior de la curva es más largo que la longitud nominal en

la línea central del puente. Esto aumenta los momentos de flexión en el exterior de la viga

por (aproximadamente) el cuadrado de la relación de las longitudes de arco.

• La proyección a mediados de arco puede ser aumentado en una cantidad igual al

desplazamiento de la cuerda arco.

• Otras vigas arrojarán algo de su momento de torsión al desplazar la carga hacia la

siguiente viga exterior. El elemento externo es el lugar de descanso final para este

desplazamiento de cargas.

4.4.2. Torsión

Es útil examinar con más detalle la forma en momentos de torsión que se desarrollan en

una viga curva. Se verá que los momentos de torsión están relacionados con el momento de

flexión M dividido por el radio de curvatura R.

CAPITULO 4 PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR

73

Figura 4. 10: Torsión y curvatura

El desarrollo de momentos de torsión en una viga curva se puede pensar de la siguiente

manera. Considere un segmento corto cerca del centro del vano de la viga curva en

sencillos tramos como se muestra en la Figura 4.10.

Al centro de la luz, el momento de flexión es 𝑊𝐿𝑎/8, y el momento de torsión es cero

(por simetría). En un pequeño ángulo 𝜓, y lejos del centro de la luz, el momento de flexión

debe "encender" a través del ángulo 𝜓, un momento de torsión (aproximadamente) igual a

𝑥𝑊𝐿𝑎/8𝑅 donde este es necesario para el equilibrio. Alrededor de la curva en el apoyo, el

momento de torsión aumenta por incrementos de 𝑥𝑀/𝑅. Sin embargo, 𝑀 cambia entre

centro de la luz y el soporte.

Integrando el diagrama 𝑀/𝑅 de centro de la luz de apoyo, como se muestra en la Figura

4.11, un momento de torsión de 𝑊𝐿𝑎2/24𝑅 se obtiene. Esta es idéntica a la obtenida a

partir de equilibrio en la Sección 4.3.2

CAPITULO 4 PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR

74

Figura 4. 11: Torsión de una viga simple curvada

La torsión en vigas continuas puede ser comprendida por la primera torsión examinada

anteriormente en una viga isostática.

En la Figura 4.12 se muestra el diagrama 𝑀/𝑅 para una viga de tramos continuos.

Debido a que el área bajo el diagrama 𝑀/𝐸𝐼 para viga de tramos continuos se debe

integrar a cero, el área bajo el diagrama 𝑀/𝑅 también se integra a cero, dado constante 𝐸𝐼

y 𝑅. De este modo, la torsión en el apoyo será cero. El momento máximo de torsión se

produce en el punto de inflexión, y es 19% del momento de torsión máximo en una viga

simplemente apoyada.

Las vigas continuas son intermedios entre simplemente apoyadas y fijas. Las vigas

interiores suelen parecerse más al caso fijo, y las vigas exteriores pueden estar más cerca

del caso simplemente apoyado. La continuidad puede reducir significativamente los

momentos de torsión.

CAPITULO 4 PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR

75

Figura 4. 12: Torsión de una viga continúa curvada

Puentes curvos con vigas rectas en forma de red pueden resistir cargas excéntricas sin

torsión. La Figura 4.13 muestra un puente sencillo de dos vigas, el cual se encuentra en tres

tramos.

El momento de la viga en una articulación debe "dar vuelta la esquina." En este caso, el

equilibrio es suministrado por un momento de flexión en la viga transversal. Este momento

de flexión en la viga transversal es igual al ángulo (en radianes) entre los dos segmentos de

viga multiplicada por el momento de flexión en la viga principal.

Un bosquejo de equilibrio de la viga transversal se muestra en la Figura 4.13. Los

momentos en los dos extremos de la viga se equilibran por fuerzas de corte, que transfieren

la carga desde el interior al exterior de la viga. Tomando en cuenta que para un

emparrillado de dos vigas, las reacciones pueden ser determinadas por la estática, porque la

resultante de las reacciones en cada extremo debe estar en una línea a través de la ubicación

resultante de las cargas.

CAPITULO 4 PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR

76

Para múltiples puentes curvos de vigas de red, las reacciones pueden ser estimadas

asumiendo una distribución lineal de las reacciones que produce la ubicación correcta de la

resultante. Un procedimiento similar al descrito en el LRFD Especificaciones Comentario

[artículo C4.6.2.2.2d], puede ser utilizado. Esto se ilustra en el acápite 7.

Figura 4. 13: Entramados simples

Después de la estimación de las reacciones de la viga exterior, uno puede estimar el

momento de flexión en la viga exterior. Esto se hace por comparación con el momento de

flexión en una viga recta de longitud igual a la del arco de la línea central del puente.

Dos factores de corrección se aplican entonces a este momento de flexión. La primera

corrección es la relación de la reacción final estimado en el trabajo de emparrillado de viga

del puente curvado para un puente recto.

Una suposición simplificadora hace que el momento de flexión sea proporcional a la

reacción final multiplicado por la longitud; dando el segundo factor de corrección, la

relación de la longitud de la viga debe tomar el valor de la longitud de la línea central. El

CAPITULO 4 PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR

77

momento de flexión de una viga recta de longitud igual a la longitud de la línea central del

puente se multiplica entonces por estos dos factores para obtener la estimación del

momento de flexión en la viga exterior.

Las cargas aplicadas después de que se complete la rejilla teóricamente pueden ser

soportadas sin torsión.

Aunque el equilibrio puede ser obtenido sin torsión, un análisis mostrará una pequeña

cantidad de torsión compatible. Si la torsión compatible factorizada es inferior a la indicada

en las Especificaciones LRFD [Ecuación 5.8.2.1-3], la torsión se puede ignorar sin ningún

problema.

78

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Capítulo 5

MÉTODOS DE ANÁLISIS DE PUENTES CURVOS

5.1. INTRODUCCION

En este acápite se procederá a desarrollar muy resumidamente los métodos de análisis

estructural aceptables según [LRFD Art. 4.4], donde estos también pueden ser aplicables a

puentes curvos y ser programados en computadoras. Los métodos de análisis que

desarrollaremos son: Método de losa ortótropa, que no es nada más que la idealización del

tablero en una estructura plana de rigidez equivalente, la cual tiene características

elastomecánicas constantes o variables, el método de lámina plegada que corresponde a una

estructura compuesta por diferentes elementos no coplanarios pero paralelos a una

dirección determinada, el método de emparrillado que puede ser empleado cuando la

separación de vigas no es muy grande y por último el método de los elementos finitos, el

cual es un proceso de idealización o discretización en pequeños elementos específicos.

Todos los métodos de análisis mencionados anteriormente son expuestos en los apartados,

donde se desarrolla su formulación general, sus aplicaciones, ventajas y desventajas que

tienen cada uno de estos.

CAPITULO 5 MÉTODOS DE ANÁLISIS DE PUENTES CURVOS

79

5.2. FORMAS DE CALCULO DE TABLEROS DE PUENTES

En este subtitulo se procederá a explicar en términos generales las idealizaciones y

métodos de cálculo más usuales en puentes, con especial referencia al tipo y categoría de

los mismos.

Los puentes constituidos por elementos en forma de viga con secciones transversales

prácticamente de geometría indeformable, pueden ser analizados de las siguientes maneras.

Cálculo del tablero, fundamentalmente bajo acciones de cargas

concentradas: efectos locales.

Cálculo del sistema estructural primario como un sistema de elementos

monodimensionales1, los cuales puedes ser de directriz recta o curva.

Es muy típico ver esto en pasarelas donde el ancho es pequeño, en consecuencia se lo

analiza como una estructura de barras y nudos. Sin embargo si el puente está constituido

por elementos con apariencia de viga, pero de modo que su ancho es apreciable y que ya no

se puede suponer una indeformabilidad transversal de la sección bajo la acción de cargas

excéntricas, el análisis anterior se modifica a:

Cálculo del tablero a efectos locales.

Cálculo del tablero como elementos bidimensionales2.

Cálculo del sistema estructural primario, como un sistema de elementos

monodimensionales.

El análisis como elemento bidimensional se lo realiza para poder obtener los esfuerzos

transversales en particular momentos flectores y el reparto transversal de los esfuerzos

longitudinales principalmente momentos flectores, cortantes y reacciones, en el análisis

monodimensional del sistema estructural primario resulta ser el cálculo de esfuerzos

1 Elemento monodimensional constituye una idealización con dos dimensiones muy pequeñas respecto a su

longitud la cual se sustituye por una línea donde está es el lugar de los centros de gravedad de las secciones

normales a la misma, las cantidades escalera de inercias y área la definen como estructura. 2 El modelo bidimensional se compone de sistemas de placas y barras, el cual se caracteriza por una superficie

y un elemento o elementos monodimensionales a lo largo de su contorno.

CAPITULO 5 MÉTODOS DE ANÁLISIS DE PUENTES CURVOS

80

aplicados en todo el largo, los cuales deben ser mayor por coeficientes de excentricidad

deducidos de la parte del cálculo del tablero.

Existen situaciones de tableros de características claramente tridimensionales, en estos

casos, se debe realizar el cálculo tridimensional completo de la estructura análoga a viga, es

decir, con variaciones suaves de la sección transversal, y sistemas de apoyo homogéneos

(planta regular y soportes distribuidos en forma uniforme en cada sección de apoyos), en la

cual se puede realizar la siguiente simplificación del cálculo tridimensional.

Cálculo del tablero a efectos locales.

Cálculo del tablero como elemento tridimensional para obtener los esfuerzos

transversales, en particular momentos flectores y distribución de tensiones

tangenciales y el reparto transversal de los esfuerzos longitudinales,

fundamentalmente flectores, cortantes, torsores y reacciones.

Cálculo de la estructura primaria del puente como un conjunto de elementos

monodimensionales, afectando a los esfuerzos medios obtenidos de los

correspondientes factores de excentricidad.

5.3. MÉTODOS DE CÁLCULO

El análisis de puentes y el estudio estructural del tablero representa probablemente la

parte más característica de su cálculo a excepción de tipos muy particulares de tableros por

ejemplo, los de pasarelas los cuales constituyen estructuras en forma de viga. Pero sin

embargo el problema es más agudo cuando se exige recursos de cálculo de estructuras más

específicos, correspondiente al estudio transversal del tablero, en este análisis transversal se

puede exigir modelos estructurales bidimensionales o tridimensionales según los siguientes

casos:

1. El modelo estructural de losa ortótropa consiste en idealizar el tablero en una estructura

(2-D) plana, con característica elastomecánicas constantes (placa homogénea) o

variables (heterogénea) en los distintos puntos de la placa, o variables en cada punto

con la dirección de la sección, pero conservando dos direcciones principales

(ortotropía). El cálculo es bidimensional (3 grados de libertad por nudo) y existen

CAPITULO 5 MÉTODOS DE ANÁLISIS DE PUENTES CURVOS

81

numerosas técnicas de solución (exactas y aproximadas). Su rango de aplicación viene

limitado por el carácter (2D) del modelo estructural.

Figura 5. 1: Losa ortótropa

2. El modelo estructural de lámina plegada corresponde a unas estructuras compuestas por

distintos elementos (2-D) no coplanarias, todos ellos paralelos o fundamentalmente

paralelos a una dirección determinada, que corresponde a la idealización de la luz del

tablero del puente. Si todos los elementos 2-D son exactamente paralelos a la dirección

citada, la lámina plegada se denomina prismática y no prismática en caso contrario. El

cálculo de esta estructura es en general tridimensional, si bien el número de grados de

libertad por nudo puede reducir en algunos casos a cuatro, cuando la lámina es

suficientemente regular en su geometría y por lo tanto, susceptible de ser tratada con

cierta aproximaciones adecuadas. Constituye un modelo estructural mu y potente en el

campo de aplicaciones a las estructuras de los tableros de geometría irregular, que

exigen el recurso de métodos numéricos y en particular el de los elementos finitos para

la obtención de las respuestas estructurales.

CAPITULO 5 MÉTODOS DE ANÁLISIS DE PUENTES CURVOS

82

Figura 5. 2: Laminada Plegada

3. El emparrillado plano es un modelo estructural (1-D), si bien el cálculo es

bidimensional, ya que existe tres grados de libertad por nudo, como en la placa

ortótropa, de la que a veces se constituye una idealización de más fácil análisis

estructural. Aunque existe y se han desarrollado varios procedimientos más o menos

aproximados para su cálculo (iterativo, desarrollado en series, etc.), actualmente tras la

aparición de los computadores electrónicos y el desarrollo de los métodos matriciales de

análisis de estructuras, se puede decir que solamente estos últimos son utilizados en la

práctica profesional. El campo de aplicación del emparrillado presenta el mismo tipo de

limitaciones que la placa ortótropa, si bien el carácter numérico general de cálculo

permite el tratamiento unificado de geometrías y la no homogeneidad del tablero

arbitrario.

Figura 5. 3: Emparrillado

CAPITULO 5 MÉTODOS DE ANÁLISIS DE PUENTES CURVOS

83

4. El método de los elementos finitos es actualmente una las potentes herramientas de

cálculo que existe a disposición del ingeniero. El proceso de idealización estructural

consiste en discretizar con la menor complicación el problema. En el caso de

representación de estructuras bidimensionales generales, es decir, compuesta de

elementos (1D) y (2D) sin un plano común, la idealización y cálculo estructural

posterior se lleva a cabo mediante elementos finitos específicos: elementos viga, placas,

laminas planas y curvas. La facilidad de adaptación a las diferentes problemáticas

estructurales hace muy atractivo este método, pero su principal inconveniente reside en

el elevado costo de aplicación.

Figura 5. 4: Emparrillado y elemento finitos

5.4. METODOS DE REPARTO TRANSVERSAL

El reparto transversal de las cargas concentradas constituye un problema característico

de ciertos tipos de puente, particularmente los de vigas donde se interesa conocer la

proporción de carga que resiste cada una, cuando la sobrecarga se encuentra en posición

excéntrica transversal.

Este problema ha sido estudiado desde hace muchos años donde la solución se dirigía a

modelar el tablero como una estructura continua. Actualmente los tableros son modelados

CAPITULO 5 MÉTODOS DE ANÁLISIS DE PUENTES CURVOS

84

como un conjunto discreto de elementos estructurales vigas y losas. Esta última

metodología es posible gracias a la enorme capacidad de cálculo que representa el

computador.

Dentro del primer tipo de modelos diseñados para el estudio del reparto transversal,

ocupa un lugar importante el método de Guyon-Massonnet-Rowe. Este hecho se debe sin

duda alguna, a la facilidad que representó la existencia de una cómoda tabulación, que

permitió en épocas antiguas donde los recursos de cálculo eran escasos, la posibilidad de

análisis de tableros rectos con un número de vigas elevado. Y es precisamente este hecho,

la existencia de muchas vigas cercanas, lo que permite utilizar con confianza y gran

exactitud el método. En caso contrario, su fiabilidad se deteriora ya que, con un número

pequeño de vigas, separadas entre sí, no es adecuado asimilar el tablero a una losa

homogénea ortótropa.

Pero sí lo es, en cambio, en estos casos, la simulación del comportamiento del tablero

como un conjunto discreto de elementos estructurales, como ocurre con el método del

emparrillado, elementos finitos o lámina plegada que permite distinguir vigas y losas en la

sección del puente. A continuación se procede a describir las características de los métodos

anteriormente mencionados estos aplicados a placas curvas viendo estas su formulación y

sus restricciones de aplicación en el análisis de puentes curvos

5.5. MÉTODO DE ANALISIS PUENTES CURVOS

5.5.1. Losa Ortótropa Circular

La diferencia de comportamiento estructural entre un tablero con planta curva y otro

recto es importante. Ello es debido a la mayor flexibilidad que presenta el borde externo

con respecto al interno, ya que su longitud es mayor.

El cálculo de estos tableros curvos pueden llevarse a cabo mediante un modelo

monodimensional (viga curva).

CAPITULO 5 MÉTODOS DE ANÁLISIS DE PUENTES CURVOS

85

Sin embargo, a medida que decrece el radio de curvatura y aumenta la relación

ancho/luz, el cálculo monodimensional es menos adecuado.

De análoga manera a los tableros de puentes rectos, es posible analizar los de planta

curva, en ciertos casos, mediante un análisis bidimensional y, en particular, usando el

modelo losa ortótropa. Como entonces, la máxima dificultad estriba en traducir las

propiedades reales de la sección del tablero, en las características de ortotropía adecuadas.

Los tableros curvos cuya sección transversal es susceptible de ser modelada mediante

una losa ortótropa, puede ser calculado introduciendo un sistema adecuado de coordenadas.

Se supone que los extremos del tablero son normales a la directriz del puente, es decir, son

radios de la planta circular y además éste, se encuentra simplemente apoyado en los

mismos.

A continuación se estudia el caso general de una losa ortótropa circular, cuya planta se

presenta en la figura 5.5. Se darán aquí únicamente los resultados más importantes del

análisis. Se utilizará como técnicas de solución el procedimiento en serie trigonométrica

(solución Levy) y se considera una formulación matricial, que permite una descripción

compacta y además adecuada para una programación directa en computadora.

Ecuación General

La ecuación general de la losa ortótropa en desplazamiento vertical (w) es la siguiente:

Dx

∂4w

∂w4+2H

∂4w

∂x2∂y2+Dy

∂4w

∂y4=p(x,y) (5.1)

con 2H= Dxy+Dyx+D1+D2

donde:

Dx, Dy, Dxy, Dyx, D1, D2 son constantes elásticas de la placa y p(x,y) es la fuerza vertical por

unidad de área actuando en el punto (x,y)

CAPITULO 5 MÉTODOS DE ANÁLISIS DE PUENTES CURVOS

86

Para la losa circular ortótropa se adoptan coordenadas cilíndricas (r,𝜃, z) como se indica

en la figura 5.5. La superficie media corresponde a z = 0. La ecuación general de la losa

ortótropa es:

1

r4[ko

∂4w

∂θ4+2(ko-k)

∂2w

∂θ2]+

1

r3[-2k

∂3w

∂θ2∂r+ko

∂w

∂r]+

1

r2[2k

∂4y

∂θ2∂r2-ko

∂2w

∂r2]+

2

rkr

∂3w

∂r3+kr

∂4w

∂r4=p(r,θ)

(5.2)

Figura 5. 5: Planta de la placa ortótropa

Siendo:

2k=dr+dθ+krθ+kθr ; kr=h3Er

12(1-vθvr); dθ=vrkθ ; kθ=

h3Eθ

12(1-vθvr);dr=vθkr ; krθ=

h3

12 Erθ; kθr=

h3

12 Eθr

Estas constantes, son la contrapartida de ortotropia de las correspondinentes en coordenadas

rectangulares. Entonces si se supone que existe conservación de la energia, se debe

cumplir: 𝑑𝑟 = 𝑑𝜃 = 𝑑. Los esfuerzos en un punto genérico de la placa estan relacionados

con los movientos de acuerdos con la siguiente formulacion:

Mθ=-kθ (∂y

r∂r+

∂2w

r2∂θ2) -dθ

∂2w

∂r2

CAPITULO 5 MÉTODOS DE ANÁLISIS DE PUENTES CURVOS

87

Mr=-kr

∂2w

∂r2-dr (

∂w

r∂r+

∂2w

r2∂θ2)

Mθr=-Kθr

r(

∂2w

∂θ∂r-∂w

r∂θ)

mθr=-Krθ

r(

∂2w

∂θ∂r-∂w

r∂θ)

(5.3)

Qθ=- kθ∂

3w

r3∂r3-

∂2w

r2∂θ∂r-

k∂3w

r∂θ∂r2

Qθ= kθ+k ∂2w

r3∂θ2-1

r2(k∂3w

∂θ2∂r+

kθ∂θ

∂r) -

kr∂2w

r∂r2-kr∂

3w

∂r3

Figura 5. 6: Esfuerzos en un elemento diferencial de placa

A partir de las relaciones de Kirchoff se puede definir las siguientes igualdades:

Sr=Qr+∂Mrθ

r∂θ y Sr=Qθ+

∂Mθr

∂r

entoces se puede decir que:

Sr=kθ+k+krθ

r3-1

r2(k+krθ)

∂3w

∂θ2∂r+kθ

∂w

∂r-kr∂

2w

∂r2-kr

∂3w

∂r3

(5.4)

CAPITULO 5 MÉTODOS DE ANÁLISIS DE PUENTES CURVOS

88

Sθ=-1

r3(kθ

∂3w

∂θ3+2kθr

∂w

∂θ)+

1

r2(kθ-2kθr)

∂2w

∂θ∂r+

(k+kθr)∂3w

r∂θ∂r2

Las condiciones de contorno a lo largo de los apoyos θ=0 y θ=α son: w=0 y Mθ=0.

Los otros bordes r=r1 y r=r2, presentan condiciones generales de contorno.

La solucion complementaria y particular en funcion R(r, θ), de la ecuación 5.1 se

muestra detalladamente en la referencia [21]. Entonces la solucion final queda definida de

la siguiente manera:

R(θ, r) = Rc(θ, r) + Ro(θ, r) (5.5)

Aplicando las condiciones de borde se obtiene el vector de constantes A de la solución

complementaria para cada armonico n, mediante la resolucion del sistema de ecuaciones

siguiente:

KA= -H (5.6)

K = [kd1 [

−g12

g11] + kp1 [

g14

g110]

kd2 [−g22

g21] + kp2 [

g24

g210]]

H =

[ kd1 [

−g012

g011

] + kp1 [g0

14

g0110

]

kd2 [−g0

22

g0210

] + kp2 [g0

24

g0210

]]

Siendo gjk el vector de dimension 1 x 4 correspondiente a la fila k de Fn para β =

β𝑗(j = 1 ,2, 3, 4 y k = 1, 2, 4, 10), y g0jk

es el elemento k de R0𝑛 para β = β𝑗.

Determinado A para cada armonio, se calcula R𝑐𝑛(𝑟) mediante las formulas de la

solucion complementaria y por ultimo se encuentra la solucion final.

Para la cual se debe tomar en cuenta las siguientes condiciones:

a) Condicones homogeneas de borde

CAPITULO 5 MÉTODOS DE ANÁLISIS DE PUENTES CURVOS

89

Todas las condiciones de borde libres, apoyados, empotrados, etc., de la placa pueden

formularse de un modo general mediante la siguiente ecuacion matricial, para cada borde

j(j = 1,2):

kdj [−∂w

∂rw

] + kpj [Mr

Sr] = 0

(5.7)

El borde j se refiere al radio rj = βjrm. Las matrices kdj y kpj están formadas por ceros

y unos exclusivamente, de modo que kdj + kpj = I1 (matriz unidad de dimension 2 x 2).

Esto implica que al imponer una coaación (1 en la diagonal de la kdj), la reacción es

desconocida y no puede ser especificada (es decir, el correspondiente elemento kdj es

nulo).

b) Vigas de borde

Se supone que existen en los bordes j=1,2 vigas definidas por sus rigideces de flexion

(EIj) y torsion (GJj).

La matriz de rigidez, Rj, en ejes locales de la viga existente en el borde j, se puede

expresar, para el armonico n-ésimo, según la figura 5.7, como sigue:

[𝐺1𝑗

𝑍1𝑗] =

[ 1

𝑟𝑗2(𝜆2𝐺𝐽𝑗 − 𝐸𝐼𝑗)

𝜆2

𝑟𝑗3(𝐸𝐼𝑗 − 𝐺𝐽𝑗)

𝜆2

𝑟𝑗3(𝐸𝐼𝑗 − 𝐺𝐽𝑗)

𝜆2

𝑟𝑗3(𝜆2𝐸𝐼𝑗 − 𝐺𝐽𝑗)

]

[𝜙𝑗

𝑤𝑗]

O en forma más compacta:

[𝐺1𝑗

𝑍1𝑗] = [𝑅𝑗] [

𝜙𝑗

𝑤𝑗]

(5.8)

Suponiendo que la viga de borde presenta un eje principal de inercia perpendicular al

eje de coordenadas r, y su centro de gravedad esta situado en el plano de la placa, la

transformación de ejes de la viga a ejes de la placa es, para el borde j:

CAPITULO 5 MÉTODOS DE ANÁLISIS DE PUENTES CURVOS

90

⌊Mr

Sr⌋ = (−1)jTJRJTJ

T [−∂w

∂rw

]

j

(5.9)

En donde ahora, (Mr, 𝑆𝑟) y (−∂w

∂r, w) son las amplitudes del armonico n de los

esfuerzos y movimientos de la losa en el borde j(j=1,2).

La expresion de la mtraiz de transformacion de ejes se obtiene analogamente al caso de

la placa ortótropa rectangular, alcanzandose el resultado:

TJ = [1 dj

0 1]

con dj = distacia del centro de gravedad de la viga al borde de j de la losa.

La ecuación 5.9 presenta la misma estructura matematica que 5.7 considerando:

kpj = I2 y kpj = (−1)jTj Rj Tj

Por lo tanto se puederealizar el calcculo de la forma analoga a la anteriormente

explicada.

Figura 5. 7: Matriz de rigidez de la viga j. Armónico n-simo.

CAPITULO 5 MÉTODOS DE ANÁLISIS DE PUENTES CURVOS

91

APLICACIÓN

La teoria de la losa ortótropa circular expuesta anteriormente puede aplicarse al cálculo

de tablero de puentes, siguiendo la misma pauta que en el caso de losa rectangular. Es

decir, puede realizarse el análisis de acuerdo con uno de los dos objetivos:

a) Estudio del reparto transversal

b) Cálculo directo bidimensional

En el primer caso, se debera determinar los esfuerzos a todo el ancho, considerando el

tablero como una barra curva (circular). Se comprende que normalmente este cálculo

representa mayor dificultad que en el caso de la barra recta. Por ello, en general, parece más

adecuado un cálculo directo bidimensional del tablero abandonando intentos que han sido

escasos debido a la anterior dificultad de tabulaciones del tipo de Guyon-Massonet-Rowe.

5.5.2. Método Emparrillado Plano Circular

Un emparrillado plano es una estructura de barras contenidas en un plano e

interconectadas entre sí en puntos denominados nudos [skeleton]. Esta estructura se

encuentra sometida a la clase de acciones normales a su plano, es decir, los grados de

libertad son los tres que se representan en la Figura 5.8.

Figura 5. 8: Barra curva

CAPITULO 5 MÉTODOS DE ANÁLISIS DE PUENTES CURVOS

92

Las cantidades cinemáticas3 relacionadas con estos grados de libertad en el nudo i se

recogen en un vector di(i = 1.2) y son:

di = [θxi

θyi

wi

] = [

giro de torsióngiro de flexión

desplazamiento vertical]

y las correspondiente magnitudes estáticas4 se resumen en un vector 𝑝𝑖 , siendo:

pi = [

Mxi

Myi

Zi

] = [acción de torsiónacción flectoraacción cortante

]

La matriz de rigidez de una barra es una matriz k de dimensión (6 x 6) y que normalmente

se particiona como sigue:

k = [k11 k12

k21 k22]

La ecuación fundamental está definida como:

p = [p1

p2] = [

k11 k12

k21 k22] [

d1

d2] = k ∗ d

(5.10)

Se debe suponer que la sección de las barras del emparrillado con su eje principal de

inercia contenido en el plano de la estructura, y que su centro de esfuerzo cortante

coinciden con el de gravedad. No se considera el alabeo de la sección (torsión pura), en el

caso de viga recta sometida a torsión con alabeo, el número de grados de libertad por nudo

se incrementa a cuatro, ya que se considera un nuevo grado de libertad correspondiente al

alabeo (cinemático) y al bimomento (estático) como se ha expuesto en el capítulo 3. En el

caso de una viga circular de emparrillado, denominada I1 y J1 a las inercias a flexión y

torsión, respectivamente. El coeficiente de Poisson del material del material se designa por

ν. (No se considera el alabeo de la sección).

3 Magnitudes cinéticas, referentes a desplazamientos y deformaciones

4 Magnitudes estáticas, tales como fuerzas y tensiones

CAPITULO 5 MÉTODOS DE ANÁLISIS DE PUENTES CURVOS

93

Dada la figura 5.9. se tiene:

k22 =

k11 = −μ1∆1 + μ2T∆2T − μ3T∆3T

k2T = −μ1∆1 + μ2T∆2 − μ3T∆3

k12 = −μ1∆1 + μ2∆2 + μ3∆3

Con

∆1= [1 0 10 0 01 0 1

] ; ∆2= [1 A 0A A2 00 0 0

] ; ∆3= [C2 −4C −2C

−4C ψ2 2ψ−2C 2ψ 4

]

Figura 5. 9: Emparrillado plano

T = diag. (1, −1,1)

μ1 =GJ1ψR

μ2 =s

A

1

(ψ − s)R

GJ1+ (ψ − s)

REI1

μ3 =1

ψ

1

(B + C)R

GJ1− (B − C)

REI1

A =1 + c

s ; B =

ψ2

1 − c− 2 ; C =

ψs

1 − c− 2

Se puede observar en la matriz de rigidez de la barra circular de emparrillado, los

esfuerzos de flexión y torsión, lo que no ocurre en la barra recta. Por ello, la simulación de

CAPITULO 5 MÉTODOS DE ANÁLISIS DE PUENTES CURVOS

94

una barra curva mediante una poligonal inscrita implica que este acoplamiento de esfuerzo

solo tiene lugar en los nudos intermedios de la poligonal. Como consecuencia, esta

simulación, mejora a medida que crece el número de estos nudos intermedios. En general,

el error que representa la sustitución, en el cálculo de un emparrillado, de una barra circular

por la viga recta que une sus extremos es función del ángulo del segmento circular que

constituye la viga (θ) y de la relación de rigidez (EI

GJ). Según Da Cunha y Matesanz (1978)

5.5.3. Lamina Plegada Circular

El planteamiento llevado a cabo en el análisis de las láminas plegadas es posible

aplicarlos al caso de directriz circular en planta como así lo determino Rudinger (1957) la

matriz de flexibilidad de un sector de placa circular como el indicado en la figura 5.10

considerando tanto la flexión de la placa como la extensión de la losa. La técnica de cálculo

de esta matriz de flexibilidad es en esencia idéntica a la utilizada anteriormente en losa

ortótropa circular. De modo análogo, Rudinger dedujo los coeficientes de flexibilidad para

la viga curva y lo desarrolló por serie de Fourier, pudiendo alcanzar la compatibilidad total

a lo largo de cada arista curva, ya que consideraba la amplitud de cada término. Así pues es

posible analizar, mediante esta teoría, tableros con sección alveolar arbitraria, compuestos

de losas verticales y horizontales, pero no inclinadas. Las primeras las asimila a vigas

circulares y las losas horizontales las estudia exactamente dentro de la teoría elástica.

Primitivamente Rudinger aplicó la teoría a secciones abiertas, si se utiliza un método en

rigidez es posible tratar todo tipo de sección transversal.

La extensión de este análisis a elementos inclinados, que constituirán segmentos de

tronco de cono, podría llevarse a cabo como lo han demostrado Popoy y otro (1964), para

un problema ligeramente diferente la deducción de la matriz de rigidez para cada armónico

representa una penosa tarea

CAPITULO 5 MÉTODOS DE ANÁLISIS DE PUENTES CURVOS

95

Figura 5. 10: Lamina tronco de cono

Por ello es más aconsejable recurrir a técnicas numéricas, tales como bandas finitas o

bien elementos finitos.

La determinación de la matriz de rigidez del tronco de cono 5.10 se lleva a cabo según

el siguiente procedimiento.

La ecuación de la superficie media a los ejes curvilíneos por los subíndices 1 y 2

r̅(x2 tan β cos ∝1, ∝2 tan β sin ∝1 , ∝2)

siendo ∝1 𝑦 ∝2 parámetros sujetos a las condiciones

∝̅1(1)

≤∝1≤∝̅1(2)

y 0 <∝2<∝̅0< 𝜋

que definen la altura de la lámina y el ángulo del circulo en planta.

Las ecuaciones generales de las láminas rebajadas son:

1

𝐸ℎ∇2∇2𝜓 − ∇𝑘

2 𝑤 = 0 (5.10)

∇k2ψ +

Eh3

12(1 − ν2)∇2∇2w − Z −

K1

A2∫A1A2X1d ∝1−

K2

A1∫A1A2X2 d ∝2 = 0

CAPITULO 5 MÉTODOS DE ANÁLISIS DE PUENTES CURVOS

96

Siendo

∇2=1

A1A2[(

A2

A1

∂

∂ ∝1)1

+ (A1

A2

∂

∂ ∝2)2

] (operador eliptico)

∇k2=

1

A1A2[(

A2

A1K2

∂

∂ ∝1)1

+ (A1

A2K1

∂

∂ ∝2)2

] (operador mixto)

𝐴1 y 𝐴2 son los coeficiente de la primera forma fundamental y 𝐾1 y 𝐾2 las curvaturas

principales.

Se designa por i a la derivada parcial respecto a la variable ∝i, Z, X1 y X2 que son los

componentes de la carga distribuida según la normal y las dos tangentes a las líneas

coordenadas ∝1 y ∝2, respectivamente.

En este caso

A1 =∝2 tan β ; A2 =1

cos β ; K1 = −

cos2 β

∝2 sin β ; K2 = 0

La determinación de la matriz de rigidez exige el conocimiento de las expresiones de los

movimientos en cada nudo i (u1, u2, w, θ =∂w

A2 ∂∝2) y de los correspondientes esfuerzos

(N22, N12, R2,M22) en función de w y ψ.

No existe, en este caso, carga interiores, es decir, 𝑍 = 𝑋1 = 𝑋2 = 0

Se tiene:

N11 =1

A1(ψ,2

A2),2

+A2,1

A1A2

ψ,1

A1=

Eh

1 − ν2(ε11 + υε22)

N22 =1

A1(ψ,1

A1),2

+A1,2

A1A2

ψ,2

A1=

Eh

1 − ν2(ε22 + υε11)

(5.11)

ε11 =u1,1

A1+

A1,2

A1A2u2 − K1w

ε22 =u2,2

A2+

A2,1

A1A2u1 − K2w

M11 =Eh

12(1 − ν2)(k11 + υk22)

(5.12)

Las ecuaciones constituyen en realidad una ecuación diferencial única de octavo orden, si

se introduce la función W, definida como sigue:

CAPITULO 5 MÉTODOS DE ANÁLISIS DE PUENTES CURVOS

97

w =1

Eh∇4 W y ψ = ∇k

2 W

que satisface idénticamente la primera ecuación de 5.10 y que sustituida en la segunda

resulta:

∇8W +12(1 − ν2)

h2∇k

4 W = 0 (5.13)

Como las condiciones en los bordes ∝1= 0 y ∝1=∝̅0, se supone un desarrollo en serie

de Fourier para la solución, es decir.

W=W̅(∝2) sinmπ∝1

∝̅0

que, sustituida en (5.13), conduce a una ecuación diferencial ordinaria de octavo orden. La

solución general presenta ocho constante Ci(i=1,2,…,8).

Se pueden determinar en funciones de estas ocho constantes los movimientos (sus

amplitudes) en los bordes curvos, ∝2=∝1(1)

y ∝1=∝2(2)

, mediante las expresiones (5.11).

Sean estos movimientos 𝑑1 y 𝑑2, respectivamente; se puede escribir:

[d1

d2] = GdC

con C = (C1, C2, … , C8)T

Análogamente se procede con las ocho fuerzas que actúan en el conjunto de dichos dos

bordes, es decir:

⌊p1

p2⌋ = GpC

La matriz de rigidez se define mediante la ecuación

⌊p1

p2⌋ = k [

d1

d2]

siendo k = GpGd−1 la matriz de rigidez de dimensiones (8x8).

CAPITULO 5 MÉTODOS DE ANÁLISIS DE PUENTES CURVOS

98

Se observa que en este caso no existe el desacoplamiento de los esfuerzos de flexión y

extensión a diferencia de la lámina plegada recta.

Se comprende que para evitar el análisis anterior se recurra frecuentemente al uso de los

métodos numéricos.

5.5.4. Método de los Elementos Finitos

El método de los elementos finitos puede extenderse al cálculo tridimensional ya que

una vez desarrollado el análisis bidimensional correspondiente a los casos de placas

sometidas a cargas en su plano y normales al mismo, la matriz de rigidez de un elemento

lamina plano puede ser obtenida como se verá a continuación, por simple superposición de

las matrices de rigidez de los elementos a extensión (membrana) y flexión (placa).

En el método de los elementos finito, como en toda técnica numérica, aparecen una

serie de cuestiones en conexión con la propia discretización de la estructura y los datos de

entrada, así como con el tipo de interpretación de resultados que se obtiene en el cálculo.

Ambas clases de problemas serán tratados. También se indicará aquí cuál es la posición del

método de los elementos finitos en relación con los restantes procedimientos de análisis

numérico de tableros de puentes.

En el cálculo de tablero de puente existen numerosos métodos especiales de análisis de

esquemas estructurales particulares como emparrillados, ortotropía y otros. El carácter

general del método de los elementos finitos presenta posibilidades únicas, ya que permite

manejar de un modo unificado las anteriores situaciones. En efecto, si se desarrollan

elementos de configuración general se pueden tratar sin dificultad contornos generales y

reproducir variaciones locales de espesor y ortotropía, puesto que se pueden especificar de

modo arbitrario las características en cada elemento. Incluso, si se acoplan dentro del

mismo cálculo, las conocidas rigideces de los elementos columna y viga con las de los

elementos finitos, se puede estudiar de un modo conjunto el tablero y los apoyos y

considerar de esta forma la interacción de toda la estructura.

CAPITULO 5 MÉTODOS DE ANÁLISIS DE PUENTES CURVOS

99

El elemento finito básico que se utiliza en este subtitulo es rectangular esto se obtiene

al dividir la losa de la lámina plegada, longitudinalmente así como transversalmente, en un

conjunto de elementos finitos rectangulares, como se muestra en la figura 5.11. El tamaño,

espesor y propiedades elásticas pueden ser distintos en cada uno de estos elementos.

Normalmente en zonas donde se apreciar la existencia de cambios rápidos de tensiones y

momentos se debe utilizar una malla más refinada de elementos.

Figura 5. 11: Modelo de elementos finitos

El cálculo se supone tridimensional, es decir en cada elemento existen en general seis

grados de libertad. Para cada grado de libertad se conoce la fuerza actuante o el

desplazamiento, siendo objetivo del cálculo estructural la determinación de la incógnita

correspondiente. Es decir que si en un grado de libertad se especifica el valor de la fuerza,

la incógnita corresponde al desplazamiento y viceversa. Una vez conocidos los

desplazamientos en todos los grados de libertad de la estructura, si se utiliza la formulación

en desplazamientos del método de los elementos finitos, es posible obtener las tensiones y

esfuerzos en cada elemento.

La etapa característica del método reside en la determinación de las matrices de rigidez

de cada elemento y en especial en la elección de las funciones de forma o interpolación.

Las hipótesis básicas utilizadas en el desarrollo del cálculo han sido las siguientes:

CAPITULO 5 MÉTODOS DE ANÁLISIS DE PUENTES CURVOS

100

1. Los elementos son rectangulares y de propiedades elásticas, y espesor constante en

cada uno de ellos.

2. El cálculo es lineal y elástico, es decir el principio de superposición es válido.

3. Los seis grados de libertad existentes en cada nudo de un elemento puede

clasificarse de acuerdo al modo de trabajo como losa o placa.

4. En la determinación de los esfuerzos y tensiones dentro de cada elemento se

utilizaran las relaciones de las placas delgadas, con la hipótesis adicional de

Kirchoff.

Figura 5. 12: Esfuerzos en placas

El cálculo de la matriz de rigidez del método de los elementos finitos supone las

siguientes etapas:

1) Las cargas exteriores distribuidas en superficie se transforman en cargas

equivalentes nodales o actuando en los nudos mediante la utilización del simple

concepto de área tributaria. Las cargas así obtenidas se suman a las posibles cargas

existentes en los nudos para formar las cargas conocidas de la estructura.

2) A partir de los modos seleccionados de movimiento en cada elemento, se pueden

deducir en coordenadas locales, las matrices de rigidez de la acción membrana km y

de la acción de flexión (placa) kf de un elemento típico es decir:

[pm pf

] = [km 00 kf

] [dm df

]

o bien simplemente

CAPITULO 5 MÉTODOS DE ANÁLISIS DE PUENTES CURVOS

101

p=k d

Al ser las acciones membranas y de flexión de un elemento desacopladas, las

matrices km y k𝑝, ambas de dimensión 12x12 pueden ser deducidas

independientemente una de la otra mediante la solución correspondiente de los

problemas de tensión plana y de flexión en placas.

3) Las fuerzas p y desplazamientos d del elemento referido al sistema local de

coordenadas se transforman respectivamente en las fuerzas p, y desplazamientos d,

mediante la matriz de transformación T y su transpuesta.

d = TT d,

p, = T p

4) La matriz de rigidez del elemento en coordenadas generales se determina mediante

la expresión:

k, = T k TT (5.13)

La matriz k, es de dimensión 24x24 y se avalúa para cada elemento de la estructura.

5) La ecuación 5.13 puede particionarse como sigue:

[

p,i

p,j

p,k

p,l

] =

[ k,

ii k,ij

k,ji k,

jj

k ,ik k,

il

k,jk k ,

jl

k,ki k,

kj

k ,li k ,

lj

k,kk k,

kl

k,lk k,

ll ]

[ d,

i

d,j

d,k

d,l ]

En donde i, j, k, l representan los cuatro nudos de los vértices del elemento

finito rectangular de la figura-11.2. Cada una de las submatrices resultante;

𝑘′𝑚𝑚, de dimensibn 6x6 relaciona las seis fuerzas que apurecen en el nudo m

bajo un conjunto de movimientos unidad d' en el nudo n.

6) La consideración del equilibrio (suma de todas las fuerzas exteriores e interiores en

cada nudo igual a cero) y de la compatibilidad (igualdad entre todos los movimientos

de los vértices de elementos que coinciden en un nudo común) permite plantear el

sistema:

CAPITULO 5 MÉTODOS DE ANÁLISIS DE PUENTES CURVOS

102

P'=K'D' (5.14)

con P’ es vector de dimensión (6Nx 1) que contiene correlativamente (n-1, 2,..,N)

todos los vectores fuerzan p’n, actuando en cada nudo n, N es el número total de

nudos.

d‘ es un vector de dimensiones (6Nx1) que contiene correlativamente (r= 1, 2,.., N)

todos los desplazamientos dn′ , que aparecen en cada nudo n.

K’ constituye la matriz de rigidez de toda la estructura y puede formarse a partir de

las matrices k’ de cada elemento, mediante un procedimiento automático de

ensamblaje de sus submatrices k′mm.

Para este tipo de problema la dimensión de la matriz es muy grande (6Nx6N), por lo

que es muy interesante la numeración adecuada de los nudos de la estructura con

objeto de conseguir que ancho de banda máxima diferencia entre los números de dos

nudos de cualquier elemento finito sea mínimo. Por otra parte dada la característica

prismática de la estructura es posible obtener la numeración automática de todos sus

nudos, si se especifica únicamente esta numeración en una sección determinada.

7) La resolución del sistema de ecuaciones lineal representa el máximo esfuerzo

computacional, por lo que técnicas específicas y eficientes de resolución que tengan

en cuenta el carácter simétrico y en banda de la matriz K` son importantes.

8) Una vez conocidos los desplazamientos D`, se pueden determinar los

desplazamientos en ejes locales en los nudos de todos los elementos, haciendo uso

de la matriz de transformación T.

9) A partir del conocimiento de los movimientos en los nudos de cada elemento se

obtienen los esfuerzos internos en el mismo, que constituyen el resultado importante

del cálculo.

A continuación se describe las matrices de rigideces de la laja y la placa.

La matriz de rigidez de una la laja la cual se encuentra bajo acciones de tensión es la

siguiente:

pm = kmdm (5.15)

CAPITULO 5 MÉTODOS DE ANÁLISIS DE PUENTES CURVOS

103

Con pm vector de fuerzas para un elemento placa, dm vector de desplazamientos y km

matriz de rigidez definida de la siguiente manera:

km = (Am−1)T [∫ ∫ (Hm

∗)TDm

a

0

b

0

Hm∗dxdy]Am

−1 (5.14)

Donde Am es la matriz cuadrada de las dimensiones (a, b) del elemento placa, Dm es la

matriz de propiedades del elemento y Hm∗ es la matriz obtenida de las funciones de

interpolación. Todos los elementos de la matriz km deben ser multiplicados por la constante

elástica de la placa, es decir cada elemento es:

kmij =Eh

1 − ν2kmij

∗

Con km= {kmij} matriz cuadrada de dimensión 12x12, para mayor referencia se puede

consultar con [21].

Entonces la matriz kf de flexión para una placa queda definida de la siguiente manera:

pf = kf df

pf y df quedaron definidos anteriormente, pero kf lleva la siguiente forma:

kf = Af−1 [∫ ∫ (Hf

∗)TDf

a

0

b

0

Hf∗dxdy]Af

(5.14)

Donde todas las expresiones son similares a las de la placa sometida a tensión plana,

donde esta se debe multiplicar por: Eh3/12(1-v

2) para obtener los resultados finales de estos

componentes. Es decir

kf = [kfij]

con

kfij =𝐸ℎ3

12(1 − 𝜈2)∗ kfij

∗

CAPITULO 5 MÉTODOS DE ANÁLISIS DE PUENTES CURVOS

104

Este método permite tratar de un modo unificado y simple, condiciones arbitrarias,

geométricas y de sustentación que desafían a los métodos analíticos de cálculo y a los

procedimientos numéricos, aunque presenta una problemática especial relacionada con el

proceso de discretización estructural, modelización e interpretación de resultados obtenidos

y cuyo conocimiento es indispensable para un correcto uso del mismo.

El fundamento científico del método se basa de un modo fundamental en varias disciplinas

como ser: Análisis funcional, algebra lineal, análisis numérico, teoría de la aproximación e

informática, y depende de estas para su desarrollo en el futuro.

105

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Capítulo6

CARGAS EN PUENTES CURVOS

6.1. INTRODUCCION

Las cargas que se apliquen al puente durante su vida útil, se pueden dividir en dos

grandes categorías: Cargas permanentes y cargas transitorias. Las cargas permanentes

permanecen en el puente durante un periodo prolongado, por lo general para toda la vida de

servicio, tales cargas incluyen el peso propio de las vigas y tablero, bordillos, barandillas y

pasamanos, servicios públicos, luminarias y presiones de tierra. Cargas transitorias suelen

incluir cargas de gravedad debido a vehículos, ferrocarriles y tránsito de peatones así como

también cargas laterales tales como las causadas por el agua y el viento, colisiones y

terremotos. Los puentes también experimentan fluctuaciones de temperatura sobre una base

diaria y estacionaria y tales efectos deben ser considerados. Dependiendo del tipo de

estructura otras cargas como la de fluencia y retracción pueden ser importantes y

finalmente los soportes pueden mover la superestructura. El propósito principal de este

capítulo es definir y explicar la razón de ser de los requisitos de carga AASHTO.

CAPITULO 6 CARGAS EN PUENTES CURVOS

106

6.2. CARGAS PERMANENTES

6.2.1. Cargas muerta de los componentes estructurales

Las cargas permanentes son aquellas que permanecen en el puente para un extendido

periodo de tiempo, tal vez para toda la vida de servicio, tales cargas incluyen:

Carga muerta de los componentes estructurales y no estructurales adjuntos (DC).

Carga muerta de la superficie de desgaste (DW).

Carga muerta de relleno de tierra (EV).

Carga de presión de tierra (EH).

Sobrecarga de tierra (ES).

Tabla 6- 1: Densidades de materiales

CAPITULO 6 CARGAS EN PUENTES CURVOS

107

La carga muerta de los componentes estructurales y no estructurales adjuntos son sin

duda las cargas permanentes y deben ser incluidas. Los componentes estructurales se basan

en aquellos elementos que forman parte de la resistencia de carga del sistema, adjuntos no

estructurales se refiere a partidas tales como bordillos, rieles de barreras, señales,

iluminadores y barandillas. El peso de dichos artículos se puede estimar mediante el uso de

la unidad de peso del material combinado con la geometría, la literatura a menudo se puede

encontrar información de pesos de barandillas en caso de ausencia de estas más

información precisa sobre pesos unitarios se pude consultar con la tabla 6.1.

6.2.2. Carga de superficie de desgaste

La carga muerta de superficie de desgaste se calcula tomando el peso por la unidad de

espesor de la superficie este valor se combina con la carga DC por la tabla 6.2. Se be tener

en cuenta que los factores de carga son diferentes para las cargas DW y DC, los factores

mínimos de carga para DC son 1,25 y 0,90 respectivamente y los factores máximo y

mínimos de carga para DW son 1,5 y 0,65 respectivamente. Los diferentes factores se

utilizan debido a que la carga DW se ha determinado que es una carga que puede variar con

el tiempo.

Tabla 6- 2: Combinaciones de carga y factores de carga

CAPITULO 6 CARGAS EN PUENTES CURVOS

108

En resumen se puede afirmar que es difícil estimar el momento de diseño de cuantas

capas y espesor asociado a la superficie de desgaste pueden ser aplicados por el personal de

mantenimiento durante la vida útil pero es bastante fácil determinar el peso de otros

componentes.

6.3. CARGAS TRANSITORIAS

6.3.1. Cargas Vehiculares

Un estudio realizado por la Junta de Investigación del Transporte (TRB) se utilizó como

base para las cargas de AASHTO (TRB, 1990). El panel TRB esbozó muchos temas

relacionados con el desarrollo (revisión) de una política nacional de los pesos de camiones.

Por lo tanto, un modelo más manejable más simple fue desarrollado llamado HL-93

(carga de carretera, desarrollado en 1993). El objetivo de este modelo es prescribir un

conjunto de cargas tales que los mismos efectos extremas de carga del modelo HL-93 son

aproximadamente los mismos que los vehículos de exclusión. Este modelo consiste en tres

cargas vivas claramente diferentes:

❑ Diseño de camiones

❑ Diseño tándem

❑ Diseño de carril

Como se ilustra en la Figura 6.3, el camión de diseño (el primero de tres

configuraciones de carga viva separadas) es un modelo de carga que se asemeja el camión

típico semirremolque [LRFD Art.3.6.1.2]. El eje delantero es de 8 kips (35 kN), el eje de

tracción de 32 kips (145 kN) se encuentra 14 pies (4300 mm) detrás, y el remolque de eje

trasero es también de 32 kips (145 kN) y se coloca a una distancia variable que oscila entre

14 y 30 pies (4300 y 9000 mm). El rango variable significa que el espacio usado debe

causar el efecto de carga crítica. La larga separación típica sobre los controles, donde las

partes delantera y trasera de la camioneta se puede posicionar en vanos adyacentes

estructuralmente continuos como en puentes continuos de tramos cortos. El camión de

diseño es la misma configuración que se ha utilizado por AASHTO (2002)

CAPITULO 6 CARGAS EN PUENTES CURVOS

109

Especificaciones estándar desde 1944 y se conoce comúnmente como HS20. La H indica

autopista, el S denota semirremolque y el 20 es el peso del tractor en toneladas. Las nuevas

combinaciones de vehículos que se describen en AASHTO (2004) LRFD Bridge

especificaciones son designados como HL-93.

Figura 6. 1: Cargas de diseño AASHTO HL-93

La segunda configuración es el tándem de diseño y se ilustra en la figura 6.3 (b). Se

compone de dos ejes con un peso de 25 kips (110 kN) cada uno espaciados a 4 pies (1200

mm), que es similar a la del eje tándem utilizado en anteriores especificaciones AASHTO

estándar, excepto la carga que se cambia de 24 a 25 kips (110 kN).

La tercera carga es la carga de diseño de carril que consta de una carga uniformemente

distribuida de 0.064 kips/ft (9,3 N/mm) y se supone que ocupará una región de 10 pies

(3000 mm) transversalmente. Esta carga es lo mismo que una carga de presión uniforme de

64 lb/ft2 (3,1 kPa) aplicada en un carril de diseño de 10 pies (3000 mm). Esta carga es

similar a la carga carril que se indica en las especificaciones AASHTO estándar para

muchos años con la excepción de que la carga carril LRFD no requiere ninguna cargas

concentradas.

CAPITULO 6 CARGAS EN PUENTES CURVOS

110

Los efectos de carga del camión de diseño y el tándem de diseño deben superponerse

con los efectos de la carga de diseño de carril. Esta combinación de carriles y la carga sobre

los ejes es una desviación importante de los requisitos de las Especificaciones AASHTO

estándar anteriores, en los que se consideraron por separado las cargas. Estas cargas no

están diseñadas para modelar cualquier vehículo o combinación de vehículos, sino más bien

el espectro de cargas y sus efectos de las cargas asociadas.

6.3.2. Fuerza Centrifuga

La aceleración es la derivada de tiempo del vector de velocidad y como tal resultado

procedente de un cambio de magnitud o dirección de la velocidad. Un camión puede

aumentar la velocidad, disminuir la velocidad y/o cambiar de dirección mientras se mueve a

lo largo de una trayectoria curvilínea. Todos estos efectos requieren una aceleración del

vehículo que provoca una fuerza entre la cubierta y el camión. Debido a que su masa es

grande en comparación con la potencia disponible, un camión no puede aumentar su

velocidad a una velocidad lo suficientemente grande como para imponer una fuerza

significativa en el puente. A la inversa, una disminución en la velocidad debido al frenado

puede crear una importante aceleración (desaceleración) que causa grandes fuerzas en el

puente en la dirección del movimiento. El efecto de frenado se describe en la siguiente

sección. Por último, cuando un camión se mueve a lo largo de una trayectoria curvilínea, el

cambio en la dirección de la velocidad causa una aceleración centrífuga en la dirección

radial. Esta aceleración es:

αr=V2

r (6. 1)

Donde V es la velocidad del camión, y r es el radio de curvatura del movimiento del

camión. Las fuerzas y aceleraciones implicadas se ilustran en la Figura 6.4.

La segunda ley de Newton requiere

F = m a (6. 2)

CAPITULO 6 CARGAS EN PUENTES CURVOS

111

Figura 6. 2: Diagrama de cuerpo libre de las fuerzas centrifugas

donde m es la masa. La sustitución de la ecuación. 6.1. en la ecuación. 6.2 nos da que:

Fr =mV2

r (6. 3)

donde Fr es la fuerza sobre el camión dirigida hacia el centro de la curva (hacia el exterior

sobre el puente). La posición de esta fuerza está en el centro de la masa, se asume que a los

6 pies (1800 mm) por encima de la superficie de la calzada se encuentre éste, [LRFD

Art.3.6.3] nótese que la masa m es igual a:

m =W

g (6. 4)

donde W es el peso del vehículo, y g es la aceleración de la gravedad: 32.2 ft/s2 (9,807

m/s2). Sustituyendo la ecuación. 6.3 en la ecuación. 6.4 se tiene que:

Fr = (V2

rg) ∙ W (6. 5)

CAPITULO 6 CARGAS EN PUENTES CURVOS

112

que es similar a la expresión dada en AASHTO [LRFD Art.3.6.3] donde:

Fr = C ∙ W (6. 6)

Donde

C = f (ν2

Rg) (6. 7)

f = 4/3 es para las distintas combinaciones de la fatiga y es f =1,0 para fatiga; ν es la

velocidad de diseño de la carretera, en pies/segundo (m/s), R es el radio de curvatura del

carril de circulación en pies (metros), y Fr es aplicado en el centro de masa a una distancia

de 6 pies (1800 mm) por encima de la superficie del tablero.

Debido a que las combinaciones de diseño con la carga de diseño de carril da una carga

de aproximadamente 4/3 del efecto del camión de diseño considerado independientemente,

un factor de 4/3 se utiliza para modelar el efecto de un tren de cargas. La ecuación 6.5

puede ser utilizado con cualquier sistema de unidades consistentes. Los múltiples factores

de presencia [LRFD Art.3.6.1.1.2] se pueden aplicar a esta fuerza, ya que es poco probable

que todos los carriles estén a plena carga.

Por último se puede concluir que la fuerza centrífuga es directamente proporcional a la

fuerza del vehículo como también el peso del vehículo es proporcional a la misma sin

embargo, a menor radio de curvatura se tendrá un valor mucho mayor de dicha fuerza

concluyendo que esta es inversamente proporcional a ella.

6.4. FUERZAS DEBIDAS A DEFORMACIONES

6.4.1. Temperatura

Dos tipos de cambio de temperatura deben ser incluidos en el análisis de las

superestructuras (ver [LRFD Art.3.12.2] y [LRFD Art.3.12.3]). El primero es un cambio de

temperatura uniforme donde toda la superestructura sufre cambios de temperatura en una

cantidad constante. Este tipo de cambio alarga o acorta el puente, o si bien se ven limitados

los soportes induciendo reacciones a los apoyos y a las fuerzas en las estructuras, este tipo

de formación se ilustra en la Figura 6.3.

CAPITULO 6 CARGAS EN PUENTES CURVOS

113

Figura 6. 3: Elongación inducida por la temperatura

Figura 6. 4: Curvatura inducida por la temperatura

El segundo tipo de cambio de temperatura es un gradiente o calentamiento no uniforme

(enfriamiento) de la superestructura a través de su profundidad figura 6.4. Sometidos a luz

solar el tablero del puente se calienta más que las vigas de abajo, este calentamiento no

uniforme provoca que la temperatura aumente más en la parte superior del sistema que en

las vigas interiores.

Como era de esperarse, el rango de temperatura se considera una función del clima. La

guía AASHTO define dos condiciones climáticas: templado y frío. Un clima moderado es

cuando el número de días de congelación por año es inferior a 14. Un día de congelación es

cuando la temperatura promedio es de menos de 32 °F (0°C). Tabla 6.6 da los rangos de

temperatura. El rango de temperatura se utiliza para establecer el cambio en la temperatura

utilizada en el análisis. Por ejemplo, si un puente de hormigón se construye a una

temperatura de 68 ° F (20 °C), entonces el aumento en un clima moderado para el hormigón

es ∆T = 80 - 68 = 12 ° F (27 - 20 = 7 °C), y la disminución de la temperatura es T = 68 -

(10) = 58 °C (~ 41 ° C).

Clima Acero o aluminio °F

(°C)

Concreto

°F (°C)

Madera

°F (°C)

Templado 0-120 (-18-50) 10-80 (-12-27) 10-75 (-12-24)

Frio -30-120 (-35-50) 0-80 (-18-27) 0-75 (-18-24)

Tabla 6- 3: Rangos de temperatura

CAPITULO 6 CARGAS EN PUENTES CURVOS

114

Teóricamente, la gama de temperatura climática no es una función del tipo de

estructura, pero la temperatura de la estructura es una función del registro de temperatura

climática y el calor específico del material, masa, relación de volumen de superficie,

conductividad de calor, las condiciones del viento, sombra, y así sucesivamente. Debido a

que los puentes de hormigón son más masivos que los de acero y el calor específico del

hormigón es menos que el acero, un aumento en la temperatura climática provoca un

aumento de temperatura menor en la estructura de hormigón que en el acero. La estructura

de hormigón tiene mayor inercia térmica (sistemas con una gran inercia térmica son

resistentes a los cambios de temperatura) que su contraparte de acero. El gradiente de

temperatura es una función de la ganancia solar a la superficie del tablero. Las gradientes

de temperatura se describen en la Tabla 6.7 que da referencia de estos parámetros según la

zona de emplazamiento.

Zona Superficie de concreto °F (°C)

T1 T2

1 54 (30) 14 (7,8)

2 46 (25) 12 (6,7)

3 41 (23) 11 (6)

4 38 (21) 9 (5) Tabla 6- 4: Gradientes de temperaturas

El gradiente de temperatura se considera además como un incremento de temperatura

uniforme. Típicamente estos dos efectos se separan en el análisis. La AASHTO [LRFD

Art.3.12.3] muestra el diseño del gradiente de temperatura figura 6.5.

El aumento de la temperatura se considera positivo en AASHTO. La temperatura T3 es

cero a menos que se determine a partir del estudio de sitio específico, pero en ningún caso

T3 excederá de (3 °C) 5 °F. En la figura 6.5, la dimensión A se determina de la siguiente

manera:

Figura 6. 5: Diseño del gradiente de temperatura

CAPITULO 6 CARGAS EN PUENTES CURVOS

115

A = 12 pulgadas (300 mm) para estructuras de hormigón cerradas que tengan 16

pulgadas (400 mm) o más de profundidad. Para secciones menos profundas A será 4

pulgadas (100mm) menos que la profundidad real.

A = 12 pulgadas (300 mm) para superestructuras de acero, y la distancia t se tomará

como la profundidad del tablero de hormigón.

6.4.2. Fluencia y Retracción

Los efectos de fluencia y retracción pueden tener un efecto sobre la resistencia, fatiga y la

capacidad de servicio sobre la estructura. Tradicionalmente, la fluencia se considera en el

concreto donde su efecto puede conducir a problemas de facilidad de servicio imprevistos

que puedan posteriormente dar lugar a problemas de resistencia secundaria. Sin embargo, la

fluencia es también motivo de preocupación en las estructuras de madera. La fluencia y

retracción son altamente dependientes de los materiales y los sistemas involucrados.

Movimientos de apoyo pueden ocurrir debido a la deformación elástica e inelástica de la

fundación. Deformaciones elásticas incluyen movimientos que afectan la respuesta del

puente a otras cargas, pero no conlleva acciones permanentes. Tales deformaciones pueden

ser modelados mediante la aproximación de la rigidez del soporte en el modelo de análisis

estructural. Este tipo de arreglo no es una carga, sino más bien una característica de apoyo

que deben ser incluidos en el modelo estructural. Deformaciones inelásticas son

movimientos que tienden a ser permanentes y crear locked-in acciones permanentes. Estos

movimientos pueden incluir el asentamiento debido a la consolidación, inestabilidades o el

fracaso de las fundaciones. Algunos de estos movimientos son los resultados de las cargas

aplicadas al puente, y estos efectos de carga se pueden incluir en el modelado de los

soportes estructurales. Otros movimientos se atribuyen al comportamiento de la fundación

independiente de las cargas aplicadas al puente. Estos movimientos deben ser tratados

como una carga y en lo sucesivo se denominan deformaciones de apoyo.

Las acciones debidas a las deformaciones impuestas en las estructuras de apoyo

estáticamente indeterminadas son proporcionales a la rigidez. Por ejemplo, para una

deformación dada en una estructura rígida esta desarrolla acciones más grandes que una

CAPITULO 6 CARGAS EN PUENTES CURVOS

116

flexible. Las estructuras estáticamente determinadas no desarrollan acciones internas

debidas al asentamiento, que es una de las pocas ventajas inherentes de los sistemas

estáticamente determinados. Estas deformaciones de apoyo se estiman en base a las

características geotécnicas del sitio y sistema involucrado. Sugerencias detalladas se dan en

AASHTO, Sección 10.

117

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Capítulo7

DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR

7.1. INTRODUCCIÓN

En el presente capítulo se procederá a explicar detalladamente la forma de calcular

todos los valores necesarios para el análisis y diseño estructural de puentes curvos con

vigas BPR.

La primera parte de este acápite se desarrollará el análisis estructural, mostrando así

cinco tipos de modelos computacionales en puentes curvos con vigas rectas BPR, todos

estos análisis son desarrollado por el método de los elementos finitos, los cálculos son

desarrollados ampliamente para el puente de radio de 100m, sin embargo para el de radio

de 50m se muestra en [Anexo1] la planilla de cálculo.

Finalmente se desarrolla el cálculo de las tensiones en la viga y las verificaciones de las

fibras en tiempos iniciales y finales de acuerdo al código ASSHTO LRFD.

CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR

118

7.2. DESCRIPCION DEL PUENTE

7.2.1. Sección transversal

El puente de radio de curvatura horizontal de 100m tiene una longitud total de 60m, la

velocidad de proyecto es de 50 Km/h según la tabla 4-2, compuesto por dos carriles

bidireccionales de ancho igual a 3.5m, el peralte de la curva es del 7 por ciento esto según

el manual de diseño de Geométrico de la A.B.C.

Los sobreanchos de curva son calculados siguiendo las recomendaciones de [19]. Para

un tipo de vehículo tipo Semitrailer de largo total igual a "L" _"t" "=16.40m" se tiene que:

E=L1

2 +L22

R- 0.20 (7. 1)

donde L1 es la distancia entre el parachoques delanteros y ultimo eje del camión tractor y

L2 es la distancia entre pivote mesa de apoyo y ultimo eje del tándem trasero, todos estos

valores son tabulados en la tabla 4-3. Para el caso nuestro tendremos que L1=5.60m y

L2=10.00m entonces el ensanchamiento de la curva es E=1.10m, teniendo así un ancho de

calzada total de B=8.10m.

Debido a que la norma AASHTO LRFD, ni las especificaciones no especifica

claramente la separación entre vigas de las secciones habituales, salvo el cumplimiento del

rango de aplicabilidad de los factores de distribución de momento y corte que involucran la

geometría del puente. Se realiza un análisis estático para la determinación de la separación

de los nervios utilizando los factores de carga presentados por la norma AASHTO

ESTÁNDAR. Por otro lado se adoptó valores en la sección transversal del puente que

cumplan los rangos de aplicabilidad de los factores de distribución.

Según las especificaciones estándares de la norma AASHTO LFD el factor de carga

para secciones BPR es: fi=fe=0.596∙S.

A partir de la figura 7.1 se puede definir que:

2a + 4s = 8.10 ( a)

CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR

119

entonces:

a=8.10-3S

2=4.05-1.5S

( b)

Determinando los momentos en el punto M.

3a+4.5∙S-6.6=2∙fe∙S ( c)

Sustituyendo las ecuaciones (a) y (b) en (c) se tiene que:

1.192S2 = 24.30 − 6.60 ( d)

Resolviendo la ecuación se tiene: S=2.20m y a=0.75m

Entonces se puede decir que la superestructura está formada por cuatro vigas espaciadas

a 2.20 m. de los centros, como se muestra en la figura 7.1. El tablero está conformado por

una losa de espesor de 20cm la cual es moldeada para así formar la curva, esta cumple

esencialmente la función de transmitir las cargas muertas, vivas y de impacto hacia las

vigas. La superficie de desgaste tiene un espesor de 5cm. El diseño y análisis estructural se

realiza de acuerdo con las Especificaciones LRFD, segunda edición 2012, carga viva

vehicular HL-93.

0.07 Peralte

3 Espacios c/ 2.20m=6.600.750.75

8.10

8.85

0.375 0.375

0.20 Espesor Unifome

M

fife

Figura 7. 1: Sección transversal en mitad del tramo del puente

CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR

120

7.2.2. Geometría en planta

Para ver si podría utilizarse vigas rectas en puentes curvos se debe verificar el valor de

la sagita, donde el desplazamiento de la cuerda arco no deberá ser mayor a 1.5 ft (0.50m)

según el manual de diseño de puentes de la PCA [14]. Este cálculo se lo realiza a partir de

la ecuación 4.1 donde s=Lc2/8R=(60)2/(8∙100)=4.5m. Este valor es mucho mayor al

admisible, entonces con la finalidad de entrar dentro del rango se divide el puente en tres

tramos de 20m en consecuencia se tiene que s=0.5m aproximadamente casi igual al valor

admisible.

Con la finalidad de minimizar el voladizo en el exterior de la curva, el voladizo de

1.1 m se fijará en el centro de cada vano. En los extremos de los vanos, el voladizo de la

viga central en el exterior será 0.60m y 1.6m en el interior. La Figura 7.2 muestra la

geometría en planta.

0.5

1.6

0.6

L

L

Borde losa

1.6

0.6

1.6

0.6

1.6

0.61.1

1.1

R100.0

L

L

La=20m

Figura 7. 2: Geometría en planta del puente

7.2.3. Materiales

Losa vaciada in situ: Espesor real, ts=200mm

Resistencia del hormigón a los 28 días, f'c=21 MPa

CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR

121

Vigas Prefabricadas: BPR Tipo IV [PCI] como se muestra en la Figura 7.2

Resistencia del hormigón de la viga en el postensado, f'ci=28 MPa

Resistencia del hormigón a los 28 días, f'c=35 MPa

Peso específico del concreto, γc=2400 Kg/m3

Longitud de la viga =20m

Cables de postensado: 12 Torones de ½” de baja relajación

Área de un Torón =98.7mm2

Tensión ultima fpu=1860 MPa

Tensión de fluencia fpy=0.9∙fpu=1674 MPa [LRFD Tabla 5.4.4.1-1]

Límites de estrés para torones de postensado: [LRFD Tabla 5.9.3-1]

en elevación: fpi=0.80fpu=1488 MPa

en el estado límite de servicio (después de todas las pérdidas):

fpc<0.80fpy=1339.20 MPa

Módulo de elasticidad, Ep=197000 MPa [LRFD Tabla 5.4.4.2]

Barras de refuerzo: Fluencia del acero, fy=420 MPa

Módulo de elasticidad, Es=200000 MPa [LRFD Tabla 5.4.3.2]

Capa rodadura: 50 mm concreto asfaltico, peso específico=22.5 KN/m3

Baranda tipo Jersey: Peso por unidad de longitud = 6 KN/m

7.3. ANALISIS Y DISEÑO DE LAS BARRERAS TIPO JERSEY

7.3.1. Descripción

Se propone en este caso un modelo de barrera de concreto con perfil basado en la

barrera de New Jersey. Cabe destacar que un sistema de barreras y su conexión a la cubierta

sólo se autorizan después de demostrar que es satisfactorio a través de pruebas de choque

CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR

122

en barreras a escala natural para el nivel de prueba deseado [LRFD Art. 13.7.3.1]. Si se

realizan modificaciones menores a modelos ya probados, que no afectan su resistencia,

pueden utilizarse sin las pruebas de impacto requeridas.

7.3.2. Resistencia a flexión alrededor de un eje vertical de la barrera (Mw)

La resistencia a los momentos positivo y negativo que actúan alrededor de un eje

vertical se determina tomando como base el mecanismo de falla en este tipo de barreras; se

determina así el refuerzo horizontal en la cara vertical de la barrera (en este caso 4Ø16).

Para determinar el momento resistente se dividirá la sección de barrera en tres partes:

A1, A2 y A3, tal como se observa en el gráfico.

Figura 7. 3: Dimensiones y armadura de barreras tipo jersey

Para este cálculo se utilizara un método alternativo simplificado, trabajando con una

área equivalente como se muestra en la figura

Figura 7. 4: Sección simplificada de barrera tipo jersey

A1 = 822.50 cm2

CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR

123

A1 = 718.75 cm2

A1 = 487.50 cm2

AT = 2028.75 cm2

Para una altura de barrera de 0.85 m se tendrá un grosor de:

h= 2028.75 cm2

85 cm=23.87 cm

z = Rec. + ∅v + ∅/2" = 2” + ½” + (3/8”)/2 = 2.6875”

z =6.83 cm

d = 23.87 – 6.83 = 17.04 cm

As= 4∅3/8” = 4 (0.71 cm2) = 2.84 cm2

a=As∙fy

0.85∙f'c∙b=0.59 cm

Mu=∅ Asfy (d-a

2)

Mu= 199.73 kg-cm = 20 KN- m

7.3.3. Resistencia a flexión alrededor de un eje paralelo al eje longitudinal (Mc)

Se calcula de acuerdo a las líneas de rotura con el momento de flexión negativo. Éste

produce esfuerzos de tensión en la cara inclinada de la barrera, determinando el refuerzo de

la barrera para esa cara.

Utilizando 1Ø12 c/ 17cm (As = 1.29cm²/17 cm = 7.59 cm²/m), considerando fajas de

1m de ancho:

Sección A1

z = Rec.+ Ø/2 = 5.08 + (1.2)/2 = 5.72cm

d = h – z = 17.9 – 5.72 = 12.18 cm

a=As fy

0.85 f´c b

Mc,1=∅Asfy (d-a

2) = 36.7 KN- m

CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR

124

Figura 7. 5: Flexión en secciones A1 y A2 de barreras jersey

Sección A2

d = (20+37.5)/2 + 5.72 = 23.03 cm

Mc,2=∅Asfy (d-a

2) = 71.3 KN- m.

Sección A3

d = 37.5 - 5.72 = 31.78 cm

Mc,2=∅Asfy (d-a

2) = 99.2 KN- m.

El momento promedio es:

Mc= 36.7 (0.47)+71.3 (0.25)+99.2 (0.13)

0.85=56.4 KN-m

7.3.4. Longitud crítica de la línea de rotura (Lc) según el patrón de falla

Lc=Lt

2+√(

Lt

2)

2

++8H(Mb+Mw)

Mc (7. 2)

Siendo:

Lt = longitud de distribución longitudinal de la fuerza de impacto Ft

Mb= 1.07m, para el nivel TL-4 [LRFD A13.2-1]

H = altura de la barrera = 0.85m

CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR

125

Mb = resistencia flexional adicional en la parte superior del murob= 0

Mw= resistencia flexional del muro respecto de su eje vertical= 18.80 KN-m

Mc= resistencia flexional de los muros en voladizo respecto de un eje paralelo al eje

longitudinal del puente = 56.40 KN-m

Lc = longitud crítica de la línea de rotura en el patrón de falla

Lc=1.07

2+√(

1.07

2)

2

++8(0.85)(0+1.88)

5.64= 2.13m

7.3.5. Resistencia nominal a la carga trasversal Rw

Rw= (2

2Lc-Lt) (8Mb+8Mw+

McLc2

H) (7. 3)

Siendo:

Ft = 240,000N para el nivel TL-4 = 24.47T (Tabla A13.2-1)

Rw = resistencia del parapeto

Rw= (2

2∙2.13-1.07) (8(0)+8(1.88)+

5.64∙(2.13)2

0.55)

Rw=283.00KN>Ft =244.70 KN Ok!

7.3.6. Resistencia nominal a la carga trasversal

Cortante actuante

Vct=Rw

Lc+2H

(7. 4)

Vct=283.00 KN

2.13m+2∙0.85m=73.90KN/m

CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR

126

Figura 7. 6: Carga de choque en barreras jersey

Cortante resistente

Para dos concretos colocados en diferentes momentos

Vn=cAcv+μ(Avffy+Pc)≤0.2f 'cAcv ó 5.5Acv (7. 5)

Acv = área de corte en contacto = 0.375 m x 1 m = 0.375 m²

Avf= área del dowel en el plano de corte= 1Ø1/2”c/17 (en razón de que sólo una pata está

anclada) = 1.29cm²/0.17m = 7.59cm²/m

c = factor de cohesión (5.8.4.2)

= 0.52MPa (Caso 3)

μ = 0.6l = 0.6 (1.0) = 0.6 (Caso 3)

f´c= 21 MPa

fy= 420 MPa

Pc = fuerza de compresión permanente perpendicular al plano de corte peso de la baranda

= 0.202875m² x 24 KN/m2= 48.7 KN

CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR

127

En 1m de ancho de barrera:

Vn = 0.52 MPa (375m²) + 0.6(7.59cm² x 4200kg/cm² + 487kg)

= 39,294 kg ≤0.2(280kg/cm²)(3750cm²)

ó 5.5(375,000mm²)N x 0.10197 kg

= 39.29T/m ó 210.3 T/m

= 39.29T/m > Vct=7.39T/m OK!

7.3.7. Chequeo de Dowel

Avf≥0.35bv

fy (7. 6)

Siendo:

bv = ancho de la interfase = 375mm

fy = 4200 kg/cm² = 412MP

Avf=0.35∙375mm

412MPa ×

1000mm

1000mm= 318.60mm2/m=3.19cm2/m

Usar: Ø1/2”c/17cm = 7.59cm²/m > 3.19cm²/m OK!

7.3.8. Longitud de anclaje

La longitud básica de anclaje (lhb) para una barra terminada en gancho es:

lhb =100 db

√f´c

(7. 7)

Siendo db = 12” = 12.7 mm, f´c = 21 MPa

lhb =100 (12.7)

√21= 242 mm

CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR

128

Considerando que el recubrimiento lateral perpendicular al plano del gancho es mayor o

igual que 64mm, la longitud básica de anclaje se afectará por el factor 0.7 [LRFD Art.

5.11.2.4.2].

Figura 7. 7: Longitud de anclaje refuerzo de barreras jersey a losa

Luego:

ldh = 0.7 lhb = 0.7 x 24.2 cm = 17 cm

La longitud de anclaje ldh no debe ser menor que 8db ó 15cm (5.11.2.4.1)

ldh = 17 cm ≥ 8 db = 10.16 cm y 15 cm

Se dispone para la longitud de desarrollo sólo de 15 cm, lo cual no es satisfactorio. Sin

embargo, considerando que cuando hay más armadura que la requerida la longitud básica

de desarrollo disminuye según la relación:

(Asrequerida

As provista) x lhb

Tendremos:

Asrequerida = As provista (15

17) = 7.59 cm2 ∗ (

15

17) = 6.70 cm2

Usaremos esta área de acero para recalcular la capacidad de la barrera:

Mc1 = 1.0 (6.70)(4200) (12.18 −1.18

2) = 32.6 KN- m/m

Mc1 = 1.0 (6.70)(4200) (12.18 −1.18

2) = 63.1 KN- m/m

CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR

129

Mc1 = 1.0 (6.70)(4200) (12.18 −1.18

2) = 87.8 KN- m/m

El momento promedio es:

Mc = 32.6 (0.47) + 63.1 (0.25) + 87.8 (0.13)

0.85= 50.0 KN − m/m

Lc = Lt

2+ √(

Lt

2)

2

+8H(Mb + Mw)

5.00 (7. 8)

Lc = 1.07

2+ √(

1.07

2)

2

+8(0.85)(0 + 1.88)

5.00= 2.22m

Rw = (2

2Lc − Lt) (8 Mb + 8 Mw +

McLc2

H) (7. 9)

Rw = (2

2x2,2 − 1.07) (8(0) + 8(1.88) +

5.00 (2.22)2

0.85)

Rw = 26.13 T > Ft = 24.47 T OK

Con lo que la longitud de desarrollo ldh = 15 cm, es adecuada. Las barras terminadas en

ganchos deben además extenderse 12 db + 4db = 16 (1.27) = 21cm [LRFD Art. 5.11.2.41].

Figura 7. 8: Detalle de barras de refuerzo barrera jersey

CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR

130

7.4. ANALISIS Y DISEÑO DEL TABLERO

7.4.1. Dimensionamiento de la losa

El diseño de la losa se hizo siguiendo las especificaciones de la norma AASHTO LRFD

que específica que la losa o tablero no debe ser menor que:

𝑆 + 3000

30≥ 165 (7. 10)

Para nuestro caso el espesor mínimo de la losa es 184.33 mm, lo que nos lleva a adoptar un

espesor de losa de 20 cm.

7.4.2. Dimensionamiento de la losa interior

Determinamos un espesor de losa de 20 cm, la luz libre de nuestra losa es (2.20m-0.50)=

1.7 m., los criterios de diseño utilizados en esta ocasión son Resistencia I y Servicio I

conforme a la norma LRFD, además cabe recalcar que no es necesario realizar el cálculo

del estado de fatiga para tableros de concreto con vigas múltiples.

Figura 7. 9: Posición del máximo momento positivo

Cálculo de momentos

Sabiendo que la carga que determina el diseño es la carga viva antes que las cargas muertas

ya que son significativamente menores calcularemos el momento negativo en el apoyo

interior para franjas de losa de 1m.

Carga Muerta (DC)

Resolviendo la losa continua sobre cuatro apoyos se tiene:

CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR

131

Peso propia losa: wlosa = 0.20m(1.0m)(24KN/m3) =4.8 KN/m

El Art. 4.6.2.1.6 especifica que para momento negativo en construcciones monolíticas de

concreto se puede tomar la sección de diseño en la cara del apoyo. Tomamos entonces con

respecto al apoyo A, los siguientes resultados del diagrama de momentos:

MDC=-3.04 KN-m

MDC,izq= -0.70 KN-m

MDC,der= -0.55 KN-m

Figura 7. 10: Momentos por carga muerta en losa

Peso barreras

PB = 0.202875m2 ∗ (1.0m)(24KN/m3) = 4.869KN aplicado a (x = 13cm)

MDC = +0.97 KN − m

MDC,izq = +0.31 KN − m

MDC,der = +0.97KN − m

En la mayoración de cargas para el estado límite de Resistencia I, los valores positivos de

momento serán multiplicados por γ= 0.9 para obtener en la combinación de cargas el

máximo momento negativo.

CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR

132

Figura 7. 11: Momentos por barandas

Carga por superficie de rodadura (DW)

wDW = 0.05m(1.0m)(22.5KN/m3) = 1.125 KN/m

Tomamos del diagrama los siguientes momentos:

MDW= -0.48 KN-m

MDW,izq= -0.19 KN-m

MDW,der=-0.21 KN-m

Figura 7. 12: Momento por capa de rodadura

CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR

133

Carga viva y efecto de carga dinámica (LL+IM)

Haciendo uso de la línea de influencia para momento flector en el apoyo B calculamos el

momento por carga viva en la sección de máximo momento negativo (apoyo B) colocando

los ejes de carga de camión en posiciones críticas:

Para un carril cargado y afectado del factor de presencia múltiple m [LRFD Art. 3.6.1.1.2]

M(-)= [72.5 (-0.2256)+ 72.5 (-0.1757)] 1.2= -34.91 KN-m

Para dos carriles cargados

M(-)=[72.5 (-0.2256)+72.5 (-0.1757)+72.5 (-0.0142)+72.5 (0.0316)] 1.0= -27.83 KN-m

Figura 7. 13: Línea de influencia apoyo B

El ancho de franja en que se distribuye es:

E(-) = 1220+0.25 S [LRFD Tabla 4.6.2.1.3-1]

= 1220+0.25 (2200)= 1770mm = 1.77m

Entonces, el momento negativo crítico en B, incluido el efecto de carga dinámica y el

ancho de franja es:

MB(-)LL+IM=-34.91

1.77×1.33=-26.23 KN-m

CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR

134

Conociendo la posición de cargas que genera el máximo momento negativo en B,

calculamos también los momentos en la cara de la viga a la izquierda y derecha resolviendo

la losa hiperestática apoyada sobre las cuatro vigas:

Figura 7. 14: Momento negativo por carga viva

De donde se obtiene:

M(-)LL+IM=-29.09×1.2×1.33

1.77=-26.23 KN-m

M(-)LL+IM,izq=-15.08×1.2×1.33

1.77=-13.60 KN-m (cara izq, de B)

M(-)LL+IM, der=-15.79×1.2×1.33

1.77=-14.24 KN-m (cara der, de B)

Resumen de Momentos negativo por cada carga en B

Carga Tipo M(-) izq

KN-m

M(-) eje B

KN-m

M(-) der

KN-m 𝛾(Resistencia I)

Losa DC1 -0.70 -3.04 -0.55 1.25

Barrera DC2 -0.31 -0.97 -0.97 0.90

Asfalto DW -0.19 -0.48 -0.21 1.50

Carga Viva LL+IM -13.30 -26.23 -14.24 1.75

Tabla 7- 1: Momentos flectores en losa interior

Para el Diseño por Estado Limite de Resistencia I, con n=nDnRnL=1

Mu=n[(1.25 ó 0.9)MDC+(1.50 ó 0.65) MDW+1.75M(LL+IM)]

En el eje B

CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR

135

Mu= 1.25(-3.04)+0.9(-0.97)+1.5(-0.48)+1.75(-26.23)=-51.30 KN-m

En cara de viga izquierda

Mu= 1.25(-0.70)+0.9(-0.31)+1.5(-0.19)+1.75(-13.30)=-24.71 KN-m

En cara de viga derecha

Mu= 1.25(-0.55)+0.9(-0.97)+1.5(-0.21)+1.75(-14.24)=-26.80 KN-m

El acero negativo será diseñado con este último valor de momento que es el mayor de las

dos caras de viga.

CALCULO DE MOMENTOS POSITIVOS

Carga Muerta (DC):

Del diagrama de momentos en losa por peso propio, en la sección F (x = 0.4L):

MDC1 = 0.28 KN-m

Igualmente para las barreras:

MDC2 = 2.52 KN-m

En la mayoración de cargas para el estado límite de Resistencia I, a este último valor por

ser negativo lo multiplicaremos por = 0.9, para obtener en la combinación de cargas el

máximo momento positivo

Carga superficie de rodadura (DW):

Del diagrama de momentos en losa por carga de asfalto, en la sección F (x = 0.4L):

MDW=0.15 KN-m

Carga viva y efecto de Carga Dinámica

Para un carril cargado y afectado del factor de presencia múltiple m ( Art. 3.6.1.1.2)

M(-)= [72.5 (0.4492)+72.5 (-0.0591)] 1.2= 33.94 KN-m

CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR

136

Figura 7. 15: Línea de influencia tramo AB

Para dos carriles cargados

M(-)= [72.5 (0.4492)+72.5 (-0.0591)+72.5 (0.0193)+72.5 (-0.0040)] 1.0= 29.39 KN-m

El ancho de franja en que se distribuye es:

E(-) =1220+0.25 S [LRFD Tabla 4.6.2.1.3-1]

= 1220+0.25 (2200)= 1770 mm = 1.77m

Entonces, el momento positivo crítico en F, incluido el efecto de carga dinámica y el ancho

de franja es:

MB(+)LL+IM=-33.94

1.77× 1.33 = 25.50 KN − m

Conociendo la posición de cargas que genera el máximo momento negativo en B,

calculamos también los momentos en la cara de la viga a la izquierda y derecha resolviendo

la losa hiperestática apoyada sobre las cuatro vigas:

CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR

137

Figura 7. 16: Momentos positivos por carga viva

De donde se obtiene:

M(-)LL+IM=-28.28×1.2×1.33

1.77= 25.50 KN-m

Resumen de Momentos positivo en la sección F

Carga Tipo M(+) eje

KN-m 𝛾(Resistencia I)

Losa DC1 0.28 1.25

Barrera DC2 -2.52 0.90

Asfalto DW 0.15 1.50

Carga Viva LL+IM 25.20 1.75 Tabla 7- 2: Momento mayorados por resisttencia1

Para el Diseño por Estado Limite de Resistencia I, con n=nDnRnL=1

Mu=n[(1.25 ó 0.9)MDC+(1.50 ó 0.65) MDW+1.75M(LL+IM)]

En la sección F

Mu= 1.25(0.28)+0.9(-2.52) +1.5(0.15)+1.75(25.20)

Mu= 42.41 KN-m

Calculo del acero

Acero negativo

Mu = -26.80 KN-m

Utilizando As ∅12 y recubrimiento r = 25 mm

z = 25 + 12/2 = 31 mm

CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR

138

d = 200 – 31 = 169 mm

Figura 7. 17: Espesor y peralte efectivo losa

∅Mn=∅ 0.85 f´c b a (d-a

2)

26.80x106=0.9∙0.85∙21∙1000∙ a (169-a

2)

a = 10.19mm

As=0.85∙f´c∙a∙b

fy

As=0.85 21∙ 10.19∙1000

420=433.07 mm2=4.33 cm2

Utilizando varillas de 12 mm la separación será:

s=1.13

4.33=0.26m

Usar ∅12c/26 cm

Acero máximo

Una sección no sobre reforzada cumple con: c/de < 0.42

Como:

c = a/β1 = 10.19/0.85 = 11.99 mm.

de = 169 cm

c/ de = 11.99/169 = 0.07 < 0.42 OK!

As mínimo

CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR

139

La cantidad de acero proporcionado debe ser capaz de resistir el menor valor de 1.2Mcr y

1.33 Mu:

a) 1.2 Mcr = 1.2 (fr S) = (1.2) (2.89) (6666666.67) = 23.12 KN – m

Siendo:

fr=0.63 √f´c =0.63√21=2.89 MPa

S = bh2/6 = 1000(200)2/6 = 0.00667 m3

b) 1.33 Mu = 1.33 (26.80) = 35.64 KN-m

El menor valor es 23.12 KN-m y la cantidad de acero calculada (4.33 cm2) resiste:

Mu = 26.80 KN-m > 23.12 KN-m OK!

Acero positivo

Mu = 42.41 KN-m

Utilizando As ∅12 y recubrimiento r = 25 mm

z = 25 + 12/2 = 31 mm

d = 200 – 31 = 169 mm

∅Mn=∅∙0.85∙f´c ∙b∙a∙ (d-a

2)

42.41x106 = 0.9 ∙ 0.85 ∙ 21 ∙ 1000 ∙ a ∙ (169 −a

2)

a = 16.42mm

As=0.85 ∙f´c ∙a∙b

fy

As=0.85 ∙21∙ 16.42∙1000

420=697.85 mm2=6.98 cm2

Utilizando varillas de 12 mm la separación será:

CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR

140

s=1.13

6.98=0.16m

Usar ∅12c/16 cm

Acero máximo

Una sección no sobre reforzada cumple con: c/de < 0.42

Como:

c = a/β1 = 16.42/0.85 = 19.32 cm.

de = 169 cm

c/ de = 19.32/169 = 0.11 < 0.42 OK!

As mínimo

La cantidad de acero proporcionado debe ser capaz de resistir el menor valor de 1.2Mcr y

1.33 Mu:

a) 1.2 Mcr = 1.2 (fr S) = (1.2)(2.89)(6666666.67) = 23.12 KN – m

Siendo:

fr = 0.63 √f´c = 0.63√21 = 2.89 Mpa

S = bh2/6 = 1000(200)2/6 = 0.00667 m3

b) 1.33 Mu = 1.33(42.41) = 56.40 KN-m

El menor valor es 23.12 KN-m y la cantidad de acero calculada (6.98 cm2) resiste:

Mu = 42.41 KN-m > 23.12 KN-m OK

Acero por temperatura

CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR

141

As temp =0.756 Ag

fy (7. 11)

As temp=0.756(200)1000

420=360 mm2=3.60 cm2

En dos capas se colocará: 3.60/2 = 1.80 cm2/capa

Utilizando varillas ∅10, la separación será: s=0.79/1.80 = 0.44 m.

Smax = 3t = 3(0.20) = 0.60 m.

Smax = 0.45 m.

Usar: ∅10 c/44 cm.

Acero de distribución

En la parte inferior de las losas se coloca armadura en la dirección secundaria en un

porcentaje del acero positivo igual a:

%=3840

√S≤67% (7. 12)

S = distancia entre cara de vigas = 1.692m=1692 mm

% =3840

√1692= 93.35% > 67% ∴ % = 67

As reparto = 0.67 (6.98 cm2) = 4.68 cm2

Utilizando varillas ∅12, la separación será: s = 1.13/4.68 = 0.24m

Usar: ∅12c/24cm

CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR

142

Figura 7. 18: Detalle de armado losa interior

Revisión de fisuración por distribución de armadura

Acero negativo

Esfuerzo máximo del acero

fsa =Z

(dcA)1/3≤ 0.6 fy (7. 13)

dc=Rec. +∅

2

dc=25 +12

2

dc=31 mm

b = espaciamiento del acero = 260 mm

nv = número de varillas = 1

A =(2dc)b

nv=

2(31)(260)

1= 16120 mm2

Z = 30000 N/mm (condición de exposición moderada) LRFD 5.7.3.4

fsa=30000

[31(12400)]1/3=378.05 N/mm2

CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR

143

fsa≤0.6 (420)=252 N/mm2

fsa=252 N/mm2

Esfuerzo del acero bajo cargas de servicio

fs =Ms c

I n

Para el diseño por estado límite de servicio con n = 1

Ms = η(1.0 MDC + 1.0 MDW + 1.0 MLL+IM)

Ms=1[1.0 (-0.70-0.97)+1.0 (-0.21)+1.0 (-14.24)]

Ms=-16.12 KN-m para un metro de franja

Luego:

Ms=(-16.12)(0.26)=-4.19 KN-m

Es=200000 MPa

E=0.043 γc1.5√f´c

Ec=23168.34 MPa

η = Es

Ec=

200000

23168.34≈ 9

Figura 7. 19: Sección fisura losa

CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR

144

Área de acero transformada

Ast = relacion modular x area de acero

Ast = 9 (1.13 cm2) = 10.17 cm2

Momentos respecto del eje neutro para determinar y:

26y(y/2) = 10.17 (16.9-y)

y = 3.27 cm, c = 13.63cm.

Inercia respecto del eje neutro de sección transformada:

I= Astc2+

b y3

3

I= 10.17 (13.63)2+26 (3.27)3

3

I = 26054.89 cm4

Luego

fs=Ms c

I n=

16.62 (106)136.3

26054.89(104) (9)=78.25 MPa

fs=78.25< fsa=252 OK!

Acero positivo

Esfuerzo máximo del acero

fsa=Z

(dcA)1/3≤0.6 fy

dc=rec +∅

2

dc=25 +12

2

dc=31 cm

b = espaciamiento del acero = 16 cm

CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR

145

nv = número de varillas = 1

A=(2dc)b

nv=

2(31)(16)

1=992 mm2

Z = 30000 N/mm (condición de exposición moderada) LRFD 5.7.3.4

fsa=30000

[31(992)]1/3=957.55

fsa≤0.6 (420)=252

fsa=252.0 MPa

Esfuerzo del acero bajo cargas de servicio

fs=Ms c

I n (7. 14)

Para el diseño por estado límite de servicio con n = 1

Ms=η(1.0 MDC+1.0 MDW+1.0 MLL+IM)

Ms=1[1.0 (0.28-2.52)+1.0 (0.15)+1.0 (25.20)]

Ms=23.11 KN-m

Luego:

Ms = (23.11)(0.16) = 3.70 KN − m

Es = 200000 MPa

𝐸 = 0.043 𝛾𝑐1.5√𝑓´𝑐

Ec = 23168.34 MPa

η = Es

Ec=

200000

23168.34≈ 9

Área de acero transformada

Ast = relacion modular x area de acero

Ast = 9 (1.13 cm2) = 10.17 cm2

CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR

146

Momentos respecto del eje neutro para determinar y:

16y(y/2) = 10.17 (16.9-y)

y = 4.04 cm, c = 12.86cm.

Inercia respecto del eje neutro de sección transformada:

I= Astc2+

b y3

3

I = 10.17 (12.86)2 +16 (4.04)3

3= 1768.96 cm4

Luego

fs=Ms c

I n=

23.11 (105)12.86

1768.96(104) (9)=15.12

fs=15.12< fsa=252 OK

7.4.3. Dimensionamiento de la losa voladizo curva exterior

Para el diseño de la losa en voladizo se siguen los criterios de LRFD aplicables:

Resistencia I

Evento Extremo II

Momentos de flexión por Vargas (franja de 1 m. de ancho)

Considerando el momento flector en la cara de la viga se tiene:

Carga muerta (DC)

wlosa=0.20 (1.0)(24 KN/m3)=4.8 KN/m

MDC,1=wlosa (L)2

2=

4.8 (0.875)2

2=1.84 KN-m

El peso de la barrera es:

Pb=0.202875m2(1.0) (24 KN

m3) =4.87 KN

MDC,2=Pb(L-x)=4.87 (0.875-0.13)=3.63 KN-m

CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR

147

Entonces:

MDC = 1.84 + 3.63 = 5.47 KN − m

Carga por superficie de rodadura (DW)

wDW=0.05(1.0)(22.5)= 1.125 KN-m

MDW=1.125 (0.50)2

2=0.14 KN-m

Carga viva (LL)

Para el cálculo de la carga viva se recomienda el método de franja equivalente donde:

E=1140+0.833 X [LRFD Tabla 4.6.2.1.3-1]

donde X es la distancia entre la carga y el punto de apoyo (mm) = 450mm.

E = 1140 + 0.833 (450) = 1514.85 = 1.51 m.

El momento del eje de rueda vehicular distribuido en un ancho E=1.51 m, afectado por el

factor de presencia múltiple (m=1.2), y el incremento por carga dinámica (I = 0.33) es:

MLL+IM =72.5 KN (1.2)(1.33)

1.51(0.20) = 15.32 KN − m

Colisión vehicular

CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR

148

Figura 7. 20: Momento producido por choque en losa

MCT= (Rw

Lc+2H) (H)=

256.18

3.92(0.85)=55.55 KN-m

Cálculo del Acero

Para el estado límite de resistencia I, con n = 0.95

Mu = η[1.25 MDC + 1.50 MDW + 1.75 M(LL+IM)]

η = ηDηRηI = (0.95)(1)(1) = 0.95

Mu = 0.95[1.25 (5.47) + 1.50 (0.14) + 1.75 (15.32)]

Mu = 32.16 KN − m

Para el Estado Límite de Evento Extremo II, con η =1

Mu = η[1.25 MDC + 1.50 MDW + 1.00 Mcr]

Mu = 1.00[1.25 (5.47) + 1.50 (0.14) + 1.00 (55.55)]

Mu = 62.60 KN − m

CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR

149

Figura 7. 21: Refuerzo de acero en losa exterior

Siendo el último el que rige el diseño de la losa en voladizo, usaremos 3∅12c/26cm.

Mu=62.60 KN-m

As(-)=3.39 cm2/0.26m=13.04 cm2/m

Rec. = 25 mm.

z = 25 + 12/2 = 31 mm

d = 200mm – 31mm = 169 mm.

∅=1.0 (Caso de Eventos Extremos)

a=As∙fy

0.85∙f´c∙b

∅Mn=∅Asfy (d-a

2) =1.0 (1304)(420) (169-

30.68

2) =84.16 Tn-m

Este momento debe reducirse por la fuerza de tensión axial ejercida por la colisión en el

volado.

T = Rw

Lc + 2H (7. 15)

CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR

150

Figura 7. 22: Fuerzas de tensión en losa de borde

T= 266.53 KN

2.22+2(0.85)=67.99 KN/m

Resolviendo como un caso de momentos de flexión y tensión combinados:

Pu

∅Pn+

Mu

∅Mn≤ 1.0

Luego la capacidad es:

Mu = ∅Mn (1 −Pu

∅Pn)

Siendo:

Ast=As (-)+As (+)= 13.04 cm2/m + 5.95cm2/m = 18.99 cm2/m

Pu = T = 67.99 KN/m

∅Pn = ∅Astfy = 1.0 (1899mm2)(420MPa)= 797580 N = 797.58 KN

∅Mn=84.16 KN-m

Mu = 84.16 (1 −67.99

797.58) = 76.99 KN − m > 62.60 𝐾𝑁 − 𝑚 (OK)

Usar: 3∅12c/26 cm.

Longitud de desarrollo

CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR

151

Figura 7. 23: Detalle de armado unión losa baranda

El refuerzo negativo en el volado, inmediatamente debajo de la barrera, debe resistir MCT =

55.55 KN-m. Luego se verificara la longitud de desarrollo en esa zona:

ldh = lhb ∙ factor de modificacion

Siendo la longitud básica de desarrollo:

lhb =100 d𝑏

√21 (7. 16)

lhb =100 (12mm)

√21= 261.86mm = 26.2 cm

Considerando que la relación de acero requerido sobre el acero provisto es similar al

momento último requerido sobre el momento ultimo provisto y que el recubrimiento lateral

perpendicular al plano del gancho es mayor que 64 mm (factor 0.7), la longitud de anclaje

es:

ldh = 26.2 (0.7) (55.55

76.99) = 13.23 cm

Se dispone de: 37.5 – 2 (5) = 27.5 cm. (OK)

Longitud de las barras adicionales del volado

CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR

152

Las barras de ∅12 adicionales colocadas en la parte de la losa deben extenderse más allá del

eje central de la viga T exterior hacia el primer tramo interior de la losa. Para determinar la

longitud de esta extensión es necesario encontrar la distancia donde las barras adicionales

Ø12 ya no son requeridas. Esta distancia teórica ocurre donde el momento debido a la

colisión más la carga muerta, iguala al momento negativo resistente de las barras 2Ø12c/26

cm.

d = 200 – 25 – 12/2 = 169mm

As = 2.26 cm2/20 cm = 11.30cm

2/m=1130 mm

2

a =1130 ∙ 420

0.85 ∙ 21 ∙ 1000= 26.59mm

La resistencia del momento negativo de la losa es:

Mu=0.90 (1130)(420) (169-26.59

2) =68.54 KN-m

Para el estado límite de Evento Extremo II, el momento negativo con ∅ = 1.0 se incrementa

a:

Mu=68.54 (1.0

0.9) =76.15 KN-m

Asumiendo un factor de transporte de 0.5 y ninguna otra posterior distribución de

momento, el diafragma de momento por la colisión en el primer tramo interior de la losa es:

MCT = -(1.467-x)(55.55/1.467)

La carga por la carpeta de rodadura se desprecia por ser muy pequeña

Resolviendo para encontrar el momento en el tramo interiores tenemos que: x = 0.225m.

Se agregará además (5.11.1.2) la longitud de 15db = 15(1.2cm) = 19 cm.

Se tiene 22.5 + 19 = 41.50cm

La longitud básica en tensión es:

CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR

153

ldb=0.02 Abfy

√f´c

≥0.06 dbfy (7. 17)

dónde:

Ab =1.13 cm2 = 113 mm2

fy = 420 MPa

f´c =21 MPa

db = 12 mm

ldb =0.02 (113)(420)

√21

ldb = 207.13 ≥ 302.4 mm

La longitud de desarrollo será:

ldh = ldb = 30.24 cm = 31 cm

El acero 1∅12c/20cm adicional al acero negativo del primer tramo interior de la losa

(∅12c/20cm) se entiende entonces del siguiente modo:

CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR

154

7.5. PROPIEDADES GEOMETRIAS

7.5.1.1.Propiedades geométrica viga BPR

A= área de la sección transversal de viga prefabricada =5090.31 cm2

h= altura total de la viga= 137.16 cm

Ix= momento de inercia alrededor del centroide de la viga =10852843.43 cm4

yb= distancia del centroide a la fibra inferior de la viga = 62.82 cm

yt= distancia del centroide a la fibra superior de la viga= 74.34 cm

Wb= módulo de la sección de la fibra inferior de la viga= 172750.08 cm3

Wt= módulo de la sección de la fibra superior de la viga =145997.05 cm3

Iy= momento de inercia lateral de viga = 1014501.67 cm4

qpp= peso propio de la viga por unidad de longitud = 12.22 KN/m

En LRFD Especificaciones, Comentario C5.4.2.4, indica que la unidad de peso de

hormigón normal es 24 KN/m3.

Por lo tanto, el módulo de elasticidad para:

Losa vaciada in situ: Ecs=0.043(2400)1.5√21=23168.34 MPa

viga prefabricada en la transferencia de postensado (a los 28 días como mínimo)

Eci=0.043(2400)1.5√35=29910.20 MPa

viga prefabricada en cargas de servicio, Ec=0.043(2400)1.5√35=29910.20 MPa

CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR

155

Figura 7. 24: Dimensiones viga

La constante torsional J, se calcula de conformidad a las especificaciones LRFD y la

Sección 7.6.5. o con lo dicho en la sección 3.2.1 del acápite 3.

J≈A4

40.0∙Ip

El momento de inercia polar Ip es igual a la suma de Ix+Iy entonces Ip=5834787.61 cm4

J=5090.314

40.0∙(1186735.10)=1414373.73 cm4

Propiedades de las vigas transversales (diafragmas 20x90)

A=1800 cm2

CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR

156

Ix=1215000.00 cm4

Iy=60000.00 cm4

J=205835.29cm4

qdiaf=4.32 KN/m

7.5.2. Propiedades geométricas sección compuesta

Debido a que este es un diseño preliminar, es razonable asumir las mismas propiedades

para vigas interiores y exteriores. Por lo tanto, se utilizan las propiedades para una viga

típica interior.

Ancho de ala efectivo (b) para vigas interiores será el menor de: [LRFD Art. 4.6.2.6.1]

1/4(Long tramo) b = 1/4 (2000) = 500 cm

12ts más el semiancho del ala superior de la viga

b=(12∙20)+(50.80)=290.80 cm

Espaciamiento promedio entre las vigas b=(2.53∙100)=253 cm

Por lo tanto, el ancho de ala efectivo es b=253 cm para las vigas interiores.

Se debe tener en cuenta que la viga transversal en un puente curvo no es una viga

ordinaria o común esta se extiende entre las vigas principales a (6.60m en este caso). Estas

transfieren su carga hasta el final a través del puente desde el interior a las vigas exteriores.

Relación de módulos entre los materiales de la losa y de la viga

η=Ecs

Ec=

23168.34

30752.91=0.775

Base equivalente de la losa be=η∙b

be=(0.753)(220)=195.97 cm

Área equivalente de la losa Ae=be∙he

CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR

157

Ae=(195.97)(20)=3919.46 cm2

Un espesor mínimo de anca en el medio es considerado en las propiedades estructurales

de la sección compuesta. El peralte hará que el espesor medio del anca sea mayor que 1/2".

El peso extra será contabilizado, pero el grosor adicional causado por el peralte se

despreciará en el cálculo de propiedades de la sección de material compuesto. Además, el

ancho del anca debe ser transformado.

Ancho de anca transformado = (0.775) (50.80)=39.35 cm

Área de anca transformada = (39.35) (1.27)=49.97 cm2

A continuación se muestran las propiedades de la sección compuesta.

Ac= área total de la sección compuesta =9059.75 cm2

hc= profundidad total de la sección compuesta = 158.43 cm

Ixc= momento de inercia de la sección compuesta =27282273.61 cm4

ybc= distancia desde el centroide de la sección compuesta a la fibra inferior

de la viga = 100.27 cm

ytg= distancia desde el centroide de la sección compuesta a la fibra superior

de la viga = 36.89 cm

ytc= distancia desde el centroide de la sección compuesta a la fibra extrema de la parte

superior de la losa = 58.16 cm

Wbc= módulo de la sección compuesta de la fibra inferior de la viga= 272080.80 cm3

Wtg= módulo de la sección compuesta de la fibra superior de la viga =739611.32 cm3

Wtc= módulo de la sección compuesta para la fibra extrema superior de la losa

de tablero = 469111.67 cm

CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR

158

Iyc = momento de inercia de sección compuesta para flexión lateral de viga

= 12610481.25 cm4

Para el cálculo de Jc, la constante de torsión para la sección compuesta se necesita calcular

el área Ac y el momento de inercia polar Ipc y sustituir los valores en la ecuación.

C4.6.2.2.1-2 en las Especificaciones LRFD. El área Ac es 9059.75 cm2 y Ipc es

39892754.87 cm4. Esto resulta en un valor de Jc igual a 4221919.59 cm

4

7.6. ANALISIS ESTRUCTURAL POR MÉTODO SIMPLIFICADO

7.6.1. Análisis de cargas

Cargas muertas

Peso de vigas BPR y diafragmas:

Vigas = (4) (20 m) (12.22KN/m) = 977.34 KN

Diafragmas = (4) (7.58 m) (4.32 KN/m) = 131.16 KN

Peso total de vigas y diafragmas = 977.34 + 131.16 = 𝟏𝟏𝟎𝟖. 𝟓𝟎 KN

Peso del tablero y anca:

Superficie total tablero = (20 m) (9.30 m) = 186.00 m2

Espesor real = 20.00 cm.

Peso del tablero = (0.20 m) (186 m2) (24 KN/m3) = 892.80 KN

Para un espesor mínimo de 0,5 in del anca, el peralte de 0,07 hará que el espesor medio

del anca sea 1.27 + 0.07 (50.80) = 4.826, es decir 4.83 cm.

El peso de anca es 24 KN/m3 (0.0483m) (0.508 m) = 0.588 KN/m

Peso Anca = (4) (20 m) (0.588 KN/m) = 47.04 KN

Peso de la losa, incluyendo anca = 892.8 + 47.04 = 𝟗𝟑𝟗. 𝟖𝟒 𝐊𝐍

Peso barreras y acera:

Peso lineal de las barreras y acera es de 0.57 KN/m

CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR

159

Peso barreras = (2)(20m)(0.57 KN/m) = 22.8 KN

Peso de la acera = (2)(20m)(3.6 KN/m2)(0.6 m) = 86.40 KN

Peso capa rodadura:

Peso capa de rodadura = (22.5 KN/m3)(0.05 m) (20m) (8.10 m) = 182.25 KN

Peso barreras + acera + capa rodadura = 22.80 + 86.40 + 182.25 = 𝟐𝟗𝟏. 𝟒𝟓 𝐊𝐍

CARGA MUERTA TOTAL = 𝟏𝟏𝟎𝟖. 𝟓𝟎 + 𝟗𝟑𝟗. 𝟑𝟒 + 𝟐𝟗𝟏. 𝟒𝟓 = 𝟏𝟕𝟗𝟑. 𝟐𝟗 𝐊𝐍

Cargas vivas

La carga viva vehicular es designada como HL-93 que consiste en una combinación de

[LRFD Art. 3.6.1.2.1]:

1. Diseño camión o diseño tándem con asignación dinámica.

• El camión de diseño es el mismo que el camión de diseño HS20 especificado por las

Especificaciones. [Art LFRD. 3.6.1.2.2]

• El tándem diseño consiste en un par de ejes de 110.0 KN espaciadas a 1.2 m de

distancia. [Art LFRD. 3.6.1.2.3]

2. Diseño de carga carril de 9.3 KN/m sin asignación dinámica. [LRFD Art. 3.6.1.2.4]

IM = 33% [LFRD Tabla 3.6.2.1-1]

donde IM = incremento por carga dinámica aplicada al diseño de camiones o el diseño

único tándem.

El número de carriles de diseño se calcula como:

Número de carriles de diseño = la parte entera de la relación de B/3.60, donde B es el ancho

de la calzada en metros, entre los bordillos: [LRFD Arte. 3.6.1.1.1]

B = 8.10 m

Número de diseño de carriles = entero de parte de (8.10/3.6) = 2 carriles.

Factor de presencia múltiple m: [Tabla LRFD 3.6.1.1.2-1]

CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR

160

Para 2 carriles, m = 1.00

Las cargas de carril obtenidos del análisis refinado se multiplicarán por 1.

La carga de carril se coloca sobre un ancho de 10 pies (3m), en el diseño de carril de 12

pies (3.6m). [Art LRFD. 3.6.1.3.1]

Para maximizar el efecto de la carga viva, la anchura de 10 pies cargado se desplaza a la

izquierda dentro de cada carril de diseño. Esto hace que el carril de carga tenga una

excentricidad de 1 m con respecto a la línea central del carril, y las cuatro cargas del carril

también presenten una excentricidad de 1 m con respecto a la línea central del puente.

La carga de carril total para los dos carriles de diseño es:

(2) (20 m) (9.3 KN/m) (1.00) = 𝟑𝟕𝟐 𝐊𝐍.

El factor de 1.00 fue descrito anteriormente.

El peso total del camión diseño es 35 + 145 + 145 = 𝟑𝟐𝟓 𝐊𝐍

Incluyendo el 33% por impacto 1.33 x 325 = 𝟒𝟑𝟐. 𝟐𝟓 𝐊𝐍

Tenga en cuenta que debido a que esto es un diseño preliminar de los principales miembros

de una longitud de 20 m, la carga tándem no necesita ser considerada en este momento.

CARGA VIVA TOTAL = 𝟑𝟕𝟐. 𝟎𝟎 + 𝟒𝟑𝟐. 𝟓 = 𝟖𝟎𝟒. 𝟐𝟓 𝐊𝐍

Fuerza Centrifuga

La velocidad de diseño según tabla 4-2 es de 50 km/hr. El coeficiente de fuerza centrífuga

está dado por la ecuación 6.7:

C= (4

3)

v2

g∙R

Dónde:

CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR

161

C = coeficiente para calcular la fuerza centrífuga.

v = velocidad de diseño, m/seg.

g = aceleración gravitacional, 9.807 m/seg2.

R = radio de curvatura del carril de tráfico, m

La velocidad de diseño es de 50 Km/h = 13.89 m/s

C= (4

3)

13.892

9.807∙100= 0.2623

Esto se aplica solamente a las cargas por eje del camión, sin el incremento por carga

dinámica, y con el factor, m. La fuerza centrífuga de dos camiones es de:

2 (325 KN) (0.2623) (1.00) = 𝟏𝟕𝟎. 𝟒𝟕 𝐊𝐍

7.6.2. Factores de corrección por curvatura

Los momentos de flexión en la viga exterior en el exterior de la curva serán mayores

que en un puente recto por tres razones:

1. La longitud de tramo adicional en el exterior de la curva.

2. El centro de gravedad de la línea central curvada se encuentra fuera de una línea a

través del eje de los soportes.

3. El centro de gravedad de un área de carga se desplaza más hacia fuera porque no

hay más área fuera de la línea central.

La viga exterior está en un radio de 103.30 m. Esto aumenta la longitud del tramo por

un factor de 103.30/ 100 = 1.033.

El centro de gravedad (en planta) del arco central está desplazado de una línea a través

del centro de los apoyos en una cantidad igual a 2/3 del desplazamiento de la cuerda = (2/3)

(0.50 m) = 0.33m. La excentricidad adicional causado por el área adicional fuera de la línea

central es igual a 2∙B/12∙R = 2(8.85 m)/(12)(100) = 0.015 m, como se muestra en la Figura

7.4. Para la simplificación inicial de que toda la carga muerta es un área de carga, la

excentricidad de la carga muerta es 0.345 m.

CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR

162

Figura 7. 25: Centro de Gravedad de la curva

El siguiente paso es encontrar cuánto se aumenta la carga sobre la viga exterior por su

excentricidad. El procedimiento es análogo al que se describe en el Comentario LRFD [Art.

C4.6.2.2.2d] (ver Figura 7.5). Teniendo cuatro áreas unitarias con una de separación de

2.20 m, el momento de inercia es 242000 cm4 y el módulo de sección es de 733.33 cm

3.

Para una carga arbitraria de 1 KN por viga, o 4 KN, a 0.3045m de excentricidad,

P/A + Pe/W=1+ 4(30.45)/733.33 = 1.1661. Este es el aumento de la carga sobre la

viga exterior fuera causado por la excentricidad de la carga. El factor de corrección total de

momento de flexión debido a la carga muerta es: (1,033) (1.1661) = 1.2046

Para la carga de carril, el requisito LRFD indica que la carga fuera del centro del carril

añade 3000mm a la excentricidad. Ver Figura 7.6. Para una carga de 4KN a 0.65m de

excentricidad, la carga sobre la viga exterior es 1+4(65)/733.33 = 1.3545. El factor de

corrección total de pista de carga es (1,033) (1.3545) = 1.3992

Figura 7. 26: Propiedades del grupo de apoyos viga

A=4 cm2

I=Σ[(Área Unitaria)(y2)]

CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR

163

I=242000 cm4

W=I/ymax

W=733.33 cm3

Figura 7. 27: Excentricidad carril cargado

Para la carga de camiones, LRFD artículo 3.6.1.3.1 específica que el centro de la carga

de la rueda se coloca a 600mm de la acera. Esto hace que el centro del vehículo se

encuentre a 1500mm desde la acera (también el borde del carril), de modo que la

excentricidad de la línea central del carril es de 300mm. Los camiones están en el centro

del puente, que tiene una excentricidad de 900mm con respecto al eje de los soportes. Por

lo tanto, la carga de camiones vertical tiene una excentricidad de 1200mm como se muestra

en la Figura 7.7

Los efectos de la fuerza centrífuga también deben tenerse en cuenta. La fuerza

centrífuga total de 170.47 KN actúa a una altura de 1800 mm [LRFD Art. 3.6.3]. La carga

de camiones vertical es 864.50 KN.

Figura 7. 28: Excentricidad de camiones de carga

La fuerza horizontal que actúa en 1800mm aumenta la excentricidad de la carga vertical

por (170.47/864.50) (1.8m) = 0.355 m. La excentricidad total de la carga de camiones

vertical es 1.56 m, y la corrección es 1 + 4 (156) / 733.33 = 1,8509, como se muestra en la

CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR

164

Figura 7.7. El factor de corrección total, debido a la fuerza centrífuga y la carga de

camiones es (1,033) (1.8509) = 1.912.

7.6.3. Factor de distribución para viga interior

Para determinar los momentos en una viga interior determinamos:

Kg = n(I + Aeg2) (7. 18)

donde I es la inercia de la viga, A es el área de la viga, n es la relación modular Eviga/Etablero,

eg es la distancia entre el centro de gravedad de la viga y el tablero

Kg = 1.291 ∙ (108528434340 + 509031,24 ∙ 856,12)

Kg = 6,217x1011

DFM = 0.06 + (S

4300)

0.4

∙ (S

L)

0.3

∙ (Kg

L ts3)

0.1

(1 carril de diseño cargado) (7. 19)

DFM = 0.075 + (S

2900)

0.6

∙ (S

L)

0.2

∙ (Kg

L ts3)

0.1

(2 carril de diseño cargado) (7. 20)

DFM = 0.56 (1 carril)

DFM = 0.63 (2 carril)

Luego procedemos a calcular los momentos máximos de acuerdo a las cargas lineales

ya obtenidas.

qDCviga = 12.22 KN/m

qDClosa = 12.29 KN/m

qDCbarandas = 3.00 KN/m

qDW = 2.78 KN/m

Mi =q ∙ L2

8

P = 10.93 KN (Diafragmas)

CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR

165

MDCdiaf =P ∙ L

4=

10.93 ∙ 20

4= 54.65 KN − m

MDClosa =12.29 ∙ 202

8= 614.94 KN − m

MDCviga =12.22 ∙ 202

8= 610.84 KN − m

MDCbarandas =3.00 ∙ 202

8= 150.00 KN − m

MDW =2.78 ∙ 202

8= 139.15 KN − m

Para la carga vivía determinamos los momentos de [Anexo 3]

MLL+IM = 2170.90 KN − m

Carga de carril = 9,30 KN/m

Mcarril = 465.00 KN − m

MLL+IM = 1705.90 KN − m

7.6.4. Momentos de flexión en vigas interior y exterior

Los momentos de flexión en la viga exterior en la parte exterior de la curva ahora

pueden ser estimados. Para todas las cargas, el momento de flexión se puede estimar para

una viga recta de 20m multiplicado está por sus factores de corrección. Para todas las

cargas excepto las cargas de camiones, el momento de flexión de la viga recta de 20m es

WL/8 dividido por cuatro vigas en el puente. Para la carga de camiones, el momento de

flexión se escala de la de un camión estándar en una envergadura recta de 20m. La Tabla

7-1 es un resumen de los momentos tanto para la viga exterior e interior. Comparando

estas estimaciones a los valores en la columna de la derecha tomado de la tabla 7.1, puede

verse que los momentos de carga muertas se incrementan sustancialmente, en comparación

con la viga interior de un puente recto.

Sin embargo, las cargas vivas se redujeron considerablemente, debido al factor, m

[LRFD art. 3.6.1.1.2], que no se utiliza en el método de distribución aproximada. También

debe tenerse en cuenta que la viga curva es casi 20% más pesado que la viga recta.

CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR

166

Peso

Total W

[KN]

Momentos

de Vigas

Recta de 20

m

[KN-m]

Factor de

Corrección

Momento

viga en

Curva

[KN-m]

Puente

Recto,

Viga

Interior,

[KN-m]*

Vigas y

Diafragmas 1108.50 692.809 1.2046 834.539 416.60

Losa y Anca 939.84 587.400 1.2046 707.566 384.96 Barreras 240.00 150.000 1.2046 180.686 93.90 Superficie de

desgaste 182.25 113.906 1.2046 137.208 87.11

Carga de camión,

e impacto 864.50 540.313 1.9120 1033.072 1358.99

Carril Cargando 372.00 232.500 1.3992 325.325 291.09 Total 2004.61

Tabla 7- 3: Momentos estimados

7.6.5. Verificación de la sección

El siguiente paso es verificar que la sección de la viga elegida es adecuada. Se supone

que la tensión de la fibra inferior deberá ser compensada con el postensado, el cual tendrá

que ser menor que 0.6 f`ci.

CARGAS Momento

Flexionantes

[KN-m]

Sb, Sbc

(cm3)

Esfuerzo en

la fibra

inferior

[MPa]

1. Peso propio de Vigas y Diafragmas 834.539 172750.08 4.831

2. Losa y Anca 707.566 172750.08 4.096

3. Carga Muerta superpuesta 317.894 272080.80 1.168

4. Carga Viva (0.8) 1086.717 272080.80 3.994

5. Suma de 1+ 2 + 3 + 4 14.09

El esfuerzo admisible en la

transferencia de postensado = (0.60)

f `c = (0,6) (35) [LRFD Art. 5.9.4.1.1] 21.00

Tabla 7- 4: Estimación del preesfuerzo fibra inferior

La Tabla 7-2 muestra la resistencia en la fibra inferior causado por el peso de las vigas,

diafragmas, tablero, carga muerta superpuesta y la carga viva. Para el servicio de controles

de tensión a la tracción de carga, la carga viva puede ser tomado como un 80 por ciento de

CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR

167

la carga viva total [LRFD Arte. 3.4.1, limitar Servicio del Estado III]. La resistencia en la

fibra inferior para estas cargas aplicadas a las vigas y diafragmas de la Tabla 7-2 es 14.09

MPa. Este esfuerzo temporal permitido después del postensado es de 21.00 MPa. Por lo

tanto, porque no hay suficiente margen entre la tensión real después de las pérdidas y la

tensión admisible antes de las pérdidas, la sección de la viga es la adecuada y el modelo

puede ser construido usando esta viga.

7.7. ANALISIS ESTRUCTURAL POR METODO DE ELEMENTOS FINITOS

7.7.1. Modelos computacionales

Modelo 1

Vigas y diafragmas

El primer modelo no es nada más que un emparrillado de vigas longitudinales y

transversales, las vigas principales son definidas con las propiedades geométricas de la viga

BPR y por lo tanto las transversales como diafragmas de 20x90. La longitud de ejes de cada

viga es de 20 m. esta es definida en el programa CSI Bridge a partir del comando Layout

line, la trayectoria de las vigas son parecidas a la de un polígono inscrito en una

circunferencia esto por el tema de que el puente es curvo, la separación de las vigas es de

2.20 m. la cual puede ser definida en la ventana Deck section del programa, para mayor

referencia de ingreso de datos al programa se puede consultar (Anexo 3).

Figura 7. 29: Modelo 1 emparrillado de vigas

Los apoyos son paralelos entre sí, esto hace que la longitud de las vigas sea la misma

tanto en el interior como en el exterior del puente. Los diafragmas son dispuestos tanto al

inicio como al final del puente como en el intermedio de los tramos.

CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR

168

Este primer modelo tiene como por objeto determinar los momentos de peso propio

tanto de las vigas como del diafragma.

Momentos flectores máximos (KN-m)

Cargas Viga Viga Viga Viga

Exterior 1 Interior 2 Interior 3 Exterior 4

Peso propio viga 516.68 650.87 657.19 526.68

Peso propio diafragmas 57.55 73.32 74.37 60.26

Cortantes máximos (KN)

Peso propio viga 104.83 154.89 149.09 108.98

Peso propio diafragmas 32.83 28.81 28.73 31.57

Tabla 7- 5: Cortantes y momentos modelo1

Modelo 2

Losa

Este modelo es una losa dibujada con elemento shell siguiendo la trayectoria curva de

radio exterior igual a 140.42m. e interior de 95.58m como se muestra en la figura 7.9. Los

elemento shell son rectangulares de aproximadamente de 0.50 por 0.50 m, salvo en las

esquina donde tienen dimensiones variadas.

Tabla 7- 6: Modelo 2 losa curva por MEF

El espesor del anca es introducido en el programa con la opción Slab Thickness. Las

losas son cargadas uniformemente por una carga de losa de 4.80 KN/m2 se deberá tomar en

cuenta que los elemento shell solo nos servirá para distribuir las cargas, es por eso que el

CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR

169

programa no debe tomar el peso propio de los elementos. Este modelo nos permite

encontrar los momentos máximos debido al peso propio de la losa circular y el peso del

anca de apoyo entre la losa y las vigas BPR.

Momentos flectores máximos (KN-m)

Cargas Viga Viga Viga Viga

Exterior 1 Interior 2 Interior 3 Exterior 4

Peso propio losa 480.14 548.66 549.66 473.44

Cortantes máximos (KN)

Peso propio losa 126.93 124.40 118.73 99.39

Tabla 7- 7: Cortantes y momentos modelo2

Modelo 3

Barreras y capa de rodadura

Para este modelo las barreras se tomaron como fuerzas puntuales en los “joints”, de

modo que la carga lineal de 6 KN/m fue distribuida en todos los puntos exterior e interiores

de la losa curva. Es decir a cada “joints” se le aplicó una carga igual a la multiplicación de

(6KN/m) (1m) ya que este último es la separación aproximada entre “joints” a “joints”.

Figura 7. 30: Carga en joints modelo 3

Para la carga de la capa de rodadura se le cargo a los elementos Shell una carga

distribuida igual al peso específico del asfalto multiplicada por el espesor de la losa, es

decir (22.5KN/m3)x(0,2m) = 4.5 KN/m

2 aplicado a cada “shell” que comprende la calzada.

CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR

170

Este modelo nos permite determinar los momentos máximos producidos por la acción de la

capa de rodadura y el peso de las barreras.

Momentos flectores máximos (KN-m)

Cargas Viga Viga Viga Viga

Exterior 1 Interior 2 Interior 3 Exterior 4

Barandas Tipo Jersey 152.65 150.89 149.35 147.79

Capa de rodadura 110.36 128.85 129.86 112.00

Cortantes máximos (KN)

Barandas Tipo Jersey 55.21 25.24 23.02 40.57

Capa de rodadura 25.30 28.27 27.67 25.40

Tabla 7- 8: Cortantes y momentos modelo3

Modelo 4

Carga de carril y carga de camión

Como se señaló en la Sección 7.5.3 [LRFD Artículo 3.6.1.3] especifica la carga carril de

diseño se aplica en un ancho de 3000 mm. Dentro del ancho de diseño carril (de 3600 mm.,

en este caso). Esto hace que la resultante de las cargas de carril se desplace 300mm. Hacia

el exterior de la curva. La parte superior de la Figura 7.30 muestra la ubicación especificada

de las cargas de carril en una sección transversal a través del puente. La parte inferior de la

Figura 12.9.8.5-1 muestra las cargas reales aplicadas al modelo. Las cargas se eligen de

modo que los elementos de cubierta se pueden cargar de manera uniforme y la carga total

tendría la ubicación correcta de la carga resultante.

CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR

171

Figura 7. 31: Carril cargado

El camión de diseño se muestra en la Figura 7.31, que es la figura. 3.6.1.2.2-1 de la

Especificaciones LRFD. Para el máximo momento positivo, espaciando el eje trasero

mínimo 4300mm. El momento de flexión máxima se produce con la carga del eje medio

colocado a 0.71 m desde el centro de la luz. Las principales cargas de las ruedas del eje son

145 KN cada una, más una asignación dinámica de un 33 por ciento

Figura 7. 32: Características del camión de diseño

Modelo 5

Fuerza centrifuga

Para la velocidad de diseño de 50 km/hr o 13.89 m/seg, el coeficiente de la fuerza

centrífuga es del 0.2623 el cual es multiplicado por el peso del camión (sin asignación

dinámica), esta fuerza actúa a 1800 mm por encima de la calzada.

El momento de vuelco por eje principal es la multiplicación del factor C igual a

(0.2623) por el peso de la rueda trasera (72.50 KN) y el brazo de (1800mm.), que es igual a

34.23 KN-m, para las ruedas delanteras el peso de la rueda del camino es de 17.50 KN el

cual produce un momento de vuelco igual a 8.26 KN-m.

CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR

172

Figura 7. 33: Momento producido por fuerza centrifuga

Los momentos son colocados de manera radial como se muestra en la figura 7.13, los

cuales fueron colocados en los lugares donde producirán los máximos momentos torsores

hacia las vigas principales.

C= (4

3)

v2

g∙R

C= (4

3)

13.892

9.807∙100= 0.2623

F1=F2=17.5 (0.2623)=4.59 KN

F3=F4=17.5 (0.2623)=19.02 KN

F5=F6=17.5 (0.2623)=19.02 KN

M1=M2=9.92 KN-m

M3=M4=M5=M6=41.08 KN-m

Momentos flectores máximos (KN-m)

Cargas Viga Viga Viga Viga

Exterior 1 Interior 2 Interior 3 Exterior 4

Carga viva + impacto 1147.50 1147.99 1148.43 1142.68

Fuerza centrifuga 24.20 19.65 20.48 25.36

Cortantes máximos (KN)

Carga viva + impacto 320.61 292.98 292.11 345.09

Fuerza centrifuga 4.44 3.20 3.20 5.19

Tabla 7- 9: Cortantes y momento modelo 4 y 5

CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR

173

7.8. FACTORES Y COMBINACIONES DE CARGA

La solicitación mayorada Q se toma como:

Q = ∑ ηi ∙ γi ∙ Qi (7. 21)

Donde ηi es el modificador de carga y γi es el factor de carga.

7.8.1. Modificadores de carga

Modificador Resistencia Servicio

Ductilidad ηD 0.95 1

Resistencia ηR 0.95 1

Importancia ηI 1.05 1

ηD ∙ ηR ∙ ηI 0.95 1

7.8.2. Combinaciones de carga y factores de carga

Estado Limite Combinación

Resistencia I 1.25 DC+1.75 DW + 1.75 IM + 1.75 LL + 1.75 CE+0.9 PR

Servicio I 1.00 DC+1.00 DW + 1.00 IM + 1.00 LL + 1.00 CE

Fatiga

7.9. PREEESFUERZO

7.9.1. Preesfuerzo inicial

El preesfuerzo es la fuerza de tesado que resistirá las cargas y combinaciones de cargas

en la etapa de servicio del puente, para el cálculo del preesfuerzo inicial se tiene que:

e= yb-0.1∙h

e=0.6282-0.1∙1.372

e=0.491 m.

fcb= Po

A+

Po*e

Wb-

MDCviga

Wb-

MDCdiaf

Wb´-

MDClosa

Wb´-

MDCbar.

Wb´-

MDW

Wb´-

MLL+IM

Wb´-

MCE

Wb´=0

Po

0.509+

Po*0.491

0,173-

657.19

0,173-

73.32

0.272-

549.66

0.272-

152.65

0.272-

125.86

0.272-

1148.43

0.272-

25.36

0.272=0

Po=2432.34 KN

CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR

174

El área de torones requerido para soportar las cargas esta se obtienen

fs=0.6∙fpu

fs=0.6∙(1860)=1116.00 MPa

As torones=Po

fs=

2432340

1116.00=2179.52 mm2

N°torones=As

Au

N°torones=2179.52

98.7=22.08→23

ASR=N°torones∙Au=23∙98.7=2270.10 mm2

7.9.2. Preesfuerzo en modelo estructural

Para el modelo computacional de preesfuerzo se comenzó el cálculo con la

excentricidad calculada anteriormente en el apartado 1.5.3. Las coordenadas de ingreso en

el programa CSI Bridge parte desde la fibra superior, la ecuación de la parábola de ingreso

viene definida por las dos coordenadas extremas de los apoyos y la coordenada del centro

de la parábola que coincide con el centro de la viga.

El cálculo de las coordenadas extremas y central se determina como:

y`1=hc-yb=157.16-62.82=94.34 cm

Para el cálculo de la altura en el centro de la viga tenemos:

∑ MEN =As1y1+As2y2=eASR

donde: As1=As2=10.857 cm2

y teniendo la separación entre y1 y y2 de 7.3 cm. determinado del diámetro de la vaina.

a= yb-y1

b= yb-y2

a=10.07 cm

b=17.37 cm

CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR

175

y`2=hc-a+b

2=157.16-

10.07+17.37

2=143.44 cm

Obtenidas las alturas se introduce al programa las coordenadas (0.00; -93.43), (10.00; -143.44) y

(20.00; -93.43).

Figura 7. 34: Cables de postensado en modelo computacional

7.10. VERIFICACION A TORSION

7.10.1. Torsión en vigas

Momentos torsores máximos (KN-m)

Cargas Viga Viga Viga Viga

Exterior 1 Interior 2 Interior 3 Exterior 4

Viga 19.70 17.53 15.55 13.61

Diafragma 13.55 10.62 9.21 13.31

Losa 17.47 8.71 8.70 13.86

Rodadura 2.75 1.67 1.63 3.54

Barandas 31.36 4.86 4.97 22.79

Viva 118.49 98.44 107.63 139.52

Centrifuga 4.10 2.32 2.68 4.13

Preesfuerzo -41.44 -21.71 -16.25 -40.94

Tabla 7- 10: Momentos torsores en vigas

De acuerdo a [LRFD Art. 5.8.2.1.] se tiene la resistencia mayorada Tr = ∅Tn, donde Tn

es la resistencia nominal a la torsión, la misma deberá ser investigada solo cuando la

relación Tu > 0.25 ∙ ∅ ∙ Tcr realizando la verificación se tiene:

CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR

176

Tu = η[1.25(TPP + TLH + TDC) + 0.9(TES) + 1.5(TDW) + 1.75(TLL+IM + TCE) − 0.9(Tp)]

Tu = 0.95[1.25(40.78) + 0.90(22.79) + 1.5(3.54) + 1.75(139.52 + 4.13) − 0.9(40.94)]

𝐓𝐮 = 𝟐𝟕𝟔. 𝟕𝟕 𝐊𝐍 − 𝐦

∅=0.9 (Factor de resistencia a torsión)

Tcr = 0.328 ∙ √f`c ∙Acp

2

pc∙ √1 +

fpc

0.328 ∙ √f`c

(7. 22)

donde Tcr es el momento de fisuración por torsión, Acp es el área total encerrada por el

perímetro exterior de la sección transversal del hormigón, pc es la longitud del perímetro

exterior de la sección y fpc es la tensión de compresión después de las perdidas.

fpc =Po

Acp=

2432.34 ∙ 1000

905975= 2.68 MPa

Tcr = 0.328 ∙ √35 ∙9059752

7530.7∙ √1 +

2.68

0.328 ∙ √35

Tcr = 326.36 KN − m

Verificamos:

Tu > 0.25 ∙ ∅ ∙ Tcr

276.77 > 0.25 ∙ 0.90 ∙ 326.36

276.77 > 73.43 Diseñar a torsión.

CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR

177

7.11. DISEÑO A CORTE Y TORSION

7.11.1. Diseño a torsión

Para diseñar corte y torsión es necesario determinar β y θ, donde β es el factor que indica

la capacidad del hormigón fisurado diagonalmente de trasmitir tracción y θ es el ángulo de

inclinación de las tensiones de compresión diagonal.

La determinación de estos valores se lo realiza siguiendo un procedimiento general de

cálculo iterativo en los que se adopta el valor de θ y se lo va refinando mediante un proceso

iterativo, donde se determina εs que es la mayor deformación especifica longitudinal y el

coeficiente Vu/f´c.

Para nuestro diseño se toma la ecuación [LRFD Ec.5.8.3.4.2-1] para secciones sin armadura

transversal ya que esperamos que los torones contrarresten todas las cargas a flexión.

εx =

((Mu

dv+ 0.5 Nu + 0.50(Vu + Vp)) cot θ − Apsfpo)

2(EsAs + EpAps)< 0.001 (7. 23)

θ = 40° (Asumido)

dv = 1383.6 mm

Figura 7. 35: Deformaciones y esfuerzos longitudinales seccion compuesta

CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR

178

Mu = η[1.25(MPP + MLH + MDC) + 0.9(MES) + 1.5(MDW) + 1.75(MLL+IM + MCE)]

Mu = 0.95[1.25(1281.22) + 0.90(149.35) + 1.5(129.86) + 1.75(1148.43 + 20.48)]

𝐌𝐮 = 𝟑𝟕𝟏𝟔. 𝟔𝟓 𝐊𝐍 − 𝐦 = 𝟑. 𝟕𝟐𝐱𝟏𝟎𝟗 𝐍 − 𝐦𝐦

Vu = η[1.25(VPP + VLH + VDC) + 0.9(VES) + 1.5(VDW) + 1.75(VLL+IM + VCE)]

Vu = 0.95[1.25(239.94) + 0.90(40.57) + 1.5(25.40) + 1.75(345.09 + 5.19)]

𝐕𝐮 = 𝟗𝟑𝟖. 𝟏𝟓 𝐊𝐍 = 𝟗. 𝟑𝟖𝐱𝟏𝟎𝟓𝐍

𝐓𝐮 = 𝟐𝟕𝟔. 𝟕𝟕 𝐊𝐍 − 𝐦 = 𝟐. 𝟕𝟕𝐱𝟏𝟎𝟖 𝐍 − 𝐦𝐦

Nu = 0

Vp = Po ∙ sin α = 2432.34 ∙ sin (5.6269) = 238.49 KN = 2.385x105 N

Aps = 21.71 cm2 = 2171 mm2

fpo = 0.7 fpu = 0.7(1860) = 1302 MPa

Es = 200000 MPa

As = 0

Ep = 197000 MPa

Remplazando en la ecuación tenemos que:

εs =

((3.72x109

1383.6 + 0.5(0) + 0.50(9.38x105 + 2.385x105)) cot 40 − 2171 ∙ 1302)

2(197000 ∙ (0) + 200000(2171))< 0.001

εs = 0.000618 el cual es menor que 0.001 que es el valor límite para este valor.

Con este valor determinamos β y θ con las siguientes ecuaciones:

β= 4.8

(1+750∙εs) (7. 24)

θ=29+3500∙εs (7. 25)

CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR

179

β= 4.8

(1+750∙0.000618)=3.28

θ=29+3500∙0.000618=31.16º

Con estos valores recalculamos εs:

εs=

((3.72x109

1383.6+0.5(0)+0.50(9.38x105+2.385x105)) cot (31.16) -2171∙1302)

2(197000∙(0)+200000(2171))

εs=0.00086

β= 4.8

(1+750∙0.00086)=2.92

θ=29+3500∙0.00086=32.01º

Corte y torsión combinados

Para realizar el cálculo de corte y torsión combinados se realiza una corrección de los

valores β y θ de acuerdo a las especificaciones de [LRFD Art.5.8.3.6]

Vu=√Vu2+ (

0.9∙ph∙Tu

2∙Ao)

2

(7. 26)

donde ph es el perímetro del eje de la armadura transversal de torsión cerrada, Ao es el área

encerrada por el recorrido del flujo de corte, incluyendo el área de cualquier abertura que

hubiera.

ph≈(dv-2∙rec)∙2+(bv-2∙rec)∙2

ph≈(138.36-2∙2.5)∙2+(20-2∙2.5)∙2=296.72 cm

Aoh≅(dv-2.rec)(bv-2∙rec)

Aoh≅133.36∙15=2000.4 cm2

Ao=0.85∙Aoh=0.85∙2000.4=1700.34 cm2

CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR

180

Remplazando los valores en las ecuaciones tenemos que:

Vu = √(9.38x105)2 + (0.9 ∙ 2967.2 ∙ (2.77x108)

2 ∙ 170034)

2

= 2073.26 KN

εs=

(3.72x109

1383.6 +0.5(0)+0.50(20.73x105+2.385x105)) cot 32.01 -2171∙1302

2(197000∙(0)+200000(2171))<0.001

εs=0.00187>0.001

∴ εs=0.001

β= 4.8

(1+750∙0.001)=2.74

θ=29+3500∙0.001=32.5º

Resistencia nominal a torsión

De acuerdo a [LRFD Art. 5.8.3.6.2] la resistencia nominal está definida por:

Tn=2∙Ao∙At∙fy∙ cot θ

s

(7. 27)

donde At es el área de una rama de la armadura transversal de torsión cerrada, que es

similar a Av de la resistencia a corte.

At

s=

Tu

2∙∅∙Ao∙fy∙ cot θ=

2.77x108

2∙0.9∙170034∙420∙ cot 32.5

At

s=1.3728 mm2/mm

Para At = 157 mm2 (barras ∅10) entonces

∴ 𝑠 = 114 mm = 11.4 cm

Utilizar estribos ∅10c/11 cm

Verificando la condiciones de resistencia Tu ≤ ∅Tn

CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR

181

Tn =2 ∙ 200040 ∙ 157 ∙ 420 ∙ cot 32.5

110

2.77x108 ≤ 0.9(3.76x108)

2.77x108 ≤ 3.39x108 (Resiste a torsión)

7.11.2. Verificación a corte

Sección critica

Sc = 0.5 ∙ dv ∙ cot θ (7. 28)

Sc = 0.5 ∙ 1383.6 ∙ Cot (32.5)

Sc = 1085.91 mm

x

L= 0.0543

Vc = 0.083 ∙ β ∙ √f´c ∙ bv ∙ dv (7. 29)

Vc=0.083(2.74)√35(200)(1383.6)=372308.74 N

Vc=372.31 KN

Vu<0.5∙∅∙(Vc+Vp)

938.15<0.5∙0.9∙(372.31+222.31)

938.15 < 267.58 (Necesita refuerzo por corte)

Utilizando estribos ∅10c/11 cm tenemos que:

Vs =Av

s∙ fy ∙ dv ∙ cot θ (7. 30)

Vs=157

110∙420∙1383.6∙ cot 32.5 =13011905.55 N

Vs=1301.91 KN

Vu≤∅Vn

CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR

182

Vu≤∅(Vs+Vc+Vp)

938.15≤0.9(1301.91+372.31+222.31)

938.15 ≤ 1706.88 Cumple a cortante

Resistencia a corte

νu =Vu − ∅Vp

∅ ∙ dv ∙ bv (7. 31)

νu=9.38x105-0.9∙2.22x105

0.9∙1383.6∙200=2.96 MPa

νu=0.125 ∙f´ c

νu=0.125∙35

νu=4.38 MPa

Separación de estribos

Para νu<0.125 ∙f´ c (2.96<4.38)

smax=0.8∙dv≤60

smax=110.69≤60

∴smax=60

Resistencia nominal de corte

Según LRFD Art. 5.8.3.3 la resistencia al corte se deberá determinar como el menor valor

entre:

Vn=Vc+Vs+Vp

Vn=0.25∙f´c∙bv∙dv+Vp

Para la primera ecuación:

Vn=372.31+1301.91+222.31

Vn=1896.53 KN

CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR

183

Para la segunda ecuación:

Vn=0.25∙35∙200∙1383.6

1000+222.31

Vn=2641.61 KN

Tomamos verificamos que la ecuación adoptada para el cálculo de la resistencia nominal es

la correcta.

Verificación de armadura longitudinal

As∙fy+Aps∙fps≥Mu

∅dv+

0.5∙Nu

∅+ cot θ√(

Vu

∅-0.5Vs-Vp)

2

+ (0.45∙ph∙Tu

2∙Ao∙∅)

2

(7. 30)

Aps=

3.72x109

1(1383.6)+ cot 32.5√(

9.38x105

0.9-0.5(13.01x105)-2.22x105)

2

+ (0.45∙2967.2∙2.77x108

2∙170034∙0.9)

2

1648.92

Aps=2792.22 mm2=27.92 cm2

∴Usar 6torones más

7.12. PÉRDIDAS Y PREESFUERZO FINAL

7.12.1. Pérdidas del preesfuerzo

Las pérdidas en la fuerza de preesforzado se pueden agrupan en dos categorías: aquellas

que ocurren inmediatamente durante la construcción del miembro y aquellas que ocurren a

través de un extenso periodo de tiempo. La fuerza de preesfuerzo del gato Pf, puede

reducirse inmediatamente debido a las pérdidas por fricción, deslizamiento del anclaje y el

acortamiento elástico del concreto comprimido. A medida que transcurre el tiempo la

fuerza pretensora reduce más gradualmente, primero rápidamente y luego más lentamente

debido a los cambios de longitud provenientes de la contracción, el flujo plástico del

concreto y debido al relajamiento del acero altamente esforzado. Después de unos meses

CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR

184

estas pérdidas llegan a ser insignificantes y se alcanza una fuerza pretensora casi constante

(Po).

A principios de 1958, el comité Conjunto 423 del ACI-ASCE reconoció la necesidad de

poseer expresiones aproximadas a usarse en la estimación de pérdidas de preesfuerzo en los

casos rutinarios de diseño, en la que recomiendan los siguientes valores:

Para pretensado: 241 MPa.

Para postensado: 172 MPa.

La AASHTO (Ref. 6.6.) recomienda pérdidas totales de preesfuerzo, excluyendo las

pérdidas por fricción, en la cual para f`c = 35 MPa recomienda una perdida aproximada de

227.53 MPa.

Para el cálculo de las perdidas tomamos en cuenta el añadido de 6 torones obtenidos en

la verificación de armadura longitudinal donde se determinó que se necesitan 6 torones que

serán añadidos a los ya obtenidos anteriormente.

Nº torones = 22 + 6 = 28 torones

ASR = N°torones ∙ Au = 28 ∙ 98.7 = 2763.6 mm2

Po = Astorones ∙ 0,6 ∙ fpu = 2763.6 ∙ 0.6 ∙ 1896.68 = 3144998.91 N = 3144.99 KN

Según [LRFD Art. 5.9.5.1] para elementos postensados la ecuación que se debe aplicar es la

siguiente:

∆fpT = ∆fpA + ∆fpF + ∆fpES + (∆fpSR + ∆fpCR + ∆fpR2) (7. 31)

∆fpT = Perdida total (MPa)

∆fpA = Perdida por acuñamiento de anclajes (MPa)

∆fpF = Perdida por fricción (MPa)

∆fpES = Perdida por acortamiento elastico (MPa)

CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR

185

∆fpSR = Perdida por contracción (MPa)

∆fpCR = Perdida por fluencia lenta del hormigon (MPa)

∆fpR2 = Perdida por relajacion del acero despues de la transferencia (MPa)

7.12.2. Perdidas dependientes del tiempo

El cálculo de las pérdidas dependientes del tiempo puede ser determinado según [LRFD

Art. 5.9.5.3], donde se aplica una estimación aproximada de estas pérdidas debidas a

fluencia lenta, contracción del hormigón y relajación del acero.

∆fpSR + ∆fpCR + ∆fpR2 = 230 [1 − 0,15 ∗f´c − 41

41] + 41PPR (7. 32)

La relación de pretensado parcial (PPR) utilizada en [LRFD Tabla 5.9.5.3-1] se define

como:

PPR = Aps ∙ fpy

Aps ∙ fpy + As ∙ fy (7. 33)

PPR = Relajación de pretensado parcial

As = Area de la armadura de traccion no pretensada (mm2)

Aps = Area de acero de pretensado (mm2)

fy = Tension de fluencia especificada del acero de pretensado (MPa)

Para nuestro proyecto no reforzamos con acero de tracción, con esta consideración tenemos

que PPR = 1, para cables de baja relajación los valores de las perdidas pueden reducirse en

41 MPa en el caso de vigas tipo I de acuerdo a la recomendaciones de LRFD.

∆fpSR + ∆fpCR + ∆fpR2 = 230 [1 − 0,15 ∗35 − 41

41] + 41(1) − 41

∆fpSR + ∆fpCR + ∆fpR2 = 235.05 MPa

CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR

186

7.12.3. Acortamiento elástico

En los elementos postensados la pérdida por acortamiento elástico se puede tomar

como:

∆fpES =N − 1

2N∙

Ep

Eci∙ fcgp (7. 34)

N = Número de tendones de pretensado idénticos

fcgp = Sumatoria de las tensiones del hormigón en el centro de gravedad de los tendones de

pretensado debidas a la fuerza de pretensado después del tesado y al peso propio del

elemento en las secciones de máximo momento (MPa).

fgcp =Pi

A+

Pi ∗ e2

I−

MPP ∗ e

I

Pi = Po + (∆fpSR + ∆fpCR + ∆fpR2) ∙ As torones

Pi = 3144990 + (235.05) ∙ 2764 = 3794568.97 N

Pi = 3794.57 KN

fgcp =Pi

A+

Pi ∗ e2

I−

MPP ∗ e

I

fgcp =3794568.97

509031+

3794568.97 ∗ 0.4912

108528434340.3−

657.19x107 ∗ 0.491

I108528434340.3= 15.88 Mpa

∆fpES =28 − 1

2(28)∙

197000

29910.20∙ 15.88

∆fpES = 50.43 MPa

7.12.4. Pérdidas por fricción

Para elementos postensados las pérdidas por fricción entre los tendones de pretensado

interno y la pared de la vaina se pueden tomar como:

∆fpF = fpj ∙ (1 − e−(Kx+μα) (7. 35)

CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR

187

dónde:

fpi = tension en el acero de pretensado en el momento del tesado (MPa)

x = Longitud de un tendón de pretensado desde el extremo del gato de tesado hasta

cualquier punto considerado (mm)

K = Coeficiente de fricción por desviación de la vaina de pretensado (por mm de tendón).

μ = Coeficiente de fricción.

α = Sumatoria de los valores absolutos de la variación angular del trazado del acero de

pretensado entre el extremo del gato de tesado, o entre el extremo del gato de tesado

próximo si el tensado se realiza igualmente en ambos extremos, y el punto investigado

(radianes).

e = Base de los logaritmos neperianos.

Los valores de K y μ se presentan en [LRFD Tabla 5.9.5.2.2B-1]

K = 6.610−7

μ = 0.25

Además tenemos que:

tan α =4 ∙ e

L=

4 ∙ 0.491

20= 0.0982

α = 5.608º

x = 10.0 m.

∆fpF = 1488 ∙ (1 − e−6.61x10−7(10)+0.25(0.0982))

∆fpF = 45.64 MPa.

CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR

188

7.12.5. Pérdidas por acuñamiento de anclajes

La perdida por acuñamiento de anclajes es provocada por el movimiento del tendon

antes del asiento de las cuñas o el dispositivo de agarre del anclaje, la magnitud del

acuñamiento mínimo depende del sistema de preesfuerzo utilizado. El valor de

acuñamiento de 6mm es a veces el que se asume en el cálculo de los alargamientos, aunque

aun así es un número aproximado. La ecuación de cálculo de esta pérdida es:

∆fpA =2 ∙ Ep ∙ h

x− 2 ∗ ∆fpF (7. 36)

x = √Ep ∙ h ∙ l

∆fpF

(7. 37)

Asumiendo 6 mm de acuñamiento.

x = √197000 ∙ 6 ∙ 20000

45.64= 22758.98 mm

x >l

2

22758.98 > 10000 𝐶𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒

∆fpA =2 ∙ 197000 ∙ 6

22758.98− 2 ∗ 45.64

∆fpA = 12.59 MPa

7.12.6. Pérdida total

Como vimos anteriormente la pérdida total de preesfuerzo viene dado por la suma de

todas las perdidas instantáneas y dependientes del tiempo.

∆fpT = 12.59 + 45.64 + 50.43 + (235.05)

∆fpT = 343.72 MPa

CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR

189

%∆fpT =∆fpT

Po∙ ASR =

343.72

3144990∙ 2764 ∙ 100 = 30.21 %

7.12.7. Preesfuerzo final

Para el cálculo del preesfuerzo final se suma el porcentaje de pérdidas y se lo multiplica

por el preesfuerzo inicial, el preesfuerzo final se puede definir como la fuerza de tesado de

los torones, con lo cual tenemos que:

Pf = P0(1 + %∆fpT) = 1.302(3144.99) = 4094.78 KN

7.13. VERIFICACION DE TENSIONES

Las verificaciones de esfuerzos son en las fibras extremas a comprensión y a tracción en

el momento que se tesan los cables y en el momento en que alcanzan la reducción total

debido a las pérdidas calculadas.

Para la verificación en la transferencia (compresión +, tensión -) la norma LRFD

especifica que la compresión en el concreto se limita a: 0.60 f´ci= 16.8 MPa, además que la

tensión está limitada a 0.25 √f´ci = 0.25 √0.8(35) = 1.32 MPa.

Para las tensiones en la viga en la etapa de tesado tenemos que:

Fibra superior

fct =Pf

A−

Pf ∗ e

Wt+

MDC viga

Wt≥ −0,79 √f´ci

fct =4.09x106

509000−

4.09x106 ∗ 409

1.46x108+

6.572x108

1.46x108≥ −0,79 √28

fct = −1.23 ≥ −4.18 OK

Fibra inferior

fcb =Pf

A+

Pf ∗ e

Wt−

MDC viga

Wt≤ 0,6 ∙ f´ci

fcb =4.09x106

509000+

4.09x106 ∗ 409

1.46x108−

6.572x108

1.46x108≤ 0.6 ∙ 𝑓´𝑐𝑖

CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR

190

fcb = 15.88 ≤ 16.8 OK

Para las tensiones en la viga compuesta en la etapa de servicio tenemos que:

Fibra superior de la losa

ft = η MP

W´b

N = 0.775

Mp = Momentos por carga viva + losa + diafragma + barandas + capa de rodadura.

Mp = 2072.15 KN − m

ft =2.07x10x109

2.72x1080.775 ≤ 0.60 (35)

5.90 MPa ≤ 21 MPa Cumple

Fibra inferior de la losa

fb = ηMP

Ix(y´b − ts)

fb = 7.71 Mpa.

Fibra superior de la viga

ft =Po

A−

Poe

Wt+

MDC,viga

Wt+

MP

W´t≤ 0.45 f ´c

ft =3144990

509000−

3144990(409)

1.46x108+

6.57x108

1.46x108+

20.72x108

4.69x108≤ 0.45 (35)

ft = 3.19 MPa ≤ 15.75 Mpa

Fibra inferior de la viga

CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR

191

fb =Po

A+

Poe

Wb−

Mviga

Wb−

MP

W´b≥ 0 ≥ −1.59 ∙ √f´c

fb =3144990

509000+

3144990(409)

1.46x108−

6.57x108

1.46x108−

20.72x108

4.69x108≥ 1.59 ∙ √35

fb = 8.26 Mpa. ≥ 0 ≥ −9.41 Mpa Cumple

7.14. VERIFICACION ADICIONALES

7.14.1. Verificación a la rotura

Para esta verificación se debe determinar la altura de compresión del hormigón armado a

partir de [LRFD Eq. 5.7.3.1.1-3] o [LRFD Eq. 5.7.3.1.1-4], para nuestro caso tenemos:

c =Apsfpu

0,85β1b + kAps

fpu

dp

(seccion rectangular)

dónde:

β1 = 0,85 − f´c−28

7∙ 0,05 = 0,85 −

35−28

7∙ 0,05 = 0.8 [LRFD Art. 5.7.2.2].

dp = (hviga + ts) − d = 137.16 + 20 − 13.72 ≈ 143.44 cm

b = be = 195.97 cm

k = 2 (1,04 −fpy

fpu) [LRFD Tabla C. 5.7.3.1.1 − 1]

k = 2 (1,04 −1506.6

1674) = 0.28

c =2764(1674)

0,85(0.80)(1959.7) + (0.28)2764 (1674

1434.4)

c=97.3 mm.

CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR

192

a=c∙β1

a=0.80∙97.3=77.8 mm

fps=fpu (1-kc

dp)

fps=1674 (1-0.28 (97.3

1434.4))

fps=1642.2 MPa

Entonces tenemos que:

∅Mn = ∅ [Apsfps (dp −a

2)]

∅Mn = 1.0 [2764(1642.2) (1434.4 −77.8

2)] = 6.33x109 N − mm

∅Mn = 6334.23 KN − m

La ecuación que se debe verificar es:

Mu ≤ ∅Mn

Mu refiere el momento último en el estado de Resistencia I definido calculado

anteriormente y Mn se refiere a la resistencia nominal exclusivamente del postensado.

Mu = 3716.65 KN − m

3716.65 ≤ 6334.23 Cumple

Por tanto se cumple con la desigualdad, cumpliendo así el estado límite de rotura.

7.14.2. Verificación a la fatiga

Según [LRFD A5.5.3.1], el estado de fatiga se debe considerar si el esfuerzo de compresión

es menos de dos veces la tensión máxima de tracción debido a la sobrecarga resultante de la

combinación correspondiente a fatiga.

Mfatiga = 0.75 (MLL+IM)

CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR

193

MLL = 1148.43 − 0.33 ∙ 1148.43

MLL = 769.45 KN − m IM = 15% (Para estado límite de fatiga)

Mfatiga = 884.86 KN-m

Tensión en la fibra inferior debido a la carga muerta y el momento de fatiga

fb =Po

A+

Po e

Wb−

MDC,viga

Wb−

MDC,losa

W´b−

MDC,diaf

W´b−

MDC,bar+DW

W´b−

MLL+IM

W´b

fb =3.145x106

5.09x105+

3.145x106 ∙ 491.0

1.73x108−

6.57x108

1.73x108−

5.50x108

2.72x108−

0.74x108

2.72x108−

2.79x108

2.72x108−

8.85x108

2.72x108

fb = 4.73 MPa. (Compresión)

0.75 ∗ Mf

W´b=

0.75 ∗ 9.24x108

2.72x108= −2.55 MPa. (Tracción)

4.59 > 2(−2.55)

4.59 > − 5.1 No se debe verificar a fatiga

Por lo tanto la verificación de la fatiga no es necesaria. La sección se encuentra en estado

comprimido por lo tanto el estado límite de fatiga no será investigado.

7.14.3. Límites de refuerzo

Para el refuerzo máximo se debe cumplir que c/de < 0.42.

de =ASRfpsdp + Asffds

ASRfps + Asff

Ya que no se coloca acero de tracción y teniendo los datos acero de preesfuerzo que es de

27.64 cm2 y la altura dp = 143.44 cm, concluimos que dp = de.

c

de=

9.73

143.44= 0.068 ≤ 0.42

CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR

194

7.14.4. Refuerzo mínimo

El refuerzo mínimo para cualquier sección de un elemento flexionado pretensado o no

pretensado deberá ser adecuado para desarrollar una resistencia a la flexión mayorada Mr

como mínimo igual al valor entre:

1.2 veces el momento de fisuración Mcr determinado en base a la distribución

elástica de tensiones y el módulo de rotura fr, donde Mcr es:

Mcr = Sc ∙ (fr + fcpe) − Mdnc (Sc

Snc− 1) ≤ Sc fr

1.33 veces el momento mayorado requerido por las combinaciones de carga para los

estados límites de resistencia aplicables.

donde fr es el módulo de rotura, fcpe es la tensión de compresión del hormigón debido a las fuerzas

de pretensado efectivo,

Snc = Wb = 1.73x108 N − mm

Sc = Wb´ = 2.72x108 N − mm

fr = 0.97 ∙ √f´c

fr = 0.97 ∙ √35

fr = 5.74 MPa

Mdnc = MDC,viga + MDC,losa + MDC,diaf = 657.19 + 473.44 + 60.26 = 1190.89 KN − m

fcpe =Pf

A+

Pf ∙ e

Wb

fcpe =4.09x106

5.09x105+

4.09x106 ∙ 491

1.73x108= 19.64 Mpa

Mcr = (2.72x108)(5.74 + 19.64) − 1.19x109 (2.72x108

1.73x108− 1) ≤ 2.72x108(5.74)

6222.38 ≤ 1561.28

∅Mn ≥ 1.2Mcr

CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR

195

∅Mn = 6334.23 > 1.2(1561.28)

∅Mn = 6334.23 > 1873.54

∅Mn ≥ 1.33MU

∅Mn = 6334.23 > 1.33(3716.65)

∅Mn = 6334.23 > 4943.14

Por lo tanto cumple las dos condiciones de refuerzo mínimo.

7.14.5. Armadura de piel

Según [LRFD Ec. 5.7.3.4-4] en cada cara lateral el área de armadura superficial, en

mm2/mm de altura, deberá satisfacer la siguiente condición:

Ask ≥ 0.001(de − 760) ≤As + Aps

1200

Ask ≥ 0.001(1383.6 − 760) ≤0 + 2764

1200

Ask ≥ 0.624 ≤ 2.303

Sin embargo, no es necesario que el área total de armadura superficial longitudinal (por

cara) sea mayor que un cuarto de la armadura de tracción por flexión requerida As + Aps. La

máxima separación de la armadura superficial no deberá ser mayor que d/6 ó 300 mm. Por

lo tanto calculamos 1/4 Aps.

2764/4 = 691 mm2

∴ Usar 7∅10 = 691 mm2

7.14.6. Verificación de deflexiones

Según [LRFD Art. 5.7.3.6.2] y [LRFD Art. 2.5.2.6.2] especifica el control de la deflexión por carga

viva, de acuerdo a los datos obtenidos del análisis por elementos finitos tenemos que:

CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR

196

Deflexiones máximas

Cargas Deflexión

(mm)

Viga 3.97

Losa 3.88

Diafragmas 0.55

Barandas 1.66

Capa de rodadura 0.85

Carga viva + impacto 8.94

Centrifuga 0.15

Preesfuerzo - 9.24

Tabla 7- 11: Deflexiones

Etapa de tesado

∆inicial= ∆pf − ∆viga

∆pf=Pf ∙ e

8 ∙ E ∙ IL2 =

4.09x106 ∙ 491

8 ∙ 29910.20 ∙ 10852843.43 ∗ 10000 200002 = 30.93 mm

∆inicial= 30.93 − 3.97 = 26.96 mm

Etapa final de servicio

∆final= ∆po − ∆DC,viga − ∆DC,losa − ∆DC,diaf − ∆DC,bar − ∆DW − ∆LL+IM − ∆EC

∆final= 9.24 − 3.97 − 3.88 − 0.55 − 1.66 − 0.85 − 8.94 − 0.15

∆final= −10.76 mm

El límite de deflexión para la carga viva definida en [LRFD Art.2.5.2.6.2] es:

L

800=

20000

800= 25mm. > 9.09 𝑚𝑚. 𝑂𝐾

CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR

197

7.15. ARMADO Y TRAYECTORIA DE CABLES

7.15.1. Armado viga postensada

Como se definió anteriormente en el diseño estructural el número de torones es de 28,

de acuerdo a este número se define la cantidad de vainas y la configuración de cables en el

centro y en los apoyos de la viga.

Figura 7. 36: Coordenadas de vainas

Nvainas = Ntorones

12=

28

12= 2.33

Entonces se determina que se distribuirán los cables en 3 vainas.

Asi = Ni ∗ Au

Nº Tor.

Au (cm2)

Asi (cm2)

Vaina 1 8 0.987 7.896

Vaina 2 8 0.987 7.896

Vaina 3 12 0.987 11.844

En el apoyo

∑ MEN = As1y + As2(y − 30) − As3(y − 60) = 0

As1y + As2(y − 30) − As3(y − 60) = 0

y =30 ∙ As2 − 60 ∙ As3

As1 + As2 + As3

y =30 ∙ 7.896 − 60 ∙ 7.896

11.844 + 7.896 + 7.896

y = 34.3 cm

CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR

198

Entonces determinamos las alturas con referencia a la base del apoyo.

y1 = yb + y = 62.82 + 34.3 = 97.11

y2 = y1 − 30 = 97.11 − 30 = 67.11

y3 = y1 − 60 = 97.11 − 30 = 37.11

En el apoyo

ASR = 27.64 cm2

e = 49.1 cm

∑ MEN = As1y´1 + As2(y´1 + 7.3) + As2(y´1 + 14.6) = e ∙ ASR

y´1 =49.1 ∙ 27.636 − 7.896 (7.3) − 7.896 (14.6)

11.844 + 7.896 + 7.896

y´1 = 40.77 cm

y´2 = y´1 + 7.3 = 40.77 + 7.3 = 48.0.7 cm

y´3 = y´1 + 14.6 = 40.77 + 14.6 = 55.37 cm

Entonces determinamos las alturas con referencia a la base en el centro de la viga.

a = yb − y´3 = 62.82 − 55.37 = 7.46 cm

b = yb − y´2 = 62.82 − 48.07 = 14.76 cm

c = yb − y´1 = 62.82 − 40.77 = 22.06 cm

7.15.2. Coordenadas de vainas

Vaina 1

X (cm) Y (cm)

A = 0 37.11

B = 1000 7.46

C = 2000 37.11

CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR

199

Ecuación de la parábola

Y = 2

l2(YA − 2YB + YC) ∗ X2 +

1

l(−3YA + 4YB − YC)X + YA

Y = 2

20002(37.11 − 2(7.46) + 37.11) ∙ X2 +

1

2000(−3(37.11) + 4(7.46) − 37.11)X + 37.11

Y = 0.296508 ∙ X2 − 5.93016 ∙ X + 37.11

Vaina 2

X (cm) Y (cm)

A = 0 67.11

B = 1000 14.76

C = 2000 67.11

Ecuación de la parábola

Y = 2

l2(YA − 2YB + YC) ∗ X2 +

1

l(−3YA + 4YB − YC)X + YA

Y = 2

20002(67.11 − 2 ∙ 14.76 + 67.11) ∙ X2 +

1

2000(−3 ∙ 67.11 + 4 ∙ 14.76 − 67.11)X + 67.11

Y = 0.523508 ∙ X2 − 10.47016 ∙ X + 67.11

Vaina 3

X (cm) Y (cm)

A = 0 97.11

B = 1000 22.06

C = 2000 97.11

Ecuación de la parábola

Y = 2

l2(YA − 2YB + YC) ∗ X2 +

1

l(−3YA + 4YB − YC)X + YA

Y = 2

20002(97.11 − 2 ∙ 22.06 + 97.11) ∙ X2 +

1

2000(−3 ∙ 97.11 + 4 ∙ 22.06 − 97.11)X + 97.11

Y = 0.750508 ∙ X2 − 15.01016 ∙ X + 97.11

CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR

200

7.15.3. Resumen de coordenadas de vainas

X Vaina 1 Vaina 2 Vaina 3 0.00 67.11 97.11 37.11 0.50 62.01 89.79 34.22 1.00 57.16 82.85 31.48 1.50 52.58 76.28 28.88 2.00 48.26 70.09 26.44 2.50 44.21 64.27 24.14 3.00 40.41 58.83 21.99 3.50 36.88 53.77 19.99 4.00 33.61 49.08 18.13 4.50 30.59 44.76 16.43 5.00 27.85 40.82 14.87 5.50 25.36 37.26 13.46 6.00 23.13 34.07 12.20 6.50 21.17 31.25 11.09 7.00 19.47 28.81 10.13 7.50 18.03 26.75 9.31 8.00 16.85 25.06 8.64 8.50 15.94 23.75 8.13 9.00 15.28 22.81 7.76 9.50 14.89 22.25 7.53

10.00 14.76 22.06 7.46 10.50 14.89 22.25 7.53 11.00 15.28 22.81 7.76 11.50 15.94 23.75 8.13 12.00 16.85 25.06 8.64 12.50 18.03 26.75 9.31 13.00 19.47 28.81 10.13 13.50 21.17 31.25 11.09 14.00 23.13 34.07 12.20 14.50 25.36 37.26 13.46 15.00 27.85 40.82 14.87 15.50 30.59 44.76 16.43 16.00 33.61 49.08 18.13 16.50 36.88 53.77 19.99 17.00 40.41 58.83 21.99 17.50 44.21 64.27 24.14 18.00 48.26 70.09 26.44 18.50 52.58 76.28 28.88 19.00 57.16 82.85 31.48 19.50 62.01 89.79 34.22 20.00 67.11 97.11 37.11

Tabla 7- 12: Coordenadas de vainas

CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR

201

7.16. ANALISIS Y DISEÑO DE DIAGRAGMAS

7.16.1. Análisis y diseño estructural

El diseño de los diafragmas se lo realiza a través de los datos obtenidos de esfuerzos

tomados de la combinación de resistencia 1 del modelo computacional completo, para los

esfuerzos positivos que son los del concreto es necesario verificar para todos los esfuerzos

en todas las direcciones, tomando en cuenta realizamos la comprobación solo en la

dirección más crítica (S1-1).

Para el diseño a tracción los campos más críticos son los que se toman en cuenta diseñando

el elemento shell como si fuera una losa comprimida, además se debe diseñar los estribos,

verificar acero mínimo y armadura de piel.

Tensión S1-1

Compresión

S1-1 máx. = 10.44 MPa

Tracción

S1-1 min. = -5.10 MPa

Flexión

CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR

202

Compresion:

10.44 < 21 OK

Tracción

Fu = σ1−1 ∙ b ∙ d

As =Fu

0.9 ∙ fy

Datos:

b = 200 [mm]

h = 950 [mm]

fy = 420 [MPa]

rec = 30 [mm]

Resultados:

Fu = 918000 [N]

As = 2428.57 [mm2]

As. real = 2457.00 [mm2]

As. min= 313.20 [mm2]

Usar: 2∅20 + 3∅16 c/lado

7.16.2. Armadura de piel

La armadura de piel se verifica con el acero adoptado para los diafragmas, la expresión

debe cumplir con ser menor a 0.05 con lo que se comprueba que se cumple con los

requisitos de armadura.

100 ∙ As

b ∙ (2d − h)≥ 0.05

1.463 > 0.05 OK

7.16.3. Armadura transversal

𝜏1-2 = 3.12 MPa.

CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR

203

Vu = τ1−2 ∙ b ∙ h

Vu = 561600 N

Vc = 0.083 ∙ β ∙ √f´c ∙ b ∙ d

Vc = 56254.32 N

Vs =Vu − ∅ ∙ Vc

∅

Vs = 567745.68 N

∴ Usar ∅10 c/10 cm

204

1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111

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Capítulo8

DISEÑO PUENTES CURVOS CAJON

8.1. INTRODUCCIÓN

En el presente acápite se desarrollara el análisis y diseño estructural de puentes curvos

horizontales de sección cajón en voladizos sucesivos. Los puentes que son construidos por

segmentos incrementales, en cuanto a su diseño se distinguen dos importantes etapas las

cuales son las constructivas y de servicio. El análisis de las mismas se desarrollan siguiendo

el método de elementos finitos, esto con ayuda del programa CSiBridge, en el cual se

modela tanto las etapas constructivas con las opciones de secuencias de construcción del

programa donde en este se toma en cuenta la fluencia concreto y el análisis en el tiempo, en

cuanto a las etapas permanentes el modelo a tomar en cuenta será estructura continua

hiperestática donde los cables y cargas de preesfuerzo ayudaran a contrarrestar las flechas.

Los diseño de los puentes curvos de radio de 100m y 50m son desarrollado en el

presente capitulo y en planilla electrónicas las cuales son mostradas en [Anexo2]

respectivamente.

CAPITULO 8 DISEÑO PUENTES CURVOS CAJON

205

8.2. DATOS PRELIMINARES

8.2.1. Normas de diseño

AASHTO LRFD Bridge Design Specifications 2012

AASHTO Guide Specification for Design and Construction of Segmental

Concrete Bridges 2003

AASHTO Guide Specification for Horizontally Curved Highway Bridges 1997

8.2.2. Materiales

Hormigón Postensado

Hormigón:

Resistencia a la compresión cilíndrica a los 28 días: f´c= 35 MPa

Resistencia nominal a la compresión del concreto en momento de aplicar fuerza a los

tendones f´ci= 28 MPa

Peso específico: γc=2400 Kgf/m3

Módulo de elasticidad: Ec=29910.20 MPa

Tensiones admisibles [LRFD Art. 5.9.4]:

T=0 Compresión menor a: 0.60 f´ci = 16.80 MPa

Tracción mayor a: -0.50√f´ci= - 2.65 MPa

T=∞ Compresión menor a: 0.45f´c = 15.75 MPa

Tracción mayor a: -0.50√f´c= - 2.96 MPa

Acero de Preesfuerzo:

Tendones de preesfuerzo Grado 270 de 12 torones de baja relajación

Área de un Torón: AuT =98.7mm2

CAPITULO 8 DISEÑO PUENTES CURVOS CAJON

206

Tensión ultima: fpu=1860 MPa

Tensión de fluencia: fpy=0.90∙fpu= 1674 MPa

Módulo de elasticidad: Ep= 197000 MPa

Tensiones admisibles para postensado:

Antes del acuñamiento: 0.90∙fpy=1506.60 MPa

En anclajes y acoplamiento inmediatamente después del acuñamiento de los anclajes:

0.70∙fpu=1674 MPa

En el extremo de la zona de pérdida por asentamiento inmediatamente después del

acuñamiento del anclaje:

0.74∙fpu=1376.40 MPa

En estado límite de servicio después de pérdidas:

0.80∙fpy=1339.20 MPa

Área de un tendón: Au =1184.40mm2

8.3. DIMENSIONES PUENTE CURVO

8.3.1. Dimensiones en planta

La geometría que se establece en planta se determina en función del radio de curva,

haciendo un análisis se obtuvo que las dovelas de arranque serán de 3.65m de largo y las

demás de 3m. El ángulo de deflexión del puente curvo es de 35º7´20´´ (Figura 8.1) las

dovelas serán divididas cada 1º4´38´´; sin embargo, las dovelas del centro serán

seccionadas cada 2º52´39´´, el puente tiene una longitud total de 61.30 m y presenta un

único apoyo intermedio dividendo así el puente en dos tramos de 30.65m.

CAPITULO 8 DISEÑO PUENTES CURVOS CAJON

207

1°4

3'8

"

8 E

lem

ento

s d

e

1°4

3'8

"

2°5

'29"

35°7

'20"

61.3

0

R100.00

N

Figura 8. 1: Vista en planta

8.3.2. Dimensiones en elevación

Los puentes construidos por la técnica de volados sucesivos conformados por tableros

de sección transversal variable construidos con hormigón postensado son aplicados para

puentes de luces libres superiores a 40 m. hasta un máximo de 250m. Debido a que la

geometría de nuestro puente es curva y que solo tendremos dos tramos unidos por una pila

de apoyo intermedio determinamos que la longitud del puente es adecuada.

La relación de canto sobre el apoyo a la luz o esbeltez (h1/L) varia regularmente entre

1/16 a 1/20; económicamente se utiliza un valor próximo a 1/17.

h1

L=

1

17 => h1 =

61.30

17≈ 3.5 m.

El canto de la viga en el centro del tramo no debe ser menor que 1.6 m debido a que se

debe permitir la circulación de trabajadores en el interior de las vigas para realizar la

retirada de encofrados, tesado de tendones, inspecciones y el paso de canalizaciones. En la

CAPITULO 8 DISEÑO PUENTES CURVOS CAJON

208

práctica el canto en el centro (ho) debe estar comprendido entre 1/30 y 1/60, empleando una

relación intermedia de 1/30 tendremos que:

ho

L=

1

30 => h1 =

61.30

30≈ 2.00 m.

La altura de las dovelas varía según la ecuación de la parábola semejante a la catenaria

la cual está dada por la siguiente ecuación característica:

Z = y = a ∙ x2 (8. 1)

Donde Z = es la altura de la dovela adicional tomado desde la altura ho en la sección i.

Con el eje de coordenadas invertido en la última dovela y reemplazando el punto de la

dovela 0 (1.5; 24) determinamos la constante a = 0.0026041667 y tenemos la ecuación de la

parábola, en la cual reemplazamos los valores. Donde la altura de la dovela total en la

sección i será:

H = ho + Z (8. 2)

Según estas ecuaciones tenemos la siguiente tabla resumen:

N° Sec A B C D E F G H I J

Z (m) 1.500 1.148 0.844 0.586 0.375 0.211 0.094 0.023 2.000 2.000

H (m) 3.500 3.148 2.844 2.586 2.375 2.211 2.094 2.023 2.000 2.000

Tabla 8- 1: Variación de la altura en función de la distancia

Figura 8. 2: Alturas h1, ho y h intermedias

CAPITULO 8 DISEÑO PUENTES CURVOS CAJON

209

8.3.3. Dimensiones de la sección transversal

La sección transversal tipo que mejor se adapta en la construcción por voladizos es la

sección hueca ya que puede resistir esfuerzos elevados a compresión en la parte inferior ya

que posee una excelente resistencia mecánica y gran resistencia a la torsión.

El número de cajones y su forma depende del ancho del tablero, si el tablero no

sobrepasa los 13 m. se recomienda la viga cajón única con dos almas de forma clásica. Las

almas de las vigas pueden ser verticales o inclinadas. La separación de las almas está

limitada por la resistencia de la losa a la flexión transversal bajo el efecto de las cargas

vivas. Esto se puede determinar con un análisis de fracción de carga del tren tipo de la

siguiente manera:

La fracción de carga para vigas exteriores es:

∑ Mm=0

(a+s

2-0.975) ∙P+ (a+

s

2-2.775) ∙P+ (a+

s

2-3.975) ∙P=fe∙

s

2

6∙a+3∙s-15.45=fe∙s

La fracción de carga para vigas interiores es fi = 0.469 ∙ s (Sección cajón). De la

geometría tenemos (Figura 8.3) que 2 ∙ a + s = 8.85. Resolviendo estas ecuaciones

tenemos que:

s = 4.85 m.

a = 2 m.

Figura 8. 3: Determinación ancho efectivo

CAPITULO 8 DISEÑO PUENTES CURVOS CAJON

210

El alma debe asegurar la resistencia a los esfuerzos de cizallamiento y permitir la buena

colocación del hormigón, ya que las almas están sometidas a tensiones tangenciales debido

al esfuerzo cortante y al momento de torsión. Para el dimensionamiento del mismo se

tomara:

eN≥h

36+5+∅ (Para h < 6 m )

Entre 24 a 30 cm (Para 6 < h < 7 m.)

eN≥h

22+8+ ∅ (Para h > 7 m )

Donde ∅ es el diámetro de las vainas.

eN ≥h

36+ 5 + ∅

Para un espesor de h < 6 tenemos que:

eN ≥350

36+ 5 + 7.3

eN ≥ 22 cm

Por la presencia de anclajes en el nervio el espesor que adoptaremos será de 35 cm.

Para determinar las dimensiones de la losa superior que trabajara como tablero se

deberá cumplir que la altura del tablero de hormigón, excluyendo cualquier tolerancia para

pulido, texturado o superficie sacrificable deberá ser mayor o igual que 175mm.

ef = 20 cm.

Para la parte central el espesor deberá ser:

Según lo requerido para anclaje y recubrimiento del pretensado transversal, si

corresponde; y no menor que 1/20 de la longitud libre entre chaflanes,

acartelamientos o almas, a menos que se utilicen nervios transversales con una

separación igual a la longitud libre o que se provea pretensado transversal.

es =1

20 (s − en) (8. 3)

CAPITULO 8 DISEÑO PUENTES CURVOS CAJON

211

La separación que se tomara será el ancho entre almas y restando una longitud

aproximada de chaflanes de 1.0 m.

es =1

20 (485 − 100 − 35) = 17.5 cm

Adoptamos para nuestra sección es = 20.0 cm

La losa transversal debe llevar cartelas importantes en la unión con las almas de la

siguiente forma:

La cartela 1 debe ser trazada de forma que envuelva las líneas de presión posibles

creadas por las cargas vivas colocadas en la zona central de la losa (En el tercio medio

central de la luz). Esta mejora el empotramiento de la losa sobre las almas.

La cartela 2 facilita el hormigonado y permite colocar cables pretensados

longitudinalmente que aseguren la resistencia de las ménsulas. Este se coloca formando un

ángulo de 60° con la horizontal.

La longitud aproximada de las cartelas está dada por:

c = 2 L

3∙ (1 −

es

e1)

(8. 4)

El espesor e1 corresponde a uno de los extremos de la cartela 1 se dispone de la

siguiente manera:

es ≤ e1 ≤ 4 es

Lo aconsejable es tomar e1 < 2es

Adoptamos e1 = 1.5 (20) = 30 cm.

Por lo tanto c = 100 cm.

CAPITULO 8 DISEÑO PUENTES CURVOS CAJON

212

Detalle geométrico de la disposición de la losa superior y las cartelas

Figura 8. 4: Detalle geométrico de las cartelas

El espesor de la losa inferior no deberá ser menor que: 140 mm.

1/16 de la distancia entre chaflanes o almas en el caso de vigas no preesforzadas; o

1/30 de la longitud libre entre chaflanes, acartelamientos o almas en el caso de vigas

preesforzadas, a menos que se utilicen nervios transversales con una separación

igual a la longitud libre.

Es necesario aumentar este espesor cuando la luz de la losa es superior a los 6 m.

La losa inferior también baja el centro de gravedad de la sección, aumentando así el

brazo de los cables que se encuentran en el borde superior, haciendo más efectiva la

sección. Por esta razón el espesor de la losa deberá guardar cierta relación con los

momentos producidos por la carga muerta, de la misma forma que la altura de la

dovela, el espesor de la losa inferior será variable.

N° Sec. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

X (m) 5.15 8.15 11.15 14.15 17.15 20.15 23.15 26.15 29.15 30.65

e(cm) 40.0 35.31 31.25 27.81 25.00 22.81 21.25 20.10 20.0 20.0

Tabla 8- 2: Variación de espesores en la losa inferior

El espesor mínimo que podemos adoptar tomando en cuenta la presencia de cables en la

losa, será de 20cm., y el espesor máximo que adoptaremos será de 40 cm. Teniendo la

CAPITULO 8 DISEÑO PUENTES CURVOS CAJON

213

siguiente variación según la ecuación parabólica ya definida anteriormente determinamos

los espesores variable (Tabla 8.2)

La losa inferior esta generalmente empotrada en las almas por intermedio de cartelas

fuertemente inclinadas sobre la horizontal para poder facilitar la puesta en obra del

hormigón. Esta cartela se tomara de 30 cm. a una inclinación de 45°.

Figura 8. 5: Sección transversal

Sección X Altura

Esp.

Losa e Área Yt Yb Wt Wb

[m] [m] [cm] [m2] [m] [m] [m

3] [m

3]

0 0.00 3.500 0.4000 6.6264 1.6451 1.8549 7.6592 6.7928

A 0.00 3.500 0.4000 6.6264 1.6451 1.8549 7.6592 6.7928

B 3.00 3.148 0.3531 6.1698 1.4325 1.7155 6.5771 5.4934

C 6.00 2.844 0.3125 5.7744 1.2535 1.5905 5.6735 4.4711

D 9.00 2.586 0.2781 5.4395 1.1052 1.4808 4.9324 3.6816

E 12.00 2.375 0.2500 5.1655 0.9871 1.3879 4.3430 3.0890

F 15.00 2.211 0.2281 4.9524 0.8976 1.3134 3.8953 2.6620

G 18.00 2.094 0.2125 4.8002 0.8352 1.2588 3.5816 2.3755

H 21.00 2.024 0.2032 4.7090 0.7985 1.2255 3.3960 2.2113

I 24.00 2.000 0.2000 4.6785 0.7857 1.2143 3.3345 2.1578

J 27.00 2.000 0.2000 4.6785 0.7857 1.2143 3.3345 2.1578

Tabla 8- 3: Tabla de propiedades de secciones transversales

CAPITULO 8 DISEÑO PUENTES CURVOS CAJON

214

8.3.4. Peso y volúmenes de las dovelas

Después de determinar las propiedades geométricas de las secciones se determina un

área de dovela promedio el cual es multiplicado por el ancho de dovela respectivo y se

obtiene el volumen de hormigón para dicha dovela. Luego se multiplica el volumen de

dovela por el peso específico del mismo y se obtiene el peso de la dovela.

Para la dovela 1, entre las secciones A y B se tiene:

Área de la sección A: A1 = 6.6264 m2

Área de la sección B: A2 = 6.1698 m2

Peso unitario del hormigón: 𝛾= 24 KN/m3

𝑉1 = (A1 + A2

2) ∙ Ancho dovela = (

6.6264 + 6.1698

2) ∙ 3 = 19.194 m3

P1 = V1 ∙ γ = 19.194 ∙ 24 = 460.656 KN

Dovela Área i Área j Ancho Vol. Peso dovelas

m2 m

2 m m3 KN/m

3 Peso KN

0 6.6264 6.6264 3.65 24.186 24 580.473

1 6.6264 6.1698 3.00 19.194 24 460.663

2 6.1698 5.7744 3.00 17.916 24 429.991

3 5.7744 5.4395 3.00 16.821 24 403.700

4 5.4395 5.1655 3.00 15.908 24 381.780

5 5.1655 4.9524 3.00 15.177 24 364.244

6 4.9524 4.8002 3.00 14.629 24 351.094

7 4.8002 4.709 3.00 14.264 24 342.331

8 4.709 4.6785 3.00 14.081 24 337.950

9 4.6785 4.6785 3.00 14.036 24 336.852

30.65 166.212 3989.079

Tabla 8- 4: Propiedades físicas de las dovelas

CAPITULO 8 DISEÑO PUENTES CURVOS CAJON

215

8.4. DESCRIPCION DEL TRAZADO DE CABLES

8.4.1. Descripción de cables longitudinales

Los cables que se disponen longitudinalmente tienen como objetivo contrarrestar los

momentos negativos producidos por el peso propio de las dovelas, estos cables se tesan a

medida que avanza la construcción los cuales deben ser tesados de manera simétrica a cada

lado de la pila, la cantidad de cables a tesar debe ser al menos igual al número de dovelas a

pretensar por cada alma.

Existen otros cables (solidarios) que son colocados en la mitad de cada vano para

conseguir una continuidad en el tablero y resistir los momentos flectores.

8.4.2. Trazado de cables de voladizo

Los cables son colocados en las cartelas superiores de donde se distribuyen a las almas

de la dovela respectiva, los cables deben ser colocados lo más cerca posible del eje del alma

de manera que se facilite su descenso y se anclan muy a menudo en los extremos de las

dovelas a una altura media de los nervios. Los cables en elevación acompañan la geometría

de un eje recto en principio, luego descienden con una trayectoria parabólica. La geometría

debe cumplir con los requisitos especificados en la norma AASHTO LRFD que especifica

que:

El número de cables de voladizo debe ser al menos en cada alma igual al número

de dovelas a pretensar. Para nuestro proyecto tesaremos cuatro cables por dovela

como se especifica.

El radio de curvatura mínimo es de 6.0 m. excepto en las áreas de anclaje que se

permite hasta 3.6 m.

La separación libre entre vainas de postensado rectas debe ser de 3.0 cm. o 1,33

veces el tamaño máximo del agregado grueso como mínimo.

Las vainas se pueden empaquetar en grupos de no más de tres cables.

El recubrimiento de las vainas metálicas para tendones de postensado aplicado

en tableros expuestos al tránsito vehicular no deberá ser menor que:

CAPITULO 8 DISEÑO PUENTES CURVOS CAJON

216

El valor especificado para armadura principal, 2.5 cm.

Un medio del diámetro de la vaina, 3.65 cm.

El valor especificado en la tabla 5.12.3-1 “Superficies de tablero con

tránsito de neumáticos con clavos o cadenas”, 6.0 cm.

Por tanto para nuestro proyecto adoptaremos un recubrimiento de 9 cm.

Figura 8. 6: Posición de los cables en la sección cero

De acuerdo a referencia [28] las trayectorias de los cables provocan excentricidades en

las secciones transversales, en las secciones se tienen 3 excentricidades, e1 es la

excentricidad de equilibrio la cual es la que se calculó primero, los cables que provocan

esta excentricidad parten de una dovela anterior a la que se anclan en el inicio de la misma,

estos cables casi siempre coinciden con el centro de gravedad de la dovela lo que facilita el

cálculo haciendo que sea nula, en nuestro proyecto tenemos que tesar dos cables por alma y

cuatro por dovela esto hace que exista excentricidad ya sea por encima o por debajo del

centro de gravedad, pero si se coloca los cables a la misma distancia por encima y debajo

del centro de gravedad se podría calcular directamente con un cable equivalente que

coincidiría con el centro de gravedad, e2 es la excentricidad que provocan los cables que se

CAPITULO 8 DISEÑO PUENTES CURVOS CAJON

217

anclan a una distancia ≥ 6 m. de la sección considerada, es decir son los cables que se

tesaran en las siguientes dovelas solo provocan excentricidad cuando esos cables son

tesados en las dovelas siguientes.e3 es la excentricidad de corte que se determina a partir del

cálculo de e1 que es provocada por el cable de la dovela siguiente ya que pasa por encima

del centro de gravedad de la dovela.

A continuación mostramos a detalle el cálculo de las excentricidades de los cables en la

sección B que se encuentra entre la dovela 1 y la dovela 2.

3,65m. 3m. 3m. 3m.

3,5

m.

0 A B C D

1,2

33

m.0

,96

9m

.

12

0

3

Figura 8. 7 Excentricidades por dovela

La determinación de e2 es de forma directa mediante la siguiente expresión:

e2B = yt

B − 0.20

donde 0.20 es la distancia comprendida por los ejes de los cables y la fibra superior de la

viga.

e2B = 1.4325 − 0.20 = 1.2325 m.

la excentricidad e3 se determina con la ecuación de la parábola de los cables de la siguiente

dovela.

y = a ∙ x2

Remplazando datos de (x, y), donde x es la longitud del cable que en nuestro proyecto

es de 2 dovelas, y = ytC − 0.20 tenemos que:

CAPITULO 8 DISEÑO PUENTES CURVOS CAJON

218

a = yt

C − 0.20

(3 + 3)2=

1.254 − 0.20

62= 0.02977777778

Entonces la ecuación de la parábola es:

y = 0.0297777778 ∙ x2

Remplazando x por el ancho de la dovela anterior de la sección tenemos que:

y´ = 0.0297777778 ∙ 32 = 0.2635 𝑚.

e3B = yt

B − 0.20 − y´

e3B = 1.4325 − 0.20 − 0.2635 = 0.969 m.

La determinación de los ángulos verticales de obtiene derivando la ecuación de la parábola

y sustituyendo el valor de x por el de la longitud desde el centro de la parábola hasta el

punto en cuestión.

Sección 𝐞𝟐 𝐞𝟑 𝛂𝐕 𝛂𝐇 𝜶

0 1.6451

A 1.6451 1.0737

B 1.4325 0.9690 20.32 6.758 21.414

C 1.2535 0.8270 19.34 6.758 20.487

D 1.1052 0.71848 16.80 20.10 26.196

E 0.9871 0.6127 14.70 20.10 24.902

F 0.8976 0.5888 13.09 32.83 35.343

G 0.8352 0.4856 11.95 32.83 34.937

H 0.7985 0.4521 11.28 20.10 23.049

I 11.05 6.758 12.953

J

Tabla 8- 5: Excentricidades en secciones

8.5. CALCULO DE PERDIDAS DE PREESFUERZO

8.5.1. Pérdidas por fricción

La pérdida de la fuerza de presforzado ocurre entre los elementos postensado debido a

la fricción entre los tendones y los ductos. La magnitud de esta fuerza es función de la

CAPITULO 8 DISEÑO PUENTES CURVOS CAJON

219

forma del tendón o alineación, llamado efecto por curvatura, y de las desviaciones locales

en el alineamiento llamado efecto por deformación no intencional

Pérdidas de esfuerzo se puede expresar por la siguiente ecuación:

∆fpF=fpj*(1-e-(kx+μα)) (8. 5)

Esta expresión en porcentaje será:

%∆PpF=(1-e-(μ∙α+k∙x))∙100

donde

fpj = tensión en el acero de pretensado en el momento del tesado (MPa)

e = base del logaritmo natural

x = longitud de un tendón de pretensado desde el extremo del gato de tesado hasta

cualquier punto considerado (mm)

K = coeficiente de fricción por desviación de la vaina de pretensado (por mm de tendón)

[Tabla LRFD 5.9.5.2.2b-1]

μ = coeficiente de fricción [Tabla LRFD 5.9.5.2.2b-1]

α = sumatoria de los valores absolutos de la variación angular del trazado del acero de

pretensado entre el extremo del gato de tesado, o entre el extremo del gato de tesado más

próximo si el tesado se realiza igualmente en ambos extremos, y el punto investigado

(radianes)

α = √αv2 + αH

2 (8. 6)

Cable 1

αv = 20.32º

αH = 6.994º

α = √20.322 + 6.9942

α = 21.49º = 0.37507 rad

CAPITULO 8 DISEÑO PUENTES CURVOS CAJON

220

x = 6.797 m. (Medio tramo)

μ = 0.25

k = 6.6x10−7 1/mm

μ ∙ α + k ∙ x = 0.25 ∙ 0.375 + 6.6x10−7 ∙ 6797 = 0.0983

%∆PpF = (1 − e−(0.0983)) ∙ 100 = 9.36 %

Cable

Nº

Promedio L. Cable Coeficientes

𝝁 𝜶 + 𝒌 𝒙

∆P

α [º] α [rad] [m] 𝝁 k [%]

1 21.414 0.374 6.797 0.25 6.60E-07 9.79E-02 9.33

2 20.487 0.358 9.770 0.25 6.60E-07 9.58E-02 9.14

3 26.196 0.457 12.739 0.25 6.60E-07 1.23E-01 11.55

4 24.902 0.435 15.718 0.25 6.60E-07 1.19E-01 11.22

5 35.343 0.617 18.703 0.25 6.60E-07 1.67E-01 15.34

6 34.937 0.610 21.694 0.25 6.60E-07 1.67E-01 15.36

7 23.049 0.402 24.689 0.25 6.60E-07 1.17E-01 11.03

8 12.953 0.226 25.188 0.25 6.60E-07 7.31E-02 7.05

Tabla 8- 6: Perdidas por fricción en los cables

8.5.2. Pérdidas por deslizamiento de anclaje

Una vez que se libera el gato, la tensión del acero se transfiere al concreto mediante los

anclajes. Existe de forma irremediable una cantidad pequeña de deslizamiento después de

la transferencia. A medida en que las cuñas se acomodan dentro de los tendones, o a

medida en que se deforma el dispositivo de anclaje

CAPITULO 8 DISEÑO PUENTES CURVOS CAJON

221

El valor esperado oscila entre 3 a 10 mm. Tomando un valor promedio aproximado de 6

mm en la mayoría de los casos. La perdida por deslizamiento en el anclaje en cantidad y en

porcentaje se puede calcular con las expresiones:

∆fanc =∆l

l∙ Ep

(8. 7)

Cuando existe está perdida hay que recalcular la longitud (l) con la siguiente expresión:

li = √∆l ∙ Ep

fi ∙ (μ ∙ α

l+ k)

(8. 8)

∆fanc = Perdida debido al deslizamiento del anclaje

∆l = Cantidad de deslizamiento (valor recomendado 6 mm)

l = Longitud del torón (elemento).

Ep = Modulo de elasticidad del acero de preesfuerzo

fi = Preesfuerzo inicial

En el cable 1 tenemos que:

∆l = 6 mm

Ep = 197000 MPa.

l = 6.797 m.

fi = 0.6 ∙ fpu = 0.6 ∙ 1860 = 1116 MPa

li = √6 ∙ 197000

1116 ∙ (0.25 ∙ 0.375

6797 + 6.66x10−7)= 8559.74 mm

%∆fanc =∆l ∙ Ep ∙ fi

l

CAPITULO 8 DISEÑO PUENTES CURVOS CAJON

222

%∆fanc =6 ∙ 197000 ∙ 1116

8559.74= 15.58%

Nº L. Cable Ep fi ∆L α Coeficientes Li ∆P

[m] [MPa] [MPa] [mm] [rad] 𝝁 k [m] [%]

1 6797.000 197000 1116 6 0.374 0.25 6.60E-07 8574.22 15.58

2 9769.500 197000 1116 6 0.358 0.25 6.60E-07 10390.61 10.84

3 12738.500 197000 1116 6 0.457 0.25 6.60E-07 10485.70 8.31

4 15718.000 197000 1116 6 0.435 0.25 6.60E-07 11826.28 6.74

5 18703.000 197000 1116 6 0.617 0.25 6.60E-07 10905.63 5.66

6 21694.000 197000 1116 6 0.610 0.25 6.60E-07 11738.19 4.88

7 24689.000 197000 1116 6 0.402 0.25 6.60E-07 14958.44 4.29

8 25187.500 197000 1116 6 0.226 0.25 6.60E-07 19097.92 4.21

Tabla 8- 7: Perdidas por deslizamiento de anclaje en los cables

Debido a que las pérdidas por fricción máximas calculadas se dan en el centro de cada

viga, en sus extremos los valores son despreciables. En cambio las pérdidas por anclaje

máximas se dan en los extremos, en el centro su valor tiende a cero. Por estas dos razones

es que se tomara el máximo valor entre anclajes y fricción para el cálculo final.

8.5.3. Acortamiento elástico

Cuando la fuerza pretensora se transfiere a un miembro, existirá un acortamiento

elástico en el concreto a medida en que se comprime. La AASHTO LRFD sugiere que la

pérdida debida al acortamiento elástico en miembros postensado, distintos de los sistemas

de losa, puede tomarse como

∆fpES= (N-1

2N)

Eps

Eci *fgcp (8. 9)

Dónde:

N = número de tendones de pretensado idénticos

CAPITULO 8 DISEÑO PUENTES CURVOS CAJON

223

fgcp = sumatoria de las tensiones del hormigón en el centro de gravedad de los tendones

de pretensado debidas a la fuerza de pretensado en el momento de la transferencia y al

peso propio del elemento en las secciones de máximo momento (MPa)

Para nuestro cálculo tenemos los siguientes datos:

N = 4

Ac = 6.1698 m2

Mo = 460.663 ∙ (6 ∙ 2) = 5527.96 KN − m

Ep = 197000 MPa.

Po = 4 ∙ 1321790.4 = 5287161.6 N = 5287.162 KN

e = 1.43225m.

ASR = 98.7 ∙ 12 ∙ 4 = 4737.6 mm2

Wt = 6.5771 m3

fcgp =Po

A+

Po ∙ e

Wt−

Mo

Wt=

5287162

6169800+

5287162 ∙ 1432.25

6.5771x109−

5527.96 ∙ 10002

6.5771x109

fcgp = 1.168 MPa

E = 0.043 ∙ 2.41.5√28 = 26752.50 MPa

PES= (4-1

2(4))

197000

26752.50∙1.168∙4737.6 = 15280.39 N

En función del porcentaje de perdida tenemos:

%∆fpES =15280.39

1321790.4∙ 100 = 1.16%

Los valores pueden ser calculados usando una tensión en el acero reducida por debajo

de su valor inicial para dar cuenta de acortamiento estimado elástico, la relajación, y los

efectos de fricción.

CAPITULO 8 DISEÑO PUENTES CURVOS CAJON

224

8.5.4. Perdida dependientes del tiempo

Perdidas por contracción del hormigón

La deformación por contracción es la deformada del concreto que se presenta en los

miembros de concreto sin someterse a esfuerzos.

La contracción del concreto se debe principalmente a la evaporación del agua de

mezclado. En consecuencia, la cantidad de agua colocada a la mezcla y la humedad del aire

altera la magnitud de la contracción resultante. Otros factores que influyen es la proporción

de mezcla, las condiciones de fraguado, el tamaño y forma del miembro del concreto.

Perdida por relajación o deformación plástica del acero

Este fenómeno es la perdida de esfuerzo en el acero que se presenta a deformación

constante. El relajamiento continúa durante muchos años, aunque la tasa se reduce

considerablemente durante el primer año.

Perdidas por fluencia del hormigón

El flujo plástico es la propiedad de los materiales mediante la cual ellos continúan

deformándose a través de lapsos de tiempo considerables bajo un estado constante de

esfuerzo o carga. La velocidad del incremento de la deformación es grande al principio,

pero disminuye con el tiempo, hasta que después de unos meses alcanza un valor casi

constante.

En [LRFD Tabla 5.9.5.3-1] se muestra el método aproximado de cálculo de pérdidas

dependientes del tiempo, en la cual nos basaremos.

∆fpSR + ∆fpCR + ∆fpR1 + ∆fpR2 = 145 + 28 PPR = 145 + 28(1) = 173 MPa

Como anteriormente se demostró PPR se considera 1, ya que no existe acero a tracción

que resiste las cargas.

%∆fp(SR+CR+R1+R2) =173 ∙ 100

1116 = 15.50 %

CAPITULO 8 DISEÑO PUENTES CURVOS CAJON

225

8.5.5. Perdida totales

El resumen de todas las pérdidas se describe a continuación:

PERDIDA Porcentaje

Perdida deslizamiento anclajes %∆fanc+fr 15.58 %

Perdida acortamiento elástico %∆fpES 1.16 %

Perdidas dependientes del tiempo %∆fp(SR+CR+R1+R2) 15.50 %

PERDIDAS TOTALES %∆fpT 32.24 %

Tabla 8- 8: Pérdidas totales

8.6. DISEÑO ETAPA DE CONSTRUCCIÓN

8.6.1. Verificación de los esfuerzos admisibles para t = 0

En este apartado se comprobara las tensiones admisibles en la sección cajón debido a la

etapa de construcción, según [LRFD Art. 5.9.4.1] y [LRFD Art. 5.9.4.2] los esfuerzos

admisibles en la etapa de construcción se definen como:

Etapa inicial (sin perdidas)

fbi ≤ 0.6 ∙ f´ci

fti ≤ −0.25 ∙ √f´ci

Para el pretensado se usará la tensión de tesado de:

0.6 fpu = 0.6 ∙ 1860 = 1116 MPa

Teniendo la fuerza de tesado para un cable de:

P = fps ∙ AsR ∙ Nºtorones

P = 1116 ∙ 98.7 ∙ 12 = 1321790.4 N = 1321.79 KN

CAPITULO 8 DISEÑO PUENTES CURVOS CAJON

226

A continuación se mostrara el cálculo para la sección B, en la construcción de las dos

primeras dovelas y para las ultimas dovelas, el cálculo completo de esfuerzos y momentos

se lo realizó en planillas de Excel.

Sección B

Datos:

Módulos resistentes: Wt = 6.5771 m3 Wb = 5.4934 m3

Área: A = 6.1698 m2

Peso del carro: Wc = 550 KN

Peso de las dovelas definido en la Tabla 8.4

Fuerza de un cable: 1321.79 KN

Figura 8. 8: Estados de carga para verificar esfuerzos

Mmin = W2 ∙ 1.5 + Wc ∙ 1.5 = 429.991 ∙ 1.5 + 550.00 ∙ 1.5

Mmin = 1469.99 KN − m

Mmax = W2 ∙ 1.5 + W3 ∙ 4.5 + Wc ∙ 4.5 = 429.991 ∙ 1.5 + 403.70 ∙ 4.5 + 550.00 ∙ 4.5

Mmax = 4936.64 KN − m

Para el Mmin se verifica las tensiones superior e inferior.

CAPITULO 8 DISEÑO PUENTES CURVOS CAJON

227

fct =P

A+

P3 ∙ e3

Wt+

P2 ∙ e2

Wt+

P1 ∙ e1

Wt−

Mmin

Wt

fcb =P

A−

P3 ∙ e3

Wb−

P2 ∙ e2

Wb−

P1 ∙ e1

Wb+

Mmin

Wb

Donde P es la fuerza de los cables que se tesan hasta la dovela 2, ya que son ocho cables

tenemos P = 10574.32 KN, debido a que solo tomamos en cuenta los cables que pasan por

esta sección a una distancia e3 debido a que las demás excentricidades no se toman en

cuenta porque la e1 pasa por encima y por debajo y se iguala con el tesado, e2 tampoco lo

tomamos en cuenta porque recién se tesaran en la siguiente dovela y no resistirá cargas en

nuestra sección en estudio. El preesfuerzo que se toma a una excentricidad e3 es la

correspondiente a cuatro torones ya que estos resistirán cargas, con estas consideraciones

tenemos que:

fct =10574.32

6.1698+

5287.16 ∙ 0.9690

6.5771+

0

6.5771+

0

6.5771−

1469.99

6.5771

fct = 2269.30 KN/m2 = 2.269 MPa

fcb =10574.32

6.1698−

5287.16 ∙ 0.9690

5.4934−

0

5.4934−

0

5.4934+

1469.99

5.4934

fcb = 1048.86 KN/m2 = 1.049 MPa

Para Mmax siguiendo el mismo procedimiento tenemos:

fct = 1.742 MPa

fcb = 1.680 MPa

A continuación se mostrara la verificación durante la construcción de la dovela 8 y 9 que es

donde se puede presentar los esfuerzos máximos en las fibras extremas.

Mmin = W2 ∙ 1.5 + W3 ∙ 4.5 + W4 ∙ 7.5 + W5 ∙ 10.5 + W6 ∙ 13.5 + W7 ∙ 16.5 + (W8 + Wc) ∙ 19.5

Mmin = 36852.80 KN − m

Mmax = W2 ∙ 1.5 + W3 ∙ 4.5 + W4 ∙ 7.5 + W5 ∙ 10.5 + W6 ∙ 13.5 + W7 ∙ 16.5 + W8 ∙ 19.5 +

(W9 + Wc) ∙ 22.5

Mmax = 46081.97 KN − m

CAPITULO 8 DISEÑO PUENTES CURVOS CAJON

228

Como P es acumulativo tenemos que para la dovela 8 y 9 que:

P = 42297.28 KN

P3 = 5287.16 KN

De acuerdo a estos valores obtenemos para Mmin que:

fct =42297.28

6.1698+

5287.16 ∙ 0.9690

6.5771+

0

6.5771+

0

6.5771−

36852.80

6.5771

fct = 2031.29 KN/m2 = 2.031 MPa

fcb =42297.28

6.1698−

5287.16 ∙ 0.9690

5.4934−

0

5.4934−

0

5.4934+

36852.80

5.4934

fcb = 12631.47 KN/m2 = 12.631 MPa

y para Mmax:

fct =42297.28

6.1698+

5287.16 ∙ 0.9690

6.5771+

0

6.5771+

0

6.5771−

46081.87

6.5771

fct = 628.06 KN/m2 = 0.628 MPa

fcb =42297.28

6.1698−

5287.16 ∙ 0.9690

5.4934−

0

5.4934−

0

5.4934+

46081.97

5.4934

fcb = 14311.31 KN/m2 = 14.31 MPa

Dovela Mmin Mmax Momento mínimo Momento máximo

f t f b f t f b

1 1515.99 5100.95 1.341 0.185 0.873 0.713

2 5100.95 9778.70 1.671 1.511 1.060 2.200

3 9778.70 15437.39 1.858 2.998 1.119 3.831

4 15437.39 22004.69 1.917 4.628 1.060 5.595

5 22004.69 29447.74 1.858 6.393 0.886 7.489

6 29447.74 37773.19 1.684 8.287 0.597 9.512

7 37773.19 47027.07 1.395 10.310 0.186 11.673

8 47027.07 57266.79 0.984 12.471 -0.353 13.978

Tabla 8- 9: Esfuerzos en las fibras sección A

CAPITULO 8 DISEÑO PUENTES CURVOS CAJON

229

Dovela Mmin Mmax Momento mínimo Momento máximo

f t f b f t f b

2 1469.99 4936.64 2.269 1.049 1.742 1.680

3 4936.64 9449.99 2.599 2.537 1.913 3.358

4 9449.99 14924.55 2.770 4.215 1.938 5.212

5 14924.55 21314.32 2.794 6.069 1.823 7.232

6 21314.32 28612.78 2.680 8.089 1.570 9.418

7 28612.78 36852.80 2.427 10.275 1.174 11.775

8 36852.80 46081.97 2.031 12.631 0.628 14.312

Tabla 8- 10: Esfuerzos en las fibras sección B

Dovela Mmin Mmax Momento mínimo Momento máximo

f t f b f t f b

3 1430.55 4798.56 3.265 2.089 2.672 2.842

4 4798.56 9180.39 3.587 3.758 2.815 4.738

5 9180.39 14516.88 3.731 5.653 2.790 6.847

6 14516.88 20788.35 3.706 7.763 2.600 9.165

7 20788.35 28014.52 3.516 10.081 2.242 11.697

8 28014.52 36233.13 3.158 12.613 1.709 14.451

Tabla 8- 11: Esfuerzos en las fibras sección C

Dovela Mmin Mmax Momento mínimo Momento máximo

f t f b f t f b

4 1397.67 4686.77 4.375 3.236 3.708 4.129

5 4686.77 8969.97 4.680 5.101 3.812 6.265

6 8969.97 14214.45 4.784 7.237 3.720 8.661

7 14214.45 20426.77 4.692 9.633 3.433 11.320

8 20426.77 27634.83 4.405 12.292 2.943 14.250

Tabla 8- 12: Esfuerzos en las fibras sección D

Dovela Mmin Mmax Momento mínimo Momento máximo

f t f b f t f b 5 1371.37 4601.29 5.548 4.513 4.804 5.559 6 4601.29 8818.77 5.828 6.582 4.857 7.948 7 8818.77 14017.25 5.880 8.971 4.683 10.654 8 14017.25 20214.75 5.707 11.678 4.280 13.684

Tabla 8- 13: Esfuerzos en las fibras sección E

Dovela Mmin Mmax Momento mínimo Momento máximo

f t f b f t f b 6 1351.64 4542.13 6.858 5.744 6.039 6.942 7 4542.13 8726.76 7.106 8.010 6.032 9.582 8 8726.76 13913.70 7.100 10.650 5.768 12.598

Tabla 8- 14: Esfuerzos en las fibras sección F

CAPITULO 8 DISEÑO PUENTES CURVOS CAJON

230

Dovela Mmin Mmax Momento mínimo Momento máximo

f t f b f t f b

7 1338.50 4509.27 8.053 7.193 7.168 8.528

8 4509.27 8685.66 7.999 9.358 6.833 11.116

Tabla 8- 15: Esfuerzos en las fibras sección G

Dovela Mmin Mmax Momento mínimo Momento máximo

f t f b f t f b

8 1331.93 4497.76 9.252 8.568 8.320 10.000

Tabla 8- 16: Esfuerzos en las fibras sección H

Como se puede observar en las tablas resúmenes los valores de esfuerzos en las fibras

superiores e inferiores cumplen con los esfuerzos admisibles especificados en [LRFD Art.

5.9.4.1] y [LRFD Art. 5.9.4.2], es decir que en la etapa de construcción considerando las

pérdidas no existirán fallas en las secciones.

8.6.2. Verificación de los esfuerzos admisibles para t = ∞

En este apartado se comprobara las tensiones admisibles en la sección cajón debido a la

etapa de servicio, según [LRFD Art. 5.9.4.1] y [LRFD Art. 5.9.4.2] los esfuerzos

admisibles en la etapa de construcción se definen como:

Etapa inicial (con pérdidas)

fci ≤ 0.45 ∙ f ′𝑐 ; fti ≤ −0.50 ∙ √f′𝑐

Dovela Mmin Mmax Momento mínimo Momento máximo

f t f b f t f b

1 1515.99 5100.95 0.966 0.195 0.498 0.722

2 5100.95 9778.70 1.101 1.326 0.490 2.014

3 9778.70 15437.39 1.094 2.618 0.355 3.451

4 15437.39 22004.69 0.958 4.054 0.101 5.021

5 22004.69 29447.74 0.704 5.624 -0.267 6.720

6 29447.74 37773.19 0.336 7.323 -0.751 8.549

7 37773.19 47027.07 -0.148 9.152 -1.356 10.515

8 47027.07 57266.79 -0.753 11.118 -2.089 12.625

Tabla 8- 17: Esfuerzo fibras en t = ∞ sección A

CAPITULO 8 DISEÑO PUENTES CURVOS CAJON

231

Dovela Mmin Mmax Momento mínimo Momento máximo

f t f b f t f b

2 1469.99 4936.64 1.662 0.858 1.135 1.489

3 4936.64 9449.99 1.783 2.137 1.096 2.959

4 9449.99 14924.55 1.744 3.607 0.912 4.604

5 14924.55 21314.32 1.560 5.252 0.588 6.415

6 21314.32 28612.78 1.236 7.063 0.127 8.391

7 28612.78 36852.80 0.775 9.039 -0.478 10.539

8 36852.80 46081.97 0.170 11.187 -1.233 12.868

Tabla 8- 18: Esfuerzo fibras en t = ∞ sección B

Dovela Mmin Mmax Momento mínimo Momento máximo

f t f b f t f b

3 1430.55 4798.56 2.408 1.658 1.814 2.411

4 4798.56 9180.39 2.507 3.103 1.734 4.083

5 9180.39 14516.88 2.427 4.776 1.486 5.969

6 14516.88 20788.35 2.178 6.662 1.073 8.064

7 20788.35 28014.52 1.765 8.757 0.492 10.373

8 28014.52 36233.13 1.184 11.065 -0.264 12.903

Tabla 8- 19: Esfuerzo fibras en t = ∞ sección C

Dovela Mmin Mmax Momento mínimo Momento máximo

f t f b f t f b

4 1397.67 4686.77 3.239 2.539 2.572 3.433

5 4686.77 8969.97 3.307 4.168 2.439 5.331

6 8969.97 14214.45 3.174 6.066 2.111 7.491

7 14214.45 20426.77 2.846 8.226 1.586 9.913

8 20426.77 27634.83 2.321 10.648 0.860 12.606

Tabla 8- 20: Esfuerzo fibras en t = ∞ sección D

Dovela Mmin Mmax Momento mínimo Momento máximo

f t f b f t f b

5 1371.37 4601.29 4.118 3.521 3.375 4.567

6 4601.29 8818.77 4.149 5.341 3.178 6.706

7 8818.77 14017.25 3.952 7.480 2.755 9.163

8 14017.25 20214.75 3.529 9.937 2.102 11.943

Tabla 8- 21: Esfuerzo fibras en t = ∞ sección E

Dovela Mmin Mmax Momento mínimo Momento máximo

f t f b f t f b

6 1351.64 4542.13 5.101 4.467 4.282 5.666

7 4542.13 8726.76 5.090 6.473 4.015 8.045

8 8726.76 13913.70 4.823 8.852 3.491 10.801 Tabla 8- 22: Esfuerzo fibras en t = ∞ sección F

CAPITULO 8 DISEÑO PUENTES CURVOS CAJON

232

Dovela Mmin Mmax Momento mínimo Momento máximo

f t f b f t f b

7 1338.50 4509.27 5.999 5.577 5.113 6.911

8 4509.27 8685.66 5.742 7.539 4.576 9.298

Tabla 8- 23: Esfuerzo fibras en t = ∞ sección G

Dovela Mmin Mmax Momento mínimo Momento máximo

f t f b f t f b

8 1331.93 4497.76 6.901 6.626 5.968 8.058

Tabla 8- 24: Esfuerzo fibras en t = ∞ sección H

Como se puede observar en las tablas resúmenes los valores de esfuerzos en las fibras

superiores e inferiores cumplen con los esfuerzos admisibles especificados en [LRFD Art.

5.9.4.1] y [LRFD Art. 5.9.4.2], es decir que en la etapa de construcción sin considerar las

pérdidas no existirán fallas en las dovelas.

8.7. CONTROL DE FLECHAS

8.7.1. Introducción

Las dovelas actúan como ménsulas la cual producen grandes deformaciones debido a

las extensas longitudes que deben cubrir, es necesario verificar las deformaciones en estos

elementos debido a que se exige un estricto control en la etapa de construcción y además es

una forma de verificar el cálculo realizado y hacer las correcciones necesarias.

Durante la etapa de construcción las dovelas presentan deformaciones debido a los

siguientes factores:

Peso propio de las dovelas

Peso del carro móvil de hormigonado.

Al pretensado que asegura la unión de las dovelas

Después de la etapa constructiva el tablero continúa sufriendo deformaciones debido a

los siguientes factores:

Tesado de los cables de solidarización

Retirada de los equipos móviles

CAPITULO 8 DISEÑO PUENTES CURVOS CAJON

233

Colocación de los elementos de la superestructura.

8.7.2. Evaluación de las flechas debido a la deformación lenta

El cálculo de las perdidas diferidas a consecuencia de la fluencia del hormigón es

afectado por múltiples factores. La estimación de las flechas debido a la deformación lenta

de acuerdo con la hipótesis usual considera cierto factor 𝜑(𝑡) de la deformación instantánea

inicial. Así en una cierta sección de la superestructura, la flecha 𝜔(𝑡) para el tiempo t está

dada por:

𝜔(𝑡) = 𝜔𝑖 + 𝜑(𝑡) ∙ 𝜔𝑖 = (1 + 𝜑(𝑡)) ∙ 𝜔𝑖 (8. 10)

Siendo 𝜔𝑖 la flecha inicial.

Las flechas son calculadas a través de las fórmulas de Resistencia de Materiales, con un

valor de módulo de elasticidad de concreto Ei correspondiente al instante de su análisis, el

cual depende de su edad (en días).

El factor:

φ(t) =ω(t) − ωi

ωi (8. 10)

Caracteriza la relación entre las flechas diferidas 𝜔(𝑡) − 𝜔𝑖 y las flechas iniciales dependen

de varios factores como se presenta a continuación:

φ(t) = β1 ∙ β2 ∙ β3 ∙ β4 ∙ β5 (t) (8. 11)

Siendo los factores βi dependientes de:

β1: Condiciones climáticas

β2: La edad del concreto al instante de la aplicacion de la carga

β3: Composicion del concreto

CAPITULO 8 DISEÑO PUENTES CURVOS CAJON

234

β4: El espesor de la placa

β5: Una funcion del tiempo que define la deformacion lenta.

Figura 8. 9: Deformaciones y contra flechas de las dovelas

Según el grafico la flecha definida para una distancia x del apoyo será dada por la siguiente

expresión:

ω(t) = ∑M ∙ (x − y)

E ∙ J∙ ∆y ∙ (1 +

x

0

φ(t)) (8. 12)

Dónde:

Mij = Representa el momento resultante producido por el peso de la dovela y el preesfuerzo

de la dovela j en el centro de la dovela i.

∆yi = Ancho de la dovela i.

yi = Distancia del centro del apoyo al c.g. de la dovela i

CAPITULO 8 DISEÑO PUENTES CURVOS CAJON

235

E1,2,3..= Modulo de elasticidad del concreto a distintas edades

φ1,2,3.. = Coeficiente de deformación lenta del concreto

ωn (t) = Flecha total en la abscisa xn

8.7.3. Calculo de las flechas

Para comenzar el cálculo de las flechas se debe definir las etapas de estudio, el módulo

de elasticidad está en función del tiempo así también como el factor de deformación lenta

los cuales están definidos en las normas AASHTO y ACI los cuales mostraremos a

continuación.

𝐸 = 𝜔𝑐1,5 ∙ 𝐶 ∙ √𝑓´𝑐 (8. 13)

Como se observa en la ecuación el módulo de elasticidad depende de la resistencia del

hormigón cuyo valor corresponde al instante de acción de cargas, es decir es dependiente

del tiempo, sin embargo para la estimación de la resistencia del hormigón es necesario

tomar en cuenta el uso de aditivos y acelerantes.

Por tanto tomaremos en cuanta que la resistencia necesaria para soportar el esfuerzo de

compresión ocasionado por el preesfuerzo (estimado de 28 MPa) se obtendrá al tercer día.

La resistencia proyectada a partir de esta para los siguientes días según la propuesta de la

Norma ACI es la siguiente:

F = 1.35 t + 10

t + 20 (8. 14)

R28 = Rt

F (8. 15)

Dónde:

Rt = Resistencia antes de los 28 días

t = Número de días antes de los 28 días

CAPITULO 8 DISEÑO PUENTES CURVOS CAJON

236

R28 = Resistencia probable a los 28 días

F = Factor de tiempo

Fluencia lenta

ψ (t, ti) = 1.9 ∙ kvs ∙ khc ∙ kf ∙ ti−0.118 (8. 16)

khc = 1.56 − 0.008 ∙ H

kvs = 1.45 − 0.13 (V

S) ≥ 1.0

kf = 35

7 + f´ci

Dónde:

H es la humedad relativa, kvs es el factor del volumen en proporción a la superficie del

componente, kf es el factor de resistencia del concreto, khc es el factor por fluencia, ktd factor del

desarrollo del tiempo, 𝑡𝑖 es la edad del concreto al aplicar el preesfuerzo inicial, 𝑡𝑓 edad final del

concreto.

Como V/S es muy grande se puede adoptar un valor de kvs = 1

khc = 1.56 − 0.008 ∙ (60) = 0.936

ktd =t

61 − 0.58 ∙ f´ci + t

Planilla resumen

Dovela 𝐯𝐢

∑ 𝐯𝐢 Nº 1 0.03831 0.03831 2 0.03533 0.07364 3 0.03056 0.10420 4 0.02364 0.12784 5 0.01499 0.14284 6 0.00745 0.15029 7 0.00256 0.15284 8 0.00056 0.15340 9 0.00000 0.15340

Deflexión 0.15340

Tabla 8- 25: Planilla resumen deflexiones

CAPITULO 8 DISEÑO PUENTES CURVOS CAJON

237

8.8. ANALISIS ESTRUCTURAL PUENTE CAJON CURVO

8.8.1. Análisis de cargas

Finalizado el diseño en la etapa constructiva del puente con el apoyo de la dovela de

cierre en el estribo nos topamos con un nuevo sistema estructural hiperestático como se

muestra en la Figura 8.10, donde el puente es parecido a un modelo de vigas continuas.

Ahora se puede hablar de vigas continuas de sección e inercia variable para el cálculo de la

carga muerta, además se debe analizar las cargas de vivas de servicio (Carga de camión y

carga de carril), las cargas por rodadura y por las barandas también deben tomarse en

cuenta aunque no sean muy significantes cuando se realiza las combinaciones de carga. En

nuestro proyecto para el diseño en las etapas de servicio se modela en el programa CSI

Bridge el modelo del puente curvo, en el cual se hará afectar las cargas por unidad de

superficie, las secciones cajón serán definidas con elementos shell, este elemento es usado

para modelar estructuras tridimensionales el cual es nuestro caso siendo un tipo de objeto

área. Dependiendo de las propiedades de la sección que se le asignen al área, el objeto

puede ser usado para modelar comportamiento de esfuerzo/deformación plana y de sólidos

axisimétricos.

Figura 8. 10: Puente curvo continúo hiperestático

CAPITULO 8 DISEÑO PUENTES CURVOS CAJON

238

Cargas muertas DC

La carga muerta para el diseño del puente solo toma en cuenta el peso propio de la sección

variable cajón del puente además de la carga ocasionada por el peso de la baranda. La

baranda como se especificó en el acápite anterior para el diseño se lo representa con el

siguiente valor:

qbaranda = 6 KN/m

La carga por peso propio de la sección cajón es calculada directamente por el programa

computacional previa entrada de datos de la geometría.

Fuerza centrifuga

Para la velocidad de diseño de 50 km/hr o 13.89 m/seg, el coeficiente de la fuerza

centrífuga es del 0.2623 el cual es multiplicado por el peso del camión (sin asignación

dinámica), esta fuerza actúa a 1800 mm por encima de la calzada.

El momento de vuelco por eje principal es la multiplicación del factor C igual a

(0.2623) por el peso de la rueda trasera (72.50 KN) y el brazo de (1800mm.), que es igual a

34.23 KN-m, para las ruedas delanteras el peso de la rueda del camino es de 17.50 KN el

cual produce un momento de vuelco igual a 8.26 KN-m.

Figura 8. 11: Fuerza centrifuga

CAPITULO 8 DISEÑO PUENTES CURVOS CAJON

239

Los momentos son colocados de manera radial como se muestra en la Figura 8.11, los

cuales fueron colocados en los lugares donde producirán los máximos momentos torsores

hacia las vigas principales.

C= (4

3)

13.892

9.807∙100= 0.2623

F1=F2=17.5 (0.2623)=4.59 KN

F3=F4=17.5 (0.2623)=19.02 KN

F5=F6=17.5 (0.2623)=19.02 KN

M1=M2=9.92 KN-m

M3=M4=M5=M6=41.08 KN-m

Gradiente de temperatura

En [LRFD 3.12.2] y [LRFD 3.12.3] se presenta el modelo del gradiente de temperatura

para distintas zonas de Estados Unidos. Para estas zonas se toman las temperaturas

positivas según lo especificado en la Tabla 8-27 para diferentes condiciones superficiales

del tablero. Las temperaturas negativas se deberán obtener multiplicando los valores

especificados en la Tabla 8-26 por -0,30 en el caso de tableros de hormigón simple y por -

0,20 en el caso de tableros con carpeta asfáltica.

ZONA T1 (ºC) T2(ºC)

1 30 7.8

2 25 6.7

3 23 6

4 21 5

Tabla 8- 26: Bases para los gradientes de temperatura

El gradiente de temperatura vertical en superestructuras de hormigón y acero con

tableros de hormigón se puede tomar como se indica en la Figura 8.13

CAPITULO 8 DISEÑO PUENTES CURVOS CAJON

240

Figura 8. 12: Gradiente de temperatura vertical positivo en superestructuras de Hº

La dimensión "A" de la Figura 2 se deberá tomar como:

• Para superestructuras de hormigón de 400 mm o más de profundidad - 300 mm

• Para secciones de hormigón de profundidad menor que 400 mm - 100 mm menos que

la profundidad real

• Para superestructuras de acero, la distancia "t" se deberá tomar igual a la altura del

tablero de hormigón.

El valor de T3 se deberá tomar como 0ºC, a menos que se realice un estudio específico

in situ para determinar un valor adecuado. En ningún caso deberá ser mayor que 3ºC.

CLIMA ACERO O ALUMINIO HORMIGON MADERA

MODERADO -18ºC a 50ºC -12ºC a 27ºC -12ºC a 24ºC

FRIO -38ºC a 50ºC -18ºC a 27ºC -18ºC a 24ºC

Tabla 8- 27: Rangos de temperatura

Si se considera el gradiente de temperatura, las tensiones internas y deformaciones de la

estructura provocadas tanto por gradientes de temperatura positivos como por gradientes

negativos se podrán determinar de acuerdo con los requisitos del Artículo 4.6.6.

Para nuestro proyecto adoptaremos la Zona 1 la cual es semejante a la del trópico

boliviano el cual es uno de los casos más extremos debido a su gran variación de

temperatura.

CAPITULO 8 DISEÑO PUENTES CURVOS CAJON

241

8.8.2. Modelos estructurales

En los siguientes puntos se muestra cinco modelos estructurales computacionales en el

cual se puede observar las diferentes etapas de diseño del puente como las que son las

constructivas. La versatilidad del software nos permite analizar en el tiempo los puentes, es

por eso que los efectos de carga por fluencia son modeladas con la opción de secuencia de

construcción donde el programa analiza la estructura de forma no lineal. Las etapas

constructivas se modela al puente como una estructura de viga continua modela con

elementos shell esto por tratarse de una estructura tridimensional.

Modelo 1 Secuencia de construcción

La definición de la geometría del modelo por secuencia de construcción se lo debe

realizar primeramente definiendo el modelo completo para después ir creando grupos los

cuáles serán las dovelas que serán ejecutadas según el tiempo dado. En nuestro caso

comenzamos de la dovela cero desde la pila que se encuentra en la mitad del tramo la cual

esta marca de verde en la Figura 8.14, consecutivamente se va creando grupos para

culminar así el puente. El material para este análisis debe modificar en las opciones

avanzadas se deberá activar las propiedades dependientes del tiempo en esta opción se

podrá activar el creep los valores de humedad relativa asumidos para este análisis serán del

88%

Figura 8. 13: Modelo computacional por secuencia de construcción

CAPITULO 8 DISEÑO PUENTES CURVOS CAJON

242

La única finalidad de este modelo es obtener los esfuerzos de cada dovela en el tiempo e

instante que será construido además de ver el comportamiento de la estructura en el tiempo

que se esté ejecutando el mismo, como también la deformación que presenta este en el

transcurso de la ejecución de las dovelas.

Los momentos, cortantes y torsores son tabulados en la tabla 8-28

Distancia Cortantes

V2 Torsores

T Momentos M3

m KN KN-m KN-m

0 0.00 0.00 0.00

3 824.41 -33.40 -1238.07

6 1649.66 2.94 -4949.62

9 2479.59 191.66 -11139.04

12 3429.25 609.85 -20018.19

15 4282.58 1354.49 -31555.16

18 5154.61 2500.89 -45652.65

21 6197.80 4120.24 -62439.62

24 7121.27 6337.28 -82245.53

27 8077.49 9036.38 -104685.60

30.65 9261.16 13853.72 -136154.25

Tabla 8- 28: Fuerzas en etapas de construcción

Modelo 2 Peso propio mas barandas y rodadura (DC, DW)

El modelo dos ya se trata de una estructura de viga continua, para este se define la

sección cajón mediante elementos shell esto porque estos elementos nos ayudara a modelar

la estructura de forma tridimensionales y así poder ver las distorsión de dicha sección.

Al ser los elementos shell elementos área, en consecuencia las cargas que se aplican a

ellos deberán ser de carga por superficie o puntuales aplicadas en los nudos del elemento.

En el caso de la carga muerta por peso propio de los elementos el programa ya lo toma

de forma automática, sin embargo, para la carga debido a las barandas estas serán

ingresadas de forma puntual a los nudos esta fuerza P no será nada más que el producto de

la carga de 6KN/m por la separación de los elementos shell en el nuestro por 1m entonces

DC=6(1)= 6KN por nudo. Para la carga debida a la rodadura no será nada más que la

CAPITULO 8 DISEÑO PUENTES CURVOS CAJON

243

multiplicación del espesor del asfalto por su peso específico en nuestro caso DW=22.5

(0.05)=1.125 KN/m2

Figura 8. 14: Cargas debidas a barandas y rodadura en puentes

La tabla 8-29 muestra un resumen de los datos de salida del modelo los momentos,

cortantes y torsores para las diferentes estados son mostrado solo para un tramo del puente

esto porque este es simétrico por ende se repetirá lo mismo en el otro extremo.

Dist DC(PESO PROPIO) DC(BARANDA) DW(RODADURA)

V2 T M3 V2 T M3 V2 T M3

m KN KN-m KN-m KN KN-m KN-m KN KN-m KN-m

0 -1562.62 324.90 -1914.41 -124.11 49.15 -148.02 -86.94 16.58 -107.63

3 -1150.41 243.37 2162.13 -89.23 37.30 184.85 -62.90 12.06 125.63

6 -737.79 138.95 5015.43 -62.23 25.25 410.56 -44.30 6.52 285.25

9 -322.83 -50.75 6661.00 -25.69 4.65 530.86 -19.12 -4.04 372.29

12 152.00 -266.23 6986.67 10.04 -17.41 545.32 5.50 -15.84 386.59

15 578.67 -469.07 6007.16 46.97 -44.90 454.01 30.92 -28.78 328.22

18 1014.68 -623.61 3767.27 82.16 -54.41 257.14 55.20 -34.98 197.30

21 1536.28 -693.78 196.94 119.99 -63.63 -45.01 81.26 -38.25 -5.98

24 1998.02 -638.67 -4875.89 156.22 -62.16 -452.06 106.23 -34.54 -281.36

27 2476.13 -418.31 -11311.48 189.80 -46.82 -963.57 129.36 -21.74 -628.53

30.65 3067.95 140.89 -21435.61 235.25 -6.51 -1757.78 160.68 9.34 -1170.15

Tabla 8- 29: Fuerzas debido a DC y DW

CAPITULO 8 DISEÑO PUENTES CURVOS CAJON

244

Modelo 3 Carga Viva y fuerza centrífuga (LL+IM) (CF)

En cuanto al modelo carga viva se asigna a la estructura tres camiones los cuales el

programa los nombra como HL-93 M , HL-93 S y HL-93 K donde no son nada más que el

camión tándem con dos ejes de peso de 110KN, triden con tres ejes de 35KN y dos de

145KN y un especial que es la combinación de ambos cabe recalcar que al ser una camión

tipo HL-93 lleva aparte del peso de los ejes una carga distribuida sobre toda el ancho de

calzada, además se incrementa el 33% a cada carga de carril por efectos dinámicos .

El análisis que hace netamente el programa es de forma iterativa posicionando asi las

cargas vehiculares en puntos donde el momento flector será el máximo positivo como el

mínimo negativo para después nos muestre una envolvente de dichas fuerzas, en cuanto al

cortante y la torsión se realiza la misma iteración.

Figura 8. 15: Posiciones de la carga viva en puentes

La carga por fuerza centrífuga no es nada más que un momento que va en dirección

hacia el centro de curvatura, estos momentos fueron calculados en la sección 8.8.1. El

resumen de la envolvente de momentos, cortantes y torsión debido a carga viva vehicular y

fuerza centrífuga son detallados en la tabla 8-30

CAPITULO 8 DISEÑO PUENTES CURVOS CAJON

245

Dist. Typo

LL(VIVA+IMPACTO) CF(FUERZA

CENTRIFUGA)

V2 T M3 V2 T M3

m KN KN-m KN-m KN KN-m KN-m

0 Max 133.82 1226.76 154.21

0 Min -958.26 -1199.58 -925.97 13.39 39.27 23.45

3 Max 136.63 1225.50 2147.22 13.39 39.52 -16.14

3 Min -837.83 -1148.14 -717.75 13.39 39.70 -15.69

6 Max 170.23 1147.99 3823.40 13.39 40.60 -55.32

6 Min -686.34 -1159.96 -1026.39 13.39 41.32 -54.78

9 Max 272.64 1112.82 4781.83 13.39 42.90 -94.86

9 Min -527.81 -1272.68 -1397.55 13.39 44.06 -94.33

12 Max 402.31 1141.55 5282.13 13.39 45.00 -122.57

12 Min -426.00 -1493.24 -1777.87 13.39 42.67 -94.90

15 Max 538.10 1136.32 5192.45 13.39 45.38 -135.63

15 Min -317.94 -1675.26 -2155.81 13.39 47.08 -135.05

18 Max 666.85 1210.34 4652.14 13.39 20.96 -14.58

18 Min -223.71 -1789.63 -2528.97 13.39 21.14 -14.32

21 Max 804.91 1323.95 3664.13 13.39 -11.76 104.31

21 Min -147.49 -1873.01 -2906.02 13.39 -12.68 104.20

24 Max 925.82 1455.66 2377.50 13.39 -13.60 61.01

24 Min -88.14 -1892.19 -3621.24 13.39 -14.29 60.85

27 Max 1029.35 1596.24 1207.02 13.39 -13.92 17.24

27 Min -43.54 -1856.81 -5293.07 13.39 -14.12 17.07

30.7 Max 1164.08 1852.89 285.47 13.39 -13.65 -32.15

30.7 Min -12.15 -1754.60 -8261.60 9.39 89.85 -36.92

Tabla 8- 30: Máximos y mínimos por carga viva y fuerza centrifuga

Modelo 4 Carga por temperatura

Para el modelo por carga de temperatura se lo realiza con la opción de “Temperature

load” de la venta Bridge del programa en el cual nos permite ingresar tanto el gradiente de

temperatura como la temperatura uniforme.

El ingreso del gradiente de temperatura se puede realizar siguiendo dos caminos el

primero es eligiendo los gradientes que se tiene en la biblioteca que son de la AASHTO que

con solo seleccionar la zona ya este nos dará el gradiente del mismo otra opción es

ingresando un gradiente por defecto donde deberemos asignar los valores de “d y T” para

CAPITULO 8 DISEÑO PUENTES CURVOS CAJON

246

asi forma el gradiente. Para el caso de temperatura consta en el mismo menú solo se deberá

asignar la temperatura máxima.

En el caso de nuestro proyecto se ingresó el gradiente de forma automática

seleccionando la zona 1 ya que esta es la más crítica como se muestra en la Figura 8.17

para el caso de temperatura uniforme la temperatura asignada es de 30ºC, los datos de

salida son mostrados en la tabla 8-31

Figura 8. 16: Cargas por temperatura en CSiBridge

Dist. TC(TEMPERATURA +) TC (TEMPERATURA -)

V2 T M3 V2 T M3 m KN KN-m KN-m KN KN-m KN-m

0.00 -451.57 837.02 -1826.89 135.47 -251.11 548.07 3.00 -451.57 849.13 -450.09 135.47 -253.20 137.89 6.00 -451.57 829.68 947.95 135.47 -252.60 -281.11 9.00 -451.57 777.55 2376.58 135.47 -241.92 -710.08 12.00 -451.57 695.81 3837.27 135.47 -220.31 -1149.02 15.00 -451.57 555.95 5334.02 135.47 -186.89 -1597.98 18.00 -451.57 385.78 6861.92 135.47 -140.77 -2057.02 21.00 -451.57 195.66 8422.66 135.47 -81.04 -2526.18 24.00 -451.57 -91.32 10017.87 135.47 -6.74 -3005.48 27.00 -451.57 -413.16 11645.50 135.47 83.13 -3494.86 30.65 -451.57 -732.10 13285.10 135.47 219.63 -3983.85

Tabla 8- 31: Fuerzas debido a cargas de temperatura

Modelo 5 Carga por preesfuerzo

En el modelo con cables preesforzados es casi similar al descrito en el capítulo anterior

solo que en esta vez los tendones siguen la trayectoria mostrada en la Figura 8.18, se

CAPITULO 8 DISEÑO PUENTES CURVOS CAJON

247

dispones 4 cables por dovela contando desde la dovela 2 cada uno con su fuerza de

preesfuerzo

Figura 8. 17: Disposición de cables en modelo computacional

Dist. P V2 T M3

m KN KN KN-m KN-m

0 6698.10 1199.76 -2213.74 6907.57

3 1742.42 534.32 -2333.19 3257.05

6 -3291.01 -41.02 -2399.46 1443.06

9 -8315.03 -105.19 -2355.86 1261.18

12 -13312.36 -130.36 -2168.04 1407.03

15 -18242.86 -247.20 -1971.99 1939.34

18 -23143.97 -502.18 -1642.74 3230.95

21 -27950.32 -725.07 -1161.78 5754.20

24 -32649.04 -1145.86 -635.17 9680.72

27 -32711.79 210.33 93.94 16451.83

30.65 -32301.40 -1084.06 -1119.81 13404.10 Tabla 8- 32: Fuerzas debido al preesfuerzo

CAPITULO 8 DISEÑO PUENTES CURVOS CAJON

248

8.9.DISEÑO EN ETAPAS PERMANENTES

8.9.1. Redistribución de momentos por fluencia

Según la expresión de Dischinger el cual expresa que:

M∞=MII+(MI+MII)e-φ (8. 17)

donde M∞ representa el momento flector final, MI y MII son momentos al inicio de la construcción

y durante la etapa de ejecución de los mismos respectivamente. El valor de φ es el coeficiente de

deformación lenta la cual es dependiente del tiempo total de culminación del puente.

En el Figura 8.19 se muestra la envolvente de momento flextor debido a la construcción

de voladizos y la inclusión de los flextores debido a la fluencia del concreto (Creep). Para

ampliar más sobre el tema se puede consultar con [31] [36].

Figura 8. 18: Momentos por fluencia lenta del concreto

-20000.00

-10000.00

0.00

10000.00

20000.00

30000.00

40000.00

50000.00

60000.00

0 10 20 30 40 50 60 70

M (

KN

-m)

x(m)

M (II)

M (I)

Mfinal

Mcreep

CAPITULO 8 DISEÑO PUENTES CURVOS CAJON

249

Distance M (II) M (I) Mfinal Mcreep

m KN-m KN-m KN-m KN-m

0 0.00 1,914.41 1,753.41 1,753.41

3 1,330.28 -2,159.25 1,036.82 -293.45

3 1,330.28 -2,162.13 1,036.58 -293.70

6 1,331.93 -5,015.43 798.14 -533.79

6 1,331.93 -5,016.81 798.03 -533.90

9 4,509.27 -6,661.00 3,569.90 -939.37

9 4,509.27 -6,659.89 3,569.99 -939.28

12 8,726.76 -6,986.67 7,405.33 -1,321.43

12 8,726.76 -6,983.64 7,405.58 -1,321.18

15 14,017.25 -6,007.16 12,333.28 -1,683.97

15 14,017.25 -6,000.79 12,333.82 -1,683.43

18 20,426.77 -3,767.27 18,392.16 -2,034.61

18 20,426.77 -3,759.40 18,392.82 -2,033.95

21 28,014.52 -196.94 25,642.06 -2,372.46

21 28,014.52 -190.80 25,642.57 -2,371.95

24 36,852.80 4,875.89 34,163.68 -2,689.12

24 36,852.80 4,882.82 34,164.26 -2,688.54

27 47,027.07 11,311.48 44,023.54 -3,003.53

27 47,027.07 11,315.59 44,023.89 -3,003.18

30.65 54,025.20 21,435.61 51,284.56 -2,740.64

34.3 47,027.10 11,304.18 44,022.96 -3,004.14

37.3 36,852.80 4,874.73 34,163.58 -2,689.22

37.3 36,852.80 4,866.74 34,162.91 -2,689.89

40.3 28,014.52 -197.99 25,641.97 -2,372.55

40.3 28,014.52 -201.91 25,641.64 -2,372.88

43.3 20,426.77 -3,768.22 18,392.08 -2,034.69

43.3 20,426.77 -3,774.94 18,391.51 -2,035.26

46.3 14,017.25 -6,007.99 12,333.21 -1,684.04

46.3 14,017.25 -6,013.83 12,332.72 -1,684.53

49.3 8,726.76 -6,987.39 7,405.27 -1,321.49

49.3 8,726.76 -6,989.48 7,405.09 -1,321.67

52.3 4,509.27 -6,661.62 3,569.85 -939.42

52.3 4,509.27 -6,661.78 3,569.83 -939.44

55.3 1,331.93 -5,015.92 798.10 -533.83

55.3 1,331.93 -5,013.78 798.28 -533.65

58.3 1,330.28 -2,159.61 1,036.79 -293.48

58.3 1,330.28 -2,155.33 1,037.15 -293.12

61.3 0.00 1,918.84 161.37 161.37

Tabla 8- 33: Momentos por fluencia

CAPITULO 8 DISEÑO PUENTES CURVOS CAJON

250

8.9.2. Combinaciones de carga en estado de servicio

Servicio I = 1.0DC+1.0DW + 1.0 (LL+IM)+1.0 CF +1.0 TU +0.5 TG+ 1.0 CU +1.0 PF

Servicio II = 1.0DC+1.0DW + 1.3 (LL+IM)+1.3 CF +1.0 TU+ 1.0 CU +1.0 PF

Servicio III = 1.0DC+1.0DW + 0.8 (LL+IM)+0.8 CF +1.0 TU+ 1.0 CU +0.5 TG +1.0 PF

Servicio IV = 1.0DC+1.0DW +1.0 TU+ 1.0 CU +1.0 PF

Distancia SERVICIO I SERVICIO II

V2 T M3 V2 T M3

m KN KN-m KN-m KN KN-m KN-m

0.00 -1042.89 1726.86 -12303.86 -1074.87 1490.56 -12604.14

3.00 -582.38 1823.65 -7501.36 -613.55 1575.18 -6990.57

6.00 -657.74 1953.19 -1848.42 -678.23 1676.98 -1134.55

9.00 -460.71 2036.90 4198.85 -744.17 1789.33 4357.70

12.00 163.34 2196.76 8978.51 211.89 1924.94 8532.92

15.00 818.98 2257.21 12484.92 908.30 2022.57 11181.64

18.00 1363.09 2604.12 15420.97 1491.19 2437.82 13147.32

21.00 2026.04 3022.25 18050.84 2195.75 2961.96 14647.96

24.00 1791.48 3547.51 20412.50 2010.21 3763.03 15484.01

27.00 3087.89 4339.05 23425.55 3327.07 4654.96 17462.01

30.65 5141.79 5606.39 11416.85 5419.59 6078.60 4260.24

Figura 8. 19: Fuerzas en Servicio I y II

Distancia SERVICIO III SERVICIO IV

V2 T M3 V2 T M3

m KN KN-m KN-m KN KN-m KN-m

0.00 -1070.36 1399.66 -12323.90 -1253.43 -636.27 -12734.36

3.00 -1261.31 1553.79 -7907.65 -795.62 -522.58 -9669.82

6.00 -692.86 1647.63 -2594.72 -1548.75 -250.52 -5986.71

9.00 -516.07 1753.35 3261.79 -1137.61 -37.16 -1736.84

12.00 82.18 1924.22 7946.38 -315.65 153.38 1824.03

15.00 710.64 1999.49 11474.99 204.11 347.37 4617.07

18.00 1228.91 2356.49 14494.79 618.97 828.20 7127.17

21.00 1864.11 2776.86 17300.72 1143.21 1366.92 9772.19

24.52 1596.88 3273.63 19983.46 745.26 1982.82 12695.26

27.00 2879.65 4045.75 23188.24 1973.51 2748.47 15919.51

30.65 -3607.18 -2399.89 11282.19 3898.68 3872.63 4028.80

Figura 8. 20: Fuerzas en Servicio III y IV

CAPITULO 8 DISEÑO PUENTES CURVOS CAJON

251

Resistencia I = 1.25DC+1.50DW+1.75(LL+IM)+1.75CF+0.50TU+0.50CR+0.50TG+PF

Resistencia II = 1.25DC+1.50DW+1.35 (LL+IM)+1.35CF+0.50TU+0.50CR+0.50TG+PF

Resistencia III = 1.25DC+1.50DW +0.50TU+0.50CR+0.50TG+PF1.

Resistencia IV = 1.50DC+1.50DW +0.50TU+0.50CR+PF

Dist. RESISTENCIA I RESISTENCIA II

V2 T M3 V2 T M3

m KN KN-m KN-m KN KN-m KN-m

0.00 -3,197.65 -2,760.13 -6,417.12 -2,819.70 -2,296.01 -6,056.11

3.00 -2,966.17 -2,886.37 2,951.90 -2,078.71 -2,403.34 2,097.17

6.00 -2,708.91 -3,319.03 9,432.96 -2,452.44 -2,850.92 7,925.29

9.00 -1,940.54 -3,836.75 14,979.55 -1,736.70 -3,306.12 13,105.40

12.00 -1,051.72 -4,252.58 18,397.72 -902.01 -3,651.35 16,323.27

15.00 1,426.46 -4,685.02 19,396.39 -277.34 -4,011.59 17,374.29

18.00 2,023.84 -4,820.89 19,005.08 1,737.78 -4,094.24 17,150.43

21.00 2,765.72 -4,628.00 17,332.61 3,184.12 -3,904.44 16,480.17

24.00 3,206.54 -4,145.79 14,324.77 2,822.33 -3,387.94 13,349.03

27.00 4,920.06 -3,530.99 12,647.69 5,013.99 -2,637.74 12,116.61

30.65 7,353.20 4,714.54 -28,342.40 6,882.21 3,978.85 -25,024.90

Tabla 8- 34: Fuerzas en Resistencia I y II

Dist. RESISTENCIA III RESISTENCIA IV

V2 T M3 V2 T M3

m KN KN-m KN-m KN KN-m KN-m

0.00 -1,544.12 -729.60 -4,837.69 -1,731.68 -319.07 -4,374.51

3.00 -1,612.73 -977.02 -1,075.14 -1,688.13 -627.71 -219.35

6.00 -1,586.85 -1,271.05 2,836.91 -916.02 -880.21 3,750.75

9.00 -1,048.72 -1,515.24 6,780.15 -898.36 -1,360.75 7,382.88

12.00 -396.73 -1,622.17 9,322.01 -118.42 -1,573.92 9,248.23

15.00 398.33 -1,738.79 10,549.68 499.38 -1,806.33 9,424.94

18.00 772.29 -1,641.83 10,891.00 991.71 -1,804.70 8,355.27

21.00 1,289.49 -1,310.32 10,739.13 1,649.14 -1,545.55 6,414.82

24.00 1,525.61 -830.19 10,055.90 3,152.38 -1,042.10 4,389.73

27.00 3,563.87 144.16 10,461.07 3,705.82 -360.95 1,372.37

30.65 5,292.62 1,495.87 -13,828.33 6,063.00 1,253.00 -17,923.85

Tabla 8- 35: Fuerzas en Resistencia III y IV

CAPITULO 8 DISEÑO PUENTES CURVOS CAJON

252

8.9.3. Verificación de esfuerzos en etapas permanentes

Para obtener el momento en etapas permanentes tenemos que distribuir en las secciones

los momentos por fluencia obtenidos anteriormente, de ese modo se tiene los momentos de

servicio reales. Como se muestra en la tabla los valores de esfuerzos son críticos en las

dovelas más pequeñas, es por ese motivo que debemos diseñar los cables solidarios de

manera que la tracción sea admisible o que sea positiva, es decir que trabaje a compresión.

MSERV I + CREEP Wt Wb ft fb Comprobación

KN-m m3 m3

-10550.45 3.3345 2.1578 -3.16 -4.89 Solidario Solidario

-7794.81 3.3345 2.1578 -2.34 -3.61 OK Solidario

-2382.32 3.396 2.2113 -0.70 -1.08 OK OK

3259.57 3.5816 2.3755 0.91 1.37 OK OK

7657.33 3.8953 2.6620 1.97 2.88 OK OK

10801.49 4.3430 3.0890 2.49 3.50 OK OK

13387.02 4.9324 3.6816 2.71 3.64 OK OK

15678.89 5.6735 4.4711 2.76 3.51 OK OK

17723.96 6.5771 5.4934 2.69 3.23 OK OK

20422.37 7.6592 6.7928 2.67 3.01 OK OK

8676.21 7.6592 6.7928 1.13 1.28 OK OK

Tabla 8- 36: Verificación etapas de servicio

8.9.4. Diseño de cables solidarios

Para el diseño de los cables solidarios partimos del esfuerzo requerido que se debe

contrarrestar, en nuestro caso tomaremos el valor del esfuerzo en la última dovela que es de

-4.89 [MPa] en la fibra inferior, con este valor determinamos una variación de preesfuerzo

requerido ∆Po, el modulo resistente y excentricidad se toman para la última dovela.

e = Yb −hlosa inf.

2

e = 1.2143 − 0.20

2= 1.1143 m.

Wb = 2.1578 m3

∆Po =∆fb ∙ Wb

e

CAPITULO 8 DISEÑO PUENTES CURVOS CAJON

253

∆Po =4.89∙2.1578

1.1143= 9469.30 KN

Teniendo la fuerzo necesaria tomamos como referencia el Po por cable de nuestros

cables longitudinales.

Po (1 cable) = 999.54 KN

Dividiendo estas dos fuerzas obtenemos 9.474 cables, que podría tomarse como 9 o 10

cables requeridos con los que cumpliría. Para nuestro puente adoptaremos solo 9 cables los

que distribuiremos de la siguiente manera: cinco cables en la antepenúltima dovela, luego

tesamos dos cables más en la penúltima y por último tesamos dos cables más que llegarían

a sumar los nueve cables para la sección más crítica. Con esta configuración obtenemos los

siguientes momentos para redistribuirlos en la tabla anterior para las últimas dovelas.

M1 = 10024.09 [KN]

M2 = 7796.51 [KN]

M3 = 5568.94 [KN]

A continuación mostramos la tabla de comprobación de esfuerzos con la redistribución

de momentos por los cables solidarios

MSERV I + CREEP Wt Wb ft fb

Comprobació

n KN-m m3 m3

-526.36 3.3345 2.1578 -0.16 -0.24 OK OK

1.70 3.3345 2.1578 0.00 0.00 OK OK

3186.62 3.396 2.2113 0.94 1.44 OK OK

3259.57 3.5816 2.3755 0.91 1.37 OK OK

7657.33 3.8953 2.662 1.97 2.88 OK OK

10801.49 4.343 3.089 2.49 3.50 OK OK

13387.02 4.9324 3.6816 2.71 3.64 OK OK

15678.89 5.6735 4.4711 2.76 3.51 OK OK

17723.96 6.5771 5.4934 2.69 3.23 OK OK

20422.37 7.6592 6.7928 2.67 3.01 OK OK

8676.21 7.6592 6.7928 1.13 1.28 OK OK

Tabla 8- 37: Esfuerzos en cables solidarios

CAPITULO 8 DISEÑO PUENTES CURVOS CAJON

254

8.10. DISEÑO DE LA SECCION TRANSVERSAL

8.10.1. Diseño a corte

Para el diseño a corte asumiremos que el acero de refuerzo necesario se lo obtendrá de

la suma algebraica de refuerzos necesarios obtenidos para corte y torsión respectivamente.

El cálculo de corte y torsión combinados sigue el siguiente procedimiento analítico:

Se realiza el cálculo de dv, adoptando el mínimo valor de los siguientes:

dt,c = de −a

2

0.9 ∙ de

0.72 ∙ h

Del modelo computacional se determina los valores de Mu, Vu, Tu, Vp que son

utilizados para el diseño de la sección transversal.

Según [LRFD Art. 5.8.3.6.2] se especifica la corrección de la fuerza de corte

adicionando el efecto de la torsión según:

Vu = √Vu2 + (

0.9 ∙ ph ∙ Tu

2 ∙ Ao)

2

Donde ph es el perímetro de la sección y Ao es el área encerrada por el

perímetro.

Para determinar el cortante para cada alma solo se divide Vu entre dos, para dividir el

corte con la misma magnitud para las dos almas.

A continuación se calculó el esfuerzo de corte del hormigón de acuerdo a:

νu =Vu − ϕ ∙ Vp

∅ ∙ bv ∙ dv+

Tu ∙ ph

∅ ∙ Ao2

CAPITULO 8 DISEÑO PUENTES CURVOS CAJON

255

Luego se determina 𝜀𝑥

εs =

Mudv

+ 0.5 ∙ Nu + 0.5 ∙ (Vu − Vp) ∙ cot θ − Aps ∙ fpo

2 ∙ (Es ∙ As + Ep ∙ Aps)

Si el resultado con la ecuación anterior es negativo, calcular 𝜀𝑥 como sigue.

εs =

Mudv

+ 0.5 ∙ Nu + 0.5 ∙ (Vu − Vp) ∙ cot θ − Aps ∙ fpo

2 ∙ (Es ∙ As + Ep ∙ Aps + Ep ∙ Aps)

Luego determinamos θ y β de acuerdo a [LRFD Tabla 5.8.3.4.2-1] o con las siguientes

ecuaciones:

β =4.8

(1 + 750 ∙ εs)

θ = 29 + 3500 ∙ εs

El parámetro hace referencia al ancho efectivo de refuerzo de acero determinado como

la suma de las dos almas, y quitándoles los recubrimientos totales.

A continuación determinamos la resistencia del concreto.

Vc = 0.083 ∙ β ∙ √f´c ∙ bv ∙ dv

Determinamos el refuerzo necesario de corte necesario para resistir el corte mayorado.

Vs =Av ∙ fy ∙ (cot θ + cot α) ∙ sin α

sv

Luego determinamos la resistencia nominal, adoptando la menor de las dos siguientes:

Vs + Vc

0.25 ∙ f´c ∙ bv ∙ dv

CAPITULO 8 DISEÑO PUENTES CURVOS CAJON

256

s (m)

Sec. dv1 dv2 dv3 dv bv ph Ao

3 I 1604.92 1620.00 1440.00 1620.00 640.00 13300.00 8730000

6 H 1490.03 1641.60 1457.28 1641.60 640.00 13348.00 8846400

9 G 1449.53 1704.60 1507.68 1704.60 640.00 13488.00 9185900

12 F 1467.13 1809.90 1591.92 1809.90 640.00 13722.00 9753350

15 E 1532.41 1957.50 1710.00 1957.50 640.00 14050.00 10548750

18 D 1639.31 2147.40 1861.92 2147.40 640.00 14472.00 11572100

21 C 1784.50 2379.60 2047.68 2379.60 640.00 14988.00 12823400

24 B 1965.74 2653.20 2266.56 2653.20 640.00 15596.00 14297800

27 A 2184.04 2970.00 2520.00 2970.00 640.00 16300.00 16005000 Tabla 8- 38: Propiedades geométricas dovelas para torsión

s (m)

Sec. Vu´ (KN) Vuw (KN)

Vp ϴ

(tanteo) ɛs ϴ β Vc (KN)

3 I 3565.64 1782.82 1199.76 28.91 -2.06E-05 28.93 4.73 2406.59

6 H 3523.75 1761.88 617.28 28.84 -3.71E-05 28.87 4.67 2409.21

9 G 3192.59 1596.29 236.45 28.74 -6.12E-05 28.79 4.59 2458.48

12 F 2890.46 1445.23 196.33 28.65 -9.53E-05 28.67 4.48 2548.11

15 E 3149.54 1574.77 227.07 28.51 -1.32E-04 28.54 4.37 2686.24

18 D 3384.75 1692.37 502.18 28.38 -1.70E-04 28.40 4.26 2872.94

21 C 3684.33 1842.16 725.07 28.28 -2.04E-04 28.29 4.16 3113.81

24 B 3797.78 1898.89 1145.86 28.12 -2.35E-04 28.18 4.08 3403.54

27 A 5179.35 2589.68 237.01 28.12 -2.45E-04 28.14 4.06 3785.57 Tabla 8- 39: Diseño a corte en dovelas

Sec. Vuw Vcw φ Av Sv Vs Vc+Vs 0.25fc… Vn φ Vn Av/sv

I 1782.82 1203.30 10 157.08 240 805.76 2009.06 9072.00 2009.06 OK 0.654

H 1761.88 1204.61 10 157.08 260 755.50 1960.11 9192.96 1960.11 OK 0.604

G 1596.29 1229.24 10 157.08 370 553.19 1782.43 9545.76 1782.43 OK 0.425

F 1445.23 1274.05 10 157.08 650 336.00 1610.06 10135.44 1610.06 OK 0.242

E 1574.77 1343.12 10 157.08 580 409.46 1752.58 10962.00 1752.58 OK 0.271

D 1692.37 1436.47 10 157.08 590 444.00 1880.47 12025.44 1880.47 OK 0.266

C 1842.16 1556.90 10 157.08 590 494.44 2051.35 13325.76 2051.35 OK 0.266

B 1898.89 1701.77 10 157.08 800 408.42 2110.19 14857.92 2110.19 OK 0.196

A 2589.68 1892.78 10 157.08 370 989.98 2882.76 16632.00 2882.76 OK 0.425 Tabla 8- 40: Calculo de refuerzo por cortante en dovelas

CAPITULO 8 DISEÑO PUENTES CURVOS CAJON

257

8.10.2. Diseño a torsión

La torsión según [LRFD Art. 5.8.2.1.] se debe verificar si solo se cumple la siguiente

desigualdad:

Tu ≥ 0.25 ∙ ∅ ∙ Tcr

Remplazando las formulas facilitadas por la norma AASHTO LRFD se tiene la

siguiente expresión:

Tu ≥ 0.25 ∙ ∅ ∙ 0.328 ∙ √f´c

Acp2

pc√1 +

fpc

0.358 ∙ √f´c

Donde todos los parámetros ya fueron mencionados en el anterior capitulo, además

debido a la curvatura del puente se debe asumir que el efecto de la torsión es muy grande y

es necesario hacer las verificaciones de torsiones para todos los elementos o dovelas.

Entonces se debe cumplir que:

∅Tn ≥ Tu

Tn =2 ∙ Ao ∙ At ∙ fy ∙ cot θ

st

Uniendo estas dos ecuaciones tenemos la siguiente expresión:

At

st≥

Tu

∅2 ∙ Ao ∙ fy ∙ cot θ

Con el cálculo de esta relación y sumándola con la de corte podemos obtener el refuerzo

requerido para una cierta separación.

At

st+

Av

sv

CAPITULO 8 DISEÑO PUENTES CURVOS CAJON

258

s Sec. Tu φ At St Tn (N-mm) TN (KN-m) At/St φ Tn

3 I 2886.37 10.00 157.08 640.00 3.257E+09 3256.63 0.245 OK

6 H 3319.03 10.00 157.08 570.00 3.714E+09 3714.19 0.276 OK

9 G 3836.75 10.00 157.08 510.00 4.326E+09 4325.50 0.308 OK

12 F 4252.58 10.00 157.08 490.00 4.804E+09 4803.82 0.321 OK

15 E 4685.02 10.00 157.08 490.00 5.224E+09 5223.64 0.321 OK

18 D 4820.89 10.00 157.08 520.00 5.430E+09 5429.55 0.302 OK

21 C 4628.00 10.00 157.08 610.00 5.154E+09 5154.27 0.258 OK

24 B 4145.79 10.00 157.08 760.00 4.634E+09 4633.53 0.207 OK

27 A 3530.99 10.00 157.08 1000.00 3.948E+09 3947.80 0.157 OK Tabla 8- 41: Calculo de refuerzo por torsión

Según [LRFD Art. 5.8.2.5] la armadura mínima transversal se especifica con la

siguiente ecuación:

Av

s≥ 0.083 ∙ √f´c ∙

bv

fy

De acuerdo a esta disposición se verifica que el acero adoptado para el refuerzo sea

mayor o igual a la armadura mínima transversal necesaria.

s Sec. Av/sv At/st Av/Sv+At/St Av/s

min A/s

Armado corte y torsión

3 I 0.654 0.245 0.900 0.748 0.900 Usar : ∅ 10 cada 17 cm

6 H 0.604 0.276 0.880 0.748 0.880 Usar : ∅ 10 cada 18 cm

9 G 0.425 0.308 0.733 0.748 0.748 Usar : ∅ 10 cada 21 cm

12 F 0.242 0.321 0.562 0.748 0.748 Usar : ∅ 10 cada 21 cm

15 E 0.271 0.321 0.591 0.748 0.748 Usar : ∅ 10 cada 21 cm

18 D 0.266 0.302 0.568 0.748 0.748 Usar : ∅ 10 cada 21 cm

21 C 0.266 0.258 0.524 0.748 0.748 Usar : ∅ 10 cada 21 cm

24 B 0.196 0.207 0.403 0.748 0.748 Usar : ∅ 10 cada 21 cm

27 A 0.425 0.157 0.582 0.748 0.748 Usar : ∅ 10 cada 21 cm

Tabla 8- 42: Refuerzo de acero provisto por corte y torsión

8.10.3. Análisis estructurales de sección transversales

Para el diseño en sección transversal se debe verificar los estados de corte, momento en

torsión en la etapa constructiva y en la etapa permanente de manera que se puede diseñar

óptimamente y no existan complicaciones ni en la primera ni la segunda etapa. Para ello se

CAPITULO 8 DISEÑO PUENTES CURVOS CAJON

259

desarrolla un modelo de sección transversal mediante el programa SAP2000 en el cual se

aplicara las cargas de flexión debido a las cargas de barandas, rodadura y cargas vivas.

El diseño por torsión y corte se los diseñara en conjunto de manera similar al realizado

para los puentes con la viga I postensada con los resultados obtenidos en los modelos

estructurales para la sección cajón.

Dovela Losa superior Losa inferior

Alma derecha

interior Alma izquierda

exterior M+

(KN-m) M-

(KN-m) M+

(KN-m) M-

(KN-m) M+

(KN-m) M-

(KN-m) M+

(KN-m) M-

(KN-m)

0 71.29 -209.07 56.33 -126.95 72.73 -104.25 98.46 -25.11

1 70.58 -122.33 56.38 -114.55 79.76 -102.89 96.18 -43.39

2 71.29 -136.49 9.4 -13.88 56.65 -37.55 61.76 -24.58

3 70.44 -172.49 18.28 -13.96 75.06 -27.68 44.36 -49.7

4 70.97 -132.12 12.25 -21.37 94.43 -53.44 71.43 -81.61

5 70.74 -143.91 14.47 -27.56 70.43 -79.31 115.58 -59.19

6 94.98 -122.44 23.81 -16.13 75.47 -49.58 72.52 -63.09

7 71.89 -180.86 18.8 -24.46 40.85 -60.12 62.79 -84.07

8 71.93 -212.06 27.44 -43.32 58.06 -132.26 84.39 -85.3

9 96.71 -207.53 63.39 -39.61 114.12 -137.97 119.73 -207.62 Tabla 8- 43: Momentos flextores en dovelas

Figura 8. 21: Momentos por carga viva en dovelas

CAPITULO 8 DISEÑO PUENTES CURVOS CAJON

260

Figura 8. 22: Momentos por carga viva en dovelas

8.10.4. Diseño a flexión en secciones transversales

El análisis por flexión se realizó por medio de los modelos computacionales, de los cuales

se obtuvo los siguientes resultados:

Dov. M (+) M (-) As + As - Acero requerido (+) Acero requerido (-)

(KN-m) (KN-m) (cm2) (cm2) Φ As (cm2) S (cm) Φ As (cm2) S (cm)

0 71.29 -209.07 4.75 14.16 10 0.79 17 16 2.01 15

1 70.58 -122.33 4.70 8.20 10 0.79 17 12 1.13 14

2 71.29 -136.49 4.75 9.17 10 0.79 17 12 1.13 13

3 70.44 -172.49 4.70 11.63 10 0.79 17 16 2.01 18

4 70.97 -132.12 4.73 8.87 10 0.79 17 12 1.13 13

5 70.74 -143.91 4.72 9.67 10 0.79 17 12 1.13 12

6 94.98 -122.44 6.35 8.21 10 0.79 13 12 1.13 14

7 71.89 -180.86 4.79 12.21 10 0.79 17 16 2.01 17

8 71.93 -212.06 4.80 14.37 10 0.79 17 16 2.01 14

9 96.71 -207.53 6.47 14.05 12 1.13 18 16 2.01 15 Tabla 8- 44 Refuerzo requerido en losa superior

Dov. M (+) M (-) As + As - Acero requerido (+) Acero requerido (-)

(KN-m/m) (KN-m) (cm2) (cm2) Φ As (cm2) S (cm) Φ As (cm2) S (cm)

0 56.33 -126.95 3.65 8.28 10 0.79 22 12 1.13 14

1 56.38 -114.55 3.65 7.46 10 0.79 22 12 1.13 16

2 9.4 -13.88 0.69 1.02 10 0.79 114 10 0.79 77

3 18.28 -13.96 1.55 1.18 10 0.79 51 10 0.79 67

4 12.25 -21.37 1.18 2.06 10 0.79 67 10 0.79 39

5 14.47 -27.56 1.57 3.01 10 0.79 50 10 0.79 27

6 23.81 -16.13 2.89 1.95 10 0.79 28 10 0.79 41

7 18.8 -24.46 2.47 3.23 10 0.79 32 10 0.79 25

8 27.44 -43.32 3.87 6.17 10 0.79 21 10 0.79 13

9 63.39 -39.61 9.18 5.66 10 0.79 9 10 0.79 14 Tabla 8- 45 Refuerzo requerido en losa inferior

CAPITULO 8 DISEÑO PUENTES CURVOS CAJON

261

Dov. M (+) M (-) As + As - Acero requerido (+) Acero requerido (-)

(KN-m) (KN-m) (cm2) (cm2) Φ As (cm2) S (cm) Φ As (cm2) S (cm)

0 72.73 -104.25 5.47 7.87 10 0.79 15 12 1.13 15

1 79.76 -102.89 6.00 7.77 10 0.79 14 12 1.13 15

2 56.65 -37.55 4.25 2.81 10 0.79 19 10 0.79 28

3 75.06 -27.68 5.64 2.07 10 0.79 14 10 0.79 38

4 94.43 -53.44 7.12 4.01 10 0.79 12 10 0.79 20

5 70.43 -79.31 5.29 5.97 10 0.79 15 10 0.79 14

6 75.47 -49.58 5.68 3.71 10 0.79 14 10 0.79 22

7 40.85 -60.12 3.06 4.51 10 0.79 26 10 0.79 18

8 58.06 -132.26 4.36 10.03 12 1.13 26 12 1.13 12

9 114.12 -137.97 8.63 10.47 12 1.13 14 12 1.13 11 Figura 8. 23: Refuerzo requerido en alma interior

Dov. M (+) M (-) As + As - Acero requerido (+) Acero requerido (-)

(KN-m) (KN-m) (cm2) (cm2) Φ As (cm2) S (cm) Φ As (cm2) S (cm)

0 72.73 -104.25 5.47 7.87 12 1.13 16 10 0.79 42

1 79.76 -102.89 6.00 7.77 12 1.13 16 10 0.79 25

2 56.65 -37.55 4.25 2.81 10 0.79 17 10 0.79 43

3 75.06 -27.68 5.64 2.07 10 0.79 24 10 0.79 22

4 94.43 -53.44 7.12 4.01 10 0.79 15 10 0.79 13

5 70.43 -79.31 5.29 5.97 12 1.13 13 10 0.79 18

6 75.47 -49.58 5.68 3.71 10 0.79 15 10 0.79 17

7 40.85 -60.12 3.06 4.51 10 0.79 17 10 0.79 13

8 58.06 -132.26 4.36 10.03 10 0.79 13 10 0.79 13

9 114.12 -137.97 8.63 10.47 12 1.13 13 16 2.01 13 Tabla 8- 46 Refuerzo requerido en alma exterior

CAPITULO 8 DISEÑO PUENTES CURVOS CAJON

262

Dov. Refuerzo (Losa superior) Refuerzo (Losa inferior)

Positivo Negativo Positivo Negativo

0 Φ10c/13cm Φ16c/13cm Φ10c/13cm Φ12c/13cm

1 Φ10c/13cm Φ12c/13cm Φ10c/13cm Φ12c/13cm

2 Φ10c/13cm Φ12c/13cm Φ10c/13cm Φ10c/13cm

3 Φ10c/13cm Φ16c/13cm Φ10c/13cm Φ10c/13cm

4 Φ10c/12cm Φ12c/12cm Φ10c/12cm Φ10c/12cm

5 Φ10c/12cm Φ12c/12cm Φ10c/12cm Φ10c/12cm

6 Φ10c/12cm Φ12c/12cm Φ10c/12cm Φ10c/12cm

7 Φ10c/12cm Φ16c/12cm Φ10c/12cm Φ10c/12cm

8 Φ10c/12cm Φ16c/12cm Φ10c/12cm Φ10c/12cm

9 Φ12c/12cm Φ16c/12cm Φ12c/12cm Φ10c/12cm

Tabla 8- 47: Refuerzo de acero provisto en losa superior e inferior

Dov.

Refuerzo (Alma interior) Refuerzo (Alma exterior)

Positivo Negativo Positivo Negativo

0 Φ10c/13cm Φ12c/13cm Φ12c/13cm Φ10c/13cm

1 Φ10c/13cm Φ12c/13cm Φ12c/13cm Φ10c/13cm

2 Φ10c/13cm Φ10c/13cm Φ10c/13cm Φ10c/13cm

3 Φ10c/13cm Φ10c/13cm Φ10c/13cm Φ10c/13cm

4 Φ10c/12cm Φ10c/12cm Φ10c/12cm Φ10c/12cm

5 Φ10c/12cm Φ10c/12cm Φ12c/12cm Φ10c/12cm

6 Φ10c/12cm Φ10c/12cm Φ10c/12cm Φ10c/12cm

7 Φ10c/12cm Φ10c/12cm Φ10c/12cm Φ10c/12cm

8 Φ12c/12cm Φ12c/12cm Φ10c/12cm Φ10c/12cm

9 Φ12c/12cm Φ16c/12cm Φ12c/12cm Φ16c/12cm

Tabla 8- 48: Refuerzo de acero provisto en alma interior y exterior

CAPITULO 8 DISEÑO PUENTES CURVOS CAJON

263

8.11. DISEÑO DE DIAFRAGMAS

8.11.1. Análisis y diseño

El diseño de los diafragmas se lo realiza a través de los datos obtenidos de esfuerzos

tomados de la combinación de resistencia 1 del modelo computacional completo, para los

esfuerzos positivos que son los del concreto es necesario verificar para todos los esfuerzos

en todas las direcciones, tomando en cuenta realizamos la comprobación solo en la

dirección más crítica (S1-1).

Para el diseño a tracción los campos más críticos son los que se toman en cuenta diseñando

el elemento shell como si fuera una losa comprimida, además se debe diseñar los estribos,

verificar acero mínimo y armadura de piel.

Tensión S1-1

Compresión

S1-1 máx. = 3.99 MPa

Tracción

S1-1 min. = -2.74 MPa

Flexión

CAPITULO 8 DISEÑO PUENTES CURVOS CAJON

264

Compresion:

3.99 < 21 OK

Tracción

Fu = σ1−1 ∙ b ∙ d

As =Fu

0.9 ∙ fy

Datos:

b = 450 [mm]

h = 1800 [mm]

fy = 420 [MPa]

rec = 30 [mm]

Resultados:

Fu = 2466000 [N]

As = 6523.81 [mm2]

As. real = 6836.11 [mm2]

As. min= 1595.7 [mm2]

Usar: 17∅16 c/lado

8.11.2. Armadura de piel

La armadura de piel se verifica con el acero adoptado para los diafragmas, la expresión

debe cumplir con ser menor a 0.05 con lo que se comprueba que se cumple con los

requisitos de armadura.

100 ∙ As

b ∙ (2d − h)≥ 0.05

0.783 > 0.05 OK

8.11.3. Armadura transversal

𝜏1-2 = 1.85 MPa.

CAPITULO 8 DISEÑO PUENTES CURVOS CAJON

265

Vu = τ1−2 ∙ b ∙ h

Vu = 1665000 N

Vc = 0.083 ∙ β ∙ √f´c ∙ b ∙ d

Vc = 286606.08 N

Vs =Vu − ∅ ∙ Vc

∅

Vs = 1563393.9 N

∴ Usar ∅12 c/12 cm

266

1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111

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Capítulo9

PROCESOS CONSTRUCTIVOS DE PUENTES

CURVOS

9.1. VOLADOZ SUCESIVOS HORMIGONADOS IN SITU

9.1.1. Procedimiento constructivo

El sistema constructivo por voladizos sucesivos con dovelas hormigonadas “In Situ”

consiste en la construcción equilibrada, a un lado y otro de cada pila, de tramos de tablero.

El tablero se subdivide en dovelas cuya longitud oscila entre 3 m y 5 m que se van

construyendo una a continuación de otra. De esta manera los voladizos van aumentando y

se ayudan de cimbras metálicas que encuentran su apoyo en la parte del tablero ya

construido.

Para construir las dovelas se utilizan carros que se apoyan en la parte que ya está

construida. Hormigonando las dovelas sucesivamente sobre los carros, se va avanzando en

forma de “T” desde las pilas hacia el centro de cada vano, conectando allí con el voladizo

CAPITULO 9 PROCESOS CONSTRUCTIVOS DE PUENTES CURVOS

267

anterior mediante una dovela clave. Una vez terminados los voladizos de una pila, se pasa a

la pila siguiente y se repite todo el proceso descrito.

Figura 9. 1: Avance en forma de T

Al inicio de cada voladizo hay que construir la primera dovela sobre la parte superior de

la pila. Esta dovela, conocida como dovela 0 o dovela de pila, se construye con un

enconfrado convencional montado sobre la pila, y ha de tener la longitud suficiente para

que se puedan montar los carros de avance sobre ella. A partir de esta dovela, la

construcción se continúa con los carros de avance que cuelgan el encofrado para la

siguiente dovela de la parte ya construida. El hormigonado se hace de forma que no se

presente más del peso de una dovela como carga desequilibrada a cada lado de la pila.

Figura 9. 2: Encofrado de la dovela 0

CAPITULO 9 PROCESOS CONSTRUCTIVOS DE PUENTES CURVOS

268

9.1.2. Ejecución de la dovela cero

Etapa 1: Consiste en la construcción de la solera o losa inferior de la sección, ésta, se

descompone en las siguientes operaciones: colocación de la plataforma de sustentación de

los encofrados de la dovela 0 incluyendo el montaje del encofrado inferior de la losa,

montaje de los encofrados laterales de los alzados de la losa, ferrallado de la losa y

hormigonado. Para todas estas se suele disponer de una grúa torre correspondiente,

colocada a pie de pila.

Figura 9. 3: Ejecución de la dovela 0 etapa 1

Etapa 2: Esta etapa comprende la ejecución de los alzados laterales y las riostras

transversales (diafragmas). Dado que en la etapa 1, ya se tiene encofrada la parte exterior,

las acciones a realizar son: ferrallado de los tabiques y alzados laterales de la sección,

encofrados interiores, hormigonado y retirada de los encofrados interiores.

Figura 9. 4: Ejecución de la dovela 0 etapa 2

Etapa 3: La tercera etapa de la ejecución de la dovela 0 consiste en la realización de la losa

superior de la sección de hormigón. Las operaciones a realizar en esta fase son: apeo

interior de la losa superior, colocación del encofrado interior sobre dicho apeo, ferrallado

de la losa y hormigonado, desencofrado y retirada del sistema de sustentación del

encofrado.

CAPITULO 9 PROCESOS CONSTRUCTIVOS DE PUENTES CURVOS

269

Figura 9. 5: Ejecución de la dovela 0 etapa 3

9.1.3. Ejecución de dovelas

Avance y fijación del carro: El ciclo comienza cuando el hormigón alcanza la resistencia

de 28 MPa que se necesita para poder efectuar las operaciones de tesado. En ese instante se

procede a hacer la separación del encofrado y al tesado de los cables de pretensado. Luego

con el sistema hidráulico de avance se mueve el carro y los encofrados interior y exterior.

Tras el avance del carro, se anclan el encofrado inferior de la losa inferior y las alas de los

encofrados laterales a la sección recientemente ejecutada y, a continuación, se procede al

posicionamiento del carro, perfectamente horizontal y nivelado en su posición definitiva.

Ferrallado de la losa inferior y de los hastiales de la sección: La ferralla de la sección se

inicia montando la de la losa inferior sobre dicho encofrado disponiendo los separadores

oportunos. La ferralla se monta manualmente.

Encofrado del resto de la sección: Los encofrados interiores se encuentran abiertos y

limpios, con su correspondiente capa de desencofrante, durante las operaciones de avance

del carro y ferrallado de losa y hastiales. Cuando finaliza esta última operación, el

encofrado interior se despliega y se sitúa en posición, sujetándolo primeramente a la zona

delantera de la dovela anterior, tras lo cual se procede a referirlo al encofrado exterior de

hastiales.

Ferrallado y colocación de vainas de la losa superior: Primero se procede a colocar la

armadura inferior de la losa, con sus correspondientes separadores. Las vainas de los cables

de tesado del procedimiento constructivo se montan a continuación utilizando como

referencia la ferralla colocada y sujetándolas a ella, para evitar su flotación con la operación

CAPITULO 9 PROCESOS CONSTRUCTIVOS DE PUENTES CURVOS

270

de hormigonado. El proceso de voladizos sucesivos precisa de dos grupos simétricos

respecto al eje del tablero de cables horizontales. Conforme avanza el proceso, se van

anclando cables por cada pareja de dovelas. Tras la colocación de las vainas de tesado del

proceso constructivo, se coloca la capa superior del armado de la losa.

Nivelación definitiva del carro: Cuando el tajo de la dovela está preparado para efectuar

el hormigonado de la misma, se debe de hacer una comprobación topográfica de la cota del

mismo, para proceder, a continuación, a levantar el carro hasta aproximarlo a las cotas

fijadas por el proyectista.

Hormigonado de la dovela: Durante este proceso, el carro de avance permanece apoyado

sobre gatos verticales situados bajo el pilar delantero y anclado al tablero en su parte

posterior mediante barras y yugos. La sustentación de los diferentes encofrados se

distribuye de forma que el frente delantero queda suspendido de la viga transversal

delantera, mientras el trasero se ancla directamente al tablero anterior. A medida que las

dovelas reducen el canto, la parte saliente del encofrado exterior aumenta respecto de la

solera, lo cual obliga a desmontar los paneles sobrantes. Sin embargo, el encofrado interior

debe ser cortado para adaptarlo a la disminución de cota en el interior de las dovelas.

Figura 9. 6: Hormigonado de la dovela de cierre

El hormigonado comienza en primer lugar con la ejecución de la losa inferior de la sección

transversal. En segundo lugar se hormigonan los hastiales de la sección lentamente y por

tongadas de 0.50m para evitar el sifonamiento del hormigón de la losa inferior. Finalmente

se hormigona la losa superior, llevándola a todo lo ancho de la dovela, comenzando por el

CAPITULO 9 PROCESOS CONSTRUCTIVOS DE PUENTES CURVOS

271

extremo frontal libre de la dovela y avanzando hacia la zona contigua a la dovela anterior,

fratasando las superficies.

Desencofrado de las dovelas: Al día siguiente de hormigonar se procede al desencofrado

lateral.

Curado del hormigón: Las superficies expuestas del hormigón de la dovela (solera y losa

superior) deben curarse para evitar su fisuración por un proceso no controlado de

retracción. Este cuidado es tanto más necesario si tenemos en cuenta el tipo de hormigón

que constituye el tablero del puente: al tratarse de un hormigón de alta resistencia con un

alto contenido en cemento de altas resistencias iniciales, se producen fuertes calores de

hidratación a corto plazo. El curado del hormigón de la dovela debe de comenzar en el

momento en que se inicia el fraguado, lo cual se manifiesta por una pérdida del brillo

superficial.

Enfilado y tesado de los cables del proceso constructivo: Por lo general algunas

empresas dan un procedimiento de tesado del Proceso Constructivo, en el que se incluye un

programa de tesado completo, indicando: el orden de tesado, las fuerzas de tesado y las

presiones equivalentes según los equipos utilizados, así como los alargamientos teóricos

previstos y los valores de alarma.

Figura 9. 7: Cables de pretensado en dovelas

Inyección de las vainas: La lechada para la inyección de las vainas se fabrica sobre el

tablero, situando sobre el mismo la amasadora de lechada y la bomba de inyección. La

CAPITULO 9 PROCESOS CONSTRUCTIVOS DE PUENTES CURVOS

272

inyección se introduce dentro de la vaina a través de los tubos de PVC de purga que se han

conectado a las vainas, sujetándolos a ellas con cinta aislante.

Algo importante a tener en cuenta en la construcción es el principio de voladizo cuando

el avance se realiza desde una sola pila hacia los lados. Para estos casos se recomienda

realizar un encofrado previo saliendo del pilar, permitiendo hacer un pequeño voladizo

lateral en donde pueda instalarse el carro de avance y así construir la primera dovela. Una

vez se tenga el primer voladizo, el carro de traslada y así se deja el espacio para el carro y

así seguir con la segunda dovela.

9.1.4. Proceso de desmontaje del carro de avance

Cuando se llega al centro del vano y después de ejecutar la última pareja de dovelas, se

continúa con el desmontaje de los carros de avance siguiendo el proceso inverso al montaje.

Los carros situados en estribos, se desmontan con la ayuda de grúas móviles, mientras que

los ubicados en el centro del tablero se desplazan hacia atrás, es decir a la pila respectiva,

para luego proceder a su desmontaje.

9.1.5. Dovela de cierre

Para la total finalización del tablero del puente, se ejecuta la dovela de cierre, en el vano

central del viaducto. Para ello, se inmovilizan los dos semivanos con vigas metálicas y se

utilizan la plataforma inferior de uno de los carros como superficie de trabajo. Los

encofrados exteriores se desmontan al igual que el interior del carro, para sustituirlos por

encofrados hechos “In Situ” pero más ligeros.

Figura 9. 8: Ejecución de la dovela de cierre

CAPITULO 9 PROCESOS CONSTRUCTIVOS DE PUENTES CURVOS

273

9.1.6. Tesado de cierre

Como operación final de tablero se realiza el tesado de continuidad, produciéndose la

unión de los dos voladizos contiguos y convirtiendo a ambos en una viga continua, para

absorber las cargas de uso. Se introducen los equipos de enhebrado y de tesado dentro de la

zona hueca del tablero y se procede a enfilar dichos cables para luego tesar los cables de

continuidad. Para introducir los cables se utilizan los agujeros dejados en la losa superior a

tal efecto. Las vainas de los cables de continuidad se inyectan también desde la losa

superior del tablero. Por último y con respecto a la finalización del tablero se puede indicar

que se deben tapar los agujeros que se dejan para el anclaje del carro de avance, así como la

instalación de juntas de dilatación si están proyectadas sobre el tablero.

9.2. LANZAMIENTO DE VIGAS PREFABRICADAS

9.2.1. Procedimiento constructivo

Este procedimiento consiste en prefabricar la viga en un extremo de la obra para que

después con ayuda de una grúa se proceda posicionar la misma en los apoyos del puente

logrando asi construir tramos de vigas. Después de tener posicionada las vigas de forma

como lo exigen los planos constructivos se procede al enferrado de la armadura de losa

tablero del mismo posterior mente se hormigona y se concluye con la construcción de los

diafragmas y las estructura superior.

9.2.2. Emplazamiento lugar de fabricación

Se inicia este proceso primeramente compactando adecuadamente la zona de trabajo y

se procede a la ejecución de las respectivas mesas de apoyo de las vigas o radier las cuales

será la plataforma de trabajo para cada viga. Antes de la confección del radier se dejan

pasadas listones con el objetivo de generar aberturas que posteriormente serán para trabar la

mesa de apoyo al suelo para que no se mueva en conjunto con la viga cuando está sea

movida o deslizada a la zona de lanzamiento, así la mesa no sufrirá alteraciones en su

emplazamiento y geometría quedando disponible para ser nuevamente utilizada (ver figura

9.9).

CAPITULO 9 PROCESOS CONSTRUCTIVOS DE PUENTES CURVOS

274

Figura 9. 9: Mesa de apoyo

Sobre la superficie del radier se aplica un aceite para asegurar que la viga pueda deslizar

previo a su alzado y al momento de generarse la contra flecha de la viga (debido a la carga

de preesfuerzo) pueda despegarse de la mesa a fin de no tener inconvenientes entre unión

mesa de apoyo y la viga.

9.2.3. Colocación de armadura pasiva

Las vigas llevan dos tipos de armaduras, armaduras activas y pasivas. Las armaduras

pasivas son las mismas que utilizamos en los elementos comunes de hormigón armado con

una calidad en su acero especificada en los planos, de diferentes diámetros según las

especificaciones del cálculo. La confección se lleva a cabo por maestros enferradores que

trabajan en mesas de doblado y corte de armaduras pasivas, terminada la geometría de

varias armaduras se transportan a las mesas de apoyo donde se armaran el esqueleto y

geometría completa de las armaduras pasivas (ver figura 9.10).

Figura 9. 10: Enferrado de armadura pasiva

CAPITULO 9 PROCESOS CONSTRUCTIVOS DE PUENTES CURVOS

275

Estas armaduras, si bien no trabajan a tracción como usualmente se emplean las barras

de acero en el diseño de vigas y otros elementos estructurales, cumple una función de

montaje de viga para entregar soporte y estabilidad a la viga. Además la armadura pasiva es

utilizada para aportar al hormigón de resistencia de corte frente a los esfuerzos generados

en la pieza. El acero del ala superior que excede la altura de la viga son necesarios para

asegurar la adherencia en la superficie de contacto viga - losa, una vez que las vigas sean

montadas sobre las cepas del puente. La disposición de esta armadura es debidamente

inspeccionada por la asesoría del proyecto, quienes darán el visto bueno, si se cumple con

lo establecido en el diseño o planos de proyecto.

9.2.4. Preparación de las vainas en el interior de las vigas

Los cables que se tensarán posteriores al hormigonado de la viga, se disponen en el

interior de unos ductos llamados “vainas”, los cuales, en este caso están hechos de aluminio

como se puede apreciar en la figura 9.11. Las vainas se introducen en forma manual al

interior de la viga, pero teniendo en consideración una forma parabólica en toda la longitud

en base a un diseño previo. Para asegurar que estos ductos cumplan con esta forma

geométrica, se disponen de apoyos con barras de acero, en ciertos puntos a medida que

avanza en el interior de la viga. Así, los cuatro ductos o vainas se situarán en la zona

inferior de la viga justo al centro del vano (ver figuras 9.11).

Figura 9. 11: Replanteo de vainas

CAPITULO 9 PROCESOS CONSTRUCTIVOS DE PUENTES CURVOS

276

Además, se debe disponer de unos resortes de acero en ambos extremos de los cuatro

ductos con objeto de ayudar en la transferencia de fuerza una vez aplicada la tensión final

en los cables. Dichos cables adoptan una función de amortiguador de carga distribuyendo

eficientemente la carga de tensión

9.2.5. Encofrados y su colocación

Los moldajes son de madera fabricados en obra, y se colocan una vez que la armadura

pasiva está completamente instalada y aceptada por la asesoría del proyecto, estos deben ser

estancos, indeformables y resistentes. Entre la armadura y el moldaje para asegurar el

recubrimiento especificado en los planos del proyecto se instalan separadores de hormigón

hechos en base a un producto “Sika”. El método empleado en la colocación de moldajes

consiste en disponer los moldajes laterales (o “costillas”) en cada lado del alma (ver figura

9.12a) y luego los moldajes en los extremos de las vigas (ver figura 9.12b), previamente se

cubre las caras internas de los moldajes con un producto desmoldante “sikaform” , cabe

señalar que la parte inferior la mesa de apoyo queda en contacto con el hormigonado de la

viga y para evitar su adherencia se le hecha aceite con petróleo y en la parte superior se deja

sin moldaje y la superficie lo más rugosa posible.

(a) (b)

Figura 9. 12: Encofrados de viga

Entre las caras de las costillas se deja pasado un tubo PVC para luego pasar una

“aguja” o barra de acero entre ellos, con un tope en un acara y desde la otra se aplica un

apriete comprimir y fijar dichos moldajes con el objetivo de resistir las fuerzas que le

provocara el hormigón.

CAPITULO 9 PROCESOS CONSTRUCTIVOS DE PUENTES CURVOS

277

9.2.6. Hormigonado

El hormigón se distribuyó en todo el volumen de manera que no se produzca el

endurecimiento del hormigón colocado, antes de quedar cubierto por hormigón fresco, no

se aceptan pegas frías ya que atentan contra el monolitismo y la seguridad. La distribución

del hormigonado se realizó en forma ordenada y avanzando encapas de un espesor

compatible con los equipos de vibrado, de manera que no hayan puntos en que el hormigón

no haya recibido una adecuada compactación.

Compactación: El hormigón en el punto de colocación posee un alto contenido de aire, el

cual debe ser disminuido al mínimo posible, para lograr este objetivo se utilizó un vibrador

de inmersión. El vibrador de inmersión se sumerge comprometiendo una zona y reduciendo

el aire contenido.

El espesor de la capa que se está compactando debe ser adecuado al tipo de vibrador y la

vibración debe efectuarse en forma y sistemática introduciendo el vibrador de inmersión a

distancias similares a su radio de acción, el tiempo de vibración debe ser el estrictamente

necesario para lograr el afloramiento de pasta de cemento.

Curado: Para el curado se plante el sistema de riegos con agua cada 1hora por 3 días, este

proceso no se puede dejar de hacer ya que un mal curado nos puede provocar fisuras no

deseadas en las vigas.

Retiro de los moldajes.

El retiro de los moldajes debe realizar sin producir golpes, choques o sacudidas para no

destruir los bordes, las esquinas o la superficie del hormigón, para que quede en buenas

condiciones para su reutilización. Cada moldaje retirado pasa por una revisión de sus caras

y si no presenta defectos se vuelve a utilizar, sino se reparan y queda nuevamente utilizable

solo hasta que su uso sea menor a 3 veces.

CAPITULO 9 PROCESOS CONSTRUCTIVOS DE PUENTES CURVOS

278

9.2.7. Colocación de los torones y del anclaje activo

Como se señaló anteriormente, cada torón o cable está conformado por 7cables de acero

enrollados helicoidalmente a la izquierda. Se hacen pasar los torones de acero de un

extremo de la viga al otro por el interior de las vainas ya instaladas. Para la colocación del

anclaje activo (ver figura 9.13a). Cada ducto o vaina tendrá12 torones que deberán pasar

por los agujeros de la placa de acuñamiento (ver figura 9.13 b), para lograr esto se fija un

cono de acero galvanizado al extremo de las vainas, luego una placa de acero con un

agujero en el centro por donde pasan los torones, posterior la placa de acuñamiento que

separa cada torón y finalmente las cuñas que impiden que el torón se recoja al aplicar la

carga de tensado.

La placa de acuñamiento mostrada en las figuras queda entonces sellada

herméticamente salvo un orificio. Este último constituye una entrada al interior de la vaina,

mediante el cual, se aplicará una lechada viscosa que rellenará su interior. Una vez

realizado la colocación del anclaje activo los cables quedan listos para la aplicación de la

carga de postensado.

(a) (b)

Figura 9. 13: Colocación de los cables de preesfuerzo en la viga

CAPITULO 9 PROCESOS CONSTRUCTIVOS DE PUENTES CURVOS

279

9.2.8. Tesado de los cables

El proceso de tensado se divide en dos etapas, la primera corresponde a la aplicación de

una precarga y la carga final que debe ser aplicada al segundo día, dejando un día para que

la viga tome la precarga. La tensión total aplicada a cada torón o se lo estable en los planos

estructural, la primera pre-carga que se aplica servirá para sustentar el peso propio de la

viga y también para corregir cualquier imperfección en la posición de los cables al interior

de las vainas, en caso de encontrarse enredados o en una forma inadecuada. Al siguiente día

se aplicó la carga restante del el otro extremo de la viga quedando lista para su puesta en

servicio El tensado de los cables se hace mediante un sistema con gato hidráulico (ver

figura 9.13). Se utiliza un manómetro para medir las presiones inducidas en los cables. El

personal requerido son 3 personas para manipular el dispositivo de agarre del tendón,

denominado prensa (ver figura 9.13b) este tiene la función de estirar los cables y aplicar la

carga. Se necesita de una persona calificada para manipular la bomba portátil este debe ver

el manómetro e indicar cuando se alcanzan las fuerzas requeridas de diseño y finalmente un

supervisor que lleve un registro de la elongación real de los cables

(a) (b)

Figura 9. 14: Equipos de tesado

En primer lugar la prensa se debe instalar en un torón, el personal se aleja para que el

operador active la bomba hasta el valor de la precarga, se registra con huincha la

elongación del cable como forma de verificación, se repite esto para todos los cables. El

orden de tensado según la enumeración de los planos.

CAPITULO 9 PROCESOS CONSTRUCTIVOS DE PUENTES CURVOS

280

9.2.9. Inyección de lechada en la vaina

En primer lugar se debe introducir agua por un extremo de la viga con objeto de limpiar

el interior de la vaina. Esto se hace a través del orificio restante en la placa de acuñamiento

al que se le suelda un tubo de acero previamente. Luego se introduce la lechada o mortero

de alta fluidez de forma de rellenar todos los espacios interiores vacíos. Esto se hace hasta

el momento en que salga toda el agua retenida en el interior, luego se sellan los tubos de

acero en cada extremo de la viga.

9.2.10. Lanzamiento de vigas

El lanzamiento mediante grúas, será la operación de levantado esta debe ser cuidadosa y

en punto bien definido de la viga, de manera que en la misma no se introduzca esfuerzo

para los que no ha sido calculada, en la práctica se recurre a compensar los momentos y se

coloca una armadura adicional con los ganchos respectivos, por donde se hace pasar los

cables para dicha operación. En caso de usar obra falsa, una vez definidos el eje final, cotas

de fundación, coronamiento y rasante, así como cuantificado el terreno de fundación y

niveles de agua y otros aspectos necesarios.

281

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Capítulo10

COMPARACIONES TÉCNICAS Y ECONÓMICAS

10.1. INTRODUCCIÓN

Los parámetros de comparación que se tomaron en cuenta en este acápite fueron

principalmente los de la índole estructural, económica y la del tiempo de construcción de

cada uno de los puentes curvo. En el aspecto estructural se compara las deformaciones de

cada uno de los puentes en radio de 50m y 100m con las diferentes secciones transversales

para luego verificarlas si estas cumple con las flechas admisibles dadas por la normativa

AASTHO LRFD, los momentos, cortantes y torsiones son también son comparados en este

punto además de ver la capacidad resistente de cada estructura. La comparación económica

se la realiza calculando los volúmenes primeramente de los ítems correspondientes a la

etapa de la construcción de la superestructura de cada puente tanto en radio de 50m como el

de 100m en sus diferentes secciones transversales, después de un análisis costo directos se

determina cuál de las estructuras tiene costo mayor y menor.

CAPITULO 10 COMPARACIONES TECNICAS Y ECONOMICAS

282

10.2. COMPARACIÓN TÉCNICA ESTRUCTURAL

10.2.1. Deformaciones

La tabla 10.1 muestra un resumen de las deformaciones máximas de los puentes de

hormigón postensado tanto en radio de 50m como en 100 m cada uno de estos con

secciones transversales de vigas BPR y cajón.

Se puede observar que las deformaciones son mayor en los puentes con vigas BPR en

comparación con los de sección, además la combinación de servicio que nos da mayor

valor de deformación es la de servicio 2 estos porque en esta se incrementa un 30% a la

carga viva con la finalidad de ver el resbalamiento provocado por la sobrecarga vehicular

en las conexiones de resbalamiento crítico.

R=50 M R= 100 M

PUENTE CURVO DE

SECCION CAJON

PUENTE CURVO

CON VIGAS BPR

PUENTE CURVO DE

SECCION CAJON

PUENTE CURVO

CON VIGAS BPR

Ux

[mm]

Uy

[mm]

Uz

[mm]

Ux

[mm]

Uy

[mm]

Uz

[mm]

Ux

[mm]

Uy

[mm]

Uz

[mm]

Ux

[mm]

Uy

[mm]

Uz

[mm]

SERVICIO I SERVICIO I SERVICIO I SERVICIO I

10.31 7.15 -10.18 -4.20 9.32 -21.76 12.17 5.11 -7.68 -4.64 -6.27 -18.53

SERVICIO II SERVICIO II SERVICIO II SERVICIO II

9.65 6.61 -11.41 -4.84 10.60 -25.09 10.95 4.48 -8.15 -5.39 -6.65 -21.14

SERVICIO III SERVICIO III SERVICIO III SERVICIO III

10.19 7.07 -9.27 -3.77 8.48 -19.54 12.03 5.02 -7.39 -4.14 -6.01 -16.79

SERVICIO IV SERVICIO IV SERVICIO IV SERVICIO IV

8.85 6.09 -5.88 -2.27 5.10 -10.65 10.01 3.90 -6.05 -2.27 -5.00 -9.84

Tabla 10- 1: Deformaciones en puentes curvo de R=50m y R=100m

En la figura 10.1 se muestra un diagrama de barra comparativo donde se observan las

deformaciones máximas en los diferentes estados de servicio esto en puentes curvos de

radio de 50 y 100m, se ve claramente que las deformación de las estructuras con vigas

BPR se deforman dos veces más a comparación de los puentes de sección cajón esto en las

diferentes combinaciones, además el puente curvo de radio de 50m compuesta por 4 vigas

BPR separadas cada una respecto a su eje de 2.50m, es la que sufre las mayores

deformaciones en todas las combinas de servicio.

CAPITULO 10 COMPARACIONES TECNICAS Y ECONOMICAS

283

Figura 10. 1: Diagrama de barras de deformaciones en puentes curvos

Las mayores deformaciones en los puentes curvos de vigas BPR se producen en las

losas en voladizo de la curva exterior e interior esto puede verse con más detalle en la

gráfica de deformaciones mostrada por el programa CSiBridge de las figura 10.3 y 10.5.

Se puede decir que los puentes curvos de sección cajón muestra una deformación donde

tienden a distorsionar esta sección se puede ver esto en las figura 10.2 y 10.4 estos valores

de deformación son mucho menores a los puente curvos con vigas BPR por el motivo de

que esta es una estructura continua hiperestática a comparación de la otra que es un

estructura isostática.

Los anchos de calzada son otros de los factores de diferencia en los puentes de radio de

50m y 100m ya que el ancho de calzada dependerá no solo de las dimensiones de los

carriles sino también de los sobreanchos de curva los cuales son explicados en la sección

4.1.3 y son calculados en 7.2.1. En el radio de 50m se tiene una ancho total de 9.40m sin

embargo en radio de 100m el ancho de calzada es de 8.10m, entonces se puede concluir

diciendo que el ancho del puente de radio de 50m es 1.30m más que el del otro puente. Al

tener mayor ancho calzada se tendrá mayor longitud de voladizo en losa exteriores e

interior de la curva siendo esta una causa para producirse mayores deformaciones

10.18 21.76

9.69 18.53

11.41

25.09

10.76

21.14 9.27

19.54

8.63

16.79

5.88

10.65

6.66

9.84

SECCION CAJON RADIO50m

VIGAS BPR RADIO 50m SECCION CAJON RADIO100m

VIGAS BPR RADIO 100m

DEFORMACIONES EN EL EJE Z [mm]

SERVICIO I SERVICIO II SERVICIO III SERVICIO IV

CAPITULO 10 COMPARACIONES TECNICAS Y ECONOMICAS

284

Figura 10. 2: Deformaciones en z puentes curvos con sección cajón radio 50m

Figura 10. 3: Deformaciones en z puente curvo con vigas BPR radio 50m

Figura 10. 4: Deformaciones en z puentes curvos con sección cajón radio 100m

Figura 10. 5: Deformaciones en z puente curvo con vigas BPR radio 100m

CAPITULO 10 COMPARACIONES TECNICAS Y ECONOMICAS

285

10.2.2. Reacciones

Las reacciones de apoyo de los puentes curvos en radios de 50m y 100m son mostrados

en las tablas10.6, 10.7, 10.8 y 10.6 para el caso de la combinación por resistencia 1 ya que

esta es la que muestra los valores máximos en fuerzas.

Figura 10. 6: Modelo puente curvo R=50m con vigas BPR

RESISTENCIA 1

Rz [Ton]

Rx [Ton]

Ry [Ton]

Mx [Ton-m]

My [Ton-m]

T [Ton-m]

ESTRIBO

INICIAL

1 91.07 -22.46 -69.49 42.36 -13.69

2 69.98 -13.93 22.85 -13.93 -10.66

3 69.15 11.87 28.03 -17.09 7.24

4 89.10 -19.62 51.40 -31.33 -11.96

PILA 1 5 494.97 -39.78 -15.51 -83.93 137.59 -29.21

PILA 2 6 497.69 -42.34 13.73 -89.74 111.87 32.95

ESTRIBO FINAL

7 82.33 13.52 4.38 -2.67 8.24

8 70.52 -10.34 -3.35 2.04 -6.30

9 70.09 -12.57 -4.07 2.48 -7.66

10 86.76 -15.44 -5.00 3.05 -9.41

Tabla 10- 2: Reacciones de apoyo puente curvo R=50m con vigas BPR

Los puentes conformados con viga BPR tienes dos pilas intermedias por ende los

valores de la reacciones son menor, sin embargo, los puentes de sección cajón están

compuesto por solo una pila en el medio de tramo ocasionando que la reacción de apoyo

sean mucho mayores en estos. En consecuencia las reacciones en los extremos se pueden

ver que los puentes curvos cajón llevan valores muchos mayores de fuerzas en los apoyos

son casi el doble en comparación de puente de sección cajón con los de vigas BPR.

CAPITULO 10 COMPARACIONES TECNICAS Y ECONOMICAS

286

Figura 10. 7: Modelo puente curvo R=50m con sección cajón

RESISTENCIA 1

Rz

[Ton]

Rx

[Ton]

Ry

[Ton]

Mx

[Ton-m]

My

[Ton-m]

T

[Ton-m]

ESTRIBO INICIAL

1 143.59 -46.27 240.16 -103.12 -19.87

2 305.30 -289.36 535.74 -432.03 -233.34

PILA 1 5 1134.23 -91.18 2.43 -22.79 -365.17 2.10

ESTRIBO FINAL

7 142.67 -49.64 -234.89 100.85 -21.31

8 314.03 -299.08 -535.06 431.50 -6.30

Tabla 10- 3: Reacciones de apoyo puente curvo R=50 con sección cajón

Figura 10. 8: Figura 10. 7: Modelo puente curvo R=100m con sección cajón

RESISTENCIA 1

Rz

[Ton]

Rx

[Ton] Ry [Ton]

Mx

[Ton]

My

[Ton]

T

[Ton]

ESTRIBO INICIAL

1 191.78 119.93 206.21 -125.71 73.11

2 216.21 -242.73 476.20 -290.29 -147.97

PILA 1 5 1529.16 -116.91 -30.81 108.89 -431.00 1.54

ESTRIBO FINAL

7 193.22 116.39 -209.46 127.69 70.95

8 219.08 -247.79 -470.37 286.74 -151.05

Tabla 10- 4: Reacciones de apoyo puente curvo R=100 con sección cajón

CAPITULO 10 COMPARACIONES TECNICAS Y ECONOMICAS

287

Figura 10. 9: Modelo puente curvo R=100m con vigas BPR

RESISTENCIA 1

Rz

[Ton]

Rx

[Ton]

Ry

[Ton]

Mx

[Ton-m]

My

[Ton-m]

T

[Ton-m]

ESTRIBO

INICIAL

1 107.21 17.38 -79.61 48.53 10.59

2 85.58 -15.73 33.72 -20.56 -9.59

3 87.41 -9.22 37.37 -22.78 -5.62

4 103.62 -14.82 70.14 -42.76 -9.03

PILA 1 5 626.35 -34.18 14.25 -84.28 132.99 18.00

PILA 2 6 625.90 -34.42 17.04 -114.95 93.91 24.54

ESTRIBO

FINAL

7 97.94 13.52 4.38 -2.67 8.24

8 84.90 -8.54 -1.79 1.09 -5.20

9 87.67 -10.01 -2.09 1.28 -6.10

10 100.65 -13.54 -2.83 1.73 -9.41

Tabla 10- 5: Reacciones de apoyo puente curvo R=100m con vigas BPR

El hecho de tener reacciones en los apoyos de valor grandes da entender que las

dimensiones de la infraestructura tendrán volúmenes de hormigón y cuantías de acero

considerables, pero en los puentes curvos con vigas BPR al tener valores numéricos

inferiores pero al estar estructurados con mayores apoyos intermedios las cantidades de

concreto de refuerzo pueden igualarse con las de los otros puentes de sección cajón, pero

antes de considerar esto se debe tomar muy en cuenta la geotecnia de donde se dispondrán

las fundaciones de estas estructuras.

10.2.3. Demandas

Las cargas que deben ser resistidas por los puentes curvos principalmente son las

debidas a su peso propio, circulación de los vehículos especialmente como también la de

fuerza centrífuga esta debido a que estamos tratando de estructuras curvas, carga por

temperatura y fluencia lenta del hormigón son muy tomadas muy en cuenta en puente

cajones ya que en estos se aplica el proceso de construcción por volados sucesivos y es ahí

CAPITULO 10 COMPARACIONES TECNICAS Y ECONOMICAS

288

su importancia. El hecho de comparar las fuerza actúan en los puentes curvos es para tener

un panorama de cuáles serán las fuerzas resistentes, en la tabla 10.6 se muestra los valores

máximos y mínimos de momentos, cortantes y torsiones, en esta se puede apreciar que los

valor máximos los llevan los puentes de sección esto porque ellos están conformados por

solo dos tramos a comparación de los puentes curvos de vigas BPR los cuales están

formados por 3 tramos.

M

[Ton-m]

V

[Tom]

T

[T on-m]

M

[Ton-m]

V

[Tom]

T

[T on-m]

M

[Ton-m]

V

[Tom]

T

[T on-m]

M

[Ton-m]

V

[Tom]

T

[T on-m]

Max 527.73 246.80 111.72 248.90 69.93 11.83 717.89 312.85 71.59 466.38 97.01 5.82

Min -1205.83 -246.62 -109.20 -9.92 -69.41 -19.43 -2185.92 -312.84 -70.91 -10.76 -96.31 -12.11

Max 410.71 105.58 194.41 272.32 81.55 156.53 541.91 118.70 191.65 411.43 91.57 143.76

Min -514.40 -105.23 -192.24 -55.27 -81.01 -149.55 -842.52 -118.34 -192.79 -34.46 -89.99 -138.78

Max 9.77 2.83 13.99 8.83 2.83 5.86 12.56 1.37 10.34 6.83 0.91 2.21

Min -17.18 1.58 -24.28 -12.65 -6.78 -6.76 -13.83 0.96 -7.18 -3.92 -0.05 -2.35

Max 363.40 47.83 -141.71 11.10 59.15 19.09 1682.39 122.29 257.21 5.58 71.40 8.75

Min -7.95 -48.01 141.97 -437.75 -62.04 -9.70 67.22 -122.02 -245.56 -582.63 -79.48 -7.75

PUENTE CURVO CON VIGAS

BPR R=100

PUENTE CURVO SECCION

CAJON R=100

PUENTE CURVO SECCION

CAJON R=50

PUENTE CURVO CON

VIGAS BPR R=50

PESO PROPIO

VIVA+IMPACTO

FUERZA CENTRIFUGA

PREESFUERZO

Tabla 10- 6: Fuerzas máximas y mínimas en puentes curvos de R=50m y R=100m

Las fuerzas de preesforzado son modelas en el programa CSiBridge mediante el ingreso

de tendones con fuerza de preesfuerzo esta cumple una vital función de contrarrestar los

momentos debidos a flexión como también la fuerza debidas a los cortantes y la torsiones.

El puente de radio de 50m de sección cajón el presenta los mayores valores de torsión

sin embargo los puentes curvos de vigas BPR son los que tienen los menor valor de torsión.

La figura 10.10 muestra un diagrama de barras para puentes curvos de radio de 50m en

este se puede observar los valores máximos y mínimos de momentos flectores debidos a

cargas transitorias y muertas además de los momentos contrarrestados por fuerza de

preesfuerzo. Los máximos valores de momentos se los llevan las cargas por peso propio en

puentes curvos de sección cajón de radio 50m sin embargo los puentes de vigas BPR

CAPITULO 10 COMPARACIONES TECNICAS Y ECONOMICAS

289

curvos se tienen mayor momentos de flexión bajos cargas vivas y de impacto. Es muy

notorio observar que los preesfuerzo son vital ayuda a la flexión en los diferentes puentes.

Figura 10. 10: Momentos flextores en puentes curvo de R=50m

En la figura 10.11 se puede ver el mismo de diagrama de barras mencionadas

anteriormente pero esta vez para radio de curvatura de 100m se nota nuevamente que la

carga muerta presenta mayores valores de momento en puentes de sección cajón, sin

embargo en los de vigas BPR los momentos de flexión son mayores debido a carga vivas y

de impacto. Si comparamos los puentes de sección cajón se puede observar que las cargas

permanentes son las que ocasionan momentos de flexión mayores a comparación de los

otros estados de carga, sin embargo en los puente con viga BPR las cargas por el camión de

diseño y el impacto son las que ocasiona mayores valores de momentos de flexión.

La figura 10.12 muestra las cortantes y torsores máximas nuevamente los puentes de

sección cajón son los que muestran los mayores valores de fuerzas de corte y torsión, las

fuerzas torsionales debido al peso propio de la estructura son mayores en los puentes de

radio de 50m porque la sección transversal tienen un ancho de dimensiones mucho mayor a

comparación con los de radio de 100m

527.73

-1205.83

410.71

-514.40

9.77

-17.18

363.40

-7.95

248.90

-9.92

272.32

-55.27

8.83

-12.65

11.10

-437.75

PESO PROPIO VIVA+IMPACTO FUERZA CENTRIFUGA PREESFUERZO

Momentos maximos y minimos [Ton-m]

PUENTE CURVO SECCION CAJON R=50 PUENTE CURVO CON VIGAS BPR R=50

CAPITULO 10 COMPARACIONES TECNICAS Y ECONOMICAS

290

Figura 10. 11: Momentos flextores en puentes curvo de R=100m

Figura 10. 12: Cortantes y torsiones en puentes de curvos de R=50m y R=100m

717.89

-2185.92

541.91

-842.52

12.56

-13.83

1682.39

67.22

466.38

-10.76

411.43

-34.46

6.83

-3.92

5.58

-582.63

PESO PROPIO VIVA+IMPACTO FUERZA CENTRIFUGA PREESFUERZO

Momentos maximos y minimos [Ton-m]

PUENTE CURVO CON VIGAS BPR R=100

PUENTE CURVO SECCION CAJON R=100

246.80 111.72

194.41 105.58

24.28

2.83 141.97

48.01

69.93

19.43

156.53 81.55

6.76

6.78

19.09 62.04

312.85

71.59

192.79 118.70

10.34 1.37

257.21

122.29

97.01 12.11 143.76 91.57

2.35 0.91 8.75

79.48

V [Ton] T [Ton-m] V [Ton] T [Ton-m] V [Ton] T [Ton-m] V [Ton] T [Ton-m]

PESO PROPIO VIVA+IMPACTO FUERZA CENTRIFUGA PREESFUERZO

Cortantes y Torsiones maximas

PUENTE CURVO SECCION CAJON R=50 PUENTE CURVO CON VIGAS BPR R=50

PUENTE CURVO SECCION CAJON R=100 PUENTE CURVO CON VIGAS BPR R=100

CAPITULO 10 COMPARACIONES TECNICAS Y ECONOMICAS

291

10.3. COMPARACIÓN ECONÓMICA

10.3.1 Costos de ítems superestructuras

Ítem : 1 Costo (Bs.) 2736.04

HORMIGON TIPO "A" R210 Unidad: m3

Descripción Unid Cant P.U. P.T.

MATERIALES

Cemento porland IP 30 kg 543.00 1.28 695.04

Arena m3 0.60 140.00 84.00

Grava m3 0.60 140.00 84.00

Madera de construcción pie 2 45.00 9.50 427.50

Madera multilaminada 15mm pie2 40.00 12.00 480.00

Clavos kg 4.00 12.00 48.00

Agua de Cisterna 100 lts 0.30 25.00 7.50

Sub total Materiales (Bs.) 1826.04

MANO DE OBRA

Albañil hrs 16.00 20.00 320.00

Ayudante hrs 15.00 15.00 225.00

Encofrador hrs 16.00 18.75 300.00

Sub total Mano de Obra (Bs.) 845.00

MAQUINARIA, HERRAMIENTAS Y EQUIPO

Hormigonera de 500 litros hrs 0.35 40.00 14.00

Vibradora hrs 0.35 25.00 8.75

Otros % 5.00 845.00 42.25

Sub total Mano de Obra (Bs.) 65.00

Tabla 10- 7: Costo de Hormigón tipo "A" R210

Ítem : 2 Costo (Bs.) 3197.52

HORMIGON TIPO "P" Unidad: m3

Descripción Unid Cant P.U. P.T.

MATERIALES

Cemento porland IP 30 kg 543.00 1.28 695.04

Arena m3 0.60 140.00 84.00

Grava m3 0.60 140.00 84.00

Madera de construcción pie 2 45.00 9.50 427.50

Madera multilaminada 15mm pie2 40.00 12.00 480.00

Clavos kg 4.00 12.00 48.00

Aditivo kg 5.04 40.00 201.60

Agua de Cisterna 100 lts 0.30 25.00 7.50

Sub total Materiales (Bs.) 2027.64

MANO DE OBRA

Albañil hrs 10.00 20.00 200.00

Ayudante hrs 32.00 15.00 480.00

Encofrador hrs 22.00 18.75 412.50

Sub total Mano de Obra (Bs.) 1092.50

MAQUINARIA, HERRAMIENTAS Y EQUIPO

Hormigonera de 500 litros hrs 0.35 40.00 14.00

Vibradora hrs 0.35 25.00 8.75

Otros % 5.00 1092.50 54.63

Sub total Mano de Obra (Bs.) 77.38

Tabla 10- 8: Costo de Hormigón tipo "P"

CAPITULO 10 COMPARACIONES TECNICAS Y ECONOMICAS

292

Ítem : 4 Costo (Bs.) 573.62

CABLEAJE PARA PRETENSADO 12v 1/2" Unidad: ml

Descripción Unid Cant P.U. P.T.

MATERIALES

Torones 12V 1/2" ml 1.00 224.96 224.96

Vaina ml 1.30 59.80 77.74

Cono anclaje freyssinet 12v13 pza 0.10 1602.92 160.29

Alambre galvanizado Nº 10 kg 0.10 14.85 1.49

Sub total Materiales (Bs.) 464.48

MANO DE OBRA

Enferrador hrs 1.84 20.00 36.80

Ayudante hrs 1.10 15.00 16.50

Operador de equipo hrs 1.10 20.00 22.00

Ayudante hrs 0.63 15.00 9.45

Sub total Mano de Obra (Bs.) 84.75

MAQUINARIA, HERRAMIENTAS Y EQUIPO

Gato hidráulico hrs 0.08 210.00 16.80

Bomba con manómetro hrs 0.08 42.00 3.36

Otros % 5.00 84.75 4.24

Sub total Mano de Obra (Bs.) 24.40

Tabla 10- 10: Costo de Cable para pretensado 12v 1/2"

Ítem : 3 Costo (Bs.) 19.03

ACERO ESTRUCTURAL Unidad: kg

Descripción Unid Cant P.U. P.T.

MATERIALES

Acero corrugado kg 1.05 9.50 9.98

Alambre de amarre kg 0.40 12.00 4.80

Sub total Materiales (Bs.) 14.78

MANO DE OBRA

Enferrador hrs 0.12 18.75 2.25

Ayudante hrs 0.12 15.00 1.80

Sub total Mano de Obra (Bs.) 4.05

MAQUINARIA, HERRAMIENTAS Y EQUIPO

Otros % 5.00 4.05 0.20

Sub total Mano de Obra (Bs.) 0.20

Tabla 10- 9: Costo de Acero estructural

CAPITULO 10 COMPARACIONES TECNICAS Y ECONOMICAS

293

Ítem : 5 Costo (Bs.) 7.09

INYECCION DE CABLES Unidad: ml

Descripción Unid Cant P.U. P.T.

MATERIALES

Cemento porland IP 30 kg 2.50 1.28 3.20

Aditivo kg 0.05 40.00 2.00

Sub total Materiales (Bs.) 5.20

MANO DE OBRA

Inyectora hrs 0.02 94.50 1.89

Sub total Mano de Obra (Bs.) 1.89

MAQUINARIA, HERRAMIENTAS Y EQUIPO

Sub total Mano de Obra (Bs.) 0.00

Tabla 10- 11: Costo de Inyección de cables

Ítem : 6 Costo (Bs.) 311.41

BARANDAS Unidad: ml

Descripción Unid Cant P.U. P.T.

MATERIALES

Hormigón simple tipo "A" m3 0.05 3950.00 197.50

Acero estructural kg 6.00 9.50 57.00

Sub total Materiales (Bs.) 254.50

MANO DE OBRA

Enferrador hrs 1.00 20.00 20.00

Ayudante hrs 1.00 15.00 15.00

Sub total Mano de Obra (Bs.) 35.00

MAQUINARIA, HERRAMIENTAS Y EQUIPO

Gato hidráulico hrs 0.08 210.00 16.80

Bomba con manómetro hrs 0.08 42.00 3.36

Otros % 5.00 35.00 1.75

Sub total Mano de Obra (Bs.) 21.91

Tabla 10- 12: Costo de barandas

Ítem : 7 Costo (Bs.) 54548.75

LANZAMIENTO DE VIGAS Unidad: tramo

Descripción Unid Cant P.U. P.T.

MATERIALES

Varios para lanzamiento glb 1.00 21000.00 21000.00

Sub total Materiales (Bs.) 21000.00

MANO DE OBRA

Operador equipo pesado hrs 60.00 22.50 1350.00

Maestro hrs 60.00 20.00 1200.00

Ayudante hrs 95.00 15.00 1425.00

Sub total Mano de Obra (Bs.) 3975.00

MAQUINARIA, HERRAMIENTAS Y EQUIPO

Grua de 34 ton hrs 31.25 560.00 17500.00

Pala frontal 170 HP hrs 31.25 380.00 11875.00

Otros % 5.00 3975.00 198.75

Sub total Mano de Obra (Bs.) 29573.75

Tabla 10- 13: Costo de lanzamiento de vigas

CAPITULO 10 COMPARACIONES TECNICAS Y ECONOMICAS

294

10.3.2 Costo de superestructuras

PUENTE CURVO CON VIGAS BPR DE RADIO 100M DE TRES TRAMOS

Item DESCRIPCION UNID CANT P. UNIT P. TOTAL

1 HORMIGON TIP "A" m3 134.88 2,736.04 369,037.08

2 HORMIGON TIP "P" m3 131.08 3,197.52 419,130.92

3 ACERO ESTRUCTURAL kg 26559.84 19.03 505,433.76

4 CABLEAJE PARA PRETENSADO 12V 1/2" ml 804.48 573.62 461,465.82

5 INYECCION ml 732.48 7.09 5,193.28

6 BARANDAS ml 122.10 311.41 38,023.16

7 LANZAMIENTO DE VIGAS tramo 3.00 54,548.75 163,646.25

COSTO TOTAL 1,961,930.26

Tabla 10- 14 Costo puente curvo con vigas BPR radio 100m

PUENTE CURVO CON VIGAS CAJON DE 100M DE DOS TRAMOS

Item DESCRIPCION UNID CANT P. UNIT P. TOTAL

1 HORMIGON TIP "A" m3 47.64 2,736.04 130,344.95

2 HORMIGON TIP "P" m3 332.42 3,197.52 1,062,932.39

3 ACERO ESTRUCTURAL kg 31682.92 19.03 602,925.97

4 CABLEAJE PARA PRETENSADO 12V 1/2" ml 665.18 573.62 381,560.55

5 INYECCION ml 615.18 7.09 4,361.63

6 BARANDAS ml 122.10 311.41 38,023.16

COSTO TOTAL 2,220,148.64

Tabla 10- 15 Costo puente curvo cajo radio 100m

PUENTE CURVO CON VIGAS BPR DE RADIO 50M DE TRES TRAMOS

Item DESCRIPCION UNID CANT P. UNIT P. TOTAL

1 HORMIGON TIP "A" m3 112.92 2,736.04 308,953.64

2 HORMIGON TIP "P" m3 72.12 3,197.52 230,605.14

3 ACERO ESTRUCTURAL kg 22494.54 19.03 428,071.10

4 CABLEAJE PARA PRETENSADO 12V 1/2" ml 416.04 573.62 238,648.86

5 INYECCION ml 368.04 7.09 2,609.40

6 BARANDAS ml 93.20 311.41 29,023.41

7 LANZAMIENTO DE VIGAS tramo 3.00 54,548.75 163,646.25

COSTO TOTAL 1,401,557.81

Tabla 10- 16 Costo puente curvo con vigas BPR radio 50m

CAPITULO 10 COMPARACIONES TECNICAS Y ECONOMICAS

295

PUENTE CURVO CON VIGAS CAJON DE 50 M DE DOS TRAMOS

Item DESCRIPCION UNID CANT P. UNIT P. TOTAL

1 HORMIGON TIP "A" m3 36.87 2,736.04 100,877.79

2 HORMIGON TIP "P" m3 247.22 3,197.52 790,490.89

3 ACERO ESTRUCTURAL kg 26322.04 19.03 500,908.42

4 CABLEAJE PARA PRETENSADO 12V 1/2" ml 474.67 573.62 272,280.21

5 INYECCION ml 410.67 7.09 2,911.65

6 BARANDAS ml 93.92 311.41 29,247.63

COSTO TOTAL 1,696,716.59

Tabla 10- 17 Costo puente curvo cajo radio 50m

10.3.3 Análisis y comparaciones

En las tablas 10-14 y 10-15 se muestran las cantidades y el costo total de las

superestructuras de radio de 100m se puede observar una clara diferencia en las cantidades

de cables y hormigón los cuales son ítems muy incidentes en el total. Los puentes con viga

cajo son los que llevan el mayor costo sin embargo la diferencia entre las dos estructuras en

cuanto a costo es de 258,218.38 Bs.

Las tablas 10-16 y 10-17 exponen los costos de los puentes curvos de radio de 50m

tanto en sección cajón como en vigas BPR, la estructura que lleva el mayor costo es la de

sección cajón con un incremento de 295,158.79 Bs. a comparación del otro.

Los puentes curvos de sección cajo son 11.63% más caros que los de vigas BPR en

radios de 100m y en de 50 m son 17.40 % más costos.

El costo del hormigón tipo “P” llega a ser el 46.59% y el 47.88 % del costo total de

las superestructuras de sección cajón curva en radio de 100m y 50m respectivamente, sin

embargo en los puentes curvos de vigas BPR el hormigón tipo “P” llega a ser el 21.36% y

16.45% del total de costo respectivamente, pero el costo de los cables de postensados en las

vigas BPR llegan a ser el 23.52% y 17.03% del total correspondientemente.

296

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Capítulo11

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

11.1. CONLUSIONES

En el presente trabajo se llegaron a las siguientes conclusiones:

1. Los puentes curvos son utilizados principalmente en el paso de quebradas

pronunciadas o pasos elevados donde en su diseño geométrico se requiera un

cambio de dirección.

2. La torsión no uniforme en secciones cajón unicelulares de concreto no es todavía

ampliamente estudiada en los códigos de diseño de la AASHTO, en

especificaciones de estos solo existen comentario donde indican que tal fenómeno

debe ser contrarrestado con rigidizadores o difragmas, sin embargo existen un

elevado número de contribuciones sobre las teoría de torsión, una de las

investigaciones pioneras es la de Vlasov, pero viendo esto desde un punto de vista

práctico estas teorías más avanzadas de vigas curva son probablemente adecuados

para puentes de vigas metálicas. 1

CAPITULO 11 CONLUSIONES Y RECOMENDACIONES

297

3. En puentes curvos con vigas sesgadas o vigas rectas posicionadas de formas

poligonal formando asi la curva se debe tener muy en cuenta el valor de la sagita ya

que si este valor es relativamente grande entonces se tendrá voladizos en la parte

exterior de la curva de dimensiones considerables

4. El valor del desplazamiento de la cuerda arco depende de la longitud de la viga y

del radio de curvatura, mientras mayor sea el radio de la curva y menor la longitud

de la viga entonces este valor será pequeño, el manual de la PCI recomienda que

este valor sea inferior a 1.5pies (0.5m)

5. Los métodos de análisis aceptados por la AASHTO son los de losa ortótropo el

cual es la idealización en una estructura plana de rigidez equivalente, emparrillado

el cual puede ser empleado cuando la separación de vigas no es muy grande,

lamina plegada la cual es una estructura compuesta por elementos no coplanarios

pero paralelos a una dirección determinada, elementos finitos y otros, los

mencionados fueron desarrollados en este documento.

6. El método de los elementos finitos requiere de una definición geométrica detallada

la cual ocasiona que requiera de muchos elementos, en comparación con los otros

métodos este es más exacto pero requiere de mayores procedimientos

computacionales, sin embargo los otros métodos utilizan procedimientos más

simplificados.

7. Las cargas que siempre se deben tomar en cuenta en puentes curvos ya que estas

producen los mayores esfuerzos son la fuerza centrífuga y en el caso de puentes de

sección cajón las cargas por temperatura

8. El análisis estructura de los puentes curvos con vigas sesgadas se los realizo por

MEF con ayuda del programa CSiBridge se tuvo principal cuidado en la

modelación de la losa de tablero a este se le dio la forma curva dividiendo los

CAPITULO 11 CONLUSIONES Y RECOMENDACIONES

298

elementos placa de 0.30x0.25 m. Los cables de postensado también son incluidos al

modelo, a estos se les da la trayectoria parabólica y la carga de preesfuerzo además

los diafragmas son distribuidos de forma radial y los apoyos se encuentran en

paralelo esto con la finalidad de que todas las vigas tengan la misma longitud.

9. El diseño de las vigas sesgadas se lo realizo de igual forma que una viga normal

postensada con la única excepción que en esta se verifica primeramente la torsión y

en caso de que el concreto no lo resista se refuerza con estribos transversales, el

cortante se lo verifica y en caso de no cumplir se lo refuerza.

10. Las cargas de preesfuerzo que son inducida a los cables ayudaron notablemente a

reducir los efectos por torsión ya que en las combinaciones de carga por resistencia

y servicio estos fueron restados.

11. Los puentes curvos cajón por volados sucesivos fueron modelados en el programa

CSiBridge tanto en etapas constructivas como en las de servicio, la primera etapa

fue modela por secuencia de construcción considerando el tiempo que se ejecutara

cada dovela en este se realizó un análisis no lineal en el tiempo, en etapa

permanentes se modelo todos los cables que componían el puente con sus

diferentes cargas de preesfuerzo y este se incluye las cargas por temperatura y

fuerza centrifuga

12. El diseño en etapas constructivas nos llevó a disponer 16 cables en puentes de radio

de 100m y 12 en puentes de radio de 50m cada tendón compuesto por 12 torones

de baja relajación, estos contrarrestarán el peso de las dovelas y las cargas en la

etapa de construcción.

13. En etapas de servicio se verifico las tensiones en la fibras para verificar estas se

tuvo que disponer de 10 y 9 cables solidarios en cada extremo en puentes curvos de

radio de 100m y 50m respectivamente. La armadura de la sección cajón por

CAPITULO 11 CONLUSIONES Y RECOMENDACIONES

299

cortante y torsión se la realizo siguiendo las especificaciones de la AASHTO, sin

embargo la armaduras debida a la flexión de la misma fueron la que destacaron.

14. En cuanto a las comparaciones se puedo ver que la sección cajón tiene un

comportamiento favorable a la torsión pero esta debe ser usada en curvas donde el

ángulo de inflexión se grande o mayor a 60º ya que asi se tendrá mayor longitud de

la curva y se podrá aplicar la técnica de volados sucesivos

15. Las vigas BPR en puentes curvo son adecuadas cuando se tienen radios de

curvatura mayores a 100m ya que asi se podrá usar vigas de mayor longitud y se

podrá reducir los apoyos intermedios.

16. El costo más elevado es el de las superestructuras de secciones cajón con costo de

2, 220,148.64 Bs. y 1, 696,716.593Bs. en radio de 100 y 50m respectivamente, sin

embargo los puentes curvos de vigas BPR tuvieron un costo de 1,961,930.26 Bs. y

1,401,557.81 Bs. siendo la sección cajón más 11.63 % y 17.39% más cara que el de

la vigas BPR

11.2. RECOMENDACIONES

1. En Puentes curvos que crucen quebradas muy pronunciadas el sistema constructivo

por volados sucesivos es el más conveniente ya que este no requiere de encofrados y

su ejecución por elementos prefabricados reduce los tiempos de ejecución

2. Puentes curvo de sección cajón ejecutados por la técnica de volados sucesivos son

aconsejable en longitudes curva mayores a los 40m y donde el ángulo de deflexión

es mucho mayor a 60º

3. En el diseño de puentes curvos con vigas BPR se debe tener en cuenta que antes de

calcular las tensiones en los cables se debe verificar la torsión y en caso de no

cumplir reforzar con armadura transversal.

CAPITULO 11 CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

300

El presente trabajo abre campo de la investigación en los siguientes aspectos

1. Análisis y diseño de infraestructuras de puentes curvos, un estudio a detalle de los

cabezales, pilas estribos y fundaciones de estas estructuras.

2. Analizar puentes curvos bajo acción de carga laterales, ver sus efectos adversos y

formas de contrarrestar estos efectos.

3. Diseñar puentes curvos de un solo tramo con contrapeso en los apoyos de sección

cajón y compáralos con los puentes de múltiples tramos.

4. Ver las aplicaciones de las teorías avanzadas de torsión en secciones de pared

delgadas. Se podría crear un programa estructural que considera el séptimo grado de

libertad y comparar sus resultados con un programa de elementos finitos como el

ANSYS

5. Comparar puentes curvos de concreto postensado con los acero ver su factibilidad

económica en nuestro medio

Anexos

A1

Anexo A Análisis y Diseño Puente Curvo con vigas BPR R = 50m.

DATOS GENERALES DEL PUENTE

R= 50.00 [m] Radio de curva Horizontal

Vp= 40.00 [Km/h] Velocidad de Proyecto "Tabla 4-2"

n= 2

Número de Carriles

A= 3.50 [m] Ancho de Carril

e= 0.07 [m/m] Peralte de la curva "Tabla 4 -2"

L= 15.00 [m] Longitud de Viga por tramos

SECCION TRANSVERSAL

Sobreancho

Lt= 16.40 [m] Largo total Vehículo Semitrailer "Tabla 4- 3"

L1= 5.60 [m] "Tabla 4- 3"

L2= 10.00 [m] "Tabla 4 -3"

E= 2.40 [m] Ensanchamiento de Curva

B= 9.40 [m] Ancho de Calzada Total (ver figura 1)

Separación de vigas

S= 2.50 [m] Distancia de eje a eje de viga

a= 0.95 [m] Distancia de eje de viga a voladizo exterior

GEOMETRIA EN PLANTA

Lc= 15.06 [m] Longitud de curva

R= 50.00 [m] Radio de curvatura

s= 0.56 [m] Desplazamiento cuerda arco

OK! Cumple critio PCI

ANEXO A

A2

MATERIALES

Hormigones:

γc= 2400.00 [Kgf/m3] Peso específico hormigón

f´c= 21.00 [MPa] Resistencia a la compresión a los 28 días (losa)

f´c= 35.00 [MPa] Resistencia a la compresión a los 28 días (viga)

f´ci= 28.00 [MPa] Resistencia del concreto al tiempo del tesado

Ec= 23168.34 [MPa] Módulo de elasticidad hormigón losa

Ec= 29910.20 [MPa] Módulo de elasticidad hormigón losa

Cables de postensado (12 torones)

Au= 98.7 [mm] Área unitaria torones

fpu= 1860 [MPa] Tensión ultima

fpy= 1674 [MPa] Tensión de fluencia

fpi= 1488 [MPa] Límite de esfuerzo para postensar

fpc= 1339.2 [MPa] Límite de esfuerzo en estado límite de servicio

Ep= 197000 [MPa] Módulo de elasticidad torones

Acero de preesfuerzo

fy= 420.00 [MPa] Límite de fluencia acero

Es= 200000.00 [MPa] Módulo de elasticidad acero

Futura capa de rodadura

he = 50 [mm] Espesor rodadura

γ rod = 22.5 [MPa] Peso específico asfalto

Barandas Tipo New Jersey

w baranda= 6 KN/m Peso baranda

DISEÑO DE TABLERO PUENTE

Diseño losa interior

Momentos flectores

Descripción Tipo

M(-)

[KN-m]

M(+)

[KN-m]

γ(Resistencia I)

Losa DC1 1.44 1.49 1.25

Barrera DC2 3.38 0.75 0.90

Asfalto DW 0.37 0.40 1.50

Carga viva LL+IM 18.70 29.68 1.75

ANEXO A

A3

Acero por flexión

Descripción Momentos

[KN-m] As Calculado [cm2]

As

Provisto [cm2]

Mu(-) 38.12 6.24 Ø12C/18 cm

Mu(+) 55.08 9.21 Ø12C/12 cm

DISEÑO LOSA EXTERIOR

Momentos flectores

Descripción Tipo M(-) [KN-m] γ (Resis I)

Losa DC1 1.94 1.25

Barrera DC2 3.75 0.90

Asfalto DW 0.33 1.50

Carga viva LL+IM 22.35 1.75

Refuerzo de acero por flexión

Descripción Momentos

[KN-m] As Calculado [cm2]

As

Provisto [cm2]

Mu(+) 45.41 7.50 Ø12C/15 cm

PROPIEDADES GEOMETRICAS DE ELEMENTOS

Viga:

Dimensiones

h= 114.30 [cm]

b'= 17.78 [cm]

bt= 40.64 [cm]

b= 55.88 [cm]

t= 17.78 [cm]

t'= 11.43 [cm]

tb= 17.78 [cm]

t'b= 19.05 [cm]

b2= 11.43 [cm]

b1= 15.40 [cm]

ANEXO A

A4

PROPIEDADES GEOMETRICAS

A = 3540.14 [cm2]

h = 114.30 [cm]

Ix = 5164648.46 [cm4]

Yt = 62.27 [cm]

Yb = 52.03 [cm]

Wt = 82942.33 [cm3]

Wb = 99258.97 [cm3]

Iy = 514063.04 [cm]

Qpp = 8.50 [KN/m]

Ip = 5678711.50 [cm4]

J = 691465.99 [cm4]

Diafragmas

Dimensiones

h = 80 cm

b = 20 cm

PROPIEDADES GEOMETRICAS

A = 1600.00 [cm2]

I x = 853333.33 [cm4]

I y = 53333.33 [cm4]

Ip = 906666.67 [cm4]

J = 180705.88 [cm4]

Qdiaf = 3.84 [KN/m]

Sección compuesta

DIMENSIONES

n= 0.7746 R. modular

Ancho efectivo losa

b=L/4= 375.00 [cm]

b=12t+bt= 280.64 [cm]

b=S= 250.00 [cm]

he= 20.00 [cm]

be= 193.65 [cm]

Ae= 3873.0 [cm2]

Ancho efectivo anca

ha= 1.27 [cm]

ba= 31.48 [cm]

Aa= 39.98 [cm2]

ANEXO A

A5

PROPIEDADES GEOMETRICAS

A = 7453.10 [cm2]

hc = 135.57 [cm]

Ixc = 15319607.31 [cm4]

ybc= 90.58 [cm]

ytg= 23.72 [cm]

ytc= 44.99 [cm]

wbc= 169121.82 [cm3]

wtg= 645940.89 [cm3]

wtc= 340536.12 [cm3]

Iyc= 12159707.78 [cm4]

Ip= 27479315.09 [cm4]

J= 2807255.44 [cm4]

ANALISIS ESTRUCTURAL

Análisis de cargas

PDC1= 636.50 [KN] Peso total viga y diafragmas

PDC2= 754.86 [KN] Peso total tablero y anca

PDC3= 180.00 [KN] Peso total barreras

PDW= 158.63 [KN] Peso total rodadura

PDC+DW= 1729.99 [KN] CARGA MUERTA TOTAL

PLL1= 279.00 [KN] Carga de carril total (2 carriles)

PLL2= 650.00 [KN] Peso 2 camiones de diseño

PIM= 214.50 [KN] Peso por carga dinámica 33% PLL2

PLL1+LL2+IM= 1143.50 [KN] CARGA VIVA TOTAL

PCF= 218.2 [KN] Fuerza centrifuga

Factores de corrección por curvatura

FC V.EXT.= 1.0750 Factor de carga viva exterior

FCDC1 = 1.2535 Factor de corrección para carga muerta

FCDC2 = 1.4561 Factor de corrección (carga de carril)

FCDC3= 1.9897 Factor de corrección (F. cent. y camiones)

Factores de distribución para viga interior

S = 2500 mm Separación de vigas o almas

L = 15000 mm Longitud del tramo de la viga

ts = 200 mm profundidad de la losa de hormigón

n= 1.291 Relación (Eviga/Etablero)

A = 354013.77 mm2 Área de la viga

eg. = 735.38 mm Distancia centros de gravedad viga y tablero

ANEXO A

A6

I = 5.16E+10 (mm4) Inercia de la viga

Parámetro de rigidez longitudinal y factor curva interior

Kg 3.14E+11 Parámetro de rigidez longitudinal

DFM 0.578 Factor de distribución (1 carril)

DFM 0.631 Factor de distribución (2 carriles)

CALCULO DE MOMENTOS

Datos:

QDC1, viga = 8.50 KN/m

QDC2, losa = 12.00 KN/m

QDC2, anca = 0.12 KN/m

QDC3= 3.00 KN/m

QDW= 2.75 KN/m

Resumen de momentos obtenidos.

MDC1, viga = 238.96 KN-m Momento por peso propio viga

MDC1, Diaf. = 36.00 KN-m Momento diafragmas

MDC2= 340.98 KN-m Momento losa + anca

MDC3 = 84.38 KN-m Momento barreras

MDW = 77.34 KN-m Momento capa rodadura

MLL+IM = 2170.9 KN-m Momentos de cargas vivas

MLL1 = 261.56 KN-m Momento carga de carril

MLL2+LL3 = 1151.24 KN-m Momento carga viva + impacto

Momentos de flexión en vigas interior y exterior

Peso

Total W

[KN]

Momentos

de Vigas

Recta de 20

m [KN-m]

F. C. Momento viga

Curva [KN-m]

Puente Recto,

Viga Interior,

[KN-m]*

Vigas y Diafragmas 636.50 298.36 1.2535 374.008 274.96

Losa y Anca 754.86 353.84 1.2535 443.556 340.98

Barreras 180.00 84.38 1.2535 105.768 84.38

Superficie de

desgaste 158.63 74.36 1.2535 93.208 77.34

Carga de camión, e

impacto 864.50 405.23 1.9897 806.306 1412.80

Carril Cargando 279.00 130.78 1.4561 190.435 130.78

Total 1346.95

ANEXO A

A7

Verificación previa para tesado

CARGAS Momento

Flexionantes

[KN-m]

Wb, Wb´(cm3)

Esfuerzo en

la fibra

inferior

[MPa]

1. Peso propio de Vigas y Diafragmas 374.008 99258.97 3.768

2. Losa y Anca 443.556 99258.97 4.469

3. Carga Muerta superpuesta 198.976 169121.82 1.177

4. Carga Viva 797.393 169121.82 4.715

5. Suma de 1+ 2 + 3 + 4 14.13

El esfuerzo admisible en la transferencia de postensado

= (0.60) f 'ci = (0,6) (35) [LRFD Art. 5.9.4.1.1] 21.00

Momentos flectores en las vigas

Cargas

Momentos flectores máximos (KN-m)

Viga Viga Viga Viga

Exterior 1 Interior 2 Interior 3 Exterior 4

MODELO 1

Peso propio vigas 200.55 245.29 247.22 206.46

Peso propio diafragmas 55.84 75.63 75.98 55.75

MODELO 2

Peso propio losa 313.24 355.88 354.47 306.69

MODELO 3

Barandas Tipo Jersey 85.99 74.74 75.45 88.07

Capa de rodadura 67.07 78.53 78.18 65.91

MODELO 4

Carga viva + impacto 789.73 777.26 776.72 799.70

MODELO 5

Fuerza centrifuga 53.25 39.68 41.18 51.61

Cortante

Cargas

Cortante (KN)

Viga Viga Viga Viga

Exterior 1 Interior 2 Interior 3 Exterior 4

MODELO 1

Peso Propio 60.23 68.94 65.77 58.81

Peso propio diafragmas 21.58 27.96 24.42 15.83

MODELO 2

Peso propio losa 100.87 99.40 91.78 78.26

MODELO 3

Barandas Tipo Jersey 41.80 15.28 14.53 37.95

Capa de rodadura 20.90 22.29 20.62 15.88

MODELO 4

Carga viva + impacto 299.70 244.26 236.13 313.50

MODELO 5

Fuerza centrifuga 22.23 8.83 8.68 21.66

ANEXO A

A8

Preesfuerzo inicial

e = 0.406 [m] Excentricidad

Po = 1609.78 [KN] Preesfuerzo inicial

fpu= 1860.00 [MPa] Tensión ultima

fs = 1116.00 [MPa] Tensión de tesado

Au = 98.70 [mm2] Área unitaria de un torón

Asp = 1424.00 [mm2] Área requerida

No. torones= 15.00

Numero de torones

ASR = 1481.00 [mm2] Área de acero provista

Torsión

Cargas

Momentos torsores máximos (KN-m)

Viga Viga Viga Viga

Exterior 1 Exterior 2 Interior 1 Interior 2

Viga 9.86 5.78 7.81 9.74

Diafragma 6.31 3.27 3.63 6.01

Losa 20.41 10.56 13.21 17.08

Barandas 33.05 4.47 3.73 27.00

Rodadura 3.05 2.21 2.86 2.52

Viva 127.64 96.2 98.73 146.42

Centrifuga 18.62 11.98 10.91 18.32

Preesfuerzo -62.95 -30.26 -27.3 -79.85

Calculo de torsión crítica

Datos:

Acp = 7453.1 [cm2]

Pc = 691.50 [cm]

Esfuerzos

Cargas Esf. fibra superior

viga y diafragma 2.642

Losa y anca 3.090

Barrera y capa rodadura 0.910

Carga viva e impacto 5.339

fb = 11.981

Resumen

P = 1732.52 [KN]

fpc = 2.30 [MPa]

Tcr = 155880.00 [KN]

0,25 ∅ Tcr = 51.85 [KN]

ANEXO A

A9

Torsión ultima de diseño

Cargas T (KN*m) Factor de carga Tu (KN*m)

Viga 9.74 1.25 12.175

Diafragma 6.01 1.25 7.513

Losa 17.08 1.25 21.350

Barandas 27.00 0.9 24.300

Capa rodadura 2.52 1.50 3.780

Viva 146.42 1.75 256.235

Centrifuga 18.32 1.75 32.060

Preesfuerzo -79.85 1.00 -79.850

Tu = 277.56

Tu < 0,25 ∅ Tcr

277.56 < 51.850 No Cumple

Diseñar la sección a torsión y corte combinados

Diseño a corte y torsión combinados

Datos

Aps = 1776.6 [mm2] Área de acero de pretensado

Ep = 197000 [MPa] Módulo de elasticidad de los tendones

rec = 30 [mm] Recubrimiento

Mu = 2431.86 [KN-m] Momento ultimo de diseño

Vu = 806.40 [KN] Cortante ultimo de diseño

Tu = 277.56 [KN-m] Momento torsor ultimo de diseño

Vp = 213.44 [KN] Cortante de preesfuerzo

dv = 1245.70 [mm] Profundidad de corte efectiva

bv = 177.80 [mm] Ancho de alma ajustado para considerar la presencia de vainas

fpu = 1860.00 [MPa] Resistencia a la tracción del pretensado

ϴ = 34.00 [°] Angulo de inclinación de las tensiones diagonales (Asumido)

Resultados

Vu´ = 2127.00 [KN] Corte ultimo modificado

Ao = 181033.39 [mm2] Área encerrada por el recorrido de flujo de corte

Aoh = 212980.46 [mm2] Área encerrada por la armadura de torsión

ph = 2823.00 [mm] Perímetro del eje de la armadura de torsión cerrada

fpo = 1302.00 [MPa] Parámetro de deformación y elasticidad

εs = 0.00151 [mm/mm] Deformación longitudinal especifica

Determinación de los parámetros β y θ

ANEXO A

A10

β = 2.25

ϴ = 34.29 [°]

Resistencia nominal a torsión

Datos:

At = 157.08 [mm2] Área de una rama de la armadura transversal de torsión cerrada

s = 110 [mm] Separación de las barras de armadura

fy = 420 [MPa] Tensión de fluencia mínima de las barras de armadura

Tn = 318.48 [KN]

Verificación

∅ ∙ Tn ≥ Tu

286.63 > 277.56 ¡OK!

Verificación a corte

Vc = 244.73 [KN]

Vs = 1095.73 [KN]

Vs+Vc+Vp = 1553.90 [KN]

Vu ≤ ∅ (Vs + Vc + Vp)

806.40 < 1398.51 ¡OK!

Resistencia a corte

νu = 3.08 [MPa]

Resistencia nominal de corte

Vn2 = 1553.90 [KN]

Vn1 = 2151.44 [KN]

Resistencia asumida correcta

Verificación armadura longitudinal

Aps = 8.74 [cm2]

No requiere refuerzo longitudinal adicional (8.74 < 17.77)

Preesfuerzo en las vigas

ANEXO A

A11

DATOS

Wb = 0.1014560 m3

Wb` = 0.1722177 m3

MDC1, viga = 353.88 KN-m

MDC2 = 512.92 KN-m

MDC1, diaf = 163.11 KN-m

MDC3 = 137.40 KN-m

MDW = 230.36 KN-m

MLL+IM = 1362.64 KN-m

Wt = 0.0803 m3

W´t = 0.3272 m3

A = 0.3344 m2

Yb = 53.88 cm

h = 137.5 cm

e = 0.45 m

Perdidas de preesfuerzo

Resumen preesfuerzo

fpu = 1860.00 [MPa]

Au = 98.7 [mm2]

fs = 1116 [MPa]

Asp = 1776.6 [mm2]

No. torones = 18

Asr = 1974.00 [mm2]

Po = 2250.36 KN

Perdidas

Perdidas [MPa]

Fluencia [MPa]

235.05 Retracción [MPa]

Relajación del acero [MPa]

Fricción [MPa] 46.89

Acortamiento elástico [MPa] 43.48

Acuñamiento anclajes [MPa] 27.795

Total 328.25

Porcentaje de perdidas 35.166 %

Preesfuerzo final [KN] 2679.92

ANEXO A

A12

Verificaciones

Verificaciones de tensiones

En t = 0

Fibra superior

-2.59 > -4.18 Cumple a tracción

Fibra inferior

16.06 < 16.8 Cumple a compresión

En t = infinito

Fibra superior

2.97 < 15.75 Cumple a tracción

Fibra inferior

2.95 > -9.41 Cumple a compresión

Preesfuerzo final

Po = 2250.36 KN

∆P = 35.166 %

Pf = 2679.92 KN

Coordenadas de las vainas

DATOS

Nº de torones = 18

L =

15 m

Au = 0.987 cm2

En el apoyo

Y1 = 67.03 cm

Y2 = 37.03 cm

En el centro

b = 15.08 cm

a = 7.78 cm

Coordenadas intermedias y finales

Vaina 1

X (cm) Y (cm)

A = 0 37.03

B = 750 7.78

C = 1500 37.03

ANEXO A

A13

Vaina 2

X (cm) Y (cm)

A = 0 67.03

B = 750 15.08

C = 1500 67.03

Ecuación de la parábola

Vaina 1

Y = 0.520 X² + -7.80000 X + 37.03

Vaina 2

Y = 0.924 X² + -13.85333 X + 67.03

Coordenadas cada 50 cm.

X Vaina 1 Vaina 2 X Vaina 1 Vaina 2

0.00 37.03 67.03 7.50 7.78 15.08

0.50 33.26 60.33 8.00 7.91 15.31

1.00 29.75 54.10 8.50 8.30 16.00

1.50 26.50 48.33 9.00 8.95 17.16

2.00 23.51 43.02 9.50 9.86 18.77

2.50 20.78 38.17 10.00 11.03 20.85

3.00 18.31 33.78 10.50 12.46 23.39

3.50 16.10 29.86 11.00 14.15 26.39

4.00 14.15 26.39 11.50 16.10 29.86

4.50 12.46 23.39 12.00 18.31 33.78

5.00 11.03 20.85 12.50 20.78 38.17

5.50 9.86 18.77 13.00 23.51 43.02

6.00 8.95 17.16 13.50 26.50 48.33

6.50 8.30 16.00 14.00 29.75 54.10

7.00 7.91 15.31 14.50 33.26 60.33

7.50 7.78 15.08 15.00 37.03 67.03

0.00

20.00

40.00

60.00

80.00

-1.00 1.00 3.00 5.00 7.00 9.00 11.00 13.00 15.00

Coordenadas de las vainas

Vaina 1

Vaina 2

ANEXO A

A14

Verificación de estados límite de resistencia

Resumen de resultados 1

dp = 122.87 [cm] Distancia entre la fibra superior y el baricentro de los tendones

Asp = 17.766 [cm2] Área de acero de pretensado

β1 = 0.80

c = 7.055 [cm] Distancia del eje neutro a la fibra en compresión

a = 5.644 [cm] Altura de diafragma de tensiones equivalentes

k = 0.28 Factor que depende del tendón utilizado

fps = 1830.10 [MPa] Tensión del acero pretensado a la r. nominal con tendones.

Tp = 3251.35 [KN] Tensión del acero pretensado a la r. nominal con tendones.

∅Mn = 3903.18 [KN-m] Resistencia a la flexión mayorada

Mu = 2431.86 [KN-m] Momento ultimo para estados límite de resistencia

fr = 5.74 [MPa]

fcpe = 14.56 [MPa]

Mcr = 2956.15 [KN-m]

∅𝐌𝐧 ≥ 𝐌𝐔

3903.18 > 2431.86 OK!!

∅𝐌𝐧 ≥ 𝟏. 𝟐 ∙ 𝐌𝐜𝐫

3903.18 > 3547.38 OK!!

Armadura de piel

Ask ≥ 0.001(de − 760) ≤As + Aps

1200

Ask ≥ 0.4405 ≤ 1.4805

Usando barras ∅10 tenemos:

7∅10 barras por lado

Tomando armadura de piel 1/4 del acero de pretensado tenemos:

6∅10 barras por lado

∴ Usar 6∅10 barras por lado

ANEXO A

A15

Diafragmas

Tensión S1-1

Compresión

S1-1 máx. = 4.32 MPa

Envolventes

S1-1 min. = -5.65 MPa

Flexión

Compresion:

4.32 < 21 OK

Tracción

Fu = σ1−1 ∙ b ∙ d

As =Fu

0.9 ∙ fy

ANEXO A

A16

Datos:

b = 250 [mm]

h = 800 [mm]

fy = 420 [MPa]

rec = 30 [mm]

Resultados:

Fu = 1130000 [N]

As = 2989.42 [mm2]

As. real = 3163.84 [mm2]

As. min= 346.5 [mm2]

Usar: 2∅25 + 3∅16 c/lado

Armadura de piel

1.714 > 0.05 OK

Refuerzo transversal por corte

𝜏1-2 = 2.07 MPa.

Vu = τ1−2 ∙ b ∙ h

Vu = 414000 N

ANEXO A

A17

Diseño por corte

Vc = 0.083 ∙ β ∙ √f´c ∙ b ∙ d

Vc = 62235.39 N

Vs =Vu − ∅ ∙ Vc

∅

Vs = 397764.61 N

∴ Usar ∅10 c/12 cm

B1

Anexo B

Análisis Estructural puentes curvos con vigas BPR

DATOS GENERALES DEL PUENTE

R= 50.00 [m] Radio de curva Horizontal

Vp= 40.00 [Km/h] Velocidad de Proyecto "Tabla 4-2"

n= 2

Número de Carriles

A= 3.50 [m] Ancho de Carril

e= 0.07 [m/m] Peralte de la curva "Tabla 4 -2"

Dimensiones en elevación

h1 = 2.80 [m] Canto de la viga en el borde del tramo

ho = 1.80 [m] Canto de la viga en el centro del tramo

s = 5.70 [m] Longitud de nervio a nervio

a = 2.225 [m] Longitud del volado

eN = 0.30 [m] Espesor del nervio

ef = 0.25 [m] Espesor de la losa

e1 = 0.40 [m] Altura cartela 1

c = 0.25 [m] Longitud de las cartelas

Propiedades geométricas de las secciones

Sección X Altura

Esp.

Losa e Área Yt Yb Wt Wb

[m] [m] [cm] [m2] [m] [m] [m

3] [m

3]

0 0 2.6000 0.20 5.9267 0.9018 1.6982 6.1145 3.2470

A 2.475 2.6000 0.20 5.9267 0.9018 1.6982 6.1145 3.2470

B 5.475 2.3556 0.20 5.7801 0.8170 1.5386 5.3195 2.8246

C 8.475 2.1556 0.20 5.6601 0.7490 1.4066 4.6809 2.4927

D 11.475 2.0000 0.20 5.5667 0.6971 1.3029 4.1929 2.2434

E 14.475 1.8889 0.20 5.5000 0.6606 1.2283 3.8496 2.0703

F 17.475 1.8222 0.20 5.4600 0.6389 1.1833 3.6461 1.9685

G 20.475 1.8000 0.20 5.4467 0.6317 1.1683 3.5786 1.9349

H 23.475 1.8000 0.20 5.4467 0.6317 1.1683 3.5786 1.9349

ANEXO B

B2

Pesos y volúmenes de las dovelas

Dovela Área i Área j Ancho Vol. Peso dovelas

m2 m

2 m m

3 γ KN/m

3 Peso KN

0 5.9142 5.9142 2.475 14.64 24.00 351.30

1 5.9142 5.6023 3.000 17.27 24.00 414.59

2 5.6023 5.3470 3.000 16.42 24.00 394.17

3 5.3470 5.1485 3.000 15.74 24.00 377.84

4 5.1485 5.0067 3.000 15.23 24.00 365.59

5 5.0067 4.9216 3.000 14.89 24.00 357.42

6 4.9216 4.8932 3.000 14.72 24.00 353.33

7 4.8932 4.8932 3.000 14.68 24.00 352.31

30.65 123.61 2966.56

Excentricidades

Sección e2 e3 αV αH α

0 0.702

A 0.702 0.572

B 0.617 0.479 11.20 6.76 13.08

C 0.549 0.426 9.09 6.76 11.32

D 0.497 0.383 8.26 6.76 10.67

E 0.461 0.350 7.67 20.10 21.51

F 0.439 0.331 7.28 20.10 21.38

G 0.432 0 7.17 20.10 21.34

Calculo de perdidas

Fricción

Cable Promedio L. Cable

Coeficientes

μα + kx ∆P

α [º] α [Rad]. [m] μ k [%]

1 13.079 0.228 5.521 0.25 6.60E-07 6.07E-02 5.89

2 11.324 0.198 8.508 0.25 6.60E-07 5.50E-02 5.35

3 10.672 0.186 11.502 0.25 6.60E-07 5.42E-02 5.27

4 21.512 0.375 14.498 0.25 6.60E-07 1.03E-01 9.83

5 21.377 0.373 17.496 0.25 6.60E-07 1.05E-01 9.95

6 21.340 0.372 20.495 0.25 6.60E-07 1.07E-01 10.12

ANEXO B

B3

Deslizamiento de anclajes

Cable L. Cable Ep Po ∆L α Coeficientes Li ∆P

[mm] [MPa] [N] [mm] [Rad] μ k [m] [%]

1 5520.50 197000 1116 6 0.228 0.25 6.60E-07 9813.58 19.19

2 8507.50 197000 1116 6 0.198 0.25 6.60E-07 12796.82 12.45

3 11501.50 197000 1116 6 0.186 0.25 6.60E-07 14998.13 9.21

4 14498.00 197000 1116 6 0.375 0.25 6.60E-07 12184.28 7.31

5 17495.50 197000 1116 6 0.373 0.25 6.60E-07 13295.86 6.05

6 20495.00 197000 1116 6 0.372 0.25 6.60E-07 14267.29 5.17

Acortamiento elástico

∆fpES = 0.545 %

Perdidas dependientes del tiempo

∆fp(SR+CR+R1+R2) = 15.50 %

Resumen pérdidas totales

Perdidas Notación Porcentaje

Perdida deslizamiento anclajes y fricción %∆fanc+fr 19.19 %

Perdida acortamiento elástico %∆fpES 0.545 %

Perdidas dependientes del tiempo %∆fp(SR+CR+R1+R2) 15.50 %

PERDIDAS TOTALES %∆fpT 35.235 %

Diseño en la etapa de construcción

Tiempo inicial (t = 0)

Sección A

Dovela Mmin Mmax Momento mínimo Momento máximo

f t f b f t f b

1 1246.44 4960.48 1.295 0.133 0.688 1.277

2 4960.48 9641.72 1.580 2.169 0.814 3.611

3 9641.72 15474.93 1.706 4.503 0.752 6.299

4 15474.93 22451.49 1.644 7.192 0.503 9.340

5 22451.49 30580.07 1.395 10.232 0.066 12.736

6 30580.07 39877.23 0.958 13.628 -0.562 16.491

ANEXO B

B4

Sección B

Dovela Mmin Mmax Momento mínimo Momento máximo

f t f b f t f b

2 1442.77 4911.51 2.171 1.185 1.519 2.413

3 4911.51 9549.52 2.434 3.328 1.562 4.970

4 9549.52 15342.40 2.477 5.885 1.388 7.936

5 15342.40 22293.06 2.303 8.850 0.996 11.311

6 22293.06 30413.74 1.911 12.226 0.384 15.101

Sección C

Dovela Mmin Mmax Momento mínimo Momento máximo

f t f b f t f b

3 1431.25 4874.05 3.117 2.212 2.381 3.593

4 4874.05 9483.25 3.315 4.527 2.331 6.376

5 9483.25 15255.99 3.265 7.311 2.031 9.626

6 15255.99 22200.18 2.966 10.560 1.482 13.346

Sección D

Dovela Mmin Mmax Momento mínimo Momento máximo

f t f b f t f b

4 1422.60 4848.12 4.087 3.262 3.270 4.789

5 4848.12 9442.93 4.219 5.738 3.124 7.787

6 9442.93 15210.64 4.073 8.736 2.698 11.307

Sección E

Dovela Mmin Mmax Momento mínimo Momento máximo

f t f b f t f b

5 1416.84 4833.73 5.071 4.315 4.183 5.965

6 4833.73 9424.94 5.145 6.926 3.952 9.144

Sección F

Dovela Mmin Mmax Momento mínimo Momento máximo

f t f b f t f b

6 1413.96 4828.69 6.059 5.350 5.122 7.084

ANEXO B

B5

Tiempo inicial (t = inf)

Sección A

Dovela Mmin Mmax Momento mínimo Momento máximo

f t f b f t f b

1 1246.44 4960.48 0.905 0.199 0.297 1.342

2 4960.48 9641.72 0.957 2.002 0.191 3.444

3 9641.72 15474.93 0.851 4.103 -0.103 5.900

4 15474.93 22451.49 0.557 6.560 -0.584 8.708

5 22451.49 30580.07 0.075 9.368 -1.254 11.871

6 30580.07 39877.23 -0.595 12.531 -2.115 15.394

Sección B

Dovela Mmin Mmax Momento mínimo Momento máximo

f t f b f t f b

2 1442.77 4911.51 1.535 1.010 0.883 2.238

3 4911.51 9549.52 1.559 2.914 0.687 4.556

4 9549.52 15342.40 1.364 5.232 0.275 7.283

5 15342.40 22293.06 0.951 7.960 -0.355 10.420

6 22293.06 30413.74 0.321 11.097 -1.206 13.972

Sección C

Dovela Mmin Mmax Momento mínimo Momento máximo

f t f b f t f b

3 1431.25 4874.05 2.225 1.785 1.489 3.166

4 4874.05 9483.25 2.180 3.857 1.196 5.706

5 9483.25 15255.99 1.886 6.397 0.653 8.713

6 15255.99 22200.18 1.344 9.404 -0.140 12.189

Sección D

Dovela Mmin Mmax Momento mínimo Momento máximo

f t f b f t f b

4 1422.60 4848.12 2.934 2.577 2.117 4.104

5 4848.12 9442.93 2.819 4.806 1.723 6.855

6 9442.93 15210.64 2.425 7.557 1.050 10.128

Sección E

Dovela Mmin Mmax Momento mínimo Momento máximo

f t f b f t f b

5 1416.84 4833.73 3.654 3.369 2.766 5.019

6 4833.73 9424.94 3.477 5.730 2.285 7.948

ANEXO B

B6

Sección F

Dovela Mmin Mmax Momento mínimo Momento máximo

f t f b f t f b

6 1413.96 4828.69 4.379 4.143 3.443 5.878

Control de flechas (Etapa de construcción)

Etapas permanentes (Modelos computacionales)

Servicio 1

Distancia V2 T M3

m KN KN-m KN-m

0.000 -3152.684 -1187.8312 -14141.26

3.000 -1551.017 3164.9733 -5220.14

6.000 -1254.946 3212.5749 1275.78

9.000 -357.031 3105.9327 6644.98

12.000 -789.503 -405.8996 9403.60

15.000 1116.582 3152.3382 10493.40

18.000 938.376 -128.2138 605.32

21.000 1570.533 445.2581 -1864.82

23.475 2387.114 741.5081 -8971.49

Dovela Nº vi Sumatoria vi

1 0.05539 0.05539

2 0.04325 0.09864

3 0.02928 0.12792

4 0.01593 0.14384

5 0.00584 0.14969

6 0.00067 0.15036

7 0.00000 0.15036

Deflexión máxima 0.15036

ANEXO B

B7

Redistribución de momentos por fluencia

Mf = MII + (MI − MII)e−∅

Distancia M (II) M (I) Mfinal Mcreep

m KN-m KN-m KN-m KN-m

0.000 0.00 -1538.36 -1313.18 -1313.18

3.000 -588.24 2134.14 -189.76 398.48

6.000 -2353.69 4376.85 -1368.52 985.17

9.000 -5299.94 5170.60 -3767.34 1532.60

12.000 -9435.64 4505.25 -7395.08 2040.56

15.000 -14775.18 2370.03 -12265.59 2509.59

18.000 -21338.74 -1246.39 -18397.77 2940.97

21.000 -29152.23 -6356.06 -25815.50 3336.73

23.475 -34524.50 -11821.91 -31201.46 3323.04

Cables solidarios

M3+creep Wt Wb ft fb

KN-m m3 m3

-15454.45 3.5786 1.9349 -4.32 -7.99

-4821.66 3.5786 1.9349 -1.35 -2.49

2260.94 3.6461 1.9685 0.62 1.15

8177.58 3.8496 2.0703 2.12 3.95

11444.16 4.1929 2.2434 2.73 5.10

13002.99 4.6809 2.4927 2.78 5.22

3546.28 5.3195 2.8246 0.67 1.26

1471.92 6.115 3.247 0.24 0.45

-5307.65 6.115 3.247 -0.87 -1.63

Se adopta cables solidarios en las últimas dos dovelas por no cumplir con los esfuerzos

de tracción.

e = 1.0683 m

Wb = 1.9349 m3

∆fcb = 5.032 MPa

∆Po = 9113.94 KN

Po (1 cable) = 977.4 KN

Nº cables = 9.32

Nº cables = 10 cables

M 1 = 10441.56 KN

M 2 = 5220.78 KN

ANEXO B

B8

Comprobación con cables solidarios

M corregido Wt Wb ft fb

KN-m m3 m3

-5012.89 3.5786 1.9349 -1.40 -2.59

-645.03 3.5786 1.9349 -0.18 -0.33

2260.94 3.6461 1.9685 0.62 1.15

8177.58 3.8496 2.0703 2.12 3.95

11444.16 4.1929 2.2434 2.73 5.10

13002.99 4.6809 2.4927 2.78 5.22

3546.28 5.3195 2.8246 0.67 1.26

1471.92 6.115 3.247 0.24 0.45

-5307.65 6.115 3.247 -0.87 -1.63

Diseño corte y torsión

Resistencia 1

Mu Vu Tu

KN-m KN KN-m

2017.95 1291.98 4271.06

8693.39 807.24 3892.88

13406.68 303.47 3236.16

14589.61 1176.63 2929.91

13085.70 2259.68 2759.99

3454.89 1601.30 2947.65

9748.82 2399.34 2257.76

Resistencia del concreto

Sec. dv bv ph Ao V n+ T ϴt Vp εs ϴ β Vc

G 1440.00 540 14000 8640000 3371.67 28.91 595.47 -1.80E-05 28.94 4.74 1808.37

F 1459.98 540 14044.4 8759880 2922.30 28.84 78.01 -3.12E-05 28.89 4.69 1815.67

E 1459.98 540 14044.4 8759880 2354.43 28.74 229.96 -5.58E-05 28.80 4.61 1783.53

D 1520.01 540 14177.8 9120060 2363.36 28.65 197.15 -9.13E-05 28.68 4.49 1810.69

C 1620.00 540 14400 9720000 2914.06 28.51 867.35 -1.36E-04 28.52 4.36 1870.91

B 1760.04 540 14711.2 10560240 2445.13 28.38 1655.87 -2.08E-04 28.27 4.15 1937.47

A 1940.04 540 15111.2 11640240 2737.97 28.28 3299.76 -2.28E-04 28.20 4.10 2109.04

ANEXO B

B9

Diseño a corte

Sec. Vuw Vc φ Av Sv Vs Vc+Vs Vn φVn Av/sv

G 1685835.7 904184.7 10 157.08 170 1010781.9 1914966.7 1914966.7 OK 0.9240

F 1461148.7 907836.4 10 157.08 240 727293.0 1635129.5 1635129.5 OK 0.6545

E 1177214.0 891767.4 10 157.08 420 417075.7 1308843.2 1308843.2 OK 0.3740

D 1181682.0 905342.9 10 157.08 440 416620.3 1321963.4 1321963.4 OK 0.3570

C 1457028.6 935453.0 10 157.08 280 702318.5 1637771.6 1637771.6 OK 0.5610

B 1222563.8 968735.8 10 157.08 550 392567.1 1361302.9 1361302.9 OK 0.2856

A 1368982.6 1054519.3 10 157.08 510 467984.1 1522503.5 1522503.5 OK 0.3080

Verificación a torsión

Sec. Tu ∅ At St (mm) Tn TN (KN-m) At/St φ Tn

G 4271.06 10 157.08 430 4795337615 4795.34 0.36530 OK

F 3892.88 10 157.08 480 4363758145 4363.76 0.32725 OK

E 3236.16 10 157.08 580 3624244443 3624.24 0.27083 OK

D 2929.91 10 157.08 670 3283217158 3283.22 0.23445 OK

C 2759.99 10 157.08 760 3104987410 3104.99 0.20668 OK

B 2947.65 10 157.08 790 3279674653 3279.67 0.19883 OK

A 2257.76 10 157.08 1140 2512335818 2512.34 0.13779 OK

Sumatoria de acero por torsión y corte

Sec. Av/sv At/st Av/Sv+At/St Av/s min Av+t/s

Adoptado ∅ At+v S t+s

G 0.9240 0.3653 1.2893 0.631 1.2893 10 157.08 121.8

F 0.6545 0.3272 0.9817 0.631 0.9817 10 157.08 160.0

E 0.3740 0.2708 0.6448 0.631 0.6448 10 157.08 243.6

D 0.3570 0.2344 0.5914 0.631 0.6313 10 157.08 248.8

C 0.5610 0.2067 0.7677 0.631 0.7677 10 157.08 204.6

B 0.2856 0.1988 0.4844 0.631 0.6313 10 157.08 248.8

A 0.3080 0.1378 0.4458 0.631 0.6313 10 157.08 248.8

Acero por corte y torsión

Armado transversal dovelas

Usar : ∅ 10 cada 13 cm

Usar : ∅ 10 cada 16 cm

Usar : ∅ 10 cada 25 cm

Usar : ∅ 10 cada 25 cm

Usar : ∅ 10 cada 21 cm

Usar : ∅ 10 cada 25 cm

Usar : ∅ 10 cada 25 cm

Flexión transversal

ANEXO B

B10

Losa superior

M(+) M(-) As(+) As(-)

76.07 -216.13 127.22 410.45

83.31 -137.35 140.09 241.31

91.97 -161.3 155.68 289.57

88.28 -142.23 149.01 250.95

99.65 -160.68 169.69 288.29

77.73 -142.98 130.16 252.44

82.43 -145.63 138.52 257.73

97.21 -249.55 165.22 493.55

Losa inferior

M(+) M(-) As(+) As(-)

32.43 -74.81 81.17 202.79

11.68 -23.39 28.29 57.69

11.81 -32.29 28.61 80.80

11.70 -32.60 28.34 81.62

10.95 -26.56 26.49 65.84

13.41 -33.35 32.56 83.60

30.70 -73.61 76.62 199.03

33.77 -122.22 84.71 375.68

Alma interior

M(+) M(-) As(+) As(-)

32.48 -89.22 52.66 150.70

18.78 -89.14 30.17 150.56

32.91 -88.29 53.38 149.03

50.64 -90.26 83.15 152.58

60.17 -62.16 99.47 102.90

77.62 -69.65 129.96 115.93

75.88 -70.72 126.88 117.81

52.14 -54.32 85.70 89.42

ANEXO B

B11

Alma exterior

M(+) M(-) As(+) As(-)

30.31 -76.99 49.07 128.85

50.55 -84.54 82.99 142.29

67.89 -92.03 112.86 155.79

79.77 -64.82 133.78 107.51

72.32 -60.31 120.61 99.71

70.78 -45.20 117.91 73.93

41.74 -36.22 68.11 58.88

56.18 -45.71 92.60 74.79

Refuerzo requerido por flexión

Armado transversal dovelas (flexión)

Usar : ∅ 10 cada 19 cm

Usar : ∅ 10 cada 32 cm

Usar : ∅ 10 cada 27 cm

Usar : ∅ 10 cada 31 cm

Usar : ∅ 10 cada 27 cm

Usar : ∅ 10 cada 31 cm

Usar : ∅ 10 cada 30 cm

Usar : ∅ 10 cada 15 cm

Armadura adoptada para corte, torsión y flexión

Armado transversal dovelas

Usar : ∅ 10 cada 13 cm

Usar : ∅ 10 cada 13 cm

Usar : ∅ 10 cada 21 cm

Usar : ∅ 10 cada 21 cm

Usar : ∅ 10 cada 21 cm

Usar : ∅ 10 cada 21 cm

Usar : ∅ 10 cada 21 cm

Usar : ∅ 10 cada 15 cm

Diafragmas

Tensión S1-1

ANEXO B

B12

Compresión

S1-1 máx. = 15.10 MPa

S1-1 min. = -3.28 MPa

Flexión

Compresion:

15.10 < 21 OK

Tracción

Fu = σ1−1 ∙ b ∙ d

As =Fu

0.9 ∙ fy

Datos:

b = 450 [mm]

h = 1800 [mm]

fy = 420 [MPa]

rec = 30 [mm]

ANEXO B

B13

Resultados:

Fu = 2656800 [N]

As = 7028.57 [mm2]

As. real = 7202.16 [mm2]

As. min= 1433.7 [mm2]

Usar: 18∅16 c/lado

Armadura de piel

0.92 > 0.05 OK

Refuerzo transversal por corte

𝜏1-2 = 1.92 MPa.

Vu = τ1−2 ∙ b ∙ h

Vu = 1555200 N

Diseño por corte

Vc = 0.083 ∙ β ∙ √f´c ∙ b ∙ d

Vc = 257509.02 N

Vs =Vu − ∅ ∙ Vc

∅

Vs = 1470491 N

∴ Usar ∅12 c/11 cm

C1

Anexo C

MOMENTOS Y REACCIÓN MÁXIMAS POR CARGA HL-93

ANEXO C

C2