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8/22/2019 Tesis de Calculo Estructural Helice
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Universidad Austral de ChileFacultad de Ciencias de la Ingeniera
Escuela de Ingeniera Naval
CORRELACIN DE TENSIONES Y DEFORMACIONESENTRE HLICES DE DISTINTOS MATERIALES A
TRAVS DEL MTODO DE ELEMENTOS FINITOS
Tesis para optar al Grado de:
Licenciado en Ciencias de la Ingeniera.
PROFESOR PATROCINANTE:Sr: Richard Luco Salman.
Dr. Ingeniero Naval.
RODRIGO AMAGNO SEPLVEDA BENAVIDESVALDIVIA CHILE
2006
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No puedo dejarpasar esta oportunidad para agradecer el incondicional respaldo
y confianza que me ha entregado mi familia, en especial mis hermanos Sonia, Ruby,
Ana, Lucy, Mary, Guido y Anglica, quienes durante toda mi vida me han demostrado
que puedo contar con ellos en cualquier circunstancia. A mi madre, que sin duda, le
pertenece este logro y quien nos ha dedicado su vida por completo y a mi pap, que me
ha apoyado cuando ha podido hacerlo.
A quienes me han recibido en sus casas y me han integrado como uno ms de
sus familias, a mis compaeros, a los profesores y a todas las personas que hicieron
de mi estada en Valdivia un lugar agradable durante estos aos.
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NDICE
RESUMEN VII
INTRODUCCIN VIII
INTRODUCCIN AL MTODO DE ELEMENTOS FINITOS
1.1- Planteamiento general del mtodo. 1
1.1.1 - Modelo matemtico. 2
1.1.1.1 - LA TEORA DE LA ELASTICIDAD 2
1.1.2 - Discretizacin del dominio. 5
1.1.2.1 - Eleccin del elemento 5
1.1.2.2 - Generacin de la malla. 7
1.1.3-Funciones de aproximacin. 8
1.1.3.1 - Series polinmicas. 8
1.1.3.2 - Funciones de forma. 10
1.1.4 - Ecuaciones de compatibilidad. 11
1.1.5 - Matriz de rigidez elemental. 13
1.1.6 - Condiciones de contomo. 15
1.1.7 - Obtencin de los desplazamientos y tensiones. 16
1.1.8. - Presentacin de resultados. 16
1.2 - Anlisis tridimensional de tensiones. 16
1.2.1 - Funciones de desplazamiento. . 17
1.2.2 - Matriz de deformaciones. 19
1.2.3 - Matriz de elasticidad. 20
1.3. - Tipos de anlisis estructural. 21
1.4. - Instrumentos informticos. 22
MATERIALES COMPUESTOS
2.1 - Introduccin: 24
2.2 - Anlisis micromecnico de lminas. 27
2.2.1 - Materiales componentes. 28
2.2.2 - Regla de mezcla - Constantes de ingeniera. 31
2.2.3 - Tensin y deformacin axial. 32
2.2.4 - Transformacin de coordenadas y tensin-deformacin no axial. 332.2.5 - Rigidez no axial y conformidad (matriz de rigidez inversa). 34
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2.2.6 - Resistencia de una lmina. 35
2.2.6.1 - Criteriode mxima tensin. 35
2.2.6.2 - Criterio de mxima deformacin. 36
2.2.6.3 - Criterio de falla de Tsai-Wu. 36
2.3 - Anlisis de laminado. 37
2.3.1 - Rigidez de lminas en el plano. 33
2.3.2 - Rigidez a la flexin del laminado. 38
2.3.3 - Resistencia de laminados. 41
ELEMENTOS FINITOS PARA MATERIALES COMPUESTOS
3.1 - Elementos rectangulares para compuestos delgados. 42
3.2 - Elementos rectangulares para compuestos gruesos. 45
GEOMETRA DE LA HLICE
4.1 - La hlice como elemento propulsor. 47
4.2 - Superficies helicoidales. 49
4.3 - Representacin grfica de la hlice. 52
a) Proyeccin lateral. 53
b) Proyeccin frontal. 53
c) Perfiles expandidos. 53
4.4 - Relaciones geomtricas. 54
RESISTENCIA MECNICA DE LAS PALAS
5.1 - Generalidades. 56
5.2 - Esfuerzos debidos ai par y al empuje. 56
5.3 - Esfuerzos debidos a la fuerza centrfuga. 60
5.4 - Clculo de ios esfuerzos unitarios. 61
5.4.1 - Frmula de Tayton 625.4.2 - Frmulas de Romson. 63
5.5 - Clculo de una hlice por reglamento. 64
5.5.1 - Materiales. 64
5.5.2 - Clculo del espesor de las palas. 64
CARACTERSTICAS DE LA HLICE
6.1 - Caractersticas. 68
6.2 - Condiciones de operacin. 686.3 - Geometra de la hlice. 68
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MODELADO DE LA HLICE
7.1 - Perfil de la cara de presin y ncleo. 70
7.2 - Superficie helicoidal en la cara de presin. 71
7.3 - Cara de succin. 73
7.4 - Unin pala - ncleo. 777.5 - Maliado en Algor. 79
ESTIMACIN DE CARGAS Y CONDICIN DE CONTORNO
8.1 - Generalidades. 82
8.2 - Fuerzas por empuje y torque. 83
8.4 - Ubicacin y vector de direccin de las fuerzas puntuales. 86
8.5 - Clculo de las cargas a aplicar al modelo. 86
8.6 - Condicin de contorno. 89
CLCULO ESTRUCTURAL CON DISTINTOS MATERIALES
9.1 - Nquel-Aluminio - Bronce (NAB) 90
9.2 - Laminado A 93
9.3 - Comparacin de resultados. 95
CONCLUSIONES 96
BIBLIOGRAFA 98
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RESUMEN
Durante mucho tiempo las hlices se han dimensionado de acuerdo a
reglamentos de casa clasificadoras quienes a travs de expresiones empricas que
relacionan una serie de variables, proporcionan los espesores del perfil en la pala adiferentes radios evadiendo as, un anlisis estructural de tensiones, que a su vez
implica un gran trabajo, puesto que las formulaciones slo nos entregan el valor en un
punto, por tanto hacer la distribucin completa de tensiones para una hlice tomara
mucho tiempo y esfuerzo.
Gracias a las versiones ms actualizadas en software de diseo y elementos
finitos, que tienen una gran flexibilidad, podemos modelar geometras complejas en
uno y ejecutar todo tipo de anlisis disponibles en otro.
Con tal oportunidad que nos brindan estos programas, se realizar un clculoestructural para una hlice ya construida donde se mostrar la distribucin de
tensiones y las deformaciones que se producen en el propulsor cuando est operando
al mximo de su capacidad y se har una comparacin de resultados evaluando
diversos materiales de construccin bajo la accin de las cargas aplicadas.
SUMMARY
From a long time propellers were dimensioned by rules of classification, using
empiric expressions, which are related with many variables. The expressions allow us
to get the foil thicknesses of the blade for a specific radius, without a structural
analysis, which is labor intensive because formulas only give values for a specific
point, so to make the whole tension distribution will take too much time and effort.
With the new CAD and FEM software, we can design complex geometrical
shapes and later analyze these ones using different programs for both work stages
In this way, we'll effectuate a finite element structural analysis for a propeller
already built where, we're analyze the tension map and deformed shape of it in a load
condition, and also we'll make comparisons between different materials models under
the action of loads applied.
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INTRODUCCIN
Para una comprensin en la formulacin del mtodo de elementos finitos,
comenzaremos por dar un planteamiento general donde se indican los principales
enunciados que caracterizan este procedimiento de clculo, que aplicaremos paraencontrar la distribucin de tensiones en una hlice de bronce, la cual se comparar
con una ficticia de material compuesto. Las propiedades y caractersticas de tales
compuestos se exponen por separado para razonar la diferencia entre ambos
materiales, quienes sern sometidos a las distintas cargas que deduciremos a travs
de un mtodo emprico, que contrasta en la simpleza con una formulacin entregada
que nos permite realizar manualmente los clculos de resistencia mecnica de las
palas.
Los conceptos y fundamentos en el origen de la geometra para una hlice son
proporcionados con el fin de tener una mayor perspectiva de la situacin en estudio.
La geometra del propulsor elegido fue modelada en un programa de diseo, adems
se explica de manera muy sencilla como hacer una hlice paso a paso y as llegar a
obtener el modelo para esta estructura compleja de una manera mucho ms gil, que
hacerla directamente en un software de elementos finitos.
De esta forma podremos aplicar las fuerzas que actan en una pala paradeterminar de manera muy cercana a la realidad, donde se producen los esfuerzos
mximos as como la deformacin de la hlice bajo la accin de las cargas que est
generando. Con esto podremos hacer una comparacin en los resultados obtenidos
con los distintos materiales para concluir cuales son las diferencias entre ellos para
este caso en particular.
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CAPTULO I
INTRODUCCIN AL MTODO DE ELEMENTOS FINITOS
La necesidad de obtener respuestas fiables y rpidas a los diferentes problemas
que se presentan en ingeniera, ha llevado al mtodo de elementos finitos (MEF), a ser
uno de los instrumentos ms utilizadas en la solucin de estos, destacando el rea de
clculo de estructuras en donde su aplicacin ha hecho posible soluciones prcticas a
problemas complejos de abordar mediante otras tcnicas.
1.1 Planteamiento general del mtodo.
El mtodo consiste en discretizar un medio continuo mediante elementos
llamados elementos finitos, que estn enlazados entre si a travs de nodos ubicados
en el contorno de estos. En cada elemento se asume una funcin de aproximacin que
definir el comportamiento de la variable que se est estudiando, en el caso de las
estructuras sern los desplazamientos, en funcin de los valores que adquiera esta
variable en los nodos, es decir los desplazamientos nodales. Una vez obtenidos estos
valores se plantean las ecuaciones de compatibilidad de todos los elementos y seresuelven utilizando mtodos matriciales. La primera impresin es que el mtodo es
similar a lo que se conoce como anlisis matricial de estructuras, pero como se ver
ms adelante, la diferencia fundamental est en la obtencin de la matriz de rigidez,
adems de no estar limitado al anlisis de estructuras discretas.
El mtodo de elementos finitos puede plantearse en una serie de etapas, las que
se pueden ordenar de la siguiente forma:
1.1.1. Modelo matemtico.
1.1.2. Discretizacin del dominio.
1.1.3. Funciones de aproximacin.
1.1.4. Ecuaciones de compatibilidad.
1.1.5. Matriz de rigidez.
1.1.6. Condiciones de contorno.
1.1.7. Obtencin de desplazamientos y tensiones.
1.1.8. Presentacin de los resultados.
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Se detallan a continuacin cada una de las etapas sealadas:
1.1.1 Modelo matemtico.
Se debe seleccionar un modelo matemtico que describa el comportamiento de
la estructura, como por ejemplo la teora de la elasticidad, explicado brevemente a
continuacin.
En casos muy contados es posible obtener una solucin analtica del problema,
por lo que es comn utilizar tcnicas numricas, con lo que se obtiene una solucin
aproximada, involucrndose por lo tanto, la experiencia de quien realiza los clculos.
1.1.1.1 LA TEORA DE LA ELASTICIDAD
De un modo genrico se puede definir el mbito de la teora de la elasticidad
como extendido al estudio del comportamiento de los slidos deformables. No
obstante, bajo el trmino de elasticidad cabe incluir el anlisis de situaciones con
material no lineal, de frecuente aplicacin a la Mecnica del Suelo, o con grandes
movimientos y deformaciones, as como extensiones de evidente inters en el estudiode la propagacin de fisuras, como la teora de la elasticidad micropolar o el caso
particular de la misma conocido como elasticidad con tensiones-momentos.
En la actualidad, la utilizacin del computador ha permitido extender la utilidad de
la teora de la elasticidad ms all de los aspectos anteriormente comentados. En
efecto, tras la aparicin de los mtodos de los elementos finitos y de los elementos de
contorno, es posible obtener soluciones numricas de problemas complejos en
geometra, cargas y condiciones de contorno.
1.1.1.2 Concepto de slido elstico.
Un aspecto importante que debe considerar el ingeniero en las construcciones
corresponde a su estabilidad y resistencia. Estas propiedades se comprueban
mediante un modelo matemtico resultado de una abstraccin de la realidad, y es en
este modelo, que en general no es nico, sobre el que se aplican las tcnicas fsico-
matemticas adecuadas, con objeto de deducir unos resultados que deben ser, a su
vez, trasladados a la realidad.
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Por consiguiente, existen tres etapas en una comprobacin de la resistencia de
una construccin: idealizacin, clculo e interpretacin de los resultados.
La idealizacin de la realidad se denomina slido elstico, conviene recordar a
este respecto, que en la mecnica racional, el proceso de abstraccin conduca a un
modelo denominado slido rgido. En ambos casos, se concibe el modelo de slido
como un conjunto de puntos materiales que interaccionan entre si mediante las fuerzas
intermoleculares de cohesin. Los dos tipos de modelo de slido presentan las
siguientes propiedades:
El slido rgido se caracteriza por conservar invariables las distancias entre sus
puntos materiales. El slido elstico, al igual que el slido real, corresponde a modelos que implican
modificacin de las distancias entre puntos materiales. Sin embargo, en el slido
elstico se supone que no existen espacios vacos intermoleculares contrariamente
al slido real, es decir, la masa de los distintos puntos se distribuye uniformemente
en su entorno. Por ello el slido elstico se dice que es un slido deformable
continuo. Esta ltima propiedad implica que para todo entorno de un punto
geomtrico del slido existe asociada una masa o, lo que es lo mismo, la masa es
una funcin de distribucin continua y todos los puntos geomtricos son materiales.
El slido elstico as definido es el modelo que estudia la mecnica de los medios
continuos, y en particular como parte de la misma, la elasticidad. No obstante, y con
objeto de reducir su mbito y simplificar la formulacin matemtica, se suele considerar
una clase de slidos que sean elsticos, homogneos y continuos. La propiedad
elstica supone la recuperacin de las distancias modificadas por una accin a la
situacin inicial una vez que cesa esta. Las cualidades de homogeneidad e isotropa
consideran la igualdad de las caractersticas del slido (masa, propiedades elsticas,
etc.) independientemente del punto y de la direccin respectivamente.
En resumen, la elasticidad lineal estudia el comportamiento del slido elstico
definido como un sistema de puntos materiales deformable, continuo, elstico,
homogneo e istropo.
Desde un punto de vista formal, el comportamiento del slido elstico se rige de
acuerdo con las siguientes hiptesis:
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El slido es continuo y permanece as bajo la accin de las cargas
exteriores.
El principio de superposicin de efectos es vlido.
Existe un estado nico sin tensiones en el slido al cual se vuelve cuando
cesan las acciones.
La validez de las hiptesis anteriores exige que todas las ecuaciones que
intervengan en el clculo elstico sean lineales.
Las ecuaciones de la elasticidad se pueden clasificar en tres grandes grupos:
(a) Ecuaciones de equilibr io o estticas, que relacionan las fuerzas actuantes
con magnitudes estticas denominadas tensiones.
(b) Ecuaciones de compatib ilidad o cinemticas, que representan condiciones
entre los movimientos del slido y unas magnitudes cinemticas llamadas
deformaciones.
(c) Ecuaciones constituti vas o mixtas, que expresan el comportamiento delmaterial que compone el slido, es decir, relacionan las tensiones con las
deformaciones.
Las ecuaciones de equilibrio y de compatibilidad pueden deducirse mediante
consideraciones de la mecnica racional. Las ecuaciones constitutivas son
fenomenolgicas y slo pueden obtenerse va ensayos experimentales.
Los tres grupos de ecuaciones anteriores tienen que ser lineales, si la hiptesis
de superposicin de efectos es vlida. La linealidad de las ecuaciones de equilibrio o
linealidad esttica exige que la geometra del slido elstico que se considere en el
planteamiento de las ecuaciones sea la correspondiente a la del slido en su posicin
inicial; es decir, no depende de los movimientos experimentados por el slido.
La linealidad de las ecuaciones de compatibilidad o linealidad cinemtica supone
que las ecuaciones entre deformaciones y movimientos sean de primer grado lo que
implica despreciar todos los trminos cuadrticos y de los movimientos frente a las
primeras potencias de estos.
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Finalmente, la linealidad del material asume que este sea elstico Hookeano, es
decir, las ecuaciones entre tensiones y deformaciones sean lineales. Adems si se
descargan las acciones, se alcanza el estado inicial nico sin deformaciones
permanentes (propiedad elstica del material).
1.1.2 Discretizacin del dominio.
La idea bsica de discretizar es dividir el medio continuo en una serie de
elementos, cuyos tamaos y orden estarn previamente establecidos, con el objeto de
reducir de infinitas a finitas las incgnitas a resolver y que representarn, en este caso,
el comportamiento de la estructura. Los elementos en que se divide el medio continuose denominan elementos finitos y estn conectados entre si por nodos ubicados
generalmente en la frontera de cada uno de ellos, el conjunto de elementos finitos y
nodos da por resultado una malla, la que representar lo ms fielmente posible la
geometra del medio continuo.
En la discretizacin del medio continuo se pueden diferenciar dos aspectos
importantes, el primero es la tipologa del elemento y el segundo la densidad de la
malla a utilizar, de estos dos aspectos depende en gran medida la precisin delresultado que se obtenga.
1.1.2.1 Eleccin del elemento
La tipologa del elemento a utilizar depender principalmente del problema que
se quiera resolver, por lo que es recomendable tener un conocimiento a priori del
comportamiento de la estructura y de la respuesta que ofrece cada elemento, esto
basado principalmente en la funcin de aproximacin asociada a ste y su geometra.
Una clasificacin general de los elementos y en funcin principalmente de su
geometra, se puede realizar como se detalla a continuacin:
i) Elementos monodimensionales: constituidos por barras y vigas, utilizados en diversos
tipos de problemas, siendo de gran utilidad en aquellos que se requiera rigidizar
paneles mediante refuerzos.
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ii) Elementos bidimensionales: constituidos por elementos triangulares (lineales o
cuadrticos), rectangulares (lineales, lagrangianos o serendpitos) y cuadrilteros
(resultantes de la eliminacin del nodo central de la unin de cuatro elementos
triangulares).
iii) Elementos tridimensionales: resultan de la generalizacin de los elementos
bidimensionales, pudiendo diferenciarse los axisimtricos, paraleleppedos y
hexaedros.
En la actualidad existe una amplia gama de elementos, dependiendo de la
herramienta informtica que se use, como se detalla en la figura 1.1.1, siendo
necesario resaltar que para cada problema se deber utilizar el elemento adecuadointroduciendo las variables nodales correspondientes.
FIGURA 1.1.1 TIPOS DE ELEMENTOS
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Los elementos detallados anteriormente pueden distorsionar su geometra
permitiendo una mejor aproximacin a la geometra del modelo en estudio, estos se
conocen como elementos isoparamtricos y son generados por medio de
transformaciones bilineales, teniendo la particularidad de que un elemento generatriz
bidimensional, no slo dar como resultado un elemento isoparamtrico bidimensional
sino que puede generar uno tridimensional. La utilizacin de elementos
isoparamtricos, soluciona en gran medida el problema de representacin geomtrica
de modelos complejos, especialmente aquellos que poseen zonas con curvaturas
pronunciadas y en las que sera necesario un gran nmero de elementos para
representar fielmente su geometra. Existen adems los elementos isoparamtricos
degenerados, producto del desplazamiento de uno de los nodos de un elemento
isoparamtrico triangular o rectangular, utilizado comnmente en el estudio defenmenos de mecnica de fractura.
1.1.2.2 Generacin de la malla.
El conjunto de elementos finitos, conectados entre si a travs de sus nodos, se
denomina malla, siendo de gran importancia el orden en el que se distribuyan los
elementos y la densidad de esta.
El orden de los elementos en la malla tiene directa relacin con el tiempo que
utilice el computador para resolver el problema, ya que, una vez obtenidas las matrices
de rigidez de los elementos, el orden en el que estn dispuestos en el modelo definir
el ancho de banda de la matriz global, por consiguiente, un estudio preliminar de la
distribucin de los elementos en el modelo asegurar un menor esfuerzo informtico.
Los programas modernos tienen una funcin de automallado que realiza en
forma automtica la optimizacin de la distribucin de los elementos, mejorando el
rendimiento del computador.
La densidad de la malla o tamao de los elementos tiene directa relacin con el
grado de precisin que se requiera, ya que mientras ms fina sea la malla, es decir,
mientras ms pequeos sean los elementos que se utilicen, mayor ser el grado de
precisin que se obtendr.
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Generalmente un refinamiento de la malla involucra un mayor trabajo
informtico, por lo tanto, la tcnica utilizada es de refinar en forma progresiva y slo en
las zonas de inters, poniendo cuidado en algunos aspectos como el que la malla
inicial est contenida en la malla que resulte de disminuir el tamao de los elementos y
que el tamao de una de las dimensiones del elemento utilizado no sea mucho mayor o
menor que las otras.
En numerosos casos la generacin de la malla de un modelo implica el utilizar
un gran nmero de elementos, por lo que se debe considerar la posibilidad de aplicar
condiciones de simetra, lo que traer como resultado un ahorro del trabajo informtico
o una mayor exactitud de resultados.
1.1.3 Funciones de aproximacin.
Las funciones de aproximacin o funciones de interpolacin, nos permiten
aproximar los valores de la variable en estudio (desplazamientos) dentro del elemento,
a valores en los nodos, para ello existen dos maneras, una a travs de funciones de
forma y otra utilizando series polinmicas, siendo estas ltimas las ms utilizadas por
su sencillez de manejo y porque basta con aumentar el grado del polinomio paraaumentar el grado de precisin.
1.1.3.1 Series polinmicas.
Este mtodo define la funcin de desplazamientos dentro del elemento
mediante un polinomio completo M(x,y,z), de grado n igual al nmero de grados de
libertad de los nodos del elemento, es decir:
nm098
27
26
254321
za...xzayzaxyaza
yaxazayaxaa)z,y,x(
++++++
+++++=
(1.1.1)
que expresado en forma matricial ser:
{ }n222T
T
z,...,zx,yz,xy,z,y,x,z,y,x,1M
AM)z,y,x(
=
=
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+
=
+=
=
1n
1i
m
2
1
)i2n(im
a
a
a
AM
(1.1.2)
donde m es el nmero de trminos del polinomio.
En un elemento, con un nmero de nodos igual a m, la funcin de interpolacin
en funcin de los valores nodales queda:
(1.1.3)
Si despejamos la matrizA, obtenemos el valor de los coeficientes del polinomio
de interpolacin en funcin de los valores nodales:
[ ] n1
nMA = (1.1.4)
[ ]nM es matriz cuadrada mxm, no singular y caracterstica para cada elemento.
Sustituyendo (1.1.4) en (1.1.2) se tiene el valor de la funcin en cualquier punto
del elemento:
[ ] nn1
nTT NMMAM === (1.1.5)
donde N es la matriz de forma del elemento.
[ ]
)(nodoM
)(nodoM
)(nodoM
M
)(nodo
)(nodo
)(nodo
AM
mT
2
T
1T
n
m
2
1
n
nn
=
=
=
M
M
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Este procedimiento de aproximacin es muy utilizado, pero presenta algunas
desventajas como por ejemplo la necesidad de obtencin de la matriz inversa.
1.1.3.2 Funciones de forma.
Las funciones de forma pueden obtenerse mediante polinomios de interpolacin
como los desarrollados por Lagrange y Hermite, cumpliendo con definir unvocamente
el campo de desplazamientos en el interior del elemento en funcin de los
desplazamientos nodales:
[ ] { } [ ] { }nni N)z,y,x(N)z,y,x( == (1.1.6)
Donde:
)z,y,x( : es el campo de desplazamientos en el interior del elemento.
[ ]N : matriz de funciones de forma.
)z,y,x(N i : funcin de forma asociada a los nodos del elemento.
{ }n : vector de desplazamientos nodales.
Con el objeto de asegurar que la solucin que se obtiene mediante la funcin deaproximacin elegida converja a la solucin, esta debe cumplir con la condicin de
conformidad, que se refiere a la continuidad de resultados entre elementos, siendo
necesario que la funcin adquiera el valor cero en todos los nodos menos en el nodo
que se est considerando, en donde adquiere el valor de la unidad, adems debe
cumplir con la condicin de complitud, es decir, asegurar la continuidad de la funcin
dentro del elemento, cumpliendo con las ecuaciones que plantea el modelo
matemtico. Lo anterior implica que la funcin debe ser diferenciable hasta el grado
ms alto de las derivadas que aparezcan en la formulacin de la energa potencial delsistema, esto se cumple cuando la suma de las funciones de aproximacin asociadas a
los nodos, en cualquier punto del elemento, es igual a la unidad.
Estas dos condiciones pueden resumirse como:
0)z,y,x(N i = , en cualquier nodo ji
1)z,y,x(N i = , en cualquier nodo ji =
=
=n
1ii 1)z,y,x(N
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- 12 -
Entre los criterios para seleccionar el elemento a utilizar en el modelo, adems
de lo descrito en lo referido a discretizacin del dominio, es importante considerar el
tipo de funcin de forma que est asociada al elemento, as por ejemplo, habrn
elementos Lagrangianos que utilizan polinomios de Lagrange para generar la funcin
de forma; Hermticos, en donde se utilizan polinomios de Hermite y que son de especial
inters cuando se requiere conocer los valores de la funcin y de su derivada;
Serendpitos, en que el inters es que los nodos se encuentren en el contorno del
elemento y cuya funcin de forma se obtiene multiplicando los trminos de grado n del
polinomio elegido en una variable por trminos lineales en la otra, con lo cual se
obtiene un resultado similar a los polinomios de Lagrange en los contornos.
1.1.4 Ecuaciones de compatibilidad.
Se sabe por la teora de la elasticidad que la relacin entre tensiones y
deformaciones unitarias es:
[ ] = D (1.1.7)
En el caso de la tensin tridimensional, las deformaciones y tensiones, toman las
siguientes expresiones:
{ }
{ }
[ ]
=
=
=
A00000
0A0000
00A0000001
0001
0001
D
zxyzxyzzyyxxT
zxyzxyzzyyxxT
,,,,,
,,,,,
Donde:
Poisson.deecoeficient
Young.demdulo
Lam.deecoeficient
=
=
=
=
E
2
)21(A
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En el caso de la tensin plana tenemos que:
(1.1.8)
El vector de deformaciones unitarias puede expresarse en funcin de los
desplazamientos nodales de la siguiente forma:
+
+
+
=
)z/u()x/w(
)y/w()z/v(
)x/v()y/u(
z/w
y/v
x/u
zx
yz
xy
zz
yy
xx
(1.1.9)
donde u, v, w, son los desplazamientos definidos por:
=
)z,y,x(w
)z,y,x(v
)z,y,x(u
(1.1.10)
si [ ]L es el operador:
[ ]
=
x/0z/
y/z/0
0x/y/
z/00
0y/0
00x/
L (1.1.11)
la deformacin puede expresarse como:
[ ] = L (1.1.12)
{ }
{ }
[ ]
=
=
=
2)1(
00
01
01
)1(E
D22
xyyxT
xyyxT
,,
,,
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- 14 -
sustituyendo (1.1.5) en (1.1.12) resulta:
[ ] [ ] nNL = (1.1.13)
llamando [ ] [ ] [ ] :expresinlaobtenemosa NLB
[ ] nB = (1.1.14)
con lo que se consigue expresar las deformaciones en funcin de los valores nodales,
anlogamente, sustituyendo en (1.1.6) se obtendrn los valores de las tensiones en
funcin de los valores nodales:
[ ] [ ] nBD = (1.1.15)
1.1.5 Matriz de rig idez elemental.
Para la obtencin de las matrices de rigidez elementales, que relacionan las
cargas exteriores aplicadas al elemento con los desplazamientos nodalesindependientes que este experimenta, se utiliza un principio variacional como el
principio de energa potencial mnima. Principio que establece que entre todos los
desplazamientos admisibles, aquel que adems satisface las condiciones de equilibrio
de la estructura convierte el funcional energtico en estacionario. Por lo tanto,
aplicndolo al elemento, el procedimiento ser el siguiente:
La energa de deformacin almacenada en el interior del elemento est
expresada por:
{ } [ ]{ } dVD21 T
ve= (1.1.16)
Donde:
{ }[ ] material.delrigidezdeelsticamatriz
nes.deformaciodevector
=
=D
El trabajo de las cargas exteriores queda:
{ } { } = vT
ee dVf)z,y,x(W (1.1.17)
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- 15 -
[ ] [ ] [ ] { } { } dVf)z,y,x(dVBDB21 T
v eTnnv
TTn
e
=
=
[ ] [ ] [ ] [ ] dVBDBK
0/
T
ve
n
=
=
{ } [ ] { }n= Kf
[ ] [ ]= eKK
Donde:
{ }{ } .exteriorescargasdevector:
entos.desplazamidecampo:
f
)z,y,x(e
la energa potencial total del elemento ser:
eee W= (1.1.18)
la energa potencial total en toda la estructura ser:
(1.1.19)
derivando e igualando a cero (1.1.19), para obtener la energa potencial mnima, se
obtiene la matriz de rigidez elemental:
(1.1.20)
La integracin se extiende dentro del subdominio constituido por los lmites del
elemento y se resuelve mediante mtodos de integracin numrica, los coeficientes de
la matriz obtenida dependen de la geometra y del material del elemento seleccionado.
La matriz de rigidez de la estructura (matriz de rigidez global) de orden MxM
siendo M el nmero de nodos del elemento, se obtiene mediante el ensamblaje de las
matrices elementales, es decir, partiendo de la matriz de rigidez del elemento de orden
mxm, amplindola con ceros en los lugares correspondientes a los grados de libertad
de los nodos que no pertenecen al elemento, hasta completar el orden MxM, la matriz
de rigidez del sistema ser:
(1.1.21)
de esta forma queda:
(1.1.22)
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- 16 -
{ } { } { }
{ } [ ] { } [ ] { } { } ++=
+=
iissT
v vT
n
svn
dpdSfNdVfNf
fff
Donde:
{ }[ ] global.rigidezdematriz:
es.equivalentnodalescargasdevector:
K
f
El vector de cargas equivalentes aplicadas en los nodos al elemento, queda
definido por:
(1.1.23)
Donde:
{ }{ }{ } puntuales.fuerzas
s.superficiedefuerzas
msicas.ovolumendefuerzas
:p
:f
:f
i
s
v
El vector de cargas totales de la estructura queda definido por:
{ } { }= nv ff (1.1.24)
1.1.6 Condic iones de contorno.
Con el objeto de resolver las ecuaciones, que llevan por incgnitas los
desplazamientos, se restringen los grados de libertad o desplazamientos en
determinadas direcciones de un conjunto de nodos, con lo cual la ecuacin (1.1.22),
puede escribirse como:
[ ] [ ][ ] [ ]
=
r
l
r
l
rrrl
lrll
f
f
KK
KK(1.1.25)
Donde:
os.restringidlibertaddegradoslossobrecargadevector
os.restringidnolibertaddegradoslossobrecargadevectorosrestringidlibertaddegradosvector
os.restringidnolibertaddegradosvector
:f
:f:
:
r
l
r
l
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- 17 -
como el valor de los desplazamientos en los nodos restringidos es nulo:
[ ][ ]
rlrl
llll
fK
fK
=
=(1.1.26)
se pueden obtener los valores de los desplazamientos en las direcciones no
restringidas con la primera de las ecuaciones (1.1.26), y sustituyendo en la segunda, se
obtienen las reacciones en las restricciones.
1.1.7 Obtencin de los desplazamientos y tensiones.
Una vez obtenidos los valores de los desplazamientos nodales, como se indica
en las ecuaciones (1.1.26), las tensiones se obtienen aplicando la expresin (1.1.25).
Existen muchos procedimientos para la resolucin de ecuaciones lineales que pueden
ser implementados en el computador, pudiendo emplearse mtodos directos, iterativos,
gradiente conjugado y mtodos frontales. La resolucin de estos ltimos se realizan al
mismo tiempo que se van ensamblando las matrices.
1.1.8. Presentacin de resultados.
Existen diferentas formas de presentacin de resultados, dependiendo del
sistema informtico que se utilice, pero en general se obtendrn resultados mediante
listados, en donde se detallan los valores de desplazamientos y tensiones en los nodos
y mediante representaciones grficas de la pieza estructural que se est estudiando, en
donde se representan en base a cdigo de colores en imgenes las variables en
estudio.
1.2 Anlisis tridimensional de tensiones.
Los problemas de anlisis de tensiones en cuerpos tridimensionales,
evidentemente abarcan la mayora de los casos prcticos, aunque en algunos casos
puede obtenerse un modelo adecuado y sencillo utilizando distintas aproximacionesbidimensionales.
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- 18 -
El elemento continuo bidimensional ms simple es el tringulo. Su equivalente
tridimensional es el tetraedro, que tiene cuatro nodos, uno en cada vrtice y sobre cuya
formulacin bsica se tratar en este captulo.
1.2.1 Funciones de desplazamiento.
En la figura 1.2.1 se representa un elemento tetradrico i, j, m, p en el espacio
definido por las coordenadas x, y, z. El desplazamiento de un punto queda definido por
tres componentes u, v, w en las direcciones de los ejes cartesianos x, y, z, por tanto:
=
w
v
u
u (1.2.1)
Al igual que en un tringulo plano los tres valores nodales definan la variacin
lineal de una cantidad, aqu una variacin lineal vendr definida por cuatro valores
nodales. Como en el caso de la ecuacin (1.1.1) podemos escribir, por ejemplo que:
zayaxaau 4321 +++= (1.2.2)
Igualando los valores de los desplazamientos en los nodos, tenemos cuatro
ecuaciones del tipo:
L++++= i4i3i211 zayaxaau (1.2.3)
de donde podemos calcular desde a1 a a4.
FIGURA 1.2.1 VOLUMEN TETRADRICO
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- 19 -
Adems podemos escribir la solucin empleando el determinante, o sea:
( )
( ) ( )
+++++++
++++++++=
pppppmmmmm
jjjjjiiiii
uzdycxbauzdycxba
uzdycxbauzdycxba
V6
1u (1.2.4)
Siendo:
ppp
mmm
jjj
iii
zyx1
zyx1
zyx1
zyx1
detV6 = (1.2.5a)
en la que observamos que el valor de V representa el volumen del tetraedro.
Desarrollando, los otros determinantes por cofactores, obtenemos:
1yx1yx
1yx
detdz1xz1x
z1x
detc
zy1
zy1
zy1
detb
zyx
zyx
zyx
deta
pp
mm
ii
i
pp
mm
ii
i
pp
mm
jj
i
ppp
mmm
iii
i
==
==
(1.2.5b)
obtenindose el resto de las constantes mediante permutacin cclica de los subndices
p, i, j, m.
La ordenacin de los nmeros nodales p, i, j, m, debe seguir la regla de la
mano derecha como se deduce claramente de la figura 1.2.1. Los tres primeros nodos
se han numerado en esta siguiendo un orden contrario al sentido de las agujas del
reloj, mirando desde el ltimo nodo.
El vector de desplazamientos del elemento viene definido como sigue por las
doce componentes de desplazamiento de los nodos.
=
p
m
j
i
e
a
aa
a
a (1.2.6)
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- 20 -
siendo:
etc.a ,
w
v
u
i
i
i
i
=
Podemos describir el desplazamiento de un punto cualquiera as:
[ ] epmji N,N,N,N aIIIIu = (1.2.7)
con funciones de forma definidas por:
etc.,V6
zdycxbaN iiiii
+++= (1.2.8)
De nuevo, las funciones de desplazamientos utilizadas satisfarn obviamente las
condiciones de continuidad en los contornos de separacin entre elementos. Este
hecho es consecuencia directa de la naturaleza lineal de la variacin de los
desplazamientos.
1.2.2 Matriz de deformaciones.
En un anlisis tridimensional completo, el vector deformacin en un punto tiene
seis componentes. La matriz de deformaciones se puede definir ahora siguiendo la
notacin general del texto de elasticidad de Timoshenko, como:
Su=
+
+
+
=
=
)z/u()x/w(
)y/w()z/v(
)x/v()y/u(
z/w
y/vx/u
zx
yz
xy
z
y
x
(1.2.9)
Empleando las ecuaciones (1.2.4) a (1.2.7) se comprueba fcilmente que:
[ ] epmjie aB,B,B,BBa == (1.2.10)
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- 21 -
en la cual:
=
=
ii
ii
ii
i
i
i
ii
ii
ii
i
i
i
i
b0d
cd0
0bc
d00
0c0
00b
V6
1
,x
N,0,
z
N
,y
N,
z
N,0
,0,x
N,
y
N
,z
N,0,0
,0,yN,0
,0,0,x
N
B (1.2.11)
obtenindose las restantes submatrices de forma similar, permutando simplemente los
subndices.
Las deformaciones iniciales, tales como las debidas a la dilatacin trmica,
pueden escribirse de la forma habitual como vector de seis componentes que, por
ejemplo, en una dilatacin trmica istropa serian sencillamente:
=
0
0
0
e
e
e
0 (1.2.12)
siendo el coeficiente de dilatacin y e o el incremento medio de la temperatura en el
elemento.
1.2.3 Matriz de elasticidad.
Si existe la anisotropa completa, la matriz D que relaciona las seis componentes
de la tensin con los componentes de la deformacin puede contener 21 constantesindependientes.
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- 22 -
As pues en general:
( ) 00
xz
yz
xy
z
y
x
+=
= D (1.2.13)
Aunque el clculo no presenta en si gran dificultad cuando se trata con estos
materiales, ya que la multiplicacin nunca se efecta explcitamente, es conveniente
recoger aqu la matriz D para un material isotrpico. Se puede escribir esta en funcin
de las constantes elsticas usuales E (mdulo de Young) y (coeficiente de Poisson).
( )( )( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
+
=
,12
21,0,0,0,0,0
,0,12
21,0,0,0,0
,0,0,12
21,0,0,0
,0,0,0,1,1
,1
,0,0,0,1
,1,1
0,0,0,1
,1
,1
211
1ED (1.2.14)
1.3. Tipos de anlisis estructural.
El tipo de anlisis estructural que se realice, depende del objetivo que se quiere
alcanzar con la aplicacin del mtodo, por ejemplo, comprobacin de clculos,
optimizacin estructural, optimizacin de peso, nuevo diseo, etc., se suma a esto la
capacidad del instrumento informtico y el tiempo que se desee invertir en el anlisis.
En general, la gran mayora de los software de elementos finitos poseen la capacidad
de ofrecer al menos las siguientes opciones de anlisis:
Anlisis esttico lineal, determinando desplazamientos debido a cargas en losnodos, cargas de presin, cargas de temperatura nodal y cargas de gravedad
debido al peso propio.
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- 23 -
Anlisis de esfuerzos debido a las deformaciones producto de los
desplazamientos nodales.
Anlisis modal, el que incluye la determinacin de frecuencias naturales y modos
de vibracin. Anlisis de pandeo.
Respuesta a cargas dinmicas.
Anlisis lineal y no lineal de conduccin de calor.
Independiente del software utilizado es preponderante en cualquier tipo de
anlisis de estructura, la experiencia de quien recibe e interprete los resultados.
Cualquier tipo de anlisis requiere comprobar si los esfuerzos obtenidos son
compatibles con las tensiones admisibles.
1.4. Instrumentos informticos.
El mtodo de elementos finitos ha sido implementado en computadores
obtenindose excelentes resultados, existiendo hoy en da una amplia y variada oferta
de programas que resuelven numerosos problemas de ingeniera, diferencindose
entre ellos principalmente por la facilidad de uso, rapidez de clculo, plataforma de
trabajo, librera de elementos y por supuesto el costo, esto ltimo dice relacin directa
con las prestaciones de la herramienta (nmero de nodos, grados de libertad,
elementos, etc.) y el tipo de licencia (anual o perpetua), entre otras variables.
Cada herramienta informtica posee innumerables opciones de modelado y
presentacin de resultados, unas ms cmodas de trabajar que otras, pero en general,
estos instrumentos cumplen con el cometido de facilitar el trabajo de quienes proyectan
y disean estructuras.
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- 24 -
A continuacin se plantean algunas diferencias, que hacen una herramienta
informtica ms atractiva que otra:
Facilidad de manejo, rapidez de aprendizaje y un buen servicio postventa.
Amplia librera de elementos, que posibiliten la realizacin de diferentes tipos de
anlisis.
Facilidad de lectura de resultados, presentados a travs de mapas de
degradacin de colores, listados por nodos, elementos y orientacin, ubicacin
expedita de puntos crticos, etc.
Plataforma de trabajo moderna y amigable, de fcil y rpida adaptacin.
Hardware mnimo necesario que permita soportar una inversin recuperable a
corto plazo.
Que posea un mtodo optimizado de solucin, disminuyendo el tiempo
informtico invertido en el anlisis.
Base terica para la formulacin de los elementos validada.
Costo acorde a las prestaciones.
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- 25 -
CAPTULO II
MATERIALES COMPUESTOS
Las exigencias de las modernas construcciones, tales como bajos costos, una
mejor esttica, alto rendimiento y larga vida til, han conducido a la industria a
desarrollar materiales ms avanzados que satisfagan las necesidades de hoy.
Tradicionalmente, materiales estructurales, tales como madera, acero y concreto, han
sido combinados para formar miembros estructurales de mayor calidad. Una parte
estructural construida por una combinacin de diferentes materiales es considerada
una pieza de MATERIAL COMPUESTO. El rendimiento de tales piezas es
generalmente superior al rendimiento de cada uno de los componentes. El concretoreforzado es un compuesto convencional que ha sido usado satisfactoriamente en una
variedad de estructuras. Otras combinaciones como acero-concreto o madera-acero,
son tambin usadas comnmente en estructuras modernas.
2.1 Introduccin:
Una nueva generacin de materiales basados en subproductos del petrleo ymadera ha evolucionado desde la introduccin de los plsticos. Ellos son fciles de
procesar, resistentes a la corrosin y adems livianos, pero tienen una baja rigidez y
resistencia comparada con los materiales convencionales. Estos plsticos pueden ser
eficientemente reforzados con fibras altamente resistentes tales como la de vidrio,
aramida y carbn. Usando tecnologa de materiales compuestos, se pueden crear
materiales que satisfacen las mayores necesidades en la construccin. Las
propiedades de los materiales pueden ser creadas de acuerdo a las necesidades
especficas, el uso excesivo de componentes se puede evitar y por tanto el rendimiento
puede ser maximizado sin un alto incremento en el costo de la construccin. Todos
estos esfuerzos han dejado estructuras ms livianas y delgadas. Las reglas bsicas de
seguridad asociadas a la tensin mxima posible, son ahora acompaadas por la carga
crtica de pandeo pues la falla de una estructura delgada es ms probable que sea
regida por la inestabilidad geomtrica que por falla de material. Durante aos la
mayora de la investigacin y desarrollo ha sido enfocada sobre el comportamiento
estructural en los miembros de acero, madera y concreto.
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- 26 -
En todos los casos los materiales estn asumidos como homogneos e
isotrpicos y las propiedades como el mdulo de elasticidad E, la relacin de Poisson
, y el mdulo de corte G, son constantes y el nico parmetro es la geometra de la
estructura. Hay casos donde estos parmetros son variables, como la tensin residualen el acero, comportamiento anisotrpico de la madera y grietas en el concreto
reforzado, que deben ser consideradas y realizarse un estudio ms exacto.
Sin embargo las diferencias entre un anlisis riguroso y uno simplificado son
usualmente pequeas. El uso de materiales completamente diferentes combinados con
bajo peso y miembros estructurales delgados requiere un completo y preciso anlisis
que puede hacerse ms complicado si se usan materiales anisotrpicos.
Los materiales pueden ser combinados en muchas formas para fabricar el
material compuesto deseado. El comportamiento estructural de una pieza compuesta
est regido no slo por la geometra o el tipo de carga, tambin por las propiedades del
material. La combinacin de materiales se decide de acuerdo a las necesidades
estructurales y a la relativa importancia de una variedad de propiedades como:
resistencia, peso, resistencia a la corrosin, rigidez, resistencia a la abrasin,
resistencia a la fatiga, expansin termal, propiedades electro-magnticas,
comportamiento a altas temperaturas, conductividad trmica, aislamiento acstico y
esttica del material. De este modo usando tcnicas de optimizacin, la combinacin
para el material deseado es decidida para cada aplicacin especifica.
En un sistema compuesto, dos o ms de los materiales componentes son
combinados en un cuerpo slido. En cada combinacin, uno de los materiales
componentes es llamado matriz. Las matrices estn usualmente caracterizadas por sus
relativamente bajas propiedades fsicas y proveen de la cohesin con los otros
materiales componentes. El otro material puede ser cualquier fibra continua, fibras
tejidas, fibras en forma aleatoria, o partculas que hacen el rol de refuerzo. Otra
posibilidad es combinar capas de diferentes materiales (compuestos hbridos). En
todos los casos el resultado de la combinacin es un nuevo material con caractersticas
y propiedades diferentes a las de sus materiales constitutivos.
De acuerdo a la combinacin de materiales, hay tres categoras bsicas de
materiales compuestos: los compuestos de fibra que consiste de fibras en una matriz,
el compuesto laminado que son capas laminadas de de varios materiales, y los
compuestos particulares que estn compuestos de partculas en una matriz.
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- 27 -
FIGURA 2.1.1 (a) FIBRAS, (b) LAMINADO, (c) COMPUESTO PARTICULAR
Por ejemplo, la fibra de vidrio colocada en una matriz epxica forma una fibra
compuesta, figura 2.1.1(a). La viga mostrada en la figura 2.1.1 (b) est hecha de capas
de madera y acero conectadas una a la otra en la superficie interlaminar y es una viga
laminada compuesta. Un compuesto laminado es tambin obtenido por la combinacin
de capas de fibras con diferentes orientaciones. Por ultimo el concreto no reforzado es
un ejemplo representativo de un compuesto particular, figura 2.1.1. (c).
Dependiendo del tipo de material compuesto y de su aplicacin estructural, se
han desarrollado numerosos procesos de fabricacin, ellos pueden ser categorizados
en procesos continuos y no continuos. Un proceso no continuo es empleado para
fabricar formas de estructuras complejas como aviones o partes de vehculos que son
producidas con la ayuda de un molde abierto o uno de compresin con matriz de acero,como los mostrados en las siguientes figuras.
FIGURA 2.1.2 (a) MOLDE ABIERTO, (b) FABRICACIN CON MOLDE DE COMPRESIN
En un proceso continuo, las partes estructurales son producidas relativamente
rpidas pasando a travs de una matriz a alta temperatura para formar un slido de
forma libre o de una seccin deseada como vigas I, vigas de cajn, secciones
acanaladas y muchas otras. Estos procesos continuos son ampliamente usados paraproducir formas constantes de secciones. Un proceso continuo usado comnmente es
el proceso pultrusion, que est esquematizado en la siguiente figura.
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- 28 -
FIGURA 2.1.3 PROCESO DE PULTRUSION
A causa del comportamiento anisotrpico del material y a su bajo mdulo de
elasticidad, grandes deflexiones ocurren probablemente en los miembros del
compuesto que puede derivar en un comportamiento geomtrico no lineal. As tambin,
pequeas imperfecciones tales como deflexiones iniciales y curvaturas, discontinuidad
de material o anomalas debido a defectos de manufactura, pueden jugar un rol
significativo en el comportamiento de una estructura compuesta.
Una vez que son seleccionados los componentes, el material compuesto puede
ser fabricado a travs de varios procedimientos. Un proceso comn forma lminas
como un ensamble de varias capas (lminas o pliegues) mantenindolas juntas. Ahora
se examinar el comportamiento de tales materiales.
2.2 Anlisis micromecnico de lminas.
Las partes estructurales hechas de materiales compuestos pueden ser
categorizadas como compuestos de fibra, compuestos laminado y compuestos
particulares. Los compuestos laminados consisten en capas de materiales
homogneos, cada uno caracterizado por sus propias propiedades mecnicas, o
alternativamente de capas de fibra compuesta. Es muy importante estudiar primero el
comportamiento del compuesto desde el punto de vista micromecnico, esto es el
comportamiento del laminado. El laminado ms comn hecho de fibra compuesta es
presentado en detalle.
La primera tarea en el anlisis es definir la relacin tensin-deformacin as
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- 29 -
como la fuerza de la lmina compuesta de acuerdo al uso de tales propiedades para
predecir el comportamiento estructural del producto final, el laminado.
2.2.1 Materiales componentes.
Las lminas son fabricadas por la combinacin de dos o ms materiales
llamados matriz y fibras. Las fibras son usualmente ms fuertes y se caracterizan por
sus altos valores de elasticidad, de este modo juegan el rol de refuerzos. La matriz es
un material ms dbil con propiedades elsticas menores en relacin con las fibras. La
matriz mantiene juntas a las fibras, transfiere y distribuye las cargas externas y protege
a las fibras de daos exteriores. El producto final de una combinacin fibra-matriz es uncuerpo slido que retiene y extiende las propiedades de sus materiales constitutivos.
Las fibras pueden ser hechas de vidrio, carbn, polmeros o metales. La fibra de
vidrio E est especialmente diseada para una alta resistencia y es usada
extensamente en la industria de los compuestos. El carbn y las fibras de grafito
tambin tienen una alta resistencia y se han vuelto ms econmicas tras las ltimas
dcadas como resultado de la demanda y la capacidad de produccin. Las fibras de
polmeros, como la aramida, tambin pueden ser usadas en los compuestos.
Una matriz puede ser hecha de polmeros, metales o cermicos. Los materiales
ms ampliamente usados como matrices en los compuestos modernos son polmeros
como los epxicos, polister, vinilster y algunos otros, generalmente llamados
plsticos.
Las fibras se pueden orientar en una matriz de diferentes formas. Cuando las
fibras son continuas y tienen la misma direccin, el compuesto es llamado
unidireccional. Si las fibras estn orientadas al azar en la matriz, el compuesto es
llamado aleatorio, estas fibras pueden no ser continuas. Ejemplos de compuestos
unidireccionales y aleatorios estn mostrados en el esquema siguiente:
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- 30 -
FIGURA 2.2.1 (a) UNIDIRECCIONAL, (b) COMPUESTO ALEATORIO
En fibras compuestas cada uno de los materiales componentes, por ejemplo
fibras y matriz, es considerada como homogneo e isotrpico. Las propiedades
elsticas y resistencia para algunos de los componentes comnmente usados en los
compuestos son dadas a continuacin. Especficamente la tabla 2.2.1 enumera las
propiedades elsticas de las fibras ms comunes mientras que la tabla 2.2.2 enumera
las propiedades de las matrices de polmeros ms usadas.
TABLA 2.2.1
E G Gpa Gpa (kN/m3)Fibras
(ksi)
(ksi) (lb/in3)73 30 24.4
Vidrio-E10600
0.224350 0.09
85.4 35.6 24.4Vidrio-S
124000.2
5170 0.09220 9 17.6
Carbn
32000
0.2
1300 0.065152 2.9 14.4Aramida
220000.35
420 0.053
TABLA 2.2.2
E G Gpa Gpa (kN/m3)Matriz
(ksi)
(ksi) (lb/in3
)3.45 1.28 11.95
Epxica500
0.35186 0.044
3.38 1.38 12.22Vinilster
4900.24
200 0.045
3.25 1.2 11.95Polister
4700.36
175 0.044
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- 31 -
isotrpicos y por tanto se requieren dos constantes elsticas para cada uno, pueden
ser el mdulo de elasticidad Ef y la relacin de Poisson f , o el mdulo de corte Gf
para las fibras y Em , f o Gm para la matriz respectivamente. Para determinar las
propiedades elsticas de una lmina compuesta de fibras, debemos saber el aporte decada material al producto final. Esto es determinado por la fraccin de volumen de
fibrasVf, que es el porcentaje de fibra en una unidad de volumen representativo. Las
fibras pueden ser arregladas en una matriz de diferentes formas. Para compuestos
unidireccionales, se examina un plano normal a la seccin de direccin de la fibra para
obtener una seccin representativa de reaA, donde el rea de las fibras es Af, y el
rea de la matriz esAm. La fraccin de volumen de fibra es determinada por la relacin:
AAV ff = (2.2.1)
DondeA = Af+ Am. La idea del volumen representativo o rea en un compuesto
de fibras es dada en la figura 2.2.2 para varios tipos de arreglos en una matriz.
FIGURA 2.2.2 REA REPRESENTATIVA PARA UN COMPUESTO DE FIBRAS.
As, para un compuesto unidireccional para el cual los materiales componentes
han sido seleccionados, podemos determinar las propiedades del material usando
diferentes aproximaciones. A esta altura, debi ser notado que cualquier propiedadderivada matemticamente debe estar sujeta a una cuidadosa verificacin
experimental. Dos aproximaciones bsicas son presentadas en la micromecnica de
los compuestos: la aproximacin mecnica del material a la rigidez que est basada en
la teora clsica de resistencia de materiales para comportamientos combinados de los
materiales componentes, y la aproximacin elstica a la rigidez, que est basada en los
principios de energa variacional de la teora clsica de la elasticidad, para determinar
los limites superiores e inferiores de rigidez para un lmina. La aproximacin mecnica
a la rigidez es presentada a continuacin. El mtodo entrega suficiente precisin para
la mayora de las aplicaciones en compuestos unidireccionales.
2.2.2 Regla de mezcla Constantes de ingeniera.
Los materiales componentes son usualmente considerados homogneos e
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- 32 -
La regla de mezcla es la ms simple regla linear para la relacin fraccin de
volumen entre una lmina compuesta y las propiedades de los componentes.
Considere un plano en el sistema coordenado 12 (ver figura 2.2.3), donde las fibras
son paralelas al eje 1 correspondindole la direccin longitudinal. Ntese que E1 es el
mdulo de elasticidad longitudinal del compuesto, E2 es el mdulo transversal de
elasticidad, 12 la relacin de Poisson y G12el mdulo de corte en el plano 12. El
material es isotrpico transversalmente y sus propiedades elsticas E1, E2, 12 y G12
son las llamadas Constantes de Ingeniera. La expresin de la regla de mezcla para las
propiedades elsticas de un compuesto est dadas por:
(2.2.5)
(2.2.4)
(2.2.3)
(2.2.2)
mfff
mf12
mfff12
mfff
mf2
mfff1
GVG)V1(
GGG
)V1(V
EVE)V1(
EEE
E)V1(EVE
+=
+=
+=
+=
Los valores de E2 y G12 dados en las ecuaciones (2.2.3) y (2.2.5) son
usualmente un lmite inferior del mdulo de corte y mdulo transversal y se deben llevar
a cabo anlisis experimentales para predecir valores ms precisos.
Para fibras distribuidas aleatoriamente en una matriz como en la figura 2.2.1. (b),
los compuestos se comportan como materiales isotrpicos en el plano, para los cuales
las propiedades del material pueden ser determinadas por la siguiente relacin semi-
emprica:
(2.2.7)
(2.2.6)
21
21
E4
1E
8
1G
E8
5E
8
3E
+=
+=
El mdulo E1 y E2 en la ecuacin (2.2.6) y (2.2.7) puede ser calculado de la
ecuacin (2.2.2) y (2.2.3) respectivamente, mientras que la relacin de Poisson estdeterminada por la conocida relacin 1)G2/E( = vlida para materiales isotrpicos.
2.2.3 Tensin y deformacin axial.
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- 33 -
Tras la determinacin de las constantes de ingeniera E1, E2, 12 y G12 la relacin
tensin-deformacin correspondiente al sistema axial 12 est definida para cualquiera
de las tres orientaciones mostradas en la figura 2.2.3
FIGURA 2.2.3 SISTEMA AXIAL PARA UNA LMINA DE FIBRAS: (a), (b), (c) MUESTRAN
LA ORIENTACIN DE LA FIBRA.
Si las fibras estn alineadas a lo largo del eje 1, el sistema 1-2 es llamado axial o
material axial, y las relaciones correspondientes son llamadas tensin-deformacin
axiales. Estas relaciones pueden ser expresadas en trminos de la matriz derigidez [ ]Q
y de la matriz de conformidad [ ]S , dadas por:
[ ] [ ]
(2.2.10);
:pordadosestan1,2,6conrigidezdeescoeficientLosSDonde
(2.2.9)
(2.2.8)
12661121221212
2112
222
2112
111
ji1
12
2
1
66
2212
1211
12
2
1
12
2
1
66
2212
1211
12
2
1
GQQQQ
1
EQ,
1
EQ
i , jQ.Q
S00
0SS
0SS
y
Q00
0QQ
0QQ
===
=
=
==
=
=
Donde 121221 E/E= . Los componentes axiales de la rigidez Q16 y Q26 son
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- 34 -
cero, porque los compuestos unidireccionales son transversalmente isotrpicos y no
existe el acoplamiento de extensin de corte. El componente de conformidad S i j con
i, j = 1, 2, 6 est dado por:
;
(2.2.11)
;
1266
2
21
1
1212
122
111
G
1S
EES
E
1S
E
1S
=
=
=
==
2.2.4 Transformacin de coordenadas y tensin-deformacin no axial.
Considere un sistema de coordenadas x-y orientado a 0 respecto al sistema
axial 1-2. El sistema x-y es llamado no axial. El sistema no axial y la convencin de
signos para el ngulo est ilustrado en la figura 2.2.4.
FIGURA 2.2.4 ORIENTACIN AXIAL Y NO AXIAL: (a), (b), (c) MUESTRAN
LA ORIENTACIN DE LAS FIBRAS
El sistema de coordenadas 1-2 para el material no siempre coincide con el
sistema estructural x-y y por tanto tensiones y deformaciones expresadas en un
sistema axial deben ser transformadas a una nueva configuracin no axial. Esto es un
problema puramente geomtrico y las tensiones pueden ser determinadas por:
(2.2.12)
=
xy
y
x
22
22
22
12
2
1
nmmnmn
mn2mn
mn2nm
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- 35 -
)(senny)cos(m
nmmn2mn2
mnmn
mnnm
xy
y
x
22
22
22
12
2
1
==
=
:Donde
(2.2.13)
:poradeterminadserpuedendeformaciladecintransformalaquemientras
2.2.5 Rigidez no axial y conformidad (matriz de r igidez inversa).
Para un sistema no axial, la relacin tensin-deformacin de la ecuacin (2.2.8)
se vuelve:
(2.2.14)
=
xy
y
x
ssysxs
ysyyxy
xsxyxx
xy
y
x
QQQ
QQQ
QQQ
Donde los trminos de acoplamiento de extensin de corte Qss y Qys no son cero.
Combinando las relaciones de tensin-deformacin axial y no axial (2.2.8) y(2.2.14) con las ecuaciones de transformacin (2.2.12) y (2.2.13) y resolviendo para los
componentes de rigidez en el sistema no axial, obtenemos las ecuaciones de
transformacin para los componentes de rigidez:
(2.2.15)
+=
66
12
22
11
333333
333333
222222222
22442222
222244
222244
ys
xs
ss
xy
yy
xx
Q
Q
)mnnm(2mnnmnmmn
)nmmn(2nmmnmnnm)nm(nm2nmnm
nm4nmnmnm
nm4nm2mn
nm4nm2nm
Q
Q
Q
Q
La ecuaciones de transformacin anterior son vlidas cuando la transformacin
es realizada desde un sistema axial 1-2 a cualquier sistema no axial x-y. De igual forma
la relacin de tensin-deformacin en trminos de conformidad en x-y, est dada por:
(2.2.16)
=
xy
y
x
ssysxs
ysyyxy
xsxyxx
xy
y
x
SSS
SSS
SSS
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- 36 -
Las ecuaciones de transformacin para los componentes de conformidad
pueden ser derivados de manera similar y estn dados por:
(2.2.17)
+=
66
12
22
11
333333
333333
222222222
22442222
222244
222244
ys
xs
ss
xy
yy
xx
S
S
S
S
mnnm)mnnm(2nm2mn2
nmmn)nmmn(2mn2nm2
)nm(nm8nm4nm4
nmnmnmnm
nm4nm2mnnm4nm2nm
S
S
S
S
SS
2.2.6 Resistencia de una lmina.
La resistencia de una lmina es examinada con la ayuda del criterio de falla. Los
criterios ms ampliamente usados son: tensin mxima, deformacin mxima y
algunos criterios cuadrticos. Los criterios son mayormente empricos, pero ellos an
son muy importantes en diseo y optimizacin de materiales compuestos.
El criterio de falla est desarrollado con respecto a un sistema de coordenadas
axial. Usando la transformacin de coordenadas para la tensin y deformacin (verseccin 2.2.4) es fcil obtener el criterio de falla para una lmina no axial. Para una
lmina compuesta por fibras unidireccionales, los siguientes valores de resistencia
pueden ser obtenidos de simples pruebas de laboratorio:
X = Resistencia a la tensin longitudinal.
X' = Resistencia a la compresin longitudinal.
Y = Resistencia a la tensin transversal.
Y' = Resistencia a la compresin transversal.
S = Resistencia al corte.
2.2.6.1 Criterio de mxima tensin.
Segn el criterio de mxima tensin, la falla ocurre cuando a lo menos una de
las siguientes relaciones no es satisfecha:
(2.2.18c)
(2.2.18b)
(2.2.18a)
S
YY
XX
12
2
1
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2.2.6.2 Criterio de mxima deformacin.
El criterio de mxima deformacin se puede desarrollar a partir de la ecuacin
(2.2.18) usando la relacin lineal de tensin-deformacin, y est expresado como:
(2.2.19c)
(2.2.19b)
(2.2.19a)
1212
22
2
11
1
G
S
E
y
E
Y
E
X
E
X
La falla ocurre si cualquiera de las ecuaciones (2.2.19) no es satisfecha. Ningn
criterio de mxima tensin o mxima deformacin incluye alguna interaccin entre los
componentes de la tensin o deformacin. Este efecto est incluido en el criterio
cuadrtico de Von Mises para materiales isotrpicos.
2.2.6.3 Criterio de falla de Tsai-Wu.
Uno de los criterios cuadrticos ms usados es el de Tsai-Wu. Para una lmina
ortotrpica bajo tensin en el plano el criterio de Tsai-Wu est expresado por:
(2.2.20a)1FFFFFF 2126622222112
21112211 +++++
Donde los coeficientes Fi y Fi j(i, j=1, 2, 6) estn dados por:
266221112
2211
21
S
1FFFF
YY
1F
XX
1F
Y
1
Y
1F
X
1
X
1F
==
=
=
=
=
;
(2.2.20b);
;
El material ha fallado cuando la ecuacin (2.2.20a) no es satisfecha. Otros
criterios cuadrticos como el de Hill, Tsai-Hill, y Tsai-Hahn son similares al criterio de
Tsai-Wu. Las desigualdades entre los criterios de tensin mxima, deformacin
mxima y el criterio cuadrtico de Tsai-Wu expresado en el espacio 21 son
ilustradas en la figura 2.2.5.
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- 38 -
FIGURA 2.2.5 CRITERIO DE FALLA PARA UNA LMINA UNIDIRECCIONAL
EN EL ESPACIO DE TENSIN
2.3 Anlisis de laminado.
Un laminado consiste en dos o ms capas perfectamente unidas o plegadas. La
unin es infinitesimalmente delgada y no hay deformacin por corte, lo cual implica que
los desplazamientos son continuos a travs de las interfaces del laminado, y las capas
no pueden resbalar una sobre otra. Como resultado, el laminado acta como una capa
simple de material con propiedades combinadas. Las capas componentes pueden ser
del mismo o diferentes combinaciones de material, adems la orientacin tambin
puede variar. Usualmente el laminado compuesto est construido con capas
unidireccionales del mismo material pero est orientado relativamente de diferentes
maneras una capa respecto de la otra.
Numerosas combinaciones pueden ser aplicadas a la orientacin de capas as
como los materiales componentes. Cuando las capas estn compuestas del mismo
material componente la orientacin as como la posicin de de cada una en el laminado
de todas formas necesita ser descrita. El arreglo de las capas est especificado por laconvencin del cdigo de laminado el cual describe la secuencia de apilamiento de
capas. Segn este cdigo, la numeracin comienza desde la superficie inferior del
laminado y continua hacia la capa superior.
Los laminados que son simtricos respecto de su plano medio tambin son
conocidos como laminados balanceados. En la prctica, es muy usado considerar
laminados balanceados, ya que estn caracterizados por su comportamiento
ortotrpico.
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- 39 -
2.3.1 Rigidez de lminas en el plano.
La relacin tensin-deformacin en un sistema axial puede ser definida por cada
lmina usando al procedimiento descrito previamente. Ahora, la transformacin de la
relacin tensin-deformacin est determinada para cada capa desde la secuencia de
apilamiento y el cdigo de laminado.
Usando la relacin de tensin-deformacin en una capa individual, podemos
llegar a dicha relacin para el laminado que relaciona las resultantes de tensin Nx, Ny
y Nxy a la deformacin de la superficie media 0xy0y
0x y, enz = 0, esto es:
=
0xy
0y
0x
662616
232212
161211
xy
y
x
AAA
AAA
AAA
N
N
N
(2.3.1)
Los trminos de rigidez planar son funcin de los componentes de la rigidez, el
espesor de las capas y la secuencia de apilado y son dados por:
6,2,1j,i,tQA
n
1kk
kjiji == = (2.3.2)
Donde kjiQ , es la rigidez transformada desde la ecuacin (1.2.14), y tk es el espesor de
la k-sima capa y n es el numero total de capas en el laminado.
2.3.2 Rigidez a la flexin del laminado.
Muchas partes estructurales hechas de materiales compuestos, tales como
placas o cscaras, se comportan de manera eficiente a la flexin. Algunas teoras han
sido desarrolladas para modelar el comportamiento a la flexin de los compuestos
laminados. La ms popular es la teora clsica de laminacin (TCL), anloga a la teora
clsica para flexin de placas. La TCL est basada en las siguientes consideraciones:
El laminado es delgado.
La distribucin de deformacin es linear en la direccin del espesor Las deformaciones perpendiculares a la superficie media son despreciables.
La deformacin por corte fuera del plano es cero.
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- 40 -
El acuerdo para la flexin de la TCL es mostrada esquemticamente en la siguiente
figura:
FIGURA 2.3.1 COMPUESTO LAMINADO EN FLEXIN: (a) POSICIN ORIGINAL,Y (b) POSICIN DEFORMADA
Segn la TCL, slo las tres deformaciones xyyx , y producen trabajo,
mientras que todas las otras son cero. Es ms, la deformacin total puede ser
expresada como funcin de la curvatura y deformacin del plano medio, esto es:
=
xy
y
x
0xy
0y
0
x
xy
y
x
z (2.3.3)
Donde el ndice cero denota valores en la superficie media del laminado y las
curvaturas ,,, xyyx estn dadas por las ecuaciones (3.1.3). Sustituyendo la
ecuacin (2.3.3) en (2.2.14) obtenemos:
(2.3.4)
=
xy
y
x
0xy
0y
0x
ssysxs
ysyyxy
xsxyxx
xy
y
x
z
QQQ
QQQ
QQQ
La ecuacin (2.3.4) integrada capa por capa sobre el espesor del laminado h
resulta en la relacin general tensin-deformacin para laminados, esto es:
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- 41 -
(2.3.5)
=
xy
y
x
xy
y
x
662616662616
262212262212
161211161211
662616662616
262212262212
161211161211
xy
y
x
xy
y
x
DDDBBB
DDDBBB
DDDBBB
BBBAAA
BBBAAA
BBBAAA
M
M
M
N
N
N
La ecuacin (2.3.5) relaciona la tensin y el momento resultante de la
deformacin y la curvatura. El termino Aij fue derivado en la seccin 2.3.1 ecuacin
(2.3.2). La ecuacin (2.3.5) implica que, en general, hay acoplamientos desarrollados
en laminados entre los modos de flexin y en el plano, por ejemplo, una tensin axial
puede producir curvaturas y el momento de flexin puede producir deformacionesaxiales. Este comportamiento complejo caracteriza a los materiales anisotrpicos. Los
trminos Bij y Dij son dados en forma explcita a continuacin:
(2.3.7)
(2.3.6)
+=
=
=
=
3k
2
k
n
1k
kjiji
k
n
1k
kjiji
t12
1kztQD
kztQB
Para i, j= 1, 2, 3, donde Qij son los componentes de la rigidez transformada dada
por la ecuacin (2.2.15) y kz
est definida como la distancia desde la superficie media
de la k-sima capa a la superficie media del laminado. Para un laminado con n capas,
la distancia kz
de la k-sima capa desde el eje x es mostrada en la siguiente figura.
FIGURA 2.3.2 SECUENCIA DE PUESTA DE CAPAS Y NUMERACIN DE UN LAMINADO
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- 42 -
Para laminados simtricos, el trmino acoplado Bij desaparece y la ecuacin
(2.3.5) queda simplificada a un problema desacoplado.
2.3.3 Resistencia de laminados.
El criterio de falla presentado en la seccin 2.2.6 se refiere a la resistencia de
capas. As, para un laminado de dos o ms capas, la aplicacin de un criterio de
resistencia a cada capa individual o pliegue puede indicar falla para algunas, mientras
que para las otras el criterio puede ser satisfecho.
En vista de esta consideracin, se han desarrollado varios criterios referidos a laresistencia de un laminado, el primer criterio de falla para capas asume que el material
es degradado en el sentido que el laminado ha fallado si uno de sus pliegues ha fallado
a causa de una tensin en el plano. En otros criterios, se asume que los pliegues
restantes an conservan una importante capacidad de resistencia, este es el llamado
criterio de fallas sucesivas de pliegues. Despus de las sucesivas fallas de pliegues, el
criterio del ltimo pliegue asume que el laminado an retiene algo de su resistencia
hasta que todos los pliegues han fallado, de este modo el criterio est asociado con la
capacidad de ltima resistencia del laminado. Por ejemplo la delaminacin o prdidade continuidad entre las capas debido a una tensin interlaminar excesiva est
examinada por el criterio de delaminacin.
Algunas causas comunes de falla por delaminacin y sus causas asociadas son
mostradas a continuacin:
FIGURA 2.3.3 DELAMINACIN DE COMPUESTOS: (a) DELAMINACIN POR EXCESIVA TENSIN
EN EL PLANO, (b) DELAMINACIN ASOCIADA CON CAMBIOS DE TEMPERATURA
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- 43 -
CAPTULO III
ELEMENTOS FINITOS PARA MATERIALES COMPUESTOS
Dos tipos de elementos finitos sern examinados para el anlisis de los
materiales compuestos. En el primer tipo la lmina es considerada delgada (espesor
despreciable) y las suposiciones de Kirchhoff para placas son adoptadas. Para el
segundo tipo la lmina tiene un espesor y se asume que el efecto de corte transversal
en placas gruesas combinada con la flexin entrega una aproximacin ms apropiada,
lo que se conoce como la teora para placas Mindlin. En ambos casos, el elemento
finito para materiales compuestos combina tensiones y deformaciones planares con la
flexin.
Debe ponerse atencin especial en la orientacin del elemento en el sistema
coordenado global X-Y-Z. Contrario a los materiales isotrpicos donde adems del
sistema global X-Y-Z, cada elemento est asociado con un sistema de coordenadas
local , en los materiales compuestos los sistemas de coordenadas adicionales
estn definidos por cada capa. Por ejemplo cada capa est caracterizada por su
sistema de material, el cual es un sistema local que define la orientacin de las fibras
en el sistema de elementos.
A continuacin se desarrolla un procedimiento paso a paso para obtener las
ecuaciones de rigidez de un elemento compuesto que est resaltado para elementos
rectangulares isoparamtricos. Slo los pasos que requieren alguna clarificacin son
discutidos aqu.
3.1 Elementos rectangulares para compuestos delgados.
La matriz de rigidez para una placa rectangular isoparamtrica delgada de
elementos compuestos es desarrollada con la ayuda del mtodo de la energa
potencial. El mtodo est sujeto a cargas planares y transversales. Debido a la
complejidad de las relaciones algebraicas slo las relaciones bsicas sern obtenidas.
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- 44 -
FIGURA 3.1.1 ELEMENTO RECTANGULAR DE 4 NODOS
PARA COMPUESTOS DELGADOS
1erPaso: Definir el tipo de elemento y el sistema de coordenadas.
Se selecciona un elemento rectangular de cuatro nodos. El elemento tiene 24
grados de libertad (DOF), esto es seis grados por cada nodo. La numeracin de los
nodos, los desplazamientos as como el sistema de coordenadas estn mostrados en
la figura 3.1.1
2o
Paso: Seleccionar la funcin de forma.Los desplazamientos u, v y w dentro del elemento estn expresados en trminos
del desplazamiento nodal ui, vi y wi y la funcin de forma Ni por:
u=N1u1+N2u2+N3u3+N4u4
v=N1v1+N2v2+N3v3+N4v4 (3.1.1)
w=N1w1+N2w2+N3w3+N4w4
Donde:
)1)(1(4
1),(N)1)(1(
4
1),(N
)1)(1(4
1),(N)1)(1(
4
1),(N
43
21
+=++=
+==
;
;(3.1.2)
Siguiendo la numeracin de nodos en sentido opuesto a las agujas del reloj
mostrado en la figura 3.1.1, las coordenadas nodales de los nodos 1, 2, 3 y 4 en elsistema son: (-1,-1), (1,-1), (1,1) y (-1,1) respectivamente.
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- 45 -
3erPaso: Determinar las relaciones deformacin-desplazamiento.
Para un elemento bajo carga planar y transversal, las tensiones y deformaciones
que producen trabajo son xyyx , y , para un estado planar de tensin-deformacin, y
xyyx , y , para la flexin. Por tanto las relaciones de deformacin-desplazamiento
son dadas por:
yx
w2
x
v
y
u
y
w
y
v
x
w
x
u
2
xy
2
2
y
2
2
x
=
+
=
=
=
=
=
xy
x
x
;
(3.1.3);
;
Sustituyendo la ecuacin (3.1.1) en (3.1.3), podemos expresar las tensiones y
deformaciones con respecto a los desplazamientos nodales.
4o Paso: Definir la relacin tensin-deformacin.
La relacin tensin-deformacin de la ecuacin (2.3.5) que relaciona la tensin
resultante y el momento resultante para deformaciones y curvaturas es usada. Ntese
que la integracin sobre el espesor de la lmina ya ha sido hecha en la derivacin de
la ecuacin (2.3.5).
5o Paso: Formular la matriz de rigidez para el elemento.
La matriz de rigidez del elemento est dada por:
(3.1.4)
Donde la integracin es realizada sobre el rea del elemento en el sistema .
Ntese que [ ] e puede ser derivada en el sistema x-y a travs de la transformacin
J acobiana.
6o Paso: Calcular la fuerza nodal equivalente.
De la superposicin de fuerzas nodales equivalentes se obtiene el vector de
fuerzas { }ef para elementos compuestos. La relacin de fuerza-desplazamiento puede
ser obtenida de la siguiente forma para un sistema de equilibrio, donde las ecuaciones
pueden ser formuladas en forma de matriz para toda la estructura:
{ } [ ]{ } (3.1.5)UKF =
[ ] [ ] [ ][ ]dxdyBCBT
e =
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- 46 -
Donde { } denota un vector y [ ] denota una matriz. En la ecuacin (3.1.5), { }f
es el vector de fuerza nodal, [ ]K es la matriz global de rigidez referida a toda la
estructura y { }U es el vector de desplazamiento nodal.
El equilibrio a nivel del elemento puede ser expresado con una relacin similar a
(3.1.5), esta es:
{ } [ ] { } (3.1.6)eee ukf =
Donde { }ef es el vector de fuerza nodal en el elemento, [ ] ek es la matriz de
rigidez del elemento y { }eu es el vector de desplazamiento nodal.
3.2 Elementos rectangulares para compuestos gruesos.
Para elementos de placa delgados las deformaciones por corte yzxz y han
sido ignoradas como justificacin para las suposiciones de pequeas deflexiones de la
teora. Sin embargo para placas compuestas gruesas y su correspondiente elemento
de placa el efecto de corte transversal no puede ser ignorado y la aplicacin de la
teora de deformacin por corte Mindlin para flexin de placas es requerida. Las
deformaciones por corte no planares yzxz y son incluidas en el vector de
deformacin.
La derivacin de la matriz de rigidez para elementos de placa gruesos
requiere exactamente de los mismos procedimientos mostrados anteriormente para
placas delgadas. La nica diferencia descansa en la relacin deformacin-desplazamiento donde las deformaciones yzxz y as como la resultante asociada de
tensin Nxz y Nyz estn incluidas en el anlisis. Segn la teora para placas Mindlin, la
relacin deformacin-desplazamiento est dada por:
;
;
;
yz
xz
z
y
w
x
v
y
ux
w
y
v
0z
w
x
u
sxy
yy
x
+=
+
=
+=
=
=
=
=
(3.2.1)
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- 47 -
Los desplazamientos y rotaciones estn expresados en trminos de los grados
de libertad nodales y la funcin de forma dada por:
u=N1u1+N2u2+N3u3+N4u4
v=N1v1+N2v2+N3v3+N4v4
w=N1w1+N2w2+N3w3+N4w4 (3.2.2)
x= N11x+N22x+N33x+N44x
y= N11y+N22y+N33y+N44y
Donde la funcin de forma Ni est dada por la ecuacin (3.1.2). La relacin
tensin-deformacin de la ecuacin (2.3.5) con la inclusin de las fuerzas de corte
queda:
(3.2.3)
=
xz
yz
xy
y
x
xy
y
x
55
45
45
44
662616662616
262212262212
161211161211
662616662616
262212262212
161211161211
xz
yz
xy
y
x
xy
y
x
A
A
0
0
0
0
0
0
A
A
0
0
0
0
0
0
0
0
D
0
0
D
0
0
D
0
0
B
0
0
B
0
0
BDDDBBB
DDDBBB
BBBAAA
BBBAAA
BBBAAA
N
N
M
M
M
N
N
N
Donde los componentes de la rigidez transversal del corteA44,A55 yA45 estn
dados por:
(3.2.4c)
(3.2.4b)
(3.2.4a)
k
n
1k
k
4545
k
n
1k
k5555
k
n
1k
k4444
tQA
tQA
tQA
=
=
=
=
=
=
Finalmente, los trminos de rigidez transversal del corte Q44, Q55 y Q45 para
cada capa del laminado estn compuestos por:
Q44 = G23
Q55 = G13 (3.2.5)
Q45 = v45 G13 = v54 G23
Para materiales isotrpicos, la relacin (3.2.5) es simplificada, ya que Q44 = G,
Q55=G y Q45=0
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CAPTULO IV
GEOMETRA DE LA HLICE
4.1 La hlice como elemento propulsor.
La aplicabilidad del propulsor llamado hlice a la propulsin de los buques
nace del fenmeno fsico denominado sustentacin.
Un cuerpo con seccin recta de tipo de perfil (caracterizada por ser su longitud
cuerda bastante mayor que su espesor), movindose en el seno de un fluido real
experimenta una fuerza perpendicular a la direccin del flujo incidente, llamadasustentacin L, y otra paralela a dicha direccin llamada resistencia D. Ambas fuerzas
tienen su origen en las diferentes presiones que se crean en ambas caras del perfil, y
su valor depende de las caractersticas geomtricas y del ngulo de incidencia del flujo
sobre el mismo (figura 4.1.1). La cara del perfil en la que se crea una sobrepresin se
llama cara de presin frontal, y en la que se crea una depresin se denomina cara de
succin dorsal.
FIGURA 4.1.1 DEFINICIONES.
Este fenmeno, que es el fundamento fsico del vuelo de los aviones por la
fuerza que experimentan en sus alas, puede ser aplicado ventajosamente para la
propulsin de los buques. En efecto, para que el perfil permanezca en movimiento, es
necesario empujarle con una fuerza D. Si conseguimos esto podremos utilizar la fuerza
L para empujar al buque, siempre que esta fuerza permanezca dirigida segn el eje
longitudinal del buque.
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Para ello no hay ms que obligar al perfil a seguir un movimiento circular de giro
alrededor de un eje y a una distancia rdel mismo.
Esto se puede conseguir ligando el perfil mecnicamente al eje de una mquina