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cenidet Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico Departamento de Ingeniería Mecánica TESIS DE MAESTRÍA EN CIENCIAS Transferencia de Calor en una Cavidad Cuadrada con Pared Semitransparente (Películas de CuS y CuS-Cu 2-x Se) presentada por Ivett Zavala Guillén Ing. Mecánico por el I. T. de Tuxtla Gutiérrez como requisito para la obtención del grado de: Maestría en Ciencias en Ingeniería Mecánica Director de tesis: Dr. Jesús Perfecto Xamán Villaseñor Co-Director de tesis: Dr. Jorge O. Aguilar Aguilar Jurado: Dra. Gabriela del Socorro Álvarez García – Presidente Dr. Jesús Arce Landa – Secretario Dra. Yvonne Chávez Chena – Vocal Dr. Jesús Perfecto Xamán Villaseñor – Vocal Suplente Cuernavaca, Morelos, México. 08 de Diciembre de 2011

TESIS DE MAESTRÍA EN CIENCIAS - CENIDET...Landa y Dra. Yvonne Chávez Chena por sus comentarios e importantes sugerencias ... pero todo se resume en una palabra: ¡GRACIAS! ... N

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cenidet

Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico

Departamento de Ingeniería Mecánica

TESIS DE MAESTRÍA EN CIENCIAS

Transferencia de Calor en una Cavidad Cuadrada con Pared Semitransparente (Películas de CuS y CuS-Cu2-xSe)

presentada por

Ivett Zavala Guillén Ing. Mecánico por el I. T. de Tuxtla Gutiérrez

como requisito para la obtención del grado de:

Maestría en Ciencias en Ingeniería Mecánica

Director de tesis: Dr. Jesús Perfecto Xamán Villaseñor

Co-Director de tesis:

Dr. Jorge O. Aguilar Aguilar

Jurado: Dra. Gabriela del Socorro Álvarez García – Presidente

Dr. Jesús Arce Landa – Secretario Dra. Yvonne Chávez Chena – Vocal

Dr. Jesús Perfecto Xamán Villaseñor – Vocal Suplente

Cuernavaca, Morelos, México. 08 de Diciembre de 2011

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AGRADECIMIENTOS A Mi familia por su apoyo incondicional, buenos consejos y enseñanzas a lo largo de mi vida; por creer en mi y darme las bases necesarias para hacer de mis metas logros exitosos para ustedes. Al Dr. Jesús Perfecto Xamán Villaseñor, por ser el asesor de este trabajo de tesis, por el tiempo y dedicación incondicional para mi formación profesional y el desarrollo de este trabajo; por dar el extra como persona día con día, ¡GRACIAS! Al Dr. Jorge O. Aguilar Aguilar, por ser el co-asesor de este trabajo de tesis y por brindarme el apoyo para el desarrollo de este trabajo. Al comité revisor: Dra. Gabriela del Socorro Álvarez García, Dr. Jesús Arce Landa y Dra. Yvonne Chávez Chena por sus comentarios e importantes sugerencias durante la revisión del trabajo de tesis. A los Catedráticos del Departamento de Ingeniería Mecánica del Cenidet, por colaborar con mi formación profesional. A mis amigas y compañeras: Ingrid y Cintli, por la amistad y paciencia que me han brindado, desde las develadas del Tec y Cenidet hasta los momentos de diversión (que espero continúen …) Al Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico (CENIDET ), por darme la oportunidad de pertenecer al grupo y formarme en ésta institución. Al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología (CONACYT ) a la Dirección General de Educación Superior Tecnológica (DGEST) por brindarme el apoyo económico para sostenerme durante el estudio de ésta maestría.

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DEDICATORIAS A mi familia: mis padres Carmen y Carlos, y mi hermano Edgar (incluyendo la

nva. familia que inicia). Este es el producto del esfuerzo y sacrificio a lo largo

del camino que hemos recorrido, pero es la muestra de que juntos, con amor y

cariño, siempre saldremos adelante. Papito gracias por creer en mi y excluir

de mi vocabulario la frase: No puedo…Mami gracias por inculcarme el espíritu

emprendedor y de valentía frente a la vida…y Manito gracias por cuidarme en

la escuela siempre e impulsarme a convertir los retos en metas que serán un

logro más a lo largo de mi vida…GRACIAS!!!

A mi Papatoño y mi tío Nacho y familia, por su cariño y apoyo incondicional.

A mis amigos y compañeros de estudio: Ingrid, Cintli, Niko y Javier; por los

desvelos de estudio y diversión, gracias por hacer de los momentos difíciles

momentos de risas y tranquilidad, sin ustedes no hubiera logrado sobrevivir…

A mis amigos, que fueron mi familia aquí: Mayari (mi hermana menor, que

actúa como mayor siempre), Niña (a veces mi hija a veces mi ama’), Flako,

Pokoyo y el Don, incluyendo al miembro mas joven de la familia: Rafita.

Gracias por hacerme sentir querida y en familia, por ayudarme a ser mejor

persona. Por compartir esta etapa de su vida junto a mí, por las reuniones y

momentos de diversión, así como su apoyo incondicional…puedo escribir

muchas cosas, pero todo se resume en una palabra: ¡GRACIAS! (odio ser

repetitiva pero no halle otra palabra :P)

A mis amigos y compañeros: Leo (hermano mayor), Morayta (hermano), Felipe

N. P., Roberto, Serrano, Juanita, Azucena, Daniel, Alex (Basket), Chocorrol,

Kike (el recién adopado) y Lucio.

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“EL SER EXCELENTE” o Ser excelente es hacer las cosas, no buscar razones para demostrar que no se

pueden hacer.

o Ser excelente es comprender que la vida no es algo que se nos da hecha, sino que

tenemos que producir las oportunidades para alcanzar el éxito.

o Ser excelente es comprender que con base a una férrea disciplina, es factible forjar

un carácter de triunfadores.

o Ser excelente es trazarse un plan y lograr los objetivos deseados a pesar de todas las

circunstancias.

o Ser excelente es saber decir: Me equivoqué y proponerse no cometer el mismo

error.

o Ser excelente es levantarse cada vez que se fracasa, con un espíritu de aprendizaje y

superación.

o Ser excelente es reclamarse así mismo el desarrollo pleno de nuestras

potencialidades buscando incansablemente la realización.

o Ser excelente es entender que a través del privilegio diario de nuestro trabajo

podemos alcanzar la realización.

o Ser excelente es ser creador de algo: un sistema, un puesto, una empresa, un hogar,

una vida.

o Ser excelente es ejercer nuestra libertad y ser responsable de cada una de nuestras

acciones.

o Ser excelente es sentirse ofendido y lanzarse a la acción en contra de la pobreza, la

calumnia y la injusticia.

o Ser excelente es levantar los ojos de la tierra, elevar el espíritu y soñar con lograr lo

imposible.

o Ser excelente es trascender a nuestro tiempo legando a las futuras generaciones un

mundo mejor.

o Ser líder de excelencia de esta talla son los que necesita el mundo y los reclama

Dios.

Lic. Miguel Ángel Cornejo y Rosado.

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Índice

i

ÍNDICE

Página

Lista de Figuras iv

Lista de Tablas vii

Nomenclatura viii

Resumen xi

Abstract xv

CAPÍTULO 1. ESTADO DEL ARTE

1.1. Introducción 2

1.2. Revisión bibliográfica 6

1.2.1. Transferencia de calor en vidrios con y sin películas de

control solar 6

1.2.2. Tipos de películas de control solar y sus configuraciones

en vidrios 10

1.2.3. Conclusión de la revisión bibliográfica 13

1.3. Objetivo 14

1.4. Alcance 14

1.5. Estructura de la tesis 15

CAPÍTULO 2. MODELO FÍSICO Y MATEMÁTICO

2.1. Modelo físico de la cavidad cuadrada con pared semitransparente

con película de control solar 18

2.2. Modelo matemático de la cavidad cuadrada con pared

semitransparente con película de control solar 24

2.2.1. Modelo de convección natural con flujo turbulento en la

cavidad 24

2.2.2 Condiciones a la frontera del modelo convectivo 27

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Índice

ii

2.2.3. Modelo de la transferencia de calor en la pared opaca

conductiva 29

2.2.4. Transferencia de calor a través del vidrio laminado 31

2.2.5. Modelo de la transferencia de calor por radiación dentro

de la cavidad 33

2.3. Coefciente de Ganancia de Calor Solar 37

CAPÍTULO 3. METODOLOGÍA DE SOLUCIÓN

3.1. Métodos de solución para las ecuaciones de conservación 40

3.2. Método de volumen finito 40

3.2.1. Generación de malla ó dominio computacional 41

3.3. Ecuación generalizada de Conveccion-Difusión 42

3.3.1. Discretización de la ecuación generalizada de

Convención-Difusión 44

3.4. Esquemas de aproximación numérica 49

3.5. Algoritmos de acople: SIMPLE y SIMPLEC 52

3.5.1. Malla desplazada o escalonada 52

3.5.1.1. Representación del Término de Gradiente de

Presión 53

3.5.2. Secuencia de operación del algoritmo SIMPLE y

SIMPLEC 55

3.5.3. Condiciones de frontera 60

3.5.4. Método de Solución de Ecuaciones Algebraicas 63

3.5.5. Criterio de convergencia 64

3.5.6. Secuencia de operación del algoritmo SIMPLEC 65

3.6. Método de solución del intercambio radiativo en la cavidad 67

3.7. Método de solución para el modelo conductivo en la pared opaca 68

3.8. Método de solución para el modelo de la transferencia de calor a través

de la pared semitransparente con película de control solar (vidrio laminado) 69

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Índice

iii

CAPÍTULO 4. VERIFICACIÓN DEL CÓDIGO

4.1. Problemas de referencia 72

4.2. Convección natural en una cavidad cuadrada calentada

diferencialmente con flujo laminar 72

4.3. Transferencia de calor conjugada en una cavidad cuadrada calentada

diferencialmente en las paredes verticales con flujo turbulento 75

4.4. Transferencia de calor a través de un medio compuesto 78

4.5. Transferencia de calor en una pared semitransparente 80

4.6. Estudio de independencia de malla 83

CAPÍTULO 5. RESULTADOS

5.1. Parámetros de estudio 87

5.2. Patrones de flujo en la cavidad 88

5.2.1. Caso C 89

5.2.2. Caso C2 95

5.2.3. Caso C3 100

5.3. Efecto del muro conductor 106

5.3.1. Efecto de conducción a través del muro 107

5.3.2. Efecto del material en el muro 113

5.4. Evaluación térmica de las configuraciones 115

5.5. Coeficiente de Ganancia de Calor Solar 121

CAPÍTULO 6. CONCLUSIONES

6.1. Conclusiones 125

6.2. Sugerencias a trabajos futuros 127

Bibliografía 130

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Lista de figuras

iv

LISTA DE FIGURAS

Figura Descripción Página

2.1 Modelo físico de cavidad cuadrada con pared semitransparente 20

2.2 Configuraciones de vidrios desarrolladas por Aguilar (2005) 21

2.3 Modelo físico de la cavidad 25

2.4 Modelo físico de la pared opaca conductiva 29

2.5 Modelo físico del vidrio laminado 31

2.6 Cavidad con intercambio radiativo 33

2.7 Método de cuerdas cruzadas para una cavidad rectangular 35

3.1 Malla no-uniforme, usando función de estrechamiento 41

3.2 Volumen de control sobre una malla bidimensional 44

3.3 Arreglo de mallas desplazadas en 2-D 53

3.4 Campo de presión zig-zag 54

3.5 Representación de los volúmenes de control. (a)Volumen de control

para las variables escalares, (b) volumen de control para velocidad ue y

(c) volumen de control para velocidad vn 55

3.6 Volumen de control en la frontera 62

3.7 Diagrama de flujo del algoritmo SIMPLEC 66

3.8 Diagrama de Flujo del MRN calculando los factores de forma con el

Método de Cuerdas Cruzadas 67

3.9 Diagrama de flujo para la conducción a través de la pared opaca 70

3.10 Diagrama de flujo para la conducción en la Configuración 1 70

4.1 Modelo físico de la cavidad calentada diferencialmente 73

4.2 Isotermas para el Caso 2: a) Velusamy et al. (2001) y b) Presente

estudio 77

4.3 Modelo físico de la placa con dos capas de material 78

4.4 Perfil de temperturas obtenido con el código numérico desarrollado 79

4.5 Perfil de temperaturas obtenido por Chang (1991) 79

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Lista de figuras

v

4.6 Modelo físico de la pared semitransparente con película de control solar 80

4.7 Comportamiento de la temperatura a través del vidrio, para distintos

valores de temperatura exterior (T0) 81

4.8 Comportamiento de la temperatura a través del vidrio con película de

control solar, para distintos valores de temperatura exterior T0 82

4.9 Refinamiento de la malla al centro de la cavidad (y=2m) para: (a) u, (b)

v, (c) T y (d)µT 84

5.1 Líneas de corriente en la cavidad con pared de vidrio claro y perfiles de

temperaturas para cada pared 91

5.2 Componentes de velocidades a diferentes alturas dentro de la cavidad

con pared de vidrio claro: a) v (m/s) para y= 1, 2 y 3m; b) u (m/s) para

x= 1,2 y 3m 92

5.3 Isotermas (°C), líneas de corriente (m2/s) y viscosidad turbulenta

(Kg/m.s) para una cavidad cuadrada con pared de vidrio claro, con una

Text= 35 °C y una G= 700, 500, 300 y 100 W/m2 (de arriba hacia abajo,

respectivamente) 94

5.4 Comportamiento de la temperatura (T) y la velocidad (v) a media altura

de la cavidad (y=2) con pared de vidrio claro. 95

5.5 Líneas de corriente en la cavidad con Configuración 2 y perfiles de

temperaturas para cada pared 96

5.6 Componentes de velocidades a diferentes alturas dentro de la cavidad

con Configuración 2: a) v (m/s) para y= 1, 2 y 3m; b) u (m/s) para x=

1,2 y 3m 98

5.7 Isotermas (°C), líneas de corriente (m2/s) y viscosidad turbulenta

(Kg/m.s) para una cavidad cuadrada con Configuración 2, con una Text=

35 °C y una G= 700, 500, 300 y 100 W/m2 (de arriba hacia abajo,

respectivamente) 99

5.8 Comportamiento de la temperatura (T) y la velocidad (v) a media altura

de la cavidad (y=2) con Configuración 2 100

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Lista de figuras

vi

5.9 Líneas de corriente en la cavidad con Configuración 3 y perfiles de

temperaturas para cada pared 101

5.10 Componentes de velocidades a diferentes alturas dentro de la cavidad

con Configuración 3: a) v (m/s) para y= 1, 2 y 3m; b) u (m/s) para x=

1,2 y 3m 103

5.11 Isotermas (°C), líneas de corriente (m2/s) y viscosidad turbulenta

(Kg/m.s) para una cavidad cuadrada con Configuración 3, con una Text=

35 °C y una G= 700, 500, 300 y 100 W/m2 (de arriba hacia abajo,

respectivamente) 104

5.12 Comportamiento de la temperatura (T) y la velocidad (v) a media altura

de la cavidad (y=2) con Configuración 3 105

5.13 Líneas de corriente (m2/s), isotermas (°C) y viscosidad turbulenta

(kg/m.s) (de arriba hacia abajo, respectivamente) para el Caso C y C-I 110

5.14 Líneas de corriente(m2/s), isotermas(°C) y viscosidad turbulenta

(kg/m.s)(de arriba hacia abajo, respectivamente)para el Caso C2 y C2-I 112

5.15 Comportamiento de la temperatura a través del muro conductor en

media altura de la cavidad (y=2m), para una G= 700 W/m2 y Text= 15

°C 114

5.16 Flujos radiativos y convectivos en la pared de vidrio para los diferentes

casos, con una G=700 W/m2 y una Text=35 y 15 °C (de izquierda a

derecha) 118

5.17 Comportamiento del SHGC respecto a la irradiación solar, para

distintas temperaturas exteriores 121

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Lista de tablas

vii

LISTA DE TABLAS

Tabla Descripción Página

2.1 Propiedades ópticas y termofísicas de los materiales de las

Configuraciones (Aguilar, 2005a). 22

2.2 Condiciones de frontera y constantes del modelo HH. 27

3.1 Equivalencias de la formulación generalizada. 43

3.2 Función A(ǀPeǀ). 52

4.1 Comparación de resultados obtenidos con los reportados por De Vahl

Davis (1983) para Ra de 103-106. 74

4.2 Comparación de los resultados obtenidos con los reportados por

Velusamy et al. (2001). 76

4.3 Flujos de calor para el vidrio claro. 82

4.4 Flujos de calor para el vidrio con película de control solar. 83

4.5 Efecto del refinamiento de malla sobre distintas variables. 85

5.1 Propiedades termofísicas del ladrillo y block de concreto. 87

5.2a Temperatura promedio del aire al interior de la cavidad, para el Caso

C y el Caso C-I 107

5.2b Temperatura promedio del aire al interior de la cavidad, para el Caso

C2 y el Caso C2-I. 108

5.3 Temperatura promedio del aire al interior de la cavidad, para el Caso

C2 113

5.4a Flujos de calor promedio de los diferentes casos, para una G= 700

W/m2 y Text= 35°C 115

5.4b Flujos de calor promedio de los diferentes casos, para una G= 700

W/m2 y Text= 15°C. 115

5.5 Temperatura promedio del aire al interior de la cavidad, para distintas

configuraciones de vidrio y variación de parámetros (G y Text). 120

5.6 Coeficientes para la correlación obtenida para cada todos los casos. 123

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Nomenclatura

viii

NOMENCLATURA

Símbolo Descripción

Latinas

aP, a

E, a

W, a

N, a

S Coeficientes de la ecuación discretizada.

Cp Calor específico a presión constante, J/Kg K.

De, Dw, Dn, Ds Flujos difusivos.

Fe, Fw, Fn, Fs Flujos convectivos, Kg/(m2.s).

G Irradiación solar, W/m2.

H Altura de la cavidad, m.

hext Coeficiente de transferencia de calor convectivo al exterior,

W/m2K.

Hx Ancho de la cavidad calentada diferencialmente, m.

Je, Jw, Jn, Js Flujos totales (Flujo convectivo + Flujo difusivo).

Lx1 Ancho de la pared opaca conductiva, m.

Lx2 Ancho de la pared semitransparente con película de control

solar ó vidrio laminado, m.

Nucf Número de Nusselt convectivo promedio en la pared fría.

Nucr Número de Nusselt radiativo promedio en la pared fría.

Nuhf Número de Nusselt convectivo promedio en la pared

caliente.

Nuhr Número de Nusselt radiativo promedio en la pared caliente.

NuT Número de Nusselt total (convectivo + radiativo).

P Presión. Pa.

Pe Número de Peclet.

Pr Número de Prandtl.

1acdq , 2acdq ,

3acdq ,4acdq

Flujos de calor conductivos desde las paredes 1, 2, 3 y 4

hacia el fluido interior de la cavidad respectivamente, W/m2.

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Nomenclatura

ix

wcdq ,gcdq

Flujos de calor conductivos de la pared conductiva opaca y

la pared semitransparente respectivamente, W/m2.

qint Flujo de calor hacia el interior de la cavidad, W/m2.

qi,s, qi,w, qi,n, qi,e

Flujos de calor radiativos de entrada sobre la pared sur,

oeste, norte y este de la cavidad respectivamente, W/m2.

qo,s, qo,w, qo,n, qo,e

Flujos de calor radiativos de salida sobre la pared sur, oeste,

norte y este de la cavidad respectivamente, W/m2.

qr,s, qr,w, qr,n, qr,e

Flujos de calor radiativos de resultantes sobre la pared sur,

oeste, norte y este de la cavidad respectivamente, W/m2.

Ra Número de Raleigh.

S Término fuente de la ecuación discretizada.

Sg Coeficiente de extinción del vidrio.

T Temperatura, °C.

Text , T0 Temperatura del medio ambiente exterior, °C.

Tf Temperatura de la película de control solar, °C.

Tg Temperatura del vidrio, °C.

Ti Temperatura al interior de la cavidad, °C.

Tw Temperatura de la pared conductiva, °C.

T1, T2, T3, T4

Temperatura de la pared sur, oeste, norte y este

respectivamente, °C.

u Velocidad del fluido en dirección horizontal, m/s.

v Velocidad del fluido en dirección vertical, m/s.

W Ancho de la cavidad, m.

x Coordenada en dirección horizontal, m.

y Coordenada en dirección vertical, m.

Griegas

α Absortividad.

Γ Difusividad.

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Nomenclatura

x

∆T Diferencia de temperatura entre la pared este y oeste.

εs Emisividad de la superficie.

Θ Función de atenuación de energía del vidrio.

k Energía cinética turbulenta, m2/s2.

wλ Conductividad térmica de la pared, W/m K.

gλ Conductividad térmica del vidrio, W/m K.

µ Viscosidad dinámica, kg/m s.

µT Viscosidad turbulenta, kg/m s.

ν Viscosidad cinemática, m2/s.

ρ, ρs Reflectividad de la superficie.

σ Constante de Stefan-Boltzmann, W/m2 K4.

τ Transmisividad.

φ Variable general (u, v, P, T, κ, ε)

Abreviaturas

MDF Método de Diferencias Finitas.

MEF Método de Elemento Finito.

MVF Método de Volumen Finito.

MRN Método de Radiación Neta.

PDS Película delgada de semiconductor.

PET Tereftalato de Polietileno.

PVB Poly-Vynil-Butiral.

SC Coeficiente de sombreado.

SHGC Coeficiente de ganancia de calor solar.

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Resumen

xi

RESUMEN En las edificaciones con grandes áreas de envidriados se tiene una ganancia de calor

considerable hacia el interior de las habitaciones, provocando el aumento de

temperatura en el aire. Tal aumento de temperatura afecta el confort térmico de la

habitación, de tal manera que surge la necesidad de usar sistemas mecánicos para el

acondicionamiento del aire, y por consiguiente, un aumento en el costo energético.

Las nuevas tecnologías para contribuir con el ahorro de energía en tales

edificaciones son aplicadas a los vidrios, ya que a través de ellos se tiene la mayor

ganancia térmica; dentro estas tecnologías se tiene el uso de vidrios laminados para

controlar el paso de la radiación solar hacia el interior. Aguilar (2005) ha propuesto

diversos arreglos de vidrios laminados controladores de la radiación solar que

cumplen con características ópticas y mecánicas aceptables para su uso como vidrios

de control solar y de seguridad simultáneamente. La evaluación térmica de estas

configuraciones en una habitación, en dónde la habitación es representada como una

cavidad, es la parte esencial de este trabajo.

En esta tesis se presenta el estudio numérico de la transferencia de calor conjugada

(convección, conducción y radiación) en una cavidad cuadrada con pared

semitransparente con películas de control solar (vidrio laminado de control solar); se

considera que la cavidad tiene paredes horizontales adiabáticas, una pared vertical

conductiva y opaca, y una pared semitransparente con película de control solar

expuesta a radiación solar. Se considera la transferencia de calor por conducción a

través de las paredes, opaca y semitransparente, el mecanismo convectivo del aire

contenido en la cavidad es de régimen de flujo turbulento, así como el intercambio

radiativo entre las paredes. Se utilizó el modelo κ−ε para las ecuaciones gobernantes

del fluido newtoniano en régimen de flujo turbulento, y se resolvieron

numéricamente con la técnica de volumen finito. Para la transferencia de calor por

conducción en las paredes verticales, se resolvió la ecuación de energía con difusión

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Resumen

xii

pura. El intercambio radiativo entre las paredes fue resuelto por el Método de

Radiación Neta, considerando el aire como un fluido radiativamente no participante.

El código numérico fue verificado con resultados reportados en la literatura y se

encontró concordancia entre ellos, por lo tanto se concluye que el código reproduce

resultados satisfactorios.

Para realizar el análisis de la transferencia de calor conjugada en la cavidad con

pared semitransparente con película de control solar se variaron ciertos parámetros

dentro del sistema, tales como la irradiación solar (G) de 100 a 700 W/m2 con

incrementos de 200 W/m2, la temperatura exterior (Text) de 15 a 35°C con

incremento de 10°C, el material del muro conductor (Ladrillo y Block de concreto),

la evaluación se hizo para tres configuraciones de vidrio laminado. Se llamará

Configuración 1 al vidrio laminado compuesto por dos vidrios claros de 3mm unidos

mediante calor y presión por una hoja de Poly-Vinil-Butiral (PVB), con películas

delgadas de semiconductor (PDS) de CuS-Cu2-xSe en las interfaces de contacto entre

los vidrios y el PVB; la Configuración 2, al igual que la Configuración 1, tiene dos

vidrios claros y una hoja de PVB, pero la película de control solar es de CuS. Por

último, se tiene la Configuración 3 compuesta por dos vidrios claros de 3mm unidos

a dos hojas de PVB, cada uno de ellos; entre las hojas de PVB se tiene una hoja de

Tereftalato de Polietileno (PET) y en la interface entre el PVB y el PET se tiene la

película de control solar de CuS.

Los resultados muestran que la existencia de películas de control solar en los vidrios

no garantiza una reducción en el flujo de calor hacia el interior de la cavidad; lo cual

se ve reflejado en el aumento de la temperatura del aire al interior. Es decir, se

encontró que los vidrios con películas de control solar reducen la energía solar

transmitida de forma directa; sin embargo, esto provoca un aumento en la energía

absorbida por el vidrio laminado y por ende en la temperatura del aire contenido en

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Resumen

xiii

la cavidad, en algunos casos, estos parámetros son mayores que los obtenidos por el

uso de un vidrio claro.

Los resultados obtenidos a partir del estudio paramétrico realizado en esta trabajo

mostraron que la Configuración 3 de vidrio laminado obtuvo los valores mas altos

de temperatura para el aire al interior de la cavidad, incluso mayores que los

alcanzados por un vidrio claro, con un intervalo de 79.91< Taire <63.43°C para una

irradición solar de 700 W/m2 y entre 41.51< Taire <22.17°C para 100 W/m2. Mientras

que los resultados obtenidos para un vidrio claro son de 72.54< Taire <55.37°C y

41.09 < Taire < 21.57°C para 700 y 100 W/m2, respectivamente. Para los casos de las

Configuraciones 1 y 2 los valores son similares, presentando un intervalo de

69.9<Taire <52.5°C para 700 W/m2 y 39.16< Taire <19.79°C para 100 W/m2, en el

caso de la Configuración 1, y de 65.95< Taire <48.34°C y 38.61< Taire <19.15°C para

700 y 100W/m2, respectivamente, con la Configuración 2. Por lo que se observó que

la Configuración de vidrio laminado que mejor se comporta en cuanto a la reducción

del flujo de calor hacia el interior de la cavidad es la Configuración 2.

De la comparación de los vidrios laminados con respecto a un vidrio claro se pudo

observar que, de acuerdo a las propiedades de la película de control solar, se pueden

lograr SHGC (Coeficiente de ganancia de calor solar) menores que los de un vidrio

claro; lo cual indica poca ganancia de calor hacia el interior de la cavidad. Lo

anterior se presentó en los casos de las Configuraciones 1 y 2, que muestran una

reducción en el SHGC respeto a un vidrio claro, con una diferencia máxima

porcentual de 50.08% y 57.14% respectivamente. Mientras que para la

Configuración 3 se obtienen valores que se encuentran por arriba de los obtenidos

con un vidrio claro, con una diferencia máxima porcentual de 6.53%. Se presenta la

correlación del SHGC para todos los casos en función de la irradiación solar y la

temperatura exterior.

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Resumen

xiv

Por último, el análisis de los resultados obtenidos nos permite tener un avance en la

comprensión de los fenómenos que podrían ocurrir dentro de una habitación con

ventana de vidrio laminado expuesta a distintas condiciones de ambiente exterior.

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Abstract

xv

ABSTRACT Buildings with large areas of glassing have a considerable heat gain to the interior of

the rooms, causing thereby a raise in temperature of the inside air. Such raise in

temperature affects the thermal comfort inside the room, in such a way that it

becomes necessary to use mechanic systems for air conditioning purposes, causing

with it an increment in the energy consumption. New technologies that help to

contribute to energy savings in these buildings are applied to glassing, as they

represent the main thermal gain source. Among all the technologies available, the

use of laminated glasses to control radiation going through the interior is one of

them. Aguilar (2005) suggested different arrays for laminated glasses that control

solar radiation, which accomplish with acceptable optical and mechanical

characteristics to be used as solar control glasses and security simultaneously. The

thermal evaluation of these configurations in a room, represented as a cavity, is the

essential part of this work.

In this thesis, the numerical study of the conjugated heat transfer (convection,

conduction and radiation) in a square cavity with a semitransparent wall with solar

control films (laminated glass) is presented. The cavity is considered to have

adiabatic horizontal walls, a conductive and opaque vertical wall and a

semitransparent wall with a solar control film exposed to solar radiation. Conduction

heat transfer through the opaque and semitransparent walls, the convective

mechanism of the air inside the cavity on turbulent regime as well as radiative

exchange among the walls were considered for the analysis. The model k-ε was

used on the governing equations of the Newtonian fluid in turbulent flow regime,

and the equations were solved numerically using the finite volume technique. The

conduction heat transfer on the vertical walls was solved with the energy equation

with pure diffusion. The radiative exchange among the walls was solved by mean

the Net Radiation Method, considering the air as a non participating fluid.

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Abstract

xvi

The numerical code was verified comparing with results reported on the literature

and there was a good agreement among them, therefore it is concluded that the

numerical code reproduce satisfactory results.

In order to carry out the analysis on the conjugated heat transfer inside the cavity

with a semitransparent wall with a control solar film, several parameters such as

solar irradiation (G) from 100 to 700 W/m2 with increments of 200 W/m2, outside

temperature (Text) from 15 to 35°C with increments of 10°C, the construction

material of the conductive wall (Brick and Concrete block) were varying on the

system. The evaluation was performed on three different configurations of the

laminated glasses. Configuration 1 is formed by two 3mm thickness sheets of clear

glass, joined together by applying heat and pressure with a sheet of Poly-Vinil-

Butiral (PVB) in between and CuS films between the contact interfaces of the clear

glasses and the PVB; Configuration 2 is the same as configuration 2 but replacing

the solar control films by CuS-Cu2-xSe.

Configuration 3 is formed by two sheets of clear glass with a PVB sheet on their

surface, facing the PVBs a sheet of Polyethylene Therephthalate (PET) is placed in

between and a CuS solar control film is placed between each of the PVB and the

PET interfaces.

The results show that the presence of a solar control film on the glass surfaces does

not guarantee a reduction on the heat flow to the interior of the cavity; this effect is

reflected on the raise of the air temperature inside the cavity. That is, it was found

that glasses with a solar control film help to reduce the solar energy transmitted

directly; nevertheless, this effect causes a raise on the energy absorbed by the

laminated glass and therefore an increment on the air temperature inside the cavity;

in some cases these values are higher than the ones obtained with one single glass.

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Abstract

xvii

The results obtained from this parametric study showed that the highest temperature

values for the inside air were obtained with Configuration 3, even higher than the

ones obtained with a single glass, between the interval 79.91< Taire <63.43°C for a

solar irradiation of 700 W/m2 and 41.51< Taire <22.17°C for 100 W/m2. The results

obtained for a single glass are 72.54< Taire <55.37°C and 41.09 < Taire < 21.57°C

for 700 y 100 W/m2 respectively. Values obtained for Configurations 1 and 2 are

similar, the values obtained for Configuration 1 are 69.9<Taire <52.5°C for 700

W/m2 and 39.16< Taire <19.79°C for 100 W/m2; and for Configuration 2 are 65.95<

Taire <48.34°C and 38.61< Taire <19.15°C for 700 and 100W/m2 respectively.

From the results it can be observed that Configuration 2 shows the best performance

regarding the reduction of the heat flow to the interior of the cavity.

Comparison of the laminated glass sheets to the single glass sheet it was observed

that, according to the solar control film properties, it can be achieved Solar Heat

Gain Coefficients (SHGC) lower than in a single glass sheet, an indication of the

low heat gain to the interior of the cavity. This phenomenon was present in

Configurations 1 and 2, which showed a reduction of the SHGC regarding a single

sheet glass, with a percentage difference of 50.08% and 57.14% respectively. As for

Configuration 3 the values obtained are above from the ones with the single glass

sheet, with a percentage difference of 6.53%. A correlation of the SHGC for all the

cases as a function of the solar radiation and outside temperature is shown.

At last, the results analysis allow us to have a progress on the comprehension of

phenomenon that can happen inside a room with a laminated sheet window exposed

to different ambient conditions.

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Capítulo 1 Estado del arte

1

CAPÍTULO 1

ESTADO DEL ARTE En este Capítulo se explica la importancia del tema, la revisión bibliográfica

analizada para conocer las investigaciones relacionadas con el trabajo, y por último,

se establecen los alcances del trabajo. La sección de la revisión bibliográfica se

divide en dos secciones: 1) Transferencia de calor en vidrios con y sin películas de

control solar, y 2) Tipos de películas de control solar y sus configuraciones en

vidrios. Finalmente, se presenta un enfoque del estudio, exponiendo el objetivo y

alcance del trabajo.

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Capítulo 1 Estado del arte

2

1.1. INTRODUCCIÓN

Todas las actividades que desarrollamos en nuestra vida diaria están relacionadas

con el uso ó producción de energía. Al ingerir alimentos estamos adquiriendo

energía que posteriormente será utilizada para realizar alguna actividad. En los

medios de transporte se emplea la energía interna del combustible para generar el

movimiento de éste. En las oficinas, hogares o escuelas se utiliza la energía eléctrica

para iluminar, para distintos aparatos eléctricos, etcétera; hasta en la naturaleza se

puede ver como se cumple la ley de conservación de energía a través de la

fotosíntesis. Entonces, se puede afirmar que el mundo no podría existir sin energía.

Desde sus inicios, los seres humanos hemos buscado los medios para aprovechar la

energía para el beneficio propio. El primer descubrimiento fue el fuego, que

permitió el desarrollo de la civilización en otras áreas como la caza y la

alimentación; así como el calor para sortear las inclemencias del tiempo. Mas tarde,

la fuerza del agua y/o el viento facilitó el procesamiento en alimentos y granos en

los molinos. Posteriormente, con la invención de la maquina de vapor se dio paso al

movimiento de maquinas con más fuerza de trabajo. Y más adelante, los motores de

combustión interna que consumen combustibles fósiles derivados del petróleo

llevaron a la civilización a disfrutar de un alto grado de confort, tanto en el hogar

como en el trabajo.

Cada vez que el hombre descubre una nueva forma de producir, transformar y

consumir energía aprovecha al máximo la capacidad energética de la materia; sin

embargo, los avances producidos por estas nuevas energías no se hacen extensivos a

la calidad de vida del hombre. Pues tales avances están acompañados de procesos

masivos de extracción y contaminación, provocando un desequilibrio en la

naturaleza. La dimensión de los graves problemas medioambientales, y el frágil

equilibrio entre las necesidades de la actual sociedad y nuestro medio ambiente, han

evidenciado la necesidad de aplicar medidas para el ahorro y uso eficiente de la

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Capítulo 1 Estado del arte

3

energía; con el fin de amortiguar el deterioro causado al ambiente. Debido a esta

situación, surge la necesidad de utilizar fuentes de energía sustentables, tales como

las energías renovables. Éstas provienen de un flujo de energía como el Sol y la

Tierra y su disponibilidad prácticamente no disminuye con el tiempo; dentro de este

tipo de energías se tiene la energía solar, eólica, mareomotriz, biomasa (biogás),

geotérmica e hidráulica.

La energía solar es obtenida mediante la captación de la luz y el calor emitido por el

Sol. Ésta se puede clasificar de acuerdo a su tecnología para aplicación en: energía

solar pasiva, energía solar térmica, energía solar fotovoltaica, energía solar

termoeléctrica, energía solar híbrida, energía eolico-solar, etc. El uso más antiguo de

la energía solar consiste en beneficiarse del aporte directo de la radiación solar y es

la llamada energía solar pasiva. Este tipo de energía se describe como la energía

solar utilizada directamente sin ningún tipo de transformación, en definitiva no

requiere sistemas mecánicos ni un aporte extra de energía. Hoy en día en la

arquitectura solar pasiva se aprovecha la energía del Sol a través de fachadas dobles,

superficies vidriadas, muros, entre otros; todos con el fin de mantener condiciones

de bienestar en el interior de los edificios y reducir al máximo el uso de sistemas de

climatización tradicionales. En la arquitectura solar pasiva se tienen en cuenta la

orientación del edificio, la morfología, los materiales que emplean y la ubicación en

el terreno (Papparelli et. al, 2003).

Por lo antes mencionado, se tiene la alternativa del uso de la energía solar para

disminuir el consumo energético en las edificaciones. Actualmente, los edificios son

responsables de al menos 40% de la energía utilizada en la mayoría de los países, y

la cifra aumenta rápidamente por el auge de la construcción en los países en

desarrollo (Papparelli et. al, 2003). Se propone el uso de la oferta climática en la

arquitectura, es decir, el diseño y construcción de edificios bioclimáticos;

garantizando el buen manejo de los flujos de energía que intervienen o inciden de

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Capítulo 1 Estado del arte

4

forma natural sobre la edificación. La aplicación del diseño bioclimático en la

arquitectura es una de las formas de ahorro de energía mas accesibles y menos

complejas desde el punto de vista tanto económico como tecnológico. El abanico de

posibilidades para el aprovechamiento de las variables climáticas puede ser tan

amplio como se proponga: conservación de energía, sistemas pasivos, sistemas

activos, sistemas híbridos, iluminación natural, control de la ventilación; todos los

sistemas mencionados tienen como objetivo mantener las condiciones necesarias de

habitabilidad dentro de las edificaciones. Dentro de las condiciones básicas se

encuentra el bienestar higrotérmico, esto con el fin de elevar la calidad del hábitat,

pues se tienen condiciones indispensables de salubridad y confort para los

habitantes.

Las tendencias arquitectónicas actuales presentan la construcción de edificios tipo

torre con grandes áreas de envidriados o ventanas, y que en algunos casos cubre la

totalidad del edificio. Sin embargo, en la mayoría de estas construcciones los

materiales son seleccionados sin tomar en cuenta las condiciones climáticas del

lugar, ya que no existen normas vigentes que establezcan los tipos de materiales a

utilizar para ahorrar energía por conceptos de iluminación y acondicionamiento del

aire. Los edificios con este tipo de arquitectura, ubicados en las zonas cálidas del

país, requieren de sistemas mecánicos y eléctricos para acondicionar el ambiente, lo

que representa un elevado costo de operación y mantenimiento. La causa principal

de esto es la ganancia térmica, que se refleja en el aumento de temperatura en las

habitaciones, y se da a través de ventanas, paredes, techos y pisos. En las

edificaciones con grandes áreas vidriadas la mayor ganancia térmica se da a través

de las ventanas, y a causa de esto, la temperatura al interior de la edificación

aumenta considerablemente.

Siguiendo con la tendencia hacia el uso de sistemas pasivos para el ahorro de

energía, se utilizan diferentes sistemas vidriados para reducir la ganancia ó pérdida

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Capítulo 1 Estado del arte

5

térmica de calor dentro de las edificaciones. La clasificación de estos sistemas se

hace de acuerdo a la selectividad espectral, y la representación de un amplio

intervalo de tipos de vidrios y recubrimientos, así como sistemas vidriados

específicos usados para iluminación (Gueymard, 2009). Por lo tanto, se dividen en

seis categorías:

1. Películas para ventanas de vidrio.

2. Vidrios laminados.

3. Acristalamiento de referencia.

4. Vidrio doble de baja emisividad.

5. Vidrio doble electrocromático.

6. Vidrio triple- claro, espejo y de baja emisividad.

Los vidrios laminados de control solar son adecuados para las áreas cálidas del país,

ya que reducen la carga térmica minimizando el paso de la luz. El tratamiento de

estos vidrios consiste en depositar químicamente películas de semiconductores para

controlar o filtrar el paso de la radiación solar, en sus diferentes regiones espectrales,

hacia el interior de las habitaciones (Aguilar, 2005a).

En los edificios con grandes envidriados, como los antes mencionados, el

acondicionamiento de aire representa una alta demanda de energía eléctrica, por lo

que se pueden utilizar vidrios laminados para disminuir la carga térmica. Sumado al

problema de transferencia de calor en este tipo de envidriados, se presenta el de

seguridad, ya que en la mayoría de las zonas que presentan clima cálido tales

edificaciones están expuestas a fenómenos meteorológicos tales como huracanes,

tormentas o depresiones tropicales, etc., con los que se corre el riesgo de fractura y

ruptura en los vidrios de las ventanas, a causa de los fuertes vientos. En muchos

casos es necesario proteger los envidriados con madera, o con cinta adhesiva, para

evitar que los fragmentos del vidrio causen daños a las personas que habitan el

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Capítulo 1 Estado del arte

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edificio si es que éste llega a romperse. Aguilar (2005a) ha propuesto diversos

arreglos de vidrios laminados controladores de la radiación solar que cumplen con

características ópticas y mecánicas aceptables para su uso como vidrios de control

solar y de seguridad simultáneamente. La evaluación térmica de estas

configuraciones en una habitación, en la cual la habitación es representada como una

cavidad, es la parte esencial de este trabajo.

1.2. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA

Para realizar la revisión bibliográfica correspondiente a este tema ésta se divide en

dos secciones para facilitar su comprensión. La primera sección trata sobre los

estudios de transferencia de calor en vidrios con y sin películas de control solar, en

la segunda sección se presentan estudios sobre tipos de películas de control solar y

sus configuraciones en vidrios.

1.2.1. Transferencia de calor en vidrios con y sin películas de control solar

Dentro de los estudios acerca del comportamiento térmico de vidrios laminados con

y sin películas de control solar se tiene el presentado por Álvarez et. al (1998),

donde se resuelve un modelo matemático transitorio en una dimensión para predecir

el comportamiento de vidrios laminados con y sin película de control solar, los

resultados fueron validados experimentalmente. Un vidrio laminado normal esta

compuesto por dos hojas de vidrio de 3mm con una capa delgada de polímero entre

ellas. Para la verificación experimental, se usó una película delgada de CuxS

adherida entre la capa de polímero y una hoja de vidrio. Se consideró la

transferencia de calor por conducción el interior del vidrio, y la transferencia de

calor por convección y radiación al interior y exterior de la cavidad. La máxima

diferencia entre los resultados teóricos y experimentales fue de 3.6%. Los resultados

muestran que para valores altos de absortancia de la película de control solar (=0.9),

la temperatura del vidrio fue de 49 a 27°C, una caída de temperatura de 22 °C así

como el coeficiente convectivo incrementa de 5 a 100 W/m2K. También, se observó

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Capítulo 1 Estado del arte

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que, para el arreglo con película de control solar, hay una caída de 62% en el

coeficiente de sombreado, de 0.58 a 0.22 a medida que el coeficiente convectivo

aumenta; mientras que sin la película de control solar la variación fue casi

insignificante.

Un parámetro importante en el comportamiento térmico de los vidrios con películas

de control solar, es la emitancia que poseen. De ello, Álvarez et. al (2001)

realizaron un estudio de la influencia de la emitancia térmica en el comportamiento

de vidrios laminados para control solar. Los autores presentaron un modelo

matemático transitorio unidimensional para evaluar la transferencia de calor por

conducción dentro del vidrio, y la pérdida de calor por convección y radiación del

vidrio hacia el interior y exterior. La emitancia de la pared interior del vidrio fue

variada de 0.15 a 0.85; el coeficiente convectivo de transferencia de calor para la

superficie exterior, 10-100 W/m2K y la temperatura ambiente exterior de 15°C,

32°C y 45°C. Los resultados muestran que si la emitancia disminuye o el coeficiente

convectivo de transferencia de calor incrementa, el coeficiente de sombreado (SC)

incrementa; excepto para la combinación de coeficientes convectivos altos y

temperatura exterior baja, 15°C. En la transferencia de calor hacia el interior, las

pérdidas o ganancias de calor por convección siempre es más alto que el de

radiación en el intervalo de temperaturas consideradas. Para temperatura ambiente

baja y coeficiente convectivo alto, la dirección del flujo de calor es del interior hacia

el exterior. Las características presentadas del vidrio laminado pueden ayudar a

decidir en la aplicación de este sistema.

Ismail y Henríquez (2003) desarrollaron un modelo matemático para simular la

transferencia de calor a través de una ventana de vidrio simple. El modelo

bidimensional, transitorio esta basado en la ecuación de energía con un término

fuente para tomar en cuenta la radiación solar absorbida a través del vidrio. Los

resultados muestran que conforme aumenta el espesor del vidrio se reduce la

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Capítulo 1 Estado del arte

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ganancia total de calor. En ausencia de la radiación solar la ganancia de calor es

exclusivamente dependiente de la diferencia de temperatura entre el ambiente

interno y externo. La aportación dominante a la ganancia total de calor es la

radiación incidente sobre el vidrio.

Álvarez et. al (2005) reportaron la preparación, caracterización óptica y modelado

térmico de vidrios laminados con películas de control solar ZnS(40nm)-

CuS(150nm) y ZnS(40nm)-Bi2S3(75nm) depositadas por baño químico. Los

envidriados presentaron una transmitancia visible de 36% o 14% con una

absortancia solar de 71% o 78%, dependiendo del tipo de recubrimiento; ZnS-CuS o

ZnS-Bi2S3 respectivamente. Los resultados mostraron una reducción en el SHGC del

12-20%, dependiendo del tipo de envidriado, la temperatura exterior y las

condiciones del viento.

Xamán y Álvarez (2006) analizaron numéricamente los efectos de una pared

semitransparente con película de control solar de SnS-CuxS en una cavidad

rectangular que contiene aire. El tamaño de la cavidad abarca un intervalo de 0.7 a

6.98 m (Ra=109-1012) y sólo fueron considerados los efectos de convección natural y

conducción. De acuerdo a los resultados, la temperatura promedio de la pared con

película de control solar es más alta que la del vidrio simple. Por lo tanto, el uso de

la película de control solar incrementa la ganancia térmica dentro de la cavidad. Sin

embargo, el vidrio con película presentó un SHGC de 34.7%, mientras que en el

vidrio simple es de 83.7%, indicando que el factor de transmisión directa de energía

solar del vidrio con película de control solar es mucho mas baja que la del vidrio

simple.

Posteriormente, Sharma et al. (2007) estudiaron una cavidad rectangular calentada

en la pared inferior y enfriada en las otras paredes, con convección natural con flujo

turbulento e intercambio radiativo entre las paredes, usando el método de volumen

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Capítulo 1 Estado del arte

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finito para varios aspectos de radio. Basaron el numero Rayleigh en el ancho de la

cavidad y fue variado de 108 a 1012, la razón de aspecto se varió de 0.5 a 2.0. Los

resultados permitieron observar ciertos parámetros que influyen de manera

importante en el fenómeno, tales como: Número de Rayleigh, la relación de aspecto,

la emisividad de las paredes y el coeficiente de transferencia de calor externo. Se

observó que la irradiación de las superficies amortigua el comportamiento de la

convección natural, dando como resultado una reducción de aproximadamente 18-27

% en la contribución de la transferencia por convección. Sin embargo, esta

disminución es compensada por la contribución del efecto radiativo; enfatizando la

necesidad del acople radiativo y convectivo para una predicción mas precisa en la

transferencia de calor en cavidades.

El estudio experimental de este tipo de fenómenos de transferencia de calor es

bastante complejo, pero muy atractivo para verificar resultados. Flores et. al (2008)

realizaron un estudio teórico y experimental de la transferencia de calor combinada

en una cavidad cúbica con aire no-participante. La cavidad tiene una pared vertical

semitransparente con película de control solar (SCC); en el lado opuesto tiene una

pared isotérmica negra opaca. Las paredes de arriba, abajo y los lados son opacas,

grises y adiabáticas. En el estudio teórico se resolvieron numéricamente las

ecuaciones de conservación de masa, momentum y energía en 3-D en estado

permanente, junto con las ecuaciones de un modelo de intercambio radiativo y de

conducción. En el estudio experimental, la absortancia de la película de control solar

fue simulada experimentalmente usando una película delgada con resistencia

eléctrica localizada en la superficie del vidrio. Los autores usaron la técnica de

termografía infrarroja para medir la temperatura del la superficie exterior del vidrio.

La temperatura al interior de la cavidad fue medida usando termopares. El campo de

temperaturas de la superficie exterior del vidrio fueron utilizadas como condiciones

de frontera para el modelo teórico y las temperaturas al interior de la cavidad fueron

comparadas con las obtenidas teóricamente del código computacional para un

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Capítulo 1 Estado del arte

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Ra=2.3x106, y la diferencia promedio fue de 1.87%. A partir de los resultados

obtenidos se observó que la transferencia de calor por radiación no puede ser

excluida del análisis. Los resultados del estudio paramétrico mostraron que para una

temperatura exterior de 25°C el flujo de calor radiante incrementa así como la

absortancia de la película de control solar incrementa de 0.08 a 0.64, pero el

coeficiente de ganancia de calor solar (SHGC) disminuye de 0.94 a 0.52.

Gijón-Rivera et al. (2011) mostraron la evaluación del comportamiento térmico para

una oficina en la parte superior de un edificio, con cuatro diferentes configuraciones

de ventanas de vidrio, y su influencia en las condiciones al interior. Las

configuraciones de ventanas son: vidrio claro, vidrio con película (película de

control solar de SnS-CuxS), vidrio doble con película y vidrio doble claro. Las

simulaciones se llevaron a cabo a partir de datos meteorológicos de la Cd. de

México y Ottawa, Canadá con el fin de evaluar el comportamiento térmico dentro de

las oficinas, como las cargas energéticas, los costos de aire acondicionado y la

influencia de las correlaciones del coeficiente de transferencia de calor interior. Los

resultados indican que el vidrio claro muestra una mayor pérdida de calor en

invierno y mayor ganancia solar en verano debido a su alta transmisividad; mientras

que el vidrio con película es la peor configuración debido a las altas temperaturas

que alcanza la superficie de la película, las cuales repercuten en la temperatura al

interior de las oficinas e incrementan el consumo energético; por lo tanto, el vidrio

doble con película resultó ser la configuración adecuada para ambos climas. Sin

embargo, para la Cd. de México es más conveniente el vidrio doble claro, debido a

que para este clima las cargas de calefacción son menores.

1.2.2. Tipos de películas de control solar y sus configuraciones en vidrios

A continuación se presentan algunos estudios realizados a películas de control solar

y configuraciones de ellas que existen en el campo:

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Capítulo 1 Estado del arte

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Estrada-Gasca et al. (1993) presentaron un modelo matemático capaz de predecir el

comportamiento térmico de un vidrio con película de control solar con y sin una

película protectora de polímero. El balance diferencial de energía para el vidrio se

consideró en una dimensión y estado permanente, para el caso de radiación solar

incidente normal de dos masas de aire, considerando transferencia de calor por

conducción dentro del vidrio y transferencia de calor por convección y radiación al

interior y exterior del edificio. La película de control solar se consideró de SnS-

CuxS. La película protectora de polímero incrementa el valor de Qint, debido al

incremento de la emisividad en la superficie interior; por lo tanto, para una

temperatura exterior de 30 °C hubo un incremento de Qint de 10.6% y 11.6%, para

vidrios de 1 y 6 mm con película de control solar, respectivamente, y un incremento

de Qext correspondiente de 10.5 y 11.0%, respectivamente.

Álvarez y Estrada (1995) presentaron el comportamiento a través del tiempo de una

película delgada de SnS-CuxS depositada químicamente sobre sustrato de vidrio y

observaron que el uso de la película en el vidrio, comparado con un vidrio claro,

disminuye considerablemente el flujo de calor hacia el interior y el tiempo necesario

para alcanzar un estado permanente no varía significativamente entre un caso y otro.

Posteriormente, Álvarez et al. (1998) realizaron la validación experimental de un

modelo matemático que predice el coeficiente de sombreado (SC) y el factor de

rechazo de energía solar (SRF) de películas de control solar, el modelo fue probado

usando una película de ZnS-CuxS depositada sobre un vidrio claro de 6mm. Los

resultados mostraron que el SC para el vidrio con película es de 0.45, mientras que

para el vidrio claro es de 0.91; indicando que el vidrio con película admite menos

energía que la transmitida por un vidrio claro (50% menos). El factor de rechazo de

energía solar también indica que el vidrio con película rechaza más energía (0.61)

que el vidrio claro (0.19).

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Capítulo 1 Estado del arte

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Aguilar et. al (2004) realizaron la caracterización mecánica de vidrios laminados

con películas delgadas semiconductoras (PDS) para el control de la radiación solar,

mediante pruebas de resistencia de adhesión por corte compresivo. Las PDS

utilizadas en las pruebas se obtuvieron por el método de depósito por baño químico

y fueron de ZnS, CuS y Cu2-xSe. Los espectros de transmitancia óptica muestran una

amplia gama de parámetros de control solar que van del 20% al 60% en la región del

espectro visible (380-780nm) y del 5% al 25% en la región espectral del cercano al

infrarrojo (780-2500nm). Los resultados muestran que las películas de ZnS mejoran

la adhesión del vidrio laminado sencillo hasta en un 40%. Los valores de resistencia

adhesiva interfacial de los vidrios laminados con PDS se consideran satisfactorios

para su aplicación comercial, además de que ofrecen selectividad óptica para el

control de radiación solar.

Chaiyapinunt et al. (2004) presentan los resultados del parámetro llamado

porcentaje previsto de insatisfacción (PPD) como un índice del confort térmico y la

ganancia de calor relativa (RHG) como índice de la transmisión de calor en ventanas

de vidrio con y sin películas con diferentes propiedades ópticas. Los autores

concluyeron que el adherir una película de control solar al vidrio provoca la

reducción en la transmisión de calor dependiendo de las propiedades de la película

seleccionada.

Aguilar et. al (2005b) presentaron el estudio de un recubrimiento de película

delgada de ZnS (40-80 nm) mejorando la fuerza de adhesión del vidrio laminado en

alrededor de 20%, de 12 a 14 MPa; lo cual es mas alto que lo demandado por el

estándar industrial. La transmitancia óptica del vidrio laminado con película de ZnS

en la región visible es de alrededor de 80%, la misma que la de una configuración

simple de vidrio-PVB-vidrio. La adición de una película de CuS sobre el

recubrimiento de ZnS mantiene la misma fuerza de adhesión (12-14 MPa), pero

tiene una transmitancia visible de 22% a 40% y muy baja transmitancia, <10%, en la

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Capítulo 1 Estado del arte

13

región cercana a la infrarroja. Por lo antes expuesto, estas películas tienen aplicación

en ventanas arquitectónicas en climas cálidos sujetos a tormentas, como en áreas

costeras.

En 2009, Pal et al. evaluaron el rendimiento térmico del interior de una edificación

tomando la radiación incidente sobre la ventana durante un año. Ellos reportaron que

la temperatura de la ventana es dependiente del proceso convectivo, y que debido a

la incidencia de radiación solar sobre la ventana la ganancia de calor solar ganado al

interior de la edificación es dependiente del tiempo.

1.2.3. Conclusión de la revisión bibliográfica

En los estudios realizados para obtener los flujos de calor hacia el interior y el

SHGC de vidrio con y sin películas de control solar consideran una temperatura

constante al interior y exterior de los vidrios, al igual que los coeficientes de

transferencia de calor utilizados en ambas fronteras, exceptuando el estudio de

Xamán y Álvarez en 2006, Flores en 2008 y Gijón-Rivera et. al en 2011. Xamán y

Álvarez en 2006 consideraron convención natural dentro de la cavidad y la

conducción en la pared semitransparente con película de control solar, la cavidad se

considero aislada en las paredes horizontales y la pared izquierda isoterma. Flores et.

al en 2008 realizó el estudio numérico – experimental de una cavidad con pared de

vidrio con película de control solar, el estudio fue realizado en 3D, con dimensiones

a escala mas pequeña que las reales. Gijón- Rivera et. al en 2011realizó el estudio de

configuraciones de ventanas , como: vidrio claro, vidrio con película (película de

control solar de SnS-CuxS), vidrio doble con película y vidrio doble claro; para una

oficina en la parte superior de un edificio, utilizando los datos meteorológicos de la

Cd. de México y Ottawa, Canadá. Sharman en 2007 estudió la transferencia de calor

por convección natural con flujo turbulento e intercambio radiativo en una cavidad

rectangular calentada en la pared inferior y enfriada en las otras paredes.

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Capítulo 1 Estado del arte

14

Con base en la revisión bibliográfica presentada, se observó que hasta la fecha no se

ha realizado la evaluación térmica de los sistemas vidriados propuestos por Aguilar

(2005a) acoplados a una habitación, considerando conducción de calor en ambas

paredes verticales de la habitación; la representación de una habitación, en este caso,

es una cavidad.

1.3. OBJETIVO

Realizar el estudio de la transferencia de calor conjugada en una cavidad cuadrada

con pared semitransparente considerando películas de control solar de CuS y CuS-

Cu2-xSe.

1.4. ALCANCE

Se realizará un estudio numérico de la transferencia de calor conjugada en una

cavidad con pared semitransparente con películas de control solar ó vidrio laminado

de control solar, el estudio se hará a tres configuraciones de vidrio laminado y un

vidrio claro para poder realizar en análisis con respecto al comportamiento de éste;

se obtendrán las temperaturas promedios de la cavidad para la evaluación de

distintas configuraciones y se obtendrán las relaciones de los flujos de calor

convectivos y radiativos en términos de los parámetros involucrados. Se le asignará

un nombre a cada una de las configuraciones de vidrio laminado para identificarlas

con mayor facilidad a lo largo del trabajo. Se le llamará Configuración 1 al vidrio

laminado compuesto por dos vidrios claros, una hoja de PVB y películas de CuS-

Cu2-xSe; la Configuración 2, al igual que la Configuración 1, tiene dos vidrios claros,

y una hoja de PVB, pero las películas de control solar es de CuS; y por último, la

Configuración 3 compuesta por dos vidrios claros, dos hojas de PVB, una hoja de

PET y una película de control solar de CuS. Tales configuraciones se presentan y

describen a detalle en el siguiente capítulo.

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Capítulo 1 Estado del arte

15

1.5. ESTRUCTURA DE LA TESIS

El Capítulo 2 muestra el modelo físico de la cavidad cuadrada con pared de vidrio

laminado, con transferencia de calor conjugada (conducción, convección y

radiación) y las consideraciones que se tienen en este estudio. Se presentan las

ecuaciones gobernantes para cada uno de los modelados del sistema, tales como: el

modelo de convección natural con flujo turbulento en la cavidad, el modelo de

transferencia de calor por conducción de la pared opaca, el modelo de la

transferencia de calor por conducción a través del vidrio laminado y el modelo de

intercambio radiativo entre las paredes de la cavidad, así como sus respectivas

condiciones de frontera.

Posteriormente, en el Capítulo 3 se explica el método numérico elegido para realizar

el estudio, así como una breve descripción del algoritmo SIMPLE (Semi-Implicit

Method for Pressure-Linked Equations) y SIMLEC (SIMPLE-consistent) para el

acople de las ecuaciones de conservación. También, muestra el método utilizado en

el estudio del intercambio radiativo entre las paredes de la cavidad (Método de

Radiación Neta) y el método de solución para la conducción a través de las paredes

verticales del sistema, con sus diagramas de flujo respectivos.

La verificación del código numérico se muestra en el Capítulo 4, el cuál contiene los

casos de referencia para verificar el código tales como: la convección natural en una

cavidad cuadrada con flujo laminar, transferencia de calor combinada (convección y

radiación) en una cavidad cuadrada con flujo turbulento, la conducción de calor en

una pared semitransparente. La comparación de los resultados obtenidos en estos

casos se realizó de forma cualitativa y cuantitativa con información disponible de la

literatura.

En el Capítulo 5 se presentan los resultados de la transferencia de calor conjugada en

una cavidad cuadrada con pared semitransparente, tanto en forma gráfica como

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Capítulo 1 Estado del arte

16

tabular para poder analizar el comportamiento térmico del sistema. Primero se

determinan los parámetros de estudio, seguido de una breve explicación de los

patrones de flujo, posteriormente se muestra el efecto del muro conductor, la

evaluación térmica de las tres configuraciones de vidrio laminado y claro, y

finalmente se dan los coeficientes de ganancia de calor solar para todas las

configuraciones de vidrio laminado y el vidrio claro.

Por último, en el Capítulo 6 se muestran las concusiones correspondientes a los

resultados analizados en el trabajo, así como sugerencias para aplicarlas a trabajos

futuros.

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Capítulo 2 Modelo físico y matemático

17

CAPÍTULO 2

MODELO FÍSICO Y MATEMÁTICO En este capítulo se muestra el modelo físico de la cavidad cuadrada con pared de

vidrio laminado, con transferencia de calor conjugada (conducción, convección y

radiación), así como las consideraciones tomadas en este estudio. Posteriormente, se

presentan las ecuaciones gobernantes para cada uno de los modelados del sistema,

tales como: el modelo de convección natural con flujo turbulento en la cavidad, el

modelo de transferencia de calor por conducción de la pared opaca, el modelo de la

transferencia de calor por conducción a través del vidrio laminado y el modelo de

intercambio radiativo entre las paredes de la cavidad, así como sus respectivas

condiciones de frontera.

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Capítulo 2 Modelo físico y matemático

18

2.1. MODELO FÍSICO DE LA CAVIDAD CUADRADA CON PARED

SEMITRANSPARENTE CON PELÍCULA DE CONTROL SOLAR

En las edificaciones con grandes áreas de envidriados se tiene una ganancia de calor

considerable hacia el interior de las habitaciones, provocando el aumento de

temperatura en el aire. Tal aumento de temperatura afecta el confort térmico de la

habitación, de tal manera que surge la necesidad de usar sistemas mecánicos para el

acondicionamiento del aire, y por consiguiente, un aumento en el costo energético.

Debido a la situación ambiental y económica actual es necesario reducir el consumo

energético, para ello se han desarrollado nuevas tecnologías. En este caso, para

edificaciones con grandes áreas de envidriados, las nuevas tecnologías son aplicadas

a los vidrios; ya que a través de ellos se da la mayor ganancia térmica hacia el

interior de la habitación. Dentro de las tecnologías antes mencionadas, se tiene el

uso de vidrios laminados para controlar el paso de la radiación solar hacia el interior.

Un vidrio laminado consiste en dos vidrios claros unidos por una hoja polimérica de

PVB ó PET, mediante calor y presión; y para controlar espectralmente el paso de la

radiación solar se le adhieren películas de semiconductores a los vidrios en la

interface de éste y la hoja de polímero. Los vidrios laminados de control solar tienen

la característica de disminuir el paso de la radiación solar, sin afectar la iluminación

al interior de la edificación. Cabe mencionar que la transmisividad de estos vidrios

en la región visible tiene su pico máximo en 565nm, lo cual coincide con la

sensibilidad máxima del ojo humano a la luz del día, de aquí tal característica.

Al incidir la radiación solar sobre este tipo de configuraciones de vidrio, una parte

de la energía se refleja, otra parte se absorbe y el resto logra pasar a través del vidrio

(se transmite), tales cantidades de energía dependen de las propiedades ópticas de la

configuración. Debido a las propiedades de las películas de semiconductor utilizadas

en la configuración de vidrio laminado parte importante de la radiación solar

incidente es absorbida y reflejada, atenuando considerablemente la cantidad que

logra ingresar a la habitación. Sin embargo, tal disminución en la energía transmitida

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Capítulo 2 Modelo físico y matemático

19

provoca el aumento en la absorción del vidrio laminado, ocasionando un aumento en

la temperatura de éste; y en función de los valores de temperatura del aire exterior e

interior, se generarán flujos en ambos lados.

El flujo de energía que proviene del vidrio laminado será transferido al aire que se

encuentra dentro de la habitación; mientras tanto, en la pared opaca conductiva

opuesta al vidrio laminado sucederá un fenómeno similar, aportando otro flujo de

calor. Debido a la diferencia de temperatura entre las paredes y el aire adyacente a

ellas se presenta un cambio en la densidad del aire, provocando el desplazamiento

del fluido (fuerza de flotación). Debido a la temperatura que alcanza la pared de

vidrio laminado, en la parte interior, emite energía radiante a las demás paredes de la

habitación y el fluido contenido dentro. A su vez, la energía transmitida a través del

vidrio también incide sobre las paredes de la cavidad, y debido a la absortividad con

que éstas cuentan parte de la energía incidente es absorbida. Debido a los fenómenos

mencionados, las temperaturas en las paredes de la cavidad son diferentes entre

ellas, lo cual provoca movimiento del fluido y aunado a esto se tienen las

dimensiones de la habitación, dando como resultado un movimiento del aire en

régimen turbulento.

Por lo tanto, al interior de la habitación se tendrá la energía solar que logra

transmitirse a través de la configuración de vidrio laminado mas los flujos de calor

por convección natural y radiación, es decir, se tiene transferencia de calor

conjugada dentro de todo el sistema ya que se presenta conducción, convección y

radiación en él; mientras que para el exterior se reflejará parte de la energía solar

que incide sobre el vidrio laminado y el intercambio convectivo y radiativo con el

medio ambiente.

Para poder analizar los efectos que provoca el uso del vidrio laminado en una

habitación sobre el comportamiento del fluido contenido en ésta, se representará la

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Capítulo 2 Modelo físico y matemático

20

habitación como una cavidad cuadrada (W=H) llena de aire, como se muestra en la

Figura 2.1. La profundidad de la cavidad a lo largo del eje z se supone infinita. La

superficie izquierda de la cavidad se considera una pared opaca conductiva; las

superficies superior e inferior se consideran adiabáticas, la consideración acerca de

las paredes adiabáticas es válida, ya que la diferencia entre los promedios de

temperatura de la habitación superior e inferior respecto a la intermedia es

aproximadamente nula, es decir, no hay flujo de calor entre ellas; en la parte derecha

se tiene una pared conductiva semitransparente con películas de control solar de CuS

y CuS-Cu2-xSe. La radiación solar incidente sobre la pared semitransparente con

película de control solar se considera en dirección normal y de valor constante. El

flujo de aire dentro de la cavidad se considera constante y no participante (Aire

seco).

Figura 2.1. Modelo físico de cavidad cuadrada con pared semitransparente.

Air

Adiabatic

Adiabatic

G

qrad-out

qconv-out

1

2

3

4

PVB

αG

qconv-int

qconv-out

qrad-out

W

H

qrad-int

Lx2 Lx1

PDS

y

Air

Adiabática

Adiabática

G

qrad-out

qconv-out

1

2

3

4

αG

qconv-int

qconv-out

qrad-out

W

H

qrad-int

Lx2 Lx1

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Capítulo 2 Modelo físico y matemático

21

A continuación se describe cada una de las configuraciones de vidrio laminado de

control solar que se analizarán en este trabajo. Tales configuraciones a estudiar se

muestran en la siguiente figura:

Configuración 1 Configuración 2 Configuración 3

I,II,III,IV y V = Interfaces

Configuración 1 Configuración 2 Configuración 3

I,II,III,IV y V = Interfaces

Figura 2.2. Configuraciones de vidrios desarrolladas por Aguilar (2005).

Se le llamará Configuración 1 a la pared semitransparente con película de control

solar ó vidrio laminado compuesto por dos vidrios claros de 3mm unidos mediante

calor y presión∗ por una hoja polimérica, de PVB de 0.76mm de espesor; la

diferencia entre este vidrio laminado y los comunes es la presencia de películas de

control solar en las interfaces de contacto entre los vidrio y el polímero de PVB. Las

películas delgadas de semiconductores son para el control de la radiación solar pues

tienen propiedades ópticas que pretenden contribuir con el ahorro de energía al ser

utilizadas en ventanas de edificios y automóviles. Para esta configuración se

utilizaron películas de CuS-Cu2-xSe de un espesor 100 nm.

∗ 12 atm y 135 °C durante 3 horas.

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Capítulo 2 Modelo físico y matemático

22

Para la Configuración 2, al igual que la 1, se tienen dos vidrios de 3mm unidos

mediante una hoja polimérica de PVB, y en la interface de contacto entre el PVB y

los vidrios se tienen películas de control solar o del tipo CuS.

La Configuración 3 esta compuesta por dos vidrios claros de 3mm unidos a dos

hojas de PVB, cada uno de ellos, entre las hojas de PVB se tiene una hoja de PET y

en la interface entre el PVB y el PET se tiene la película de control solar de CuS

(como se observó en la Figura 2.2). De las tres configuraciones descritas ésta es la

más compleja en cuanto a número de elementos ó materiales. Las propiedades

ópticas y térmicas de cada uno de los materiales que integran éstas se muestran en la

siguiente tabla:

Tabla 2.1. Propiedades ópticas y termofísicas de los materiales de las Configuraciones

(Aguilar, 2005).

CuS CuS-Cu 2-xSe

α 0.094 0.062 0.004 0.4 0.48

τ 0.821 0.844 0.865 0.41 0.39

ρ 0.085 0.094 0.131 0.19 0.13

ε 0.837 --- --- --- ---

k (W/m K) 1.4 0.7 0.15 26.3x10-03

26.3x10-03

Cp (KJ/Kg K) 840 2.1 1.2 1.012 1.012

Densidad (Kg/m3) 2700 1118 1300 1.204 1.204

Propiedad Vidrio (3mm) Hoja de PVB Hoja de PETPDS

El movimiento del fluido y la transferencia de calor, dentro de la cavidad y en las

paredes conductivas de la cavidad, se modelan a partir de las ecuaciones de

conservación de masa, momentum y energía, con algunas consideraciones tales

como:

o El estudio de los fenómenos se realizarán en dos dimensiones, ya que la

habitación se supone demasiado larga de tal manera que es válido hacer un

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Capítulo 2 Modelo físico y matemático

23

corte transversal alejado de los extremos; además de que el hecho de tener

una tercera dimensión aumentaría la complejidad del estudio.

o Se supone un flujo newtoniano, ya que el fluido se considera aire seco; y

flujo turbulento debido a las dimensiones consideradas para la cavidad.

o Las propiedades termofísicas del fluido se consideran constantes a excepción

de la densidad en el término de flotación, por ello se utiliza la aproximación

de Boussinesq. La cual considera que la densidad varía linealmente con la

temperatura.

o Para el intercambio radiativo al interior de la cavidad se considera a la pared

semitransparente y a las paredes opacas como emisores grises, difusos y

reflectoras de radiación.

o La radiación solar incide en dirección oblicua a las paredes y/o ventanas, pero

para el caso en estudio se considera una radiación en dirección normal, por lo

que será la componente normal de la radiación incidente la que llegará al

vidrio; la radiación solar varía con el tiempo, pero para este trabajo se

considera con un valor constante.

o Las propiedades ópticas de las paredes son consideradas independientes de la

longitud de onda y la temperatura.

o Las propiedades termofísicas de las paredes y el aire son consideradas

constantes en un intervalo de temperatura.

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Capítulo 2 Modelo físico y matemático

24

o El fluido dentro de la cavidad se considera radiativamente no-participante, ya

que se supone aire seco (bajo contenido de humedad), y por lo tanto, la

absorción de energía es casi nula.

o Los procesos de transferencia de calor en las paredes, opaca y

semitransparente, se consideran bidimensionales.

o Las paredes conductoras se consideran como un medio homogéneo y sin

generación de calor.

2.2. MODELO MATEMÁTICO DE LA CAVIDAD CUADRADA CON

PARED SEMITRANSPARENTE CON PELÍCULA DE CONTROL SOLA R

2.2.1. Modelo de convección natural con flujo turbulento en la cavidad

Se considera transferencia de calor a través de la cavidad, que se encuentra aislada

en las paredes horizontales y recibiendo flujos de calor en las paredes verticales,

como se muestra en la Figura 2.3, con flujo turbulento dentro de ella. Las ecuaciones

de conservación que describen el comportamiento del fenómeno, son las ecuaciones

promediadas en el tiempo de masa, momentum y energía; dichas ecuaciones se

representan en forma tensorial como sigue:

Ecuación de masa

( )0=

∂∂

i

i

x

uρ (2.1)

Ecuación de momento

( ) ( )∞−−

∂∂

+∂∂

∂∂+

∂∂−=

∂∂

TTguux

u

x

u

xx

P

x

uuiji

i

j

j

i

jij

ji βρρµµρ '' (2.2)

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Capítulo 2 Modelo físico y matemático

25

Ecuación de energía

∂∂

∂∂=

∂∂ ''1)(

TuCpx

T

xCpx

Tuj

jjj

j ρλρ

(2.3)

Al promediar las ecuaciones de conservación de masa, momentum y energía se

generan nuevos términos que deben de modelarse (problema de cerradura en la

turbulencia).

Estos son los términos ''ji uuρ y '' Tu j , los cuales son el tensor de esfuerzos de

Reynolds (denotado por ijρτ ) y el vector de flujo de calor turbulento,

respectivamente. La presencia de ambos términos hacen que el sistema de las

ecuaciones de conservación no este cerrado, es decir, hay más variables que

ecuaciones. La cerradura requiere del uso de algunas aproximaciones, las cuales

usualmente toman la forma del tensor de esfuerzos de Reynolds y del vector de

flujo de calor turbulento en términos de cantidades medias, en donde estas

aproximaciones son llamadas modelos de turbulencia.

Figura 2.3. Modelo físico de la cavidad.

x

y

H Aire

W

22 rcdcd qqqaw

+=44 rcdcd qqq

ag+=

11 rcd qqa

−=

33 rcd qqa

−=

x

y

x

y

HH Aire

WW

22 rcdcd qqqaw

+=44 rcdcd qqq

ag+=

11 rcd qqa

−=

33 rcd qqa

−=

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Capítulo 2 Modelo físico y matemático

26

Los modelos de turbulencia más usados, son los modelos de dos ecuaciones, los

cuales utilizan una ecuación para la energía cinética turbulenta (k) y una ecuación

para la disipación de la energía cinética turbulenta (ε), en este trabajo se utilizará el

modelo k-ε que utiliza un enfoque fenomenológico para evaluar el tensor de

esfuerzos de Reynolds y el flujo de calor turbulento, los términos anteriores se

pueden escribir de la siguiente manera:

iji

j

j

itji x

u

x

uuu ρκδµρ

3

2'' +

∂∂

+∂

−= (2.4)

iT

ti x

TTu

∂∂−=

σµρ '

(2.5)

Las ecuaciones de la energía cinética turbulenta y la disipación de energía cinética

turbulenta, son obtenidas a partir de sus ecuaciones de transporte. Las ecuaciones

resultantes κ-ε, junto con las expresiones de Kolmorogov-Prandtl, después de tomar

en cuenta el efecto de bajo número de Reynolds, pueden escribirse de la siguiente

manera:

ερµ µ ~

2kCt =

(2.6)

( ) ερσµµρ

κκκ

~−++

∂∂

+

∂∂=

∂∂

GPx

k

xx

ku

i

t

ii

i

(2.7)

( ) [ ]k

Ck

GCPCxxx

u

i

t

ii

i2

21

~~~~

3

ερεεσµµερ

εκεκεε

−++

∂∂

+

∂∂=

∂∂

(2.8)

donde la variable ε~ definida como )/(~ ρεε D−= se introduce en el modelo de

turbulencia por conveniencia de cálculo para evitar un valor cero de ε~ en la pared.

La producción de corte y la producción-destrucción de flotación de la energía

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Capítulo 2 Modelo físico y matemático

27

cinética turbulenta, se definen respectivamente de la siguiente manera, en donde las

variables son valores promedios.

j

iij

j

iji x

u

x

uuuP

∂∂

=∂∂

−= τρκ''

(2.9)

ii

t

tii x

TggTuG

∂∂=−= β

σµρβκ

''

(2.10)

Para este modelo de turbulencia Henkes y Hoogendoorn (1992) sugirieron usar una

condición de frontera de primera clase en la pared para la disipación de energía

cinética turbulenta (ε = ∞, un valor grande), conocido como modelo de turbulencia

HH, en la tabla 2.2 se presentan los valores empíricos y condiciones de pared para

este modelo.

Tabla 2.2. Condiciones de frontera y constantes del modelo HH.

kw εw cµ C1ε C2ε σκ σε

0.0 ∞ 0.09 1.44 1.92 1.0 1.3

2.2.2 Condiciones a la frontera del modelo convectivo

En este apartado se presentan las condiciones de frontera para el problema

hidrodinámico y térmico dentro de la cavidad con pared semitransparente.

Las condiciones de frontera para las velocidades en la cavidad son de no-

deslizamiento en las paredes. Las condiciones de frontera para la temperatura son:

paredes horizontales adiabáticas (pared superior e inferior), en la pared vertical

izquierda se tiene un muro considerando transferencia de calor a través de él (muro

conductivo) y se considera la conducción de calor a través de la pared

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Capítulo 2 Modelo físico y matemático

28

semitransparente con película de control solar (pared de vidrio laminado), tales

condiciones de frontera fueron mostradas en la Figura 2.3 y se escriben como sigue:

Condiciones de frontera hidrodinámicas:

( ) ( ) 0,, 11 =+= yWLxuyLxu

( ) ( ) 0,0, == Hxuxu (2.11)

( ) ( ) 0,, 11 =+= yWLxvyLxv

( ) ( ) 0,0, == Hxvxv

Condiciones de frontera de temperatura:

Para la pared horizontal inferior (pared 1):

11 rcd qqa

−= (2.12)

Para la pared vertical izquierda (pared 2: muro conductivo):

22 rcdcd qqqaw

+= (2.13)

Para la pared horizontal superior (pared 3):

33 rcd qqa

−= (2.14)

Para la pared vertical derecha (pared 4: pared semitransparente con película de

control solar):

44 rcdcd qqqag

+= (2.15)

Los flujos que representan la conducción de calor desde la superficie interior de la

cavidad hacia el fluido de las paredes 1, 2, 3 y 4 son: 1acdq ,

2acdq , 3acdq y

4acdq ,

respectivamente. Los flujos de calor 1r

q , 2r

q , 3r

q y 4r

q son los flujos de calor que

resultan del intercambio radiativo entre las paredes de la cavidad, cada uno de ellos

es correspondiente a la pared 1, 2, 3 y 4. El término wcdq representa el flujo

conductivo que logra pasar a través del muro; mientras que gcdq corresponde a la

energía que se conduce a través de la pared semitransparente con película de control

solar.

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Capítulo 2 Modelo físico y matemático

29

Para contar con los datos necesarios en el problema de la cavidad con pared

semitransparente con película de control solar es necesario obtener los flujos de

calor a través del muro conductivo (pared 2) y la pared semitransparente (pared 4),

así como los flujos netos radiativos en las paredes de la cavidad. Debido a lo

anterior, es necesario resolver cada uno de esos sistemas para posteriormente

acoplarlos a la cavidad; es decir, se resolverá: 1) La transferencia de calor en la

pared opaca conductiva, 2) La transferencia de calor a través de la pared

semitransparente con película de control solar y 3) El modelo de la transferencia de

calor por radiación en la cavidad considerando paredes opacas.

2.2.3. Modelo de la transferencia de calor en la pared opaca conductiva

Para determinar la distribución de temperatura a través de la pared opaca conductiva

se considera un balance de energía, la pared es mostrada en la 2.4, la temperatura

exterior TO es controlada por las condiciones que se tienen en la habitación

adyacente a la pared y la temperatura interior Ti es la temperatura en el interior de la

habitación bajo estudio.

y

x

qr-out

qc-out

Lx

qr-int

qc-int

TO Ti

H

y

x

y

x

qr-out

qc-out

Lx

qr-int

qc-int

TO Ti

HH

Figura 2.4. Modelo físico de la pared opaca conductiva.

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Capítulo 2 Modelo físico y matemático

30

La ecuación que rige este fenómeno esta dada de la siguiente manera:

Sy

T

Cpyx

T

Cpxt

T PPPPPP +

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂=

∂∂ λλρ )(

(2.16)

Para la pared opaca se tienen condiciones de frontera adiabáticas en las fronteras

horizontales (superior e inferior) y las verticales se encuentran intercambiando

energía por convección y radiación hacia el interior y exterior de la pared. Tales

condiciones de frontera se pueden escribir como sigue:

Frontera inferior:

0)0,(

=∂

∂y

xTP (2.17)

Frontera izquierda:

( ) ( )44),0(),0(),0(

outPPoutPoutP TyTTyTh

x

yT−+−=

∂∂

− ρελ (2.18)

Frontera superior:

0),(

=∂

∂y

HxTP (2.19)

Frontera derecha:

radcvP qqx

yLxT+=

∂∂

−),(λ

(2.20)

2.2.4. Transferencia de calor a través del vidrio laminado

Se considera un balance de energía para el cálculo de la distribución de temperaturas

al interior y exterior de la configuración vidriada, la Figura 2.5 muestra el modelo

físico de la configuración, donde T0 es la temperatura ambiente exterior y Ti es la

temperatura al interior habitación. La ecuación de transferencia de calor a través de

la configuración es la siguiente:

dx

d

Cpy

T

Cpyx

T

Cpxt

T gggggg Θ+

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂=

∂∂ 1)( λλρ

(2.21)

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Capítulo 2 Modelo físico y matemático

31

LxG1

PDS

PVB

T0

G

qr-out

qc-out

G

qr-out

qc-out

LxG2Lx

PVB1xx

Ti

qc-int

qr-int

H Ti

qr-int

H

αG

αG

Figura 2.5. Modelo físico del vidrio laminado.

Donde Θ es la función de atenuación de energía del vidrio laminado y depende del

coeficiente de extinción del vidrio (Sg), como se muestra a continuación:

( )[ ]xLxSGx g −−=Θ exp)( (2.22)

Las condiciones de frontera de la configuración vidriada en la parte superior e

inferior son paredes adiabáticas, y en las fronteras verticales se tiene intercambio

radiativo y convectivo.

A continuación se escriben las condiciones de frontera de la pared de vidrio

laminado:

Frontera inferior:

0)0,(

=∂

∂y

xTg (2.23)

Frontera izquierda:

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Capítulo 2 Modelo físico y matemático

32

( ) ( )4int

41int1int

1 ),(),(),(

TyWLxTTyWLxThx

yWLxTggg

g −++−+=∂

+∂− ρελ

(2.24)

Frontera superior:

0),(

=∂

∂y

HxTg (2.25)

Frontera derecha:

radcvg qqx

yLxWLxT+=

∂++∂

−),( 21λ

(2.26)

Como se describió en el Capítulo 1, los vidrios laminados están compuestos por

distintos materiales, y por lo tanto, es necesario resolver el campo de temperaturas

para cada uno de los medios que lo integran; estos medios intercambian información

a través de la frontera de contacto entre ellos. Para el intercambio de información en

estas interfaces se tienen dos consideraciones:

o El espesor de las películas de control solar se considera despreciable

comparado con el espesor de los vidrios y las hojas de polímero; y por lo

tanto, la conducción a través de las películas de control también se desprecia.

Entonces, la temperatura de la película y del medio adyacente son iguales:

Tg=Tf

o Se considera contacto perfecto entre los dos materiales, de tal manera que el

flujo de calor a través de esa interface es el igual para cualquiera de los

materiales que participan; es decir:

x

T

x

T

∂∂

=∂∂ 2

21

1 λλ

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Capítulo 2 Modelo físico y matemático

33

2.2.5. Modelo de la transferencia de calor por radiación dentro de la cavidad

Este método esta basado en un balance de energía en cada elemento de área, y es

utilizado para analizar el modelo de intercambio radiativo dentro de la cavidad. En

la Figura 2.6 se presenta una cavidad cuadrada, todas las superficies se consideran

grises, emisoras difusas, absorbedoras y reflectoras de la radiación térmica; por lo

que, la emisividad y reflectividad de las paredes son independientes de la longitud

de onda y del ángulo de incidencia. La transferencia de calor por radiación sobre un

elemento de área diferencial, se define como la diferencia entre la radiación que sale

del área (radiosidad) y la que entra a dicha área (irradiancia) debido a las fracciones

de energía que le aportan las demás paredes. En la siguiente figura se señalan un par

de áreas diferenciales sobre las paredes S y W para referenciar en un análisis

posterior.

Figura 2.6. Cavidad con intercambio radiativo

Se realiza un balance de energía sobre el elemento diferencial dAk localizado en rk

sobre la pared S. Y se tiene un flujo de calor resultante para la pared S:

)()()( sisosr xqxqxqsss

−= (2.29)

En una superficie opaca difusa, la suma de la energía emitida y la energía reflejada

por la misma superficie, se define como radiosidad, por lo que:

y

x

S

W

N

E

qr,k

dAj rj

rk

qi,k qo,k

y

x

y

x

S

W

N

E

qr,k

dAj rj

rk

qi,k qo,k

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Capítulo 2 Modelo físico y matemático

34

)()()( 4sissssso xqxTxq

ssρσε += (2.30)

Y la irradiancia se define como la suma de las fracciones de energía que salen de

otras superficies y llegan a la superficie a analizar, así que:

∑ ∫=

−=m

sj A

dAdAjosi

j

jsjsdFxqxq )()( (2.31)

Donde qi,s(xs) es la radiación térmica que le llega a la pared que está compuesta por

la fracción de energía que sale de las paredes W, N y E y llega a la pared S. xs

representa la posición sobre la pared s, σ es la constante de Stefan-Boltzman, εs y ρs

es la emitancia y reflectancia en la pared S y se suponen independientes de la

temperatura. qo,s(xs) es la radiosidad que se define como la razón de calor radiativo

que sale de la superficie por unidad de área y dFdAs-dAj es el factor de forma.

Para el método descrito anteriormente se necesita un balance de energía de entrada y

salida de cada elemento de área. La energía que llega a cada elemento de área tiene

contribuciones de las superficies restantes de la cavidad, y por lo tanto, se necesita

determinar la cantidad de energía que suministra cada elemento dA’ y que viaja

hacia el elemento dA. Las relaciones geométricas que gobiernan este proceso para

superficies difusas son conocidas como factores de forma.

Para este estudio se utilizará el Método de cuerdas cruzadas, ya que éste es utilizado

en geometrías bidimensionales. Tal método consiste en trazar una línea de referencia

en los puntos del área en que se desea conocer el factor de vista, como se muestra en

la Figura 2.7; posteriormente se calculan las distancias diagonales y laterales, para

así poder determinar el factor de vista con la ecuación (2.32).

OrigendeÁrea

LadosDiagonalesF

..*221

−=−

(2.32)

Por lo que los factores de vista para las cuatro paredes están dados por (Alvarado,

2006):

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Capítulo 2 Modelo físico y matemático

35

Figura 2.7. Método de cuerdas cruzadas para una cavidad rectangular.

Pared sur (s)

SdAdA dA

SSDDF

WS *2

)()( 2121 +−+=−

(2.32)

2/1*])()[( 22

211 WYSXD +=

2/1*])()[( 21

222 WYSXD += (2.33)

2/1*])()[( 21

211 WYSXS +=

2/1*])()[( 22

222 WYSXs +=

SdAdA dA

SSDDF

NS *2

)()( 2121 +−+=−

(2.34)

2/1*])[( 22

211 HNXSXD +−=

2/1*])[( 22

122 HNXSXD +−= (2.35)

2/1*])[( 22

111 HNXSXS +−=

2/1*])[( 22

222 HNXSXS +−=

SdAdA dA

SSDDF

ES *2

)()( 2121 +−+=−

(2.36)

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Capítulo 2 Modelo físico y matemático

36

2/1*])()[( 21

211 EYSXLD +−=

2/1*])()[( 22

222 EYSXLD +−= (2.37)

2/1*])()[( 22

211 EYSXLS +−=

2/1*])()[( 21

222 EYSXLS +−=

Pared oeste (w)

WSSW dAdAW

SdAdA F

dA

dAF −− = *

(2.38)

WdAdA dA

SSDDF

NW *2

)()( 2121 +−+=−

(2.39)

2/1*])()[( 21

211 NXWYHD +−=

2/1*])()[( 22

222 NXWYHD +−= (2.40)

2/1*])()[( 22

211 NXWYHS +−=

2/1*])()[( 21

222 NXWYHS +−=

WdAdA dA

SSDDF

EW *2

)()( 2121 +−+=−

(2.41)

2/1*])[( 22

211 LEYWYD +−=

2/1*])[( 22

122 LEYWYD +−= (2.42)

2/1*])[( 22

111 LEYWYS +−=

2/1*])[( 22

222 LEYWYS +−=

Pared norte (n)

NSSN dAdAN

SdAdA F

dA

dAF −− = *

(2.43)

NWWN dAdAN

WdAdA F

dA

dAF −− = *

(2.44)

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Capítulo 2 Modelo físico y matemático

37

NdAdA dA

SSDDF

EN *2

)()( 2121 +−+=−

(2.45)

2/1*])()[( 22

211 EYHNXLD −+−=

2/1*])()[( 21

222 EYHNXLD −+−= (2.46)

2/1*])()[( 21

211 EYHNXLS −+−=

2/1*])()[( 22

222 EYHNXLS −+−=

Pared este (e)

ESSE dAdAE

SdAdA F

dA

dAF −− = *

(2.47)

EWWE dAdAE

WdAdA F

dA

dAF −− = *

(2.48)

ENNE dAdAE

NdAdA F

dA

dAF −− = *

(2.49)

Finalmente, para las paredes que no se ven a si mismas se tiene:

0==== −−−− EENNWWSS dAdAdAdAdAdAdAdA FFFF (2.50)

2.3. COEFICIENTE DE GANANCIA DE CALOR SOLAR

Un parámetro utilizado en el estudio del comportamiento térmico de ventanas de

vidrio ó compuestas por hojas de vidrio expuestas a irradiación solar es el

coeficiente de ganancia de calor solar (SHGC).

El SHGC se define como la razón de la energía solar transmitida más el flujo de

calor transmitido desde la superficie del sistema hacia el interior con respecto a la

energía solar que incide sobre el vidrio, y se expresa como sigue:

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Capítulo 2 Modelo físico y matemático

38

[ ]G

GqSHGC adovidriolasistema )min(int τ+

= (2.51)

Donde, τG es la energía solar transmitida a través de la ventana, G es la irradiación

solar que incide sobre la ventana y el flujo de calor hacia el interior qint es la suma

del flujo de calor convectivo más el flujo de calor radiativo hacia el interior, esto es:

4int rcd qqqg

+= (2.52)

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Capítulo 3 Metodología de solución

39

CAPÍTULO 3

METODOLOGÍA DE SOLUC IÓN En este capítulo se explica de manera general el método numérico elegido para este

estudio, también se describe el algoritmo SIMPLE (Semi-Implicit Method for

Pressure-Linked Equations) y SIMLEC (SIMPLE-consistent) para el acople de las

ecuaciones de conservación. Se presenta el método usado para resolver el

intercambio radiativo entre las paredes de la cavidad, llamado Método de Radiación

Neta. Por último, se presenta el método de solución para la transferencia de calor a

través una pared conductiva, opaca y semitransparente con película de control solar,

respectivamente; cada uno de los modelos con su correspondiente diagrama de flujo.

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Capítulo 3 Metodología de solución

40

3.1. MÉTODOS DE SOLUCIÓN PARA LAS ECUACIONES DE

CONSERVACIÓN

La incapacidad para resolver analíticamente las leyes que rigen el comportamiento

general de los fluidos y la transferencia de calor nos obliga a recurrir a otras

técnicas de solución, ya sea experimental o numérica. La mayoría de las veces es

mas conveniente utilizar la técnica numérica debido a su bajo costo y pragmatismo

para poder desarrollarla, es decir, sólo se necesita el conocimiento y una máquina

donde desarrollar o simular el modelo. Dentro de los métodos numéricos existentes

para resolver las ecuaciones de conservación de masa, momentum y energía, los más

utilizados son tres: método de diferencias finitas (MDF), método de volumen finito

(MVF) y método de elemento finito (MEF). La principal diferencia entre las tres

técnicas más usadas está asociada con la manera en la cual las variables de flujo son

aproximadas y con el proceso de discretización.

3.2. MÉTODO DE VOLUMEN FINITO

El método de los volúmenes de finitos permite discretizar y resolver numéricamente

ecuaciones diferenciales. El método de volumen finito es una formulación especial

del método de diferencias finitas. Consiste en definir una malla numérica en el

espacio fluido.

En torno a cada punto de esta malla se construye un volumen de control que no se

traslapa con la malla de los puntos vecinos, de esta forma, el volumen total de fluido

resulta ser igual a la suma de los volúmenes de control considerados. La ecuación

diferencial a resolver se integra sobre cada volumen de control, lo cual permite

como resultado una versión discretizada de dicha ecuación. La principal propiedad

del sistema de ecuaciones discretizadas resultante, es que la solución obtenida

satisface en forma exacta las ecuaciones de conservación consideradas,

independientemente del tamaño de la malla.

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Capítulo 3 Metodología de solución

41

El Método de Volumen Finito consiste en lo siguientes pasos:

� Generación de malla ó dominio computacional.

� Discretización del modelo matemático.

� Solución del sistema de ecuaciones algebraicas.

Para este caso el Método de Volumen Finito (MVF) es el indicado debido a que es

un método conservativo, ya que por construcción considera conservación integral de

masa, momentum y energía, y estos se satisfacen para un número cualquiera de

volúmenes de control.

3.2.1. Generación de malla ó dominio computacional

Este paso consiste en dividir el dominio en pequeños volúmenes de control, dentro

de los cuales se ubicará el nodo donde se determine el valor de la variable. Para

cuestiones de análisis se ubica el nodo principal P justo en el centro del volumen de

control; de modo que la interface del volumen de control (punto w, e, n y s) estará

en medio de la distancia entre un nodo y otro. La posición de los nodos se calcula

usando una función de estrechamiento, para que los nodos ubicados cerca de las

paredes de la cavidad estén más cercanos entre sí, ya que es ahí donde se aprecia

más el fenómeno de capa límite. Como se muestra en la Figura 3.1:

Figura 3.1. Malla no-uniforme, usando función de estrechamiento

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Capítulo 3 Metodología de solución

42

La malla espacial es muy importante en la solución de los resultados ya que a partir

de una malla adecuada a la geometría del sistema se podrá especificar las

condiciones de frontera adecuadas para obtener resultados físicamente esperados.

También, es importante cuidar la densidad de la malla, pues de acuerdo a ella se

puede aumentar exponencialmente el tiempo en el proceso de solución.

3.3. ECUACIÓN GENERALIZADA DE CONVECCION-DIFUSIÓN

La ecuación generalizada de convección-difusión puede representar a todas las

ecuaciones diferenciales que se encuentran bajo el principio de conservación (masa,

energía, momentum, etc.), por lo tanto, se tomará la ecuación generalizada en dos

dimensiones.

La ecuación generalizada en 2-D expresada en notación tensorial se escribe de la

siguiente manera:

( ) ( ) Sxx

uxt ii

ii

+

∂∂Γ

∂∂=

∂∂+

∂∂ φφρρφ

(3.1)

La ecuación (3.1) que representa las ecuaciones de conservación esta dada por

Patankar (1980), como:

( ) ( ) ( )S

yyxxy

v

x

u

t+

∂∂Γ

∂∂+

∂∂Γ

∂∂=

∂∂+

∂∂+

∂∂ φφφρφρρφ

(3.2)

La ecuación se compone de cuatro términos, y en ella se describen varios procesos

de transporte: El primer término representa la acumulación de la variable φ en el

volumen de control (término transitorio), el segundo término representa el flujo

neto de φ en el volumen diferencial a causa del transporte de φ por los movimientos

convectivos (término convectivo), el tercer término representa el flujo neto de φ en

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Capítulo 3 Metodología de solución

43

el volumen de control debido a las corrientes difusivas (término difusivo ) y el

último término es la generación al interior del volumen de control de la variable φ

(término fuente). En este último término se engloban todos los términos que no

pueden ser agrupados en los términos transitorios, convectivos y difusivos.

Como ya se mencionó las ecuaciones de conservación de masa, momentum,

energía, y las ecuaciones del modelo k-ε (modelo HH), pueden ser expresadas en

términos generales de φ, Γ y S. La tabla 3.1 muestra la equivalencia de los términos

respecto a la ecuación generalizada.

Tabla 3.1. Equivalencias de la formulación generalizada.

Ecuación de conservación

φφφφ ΓΓΓΓ S

Masa 1 0 0

Momento en x

u µ + µt ( ) ( )

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂−

x

v

yx

u

xx

Ptt µµµµ

Momento en y

v µ + µt ( ) ( ) ( )

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂+−+

∂∂−

y

v

yy

u

xTTg

y

Ptto µµµµβρ

Energía T k

t

Cp σµλ +

0

Energía cinética

turbulenta

k k

t

σµµ + ρε−+ kk GP

Disipación de k

ε εσ

µµ t+ ( )[ ]k

CGCPC kk

ερεεεε 231 −+

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Capítulo 3 Metodología de solución

44

3.3.1. Discretización de la ecuación generalizada de Convención-Difusión

Cuando se habla de discretizar las ecuaciones que rigen el fenómeno, se esta

hablando de utilizar alguna técnica numérica para aproximar esa ecuación

diferencial a un conjunto de ecuaciones algebraicas y facilitar su solución.

y

x

∆y

(δy)s

(δy)n

∆x

(δx)w (δx)e

Jn

Js

Je

Jw

w

s

W

N

S

E

e

n

P

y

x

y

x

∆y∆y

(δy)s

(δy)n

(δy)s

(δy)n

∆x∆x

(δx)w (δx)e(δx)w (δx)e

Jn

Js

Je

Jw

w

s

W

N

S

E

e

n

P

Figura 3.2. Volumen de control sobre una malla bidimensional.

Para ubicar mejor el volumen de control sobre el cual se integrará la ecuación

generalizada de convención-difusión se tiene la Figura 3.2, donde se presenta un

volumen de control general con un nodo central P, relacionado con sus nodos

vecinos oeste (W), este (E), norte (N) y sur (S).

Se discretizará la ecuación generalizada para el caso de los nodos internos, en los

que se desconoce la variable de interés (φ); se tiene la ecuación generalizada de

convección-difusión de φ en dos dimensiones:

Syyxx

vy

uxt

+

∂∂Γ

∂∂+

∂∂Γ

∂∂=

∂∂+

∂∂+

∂∂ ϕϕϕρϕρρϕ

)()()(

(3.3)

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Capítulo 3 Metodología de solución

45

Se toma el dominio de interés, para cada uno de los términos, entre los puntos w y e

para la dirección x del volumen de control, y entre los puntos n y s para la dirección

y, tomando en cuenta el paso del tiempo se toma un dominio de interés desde un

tiempo anterior (t0) hasta un tiempo posterior (t= t0+∆t); e integrando sobre este

volumen de control seleccionado, se tiene:

∫ ∫∫ ∫∫ ∫

∫ ∫∫ ∫∫ ∫ ∫

+

∂∂Γ

∂∂+

∂∂Γ

∂∂

=∂∂+

∂∂+

∂∂

n

s

e

w

n

s

e

w

n

s

e

w

n

s

e

w

n

s

e

w

t

t

n

s

e

w

Sdxdydxdyyy

dxdyxx

dxdyvy

dxdyux

dxdydtt

ϕϕ

ϕρϕρρϕ)()(

)(

0 (3.4)

Integrando espacialmente la ecuación (3.4) sobre los límites del volumen de control,

antes mencionado, se tiene:

( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] =∆−+∆−+∆∆∂

∂xvvyuuyx

t snwe ϕρϕρϕρϕρρϕ

yxSxyy

yxx

snwe

∆∆+∆

∂∂Γ−

∂∂Γ+∆

∂∂Γ−

∂∂Γ ϕϕϕϕ

(3.5)

Para tomar en cuenta la variación de la variable φ con el tiempo de t (n) a t+∆t

(n+1), se hace uso de la siguiente expresión:

( )[ ] tffdt nntt

t

∆−+= +∆+

∫ φφφ 11

(3.6)

donde:

Si el esquema es explícito.

Si el esquema es Crank-Nicolson. (3.7)

Si el esquema es implícito.

50.=f

01.=f

0.0=f

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Capítulo 3 Metodología de solución

46

Utilizando un esquema de interpolación implícito para el tiempo; y debido a que las

condiciones en las interfaces no son conocidas, se recurre a la interpolación de

esquema centrado, ocupando así, los valores conocidos de los nodos adyacentes a

esa interfaz de volumen de control (nodo E , W, N y S, según sea el caso). De lo

cual, se obtiene:

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] =∆−+∆−+∆∆∆−

xvvyuuyxt

ts

tn

tw

te

tP

tP ϕρϕρϕρϕρρϕρϕ 0

yxSxyy

yxx

t

t

s

t

n

t

w

t

e

∆∆+∆

∂∂Γ−

∂∂Γ+∆

∂∂Γ−

∂∂Γ ϕϕϕϕ

(3.8)

Para facilitar la manipulación de la ecuación, se hace uso de la definición del flujo

total, la cual se presenta a continuación:

dx

dF

dx

duJ

ϕϕϕϕρ Γ−=Γ−= (3.9a)

Definiendo los flujos totales a través de las caras de los volúmenes de control (flujos

convectivos mas flujos difusivos):

( ) ydx

duJ

eee ∆

Γ−= ϕϕρ

( ) ydx

duJ

www ∆

Γ−= ϕϕρ (3.9b)

( ) xdx

duJ

nnn ∆

Γ−= ϕϕρ

( ) xdx

duJ

sss ∆

Γ−= ϕϕρ

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Capítulo 3 Metodología de solución

47

Sustituyendo la ecuación (3.9b) y tomando t=1 como el valor del tiempo presente y

t=0 como el valor del tiempo anterior, se obtiene la siguiente la expresión:

( ) ( )[ ] ( ) ( ) yxSJJJJyxt snwe

PP ∆∆=−+−+∆∆∆− 0ρϕρϕ

(3.10)

Para asegurarse que la solución final, de la ecuación discreta de convección-

difusión, obtenida mediante el proceso iterativo cumplirá con el principio de

continuidad, se hace uso de la Ecuación de conservación de la masa (Continuidad),

la cual se presenta a continuación:

( ) ( )0=

∂∂+

∂∂+

∂∂

y

v

x

u

t

ρρρ (3.11)

Integrando espacialmente y temporalmente la ecuación (3.11) de continuidad se

llega a:

[ ] ( ) ( ) 00

=−+−+∆∆∆−

snwePP FFFFyx

t

ρρ (3.12)

Donde los flujos convectivos a través de las caras de los volúmenes de control se

definen como:

( ) yuF ee ∆= ρ

( ) yuF ww ∆= ρ (3.13)

( ) xuF nn ∆= ρ

( ) xuF ss ∆= ρ

Y al multiplicar la ecuación (3.10) por φP:

( ) ( ) ( ) 00

=−+−+∆∆∆−

PsnPwePPP FFFFyx

tϕϕϕρρ

(3.14)

Restando la ecuación (3.12) a la ecuación discreta convección-difusión (3.8), para

que cumpla con la ecuación de conservación de masa, se llega a:

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Capítulo 3 Metodología de solución

48

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] yxSFJFJFJFJyxt PPssPnnPwwPeeP

PP ∆∆=−−−+−−−+∆∆∆− ϕϕϕϕϕρϕϕ

00

(3.15)

Ahora corresponde pasar la ecuación discreta anterior a una notación de coeficientes

agrupados (expresar variables de un nodo P en función de la variable de los nodos

vecinos E, W, N y S), para ello se usará la formulación de esquema generalizado

(Patankar, 1980); que continuación se muestra:

Formulación Generalizada,

De la solución exacta ó analítica:

1

1

0

0

−−=

−−

Pe

L

Pex

L e

e

ϕϕϕϕ

, donde: D

FuLPe =

Γ= ρ

(3.16)

La solución exacta (3.16) puede ser usada como un perfil para aproximación, por

ejemplo, entre los puntos P y E, con φP y φE reemplazando φ0 y φL y la distancia

(δx)e por L:

( )

( ) ( )

−−

−= EPePPe

Pe

eeee

e

ee

eFJ ϕϕ

1

1

1 (3.17)

Haciendo:

( )

( ) ( )

−−

−== EPePPe

Pe

ee

ee

ee

e

ee

ePe

D

JJ ϕϕ

1

1

1* (3.18a)

J* también puede ser expresada como:

1*

+−= ii ABJ ϕϕ (3.18b)

Donde Ay B son coeficientes dimensionales, funciones del número de Peclet.

Por lo tanto,

EePee

ee PeAPeB

D

JJ ϕϕ )()(* −== (3.19)

Sabiendo que: B(Pe)=A(Pe)+Pe, se llega a:

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Capítulo 3 Metodología de solución

49

( )EPeePee PeADFJ ϕϕϕ −=− )(* (3.20)

( )EPEa ϕϕ −=

Análogo para todas las interfaces; al sustituir las relaciones de esquema

generalizado en la ecuación discreta, se llega:

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] yxSaaaayxt PPSSNPNPWWEPEP

PP ∆∆=−−−+−−−+∆∆∆− ϕϕϕϕϕϕϕϕϕρϕϕ

00

(3.21)

Ecuación discretizada en notación de coeficientes agrupados

aPφP = aEφE+ aWφW + aNφN + aSφS +b (3.22)

Por lo tanto,

aE =De A(ǀPeeǀ)+max[-Fe,0]

aW = De A(ǀPeeǀ)+max[-Fw,0]

aN = De A(ǀPeeǀ)+max[-Fn,0] (3.23)

aS = De A(ǀPeeǀ)+max[-Fs,0]

b= yxSt

yx ttP P

∆∆+∆∆∆

00 ϕρ

A partir de la formulación generalizada propuesta por Patankar (1980), se pueden

integrar fácilmente distintos esquemas de aproximación, la función de A(|Pe|) es una

función que depende del esquema de aproximación. La diferencia de los esquemas

de aproximación consiste en la manera de evaluar algunas propiedades en la frontera

del volumen de control. A continuación se dará una breve explicación de algunos

esquemas de aproximación.

3.4. ESQUEMAS DE APROXIMACIÓN NUMÉRICA

Como se pudo apreciar, hasta el momento, en todas las ecuaciones es necesario

conocer los valores de las variables en las caras de los volúmenes de control. Esto

aE

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Capítulo 3 Metodología de solución

50

permitirá calcular los flujos, y como consecuencia los coeficientes necesarios para la

solución de la variable en el punto P.

El problema en el método de volumen finito es que no se conoce la información en

las caras del volumen de control, ya que la información se tiene en los puntos

nodales P, E, W, N y S. El cálculo de la información en la frontera del volumen de

control influye en la exactitud de los resultados o la convergencia del algoritmo.

En el apartado anterior se observó que es necesario determinar los flujos convectivos

y difusivos en las caras del volumen de control. Los esquemas de aproximación se

utilizan en los términos convectivos, ya que para el caso de los flujos difusivos esta

demostrado que la diferencia centrada es la mejor aproximación (Versteeg et al.,

1995).

Los esquemas de aproximación relacionan información de nodos cercanos a la

frontera con los valores de las variables en la frontera del volumen de control. Los

esquemas de bajo orden toman uno o dos puntos nodales para la aproximación del

valor en la interfase del volumen de control. Algunos esquemas de bajo orden son:

• Corriente arriba ( Upwind Scheme).

Aproxima el valor de la variable en la frontera del volumen de control con el valor

nodal inmediatamente a la frontera, según el sentido de la velocidad. Presenta

resultados físicamente aceptables pero con baja exactitud, para mejorar la exactitud

de los resultados se tiene que usar una malla más densa, pero tiene un buen

comportamiento para la convergencia, ya que no es oscilatorio.

• Esquema centrado (Central Differencing Scheme).

Usa el promedio de los dos valores nodales más cercanos a la frontera para

aproximar la variable. Funciona bien para problemas a bajas velocidades, pero no es

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Capítulo 3 Metodología de solución

51

aconsejable para situaciones altamente convectivas, ya que no representa

adecuadamente el transporte convectivo de las propiedades.

• Esquema híbrido (Hibrid Scheme).

Combina las características del esquema centrado y del esquema Upwind. Usa el

esquema centrado para velocidades bajas y para velocidades elevadas utiliza las

características del esquema Upwind.

• Esquema exponencial (Exponential Scheme).

Este esquema se desarrolló de acuerdo a la solución analítica (exacta) del problema

unidimensional en estado permanente, por lo que produce la solución exacta para

cualquier valor del número de Peclet y para cualquier número de puntos de malla en

este tipo de problemas. Sin embargo, el esquema exponencial no es muy utilizado ni

recomendable en problemas de convección–difusión de dos o tres dimensiones,

debido a que no es exacto en este tipo de problemas, además de presentar demasiado

tiempo de cómputo.

• Esquema de ley de potencia (Power-law Scheme).

Este esquema fue desarrollado por Patankar (1980), y es una modificación del

esquema híbrido basado en el esquema exponencial. Esta formulación asume que la

diferenciación de la difusión es cero cuando el número de Peclet es mayor a 10. Si

0<Pe<10 el flujo es evaluado por una expresión polinomial. Este esquema presenta

la misma exactitud en los resultados que el esquema exponencial pero además,

mejora la convergencia, por lo que es el más utilizado y recomendable en problemas

de convección–difusión.

En la tabla 3.2 se muestran los valores de A en función del número de Peclet,

función A(|Pe|), para los diferentes esquemas de bajo orden dada por Patankar

(1980):

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Capítulo 3 Metodología de solución

52

Tabla 3.2. Función A(ǀPeǀ).

Esquema numérico A (ǀPeǀ)

UPWIND 1

Centrado 1-0.5 |Pe|

Híbrido Max [ 0, (1-0.5 |Pe| ) ]

Exponencial |Pe| / (exp (|Pe|)-1)

Ley de potencia Max [ 0, (1-0.1 |Pe| )5 ]

3.5. ALGORITMOS DE ACOPLE: SIMPLE Y SIMPLEC

El algoritmo SIMPLE es una técnica para el acople de las ecuaciones de

conservación de masa y momento. Uno de los problemas que se tiene en la solución

de las ecuaciones de conservación de momento es la no linealidad. Por otra parte, si

se discretiza el gradiente de presión sobre la malla computacional utilizada para la

variable en estudio se introduce una aproximación más dentro de la solución,

provocando que ésta se aleje del resultado real. Para sobrellevar el problema, antes

mencionado, que representa el gradiente de presión se tiene como opción utilizar

mallas desplazadas (Patankar, 1980).

El algoritmo SIMPLEC fue propuesto por Van Doormaal y Raithby (1984), y sigue

el mismo procedimiento que el algoritmo SIMPLE, con la diferencia que las

ecuaciones de momentum son manipuladas de forma diferente.

3.5.1. Malla desplazada o escalonada

La malla desplazada o escalonada se utiliza para el acople de las ecuaciones de masa

y momento, pues ésta es usada para el calculo de las componentes de velocidad. La

malla escalonada es superpuesta sobre la malla principal, en la cual se calculan las

variables escalares (presión, temperatura, etc), de tal modo que las fronteras de los

volúmenes de control coinciden con los nodos de la malla principal, como se

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Capítulo 3 Metodología de solución

53

muestra en la Figura 3.3. Las mallas se desplazan en una sola dirección, ya sea en x

ó y (para el caso de 2-D).

Figura 3.3. Arreglo de mallas desplazadas en 2-D.

La malla desplazada no se encuentra en contacto con la frontera, pues se requiere

tener los nodos de esta malla en la frontera del volumen de control que pertenece a

la malla principal, ya que se necesita la información en las fronteras de la malla

principal para la solución de las variables escalares; en caso de no tener la

información en las fronteras del volumen de control se tendría que recurrir a una

interpolación, lo cual afectaría la exactitud de los resultados.

Por otra parte, la alternativa de la malla desplazada resuelve el problema de la

discretización del gradiente de presión, lo cual será explicado de manera breve en el

próximo apartado.

3.5.1.1. Representación del Término de Gradiente de Presión

Para la discretización de la ecuación de momentum en x, la representación del

gradiente de presión en el nodo p ( dxdp/− ) integrado sobre el volumen de control

P EW

N

S

e

n

P EW

N

S

e

n

Volumen de control de la malla principal

Volumen de control de la malla

desplazada en x

Volumen de control de la malla

desplazada en y

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Capítulo 3 Metodología de solución

54

da como resultado la caída de presión ( ) xpp ew ∆− / , lo cual es la presión ejercida

sobre frontera oeste menos la presión ejercida sobre la frontera este del volumen de

control . Este término es la presión neta ejercida sobre el volumen de control.

Como no se cuenta con la información de la presión en las fronteras del volumen de

control se toma la información de la nodos vecinos a estas fronteras; y por lo tanto,

se hace una interpolación lineal. Si la malla es regular, el gradiente de presión queda

de la siguiente manera:

x

PP

x

PP

x

PP

x

PP EWEPPWew

∆−

=∆+

−∆+

=∆−

222 (3.24)

De la ecuación anterior, se observa que el gradiente de presión queda en función de

dos puntos alternantes de la malla, y no adyacentes, lo cual físicamente no es

posible. En la Figura 3.4 se observa con mayor claridad el problema que se presenta

al tener una distribución de presión no uniforme, pues el gradiente sería igual a cero;

tomando la distribución de presión como uniforme, lo cual no es correcto.

100400 400w e100 100

PW E

Figura 3.4. Campo de presión zig-zag.

Para evitar la situación antes descrita se recurrió a la utilización de las mallas

desplazadas, pues con ello se tiene la información de la presión en las fronteras del

volumen de control, lo cual evita las aproximaciones haciendo los balances de

presión inmediatos. En la Figura 3.5 se muestra el arreglo de las mallas desplazadas

sobre la malla principal.

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Capítulo 3 Metodología de solución

55

(a) (b) (c)

Figura 3.5. Representación de los volúmenes de control.

(a)Volumen de control para las variables escalares, (b) volumen de control para

velocidad ue y (c) volumen de control para velocidad vn.

3.5.2. Secuencia de operación del algoritmo SIMPLE y SIMPLEC

El algoritmo SIMPLE consiste en suponer un campo de presión para obtener campos

de velocidades nuevos ó más aproximados a la solución, posteriormente se hace la

corrección de los valores de presión supuestos para estimar el campo de velocidades,

también corregido; el proceso es iterativo hasta satisfacer la ecuación de

continuidad.

El algoritmo SIMPLE se resume como sigue:

Se discretizan las ecuaciones de cantidad de movimiento en notación de coeficientes

agrupados; de tal manera que el campo de presión aparezca en la ecuación, como

sigue:

( ) ueEPVecinosVecinosee bAPPuaua +−+=∑ (3.25a)

( ) vnNPVecinosVecinosnn bAPPvava +−+=∑ (3.25b)

PW

N

E

S

s

ew

n

uw ue

PW

N

E

S

s

ew

n

uw ue

PW

N

E

S

s

ew

n

vs

vn

PW

N

E

S

s

ew

n

vs

vn

PW

N

E

S

s

ew

n

uw ue

vs

vn

PW

N

E

S

s

ew

n

uw ue

vs

vn

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Capítulo 3 Metodología de solución

56

Los términos de la ecuación en donde aparece la presión representan la fuerza de

presión que actúa sobre el volumen de control dado.

Para poder resolver las ecuaciones de cantidad de movimiento antes escritas se debe

suponer un campo de presión p*, lo que se obtendrá un campo de velocidades

propuesto denominado u* y v*, las cuales pueden ser representadas como:

( ) ueEPVecinosVecinosee bAPPuaua +−+=∑ ****

(3.26a)

( ) vnNPVecinosVecinosnn bAPPvava +−+=∑ ****

(3.26b)

El campo de velocidades obtenido puede no cumplir continuidad, a menos que el

campo de presión propuesto sea el correcto. Por lo tanto, se designa a P’ como una

corrección de presión, que es la diferencia entre la presión correcta P y la presión

supuesta P*, se tiene:

'* PPP += *' PPP −= (3.27)

De la misma forma se definen las correcciones para las velocidades u’ y v’, para

relacionar los campos correctos de velocidades u y v con el campo supuesto de

velocidades u* y v*.

*''* vvvvvv −=+= (3.28)

*''* uuuuuu −=+= (3.29)

Se sustituyen los valores corregidos de P, u y v en la ecuación (3.25):

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ueEEPPVecinosVecinoseee bAPPPPuuauua ++−+++=+ ∑ '*'*'*'*

(3.30a)

( ) ( ) ( ) ( )[ ] )'*'*'*'* vnNNPPVecinosVecinosnnn bAPPPPvvavva ++−+++=+ ∑ (3.30b)

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Capítulo 3 Metodología de solución

57

A las ecuaciones (3.30a) y (3.30b) se les resta las ecuaciones (3.26a) y (3.26b), y se

obtiene una nueva expresión de las ecuaciones de momentum discretizadas en

función de las velocidades y presión corregidas

( ) ''''eEPVecinosVecinosee APPuaua −+=∑ (3.31a)

( ) ''''nNPVecinosVecinosnn APPvava −+=∑ (3.31b)

En las ecuaciones anteriores se observa que cualquier punto nodal depende de la

presión y velocidades corregidas en los puntos vecinos. Con el fin de simplificar la

relación entre las velocidades y la presión de corregidas, se introduce la siguiente

aproximación:

0≈∑ vecinosvecinosua (3.32a)

0≈∑ vecinosvecinosva (3.32b)

Debido a la omisión de estos términos las ecuaciones (3.31a) y (3.31b) se pueden

reducir a:

( ) '''EPee PPdu −= (3.33a)

( ) '''NPnn PPdv −= (3.33b)

en donde de y dn son el resultado de despejar 'eu y

'nv , los cuales se expresan de la

siguiente manera:

ue

ee

a

Ad =

(3.34a)

vn

nn

a

Ad =

(3.34b)

Esta aproximación es precisamente, la principal característica del algoritmo

SIMPLE; se considera que al final del ciclo iterativo estos términos se desvanecen,

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Capítulo 3 Metodología de solución

58

de tal manera que la omisión de ellos no representa ningún error en la solución de

las ecuaciones de conservación.

La diferencia entre el algoritmo SIMPLE y SIMPLEC consiste en como se considera

la relación de las velocidades corregidas y la presión corregida, es decir, los valores

de ed y nd son diferentes. A continuación se presenta una breve explicación de ello:

En el algoritmo SIMPLEC se considera que la omisión de los términos dados por las

ecuaciones (3.32a) y (3.32b) es una inconsistencia en el algoritmo SIMPLE, ya que

si se corrige la presión P por P’, las componentes de velocidad son susceptibles a

este cambio de presión por 'eu y 'nv , y los coeficientes vecinos responden a este

cambio de mediante 'vecinosu y 'vecinosv . Tales cambios de velocidad serán del mismo

orden de magnitud, por lo tanto, se considera una aproximación más ‘consistente’ el

sustraer de ambos lados de la ecuación los términos:

∑ 'eVecinosua (3.35a)

∑ 'nVecinosva (3.35b)

Ahora las ecuaciones (3.31a) y (3.31b) son:

( ) ( ) ( )'́'́'́'́'''PEePEeevecinos

vecinos

uvecinose

vecinos

uvecinos

ue PPAPPAuuauaa −−=−−−=

− ∑∑ (3.36a)

( ) ( ) ( )'́'́'́'́'''PNnPNnnvecinos

vecinos

vvecinosn

vecinos

vvecinos

vn PPAPPAvvavaa −−=−−−=

− ∑∑ (3.36b)

Y por lo tanto, los términos ed y nd quedan como sigue:

∑−=

Vecinose

ee aa

Ad

(3.37a)

∑−

=Vecinosn

nn aa

Ad

(3.37b)

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Capítulo 3 Metodología de solución

59

Para el caso del algoritmo SIMPLEC no es necesario bajo-relajar los valores de la

presión corregida P’, lo cual evita el tener que elegir un valor óptimo para el factor

de relajación; y por lo tanto, el tiempo de cálculo es menor.

Una vez obtenidas las velocidades corregidas se pueden calcular los campos de

velocidades a partir de las ecuaciones (3.28) y (3.29), de la misma manera que se

aplica para el algoritmo SIMPLE.

Hasta el momento sólo falta conocer el campo de presión corregida adecuada P’. La

cual se obtendrá de la ecuación de continuidad integrada sobre un volumen de

control de una malla centrada o principal.

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] 00 =∆−+∆−+∆∆∆− xvvyuut

yxsnwePP ρρρρρρ

(3.38)

Al sustituir las ecuaciones de corrección (3.33a) y (3.33b) y agrupar la ecuación en

coeficientes agrupados se obtiene:

''''' bPaPaPaPaPa SSNNWWEEPP ++++= (3.39)

En la ecuación (3.39), los coeficientes están dados por:

yda eeE ∆= ρ

yda wwW ∆= ρ

xda nnN ∆= ρ (3.40)

xda ssS ∆= ρ

SNWEP aaaaa +++=

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] xvvyuut

yxb nsewPP ∆−+∆−+

∆∆∆−= ****0 ρρρρρρ

Si el término b es cero, significa que las velocidades estimadas satisfacen la

ecuación de continuidad, y por lo tanto, no es necesaria la ecuación de corrección

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Capítulo 3 Metodología de solución

60

de presión. A medida que el proceso iterativo avanza en la solución de las

ecuaciones de conservación el término b debe tender a cero.

3.5.3. Condiciones de frontera

En los problemas de flujos de fluidos resueltos por medio de métodos numéricos es

de gran importancia especificar correctamente las condiciones iniciales y de

frontera, pues de ellas depende la solución. En el caso de los problemas transitorios

es necesario especificar las condiciones iniciales de todo el campo del flujo.

Debido a la forma en que se agrupan los coeficientes (notación de coeficientes

agrupados) y la estructura de las ecuaciones algebraicas que se manejan en el

proceso de solución se facilita el tratamiento de las fronteras, es decir, facilita la

asignación de una propiedad en el nodo frontera ó final del campo de estudio.

Es necesario indicar la información de los nodos frontera ó condición de frontera, ya

que sin ello no es posible resolver el conjunto de ecuaciones algebraicas. Las

condiciones de frontera más comunes son las condiciones de Dirichlet y las

condiciones de Neumann.

Condición de frontera de Dirichlet (ó condición de primera clase)

Para esta condición de frontera se fija un valor constante a la variable en el nodo

frontera, es decir, se fija un valor independiente de los nodos vecinos y en todo el

proceso se mantendrá un valor constante de la variable. Esto se tendrá mediante la

ecuación de coeficientes agrupados de la siguiente manera:

baaaaa SSNNWWEEPP ++++= φφφφφ (3.41)

Con:

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Capítulo 3 Metodología de solución

61

frontera

SNWE

P

b

aaaa

a

φ=====

=0

1

(3.42) Entonces de la sustitución de los valores anteriores en la ecuación (3.41), se deduce

que fronteraP φφ =.

Condición de frontera de Neumann (condición de segunda y tercera clase)

Esta condición de frontera consiste en crear una función de la variación de una

variable respecto a un valor dado A. Y se puede expresar como sigue:

An

=∂∂φ

(3.43)

Si A = 0 corresponde a tener una condición de segunda clase y si A ≠ 0

corresponderá a tener una condición de tercera clase.

Para expresar la condición de frontera anterior en términos de los coeficientes

agrupados se hace la aproximación numérica de ella, por ejemplo para la frontera sur

del volumen de control:

( ) Ay n

PN =−

δφφ

(3.44)

Por lo tanto:

( )nNP yA δφφ −= (3.45)

De acuerdo a la ecuación algebraica (ecuación (3.41)), se agrupa:

( )n

SWE

NP

yAb

aaa

aa

δ−====

==0

1

(3.46)

Las relaciones de las ecuaciones (3.42) y (3.46) garantizan la condición de frontera

en el nodo correspondiente. El procedimiento mostrado anteriormente para las

condiciones de frontera es válido para todas las direcciones y para cualquier nodo

frontera.

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Capítulo 3 Metodología de solución

62

Como se puede observar la notación de coeficientes agrupados simplifica la

aplicación de las condiciones de frontera, ya que solo es necesario fijar dos o tres

coeficientes para tener la condición deseada.

Condiciones de frontera para la ecuación de presión corregida

La ecuación de la presión corregida P’ no es una ecuación básica, por lo tanto, el

tratamiento de sus condiciones de frontera deben ser comentadas. Hay dos clases de

condiciones de frontera, con la presión conocida en la frontera (velocidad

desconocida) ó con la componente de velocidad normal a la frontera dada.

Presión conocida en la frontera. Si el campo de presion propuesto P* es

arreglado de tal forma que en la frontera P*=P frontera, entonces el valor de P’ en la

frontera debe ser cero.

Velocidad normal a la frontera dada. Si la malla es diseñada de tal forma que

la frontera coincida con la cara del volumen de control, como se muestra en la

Figura 3.6, en donde la velocidad ue es dada. Por lo tanto, en la derivación de la

ecuación de P’ para el volumen de control mostrado, no es necesario que el flujo a

través de la frontera sea expresado en términos de u*e y su corrección

correspondiente, pero si en términos de ue. Entonces, P’E no aparecerá, ó aE será

cero en la ecuación de P’. Así que, ninguna información de P’E será necesaria.

N

P

S

W E

Velocidad dadaue

Figura 3.6. Volumen de control en la frontera.

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Capítulo 3 Metodología de solución

63

3.5.4. Método de Solución de Ecuaciones Algebraicas

Debido a la discretización de las ecuaciones gobernantes se obtuvo un conjunto de

ecuaciones algebraicas, el cual tendrá un tamaño y complejidad de acuerdo a las

dimensiones del sistema y el método de discretización usado.

Teniendo en cuenta las características del sistema de ecuaciones algebraicas

resultante, para un problema en dos dimensiones, se observa que éste contiene cinco

términos y un coeficiente correspondiente para cada término; por lo que, si se hace

un arreglo matricial se obtiene una matriz pentagonal y diagonalmente dominante.

Por lo anterior, para su solución se utilizará alguna de las variantes del Algoritmo de

Thomas, tales como:

o Método línea por línea en dirección X (LBL-X).

o Método línea por línea en dirección Y (LBL-Y).

o Método línea por línea de direcciones alternantes (LBL-ADI).

o Método de líneas de Gauss-Seidel en dirección X (LGS-X).

o Método de líneas de Gauss-Seidel en dirección Y (LGS-Y).

o Método de líneas de Gauss-Seidel en direcciones alternantes (LGS-ADI).

El Algoritmo de Thomas (TDMA) es un método que puede adaptarse como directo

para problemas de una dimensión y otras consideraciones, y es preferible para

matrices bandeadas y problemas que involucran dimensiones y condiciones de

frontera del tipo del presente proyecto, como lo es este caso. También, se utilizó el

MSIP (Modified Stronly Implicit Procedure) para la solución del conjunto de

ecuaciones lineales, propuesto por Schneider y Zedan en 1981, el cual es una

modificación del SIP (Stronly Implicit Procedure) que se basa en un procedimiento

iterativo que implica la solución directa y simultanea del conjunto de ecuaciones,

modificando la matriz de ecuaciones original a través de una descomposición en [L]

[U].

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Capítulo 3 Metodología de solución

64

3.5.5. Criterio de convergencia

La solución de las ecuaciones algebraicas se considera aceptable cuando ésta se

aproxima a la solución real del problema, y es entonces cuando se satisface el

criterio de convergencia de las variables; para ello se obtiene un residuo de cada

iteración que realiza el código computacional. Se debe establecer un criterio de

convergencia del proceso iterativo, ya que a partir de cierto número de iteraciones la

solución numérica no tendrá cambios significativos; por lo tanto, a partir de este

criterio de convergencia se puede considerar que ya no habrá mejoras en los

resultados. Para asegurar que cada volumen de control ha cumplido con el principio

de continuidad se calcula el residuo másico, dado por:

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]másico

P

nsewPP

másico

tyx

xvvyuut

yx

R ερ

ρρρρρρ≤

∆∆∆

∆−+∆−+∆∆∆−

=∑

max ****0

(3.47)

El residuo para las demás variables se obtiene con la desviación cuadrática estándar:

( )[ ] φφ εφφ ≤+−= ∑ ∑2

baaR VecinosVecinosPP (3.48)

Mientras que para el intercambio radiativo se calcula como sigue:

φεφ

φφ ≤−New

OldNew

(3.49)

Para este estudio se estableció que el residuo másico y el residuo para todas las

variables (velocidades, temperatura, energía cinética turbulenta y la disipación de

energía cinética) sean menores o iguales a 10-10.

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Capítulo 3 Metodología de solución

65

3.5.6. Secuencia de operación del algoritmo SIMPLEC

A continuación se presenta el orden de ejecución del algoritmo:

1. Suponer un campo p*.

2. Resolver las ecuaciones discretizadas de momento para obtener u* y v*.

3. Resolver la ecuación de corrección de presión p’.

4. Calcular la presión p a partir del campo de corrección de presión p’ y la presión

supuesta p*, p=p*+p’.

5. Calcular las velocidades u y v, utilizando los valores de corrección de

velocidades u’ y v’:

u=u*+u’

v=v*+v’

6. Resolver ecuaciones de conservación de otras variables.

7. Renombrar p*=p y repetir desde el paso 2 hasta alcanzar convergencia y obtener

el valor que cumpla con un criterio establecido.

En la figura 3.7 se presenta el diagrama de flujo del Algoritmo SIMPLEC, donde se

pueden observar los pasos antes mencionados.

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Capítulo 3 Metodología de solución

66

SIMPLEC

DECLARACIÓN DE VARIABLES CONOCIDAS

APERTURA DE ARCHIVOS

GENERACION DE MALLAS COMPUTACIONALES

RENOMBRAMIENTO u*=u v*=v

P*=P φ*= φ

VALORES INICIALES DE u*,v*,P*,φ*

GENERACIÓN DE COEFICIENTES (u*,v*)

SOLVER (u*,v*)

SOLUCIÓN DE EC. DE CORRECCIÓN DE PRESIÓN P’

CORRECIÓN DE P,u,v

GENERACIÓN DE COEFICIENTES (φ)

SOLUCIÓN DEL SISTEMA DE ECUACIONES (φ)

NOCRITERIO DE

CONVERGENCIA

FIN

SI

IMPRESIÓN DE RESULTADOS

SIMPLEC

DECLARACIÓN DE VARIABLES CONOCIDAS

APERTURA DE ARCHIVOS

GENERACION DE MALLAS COMPUTACIONALES

RENOMBRAMIENTO u*=u v*=v

P*=P φ*= φ

VALORES INICIALES DE u*,v*,P*,φ*

GENERACIÓN DE COEFICIENTES (u*,v*)

SOLVER (u*,v*)

SOLUCIÓN DE EC. DE CORRECCIÓN DE PRESIÓN P’

CORRECIÓN DE P,u,v

GENERACIÓN DE COEFICIENTES (φ)

SOLUCIÓN DEL SISTEMA DE ECUACIONES (φ)

NOCRITERIO DE

CONVERGENCIA

FIN

SI

IMPRESIÓN DE RESULTADOS

Figura 3.7. Diagrama de flujo del algoritmo SIMPLEC.

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Capítulo 3 Metodología de solución

67

3.6. MÉTODO DE SOLUCIÓN DEL INTERCAMBIO RADIATIVO EN LA

CAVIDAD

Para el intercambio radiativo en la cavidad se utilizó el método de radiación neta,

descrito en la sección 2.2.6, para el cual se hace un balance de energía en cada

volumen de control considerando los factores de forma (Método de Cuerdas

Cruzadas). En forma resumida, el método consiste en realizar un balance de energía

considerando la energía de salida (radiosidad) y de llegada (irradiosidad) a la pared

bajo estudio, para poder calcular el flujo de energía que sale de la pared (radiosidad).

En la Figura 3.8 se muestra el diagrama de flujo del Método de Radiación Neta

(MRN).

Figura 3.8. Diagrama de Flujo del MRN calculando los factores de forma con el

Método de Cuerdas Cruzadas

MRN

DATOS DE ENTRADA: Hx, Hy,ε, ρ, σ, T

CALCULO DE LOS FACTORES DE FORMA

CALCULO DE LAS POTENCIAS EMISIVAS: εσT4

CALCULO DE LAS NUEVAS RADIOSIDADES E IRRADIANCIAS: qo’s y qi’s

INICIALIZACIÓN DE LAS RADIOSIDADES: qo’s

NOCRITERIO DE

CONVERGENCIA

SI

CALCULO DE LOS FLUJOS RADIATIVOS RESULTANTES: qr’s

IMPRESIÓN DE RESULTADOS

RENOMBRAR LAS RADIOSIDADES: qo’s

MRN

DATOS DE ENTRADA: Hx, Hy,ε, ρ, σ, T

CALCULO DE LOS FACTORES DE FORMA

CALCULO DE LAS POTENCIAS EMISIVAS: εσT4

CALCULO DE LAS NUEVAS RADIOSIDADES E IRRADIANCIAS: qo’s y qi’s

INICIALIZACIÓN DE LAS RADIOSIDADES: qo’s

NOCRITERIO DE

CONVERGENCIA

SI

CALCULO DE LOS FLUJOS RADIATIVOS RESULTANTES: qr’s

IMPRESIÓN DE RESULTADOS

RENOMBRAR LAS RADIOSIDADES: qo’s

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Capítulo 3 Metodología de solución

68

3.7. MÉTODO DE SOLUCIÓN PARA EL MODELO CONDUCTIVO EN LA

PARED OPACA

En el capitulo anterior se observó que en el modelo matemático para la pared opaca

no se presentan flujos convectivos, debido a la característica del medio (medio

sólido). Para poder aplicar la discretización general de la ecuación de convección-

difusión al modelo conductivo de la pared opaca se anulan los F’s dentro de la

discretización mostrada; por lo tanto:

aPTP = aETE+ aWTW + aNTN + aSTS +b (3.50)

donde, para la pared opaca se tienen los siguientes coeficientes:

( )( ) y

x

CDa

e

ep

EE ∆==δ

λ /

( )( ) y

x

CDa

w

wp

WW ∆==δ

λ /

( )( ) x

y

CDa

n

np

NN ∆==δ

λ / (3.51)

( )( ) x

y

CDa

s

sp

NN ∆==δ

λ /

t

yxaaaaa PSNWEP ∆

∆∆++++= 0ρ

00PP T

t

yxb

∆∆∆= ρ

En la Figura 3.9 se muestra el diagrama de flujo para la conductividad en la pared

opaca.

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Capítulo 3 Metodología de solución

69

3.8. MÉTODO DE SOLUCIÓN PARA EL MODELO DE LA

TRANSFERENCIA DE CALOR A TRAVÉS DE LA PARED

SEMITRANSPARENTE CON PELÍCULA DE CONTROL SOLAR

(VIDRIO LAMINADO)

El modelo matemático planteado para la pared semitransparente es muy similar al de

la pared opaca, ya que la diferencia radica solamente en el término de la función de

atenuación. También, en este caso se anulan las F’s en la discretización de la

ecuación de convección-difusión. Entonces, la ecuación de coeficientes agrupados

queda de la misma manera:

aPTP = aETE + aWTW + aNTN + aSTS + b (3.52)

mientras que los coeficientes de tal ecuación quedan de la siguiente manera:

( )( ) y

x

CDa

e

ep

EE ∆==δ

λ /

( )( ) y

x

CDa

w

wp

WW ∆==δ

λ /

( )( ) x

y

CDa

n

np

NN ∆==δ

λ /

(3.53)

( )( ) x

y

CDa

s

sp

NN ∆==δ

λ /

t

yxaaaaa PSNWEP ∆

∆∆++++= 0ρ

El coeficiente de atenuación que se menciono se agrupa en el término fuente, de la

siguiente manera:

( )[ ] ( )[ ]( ) yxLxSxLxSGC

Tt

yxb igig

PPP ∆−−−−−+

∆∆∆= −1

00 expexp1ρ (3.54)

Como se señalo en el capítulo 1 son tres configuraciones a evaluar, en la Figura 3.10

sólo se presenta el diagrama de flujo correspondiente a la Configuración 1.

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Capítulo 3 Metodología de solución

70

CONDUCCIÓN

DECLARACIÓN DE VARIABLES CONOCIDAS

APERTURA DE ARCHIVOS

GENERACION DE MALLA COMPUTACIONAL

RENOMBRAMIENTO T*= T

VALORES INICIALES DE T*

GENERACIÓN DE COEFICIENTES (T)

SOLUCIÓN DEL SISTEMA DE ECUACIONES ALGEBRAICAS (T)

NOCRITERIO DE

CONVERGENCIA

SI

IMPRESIÓN DE RESULTADOS

CONDUCCIÓN

DECLARACIÓN DE VARIABLES CONOCIDAS

APERTURA DE ARCHIVOS

GENERACION DE MALLA COMPUTACIONAL

RENOMBRAMIENTO T*= T

VALORES INICIALES DE T*

GENERACIÓN DE COEFICIENTES (T)

SOLUCIÓN DEL SISTEMA DE ECUACIONES ALGEBRAICAS (T)

NOCRITERIO DE

CONVERGENCIA

SI

IMPRESIÓN DE RESULTADOS

Figura 3.9. Diagrama de flujo para la

conducción a través de la pared

opaca.

NO

INICIO

DECLARACIÓN DE VARIABLES CONOCIDAS

APERTURA DE ARCHIVOS

GENERACION DE MALLAS COMPUTACIONALES

RENOMBRAMIENTO DE TG1,TPVB1 y TG2

VALORES INICIALES DE TG1,TPVB1 y TG2

GENERACIÓN DE COEFICIENTES (TG2)

SOLUCIÓN DEL SISTEMA DE ECUACIONES (TG2)

GENERACIÓN DE COEFICIENTES (TPVB1)

SOLUCIÓN DEL SISTEMA DE ECUACIONES (TPVB1)

CALCULO DE FLUJOS DE CALOR

CRITERIO DE CONVERGENCIA

FIN

SI

IMPRESIÓN DE RESULTADOS

GENERACIÓN DE COEFICIENTES (TG1)

SOLUCIÓN DEL SISTEMA DE ECUACIONES (TG1)

NO

INICIO

DECLARACIÓN DE VARIABLES CONOCIDAS

APERTURA DE ARCHIVOS

GENERACION DE MALLAS COMPUTACIONALES

RENOMBRAMIENTO DE TG1,TPVB1 y TG2

VALORES INICIALES DE TG1,TPVB1 y TG2

GENERACIÓN DE COEFICIENTES (TG2)

SOLUCIÓN DEL SISTEMA DE ECUACIONES (TG2)

GENERACIÓN DE COEFICIENTES (TPVB1)

SOLUCIÓN DEL SISTEMA DE ECUACIONES (TPVB1)

CALCULO DE FLUJOS DE CALOR

CRITERIO DE CONVERGENCIA

FIN

SI

IMPRESIÓN DE RESULTADOS

CRITERIO DE CONVERGENCIA

FIN

SI

IMPRESIÓN DE RESULTADOS

GENERACIÓN DE COEFICIENTES (TG1)

SOLUCIÓN DEL SISTEMA DE ECUACIONES (TG1)

Figura 3.10. Diagrama de flujo para la

conducción en la Configuración 1.

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Capítulo 4 Verificación del código

71

CAPÍTULO 4

VERIFICACIÓN DEL CÓD IGO En este capítulo se presenta la verificación del código numérico, se presentan los

casos de referencia para verificar el código tales como la convección natural en una

cavidad cuadrada con flujo laminar, la transferencia de calor combinada (convección

y radiación) en una cavidad cuadrada con flujo turbulento, la conducción de calor en

una pared semitransparente. Las comparaciones fueron realizadas de forma

cualitativa y cuantitativa con información disponible de la literatura.

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Capítulo 4 Verificación del código

72

4.1. PROBLEMAS DE REFERENCIA

Una etapa importante en el desarrollo de un código computacional es verificarlo con

resultados de publicaciones de literatura, los cuales pueden ser resultados

experimentales o de otros códigos computacionales (casos benchmark), este tipo de

comparación se realiza con el objetivo de encontrar errores de programación para

tener un código confiable en sus resultados. Los problemas de referencia que se

resolvieron son los siguientes:

o Convección natural en una cavidad cuadrada calentada diferencialmente con

flujo laminar.

o Transferencia de calor conjugada en una cavidad cuadrada calentada

diferencialmente con flujo turbulento.

o Transferencia de calor a través de un medio compuesto.

o Transferencia de calor en una pared semitransparente.

4.2. CONVECCIÓN NATURAL EN UNA CAVIDAD CUADRADA

CALENTADA DIFERENCIALMENTE CON FLUJO LAMINAR

En este problema se estudia la convección natural de un fluido incompresible y en

régimen laminar, con propiedades constantes. Debido a que es un problema

ampliamente conocido es usado para validar códigos numéricos, y es conocido

como “Differential Heated Cavity”. De Vahl Davis publicó los resultados de

referencia en 1983 usando una técnica de diferencias finitas.

El movimiento del fluido en este problema se da debido al cambio de densidad

(término de flotación) provocado por la diferencia de temperaturas entre las paredes

verticales. Para el término de flotación se utiliza la aproximación de Boussinesq.

En la Figura 4.1 se presenta el modelo físico de la cavidad cuadrada, la geometría

esta compuesta por dos paredes horizontales aisladas ó adiabáticas y dos paredes

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Capítulo 4 Verificación del código

73

verticales isotermas (TH y TC); las condiciones de frontera de las cuatro paredes son

de no-deslizamiento.

Figura 4.1. Modelo físico de la cavidad calentada diferencialmente.

Para este estudio, Hx y (gβ∆THx)1/2 son usados como parámetros de

adimensionalización de las escalas de longitud y velocidad, respectivamente. Donde:

g es la aceleración gravitacional, β es el coeficiente de expansión térmica, ∆T = TH-

TC es la diferencia de temperaturas entre las paredes isotérmicas. La temperatura

adimensional se define como T* = (T-TC)/ ∆T. La Tabla 4.1 muestra los resultados

de la comparación en función del número de Rayleigh, para un número de Prandtl

(Pr) de 0.71 y un intervalo de Ra de 103 a 106 en estado permanente. El código fue

resuelto mediante el algoritmo SIMPLEC. Se hace la comparación de los valores del

número de Nusselt promedio, máximo y mínimo local en la pared caliente de la

cavidad, y las velocidades adimensionales en el centro de la cavidad. Los resultados

obtenidos en este trabajo son comparados con los de referencia existente en la

literatura (De Vahl Davis, 1983), siendo el caso para el número de Rayleigh de 106

el que presenta mayor desviación con valores de hasta 1.66% para el número de

T=THT=TC

y

x 0=∂∂

y

T

0=∂∂

y

T

Hx

T=THT=TC

y

x

y

x 0=∂∂

y

T

0=∂∂

y

T

HxHx

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Capítulo 4 Verificación del código

74

Nusselt máximo local. Al observar la tabla se puede ver que los resultados obtenidos

en este trabajo son satisfactorios.

Tabla 4.1. Comparación de resultados obtenidos con los reportados por De Vahl

Davis (1983) para Ra de 103-106.

%*

Numedio 1.117 1.118 0.09

Numax (y*) 1.505 (0.092) 1.508(0.0932) 0.20

Numin (y*) 0.692 (1.000) 0.6905(0.991) 0.22

u max* (y*) 0.137 (0.813) 0.136(0.805) 0.73

v max* (x*) 0.139 (0.178) 0.138(0.177) 0.72

Numedio 2.238 2.251 0.58

Numax (y*) 3.528 (0.143) 3.554(0.144) 0.74

Numin (y*) 0.586 (1.000) 0.584(0.991) 0.34

u max* (y*) 0.192 (0.823) 0.191(0.822) 0.52

v max* (x*) 0.233 (0.119) 0.232(0.110) 0.43

Numedio 4.509 4.53 0.48

Numax (y*) 7.717 (0.081) 7.763 (0.079) 0.60

Numin (y*) 0.729 (1.000) 0.728 (0.996) 0.09

u max* (y*) 0.130 (0.855) 0.130 (0.856) 0.19

v max* (x*) 0.257 (0.066) 0.256 (0.069) 0.05

Numedio 8.817 8.90 0.93

Numax (y*) 17.925 (0.0378) 18.223 (0.035) 1.67

Numin (y*) 0.989 (1.000) 0.996 (0.995) 0.73

u max* (y*) 0.077 (0.850) 0.0770 (0.857) 0.11

v max* (x*) 0.260 (0.0379) 0.2623 (0.0358) 0.91

Ra 106

De Vahl Davis

Ra 103

Ra 104

Presente estudio

Ra 105

Nota: Los valores que corresponden a %* son los porcentajes de diferencia

absoluta.

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Capítulo 4 Verificación del código

75

4.3. TRANSFERENCIA DE CALOR CONJUGADA EN UNA CAVIDA D

CUADRADA CALENTADA DIFERENCIALMENTE EN LAS PAREDES

VERTICALES CON FLUJO TURBULENTO

El modelo físico para este problema es similar al de la cavidad cuadrada de la Figura

4.1, donde se tiene convección natural y aquí se adiciona intercambio radiativo

superficial. Por lo tanto, las condiciones de frontera de la temperatura para este

problema son:

Para la pared horizontal inferior (pared 1):

11 rcd qqa

−= (4.1)

Para la pared vertical izquierda (pared 2):

2TT= (4.2)

Para la pared horizontal superior (pared 3):

33 rcd qqa

−= (4.3)

Para la pared vertical derecha (pared 4):

4TT = (4.4)

Los flujos que representan la conducción de calor desde la superficie interior de la

cavidad hacia el fluido de las paredes 1 y 3 son: 1acdq y

3acdq , respectivamente. Los

flujos de calor 1r

q y 3r

q son los flujos de calor que resultan del intercambio radiativo

entre las paredes de la cavidad, cada uno se ellos es correspondiente a la pared 1 y 3.

El método utilizado para resolver el intercambio radiativo entre las paredes es el

método de radiación neta (MRN), mientras que para resolver las ecuaciones de

convección natural se recurrió al algoritmo SIMPLEC. Los resultados obtenidos se

compararán con los correspondientes de Velusamy et al. (2001). Para ello, se

seleccionaron dos casos:

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Capítulo 4 Verificación del código

76

Caso 1: Se considera una emisividad de 0.9 para todas las paredes, una T2 = 328 K y

T4 = 318 K para un Ra = 1011, para definir las propiedades se considera una

temperatura de Boussinesq de T0 = 323 K.

Caso 2: Se considera una emisividad de 0.9 para todas las paredes, una T2 = 348 K y

T4 = 298 K para un Ra = 1011, para definir las propiedades se considera una

temperatura de Boussinesq de T0 = 323 K.

En la Tabla 4.2 se muestran la comparación de los resultados reportados por

Velusamy et al. y el presente estudio, para los números de Nusselt convectivos

promedios (Nuhf y Nucf), los números de Nusselt radiativos promedios (Nuhr y Nucr)

en la pared caliente y fría, respectivamente; así como, el número de Nusselt total

(NuT) en la pared caliente para los casos 1 y 2.

Tabla 4.2. Comparación de los resultados obtenidos con los reportados por

Velusamy et al. (2001).

Velusamy et al. Presente estudio %* Velusamy et al. Presente estudio %*

Nuhf 334.90 345.15 3.06 326.03 336.29 3.15

Nucf 339.34 350.03 3.15 344.57 355.89 3.29

Nuhr 873.58 872.53 0.12 523.06 522.51 0.11

Nucr 869.14 867.65 0.17 504.52 502.90 0.32

NuT 1208.5 1217.68 0.76 849.09 858.79 1.14

CASO 1 CASO 2Números de Nusselt

Nota: Los valores que corresponden a %* son los porcentajes de diferencia

absoluta.

Se observa que para el Caso 1 la diferencia máxima porcentual es de 3.15 % para el

Nucf y la mínima es de 0.12 % para el Nuhr. En el Caso 2 se tiene una diferencia

porcentual de hasta 3.29 % para el Nucf y 0.11 % para el Nuhr; la mayor diferencia

se tiene para el Caso 2 en el número de Nusselt convectivo, lo cual se atribuye a la

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Capítulo 4 Verificación del código

77

diferencia en el número de nodos entre la malla reportada por Velusamy et al. y la

utilizada en el presente estudio. La diferencia porcentual en el Nusselt total para el

Caso 1 es de 0.76%, mientras que para el Caso 2 es de 1.14 %.

En la Figura 4.2 se presenta la comparación cualitativa de las isotermas para el Caso

2. Una vez que se compararon los resultados de este estudio con los reportados en la

literatura, tanto cuantitativa como cualitativamente, se determina que éstos son

aceptables.

Figura 4.2. Isotermas para el Caso 2:

a) Velusamy et al. (2001) y b) Presente estudio.

0.6

0.5

0.4

0.60.7

0.5 0.3

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Capítulo 4 Verificación del código

78

4.4. TRANSFERENCIA DE CALOR A TRAVÉS DE UN MEDIO

COMPUESTO

Este problema fue elegido porque da solución al problema que representa tener

diferentes materiales en el mismo sistema, lo cual se presenta en las configuraciones

vidriadas propuestas en este trabajo.

Se resuelve pura difusión en una placa rectangular compuesta de materiales

homogéneos, en dos dimensiones, sin generación de calor y en estado permanente.

Las condiciones de frontera son de primera y segunda clase como se muestra en la

Fig. 4.3, donde T0=600, TL=100 y w= 0.5; con materiales homogéneos de

conductividad térmica independiente de la temperatura λ10=0.06 y λ20=0.001,

respectivamente. El problema fue registrado por Chang en 1991.

T=T0 T=TL

y

x0 1

w

T=0

0=∂∂

y

T

T1,?1 T2,?2

Figura 4.3. Modelo físico de la placa con dos capas de material.

Para la obtención de resultados se utilizó el método de volumen finito, resolviendo

las ecuaciones algebraicas con el método LGS-ADI, con una malla uniforme de

122x61 nodos para todo el sistema rectangular. El perfil de temperaturas obtenido es

el que se muestra en la Figura 4.4.

λ10 λ20

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Capítulo 4 Verificación del código

79

Figura 4.4. Perfil de temperaturas obtenido con el código numérico desarrollado.

Los resultados de Chang (1991) se muestran en la Figura 4.5, se puede apreciar que

tanto cualitativa como cuantitativamente, los resultados concuerdan.

Figura 4.5. Perfil de temperaturas obtenido por Chang (1991).

500 400

300200

110

X

Y

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

500 400

300200

110

X

Y

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

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Capítulo 4 Verificación del código

80

4.5. TRANSFERENCIA DE CALOR EN UNA PARED

SEMITRANSPARENTE

Para verificar el código para la conducción a través de la pared semitransparente con

y sin película de control solar se tomó como referencia los datos obtenidos por

Xamán (2004); se obtiene el campo de temperaturas en la pared semitransparente

aislada en la parte superior e inferior, como se muestra en la Figura 4.6. Se conocen

las temperaturas del fluido que rodea a la pared en la frontera este y oeste, T0 y Ti,

respectivamente. En la frontera oeste incide radiación en dirección normal con un

valor constante, y se tiene un intercambio convectivo y radiativo en ambos lados de

la pared.

y

x

y

x

G

qr-out

qc-out

Ti

T0

Lx

qc-int

qr-int

H G

qr-out

qc-out

Ti

T0

Lx

αG

qc-int

qr-int

H

y

x

y

x

y

x

y

x

G

qr-out

qc-out

Ti

T0

Lx

qc-int

qr-int

H G

qr-out

qc-out

Ti

T0

Lx

αG

qc-int

qr-int

H G

qr-out

qc-out

Ti

T0

Lx

qc-int

qr-int

HH G

qr-out

qc-out

Ti

T0

Lx

αG

qc-int

qr-int

HH

Figura 4.6. Modelo físico de la pared semitransparente con película de control solar.

En la Figura 4.7 se muestra el comportamiento de la temperatura a través del

espesor del vidrio de 6mm (sin película de control solar); para una temperatura del

aire interior de Ti de 21°C, y con variación de la temperatura del aire exterior, T0 de

0°C a 50°C en intervalos de 5°C. Los máximos gradientes de temperatura se tienen

para las temperaturas extremas, es decir, 0 y 50°C, con 0.48 y 0.74, respectivamente.

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Capítulo 4 Verificación del código

81

0.000 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.00610

15

20

25

30

35

40

45T

(°C

)

x (m)

T0

0 °C 5 °C 10 °C 15 °C 20 °C 25 °C 30 °C 35 °C 40 °C 45 °C 50 °C

Figura 4.7. Comportamiento de la temperatura a través del vidrio, para distintos

valores de temperatura exterior (T0).

A continuación, en la Tabla 4.3 se muestran los flujos de calor que intervienen en el

balance de energía del sistema, tales como: el flujo de calor transmitido al interior

(qτ), flujo de calor absorbido por el sistema (qα), flujo de calor reflejado al exterior

(qρ), flujo de calor hacia el interior por convección y radiación (qi), flujo de calor

hacia el exterior por convección y radiación (qo), flujo de calor total hacia el interior

(qi+ qτ), flujo de calor total hacia el exterior (qo+ qρ) y el flujo de calor total

(resultado del balance de energía, qTOTAL). Los flujos de calor se obtuvieron variando

la temperatura exterior del aire (T0) desde 0 a 50 °C para una temperatura interior

(Ti) de 21°C. Un indicador de que el balance de energía es correcto es que el flujo de

calor total tenga un valor cercano a la energía total incidente sobre el sistema, en

este caso la irradiación solar G; como se observa en la tabla, se cumple el balance de

energía con una diferencia porcentual de 0.0001%.

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Capítulo 4 Verificación del código

82

Tabla 4.3. Flujos de calor para el vidrio claro.

T (°C) q τ (W/m2 ) qα (W/m2) q ρ (W/m2 ) q i (W/m2 ) q o (W/m2 ) q i + qτ (W/m2 ) q o + qρ (W/m2 ) q Total (W/m2 ) G (W/m2 ) SHGC (%)

0.0 585.12 104.88 60.00 -60.73 165.61 524.39 225.61 750.00 750 69.9210.0 585.12 104.88 60.00 -8.69 113.57 576.43 173.57 750.00 750 76.8620.0 585.12 104.88 60.00 45.52 59.36 630.64 119.36 750.00 750 84.0930.0 585.12 104.88 60.00 102.07 2.81 687.19 62.81 750.00 75091.6340.0 585.12 104.88 60.00 161.11 -56.23 746.23 3.77 750.00 750 99.5050.0 585.12 104.88 60.00 222.80 -117.92 807.92 -57.92 750.00 750 --

Nota: El signo negativo (-) significa que la dirección del flujo es hacia la izquierda,

entrando a la cavidad.

Los datos mostrados anteriormente, de acuerdo con los obtenidos por Xamán

(2004), son satisfactorios.

Para el caso del vidrio con película de control solar se realizó la misma variación de

temperaturas para el aire exterior (T0) de 0 a 50°C. Para este caso, se observan

pendientes más inclinadas, comparadas con las de la Figura 4.8; por lo tanto, se

tienen gradientes de temperatura mayores, de 1.4 y 0.37 °C para los casos de T0

igual a 0 y 50 °C, respectivamente. Se observan claramente temperaturas mayores

que para el caso anterior, debido a la existencia de la película de control.

0.000 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.00630

35

40

45

50

55

60

65

T (

°C)

x (m)

T0

0 °C 5 °C 10 °C 15 °C 20 °C 25 °C 30 °C 35 °C 40 °C 45 °C 50 °C

Figura 4.8. Comportamiento de la temperatura a través del vidrio con película de

control solar, para distintos valores de temperatura exterior T0.

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Capítulo 4 Verificación del código

83

En la Tabla 4.4 se muestran los flujos de calor que intervienen en el balance de

energía, al igual que en la Tabla 4.3, y en comparación con el caso anterior se tienen

menores flujos de calor total hacia el interior. La diferencia porcentual entre la

energía que incide sobre el sistema y el flujo de calor total del sistema es de

0.0001%.

Tabla 4.4. Flujos de calor para el vidrio con película de control solar.

T (°C) q τ (W/m2 ) q α (W/m2) q ρ (W/m2 ) q i (W/m2 ) q o (W/m2 ) q i + qτ (W/m2 ) q o + qρ (W/m2 ) qTotal (W/m2 ) G (W/m2 ) SHGC (%)

0.0 137.30 492.70 120.00 115.08 377.64 252.38 497.62 750.00750 33.6510.0 137.30 492.70 120.00 159.67 333.04 296.97 453.03 750.00 750 39.6020.0 137.30 492.70 120.00 205.91 286.80 343.21 406.79 750.00 750 45.7630.0 137.30 492.70 120.00 253.89 238.81 391.19 358.81 750.00 750 52.1640.0 137.30 492.70 120.00 303.74 188.95 441.04 308.96 750.00 750 58.8050.0 137.30 492.70 120.00 355.56 137.12 492.86 257.14 750.00 750 65.71

4.6. ESTUDIO DE INDEPENDENCIA DE MALLA

En esta sección se presenta el análisis de independencia de malla realizado para

determinar la densidad de malla computacional óptima, a partir de la cual los

resultados no muestran cambios significativos; es decir, el resultado es

independiente del tamaño de la malla computacional.

Para efectuar este estudio se tomó un caso con parámetros considerados extremos,

en comparación con los demás casos analizados en este trabajo. A continuación se

muestra el análisis para una cavidad de 4x4 m con pared semitransparente con

película de control solar (ó Configuración 3) y muro de block de concreto de 12 cm

de espesor, con una irradiación solar incidente de 700 W/m2 y una temperatura de

aire exterior (Text) de 35 °C. En la Figura 4.9 se presentan los perfiles de las

componentes de velocidad (u y v), temperatura y viscosidad turbulenta en la parte

media de la cavidad (y=2m), para mallas numéricas de 130x75, 140x85, 150x95 y

160x105 nodos, en las cuales se consideró un número fijo de 21 nodos

computacionales en el muro conductor y 36 nodos computacionales en el vidrio

laminado.

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Capítulo 4 Verificación del código

84

(a) (b)

(c) (d)

Figura 4.9. Refinamiento de la malla al centro de la cavidad (y=2m) para: (a) u, (b)

v, (c) T y (d)µT.

Se observa que a partir de la malla de 140x85 nodos las curvas presentan cambios

mínimos, cualitativamente. En la Tabla 4.5 se muestran los valores para la velocidad

máxima v, la temperatura promedio y la viscosidad turbulenta promedio y sus

correspondientes diferencias porcentuales entre una malla y otra; estas diferencias

son del orden de 0.55%, 0.03% y 2.18%, respectivamente. Con base en las

diferencias porcentuales se considera que la malla de 140x85 es la adecuada.

0

1

2

3

4

-0.06 -0.04 -0.02 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12

u (m/s)

y (m

)

130x75 140x85 150x95 160x105

0 1 2 3 4-0.25

-0.20

-0.15

-0.10

-0.05

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

v (m

/s)

x (m)

75x75 85x85 95x95 105x105

0 1 2 3 4

45

50

55

60

65

70

75

80

T (°C

)

x (m)

75x75 85x85 95x95 105x105

0 1 2 3 4

0.000

0.002

0.004

0.006

0.008

0.010

µ T (

Kg/

m.s

)

x (m)

75x75 85x85 95x95 105x105

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Capítulo 4 Verificación del código

85

Tabla 4.5. Efecto del refinamiento de malla sobre distintas variables.

Malla v máx %* T prom %* µ T prom %*130x75 0.1484 -- 80.6174 -- 0.0029 --140x85 0.1528 2.82 80.6509 0.04 0.0030 2.44150x95 0.1536 0.55 80.6743 0.03 0.0031 2.18

Nota: Los valores que corresponden a %* son los porcentajes de diferencia

absoluta.

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Capítulo 5 Resultados

86

CAPÍTULO 5

RESULTADOS En este capítulo se presentan los resultados finales de la transferencia de calor

conjugada en una cavidad cuadrada con pared semitransparente, tal y como se

describió en el Capítulo 2. Se hace un análisis de los resultados obtenidos, éstos se

muestran tanto en forma gráfica como tabular para poder comprender el

comportamiento térmico del sistema. A lo largo del capítulo primeramente se

determinan los parámetros de estudio, seguido de una breve explicación de los

patrones de flujo, se muestra el efecto del muro conductor, así como la evaluación

térmica de las diferentes configuraciones de vidrio laminado y claro, y finalmente se

presentan las correlaciones de transferencia de calor para todas las configuraciones

de vidrio laminado.

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Capítulo 5 Resultados

87

5.1. PARÁMETROS DE ESTUDIO

Los parámetros de estudio para la simulación de la transferencia de calor conjugada

en una cavidad con pared semitransparente se presentan a continuación; donde la

pared semitransparente es un vidrio laminado con película de CuS ó CuS-Cu2-xSe,

las propiedades ópticas y térmicas de tales configuraciones de vidrio laminado se

presentaron en el Capítulo 2.

Para este estudio, se consideró una cavidad cuadrada de 4x4 m, siendo las

dimensiones características de una habitación en un edificio vidriado. Para el muro

conductivo (pared vertical izquierda) se proponen dos materiales: ladrillo y block de

concreto, con espesor de 0.12 m, y sus propiedades termofísicas se presentan en la

Tabla 5.1. Las emisividades de las paredes opacas interiores son de 0.87,

considerando que éstas tienen un recubrimiento de pintura blanca.

Se considera conducción a través de las paredes verticales de la cavidad (pared

opaca y semitransparente con película de control solar, respectivamente), y éstas a

su vez tienen pérdidas convectivas y radiativas; para la pérdida convectiva se

considera un coeficiente de transferencia de calor (hext) de 6.8 W/m2K para una

velocidad del aire exterior de 3m/s (ASHRAE, 1977), en ambas paredes. Mientras

que la temperatura del aire al exterior (Text) varía de 15 a 35 °C en incrementos de 10

°C. También, para observar el comportamiento del sistema de acuerdo a la energía

que le llega, se varía la irradiación solar (Gsolar) de 100 a 700 W/m2 en incrementos

de 200 W/m2.

Tabla 5.1. Propiedades termofísicas del ladrillo y block de concreto.

Propiedad Ladrillo Block de concreto

λ (W/m K) 0.8 0.51 Cp (J/Kg K) 840 1000

ρ (Kg/m3) 1800 1400

α (m2/s) (x10

-6) 0.529 0.364

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Capítulo 5 Resultados

88

Para comparar y analizar los resultados se presentan los siguientes casos:

Caso C: Transferencia de calor conjugada en una cavidad cuadrada con pared de

vidrio claro y muro de block de concreto.

Caso C1: Transferencia de calor conjugada en una cavidad cuadrada con pared de

Configuración 1 de vidrio laminado de control solar y muro de block de concreto.

Caso C2: Transferencia de calor conjugada en una cavidad cuadrada con pared de

Configuración 2 de vidrio laminado de control solar y muro de block de concreto.

Caso C3: Transferencia de calor conjugada en una cavidad cuadrada con pared de

Configuración 3 de vidrio laminado de control solar y muro de block de concreto.

5.2. PATRONES DE FLUJO EN LA CAVIDAD

Para describir los patrones de flujo dentro de la cavidad con pared semitransparente,

tomando en cuenta diferentes configuraciones de vidrio laminado y el vidrio claro,

se considera una temperatura exterior (Text) de 35 °C y se varía la irradiación solar

(G) de 100 a 700 W/m2, en incrementos de 200 W/m2. Con el fin de observar la

diferencia que existe entre ellos, debido a las películas de control solar en el vidrio

laminado, se presentan los resultados para un vidrio claro y las configuraciones de

vidrio laminado 2 y 3 (Caso C, C2 y C3). Sólo se consideran las configuraciones 2 y

3 debido a que la configuración 1 es muy similar a la configuración 2 y sus

resultados son análogos.

Cabe recordar que debido a que se considera transferencia de calor por conducción

en las paredes verticales, aunado al intercambio radiativo superficial, el perfil de

temperaturas de estas paredes al interior de la cavidad no es lineal; y por lo tanto, es

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Capítulo 5 Resultados

89

necesario mostrar tal perfil de temperaturas. La distribución de la temperatura y el

movimiento del aire contenido en la cavidad están ligados fuertemente con las

temperaturas de las paredes de la cavidad, pues debido a la diferencia de

temperaturas entre las paredes y el aire adyacente a ellas se inicia el mecanismo de

convección dentro de la cavidad.

5.2.1. Caso C

Para comprender el movimiento del fluido en la cavidad y la distribución de

temperaturas, se muestra la Figura 5.1, la cuál presenta el perfil de temperaturas de

las paredes de la cavidad, así como las líneas de corriente dentro de la cavidad con

pared de un vidrio claro, con una temperatura exterior (Text) de 35 °C y una

irradiación solar (G) de 700 W/m2 sobre la pared de vidrio.

Se observa que el fluido adyacente a la pared superior tiene poca movilidad, y en el

resto de la cavidad se presentan dos vórtices; un vórtice principal en el sentido de las

manecillas del reloj que inicia por debajo de fluido estancado en la pared superior y

se extiende hacia el resto de la cavidad, y otro vórtice menor en sentido contrario de

las manecillas del reloj en la esquina superior izquierda de la cavidad.

Como se ve, la pared superior de la cavidad tiene la mayor temperatura del sistema,

siendo ésta la región de estancamiento del fluido; pues a pesar de que el incremento

de temperatura disminuye la densidad del aire, éste no puede ascender y choca con

la barrera física que representa la pared superior, y por lo tanto, el movimiento del

flujo es nulo en esa región. También, el comportamiento de las temperaturas de las

paredes verticales, en la parte superior, presentan gradientes considerables en esa

región, contribuyendo al patrón de flujo mostrado.

Se observa que el muro de block de concreto es la pared vertical más caliente,

debido al intercambio radiativo y la cantidad de energía que logró pasar a través del

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Capítulo 5 Resultados

90

vidrio. Se observa que en la parte inferior de la cavidad, el perfil presenta un

cambio en su tendencia casi constante, incrementando el valor de su temperatura, y

por lo tanto, el aire en contacto con el muro en esta zona ganará energía provocando

un movimiento ascendente del aire debido a las fuerzas de flotación; ésta masa de

aire, en su recorrido hacia la parte superior de la cavidad, es desviada hacia la región

cercana a la pared de vidrio debido a la recirculación existente en la esquina superior

izquierda de la cavidad. Alcanzando la pequeña zona de estancamiento, para

posteriormente dirigirse a la pared de vidrio.

Al entrar en contacto con la pared de vidrio (pared fría) el fluido se descompensa e

inicia un movimiento descendente hasta encontrarse con la pared inferior (pared

sur); este desplazamiento descendente se observa mejor en la Figura 5.2.

Posteriormente, el aire es direccionado hacia la pared de block de concreto (pared

caliente), como se puede ver en la Figura 5.2 b), siendo esta región la de mayor

magnitud en cuanto al movimiento horizontal del fluido; la dirección que toma la

masa de aire se debe a la barrera física que representa la pared inferior en el

recorrido descendente del fluido, completando así el ciclo para iniciar nuevamente.

Se puede observar que por debajo de la pequeña franja de fluido estancado en la

parte superior y hasta llegar aproximadamente a la mitad de la cavidad, el perfil de

temperatura del muro presenta un comportamiento casi constante con un valor

considerado como bajo, comparado con la pared norte; por lo cual, en esa región el

muro se comporta como una pared fría dando como resultado el vórtice en sentido

contrario de las manecillas del reloj que se observa en la esquina superior izquierda.

Lo cuál explica los sentidos encontrados de la velocidad v en la Figura 5.2.

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Capítulo 5 Resultados

91

Figura 5.1. Líneas de corriente en la cavidad con pared de vidrio claro y perfiles de

temperaturas para cada pared.

0

1

2

3

4

65 70 75 80T (°C)

y (m

)

60 65 70 75

0

1

2

3

4

T (°C)

y (m

)

8 5

9 0

9 5

1 0 0

1 0 50 1 2 3 4

T (°C

)

x ( m )

0 1 2 3 46 5

7 0

7 5

8 0

8 5

T (°C

)

x ( m )

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Capítulo 5 Resultados

92

0 1 2 3 4-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.40 1 2 3 4

v (m

/s)

x (m)

y (m

)

3

1

v (m

/s)

2

v (m

/s)

a)

-0.4 -0.2 0.0 0.2 -0.4 -0.2 0.0 0.2

0

1

2

3

4

0

1

2

3

4

-0.4 -0.2 0.0 0.2u (m/s)u (m/s)

2

x (m)

y (m

)

1 3

u (m/s)

b)

Figura 5.2. Componentes de velocidades a diferentes alturas dentro de la cavidad

con pared de vidrio claro: a) v (m/s) para y= 1, 2 y 3m; b) u (m/s) para x= 1,2 y 3m.

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Capítulo 5 Resultados

93

Al obtener los resultados finales se observó que la temperatura exterior (Text) no

tiene gran influencia sobre el patrón de flujo del fluido, sino que éste es afectado o

modificado principalmente por la cantidad de energía solar que incide sobre el

sistema; por lo tanto, en la Figura 5.3, se muestran los patrones de flujo para

irradiaciones solares (G) de 700, 500, 300 y 100 W/m2 y una temperatura exterior

(Text) de 35 °C. Para poder observar la relación entre el movimiento del fluido y la

temperatura, se presentan las isotermas, líneas de corriente y viscosidad turbulenta

en la cavidad con pared de vidrio.

En la Figura 5.3 se puede observar que conforme disminuye la irradiación sobre el

sistema la zona de estancamiento en la parte superior de la cavidad aumenta, debido

a que el movimiento del fluido es proporcional a la cantidad de energía que llega al

sistema; es decir, si la cantidad de energía que es transmitida hacia el aire no es lo

suficientemente grande para provocar un desequilibrio en el sistema no habrá

movimiento, lo cual también se puede ver reflejado en la disminución del vórtice

principal (señalado con líneas punteadas en el Figura 5.3).

Debido a que el movimiento del fluido en la zona central de la cavidad es casi nulo,

el gradiente de temperaturas también lo es; lo cuál se puede observar en la Figura

5.4. También, se observa que los valores de temperatura alcanzados son

proporcionales a la cantidad de energía que llega al sistema. En las isotermas de la

Figura 5.3 se observa que los mayores gradientes de temperaturas se presentan en las

regiones cercanas a las paredes, principalmente sobre la pared norte (pared caliente);

dónde se presenta poca movilidad, dando como resultado la aglomeración de las

capas de aire de tal forma que el mecanismo de convección es altamente difusivo.

De acuerdo a la Figura 5.3, el mayor valor de viscosidad turbulenta se tiene en la

esquina inferior izquierda, donde se presenta una pequeña recirculación de fluido; tal

nivel de turbulencia en esa zona se debe a la distribución de temperaturas sobre el

muro y la pared sur.

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Capítulo 5 Resultados

94

72.3

72.2

72.1

72.2

72.1

72.3

75.0

70.0

70.0

-0.1600

-0.1200

-0.0800

-0.02000.0200

0.0053

-0.0200

0.0005

0.00300.0020

0.0045 0.0020

62.3

64.0

62.3

62.3

64.0

62.0

56.0

0.030

0.020

-0.150

-0.140

-0.110

-0.080

-0.040

-0.020

-0.010

0.0005

0.0030

0.0020

0.0025

0.0045

0.0015

0.0015

52.1

52.0

52.0

52.1

52.0

51.651.6

0.0200

-0.1200

-0.1000

-0.0700

-0.0400

-0.0100

-0.0100

0.0015

0.0030

0.0005

0.0040

0.0025

0.0020

0.0015

41.02

40.9

9

40.99

41.02

40.92

0.0200

0.0100

-0.0800

-0.0700

-0.0400

-0.0100

-0.0100

0.0010

0.0030

0.0025

0.0035

0.0015

0.00

15

Figura 5.3. Isotermas (°C), líneas de corriente (m2/s) y viscosidad turbulenta

(Kg/m.s) para una cavidad cuadrada con una pared de vidrio claro, con una Text= 35

°C y una G= 700, 500, 300 y 100 W/m2 (de arriba hacia abajo, respectivamente).

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Capítulo 5 Resultados

95

0 1 2 3 420

25

30

35

40

45

50

55

60

65

70

75

T (

°C)

x (m)

G (W/m2) 700 500 300 100

0 1 2 3 4

0.0000

0.0005

0.0010

0.0015

0.0020

0.0025

0.0030

µ T (

Kg/

m.s

)

x (m)

G (W/m2) 700 500 300 100

Figura 5.4. Comportamiento de la temperatura (T) y la velocidad (v) a media altura

de la cavidad (y=2) con pared de un vidrio claro.

5.2.2. Caso C2

En la Figura 5.5 se muestra el perfil de temperaturas de las paredes de la cavidad y

las líneas de corriente dentro de la cavidad con Configuración 2 (Conf. 2), para una

temperatura exterior (Text) de 35 °C e incidiendo una irradiación solar (G) de 700

W/m2.

Para este caso, como se puede ver en la Figura 5.5, se tiene un solo vórtice principal

en la parte inferior de la cavidad en sentido contrario de las manecillas del reloj,

debido al mayor gradiente de temperatura entre las paredes verticales. Las paredes

horizontales tienen valores de temperatura bastante similares, mientras que las

paredes verticales si tienen un pequeño gradiente de temperatura entre ellas; sin

embargo, estas paredes verticales no presentan cambios bruscos en sus perfiles de

temperaturas; lo cual explica, en un momento dado, el comportamiento estratificado

de las líneas de corriente e isotermas, similares a una cavidad calentada

diferencialmente, y tal estratificación se refleja en el comportamiento de las

componentes de velocidad en la Figura 5.6, las cuales son nulas en la parte central

de la cavidad.

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Capítulo 5 Resultados

96

Figura 5.5. Líneas de corriente en la cavidad con Configuración 2 y perfiles de

temperaturas para cada pared.

0

1

2

3

4

59 60 61

T (°C )

y (m

)

69 70 71

0

1

2

3

4

T (°C)

y (m

)

60

65

70

0 1 2 3 4

T

(°C)

x (m )

0 1 2 3 46 5

7 0

7 5

8 0

8 5

T (°C

)

x (m )

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Capítulo 5 Resultados

97

Debido al intercambio radiativo en la cavidad, los perfiles de temperaturas de las

paredes presentan cambios bruscos al llegar a las esquinas de la cavidad dando como

resultado pequeñas recirculaciones. Se observa que para este caso, la pared más

caliente del sistema es la pared de vidrio laminado o Configuración 2, por lo cual el

fluido adyacente a ella ganará energía, causando una disminución en su densidad, y

a su vez, el desplazamiento del fluido hacia la parte superior de la cavidad. En la

Figura 5.6 se muestran las componentes de velocidad para observar mejor el

desplazamiento del fluido sobre las paredes de la cavidad.

La pared superior representa una barrera física en el movimiento ascendente del aire,

por lo tanto, al llegar a esta pared el aire cederá un poco de energía y será dirigido

hacia el muro de block (pare fría). Al chocar con el muro el aire cede energía,

causando la disminución de su temperatura y, por lo tanto, el aumento de su

densidad; dando inicio a un desplazamiento descendiente hasta alcanzar la pared sur.

La pared sur provoca que el flujo se desvíe hacia la pared caliente ó Configuración

2, para iniciar nuevamente el ciclo antes descrito.

Como se puede ver en la Figura 5.6 a) y b) las máximas velocidades se tienen cerca

de las paredes verticales; así como en la parte inferior de la cavidad, pues es ahí

donde se presenta el vórtice en este caso.

En la Figura 5.7 se puede observar el comportamiento del flujo a diferentes

irradiaciones solares (G = 700, 500, 300 y 100 W/m2), donde se tienen las isotermas,

líneas de corriente y viscosidad turbulenta en la cavidad con Configuración 2 y una

temperatura exterior (Text) de 35 °C. Se observa un vórtice inferior dentro de la

cavidad que asciende conforme disminuye la irradiación solar. Por lo tanto, la

variación del patrón de flujo se atribuye principalmente a la magnitud de la

irradiación solar (G), ya que las temperaturas y emisividades de las paredes

presentan poca diferencia entre ellas.

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Capítulo 5 Resultados

98

0 1 2 3 4

-0.2

0.0

0.2

-0.2

0.0

0.2

-0.2

-0.1

0.0

0.1

0.2

0 1 2 3 4

v (m

/s)

x (m)

y (m

)

3

1

v (m

/s)

2

v (m

/s)

a)

-0.1 0.0 0.1 -0.1 0.0 0.1

0

1

2

3

4

0

1

2

3

4

-0.1 0.0 0.1u (m/s)u (m/s)

2

x (m)

y (m

)

1 3

u (m/s)

b)

Figura 5.6. Componentes de velocidades a diferentes alturas dentro de la cavidad

con Configuración 2: a) v (m/s) para y= 1, 2 y 3m; b) u (m/s) para x= 1,2 y 3m.

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Capítulo 5 Resultados

99

66.9

66.4

66.0

65.6

65.0

56 .0

0.0100

0.0200

0.0300

0.0350

0.0025

0.00

05

0.0020

0.0005

58.0

57.4

57.0

56.4

54.0

0.0300

0.0250

0.0200

0.01500.0100

0.0050

0.0005

0.0030

0.0015

0.0015

48.7

48.3

48.0

47.7

47.545.0

0.0240

0.0200

0.01800.01400.0100

0.0220

0.0002

0.0 0

16

0.0004 0.0018

0.0018

0.0006

39.0

38.8

38.7

38.5

38.3

38.1

0.0260

0.0220

0.0180

0.0140

0.0100

0.0060

0.0020

0.00100.0020

0.00

18

0.0002

0.0006

0.0004

Figura 5.7. Isotermas (°C), líneas de corriente (m2/s) y viscosidad turbulenta

(Kg/m.s) para una cavidad cuadrada con Configuración 2, con una Text= 35 °C y una

G= 700, 500, 300 y 100 W/m2 (de arriba hacia abajo, respectivamente).

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Capítulo 5 Resultados

100

Debido al comportamiento antes mencionado (paredes interiores de la cavidad), ello

es similar al de una cavidad calentada diferencialmente, y por lo tanto, las isotermas

presentan un patrón estratificado para todos los casos con gradientes considerables

en las paredes verticales; lo cual también se puede ver en la Figura 5.8, dónde se

tiene una viscosidad turbulenta nula en la parte central de la cavidad,

independientemente de la irradiación solar incidente.

0 1 2 3 4

25

30

35

40

45

50

55

60

65

70

T (

°C)

x (m)

G (W/m2) 700 500 300 100

0 1 2 3 4

0.0000

0.0005

0.0010

0.0015

0.0020

0.0025

0.0030

µ T (

Kg/

m.s

)

x (m)

G (W/m2) 700 500 300 100

Figura 5.8. Comportamiento de la temperatura (T) y la velocidad (v) a media altura

de la cavidad (y=2) con Configuración 2.

5.2.3. Caso C3

Para observar la relación entre el movimiento del fluido y las temperaturas de las

paredes dentro de la cavidad, en la Figura 5.9 se muestran los perfiles de

temperatura para las paredes verticales y horizontales de la cavidad, así como las

líneas de corriente dentro de la cavidad con configuración 3 (Conf. 3); el caso

correspondiente a una temperatura exterior (Text) de 35 °C y una irradiación solar

(G) de 700 W/m2.

En la Figura se puede ver que el fluido forma dos vórtices verticales, uno en

dirección de las manecillas del reloj (derecho) y otro en sentido contrario

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Capítulo 5 Resultados

101

(izquierdo), debido al comportamiento de la temperatura en las paredes interiores de

la cavidad.

Figura 5.9. Líneas de corriente en la cavidad con Configuración 3 y perfiles de

temperaturas para cada pared.

0

1

2

3

4

75 76 77

T (°C)

y (m

)

75 80 85

0

1

2

3

4

T (°C)

y (m

)

8 0

8 5

9 0

0 1 2 3 4

T (°C

)

x ( m )

0 1 2 3 4

8 0

8 5

T (°C

)

x ( m )

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Capítulo 5 Resultados

102

Para este caso el comportamiento de la temperatura en las paredes de la cavidad es

bastante particular, ya que las paredes verticales son las paredes frías del sistema y

son muy similares en cuanto a su valor promedio de temperatura, mientras que las

paredes horizontales se comportan como las paredes calientes y, de igual manera,

tienen valores de temperatura muy cercanos. Debido a esta distribución de

temperaturas, el aire adyacente a la pared inferior disminuye su densidad,

aumentando su fuerza de flotación, por lo que buscará desplazarse hacia arriba.

El ascenso de la masa de aire caliente no se puede dar sobre las paredes verticales,

debido al flujo en descenso que ellas presentan, y por lo tanto, tal movimiento se da

casi en el centro de la cavidad; lo cual se observa mejor en la Figura 5.10 donde se

muestra la componente de la velocidad en y. Una vez que el fluido alcanza la parte

superior de la cavidad éste pierde velocidad, debido a la temperatura y barrera física

que representa la pared norte; pero, el aire estancado que esta en contacto con las

paredes verticales (paredes frías) cederá energía, provocando que éste se desplace

hacia la parte inferior de la cavidad sobre las paredes verticales; hasta llegar

nuevamente a la pared sur para iniciar un nuevo ciclo.

La diferencia en el tamaño de los vórtices se debe al pequeño gradiente que

presentan los perfiles de temperatura de las paredes verticales, siendo ligeramente

menor la pared o muro de block de concreto; es decir, el gradiente entre esta pared y

las paredes horizontales es mayor y, por lo tanto, el vórtice cercano a esa pared

también.

La Figura 5.11 muestra las isotermas, líneas de corriente y viscosidad turbulenta en

la cavidad con Configuración 3 para una temperatura exterior (Text) de 35 °C e

irradiaciones solares (G) de 700, 500, 300 y 100 W/m2. De acuerdo a la cantidad de

energía que llega al sistema la distribución de temperatura en las paredes varía y por

consecuencia el patrón de flujo.

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Capítulo 5 Resultados

103

0 1 2 3 4

-0.2

0.0

0.2

-0.2

0.0

0.2

-0.2

0.0

0.2

0 1 2 3 4

v (m

/s)

x (m)

y (m

)

3

1

v (m

/s)

2

v (m

/s)

a)

-0.1 0.0 0.1 -0.1 0.0 0.1

0

1

2

3

4

0

1

2

3

4

-0.1 0.0 0.1u (m/s)u (m/s)

2x (m)

y (m

)

1 3

u (m/s)

b)

Figura 5.10. Componentes de velocidades a diferentes alturas dentro de la cavidad

con Configuración 3: a) v (m/s) para y= 1, 2 y 3m; b) u (m/s) para x= 1,2 y 3m.

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Capítulo 5 Resultados

104

81.581

.3

80.9

81.3

81.381

.5

80.9

80.0

0.05

0.03

0.01-0.01

-0.05

-0.060.05

-0.07

0.0020

0.00800.0040

0.0003

70.0

68.5

68.5 68.4

68.4

68.568.0

-0.0300

-0.01000.0100

0.0400

0.0800

0.0900

0.0040

0.0035

0.0015 0.0005

0.0045

0.0035

0.0020

55.5

56.0

55.5

55.4

55.5

55.256.0

55.4

55.2

-0.0200

-0.0100

0.0100

0.0300

0.0700

0.0800

0.0200

0.0024

0.00040.0012

0.00

24

0.0018

0.0016

0.00

28

41.67

41.66 41.65

41.67

41.42

41.67

-0.00500.0100

0.0350

0.0550

0.02

00

0.0250

0.00100.0002

0.0006

0.0004

0.0008

0.00

16

0.0006

Figura 5.11. Isotermas (°C), líneas de corriente (m2/s) y viscosidad turbulenta

(Kg/m.s) para una cavidad cuadrada con Configuración 3, con una Text= 35 °C y una

G= 700, 500, 300 y 100 W/m2 (de arriba hacia abajo, respectivamente).

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Capítulo 5 Resultados

105

El fluido en la parte superior de la cavidad presenta poca movilidad, mientras que el

vórtice izquierdo (en dirección contraria de las manecillas del reloj) aumenta

considerablemente, reduciendo el vórtice derecho (en dirección de las manecillas del

reloj) a la esquina superior derecha. Tal comportamiento en el flujo del fluido se

debe a la variación del perfil de temperaturas de la Configuración 3. Debido al

intercambio radiativo, se produce un aumento en la temperatura de la parte inferior

de la Configuración 3 y, a su vez, aumenta los valores de viscosidad turbulenta en la

esquina inferior derecha de la cavidad.

0 1 2 3 420

25

30

35

40

45

50

55

60

65

70

75

80

85

T (

°C)

x (m)

G (W/m2) 700 500 300 100

0 1 2 3 4

0.000

0.002

0.004

0.006

0.008

0.010

µ T (

Kg/

m.s

)

x (m)

G (W/m2) 700 500 300 100

Figura 5.12. Comportamiento de la temperatura (T) y la velocidad (v) a media

altura de la cavidad (y=2) con Configuración 3.

La distribución de las isotermas varían de acuerdo al movimiento del fluido, como

se observa en la Figura 5.9; sin embargo, se mantiene la característica de tener

gradientes casi nulos en la zona central de la cavidad, lo cuál se observa mejor en la

Figura 5.12.

En esta sección se mostró la estrecha relación entre el movimiento del aire y la

distribución de temperaturas en las paredes al interior de la cavidad, la explicación

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Capítulo 5 Resultados

106

de tal movimiento es muy complicada debido a la no-uniformidad que presentan los

perfiles de temperatura en las paredes; tal comportamiento de la temperatura es

resultado del intercambio radiativo considerado en el sistema. Se pudo apreciar que

en las zonas donde se presentan altas temperaturas se tienen mayores valores de

viscosidad turbulenta, y por lo tanto, son las regiones donde se pueden generar

vórtices o remolinos de flujo.

También, se observa el efecto que tienen las propiedades ópticas de la pared de

vidrio sobre la distribución de energía. En el caso de la cavidad con vidrio claro, la

pared vertical más caliente es el muro conductor, debido a la alta transmisividad que

presenta el vidrio claro, comparado con los vidrios laminados; es decir, gran parte de

la energía que logró pasar a través del vidrio fue absorbida por el muro debido a la

geometría de la cavidad. Mientras que, en el caso de vidrios laminados

(Configuración 2 y 3) la energía solar directa transmitida a través de ellos se reduce

(baja transmisividad) debido a la presencia de las películas de control solar, pero es

transformada en energía térmica absorbida (alta absortividad); por lo tanto, en estos

casos la pared vertical mas caliente es el vidrio laminado, pues la energía que no

logra ingresar al sistema queda atrapada en el vidrio laminado, incrementando su

temperatura considerablemente.

5.3. EFECTO DEL MURO CONDUCTOR

En esta sección se muestra el efecto que tiene la presencia del muro conductor en el

sistema, para ello se divide en dos secciones: Efecto de conducción a través del

muro y efecto del tipo de material en el muro. Primero, se compara el sistema con

muro conductor y pared isoterma, para observar el resultado que se tiene al

considerar la transferencia de calor por conducción en esa pared. Y posteriormente,

se presentan los resultados que se obtienen al cambiar el tipo de material en tal

muro.

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Capítulo 5 Resultados

107

5.3.1. Efecto de conducción a través del muro

Para observar el efecto que se tiene al considerar transferencia de calor por

conducción a través de la pared o muro de block de concreto, en esta sección se

comparan dos casos considerando el muro conductor y un muro a temperatura

constante ó pared isoterma. Para ello se seleccionaron dos casos: el Caso C y C2, y

el Caso C-I y C2-I cuando se considera la pared isoterma. El valor de la temperatura

constante en la pared isoterma es de 21°C.

En la Tabla 5.2 se presentan los valores de temperaturas promedio del aire al interior

de la cavidad para los casos seleccionados, así como la diferencia absoluta entre

ellas. La mayor diferencia absoluta entre los resultados obtenidos se presenta para la

Configuración 2 con una diferencia de 42.72%, mientras que para el vidrio claro el

mayor valor de diferencial absoluta es de 32.18%; ambos casos se dan con los

valores más altos de irradiación solar y temperatura exterior, G= 700 W/m2 y Text=

35°C, respectivamente.

Tabla 5.2 a. Temperatura promedio del aire al interior de la cavidad, para el Caso C

y el Caso C-I.

Temperatura promedio del aire (°C) T ext

(°C) G (W/m2) Caso C Caso C-I

%*

700 72.54 49.20 32.18 500 62.67 43.87 29.99 300 52.24 38.25 26.78

35

100 41.09 32.18 21.68 700 63.95 45.00 29.63 500 53.72 39.51 26.45 300 42.90 33.66 21.54

25

100 31.33 27.18 13.24 700 55.37 40.94 26.06 500 44.77 35.32 21.11 300 33.56 29.11 13.27

15

100 21.57 21.92 1.63

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Capítulo 5 Resultados

108

Tabla 5.2 b. Temperatura promedio del aire al interior de la cavidad, para el Caso

C2 y el Caso C2-I.

Temperatura promedio del aire (°C) T ext

(°C) G (W/m2) Caso C2 Caso C2-I

%*

700 65.95 37.78 42.72 500 57.17 33.97 40.58 300 48.07 30.00 37.61

35

100 38.61 25.81 33.17 700 57.14 36.95 35.33 500 48.07 33.04 31.27 300 38.67 28.92 25.21

25

100 28.88 24.52 15.12 700 48.34 32.20 33.38 500 38.97 28.16 27.74 300 29.27 23.88 18.40

15

100 19.15 21.15 10.40 Nota: Los valores que corresponden a %* son los porcentajes de diferencia

absoluta.

En ambos casos, el decremento en la temperatura del aire al interior de la cavidad se

debe a que, al fijar una temperatura constante en esa pared, ésta actúa como un

sumidero de calor; y por lo tanto, no se observa la retención de energía que provoca

el muro.

En la Figura 5.13 se muestran las isotermas, líneas de corriente y viscosidad

turbulenta para los Casos C y C-I. Se observa que para el Caso C-I el movimiento

del fluido es en sentido contrario de las manecillas del reloj, y contrario al Caso C,

debido a que la temperatura de la pared isoterma (Twall= 21°C) es menor que la del

vidrio claro, y por lo tanto para el Caso C-I la pared oeste es la pared fría.

El perfil de temperatura constante en la pared oeste para el Caso C-I, aunado al

comportamiento del perfil en el vidrio claro, provoca una estratificación en las líneas

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Capítulo 5 Resultados

109

de corriente en la parte superior de la cavidad, confinando el vórtice a la parte

inferior dónde se tienen los mayores valores de viscosidad turbulenta; mientras que,

para el Caso C, debido al comportamiento no lineal del muro tal estratificación no

existe y se presentan valores de turbulencia considerables en la región cercana al

muro conductor, debido a la temperatura que éste alcanza.

Para el Caso C se tiene una temperatura promedio de 59.16 °C en el muro, ya que

éste absorbe la mayor parte de la irradiación solar que logró pasar a través del vidrio

claro y actúa como un retardador de energía debido a su espesor y propiedades

termofísicas; el comportamiento antes descrito, no se puede apreciar al tomar la

pared oeste como una pared isoterma (Caso C-I).

Considerar la pared oeste como isoterma en el Caso C-I, es tal como suponer que

sin importar la cantidad de energía que logre llegar a la pared ésta se desechará de

cualquier manera para mantener la temperatura constante (como un sumidero de

calor).

Al igual que las líneas de corriente, en el Caso C-I las isotermas dentro de la cavidad

también presentan una estratificación, con un gradiente vertical de aproximadamente

10 grados. Para el Caso C, las isotermas presentan un comportamiento muy variable,

debido a la no-linealidad del perfil de temperatura en el muro. La diferencia

porcentual de la temperatura promedio del aire, entre el Caso C y C-I, es de 29.6 %.

La Figura 5.14 muestra las líneas de corriente, isotermas y viscosidad turbulenta

para los Casos C2 y C2-I. Para los dos casos la pared mas caliente del sistema es la

pared de vidrio laminado (Configuración 2), debido a la elevada absortividad que

ésta presenta; y la pared fría es la pared oeste, lo cual explica el comportamiento

similar entre ellos.

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Capítulo 5 Resultados

110

0.0304

-0.1779

-0.1400

-0.1000

-0.0600

-0.0200

W (m)

H(m

)

0 1 2 3 40

1

2

3

4

0.0033

0.0200

0.0400

0.0600

0.0900

W (m)

H(m

)

0 1 2 3 40

1

2

3

4

63.6

63.6

63.5

63.5

63.2

65.0

63.2

W (m)

H(m

)

0 1 2 3 40

1

2

3

4

50.0

45.5

44.3

43.2

40.0

W (m)

H(m

)

0 1 2 3 40

1

2

3

4

0.0050

0.0040

0.0020

0.0010

W (m)

H(m

)

0 1 2 3 40

1

2

3

4

0.0010

0.0070

0.00

700.0030

W (m)

H(m

)

0 1 2 3 40

1

2

3

4

Caso C Caso C-I

Figura 5.13. Líneas de corriente (m2/s), isotermas (°C) y viscosidad turbulenta

(kg/m.s) (de arriba hacia abajo, respectivamente) para el Caso C y C-I.

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Capítulo 5 Resultados

111

En estos casos el flujo se mueve en sentido contrario de las manecillas del reloj y las

líneas de corriente se encuentran estratificadas hasta la parte inferior de la cavidad

dónde se forma el vórtice.

Cabe mencionar que los perfiles de temperaturas de la Configuración 2 y el muro

conductor son casi lineales en la parte central, por lo que, el patrón de flujo de este

caso (Caso C2) es bastante similar al que se presenta al considerar la pared oeste

como isoterma (Caso C2-I); sumado al comportamiento de los perfiles antes

mencionados, se tiene la similitud en las emisividades de las paredes, lo cual explica

el comportamiento estratificado del flujo. Las velocidades sobre las paredes son

mayores, así como los valores de viscosidad turbulenta, sobre todo en la zona

cercana al vidrio laminado (pared caliente); esta conducta del fluido se observa de

una manera mas pronunciada en el Caso C2-I.

La diferencia en el comportamiento del flujo se atribuye a que, para el Caso C2-I, se

tiene una diferencia máxima de temperaturas entre las paredes de la cavidad de

29.11 °C; mientras que para el Caso C2 es de tan sólo 9.19 °C, ya que el muro

alcanza una temperatura promedio de 51.48 °C.

En la Figura 5.14 se observan isotermas distribuidas estratificadamente en la

cavidad, tanto para el Caso C2 como para el Caso C2-I; en ambos casos las menores

temperaturas se tienen en la parte baja de la cavidad, dónde se tiene la recirculación

de aire ó vórtice. La diferencia absoluta de la temperatura promedio del aire entre

estos casos es de 35.33 %; tal diferencia se debe a que al considerar el muro

conductor parte de la energía absorbida por éste es transferida al aire contenido en la

cavidad por el mecanismo de convección y la disipación al exterior es menor, por lo

tanto retiene energía, fenómeno que se omiten al considerar una temperatura

constante en esa pared (Caso C2-I).

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Capítulo 5 Resultados

112

0.0050

0.0150

0.0250

0.0350

W (m)

H(m

)

0 1 2 3 40

1

2

3

4

0.0150

0.0300

0.0400

0.0469

0.0500

W (m)

H(m

)

0 1 2 3 40

1

2

3

4

58.5

57.7

57.1

56.5

W (m)

H(m

)

0 1 2 3 40

1

2

3

4

40.9

38.7

36.7

35.1

33.7

W (m)

H(m

)

0 1 2 3 40

1

2

3

4

0.0005

0.0015 0.0035

0.00

10

W (m)

H(m

)

0 1 2 3 40

1

2

3

4

0.0005

0.00

30

0.0035

0.0005

0.0045

W (m)

H(m

)

0 1 2 3 40

1

2

3

4

Caso C2 Caso C2-I

Figura 5.14. Líneas de corriente (m2/s), isotermas (°C) y viscosidad turbulenta

(kg/m.s) (de arriba hacia abajo, respectivamente) para el Caso C2 y C2-I.

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Capítulo 5 Resultados

113

5.3.2. Efecto del tipo de material en el muro

Es importante estudiar el efecto del muro conductor sobre la distribución de

temperatura dentro de la cavidad, tal resultado puede depender en gran medida de

las propiedades termofísicas del material de construcción utilizado en el muro; por

lo tanto, para observar cómo afecta el tipo de material sobre el comportamiento de la

temperatura en el aire de la cavidad, se presenta la Tabla 5.2. En este caso se modeló

el Caso C2 con de ladrillo y block de concreto, para todos los casos de irradiación

solar (G= 700, 500, 300 y 100 W/m2) y temperatura exterior (Text= 35, 25 y 15 °C).

En la Tabla 5.3 se puede observar que el material utilizado en el muro repercute

ligeramente en el comportamiento de la temperatura del aire al interior de la

cavidad, provocando una diferencia máxima de 2.47 °C; tal diferencia, se debe a la

mayor capacidad de almacenamiento de energía del block de concreto.

Tabla 5.3. Temperatura promedio del aire al interior de la cavidad, para el Caso C2.

Temperatura promedio del aire (°C) T ext

(°C) G solar (W/m2) Muro de

Block Muro de Ladrillo

∆T

700 65.95 63.64 2.31 500 57.17 55.51 1.66 300 48.07 47.10 0.97

35

100 38.61 38.38 0.24 700 57.14 54.75 2.39 500 48.07 46.34 1.72 300 38.67 37.65 1.01

25

100 28.88 28.63 0.26 700 48.34 45.87 2.47 500 38.97 37.19 1.78 300 29.27 28.21 1.06

15

100 19.15 18.87 0.28 Nota: ∆T es el gradiente de temperatura entre un caso y otro.

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Capítulo 5 Resultados

114

En la Figura 5.15 se muestra el perfil de temperaturas a través del muro conductor a

media altura de la cavidad para el caso donde se tiene la mayor diferencia (G= 700

W/m2 y Text= 15 °C), y se observa que ambos muros presentan un comportamiento

lineal; la variación en la pendiente indica la facilidad que tiene cada uno para

conducir y almacenar energía. Por lo que, debido a los valores de difusividad

térmica de los materiales, la pendiente mas inclinada del block refleja la poca

capacidad que tiene éste para conducir energía; caso contrario al ladrillo.

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.1220

25

30

35

40

45

T (°C

)

Lx (m)

Twall

Block de concreto Ladrillo

Figura 5.15. Comportamiento de la temperatura a través del muro conductor en

media altura de la cavidad (y=2m), para una G= 700 W/m2 y Text= 15 °C.

De acuerdo a la Tabla 5.3, se considera que el efecto del material de construcción

utilizado en el muro sobre la temperatura del aire en la cavidad no es muy

significativo, y por lo tanto, se decidió utilizar un muro de block de concreto para

este trabajo, ya que es el material de construcción más utilizado en edificaciones

actuales.

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Capítulo 5 Resultados

115

5.4. EVALUACIÓN TÉRMICA DE LAS CONFIGURACIONES

Para evaluar térmicamente las diferentes configuraciones de vidrio, se muestran los

flujos de calor promedio que intervienen en la pared semitransparente; y a su vez, se

observa el efecto de éstos sobre el comportamiento del aire al interior de la cavidad.

Para observar tal relación, se seleccionaron todos los casos considerando una

irradiación solar (G) de 700 W/m2 y una temperatura exterior (Text) de 35 y 15 °C.

En la Tabla 5.4 se tienen los flujos de calor promedio para todos los casos, donde:

qτ= flujo de calor transmitido al interior, qα= flujo de calor absorbido por la

configuración de vidrio, qρ= flujo de calor reflejado al exterior, qint= flujo de calor al

interior por convección y radiación y el cálculo del coeficiente de ganancia de calor

solar (SHGC).

Tabla 5.4a. Flujos de calor promedio de los diferentes casos, para una G= 700W/m2

y Text= 35°C.

q conv-int q rad-int

C -502.32 141.68 56.00 61.32 -88.09 -529.09 75.58C1 -112.86 505.24 81.90 -3.12 -250.27 -366.25 52.32C2 -68.44 545.46 86.10 -10.63 -216.00 -295.07 42.15C3 -203.53 390.07 106.40 17.36 -382.67 -568.84 81.26

q ρ (W/m 2 ) SHGC (%)q int (W/m 2 ) q int + q τ

(W/m 2 )Caso q τ (W/m 2 ) q α (W/m 2 )

Tabla 5.4b. Flujos de calor promedio de los diferentes casos, para una G= 700W/m2

y Text= 15°C.

q conv-int q rad-int

C -502.32 141.68 56.00 66.50 -114.61 -550.44 78.63C1 -112.86 505.24 81.90 -3.08 -264.95 -380.89 54.41C2 -68.44 545.46 86.10 -11.89 -223.78 -304.10 43.44C3 -203.53 390.07 106.40 18.37 -411.00 -596.15 85.16

Caso q τ (W/m 2 ) q α (W/m 2 ) SHGC (%)q ρ (W/m 2 )q int (W/m 2 ) q int + q τ

(W/m 2 )

Nota: El signo negativo (-) significa que la dirección del flujo es hacia la izquierda,

entrando a la cavidad.

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Capítulo 5 Resultados

116

De acuerdo a la Tabla 5.4, el vidrio claro (Caso C) tiene un SHGC de 75.58% y

78.63%, para 35 y 15°C, respectivamente; es decir, del 100% de energía que incide

sobre el vidrio claro, un 75.58% ó 78.63% de ella logra pasar a través del vidrio

hacia la cavidad. Se observa que la presencia de películas de control solar en los

vidrios laminados no garantiza una reducción en el SHGC, lo cual sucede con el

Caso 3, que presenta un SHGC mayor que el del vidrio claro. Para 35°C el SHGC

del Caso 3 es de 81.26%, con una diferencia de 5.68% por encima de la del vidrio

claro (Caso C); mientras que para 15°C la diferencia se incrementa ligeramente a

6.53% (SHGC = 85.16%).

Se observa que, para ambas temperaturas exteriores, el Caso 1 sólo permite el paso

de aproximadamente el 50% de la energía que incide sobre el sistema; sin embargo,

el Caso 2 presenta un SHGC aún mas bajo, de 42.15 y 43.44% para 35 y 15°C,

respectivamente. Lo anterior representa una reducción de hasta 44.7% en el SHGC

al utilizar la Configuración 2 en lugar de un vidrio claro.

Al realizar el cálculo del SHGC se deben considerar todas las componentes de

energía que se tienen hacia el interior de la cavidad a través del vidrio, de estas

componentes se tiene la energía transmitida de forma directa y los flujos de calor

radiativo y convectivo. Al ingresar hacia la cavidad la energía transmitida es

distribuida sobre las paredes restantes de la cavidad, en primera instancia, debido al

intercambio radiativo superficial dentro de la cavidad; y además, parte de esa

energía que se distribuyó sobre las paredes opacas es reflejada, incidiendo

nuevamente sobre la pared semitransparente. Al llegar a la pared semitransparente

esta energía de onda larga, re-radiada al interior de la cavidad debido a que la

transmisividad es nula para este tipo de energía y, por lo tanto, la energía no logra

salir del sistema. Aunado a este flujo de calor hacia el interior de la cavidad, se tiene

el aporte radiativo debido a las temperaturas alcanzadas en las paredes y, también, el

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Capítulo 5 Resultados

117

flujo de calor convectivo debido a la diferencia de temperaturas entre el aire y las

paredes de la cavidad.

Debido a lo anterior, los valores de SHGC que presenta el Caso 3 son causados por

la energía transmitida (qτ) la cual es mayor respecto a los demás casos de vidrio

laminado (Casos C1 y C2); a este flujo de calor transmitido directo se le suma el alto

flujo de calor radiativo (qrad-int) debido a las temperaturas que se tienen en las

paredes, dando como resultado los valores más altos de flujo de calor hacia el

interior (qint + qτ). En los Casos C1 y C2, la componente de energía transmitida es

muy baja, debido a la existencia de dos películas de control solar en su

configuración (en el Caso C3 sólo se tiene una PDS); causando menor flujo de calor

total hacia el interior de la cavidad. El Caso C, a pesar de presentar mayor energía

transmitida, tiene flujos de calor radiativo y convectivo muy bajos; dando como

resultado valores de flujos de calor total hacia el interior (qint + qτ) aún menores que

los reportados para el Caso C3.

En la Figura 5.16 se muestran los flujos de calor radiativos y convectivos en la pared

de vidrio laminado, para todos los casos con una irradiación solar (G) de 700 W/m2

y temperatura exterior (Text) de 35 y 15 °C, respectivamente. Se observar que en

todos los casos, independientemente de la temperatura exterior, se tienen flujos de

calor radiativos negativos, el signo negativo se debe a que la energía esta

ingresando al sistema a través de esa pared y, por lo tanto, esta pared siempre se

encuentra emitiendo hacia el interior de la cavidad (en dirección hacia la izquierda).

Se puede ver que el comportamiento de los flujos de calor radaitivos y convectivos

es cualitativamente similar, independientemente de la temperatura exterior; mientras

que cuantitativamente los valores son ligeramente mayores cuando se tiene una

temperatura exterior de 15°C, debido al mayor gradiente de temperaturas que se

presenta.

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Capítulo 5 Resultados

118

0

1

2

3

4

-200 -100 0 100 200 300

qi (W/m2)

y (m

)

Caso C q

irad

qiconv

0

1

2

3

4

-200 -100 0 100 200 300

qi (W/m2)

y (m

)

Caso C q

irad

qiconv

0

1

2

3

4

-100 -80 -60 -40 -20 0 20

qi (W/m2)

y (m

)

Caso C1 q

irad

qiconv

0

1

2

3

4

-100 -80 -60 -40 -20 0 20

qi (W/m2)

y (m

)

Caso C1 q

irad

qiconv

0

1

2

3

4

-80 -60 -40 -20 0

qi (W/m2)

y (m

)

Caso C2 q

irad

qiconv

0

1

2

3

4

-80 -60 -40 -20 0

qi (W/m2)

y (m

)

Caso C2 q

irad

qiconv

0

1

2

3

4

-200 -150 -100 -50 0 50

qi (W/m2؟)

y (m

)

Caso C3 q

irad

qiconv

0

1

2

3

4

-200 -150 -100 -50 0 50

qi (W/m2)

y (m

)

Caso C3 q

irad

qiconv

Figura 5.16. Flujos radiativos y convectivos en la pared de vidrio para los diferentes

casos, con una G=700 W/m2 y una Text=35 y 15 °C (de izquierda a derecha).

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Capítulo 5 Resultados

119

La mayor diferencia porcentual entre el flujo de calor obtenido a 35 y 15°C es de

10.56% y 4.8% para los flujos de calor radiativos y convectivos, respectivamente.

Por otra parte, se observa que el flujo convectivo en los casos C y C3 es positivo, lo

que indica que esta en dirección hacia el exterior de la cavidad, ya que la

temperatura alcanzada en el vidrio es menor que la del aire adyacente a éste. En los

casos C1 y C2 el signo es contrario (negativo) indicando el fenómeno inverso.

Se puede apreciar que el aporte radiativo es considerable comparado con el

convectivo en la transferencia de calor conjugada. Cabe mencionar que la

distribución de flujos de calor esta fuertemente ligada al comportamiento del perfil

de temperaturas en la pared de vidrio laminado.

Para observar el comportamiento de la temperatura del aire al interior de la cavidad

para todas las configuraciones de vidrio ó casos al variar los distintos parámetros,

tales como la irradiación solar y la temperatura exterior se muestra la Tabla 5.5.

El caso C3 presenta los valores de temperatura más altos para el aire al interior de la

cavidad, resultando entre 79.91< Taire <63.43°C para una radición solar de 700 W/m2

y entre 41.51< Taire <22.17°C para 100 W/m2 considerando distintas temperaturas

exteriores. El caso C cuenta con temperaturas promedio ligeramente más bajas que

los del caso C3, el intervalo es de 72.54< Taire <55.37°C y 41.09 < Taire < 21.57°C

para 700 y 100 W/m2, respectivamente.

Se observa que los valores obtenidos para los casos C1 y C2 son bastante similares,

para el caso C1 se tiene un intervalo de 69.9< Taire <52.56°C para 700 W/m2 y

39.16< Taire <19.79°C para 100 W/m2, mientras tanto, para el caso C2 se tienen

intervalos de 65.95< Taire <48.34°C y 38.61< Taire <19.15°C para 700 y 100W/m2,

respectivamente.

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Capítulo 5 Resultados

120

De acuerdo a los valores mostrados en esta tabla se considera que el Caso 2 es el que

presenta los valores más bajos de temperatura promedio del aire contenido en la

cavidad.

Tabla 5.5. Temperatura promedio del aire al interior de la cavidad.

Caso C Caso C1 Caso C2 Caso C3700 72.54 69.90 65.95 79.91500 62.67 60.10 57.17 67.77300 52.24 49.90 48.07 54.99100 41.09 39.16 38.61 41.51700 63.95 61.22 57.14 71.66500 53.72 51.10 48.07 59.08300 42.90 40.57 38.67 45.84100 31.33 29.48 28.88 31.84700 55.37 52.56 48.34 63.43500 44.77 42.11 38.97 50.41300 33.56 31.24 29.27 36.69100 21.57 19.79 19.15 22.17

G (W/m2)T ext (°C) T (°C)

35

25

15

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Capítulo 5 Resultados

121

5.5. COEFICIENTE DE GANANCIA DE CALOR SOLAR

100 200 300 400 500 600 700

76

78

80

SG

HC

(%

)

G (W/m2)

Text

35°C 25°C 15°C

Caso C

100 200 300 400 500 600 700

20

30

40

50

60

SG

HC

(%

)

G (W/m2)

Text

35°C 25°C 15°C

Caso C1

100 200 300 400 500 600 700

20

30

40

50

SG

HC

(%

)

G (W/m2)

Text

35°C 25°C 15°C

Caso C2

100 200 300 400 500 600 700

76

80

84

SG

HC

(%

)

G (W/m2)

Text

35°C 25°C 15°C

Caso C3

Figura 5.17. Comportamiento del SHGC respecto a la irradiación solar, para

distintas temperaturas exteriores.

En la Figura 5.17 presenta el comportamiento del SHGC respecto a diferentes

irradiaciones solares, para las temperaturas consideradas; los mayores valores se

presentan para la temperatura exterior de 15°C en todos los casos, pues representan

un mayor gradiente térmico.

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Capítulo 5 Resultados

122

Para los casos C1, C2 y C3 el comportamiento del SHGC es proporcional a la

energía que llega al sistema; el caso C3 alcanza el mayor valor dentro de un

intervalo de 85.1<SHGC<74.6, el caso C1 presenta un intervalo de

54.4<SHGC<25.7 y por último los valores mas bajos se presentan en el caso C2 con

un intervalo de 43.4<SHGC<18.6, los intervalos mencionados se presentan al variar

todos los parámetros considerados.

El comportamiento de un vidrio claro es diferente y muy particular respecto a los

vidrios laminados, éste tiene su máximo valor (79.9%) para una irradiación solar de

300 W/m2 y una temperatura exterior de 15°C debido a que presenta un flujo

radiativo considerable provocado por la distribución de temperatura en las paredes, a

partir de ese valor de irradiación el valor de SHGC decrece hasta un valor de 75.5%

al considerar una irradición solar de 700 W/m2 y una temperatura exterior de 35°C.

A continuación, se presentan la correlación para el SHGC de todos los casos, que

fueron obtenidas por medio de mínimos cuadrados y están en función de la

irradiación solar incidente (G) y la temperatura exterior (Text) del sistema:

DGTCGTBGTASHGC extextext +++= )()()( 23 (5.1)

En la Tabla 5.6 se muestran los coeficientes para cada configuración de vidrio. La

máxima desviación respecto a los resultados numéricos es de 1.1 % y se presenta en

el Caso C1 (Configuración 1), los demás casos presentan desviaciones menores a

ésta.

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Capítulo 5 Resultados

123

Tabla 5.6. Coeficientes para la correlación obtenida para cada todos los casos.

Caso Coefiente Descripción

A 5.1*10-12(T ext2 ) - 1.0*10-10(T ext ) + 1.54*10-08

B -2.55*10-07(T ext ) - 2.09*10-05

C 1.71*10-04(T ext ) + 7.28*10-03

D -2.03*10-01(T ext ) + 81.86

A -1.5*10-11(T ext2 ) + 3.1*10-09(T ext ) + 2.13*10-07

B -3.75*10-06(T ext ) - 3.54*10-04

C 2.0*10-03(T ext ) + 0.19*10-03

D -4.74*10-01(T ext ) + 20.82

A -4.45*10-10(T ext2 ) + 2.86*10-08(T ext ) - 2.0*10-07

B 5.8*10-07(T ext2 ) - 3.78*10-05(T ext ) + 2.01*10-04

C -2.1*10-04(T ext2 ) + 1.42*10-02(T ext ) - 1.77*10-02

D 15.28*10-03(T ext2 ) + 1.282(T ext ) + 26.44

A 7.1*10-10(T ext2 ) - 3.54*10-08(T ext ) + 4.85*10-07

B -7.9*10-07(T ext2 ) + 3.9*10-05(T ext ) - 5.71*10-04

C 2.25*10-04(T ext2 ) - 10.81*10-03(T ext ) + 187.84*10-03

D -1.59*10-02(T ext2 ) + 5.03*10-01(T ext ) + 69.69

C

C1

C2

C3

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Capítulo 6 Conclusiones

124

CAPÍTULO 6

CONCLUSIONES En este capítulo se presentan las conclusiones obtenidas a partir de los resultados

analizados y las recomendaciones para aplicarlas a trabajos futuros.

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Capítulo 6 Conclusiones

125

6.1. CONCLUSIONES

Se presentó el estudio numérico de la transferencia de calor conjugada (convección,

conducción y radiación) en una cavidad cuadrada con pared semitransparente con

películas de control solar (vidrio laminado). La cavidad es la representación de una

habitación en una edificación, con paredes horizontales adiabáticas, una pared

vertical conductiva y opaca, y una pared semitransparente con película de control

solar expuesta a radiación solar. Considerando la transferencia de calor por

conducción a través de las paredes, opaca y semitransparente; e intercambiando

calor por convección y radiación con el exterior y con el interior de la cavidad. Se

evaluaron tres configuraciones de vidrio laminado y un vidrio claro para comparar

los resultados.

El modelo físico consistió en una cavidad con dimensiones de 4x4m de longitud, la

irradiación solar que incide sobre la pared de vidrio laminado fue variada de 100 a

700W/m2 con incrementos de 200 W/m2, considerando una Text de 35, 25 y 15°C.

También, se presentaron los modelos matemáticos para los tres mecanismos de

transferencia de calor en las respectivas componentes del sistema; así como las

condiciones de frontera de cada uno de ellos.

Se describió la metodología de solución realizada con la técnica de volumen finito.

Posteriormente, para verificar el código numérico se compararon los resultados

obtenidos con resultados numéricos y experimentales reportados en la literatura, tal

comparación fue adecuada; y por lo tanto, se determino que el código desarrollado

para este trabajo produce resultados satisfactorios.

Al considerar la pared o muro conductor como una pared a temperatura constante

(isoterma) se pudo observar que la omisión de la conducción de calor en ese

componente del sistema, es tal como considerar un sumidero de calor. De acuerdo a

los resultados obtenidos en este trabajo se apreció una diferencia porcentual máxima

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Capítulo 6 Conclusiones

126

de 42.7% entre los dos muros, siendo mayores los valores de temperatura alcanzados

al considerar la conducción a través de la pared o muro conductor. Es por eso que,

tal elemento debe ser tomado en cuenta dentro del análisis de la transferencia de

calor en este tipo de sistemas.

De acuerdo al estudio paramétrico realizado, se apreció que los flujos de calor

radiativos de estos sistemas contribuyen considerablemente a la cantidad de calor

que logra ingresar a la cavidad, y por lo tanto, es importante incluir el aporte

radiativo; es decir, realizar el análisis considerando transferencia de calor conjugada

(conducción, convección y radiación).

Con base en el análisis de los resultados, se observó que la existencia de películas de

control solar en los vidrios no garantiza una reducción en el flujo de calor hacia el

interior de la cavidad; lo cual se ve reflejado en el aumento de la temperatura del

aire al interior. Es decir, se encontró que los vidrios con películas de control solar

reducen la cantidad de energía solar transmitida de forma directa; sin embargo, esto

provoca un aumento en la energía absorbida por el vidrio laminado, y por ende, en la

temperatura del aire contenido en la cavidad, en algunos casos, estos parámetros son

mayores que las de un vidrio claro. De las configuraciones de vidrio laminado

analizadas en este trabajo, la Configuración 3 presenta los valores más altos de

SHGC, incluso por encima de los obtenidos para un vidrio sólo, con una diferencia

porcentual de 6.53%, contrario al que se presenta para las Configuraciones 1 y 2, las

cuales muestran SHGC menores respecto a un vidrio claro, con diferencias

porcentuales máximas de 50.08 y 57.14 % respectivamente. Los resultados

indicaron que la configuración de vidrio laminado que presenta un mejor

comportamiento en cuanto a la reducción de flujo de calor hacia el interior de la

cavidad es la Configuración 2, seguida de la Configuración 1. Ambas

configuraciones presentan flujos menores que los obtenidos con un vidrio claro, lo

que provoca un decremento en la temperatura promedio del aire de hasta 6.58 °C en

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Capítulo 6 Conclusiones

127

condiciones exteriores que se consideran propias de un clima cálido. El caso de la

Configuración 3 presenta un comportamiento opuesto a las configuraciones antes

mencionadas; su comportamiento es similar al de un vidrio sólo y ligeramente

mayor en ciertas condiciones exteriores, por lo tanto, ésta no es recomendable para

la reducir la ganancia de calor en una habitación.

Los resultados obtenidos en este trabajo nos permiten comprender de manera

aproximada lo que podría suceder en una habitación con ventanas de vidrio

laminado expuesta a distintas condiciones de ambiente exterior, observando cómo

repercuten éstas en el comportamiento del aire al interior; lo cual permite concluir

que, en la evaluación de este tipo de configuraciones es importante considerar los

fenómenos que se desarrollan al interior de la habitación.

Finalmente, se obtuvieron los valores de SHGC en función de la irradiación solar

incidente (G) y la temperatura exterior (Text) del sistema, la máxima desviación de la

correlación obtenida respecto a los resultados numéricos es de 1.1 %.

6.2. SUGERENCIAS A TRABAJOS FUTUROS

Con el objetivo de analizar con más detalle el problema planteado se proponen

algunas recomendaciones, a partir de la variación de ciertos parámetros del sistema

establecido, tales como:

o Variar los parámetros ópticos al interior de la habitación, para observar cómo

se comportan las demás variables que involucra el sistema al interior de la

habitación en función de ellos.

o Variar el material y espesor del muro conductor para observar con más

detalle el comportamiento del sistema respecto a ellos, con la finalidad de

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Capítulo 6 Conclusiones

128

proponer la configuración y material que contribuya al ahorro de energía en

la habitación.

Las sugerencias antes mencionadas no fueron abordadas en el presente trabajo

debido a que la realización de ellas demanda mayor tiempo del establecido para la

realización de esta tesis.

También, para continuar con el estudio de este tipo de sistemas y ampliar el

conocimiento acerca de ellos se recomienda agregar algunos estudios al trabajo

desarrollado, tales como:

o Tomar en cuenta la transferencia de calor a través de las paredes horizontales,

ya que éstas pueden estar en interacción con el medio ambiente exterior ó con

habitaciones en condiciones distintas a la habitación bajo estudio.

o Implementar las configuraciones de vidrio laminado en ventanas de vidrio

doble para evaluar su comportamiento y, si es el caso, proponer mejoras en

cuanto a sus propiedades ópticas para lograr mayor ahorro de energía.

o Debido a la contribución importante que representa el intercambio radiativo

en este tipo de sistemas, se propone la implementación de un método que

considere la radiación de onda larga (debido a la temperatura alcanzada por el

vidrio) y corta (debido a la radiación solar), con el fin de obtener mejores

aproximaciones en los resultados.

o Resolver las ecuaciones gobernantes que se presentan en este estudio en

estado transitorio, para observar el efecto evolutivo de la irradiación solar y la

temperatura ambiente exterior.

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Capítulo 6 Conclusiones

129

o Realizar estudios experimentales en cavidades con pared semitransparente

con y sin películas de control solar, con el propósito de validar los resultados

obtenidos en forma numérica.

o Realizar cálculos tridimensionales del sistema para representar los efectos

turbulentos de una manera más real.

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