Eficacia de las Representaciones Visuales en la disminucin de errores frecuentes en matemtica y la mejora de la actitud hacia esta ciencia en alumnos de Primer Ao de enseanza media

Universidad de Concepcin

Campus Los ngeles Escuela de Educacin Departamento de Ciencias Bsicas EFICACIA DE LAS REPRESENTACIONES VISUALES EN LA DISMINUCIN DE ERRORES FRECUENTES EN MATEMTICA Y EN LA MEJORA DE LA ACTITUD HACIA ESTA CIENCIA EN ALUMNOS DE PRIMER AO DE ENSEANZA MEDIA Seminario de Ttulo para optar al grado de Licenciado en Educacin y al Ttulo Profesional de Profesor de Matemtica y Educacin Tecnolgica

Seminaristas: Srta. Daniela Andrea Cabezas Castillo. Srta. Yessennia Carolina Martnez Martnez. Profesor Gua: Mg. en Estadstica, Sixto Martnez Hernndez. Los ngeles, 2015 Universidad de Concepcin

Campus Los ngeles Escuela de Educacin Departamento de Ciencias Bsicas EFICACIA DE LAS REPRESENTACIONES VISUALES EN LA DISMINUCIN DE ERRORES FRECUENTES EN MATEMTICA Y EN LA MEJORA DE LA ACTITUD HACIA ESTA CIENCIA EN ALUMNOS DE PRIMER AO DE ENSEANZA MEDIA Seminario de Ttulo para optar al grado de Licenciado en Educacin y al Ttulo Profesional de Profesor de Matemtica y Educacin Tecnolgica

Seminaristas: Srta. Daniela Andrea Cabezas Castillo. Srta. Yessennia Carolina Martnez Martnez. Profesor Gua: Mg. en Estadstica, Sixto Martnez Hernndez. Comisin Evaluadora: Mg. en Matemtica, Ricardo Alzugaray. Mg. en Ciencias (C), Jorge Cid Anguita. Mg. en Estadstica, Sixto Martnez Hernndez. Los ngeles, 2015Resumen Esta investigacin pretende analizar la eficacia de la tcnica de representaciones visuales en la disminucin de errores frecuentes en Matemtica y en la mejora de la actitud hacia esta ciencia, en alumnos de primer ao medio de un liceo tcnico profesional de la ciudad de Los ngeles, buscando determinar, adems, si hay relacin entre las variables en cuestin, en comparacin con las tcnicas tradicionales de enseanza. Para lo anterior, se trabaj con dos cursos, los cuales estaban conformados por 29 alumnos, bajo la tcnica de representaciones visuales, y 28 alumnos, bajo las tcnicas tradicionales. En ambos grupos se trataron los temas de: operatoria de nmeros enteros, operatoria con fracciones, potencia, lenguaje algebraico y ecuaciones de primer grado con una incgnita. Los instrumentos utilizados para la recoleccin de los datos fueron: dos pruebas de conocimiento matemtico, una inicial y otra final; adems de un test de actitud aplicado en dos instancias, previa y posteriormente a la aplicacin de las tcnicas. Como resultado del anlisis estadstico se logr establecer que los alumnos bajo la utilizacin de la tcnica de representaciones visuales disminuyeron su cantidad promedio de errores en comparacin con los alumnos bajo las tcnicas tradicionales. En cuanto a la actitud hacia la matemtica no se evidenciaron cambios favorables con la tcnica empleada. Tampoco se logr establecer una relacin entre las variables cantidad de errores y actitud hacia la matemtica. Palabras clave: Error Actitud hacia la matemtica Representaciones visuales.Abstract This research analyzes the effectiveness of Visual Representations technique in reducing the frequency of errors in mathematics and, improvement attitude to this science, in first half year students of professional technical school in Los Angeles city. For this, the relationship between variables Errors Frequency in Mathematics and Improved Attitude towards Mathematics is analyzed, comparing the Visual Representations with traditional teaching techniques. Issues of Integers Operations, Fractions Operations, Power, Algebraic Language and Linear Equations with one Unknown were analyzed into two groups, the first of 29 students with the technique of Visual Representations, and a second group of 28 students using traditional techniques. The instruments used for data collection were: two tests of mathematical knowledge, one initial and one final; and a test of attitude was applied in two instances, which were prior to and after the application of the techniques. As a result of statistical analysis it was established that students under the use of the technique of Visual Representations decreased their Errors Frequency in Mathematics compared with students under traditional techniques. As for the attitude towards mathematics, no favorable changes were evident when the technique was applied. Results were also unable to establish a relationship between the variables quantity of errors and attitude towards mathematics. Keywords: Error - Attitude toward mathematics - Visual Representations. Agradecimientos En primer lugar a nuestro profesor gua, Sr. Sixto Martnez por aceptar trabajar con nosotras, por su simpata, disponibilidad y buen humor con el cual nos gui en el desarrollo de esta investigacin. A los profesores Jorge Cid y Ricardo Alzugaray por su disposicin y ayuda para colaborar con nosotras en todo lo que requerimos. A nuestra ta Tina por estar siempre presente para atender nuestras consultas y solucionar nuestros problemas. A nuestras familias por brindarnos su apoyo incondicional en todo este proceso. A nuestros compaeros y amigos por acompaarnos y apoyarnos en los momentos en que pensbamos que no podramos lograrlo.

Dedicatoria A mi mam, a mi pap y a mis hermanas por su apoyo y cario en todo mi proceso universitario y por ser mi inspiracin para continuar siempre adelante. A mis amigos, amigas, compaeros y compaeras que siempre confiaron en que podramos culminar con xito este proceso. A mi profesora de educacin bsica, Carmen Gloria, por inculcarme el amor por ensear y siempre confiar en m. A mi amiga y compaera de tesis y estudio, Yessennia, por todo el tiempo y dedicacin a esta investigacin. Daniela Cabezas Castillo A mi familia por todo su apoyo en mis metas propuestas, en especial a mi mamita y a mis abuelos por quererme, cuidarme incondicionalmente, y ser mi fortaleza en todo momento, a mi bicho que con sus risas, retos y maas me sacaba una sonrisa cada da. A mis amigas por cada uno de los consejos oportunos dados en todo momento, as como tambin a mis amigos, compaeras y compaeros por confiar en que terminara este proceso con xito. A mi amiga y compaera de tesis y estudio durante este tiempo, Dani, por la ayuda y tiempo a esta investigacin. Yessennia Martnez Martnez

ndice Resumen3Abstract4Agradecimientos5Dedicatoria5ndice71 Introduccin121.1 Definicin del tema131.2 Planteamiento del problema151.3 Justificacin172 Marco Terico192.1 Constructivismo192.1.1 Qu se entiende por constructivismo en la enseanza?192.1.2 Principales exponentes del Constructivismo202.2 Didctica desde el enfoque constructivista212.2.1 Didctica de la Matemtica222.3 El Error222.3.1 La importancia del error222.3.2 Definiciones y orgenes del Error242.3.3 Dificultades y obstculos y su relacin con los errores en matemtica272.3.4 Clasificacin de los Errores302.3.5 Evolucin histrica del estudio de los errores362.3.6 Investigaciones sobre errores frecuentes en matemtica realizadas en Chile382.4 Actitud402.4.1 Qu es actitud?402.4.2 Componentes de la actitud412.4.3 Actitud hacia la matemtica422.4.4 Estudios e Investigaciones sobre actitud432.5 Diferencia entre gneros442.6 Metodologa de enseanza452.6.1 Representaciones Visuales462.7 Utilizacin de juegos para aprender y ensear Matemticas543 Propuesta de Investigacin573.1 Preguntas de investigacin573.2 Objeto de Estudio573.3 Objetivo General583.4 Objetivos Especficos583.5 Hiptesis593.6 Diseo metodolgico603.6.1 Propsito603.6.2 Enfoque603.6.3 Dimensin Temporal613.6.4 Unidad de anlisis613.6.5 Variables623.7 Recoleccin de datos633.8 Validacin y descripcin de los instrumentos633.8.1 Pre-test633.8.2 Test de Actitud hacia la Matemtica643.8.3 Post-test653.9 Tratamiento de los datos664 Anlisis e interpretacin de los Datos674.1 Identificacin de los errores ms frecuentes674.2 Identificacin de la actitud784.2.1 Grupo bajo tcnica de representaciones visuales784.2.2 Grupo bajo tcnicas tradicionales814.3 Anlisis de resultados824.3.1 H1) La utilizacin de representaciones visuales permite disminuir la cantidad promedio de errores cometidos834.3.2 H2) Las tcnicas tradicionales permiten que los alumnos disminuya la cantidad promedio de errores cometidos844.3.3 H3) La utilizacin de representaciones visuales permite que los alumnos aumenten su actitud promedio864.3.4 H4) Las tcnicas tradicionales permiten que los alumnos aumenten su actitud promedio874.3.5 H5) La variacin promedio de la cantidad de errores a travs de la utilizacin de representaciones visuales es distinta a la variacin promedio de la cantidad de errores producto de las tcnicas tradicionales884.3.6 H6) La variacin promedio de la actitud a travs de la utilizacin de representaciones visuales es distinta a la variacin promedio de la actitud producto de las tcnicas tradicionales904.3.7 H7) Existe una relacin entre la cantidad de errores y la actitud hacia la Matemtica producto de las tcnicas de representaciones visuales914.3.8 H8) Existe una relacin entre la cantidad de errores y la actitud hacia la Matemtica producto de las tcnicas tradicionales924.3.9 H9) Los varones cometen en promedio menos errores en Matemtica que las damas producto de las tcnicas de representaciones visuales934.3.10 H10) Los varones cometen en promedio menos errores en Matemtica que las damas producto de las tcnicas tradicionales945 Conclusiones y sugerencias965.1 Conclusiones965.2 Reflexiones975.3 Sugerencias986 Referencias Bibliogrficas100Anexos1071 Juegos1081.1 Anexo n1: Juego de nmeros enteros1081.2 Anexo n2: Juego de nmeros racionales1131.3 Anexo n3: Juego de potencias1151.4 Anexo n 4: Juego de lenguaje algebraico1161.5 Anexo n5: Juego de potencias1192 Pre-test1222.1 Anexo n6: Planilla de validacin1222.2 Anexo n 7: Resultados validacin1242.3 Anexo n 8: Instrumento validado1252.4 Anexo n 9: Alfa de Cronbach1282.5 Anexo n 10: Test de Actitud1343 Post-test1383.1 Anexo n 11: Planilla de validacin1383.2 Anexo n 12: Resultados validacin1393.3 Anexo n 13: Instrumento validado1403.4 Anexo n14: Alfa de Cronbach1444 Tabulacin de datos1484.1 Grupo Experimental1484.1.1 Cantidad de errores cometidos1484.1.2 Puntaje en test de actitud1494.1.3 Comparacin por gnero de cantidad de errores1504.1.4 Comparacin por gnero puntaje en test de actitud1514.2 Grupo Control1534.2.1 Cantidad de errores cometidos1534.2.2 Puntaje en test de actitud1544.2.3 Comparacin por gnero de cantidad de errores1554.2.4 Comparacin por gnero puntaje en test de actitud1565 Carta Gantt de actividades1585.1 Grupo Experimental1585.2 Grupo Control159

Eficacia de las Representaciones Visuales en la disminucin de errores 2015 frecuentes en matemtica y la mejora de la actitud hacia esta ciencia en alumnos de Primer Ao de enseanza media Eficacia de las Representaciones Visuales en la disminucin de errores 2015 frecuentes en matemtica y la mejora de la actitud hacia esta ciencia en alumnos de Primer Ao de enseanza media Eficacia de las Representaciones Visuales en la disminucin de errores 2015 frecuentes en matemtica y la mejora de la actitud hacia esta ciencia en alumnos de Primer Ao de enseanza media

Universidad de Concepcin| ndice 160 Universidad de Concepcin| ndice 10 Universidad de Concepcin| ndice 11 1 Introduccin Es claro que, para muchos, las matemticas son difciles, poco entendibles y se genera un rechazo hacia ellas. Tampoco es novedad para la mayora de las personas que se dedican al rea de la educacin, que en esta ciencia surgen muchos errores sin importar el nivel o sector econmico en que se encuentren los alumnos que los cometen, esto lo evidencia la investigacin llevada a cabo por Maltes y Vera (2012). Es por lo expuesto anteriormente, que es inters de esta investigacin probar la eficacia de una nueva tcnica de enseanza que permita erradicar o por lo menos disminuir los errores en esta rea. El estudio de los errores frecuentes no es algo que haya surgido hace poco tiempo, muestra de ello son las investigaciones realizadas a inicio del siglo XX en Alemania, Estados Unidos, Unin Sovitica y tambin en Amrica Latina donde el pas pionero en este tipo de investigaciones fue Argentina. Esto lleva a pensar, que si en tantos pases se han interesado por estudiar este tema, por qu en Chile no se ha hecho a pesar de que existen grandes evidencias que nuestros estudiantes tambin cometen este tipo de errores? Prueba de ello son los bajos resultados de nuestro pas en las mediciones internacionales en esta rea como las pruebas PISA y TIMSS, por qu no se ha implementado alguna medida para corregirlos y finalmente erradicarlos? Por todo lo expuesto anteriormente, es que, con esta investigacin se pretende ver el uso de representaciones visuales como una tcnica efectiva para disminuir en gran parte los errores cometidos por estudiantes de un liceo tcnico profesional de Los ngeles, donde los resultados de las pruebas nacionales muestran puntajes bajos en matemtica, presentando 244 puntos promedio en la prueba SIMCE 2013 (Agencia de Calidad de la Educacin, 2014) y 464,17 puntos promedio en la PSU 2013 (DEMRE, 2013). Para llevar a cabo este estudio fue necesario realizar una indagacin terica para conocer qu es lo que se sabe del tema y todos aquellos aspectos concernientes a l, como las definiciones, investigaciones, variables, entre otros, lo cual se encuentra en el segundo apartado de este informe referente al marco terico; luego se define el objetivo que persigue esta investigacin, lo cual conlleva al planteamiento de las preguntas de investigacin, objetivos especficos y formulacin de hiptesis de trabajo lo que est contenido en el captulo de marco metodolgico; una vez aplicada la tcnica y recopilados los datos, se procedi a analizarlos y comprobar las hiptesis planteadas, para finalmente establecer conclusiones y realizar sugerencias para investigaciones futuras; estando esto contenido en el captulo de anlisis e interpretacin de los datos. 1.1 Definicin del tema Los resultados obtenidos en las diferentes pruebas que miden el nivel matemtico de los estudiantes de Chile, ya sean las nacionales o internacionales, indican que los y las estudiantes tienen graves deficiencias en matemtica lo cual se ve reflejado en la prueba PISA del ao 2012, esta medicin muestra que en esta rea, un 52% de los estudiantes no demuestra tener una base mnima de preparacin para enfrentar los desafos de la vida en la sociedad moderna, esto segn informacin entregada por la Agencia de Calidad de la Educacin del Gobierno de Chile (2012). En cuanto a los resultados de la prueba SIMCE de matemtica, aplicada al establecimiento en el cual se lleva a cabo la investigacin, stos estn bajo la media, siendo de 244 puntos promedio (Agencia de Calidad de la Educacin, 2014), tendencia que se mantiene en los puntajes obtenidos en la PSU por los alumnos de este colegio el ao 2013 donde promedian 464,17 puntos (DEMRE, 2013). Por los antecedentes mostrados anteriormente es de inters para esta investigacin, identificar los errores en matemticas ms frecuentes en alumnos de primer ao medio, nivel en el cual se encuentra el grupo etario que sirve de muestra en la prueba PISA. Adems de identificar los errores ms frecuentes, se pretende reducirlos, utilizando la tcnica de representaciones visuales en distintos contenidos, ya que se piensa que esto puede ayudar a que los errores sean erradicados de forma consiente por los y las estudiantes. Engler, Gregorini, Mller, Vrancken y Hecklein (2004) sostienen que: Los errores son una preocupacin constante para el docente. En el proceso de construccin de los conocimientos matemticos aparecen sistemticamente errores y, por eso, dicho proceso deber incluir criterios de diagnstico, correccin y superacin mediante actividades que promuevan el ejercicio de la crtica sobre las propias producciones. En general, lo que ms preocupa es la persistencia y la masividad de algunos de ellos. Evidentemente estos errores influyen en el aprendizaje de los diferentes contenidos y es imprescindible que ellos los reconozcan y asuman la necesidad de superarlos a fin de obtener logros de aprendizaje. Su anlisis sirve para ayudar al docente a organizar estrategias para un mejor aprendizaje insistiendo en aquellos aspectos que generan ms dificultades, y contribuyen a una mejor preparacin de instancias de correccin. Tambin se quiere analizar la actitud que presentan los y las estudiantes hacia la matemtica, pues se piensa que ste es un factor importante al momento de enfrentarse a los problemas o ejercicios de matemtica. Adicionalmente, se intentar establecer alguna relacin entre la actitud hacia la matemtica y los errores cometidos por los y las alumnas, pensando que esta sea mejor en los alumnos del grupo experimental que en los alumnos del grupo control. Por todos los antecedentes dados, se piensa que esta investigacin ser de gran ayuda para los profesores y futuros profesores, pues se les presenta una tcnica alternativa para abordar los contenidos en los cuales los alumnos cometen ms errores. 1.2 Planteamiento del problema En diversos estudios a nivel internacional Chile no ha logrado alcanzar el puntaje promedio en pruebas tales como PISA (Agencia de Calidad de la Educacin, 2012) y TIMSS (Agencia de Calidad de la Educacin, 2013), tanto en matemticas como en lenguaje y/o ciencias. De acuerdo a los resultados de la prueba PISA 2012, estudio internacional dirigido por la OCDE que permite cada tres aos evaluar las competencias de los estudiantes de 15 aos en las reas de lectura, matemtica y ciencias, Chile obtuvo el primer lugar a nivel Latinoamericano, sin embargo, se ubic bajo el promedio de los pases de la OCDE (Agencia de Calidad de la Educacin, 2012). En cuanto a los resultados de la prueba TIMSS 2011, estudio internacional de tendencias en matemticas y ciencias que desarrolla la Asociacin Internacional para la Evaluacin del Logro Educacional (IEA), cuyo propsito es medir los logros de aprendizaje de los estudiantes al finalizar 4 y 8 bsico, realizndose cada cuatro aos. Chile obtuvo un puntaje bajo el centro de la escala TIMSS (Agencia de Calidad de la Educacin, 2013). Ahora abocndose especficamente al establecimiento en donde se lleva a cabo el estudio, el puntaje promedio obtenido en la prueba SIMCE del ao 2013 fue de 244 puntos, el cual est 12 puntos bajo el obtenido el ao 2012 (Agencia de Calidad de la Educacin, 2014). Puede que estos bajos resultados se deban, en parte, a la actitud que presentan los alumnos frente a la matemtica. Tanto alumnas como alumnos actan de diversa forma hacia la matemtica, ya sea si les agrada o no, les resulta fcil o no, etc. Lo que aseveran McLeod (1992) y Gmez (2000) diciendo que: Si el estudiantado recibe continuos estmulos asociados con el aprendizaje (los problemas que debe resolver, la percepcin de la actuacin del docente, su participacin en el grupo y los mensajes recibidos del contexto) los cuales le producen diversas tensiones e innumerables reacciones positivas o negativas. Las respuestas a estos estmulos estarn mediadas por sus creencias, tanto de s mismos, como sobre la asignatura. Si poseen creencias positivas sobre s mismos y su competencia matemtica, sus reacciones sern de satisfaccin y logro. Por el contrario, si tiene creencias negativas acerca de su competencia matemtica, sus reacciones sern de frustracin y desencanto. (citado en lvarez & Ruz, 2010) Por su parte, Martino (2002) destaca que las perturbaciones emocionales se convierten en serios obstculos para desplegar, de manera normal, la capacidad de aprender, lo que se traduce en conductas reactivas o defensivas, como por ejemplo, ansiedad, desinters, apata, frustracin, angustia y temor (citado en lvarez et al., 2010). Esto conduce a pensar que cuando el alumno o alumna comete un error en la resolucin de un ejercicio o algn problema planteado no slo involucra su capacidad de aprendizaje, sino que tambin otros factores como la motivacin, la actitud, la ansiedad, etc. Cabe mencionar que ya ha sido tema de investigacin, para tesis anteriores, los errores frecuentes en el rea de Matemtica y que ha sido estudiado en liceos municipales, particulares y subvencionados de Los ngeles. As como la actitud que tienen los alumnos frente a distintas reas del conocimiento. La presente investigacin se diferenciar de los anteriores, ya que relacionar la actitud que tienen los alumnos, de primer ao medio frente a la matemtica y los errores que cometen en esta rea; adems de plantear una tcnica alternativa que podra conducir a una disminucin de los errores. 1.3 Justificacin Se realiza la presente investigacin como un aporte a la labor docente, dando a conocer una forma de abordar los contenidos en el rea Matemtica en los cuales los alumnos cometen errores con mayor frecuencia. Estos contenidos son: operatoria de nmeros enteros, racionales y potencia, lenguaje algebraico y ecuaciones. Los resultados de diferentes pruebas, internacionales y nacionales, como PISA, TIMSS, SIMCE y PSU evidencian equivocaciones que cometen los estudiantes en diferentes perodos de su enseanza, puesto que las respuestas posibles de estas evaluaciones son formuladas en base a los errores ms frecuentes que se cometen. En la prueba PISA del ao 2012 en el rea de matemtica, Chile obtuvo 423 puntos lo cual le concede el primer lugar de Latinoamrica, aunque se encuentra a 71 puntos del promedio de los pases que conforman la OCDE (Agencia de Calidad de la Educacin, 2012). Considerando los resultados de la prueba TIMSS aplicada el ao 2011 a 8 ao bsico en el rea de matemtica, Chile obtuvo 416 puntos lo que indica que se ubica bajo el centro de la escala TIMSS, la cual corresponde a 500 puntos (Agencia de Calidad de la Educacin, 2013). En el mbito nacional los resultados de la prueba SIMCE y PSU del establecimiento en el cual se llevar a cabo la investigacin son de 244 (Agencia de Calidad de la Educacin, 2014) y de 464,17 puntos (DEMRE, 2013), respectivamente. Los bajos resultados de los alumnos chilenos en las pruebas mencionadas anteriormente muestran la necesidad de implementar nuevas tcnicas de enseanza acorde a las necesidades que presentan los alumnos actualmente, centrando la atencin en aquellas equivocaciones que se cometen con gran frecuencia, que es la forma en la cual se confeccionan estas pruebas. Eficacia de las Representaciones Visuales en la disminucin de errores 2015 frecuentes en matemtica y la mejora de la actitud hacia esta ciencia en alumnos de Primer Ao de enseanza media Eficacia de las Representaciones Visuales en la disminucin de errores 2015 frecuentes en matemtica y la mejora de la actitud hacia esta ciencia en alumnos de Primer Ao de enseanza media Eficacia de las Representaciones Visuales en la disminucin de errores 2015 frecuentes en matemtica y la mejora de la actitud hacia esta ciencia en alumnos de Primer Ao de enseanza media

Universidad de Concepcin| Introduccin 160 Universidad de Concepcin| Introduccin 18 Universidad de Concepcin| Introduccin 17 2 Marco Terico 2.1 Constructivismo 2.1.1 Qu se entiende por constructivismo en la enseanza? Concordando con Santivez (s/f), el constructivismo es un enfoque cuyo marco epistemolgico est sostenido en varias teoras psicolgicas cuyos principales gestores son Piaget, Ausubel, Bruner y Vigotsky. Santivez (s/f) sostiene que el constructivismo es la complementariedad entre teoras y enfoques explicativos del comportamiento humano diferentes entre s, lo que resume diciendo que es un enfoque que implica estructuracin significativa de las experiencias a conceptualizar y a aprender. Carretero (2004) acerca del constructivismo afirma que el individuo no es un mero producto del ambiente ni un simple resultado de sus disposiciones internas, sino una construccin propia que se va produciendo da a da como resultado de la interaccin entre esos dos factores. El mismo Carretero afirma que el conocimiento desde esta perspectiva es una construccin propia del ser humano, la cual realiza con lo que ya construy en su relacin con el medio que le rodea. De ambos autores se desprende que el individuo no es slo producto de la teora, sino que es necesaria la interaccin con otros factores. Tomando en cuenta lo expuesto por los autores y el anlisis realizado, se entender por constructivismo a la interaccin entre la teora y la prctica que depender de las experiencias previas y de la importancia que le d cada individuo para construir su propio aprendizaje. 2.1.2 Principales exponentes del Constructivismo A continuacin se darn a conocer los principales exponentes de la teora constructivista, segn Gonzlez (2010): a) Jean Piaget Jean Piaget sostiene que El nio construye esquemas y que estos se van haciendo ms complejos a medida que el nio interacta con la realidad. b) Vigotsky Para Vigotsky El nio pasa de las funciones psquicas inferiores a las superiores por medio de la interaccin del sujeto con la cultura, es decir, en la interaccin del nio con la realidad, l construye su conocimiento acerca de la misma. c) Ausubel El nio construye conceptos. Por otro lado, Ausubel (citado en Santivez, s/f) seala que el aprendizaje significativo es aqul en el que la nueva informacin se relaciona con alguna idea de la estructura congnitiva del nio y los conceptos inclusores son aquellos conceptos relevantes de la estructura significativa de ste. d) Bruner De acuerdo con Santivez (s/f), Bruner plantea que el nio aprende por descubrimiento a travs de la interaccin con el medio cultural y social, pasando por las etapas enactiva, icnica y simblica. Para efectos de la investigacin se considerar a Vigotsky, Ausubel y Bruner. La teora sociocultural de Vigotsky se ver reflejada en la interaccin de los alumnos en el desarrollo de cada actividad, ya que segn esta teora el aprendizaje se producira ms fcilmente en situaciones colectivas. La teora del aprendizaje significativo de Ausubel, se observar en el instante en que el alumno sea capaz de modificar aquella estructura cognitiva que lo lleva a cometer un error por aquella en que evita que ste sea cometido. La teora de la categorizacin de Bruner se ver en la implementacin de la tcnica, ya que se utilizarn medios concretos y grficos en el proceso de enseanza, basndose en las etapas enactiva e icnica que plantea esta teora. 2.2 Didctica desde el enfoque constructivista Actualmente, basndose en Santivaez (s/f) se podra decir que la didctica desde el enfoque constructivista centra la importancia del proceso enseanza-aprendizaje en el educando. Sin embargo, de acuerdo a la experiencia de las autoras, se podra decir que a Chile le queda bastante camino que recorrer en el campo de la didctica, ya que la educacin est ms centrada en la enseanza que en el aprendizaje, siendo el foco de atencin el profesor. Santivaez (s/f) define la didctica segn el enfoque cognitivo como el proceso de construir los contenidos y procedimientos a aprender de una manera significativa. Otro concepto de didctica es el siguiente: La didctica es el estudio del conjunto de recursos tcnicos que tienen por finalidad dirigir el aprendizaje del alumno, con el objeto de llevarle a alcanzar un estado de madurez que le permita encarar la realidad, de manera consciente, eficiente y responsable, para actuar en ella como ciudadano participante y responsable. (Nrici, citado en Girn & Torres, 2009) Por una parte Santivaez ve a la didctica como un proceso, relacionndola con la enseanza y el aprendizaje; por otra parte Nrici ve a la didctica como un estudio, concepto que est ms relacionado con la investigacin cientfica. Como el presente estudio est orientado a la educacin, se considerar la definicin dada por Santivaez. 2.2.1 Didctica de la Matemtica El estudio de la didctica se puede dividir en diversas reas, una de las cuales es la didctica de la Matemtica, la cual ha sido desarrollada en varios pases, pero ha tenido una mayor profundidad en Francia, siendo uno de sus mayores exponentes Brousseau. La didctica de la matemtica estudia los procesos de transmisin y adquisicin de diferentes contenidos de esta ciencia, particularmente en situacin escolar y universitaria. Se propone describir y explicar los fenmenos relativos a las relaciones entre su enseanza y aprendizaje. No se reduce a buscar una buena manera de ensear una nocin fija aun cuando espera, a trmino, ser capaz de ofrecer resultados que permitan mejorar el funcionamiento de la enseanza. (Enciclopedia Universalis, citado en Parra & Saiz, 2010) Tomando en cuenta la definicin de didctica de la Matemtica se puede decir que sta analiza cmo se ensea y cmo se aprende en esta ciencia, donde se producen diversos fenmenos, por ejemplo errores u obstculos, buscando descubrir y explicar el dnde y el por qu se producen. Lo anterior justifica tratar este tema para el estudio referente a errores frecuentes en matemtica. 2.3 El Error 2.3.1 La importancia del error Una de las consideraciones particulares que trabaja la didctica de la matemtica es el estudio de errores en esta rea. Segn Castellanos y Obando (s/f), es importante hacer la diferencia entre conocer sobre errores y los errores propiamente tal, pues provee al profesor de datos e informacin necesaria e imprescindible para una enseanza y aprendizaje de calidad, constituyendo al error como un organizador y componente de la propuesta didctica. Castellanos y Obando (s/f), manifiestan que son los errores y dificultades producto de la generalizacin los que luego se convierten en conocimientos, referentes e informacin para ser asumidos como componentes fundamentales y articular el diseo, desarrollo y evaluacin de cada unidad didctica (Rico, 1999, citado en Castellanos & Obando, s/f). De la Torre (2004) plantea que el error no posee un valor educativo por s mismo, como tampoco lo tienen la competicin o la disciplina planteadas como metas. Utilizadas como estrategia, sin embargo, resultan positivas, siempre que no se cometan excesos. El mismo De la Torre asume el error como una condicin que acompaa a todo proceso de mejora, como un elemento constructivo e innovador. Para continuar, Cuadrado, Lucchini y Tapia (2006) citando a De la Torre (2004) sostienen que: El error puede ser utilizado como una estrategia innovadora para aproximar la teora y la prctica, para pasar de un enfoque de resultados a uno de procesos, de una pedagoga del xito a una didctica del error, de enseanza de contenidos a aprendizajes de procesos. En suma, que una adecuada conceptualizacin y utilizacin del error en la enseanza puede convertirse en una estrategia al servicio de la innovacin educativa. Abrate, Pochulu y Vargas (2006) han sealado que es importante que los profesores de Matemtica identifiquen los errores tpicos que cometen los estudiantes, tratando, al mismo tiempo, de llevar acciones de correccin bajo un modelo constructivista de enseanza, para lo cual es necesario encontrar herramientas metodolgicas que permitan identificar los errores, los cuales no slo ocurren en el diagnstico inicial, sino que durante todo el proceso de enseanza y aprendizaje. Estos mismos autores concuerdan en que el anlisis de las dificultades del aprendizaje de la Matemtica en trminos de la prevencin y correccin, supone combinar estrategias generales y especficas a largo plazo con estrategias particulares e inmediatas. Borasi (1994) de acuerdo con la postura constructivista y en un enfoque de diagnstico y remedio, plantea que los errores son una fuente de informacin para el profesor acerca de lo que han aprendido los estudiantes y cmo lo han aprendido (citado en Gmez, 1994). Abrate et al. (2006) plantean que Borasi le da al error un papel constructivo derivado de la teora piagetiana, en tanto enfatiza la exploracin y el descubrimiento como objetivos de las investigaciones y lo est considerando como un instrumento didctico. En base a los puntos de vista anteriores el estudio del error es importante, pues entrega informacin relevante para los docentes permitindoles establecer diversas estrategias para identificarlos y abordarlos, a objeto de darle un rol constructivo en el proceso de enseanza-aprendizaje. 2.3.2 Definiciones y orgenes del Error De la revisin bibliogrfica se obtuvieron distintas definiciones del error que se darn a continuacin. Gmez (1994) citando a Radatz (1980) manifiesta que un error no es slo la ausencia de respuesta correcta, ni el resultado de un accidente; sino que es ms bien un producto de la experiencia previa, una parte del proceso de aprendizaje que se manifiesta de forma persistente y reproducible. Brousseau, Davis y Werner en 1986 indican que los errores son el sntoma indicativo de alguna patologa subyacente, un mtodo falso que el estudiante cree correcto, el efecto de un conocimiento anterior, que tena su inters, su xito, pero que ahora, se revela falso, o simplemente inadaptado (citado en Gmez, 1994), estos mismos autores tambin piensan que los errores son el resultado de un procedimiento sistemtico imperfecto que el alumno utiliza de modo consistente y con confianza (citado en Del Puerto, Minnard & Seminara, 2006). Segn Socas (1997), el error debe ser considerado como la presencia en el alumno de un esquema cognitivo inadecuado y no slo la consecuencia de una falta especfica de conocimiento o una distraccin (citado en Del Puerto et al., 2006). Henostroza (1997), desde el punto de vista de la filosofa, expone que el error es atribuible a la condicin de la mente humana, ya que sta puede considerar como verdaderos, conceptos y o procedimientos deficientemente desarrollados, que incluyen ideas contradictorias o interpretaciones y justificaciones falsas (citado en Cuadrado et al., 2006). Pochulu (2005) citando a Godino, Batanero y Font (2003) dice: Hablamos de error cuando el alumno realiza una prctica (accin, argumentacin, etc.) que no es vlida desde el punto de vista de la institucin matemtica escolar. Aguilera (2010) citando al didacta francs Brousseau (2009) dice que un error es una declaracin en primer lugar contradictoria con un determinado contexto aceptado de antemano. Del Puerto et al. (2006) citando a Matz, menciona que los errores en que los estudiantes incurren sistemticamente son producto de un fracasado intento por adaptar los conocimientos, adquiridos con anterioridad, a una nueva situacin. Pochulu (2005) manifiesta que si bien el error puede y tiene diferentes procedencias, generalmente es considerado como la presencia de un esquema cognitivo inadecuado en el alumno y no slo como consecuencia de una falta especfica de conocimientos, adems agrega que los errores no aparecen por azar sino que surgen en un marco conceptual consistente, basado sobre conocimientos previos, y que en todo proceso de instruccin se pueden producir errores, debido a diferentes causas, algunas de las cuales son inevitables. Tambin de acuerdo con Pochulu es importante tener en cuenta las oportunidades que tienen los alumnos para aprender Matemtica, las cuales dependen, entre otras cosas, del entorno y del tipo de tareas y discurso en que participan, dependiendo lo que aprenden de cmo se implican en las actividades matemticas, lo que marca, a su vez, las actitudes que tienen hacia esta ciencia. En relacin a los errores, Centeno (1988, citado en Gmez, 1994) sostiene que: Los errores que no se deben a distracciones, sino que se reproducen sistemticamente en situaciones similares son muy interesantes porque nos revelan la existencia de modelos implcitos errneos. Estos errores no aparecen aislados, sino que estn relacionados con una cierta manera de conocer que permite detectar las resistencias a la evolucin de un concepto, esto es, los obstculos epistemolgicos. Es de desear que los modelos implcitos errneos se hagan explcitos produciendo errores que, en el decir de Anna Krygowska, podemos calificar de errores benditos, porque nos ponen sobre la pista de malentendidos que se instalan y se consolidan si no se muestran explcitamente. Maltes y Vera (2012) citando a Lakatos dicen que los errores son el producto de una concepcin limitada y que un conocimiento puede ser correcto o no de acuerdo con la teora imperante, por lo que no tendra sentido juzgar el grado de correccin de un conocimiento en un marco referencial diferente. La mayora de los autores mencionados anteriormente concuerdan que en el error influyen los conocimientos previos utilizados en situaciones diferentes y tambin la creencia del alumno en un conocimiento que piensa correcto y que utiliza con confianza, pero que en realidad no lo es. Tomando en cuenta las definiciones de error de los diferentes autores, en la investigacin se considerar error como la utilizacin incorrecta de conocimientos adquiridos anteriormente, o aplicados en contextos diferentes a los cuales fueron enseados. Adems, el error no solo es atribuible a la falta de conocimiento del alumno, sino que hay diversos factores que influyen en ste, tales como el entorno, los conocimientos previos, entre otros. 2.3.3 Dificultades y obstculos y su relacin con los errores en matemtica. 2.3.3.1 Dificultades y errores De acuerdo con Maltes y Vera (2012) las dificultades y los errores en matemtica no son una problemtica que slo afecte a los menos capaces sino que algunos alumnos, casi siempre y algunas veces casi todos, presentan dificultades y cometen errores en el aprendizaje de esta ciencia. Aguilera (2010) citando a Centeno (1988) define una dificultad como algo que impide ejecutar bien o entender pronto una cosa, basndose en lo expuesto por Centeno las causas de las dificultades pueden ser muchas, entre ellas pueden estar las relacionadas con el concepto que se aprende, el mtodo que utiliza el profesor, los conocimientos previos del alumno y la disposicin que tiene el estudiante para aprender. Segn Castellanos y Obando (s/f) los orgenes que se otorgan a las dificultades del aprendizaje de las Matemticas: Se ubican generalmente en una dinmica que incluye al estudiante, al contenido, al profesor y a la institucin escolar, otorgando estatus al microsistema educativo con relevancia en la prctica pedaggica donde se concretan en estructuras complicadas en forma de obstculos que son identificadas en los estudiantes como errores con la presencia de esquemas cognitivos inadecuados, que no solo son la ausencia de un conocimiento sino el resultado de redes complejas. Castellanos y Obando (s/f), ahora refirindose a la categorizacin de dificultades de acuerdo a su procedencia, hecha por Socas en (1997) las clasifican en cinco grupos: En primera instancia presenta la complejidad de los objetos de las Matemticas y procesos de pensamiento matemtico como propias de la disciplina; De otra manera atribuye orgenes de las dificultades a los procesos de enseanza desarrollados para el aprendizaje de las Matemticas; Otra procedencia que le otorga a las dificultades est relacionada con los procesos de desarrollo cognitivo de los alumnos, Y por ltimo asocia las dificultades a las actitudes afectivas y emocionales hacia las Matemticas. Abrate et al. (2006), sostienen que es importante tener en cuenta que en los procesos de enseanza y aprendizaje de la Matemtica se encuentra una gran variedad de dificultades que son potencialmente generadoras de errores, para lo cual se basan en lo hecho por Di Blasi Regner y Otros (2003) que sin llegar a una categorizacin exhaustiva, las agrupan en los siguientes tpicos: Dificultades asociadas a la complejidad de los objetos matemticos. Dificultades asociadas a los procesos de pensamiento matemtico. Dificultades asociadas a los procesos de enseanza. Dificultades asociadas al desarrollo cognitivo de los alumnos. Dificultades asociadas a las actitudes afectivas y emocionales. Como se puede apreciar en las dos categorizaciones hechas, tanto la de Socas (1997) y la de Di Blasi Regner et al. (2003), acerca de la procedencia de los errores, uno de los puntos de encuentro, es que stos pueden tener su origen en elementos afectivos y emocionales, por lo cual se confirma una de las ideas de esta investigacin, la cual hace hincapi en analizar la actitud de los y las estudiantes hacia el rea de las matemticas, este tema se abordar extensamente ms adelante. 2.3.3.2 Obstculos y Errores De acuerdo a lo planteado por Del Puerto et al. (2006), Bachelard (1988) fue quien introdujo el concepto de obstculo epistemolgico para explicar la aparicin de los errores en la conformacin del conocimiento, al respecto seala que: Los entorpecimientos y confusiones, que causan estancamientos y retrocesos en el proceso del conocimiento, provienen de una tendencia a la inercia, a la que da el nombre de obstculo: se conoce en contra de un conocimiento anterior (insuficiente o adquirido deficientemente) que ofrece resistencia, la mayora de las veces porque se ha fijado en razn de haber resultado eficaz hasta el momento; cuando se lo pretende utilizar en un contexto o una situacin inadecuados, se produce el error. Del Puerto et al. (2006) tambin seala que Brousseau llev el concepto de obstculo hecha por Bachelard al mbito especfico del aprendizaje de la matemtica, en donde distingui tres tipos de obstculos: Obstculos de origen psicogentico, los que estn vinculados con el desarrollo del aprendiz, Obstculos de origen didctico, aquellos vinculados con la metodologa que caracteriz al aprendizaje, y Obstculos de origen epistemolgico, los cuales estn relacionados con la dificultad intrnseca del concepto que se aprende y que pueden ser rastreados a lo largo de la historia de la matemtica, en la gnesis misma de los conceptos. Con relacin a lo realizado por Castellanos y Obando (s/f) el obstculo ha sido y es objeto de debate, ya que plantea dificultades, como ya lo predeca Brousseau (1983), el cual manifest que la propia nocin de obstculo est constituyndose y diversificndose: no es fcil decir generalidades pertinentes sobre este tema, es mucho mejor estudiar caso por caso. Castellanos y Obando (s/f) tambin plantean otra orientacin acerca de los obstculos otorgada desde la teora piagetiana: En la que se interpreta la nocin de obstculo cognitivo y es de tipo constructivista. Los obstculos epistemolgicos deben su existencia a la aparicin y resistencia de ciertos conceptos matemticos a lo largo de la historia, as como la observacin de conceptos anlogos en los alumnos. Adems es necesario expresar que existe desde el referente planteado la organizacin posible y til en trminos de obstculos: epistemolgicos, didcticos y cognitivos; los cognitivos fuera de los didcticos, pero estos ltimos si contienen los epistemolgicos. Tanto Bachelard como Castellanos y Obando manifiestan que los obstculos son resistentes, por lo cual es necesaria su identificacin, para luego alcanzar los nuevos conocimientos a partir de su superacin. 2.3.4 Clasificacin de los Errores Son muchos los autores que han realizado clasificaciones de los errores, para los efectos de esta investigacin se han seleccionado aquellas que son de mayor importancia para la misma. 2.3.4.1 Clasificacin Segn Radatz (1979) Esta fue la clasificacin utilizada por Del Puerto et al. (2006) para su investigacin acerca de errores, esta fue obtenida de la cita hecha por Rico (1995). Esta clasificacin distingue cinco categoras: Errores debidos a dificultades en el lenguaje: se presentan en la utilizacin de conceptos, smbolos y vocabulario matemtico, y al efectuar el pasaje del lenguaje corriente al lenguaje matemtico. Errores debidos a dificultades para obtener informacin espacial: aparecen en la representacin espacial de una situacin matemtica o de un problema geomtrico. Errores debidos a un aprendizaje deficiente de hechos, destrezas y conceptos previos: son los cometidos por deficiencias en el manejo de algoritmos, hechos bsicos, procedimientos, smbolos y conceptos matemticos. Errores debidos a asociaciones incorrectas o a rigidez del pensamiento: son causados por la falta de flexibilidad en el pensamiento para adaptarse a situaciones nuevas; comprenden los errores por perseveracin, los errores de asociacin, los errores de interferencia, los errores de asimilacin. Errores debidos a la aplicacin de reglas o estrategias irrelevantes: son producidos por aplicacin de reglas o estrategias similares en contenidos diferentes. 2.3.4.2 Clasificacin segn Mosvshovitz-Hadar, Zaslavsky e Inbar (1987) De acuerdo a lo planteado por Aguilera (2010) estos autores hacen una clasificacin emprica de los errores, sobre la base de un anlisis constructivo de las soluciones de los alumnos realizadas por expertos. De acuerdo con la metodologa propuesta determinan seis categoras descriptivas para clasificar los errores encontrados. Estas categoras son: Datos mal utilizados: Errores que se producen por alguna discrepancia entre los datos y el tratamiento que le da el alumno. Interpretacin incorrecta del lenguaje: Son errores debidos a una traduccin incorrecta de hechos matemticos descritos en un lenguaje simblico a otro lenguaje simblico distinto. Inferencias no vlidas lgicamente: Son los errores que tienen que ver con fallas en el razonamiento y no se deben al contenido especfico. Teoremas o definiciones deformados: Errores que se producen por deformacin de un principio, regla, teorema o definicin identificable. Falta de verificacin en la solucin: Son los errores que se presentan cuando cada paso en la realizacin de la tarea es correcto, pero el resultado final no es la solucin de la pregunta planteada. Errores tcnicos: Se incluyen en esta categora los errores de clculo, al tomar datos de una tabla, en la manipulacin de smbolos algebraicos y otros derivados de la ejecucin de algoritmos. 2.3.4.3 Clasificacin segn Brousseau (2001) Otra de las clasificaciones citadas por Aguilera (2010) es la del didacta francs Brousseau quien establece la siguiente tipologa de errores: Error a nivel prctico: Cuando se consideran errores de clculo. Error en la tarea: Errores atribuidos a descuidos, como por ejemplo omisin de signos, omisin de trminos al agrupar trminos semejantes, entre otros. Error de tcnica: El profesor critica la ejecucin de un modo operativo conocido, aun cuando dicho modo es correcto. Error de tecnologa: El profesor critica la tcnica utilizada por el estudiante. Error a nivel terico: El profesor incrimina los conocimientos tericos del alumno que sirven de base a la tecnologa y a las tcnicas asociadas. 2.3.4.4 Clasificacin segn Godino, Batanero y Font (2003) Aguilera (2010) utiliz la clasificacin hecha por estos autores, los cuales propusieron la siguiente clasificacin. Errores relacionados con los contenidos matemticos: La generalizacin y la abstraccin de las matemticas es una posible causa de las dificultades de aprendizaje, muchas veces el alumno no comete el error por falta de conocimiento, sino porque usa un conocimiento que es vlido slo en ciertas circunstancias. Errores causados por la secuencia de actividades: Godino (2003) plantea que la forma en la que el profesor organiza y presenta las actividades en el aula puede no ser potencialmente significativa. Errores relacionados con el desarrollo psicolgico de los alumnos: Una fuente de dificultades en el aprendizaje de los alumnos de primaria hay que buscarla en el hecho de que algunos alumnos no han superado la etapa preoperatoria y realizan operaciones concretas, o bien aquellos que an estn en la etapa de las operaciones concretas realicen operaciones formales. Errores relacionados con la falta de dominio de los contenidos anteriores: Puede ocurrir que el alumno a pesar de tener un nivel evolutivo adecuado, no tenga los conocimientos previos necesarios para poder aprender al nuevo contenido. 2.3.4.5 Clasificacin de Socas (1997) Una de las clasificaciones utilizadas por Aguilera (2010) fue la hecha por Socas (1997), quien distingue dos grandes grupos de errores en matemticas: Errores que tienen su origen en un obstculo: ejemplos de ellos se plantean en la concepcin de suma en aritmtica versus la concepcin de la suma en lgebra, frente a esto Collis (1974, citado en Aguilera, 2010) manifiesta que esto se debe a la naturaleza abstracta de los elementos utilizados en lgebra , la cual lleva a los estudiantes a considerarlas como enunciados que son algunas veces incompletos; en la suma aritmtica tiene sentido para los estudiantes, pero se transforma para ellos en una expresin incompleta, sin sentido. Errores que se originan por ausencia de sentido: de aqu se desprenden tres subcategoras: Errores del algebra que se originan en la aritmtica: dada la naturaleza del lgebra como una generalizacin de las reglas de la aritmtica, una mala asimilacin de estos procesos de la aritmtica lleva a la aparicin de numerosas dificultades en lgebra, originadas por la no correccin en la aritmtica, como en las operaciones con fracciones, potencias, parntesis, entre otras. Ejemplo de ellos son los siguientes:

Errores de procedimientos: son originados por el uso inadecuado, mediante generalizacin, de alguna frmula o procedimiento que el alumno ha extrado de alguna fuente de informacin y la usa tal cual la conoce en diferentes situaciones, dentro de esto caben generalizaciones falsas de la linealidad de ciertos operadores. Ejemplo de estos errores son los siguientes:

Errores de lgebra debidos a las caractersticas propias del lenguaje algebraico: un ejemplo son los que se dan con el significado del signo =, en aritmtica este signo indica igualdad absoluta entre dos cantidades o ms, pero en algebra este signo deja de indicar igualdad absoluta y pasa a significar una igualdad condicional. Para efectos de la investigacin se utilizar una combinacin de la clasificacin dada por Brousseau y Radatz, ya que estas son las que ms se ajustan a los errores que se pretenden encontrar, y adems, se piensa que dentro de esta categorizacin hay cabida para todos los errores que se creen presentar. La clasificacin es la siguiente. Error a nivel prctico: Cuando se consideran errores de clculo. (Brousseau) Error en la tarea: Errores atribuidos a descuidos, como por ejemplo omisin de signos, omisin de trminos al agrupar trminos semejantes, entre otros. (Brousseau) Errores debidos a dificultades en el lenguaje: se presentan en la utilizacin de conceptos, smbolos y vocabulario matemtico, y al efectuar el pasaje del lenguaje corriente al lenguaje matemtico. (Radatz) Errores debidos a la aplicacin de reglas o estrategias irrelevantes: son producidos por aplicacin de reglas o estrategias similares en contenidos diferentes. (Radatz) 2.3.5 Evolucin histrica del estudio de los errores De acuerdo a lo presentado por Pochulu (2005), el estudio de los errores en el aprendizaje de la Matemtica ha sido de permanente inters para diferentes investigadores. En las diferentes pocas el anlisis y categorizacin de los errores se ha visto condicionado por las corrientes predominantes en Pedagoga y Psicologa, como as tambin, condicionado por los objetivos y formas de organizacin del currculo en Matemtica. En las primeras dcadas del siglo XX, los trabajos de investigacin se circunscribieron al anlisis de errores cometidos en Aritmtica por alumnos de los primeros aos escolares. Una excepcin, segn Cury (1994, citado en Pochulu, 2005), fue la investigacin llevada a cabo por Smith en Estados Unidos en tanto trabaj con alumnos de la high school, sobre errores en demostraciones de Geometra. De acuerdo a Engler et al. (2004) en Estados Unidos, desde 1917 y a travs de Thorndike comienza la difusin y el conocimiento de trabajos sobre la determinacin de errores. Siendo algunos de los principales precursores Buswell, Judd y Brueckner hasta la dcada del 30 donde se prioriz el anlisis de las dificultades especiales, la persistencia de tcnicas errneas individuales y la agrupacin y clasificacin de errores. A partir de los aos setenta surgieron nuevas corrientes que intentaron disear actividades, metodologas y organizacin del currculo escolar con el objeto de disminuir los errores. Muchos autores sostienen y presentan estudios que avalan la afirmacin que los errores no tienen un carcter accidental. Pochulu (2005) comenta que en Alemania, por esa misma poca y sin que mediaran intercambios entre investigadores americanos y europeos, tambin aparecieron los primeros trabajos sobre errores, los que posiblemente se vieron influenciados por la importancia que tuvo la Pedagoga Emprica, la cual empleaba tcnicas de introspeccin propias de la Psicologa Experimental. Castellanos y Obando (s/f) dicen que con los trabajos de Weiner, Seseman Kiesling y Rose, y dada la importancia de la pedagoga emprica, la presencia de las escuelas influenciadas por la psicologa y en especial la psicoanaltica buscan patrones para establecer diferentes errores y proporcionar fundamentacin para la enseanza de las matemticas. En la Unin Sovitica de acuerdo con Garca (2010) el anlisis de los errores y las dificultades individuales del aprendizaje se fortalece a principios de los aos sesenta cuando se consolid la investigacin sobre educacin matemtica siendo Kuzmitskaya y Menchinskaya quienes lograron determinar y describir causas de los errores. Por su parte, en Amrica Latina las investigaciones al respecto han sido orientadas segn las corrientes pedaggicas y psicolgicas predominantes y dadas las condiciones de los rediseos curriculares de los diferentes sistemas educativos (Castellanos & Obando, s/f). Radatz (1980, citado en Castellanos & Obando, s/f), manifiesta pluralidad al respecto de las expresiones tericas para atribuir la causa de los errores en el proceso de aprendizaje de la matemtica: De igual manera al surgimiento de nuevos errores se los atribuye a las sucesivas reformas del currculo de matemtica, a los contenidos especficos, a la individualizacin y a la diferenciacin de la instruccin matemtica que requiere gran destreza en el hallazgo de las dificultades para el aprendizaje de la disciplina, puesto que se requieren de modelos para tomar referencia en el momento de diagnosticar y corregir aprendizajes errneos. El estudio de los errores no es algo nuevo, sino que hace tiempo est en desarrollo. Existen datos de que comenz a principios del siglo XX, respaldndose esto en lo dicho por Pochulu y Engler. La diferencia de estos estudios est en el enfoque que se les dio y el tema en estudio. 2.3.6 Investigaciones sobre errores frecuentes en matemtica realizadas en Chile En Chile las investigaciones dedicadas a los errores en Matemtica no son muchos y los pocos que existen se han enfocado en identificar los errores cometidos por los estudiantes, por cuanto nuestra investigacin sobre el tratamiento de errores es algo nuevo que no ha sido indagado o por lo menos no hay indicio de ello. Dentro de las investigaciones sobre identificacin de errores podemos mencionar las siguientes: Alarcn (2000, citado en Aguilera, 2010), con su Proyecto de Tesis para optar al grado de Magister en Enseanza de la Ciencia Mencin Matemtica en la Universidad de Concepcin, titulado un estudio acerca de los errores cometidos con mayor frecuencia en el tema de razn y proporcin. Esta investigacin propona una nueva manera de analizar la forma en que los estudiantes de primer ao de un Instituto de Enseanza Superior han asimilado los conceptos de razn, proporcin y porcentaje. Reyes (2005, citado en Aguilera, 2010) con su proyecto de Tesis de Pregrado en Licenciatura en Educacin Matemtica y Computacin de la Universidad de Santiago, en el cual investig respecto de la Determinacin de errores frecuentes en el estudio de la matemtica en la Enseanza Media. Esta investigacin apuntaba a detectar los errores ms frecuentes en estudiantes de segundo ao medio provenientes de dos establecimientos particulares subvencionados, y en forma paralela detectar si los errores manifestados en segundo ao tambin se encuentran en cuarto ao medio de los mismos colegios. Aguilera (2010), con su proyecto de Tesis de Pregrado en Licenciatura en Educacin y Ttulo de Profesor de Matemtica y Educacin Tecnolgica de la Universidad de Concepcin Campus Los ngeles, titulado Exploracin de errores frecuentes de estudiantes secundarios de Liceos municipales de Los ngeles en Matemtica , cuyo objetivo fue explorar la ocurrencia de errores en el desarrollo de los ejercicios en los ejes temticos de Nmeros y proporcionalidad, y Algebra y funciones, por parte de los alumnos de tercer ao medio de 3 liceos municipales de la ciudad de Los ngeles, comparando los errores ms cometidos en los 3 liceos observados. Maltes y Vera (2012), con su seminario de Titulo para obtener el grado acadmico de Licenciado en Educacin y el Ttulo Profesional de profesor de Matemtica y educacin Tecnolgica de la Universidad de Concepcin Campus Los ngeles , titulado Exploracin de errores frecuentes en el rea de matemtica en estudiantes de liceos particulares pagados y particulares subvencionados de Los ngeles y su trascendencia en la educacin superior, cuyo objetivo fue muy parecido al propuesto por Gabriel Aguilera pero enfocado en establecimientos de administracin particular y particular subvencionada, pero adems se propusieron ver si estos errores transcendan en la educacin superior para lo cual realizaron pruebas a alumnos de primer ao de universidad a los estudiantes de las carreras de Educacin Bsica y Pedagoga en Matemtica y Educacin Tecnolgica de la Universidad de Concepcin Campus Los ngeles. Estos estudios tienen en comn que son investigaciones sobre los errores que cometen los alumnos en distintos contenidos de la Matemtica. Debido a esto y a que no se encontr una metodologa para abordar los errores es que la presente investigacin, adems de identificar los errores plantea una serie de tcnicas que sern detalladas posteriormente. 2.4 Actitud De acuerdo a Prieto (2011) las personas tenemos la facultad de ir aprendiendo a lo largo de nuestra vida, es as como tambin nuestras actitudes son aprendidas a travs de nuestras experiencias y vivencias, de forma consciente o inconsciente. Hablaremos sobre actitud ya que creemos es uno de los factores que interviene fuertemente en el correcto rendimiento de los alumnos, pues stos pasan por distintos conflictos en su edad escolar. 2.4.1 Qu es actitud? Para entender a cabalidad lo que significa actitud es que presentamos una serie de definiciones de diversos autores y diferentes aos, para as confeccionar la definicin que se considerar para efectos del presente trabajo. La Real Academia Espaola (2001) postula que actitud viene del latn actitudo, que significa postura del cuerpo humano, especialmente cuando es determinada por los movimientos del nimo, o expresa algo con eficacia, postura de un animal cuando por algn motivo llama la atencin o disposicin de nimo manifestada de algn modo. Allport (1935) define actitud como estado mental y neural de disposicin para responder, organizado por la experiencia, directiva y dinmica, sobre la conducta respecto a todos los objetos y situaciones con los que se relaciona (citado en Escalante, Repetto & Mattinello, 2012). Por su parte Hart (1989) define actitud como una predisposicin evaluativa (es decir, positiva o negativa) que determina las intenciones personales e influye en el comportamiento (citado en Gmez, 2000). Estas definiciones concuerdan en que la actitud es la disposicin que manifiesta cada individuo en su comportamiento con respecto a un objeto que provoque su actuar. Considerando esto se ha decidido poner marcha el estudio sobre actitud en alumnos y alumnas, ya que estos pasan por diferentes etapas en su vida que pueden ocasionarles problemas en su conducta tanto escolar como familiar y social, o bien serle de ayuda en ocasiones. Para efectos del presente trabajo se considerar actitud como la voluntad que tiene un individuo a realizar una accin, ya sea positiva o negativa, con respecto a un objeto que provoque su actuar. 2.4.2 Componentes de la actitud Diversos autores han expuesto su modelo o dimensiones de la actitud, cuyo conocimiento se cree necesario para entender posteriormente el actuar de las alumnas y los alumnos. Rosenberg y Rovland (1960) formularon un modelo: ante un objeto actitudinal la persona puede presentar tres tipos de respuestas diferentes: 1 Respuestas Cognitivas: Creencias y pensamientos acerca del objeto. 2 Respuestas Evaluativas: Sentimientos asociados al objeto (repulsin, atraccin, placer, etc.). 3 Respuestas Conductuales: Comportamiento que incluye intenciones de actuar de una forma determinada ante un objeto (citado en Pacheco, 2002). Por su parte Martnez (2008) apoyado en Gallego Badillo (2000) diferencia cuatro componentes o dimensiones que caracterizan a las actitudes: a) Cognitivo, se refiere a conocer o saber, es decir, es la informacin y experiencias adquiridas que el sujeto posee sobre el objeto que genera su actitud. b) Afectivo, se refiere a emocin o sentir, es decir, son las emociones y sentimientos de aceptacin o de rechazo ante la presencia del objeto de dicha actitud. c) Conativo o Intencional, se refiere a la intencin, es decir, expresa la intencin voluntaria de un sujeto de realizar una accin. d) Conductual o comportamental, se refiere al comportamiento, es decir, es la conducta observable. Para medir la actitud de alumnas y alumnos en esta investigacin se aplicar un test de actitud elaborado por Jairo Cuervo, en el cual predomina la componente afectiva, ya que la mayora las sentencias hacen referencia a los sentimientos de los alumnos hacia esta ciencia. 2.4.3 Actitud hacia la matemtica Para efectos del presente trabajo y para que el lector comprenda a cabalidad lo que es actitud hacia la matemtica se hace necesario diferenciar entre actitud hacia la matemtica y actitud matemtica, ya que en ocasiones se suelen confundir. Gmez (2000) apoyada en la NCTM, National Council of Theachers of Mathematics, (1989) y Callejo (1994) da una clara diferencia entre ellos: Se entiende por actitud hacia la Matemtica, como la valoracin, aprecio e inters por esta disciplina as como por su aprendizaje, donde predomina ms la componente afectiva que la cognitiva. Por otro lado, actitudes matemticas se refieren al modo de utilizar sus capacidades matemticas, por lo que en esta predomina la componente cognitiva. 2.4.4 Estudios e Investigaciones sobre actitud As como a las autoras se les ha hecho interesante el estudio de la actitud hacia la matemtica de alumnas y alumnos, hace aos se han realizado diversos estudios sobre esta temtica. En este mbito uno de ellos es el realizado por Gmez (2009) el cual trata de poner de relieve que gran parte de la dimensin emocional de aceptacin o rechazo de la matemtica en la transicin del bachillerato a la universidad est estrechamente ligada a los procesos cognitivos y conativos. Existen investigaciones que se centran en ciertas partes de las actitudes hacia las matemticas como es el caso de Hidalgo, Maroto y Palacios (2004), quienes profundizan en algunas interrogantes del denominado dominio afectivo matemtico, tomando como eje principal el rechazo a la matemtica. Por su parte Estrada y Dez-Palomar (2011) realizaron un estudio de la actitud hacia la matemtica relacionada con variables como la edad y el nivel de estudio, que dio como resultado que una persona, independientemente de la edad que tenga, puede sentir aprecio o rechazo hacia la matemtica; adems, el tener un nivel de estudios ms o menos elevado no tiene una relacin significativa con la actitud hacia la matemtica. No se evidencian estudios que relacionen los errores y actitud hacia la matemtica, por ello es de inters de las investigadoras ver si existe relacin entre estas dos variables. Este estudio da el puntapi inicial para que se continen realizando investigaciones que busquen relacionar estos temas. 2.5 Diferencia entre gneros March, basndose en variados autores plantea que, existe una brecha en el rendimiento acadmico entre hombres y mujeres en materias como matemtica y lenguaje. Enfocndose en el rea matemtica, que es la de inters en esta investigacin, se presenta una leve tendencia de los hombres a superar a las mujeres en su rendimiento (March, 2009). Adems, esta misma autora manifiesta que, este fenmeno ocurre tanto en Chile como en otros pases, incluso pases desarrollados como Estados Unidos, Australia e Inglaterra (Madrid, 2007; Mead, 2006, citados en March, 2009). Por otra parte, Araya, en su libro titulado Inteligencia Matemtica difiere de lo expuesto por March, diciendo que la diferencia entre gneros en matemtica es de trece es a uno a favor de los hombres, es decir, existen trece hombres altamente dotados para las matemticas por cada estudiante mujer (Araya, 2004). Esta proporcin presentada por Araya (2004), est basada en los resultados de la prueba de aptitud matemtica, SAT-M, aplicada en Estados Unidos a Alumnos de sptimo bsico. En cuanto a la variable actitud hacia la matemtica, tambin se plantean diferencias entre los gneros, como lo evidencian los estudios realizados por Fennema y Sherman (1977; 1978, citados en Gonzales-Pienda, Fernndez-Cuele, Garca, Suarez, Fernndez, Tuero-Herrero & da Silva, 2012), de los cuales se obtuvo como resultado que los hombres mostraban ms confianza frente a las mujeres y acreditaban que las matemticas tenan ms utilidad para ellos que para ellas (Gonzales-Pienda et al., 2012). Tambin se plantea que a los hombres les gustan ms las matemticas y les resultan ms fciles; y que a las mujeres les parecen aburridas y difciles (Brandell & Staberg, 2008, citado en Gonzales-Pienda et al., 2012). Gonzales-Pienda et al. (2012) basndose en lo expuesto por Thomas (2000), Willis (1995) y Fullarton (1993), indican a la actitud negativa de las mujeres hacia el aprendizaje de la matemtica como un factor predominante en la baja implicacin y menor xito de mujeres en disciplinas que impliquen manejo de contenidos matemticos, en comparacin con los hombres. En cuanto a la diferencia en la cantidad de errores cometidos por hombres y mujeres en matemticas no se encontraron estudios, por lo cual este estudio sera un aporte para analizar la relacin entre estas dos variables. 2.6 Metodologa de enseanza Para efectos de la presente investigacin, la tcnica de enseanza se basar en una metodologa activa. Carlos Wohlers (1999) seala que las metodologas para el aprendizaje activo se adaptan a un modelo de aprendizaje en el que el papel principal corresponde al estudiante, quien construye el conocimiento a partir de unas pautas, actividades o escenarios diseados por el profesor (citado en Glvez, 2013). Glvez (2013) plantea que esta metodologa busca que el alumno reflexione acerca de lo que aprende, lo cual genera habilidades metacognitivas que les permite analizar, evaluar, desarrollar una opinin y sustentarla. El mismo Glvez (2013) platea que la metodologa activa no es un mtodo rgido ya que est basada en variadas corrientes pedaggicas, las cuales apuntan a la construccin del conocimiento, de manera autnoma, considerando los ritmos e intereses de los alumnos. Con lo mencionado anteriormente est claro que esta metodologa se centra en el estudiante, sin embargo, el rol del docente tambin es muy activo, pues: Cambia la tradicional forma de enseanza centrada en la clase de exposicin de conceptos, por una basada en el uso de estrategias, tcnicas y planificacin de clases que propicien un aprendizaje dinmico en los estudiantes. Asimismo, deja las clases convencionales en la que l es el responsable del contenido del curso, para convertirse en gua, facilitador, mediador y acompaante del proceso de aprendizaje del alumno. (Glvez, 2013) En base a lo expuesto por Glvez, se entender por metodologa activa a aquella que est centrada en el estudiante, quien construye su conocimiento a partir de las estrategias y tcnicas que realice el docente, propiciando un aprendizaje dinmico. Una de estas tcnicas podra ser las representaciones visuales de operaciones y conceptos matemticos, lo cual se utilizar como tcnica de enseanza en esta investigacin. 2.6.1 Representaciones Visuales En cuanto al concepto de representaciones visuales, son variadas las definiciones que se pueden encontrar, una de ellas es la realizada por Molina y Guerrero (2004) quienes definen las representaciones visuales o simplemente visualizaciones a todas aquellas actividades relacionadas con el estudio de las posibles formas en que el pensamiento visual puede provocar abstracciones y generalizaciones en el proceso de transformacin en pensamiento abstracto, y con el desarrollo de habilidades para facilitar este proceso. Por su parte Cantoral et al. (2000, citados en Molina et al., 2004) manifiestan que la visualizacin es la habilidad para representar, transformar, generar, comunicar, documentar y reflejar informacin visual. En este sentido se trata de un proceso mental muy usado en distintas reas del conocimiento matemtico y, ms generalmente, cientfico. Otra de las definiciones en las que se bas el trabajo de Molina y Guerrero (2004) fue la realizada por los investigadores Castro y Castro (1997). Estos plantean que: El trmino visualizacin se emplea, por lo general, con referencia a figuras o representaciones pictricas ya sean stas externas o internas es decir, sobre soporte material (papel, pantalla, etc.) o en la mente. Y el pensamiento visual est fuertemente ligado a la capacidad para la formacin de imgenes mentales tambin la capacidad para visualizar cualquier concepto matemtico, o problema, requiere la habilidad para interpretar y entender informacin figurativa sobre el concepto, manipularla mentalmente, y expresarla sobre un soporte material. En cuanto a la utilizacin de las representaciones visuales en la enseanza de la matemtica, apoyndose en lo expuesto por Molina y Guerrero (2004), se puede decir que son una gran herramienta que puede permitir el desarrollo de un conocimiento matemtico en los estudiantes, siempre y cuando sean transformadas en un pensamiento abstracto. En el caso de que permitan el pensamiento abstracto, las representaciones visuales provocan generalizaciones y adems, pueden facilitar la comprensin de juicios y razonamientos que permitan sostener la validez de stas. Para efectos de la presente investigacin se considerar la definicin planteada por Molina y Guerrero, pues esta contiene elementos de las otras dos definiciones propuestas, siendo la ms completa. Se piensa que el realizar representaciones visuales de conceptos matemticos, ayudar a los alumnos a tener una mejor base matemtica en cada contenido, es por ello que a continuacin se plantean diferentes actividades de acuerdo al contenido a tratar, las cuales son: el uso de la recta numrica para suma y resta de nmeros enteros, uso del plano cartesiano para multiplicacin de nmeros enteros, uso de bloques comunes para operatoria de nmeros racionales, utilizacin de diagrama de rbol y descomposicin de potencia para operar potencias, uso de dibujos para representar trminos algebraicos, manejo de balanzas para el concepto de ecuacin. 2.6.1.1 Suma y resta de nmeros enteros a travs de la recta numrica Segn Bruno y Cabrera (2006) la recta numrica es una representacin fundamental en la enseanza de los nmeros y citando a Ernest (1985) plantean que la recta numrica se puede utilizar como un modelo de enseanza para ordenar nmeros, como un modelo para las operaciones bsicas y como un contenido del currculum. En el desarrollo de esta investigacin se utilizar la recta numrica para el desarrollo de operaciones. A continuacin se presentan ejemplos del uso de la recta numrica para suma basado en Icarito (2010): Por ejemplo, Se suma . A partir del 5 nos correremos 2 lugares en sentido positivo, es decir, hacia la derecha, porque el sumando es 2. En la recta numrica: Fuente: Icarito Esto quiere decir que si sumamos enteros positivos, obtenemos un nmero positivo que corresponde a la suma de sus valores absolutos. Se suma . A partir de -3 avanzaremos 4 lugares en sentido negativo, hacia la izquierda, porque el otro sumando tiene signo negativo. En la recta numrica: Fuente: Icarito Este resultado nos permite determinar que si sumamos enteros negativos, obtenemos un entero negativo equivalente al opuesto de la suma de los valores absolutos de los sumandos.

Se suma de . A partir de -2 avanzaremos 7 lugares en sentido positivo, porque el otro sumando tiene signo positivo. En la recta numrica: Fuente: Icarito Una suma de +5. Se suma . A partir de +2 contamos 4 lugares en sentido negativo, porque tenemos a -4 como sumando. En la recta numrica: Fuente: Icarito El resultado es -2. Entonces, si sumamos 2 enteros con distinto signo, restamos sus valores absolutos y conservamos el signo del que tiene el valor absoluto mayor. 2.6.1.2 Multiplicacin de nmeros enteros en el plano cartesiano Para la multiplicacin de nmeros enteros se utiliz el plano cartesiano, mtodo intuitivo grfico presentado por el profesor de matemtica Torres (2007) en su blog Edumate Per es su post Multiplicacin de nmeros enteros utilizando el plano cartesiano. Este mtodo consiste en seguir los siguientes pasos: 1. Trazar dos rectas numricas que sean perpendiculares y asignamos el cero al punto de interseccin. Y marcar los nmeros que se quieren multiplicar. Fuente: Blog Edumate 2. El primer factor a est ubicado en el eje de las abscisas, mientras que el segundo factor b se ubica en el eje de las ordenadas. El par ordenado (0,1) es un elemento necesario para el trazado de las rectas que harn posible la multiplicacin. 3. A continuacin se trazan la recta L1 que pasa por el par ordenado (0,1) y por (a,0), y la recta L2 que contiene al punto (0,b) de tal forma que cumpla la condicin que L1 // L2. El punto de interseccin de la recta L2 con el eje de las abscisas ser el producto buscado. Fuente: Blog Edumate 2.6.1.3 Operatoria de nmeros racionales a travs de bloques comunes En el contenido de nmeros racionales, tanto para la suma como para la diferencia, multiplicacin y divisin se utilizar la representacin de la fraccin a travs de bloques, para luego resolver las operaciones con bloques comunes. La suma y la diferencia de fracciones se basar en el video metforas de Roberto Araya, el cual est sustentado en su libro Inteligencia Matemtica del ao 2004, en el cual esta tcnica la llama fracciones para chimpancs, donde destaca la importancia de los modelos mentales visuales en la resolucin de problemas as como en su grado de manejo conceptual. En esta tcnica se hace necesario trasladar, rotar y superponer lminas de transparencias, permitiendo representar muy bien y en forma motora-visual las operaciones con fracciones. Las siguientes imgenes muestran la suma de y Eficacia de las Representaciones Visuales en la disminucin de errores 2015 frecuentes en matemtica y la mejora de la actitud hacia esta ciencia en alumnos de Primer Ao de enseanza media Eficacia de las Representaciones Visuales en la disminucin de errores 2015 frecuentes en matemtica y la mejora de la actitud hacia esta ciencia en alumnos de Primer Ao de enseanza media Eficacia de las Representaciones Visuales en la disminucin de errores 2015 frecuentes en matemtica y la mejora de la actitud hacia esta ciencia en alumnos de Primer Ao de enseanza media

Universidad de Concepcin| Marco Terico 160 Universidad de Concepcin| Marco Terico 22 Universidad de Concepcin| Marco Terico 21

Fuente: Inteligencia Matemtica. Roberto Araya Para la multiplicacin de fracciones se basar en lo presentado por Llinares y Snchez (1997) en su libro Fracciones: la relacin parte-todo, quienes presentan la multiplicacin de fracciones como una parte de algo, es decir, representar la segunda fraccin y de ella tomar lo que indique la primera fraccin. Esta idea queda ilustrada en el siguiente esquema:

Fuente: Fracciones: relacin parte-todo. Llinares y Snchez. Marco Terico2.6.1.4 Potencias a travs de diagrama de rbol y su descomposicin En el contenido de potencia, se tratar la definicin a travs de un diagrama de rbol el cual permite visualizar sus extensiones o ramas, el crecimiento o aumento exponencial que experimenta un nmero (Facultad de educacin PUC-CHILE, 2006); la suma y la diferencia, se analizarn en situaciones de respuesta correcta y errnea, buscando que los alumnos determinen y comprueben mediante la representacin visual del diagrama la respuesta correcta; y la multiplicacin y divisin a travs de la descomposicin de la potencias, aplicando la conmutatividad, asociatividad y simplificacin de trminos. La siguiente imagen muestra el tipo de diagrama de rbol con el que se trabaj con los alumnos. Fuente: Nivelacin restitutiva. Grupo Nivel 3. PUC 2.6.1.5 Representacin de trminos algebraicos En lenguaje algebraico los trminos doble, triple, mitad, un tercio, etc. se trabajaron a travs de su representacin grfica. Adems, se hizo nfasis en el uso de la coma lo cual se deba representar en la expresin utilizando parntesis. Marco Terico2.6.1.6 Manejo de balanzas para el concepto de ecuacin Para introducir el concepto de ecuacin en los alumnos se utilizaron balanzas adecuando lo hecho por Muoz y Swears (2013) en su micro-ingeniera didctica adecuando una balanza para ensear a los estudiantes a descubrir y desarrollar estrategias que les permita resolver ecuaciones de primer grado con coeficientes enteros, con el uso de esta herramienta se busc que los alumnos compararan una ecuacin como una balanza que debe mantenerse siempre en equilibrio. Tambin, con esto se trabaj el concepto de equivalencia. 2.7 Utilizacin de juegos para aprender y ensear Matemticas Para efectos de esta investigacin se utiliza la definicin de juego de Reyes y Venegas (2014) quienes definen juego como: actividad necesaria para los seres humanos teniendo suma importancia en la esfera social, puesto que permite ensayar ciertas conductas sociales; siendo, a su vez, una herramienta til para adquirir y desarrollar capacidades intelectuales, motoras o afectivas. Todo ello se debe realizar en forma gustosa y placentera, sin sentir obligacin de ningn tipo, adems de contar con el tiempo y el espacio necesarios. De acuerdo a lo planteado por Araya (2010) el material concreto produce una abertura emocional significativa y citando a Klein manifiesta que el inters de la gente joven se gana ms fcilmente si objetos que se sienten y se tocan son usados como punto de partida y la transicin a la formulacin abstracta es introducida gradualmente El mismo Araya tambin plantea que si los juegos son utilizados para presentar actividades de aprendizaje, estos mejoran an ms las posibilidades de enganchar a los estudiantes en pensamientos matemticos por varios das y semanas (Araya, 2010) Marco TericoEficacia de las Representaciones Visuales en la disminucin de errores 2015 frecuentes en matemtica y la mejora de la actitud hacia esta ciencia en alumnos de Primer Ao de enseanza media Eficacia de las Representaciones Visuales en la disminucin de errores 2015 frecuentes en matemtica y la mejora de la actitud hacia esta ciencia en alumnos de Primer Ao de enseanza media Eficacia de las Representaciones Visuales en la disminucin de errores 2015 frecuentes en matemtica y la mejora de la actitud hacia esta ciencia en alumnos de Primer Ao de enseanza media

Universidad de Concepcin| 160 Universidad de Concepcin| 54 Universidad de Concepcin| 55 Concordando con lo presentado por Araya el uso de los juegos en la enseanza permite lograr una predisposicin anmica favorable hacia el aprendizaje. Se piensa que los antecedentes mostrados son suficientes para pensar que la utilizacin de juegos en la ejercitacin de los contenidos, tendra una doble ventaja por un lado ayudara a que los alumnos adquieran aprendizajes significativos y por otro ayudara a mejorar el inters y la actitud hacia las matemticas, dos elementos que son importantes para este estudio. En el desarrollo de la investigacin se utilizaron diferentes juegos y actividades ldicas para ejercitar, los cuales se detallaran segn contenido a continuacin: Nmeros Enteros Juego de tablero, tarjeta y dados (ver anexo n1)

Nmeros Racionales Stop Fraccionario (ver anexo n2)

Potencias Juego ejercitando potencias (Ver anexo n3)

Lenguaje Algebraico Juego de tarjetas: Quin tiene? Yo tengo (ver anexo n4).

Ecuaciones Equilibrio de Balanzas (Ver anexo n5)

Universidad de Concepcin| 3 Propuesta de Investigacin 3.1 Preguntas de investigacin Se cree necesario plantear las siguientes interrogantes en la investigacin para darle sentido. Cules son los errores ms frecuentes que cometen las y los estudiantes en Matemtica en los ejes de nmeros y lgebra? Influye el gnero de los estudiantes en la cantidad de errores cometidos? Qu gnero comete ms errores? Qu tipo de actitud manifiestan los estudiantes de primer ao medio hacia la Matemtica? Existe relacin inversa entre la actitud manifestada por los estudiantes hacia la Matemtica y los errores cometidos? El uso de representaciones visuales, permite disminuir los errores cometidos por los alumnos? El uso de representaciones visuales, produce un cambio en la actitud hacia la Matemtica en los alumnos de primer ao medio? 3.2 Objeto de Estudio Los objetos de estudio para esta investigacin son los errores frecuentes en matemticas, en operatoria de nmeros enteros, racionales y potencias, lenguaje algebraico y ecuaciones; la actitud que poseen estos alumnos hacia la Matemtica y la relacin entre estas variables. 3.3Objetivo General Analizar eficacia de la tcnica de representaciones visuales en la disminucin de errores frecuentes en Matemtica y la mejora de la actitud hacia esta ciencia, en alumnos de primer ao medio de un liceo tcnico profesional de la comuna de Los ngeles, determinando, adems, si hay relacin entre las variables en cuestin. 3.4 Objetivos Especficos Detectar errores cometidos por los estudiantes de primer ao medio de un Liceo Tcnico Profesional de la comuna de Los ngeles en las unidades de nmeros y lgebra. Describir la actitud hacia la Matemtica que tienen los alumnos en estudio. Establecer una relacin entre los errores frecuentes y la actitud de los alumnos en Matemtica. Comparar la cantidad de errores que cometen hombres y mujeres producto de la tcnica de representaciones visuales y de las tcnicas tradicionales de enseanza. Comparar la cantidad de errores cometidos por alumnos que utilizan la tcnica de representaciones visuales y aquellos bajo las tcnicas tradicionales de enseanza. Establecer que la utilizacin de representaciones visuales produce cambios en la actitud hacia la matemtica en los estudiantes. 3.5Hiptesis H1) La utilizacin de representaciones visuales permite disminuir la cantidad promedio de errores cometidos. H2) Las tcnicas tradicionales permiten disminuir la cantidad promedio de errores cometidos. H3) La utilizacin de representaciones visuales permite que los alumnos aumenten su actitud promedio. H4) Las tcnicas tradicionales permiten que los alumnos aumenten su actitud promedio. H5) La variacin promedio de la cantidad de errores a travs de la utilizacin de representaciones visuales es distinta a la variacin promedio de la cantidad de errores producto de las tcnicas tradicionales. H6) La variacin promedio de la actitud a travs de la utilizacin de representaciones visuales es distinta a la variacin promedio de la actitud producto de las tcnicas tradicionales. H7) Existe una relacin entre la cantidad de errores y la actitud hacia la Matemtica producto de la tcnica de representaciones visuales. H8) Existe una relacin entre la cantidad de errores y la actitud hacia la Matemtica producto de las tcnicas tradicionales. H9) Los varones cometen en promedio menos errores en Matemtica que las damas producto de la tcnica de representaciones visuales. H10) Los varones cometen en promedio menos errores en Matemtica que las damas producto de las tcnicas tradicionales. 3.6Diseo metodolgico 3.6.1 Propsito Esta investigacin tiene carcter exploratorio, explicativa y correlacional, pues se investiga un tema poco estudiado del cual se ha encontrado escasa informacin y se busca dar respuesta a un fenmeno y establecer relacin entre distintas variables (Fernndez, Hernndez & Baptista, 2010). Es exploratoria ya que no se han encontrado investigaciones que utilicen representaciones visuales para disminuir la recurrencia de errores matemticos. Explicativa ya que se busca establecer que por medio de la actitud hacia la matemtica que tienen los alumnos es que se manifiestan los errores. Y es correlacional ya que se busca establecer si existe relacin entre los errores cometidos en Matemtica y la actitud de los alumnos hacia esta ciencia. 3.6.2 Enfoque Segn Fernndez et al. (2010) el enfoque cuantitativo est caracterizado por plantear un problema de estudio delimitado y concreto, la construccin de un marco terico del cual derivan una o varias hiptesis, recoleccin de datos basado en procedimientos estandarizados los cuales deben ser analizados a travs de mtodos estadsticos. Debido a que la investigacin presenta las caractersticas anteriormente descritas, esta tiene un enfoque cuantitativo, donde se hizo necesario seguir ciertas etapas para llevar a cabo la investigacin y, adems, los datos obtenidos sern tratados y manipulados para su mejor comprensin y anlisis de forma estadstica. 3.6.3 Dimensin Temporal De acuerdo a lo planteado por Fernndez et al. (2010) un diseo longitudinal consiste en la recoleccin de datos a travs del tiempo, para hacer inferencias acerca de la evolucin, causas y efectos. Sobre la base de lo expuesto anteriormente, esta investigacin tiene un corte longitudinal, ya que esta investigacin comenz con la aplicacin de un pre-test durante el mes de junio, realizando luego una intervencin durante parte de los meses de agosto y septiembre, para finalizar con la aplicacin de un post-test a mediados de Septiembre. 3.6.4 Unidad de anlisis La investigacin busca dar una nueva tcnica de enseanza-aprendizaje a los contenidos con mayor posibilidad de errores en los alumnos de primer ao medio, para evitar que estos persistan. La poblacin para la investigacin est compuesta por aproximadamente 368 alumnos de primer ao medio de un liceo municipal tcnico profesional de la ciudad de Los ngeles. La muestra empleada en la investigacin corresponde dos cursos de primer ao medio del Liceo, los cuales para efectos de la investigacin sern llamados grupo control y grupo experimental, con 28 y 29 alumnos, respectivamente. La seleccin de la muestra fue intencionada, ya que se pretende analizar los errores cometidos por los alumnos, en una primera instancia se eligieron 4 cursos a los cuales se les aplic un pre-test para medir los errores y luego se escogieron los dos cursos para la investigacin, teniendo en cuenta que presentaran la mayor cantidad de errores. 3.6.5 Variables 3.6.5.1 Variables dependientes Variable Definicin Conceptual Definicin Operacional

Cantidad de errores Nmero de equivocaciones en un ejercicio. Valor numrico de errores cometidos en cada ejercicio por los alumnos.

Actitud Voluntad que tiene un individuo a realizar una accin, ya sea positiva o negativa, con respecto a un objeto que provoque su actuar. De 0 a 155 puntos, segn test de Actitud Hacia la Matemtica de Jairo Cuervo (2009). Siendo negativa con un puntaje menor a 102, neutra entre 102 y 133 puntos, y positiva mayor a 133 puntos.

Variacin de la cantidad de errores Efecto de hacer que una cosa sea diferente en algo a lo que era antes. Diferencia entre resultados iniciales y finales en cantidad de errores cometidos por los alumnos.

Variacin del nivel de actitud hacia la matemtica. Efecto de hacer que una cosa sea diferente en algo a lo que era antes. Diferencia entre resultados iniciales y finales en el nivel de actitud hacia la matemtica presentada por los alumnos.

3.6.5.2 Variables independientes: Variable Definicin Conceptual Definicin Operacional

Tcnica Conjunto de procedimientos o recursos que se usan en un arte, en una ciencia o en una actividad determinada, en especial cuando se adquieren por medio de su prctica y requieren habilidad Tcnicas tradicionales en el grupo control y tcnica de representaciones visuales en el grupo experimental.

3.6.5.3 Variables intervinientes: Variable Definicin Conceptual Definicin Operacional

Gnero Distincin entre gnero femenino y masculino. Diferencia entre la cantidad de errores de hombres y mujeres que participaron de la tcnica de representaciones visuales.

3.7 Recoleccin de datos En una primera instancia interesa identificar los errores ms frecuentes en los alumnos y la actitud que tienen hacia la matemtica, para lo cual se aplic una evaluacin diagnstica confeccionada por las autoras y un test de actitud hacia la matemtica. Una vez entregada las tcnicas a los alumnos, se emple un post-test de conocimiento matemtico el cual pretenda comparar estos resultados con los del pretest; adems se utiliz nuevamente el test de actitud hacia la matemtica de Jairo Cuervo. 3.8 Validacin y descripcin de los instrumentos A continuacin se presentarn los instrumentos a utilizar, su fiabilidad y los procesos de validacin a los cuales fueron sometidos. 3.8.1 Pre-test Este instrumento const inicialmente de 37 tems (ver anexo n 6), que fueron sometidos a una validacin por tres expertos (ver anexo n7) de la Universidad de Concepcin, Campus Los ngeles, finalizado este proceso el instrumento definitivo a aplicar est constituido por 18 tems, de los cuales 6 consistan en operatoria de nmeros Eficacia de las Representaciones Visuales en la disminucin de errores 2015 frecuentes en