Embed Size (px)
Citation preview
ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA
TESIS PREVIA A LA OBTENCIÓN DEL TITULO DE
INGENIERO EN ELECTRÓNICA Y TELECOMUNICACIONES
ULPIANO RAFAEL DÍAZ PÉREZ
DICIEMBRE/90
AGRADECIMIENTO
Mi agradecimiento a todas las personas
que me brindaron el apoyo necesario pa-
la realización de este trabajo.
U.R.D.P
A MIS PADRES
CERTIFICACIÓN
Certifico que el presente trabajo
fue realizado en su totalidad por
el Sr. Ulpiano Rafael Diaz Pérez.
ING. MARIO CEVALLOS
CONTENIDO
INTRODUCCIÓN i
CAPITULO I 1
^x
1.1 Descripción del acoplador direccional 1
1.2 Matriz para acopladores direccionales 4
1.2.1 Matriz [S] - 6
1.2.2 Matriz [S] para el acoplador direccional 11
1.3 Factor de acoplamiento y direccionalidad 15
1.3.1 Factor de acoplamiento 15
1.3.2 Factor de direccionalidad 16
1.4 Acopladores según el tipo de acoplamiento 17
CAPITULO II 19
II. 1 Discontinuidades en guia de onda 24
11.2 Ventana Capacitiva 26
11.3 Ventana inductiva 37
11.4 Poste ~ 43
11.5 Tornillos 52
CAPITULO III 55
111.1 Planteamiento del problema 57
111.2 Desarrollo matemático 59
III. 3 Descripción del algoritmo 63
III.4 Codificación del programa 67
CAPITULO IV 72
IV.1 Planteamineto del problema 73
IV.2 Desarrollo matemático 74
IV. 2.1 Método's matemáticos empleados 80/
IV.3 Descripción del algoritmo ' 82
IV.3.1 Estructura del algoritmo 84
IV. 3.2 Diagrama de flujo 87
IV.3.3 Codificación del programa . 91
CAPITULO V 97
~~'V.l Detectores de onda 98
V.2 Diodos de cristal 100
V.3 Diseño y construcción del acoplador de 3dB 105
V.3.1 Consideraciones generales 105
V.3.2 Pruebas . 106
V.4 Montaje del equipo para acoplar 130
V.5 Forma de acoplar el diodo 134
V.4 Resultados del acoplamiento • 134
CAPITULO VI
Conclusiones 137
APÉNDICE A
Ejemplos de los capítulos II y III 141
APÉNDICE B
Referencias de la IEEE 169
BIBLIOGRAFÍA 200x
REFERENCIAS 201
INTRODUCCIÓN
INTRODUCCIÓN
• El año-de 1.930 vio la extensión de la tecnología de los
dispositivos y circuitos electrónicos de control, desde
frecuencias en el -rango de las decenas de Mhz hasta algunos
centenares de Mhz, con aplicaciones tales como radiodifusión
de FM, servicios móviles de teléfonos y el comienzo de la
televisión y el radar.
Pero no fue sino-hasta la segunda guerra mundial cuando
la atención prestada al campo completo de las frecuencias
ultraaltas y las microondas llevaron al desarrollo de la
televisión comercial, los enlaces de comunicación por microon-
da, radio, radar y las innumerales aplicaciones de estas
frecuencias en la exploración del espacio y el continuo uso
militar.
La frontera de la alta frecuencia ha sido llevada, en
las últimas dos : décadas, hacia frecuencias más allá de los
Ghz, usando dispositivos de estado sólido y de vacio, con-
secuentemente las .microondas han cobrado tal importancia que
en la actualidad son un elemento fundamental en el área de la
comunicaciones.
camoio desequilibra al
iii
sietema produciendo reflexiones, pérdidas y posibles efectos
sobre la fuente.
-En el laboratorio este problema se presenta cuando es
utilizado el diodo detector en un determinado ancho de banda
debido a la falta de acoplamiento de su impedancia.
r/
Frente a este, inconveniente, surge como un tema de
investigación "A'COPLADOR DE IMPEDANCIAS EN BANDA ANCHA
UTILIZANDO EL ACOPLADOR DIRECCIONAL", que tiene por objeto
estudiar al acoplador direccional en una de sus varias aplica-
ciones e implementar el sistema que permita su aplicación
práctica. Básicamente consiste en establecer determinadas
condiciones de impedancia sobre los puertos 2 y 4 para con-
seguir que la impedancia colococada el 3 genere un SWR=1 a la
entrada del acoplador.
Para realizar el análisis del problema descrito, el
presente trabajo tiene la siguiente estructura:
En el CAPITULO I, se hace una revisión sobre los concep-
tos generales que definen los parámetros intrínsecos del
acoplador, así como su funcionamiento, poniendo mayor énfasis
en la descripción matemática.
El CAPITULO II, describe los elementos que actúan como
susceptancias en guias de onda, entre ellas: ventanas capaci-
tivas e inductivas? .postes y tornillos. El tratamiento es-
cogido para estos componentes es de tipo particular, ya que,
iv
análisis está realisado para los elementos más representativos
de cada caso, sin embargo de todos ellos el seleccionado para
para la práctica son los tornillos.
El CAPITULO III? muestra el algoritmo y programa para
obtener el lugar geométrico de la impedancia que debe ser
colocada en el puertoS del acoplador para que acople el puertoX
de entrada en un determinado ancho de banda. El programa está
desarrollado para cualquier factor de acoplamiento y permite
visualizar en pantalla el lugar geométrico sobre la carta de
Smith. ^
A su vez el CAPITULO IV, contiene el algoritmo y
-programa para regenerar las condiciones de los puertos 2 y 4,
a partir de tres pruntos del lugar geométrico generados en el
capitulo III.
Finalmente en el- CAPITULO V, se realiza una descripción
general del diodo que es utilizado en las prácticas de labora-
torio , asi como, un análisis detallado sobrev el diseño del
acoplador direccional, su factibilidad de construcción, las
pruebas realizadas y el montaj e del equipo que quedará im-
plementado para el laboratorio de microondas.
Deseo que lo expuesto sobre el tema permita tener una
visión general de los tópicos tratados en esta tesis a quien
requiera de su utilización.
L
CONSIDERACIONES GENERALES DE PROPAGACIÓN
EN ACOPLADORES DIRECCIONALES
1.1 DESCRIPCIÓN DEL ACOPLADOR DIRECCIONAL
1.2 MATRIZ PARA ACOPLADORES DIRECCIONALES
1.3 FACTOR DE ACOPLAMIENTO
1.4 ACOPLADORES SEGÚN EL TIPO DE ACOPLAMIENTO
CAPITULO X
/CONSIDERACIONES ÜENEEALES 2E PROPAGACIÓN
EH ATOPLATOKES DIRECCIONALES
1.1 DESCRIPCIÓN DEL ACOPLADOR DIRECCIONAL
En el campo de las microondas, existen dispositivos que
permiten la realización de varios procesos, tales como: divi-
sión de potencia," acoplamiento de impedancias, generación de
suceptancias, etc.
De estos dispositivos es el acoplador direccional es
elque al utilizarse en una guia de onda da una indicación in-
dependiente del flujo en una sola dirección, sin tomar en
consideración la presencia del flujo en la dirección opuesta-
Este comportamiento, hace posible distinguir entre la poten-
cia ;que está propagándose y la potencia que se propaga en
dirección contraria debida a reflexiones.
;E1 acoplador direccional más sencillo es el que consta
de dos secciones de guia con una pared común (pared paralela
2
al campo eléctrico), la misma gue tiene dos orificios espa-
ciados longitudinalmente una distancia (s), como se muestra
en la fig.1.1.
GUIA SECUNDARIA- - . . " >
PUERTO 3 . . , . . . > PUERTO 4A . s B
PUERTO 1 j , .y PUERTO 2
GUIA PRINCIPAL
fig.1.1 Acoplador direccional
--" La energía introducida por el puerto 1 se acopla a la
segunda guía a través de los orificios. Las ondas se mueven
desde el puerto 1 y avanzan en dirección de la guía auxiliar
al puerto 4; las señales A y B recorren las mismas distancias
y, consecuentemente, llegan con la misma fase al puerto 4
donde se produce un refuerzo de éstas.
En ; dirección contraria, las ondas gue llegan al
puerto 3 recorren longuitudes diferentes como se indica en la
fig.1.2.
La fase entre A y B va a diferir en un (2s/Tfi)2n: radia-
nes, donde (s) y (Te)1 son medidas en las mismas unidades.
Si s-(2N-l)Te/4, siendo N un entero positivo, las ondas que
CID Te corresponde al valor de la longitud de onda en laguía para la frecuencia de trabajo.
3
llegan al puerto 3 son de fase contraria y por lo tanto
existe una cancelación. En forma similar, cuando la potencia
ingresa por el puerto 2, esta opera en el puerto 3 pero no en
el 4.
PUERTO 3(2S/Te)27t
PUERTO 4
A . . B
PUERTO 1 , , , > PUERTO 2
fig.1.2 Ondas al puerto 3
Si (s) es igual a (2N-l)rg/4 centrado para una sola
frecuencia, el acoplador tiene sensibilidad a cualquier in-
cremento de frecuencia; ya que, la óptima directividad en los
acopladores de dos orificios no es obtenida .cuando éstos están
espaciados exactamente el valor referido para (s).
De la práctica se desprenden las siguientes recomen-
daciones generales :
a) Al incrementarse el valor de N, debe decrecer = el ancho de
los orificios.
b) Si N excede la unidad, el espacio óptimo entre orificios es
menor que (2N—1)Te/4.
c) Al incrementarse N, decrece el ancho de banda.
4
d)El aumento en el diámetro de los orificios incrementa el
acoplamiento pero disminuye la directividad.
El acoplador direccional de dos orificios puede esque-
matizarse con el circuito equivalente expuesto en la fig 1.3.
fig.1.3 Circuito equivalente
El ancho de banda del acoplador de dos orificios puede
ser insuficiente para algunas aplicaciones, pero es posible
incrementarlo mediante el uso de orificios múltiples.
Actualmente con la aplicación de la técnica de micro-
ondas se ha hecho factible la utilización del "Strip-line" en
el desarrollo de los acopladores direccionales,
1.2. MATRIZ PARA ACOPLADORES DIRECCIONALES
Una sección de guia o unión multipuerta puede ser ex-
presada matemáticamente como función de voltaj es, corrientes e
impedancias.
Cada brazo de la unión dispone de un voltaje propio que
es igual a la sumatoria de las contribuciones de su propia
sección y de las secciones adicionales.
nV3P. —
V2Í2
Vnln
nr
vp.13?
fig.1.4 Contribución de los puertos al puerto P
Así para el gráfico las ecuaciones son
Vi - Zll.il + Z12 . Í2 +
V2 = 221-íl + Z22.Í2 +
-f Zln. n
Z2n.-Ín
. Íl + Z;p2 . Í2
Vn — Znl-í í + Zn2-Í2 •+• 4- Znn -
Escribiendo matricialmente: gueda expresado como
Vi
V2
V-nv jp
Vn
-
2xi Zl2 Zin.
Z21 Z22 Z2n
Z;pl Z;p2 , . . . _ _ _ - - - Zjjpn
Znl Zn2 2n£>
=
Íl
Í2
Í£S
ín
donde:
[v] =
[v] = matriz de salida
[z]--= matriz de procesamiento
[i] - matriz de exitacíón
- - Otro procedimiento matemático y que constituye la he-
rramienta más práctica en el manejo' de redes en miroondas es
la MATRIZ DE REFLEXIÓN o MATRIZ [S].
1.2.1 MATRIZ [S]
En nna primera aproximación se considera una sección
simple de guía; como la de la fig.1,5:
11
a
bvi
z-o
fig.1.5 Sección simple de guía
carga
ii = Señal de exitación
vi = Señal de salida
a = Onda incidente
b = Onda reflejada
vi(a) =
vx (z) = vo^e-jKs^ + voJ-r(0)eJKsz [1.1]
donde:
T(0) - coeficiente de reflexión en z~0
vi(z) es la composición de onda incidente y onda
reflejada.
Entonces:
vi(z) = vx + v^ [1.2]
Igualando [1.1] y [1.2] :
Vi =
Para la corriente se tiene la siguiente expresión:
:E1 signo negativo indica g."ue si (v) es máximo (i) es minimo y
viceversa.
i i. =
Como los valores de las ecuaciones son normalizados debe
cumplirse que : ,-'
Vi- 1 = -1
ll
.Definiendo : vi = a v^ - b
v(z) - a + b [1.3]
i (z ) = a - b [1.4]
Desarrollando [1,3] y [1.4]
v(z)a =
v(z) - ib =
La relación b/a es la gue se conoce e'omo coeficiente de
reflexión (F).
v(z)-T~l , _
v(z) - i
9
r -i(s)[v(z)/i(z) + 1]
i(z)[v(z)/i(z) - 1]
r =z + 1
z - 1
Se define'el parámetro scatering S como:
S =1 + i r i
1 - [T
Para (n) puerto.s, la onda reflejada es igual a la suma-
toria de las aportaciones de las ondas incidentes del propio
puerto y de los puertos restantes.
ai bi
I
1
Multisección
n
t t T 1
fig.1.6 Multisección
n
Matricialmente se tiene
10
bi
donde:
Sil Sl2
621 822
Si,
Snl
a.2
[b] =
[b] = matriz de ondas reflejadas.
[S]--- matriz de coeficientes scatering,
[a] - matriz de ondas incidentes,
La matriz [S] tiene las siguientes propiedades:
1. SIMETRÍA.-
2. UNITARIA.-
3. CERO.-
4. CAMBIO DE EASE.
la matriz S es igual a su transpuesta.
Sil Sl2 2 =
Í =
si el plano de referencia de cualquier
puerto recorre una distancia d hacia
la unión, los coeficientes (S) relativos
a ese puerto están multiplicados por un
cambio de fase e~¿jKed--
Con las propiedades descritas, es posible desarrollar la
matriz [S] para diferentes multisecciones, una de ellas cons-
tituye el acoplador direccional.
11
1.2.2 MATRIZ [S] PARA EL ACOPLADOR DIRECCIONAL
Debido a que el enfoque central de este trabajo se
esta en el acoplador direccional, seguidamente se aplicarán
las consideraciones matemáticas anteriores para obtener [S]_
PUERTO 3I
PUERTO 1"h" "•>
PUERTO 4
PUERTO 2
fig.1.7 Ondas presentes en el acoplador direccional
bi
ba
b3
b4
Sil Sl2 Sl3 Sl4
520. S22 823 S24
S31 832 833 83^
8-41 8-42 S>43 8-44
ai
a2-
as
a-4
El orden de [8] es 4x4 ya que existen 4 puertos.
siguidamente deben calcularse los valores de todos los coefi-
cientes S±j aplicando las propiedades del numeral 1.2.1, de la
siguiente forma:
1. Dado que existe simetría en los cuatro puertos.
— 822 — 833 — 844
12
Sl2
Sis
Sl4
82-1
823
843
821
Ssi
842
S32
834
2. Por el acoplamiento entre los puertos 1,3 y 2,4.i
Sa.3 ~— Ssi = O
>- 824 = 842 — O
[8] =
~
Su
Sl2
0
Sl4
Sl2
Su
823
0
0
823
Su
834
Sl4
o"
834
Su
3. Propiedad cero a las filas 1 y 2.
811.8*12 + Si2.S*ii + O.S*i4 + Si4.0 = O
Su . 8*12 + 812 . 8 11 — O
Sll|.[Sl2|
Su! .rsi2i
+ I Siil . I 812! - Q
- 0
La existencia de energía entre 1 y 2, implica gue Sis
sea diferente de cero, y Sn=0.
t 1 l
14
ES] =
0
S12
0
Sl4
Sl2
0
Sl4
0
0
Si4
0
Sl2
Si 4
0
Sl2
0
5. Propiedad cexro a las columnas 1 y 3.
! Sl2 - SÍ*C14 + Sl4 - S*12 — O
I 812! - Si4 [ e-3 c©i4—012) 4.
|812 - ISi4 ,2.Cos(914 - 912) = O
Cos(914 - 912) - O
914 - 612 = TC/2
Si Si2 es tomado como referencia, 912
real, entonces:
914 - te/2
consecuentemente :
Sl4 — |Sx4
Si4 = d Si4
~ O y su valor es
Definiendo 812 = ps Si4 = óg. la matriz gueda expresada
como
[S] =
0
p
0
ó<a
P 0
0 jq
ÜQ. 0
0 P
09.
0
P
0
15
y p2 + qZ - i
1.3. FACTOR DE ACOPLAMIENTO Y DIRECCIONALIDAD
1.3.1 FACTOR DE ACOPLAMIENTO
PUERTO X3 K A PUERTO 4
FA
\ PUERTO 2PUERTO 1 ~
fig.1.8 Acoplador direccional
El factor de acoplamiento está definido por la ecua-
ción:
FA = 10 Log (P4/Pi) [dB]
En la cual P-4 es la potencia que llega a la carga ter-
minal del puerto cuatro y Pi es la potencia que entra a la
unión por el puerto uno. El factor de acoplamiento es una
medida de la relación entre los niveles de energía en la guias
primaria y secundari'a. Así, si es conocido el factor de
acoplamiento, se requi'éré una pequeña fracción de potencia en
el puerto cuatro para; determinar la potencia total en la guia
primaria.
J
16
El FA puede ser expresado en términos de [S] como:
[b] =
0 P 0 Jq
p o j<a o
0 dg. 0 p
ÓQ. 0 - p 0
ai
b2
b3
_ b V
bx = 0
b2 = p.ai
bs = 0
1Pi = - I ai
2
FA = 20 Log [g.] [dB]
y q. = 10
1.3.2 FACTOR DE DIRECCIONALIDAD
La directividad está definida por la ecuación:
FD - 10 Log [Ps/PoJ [dB]
La directividad es una medida de cuan bien la potencia
puede ser acoplada en la dirección deseada en la segunda guia.
17
Un acoplador bien diseñado tiene una directividad de 30 a 35
dB, sinembargo idealmente FD debe ser infinito para Ps sea
cero.
1.4 ACOPLADORES SEGÚN EL TIPO DE ACOPLAMIENTO
Según el tipo de acoplamiento los acopladores se
clasifican tomando.en 'cuenta el factor de acoplamiento intrín-
seco2 | a 2 del acoplador, independientemente de lo efectos
causados accidentalmente-por conectores, guias, etc.
•- La función que va a desempeñar el acoplador y por ende
el grado de dificultad asociado con la medidas de sus carác-
ter ísticas, varían así:
1. 2 [0.5 - as] tiende a 1
2. 2,[O.5 - a|2] tiende a O
Al primer grupo pertenecen lo acopladores que se co-
nocen con el nombre de muestreadores; este tipo de acoplado-
res tienen un nivel de potencia de salida en la guía prin-
cipal casi igual a la potencia de entrada. El terminal B de
la Fig.1.9 tiene un mayor nivel de potencia que en el terminal
D, siendo la salida en todo caso proporcional a la entrada.
[2] El factor de acoplamiento intrínseco la!2, se lo definecomo el valor recíproco del factor de acoplamiento.
\A
SALIDA
A
C
MECANISMOS DEACOPLAMIENTO
B
DLINEA SECUNDARIA
Fig.1.9 Acoplador direccional básico
i'/
Al segundo grupo pertenecen los acopladores direcciona-
les conocidos como partidores. En estos, la potencia de en-
trada es dividida en dos partes que'son aproximadamente igua-*->
les , una gue va a los terminales de la guia principal y otra
que va a los terminales de salida de la guia secundaria,
terminales B, D de la fig.1.9.
fíAEÜSZLQ 11
ELEMENTOS QUE ACTÚAN COMO
SUSCEPTANCIAS
II.1 DISCONTINUIDADES EN GUIAS DE ONDA
II.4 POSTE
.5 TORNILLO
CAPITULO II
ELEMENTOS QUE ACTÚAN COMO
s~
Entre las aplicaciones que tiene el acoplador direc-
cional de 3 dB tenemos es la de acoplador de impedancias, como
se demuestra en el siguiente proceso matemático:
Zs — Zo
PUERTOS
DPUERTO 4
PUERTO1 PUERTO 2
Las condiciones q.ue se deben cumplir son:
1. Carga del puerto 3 diferente a Zo.
2. Los puertos 2 y 4: tienen cortocircuitos de longitud varia-
ble.
20
[b] = 1/V2
0 1 0 o
1 O o O
O j O 1
j O 1 O
ai
Fs.ba
Los coeficientes de reflexión para los puertos 2 y 4'
son:
F =
Fcc = <-!
Definiendo: X = 2Kg.dz
Y =
Entonces:
Al reemplazar los valores de Fz. y F-t en la matriz [b],
se llegan a las siguientes igualdades:
a.
b.
c .
d.
bi = Oá [ -
ba = « [ a
ba - -T% [ -
b4 = ^ [ á
4- r3.b3 ]
+ Ts.bs ]
Substituyendo b, d en c, se obtiene:
-O ai. C e¿^ +
2 - Fs. [
21
Ahora, b, d y ."e en a.
2.
2.{ 2 + Fs.
Para que exista acoplamiento bi debe ser igual a cero
Consecuentemente toda la expresión se reduce a:
If.
La ecuación f. permite realizar el acoplamiento de una
diferente de Zo en el puerto 3.
Calculando la impedancia a la entrada de cada puerto en
base al coeficiente de reflexión, se tiene:
1 + T
1 - F
— e J
e~jK«-d -4- e^Ke-^-
z ~ -t> -tan [Kg.d]
Implica entonces que el c.c. con longitud variable
actúa como un reactancia variable.
Aprovechando este comportamiento, han sido colocados en
los puertos 2 y 4, cargas reactivas variables que permitan
realizar el perfecto acoplamiento de la carga ubicada en el
22
puerto 3, caso contrario se originan reflexiones gue afectan
a la fuente y el muestreo realizado en este puerto sería
incorrecto. Fig.2.1.
c d^
PUERTOS
PUERTO1
01 <
B
1 ds
-PUERTO4
-PUERTO2
A Señal incidenteB Reflexiones desde el puerto 2C Reflexiones desde el puerto 4
Fig.2.1 Gráfico de reflexiones,
La figura presenta las señales generadas por la refle-
xión de cargas no acopladas y su incidencia sobre los puertos
1 y 3.
Si por efectos físicos o de frecuencia se origina una
variación en el coeficiente de reflexión Fa, entonces la carga
produciría nuevas reflexiones desestabilizando el sistema.
En un sistema óptimo, deseamos gue la carga de la fuen-
te esté acoplada perfectamente para conseguir que la potenciar
total sea igual a la potencia incidente, de no suceder así la
23
potencia total es igual a la potencia incidente menos la
potencia reflej ada.
Las cargas utilizadas en los puertos 2 y 4 para produ-
cir el acoplamiento,3 tienen la siguiente distribución. Fig. 2 . 3
SOPORTE
DE
SECCIÓN
fl TORNILLOSUSCEPTANCIA VARIABLE
LINEA RANURADA
uCORTOCIRCUITO
Fig.2.3.Elementos de carga en los puertos 2 y 4
El circuito equivalente para el gráfico anterior es:
CARGA n
De esta breve introducción se desprende la necesidad de
hacer referencia a elementos que actúan como susceptancias,
enfoque de este capitulo.
[3] El análisis matemático para este tipo de cargas se halladetallado en el capitulo 3.
24
Entre los elementos a estudiarse están los siguientes:
• Discontinuidades
• Ventanas capacitivas
• Ventanas inductivas
'• Postes
• Tornillos
II.1 DISCONTINUIDADES EN GUIAS DE ONDA
De la práctica; en la guias de onda a menudo es necesa-
rio introducir discontinuidades, tales como: diafragmas,
postes, placas dieléctricas, etc., con el propósito de dar a
la guia una carga o terminación. ésta carga origina un des-
plazamiento de fase en la onda transmitida.
La presencia de un discontinuidad da lugar a una onda
reflejada y al almacenamiento de energía reactiva en la
vecindad de la discontinuidad porgue la exitación de los modos
de alto orden son desvanecidos, es decir, decaen exponencial—
mente con la distancia desde la discontinuidad. Bajo ciertas
condiciones prácticas solo el modo dominante puede propagarse
en la guia. Según esto, se requieren de tres parámetros para
describir el efecto de la discontuidad en el modo de propaga-
ción .
Estos parámetros son: el módulo T, el ángulo (9) de fase
del coeficiente de reflexión T y el ángulo de fase (a) del
25
coeficiente de transmisión T.
El módulo de T, está dado por T.T* = 1 - F2, que es
basado en el principio de conservación de la energía.
Como :re¿la' general, las soluciones rigurosas de lasX
ecuaciones de Maxwell para la distribución de un campo exis-
tente próximo a una discontinuidad es muy difícil, sino im-
posible de -obtener. Sinembargo, el interés se centra sola-
mente en el efecto-, producido por el modo dominante, el deta-
lle de la degradación del campo alrededor de la discontinui-
dad es rreguerida.
La exitación de los modos de alto orden actúan como
perturbación, dando lugar al desplazamiento de fase en las
ondas reflejadas y transmitidas, y una transformación de
impedancia en la discontinuidad.
Cuando la magnitud de estos modos altos' son pequeños,
deben utilizarse métodos aproximados para determinar los
parámetros del 'circuito equivalente en la discontinuidad. Un
método muy usado y capaz de mantener una larga variedad de
problemas fue introducido por Schwinger4.
Este método tiene variedad de formas, algunas de las
[4] Schinger (1940-1945).- Autor del método variacional gueconsiste en transformar a series las integrales dedifícil resolución.
26
cuales son preferidas en ciertos casos respecto a otros.
Algunas formulaciones serán ilustradas en desarrollo de este
capitulo,
DISCONTINUIDAD
V
2 = -d s = O
I OT Onda transmitida
¡ O:R Onda reflejada
II.2 VENTANAS CAPACITIVAS
Un problema de discontinuidad para la cual puede ob-
tenerse la solución variacional es la de una ventana capaci:
tiva de ancno infinito y planos paralelos, orno se indica en
la Fig.2.4.
t
d
Y
DIAFRAGMA
X
Fig.2.4 Ventana Capacitiva
El diafragma asumido es infinito y sin pérdidas. El
28
Para un diafragma capacitivo en un guia rectangular, los
modos de alto orden exitados son los modos eléctricos de la
sección longitudinal. Cuando no hay variación con (x) , estos
se reducen a modos E.
Por 'tal razón, generalmente diremos que la derivación de
los modos requeridos desde un potencial Hertziano tipo mag-/
nético tienen una componente simple en la dirección de (x) , a
diferencia del potencial eléctrico Hertziano que para los
modos Eíutilizaila dirección Z. Las ecuaciones relevantes son:
E = - jwuo.[Vx ir*- ] C2.1]
H = V xVx TCH [2.2]
V2 . -nía + ko2 . Ttn = O [2.3]
Para TCH debemos escoger una función de la forma:
una solución para § en un campo eléctrico con desvanecimiento
de la componente tangencial en planos paralelos es:
n .K.y iCos
bgUiK.ri _ s:
n.Tt
donde: Kn2 = I - Ko2
consecuentemente las soluciones de [2.1] y [2.2] son:
29
r d d d -,E -
-dx dy dz -x Cos
r niry
L b
Ez — jn.Tc -,
b
r ruty -,Sin
be ic
Ey =• -jwuox. Sinmty -,
b
H = V xdy dz
H =d
dy dy
d
dz dz
Hx = Ko2. Cosniry -,
b
Ahora, la amplitud de la onda incidente desde la iz-
quierda va a ser ao. Debido a gue en la discontinuidad son
exitados: una onda reflejada R.ao y un infinito número de
modos de alto orden de amplitud an. Así las ecuaciones Ey y
Hx pueden expresarse como:
Ey
an.Cosr-niry
r-nTty-,+ 2 b .Cos1 L b
z<o [2.3.a]
z>0 [2.3.b]
En el caso de Hx tenemos como coeficientes Ko2.
30
Ko2 — Ko 4 Go Uo w
Ko2
Ko2
Ko2
Ko 4eo/uo w uo
Ko Yo Uo w
—j2 Ko Yo uo w
-j Ko Yo 3 Kn uo w
De las consideraciones anteriores para Ey;an—"
j Ko Yo '
Kr
— Yr
Hx
Por lo tanto Hx se expresa:
-aoYo [e-o KO:Z4-R. e¿ K0z:]v r-niry-,
L b J
-T.aoYoe-dKOa: -1 J
[2.3.c]
z>0 [2.3.d]
Desarrollando las ecuaciones de continuidad de los
campos transversales en el plano de apertura z=0.
ao.(l-kR) 4- 2 an.Cos1
ao.Yo.(l-R) -
4- 2
L b J
n- Tao
i-nicy-
L b0<y<b
[2.4.a]
1
•nrty-,
L b J= T.ao.Yo +
J0<y<d [2.4.b]
"El campo eléctrico transversal total se desvanece en el
diafraagma, por lo tanto [4_a] es valida sobre todo el rango
31
de (y) . El campo magnético tangencial es discontinuo a tra-
vés del diafragma debido a la cantidad de corriente aue se
produce en él, por lo tanto [4_b] se mantiene en la abertura.
Llamando E(y) al campo eléctrico en la abertura , donde E(y)
se desvanece en el diafragma, el análisis de Fourier de
[2.4.a], manteniendo para 0<y<b se tiene5 :
1ao.(1+R) - T.ao =
bE(y').dy' [2,5.a]
SLn. = brx -
b
mty'E(y').Cos 1 .dy' [2.5.b]
Reemplazando T por (1+R) y substituyendo en la ecuación
[2.4-b], se obtiene :
Cl-R)aoYo - (l+R)aoYo = 2 21 L b J
ao(l-f-R)b
E(y')dy'
-2R 4 coYo = — 2 Yn.Cos
Cl+R)b b 1: E(y").Coso b
dy' [2.6]
[5] Referencia matemática entre Series e integrales se hallaen "Linear Systems" de Liu, págs. 219-222
32
Una susceptancia paralela a través de uan guia con
impedancia característica Zo da origen a un coeficiente de
reflexión:
1 - Yin
1 +
Zc = 1
Yin
Yin = 1 4-
-JBT—1
.2 + JB
Zc = 1
Despejando ¿E:
-2RJB =
1 + R
Asi, la ecuación [2.6] representa una ecuación integral
cuya solución da la susceptancia normalizada B.
Una. integral variacional debe ser obtenida multipli-
cando [2.6] por E(y) y la integración sobre un plano de aper-
tura 0<y<d. Consecuentemente E(y) se desvanece en el dia-
fragma; la integración de los coeficientes de amplitud desco-
nocida debe extenderse solamente sobre el plano de apertura y
reeplazando JB, Yn/Yo por o'Ko/Kn, se deduce:
34
Desarrollando el lado derecho de la igualdad:
2ir 1
y ' 3/13 e
+y ' )/t> e d XITC c y-+-y ~ ) /to e— j rvn: (
• + - +n n n n
Aplicando al resultado anterior la siguiente fórmula de
Fourier:
= - Ln1 n
2.Sin(9/2)Tt -
para 0<9<2ic
Todo.se reduce a:
b
2icLn 4 Sin
2b. Sin
2b
b
2-nLn- 2 { Cos
2b- Cos
2b
Como siguiente paso se realiza el cambio de variables:
Cos (ity/b) = ai 4- a.2.Cos9
Cos (Tcy'/b) = ai + a2.Cos9
[2.9.a]
[2.9.b]
Las I constantes ai y 0.2 son determinadas para 9 = O, TT,
cuando y = O, d respectivamente. Substituyendo estos valores
particulares de 9íy (y) en [2.9] da las siguientes soluciones:
ai1 = 3é -Cl + Cos(Tcd/b)} = Cos2(-n;d/2b)
35
= 1 - ai = Sin2(Ttd/2b)
la resta de [2.9.a]-[2.9.b] en [2.8] se obtiene:
bLn { 2.a2.[Cose - Cos9']>
b b co iLn Sin2(ird/2b) + 2 - Cos(n9 ) , CosCnG ' ) [2.10]
2-rr i 2ir 1 n
La corrección de las series no pueden ser transformadas
de esta manera; sinembargo, . esta no tiene peso ya que con-
verje rápidamente y cada término debe ser transformado in-
dividualmente, mediante los polinomios de Chebyshev.
El cambio completo de variables debe ser notado de la
siguiente forma:
dyE(y) d9 - F(9).de
de[2.11]
Cada término Cos(nTty/b) se expresa como una serie de
Cos(me) con m = O, ,n.
Por conviniencia se escribirá:
Cos (mty/b) = .2 Pnm.Cos(me)1
[2.12]
donde Pnm son coeficientes.
Realizando las substituciones pertinentes en [2.7],
36tenemos:
4 Ko1 J
E(y)ECy')Cos
KnCos
•nity -i
bdy. dy
d6.de
de.de
B =de n 2
E(y) .dy
\ Ko1 JJ
F(9)F(9b oo 1 pnTty-j pnicy'^- 2 - Cosí 1 Cos1 n b -i L b
-KnCos - Cos
L bB =
F(9).d9
de. de
Ecuación [2.10], [2.12] en [2.7]
4Ko1 JJ
b r.F ( 9 ) F ( 9 ' ) - I L n Csc(Trd/n)
Tu 1 no
B =
co n n
-Q s=0
1-,
LbKn n-JPnm.Pns.Cosme.Cosse de. de
F(9 ) .d9[2.13]
i Ahora, una solución completamente rigurosa de [2.13] es
difícil de obtener, pero se aproxima F(6) y F(9') por una
constante!, la cual puede ser escogida igual a la unidad, la
ecuación ¡es -fácilmente reducible. Asi:
.37
Cosn9.CosnG'.d9.d0' = On
CD CO
2 2 Pnm.Pns.Cosne.Cosne".de.de' =• Pno^
La ecuación para tplanos paralelos en el modo fundamen-
tal 10 donde Pío ¿= ai¿ queda expresada cómo:
4KobB = Ln Csc
L 2b J- 1
L 2b J
X2
a
y
Fig,2.6 Diafragma inductivo
Inicialmente se considera un diafragma inductivo in
finito fig,2.6. Las solubiones para el diafragma simétrico o
asimétrico son casos especiales de la solución general. 38
Con el modo Hio incidiendo desde 2 menor que cero, sola-
mente son exitados los modos Hno de orden superior, entonces
la distribución es uniforme a lo largo de la dirección (y). El
problema particular en consideración se simplifica en las\s de onda ya que los lados del diafragma son los mismos.
s/
Las siguientes ecuaciones6:
GiCx/x').Ei(x).Ei(x').dx.dx'
1
Ei.0i.dx
Zii
Ei.01.dx
Zl2
Gi(x/x').Ei(x) . .dx.dx"
Ei(x).E2cx').0i(x).02 ex').dx.dx'
[6] Collin ' R. E. "FIELD THEORY OE GUIDE WAVES11,' Me, Graw-HillBook. New York 1960
40n. Sin(Ax).SinfAx')n=2
es sumada a la corrección y mediante la introducción de un
cambio de variables se generan funciones ortogonales en todo
rango de integración. Resolviendo:
X2
-1 X2 1
E(x).Sin(Ax).dx = - Cos(Ax) .E(x) | + -,' A xi . A
dE(x)
dxCos(ax).dx
El campo eléctrico tangencial es cero en el filo de la
tira conductora y el término integrado se desvanece. Con este•
resultado, [2.14] se transforma a:
Cos(Ax) .Sin(Ax') . E ( x ) - E ( x ' ) . dx. dx'n~2
2 xiB =
13a. x.2.
E' (x) .SinCicx/a)[2.15]
donde E ' ( x ) = dE(x)/dx. La serie debe ser escrita como:
Tt r-Kn A-,— 2 -.Cos(Ax)Cos(Ax" ) +' 2a 1 n 2
Cos(Ax)Cos(Ax') -
- Co s (Ttx/a) Co s ( TTX ' /a)a
* El último término de la serie converje rápidamente si
Kn se aproxima a A para un (n) grande i La primera serie es
por :
. (dx/d9)d9 = F(9).d9
co
También cada término Cos(Ax) = 2 Pnm.Cos(m9), donde
Pnm son coeficientes susceptibles de determinación. Bajo
estas modificaciones [2.15] queda expresada como:
2n:
1 Jj
r 1 o, 1 -
F(9)F(9'} I -Ln As + 2 - Cosn9.Cosn9L 2 1 n
o
CaKn/TO — n n n• - 2 2 Pnm. Pns. CosmG. Coss9' d9.de
2 n2 m~0 sB =
I2(Ai + A2.Cose).F(9) .d90 J [2.18]
La ecuación [2.18] es una expresión estacionaria para B
y se obtendrá una buena aproximación si se utiliza toda la
serie infinita Cos(m9) para F(9). Con fines de simplificación
el análisis se restringirá al caso de simetría, en consecuen-
cia: 2.Xi + d = a, Ai = O y A2 = Sin(Tid/2a) . La función F(9)
está representada completamente por una expansión
infinita 2 Cm.Cos(m9) en la ecuación [2.18]. Cuando es
realizada la minización, todos los coeficientes pares son
cero., El campo eléctrico E(x) es una función par en x = a/2,
entonces dE/dx es una función impar en x = a/2 y J£'(x)dx/d9 =
F(9) contendrá solo términos ,Cos(m9) com (m) impar. En las
series de corrección Cos(Ax) viene a ser una serie en Cos(m9)
43
con (m) solamente par o impar, dependiendo si (n) es par o
impar respectivamente_
Aproximando F(0) por un simple elemento, esto es, Cose,
entonces se consigue el siguiente resultado para B.
- - Ln As.Cos(se)Cos(se').de.de' = Oo 2
Cosne.Cosne- (Ai + As. Cose), (Ai -4- As.Cose') = CosG.Cose
n-1 n
co Cosne.Cose'- Aa2. Cose. Cose" + 2 - donde Ax-0
n
= (1 - Sin2(TCd/2a})_ Cose. Cos9 ' 4-n=2
Cosne.Cose
n
= Cos2(ird/2a) .Cose .Cose" +n-2
Cosne.Cose
n
Aplicando F(6) y desarrollando la integral:
Cos2(-n:d/2a)CO
2n=2J
CosnGCosne'CoseCoe
n
el resultado se transforma en:
(TC/2)2.Cos2(Trd/2a)
Para el tercer término: n es impar, comenzando desde 3 y
44
gm, a tienen el valor de 1 ya gue se propagan los modos (ni).
(aKn/rc) - nPna.Pni. Cose. Cose
n-3 n
Aplicando la integral:
TCco
2(aKn/Tt) - n
Pnx2.Cose2.Cose"2
co ^ (aKn/Tc) - n2 - Pni2, (ir/2)2
n
En el denominador la respuesta es:
I2A2.Cos2e,de - A2.(TT/2)2o • -1
2ir.B -
1 - As2(aKn/ic) - n
Pni2=3, 5 n-
A22_(u/2)2
2ltB=
L 2a
n Tüd -i
Cos2L 2a J
(aKn/ir) - nPnx2
n-3,5 n2
Como fundamentalmente se propaga el primer modo, se
puede aproximar a n = 3.
45
2-rrB= Csc2
L 2a -I
r itd -i (aKa/TC) - 3Cos2
L 2aP312
Calculando el polinomio de Chebyshev para Psi:
T3(u) - 4-u3 - 3.u
i T3(A2.Cbs9) = 4.(As-Cos9)3 + 3.(A2.Cos9)
I Cos39 = (l/4).Cos(39) + (3/4).Cos9
1 T3CA2.Cos9) - A23.Cos(39) + A2.(A22 -l).Cos9)
Pi3 = 3.As.( A22 - 1)
! As = Sin(Tcd/2a) = Sin9
•! Sin29 - 2_Cos9.Sin8
•9.Sin2(29)Fax2 = (Sin29 - 1)
4.Cos9.Cos9
9Psi2 - - Sin2(29).Cos29
4
reemplazando en el valor de B, el último resultado la ex
presión final queda:
B =2ir
fio., a i- 2a -I
(aKa/TC) - 31 + Sinadtd/a)
9
donde 3x = [ Ko2 - (ir/a)2 ]« y K3 = [ (Sir/a)2 - Ko2
II.4 POSTE
46La Fig.2.8 muestra un poste de ancho 2t y centrada en
x =
yY
2t
XI
z - o
Fig.2.8 Poste
La solución de este problema será formulada en términos
de una expresión variacional que involucra la corriente en el
obstáculo.
Haciendo incidir el modo Hio desde la región menor gue
cero, el campo eléctrico tiene una componente en (y) que está
dada por:
! E i. = SinCirx/a) .e-K1-^
El poste es uniforme en la dirección de (y) consecuen-
temente son exitados los modos Hno. El campo incidente exita
una corriente de distribución J(x) la misma que está dirigida
a lo largo Idel eje (y) y no tiene variación.
El campo disperso en la guia debe ser evaluada en tér
47minos de la corriente en el poste mediante la función de Green
para Hno. El campo disperso es:
Es(x,z) - G(x,z/x'). J(x')-dx [2.19]
donde (s) represente la superficie del poste, y:
-jwuo m 1G(x,z/x') = i 2 — Sin(Ax).Sin(Ax').e-Kn
a n-1 Kn
Kn2 = (nu/a)2 - Ko2, A = rnr/a
El campo total E-c en la guia es igual a la suma de la
onda incidente y el campo disperso. Este E-c debe cumplir la
condición de desvanecimiento en el poste, por lo tanto:
Sinirx -,
+ G(x,s/x')-J(x').dx' = O en S [2.20]
de [2.19], la reflexión del modo dominante está dado por:
Sin --Ka. Ua J
r-TtX
SinL a
-TCXn
J(x").dx' = R.Sin -La J
Z < O [2.21]
R - coeficiente de reflexión.
Para el caso de Z > O, el campo total del modo dominan
te que se transmite por el obstáculo es:
48
Sin•TtXn
a J a.KiSin
r-TCX
Sin —- ] J(x') .dx' =i L a
r-TEXn
T.Sin Z > O [2.22]
De [2,21] y [2.22] se deduce que 1 + R - T, por lo
tanto! el obstáculo aperará como un elemento paralelo a través
de la guia.
El miembro de la izquierda en la ecuación [2.22], debe
ser reescrita como:
a n=2 KnSin(Ax) S i n ( A x ' ) _ J ( x ' ) . d x Z^O en S [2.23]
Igualando [2,22] y [2.23].
(1 + R) -SinCicx/a) - Sin(Ax)a n=2 Kn
Sin(Ax')-J(x')-dx
[2.24]
Una reactancia paralela Jx a .través de la guia, con
impedancia característica igual a la unidad, produce un coe-
ficiente de reflexión dado por:
-i
E -
49
¿X =-(1 + R)
2R
Comparando con [2.243, la expresión para jx debe ser ob-
tenida por multiplicación en los dos miembros por J(x) , in-
tegrando sobre el obstáculo y dividiendo por:
J(x).Sin(Ax).dx
Aplicando las operaciones indicadas se obtiene:
JWJ-LO
Sin(Ax)a n=2 Kn
Sin(Ax').J(x").dx's
2R.Sin(Ax)
J(x),dx
J(x).dxs
a n=2 Kn ,Sin(Ax) .Sin(Ax') . J(x)-, J(x') . dx
jx =
2R. Sin(Ax) . J(x) .dx
R =Ki.a J
J(x)-Sin(Ax).dx
2 n=2 Kn JSin(Ax).Sin(Ax').J(x).J(xr).dx
sJX = -[2.25]
Sin(Ax).J(x).dx
En el borde deíuna lámina conductiva, el campo normal y
50
la densidad de corriente tangencial viene a ser infinita como
r~3g, donde r es la distancia radial desde el borde. Para una
lámina suficientemente angosta, el efecto de integración de la
corriente debería ser tal que sea constante sobre la lámina.
En una primera aproximación de jx3 se asume gue la corriente
es constante, entonces:
Ki
Xl+t
Ki oo 1J2
2 n=2 KnSin(Ax),Sin(Ax').dx
xi— t
J Sin(Ax).dx
xi-t
CosA(xi + t) - CosA(xi - t)
- Cos{Ti:(xi-t)/a>-[2.26]
Ka.Sin(Axi).Sin(At)
2 n=2 Kn.n2
Sin(Tc.xi./a) .S
Si xi = a/2
Kl
Sin(At)2 n=2 Kn.n2
[ Sin(TC. t/a) y-
51
Ki CD ijx = Csc2(Trb/a) 2 . [ Sin(At) 32 [2.27]
2 n~3,5 Kn.n2
Si se desea, la serie podría ser escrita como una serie
dominante:
aSin2(At)
n=3 ,5 TC . n3
más una seriíe de corrección:
n=335 n2 L Kn ' Tt.n
con esto se consigue 'una convergencia más rápida de la serie.
Si t es muy pequeño, la lámina inductiva es esencial
mente equivalente a un poste de radio t. Realizando el análi
sis matemático:
= 3é 2 — C 1 - Cos2At ] - Sin2(Ttt/a)n3. n~3,5 n3
Si t tiende a cero.
2 —i. Sin2At = % (irt/a)2 { Ln(ay-rrt) + 3/2 > - Sin2(-rrt/a)=335 n3
52
Reemplazando Csc2 (Ttt/a) por ( a/itt)2, tenemos :
Ki.a r co p. i TULnCa/ut) - 1 + 2(a/Tct) 2 - - • | Sin2(At)
4it L n-3,5 L n a.Kn
II.5 TORNILLOS
Las ventanas inductivas y capacitivas -.presentan el
problema de no ser ajustables. Aún que en la teoria es fac-
tible variar la insersión de la ventana, sienembargo para la
práctica hay dificultad debido a las imperfecciones del dia-
fragma y las paredes de la guia.
Una forma meo or de obtener una susceptancia variable es
por medio de un tornillo insertado en la pared superior o en
el fondo de la guia (paralelo al campo eléctrico) , como se
indica en la Fig.2.9.
-1b
^
\
'•pnwxrTT.T.n
—L
> ENERGÍA
Fig.2.9 Tornillo sintonizable
Un tornillo def longitud aproximadramente menor a un
cuarto de longitud de onda en el espacio libre, produce una
53
susceptancia capacitiva. El valor se incrementa con la pene-
tración.
Cuando la profundidad de penetración es aproximadamente
•un cuarto de la longitud de onda, el tornillo se comporta como
un circuito resonante serie y si es mayor la penetración la
susceptancia pasa a ser inductiva.fs'
La minimización de la resonancia es una función inversa
del ! diámetro del tornillo. La dimensión (b) de la guia es
generalmente pequeña lo que permite el uso de tornillos como
susceptancias inductivas en un amplio rango.
El circuito equivalente para un tornillo capacitivo se
muestra en la Fig.2.10.
Fig.2.10 Tornillo Capacitivo
Una curva representativa de la susceptancia normalizada
de un tornillo versus la profundidad de penetración, se in-
dica! en la siguiente Fig.2.11.
54
B/Yo
4
O 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
Fig.2.11 Susceptancia normalizada de un "tornillo
El método más directo de conseguir un generador de
impedancias es mediante la utilización de un tornillo que
•varié su posición y penetración en la guia.
En el caso de no requerir el desplazamiento del torni-
llo, es factible utilizar dos o tres tornilos separados un
octavo o un cuarto de longitud de onda, similar a stubs "en
lineas de transmisión.
CAPITULO
ALGORITMO Y PROGRAMA PARA OBTENER EL
! LUGAR GEOMÉTRICO DE Tos
DADAS LAS CONDICIONES DE LOS PUERTOS 2 Y 4
III.l PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
III.2 DESARROLLO MATEMÁTICO
III.3 DESCRIPCIÓN DEL ALGORITMO
III.4 CODIFICACIÓN
.CAPITULO 111
ALGORITMO I PROGRAMA PARA OBTENER EL
LUGAR, ÍIESMETR1CQ DE Loa
LAS -CONDICIONES CE LQ£ PUERTOS 2X4
En los capítulos 1 y 2, se enfocó el análisis matemá-
tico sobre el funcionamiento de acopladores direccionales y de
los elementos que actúan como susceptancias en guias de onda
para conseguir impedancias variables a la entrada de los
puertos, generando de esta manera una de las aplicaciones del
acoplador direccional, -cual e.s3 acoplar impedancias en banda
ancha.
El problema básico a enfrentar es el siguiente:
Al trabajar en alta frecuencia, existe el inconveniente
de que muchos elementos tienden a variar sus condiciones
internas dependiendo i de los incrementos de frecuencia oca-
cionados en el sistemaj
Una de estas condiciones es la impedancia que al sufrir
56
algún cambio desestabiliza el sistema, produciendo reflexio-
nes que originan pérdidas, error en las mediciones y posibles
efectos sobre la fuente.
En la práctica el" problema se presenta al realisar
mediciones con diodos detectores en un determinado ancho de
banda debido axla falta de acoplamiento de la impedancia del/
diodo.
Es entonces donde interviene la aplicación •del acopla-
dor direccional, es decir, mediante la utilización de meca-
nismos de acoplamiento en dos puertos y que permanezcan cons-
tantes en toda una banda conseguir íun perfecto ajuste de la
impedancia inestable,
Para esto existen dos métodos:
a.- Manual y por tanteo hasta conseguir el acoplamiento, y
b.- Manual y determinación de las condiciones de acoplamiento
por programa.
En el primer caso si bien es factible su ejecución pero
se dificulta ya que las calibraciones deben realizarse si-
multáneamente en dos puertos del acoplador direccional_
Con el segundo método es posible generar laa condicio-
nes de los, puertos de acoplamiento mediante? la ejecución de un
programa, aunque bajo ciertas restricciones '-que se detallan en
57
el capítulo 4.
Para un mejor enfogue de este método, el programa se
halla dividido en dos partes: :
a.r- Establecidas condiciones en los puertos de acoplamiento,
determinar el lugar geométrico de la impedancia en el -; x
• ; puerto 3, y|"b.- Partiendo del lugar geométrico, determinar las condicio
nes que deben colocarse en los puertos para que el sis-
tema se halle acoplado.
III. 1 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
CARGA DL4
c, c
FA
fuente
c. c
11 Utilizando al acoplador direccional como acoplador de
impedancias y bajo condiciones fijas de los puertos dos y
cuatro, determinar el lugar geométrico de la impedancia7" que
debe ser colocada en el puerto 3 para que el sistema acople en
58
un determinado ancho de banda."
Para desarrollar la hipótesis planteada, se establecen
las siguientes condiciones:
a.- CONDICIONES FIJAS
s'
a.l) PUERTO" 2.- Susceptancia = áBa
Longitud Lo. = distancíia desde la entrada
al puerto 2 hasta la sus—
ceptancia jBa.
Longitud Ls - distancia entre jBs y el
corto circuito.
a,2) PUERTO 4.- Susceptancia = ¿jB*
Longitud La — distancia desde la entrada
al puerto 4 hasta la sus-
ceptancia oB^.
Longitud L-4 = distancia entre jB^ y el
- corto circuito.V
a.3) Factor de acoplamiento.
b_- CONDICIONES VARIABLES
b.l) FRECUENCIA.- depende del ancho de banda asignado.
b.2) IMPEDANCIAS.- de los puertos 2, 3 y 4.
[7] El lugar geométrico puede ser de la impedancia o del coe-ficiente de Deflexión ya que en la carta de Smith seobtiene directamente Z y T 6 matemáticamente
59
III. 2 DESARROLLO MATEMÁTICO
.Con los parámetros establecidos en el numeral III.1 el
desarrollo matemático se halla divido en los siguientes pasos:
.a. ) Plantear la matriz [S] del acoplador direccional, con
siderando el efecto que producen todos los puertos.
b.) Desarrollar la expresión de (b) para el puerto 1 e igua
lar a cero quedes la condición de perfecto acoplamiento.
c. )< Del literal b. es obtenida la ecuación del coeficiente de
reflexión en el puerto 3 en función del los coeficientes
de los puertos 2 y 4.
d. ) 'Expresar el valor de TB en términos de las impedancias
normalizadas 22 y Z4.
e. ) La fórmula final del literal d. es evaluada en el progra-
ma.
D4
c. c
fuente•dt-
c. c
CL = 10 -
60
. .-
[b] =
• 0 p O Jq
P '0 Jq 0
0 Jq 0 p
• Jq 0 p 0
,
-
ai
F2 -b2
Fs -bs
. F-i . b-4
bi ~ p.F2.b2 H- Jq.F-i.b^ [3.1]
b2 - P-ai + Jq.Fs.bs [3.2]
bs ~ Jq.F2.b2 -t- p.F^.b^. [3.3]
b-i = J'q.ai + p.Fs.bs [3.4]
Substituyendo [3.2], [3.4] en [3.1]
bi = p2.F2.ai - q2.F4.ai + jpq(F2-F4.)F3.bs [3.5]
[3.2], [3.4] en [3.3]
bs - «jq.FsCp.ai 4- oq.Fsbs) + p.F^Coq.ai + p.Fsbs)
- CFs + F-c) - aibs = [3.6]
El sistema está acoplado cuando bi -.0. [3.6] en [3.5].
jpq.(F2 + r^)-aiO = -F^ )Fs .
Desarrollando:
bs (2.p2q2 + p4 +
bs (p2 + q2)2
= P2 - F2 -
= P2-F2 - qS.
61
[3.7]
Especicamente para el caso del acoplador de 3dB3 la
expresión se reduce a:
Para calcular los valores de Fs y F-4 de [3.7] en fun-
ción de las impedancias propias de cada puerto, •se procede de
la siguiente manera:
c. c
Yi = -j
•- o (b - 1/tane-b)
Y1'Y ~
1 + j
[3.8]
[3.9]
[3.8] en [3.9]
62
b.tanG-b + . tanGa. tanQt,
+ tanGtD - b. t'anGo.. tanQ-bY = j
tanGe. + tan6t> - b. tanQa.Z = á •• : [3.10]
1 - b.tanG-b - tanGa. tanGiD
Definiendo Z = jz , r = (2- i)/(z + i) y reemplazando
en [3.7] se tiene:
022 + .1 J24
X
.(¿22 - 1).(JZ4 - 1)
(q2 - p2).(l + 22.2.4) - 0(22 - Z4)
Separando en parte real e inmaginaria, el resultado
final queda. -
(r) =(1 - Z2.Z-O2 - (Z2 -
(22 ~ 24). (1 - Z2-Z4) + (2q2-l).(Z2 - 24). (1 -4-
' ;
(1 - Z2.Z-3.)2 - (22 - Z-i)2 '
• 63
Simplificando para el caso particular de 3dB, se tiene
242 ~ Z22 (22 - 24) . (1 ~ 22-24)
F-i — 4- nL 3 — ~ J
(1 - 2 2 - Z 4 ) 2 - (22 - Z4) 2 (1 - 22. 24)2 - (22 - Z-l)2
I I I. 3 DESCRIPCIÓN DEL ALGORITMO
/
P R O G R A M A /
/
XsI"*" I N G R E S O
DEDATOS
XsI H 1 C I A L K EV A L O R E S D E
T R A B A J O
v\.
C A L C U L O D ERo3 EH COOR- . .DEHADAS POLAR
S\O DE
Z3-A+JB
S\
5 . ' •**s
s
64
©C A L C U L O
DE22 ¥ 24
C A L C U L O DEL O N G I T U D D E
O N D A
HO INCREMENTO DEFRECUENCIA ESMAVOR A
SI
PRESENTACIÓNDE
RESULTADOS
N
S I / D É S E
X
M U E S T R EEL L U G A R
G E O H E T R K O
V \3A n r j \C A R T A
v
í VER3 EN LA
S f l l I H\O
^
END
- • 65
Para tener un adecuado desarrollo tanto de ejecucuión
como presentación al usuario, el programa está dividido en las
siguientes secciones:
1.- Ingreso de datos.
1.a) Li .— Distancia desde la entrada al puerto 2 a la
susceptancia jBs.
1.b) L2 .- Distancia desde la susceptancia JB^ al corto
circuito.
l.c) oBa .- Susceptancia del puerto 2.
l.d) Ls .— Distancia desde la entrada al puerto 4a la
susceptancia jB-4.
1. e) L-4 . - Distancia desde la susceptancia jB4 al corto
circuito.
l.f) jB^ . - Susceptancia del puerto 4.
l.g) Fi .- Frecuencia inicial.
l.h) Ff .— Frecuencia final.
l.i) a .- Dimensión de la guia que sirve para deter-
minar la frecuencia de corte en el modo TEn_o-
l.k) FA .- Factor de acoplamiento expresado en +dB.
1.1) N .- Número de puntos gue se desean para el lugar
geométrico.
2.- Opción de corregir datos.
3.- Dimensionamiento de las variables que intervienen en el
proceso.
3.a) R .- Parte real de la impedancia Za.
- 66
3.b) Y .- Parte imaginaria de la impedancia Zs.
3.c) Rs .- Módulo del coeficiente de reflexión Fs.
3.d) As .- Ángulo del coeficiente de reflexión Fs.
3.e) F .- Incrementos de frecuencia para los puntos
especificados.
4.— Cálculo de las frecuencias dependiendo del número de
tos escogidos para el•lugar geométrico.
5.- De terminación de la longitud de onda para cada frecuen
cia.
6.- Evaluar la expresión de Ts para todas las frecuencias del
numeral 4.
7.- Presentación de resultados: en pantalla, impresora ó
archivos de: '
7.a) Datos.
7.b) Valores de Ta y Zs. /
8.- Una opción para el usuario es. visualizar gráficamente los
resultados del numeral 6 en la carta de Smith.
9.- Finalización.
Si bien en el laboratorio todo el trabajo está centrado
en el acoplador direccional de 3dB', el programa faculta a-1
• • • . 6 7
usuario realiaar la evaluación para;otros factores de acopla-
miento.
III.4 CODIFICACIÓN DEL PROGRAMA
100101102103104105106107108109110111112120130140150160170160190200210220230240250260270280270300310320330340350360370380390400410420430
•wwmtwwwmmmmwwwmwíwmtmw*'í•t'i
'í
ACOPLA.8AS
PROGRAMA PARA CALCULAR EL LUGAR GEOMÉTRICO DE-RQ3CONOCIENDO EL ANCHO DE BAHOA Y LfiS CONDICIONES
DE LOS PUERTOS DOS Y CUATRO
•wtmwttmwímimmmmmmmmwmumm
CLEAR : CLS : QPTIDN BASE 1; PI - 3.141592'TEMA: ACOPLADOR DE IKPEDftNCIAS DE BANDA fiHCHA UTILIZANDO ACO-
PLADOR BIRECCIQNAL
SR.. ULPIAHG RAFAEL DÍAZ PÉREZ - 12-90
'ESTE PROGRAHA PERMITE EL CALCULO DE:'i.- EL LUGAR GEOMÉTRICO DE LA IMPEDAHCIñ EN EL PUERTO 3
ACOPLADOR BAJO CIERTAS CONDICIONES EN LOS PUERTOS 2PARA QUE EXISTA PERFECTO ACOPLAMIENTO EN EL PUERTO 1UN DETERMINADO ANCHO DE BANDA.
DELY 4
DADO
'2.- LAS CONDICIONES ORIGINALES DE LOS PUERTOS 2DE TRES DATOS DEL LUGAR GEOMÉTRICO DE Ro3.
Y 4 APARTIR
A$ = 'PRIHTFRINTPRINTPRINTFRINTPRINTPRINTPRINTPRIHTPRIHTPRINTPRINTPRINTPRINTPRIHTPRINT
A$j "ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL"A$, 'LABORATORIO DE MICRGONDAS"" ': PRIHT " B"TEMA¡ACOPLADOR DE IMPEDANCIAS DE BANDA ANCHA UTILIZAN'-1
DO ACOPLADOR DIRECCIONAL'• ': PRINT ' '"ESTE PROGRAMA PERMITE EL CALCULO DE;""1. EL LUSíR GEOMÉTRICO DE LA IHPEDANC1A EN EL PUERTO 3"fl DEL ACGLPLADOR BAJO CIERTAS CONDICIONES EH "LOS PUER-'" TOS 2 Y 4 PARA QUE EXISTA PERFECTO ACOPLAMIENTO EN'' EL PUERTO i DADO UN DETERMINADO ANCHO DE BANDA1
'2, LAS CONDICIONES INICIALES DE LOS PUERTOS 2 Y 4I BASE A TRES DATOS DEL LUBAR GEOMÉTRICO DE Ro3BU fl
II DESEA CALCULAR:"
EN'
- 68
440 INPUT ' V LUGAR GEOMÉTRICO, 'P' PUERTOS 2 Y 4 ? ', H$450 IF H$ = V THEN 1000 ELSE ÍF K$ = 'P" THEN 4010 ELSE 4401000 '1010 'DATOS PfiRA EL PUERTO 2 ' .1020 PRINT u DflTOS PfiRA EL PUERTO 2'1030 '1040 INPUT ' 1.LONGITUD HASTA B2 Li (ca)= ', Ll1050 INPUT ' 2,LONGITUD DESDE B2 AL C.C L2 [CB)= ", L21060 INPUT ' 3.SUSEPTAHCIA JB2 = ', B2Í070 '1080 'DATOS PARA EL PUERTO 41090 PRINT ' DATOS PARA EL PUERTO 411100 '-1110 INPUT " 4,LONGITUD HASTA B4 L3 (ca)= ", L31120 INPUT ' 5.LONSITUD DESDE B4 AL C.C L4 (caí= ", L41130 IHPUT fl 6.SUSEFTANCIA jB4 = ", B41140 '1150 'DATOS DE OPERACIÓN1160 PRINT " DATOS DE OPERACIÓN'1170 '11BO IHPUT ' 7.FRECUENCIA INICIAL Fi (fihz)= ', Fl1190 INPUT H 3.FRECUENCIA FINAL Ff (Hhz)= tt, F21200 INPUT ' 9.DIHENSIÜN (a)DE LA 6UIA {INCHES)= ', D1210 INPUT "10.FACTOR DE ACOPLAMIENTO (rdB)= ", A1220 INPUT '11.CUANTOS PUNTOS DEL LUGAR DESEA = \1221 INPUT "DESEA CQRREBIRÍN.-) O (0) PARA CONTINUAR ? M? B: I = 101222 IF B = O THEN 1230 ELSE IF B = 1 THEN 3000 ELSE IF B = 2 THEN 30101223 IF B - 3 THEN 3020 ELSE IF B = 4 THEN 3030 ELSE IF B = 5 THEN 30401224 IF B = 6 THEN 3050 ELSE IF B = 7 THEN 3060 ELSE IF B = 8 THEN 30701225 IF B - 9 THEN 3030 ELSE IF 3 = 10 THEN 3090 ELSE IF B = 11 THEN 31001230 PRINT "ESPERE EL PROGRAMA ESTA CALCULANDO"1235 '1240 DIH A3(F r 2), R3(P * 2), F(P 4 2), R(P + 2), I(P + 2)1250 O = 10 A (-A / 20)1260 N = (F2 - FU / P1270 F(1J - FI1280 1 = 11290 IF FUJ > F2 THEN 17301300 L = (30000 / FU) / ÍSQRÍ1 - (30000 / FÍU / 2 / 2.54V D) A 2)})1310 Z2 = TAN(2 í PI í Ll / L) + TAN(2 í PI I L2 / L) í [1 - B2 í TAíi(2 í FI í LI / U)'1320 DO - 1 - TANÍ2 t PI t U / L) .t (B2 + TAN(2 í PI í L2 / L}}1330 Z2 = Z2 / DO1340 24 = TAN(2 t PI t L3 / L) + TAN(2 í PI í L4 / L) t (1 - 34 í TAN{2 t PI í L3/D)1350 DO = i - TAÍH2 í PI í L3 / L) í (B4 + TñN(2 t PI í L4 / LJJ1360 24 = 14 / DO1370 '1380 'CALCULO DE Ro3 COMPLEJO1390 '1400 'PARTE REAL1410 X = (2 í 3 í B - 1) í (i - (72 t Z4) A 2) + (14 A 2 - 22 A 2)1420 XI = (1 - 22 í 14) A 2 + (22 + Z4) A 21430 X = X / XI
' 1440 'PARTE IMAGINARIA1450 Y = (22 - 24) t (1 - 22 t 24) + (22 + Z4) t (2 í Q t Q - 1) t (1 i 22 t 24}1460 Y = Y / XI
69
H70KBO149015001510
• 15201530154015501560157015BO1590160016101620163016401645165016551660167016BO169017001710172017301740"1750176017701760-17901BOO18101820133018401850"186013701830IB901900191019201930194019501960197019BO19902000
'CALCULO DE Z3 CQLPLEJO
R(I) = (1 - X A 2 - Y A 2) / ((i - \) * 2 + Y A 2)1(1) - 2 t V / ((i - X) A 2 + Y A,2)
'CALCULO DE Ro3 EN COORDENADAS POLARES
R3(I) = SGRÍX A 2 i Y A 2}IF R3(IJ < ,0000001 THEN 1680IF ABSÍXK ,0000001 THEN 1650IF X > O THEN 1630 . -A3ÍI) = PI + ATNÍY / X)IF A3(IJ < Pi THEN 1690A3(I) = A3(I) - 2 í PIBOTO 1690A3(I) = ATNÍY / X)BOTO 1690IF Y < O THEN 1660A3ÍI) = PI / 2GOTO 1670A3(I) = -PI / 2 .GOTO 1690A3(I) = OA3(I) = 180 í A3(IJ / PI1 = 1 + 1FU) = FÍI - 1) + NGOTO 1290
'PRESENTACIÓN DE REBULTADOS
FRIHT a DONDE DESEA LOS RESULTADOS"INPUT ""P PANTALLA, "í Opresora-, 'A'Archivo ?= ",IF H* = 'P' THEH 1800 ELSE IF Ht ~ T THEN 1810IF W$ = "A" THEN 1820 ELSE 1770-IHPií = 'SCRN;n; BOTO 1830IhPi$ = -LPT1:": SOTO 1830IHP1Í - EA:RESL1L1.DATBOPEN IHPi$ FOR OUTPUT AS IICLS
PRINT ti,PRINT Si,PRINT ti,PRINT *i,PRINT fi,PRINT Si,PRINT ti,PRINT ti,PRIHT ti,PRINT Si,PRINT ti,PRINT ti,PRIHT ti,PRINT U,PRINT «i,
A$, "ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL"A?, 'LABORATORIO DE KICROOHDflS"• *
"TEMA:'CALCULO DEL LUGAR GEOMÉTRICO DE LA ItfPEDANCIA EliPUERTO 3 DEL ACOPLADOR BAJO CIERTAS CONDICIONES EN"LOS PUERTOS 2 Y 4 PARA QUE EXISTA PERFECTO .ACOPLA-1MIENTO EN EL PUERTO i DADO UN ANCHO DE BANDA'"
1 DATOS PARA EL PUERTO 2aI 0
•LONGITUD HASTA B2 Li (c»J="LONGITUD DESDE B2 AL C.C L2 {ci)=•SUSEPTANCIA JB2• i
8 DATOS PARA EL PUERTO 4a
LlL2B2
7,0
2010 PRINT ti, • H
2020 PRIHT ?i, "LONGITUD HASTA B4 L3 (ca)= ', L32030 PRIHT ti, "LONGITUD DESDE B4 AL C.C L4 [ca>) = ", U '2040 PRIHT ti, "SUSEPTANCIA . JB4 = ', B42050 PRINT ti, ' "2060 PRINT Si, "DATOS DE OPERACIÓN'2070 PRINT II, ° *2080 PRINT §1, "FRECUENCIA INICIAL Fi (Hhz)- H, Fl2090 PRINT ti, "FRECUENCIA FINAL Ff (Hhz)= ", F22100 PRINT Si, 'DIMENSIÓN (aJDE LA SUIA (INCHES)= ', D2110 PRINT ti, 'FACTOR DE ACOPLAMIENTO í+dB)= ", ñ2120 PRINT ti, ' "2130 PRINT *1, 'LOS RESULTADOS SON LOS SIGUIENTES:"2140 PRINT ti, " "2150 PRINT ti, D F(Shz) Ir3 J1Í3 /Ro3/ angRo3W2160 FOR I = i TO P + i2170 F(I) = FU) / 10002190 PRINT Si, USING "Stm.lf§m"; F(I), R(I), 1(1), R3(IJ, ft3(I)2200 GOTO 22202220 ÍÍEXT I2230 CLOSE ti2240 PRINT " ' •2250 INPUT "PRESIONE (C) PARA CONTINUAR = fl, K$2260 IF Ht = DCB THEN 2270 ELSE 22502270 INPUT "DESEA VER EL LUGAR BEOHETRICO EN LA CARTA (S/N) ', H$2230 IF W$ = BS" THEN 2290 ELSt IF »$ = "N" THEN 2830 ELSE 22702290 '2300 'PRESENTACIÓN DE RESULTADOS EN LA CARTA DE SMITH23ÍO '2315 CLS2320 SCREEN 22330 VIEW (100,0),(539,199)2340 HINDOH (-1,1, -l.lj-d.l, i,i)2350 X = 0: Y = -1.12360 FOR I = 1 TO 102370 XI = .1 t I2380 LIME (X, YHX1, V)2385 LINE (XI, Y + .02)-[X1, V)2400 X = XI2410 I1EXT I-2420_LINE (-1.1, OHi.i, 0)2430 DATA 1,0,.75,.25,.5,.5,,25,.752440 FQR J = i TO 4 .2460 X = 1; Y = O2470 READ Ri, II2480 FOR I = O TO 7202490 XI = Ri t C03(PI í I / 360) + U2500 Vi = Rl t SIÍÍÍPI í I / 360)2510 LINE (X, YHX1, Yi)2520 X = XI: Y = Yi2530 NEXT I2540 NEXT J2550 DATA 232,540,1,0.52560 DATA 360,540,1,12570 DATA 452,540,1,2,52530 DATA 180,434,1,-O,5
• 71
2590 DATA 180,360,1,-i2600 DATA 180,267,i,-2.52610 FOR J = i TO 62620 READ Al, A2, II, R •2630 X = ABS(R) í COSfPI í Ai / 360) + II2640 Y = ABS(R) I SINÍPI t Ai / 360) + R2650 FOR I = Ai TO A22660 XI = ABS(R) I COS(PI t I / 360) + U2670 Yi = ABS(R) í SIH(PI í I / 360) + R2680 LIME (X, YHXi, Yi)2690 X = XI: Y = Yi2700 NEXT I27ÍO NEXT J2720 X = R3(i) í CQSÍPI í A3(i) / 180)2730 Y = R3(l) í SINÍPI í A3(i) / 180)2740 LINE (X, YHX, Y)2760 FOR I = 2 TO P + i2770 XI = R3(I) t COS[PI t A3(I) / 1BOJ2730 Yi = R3(I) t SINÍPI * A3[I) / IBO)2790 LINE U, YHXi, Yi)2800 X = Xi: Y = Yi2810 NEXT I2830 EÍJD3000 INPUT ' 1.LDN6ITÜD HASTA 82 LI (cs)= ', LiíGOTO 12213010 INPUT ' 2.LONGITUD DESDE B2 AL C.C L2 [cn)= ', L2:60TO Í22Í3020 INPUT " 3.SUSEPTANCIA JB2 = ", E2:GOTO 12213030 INPUT " 4.LONGITUD HASTA B4 L3 (os)= -, L3:BOTO 1221'3040 IHPUT " 5.LONGITUD DESDE B4 AL C.C L4 (CD)= ", L4;SBTO 12213050 IHPUT u 6.SÜSEPTAHCIA JB4 = ', B4¡GOTO Í22Í3060 IHPUT " 7.FRECUENCIA INICIAL Fi {Hhz)= H, FhSOTO 12213070 INPUT B 8.FRECUENCIA FINAL Ff íHhz)= D, F2:BQTQ 12213080 INPUT ' 9.DIHENSIOH (a)DE LA BUIA ÍINCHESJ= ', D ;GOTO 12213090 IHPUT "10,FACTOR DE ACOPLAMIENTO (+dB)= % A ;GQTO 12213100 JNPUT "U.CUANTOS PUNTOS DEL LUGAR DESEA = B, P ¡GOTO 1221
is.
ALGORITMO Y PROGRAMA PARA OBTENER
LAS DIMENSIONES DE LOS PUERTOS 2 Y 4
CONOCIENDO TRES DATOS DE Fo3
IV.l PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
IV.2 DESARROLLO MATEMÁTICO
IV.3 DESCRIPCIÓN DEL ALGORITMO
IV.4 CODIFICACIÓN
I5£
ALGQBIIMÜ I PROGRAMA EAKA &BTEHEB
LAS XffiiENSIGMES DE LQ£ 2UER1GS 2X
CONOCIENDO TRES DATOS J3E Ls
Al trabajar con componentes _electrónicos lo común es
encontrar manuales con curvas características de funciona-
miento y datos técnicos inherentes a ellos. una de las curvas
más representativas es la de impedancia.
En microondas la sensibilidad tanto de equipos como de
elementos, está intimamente vinculada a la frecuencia y la
potencia con gue trabaja el sistema . Sn nuestro caso al
utilizar el acoplador direccional como acoplador de impedan—
cias es necesario obtener como base de trabajo los datos de la
impedancia de los componentes a acoplarse en un ancho de
73
banda, ya que al no-estar excentos de variación con loa pará-
metros indicados anteriormente tienden a desequilibrar el
sistema.
En resumen, lo que se desea es realizar es el análisis
matemático y el programa que realice el proceso inverso al
descrito en el capitulo tres.
IV. 1 PLANTEAMIENTO.DEL PROBLEMA
"Dado el lugar geométrico de la impedancia en el puerto
tres, obtener las condiciones originales de distancias y
susceptancias de los puertos 2 y 4."
D
fuente
FA
c. c
c. c
a.-) IMPEDANCIA.- Datos que se obtienen del lugar geométrico
b.-) Factor de acoplamiento.
c.-) FRECUENCIA.- de los puntos escogidos.
.74
CONDICIONES' VARIABLES
a.-) PUERTO 2.- distancias Lo., L¿ y. la susceptancia ¿62
b.-) PUERTO 4.- distancias Ls, L< y-la susceptancia JB
IV.2 DESARROLLO MATEMÁTICO
_J. 3 —
p2.(áZ4 +1)
-i- 1) - <a2-(áza + 1) [4.1]
Definiendo Ts = A + jB, [4.1] puede expresarse como
paz^te real e imaginaria:
;•'
A - A.22.Z4 + B.22 + B.Z4 = ~(P2 - q2)-(l + za. Z4) [4.2]
B - B.Z2.Z4 - A.Z2 - A.Z4 = 22 ~ Z4 [4.3]
Despejando de [4.2] z
A + B.32 + (1 - 2.'<3L2)z4 = - = - [4.4]
- B - (1-
75
Substituyendo [4.4] en [4.3]
= O
Las soluciones para 22 provienen de una ecuación de
segundo grado:
2.B.q2 ± - (A2 4- B2 4- 2.q2 -I)2 + (2A.q2)222 - [4.5]
Para que exista acoplamiento el discriminante debe ser
mayor o igual a cero, caso contrario el sistema va a desaco-
plar y se presentarán pérdidas.
Con el cálculo de 22 a partir de los datos de Fs, pro-
cedemos a buscar una solución general que permita obtener las
logitudes y susceptancias de los puertos 2 y 4, motivo de este
análisis.
Lt>
c. c
= átanx + tany -'b. tanx. tany
1 - b.tany - tanx.tany
X. =
" 76
Y = Kg.Lto
Despe,j ando b.
z - z.tanxtany - tanx - tanyb = [4.63
z.tany - tanx.tany
Reemplazando tanx ~ sinx/cosx y tany = siny/cosy
z(cosx.cosy - sinx.siny) - (sinx.cosy - siny.cosx)b = = : [4.7]
z.siny.cosx - sinx.siny
z.cos(x + y) - sin(x + y)b ~
s.siny.cosx - sinx.siny
Utilizando las transformaciones:
% [ eos (x+y) - eos (x-y) ] = - sinx.siny
^ [ sin (x+y) - sin (x-y) ] - sinx.cosy
1 ?é.z.[sin (x+y) - sin (x-y)j - %. [eos (x+y) - eos (x-y)]
b z.siny.cosx - sinx.siny
2 z.sin (x+y)'- z.sin (x-y) - eos (x+y) + eos (x-y)
b 'z.eos(x+y) - sin(x+y)
9 = X + Y = Kg.(La + Lto) - Kg.LT
0 - X - Y - Kg.(La - Lfe) =- Kg.LD
77
Debido a la presencia de dos incógnitas: b y Lr>, es
necesario utilizar otra ecuación. Por tal motivo se utiliza un
nuevo: dato del lugar geométrico, generando nuevos z y Kg, sin-
embargo b es constante debido a lo cual es posible hacer la
igualación.
PUERTO 2. • .
Para Fi.- se tiene 221 3Kg2i y Lo?2 como datos.
2 Z21.sin (821) - z. sin (02i) - eos (621) + eos (02o.)- = [4.S]b Z21-cos(82x) - sin(82i)
Para Fs.- se tiene Z22 ,Kg22 y LT2 como datos.
2 222.sin (822) - z.sin (022) - eos (822) + eos (022)- = [4.9]b 222.003(822) - sin(822)
Denominando :
A ~ 220.. eos (621) - sin(82i) ¿4.10]
B - Z22.COS(022) - SÍn(822)
C = 221.SÍn(82l) +
"~D - Z22.SÍn(822) +
Al igualar [4.8] , [4.9] y reempla2ar en [4. 10]
C - Z21.SÍn(021) ~ COS(02l) D - Z22.SÍn(022) - COS(022)
A . B [4.11]
78
Transformando 3.sin0 +cos0 a 'función coseno:
a.eos (x - y) = a.cosx.cosy + a.sinx.siny
a.cosx.cosy - cosx
a.sinx.siny - z.sinx
tany — z
a.cosy-= 1
a — l/cos(tan-lz)
1z.sin0 + cos0 - cos(0 - tan~lz) [4.12]
cos(tan~lz)
[4.12] en [4.11]
cos(02i — tan~lz2i) cos(022 — tan~~lz22)
A B
Aplicando Lr>2 ~ Ls, - Lt> - L 2 - 2.L-to2, y, a - Kg.I/t> las
ecuaciones finales quedan expresadas asi:
B. cos[02i-2a2jL-tan-l22i] A. cos[022-2a22-tan-lz22]BC-AD = .
cos(tan~lz2x)
Realizando un proceso análogo para el puerto 4, la
expresión es:
B. cos[94i-2a4a.-tan-l24x] A.BC-AD -
)
'. 79"Los valores A, B, C, D, del puerto 4 difieren de los
valores del puerto 2.
En el proceso matemático descrito, la primera parte
desemboca en la ecuación:
2 z.sin KgLT - z.sin KgLr> - eos KgLo? + eos KgLr>
b . z.cos KgL-r - sin KgLD
que como se puede apreciar tiene tres variables para ser
evaluadas; estas son: la susceptancia (b), la longitud total
del puerto y la diferencia de las longitudes propias del
puerto. ' •
Intuitivamente debería formarse un sistema de ecuacio-
nes que permitan evaluar las incógnitas anteriormente señala-
das. Sinembargo, no hay la posibilidad de generarlas debido a
la falta de estabilidad en la expresión; ya que si bien (b)
permanece constante en todo el proceso, las expresiones tri-
gonométricas no tienen este comportamiento. Todos los datos
que se den para la solución del problema proceden del lugar
geométrico-, implica entonces que intervendrá la frecuencia
generando variación en los valores de Kg, lo que . da ines-
tabilidad a la ecuación cada vea que se cambie un dato.
Queda como una alternativa aprovechar la condición de
(b) y asumir el valor de la longitud total del- puerto como
dato, para reducir la expresión a otra que contenga dos in
s;ocógnitas ; una de las cuales permanece constante.
Asi, tomando otro dato del lugar gemétrico generamos la-
ecuación [4.9], la misma que igualada con [4'. 8], se llega a la
siguiente forma
Ai = A2.Cos02.Cos(Kgi.Lr)-0i) - A3.Cos0i.Cos(Kg2,LD-02)
donde Ai, As, As, 0i, 02 son. constantes.
Esta expresión al tener una sola incógnita puede ser
resuelta por algún método matemático.
Para efectos de simplificación se cambia Lr> por una de
las distancias del puerto:
Ai = A2.Cos02-Cos(Kgi.L2~03) - A3.Cos0i.Cos(Kg2.L2-0-i)
donde Ai, A2, As, 01, 02,' 03, 04 son constantes.
IV.2.1 MÉTODOS MATEMÁTICOS EMPLEADOS
Una vez obtenida la ecuación final del proceso matemá-
tico:
Ai = As.Cos02.Cos(Kgi.L2-03) - As. Cos0i. Cos(Kg2.L2-0-i)
81
es necesario tratar de buscar un método matemático que per-
mita su resolución . Asi:
IV.2.1.1 CONSIDERACIONES GENERALES
1.- La ecuación es no lineal, consecuentemente debe
buscarse algún .método numérico.
2.- La ecuación genera gráficos de la forma:
AMPLITUD
* *
* s*e *
.s*e >»c V- L2
Se aprecia que la función tiene n-raices, de las
cuales debe escogerse la más adecuada m-ralz, para 0<m<n.
IV.2.1.2 MÉTODOS ANALIZADOS
1.- El primer método que fue probado es el de aproxi
mación a series de Tylor. Las desventajas radica-
ron en:
a) Los argumentos de las funciones trigonométricas
(Kg.L - 0) al ser reemplazadas en las series
generan nuevos polinomios.
• 82
generan nuevos polinomios.
b) El método del punto medio.- dado que la ecua-
ción tiene n-raices, se disponen de n puntos
de convergencia lo que dificulta saber concer-
teza cual es la raíz más adecuada.
c) Método del descenso más prenunciado.- tiene el
mismo problema del anterior3 razón por la cual
se desearata.
d) Queda como método disponible, el conocido como
iterativo, que si bien sacrifica el tiempo de
ejecución en el computador, da los resultados
deseados. Este es el método empleado para la
solución del problema y que se detalla en el
siguiente literal.
IV.3 DESCRIPCIÓN DEL ALGORITMO
Del análisis .matemático, es necesario realizar algunas
consideraciones preliminares que permitan estructurar el
algoritmo, que ej ecute las operaciones necesarias para ob-
tener los resultados deseados.
Entre ellas las más importantes son:
83
1.-) Para generar las impedancias de los puertos dos y cuatro
que generan el lugar geométrico del puerto tres, se
desarrolla una ecuación de segundo grado, obteniendo dos
valores para cada caso. Al ser dos los datos requeridos
la solución del problema tiene cuatro posibles -combina-
ciones en cada puerto.
Z24(~)
222 (-)
Z24(~)
241 (+) I Z4l(+) I Z42(") 1 Z42(-)
+) Z44C-)
donde: Zji(±).- es la impedancia del puerto j.
i = 1,2 corresponden a las raices de la
ecuación del primer dato.
i ~ 3,4 corresponden a las raices de la
ecuación del segundo dato .
± - signo utilizado en la solución de la
ecuación de segundo grado.
2.-) Al igual que las impedancias, se-Tán consecuentemente
cuatro las ecuaciones no lineales que se forman para
cada puerto y de las cuales debe salir la respuesta
adecuada.
3.-) El método matemático considerado en el numeral anterior
IV. 2 es el iterativo.
' • 84
IV.3.1 ESTRUCTURA DEL ALGORITMO
El flugrama ha sido dividido en varois bloques que son
detallados a continuación:
1.- INGRESO DE DATOS.- Se ingresan tres puntos del lugar -
geométrico con sus respectivas fre-
cuencias. Dos de ellos sirven para el proceso matemático
y el otro para comparar si el resultado obtenido es el co
rrecto. Además se da como información la longitud total
de los puertos, la dimensión de la guia y el FA del aco-
plador.
2.- COMPROBACIÓN SI LOS DATOS CORRESPONDEN AL LUGAR GEOME
TRICO.
Es necesario verificar si los datos ingresados co-
rresponden al lugar geométrico, esto se lo hace compro
probando si el dsigno del discriminante de la ecuación
de segundo grado para el puerto dos es positivo, de no
ser, debe ingrasarse un nuevo dato o el mismo con
mejor aproximación.
3.- CALCULO DE LOS Zx Y Z .- Con los datos verificados, se
procede a ' calcular los Zs y Z-i
que generan el Tos y se los agrupa como se indicó en las
consideraciones genrales.
4.- CALCULO DE LOS VALORES DE COMPARACIÓN.- Un lado de la
ecuación:
85
CBC-AD) . Cos (tag-1. Z -b ) . Cos (tag-1. Zac )
donde: a - 2,4 indica el puerto.
b - 1,2|indica que la raiz fue calculada con el
c ~ 3,4|signo ±.
permanece constante, lo que permite almacenar en un
vertor fijo Ai(I), todos los valores de comparación para
diferentes combinaciones de impedancias y que van a
permitir en el siguiente paso discriminar aquellos valo-
res incorrectos.
5.- OBTENCIÓN DE LAS LOG1TUDES.- en la ecuación general:
Ai(I) - Az.Cos02.Cos(Kg;L-Lz-03) - As - Cos0i. Cos(Kg2 - Ls-04)
donde: Ai(I) es el valor de comparación establecido en si
numeral anterior, aplicamos el proceso iterativo de la
siguiente manera.
a.) Se transforma la longitud total del puerto de .cen
timetros a milímetros, debido a que el cálculo es
hecho en incrementos milimétricos.
b.) Para cada valor de longitud debe calcularse la segun-
da parte de la ecuación. Si el valor obtenido está
entre un 10% de Ai(I) procede, a calcular el error
produce esta longitud respecto al tercer dato del
lugar geométrico, si es menor al 20% se considera
esta longitud y el error producido para comparación
86
en" el siguiente cálculo.
c.) Incremento de la longitud en un milímetro.
d.) Se repite el proceso indicado en b.) pero el resul
tado es comparado con el anterior.
e.) De la iteración queda como resultado acuella longitud
que genera el mínimo error,
f.) El cálculo se repite para las cuatro posibles com-
binaciones de las impedancias del puerto 2.
g.) Finalmente se hace la comprobación entre los resul-
tados mínimos de cada proceso, obteneindose las dis-
tancias y susceptancias que generan, el mínimo error
al comparar con la impedancia del puerto 2 prove-
niente del tercer dato de Fo3.
h.) Paralelamente se regista cual de las combinaciones
fue la correcta para el cálculo, determinando asi que
proceso debe realizarse para el puerto 4.
i.) Se procede- en forma similar a los literales a, b, c,
d> e, teniendo las dimensiones y susceptancias del
puerto 4.
6.- COMPROBACIÓN DE RESULTADOS.- Con los resultados de los
<£-
87
literales g e i, y la frecuen-
cia del tercer dato, se procede al cálculo del lugar
geométrico de Fos* gve al compararse con el dato
ingresado produce un error final. Si este exece del
20% se descarta la respuesta.
7.- PRESENTACIÓN 'DE. RESULTADOS.- Finalmente se presentan los
,' ' resultados obtenidos luego de
la ejecución del programa.
IV. 3. 2 DIAGRAMA DE FLUJO
15 PROGRAHA
2
DECLARACIÓNDE
VARIABLES
INGRESO DE 3PUNTOS DEL
LUGAK GEOtíEI.
©CORRECCIÓN
DEDATOS
'VERIFICAR SILOS BATOS SOH
DELLUGAR
GEOMÉTRICO
CALCULO DE Z2V 24 QUE GE-
HERAN Ro3
• CALCULO DELAS LONGITU-DES DE OHDA
CALCULO DELOS UALORES
A,B,C,D
CALCULO DELOS UALORES
DE COHPfiRAC.
NO
[INGRESE OTRODATO O «EJOREAPROXIMACIÓN
89
DISCRIMINACIÓNDE LOS VALORESHEHORES fiL Í9X
CALCULO DE 223PARA COflPARAR
CON 223 REFEREN
CALCULO DE VALOREQUE DAN EL HINI-
ERROR PUERI02
UALORES HEHORESAL Í8X PARA EL
PUERTO 4
CALCULO DE 23^PARA COMPARAR
CON 243 REFEREN
90
©CALCULO DE V A L O R EQ U E DAH J 1 I N 1 H O E-
EH P U E R I 0 4
JNXLCOH LOS U A L O E E S
DE 223 V 243 CfiL-CULfiR EL
HO /Ut f i lFKf iE SI EEL HEHOñ
AL 20X
SI
EL O LOS PUNTOSESCOGIDOS HO SONDEL LUGfiR GEOtíE.
PRESEHTACIOHDE
RESULTADOS
FIN
91
V.3.3 CODIFICACIÓN DEL PROGRAMA
3900 'mnmmmmmummmnmmnmmmtmmt3901 't í3902 '» SUBPROGRAHA QUE PERMITE OBTEHER LAS CONDICIONES t3903 '* ORIGINALES DE LOS PUERTOS DOS Y CUATRO A PARTIR I3904 '( DE TRES DATOS DEL LUGAR 6EQÍ1ETRICO DE Ro3 I3905 'í t390£> 'mmmwmmmnmmmmmmmmmnnmí3907 '3908 ' . •4010 1 = 04020 'SUBPROERAMA QUE PERHÍTE CALCULAR LAS CONDICIONES INICIALES4030 'DE LOS PUERTOS 2 Y 4 APARTIRDE TRES DATOS DEL LUGAR 6EQHE-
• 4040 'TRICO DE Ro34050 '4060 DIH R(3), X(3), FÍ3), L(2), Y(3), Z(4, 6), U(3), A(16)4070 DIH AKBJ, XKB), D[3, 1000], E{8), CÍS), 8(8), Di{3}, D2{3)4080 'R y X ALMACENAN LOS VALORES DE Ro34090 'F FRECUENCIAS DE Ro34100 'Y SE UTILIZA PARA VERIFICAR SI EL DATO DE Ro3 ACOPLA4110 'I ALMACENA LOS DATOS DE LAS IHPEDANCIAS4120 'U LONGITUDES DE ONDA DE LAS TRES FRECUENCIAS4130 'A ALHACENA DATOS AUXILIARES4140 'Al CONTIENE LOS VALORES DE COMPARACIÓN4150 'D ALMACENA LAS LONGITUDES COMPRENDIDAS EN UN RANSO +/-20Z4160 'E TIEHE LOS ERRORES MÍNIMOS PfiRA CAÍA CASO4170 'C TIENE LOS DATOS DE LONGITUD QUE DAN LOS ERRORES HINIKÜS4180 'L LONGITUDES TOTALES DE LOS PUERTOS 2 Y 44190 'B ALHACENA LAS SUSEPTANCIAS DE LOS PUERTOS 2 Y 44200 '4210 'INGRESO DE DATOS4220 '4230 PRINT "INGRESE LOS DATOS CON APROXIMACIÓN DE TRES DECIMALES"4240 INPUT ' 1.FRECUENCIA DE Ro3i • (fíhz)*", F(l)4250 INPUT ' 2.MODULO DE Rü31 =a, Di(l)4260 INPUT B 3.ÁNGULO DE Ro31 ÍGRADQS)="3 D2(i)4270 INPUT " 4.FRECUENCIA DE Ro32 (Hhz}=a, F(2)4230 INPUT ' 5.MODULO DE Bo32 =a} Dl(2)4290 INPUT a ¿.ÁNGULO DE Ro32 (GRADOS)=', D2{2)4300 IHPUT ' 7,FRECUENCIA DE Ro33 (Mhz)=s, F(3)4310 IHPUT ' B.MODULO DE Ro33 --, Dl(3]4320 IHPUT ' 9,ÁNGULO DE Ro33 (GRADOS)*1, D2(3J4330 IHPUT B10.FACTOR DE ACOPLAMIENTO (4dB)=a, A4340 IHPUT '11-LONGITUD TOTAL PUERTO 2 (w)~e, L(i)4350 IHPUT '12,LONGITUD TOTAL PUERTO 4 (ca)=D) L[2)4360 INPUT "13.DIKEMSION [aJBUIA EN (INCH)=', S4370 PRINT ' "4330 INPUT "DESEA CQRRE8IRÍN.-) 0 (0) PARA CONTINUAR ? s, B: I = 104390 IF B = O THEN 4440 ELSE IF B = i THEN 7200 ELSE IF B = 2 THEN 72104400 IF B = 3 THEN 7220 ELSE IF B = 4 THEN 7230 ELSE IF B - 5 THEN 72404410 IF B = 6 THEN 7250 ELSE IF B = 7 THEN 7260 ELSE IF B = 8 THEH 72704420 IF B = 9 THEH 7230 ELSE IF B = 10 THEN 7290 ELSE IF B = 11 THEN 73004430 IF B = 12 THEN 7310 ELSE IF B = 13 THEÍ! 7320
92
44*0 PRíNT 'ESPERE EL PROGRAMA ESTA CALCULANDO"4445 '4450 'CGhPROBACIGN DE ACOPLAMIENTO '4460 '4470 Q = 10 A (-A / 20) .4480 FOR I = i TO 34490 R(I) = DIIIJ * COSÍPI t D2(IÍ / 180)4500 X(I) = DUIJ * SINtPI t D2[I) / 160)4510 Y(I} = (2 í XU) ? Q t Q) A 2 - (R(IJ A 2 + X[I) A 2 + 2 t Q í Q - 1) A 2 *(2 t RÍI) í 8 í Q) A 2
4520 IF YÚJ > O THEN 46304530 PRIHT ' ": PRIHT 9Ro3'; I; "4540 PRINT "ESTE VALOR NO PERMITE OBTENER PERFECTO ACOPLAMIENTO"4550 PRINT 'VA QUE EL SISTEMA VA A TENER PERDIDAS, POR LO TANTO14560 PRINT "INGRESE :H4570 INFUT 'UN NUEVO VALOR O HAGA UNA MEJOR APRGXIHACIQINU/2) ', B4580 IF B = 1 THEN 4590 ELSE IF B = 2 THEN 4600 ELSE 4570 •4590 PRIHT "FRECUENCIA "; Ij * (Khz)="; : INPUT ; ' % FU)4600 PRINT "MODULO DE Ro3u; I; " ="; ; INPUT ; ' ", Di(I)4610 PRINT 'AN6ULO DE Ro38; I; "(6RA)="; : INPUT í • ', D2[I)4620 GOTO 44904630 NEXT I
- 4640 '4650 'CALCULO DE LOS Z2i Y Z4i PARA LOS DATOS DE Ro34660 '4670 FOR J = i TO 64680 IF Jr> 2 THEN 474046B5 1 = 14690 2(2 , JJ = 2 t X I ! ) t Q t Q i ((- i) A (J - D) t S Q R Í Y ( I ) )4700' 2(2, J) = 1(2, J) / ( R ( I ) A 2 + X Í D A 2 + 2 í R f l ) ? Q í Q ^ 2 í Q Í Q - l)4710 2[4, = R(I) + X(IÍ t 1(2, JM i - 2 í Q t Q4720 2(4, J) = Z(4, J) / ((Rfl) - 1 + 2 í Q t Q) í 2(2, J) - X(I))'4730 GOTO 47904740 ÍF J > 4 THEN 47704750 I = 24760 GOTO 46904770 1 = 34780 GOTD 46904790 NEXT a4BOO '4310 'CALCULO DE LAS LONGITUDES DE ONDA4320 '4830 FOR I = 1 TO 34340 U(I) = (30000 / FU)) / (SQRtl - {30000 / F(I) / 2 / 2.54 / S) A>2)) ,' '4850 NEXT I •4860 '4870 'CALCULO DE LOS ''ALORES AUXILIARES A,B,C})D4830 '4900 « = I: E = 14910 FOR I = 1 TO 24920 FOR K = E TO 2 í I4930 N = O4940 FOR J = M TO H + 2 STEP 24950 A(J) = 2(2, K) t COS(2 t PI t L{1) / U(I) - N J PI / 2)4960 A(0) = A t O J - SIH(2 í PI í L[1J / U(I) - N í PI / 2)
93
4970 fl[J i i) = Z(4, K) í C05(2 í PI í L(2) / U(IJ - N í PI /'2J '4980 A(¿ + i) = A(J + i) - SINÍ2 t PI t 1(2] / U[I) - N t PI / 2)4990 N = I - ' .5000 NEXT J ! •'5010 H = H t 45020 NEXT K5040 E = 35050 NEXT !5060 '5070 'CALCULO DE 105 VALORES DE COHPARCION50GO '5090 ' "5100 N = 15110 FOH I = 1 TD 25120 J = 4 t I - i5130 FOR K = 3 TQ 4-5140 K = 4 t K - 35150 AUN) = IAU) í A(HJ - A{J - 2} % A(H í- 25} í CQS(ATH(Z[2J I)}) í COS(ATM(Z(2, K))]5160 AUN + i) = {A(J + 1) t AÍM + 1} - Aí¿ - 1) í A(H + 3)} í COSÍATH(Z(4, I)))5170 AUN -í- 1) = Ai(N + i) J COSÍATNÍZÍ4, K))J51BO M = N + 25190 NEXT K5200 NEXT I5210 '5220 'IHICIALIZACIDN DE CONTADORES5230 '5240 FOR I = 1 TQ S5250 Xld) = i5260 NEXT I
- 5270 '5280 'OBTENCIÓN DE LAS LONGITUDES EN BASE ñL VALOR DE CQHPARCIQH5290 'COMPRENDIDO ENTRE UN (t/-) 20X5300 '5310 II = 1: I = 15320 F = 9: L = 95330 H = 1: G = 15340 Bl = 1: B = 15350 D = L(1J / .01 - 15360 FOR N = 2 TQ 4 STEP 25370 FOR DI - O TO 05380 FOR J = 1 TO 2 „5390 FOR K = 3 TO 45400 El = fl(FJ t COSÍftTHÍZÍN, K)J)5410 El = El ? COS(2 í Pí í (2 í Di / 100 - L(H)J / U(l) - ATNUÍN, JJ)} ' '5420 E2 = A[G) t COS(ATHÍZ(H, J J J ) •5430 E2 = E2 í C03(2 í PI í (2 í DI / 100 - L { H ) J / ü ( 2 ) - A T N Í K N , K } } )5440 E = El - E25450 IF Al(2 J I - K) < O THEN 50405460 IF E > Al(2 í I - H) ? 1,2 THEH 55005470 IF E < Ai[2 t I - M) t .8 THEH 5500 . - ""-SWO D(B, X1(B)) = Di5490 XI(B) = XitB) + 15500 1 = 1 + 15510 B = B 4 15520 F = F -i- 4
9'4
' 5530 NEH K5540 F = L: 6 = 6 + 45550 NEXT 35560 I = U: B = £1: S = Í15570 KHT 3)15580 II = 2:5590 El = 5:5600 F = 10: L = 105610 « = 2: B = 25620 0 = 1(2} / .01 - 15630 SOTO 56905640 IF E < Al (2 t I - !U t 1,2 TAEfl 5500 ;5650 IF E > Al(2 í I - fl) í ,3 T¿Etl 55005660 D { B , . X l l B i ) = DI5670 Xi (B) = liíB) + 15680 6DTD 55005690 KEXT N5700 '5710 'CALCULO DE LAS Z2i Y Z4i JWSUÍflS ?£Slft US 2HS3M3S3 iBK-5720 'NIflfiS EN LA PARTE AHTEK1DH5730 '5740 I = 1: L = i5750 FOR N = 2 TO 4 STEP 2 . -5760 FOR 3 = 1 TO 25770 FOR K = 3 TO 45780 IF Xl(I) = 1 THEN ¿0305790 Éí = 20"5BOO E2 = 20 .5B10 FOR K = 1 TQ Xlfl) - 15320 Bi = TAN(2 t PI i D(J, «) ./ 100 /-ÜÍ1J)5830 B2 = TflNÍ2 í PI t IUL) - Jí(J, JíJ / 100) / ÜU)J5B40 B = (Z(H, J) - ZÍN, oí í 31 t 32 - Bl - S2) / ÍZÍIS, 3í í B2 - 31 í 22)5B50 Bi = TAHÍ2 t Pi t (LíL) - ÍÍI, íí) / 100) J ÜÍ3J)5360 B2 = TñN(2 t PI J 3(1, K) / 100 / ü(3))5B70 223 = (Bl t (1 - B t B2J + B2) / íl - B t 31 - Bl t 82}5830 Ai = 100 í A3SÍEZ23 - Z(H, 5)) / ZÍN, 5)}5890 IF Ai > El THEN 59305900 Ei = Ai
- 5910 B3 = B5920 Cl = BU, K)5930 A2 = 100 t ñB3[(I23 - ZÍH, 6)} / ZÍN, ¿))5940 IF A2 > E2 THEN 59BO5950 E2 = A25960 B4 = B
. 5970 C2 = D(I, H)5930 NEXT K5990 IF Ei > E2 THEN 60406000 E(I) = Él6010 C(IJ = Ci .6020 B(I) = 83-6030 GOTO 60706040 E(I) = E26050 C ( I ) = C2
• 6060 B[I) = B4. 6070 1 = 1 + 1
6080 NEXT K6090 HEXT J
95
6100 L = L f í6110 NEXT N '6120 ' •6130 'CALCULO DE Li, L2, JB2, L3, -L4 JB4 Y EL ERROR6UO '6150 E = 206160 FOR I = i TO 46170 Bí = TAN(2 í PI I CU) / 100 / U(3J)6180 B2 = TfiN(2 í PI t CU í 4) / 100 / Ü[3JJ6190 B3 = TAN(2 í PI í (L(1J - C[I) / 100) / U[3J)6200 84 = TftNU í PI í (LÍ2J - C{í + 4) / 100) / U[3)í6210 Z2 = (Bl - BU) t 31 i B3 + B3J" / [1 - B(I) t Bi - Bl í B3)6220 Z4 = (B2 - B(I + 4) t B2 t B4 f 84) / (í - 3(1 + 4)' t B2 - B2 í B4)6230 R = ((2 t Q í Q - 1) t (i - U í Z2 t Z4 í Z4) + Z2 * 2 - 11 A 2)6240 R = R / (U - Z2 J U] A 2 + (22 + Z4J A 2)6260 X = U2 - Z4) I U - Z2 t Z4J + [Z2 + Z4) t [2 t Q í Q - I) t (1 + Z2 í Z4)6270 X = X / (U - 12 * Z4) A 2 + [Z2 4 Z4) A 2)62?0 H = SOR(R A 2 + X A 2)6300 E3 = 100 I ABSfítl - Dl(3)) / 01(3))6310 IF E3 > E THEH 63706320 D2 = C(I) / 1006330 D4 = Cjl+4) / 1006340 B5 = Bfl)6350 B6-= BU * 4)6360 E = E36370 NEXT 'I '6380 IF"E3 = 20 THEN 64006390 BOTQ 64606400 PRIHT6410 PRINT ' EL O LOS PUNTOS ESCOGIDOS. DE Ro3 NO CORRESPONDEN"6420 PRINT " AL LUGAR BEOHETRICO10430 PRINT a "6440 1NPUT "DESEA REIHICIAR (1} O TEMAR EL PROGRAMA (2)= ', U6450 IF U = 1 THEN ELSE IF U = 2 THEN 7190 ELSE 64406460. '6470 'OBTENCIÓN DE RESULTADOS6480 '649065006510652065306540¿5506560
.021 =022 =D41 =D42 =B21 =B22 =B41 -642 =
D2D2D4D4B5B5Bó'B6
ííttíííí
(1UUUUUuu
- E34 E3- E34 E3- E34 E3- E34 E3
////////
100)100)100)100)100)100)100)100)
6570 '-6530 'PRESENTACIÓN DE RESULTADOS6590 '.6600 PfiiílT 'DONDE DESEA LOS RESULTADOS"6610 PRINT H u
6620 INPUT "P'Pantdla, Tlmpresorá, 'A'Archivo ? ', Ht6630 IF W$ = "P1 THEN 6650 ELSE IF H$ = T THEN 66606640 IF W$ = 'A1 THEN 6670 ELSE 66206650 IHPlí = 'SCRNí5; GOTO 66806660 IMPlí = "LPT1:9; GOTO 66906670 Iiu,Pi$ = nA:RESUL2.DATB "6680 OPEH IWPlt FQR OUTPUT AS SI
96
6690 CLS¿700 PRIN'l II,6710 PRINT ti,6720 PRINT ti,6730 PRINT SI,6740 FRINT ti,6750 PRINT II,6760 PRINT ti,6770 PRINT II,6780 PRINT ti,6790 PRIHT ti,6900 PRINT II,6810 PRIHT ti,6820 PRINT ti,6830 PRINT II,6B40 PRINT ii,6850 PRINT ti,6860 PRIHT ti,6370 PRINT II,6B30 PRIHT ti,6890 PRINT ti,6900 PRINT 11,6910 PRINT ti,6920 PRINT Si,6930 PRINT ti,6940 PRIHT ti,6950 PRINT ti,6960 PRINT §1,6970 PRIHT SI,6980 PRINT 31,6990 PRINT II,7000 FRINT ti,7010 PRINT íl,7020 PRINT 11,7030 PRINT 11,7040 PRINT ti,7050 PRIHT II,7060 FRINT ti,7070 PRINT II,7030 PRINT ti,7090 PRIHT n,7100 PRINT II,7110 PRINT 41,7120 PRINT 41,7130 PRINT tí,7140 PRIÍÍT ti,7150 PRINT Si,7160 PRINT Si,7170 PRIHT ti,7180 GLOSE ti7Í90 END7200 INPUT7210 INPUT7220 INPUT7230 IHPUT7240 IHPUT7250 INPUT7260 IHPUT
A$, 'ESCUELA PDLITEOilCA ÜAElDNñi/Aí, 'LABORATDKIS D£
•TEKA: ' CflLCLiLD DE Ll, 12, J32, L3, 14, JB4DATOS Da LOKfiR H£3ílETHICO JE Si)}'11
D «
" LDS BATOS SDH L05 5ISU1BÍFES:"a e
"PUNTO 1"
3E
DE Ro31 í«hzj=", FU)' 2.ÍÍGDULÜ BE Ro-31 =% Diíi)• 3.AHBÜLO DE Sn3i ÍSHAEOS)=', B2Ü)
íflhi)=", FÍ2)=', S1Í2)
ÍSSÍD05}=', 32(2)
(fifaz)='( FÍ3)=", Bi(3)=", 32(3}
1 4,FRECUENCIñ SE Rn32a 5.BODÜLO DE Ho32' 6.ANBULO DE Ro32
"PUNTO 3"I B
1 1.FRECUENCIA DE Eo33fl 3.HODULO DE Ro33' 9.ANBULQ BE Ro33u i
"DATOS BEKERALES"
•10.FACTOR DE ACOPLAMIENTO {+cB)=H, A"IÍ.LQNBITUD TOTAL PUERTO 2 ícE)=flf LÍ1J•Í2,LON6ITÍÍD TOTAL PUERTO 4 (ca)=Bf L(2]"13-0IBERSION (a)6UIA EN ÍINCH)=", SIi O
3LGS REBULTADOS SOS LOS SISUIENTES't II
'ERROR DE CALCULO = (i/-) ', E3, 'I'RANGOS1
VALOR 1 VALOR VALOR 2""PUERTO 21•Llícs) B, L(i) - D22, ", Líl) - D2, ", L(i) - D21ajB2 ", B2Ij ", 35, ", B22'L2(c0J ", D22, ", D2, IM, D21
'PUERTO 4"lL3(Cis) ', L[2) - D42, ", L(2J - D4, ", L{2} - D4iUJB4 ", B41, ", B¿, '% B42•L4ÍCQ) a, D42, ", D'4, ", D41
FRECUENCIA DE Ro3iMODULO DE Ro3iANBULü DE Ro3iFRECUENCIA DE Ro32MODULO DE Ro32ÁNGULO DE Ro32FRECUENCIA DE Ro33
(Hhz)=B, F{1) ¡BOTO 4380=', Diíi)¡BOTO 4330
[GRADOS^1, D2(i):BOTO 4380[HhzJ='( F{2) :60TD 4380
=', D1(2):BOTO 43BO(SRADOS)=', D2[2):SOTO 4330
ÍMhz)=", FÍ3J :60TO 4330
CAPITULO 2
APLICACIÓN DEL ACOPLADOR Y LOS -PROGRAMAS
PARA ACOPLAR IMPEDANCIAS
V.l DETECTORES DE ONDA
V.2 DIODOS DE CRISTAL
V.3 DISEÑO Y CONSTRUCCIÓN DEL ACOPLADOR DE 3dB
V.4 MONTAJE DEL EQUIPO PARA ACOPLAR
V.5 FORMA DE ACOPLAR EL DIODO
V.6 RESULTADOS DEL ACOPLAMIENTO
CAPITULQ
APLICACIÓN PEL ACOPLADOR X LOS
EAEA ACOPLAR IMPEDANCIAS
En los capítulos anteriores se ha hecho un análisis del
comportamiento matemático del acoplador direccional, su
aplicación como acoplador de impedancias y los elementos que
pueden ser utilizados para acoplar carga. Además la realiza-
ción de los programas-; uno que permite calcular en el acop]a-
dor direccional el lugar geométrico de las cargas que pueden
ser acopladas en el puerto 3 bajo ciertas condiciones de los
puertos 2, 4 y otro que ejecuta el proceso inverso.
En el presente capitulo va a realizarse un enfoque de
los dectectores de onda (diodos) que son utilizados en micro-
ondas y cuyas impedancias tienden a variar con los incrementos
"de frecuencia dificultando mantener la .estabilidad en el
sistema, pero aplicando los mecanismos de acoplamiento in-
dicados anteriormente puede corz^eglrse este 'error.
•- 98
V.l DETECTORES DE ONDA . "."
Cuando en una guía de onda o linea coaxial es realizada
una ranura longitudinal es factible deslizar una punta de
prueba con el objeto de determinar la intensidad de campo
.eléctrico en función de la posición en la guia, permitiendo
calcular o corregir una impedancia desacoplada mediante la
relación de onda estacionaria.
Punta de prueba
ENERGÍA • f : / ENERGÍA
fig.5.1 Esquema básico de un detector de onda
Generalmente una linea coaxial termina en un diodo*
detector a cuya salida se mide la fuerza de campo en la punta
de prueba. Para obtener mayor sensibilidad esta debe ser
acoplada a la línea mediante un stub sintonizable.
El esquema básico de una forma mejorada del detector de
onda en la guia es mostrada en la fíg.5.2. La unidad provee a
la punta de un sistema de desplazamiento a lo largo de la
guía, así como, de elementos mecánicos que facilitan la
penetración y un stub sintonizable para balancear a la salida
99
la componente reactiva de la puntal SI cristal rectificador
.está montado en una sección de guia auxiliar cuyas dimensiones
permiten que resuene a la frecuencia de diseño y se halla
acoplada" a la guia principal por medio de la punta de prueba.
En la guia el cristal es ubicado aproximadamente a un cuarto
de longitud de onda desde la sección final, sitio donde el
campo eléctrico es alto.
Punta deprueba
Cor.to circuito
Guiaauxiliar
diodo decristal
Guiaprincipal
fig.5.2 Detector de onda
En la mayoría de aplicaciones, para un muestreo adecuado
con detectores de onda es necesario que la punta penetre una
distancia mínima, caso contrario originaría una distorsión del
campo eléctrico en la línea o guía. Otro error que se origina
en la medida de la intensidad de campo es la exitación de
modos de alto orden a una o dos longitudes de onda de la
posición de la punta debido a que actúa como discontinuidad.
Por esta razón, la .sección del detector debe estar perfecta-
"mente acoplada al resto de la guía para reducir en varias
^longitudes de onda los efectos generados por alguna discon-
tinuidad.
'100
V.2 DIODOS DE CRISTAL
Los primeros diodos que se -utilizaron fueron los tubos
de vacio, pero al paso del tiempo surgieron serias limita-
ciones, entre ellas, la capacitancia entre los electrodos era
muy grande así como el tiempo de tránsito de los electrones.
Sin embargo el surgimiento de los diodos de cristal redujeron
sustancialmente los valores de capacitancia y tránsito, razón
por la cual son óptimos -para rectificación de microondas,
detectores y mezcladores.. Además' se halla solamente en una
unidad lo que reduce considerablemente su tamaño. Los diodos
de cristal en sus inicios fueron conocidos exclusivamente por
sus propiededes de rectificación y no se aprovecharon las
condiciones de estabilidad sino hasta que fueron producudos en
grandes cantidades.
El cristal estructuralmente hablando consiste de mate-
rial semiconductor ' generalmente silicio o germanio. Por un
extremo elsemiconductor se une a un contacto metálico y por el
otro a un alambre fino conductor llamado "whisker". Una
pequeña presión es ejercida sobre el punto de contacto para
evitar que el whisker se desprenda.
Whisker
Contacto metálico
Soporte de cerámica
Semiconductor
«-Contacto metálico
fig.5.3 Esquema simplificado del.cristal
101
La característica voltaje - corriente de un diodo de
silicio ilustrado en la fig.5.4, demuestra que el cristal
conduce en las dos direcciones, pero la resistencia de polari-
zación inversa es mucho mayor que la directa. El diodo puede
conducir más fácilmente cuando el whisker es positivo o
negativo, en el primer caso corresponde al tipo "p" , mientras
que el segundo es• tipo "n". El material- semiconductor más
usado es el silicio aunque en la actualidad también se utiliza
el germanio con cierta cantidad de impurezas para conseguir
que tanto la resistencia como el voltaje inverso sean muy
altos. El control exacto de las. impurezas es dificultoso de
ahí que el costo de estos diodos es elevado.
I(mA)
6
4
2
6 -4 2
— 2
—4, _ e
— B
O. 2 O_4 O. 6i
C
(a) (b)
fig.5.4 a) Curva voltaje-corrienteb) Circuito equivalente
La fig.5.4b muestra el circuito equivalente de un diodo
de cristal, donde los parámetros R, C, r, Cl, L tienen la
102
siguiente descripción:
R.- Resistencia no lineal producida en la región de contacto
entre el whisker y el semiconductor. Su valor decrece al
aumentar la corriente de polarización directa y even-
tualmente es menor que r.
C.- Capacitancia debida a las propiedades dieléctricas del
semiconductor. Su valor está por'el orden de los microfa-
radios y en algunas ocasiones su comportamiento también
es no lineal.
r.- Llamada resistencia de difusión, generada por la resisten
cia remanente entre el semiconductor y el whisker_
L.- Inductancia presentada por el whisker.
Cl.- Capacitancia que se' produce entre los terminales de la
unidad debida al montaje del diodo.
Los diodos de cristal se hallan disponibles en un sin
número de formas. El siguiente cuadro muestra varios tipos de
cristales, su aplicación y la frecuencia máxima recomendada.
TIPO
1N211N21A1N21BIN21C1N231N23A1N23B1N261N271N28
USO
MixerMixer
' MixerMixerMixerMixerMixerMixerMixerMixer
FRECUENCIA (Ghz-)
' 33331010102433
103
1N30 • Detector 101N31 Detector • - 101N32 Detector 3
La clasificación de los diodos de cristal usados en
microondas no son especificados directamente en función de la
corriente y voltaje sino en términos de potencia y energía. El
promedio de la corriente máxima que fluye en los cristales
está por el orden de los pocos miliamperios y el voltaje
inverso pico es de aproximadamente de 50 voltios.
Con el paso del tiempo han sido desarrollados cristales
de diversas formas para obtener un perfecto acoplamiento de su
impedancia con la línea coaxial o guía de onda, siendo necesa-
rio en algunos adicionar stubs, tornillos sintonizables u otro
sistema para corregir el desacoplamiento de carga. Uno de
estos sistemas es . la utilización del acoplador direccional
como acoplador de impedancias.
Realizada la descripción del diodo del microondas, es
necesario establecer las condiciones sobre las cuales trabajan
estos componentes en el laboratorio de la Facultad; el diodo
utilizado durante,las prácticas estudiantiles es el 1N23B.
Debido a la - falta . de información adecuada acerca de
este diodo y específicamente sobre el lugar geométrico de 3U
impedancia en la banda X se hace impresindible en primer
término determinar en forma experimentalmente los .valores re-
queridos. El procedimiento utilizado es el de doble mínimo
10'4
y que está dado por la siguiente fórmula:
Zr =1 - JS. tan(]3, dmin)
S - jtan(í3. dmin)[5.1]
S - Relación de onda estacionaria.
cuyos datos y resultados se presentan a continuación:
MhzFREC.
8.5008.7008.9009,1009.3009.5009.7009.900
8.5008.7008.9009.1009.3009,5009.7009.900
8.4948.7008.9009.1009.3009.5009.7009.900
mWPOTN
77777777
55555555
33333333
mmS
1.801.451.351.301.311.451.701.89-
1.801.411.341.301.281.351.561.75
1.851.451.331.331.301.321.451.59
•IMPEDANCIAdmin
3.1.24.20.16.14.13.11.
" 3.0.23.20.16.14.12.11.
2.0.21.19.15.13.12.10.
20577213
05943570
96377626
00000000
00000001
00000001
DIODO
.780-00.
.821-oO.
.747-jO., 769+JO..776+00..793+jO..8094-00..901+o'Q.
.763-oO.
.762-jO.
.761-jO-
.862+oO.
.847+jO.
.922+oQ.
.891+JO.
.052+jO.
.672-jO.
.701-00.
.747-00.
.831+00.
.938+00.
.991+00.
.901+dO.
.254+00.
COEFICIENTEREFLEXIÓN
478287062010083261443606
464185103201169282409579
394093077198247277340458
0.0.0.0.0.0.0.0.
0.0.0.0.0.0.0.0,
0.0.0.0.0.0.0.0.
285 \3 \8 \0 \4 \3 \9 \7 \5 \0 \7 \0 \2 \0 \8 \2 \8 \3 \0 \. \0 \7 \3 \7 \.2- 7 .195.177.156.120.99 .81.
257.223.206.118.126.S6.92.69.
243.200.199.124.96'.83.96.'49.
39°18°87°12°90°07°46°53°
80°87°74°10°85°99°60°08°
54°56°53°15°79°80°03°51°
Los gráficos .del lugar geométrico del coeficiente de/
reflexión del diodo se hallan en las cartas de Smith.
Con el lugar geométrico como dato es necesario pasar a
5 3C'i • "-ó'- N E f A L ^ Q ! O CC'NCOríO. MA33 ACHL'3CITTS
DWG. NO.
AC-M1TTANCE COORDiNATES
^ / °>v / // .^Vvy\•<>: / v'->/\• V: v-., / / / & /^?x <j/v/;-7xV/^-v,'\ \C - V/te^»^^^^^"^^.' i • ~^~f<--'.-'-'^\'\ '-.
-:5^SÍ ^-- :/^ÍSx^\^", ,^_.^ . .,...,,.., ,^,^,,.,,,-. /. ^x^-v-^x -X 'S&::'T^^ -V- '
• ¿^S^^^^^^^^ í i ^ ''\^ 'i sf-f J-NF:SHi "> : -TjtgfSÍ ; r'-V ^j-J
f*"1. T.nrjTytfP i"15'1'*"" «^^«s í i sa^^^ f ^-í H. L—i—'"--v-r-
•• \vKc' S£S^S ;v¿.'K\V^a \^^5^r^\>V V\V
to^K>^ <" S< v \ \ # - *
ol
j ¿ ^ x 5 ¿ g 3 i ^ /
O í1! I V O m o 3 "^3" O -y > m LO
&
105
implementar el equipo que permita acoplar el diodo para su
trabajo en microondas. En el capitulo II, se establece que uno
de los mecanismos utilizados constituye el acoplador direc-
cional como acoplador de .impedancias, sin embargo dentro de
nuestro laboratorio existen acopladores en guia de onda de 3 y
10 dB que carecen de uno de los puertos ya que están acoplados
directamente a una carga de 50 ohms, dificultando su aplica-
ción para los requerimientos de este trabajo consecuentemente
se vé la necesidad de diseñar y construir un acoplador direc-
cional.
V.3 DISEÑO Y CONSTRUCCIÓN DEL ACOPLADOR DE 3dB . '\1 CONSIDERACIONES GENERALES
El acoplador direccional escogido tiene un factor de
acoplamiento de 3dB que debe cumplir con las siguientes
condicionen:
a.- Trabajar dentro de la banda X.
b.- Su costo tiene que ser relativamente bajo.
c.- El diseño debe permitir montar y desmontar con facilidad
su estructura para realizar calibraciones y ajustes.
Existen tres técnicas posibles. para construir estos
componentes: - ... • - •-• .-
1.- Acoplamiento de dos secciones de guia.
-H¿_
• —
. ;• "
"^•^
-..^
''•v--
, ^
^A^m
r-m
ü-ht
íff^t
1^.
'•'•
i-'
'//."
/;'/
/•.
/•/
A-.
/-./
/ ;
.^W
WM
:/
••¡.
fafit
e;:/'
,'-&
]Vww
i?'f :^$
^Ám
^f^^
iBLhl^
&¥>
&•/
s¿
o o n '8 _ i
O ni o 8 JJ O I" m •
-106
2.- Acoplador con técnica microstrip-line.
3.- Acoplador con técnica strip-line.
De acuerdo a- los requerimientos se realizó la selección
bajo los siguientes criterios:
1,- El acoplamiento por guias necesita de cuatro secciones
para unir a la guia principal y al resto de componentes
elevando asi su costo.,
2.— La segunda técnica es de baj o costo pero su inconveniente
es la consecución de una transición directa a guia de
onda.
3.- La técnica strip-line es la más conveniente por su facili-
dad e construcción, de conseguir una transición directa
a guia ya que dispone de dos planos de tierra, de
transformar a sección rectangular el strip-line de
tal forma que la_ tira conductora se inserte en la guia.
fig.5.5.
Guia deonda
rftf -tf > s ff ff
ff - , ,- -?,¿¿* * , T ",í •- •• »» •• * -t*
L
.-5
, <
"' f
-
n-.[•Material::::
£ :•.• ^ ^ / ff ff f ff
=dieléctric
j
conductor
fig.5.5 Vista del acoplamiento entrestrip-line y guia
V.3.2 PRUEBAS
107
Para la- construcción del equipo se procedió a realizar
las siguiente secuencia de pruebas para verificar si el
funcionamiento del acoplador es correcto.
a.- Determinación de la constante dieléctrica del material
usardo en el strip-line.
b.- Establecer la transición de strip-line a guia rectangular.
c.- Diseño del acoplador direccional.
d.- Implementación y pruebas del acoplador.
V.3.2.1 CONSTANTE DIELÉCTRICA
Cuando se trabaja con técnica strip-line debe ser con-
siderardo el material dieléctrico que separa la tira conduc-
tora con el plano de tierra y específicamente su constante
dieléctrica.
En el acoplador es utilizado el material denomine do
"espumaflex", por las siguientes . características: bajo costo,
fácil de conseguir en el medio, suave para cortar, su
constante er tiende a uno dependiendo de la concentración del
espuma. . - •
Los manuales establecen varios tipos de er, sin embargo
no es factible tomarlos 'como confiables ya que se desconoce el
valor de densidad del material adquirido para el trabajo, por
tal razón, tiene que aplicarse algún procedimiento que permita
la obtención de €r.
108
El método utilizado consiste en introducir un pedazo de
espumaflex en una sección de guia que está acoplado por un
extremo a una carga de- 50 ohms y por el otro a la guia prin-
cipal ; precediéndose a medir la impedancia de entrada y a
partir de ésta la constante dieléctrica, fig.5.6.
• Li
ZO Zo
Zin/Zo Zx/Zo Zo/Zo
fig.5.6. Sección de gula con material dieléctrico
La impedancia de entrada Zl = A + jB normalizada respec-
to al material dieléctrico Zo' es :
Zx' =Zi. Zo
Zo[5.2]
Al transportar Zo / Zo — k hacia el otro extremo del material*
dieléctrico se forma una expresión de la cual parte el análi
sis para hallar er-
-Zi.k =k '+ jtanKg' .Lz
+. ¿k.tanKg'.L2[5.3]
Idealizando el desarrollo de [5.3], se llaga a obtener :
109
2o
2o A2 4- B2 - A[5.4]
TO - c/f TO - 2a para TEiO
x 2 x irrale =
atn
[5.5]
1 - k2.A J. x O. 5n x ir
n = O, 1, 2, 3,
1 - 14- [5.6]
Para determinar *la constante dieléctrica del espumaflex
fueron tomados los siguientes datos:
FRECUENCIASWRDISTANCIA ENTRE MÍNIMOS EN C.CDISTANCIA AL MÍNIMO CON CARGÍVZo IMPEDANCIA DE LA GUIALONGITUD Ll EN AIRELONGITUD L2 EN DIELÉCTRICO
(Ghz)
(mm)(mm)(ohms)(cm)(cm)
9.00-1.0924.3015.4050.00-3.205.00
Los resultados obtenidos son:
Zin/Zo IMPEDANCIA DE ENTRADAZl/Zo - A + oB .RELACIÓN DE IMPEDANCIAS k = Zo/ZoZo' - (ohms)TO = c/f (cm) -TC = 2a WR-90 TE10 (cm)Tg PARA n-2 (cm)er CONSTANTE DIELÉCTRICA
1.056 + ó O. 06840.921 - JO. 10870.90455.2903.3334.5721.0691.04
110
En el caso de , la longitud de onda del dieléctrico se
consideró el caso n-2 por los motivos que se indican a
continuación:
1.- n-1, da £r=0.635, este valor es descartado ya que la
constante dieléctrica es mayor que la unidad,
2.- n~3, da er=1.62,. no se considera porque ,1a espumaflex3 de
mayor densidad que la utilizada tiene un valor de 1.33.
Es asi como queda establecido el valor de 1.04 para Er
que es utilizado en la construcción del acoplador direccional
con técnica strip-line.
V.3.2.2 TRANSICIÓN DE STRIP-LINE A GUIA RECTANGULAR
Un segundo paso y fundamental es determinar la condición
que permite realizar el acoplamiento entre la sección strip-
line al equipo de laboratorio que es en técnica guía de onda.
Por la falta de suficientes referencias bibliográficas
que permitan determinar la forma de transición, es necesaria
la realización de varias pruebas para conseguir el objetivo
deseado, por tal motivo deben considerarse dos parámetros
importantes:
[8] "Diseño por computador de filtros en strip-line".- Ing.Cevallos.- Anales de Ingeniería Eléctrica y Electrón!ca.- 1986.- pág.55
a.- Cálculo de las dimensiones que debe tener la linea conduc.
tora,
b.- La forma de la transición.
Debido a que el material dieléctrico tiene un Er=1.04
(valor próximo al aire), se utiliza para esta priemra parte
las especificaciones presentadas en dos artículos de la
IEEE9-10; esto es, la utilización del strip-line como una
linea de transmisión coaxial rectangular. Asi, el investigador
Crawford9 establece, la impedacia caracteristia en función de
la capacitancia fringing, del ancho de la guia y la tira
conductora como:
376.73/TerZo - . -[5.7]
*4*[w/(b-t) + Cf/s]
Por no disponer de un método numérico adecuado para el
cálculo de Cf, llevó a Crawford a obtener experimentalmente
los valores de Zo, mismos que se hallan tabulados en forma de
abacos y bajo la restricción de w/b > 0.5. Surge entonces el
inconveniente de saber que sucede en 0,1 < w/b < 0.5, para
esto, Tippet y Chang obtienen una solución rigurosa al proble-
ma de la linea rectangular con espesor de la tira conductora
[9] CLAUDE WEIL.- "The characteristic Impedance of. Reatanguiar transmission line with center conductor and airdielectric"; IEEE MTT-26,abril/78.
[10] TIPPET-CHANG.- "Anew approximation for the capacitance ofa rectangular coaxial strip transmission line";IEEESep/78.
•112
a cero, sin embargo ente la imposibilidad física de
obtener este valor se asume que t < b/10 es suficiente para
despreciar (t j .
Así, la expresión de la impedancia queda expresada como:
376.73/TerZo = • [5.8]
4*[w/b -f Cf/e] - C/e
donde: Cf/e.- es la capacitancia fringing.
Cf/e - 2*Tt-l*Ln [1 + ctgh ic(a-w)/2b] [5.9]
w/b.- relación entre ancho de la tira y la separación
tre los planos.
C/e.~ es la capacitancia que ocurre por la interaccióni
entre los filos del conductor con las paredes
laterales de la guia y que se acentúan cuando
0.1 < w/b < 0.5. Este valor está dado por:
C • r 8.- = _' . Ln I [5.10]e TU . L (i + -Tr)2 (1 + T)
T = [ 1 + exp-2Ttw/b ]* [5.11]
Para este caso en particular las condiciones físicas
disponibles son:
113
DIMENSIÓN (a) DE LA GUIA (mm) 22.860DIMENSIÓN (b) DE LA GUIA (mm) 10.160ESPESOR DE LA TIRA (mm) 0.025IMPEDANCIA DE LA GUIA (ohms) ' 50.000
se utiliza el método de tanteo, reemplazando el valor de w/b
en las ecuaciones [5.11] , [5.10] , [5.9], [5.8] con el propósi-
to de obtener los 50Q, además se hace la comparación con la
fórmula de Crawford llegándose a los siguientes resultados:
w/b
0.5001.0001.2001.3001.3601.365
Zo(Chang)
98.2063.5255.4652.0550.1550.00
Zo (Crawford)
97.8463.5155.4552.0550.1550.00
b(mm) w(mrn)
•
10.16 13.86
El segundo parámetro es la transición de strip-line a
guia de onda, la misma que debe ser determinada experimental-
mente.
La condición teórica para verificar el grado de acopla-
miento consiste en conectar a un extremo de la sección rectan-
gular una carga de 50Q, medir el SV7R que produce la impedancia
característica, compararla con la ' obtenida en guia y deter-
minar de esa forma si las condiciones de diseño de la tira
conductora son las adecuadas.
1X4
GUIA CON STRIP-LINE
1 =* GUIA Zo
-
? ••"'"'•. - •• -í
" ' • " • , % • * • ' >í- Ss • » • • • • -s
Zo
'
SWRi SWKs
fig.5.7 Conecciones para determinaracoplamiento.
Con el objeto de conseguirlo se realizan las siguientes
pruebas:
a.- Medir el valor de SWR con Zo para tener el marco referen-
cial.
b.- Variar las dimensiones del strip-line,
b.l.- La .penetración en el dieléctrico de la tira conduc-
tora.
b.2.- El ancho de la linea.
En el primer caso el valor de SWR obtenido para una
frecuencia de 9Ghz es 1.02, próximo a la unidad.
En la segunda parte se diseña la tira conductora con un
ancho w = 13.86mm y que servirá como referecia para las
siguientes pruebas:
1.- Pentración de la linea en el material dielétrico como se
indica en la fig.5.8.
115
fig.5.8 Vista frontal y latera de latira conductora en la guía.
Las medidas obtenidas son:
d (mm) SWR
1.002.505.08
4.0002.8001.135
Se concluye entonces que la mejor condición para la guia
WR-90 es la ubicación del conductor en la mitad del strip-
line.
a
2.- Variación del ancho de la tira.
13.86mm
2-OOmm
Los resultados que presenta la variación son:
116
d (rom) SWR
9:00
11.0015.0022.00
1.2601.2001.1001.040
Las pruebas realizadas llevan a concluir que la mejor
transición es aquella sección conductora de 22mm x 2mm ya que
produce un swr de 1.04.
Parte necesaria de este análisis es ver lo que sucede en
un determinado ancho de banda con la transición, para lo cual
se presenta un cuadro con las medidas obtenidas de SWR y F en
laboratorio.
F (Ghz)
8.48.58.68.78.88.99.09.19.29.39.49.59.69.79.89.9
SWR
1.0351.0401.0451.0401.0351.0401.0451.0301.0351.0301.0501.0551.0651.0601.0651.055
r
0.01710.01960.02200.01960.01710.01960.02200.01470.01710.01470.02430.02670.03140.02910.03140.0267
\5
-157.95-154.65-156.69-132.01-155.46-156.34-164.86-142.85-116.73-118.61-94.26-116.09-140.56-113.61-144.41
1Í7
Estos resultados muestran que las dimensiones es-
tablecidas para la transición son. adecuadas en el rango de
frecuencias seleccionado. Para una mejor ilustración a con-
tinuación se muestran los gráficos de SWR vs. FFRECUENCIA
y $r vs. FRECUENCIA (fig.5.9).
SWR
1.
1.
1.1.1.
1.
1.1-L .
07 -
06 -
05 -
04 -
03 -
02 -
01 -
oo
.
**
Jfe *
• * , *
* * *
"
•\J\J
8.4 . 8.6 . 8.8.. 9.0 . 9.2 . 9.4 . 9.6 . 9.8 .
8.4
-100 -
-100 -
-110 -
-120 -
-130 -
-140 -
-150 -
-160 -
8.6
FRECUENCIA EN Ghz
8.8 . 9.'O . 9.2 . 9.4 . 9.6 . 9,8
fig.5.9 SWR y fase del coeficiente de reflexiónvs. la frecuencia.
118
V.3.2.3 DISEÑO DEL ACOPLADOR DIRECCIONAL
Al utilizar la técnica strip-line o microstrip-line el
acoplador direccional tiene dos formas de diseño, una median-
te lineas paralelas acopladas y otra por brazos híbridos.
Los acopladores por líneas paralelas no fueron con-
-siderados en el desarrollo de este trabajo debido a la im-
posibilidad física de conseguir el espaciamient'o entre ellas,
consecuentemente fue seleccionado el método de brazos híbridos
pues permite variar sus parámetros de acuerdo a las necesida-
des del diseño.
V.3.2.3.1 ACOPLADORES DE BRAZOS HÍBRIDOS
Los acopladores de brazos están básicamente formados
por dos líneas paralelas, separadas un cuarto de longitud de
onda y unidos por brazos secundarios también de nn cuarto de
longitud de onda, como lo indica la fig 5.10.
29
fig.5.10 Estructura de los acopladores de brazos
'119
El análisis sobre el funcionamiento de la estructura es
el siguiente:
Considerando al sistema perfectamente acoplado, se hace
incidir ondas de igual amplitud y fase por los puertos 1 y 3,
ai - as = a/2
debido a la simetría existente, el voltaje máximo ocurrirá en
el plano P3 es decir, su comportamiento será similar a tener
un cicuito abierto, por lo tanto, es una aplicación de los
modos pares de ondas simétricas. Las ondas que emergen por
cada un de los puertos son: bia, bze, bs©,. b<e.
bi© = bs© — Su. a/2 = 833. a/2
b2e = b-4© = Sis. a/2 = Si4.a/2
Si de igual forma inciden dos señales defasadas 180° en
1 y 3, los voltaj es serán nulos sobre el plano P, equivalen-
te a reemplazar por un corto circuito, siendo esto una aplica-
ción de los modos impares de ondas simétricas. Las ondas que
salen por los otros puertos son: bio, bso, bso, b^o.
bio -• -bso — Su. a/2 = -S33.a/2
bso = —b-io ~ Si2. a/2 — ~Si4. a/2
Para obtener las señales resultantes de la estructura,
es necesario realizar la superposición de los modos pares 'e
120
impares de la siguiente forma:
ai - aia 4- a io = a/2 + a/2 - a
as = ase +1 aso - a/2 - a/2 = O
bi
b2
bs
bie + bio
b2s + b2o
bs© + bso
b^e + b-io
+ Sno). a/2
(Si2G + Sa.2o).a/2
- Si3o).a/2
~ Su. a/2
.= Sis . a/2
= Sis. a/2
= Si4.a/2
Como una ayuda para determinar el valor de [S], es
utilizada la matriz de transferencia [A] - [A]e + [A]o,
mediante -las siguientes transformaciones:
A - D + B - CSu =
A 4- B + C + D
A - D + B - C
A - D + B - C|
Sis —• A + B + C + D
2 (AD - BC)
A +• B + C + D! o
A - D + B - C
Sl2 =
A + B + C + D
2 (AD - BC)
A 4- B + C -f D
2 (AD - BC)
o
A -f B + C + D
A 4- B + Z 4- D
2 (AD - BC)
A + B + C +
donde: Sis es la direccionalidad del sistema.
es el factor de acoplamiento.
Por el análisis realizado el acoplador queda dividido
en dos circuitos, tai como lo indica la fig.5.11:
"121
Zo bi- bn—1 Zo
MODO PAR
ai B.3
Zo b! b2 bn-l Zo
MODO IMPAR
fig.5.11' Modos del acoplador.
los valores bi, a± corresponden a las admitancias de los
brazos principales y secundarios respectivamente. El es-
cogitamiento adecuado del número de brazos determina el grado
de acoplamiento y ancho de banda 'del sistema.
En la fig.5.11 la obtención de las matrices [A]e y
[A]o, se realiza mediante el producto matricial de cada uno
los brazos, de la siguiente forma:
[Ajo =
ai.
11 - tans9
1 O
á ai . tan9 1
1 O
-¿ai./tan8 1
122
M.PAR [A]« = [ai]a. [bi] . [as]*, [baj Cbn-13.[a«.]« [5.12]
M.IMPAR [A]0 = [ai]o. [bi]. [a2]0. [b2Í. . .'. . [bn-l]. [an]o [5.13]
El autor de "Síntesis de acopladores direccionales de
brazos simétricos", Ralph Levy11, basado el desarrollo de las
ecuaciones generales .[5.12] y [5.13], determinó los valores de
admitancias que dan a diversos acopladores direcionales las
características Butterworth y Chebyshev sobre una banda
mínima del 20% respecto a la frecuencia central. Estos valores
vienen tabulados para su directa aplicación práctica.
Sin embargo, para la técnica strip-line, las impedancias
de los acopladores de 3dB expuestos por Levy no son muy
adecuados debido al gran, tamaño que adquieren las tiras
conductoras, impidiendo la separación entre brasos de un
cuarto de longitud de onda en la banda X, ante este incon-
veniente e] japonés Masahiro Muraguchi12 diseña un programa
que permite la optimización de los rangos de impedancias para
la construcción de acopladores con la técnica indicada.
El diseño de nuestro acoplador partió de los siguientes
datos dados por Masahiro:
[11] "Synthesis of symmetrical branch-guide directionalcouplers", Ralph Levy, IEEE, MTT-12 M22, Febrero/68(mayor información en el apéndice B).
[12] "Optimum design of 3dB Branch-line couplers \ising micro-trip lines",Mashiro Muraguchi, IEEE, MTT-31 NOS,Agos-to/81 (mayor información en el apéndice B).
•123
TIPO bi ai as . BWn BWc Smin ' Smax koCQ] CQ] CQ] [%] C%] CdB] [dB] [dB]
3-14 46.33 110.01 71.43 33 33 25.46 24.00 O.41
donde: BWc .- es el ancho de banda entre 3dB ± O.43dB.
- es el ancho de banda donde la direciona-
lidad es menor gue -20dB.
.- desbalance de acoplamiento en la frecuen-
cia central.
ko
FA
1-
2 —
3 -
4 -
-Si- 012
-BWc-
ko
0.7
0.7O -
10 -
20
30 -
40 -
0.8 1.0 1.2
Frecuencia normalizada
-0.8 1.0 1.2
1.4
1.4
* Smax*= *
SminSu
124
Las figuras corresponden a la respuesta de frecuencia
del modelo 3-14. y que son el punto dé referencia para deter-
minar si el acoplador .diseñado funciona en la práctica.
Mediante la utilización de fórmulas13 para calcular las
dimensiones de las tiras conductoras en strip-line, fueron
determinados los siguientes valores: • •
DATOS.- Separación entre planos • 10.08 m.m
Constante dieléctrica sr 1 . 04
Frecuencia central de diseño 9,20 Ghz
Ancho de banda mínimo 600 Mhz .
Cuarto de longitud de onda 8.15 m.m
Espesor de la magnolia 0.0254 m.m
CÁLCULOS.- bi 43. 7.4 ''[Q] 15.7 m.m
ai 110.01 [Q] 4.1 m.m
as 71.43 [Q] 8.8 m.m
Por el tamaño de los brazos se puede apreciar que no es
factible conseguir la separación de un cuarto de longitud de
onda entre los brazos principales , razón por la cual , fue
modificado a tres cuartos de la longitud de 'onda, obteniéndose
el modelo que se muestra a continuación fig 5.12:
[13] "Transmission-line properties of a strip line betweenparallel planes", Harold Wheeler, IEEE-, MTT26,N211, Noviembre/78.(mayor información apéndiceB).
125
fig 5.12 Diseño del acoplador
V.3.2.4 IMPLEMENTACION Y PRUEBAS DEL ACOPLADOR.
El acoplador direccional fue montado en una caja de
cobre de lOcm x 8cm x l.OScm; sus extremos disponen de
orificios para conectarse directamente a la guia principal y a
los otros componentes utilizados en la práctica, fig5.ll
fig.5.13 Montaje del acoplador direccionalque fue probado en.el laboratorio,
'; 126
Para realizar las mediciones, el puertol se conectó
directamente a .la guia ramirada con el objeto de medir el SWR
producido por el sistema, mientras que dos puertos restantes
se unian a cargas dé 50Q y el otro al termistor para medir la
potencia . Los valores obtenidos para el acoplador diseñado,,
son los siguientes:
FGhz
8.99.09.19.29.39.49.5
PinmW
4.406.607,456-556.509.608.65
P2mW
0.302.104.553.804.404.150.20
P3mW
2.402.752.201.501.503.403.63
PmW
0.200.200.150.300.40O.BO0.20
82
1.422,402.702.151.871.751.41
S3
1.3S1.911.911.851.851.951.55
S
1.751.501.761.851.852.401.75
FACdB]
2.293.625.235.995.963.701.04
DIRCdB]
13.3214.7316.7912.9811.7010.3115.15
SiaCdB]
11.534.161.391.741.683.3016.23
donde: Si corresponde al SWR del sistema cuando se mide la
potencia en cada puerto. La fig.5,14 indica la respues-
ta de frecuencia para este caso.
FA
-i
2 -
4 -
5 -
6 -
~Sl3
•lco= 4.75dB
8.9 9.0 9.1 9.2 9.3Frecuencia normalizada
9.4 9.5
127
Frecuencia normaliaada
8.9 9.0 9.1 9.2 '9.3 9.4 9.5O -
10' -
20 -
DIR " •
fig.5.14 Bespuesta de frecuencia del acoplador
De los datos presentados se desprenden las siguientes
observaciones:
1.) Es notorio que el acoplador sufre una modificación en
cuanto a la ubicación de los puertos 3 y 4.
2.) El ancho de banda se reduce a 400Mhz.
3.) Los valores de SWR son relativamente altos en comparación
con el 1.35 recomendado por Masahiro y Levy.
4.) Si bier. se tienende a mantener la misma forma de la
respuesta de frecuencia, los valores no son precisamente
los esperados ya que ko = 4.75dB y la mayor direccionali-
dad obtenida en el centro de la banda es aproximadamente
13dB.
Al no conseguir en primera instancia los resultados
esperados, fue necesario probar un sin número de acopladores
direccionales con el propósito de ajustar la respuesta a
nuestros requerimientos. A continuación se presenta un resumen
de los modelos probados:
123
l._) Variación de la frecuencia central de trabajo.
2.-) Separación entre los brazos principales considerando sus
puntos medios.
3.-) Sepración de los brazos principales considerando los
filos interiores.(Sugerencia de Masahiro y Levy).
4.-) Separación de los brazos secundarios considerando los
filos interiores.
5.-) Variación en el espesor de la tira conductora de 0.001" a
0.002" y 0.003".
6.-) Prueba con acopladores de '2, 3 y 4 brazos.
7.—) Pruebas con modelos en distribución Chebyshev.(Datos de
Levy).
En total son alrededor de 30 modelos probados, que no
han sido detallados por que los resultados son aproximada-
mente los mismos del acoplador diseñado en primer término.
Si bien las pruebas preliminares que se realizaron
hacían presuponer el adecuado funcionamiento del acoplador,
llevado a la práctica no sucedió asi; consecuentemente, hubo
la necesidad de establecer las posibles causas que impidieron
tener las respuestas deseadas.
Entre las diversas razones que pueden existir, básica-
mente me referiré a -las siguientes:
a.-) Es posible que laspropiedades del material dieléctrico
utilizado no sean las adecuadas. Por esta razón, también
fue probado el vidrio ( er-4-75 ), encontrándose en este
129
caso gue la transición obtenida no funcionaba. Permitien-
do concluir entonces que el espumáflex segué siendo el
más adecuado para- efectos de unión directa a gula de
onda.
b.-) Henry Jasik1< formula para la técnica strip-line un abaco
por medio del cual pueden ser calaculadas las frecuncias
de corte para la propagación de los modos TE en cada
línea conductora, en nuestro caso los valores son:
2oca:
46 . 3350.0071.43110.01
fer.Zo[fi]
47.2450.9972.84112.18
t/b
0.00250.00250.00250.0025
d
2.43.24.35.3
fc-2.54*d/-Ter/b[Ghz]
5.537.379.9112.22
donde: t es el espesor de la tira conductora 0.0254mm.
d valor tomado del abaco.
b separación entre planos lO.OSmm.
fe frecuencia de corte para la existencia de modos TE.
Estos resultados tal vez dan una justificación más
^acertada de lo que sucede dentro del acoplador, ya que, al
•tener los brazos secundarios frecuencias de corte altas va- a
reducirse la propagación de energía, consecuentemente origina
una desbalance sobre cada puerto del- acoplador. Una de las
formas para variar fe, es medíante la utilización de materia-
les dielétricos de mayor er o variando él espaciamiento entre
[14] "ANTEMA ENGINEEJRING HANDBOOK",Henry Jasik, la frecuenciade corte corresponde a los modos TE, ya que la existenciade modos TM se hallan para valores d>6.
130
formas para variar fe, es mediante la utilización de materia-
les dielétricos de mayor er o variando 'el espaciamiento entre
los planos de tierra del strip. Estas- dos posibilidades
tambiéh fueron probadas en el laboratorio, al primer caso
corresponde el vidrio, mientras que, en el segundo las dimen-
siones de los brazos conductores se duplicaron impidiendo la
realización. " ' •
Luego de la . experimentación realizada, llegamos a la
conclusión de que si bien es posible diseñar el acoplador
direccional en técnica strip-line mantienendo la forma de
la respuesta de frecuencia teórica, su implementación práctica
para FA = 3dB bajo la condición de acoplamiento directo a guía
de onda no es factible. Mi deseo hubiese sido deseo seguir
experimentando sobre nuevas modificaciones al modelo prin-
cipal, pero ese no es el objeto fundamental de esta tesis,
consecuentemente queda abierto un nuevo tema de trabajo, es
decir, buscar en base a las pruebas realizadas algún métiodo
que permita la implementación de acopladores en técnica.strip-
line y que sean de utilidad para nuestro laboratorio.
V.4 MONTAJE DEL EQUIPO PARA ACOPLAE.
Ante la imposibilidad de aplicar el acoplador direccio-
nal diseñado en tecnología strip-line, se optó por utilizar el
de 3dB existente en el laboratorio, pues la carga acoplada al
puertoS tiene la posibilidad de ser removida dejando dis-
131
ponibles de todos los puertos para trabajar. Las dimensiones
que tiene el acoplador- son:
9.176cm 9.8cm
7.65cm 15.7cm
fig.5.15 Dimensiones del acoplador de 3dB.
En el capitulo II se revisó que las cargas reactivas
utilizadas en los ¿puertos 2 y 4 para el acoplamiento de la
impedancia en el puertoS están formadas por un corto circuito
y un tornillo. [En nuestro caso los corto circuitos son ém-
bolos móviles y ¡los tornillos son de 2mm :de diámetro los
mismos que van [ubicados en algún punto de cada brazo depen-
diendo del lugar geométrico de la carga a ser acoplada.
En el apéndice A, pueden apreciarse ejemplos de lugares
geométricos generados bajo ciertas condiciones, en todos los
casos,los valores de Fs tienden a moverse en sentido an-j
tihorario conforme crece la frecuencia, surgiendo de ésta
manera un problema, ya gue la variación del coeficiente de
reflexión del diodo es en sentido horario, dificultando el
acoplamiento. Sin embargo, para conseguir las condiciones que
deben ser colocadas en los puertos 2 y 4, se incluye a la
132
tesis otro programa llamado ACOPLA1 , aue básicamente trabaja
de la siguiente manera: se ingresan como datos los valores de
Ts del lugar geométrico, la longitud del puertoS en este caso
9_167cm y la longitud total del puerto en el cual se va a
trabajar. El programa automáticamente va comparando entre
entre frecuencias, por ejemplo, 1-2 , 1-3, 1-4. . .1-8, 2-3,
2-4 . . . etc, obteniendo en cada cálculo los posibles valoresx
de longitud donde debe colocarse el tornillo y la susceptancia
qué da el acoplamiento .
Para los lugares geométricos del diodo 1N23B, las
dimensiones obtenidas son :
PUERTO 2
Longitud total del puerto = 7 cm.
FRECUENCIASCOMP ARADAS (Mhz)
8.8.8.8.8.8.
700 -700 -700 -700 -700 -900 -
899999
.900
.100
.300
.700
.900,500
Li(cm)
4.4.4.4.4.4.
151515151515 -
Lz(cm)
222222
.85
.85
.85
.85
.85
.85
333332
bi
.29424
.29424
.29424
.29424
.29424
.94410
3.3.3.2.3.2.
b2
301520863227193886125868669291
PUERTO 4
Longitud total del puerto cm.'
FRECUENCIASCOMPARADAS(Mhz)
La.(cm)
Ls(cm)
500.500,500,500,700,700
8.9009..1009.3009.5009.5009.700
4.204.204.204.204.204.20
2.802.802-. 802.802.802.80
3.740413.740413.740413.740414.927564.92756
3.932133.582233.899313.532323.532325.30054
133
donde: Li - longitud hasta jb
Ls = longitud de ¿jb al cortocircuito.
bi = susceptancia a la primera frecuencia.
bs = susceptancia a la segunda frecuencia.
De los resultados presentados se establece que los
lugares geométricos van a.ser una superposición de curvas para
de esa forma obtener el acoplamiento en la mayor parte de la
banda, ademas, son excluidas las frecuencias 8.500 y 9.900 Ghs
debido a que no hay su respectivo correspondiente en cada
puerto.
Para la realizar el acoplamiento del diodo debe proce-
der se al montaje del siguiente equipo:
A T E N U A D O R .UAÍUftBLE
K L V S T R O HFRECUEN.
3dB
L I N E A R ñ H U R Ñ D A A C O P L A D O R D I K E C C I O H A L
f i g . 5 , i 5 a , - C i r c u i t o para Medir la f r e c u e n c i a y el u a l o r de SUR
A T E H U A P O RV A R I A B L E
K L V S T R O HFRECUEN.
3dB
L I N E A R ñ H U R ñ D A A C O P L A D O R D I R E C C I O H f i L
f i g . 5 . 1 5 b.- C i rcu i to para M e d i r la po tenc ia .
134
V.5 FORMA DE ACOPLAR DEL DIODO.
Para acoplar' el diodo deben seguirse los siguientes
pasos:
1.-) Con el diodo ubicado en el puerto 3, seleccionar una de
las frecuecias extremas, en este caso 8.500 o 9.900 Ghz.
De la práctica se desprende que la mejor condición para
las mediciones es cuando en el osciloscopio se tiene la
señal de IKhz prefectamente cuadrada.
2.-) Reemplazar al diodo por el termistor, acoplar hasta
obtener la máxima deflexión en el medidor de potencia;
luego mediante el atenuador variable seleccionar la
potencia requerida.
3.-) Colocar nuevamente el diodo, variar la penetración de
los tornillos o la posición del c.c. dependiendo del
caso hasta conseguir el valor de SWR próximo . a la
unidad en los casos donde sea posible.
4.-) Repetir los pasos 2 y 3 para cada potencia desea.
5.-) Cambiar la frecuencia y repetir los numerales 2, 3 y 4.
V.6 RESULTADOS DEL ACOPLAMIENTO
Los resultados obtenidos en el laboratorio una vez
realizadas las mediciones de la banda son:
135
PENETRACIÓNFRECUENCIA
(Mha)
8.5008.700 .8.9009.1009.3009.5009.7009.900
8.5008.7008.9009.1009.3009.5009.7009.900 .
8.5008.7008.9009.1009.3009.5009.7009.900
POTE,(mW)
77777777
55555 •555
3333333 '3
SWR DELDIODO
1..801.451.351.301.311.451.701.89
1.801.411.341.301.28 '1.351.561.75
1.851.451.331.331.301.32
' 1.451.59
SWRMEDIDO
2.151.051.091.0651.281.231.181.75
2.051.051.071.055 '1.211.261.091.57
2.001.051.021.031.111.321.031.47
TORNILLO4 (cm) .
0.850.950.760.930.790.851.00-0.89
0.750.930.760.800.850.850.900.90
0.750.930.790.800.850,90 '0.890.90
TORNILLO2 (cm)
- 0.500.750.720.750.700.740.750.7
0.500.750.700.700.700.750.750.75
0.500.730.700.750.700.760.750.75
En los resultados obtenidos se puede apreciar la forma
como varian los valores de SV7R medidos con el acoplador
respecto a los del lugar geométrico de Fs, no obstante existen
frecuencias en las cuales la diferencia no es muy apreciable,
sin embargo tienen a ser menores. Para una mayor optimiaación
del acoplamiento los tornillos deberían tener a más de la
variación en la penetración, una ranura que le permita des-
lizarse longitudinalmente. De ahi la limitación en las medidas
ya que los pasos en este caso solo pueden ser discretos.
En resumen, los valores obtenidos , en el laboratorio
"136
justifican la aplicación dada al acoplador direccional en todo
el desarrollo de esta tesis.
CAPITULO
CONCLUSIONES
137
La realización de este trabajo, comprendió tres par-
tes bien definidas, estas son: desarrollo teórico desde el
punto de vista matemático sobre funcionalidad del acoplador
direccional y de ciertos elementos que actúan como susceptan-
cias en las guias de onda, realización de algoritmos y progra-
mas para dar al acoplador su aplicación de acoplador de
impedancias, implementación del equipo que permita demostrarX
la factibilidad de obtener el acoplamiento.
En cada unos de los casos se pudo establecer la impor-
tancia del acoplador- direccional en una de sus aplicaciones
dentro de las microondas, esto es, "Acoplador de impedancias
en banda ancha".
En la primera parte se determinaron los procediemientos
matemáticos que permiten desarrollar las fórmulas para la
obtención de los valores requeridos tanto en las susceptancias
como en la respuesta del acoplador, llegándose a la con-
:clusión que el método variacional constituye una de la mejores
íherramientas para el desarrollo de estos procedimientos, ya
que utiliza series metemáticas en lugar de integrales.
En la segunda parte la determinación del método itera-
tivo para evaluar las expresiones que regeneran las con-
diciones originales de los pueros 2 y 4, llevaron a realizar
un programa que si bien utiliza mucho tiempo de ejecución, da
los resultados esperados. Sin embargo una sus limitaciones
constituye requerir ciertas condiciones para su adecuado
funcionamiento.
138
Para la tercera parte básicamente las conclusiones se
centran sobre las comparaciones entre la técnica strip-line
para el diseño del acoplador y la técnica de guia de onda para
el equipo que fue implementado en el laboratorio. Asi tenemos
que:
•Sobresale como dato importante la matriz de parámetrosX
[S], la misma que para la .tecnología guia de onda se mantiene
constante en todo el ancho de banda, -existiendo diferencia
respecto a la matriz cuando se trabaja en tecnología strip
line, ya que, al depender sus características y dimensiones
directamente de la frecuencia sufren una. variación en la fase
todos 'los coeficientes de [S] , haciendo más compleja su
aplicación para acoplar impedancias. Concluyendo entonces, que
previa a la ejecución de algún trabajo debe conocerse todas
las matrices que actúan sobre las frecuencias del ancho de
banda.
Otro parámetro constituye el factor de acoplamiento que
puede tener el acoplador. Asi, en guía de onda existe la
posibilidad de obtener valores altos y bajos de acoplamiento
(2,5dB-20dB), mientras que la tecnología strip bajo las
condiciones establecidas en este trabajo puede tener como
máximo rango aplicable hasta los 6dB en la banda X, ya que,
para otro FA loe niveles de impedancia varían.considerable-
mente al punto de necesitarse las técnicas de foto grabado en
su realización. Sin embargo, para las dos técnicas hay la
posibilidad de trabajar en factores altos.
139
En la implementación del acoplador direccional es
importante establecer las siguientes concluciones :
A nivel de transición, los resultados obtenidos deter-
minan que las dimensiones son las más adecuadas para tener una
buena respueta de acoplamiento, pero debido a la falta infor-
mación sobre tipo.s de transiciones strip-line a guia de ondaX
no pudo establecerse el efecto que esto origina sobre el
campo eléctrico.
En cuanto al funcionamiento, sin embargo haber probado
varios modelos no se obtuvieron los resultados, esperados y en
todos los casos la respuesta fue aproximadamente la misma,
llavandonos a concluir que la técnica de diseño era la correc-
ta pero no asi su implementación práctica . La justificación
más adecuada para la no funcionalidad del acoplador en técnica
en strip line está dada por Jasik, ya que, determina para cada
tira conductora la frecuencia de corte para la propagación de
modos bajos TE, las mismas que calculados dan como resultado
una deficiencia conductora en los brazos secundarios del
acoplador direccional sobre la banda X3 concluyendo que debe
existir variación en los parámetros con el proposito de que
todas las frecuencias de corte :estén más a bajo de la banda X
para un adecuado funcionamiento. Se realizaron determinadas
pruebas con el objeto de corregir esta deficiencia siendo
imposible obtener una respuesta óptima. Consecuentemente
queda como un tema abierto de investigación tratar de im-
plement ar el acoplador en técnica strip line considerando
ciertos parámetros establecidos en esta tesis.
140
Con ebjeto de dar la aplicación práctica a la tesis fue
necesario utilizar el acoplador existente en el laboratorio,
al cual se hicieron adaptaciones para el efecto. Los resul-
tados no fueron totalmente óptimos para las tres mediciones de
potencia, sin embargo, en una parte de la banda los valores de
acoplamiento son buenos, demostrando asi, que es factible la
aplicación. Para mejorar el desarrollo y respuesta del equipo3
deben realizarse otras calibraciones, de tal forma que sei
llegue por medio de superposición de curvas a la respuesta
deseada, determinando que tanto en forma teórica como ex-
perimental es posible darle al acoplador su aplicación de
acoplador de impedancias. •
Al finalizar esta tesis, creo que los conceptos expues-
tos pueden ser muy útiles para que a futuro se pueda profun-
dizar sobre el desarrollo del acoplador direccional en técnica
strip-line.
A
EJEMPLOS DEL PROGRAMA I
EJEMPLOS DEL PROGRAMA II
141
Para ejecutar el programa debe selecionarse la siguiente
secuencia de instrucciones:
1.- QBHERC ENTER
2.- PZ ENTER
3.- QB/B ENTER
4.- INGRESAR EL PROGRAMA ACOPLA .
5.— Seleccionar la una de las opciones que presenta el progra-
ma y ejecutarla.
6,- Si la opción escogida es el lugar geométrico, existe la
posiblididad de imprimir el gráfico mediante -la instruc—
ción SHIFT PRINT SCREEN.
7.- Del menú que aparece en la pantalla seleccione dos veces
la función ENTER sobre el comando PRINT.
8.- PARA EL PROGRAMA ACOPLA1 NO HAY MENÚ CONSECUENTEMENTE
CARGUE Y EJECUTE.
ESCUELA POLITÉCNICA NACIONALLABORATORIO DE HlCROQNDflS
TEHA:'CALCULO DEL LUBfiR GEOMÉTRICO DE LA IMPEDANCIA ' ENPUERTO 3 DEL ACOPLADOR BAJO CIERTAS CONDICIONES ENLOS PUERTOS 2 Y 4 PARA QUE EXISTA PERFECTO ACOPLA-MIENTO EN EL PUERTO 1 DADO UN ANCHO DE BANDA'
DATOS PARA EL PUERTO 2
142
LONGITUD HASTA B2 Ll (ci)=LONGITUD DE5DE B2 AL C.C L2 (ca) =SUSEPTAMCIA JB2
DATOS PñRñ EL PUERTO 4
LONGITUD HASTA B4 L3 («J=LONGITUD DESDE B4 AL C.C L4 (ca)=SUSEPTANCiñ J34
DATOS DE OPERACIÓN
FRECUENCIA INICIAL Fi (Khz]=FRECUENCIA FINAL Ff [HhzJ=DIHENSIQN (a)DE LA BUIA (INCHES)=FACTOR DE ACOPLAMIENTO (+dB)=
LOS RESULTADOS SON LOS SIGUIENTES:
F[Bhz) Zr3 JZÍ3 '8,500000 i. 063019 0.0345078.556000 1.020023 0.0206608.612000 0.939921 -0.0039828.66BOOO 0.972S26 -0.0350018.724000 0,963347 -0.0690638.780000 0.975991 -0.103570-B. 836000 0.995348 -0,1362548,892000 1,026102 -0.164920B.94BOOO 1.067944 -0.1871639.004000 1.120369 -0.2001479.060000 1.182323 -0,2004529.116000 1.251693 -0.1340309.172000 1,324656 -0,1467419.228000 1.394966 -Q.OB4669 •
. 9.2B4000 1.453727 0,0039099.340000 1.490091 0,1168329,396000 1.493577 0.2464159.452000 1.457596 0.3796339.508000 1.382527 0.500982 '9.564000 1,276163 0.5970549.620000 1.150966 0.6602319.676000 1. 019395 0.6395739.732000 O.B93204 0.6991009.788000 0.777288 0.6651509.B44000 0.675065 0.6242609.900000 0.587034 0.572002
51.5
22-.5
85009900.93 •
/Ro3/ angRo3(í0.034322 27,7453350.014242 45.3108790,005446 -158.3240970.022457 -126.8071820.033575 -112.6116180.053730 -100,0508190.068167 -88,0490720,082139 -76.3529510.095894 -64,8764040.109660 -53.5848390.123644 -42,4636340.138026 -31,5063360.152956 -20,7105100.168556 -10.0746950.184920 0.4023600,202110 10.7220900.220164 20.8367230.239096 30.8986640.253900 40.7615280,279551 50.4794350.301003 60.0566900,323217 69.4979630.346117 73.8037460.369633 87.9936680.393690 97.0582660.418205 106.007790
co H
ro &H
.
\NX ^\
/
LTD
-*
•144ESCUELA POLITÉCNICA NACIONALLABORATORIO DE KICROONDAS
TEHA: ' CALCULO DE Ll, L2, JB2, L3, L4, JB4 APARTIR DE TRESDATOS DEL LOSAR GEOMÉTRICO DE Ro3' .
LOS DATOS SON LOS SIGUIENTES;
PUNTO i
(Hhz)=1,FRECUENCIA DE Ro3i2.HGDULÜ DE Ro313,ÁNGULO DE Ro3i (6RADOS)=
PUNTO 2
4.FRECUENCIA DE Ro32 («hz)=5.KQBULG DE Ro326.AN6ULQ DE Ro32 Í6RADQS)=
PUNTO 3
7.FRECUENCIA DE Ro338.KODULO DE Ro339,AN6ULO DE Ro33
DATOS GENERALES
ÍHhz)=
(GRADOSJ=
10,FACTOR DE ACOPLAMIENTO (*dBJ=11.LOH6ITUD TOTAL PUERTO 2 [ra]=12.LONGITUD TOTAL PUERTO 4 (cs)=13.DIÍ1ENSIQN (aJGUIA EN (IKCH}=
9116,138026
-31,506
8780.05373-100.05
9732.34611778.8037
3ó4,9
LOS RESULTADOS SON LOS SIGUIENTES
ERROR DE CALCULO = [+/-) B.10083E-04 I
RANGOS
VALOR 1 VALOR VALOR 2PUERTO 2Liten)JB2L2(cffl}
PUERTO 4L3(oa)jB4L4[cfl)
1,000041.Í9999955.000041
2.000016-.49998692.000016
1.50000365 . .
2 '-.4999912
.9999595
.50000764.999959
1,999984-.49999511,999984
145ESCUELA POLITÉCNICA NACIONALLABORATORIO DE MICROONDAS
TEHA:'CALCULO DEL LUGAR GEOMÉTRICO DE LA iHFEDANCIñ ENPUERTO 3 DEL ACOPLADOR BAJO CIERTAS CONDICIONES ENLOS PUERTOS 2 Y 4 PARA QUE EXISTA PERFECTO ACOPLA-MIENTO EN EL PUERTO 1 DADO UN ANCHO DE BANDA'
DATOS PARA EL PUERTO 2
LONGITUD HASTA B2 Ll (ca)= 3LONGITUD DESDE 82 AL C.C L2 (c»J= 4SUSEPTANCIA JB2 = -3
DATOS PARA EL PUERTO 4
LONGITUD HASTA B4 L3 (cs)= 5LONGITUD DESDE B4 AL C.C L4 (ca¡J= 4SUSEPTANCIA JB4 = -2
DATOS DE OPERACIÓN
FRECUENCIA INICIAL Fi (HhzJ=FRECUENCIA FINAL Ff (Hhz)=DIMENSIÓN (aJDE LA GUIA (INCHES)=FACTOR DE ACOPLAHIENTO [+dB)=
85009900 •.93
LOS RESULTADOS SON LOS SIGUIENTES;
FtGhz)8,5000008,5560008.6120008,6680008,724000B, 7800008.3360008,B920008,9480009.0040009.0600009.1160009.1720009.228000
. 9,2840009,3400009.3960009,4520009.5080009.5640009.6200009.6760009.732000
' 9.7BBOOO9.8440009.900000
Zr30.2729520,2764040.2341Í30,2960840.3125950,3341920.3617120.3963240.43*5900.4934970.5603760.6424510.7403450.8490B30.9494740.9967240.9287220.7238860.4798570,2905190.2246480.5073251,6360161.0B6298.0.9631070.976296
JZÍ30.6577620.5426370.4389180,343907/\'U,¿JJOül
0.1728990,094724*0.020849-0,043368-0.111595-0.165944-0.205963-0.222113-0,199278-0.1185070.0284BB0.2034720.3043310.2427900,020545-0.343099-0,943533-0.3999420,041670-0,036402-0,051297
/Rc3/ angRo3(l)0.6B4255 110,5379490.652116 120.1013640.6ÍB737 129,6163330,584245 139,1010130,548444 148.5745700.511310 158.0589290.472730 167.5794930,432541 177,1665500.390511 -173.1428380,346308 -163.3015900,299457 -153.2495270,249275 -142,9086760.194757 -132,1827090,134408 -120,9854580,065962 -109.6126480,014360 95.7422330.111165 103,2836760,232177 121.7129140.3B2769 Í45,"660B530.549925 177.4292760.666670 -140.4794770.59B565 -35.5266420,281793 -23.5354100.045925 24.6297360.026397 -134.3221440,023583 -113.314224
en
!-*•
4-
1-3
CD
147ESCUELA POLITÉCNICA NACIONALLABORATORIO DE HICROONDAS
TEKft: ' CALCULO DE Li, L2, jB2, L3, L4, JB4 APARTIR DE TRESDATOS DEL LUGAR GEOMÉTRICO DE Ro3'
LOS DflTQS SON LQ5 SIGUIENTES:
PUNTO 1
l«hz)=1.FRECUENCIA DE Ro312.KGDULO DE Ro3i3.ÁNGULO DE Ro31 (BRADQS)=
PUNTO 2
4.FRECUENCIA DE Ro32 (Khzr)=5,MODULO DE Ro326.ANBULQ DE Ro32 (SRADQS)=
PUNTO 3
7.FRECUENCIA DE Ro33 (Hhz)=6.HODULO DE Rü339.ÁNGULO DE Ro33 (SRADOS)=
B612.618787'129.6U
8B92,432541177.166
9284.065962
-109.612
10,FACTOR DE ACOPLAMIENTO (-HJB)=II,LONGITUD TOTAL PUERTO 2 {cs)=12,LONGITUD TOTAL PUERTO 4 («)=•13.DIKENSION ÍBjGÜIA EN (INCH)= .9
LOS RESULTADOS SON LOS SIGUIENTES
ERROR DE CALCULO = (+/-) 1.036B23E-02
RANGOS
- VALOR 1 VALOR VALOR 2PUERTO 1Lile*)JB2L2UB)
PUERTO 4L3(cft)JB4L4(cffi)
4.000311-2.9997363.000311
4.000518-1.9997985.00051B
4-3.0000473
4 v
-2.0000055
3,999689-3.0003582.999689
3.999482-2.0002134.9994B2
ESCUELA POLITÉCNICA NACIONALLABORATORIO DE MICROONDAS
TEMA:'CALCULO DEL LUGAR GEOMÉTRICO DE LA IHPEDANCIA ENPUERTO 3 DEL ACOPLADOR BAJO CIERTAS CONDICIONES ENLOS PUERTOS 2 Y 4 PARA QUE EXISTA PERFECTO ACOPLA-MIENTO EN EL PUERTO 1 DADO UN ANCHO DE BANDA'
DATOS PARA EL PUERTO 2
148
LONGITUD HASTA B2 Li («) =LON6ITUD DESDE B2 AL C.C L2 (cfflj=SUSEPTANCIA JB2
DATOS PARA EL PUERTO 4
LONGITUD HASTA 84 L3 (ca)=LDHBITÜD DESDE B4 AL C.C L4 (ca}= •SUSEPTANCIA JB4
DATOS DE OPERACIÓN
FRECUENCIA INICIAL Fi («hzí=FRECUENCIA FINAL • Ff {Hhz}=DIMENSIÓN [aJDE LA BUIA (INCHES}=FACTOR DE ACOPLAMIENTO (+dB)=
LOS RESULTADOS SON LOS SIGUIENTES:
F(Bhz)B. 500000B. 5560008.612000B.66BOGO8,7240008.7800008.836000B.B920008.9480009.0040009.0600009.1160009.1720009.2280009.2340009.3400009.3960009.4520009.5080009.5640009.6200009.6760009.7320009.7680009.8440009.900000
000000000000001i1ii0000000
Zr3.410118.402739,398307.393619.402638.411554.426365.448510.480043,523900.584197.666461.777193.921025.091271.250350.318546.228739.016009,780249.585021;.442449:,342955'. 27*1122.226209.192538
00000000000-0-0-000000i000000
J2Í3,513172.470198.426512.381944.336310.289424.241142.191429,140516.089202.039481.004207.032579.027570.041304.209349.476527.759076.943977.000468.970346 ',900716.819303.738530 ".662902.593477
00.000000000000000000000000
. .61.9
-1.5
1.21.3-1
85009900.93
/Ro3/.521034."513798.504053.491330.475269,455105.430151.399540,302285,317315,263568.200163.126679.043539.047896.144397.242159.336719.424116.501597.567368.622918.667594.703157.730969.752300
•
angRo3(t}US123127132137142147153159166173
-179-170-159233444546373318997104111117
.930637,257004.639384.305603,137619.222733.603653.329208,453888,038162.148331,132767.630707.933594,217093.583333.624119.422314.937523.05297?.679619.775711.341759.406746.017372.226860
cn
\.
\ \r
^K fcd
h-3
tzá t?d
OJ
co
150ESCUELA POLITÉCNICA NACIONALLABORATORIO DE íilCRÓONDAS
TEfiA: ' CALCULO DE Li, L2, jB2, L3, L4, JB4 AFARTIR DE TRESDATOS DEL LOGAR GEOMÉTRICO DE Ro3'
LOS DfiTOS SON LOS SIGUIENTES:
PUNTO i
1.FRECUENCIA DE Ro31 (Hh;}=2.KGDULQ DE Ro313.ANGULQ DE Ro31 (GRADQSJ=
PUNTO 2
4.FRECUENCIA DE Ro32 (KhzJ=5.KGDULG DE Ro32¿.ÁNGULO DE Ro32 (GRADQSJ=
PUNTO 3
7,FRECUENCIA DE Ro33 (tlhz)=8.MODULO DE Ro339.ÁNGULO DE Ro33 (GRADOS)=
DATOS 6EHERALE5
10,FACTOR DE ACOPLAMIENTO í+dE}=li.LOHSITUD TOTAL PUERTO 2 (ca}=12.LOS6ITÜD TOTAL PUERTO 4 (cn)=13.DIHENSION (aJGÜIfl EN (INCH)=
B556.513793123.257
BB36.430151147.603
978B.703157104.400
32.52.5.9
LOS RESULTADOS SON LOS SIGUIENTES
ERROR DE CALCULO = (+/-) Í.35654E-03 X
RANGOS
VALDH 1 VALOR VALOR 2PUERTO 2Li(cfi)JB2L2(ci»)
PUERTO 4L3(cfi)jB4L4(C5)
1.900003-1.49993.6000031
1,300016-.99993541.200016
1,9-1.5.6
1,3-.9999991.2
•1,399992-1.500021.5999919
1.299984-1.0000131,199984
ESCUELA POLITÉCNICA NACIONALLABORATORIO DE HICROONDAS
TEMA:'CALCULO DEL LUGAR GEOMÉTRICO DE LA IHPEDANCIA ENPUERTO 3 DEL ACOPLADOR BAJO CIERTAS CONDICIONES ENLOS PUERTOS 2 Y 4 PARA QUE EXISTA PERFECTO ACOPLA-MIENTO EN EL PUERTO í DADO UN ANCHO DE BANDA*
DATOS PARA EL PUERTO 2
LONGITUD HASTA 82LONBITUO DESDE B2 AL C.CSUSEPTAHCÍA
DATOS PARA EL PUERTO 4
LONGITUD HASTA B4LONGITUD DESDE B4 AL C.CSUSEPTANCIA
DATOS DE OPERACIÓN
Ll (cü)=L2 («) =JB2 =
L3 (cnj=L4 (ta)= •JB4 =
FRECUENCIA INICIAL Fi (Hhz)=FRECUENCIA FINAL Ff (Hhz)=DIMENSIÓN ta)DE LA GUIA (INCHESJ=FACTOR DE ACOPLAMIENTO [4dBJ=
123
32i
85009900,93 -
LOS RESULTADOS SON LOS SIGUIENTES:
F(Ghz) Zr38.500000 0.065242B. 556000 0.0768038.612000 O.OB91878.668000 0.1024938.724000 0.116843B.7BOOOO 0.1323BS8.836000 0.1493018.892000 0.1677838.94BOOO 0.1880889,004000 0,2104769.060000 0.2352719.116000 0.2628359.172000 0.2935739.223000 0.3279369.234000 0.3664029,340000 0.4094529.396000 0.4575279.452000 0.5109329.508000 0.5697189.564000 0.6334749.620000 0.70Í070:9,676000 0.770359 i9.732000 0.837956:9,788000 0. 899232 :
9.844000 0.943B279.900000 0,981757
JZÍ30.5078920,4509420,3965930,3444420.2941550,2454540.1981150,1519640.1068740,0627750,019658-0,022409-0.063263-0.102617-0.140029-0.174349-0.206173-0.232781-0.253102-0.265207-0,266893 '-0.255968-0.230682-0,190532-0,137092-0.074668
/Ro3/ angRo3(í)0 .,901452 125.9918520.880103 131,243591.0.357022 136.4628300,832289 141.654430O.B059B4 146.8230440,773179 151,9732820.748950 157,1093430.718366 162.2374730,686500 167.3609770,653422 172.4353060.019204 177.6157530.583916 -177.2422030.547636 -172.0827790.510441 -U6, 8997300.472414 -161.6863560,433646 -156.4353940.394237 -151.13S9160.354301 -145.7886200.313966 -140.375351,0.273383 -134.B877090.232735 -129.3231050.192245 -123,6697010.152188 -117.9326170.112720 -112.1446840.074902 -106.4455180,038758 -101.571ÓB6
CM LO
"T
-í
ro c_ ce ^
LO
15'3ESCUELA POLITÉCNICA NACIONALLABORATORIO DE KICROONDAS
TEHA; ' CALCULO DE Ll, L2, jB2, L3, L4, JB4 APARTIR DE TRES.DATOS DEL LOGAR GEOMÉTRICO DE Ro3'
LOS DATOS SON LOS SIGUIENTES:
PUNTO i
1,FRECUENCIA DE Ro3i (Khi)= 85002.Í10DULQ DE Ro3i = .9014523,ÁNGULO DE Ro3i (GRADOSJ= 125.991
PUNTO 2
4,FRECUENCIA DE Ro32 (Hhz}= - 50045.HODULG DE Ro32 = .6534226.AH6ULO DE Ro32 ' (GRADOS)= Í72.4B53
PUHTO 3
7FRECUENCIA DE Ro33 (Hhz)= 9508B.KODÜLO DE Ro33 = .3139669.AN6ÜLÜ DE Ro33 (BRADOS)= -140.375
DATOS GENERALES
10.FACTOR DE fiCOPLAHIEHTD (+dB}= 311,LONGITUD TOTAL PUERTO 2 (c«J= . 312.LONGITÜD TOTAL PUERTO 4 tca)= ' 513.DIHENSIOM (aJGUIA EN (IHCHJ= . .9
LOS RESULTADOS SON LOS SISUIENTES
ERROR DE CALCULO = (*/-) 1.115587E-03 ' I
RANGOS
VALOR 1 VALOR VALOR 2PUERTO 2Lita)JB2L2(Eii)
PUERTO 4L3(ca)
JB4L4 (ca )
2,000011
2.99985
1,000011
2.000033
.99995793.000034
22.999883 .
1
2,9999693
1,999989
2.999917
.9999889
1.999966
.99993022.9999¿7
ESCUELA POLITÉCNICA NACIONALLABORATORIO OE HICRQQNDAS
TENA:'CALCULO DEL LUGAR GEOMÉTRICO DE LA IHPEDANCÍA ENPUERTO 3 DEL ACOPLADOR BAJO CIERTAS CONDICIONES ENLOS PUERTOS 2 Y 4 PARA QUE EXISTA PERFECTO ACOPLA-HIENTQ EN EL PUERTO 1 DADO UN ANCHO DE
154
DATOS PARA EL PUERTO 2
LONGITUD HASTA 82 Li («] =LONGITUD DESDE B2 AL C.C L2 lca)=SUSEPTANCIA JB2
DATOS PARA EL PUERTO 4
LONGITUD'HASTA B4 L3 (OD}=LONGITUD DESDE B4 AL C.C L4 (cs)=SUSEPTANCIA JB4
DATOS DE OPERACIÓN
1.11.4-.7
1.6.?1,3
FRECUENCIA INICIALFRECUENCIA FINALDISENSIÓN U1DE LA GUÍAFACTOR DE ACOPLAMIENTO
LOS RESULTADOS
F(6h2)6.5000008,556000B. 612000B, 6680008.7240008,7800008.836000B. 8920008.9480009,0040009.0600009.1160009.1720009,2280009.2340009.3400009.3960009,4520009.5030009.5640009.620000
Fi («hz)=Fí (Hhi)=ÍIHCHES)=
(4dE)=
85009900,93
SON LOS SIGUIENTES:
Zr30.0173200.0206280.0237080.0271030,0308670.0350720.0398100,0452020.051U60.0536810,0673240.0773220.0909020,1077200,1302200,1619130.2097540,2893770.4431190.8261772.4B8¿22
9.676000 117,9834069.7320009.7830009.8440009.900000
2.4246740.4004490.1163760.038901
JZÍ3-0,914996-0.993741
- -1.073229-1.169536-1.268967-
' -1,373146-1.499112--1.634467-1.737597-1.962995-2.166760-2,407395-2,697121-3.054169-3.507021-4,102747-4.925235-6.139732-3,123343-11,963340-22.590422--127.06944327,97535113.2292678.6156256.360722
/Ro3/0.9807B90.97945B0.9783150,9773700.9766310.9761020.9757870.9756S60.9757980.9761210.9766430.9773730.9782860.9793760.9306290,9320290.9335550.9351860.9863950.9386530.990428-0.9921330,9933760.9954640.9968980,993125
angRo3(í]-95.073334-90,347443-35.673691-81.045932-76.458893-71,907104-67,335643-62.889877-58.415440-53,953057-49.513729-45.078537-40.648334-36,221050-31.791695-27.357543-22.915329-13.462212-13-.995212-9.511502-5.008675-0.4342964,0639558.63769113.23380317.B635B9
ID H
ro o-,
o C2
t—i
PC 35-
O P3 C5 pq <c
-f-
-156ESCUELA POLITÉCNICA NflCIOHALLABORATORIO DE HICROONDAS
TEMA: ' CALCULO DE Li? L2, JB2, L3, L4, JB4 AFARTIR DE TRESDATOS DEL LOGAR GEOHETRICO DE Ro3'
LOS DATOS SON LOS SIGUIENTES;
PUNTO i
1,FRECUENCIA DE Ro31' (Hhz)=2.MQDULO DE Ro3I3.ÁNGULO DE Ro3i (GRADOS)=
PUNTO 2
(Khz)=4.FRECUENCIA DE Ro325,MODULO DE Ro326.AN6ULQ DE Ro32 (GRADOS)=
PUNTO 3
ÍHhz)=7.FRECUENCIA DE Ro33G.KODULQ DE Ro339.ÁNGULO DE Ro33 (SHñDOS]=
DATOS GENERALES
10.FACTOR DE ACOPLAMIENTO (+dB)=U.LONGITUD TOTAL PUERTO 2 (ci) =12.LONGITUD TOTAL PUERTO 4 (caj=13.DIMENSIÓN (a)GUIA EN (IHCH)=
9172.978286
-40.64B
8780.976102-71.907
9900.99812517.868
32.52,5.9
LOS RESULTADOS SON LOS SIGUIENTES
ERROR DE CALCULO = (+/-J . 2.468112E-03
RANGOS
VALOR i VALOR VALOR 2PUERTO 2Liten)JE2L2(c«)
PUERTO 4L3[caíJB4L4(ca)
1.400027-.¿99974Í1.100027
.90003941.2999811. ¿00039 .
1,4-.69999131.1 . .
.? '1.3000131,6
1.399973-.70000661.099973
.89996051.3000451.599961
ESCUELA POLITÉCNICA NACIONALLABORATORIO DE MICRQONDAS
TEHA:'CALCULO DEL LUGAR GEOMÉTRICO DE LA IHPEDANCIA ENPUERTO 3 DEL. ACOPLADOR BA3G CIERTAS CONDICIONES ENLOS PUERTOS 2 Y 4 PARA QUE EXISTA PERFECTO ACCPLA-HIENTO EN EL PUERTO i DADO UN ANCHO DE BANDA'
157
DATOS PARA EL PUERTO 2
LONGITUD HASTA B2 Ll [ca}=LONGITUD DESDE 82 AL C.C L2 {cin)=SUSEPTANCIA JB2
DATOS PARA EL PUERTO 4
L3LONGITUD HASTA B4LONGITUD DESDE 84 AL C.C L4 (c¿S=SUSEFTANCIA JB4 =
DfiTQS DE OPERACIÓN
FRECUENCIA INICIAL Fi (Bhz}=FRECUENCIA FINAL Ff ÍHhz)=DIMENSIÓN fa)DE LA GUIA ÍINCHES)=FACTOR DE ACOPLAMIENTO (+oB)=
LOS RESULTADOS
FÍGhz)8.500000B. 556000B. 6120008.6680008.7240008.7800008.8360006,8920008.9430009.0040009.0600009.1160009.1720009,2280009.2840009.3400009.3960009.4520009.5080009.5640009.6200009.6760009.7320009.7880009.8440009.900000
85009900,93
SON LOS SIGUIENTES:
Zr31.0651161.0B76061,111822 .1.1349111.1513691.1507071.1130831.002795 \a :
0,3932560.0527490.0495770.3526160.7186301.0266571.2574491.4200681,5259111.5843361.603277 ,1,5893341.548641 .1.4B53021.4033671.3032201.130273
JZÍ3-0.015990-0.0012610.0242500,0646740.125131.0,2113370.327141..0.4652220,5793330.53693S0.130614-0.353065-0.722791-0.348454-0.819363-0.712663-0.569592-0,411390-0.250290-0.0941440.051935 .0.1350300.3041030.4096260.5029620.5B533B
' /Ro3/0,0324670.0419690,0541780.0700460.0911340.1201110.1618770.2262660.3353640,5426380,9028080.9155730,6327020.4663620,3750170,3200920,234667.0.2609030,2448430.2343390.2284520.2265340.2238580.23589B0.24V1170.271307
angRo3(í}-13.352853-0.79016611.57804623.87700436.25046543,39481062.13082576,57861393.668673117.412537159.469783
-141.023503-103.731364-82,069362-66.123489-52.617213-40,347401-23.7B35S7-17.653612-¿.798584
. 3.8B675814.43435525.07146635.73515346.59704257.853397
| J | - T s*
\ f
8ST
ESCUELA POLITÉCNICA NACIONALLABORATORIO DE HICRGONDAS
TEfíA: ' CALCULO DE Li, L2, jB2, L3, L4, JB4 APARTIR DE TRESDfiTOS DEL LOGAR GÉOHETRÍCO DE Rü3'
LOS DATOS SON LOS SIGUIENTES?
PUNTO i
'159
i,FRECUENCIA DE Ro3i2.MODULO DE Ro313.AHBULO DE Ro31
PUNTO 2
4.FRECUENCIA DE Ro325,fiODULO DE Ro326,ÁNGULO DE Ro32
PUNTO 3
7,FRECUENCIA DE Ro33B.HODULO DE Rü339.ÁNGULO DE Ro33
DñTOS GENERALES
ÍGRADOS)=
[Khz)=
(GRADGS)=
(Hh2)=
(6RADOS)=
B6Í2.05417811,378
SB92.22626676,5786
9284,375017
-66.323
10.FACTOR DE ACOPLAMIENTO C+dB}=U.LONGITUD TOTAL PUERTO 2 (cn)=12.LONGITUD TOTAL PUERTO 4 (csj=13.DIMENSION (a)GUIA EN {INCH}=
109,9
LOS RESULTADOS SON LOS SIGUIENTES
ERROR DE CALCULO = (+/-): 1,990594E-Q3
RñNGOS
VALOR 1 VALOR VfiLOR 2PUERTO 2Ll(cB)JB2L2(cffi]
PUERTO 4L3(cffi)JB4L4(cffl}
5.00012,9999235.0001
4,00013.9999055,0001
cJ
2.9999825
.43.999985-5
4.99993,0000424,9999
3,99994.000064•4.9999
ESCUELA POLITÉCNICA NACIONALLABORATORIO DE «ICROOHDAS
TEMA:'CALCULO DEL LUGAR GEOMÉTRICO DE LA IMPEQANCIA ENPUERTO 3 DEL ACOPLADOR BAJO CIERTAS CONDICIONES ENLOS PUERTOS 2 Y 4 PARA QUE EXISTA PERFECTO ACOPLA-MIENTO EN EL PUERTO i DADO UN ANCHO DE BANDA*
DATOS PARA EL PUERTO 2
160
LONGITUD HASTA B2 Ll (ca)=LONGITUD DESDE B2 AL C.C L2 (c«)=SUSEPTANCIA JB2
DATOS PfiRA EL PUERTO 4
LONGITUD HASTA B4 L3 (ca)=LONGITUD DESDE B4 AL C.C L4 («)=SUSEPTANCIA J84
DATOS DE OPERACIÓN
FRECUENCIA INICIAL Fi (Hhz)=FRECUENCIA FINAL . Ff (Mhz}=DIMENSIÓN (aJDE LA GUIA (INCHESJ= -FACTOR DE ACOPLAMIENTO (*dBJ=
LOS RESULTADOS SON LOS SIGUIENTES:
F(Bhz)8.500000B, 5560008.6120008.6680008,7240008.7SOOOO8,8360008,8920008.9480009.0040009.0600009.1160009.1720009.2280009.2840009,3400009,3960009,4520009.5080009,5640009.6200009.6760009,7320009,7880009,8440009.900000
2r31,6915704,7482047,4160354,7990412.864399,1.957075:1,498517 ¡1.246886!1.1043411, 030212 '1,0046931.0228231.0S9Í491,2208081,4582601.6965412.7790814.7236197.5813344.7244451.6075540,5674100.2401930.10422?0.045820.019722
JZÍ3-4,427932-4.962889-0,8096962,0577802,0194841,570552í. 1624300.8252830.5394760,2846830.044319-0.196075-0.451112-0,737988-1.07877B-1.493221-1.932159-2.1177340,7709815.1513314.472017-3,3136412,5447032.026683 •1,6574361.377364
2.526
4.22,8,7
B5009900.93
/Ro3/0.8648740/8189480. 764875"0.7021500.6303680.5492960,4539840.3593760,2529220.1396440.0222260.0971310,2151480,3291630,4366010,5354000,6241490,7020930.7690330,8254380.8713090,9090550.9381400,9600690.97534B0,936478
angRo3(t)-22.416872-12,131509-1.6971748.90539019.69103630.66E87541,83744353,17697964,62667175.95995382.639499-77.324165-66,636393-54,960712-43,290745-31.753502-20.413149-9.3070111.54765712,14932222,50904332.65018142.60763952.42845262,17873471,953335
CD '
o CJ 1—1
P3 EH
'P
«3C O w CI
5
P=l'
-H
\3
J
162ESCUELA POLITÉCNICA NACIONALLABORATORIO DE HICRQGKDAS . • " .
TE»A; ' CALCULO DE Li, L2, JB2, L3, L4, JB4 APARTIR DE TRESDATOS DEL LOGAR GEOMÉTRICO DE Ro3'
LOS DATOS SON LOS SIGUIENTES: . . .
PUNTO 1
I,FRECUENCIA DE Ro3i (Hhz)= 85002.MODULO DE Ra3i = .8648743.ÁNGULO DE Ro31 (6RADQS)= -22.4168
PUNTO 2 •
4,FRECUENCIA DE Ro32 ÍKhz}^ 90045.KQDULQ DE Ro32 - ' .1396446,ÁNGULO DE Ro32 (BRñDOSJ= 75,95995
PUNTO 3 :
7.FRECUENCIA DE Ro33 (MhzJ= 9340B.HODULO DE Ro33 - .53549.ÁNGULO DE Ro33 (6RñDOS)= -31.7535
DATOS GENERALES
10,FACTOR DE ACOPLAMIENTO (-fdBJ= 311.LONGITUD TOTAL PUERTO 2 (cs}= 4.512.LON6ITUD TOTAL PUERTO 4 (c«J= - 713.DIMENSIÓN (a)GUIA EN (IKCH)= .9
LOS RESULTADOS SON LOS SIGUIENTES/
ERROR DE CALCULO = (+/-)! 5.51BÍ25E-02 • Z
: RANGOS
VALOR 1 VALOR VALOR 2PUERTO 2LUCE)JB2L2(cffiJ
PUERTO 4L3ícs)JB4L4(c$)
2,00138
5.9966992.501379
2.802318.69994614.202318
26.00001
2.5
2.8.70033264.2
1.998621
6.0033222,49862
2,797682,7007191
4.197682
163
ESCUELA POLITÉCNICA NACIONALLABORATORiO DE HÍCROONDAS
TEMA:'CALCULO DEL LÜSAR GEOMÉTRICO DE LA IHPEDANCIA ENPUERTO 3 DEL ACOPLADOR BAJO CIERTAS CONDICIONES ENLOS PUERTOS 2 Y 4 PfiRA QUE EXISTA PERFECTO ACOPLA-MIENTO EN EL PUERTQj I DADO UN ANCHO DE BANDA'
DATOS PARA EL PUERTO 2 :
LONGITUD HASTA 82 Ll (cn)=LONGITUD DESDE B2 AL C.C L2 [c»)=SÜSEPTANCIA
DATOS PARA EL PUERTO 4
LON6ITUD HASTA B4
JB2 =
L3 («)=LONGITUD DESDE B4 AL C.C L4 [ca)= •SUSEPTANCIA
DATOS DE OPERACIÓN
FRECUENCIA INICIALFRECUENCIA FINAL 'DIMENSIÓN (5]DE LA 6UIAFACTOR DE ACOPLAMIENTO
ÍJB4 =
Fi (Hhz}=Ff ÍHhz}=(INCHES)=
(4dB)=
1.82.2
— i
-
2,43,61
85009900.910
LOS RESULTADOS SON LOS SIGUIENTES:
F(Ghz) Zr3 JZÍ3B, 500000 3.621794 -0,3509018,556000 14,249491 3,099858B. 612000 3,035320 5.8411268.66BOOO 1.138941 3,6964068.724000 0,637136 2,6643238.780000 0,433150 2.070729B. 836000 Q.32B473 1.6945408,892000 0.266350 1,4223236,943000 0,225643 1,2154309.004000 0.1970249.060000 0,1758609.116000 0.1596329.172000 0.1468709,228000 0,1366619.284000 0.1234079.340000 0.1217059.396000 0.1162699.452000 0.1118929.508000 0,1084249.564000 0.1057579.620000 0,1033129.676000 0.1025369,732000 0.1013979,788000 O.I018B39,844000 0.1025039,900000 0.103784
1.0503390.9135300.7966790,6943860.6029790.5193600,4431280.3713330.3033650,2382890.1753400,113853"0,053221-0.007129-0.067758 "-0,129247-0,192217
/Ro3/ angRo3(t)0.374740 -13,612887O.B74427 1.677789.0.871271 15.4277960.866148 27.9033760,859873 39,3249170.853151 49.3767130.846527 59,7133520,840375 68.9651260,834907 77.7411350.830208 86,1320040,826276 94.21H260,823035 102.0392300,820467 109.663597O.BI8424 117,1233600,816849 124,4505030.815671 131,671188O.BI4332 138.8079070,314286 145.3796690.813999 152.9037320.813945 159,895966O.BI4109 166,8703190.314482 173.3426210.815061 -179.1744340,815850 -172.1666560.816859 -165,1189730.818101 -158.016144
164
LUGAS-GEQttETBICO DE P3
Fí +
r
i. i
\ \
.5 i • lr|
165ESCUELA POLITÉCNICA NACIONALLABORATORIO DE MICROQNQftS .
TEHAi ' CALCULO DE U, L2, J82, L3, L4, JB4 AFARTIR DE TRESDATOS DEL LOSAR 6EDÜETRICQ DE Ro3'
LOS DATOS SON LOS SIGUIENTES;
PUNTO I
1,FRECUENCIA DE Ro3í [,1hz)=2.KODULQ DE Ro3i3,ÁNGULO DE Ro31 (6RADQS)=
PUNTO 2
ltíhz)=4,FRECUENCIA DE Ro325,MODULO DE Ro32¿.ÁNGULO DE Ro32 (GRADOS)=
PUNTO 3
- 7.FRECUENCIA DE Ro33 (Hhz)=8.MODULO DE Ro339.ÁNGULO DE Ro33 ÍGRADOS)=
DATOS GENERALES
10.FACTOR DE ACOPLAMIENTO (+dSJ=11.LONGITUD TOTAL PUERTO 2 (ca)-12.LONGITUD TOTAL PUERTO 4 («)=13,DIMENSIÓN (a)GUIA EN (INCH)=
LOS RESULTADOS SON LOS SIGUIENTES
8500.87474Í,
-Í3.6Í2B8
9116,823055102.0392
9900.618101
-158,
1046,9
ERROR DE CALCULO = (+/-] 7.073167E-05
RANGOS
VALOR 1 VALOR VALOR 2PUERTO 2Li(ciD)JB2L2(ca)
PUERTO 4L3ÍCffi)jB4L4(c¡i]
2.200001-.99999931.300001
3.600002.99999932.400002;
2,2-11.8
-3.6i2,4
2.199999-1. 0000011,799999
3,599998i. 000001'2.39999B
166ESCUELA POLITÉCNICA NACIONALLABORATORIO DE HICRQQNDAS
TEHAi'CALCULQ DEL LUGAR GEOMÉTRICO DE LA IHPEDANCIA EHPUERTO 3 DEL ACOPLADOR BAJO CIERTAS CONDICIONES EHLOS PUERTOS 2 Y 4 PARA QUE EXISTA PERFECTO ACOPLA-MIENTO EN EL PUERTO i DfiDQ UN ANCHO DE BANDA'
DATOS PARA EL PUERTO 2
LONGITUD HASTA B2 Li (ca)=LONGITUD DESDE B2 AL C.C L2 (cn)=SUSEPTANCIA JB2
DATOS PARA EL PUERTO 4
LONGITUD HASTA 84 L3 (ca) =LOH6ITUD DESDE B4 AL C.C L4 (ca}=SUSEPTANCIA JB4
DATOS DE OPERACIÓN
FRECUENCIA INICIAL Fi (HhzJ=FRECUENCIA FINAL Ff (Hhz}^DIMENSIÓN (a]DE LA GUIA (1HCHESJ=FACTOR DE ACOPLAMIENTO (4dB)=
LOS RESULTADOS SON LOS SIGUIENTES:
FÍGhz)88
' 8BB888899999
. 999999999999
.500000
.556000
.612000
.668000
.724000
.780000
.836000
.392000
.948000
.004000
.060000,116000.172000.228000.284000.340000.396000.452000.503000,564000.620000.676000.732000.788000.844000.900000
0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.1.1.i.2.3.
Zr3035607041783043457055720063632072481082233093314105828120169136777156225179274206953240673282431335067402772491870612151779131017745367470BB4322615346,470286 !
000000-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-1-1-1-1-i-1-i-i
J2Í3.342435.274257.208347.144025.080681.017739.045356.109161.174255.241259.310860.383835.461037,543679.632386.730239.837583,957093.091211.242295.,411473,595446.777626 ..905515.842936.333052
00
'000000000000000000000000
123
321
35009900.97
/Ro3/.-938236.925196.911243.8964B2.330992.364374.848228.831156,8Í37¿9.796181.778514.760395.743461.72635-1.709727.693733.678549.664327.651237,639439.629078.620279.613132,607685.603920.601742
angRo3[t)142149156163170177-174-167-160-152-144-137-129-121-113-104-90-87-73-69-60-51-41-31-21-11
.154099
.279160
.410339
.559311
.737457
.956772
.770859
.433075
.017437
.511215
.901260,174347.317474.317680.162468.840675.342037.659050.736194.721329.466740.029072.419132.654091.754969.748109
c- CD H
/ /. /
co
/C
- / /
«
/cz
?c:
?h-H pq
Er-
i
3— Cü
i* —
" f
\3
V
\ V
^^
x.'-
X/x
//^
/ /
//
/r
J/
/
/ /\,
V y \ • \ \
-.J.I-
fr1"*
"-,.
--' { i 1 \s^
1">
- —
^ —
^•
í,,
\. i
X
N>v
\.s \
\
=uJT
\
'•>
-«,
\ ^x
\
' \ \
-X
\—
--
-T y / •'
/ .'
/J
'
,//-
/
4-
168ESCUELA POLITÉCNICA NACIONALLABORATORIO DE HICRGONDAS
TEHA; ' CALCULO DE Ll, L2, JB2, L3, L4, JB4 AFARTIR DE TRESDATOS DEL LOGAR GEOHETRICO DE Ro3'
LOS DATOS SON LOS SIGUIENTES:
PUNTO 1
i,FRECUENCIA DE Ro3it (Hhz)= 85002.KQDULG DE Ro3i ' = .9382363,ÁNGULO DE Ro31 (GRADQS)= H2.154
PUNTO 2
4.FRECUENCIA DE Ho32 (HhzJ= 99005.HODULO DE Ro32 = .¿017426.ÁNGULO DE Ro32 [GRADQS)= -11,7481
PUNTO 3
7.FRECUENCIA DE Ro33 (Hhz)= 90608.MODULO DE Ro33 = .778514'?.ÁNGULO DE Ro33 (GRADOS)^ -144,901
DATOS GENERALES
10,FACTOR DE ACOPLAMIENTO {4dB}= 711,LONGITUD TOTAL PUERTO 2 (cn)= 312,LONGITUD TOTAL PUERTO 4 (CÍD)= 5
. 13,DIMENSIÓN (a]6UIA EN (INCH)= .9
LOS RESULTADOS SON LOS SIGUIENTES
ERROR DE CALCULO = (+/-): 16.55937 X
RANGOS
VALOR 1 VALOR VALOR 2PUERTO 2Li(cffl)JB2L2{on)
PUERTO 4L3(cm)JB4L4{cffl)
2.249039-2,124943
1,049039
500
2.1-2.546668
.9
5 *00
1.950961-2,963393
,7509612
500
APÉNDICE E
169
Synthesis of Symmetricai Braneli-GiiideDirectíonal Couplers
s •
RALPH LEVY, SÉNIOR MEMBER, IEEE, AND LARRY F. LIND3 STUDEN'T MEMBER, IEEE
Abslracl—-A synthesís procedure is describid for the design of
branch-guide direcíional couplers which gives results shomng a signifi-
cant improvement over prevíous approximate methods. Tne synthesís
technique adopted gives exact Butterworth chanicíerístics and almost
exact Chebyshev equal-ripple charccterisíics, the deviations in the la'tter
case being so small that in most praciical cases they may be negíected.
The desígn of branch-guide couplers for bandwidths of greacer than one
octave is demonstrated.
The design información for a large number of cases of praciical inter-
¡st is presented ¡n tabular form, and experimental results for several
.branch-guide couplers constructed in wareguide and ¡r. stripline are in
good agreement with íhe theoo'. The technique could prove yaluable in
the design of microminiature striplme hybrids and couplers.
INTRODUCTION
RANCH-GLÍIDE couplers may be constructed usingmany types of waveguides or transmission Unes. Inthe branch-guide coupler using rectangular wave-
guides, the coupling región consists of a number of seriesbranch Unes, each Xgo/4 in iength at the midband frequency,connectingthe two waveguides. These branch Unes are them-selves spaced at intervaís of ~\gQ/4, as shown in Fig. 1. Toobtain an optímum broadband performance ít is_necessaryto specify the impedances of both the branch guides and theconnectíng or maín Une waveguide sections. In the case ofTEM-mode transmission Unes, the branch Unes are in shuntrather than ín series with the mrin unes, representing thedual of the waveguide case.
""\A. short survey of the previous work on the design of.Branch-guide dieectional couplers has been gíven by one ofthe authors.111 It is conciuded that present theories are allbased on certaín appro.ximations which lead to considerableunceríainty in the realization óf a broadband branch-guidecoupler. In the latest of these papers,*-1 empirical correctioncurves are presented which enable a designer to realíze abroadband device with maximalíy fíat or equal-ripple VSWRor directivity characteristics. These curves enable a good estí-mate to be made of actual bandwidths but are less accuratefor the prediction of the magnitudes of the VSWR. anddirectivity in the band.
In this paper a method is presented which gives exactresults for maximally Hat characteristics and almost exact
• Manuscrípt received April 28, 1967; revísed September 18, 1967.This work wassupported by a research agreíment with the Mintstry ofAviation.
R. Levy was with thu Department of Eléctrica! and Electronic Engi-neering, Universíty of Leeds, Leeds, Engiand, He is now with Micro-wave Deveiopmem Labüraiories, Needham, Mass.
L. F. i_Índ ¡s with the Department of Elecirical and ElectronicEngineering, University of Leeds, Leeds, Engiand.
results for the Chebyshev cases, ín fact, the Chebyshev caseyields VSWR and directivity characteristics which are al-most equal ripple, and the exact performance is given bycomputer analysis. The new theory also gives designs whichhave consíderably superior performance for a given number'of branch guides as compared wuh previously publishedresults.
Fig. 1. Cross section of the branch-guide direcíionai coupler.
THEORY
It is assumed that the coupler is symmetrical about theplañe indicated by íhe dotted Une in Fig. I. The analysisof the coupler may then be based on an analysis of the nor-mal modes of the four-port, i.e., íhe even and odd modes.p!
The even and odd two-port networks are shown in Fig. 2(a)and (b), respectively. The even-mode circuit consists of anumber of series or shunt open-círcuiied stubs of eíectricallength 9 connected by up.it elements of eíectrical iength 28.The immittances of the stubs are denoted by al} a», • • • , an
and the maín Une immittances by bí} b«> • • • , bn-\. The odd-mode circuit differs only by the termination of the stubs inshort circuits rather than open circuits.
For the even-mode circuit, a refiection coeíñcíeni: I\da transmission coefficient Te are determined, and similarlyfor the odd-mode circuit, V0 and T0 are determined. Super-position gives the following vector amplitudes of the signáisemerging from the four-port in the case of a up.it waveamplitude incident on port 1 with all ports terminated intheir characteristic impedances13' (in this case all norrnalizedto unity)
f-rf ())The valúes of the refiection coefñcient r and transmissioncoefñcíent T for a netvvork are given in terms of the transfermatrix parameters by the well-known formulas'31
r = (A - - C)
A.
170
113bn-I
(a)
E-WALL
(b)
Fig. 2. (a) Even-mode two-porí network.(b) Odd-mode two-port network.
A + D + B -h C(3)
,rhere it is assumed that the terminatine impedances are..íV'C-J'/'.'1 -Jí- '- r
.oroialized to tinity. For a lóssless neíwork, v.!e nave also
(4)
For a given branch-guide coupler. the even- and odd-modenetworlcs may be analyzed and their respective transfermatrices determined. By application of (2) and (3), P(1 Tf)
and r0j To may be evaluated, Foreachpair of coefncients (4)holds, since the even- and odd-mode networks are lossíess.Equations (1) are used to determine the waves emergingfrom the four-port. This is a process of analysis, and doesnot represen! a satisfactory design technique. which shouldpreferably be one of synthesis from specified performancecharacteristics. Such a synthesis technique is presented inthis paper for specified reflection cocjficiem and isolaíion,bul it is found that in common with previous design tech-ñiques the coup/ing characteristics are not controllable forthe symmetrical branch-guide couplers considcred.
In order for a synthesis procedure to be formulated, it isnecessary to prescribe functions representing the input re-ñection coefncient and isolation. These will be rationa! func-tions in íhe Richards1 variable
where
fi = tan (5)'
8 being the commensurate eléctrica! length indicated In Fig.-. The polynomial forms may be determined by analyzing-oven- and odd-mode networks oflow-order couplers, and byinduction, the general resuits for n branch guides are ob-
N'ow the transfer matrix of an open-circuited shunt síubof admittance o; is given by
1 O
üit 1 (G)
and of a short-circuiíed shunt stub of the same admittance by
°1o, . . (7)o, .
- « -I
A restriction imposed on íhe branch-guide couplet is íhatany rnaín'line connecting two stubs of eléctrica! length 28should be of unifomi Irnpedance, i.e.,' should consist of -adouble-length unit eíement of characteristic admiííance b¡havina transfer malrix
i - 1"
tt-
1
(S)
.iPí",. . , . . . , . - ,The restriction imposed above has a most valuable property,namely that (S) is invariant \v'ith respect to the transforma-tion
t- (9)
except for a change of sign. Note íhat (7) may be obtainedfrom (6) by using this* same transformaron (9). Thus ifthe transfer rnaíri.x of the even-mode circuir is calculated.then the transfer matrix for íhe odd-mode circuit is obtainedusing (9). Mathematically, if the even-mode íransfer matrixis
-rAf(t} BemLCt(0 De(í)J
then the odd-mode transfer matrix is
(10)
B,
Do
BA —
ii)
\Vhen the transfer matrices of the stubs and the double-length unit elemems are multiplied in the appropriate order.then the even-mode transfer matrix is found to be of theform
;
Ce D
1
(1 - ¿2)-i(12)
where the subscripts indícate the degree of íhe polynomialsA(í-)t • • • , D(f~). Henee from (11), the odd-mode transfermatrix musí oe
Tí
DJ
(13)
171
Subsequently, only a symmetrical form of branch-guidecoupler \vill be considered, i.e., referrring to Fig. 2 we have
ar = ani.r
bf = hn-,= 1,2, (H)
The'symmetrical coupler is the only form-which has beenj previously considered, but U is believed that asymmetric; couplers may be of interest and this could form the subject• of a future paper.' The symmetry restriction in terms of the transfer matrix: representations of (12) and (13) is e.xpressed by the condi-1 tion' . •;--.;-•=.-.
j As stated previously, it is desirable to prescribe the ¡nput¡ refiection coefficient and isolaíion [Ai and A« of (1)] whichI are sums and differences of Fe and TtfJ i.e., functions Hke.
•2) with a numerator (5—C). This means that when A\di Ai are formulated, they each consíst of ratios of rationali numerator and denominator polynomials. Henee it is veryi difñcult to specify AL and A* in this way since the coefñcients! of the numerator polynomial are closely related in'a com-! plex manner to those of the denominator polynomial.i Consider, however, the function [see (2) and (3)]
rT
-C(16)
assuming the symmetry condition A — D. It will be foundthat the functions
1 /r« r;— — ±2 \Tf T,
(17)
have a much simpler form which may be specifkd by simpleButterworth or Chebyshev polynomials. In fact, if themodult of these functions (17) are constrained to.be small
'"'•'er a passband, then since (4) holds, r«| and T0 must-iso-be small. Tne s'iuiaúon is even more advantageous thanoutUned by this simple consideraron because for the Butter-worth and Chebyshev cases it will be shown that the zerosof
£1¥."'
ij are those of Te and r0) separately. Henee the Butterworth| .case represents an exact synthesis procedure, and thei Chebyshev case gíves an atmost exact result. The only devia-j tions in the latter case from eq'ual-rippie performance of AI| -and Á» [see (1)] occur in the ripple levéis,, which are not
quite equal in amplitude, and in the exact locatíon of theedge'of the passband. In practice, the deviations are ex-tremely small and may be safely neglected.
Analysis shows that the function Fe/Tc takes the generalform
r,Tf (I
(13).
where Pn^(t-) is a polynomial in t- of order (;i— 1). Fromthe f—j- l / f transformation of (9) as e.xpressed in (13), itfollows that
T0(19)
The band center frequency of a branch-guide coupler occurswhen the branch guides are Xg/4 in length correspondingto 5 = 45° in Fig. 2, and to t=jl.
THE BUTTER\VORTH SPECIFICATIOM
• If all the zeros of the F± functions in (17) are íocated atthe center frequency given by t—j\, then (17) becomes
(-D"-n (Mt (20)
where K is a constant which determines the coupiing. Síncea splitting of an F± function into íts component even- andodd-mode parts is unique, (20) may be readíly decomposedto eive
r. ¿(i + ¿g)"-T. (i.-1-)*-1
(21)
and
„ (i +18)-1
in agreemer.t with the form of (18) and (19). It is seen thatthere are (/i— 1) zeros of Tf/Te and To/T0 at t-= — 1 cor-responding to those of F± given by (20), as-previouslystated. Etther (21) or (22) may be uscd for the synthesisprocess to be described later.
THE CHEBYSHEV EQUIRIPPLE SPECIFICATION*
Tn order to specify the Chevyshev function, it is convenientfirstly to rewríte (12) and (13) ¡n terms of eos 26, tan 9, andcot 6, instead of t—j tan 6, giving
A.
j tan 6Bn _2(cos 25
7 tan 5Cn_t(cos 16(23)
A0 B,\n_:(cos 18} j cot 9-Bn_2(~cos 26
.j cot eCn_!(-cos 23) Jn-^cos 28}(24)
Note that there are two main differences between (23) and(24). The ~B and C polynomials are muitiplied by j tan 6 for(23) and/ cot e for (24), and the coefñcients of the ódd partsof the respective A, B, and C polynomials differ only in
172
• rror the symmetrical neíworks considered, £ and Care eíther both even or both odd, so that (Bt—Ct) differsfrom (B,—C<^ on^ ^Y a multiplying factor±tariJ0. The F+
function of .(17) is íhen given by
_ - .~
eos
eos 2
eos 20;
eos 26
eos 28
sin 26 Veos 28S
venere K is a constant. Now consider the function
- . ' p ^ - i + l f + l '
'x
ar<
(25)
i where
x = eos 28, xc — eos 29C,
(26)
' (27)
¡ and A', as in the Butíerworth case, controls the coupling,; and in this case also the ripple level. Equation (26) has thei generícform of the insertíon loss for a cascade of(;i —1) uniti elements and one short-circuíted shunt stub oí- commensu-• rate eléctrica! length 26, as described by Kiblet[4¡ and CarlinL and Kohler.[s] They each showed that in order to give,; • Chebyshev equal ripple response with (n—2) ripples in the
rv.n-j — xe<x<xe) ^,-iC0O should be set equal to
= — a + vi
- — (1 - VI - xe*)Tn-* —2 xe
(28)
v.-here Tn(x) is the Chebyshev polynomial of the first kindof dcg'rec n. Referrring to (25) it is seen that
where
(29)
(30)
- "ii it is obv i rn i s t l ia t T0/T0 has the same zeros in the r-planei" -IV-'7', ( c -x í l i i í l i n í : the origín and infinity). Thus (29) and(Xlj represen I l l i c specífication functions to give nearly equi-ripple rcíleelími cfKrfficient and isolation—not exactly equalnpplc bcciitiw i l ic valúes of AI and Az given by (1) do notconiain íhe fmMnrs T. and T0) which, however, have moduli
r>- clow; to n r i i i y ovcr the passband.
. THE S\>rrHESis PROCEDURE
The function Te/Tt has been specified for the Butterworthcase by (21) and for the Chebyshev case by (29). These fuhc-tions may be reah'zed by a cascade of (/i—1) double-Iengthunit elements wiíh/i singlé-lengih open-circuited shunt stubsat the junctions, wiíh the exception of certain extreme specí-fications were negative element valúes occur. This is becausethe specification functions, in generalj always lead io areah'zation consisting of (2n—2) single-length unít elementswith one or more stubs at íhe junctions, but we are inter-ested only in the special and uníque case of a cascade of-do.uble-length unit elements with shunt stubs, the reaíizationof which is more restricíed than the general case. This re-striction has noí been expressed in analyíical form, and itis doubtful wheiher such a form exists. In practice, it hasbeen found that negative element valúes occur only for un-reasonable performance specífications. i.e., a small numberof branch guides with íight coupling and íarge bandwidth.
The standard Darlingíon synthesis procedure is employed.From (4) the modulus squared of íhe even-mode refíectioncoefRcients is given in íerms of | Te/Tt\s
P 3 =-L e\ 1 + (31)
Te itself is determined by choosing only !eft half/-plañe poles,.and the symmetry of íhe network is assured because thenumerator of (31) is the square of an odd function in t.The factorization of the denominator of (31) must be car-ried out numerically, i.e., by digital computation, since thereis no closed form solution. Having found re¡ the input im-pedance is determined from íhe formula
1 +(32)
from which the even-mode transfer matrix parameters aredeterrnin id using the fact thaí Ae is an even polynomial, andBt and Ct are odd polynomials in /.
The first step in the synthesis of the driving point im-pedance Z£ is the exíractíon of a series, open-circuiíed stubof characteristic impedance a: of such valué that a double-lengíh unií elemenl of uniform 'characteristic impedance b¿
may then be exíracted. It is easil}' shown that the conditionfor extraction of a double-Iength unií element from a drivingpoint impedance Z(r) is that both the open- .and shorí-circuiíed impedances derived from Z(í) have a derívativewith respect to / which is zero ai t~ ± 1. Using this fact, itis simple to show that when the above condition is notsatísfied, it is necessary only to perform ñrst the extractionof a'series open-circuited stub of characteristic impedance
ry i f i % r7 I f-i \^
where íhe prime denoíes differentiatíon wiíh respecí to /.In terms of íhe transfer matrix parameters ií is worth re-membering íhaí
A. • B .(34)
G D
173
~\e figures present an overall picture of performance and
are useful in selecüng a design for a given specification.' • -The element.valúes for either Butterworth or Chebyshev.designs are obtained, respectively, fróm Tables I and U. Itis evident that it is now feasible to design branch-guidecouplers to give e.xcellent VSWR and directivity over muchbroader bandwidths than hitherto thought possible. A com*parison with previous designs[-] is shown as the dotted curvein Fig. 4. It is seen that here an even greater improvement isattained than in the Butterworth case.
EXPLANARON OF THE TABLES
Table I gives the valúes of branch and main Une immit-tances for Butterworth specifications for 3 to 9 branchguides with couplings from 2 to 20 dB. Since the couplersare symmetrical, the immittance valúes tabulated are givenas fár as the center of the coupíer. The bandwidth factorAeo/Ap2 corresponding to points where the directivity failsto 20 dB is given for each case and also the band-edge cou-pHng [B.E. COUP (dB)] and the VSWR at these points.The performance is symmetrical with respect to eiectricallength Q=27rl/\ on each side of the center guide wave-length Xro, and the bandwidth is expressed as the ratio0/fl0=Xeo/Ap2, where X52 is the guide wavelength ai the hi°;h-frequency end of íhe band.
For design purposes generally, it would be more useful towork ín terms of the ratio of the guide wavelengths at íheband edges, i.e., the ratio
Since we have
it follows that the required ratio Xratio XpoAd as given in the tables by
XD
(35)
is related to the
'(36)9
Thus XffoAí2= 1-4 represents a band-edge guide wavelengthratío \i/\z of 2.333, i.e., greater than one octave. Thefigures for Xsi/X02 corresponding to Xf f 0/Xf f2 equal to 1.5 and1.6 are 3.00 and 4.003 respectively. Simiiaríy, Table IIgives design information for Chebyshev characteristics for7i = 3 to 8 branches. Here the bandwidth factor XffoA0s is aparameter, and the máximum VSWR rippie. the. worstdirectivity ripple within the band, and the band-edgecoupling are given,
Some of the theoretical resulís presented in the tablesj would not yield useful designs for a variety of possible. reasons, e.g., difficult line admíttance valúes or excessive. coupling variatíon across the band, but it is íhought that
the tables cover most cases of practical interest/
EXPERIMENTAL RESULTSSeveral designs for Butterworth and Chebyshev char-
acterístics have been constructed both'in ^T-bánd waveguideand in stripline. Due account was taken of corrections to beapplied to the branch and main arm lengths and impedancesdue to disconíinuities, as explained in previous publica-íions.[il-12] In the waveguide designs, each coupíer was con-structed in the forra of a metal bíock with slots forming íhebranch guides. The block was inserted.between two wave-guides having a section of one side of the their broad walls,equal to the length of the block, removed. The arrangementsuffered from pracíical Umita tions, e.g., the difficulty of ob-íaining good contacts, and the residual VSWR measuredusing a block without slots was approximately 1.04. Resultófor coupíers constructed by milled block or similar manu-facturing techníques might be expected to be somewhatsuperior to those presented here.
A sketch.of a 3-branch Buttenvorth 10 dB waveguide• coupler is given in Fig. S, and the measured results are shownin comparison with íhe theoretical curves in Fig. 9. Table Ishows that the directivity fails ío 20*dB for \/\2—1.\7,where the band-edge coupling is 9.5S dB and the VSWR is1.03. With a midband frequency of 9.5 GHz, the band-edgefrequencies are approximately S.7 and 10.4 GHz, as in-dicated in Fig. 9. The results show good agreement withtheory within the pracíical Hmitations. The error of 0.4 dBin midband coupling was not repeated in other designs, e.g..a 4-branch 6 dB coupler for Butterworth response (Fig. 10)gave almost perfect agreement between measured andtheoretical coupling, and good agreement for directivity andVSWR (Fig. 11). The worst deviation from theory occurs atthe hígh-frequency end of the band where the ratio of thewaveguide dimensions to the guide wavelength is becominglarge. Deviations caused by the use of a narrowband ap-proximation for the equivalent circuií of the T-junction dis-continuiíies may become considerable here.
A 3-branch coupler constructed in stripline for a Butter-worth characteristic having 3 dB midband coupling is shuwnin Fig. 12. Original!}' designed for a midband frequency of1.5 GHz, it actually centered at 1.525 GHz3 and the theo-retical curves of Fig. 13 are drawn accordingly. A similarcoupler designed for Chebyshev performance also gave ex-cellent agreement between theory and experirnent for VSWR.directivity, and midband coupling. but showed similarcoupling deviations at the band edges. In these designs thereis a large difference in width between the inner and outerbranch Unes, and the length correction is difTerent from theíwo cases. However, a mean length correction is taken Ínpractice. This and other factors could be responsible fordeviations from strict theoretical performances at the bandedges.
An examplc of a broadband 5-branch waveguide couplerdesigned for Chebyshev VSWR and directivity characteris-tics is shown in Figs. 14 and. 15. Here the midband couplingJs S dB3 and for \^/\z=lA Table II gives a'directivityripple of 24.2 dB, a VSWR ripple leve! of 1.039, and acoupling which drops to 5.74 dB at the band edges. Thesíightíy nonequal rippíe performance is clearly indicated.The experimental results agree quite cíosely with the theory.
174
TABLE I
ELEMENT VALÚES FOR BUTTERAVORTH BRAXCH-GUIDE COUPLERS FOR /i = 3 TO 9 BRANCHES
COJT
í— ,1
20"1510
a5.5*3
2.52
SO
1510
865»
2-5a
«0
1510
B
*54
32-5
2
w1510
ac54
3i- 5
Z
3.Á.
CTU?
13-5
9.;^7. 505. E*
*.7Q3.702.63
2.26
1.7»
19. ci».r9.C97-155-2°*.2t
3-31
?.J?
1.*=
iS.t
13.55.536.?ca. 753-522-Si2.C1
1.531.1 =
17.a
12.9e,.12
S.19i, 2*3052.501.731.31.507
-Ir
!.U
1.151.171.161.15l.H1.1*1.1»1.12
1.13
1.291.221.25
1.25
1.231.231.32
1.2,1
1.20
1.3*
1.J»
1-32
1.311.301.23l.2ñ
1-271.3Í
1.*1i.to1.371.361.3»1.3*1.331.311.311.30
'SS-Ti
TToT
1.011.C3
UB*1.C71.C91.12
1.131.23,.23!
1.011.32l.ot1.051.CS1.12
1.151-201.221.2=
1.C3
1.ÍÍ2
l.«5I.CTJl.lu
H1.161.221.2*
1-33|
l.od
\*$
l.ccl.ll1.1-1.151.221.23
1.3»
ati
"3.050}
0.16230.2^760.26Í70.2C7S
0.2553O.*1*5o.i'U0.53*1
C.C2530.0*5*o.ca2iC.loO*
0.1325c.i~5~o. 1553c.lc95
0.2102
JO.Ü129
U.C233kj.o^50.05*2lo. 1 070.077"
0.0976
0.0999
O.océo
O.U12CÍ
U.022"
U. 02 So0.036*O.OA^Q
0.0*530.0^92
o.ojzS0.051-
JLXM 3v4.2
O.JÍ2»
0.3350o.»fc?0.6=¿2
0,727*3.397K
l.3»221.61352.3325
=.07525.1255c.253*C.33Í70.16*60.5635o.~c¿3
1.1377I.SZT»
0.0508J.05C20.16650.21720.2?22
0.53130.61*30.7323
0.0317
ü.05710.10=130.1352=.17710.2053ü.2»oe0.287»0.31750.35&J
T== líTJ.2
n
n •
i0.07190.13*30.25*2o.3*llo.*357
0.75311.13831 .üi-571.5616
n
O.CÉ23
0.1119a.2'-5á0.27930.39570.^905•j. fitasO.S1É2
1.10^3
1.5SÉ2
jTrx'^i»_
a- 3
fe
-5
- S
5
ͻ5
",'INb
1
1.00351.0122
1.0**51.07571.13*2t.l£331.25731.377al.*5?3U59S6
1.00231.00751.D2S1
1.02361.03751.1204
1.17021.2510
1.31251.2993
1.00131.ÜOÍ4
1.01631.02Í6
1.0523
1.07271.l(J3fi1.1 5*11.19261 .2fc7U
1.occ7
1.0C2*1.0C51i.tJléat.'J3o21.0«231.06101.09171.115*1.1*93
LINT I-
a2 "
1.00531.01761.06321.1101
1.2025
1 .2S50I.*i651.S*S81.2*22
2. 1*11
l.W*í
1.01561.Ü5731.10131.18961.26901-39921.53261.33012.1417
1.0033
1.01151.0*311 .07^91 . 1 *551.20751.30751.48751,63861.3739
-nr««c>j
1.005*.0185.065*.12"^
.2399
.3*30
.5311
.85332.20232.7*33
53>,k
'
CC&
(cal
201310
a65fc3
2-5
2
3':-j
fílsft17.312.;7.1C
5-~H.CT3.113.2Í
1.*í
.stc
1.161."l.*i1.*0
1.32
1-371.351.351.2a
1.33
20
1510
865*
32-5
z
la. j
12.1
7-33
1.*3
1.*?1.**
5.*3 i.*32-522.S32.CQ
1.25.9ZO.5=1
l.*1l.ttQ
1.3S,1.3SI.. 37í. 35
TSO.
i.sil.oll.SÍ
1.S*
1.12
1-151.1?.1.25J
1.23J
SMÍCH CFJ::E: i—.rTTA.-'csa. 1
i
o. 00330.0062Ü . D l l ^
O.C152
o.oi?5O.C2BCo.c.-2a;O.C2Í5
0.0272
*2
0.01730.0350u,-xA6o.ü53'JC.1072
O. 12220.13950.15930.17000.131U
1.0=1
1.0*1.CÍ
1.091.131,151.201-291-221.2^
o.oci7 o. oí 15O.OC32
o.ooéao.ooelO.OlCc
0.0115U. 01330.0115o.tnftSC.01*?
Ü.O21C
0.339a0.0505Ü.'JÍ^=
0-0732
O.Oc23
O.C9I3O.Ü952C.0973
3n
o. tXió 90.65*2
0.150*o.2'.-63o,2?*60.3*5"0.33670.59*2o. 7276a.5ü27
.-.O.OJ32C.C53SCj.iioea.i**c«3.13350.2291D.27c5
o.-i5*3O.*129
0.597=
•"- .'0.00200.1111
o.aySi0.22170.*'J75
0.51S60.7W11.07C91 -*3652.1192
- 1
•J.'J¿*2
0.-.-9710.13130.2liü3
0.25170.**H~0,5015ooaio1.3*01
i.y>65
S
¡
«AIW
1
l.üoo*1.1XJ13l.0ü*91.00901.0170
l.WI1.03521.0537
1.0393
í.wz ;b
1 .0022
1 .00751.0252
1 .05251.10-,-S
1.1 **a1.21"-;
1.3331
1 .6(^0
-T7TA>
bj
1.C050i .0171I.DÓ531.11561.231=1-33721 .¡233
z'5?i
2! 300»
-a\a
i.mxr?1.0-J371 .0-0*51.CC951.0136
l.coial.oyfc*
1 .c<-'39| 1.0055KO137Í 1.G132
l.OlT^l 1,0532 1.07*6'
I.C2*a¡ 1.D975 1.13731.0552' i.]3ig"i.27*31.0351
l.C2yi| Li t is1.0111
1 .03591 .052o
1 .22171 l.*oSol.*357Í 1.5*s3
1.22*5 1.735*1 2. 1*751 ,2S2°J a.oicsl 2.52371. 397712. *911 3.55CA
r. - 320 ¡l£.5'= 11.7lo U 95
a6í*3
2.52
5-21
3-332-521.75i.cg.3cc• 55o
1.53i.;o1.57l'.^S1.«l-a31-42l.^ü1.33t.35
1.021.0*
1.-2l-=91.1*1.171.2=1.2;1.22
1.35
3.CÍJC53.M173.0Q233.tX^3J. 0-057J.'-X3c5
i.OOTj
p.coíoÜ.CCc2
p.tx>53
O.OOS7J0.022*
0.012*
O.C225
0.030*G.0332
D.'.1**!
0.0*=2
O.C537
C.C553O.W57
Q.CS07
0.075*0.057=0.12=5C.l*50c.1750a. 2099O.23250.2SM
0.0*350.07=1
s.i*;;c. 13330.2725o.33£lo.asaio.5*=5o.2*2S1 . 1952
0.8533o.y-jS*0.1312
0.2^51o,25oiO.^óSüQ.á5171 ,c¿6 j1.51=02.Í1559
l.COOl
l.COOj
1 .001*
1.0027
1.C053l.co7ü1.01131.01731.0242
1.0313
i.soyíl.exjgg1.511=1.0211
i.c-ttia1 .tO^.l.Oyvj
l.l**S1.1=511.2575
i . «a¡a 1 1 . 00521.010011.0192
1.025=' 1.071-31.07311.1 tsa1.212=
1 .2S=51.53031.75O52.C572
1.133C1.2:511.WT
1.6*55]3. -16^52.69133-5=33
ELEMEN
TABLE U
• VALÚES FOR CHEBYSHEV BRASCH-GUIDE COUPLERS FOR n=3 TO 8 BRANCHES
As7£¿
1.1
1.2
1-3
cc«?(~al
20151C
a6
5
3.S.
caurf t11}
oís./-=!
VT-T.
19-91*.Sj.P-6
7.Í55.=t4 n"l
* 13.333 J2.13
2015•10
86
M.
320151C
19-5
l*-59. «27. 353-3*
3.3=2.29
l"'.r
13-^r-ó;
3=-=35.32*.11
33.532.531.321.2
30.*21.522-521. S31.a19-315-313-517.715.515-5
LODO
i.eail.OO*
1.0071.0151.021
1.030
l.c*51.20*
1.UO31.32*1.0*0
1.0731.1 CE1.1501.2261.2131.022
I.C75
SPJÜSM ÍTJIZZ i-T-rrTA::cE5a l a l a i a ,\ \1 *1 | c 1 J 1
ü.0505J.M11
M.I=;Ó0.212*
U.27S1
e. 3 17*0.26=1o.*22o[0.05Í1
W.C5S7
(O.l75itj.22*0
/•J.3CC3
p.tj3oi-j. ;orr
«.0573L 1O4T
U*t«s
'J-05530.1755D.33Í5O.*512
0.0301
n - 3
0.7í:óí0.37231.3103O.Oíüg0.17020.2177o.*207
Ü.70Í7
0.35521.21=0
«.ose*0.15323.27=5
•'AHÍ ir.-s r"rrrA.-icE3S t lj
1 2i |b
1 . Q0291.01201 .0*511-U7701-13651.1ñ7tt
1.35*1
1.3S951-CoM1.013*1.0*71l.OÍWÍ
1 .201 I1-22601.33911.CCC21.01*2
1.Q5CA
3tara.J331
1.1
1;2
T.3
í.*
20
1510
E65*3
aq1 =10
a6
5*3
30
'5
10
e65*3
1TJ
1510
8
£
5
19-51*.?9-?77.Í-55-^5"."i3.552. ~5
19.51 =-i9. "77.*;5 l¡"'ft.S2S.^l2.*?
12.3
13.=
5.-£5.72".673.562.651.71
ia.97.71s.*!;Z.c>*
2.C5
55.557.*55.55*.*53,152.1SJ.*
50.1no.339-137.135.3xk ¿
33.722.E31.5
23.2
23.0
25-92*. 7
23.222.3
21.2
20.0
21.0
13.5
17. *i£,1H."
13-5
.000
.000
.002
.COI
.COI
.txs
o.ossS 0.07*7O.D*c5¡0. 13**
O.c=*30.10720..1371
0.25130.332Í
n.1550 0.55Í3.WJ2 J0.1753j0.7032
.C'J*l l().137':|o./*í'í
,o«:¡ ¡0.02-5.Üüll
.DOS-CV
-oi3.013.027
.c*2
1.CG3
l.ÜVT
1.03-J
1-0231-053I.OgA
1.12*1.J571.011
1.025KüíT1,110
!,=«
1.790
•ü.c*370.29120.11T1
u. 151 30.1725
•J.I5750.225'.
U. 373»0.1312
n.2***O-3233fi ¡¡ 71;
0.6=5:'J-3235
U.030ÓJO.'.>53S0. 055010.1250
0.1'^7¡0.2310
0.1355O.ISCKS
•í-3057c . 2a 550.29320.03530.06650.12910.1726
0.2377
0.2^3
0.3DÜ30.11930.5C260.5*33
O.P.705
O.C'jió
0-11*30.2t*S7
•3.25-330.25230.^135
i|
1.0)2"
I.ocáO1 .02571.üt53
l.ocK1.12*01.175;1.261»i .ocas1.00951.0207
1.05351.09771.13571.1 ?3*
1.2925
1 .C*JZ7
1.0053
1.02**I.ü6c¿1 .112S1.15351.2313
1.35T7
1.EXJ31
1.W1C7
1.0*0*
I.W22
1.1 J72
1.1560
1.0C531.01771.052*1.11051 .2';* 11.2=731 ii*2O7
1 ,55751,00531.01771.0Ó*O
1.1121
1.2052
1.29*51.32*!
1.5=553
! -IXJ531.01731 .Cfl?2
1.11*91.21521. 21/751 .*5331.7273
1.005*l.oi2l1.CÓÓ3i.moI.2-2Í11.32"
Oí
r ."
* ~
s s
sr -
í M
m n
iJ
•-
— LJ
SVn
VÍ
Ñu>
-
—
j o
o a
Si =
5 S
"Afc
S £
3
O
G
O
—
o
q b
—
Cfi
íí u>
—
U>
LTi
(u
3
O
O
C
m W
S í-
u g
e U
3"
<) C
IJ £
C
£ *
í. S
s S
2
Í¿O
~l
o,
6
—
P
<7
SV"
fu
<$
G
oí lo
d
*n
ú>
-
i»
L»
», „ -
-J,
S
m 3
c» -i »
—
—
—
M fj
M
W
r- L
J Cn
W
M
tr (
J
J
— —
o
O
a
oc
u?
PJ
(n
u
-*
5U
) S
v¿
01 ln
U
ÍT
3 o
o o
a o
a-
- j-
o
o Q
£Í
ln
-í S
tr
O
Ul
) a o
o o
Q
c0
M -
• —
~
n
Ctu
LJ
ui
n- —
ÍIi
LJfj
LJ
--J
(O
E"
rO
t?
: p
Q o
a c c
*
LJ
PO
M
—
C
C
—
ui
tu
c
Ul
cu C
j -•
q o
c c
Qid
B
- 10
P-
fo
S
• C
it-
-
&
V>
ir
VA -
ín u
ro
— ñ
q
í
SB
- fj
-«
C
fi -1
l¿
¡J
-J
a «i
a i
"* ¿¡
SÍ í
3 2
ÉIr
m U
l U
l 3
U
)
V
•
-, - ro
•* r
U«
1* ""
G
1"
(3
- r
.M v
y r1
5 S
3 S
3 S
33
ó
-M
W
rj U
LJ
U-
U¡
UÍ1
|U\
— I
rfír-J
^J
— L
-J
—
U
UD
Ul-
J
jb
bb
bq
gg
nG
CG
pC
pt
l
ró C
S
5J S
t-
S
—n
vJ
iu
iir.C
TiM
-'"
LJU
>U
llJilJiI
rU
i I'
OO
QG
OC
JI
ÍO
j w
m w
-*
— o
n
-t
>il
C- ij L/l —
üi
Idu
ro
GH
CU
1"
a
(í
en
co
co
o.u
Ln e
u
ro —
o
o^
•C
C
^U
llJ
lO
-jt
trro
LU
-4'-
í-J
n-Q
i
rj
—O
OG
OC
Cw
lu
10
i),
ui
— a
Q
CE
-w
Oí
i"
--
IjV
ío
— q
^S
1"
-«ín
B
io
— q
oq
-1 v
n ¿1
-•
»<•'
ri ,
J ,<
5V
nn
j'-l
roL
nu
lUjU
í
Ü
U » u
o>
•*
5 S
-
N LJ
Ir
lf\» ..
_.
•^
LJ
W—
U
IL
íllO
^j
B-»
B
Ir
B-B
-U
Ul
—
W
V
Lí> ~l
U)
— LJ
OD
lL
JW
B
-O
CO
ff
Qo
gq
oo
cq
^s
&^
ñs
gg
~O
a o
a
c o
o
a
3 3
k 8
S- 3
2 H
nio
— j,
— -•
u, f
íi(T
i v*
Ul
ro
tr -J
m m
co
oo
oa
no
IJM
rj
—
-*
—q
óU
l -J
M
'p
tr
~
- 3, LJ
01 r
o -)
&
V
n -*
<
¿l-
co
ao
cp
is
aO
lljlli-U
U-.-íri
<u c
Ln
m M
I >n
u (
S1
JL
J
(T
lU
l-IL
J
&<1I
v*>m
— o
\uic
Ti-
'Lj
— O
P
'P.O
GQ
CB
-s
s\r
ru
-•
íí
?
C\J
U
ir IJ
(0
1J C
Oí
í J
W —
C
<J
_ O
0
3T
ívS
®lS
S"*
o u
i ui
m —
q a
cü
10 -i U
' LJ ^ - í
rrin
LJ
a
W-J
ID
Vi
c _.
—
Mo,
m o
V ."
V r
1 í1
B- 3
OifliJ
íiB
iS
oL
nÜ
l
StJ
i ÍT
I pi
m
Oí
~t
-J—
LJ
B-
Oí
-J
O
M
3~
Jo
—
au
> —
a
§§
§§
§§
§§
oo
oo
oo
oo
s,s'
^fts
h 3
8J >
U
l L
J L
J (J
i IJ
-1
p p
p
p n
p o
nJ rj
Ü
-*
-•
— o
o
pa
pp
oa
oo
0
Oí
Er-
LJ ÍJ
fj I.
0
Sro
-4
«i -j
c
o iíi
f L
/I ro
o
ro t
o o
-•
Ro
aa
G o
oro
LJ
c
Ln
ín
n
ío d
— LJ IJ ni
ín
MI -i
ID
V ¡j
rÜ
Ln
fft
?•
¡3
¡J"q
i«
¡3
;n -
u.
y u
LJ
U¡U
''^
Ñ-i-S
as
s^
ás
s^
0 1 m
í —
—
M
D1 r
?* s
5;N
U
) ih
O
í l"
^
—
_
— 1
0M
f
(Ti
VO
13
-• U
l O
O
-1
SS
SfS
p p
p
p
pro J
—
n
o
- (^
,'B
¡)O
V
" IJ
—
0
a o
a p
(3n) -•
—
O
Q
B üi
"fr
l7i
ih
O
U
Q
O
O
LJ ro
-•
q o
ro tJ
-1
05 v
nV
i M
-^
11
1
Oí
6\
ai ifi
Ln
iltlg
isiii
v-- -.
w
• .
• . .
M ln
Cl
-
Q "|Í Íí
V
O 0
—
M
ro
ro
ro
h) L
J
iri
•* M
ro (n n
Q
—
— o
o
o
q
qLJ
ffl
Ui
U)
|J
(Ti
fr
o o
o
o
O' c
u
'oí h
h 5
1 í
'j h
SS
i ~1 U
y> Ü
l -d
ü
Ul
ln IJ
S
Ln
-J
MO
O
O
O p
C ti
V I
J ro
ni
— C
Ca
f ji
q o
í Oí
E-
~* LJ
—
8
"3 "'
o n
o G
G o
G71
P
LJ
n)
W
—
q
1» ID
tt> H
IJ
—
01
o> u
i -I
ui ií.
n) LJ
O\1
G
[U
O
í B
B
w —
n q
q
q
n
S.
m 'fi ro
i?.
3,
-Vn
ín
i-J
ln
tfi
ni
iTí
v u y
— q o ó
—
\J
if\n
LJ ?
, t
Oí
Oí
-4
(0
•!>
|S)
«>
u
-
_.-£
,
Q
U.
^N
b'lro
im
-'-'
• •
• •
- !
LJ ID
•o't
&C
l'á
íJ
íoC
a H)
U W
LJ L
J U
u L
J
D>O
—
(O
L^
Ui-
Jm
—
-•
(J
\U)>
O-4
—
m —
qa
qo
qo
oa
iTiW
N—
C
UÍ
JO
Ln
jiL
Jo
iuiU
iro
—
ca
o
up
oc
p"-
-
'— f)
o *
b *a
oir
u
— 1
/1 -J
U
l U
—
lo in
— M
P
-1
.G
O
í—
-1
U
> U
l IT
MU
>V
íl
oo
oo
na
oa
¿ íí
ín í!
íí
Íí. S
S-
S -
o -
v?
íj
$• <
"— o
ce
op
cc
Jl i/i
o i'j ro
-.
q—
Lu
U r;
W
N
Ui
N —
-í q 0
O 0
OIJ
UiC
J-
lLJ
MC
Q"
S'fíK
ío
Lj^
m
-i
«-I
JM
—
yo
qÍ3
2
T,
fíi
W'
—
6 .
í»
M
U,
B U
. ~
l XU
-
-
•~4 ih
Oí
o\i '«
'«
ui
•5--
1 £
5.
ofJ
tv
*G
ro
—
IB —
Ui
u)
SJ
§S
ܧ
§C
GC
GG
CC
C
—
— C fl
C
C
C
C— c
-o
-l
(h
t
fl -
S*—
c
<o
ri w
ín
BO
l-J
LJ
lT
o--
&-
—
vu
cc
cc
cc
pc
''.«
rtJ
íO
W—
C
C
— g
'é
^S
^S
^j
—
CG
GC
CG
G
C-lU
lfc
LJ
M
— C
•Ov
n-t
oV
ío
f> ro
-!c"c
^üí í-5
"f
i Ü
ID ro
íú
»i
LJ —
c
Cu
—
EC
MC
BK
—
UIL
n»
--
*L
JU
>»
'E fi M
S >
? *9 '?
— M
Íj-3
Kg
Jlj
i •
.-
'-•-''
*l- »
C
L.
C
MU
Í
B-U
l-J
-íl---.
-¡ -j ^1 H
-) ij V
) -0
-1-J
.-JH
-H-1
H (»
C
— r
ou
il>
o>
>d
GL
*
OJ
lfllO
VH
CB
C
*•
iiiüüi
ce
ce
e c
cc
c 'c
£ c
c
c c
e
UlL
JC
O'fc
Ulíj'j
ce
e c
ec
ee
\K
f Lu fj
N —
c
cU
IM
B-
y)
— 01 \
V-IH
i-lN
-J
ÍiC
C
C
t^
uli
OV
j>O
lfJ
H
— c
Go
oc
ec
-•-4
Lri
_e
fLj(
j —
C
3
—
<ft
C
— —
cc
cc
ce
oic
-ji/
iK—
er
C-J
Ln
ljiú
p*
- —
Oí
k<
M
-*
x
c
a
p'
1132
53
3 i
D 1 L-
A» H y — 9
"(i
m'tu
»
•-• ••
•
rr s i ? 3 5 -'I X
.
M- a B H
u- g i!
*-" í:
-' t a
.'k2
u'íí ra
r-
tí 5
tJ 'I o
.1-1 i
-
c c
o c
c c
oR
C
! C
-1 f
0W
V>
-•e
M f
J
— — "
r:
Ul
rO
- U
li,
y
ro
(ní:
K
l vi
M
f ?
?tu
U
—ro
LJ
O
íir.
í» u
tro
1)1
uG
C
C
C
- —
c r
• m
ro
oí
ui
i ¡j
c
~~
t ro
—
».
rJ
~4
—K
B -
U5
"i<:
LU
-JP i:
>
íí 3
*»>
B
—M
j "J -)
í 5
£ ?•
i£ I
D o
) i
—
- -•
c
c;O
> <£ ti
í
CD
C L
n C
cc
cc
cc
nc
cc
cc
ce
I ti
O
í V
I -*
-1
]-
•Lslj-
'L&
JV
- £-t!
— —
cc
tí
c—
-*
CW
íí
c
yC
C
JC
CC
CC
C!
C
—
-*
—
c R
o
t:
K
ir-
M t
; in
—j
\ji
M —
í ' ~
1 Cf
l ir
—
t-
!¡J
Vn
nc
cic
tr
oc
c
•o
ti -í
SC
RC
.R
RC
C
cc
cq
cc
ct
]m
Y.
iv íí
-> í í
ü—
fí \
i¿ —
ih -
* e
ra
— iV
j —
y; -í
-•
—
— -
w
w
— ^
u -
i w
ui
di
u'
(3
O 0
O
0
W
íí "
>"• «
Oí ir
t' >
II
c c
c o
i¡
C '7i
1 "»
1 •
i
>n -i
ro
—
—
Oü-
m
M
~JU
l <í
> U
l M
Ñ «
5 S
S
—
CO
í 11
1ln
—
-. íí
O
Oot
ib "
o«
M
PJ
nj tí
ro
u u
ao
an
nn
aa
-\»
M
tí.
vn
an
rj
no
ao
o
- -
•o
n-
u—
Oc
ca
nj
-1
CJ O
í 'í
í Ir
—
íí
o
w -I
s i i i
i,
—
— q
íí
dg
K- o
ui
«•»
— C
u o
- la
M-
u fr
I —
til
p
p
i
5S;
na
oc
oo
oc
:
(u v
R- Ir
O
C-i
T-
oí =
•-4
C
cn
cc
cí
M —
- f.J
-( '
iii
|«
\ u
u
-.
n o
nui
<*
- n-
-J u
(i
-iv
nv
i a
iiJio
'i'
'4 g
S 3
g ja
3 S
'" IJ
M
— —
o c
u
V ui
u -
4
nc
CQ
oo
c
-•
RC
OO
C
•fi tí
w !j
—
A £ íí
c
•)
,*> d
i u
¿
3 —
£
U
Ln
IJ
n)
— o
c
9
o
Ü1
176
RESULTS OF SYNTHESIS
---- PREVIOU3FOR 8 BRANCHES
Na OF B R A N C H E S = 3 4 3' S 7 8 9
LIS . —
i Fíg. 3. VSWR as a function of frequency for Butterworth-i branch-guide couplers.
(S)=NO. OF BRANCHE5
no COUPLIMO. UBI
© CD ®P^-ll L?a ÍL ÍL_ 1 ^P
20 30
X,. '
40 5Q 6O
QIRECTIVITT (d 9)
Fig. 5. . VSWR versus directivity curves for Chebyshevcouplers for bandwidth of 1.2.
=NO. OF BRANCHES
O 20 20 40 50 60
Fig. 6. VSWR versus directivicy curves for Chebyshevcouplers for bandwidth of 1.4.
(5)-NO. OF 3RANCHES
S «RANCHES
V-*
V^<L" ,f" ©j i fc£j L
'©
2O 30 40 50 SO 70 BO
OÍR CTIVITY (d3>
X=. _ , ,
Fíg. 4. VSWR versus dírectívity curves'for Chebyshevcouplers for bandwidth of 1.1.
VSWR
1.2© © (f) = NO. OF B3ANCHES
S - . W I D 3 A H O COUP-JNG (ÍH)
IO 15 20 25 30
D I R E C T I V I T Y (dB)
Hg, 7. VSWR versus dírectivity curves for Chebyshevcouplers for bandwidlh of 1.6.
' ' DiSCUSSION OF CO.MPUTED RESULTS
Results have been computed for a large jiumber of casesof practical interest, and the element valué are presented inTabíés I and II (pp. 84 and 85). This Information is mainlyrestricted to cases where the directivity of the couplers isgreater than 20 dB. Ic has been established that the resultsobíained from the synthesis procedure result in a consider-able irnprovement over existing designs. It is seen also that
¡the new information includes specíñcations which have pre-"."Ivíously not been presented, and it is shown possible to design
"branch-guide couplers with good VSWR and high directiv-..jity over large bandwidths, i.e., of the order of one octave or. more.
Performance curves for 3 dB couplers having 3 to 9branches and Buíterworth charactedstic are shown in Fig.3. In these curves VSWR has been plotted, and the directiv-
ity shows similar ma.ximally ñat behavior. The performanceof a 3 dB coupler having S branch guides analyzed frompreviously published resulísí21 is also shown for comparisonas -trie dotted line in Fig. 3. It has been shown by analysisthat the reason that the latter is inferior to the present resultfor/z=S is that the zeros of the F± functions {see (17^1 ofthis previous result are clustered about the midband • fre-quency rather than -being e.xactíy coincident with it.
The performance of Chebyshev designs is displayed inFigs. 4 through 7 for a large number of center frequencycoupling valúes and for various numbers'of-branch guides.Each figure represents a case of constant bandwidth. Thecurves show the máximum ripple VSWR and íhe mínimumripple directivity for a given number of branch guides as the•center frequency coupling is varied. The latter valúes areindicated in decibels by the labelled points on the curves.
f.«OOTTP
1
,0«8 TYP —
±' 1 1
-_—
.302 .336
TYP TYP
1 t
-i— .T30
— .328 TYP
Fig. 8. Cross section of Butterworth S-branch 10 dB coupler ínWR90 (\VG16) waveguide.
COUPUNG (dS)
IO.O
9. O
8.0S.O 8.5
DIRECT1V1TY (dB)
30
40
30
20
9.0 9,3 IO.O 10-5
FREQUENCY (BHi)
B.O 8.5
VSWR
1.15
1-10 U N -,
1.05 |—
LOO
9.0 9.5 IO.O 10.5
FREQUENCr (GHi)
aEXPEíllMENT
. THEORY
i l U i i i i i8.0 8.5 9.0 9.3 10.0 IO.5 ILO
FREGAJENCY (GHiJ
Fig. 9. Theoretical curves and experimental results for thecoupler of Fig. 8.
.400 TYP >33 TYP .481 TYP
-O34 TYP -
t
—
, o.
i l '.399
T Y P
U
.463
TYP
—.207 TYP
Fig. 10. Cross section of Butterworth 4-branch 6 dB coupler inV/R90 CWG16) waveguide.
COUPUNG (dB)
' ' ' 1 !_
a.3 9.0 9,3 10.0 [0.3fREQUENCY PHi)
DIRECTIVITY ,(d9)
A/ -v.
1 1 1 1—I L
7.5 B.O 3.3 9.0 9.5 10.0
FREQUE.NCY (GHi)
7.3 A'8.0 e.5 9.0 9.2' 10,0 !O.5
FREOUENCY (GHi)
Fig. 11. Theoretical cun-'es and experimental results for thecoupler of Fig. 10.
1r
T
I . 7 Z Q
T Y P
Fíg. 12. Plan view of Buttenvorth 3-branch 3 dB coupler in air-spaced striplme, with ground-p!ane spacing 0.3125 inch and stripthickness 0.0625 inch.
178
COUPLING (úB)
.400 TYP .4I9TYP .4 «TYP
1.50 1.60 I.7O
FREOUENCY (GHz)
Kg. 13. Theoretícal curves and experimental resulís for the couplerofFíg. 12.
COUPLING (<JB)
9.0 9,5 10.0
FREOUENCY (GHi)
9.0 9,5 10.0
F R E U U E N C Y (GHiJ
> EXPERIMENT
• THEORY
9.0 -.5 IO.O
FREQUENCY (GHi)
.040 TYP-"-
.410 TYP
—~*
— »-
I
—
'TYP• f
.333 .387 .* 25
TYP TYP TYP
1 t I
- — .IIT
.377 TYP
Fig. 15. Theoretícal curves and experimenta! resulís for the couplerofFig. 14.
Fig. 14. Cross section of Chebyshev 5-branch 8 dB coupler in WR90(WG16) waveguide.
CONCLUSIONS
The new synthesis teclinique for branch guide directionalcouplers gives superior results compared with p^e^'ious ap-proximaíe methods both for Butíerworth and ChebyshevVSW-R and directivity characteristics. The coupling showsmonotonic variation with frequency for the symmetricalcouplers described, in common with previous theories. Theresults for practical branch-guide coupíers designed usingthe new íheory give good agreement with the computed re-sults, and the design of couplers having a bandwidth greaterthan one octave appears to be feasible. The design pro-cedure is simplified by the publication of tables of branchguide and main Une immittance valúes covering mosí casesof practical interest.
Branch-guide couplers in stripline are widely used inmicrowave miniature círcuits, and the broadband designsgíven here could be utilized for such applications.
ACKNOWLEDGÍvtENT
The authors wish to thank Dr. J. E>. Rhodes for discus-sions and valuable comments during the course of this
"work.
REFERENCESW K. Levy, "Directional couplers," in Adcances in Microwaves, vol.
1, L. Young, Ed. New York: Academia Press, 1966, pp. 155-161.I2) L. Young, v'Synchronous branch-guide díreciíonal couplers-for
low and hígh po\ver applications," IRÉ Trans. Microwace Theorv andTechniques, vol. MTT-10, pp. 459-475, November 1962.
W J. Reed and G. J. ~\Vheelert."A method of analysis of symmeirí-cal four-port networks," IRETrans. Microwaoe Theory andTechntques,vol. -MTT-4, pp. 246-252, October 1956.
E'3 H. J. Ríblet, "The application of a new ciass of equal-ripplefunc-tíons to some familiar transmisslon-line problems," IEEE Trans.
' Microwace Theory and Tec/iníques, vol. MTT-12. pp. 415-421, July1964.
(sl H. J. Cariin and W. Kohler, "Direct synthesis of band-pass Ira i is-mission Une síructures," IEEE Trans. Mtcrowace Theory and Tech-niques, vol. MTT-13, pp. 2S3-297, May 1965.
179
üonal couplcrs on anisolropic subslraics." ¡EEE Trans. Microwave Thf~or»' Ttch.. vol. MTT-3Q. pp. 1267-1270, 1982.
[13] T. G. Bryant and J. A, Wciss, "Parameters of microsirip iransmíssionlines and of coupled pair of microstrip Tines," IEEE Trans. Micrav-'aueTheoty Tech., vol. MTT-16, pp. 1021-1027, Dec. 1968.
[14] COMPACT, Comsat General Inicgrated Systems, Palo Alto, CA.
Optímum Design of S-dB Branch-Line CouplersUsing Microstrip Lines
. MASAHIRO MURAGUCKI, STUDENT MEMBER, IEEE, TAKESHIYTJKITAKE, AND YOSHIYUKJ NAITO, SÉNIOR MEMBER, IEEE
Abstrací — A computer-aided design is described that makes it possibleto reduce the interna! ¡mpedance levéis of branch-line couplers so that theymay be physicaUy constructed by microstrip Hnes, where the Fletcher-Powellsearch method has been used to optímize the design. Because microstripUnes are severely restricted in their usable impedance range, the 3-dBcouplers presented here should be useíul for numerous balanced-typecom'ponents such as balanced mixers. The validity of the design has beencxperimentally veriñed in the microwave and millimeter-wave región,
L INTRODUCTION
The microstrip line is a very important transmission médiumfor microwave integrated círcuits (MIOs) due to its reproducibil--ity, small physical volume, light weight, and low cost. Recently, jt'has also been considered as a transmíssion médium for millime-ter-wave integrated circuits [l]-[3]. However, its realizable char-acteristic impedance range is severely resíricted, e.g., 40 Q— 140 QOTL a 0.2-mm-thick alumina substrate in U-band. This limited
X
impedance range, in turn, restricta íhe designs of components forMIC's and millimeter-wave ICs using microstrip lines.
The directional coupler is one of the fundamental componentsfor MICs and millimeíer-wave ICs. Especially the equal power-split (3-dB) coupler ís used for balanced-type components such asbalanced mixers. Among the planar structures suitable for micro-strip reaHzation, the parallel-coupled Une coupler, the rat-racehybrid, and the branch-line coupler are well-known directionalcouplers. The parallel-coupled line coupler, however, is difficultto bufld for tight couplíng because of the narrow gap between themicrostrips. The rat-race hybrid (180° hybrid) is not so suitablefor a planar structure since it has the dísadvantage that theoutput arcos are. not adjacent and a crossover connection may beneeded. Therefore, the branch-line coupler is most suitable forplanar structures and is ideally suíted for coupling valúes in theregión of 3.0 to 6.0 dB."The two-branch coupler, which is the most rundamental struc-
ture, has a nárrow bandwidth. This disadvantage can be over-eóme by adding additional sectíons which, in íheory, Ís anacceptable technique for broadbanding [4], [5]. In practice, this ispossible for coaxial or metal waveguide structures where a widerrange of impedance is possible, In microstrip, however, it isdiffícult to achieve more than a four-section (4-branch) coupler inButterworth and Chebyshev designs, because the outside branchlines generally require very high impedances exceeding the upper
•limits of a practical reaHzation.1 Moreover, when the frequencybeuomes higher, the wide linewidths required by the low imped-ance lines may créate an undesirable aspect ratio, due to theshortened quarter-waveleng th sectíons. Therefore, it is diffícult torealize even the. two-branch and three-branch couplers in themillimeter-wave región above 50 GHz, because the center sec-tíons require very low impedances which reach the lower limits ofa practical reaHzation.
In Butterworth and Chebyshev dcsigns; the couplers need fairlywide impedance ranges. The Zolotarev design enables the imped-ance ranges to be reduced to some extent [7j. A further reductionin the impedance range may be realízed by applying the designmcíhod using the general form of the Chebyshev function in [8].Although the above coupler desigas can be accompHshed by íullyprecise analytical methods, there is no assurance that the Hneimpedances always lie within the realizable range for microstrips,because the Hne impedances are determined subordinately aftergiving the functional forros in advance.
One can- solve • the impedance problem by applying acomputer-aided design; enabling the impedance range to be re-duced effectively so that they may be physicaUy constructed inmicrostrip. Furthermore, it also enables íhe coupling characteris-tics to be knproved in comparison with those of the previouslypubHshed couplers. The coupling char acteristic was not consid- •ered positívely in the pre\áous analytical designs, because it madethe design methods very compHcated.
II. REALIZABLE IMPEDANCE RANGE OF MICROSTRIP LINE
The microstrip Hne has its own inherent restriction on therealizable impedance range although there is some degree offlexibility in the choice of the dielectric materials [9]-[ll]. Com- -bining the Hmitation of máximum substrate thickness, minimumQ factor, máximum frequency of operaü'on, and mínimum Hne-width, an upper limit of impedance Z0 of íhe microstrip Hne canbe determined. The rninimum Q facíor, which mainly depcnds onconductor loss per wavelength, is proporüonal to' the substratethickness and square root of frequency, although the possibiiííyof coupling to the lowest order TM surface wave limits thehighest frequency of operaü'on. "With this restriction, a i addi-tional upper limit is imposed on minimum linewidth to berealízed. with acceptable integrity over a long length, e.g., aquarter of a wavelength. Our experience is that a minimurn Qfactor of 50 and inínimuin Hnewidth of 5 fim are reasonable. Onthe other hand, the lower impedance limit is determined bv thewidest Hnewidth to be well below a quarter- wavelength, e.g.,one-eighth wavelength,
From the above Hmitations, the realizable ranges of imped-ances ZQ as a funcüon of substrate thickness and frequency areconstrained within the range indicated by Fig. 1, where we
' consider the use of alumina substrates for millimeter-wave ICapplícation [l]-[3]. The usable impedance range fcr aluminasubstraíes'in C-band (4-8 GHz) is approxiznately 10 0-100 O to40 Q-160 f¿. depending on substrate thickness. On the otherhand, the usable impedance range for a 0.2-mm-thick aluminasubstrate2 in £/-band (40-60 GHz) is approximately 40 0-140 Q.
Manuscript rcceived Scptember 10, 1982; revised AprD 5, 1983. This workvas supponed in pan by a Scícntific Research Grant-In-AJd from the Mínislry'of Education of Japan, undcr grant 56460108.
The authors are with the Department of Eléctrica! and Electronic Engíncer-ing, Tokyo Institute of Technology, 2-12-1, O-Okayarna, Mcguro-Ku, Tokyo152, Japan.
aA four-brancb directional coupler Ís realízed ín a suspended microstripbecause the suspended subslrate transmission line caables onc to rcalíze highimpcdances up to 266 [2 [6).
^Mínimum and máximum subsirale thickness are determined by the physicalstrcngth and Lhc possibility of coupling to the lowest ordcr T>-í surfacc wavc,respcciivcly.
180
( t-DÍV
S. B " | -7-
•t ' 0, ¡ °,
a1 I
, ^
«.X-
" UJFig. 1. A 3-dB directional branch couplcr wíth two-fold symmctiy about the
je and Aplanes.
FriQuency ( SHl )
Fig. 2. Realizable Lmpcdance range of microstríp line on alumina substralesas a function of frequency. - denotes the frequency couplíng lo the lowest.órder TM surface wave, and • denotes one hall of the frequency of *.(er—9.8, conductor resisüvity —1.724X10"3 Q-mm)
The equations by which the wavelength, line impedance, and Qfactor were calculated were reponed by Schneider [11].
m. METHOD OF COUPLER EXESIGN
Consider a lossless reciproca! four-port branch-liae coupler' with two-fold symmetry about the x and y planes as shown^inFig. 2. The scattering-matrix of the coupler can be written as
$41
$31
$21
$11
(1)
and the unitary relationship gives
The conditions on the return loss (5n"), coupliag (S2i, S3i}, andisolation (S41) for a perfect 3-dB directional coupler are
!$2il2~0.5 [S3i]2-=0.5. ^ . (2)
However, the coupling, retum loss, and isolatiou of a directionalcoupler are generally required to be within certain tolerancelimits over a broad frequency band, even fhough the circuit maynot opérate perfecüy at any frequencies. Althbugh the tolerancelimits for coupling, retum loss, and isolation depend on thedegree of performance required, e.g., less than 1.0 dB ( — -~3.0±0.5 dB} for the coupling imbalance, and better than —20 dB forthe return loss and isolation in the case of a balanced arnpHfier,throughout this paper we took a tolerance limit of 0.86 dB( « —3.0 ±0.43 dB) for the coupling imbalance and one of —20dB for the return loss and isolation.
By considering (2), we define a penalty function F for minimiz-ing \SU?, |S41|2, |S21|2-0.5, and |53l|2-0.5 as foUows:
4
/-iy
i-itf
/ - iN
/-i."(3)
and
where TV is the number of sampling points, f¡'s are the sarnplingfrequencies, and fQ/D is the sampling interval. Here, all fourparameters, Le., Sn, S2i, 5"31, and $4l, are used for convenience,although they are not independerá for a lossless coupler. Thevalúes of the parameters of ¿tj íhrough an and bl through bm canbe obtained numerically so as to minimíze the penalty function Fby the Fletcher-Powell search method [12].
The cpümization process was as follows.(a) The first computation was performed without any restric-'
tions on the line impedances by changing íhe sampUng interval1/D only.
(b) If there were some undesirably low and/or high impedancelines ia the result of the first computation, the second cornputa-tíon was performed after one of their impedance valúes waschanged ío au appropriate fíxed valúe.
(c) If íhere were still undesirably low and/or high impedancelines in the result of the second cornputation, the third computa-tion was performed after two or three impedance valúes wereheld constan!
Successive computadoras were performed until the given toler-ance limits were exceeded.
Since the degree of freedom ín the circuií shape is very large inthe case of the planar circuit (íwo-dirnensional) approach [13], itis extremely difficult to determine the circuit uniquely. Thus, wetook the transmission line (one-dimensioiial) approach here. Forthe couplers with large impedance steps, the effects of the'junc-tion discontirjuity reactance should be added after Derforming adesign wiíhout íhe junciion . effects. Furthermore, the eléctrica!lengths of the circuit elements may also need to be correctedexperimentaliy:
Tnroughout this section,defined as follows:
IV. NUNÍERICAL RESULTS
C> %WRJ, fc0> tx are
BWC
k0
tKe frequency bandwidth within which the couplíngimbalance is better than 0.86 dB ( « — 3,0±0.43 dB);the frequency bandwidth within which the return lossand isolation are better than '—20 dB;the couplíng imbalance at the center frequency;t^ie mínimum return loss within the BWR^\dthe máximum rípple levcl of the return- loss within the
IS1
0.5 0.1 0.7 0.1 0.1 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 O.S O.S 0.7 0.1 O.í 1.0 1.1 1.2 1.3 1.* 1.5
Fig. 3. Typical frequency cliaracteristics of iwo-branch couplets (2-4). Hg. 4. Typical frequency characterisücs of threc-branch couplets (3-6).
TABLEICHARACTERISTICS OF TWO-BRANCH COTJPLERS
(2-1: Conventional-Two-Branch Coupler)
TABLEUCHARACTERISTICS OF THREE-BRANCH CÓUPLERS*
(3-1: Butterworth Coupler; 3-2: Chcbysev Coupler)
3-2
2-«2-52-6
e
10
W
W
"l
f e )
41 11
11 11
lí (3
°1
I" ]
Jl J3
IS 11
SJ «I
**».!
I I ]
>
la
Id
S c
I I 1
íl
11
37
S.i.
1 *• 1
31 H
3t 3(
X 31
t,
I " i
...
0 21
* It
We took four sampling points spaced/0/Z>, i.e.í/0í/0
/0(l-f2/Z)), and /0(l-f3/x)). As the frequency responses ofI^nl2» !^2i!2» 1^3il2> and l^ií2 zzz symrnetric about the centerfrequencr,'/0 in the lossless case, the sampling points beiow íhecenter frequency f0 are not needed. Although results have beencomputed for a large nnmber of cases, the infonnation presentedin Tables I through III is restricted to the cases for which theperformance of the couplers is better than that of the Butíerworthcoupler of the same number of branches.
A. Two-Branch Coupler
Because a two-branch coupler has too small a degree of free-dom, its bandwidth cannot be improved. However, the irnped-ance ranges Tequired can be changed by adjusting the samplinginterval 1/D.
Pig. 3 shows the typical characteristics of a two-branch coupler(2-4 Lo Table T). Severa! couplers obtained by cx>mputer-optimiza-tíon are shown in Table I, where the coupler 2-1 is a conventionaltwo-branch coupler, and couplers 2-2 through 2-6 are obtained bychanging the valué of D. The characteristics of the couplers areapproaching those of the conventional one as the valué of D isincreased (the sampling interval 1/D ís decreased). When D is 20,the impedance range required is 41.18 Q-59.50 O. On the otherhand, the impedance range requiret.1 by the convenüonal coupleris 35.36 Q-50 £2. The Hnewidüís of 41.18 fí-line and 35.36 Q-lineon a 0.2-mm thick alumina substrate are 0.276 mm and 0.362rnmt respectively, and one-eighth-wavelength at 50 GHz is about0.283 TTim. Therefore, in í7-band it is extremely diffícult tofabrícate the conventional coupler in cornparison with the cou-pler 2-2.
B. Three-Branch Coupler
Fig, 4 shows the typical characteristics of a three-branch cou-pler (3-6). The couplers obtained by the computer-optimization
3-13-23-3
..?-*3-53-63-73~l3-93-10
„?;»„.3-123-13
.3:1$..2-15
3-17
B
-
a
0
[ B
»
(
(
1
X13
1
1
'
=
1
1
74
Jl
'
1
t
31
IJ
.
3
1
°1
[• 1
J t . l131.1
los. i
i«4.ilOJ . J
ítt.C
101.7
101.1
no.:
inj.i110,5
Ui.i
<h
[0 1
Un"
i^
aao
J]13
1 33
*..!t I 1
«
11
11
)i
JlJ)11
31
Í3
1J
33
Jl
wc
1 i i
:Ti»ii
JTj£
..».J31Jl
J3
J
3
3
s.I '
1C
u:j
1141
n3777
n
jiJí
j t
•1
i
i¡
M
;»13
^1
11
7J
11
33
II
7
<
*
«.
' 1
t.
11
11
3J
UJl13
M
M
JJ
t
[
'
i
B
::0
,•
>• ]
111
3
3
1
1
'
"
•The ímpedanccs of 29.41, 33.33, 41.67, 50.00, 62.50, 71.43, and 83.33correspond to the normalized admittances of 1.7,1.5,1.2,,1.0, O.S, 0.7, and0.6, respectively.
under severr-1 conditions are shown in Table II with the previousresults by Levy [4], where the couplers 3-1 acd 3-2 are theButterworth and Chebyshev couplers, respectively. The couplers3-5 through 3-17 were obtained after specifying íhe valué of a2,where the asterisk (*) denotes that a^'s were fíxed valúes.
The parameters of al, a2> and ój of couplers of 3-3 and 3-4were optimized wiíhout any restrictions on Hne impedances. Theimpedance valúes of a2 and ¿: of íhe couplers 3-3 and 3-4 are toolow to fabrícate them in mícrostrip. Therefore, the impedancevalúes of a2 and bl musí be changed to appropriate valúes. Theparameters al and bl of couplers 3-5 through 3-17 were optimizedafter specifying the valué of a-^. When the specíGed valué of a2
lacreases, the optimized valué of bl also increases while theoptimized valué of a-^ Ís fairly constant. Therefore, one can aisoreduce 'the impedance ranges of three-branches couplers. Thecouplers of 3-9 through 3-17 have considerabíy reduced imped-ance ranges.
C. Four-Branch Coupler
Fíg. 5 shows the typical characteristics of a four-branch cou-pler (4-5). The couplers obtained by the computer-optimizationunder several conditions are shown in Table III with the previousrcsults by Levy [4], where the coupiers 4-1 and 4-2 are theButterworth and the Chebyshev couplers, respectively.
The parameters of al through b2 of couplers of 4-3 through 4-5
182
.o
1 "tís 30
I 30
I5
0.5 0.1 0.7 0.1 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 l.« 1.5iorwlized Freoueocy
Fig. 5. Typical frequcncy charactcristics of four-branch couplers (4-5).
TABLE IECHARACTERJSTICS OF FOUR-BRANCH COUPLERS**
(4-1: Butterworth Coupler; 4-2: Chebysev Coupler)
«-1*-2«-3
«-5._*-í
4-9«-10»-ll
«-»..*-U
»=UL.*-16«-17
1
1
i
1
3-
Hn I
>
»
>
3
«b %
1 0 } [ a
1 7 1 0
< 1 1 1
1 I 1 3
"i "«.iI 0 I [ 1" ]
1 7 í <0
1 D íl
J > 1S
11 ))
I
wc
> I
u
:i
23
„
•llI 1
.
4
17
SM
I íl
33 1
0 1
1 1
t
) 1
,
,
•il .
1
1
"The impedances of 166.67,156.25,147.06,138.89.135.14, and 131.58correspond to the nonnalized adrnittances of 0.30, 0.32, 0.34, 0.36, 0.37,
-and 0.38, respcctlvdy,
were optimized without any restrictíf ns on the Une impedances.ln addition to low impedances of b: and/or b2, the impedance ofai is very high, Therefore, the impedance valúes of a^ and/or a2
müst be reduced to appropñate valúes. The couplers 4-6 through4-10 were optimized after specifying the valué of a^ When thespeciñed valué of a^ decreases, the optimized valué of a2 in-
. creases, and in the case of the coupler 4-10, the impedance valuéof Q2 becomes higher than that of alf If one needs a furtherreduction of the impedance valúes of al and a2-> (which alsoresults in the reduction of the impedance range), in addition lothe valué of aít the valué of a2 must a^50 be specifíed. Thecouplers 4-11 through 4-17 were optimized after specifying a^ anda2 to be eqnal.
V. EXPERIMENTAL RESULTS
3t The couplers 3-13 through 3-17 and 4-13 through 4-17 are very, suitable for microstrip structures. The junction discontinuities ofV these couplers are not large because the impedance differences; between the input/output 50-Q Unes and the main arms are'.. small. Henee, the junction discontinua ti es were not consideredi here, and their influence did not appear clearly in the experi-
" ' ments. On the other hand, the amblginty of the eléctrica! lengthsof the circuit elemcnts is a problem one should not ignore.According to our experience, ít is recognized the each one-quarter-wavelength of branch-lines is the length. between íhe
10 mm
l~ 2
1 3I :
(a)( Bu )
S.O 7,Q_
0.5 D.S 0.7 0.» D.S 1.0 1.1 1.2 1.3 1.» 1.5•orvallad Freoiencr
(b)
Fig. 6. (a) Circuit patl*m of thc coupler 3-14 on Di-Clad 522 substratc(cr — 2.6) having a thickncss of 0.72 min. (b) Measurcd frcquency cháracter-istícs of thc coupler 3-14 ín C-band.
0.5 O.S 0.7 0.» 0.9 1.0 1.1 1.3 1.3 1.» 1.3
' ' (b)
Fig. '7. (a) Circuit panero of the coupler 4-15 on Di-Clad 522 substratehaving a thickncss of 0.72 mm_ (b) Measurcd frcquency charactcristics of thccouplcr 4-15 in C-band.
inner edges of the main arms, not between the midpoints of themain arms.
Here, we fábricated three couplers, namely 3-14 and 4-15 forMIC application in C-band and the coupler 3-14 for rnilümeter-wave IC application in í/-band. The dielectríc substrates used areDi-Clad 522 (er-=2.6) having a thickness of 0.72 mrn for theC-band devices, and a fine grained alumina (cr = 9.8) [1] having athickness of 0.2 mm for the t/-band device.
The experimental rcsults in the C-band are shown Ín Figs. 6 _and 7, together with circuit patterns. -The insertion loss is mainly
183
30 35 *0
t.S 0.1 0.7 0.1 O.S 1.0 1.1 1.2 1.3 1.» 1.5
*xwilt«fl Frtoitncy
(b)
Fíg. 8. (a) Pboto&raph of thc cirarit patiern of the couplar 3-14 on a unegraincd alumina (c r —9.8) substrale having a thickncss of 0.2 rnm (b)Mcasurcd Irequency charactcrisücs of thc couplcr 3-14 in [/-band (46—54GHz).
due td conductor, not díelectric dissipation. Therefore, we assumethat the eléctrica] length has the following complex valué:
ered hcrc, the dcsign meihod ítsdf 5s applicable to branch-Unecouplcrs with any degree and lo varióos comrxments in nñlüme-tcr-wave IC.
ACKKCrWLEIXTHENT
Tbc authors wish to express thcír tnar.Vs to thc rncmbers ofFujitsu Laboratories, Ltd., for supplying severa! mínimcicr--wavecomponcnts.
REEEREN'CES
£1] H, Yatsulta, M. Ishizakí, T, Taíano. and H. Konráo, "M3HxDci=r--w,-avcIC componcnis using fine graíacd alunmia subsiraíc," ¿s JP50 7££EAfTT /m, Microwaue Symp. Diz. C ' sbingicn. £>C), May 19SO. pn276-278.
[2] H. Komízo and Y. Tolcumitsu, ">ffiHimrlcr-»-;n.-c inicgraicd dicuits," in1981 IEEE MTT Int. Micrawavt Symp. £}ig, (Los Angdcs, CA) Juac1981, pp. 179-181.
^ [3] H. Ogawa, M. Akaikc, NL Aikawa, T. KaraH. and J. Waianabc, "A26-GHz band inicgratcd círcuit of a doiiclc-balaiiccd tnixcr and circula-
•tors.*" IEEE Trans. Micro*.'cue Tncory Tccft^ voL MTT-30, pp 34-41Jan. 1982.
-> W R- Levy and L. Línd, "SiTithesís o/ symmctHcal brancb-cuide dirccüonalcouplcrs," IEEE Trans. Micro^'aceTnfory Teck^ voLívíTr-ló pp. SO-S9Feb. 1968.
[5] R. Lcvy. " Dirccüonal Couplcrs," ínXafcanceí ín Mícro^faDfs. >Jcw York:Acadcmic, vol. I, 1966, pp. 115-209.
[Ó] A. Híslop and D. Rubín. "Suspended ítibilraie Ao-band nmltiplcxcr,"MicrowaueJ,, pp. 73-77, June 1981.
^ [7] IL Lev>', "Zolotarev branch-gujdc couplers." fEES Trans. MIcreweweTheory Tech., vol. MTT-21. pp. 95-99. Fcb. 1973.
f [8] R_ Levy and J. HclEzajn, "SpcciHc cquatíons for one and rwo secticnquartcr-«,-avc matching ncworlcs for stub-resisior loaos." IEEE Trans.¿ficrcwcvt Theory Tech., voL MTT-30. pp. 55-62. Jan. 1982,
^ [9] R_ A. Pucel, "Dcsign considcraüons for roonolíthic micxawavc circuíis."IEEE Trans. Microwaue Theory Tech.. voL MTT-29. pp. 513-534, June1981.
[10] G. D. Vendelin. " Límilations ou striplíne Q~ Micrcwavt: J., pp. 63-69May 1970.
[11] M. V. Schneidcr, "í-íicrostñp línes for mícrowave íntcgratcá circuits."Thc Bell Syst. Tech. J., pp. 1421-1445, May-June 1969.
[12] M. J. D, Powcll, "A mciñod íor tnininúzing a surc of sauarcs ofnonlincar functions '•'ilhout caJculaúng dcrivaüvcs," Comput. J. voL 7,pp. 303-307, 1965.
*[13] T. Okoshi, T. Imaí, and JC Ito, "Coinputcr-orícnled syütbcsis of opti-mum circuit pattcrn of 3-dB bybrid ring by ihe planar circuit approach,"IEEE Trans. Microwaüe Theory Tech., voL MTT-29, pp, 194-202, Mar.1981.
and
'- 0.005,
as determined by experimenta in C-band. The theoreücal char-acteristics in Figs. 6 and 7 include the conductor loss. Therefore,the measured characteristícs of the rwo devíces in C-band showed•good agreement uith the theoretical ones. The frequency char-acteristics of the coupler 3-14 in y-band are shown in Fig. 8,together Tvith a circuit patiern. As these characterisiics includethree waveguide-to-microstrip transitions and one matched load,the measured valúes in £7~band were considerably worse thanthose ín C-band, as shown ín Fig. 6.
VL CONCLUSIONS
Three-dB branch-line couplers witL impedance ranges reduced- to lie within the realizable range of microstrip line were pre-sented. Couplers with more than four branches are not usted asthey exhibit line impedances exceediíjg the upper lirnít of 160 Q.The impedance ranges Ín the most practica! cases of fíve- andsbc-branch couplers are 52 Q-172 Í2 and 51 H-208 O, respec-tively. Although only the 3-dB branch-line couplers werc consid-
Characterístic Impedance of an Oval LccatedSymmetrically between the Ground Planes
of Fínite Width
K. V. SESHAGIRJ RAO, B. N. DAS, AND A. K. MALLICK
Abstract —A conformal transformatíon for the anaJysis of a transmíssíonUne with an oval-shaped center conduclor symjnetrically placed betweentwo fmite groimd planes Ís developed, The fonnulation Ís used to calcúlate
Manuscript receivcd Octobcr 19, 1982; reviscd March 21, 1983.K. V. Scshagiri Rao Ís with the Ccnler for Research and Traíning, in Radar
and Communication, Indiaa Instílute of Technology, Kharagpur-721302, In-dia.
B. N. Das and A. K. MaTlick are with the Dcpamncnt of Electronics andEJectrica! Communication Enginecring. Indian Insüiutc oí Technology,Kharagpur-721302, India.
184
: . .. line mairix computen Analysis of microstrip resonators." IEEE-'• ... Tro/u. Microwaw Theory T¿ch., vol. MTT-22, pp. 990-997, Dec.
- 1975. " . '" [15][9] J. G. Richines and B. Easter, "Me^ured odd and evca mode
. dispersión of coupled oicrostrip lines." IEEE Trans. Aftcro^'uceTmors T¿ch., vol. MTT-23, pp. S26-S29, Oct 19™. [16]
[10] R. Daumas, D. Pompeí, E. Rivier, and A. Ros, "Extensión de !aihéorie de iCirchhoff au.T. lignes rubaná couplées. Application au
. - cálcul des coupleurs en üsnes a bandes,"'^n/:. Ttiecümrr.-Jn., voL28, no. 7-8, pp. 325-334. July-Aug. 1973. [17]
[11] E, Ri'/icr, R. Daumas, D. Pompei, and A. Ros, "Modes propres.des systemes couples appliques au cálcul des lignes a meaadrcsmicrobandes," Artn. Telecommun., vol. 30, no. 56, pp. 18S-202,May-June 1975.
[12] E. Rívíer, J. P. Blot, D. Pompei, and A. Ros, "Characteristics and [13]applícations of coupled rnlcrostrip Unes," ín IEEE Int. .VícroH'üteSyw* pal° •Ajco' c-^ May ^-^ 1975.
[13] J. S. Horasby and A. Gopinath.. "Numerical aaalysis of díeleciric- [19]loaded waveguide with a microstñp íiní-finiu-differeQcemethods," IEEE Trcns. .V/ícroH'tic€ Theory Tech., vol. MTT-17, pp.634-690.. Sepi, 1969. • [20]
114] R. Daumas, D. Pompei, E. Rivier, and A. Res, "Sooae aew resullson coupled or meander tnicroscrip lines by applicattoa of a matrix
theory," in IEEE f n t , Mlcrv*>ai:t Svmp., Atlanta, G.\ June ' - > .1974. ' -A. Matsumoto, A//crowuc«; Fitiers and circvi'.s. (SuppUrneni 1Adscntes in .U/erou-ure-í), L. Young, Ed. N'ív.- York: Ac'a^—Press, pp. 225-249. *"""R, Daumas. D. Pompei, E. Rivier, and A. Ros, "Ráster irr.oc¿,-.esilinaiibn for coupled microstrips -A'iih an overreia.--'"'method," IEEE Trar-s, Micrwwace Tneury Tech., vol. MTT-"11,"552-556, Aug. 1973.A. Ros, R. Daurr.as, D. Pompei, and E, Rivier, "Varia:icr. .,f .slecírical characterisíics of an inhomoscneous microstrip 'j,-,. .^the dielectric constar.: of thc substrate and '^ith the SÍOET.C'- ",dimensions," IEEE Trarj, A/tercia ce Theory Tech., vol M'rr ••Aug. 1975.E. G. Cristal and S. FrarJcel, "Hairpin Une and hybrid hj:rrHne/haif wave parallel coupled une filters," IEEE 7>u/ir. w"-7H-üfe Tfieory Ttch., vol. MTT-70, Nov. 1972.D. Geíder. ''Numérica! det¿nninaí.ion of microsuip pr.:^^»using the transverse field cocnpcmeats," Proc. ¡EEE* --oí. ',P C599-703, Apr. 1970.M. H, Arain and N, Y/. Spencer, "Tapered asy mine trie míe: -ivrmaíic tes," in Proc. 1975 IEEE Int. AfícrowüL-e Symp. Palo \-'CA, May 12-14, 1975.
The Characteristic Impedance of Rectangular1!Transmission Lines with Thin
Conductor and Air DielectricCenter
GLAtíDE M. V/EIL, MEMBER, IEEH
Abstraer—The characieristic tmpedance of large-ídle rectangular itriptrausmission Une facilicies used for snch purposes as EMI 5usceptíbílityttístúag, biological exposures, etc^ is disc'jssed, These lines are char-acteñzed by 3 thin ceater conductor and an air dieiectric Impetlance dataobtaJDed by ¿orlier fforters, using ¿iífereat -analj-rical and Tiun>ericalteclinJqiies. are reviewed and comp-ared. Exací data are avaílable for tbe
iblem íuYolvlng a ceater conductor of zero ÜiickDess, while for the.ientey coaducíor oí fuiite tíúcicsess, data are availabie which are accurare.to less Ünn "V25 percent.
1. INTRODUCTION
RECTANGULAR COAXIAL transmission iineswhich coníaín a propagaiín^ transversa eleciromag-
netic (TEM) field are finding increasing application insuch áreas as EM susceptibiliíy and emissions testing,bioícgica! 'efíeccs of RF exposure, and caübradon ofradiaúcn survey meters and eleciúc field probes. Suchlines possess an air dielectric with a ihin center conducior,ihereby maximizing the test space availabie ber-veen con-ductors. Crav.-ford [1] has discussed the properties of such
Clines as well as the ir advantages, and has described a" fatnily of TEM "cells" constn^cted at ihe National Bureau
Maouscripí rtccíved April 29, 1977; re-ised October 14, 1977. •The author is with the Heaííh Eífecis Research "Laborator,', U.S.
iron-T.énuil Ptoíection. Agíricy, Research Trianeíe Paric, XC 27711.
of Standards. A similar transmission Une of this type.for purposes of exposing monkeys as well as large:'- |toms to HF-band (10-30-MHz) radiación fields has - jbeen descñbed [2], [3], Oihers [4] have used much í-— |rectangular lines of this type to investígate tHe inwr¡-.'jof microwaves with isolaced nerve cells at fiequeacc jto 3 GHz. The. use of such lines for calibración oí:-'tioa survey (hazard) meters as well as electñc ar.á "¡netic field probes in the VHF and UHF bands has Tdiscussed by Crawford [5], Baird [6], and Asían. jseries of these transmission Unes is now raanuü-'-"commerciaily by Instruments for Industries. **.Farmingdale, NY, and has been termed "Crawforú-by ihe manufacturen - . . • • • '
The characteristic irnpedance of such transnussu" "has been quoted by Crawford [1] in terms of. ¿; diraensioas of the line's cross section (see Fíg- s
noíation) as well as an unknown fringíng capacií^-1unit length Cj.
376.73
where e = 8.S542X 10"u F/m, assuming an.air ¿-JCrawford used time-domain reflectometw
U. S. Government work not protected by U. S. copyright.
185
\ x- \ i*-*.\ \' rcn ,-Hti.
\ \. \ —
~¿ 1. Charací cris tic inipeda.nce for rectangular stiip line- with centcrconductor of zero thickness.
¿imentally determine the unknown fringing capacitance.i.ch methods obviously do not make for a rapid andciishtfonvard design procedure since they require. of•¿cissity, a "cut-and-iry" approach.
There exists, in fací, a considerable body of literatureitich deals with analyíical and numerical soiutions to thetriangular transmissíon line problem, thus obviating thex-d for experimental design. This paper attempts toroew the previous work on this subjecí and compares2:2 obtained using ülfierent analytical and numericalzíihods. Much of íhe existing data is in a form that is ofde practical valué lo a design engineer. For íhis reason.
¡ "r.veníent design curves have been cornpiled. whichj ¿?u!d assist researchers in the rapid design of large-scale¡ ^nsmission line facilities suitable for EMI susceptibüity: '^iinc. biological exposures. or instrument calibration.
II. REYÍE\ OF PRSMOCS WORKRectangular Unes may generally be cía-ssified according
""ihe thickness of the center conductor, relaiive lo íhepuno plañe separa tí on //b. P,ectangular Unes wiih íhin^'ler conductors, i/b < 0.2. are sometimes tenned."s-ip" Unes while those havmg a thick center conductor:^ tan guiar bar) with 0.2 < i/b < 1 are usually called rect-^Eülar coaxial Unes. This paper deals primarily with the-in" class of rectangular lines where r/¿<0.1.Almost all of the anajyücal solutions to the rectangular
C; problem are based on íhe closely related' problem•"-'Olving coupied coplanar strips between infinite gróund;üri£s [S]-[13]. Owing to the vinually identical paneras of•; disiribution, the fringing or "córner" capacitance in•~ recianguiar une is íhe saine as íhat which exists iñ íhe"ü?led-sírip problem during odd-mode exciuuon (C¿).
2ero Thickness Ceníer Conductor
^¡ng a conformal transformaiion technique. Cohn [S]•;-¿!ned an exact solution to íhe coupled-sirip problem-"• ceníer conductors of zero thickness. By letíing w/b"/-- (refer to Fig. 1 íor dimensional notation) he then":;ed an expression for the odd-mode fringing capaci-
+ coth2¿>
The accuracy of (2) is satisfaciory (l£ss than 2 percent)provided that ime'raction effects between the two edges ofthe cénier conductor are not significant. Cohn [S] showedthat such effects could be negiected. provided ihai íherestriction H'/¿>0.35 is maintained.
Recemíy, Tippet and Chang [9] 'have obtained arigorous and exact solulion to íhe rectangular Une prob-íem with zero-thickness canier conductor thai is not basedon the related coupled-strip problem. The expression forZ0 derived by Tippet and Chang is as foílows:
Z0= 188.37——rK(\) (3)
where K(\] a-nd A"(A') are complete elliptic integráis of íhefirst kínd. and X' is defined in terms of Jacobian ellipticfunctions as foilows:
where
^thx-\/i~x/2
a — >i]
2b
and the modulus k' is derived from íhe ideatitv
(4)
(5)
(6)
Tne authors show how the exact expression for totalcapacitance per unit length reduces to an approximate/orm represeníing the inter-plaie C2pacits.nce. w/btogeiher with the fringing capacitance Cjoí plus a correc-tion factor AC which accounis for the interaction beiweenthe TWO edges of-the center píate. An approximation forAC is given which is valid for Hr/6>0.1. provided k'^ 1
AC—* ***(7)
where
Equation (1) is modified as foilows to ínclude íhe correc-tion factor:
376.73 •ÍS)
Fie. 1 shows characteristic impedance data for the caseof a center conductor with zero thickness. These ploiswere obtained using (1) and (2) over íhe range-n-/¿ > 0.5.Over the range O.K H-/¿><0.5, íhe correcíion factor ACbecomes signíficant and musí be inciuded in the calcula-tions of Z0. For íhe unbounded case o/b = ce, ihe-correc-üon factor can be computed directly using (7).-For theremaining cases considered (a/6~1.0, 1.1, etc.) reason-ably accurate estímales of AC were derived usine the data
186
published in Fig. 2 of Riblet [10], where AC is four timesthe. Cfo given by Ribiet. In Fig. U it is readily apparentthat the impedance plots become straight Unes in theregión u*/¿<0.5. Furthermore. it is apparent that Z0 isalmosí independent of a/b as w/b-*Q.\; this means that
,. the vertical side walls have Uttle influence on the fringing^ _ fields when the center conductor is narro w. Some en-', larged details for transmission lines having design imped-
• anees cióse to the standard 50-0 valué freauently used inpractice are included as an ínsert to Fig. 1.
; ' In Sections V and VI of a paper deaiing specifically¡ with the rectangular Une problem. Chen [11] 'recognized¡ the' appiicability of Cohn's earlier results [8] to this prób-: íem. Aithough he gives formula (2) as derived by Cohn, he. faíls to stress the ímportant w/b restrictions pn the appli-. cabüíty of (2), imposed by Cohn. In Section Vi, Chen• considers the special case of the rectangular íine wiíh• .larrow center conductor (w/a <0.25). In this case, it is
claimed that the problem reduces to that of the un-bounded strip Une (¿2/0 — 00) in which Z0 is independent
T oí'a/b.
Z0 —376.73
This assumption, as noted earlier, is essentially correct.Hosvever, the impedance valúes deríved from (9) do notagree with the data of Fig. 1, owing to Chen's neglect ofthe edge-interaction correctíon factor.
B. Center Conductor with Fintte bul Small Thickness
To date, there appears ío be no general solución avail-able for rectangular lines -vith center conductor of finí tethickness. A solun-o,\\e found in terms of degeneratehy'pereiHpuc ¡ntegi^\í these functíons "have not beenweíl tabuíated. Hov .-r, reasonably accurate solutíonshave also been obtained using os tima tes of the fringingapacitance derived from the coupled-strip probiem with
center conductora of finite thickness. Cohn [3] quoies thefríngíng-capacuancs. fot \h\ case in terrns of C¡0 given in(2) and additional fringing capacitance formulas applica-ble to shielded strip transmission lines with thin centerconductors.
*(*/*>.- C}(o)(10)
The reader is referred to an earlier paper of Cohn's [14]for data on C¡(t/ti) and C}(o}. Chen [11] adopted thesame approach and, based on some classical work of Sir J.J. Thomson, derived the following e.xpression for thefringing capacitance:
- 1 b . (2b-tIn
b-t \
. (U)
No restrictions on the appiicability of (11) are given byChen. A somewhat dif ferent approxímation was obtainedby Joines [12]:
Fig. 2. Characieristic impedance for rectangular strip Unconducior of fínite thic!<ness (j/b < 0.1).
b-t ín -ln!
i- j rvaha for2o
and
26
i • j cvalid forIb .
Joines quotes the accuracy of these expressions as bc:rwithin 2 percent as long as Cohn's restríction' V i - / ( 6 - f ' -0.35 is satisfied. Joines did not attemp: to comp^jícorrectíon factor for the edge irueraction so tha^'»"resuíis are only valid for the restricted range o? u-/¿ '>Fíg. 2 for impedance data derived using (12)).
Getsinger [13] has obtained an exact solution w '•problem involvíng coupled strips of infinite \vjdih ('*' -DO) and arbitrary'thickness (O < t/b < O.S). Fig. 4 oí_•'=•-•ence [13] gives data on the odd-mode fringing capac;'~i-~which can be used ío determine Z0 for-the reciar.§u!¿-~with only srnall error. Getsinger quoies the accuracy .¡^data as being less than 1.24 percent provided th^i ^•••criteria of w/(6-/)>0.35 is adhered ío. .For nf¡ ' ; 'center conductors, edge interaction effects again 'significant; for this case, the curves of Riblet [10] -' 'used to estímate the interaction correctíon térra - • 'valúes of a/b > 2.
.-• • •C. Exact Solution Jor Rectangular Coaxial Unes *'-•'>0.2
Although not the principal subje-ct of thisworth noting that exact solutions have beenparticular cíass of rectangular Une havingthick center conductor that is approximateiyfrom the ouíer conductor (i.e., a — w—b — t) L ' -Fig. 8 of Chen's paper [U], the fringing capací
187
TABLE ICOMPAJUSOS or- Z0 VALÚES FOR Z^ERO THICKNESS CASE (í/¿"O)
ÍTicpe'. i C'.inc [S]
i/sj./b | rD
i
i
12
2
0.63 1 Sí.54
0.6£
0.5
65.80
27.03
1.80 í 3Í.54.1
1.50
2 1.00
2 0.50
*5.07
6i.lO
95. 82
Cruian i Gírver [1E]
*D
S¿. 5 ^1.0
7C.3 2. 0.7
87.0 ^C.S
34.6 ^_0.3
a=. r^ 0.3
64., 5 * C.E
"100,5 4_ 1.5
Ciff.
- 0.3
* 0.5
0
lwti,vre t íríVí-í [.?:]
'o
5¿.£ ^ 0.5
7C.3 ^0.7
£7.1 ' 1.7
Metcilf [15]
1 1DUí, j ZQ ¡Ciff.
0
- 0.5
* 0.1
I i^ C.l 34.0 .iC.3 - Q.S
1 1
>.G.l
* 0.4
•>• 0.7
45.£ ;r C.S
63,5 *_Z.5
9S.7 ^7.C-
•t G.l
- 0.6
- G.l
54.5 ^.0.3
£5.7 ^ C.3
86.5 lO.í
3j.s ^c-.r
".7 ^.C.Z
C
- 0.1
- C.s
- O.É
- C.4
j52.0 10.3 - 1.1
97,0 ^C.E - 2. e
;i:.ed as a fundían of inner conductor mickness for íhisr::ular case. Data for thin center conducTors (t/b<Z are included in Chen;s Fig. 8} thus aving the readerrmpression that this solution is also valid for thin íines.b is not the case, since estímales of Z0 obtained usingr: S do not agree with the known exact valúes for.:=0. However, Chen's data do appear to be accuraterfihe range r/¿>0.2 or t/(a — >i-')>0.5 where the curve= Dproaching an asymptotic valué of Cyye = 0.559 as•:;— I. Riblet [17] has obíained an exact solution for as-parameter family of rectangular coaxial Unes wiih;r=0.4. For Riblet's 50-ñ line^ (a~w)/b = (b- i)/b =k ihereby saiísfying Chen's criíería. If the parameter5c:s obtained by Riblet for w/b and a/b are sub-^-'.ed in Chen's equation (IS) with Cr/e = 0.557 (ob-fcc frora Chen's Fig. 8). the valué obtained for Z0 is ins-" agreement with thai of Riblet.
Teckniques
number of authors [1S]-{20] have utilized numericaliques to solve Laplace's equatíon for the generalizedcular confieuration includins thick center conduc-*~Data for thin lines have generally been included.n and Gan-er [18] used an orthonormal block analy-
-íhnique and derived a series of nomographs giving-í of córner capacitance C}/£ against a — w'/(b — í) for*JS valúes of the parameíers 1i/(a— M-) and 2w/(b~se obvious complexity of the parameíers utilized insiudy somewhat limits the- usefulness of the data
--d. Furthermore, for Unes with thin center. conduc-• niuch of the needed impedance data corresponds to-;eiy large valúes of 2>r/(6 — r) in the range 1 to 4.
Gata are not given by Cruzan and Garver, .therebythe use of extrapolaron techniques in order
I
órnate the valué of fringtng capacitance. The error• 'or their data are well defined by Cruzan and'"• Metcalf [19] has used a relaxation method and-"Oed a- very cornprehensive seí of design curves'- 20 as a funcíion of t/b for different valúes of w/a'• V Data on íhe "slab" Une of infinite width are also*--d. Metcalf claims an overall accuracy of better
J-5 percent for hís dala. Iwakura and Arakawa-[20]
used a numerical integraíion technique and publishedsome límhed data in which Z0 is plotted against vr/a forthe full range of i/b. Error limits are also defined in thesepiots, ranging from less than 1 percent to 5 percent ormore.
III. COMPARISON OF DATA
It is instructive to compare the results obíained bynumerical techniques with íhe exact data derived from thesolution of Tippet and Chang [9]. Table 1 shows compari-son data for the zero thickness case (r/6 —0). The valúeschosen for the parameíers a/b and v,-/¿ were those com-monly considered by the three numerical techniqueauihors. The numerical data require reading of graphicalplots, so that an additional source of error is added whichis estimaied to be no more ihan ±0.25 Í7. In examiníngcornparison data of Table 1, ií is apparent that íhe nuiaeri-cal valúes of Cruzan and Garver are consistemly higherthan the exací valúes, though the difference is smaí! andwíthin the error íimits specified. Tne valúes of Metcalf areconsistemly lower, on íhe other hand. and the differenceis frequently greater than the error limit specified byMetcalf.
Table II shows similar cornparison dala for the finitethickness case (t/b — QA). Although none of these dataare known to be exact, the valúes derived from .Getsin-ger's data were feit to be the most accurate and wereconsequeníly used as a reference for cornparison purpos-es. Where sigrúficant, the correction data of'Riblet [10]were applied during the computation of the referencevalúes. It is rendíly apparent from Table II that Chen'sdata deviate significantl^' from the other valúes, especiallyfor o/b~ 1, so that it appears that (11) yields data of veryquestíonable accuracy in the región w/a>0.6. It is alsoapparent that the valúes derived from Joines' expression(12) are, in almost all cases considered, consistemly lowerthan the cornparison valúes.'The data of Cruzan andGarver [18] aré again in ven,' cióse agreemeni with thechosen reference valúes. A more valid comparison ofcharacíeristic impedance data cannot be undertaken untilan exací solution is available for íhe problem involvíngcenter pía tes of finite but small ihickness.
188
TABLE IICOMPAKISON OF Z0 V.VLCES FOR FlMTE THJOCSESS CASE (í/£ —0,1)
c*i/O
1
1£
2
2
t
i.
-/i-/a _
0.20
Q.5S
1.3
1.5
0.3
O.A5
G«iing«r£13}
40.37
55.17
27.52
23.10
58.5!
37.27
Chin
,-o
w.7
57.4
29. J
38.7
».,
S6.7
í'l]ic« un01 fí.
r 3.7
- 2.2
- 1.7
* 0.5
'
*°'S
«-xíí»
I
39.3
*.o
27.1
37.3
59,1
87.0
!sñ ' í !2 j
Q1lf.
- 1.2
- 1.2
- 0.5
- 0.3
+ 0.5
- 0.3
CfGÍr
ZQ
^355. 3
+ 0.1
27.3
33.1^ O.jS
53.5±2/1
37.2
'¿ naDUf.
- 0.1
^ 0.1
- 0.3
0
- 0.2
- 0.1
2tr7
2D
:iJ|-3
Z7.7
Xo-4
sa.s
"1
S-a ;22]
ir.fr. •
- 0.2
- 3.1
•B.T
-3.!
a'
- 0.3
^«lf^.
-llse.?
-3.3
¿?:í35.3
- D.2
55,7-0.3
55.3- JD.4
Ü33
3J1T-Í.
- D.5
- 0.5
-=, ¡
-D.1
-1.^
In conclusión, it ís worth comparíng the experimentalresults which Crawford [1] obraúxed for his TEM trans-mission cells with data predicted from (1) and (2) (theseare assurnéd to ha ve center plates of negligible thickness,since this is the only e.xact data available; actual valúesused by Crawford ranged. from f/6 = 0.001 to 0.009).Using :he dimensional parameters specifíed by Crawford,.the predícíed valúes for ZQ are 51.31 S2 for the square cells(a/¿ = l,w/¿? = O.S26)I 51.99 ñ for two of che rectangularcelís (a/b = 1.667, w/6= 1.202), and 51.49 Í3 for the íhirdrectangular cell (a/¿= 1.667, *>/&= 1.213). These figuresare in very cióse agreement with Crawford's design goal ofa nominal 52-9. characteristic impedance. .
ACKNOWLEDGMENT
. The coníributions to this work of V. K. Tripaíhi,"Oregon Siate University, are acknowledged. The authoralso thanks D. C. Cnang and J. C. Tippeí of the Univer-sity of Colorado for iheir nianuscript cornmenís.
REFEREKCES •[1] M, L. Crawíord. "Generaron of standard EM fíclds usíng TEM
irarLsmissioa «lis," IEEE Trans. Eíectramagn. Campa:, yolEMC-16, pp. 139-195, Nov. 1974.
[2] S. J. Alien, W. O. Hurt, J. H. Krupp, J. A. Ra:!iff, C H. O'Umey,•and C. C. Johnsoa, ^Measursmeat of radíorrsquescy power ab-sorptícn in mookeys, mocücey phantoms a^d human phajitonisexposcd to 10-50 NfHz fieids," ín Biológica! Entcts of Elecíromzg-nttic Waws, vol. 2. HEW Pubücadon (FDA) 77-3011, GPOStock No. OI7-015-GG!25-3f pp. S3-95.
[3] S. J. Alien. "*Mea5uresienü oí power absorpíioii by human pnan-toms immerscd in radio frequeacy fields," Aun. Ñ.Y. Acaet Sel,vol. 247, pp. 49-i-493f Ftb. 1975.
[4] H. Wachtsí, R. Seaman. and "SV. Joinss, "Effects of íow ínicnsit>'microwavss on isolarsd neurons," Arji~ ¡V. Y. Accd Sci,, pp. 46-62,Feb. 1975.
[5J M. L. Cra^-íord, ''Generatíon of standard EM ííeíds for caíibratíonof powír deasiíy oieters, 20 kKz-ICCOMHz," N'aiiooal Bureau ofStandard, R±p. N'BSIR 75-S04, Jan. 1975.
[6]
[7]
[S]
[9]
[10]
[11]
[12]
[131
[14]
[15]
[16]
[13]
[19]
[20] H. Iwaícura and T. Arakawa, "Analysis of rícur^-transniission linc," (:n Japanesc), Rep. L'niv. E:*'-'»^Jopan, vol. 28, pp. 1-9, Aug. 1970.
R. C. Baírd, "Methcds of calibrating níicro^-'a'-'e hazird -srurvÍn Biolo%ic Ejjzcis znd Ussííh Ha^-x-dE of A/ícro^ccd ?. '-• •-• •_• LWarsaw, Poland: Polish Medica} Pabllshers, 197-¿. pp. 2ZS-^tE. .Asían, "A Ic-** fr=qucnq/ H-ficld radiaúcn raonhor." in ~~*=mcal Effects of Elecxromcgr^iíc rVci;^ vol. 2, HEW P^bbcui»(FDÁ) 77-8011, GPO Stock No. 017-015-00125-3. pp 219-nS. B. Cohn, "Shíííced coupled-strip transmisaion line," /?.£ ."•=Microwace Tksory Tsck., voL NnT-3, pp. 2S-33, QCÍ. í?:5.J. C. Típpct and D. C Chans. "A new approxísiúos ! :r -^cacaciíancc of a rectansular-coaxial-siriD transniissioa hzí." LlJTrans. Micro^cce Thecry Tzch., voL MTT-24, pp. 602— xH, '«i1976.H. J. RIblet, **A lower limit on íhc iaieraction beíwetm *:-=xi*.cal odd-mode fringiiig capaci linces," IEEE Trcr¿. .W.rv-*»Thecrj- Tech., voL NÍTT-23,"pp. 322-323, Mar. 1975.T. S. Chen, "Dcícrmination of íhe capacitance, ináucuzcr -.r*characteñstic impedance of rectangular lincs," {RE f'^n. «"=-*K>OC¿ TTieory Tec'h., vol. >ÍTT-S, ppl 510-519, Sept. I9c0.W. T. Joines, "The characteriític iinpedancc of symz:s:rci; e^transmission Unes ^-líh undeaired rnoáes s'uppreáiíd," Fx 2 _^.sertaúon, Duire Univ., Durnam, NC, ^tay 1964.W. T. Getsinger, "Coupled rsctangíiiar bars bct-«s r^^^piares," //t£ Trems. tficrowcce ThtorJ Tech., '-oí. NíTT- - ?65-72, Jan. 1962. * . -S. B. C ohn, "Charaaeristic iapedance of *-he shíe!¿*i-i~ mission Hne," {RE Trans. Microwose Tkaory Tech., voL '-í- •*pp. 52-57, Juíy 1954.G. M. Andersoa, "The caicujauon cf capacitaECt of CÍ'¿LJ- "-ders of rectaa guiar cross-sccdoo," AlEE Trans.. '-oí. c?. r1- •- s728-731, 1950.S. W. Conni^g, "The characterisác impedance of so/J-i-™ --Une," IEEE Trcns. Micrrwa*n* Theory Tech., vol. NíTT-:- .*- •July 1964.H. J. Ribiet, "The exact dimensions of a family ofcoaxial Unes with given impedance,'" IEEE ír^is.Tneary Tech., vol. MTT-20, pp. 533-41, Aug. i569.O. R. Cruzan and R. V. Gar.-er, "Cnaractenstic ín-.r^rectangular coaxial íransmissioa Unes," IEEE Tr~r¿. •*-Theory Tech., vol. MTT-12, pp. 4SS-495, Sepú lió4- _ _ __W. S. Mcicaif, "Characierisíic impedance of recU:-¿7JLf> ~~síon Unes/1 Proc. Inst. Elsc. £ng., vol. 112, pp. -G_'_— r
—•*-•
Between Parallel PlanesHAROLD A. \VHEELER, FELLOW, IEEE
art—THe pjb)ect Is « strip Une samhñcbcd Ín dleicctrtc betwcenplanea ícoauuonly frrmod '"stripür-c'"). la ifce mauner oí thecrjlicr papcrs relating to * dlíforvni rj-jx; (156-í, 1965, 1977), aU
d^ wwirironf propíirrk'S i--í ísr ^3-"d ;= cxplicit íorru íor ^rai:ííciltppliczcoas. Thli Liay nican synlte>Ia unu/iw analysis. Each formula Is adose Ej>proxiiQ-itÍDD for jü! shape rj(íos. obciilncd by a cnidual tran.'íirioabetvrcf c ihci'jretieal lorins for tbe exirectes oí' narros*' and HÍde strips. Theeffect of fb'ckness ¡s íturauíaíed 10 2 scccnd-ordcr áppro.vimution. ThenIbc resüh Is sabjected to muucrica] dííífcrealíutloa for simple «vzluaticn ofCike m3£i>otlc-ioss poH'er factor from the skít> rfepth.
Tbe ÍAJiiiliar ticrivsiíon for a thín strip (in íemts of ellíptíc faí^ralsK'/Xy ís oi)U(n&d by a simple aigorithm oí bltiary stepping mth nortlEano: oo íables. Thís ís susceptible oí any de^ree of appcoxícatioa iociosí'í form ?.cd Is reversible for synthesís or ssslysis. It U ife«l io veriíy a
" «íinpíír ti piñci! ícrmuls ~hich ís nioffi cúmtrücui íuf difierantiatíon,la tí>í trxorñtion reglón befween the extremen of narrow and wide íilríps,
Uve efíert of iMckníSi ís cotnputed by conf<xmal mapping ana numericaJa (bi place uf ellíptic integráis). Frooi tíús rcference, a simpleformula Ís veriiíed.
loss PF can be svaíuarcd with the aid of i!,("incremental-Inductanoe rule"" pubíished by íhe authi-r ,>1942. Other authors have applíed this rule lo íhc sühjalíne [7] bul íhe prestínt approach offers some sirnplifn-*tion ín cornputatíon.
As before, we shaü cünsidcr oaly the lowest modc i?v/ave propagation ¡a íhe une.
Afíer a lisi of symbo'.s. tiit con figura tinn will be dcíinr,and.the suope of this aj'tide u-ill be índicated.
II. S'-'MBOLS
MKS rationalized unít-: (miiíers, ohms3 etc.)
k . —dielecíric conífí-nt of sh.ect of material sr?arating the strip sr;d the ground plañe.
Rc =377= 120ír = wave resistan ce of a sqnarc S K I
189
Transmission-Line Properties oí a Strlp LineBetween. Parallel Planes •
HAROLÜ A. WHEELER, FELLOW, IEEE
wr—>T\ «ub/ect ts » sírip líce sandwicbed in dieícctric bchvcenplantó (comnwaiy trrmcd "siripiíno"). ID (be maitnsr of tbec.MÜcr papcrs reUting lo a tltffoA.-oi lype (156-1, 1965, 1977), allIfirofii nrrjp.ü-riís "£ ísm:u!-:cd í= cspiick íonii for ^f'diriical
, tu y o'iCan syuU)e>u> muí/or analysis. Each formula Is adose rjiproxliQjtion for =1! ihape retíos, obuiincd by a gradual transtrionbetx-Cíít: Ihci.-rctlcal íorins for tbe extrectía oí narro*' and viüe atrips. Thecffect of tb'Ckijfiss i= funr.uiüted ¡a a sccn;:CÍ-íWi¡er spproximution. Tíx:nífeí resalí Is sytljected to nuiuérical diT/ereoiüMion for símple'evzluaílon oftlie ai2£in:tlc-ioss power factor from tbe skiu dk-ptb,
Tbe lAfliiiiar ácrívstioc for a thin snip f¡n lemts of ellíptic ¡alegráisK'/'X) is obtatnea by a simple aJgorithra of bíuary stepping wíth nonílíaiKt oa lables. Tbis Is stisceptilj'e oí auy defirce of appí'oxiciatioa íncios^íj íorm ?xd Is rever.fb!e for syntbesis or saalysís. It Ís it^xJ to veriív a5Ünpíí i^üplñ^ií íonnuJs ~híci; ís iiiore couttnícuí íof dlíítrcDdatíon,
la tbí trí.mltíon región between the extremes of narrow ajid Mide ütrips,Ü« efíert of ¿úckness Ís coraputed by coofoímal mapping ar.ú niiinerica!Inttgrad->a (bi place of ell¡[j¡5c integráis). Fr<«n Itús rcfereoce, a simpleecJpiík^ú formula ts verijied.
CrapJr» »re givea fw j>«cíical pürpc-rs, sfw^i^g tbe wave resísizscc andaugr&ác lo*5 for a wide range of shape afxl díelccrric. For nutnericalrcaííing, ibc formulas are suíted for prnerzauning on a small dlgjtaJ
I. IhíTRODUCnOM___
¡ \.XH FOR>-í.of strip Une is süííed for the liigheste of refinemeht Ín a prímed círcuit. It is ihe
farmiíar symjnetrícal t^-pe made of a prínted strip saud-^•icheJ í:i homogeneous díelectric benvcen paralhl planes.The symmetry and Ihe pianes provicfe complete shiclding.'It is ciístinguished from the strip aiear" a single plañe{terrneü "microstrip") which is half-saíelded. ^ . „
The pulpóse of this arricie is to presen l some improvedformulas and graphs similar to tho.se recently publishedfor the sírip near one plañe [3], They. includ'e not onlywave resíslance (so-called "characKrrslic impedar.ce") butal «o the lo.sses. The cffect of strip thickness Ís simply
'formubtí-d to cnable the evaluation oí magnetic loss.In xhe vernacular, this type of Une KS termed "stripiine,"
a terní v.-hich is not distinctive.Because the subject line is syrameírsca! and Ís imbedded
in horaogeneous dieleclric, ils propertics can be stated insirnpicr forin. They are presented in Jormulas and chartswhích are complete for a sirip of any T-vidth and modérateihickness.
As ín the preceding artícle [3], the principal componentoí di?s:paiion is usually the magnetic jjower factor (PF or'/£?)• ^ ' 's strongly dependent on iheri'trip' [híckness. This
Minu.vrript receívcd Jantiar)' 23, 1973; rt 'úod April 21, 1978.7 ¡t aaihnr ís »ilh ihc üazcltínc CorporalJom. Grecnlavm, NY i 1740.
MKS
k .
loss PF can be svaluarcd wíth the aid of ií,{"incrementaMnduciance rule" published by the auihor .-1942. Other authors ha ve applied íhis: ruis to thc sübjaUne [7] but the present approach off-irs some simpliíit-jtion in compucatíon.
As before, \ve shaíl considcr only the lowest mcxJc ifv;ave propagation ÍQ the Une.
Afíer a list of synibols. t!i^ configuratinn will be dcísnr.and.the suope of this aitíole ;vill be indicated.
TI. SVMBOLS
rationalized unít-: (miiíers, ohmSj ele.)
= dieíeciric constant of shcct of material --rrarating thc strip and the ground plañe.
=377— 120^ = \V5\'e resistan ce of a squarc S K Iof free space or air.
— wave' resjs:anf:s of íhs transmission !"!'formed by i-'e nrip beíween parallcl cv.'i::-planes (uf pcrfcct conductor) filíed wilh »electric (/:).
= J? without díclectríc (A' = l).= /?i subjeci 10 sVi>i ce pin (5) in real conumi--
1/V/: =spc-e--Í raíio in dielectric (k) rcb¡"-to free space or air.
= vT 7?//íc. = normalized R.— width of síríp conductor.= height (separa'tica") of strip írom each &•'*'•'
plañe.= thickness of strip conductor. .v— width of :".n et:uívalení lh:n strip.= w'~w=.width adj'jsiTnent for— skin'dcpth in 'he conductor.= l/j2=smagnetÍL powcr factor
line.
R/R, =
e =2.718 = bas*: of naíi<ral iogarithms.exp x ^e^^na tu ra l e.xponcniial function.In x =logi> = n:tiural logariíhm.acosh .x— antico?hx= cosh" Ir.
.atanh:c= antitanh x~ tanh~!x.
III. A STRIP ¡-INE BETWEEN Two PARAU.HPL.\NES
Fig. I (a) shows the cross section of the yubjccl ''• ^ ( •
OOI8-9480/78/1100-0366500.75 ©1978 IEEEJ
190
0
C»)
0I EQUIVALENT THIH STRIP
I
' t 1. A strip línc between parallel planes, (a) Rectangular crossjection. (b) Thia strip of equívaJent width.
yyvaíence between a practical strip and a wider theoreti-jühm'stYip (perfect conductor with thickness approach-x ?cro). Fíg. l(b) shows the látter. The equivaience isfunhed Ín térras of the width adjustment (¿H--).Of particular ínterest is the well-known wide-strip ap-
r-nimation indicated in Fig. l(b). The edge effect of an!: thin strip between parallel planes Ís highly'localizad»' it can be described by one number. Thís effect is
' byi
'.88 Á. (1)- — In 16 =7T
"M greacer width woul'd give the correct wave resístancef ) o a the assumptíon of umform field v/ithin this width
• -'*í z¿ro outside. The effective width is less to the extent'• 'íciteraction between the field dístortions at the opposite| i". Th'is interaction is small if the width exceeds the
'<:¿lit (w/h> 1) and will be expressed as anothcr term.For evaluatiou of íhe magnetic PF, íhe skín effect iá
: "•'¡tcated Ín dásneQ Unes. These boundanes are recesíed17
' ^ 1/2 the skín 'dépth (5/2) so they indícate the actual^Icr of current. The actual boundary is the theoretícal"•Tcnt center in a pcrfect conductor. The change between'r-f and the other is ínvoíved in the computation of the^gnctíc PF. It is assumed that alí conducdve boundanesye Konrnagnetic and have equal conductivity and skín
IV. SCOPE
^ ¡n the preceding artície [3], the thrust of this article is"tnable explicit synthcsis of a line to meet some specifi-
3.The wave resistance (R) is reíated to the dielectric
constan! (k) and the shupe. On the oiher hand, the mag-nctíc PF can be decreased by increasing the s'¿e, whilc theshape has a.lesser cffect. The PF Ís usuaüy a tolerance
'rathcr than a requisiíe. The wave-speed ratio Ís laKen r.otto be specífied, but Ís detenrüned by the cholee of thedielectric.
Some graphs are introduced here, for reference Ín vari-ous sections. They present-the relatíons needed for thepurposes of practical design, and can bo read c'.u-.c
"'enóúgii for ordinar,' purposes. The formulas to be givcn. are intended as art alternative to the graphs. and also 10
give'fürLHer'insiglií into the relations. The formulas aredcsígned for programming in a small digÍLd calcalator«uch as the HP-25 cr IIP-97.. Fíg. 2 is a graph of the wave'resista.nce of a thin strip. It
is made from the algorithm of bínary steppin^. The wavc-speed ratio (relatíve to air or free spacc) for any widthratío is equal to- íhe ratio of wave resistance with an.Jwithout dielectric (R/R{).
Fig. 3 is a graph of the thickness effect on the \vp.veresistance withoiit dielectric. It is a smail effect v/itfirespect to wave rcsistánce but has a greater effect on themagnetic PF. This Ís generally similar 10 íhe first-ordcfeffect of thickness as previously stated [3] but is refineáand extended to mclude the secoud-order effect ÍQ soutedegree.
Fíg. 4 Ís a graph of the normalized magneiic PF (•? — £•-+-fi//i) as evaluate>d from the thickness effect, The n:ag-nctic PF is indeper.dent of f h e dielectric and its ronaai-ízed valué is indspenaer.t of íhe sae. The aúckiies-:parameter (//-) '~s chosen as bcing a propeity oí" th^lamínate, specíficallj' the thickness ratío cf the conducíívt-strip and the dielectric sheet. _ . .•>
New formulas are here presented Ín the ;maui tsxtwithout derivation. Níost of them are empinen 1 formula.?províding a. gradual transítion between narro*.v and r/iJcextremes. These are fírst tested agaínst cióse spproxima-tíons for overlappíng narrow and wide ranges, They are
''fufther tested agaínst a set of cxamníes eomputed by^conformal mapping, which coVer the transíúon regiónbetween the narrow and wíde ranges. Sorr.e- derivado u-,not previousiy available, are given Ín the Appcnóixes.Special emphasis ís placed on some formulas whii-h are"reversible" in the ¿cnsc that a formula can be cxp'essedexpticitly in a simple form for either analysis or synüissls.
V. ATuiN STPJP
As in the precedíng artiolc [3], simple ''reversible1' for-mulas are given for a thin sirip of any widih. By this is
; meant 'that an e.xpiicit formula for eiíher ar.alyíís orsynthesis can be convcrted to an explicit formula for ibaother. This conversión is pcrmíttcd no conipií-ratic-n bu-yond the solution of a quadratic equalion. Tlies^r formulasare empírical ¡n die scnse that they musí be tc.ncd ar.airi.stderived formulas ihat are e.xact or at Icast givc 3 c¡ij;:r.appfoximation in some range of shapcí '• -
The ¡.imple explicit formula Ís here shown íirsi fo.'synthesis and then for analysis. The normalizad resístanle
'.*•
4.^^-:: - . . — ¿ .
O2 O3 0 . 4 0,5 1 2 3 4 5•Vh
FIg. 2. The w»rvc rcsistance of a thin strip in diclcctfic bctween parallel planes. rRjlOHWS)300 ?=
J1ÉM- -• - ??:: rr£H!T :.p,'H:::: gjjr^zpnjz^'j^
200 E-Il—U-^^rÜ,"'.Ñ--,'- .(...1'! ..-/.. .-i..-!^^-^-^^ t / n »
iHÍSi^JJi:i,sgteírrj:—r!:jb-
OJ 0 .2 03 0 .4 0 .5 1 Z 3 4 5 ,• • -/h .
Fig. 3. The wave resistance. of.a strip without diclectric, sbowing the cffect of Ihickness.
; R-rR.fSk.ynr/Vk
is ¡ntrcxJuccd for convenicnce.(2)
JO. ,n
16 V(exp47rr- . 568(exp4rr— I)
r
The relative error is < 0.005 of'^' for Y.>'
192
íig. 4. Thc magnctíc power 'actor of a slñp, showing thc cfFcct oí thiclaicss.
fhis formula ís baced on tbe "narro w" approximation.V first term is relamed. The second term ís retained inrm ind approxitnateíy in anrount. The latter is ba^ed on
¿e two-wire approximacion fur a thin strip, as described~.{)\. However, the form is orr?.nged to approxirnaie also:; first term of the "*A'íde:> extreme, in respecc to its slope"(-J its zero for infinite: v.*iUu. The second temí of the'iuk" is retained. in funr. hut not in. amount. The twor.síants are a'slighVdépamre from the following theore-al valúes for the "\vide" extreme, to give clossr ap-
TiHtination over the rangí of most interest:
1.56S msícad'o/ Í.:>22-OV8)2
6.27
'•rom another viewpoini, diC two constants are a síjghtííparture from the folie wing theoredcal second terms for"C "narro w" extreme:
\.568iusleadof 1.667 = 5/3621 Ínsteadcf6.G67=20/3.
i: is notable that the abcve forms are cióse to a simple' •crsibíe) formula wíth these iheoretical constanís and-"'< following (rather cióse) hounds for narrow and wide
•tremes:
6 _J 8/?r_ __ ________
sinh— . -smh 2-v exp 4Trr— 1
Thís approxiniate formuh is tcsted agaínst the exact'•'rmula which is derived by ccnformal mapping. TheJ[icr ¡s relaíed to :hc ratio K1 ¡ K of eiíiptic Integráis, and
^fv be evaluated to any desjee of approximation by theiicihod of bínary stepping, described in Appendix A.
In Appendix B, there is giv-;:: thc asymptotic formula>OT "wíde" strips of a:iy thicloie.ss. lí is a cióse approxima-
: if w/h> 1. For wide strips (especially if the thickness
r—1
©
Fig. í. A of square or inscribid circular cross sectionparallcl planes.
is srnall) it is closer than the numérica! integraticn with amodérate number of intervaís,
VI. SQUARE OR CIRCULAR CROSS SFCTIOK
As an extreme departure from a thin strip, a square orcircular cross section is considered. Some peculiarities ofthese shapes are presented in the precedíng artlcíe [3j. Fig.5 shows the dimensions between parallcl planes, withequal wjdth and íhickness (1-.'=.'). .As ;:; the case of ihcrectangular cross section, the "heighí" (k) is thc separa-tion of the inner conductor from either plañe, so thcspacíng bctwcen the planes is 2/i4-/. Tliis üunventíon Ísfavored, bccause the separation places a lóv>er bound onthe rnagnetic PF. • !
Here íhere is no exact formula for all shapc rallos.There is a "narrow" formula for square or ejrcu'.ar, bulthat does not give thc peculiar variation of the PF withshape. Appendix B gives a ticrivation for a "wide" squarecross sec::oi\ The author's 1955 article [9] gives a deriva-tion for a circular cross section over thc entire range ofshape ratio.
For the square cross secüon, a simple "reversible" for-mula has not been found for a cióse approximation over
193
(he entirt rangc of shapc rstio. As,'.yiH be seen, the moregeneral rectangular crr-ss secíion yieles an cxpltcit formulafor anatysis, which ircíudes the square. That is what isneeded for evalualiii» '.he magnclic PF. Synthesís for thesquare still rcquires cü-nputaiioa by trial or readíng froma graph such as Fíg. 3.
For the circular creas ssrtion, the following "reversible"formula has been deí.igj'.sd and tested.
w/h-1 _j ' -*•->»•" -1
15
Vkir. [ 1 + (
(6)
(7)
irj which,
refined to gíve closcr approximation for modérale thuvness.
Here one should note the basis for íhe width udjuvment, as shown in Fig. !. The str ip thickness is assoei;tict*wíth greater sepnration of the parallel planes ¡n urücr ;.keep the same "hcight" between íhe strip and cithcr pl.u r
Thís relatiou Is reflected in the exponcnt (/u) oí i!f
"narrow1' term in the formulas. J.o be gíven. Alsu t > ."wide" term is modified to give cSoser approximation i. •greater thickness. ~ ' -
Each formula for width adjustmcnt is presented herc ¿<before, in terms of the actual wtdth (iv) or íhe equivale:;:thin-strip widlh (>v' = M'-h¿Mf).
I= ~ m
w//-f 1.10
The relative error is < 0X05 of R.For each extreme of "narrow" nnd '"wíde," thís formula
matches the first terrn, whüe the second térra is reíained infcrm and approximately ín ?.;nount. The result is a ré-markably cióse appioximptioa in íhe transition betweenextremes.
If íhe diameter o-ccupits Irss than one-half the spacebctiveen che planes, (lie ruHuwmg "narro wr* formulas aresiinpler and very clo^e (le-athe error is < 0.005 of R}.
Square :
>-//! =0.4634
í-^ln
Circulan
(sr/8) exp 2vT/—1/2
4
2h/^} = -~rln 1.079(1+2A/w).
(9)
' (10)'
=60 In —
VII. STRIP
= 6qln(l-í-2/i/H')-M4.49.
TSs AND THG Loss POWERACTOR
The approach hc're is the same as Ín the precedingarticle [3]. Appendix B h:re;n gives the effect of anythickness for a 'Vide" ^Irip between parallel planes. Theeffect for a "narrow" ótríp !s íhe same for one or twoplanes.
The present stríp be*\veen planes is susceptible of sim-plcr evaluation by confonnal mapping and numericaliniegration. as appcr.rs in Appendix C. Thcrefore, a set ofnumerical examples has been computed to cover a wideranee of shape ratita, especialjy ir. the iransítion regiónbetween narrow and wide extremes. From these examples,ihc prevíous formulas for thí effect of thickness have been
1 , e— In
' ^ 1 i 2 i f i/4?r r^Ak/t+i j [ w'/r-0.26 J
in which
1 + //3A 3+l/h"
The relativo error is < 0.015.This adjustment enab'es a width conversión eitlu-r Vl-
between strips wílh or without thickness. Its small ix'l.i! -error makes a much smaller contribution lo the a-l.i:--:error of effective width and R. It does relate dirccín •the magnetic PF in víew of the dependcnce of U u.'•othe thickness. As before, the forra of this fornnii:i y - » <asymptoíic approximation for narrow and wiüe C.\IH-«Iand a remarkably cióse approximation through the lu- •tion therebetv/een.
For loss computation, the actual widlh and i l i K 1 - -(u-,/) are converted to íhe width of an equivalen! l l» ¡> > P
(ui' = H' + Avv). Then the thin-strip formula (.A1, of » ' •be used for diffcrentiation with respect 10 ilu- .i''dimensíons (H'./I,/),
As i-'.dícatcd in Fig, 1, each dimensión is incrc»-*by ±S and the samé formula is used again to phi.i"Then the (small) loss PF is computed by the inai1"-'' •inductance rule:
Here again, a normalízed form fur loss í ' l - '-which gives íhe effect of shape, indcpcndeni «'f i-1 ' _frcquencj', and conductor material. It isheight (h).
The reference (5//i) is the nominal -PF of :i vt'ívstrip. ( , t l ,
ln co-nputing Ihc normalized PF (P), the v¡uiic t
depth ís immalcrial If it is suff ic ient ly smiill^ to 'l"í"i_¡._the limitíng behavior of íhe skín effect (which ic •'
194
Also it musí not approach the scnsitivity of the,f ln a computcr glving 9 decima! places,'a faír«use is: ú/.^= 0.0001. Then the .<iicm effect is well
,.;<rd if all dimensión raíios exeeed 0.001..uluallon of a resonator made of strip line, the loss*Ji-isipation factor or 1/2) is-usual!y the mosí,;i[ factor. The wavc R Ís ihclder.taüy relevant in;t( npplícation of the resonator. The loss PF of the, field ís evalúated by the simpleM formulas (R\ vuihout dieleclric). For any ^liupe, the valué of P
(M j ccimputation of íhe si'/.c of íhs cross sectíon co'j \aliie of/>:
h*=Pd/p^P$<¿. (16)
.• ;:.iphs Ín Fig. 4 show the loss PF in terms of P for•jnce of simpes. The córame-n rcference is the
.í¡jund the thíckncss raiío (t/h} because :hey may.,..( hy u dielectric sht-eí and a oouductive sheet.J; ihereto.rrring to Fig. 4, the commcnts in Ihe precedtng¡1] are generally stül ^ppücable. Here are some
-i-iiin.s of the presen! Une \víi!i thai strip near one. Ihe magnetic loss PF is greatcr for the same-.cd liímensions because íhere Es ler.E :,pace occupied- field around the ?trip. Differenl comments are.ihls to the típposite extremes oí wMíh.
• "narrow" strip has the. s:.me r^sistance by [8] but• renctance as measured by the rsductíon of wavetncc Ín free space by ihis amcuit:
60 ln ir/2=27.09 íí. (17)
• "Vidc" strip approaches 1/2 the resistance and reac-.c. but there is !ess-voiume occup'ed by the field
• mi eíther edge of the strip. This i educes the raüo ofMnce over resistanee so tjte PF is increased, as ap-
••Mm Fig. 4. Typically the "mercase is around 1/5. For»iJe" strip, the same levéis are -ippronched.'!e greater PF, with the complete shielding provided'he i.wo planes, may not impose a nei disadvantage.
•' ^pacs above the upper pbne CEU b-.* utiltzed without"ciion. Without the uppcv plañe, more space above
• -trip must be kept clor lo avoid further iosses ¡n the••n\. One componen! of such iosses is the radía-
•* ihat ¡s inhercnt with incotnpície ?íiielding.™sc previous article gives proccdures for compucatíon
.inalysís or synthesis. The presan t mode! is much"Her bccausc the effecüve dielectric c- jni tant is that of' Tiatenal, which ¡s specifíed and determines the specd
'• I;or synthesis frorn graphs:• (i) specify R and k, h, /; 'F^ ^ R
"(n) read w/h frorn Rt on Fig. 3(üí) state sk'm depth;' •(iv) rea4 P on Fig. 4;p^PS/h.
"» For synthesis from formulas:(i) specify R and fr> h, /; K,(ii) compute w'/h by (3);(iü) compute ¿K'/; by (13);
c) For analysís from graphs:(i) specify-A:. w, k, t;(¡i) read Rí on Fíg_ 3: R - «,/VJf ;(iii) '(iv) same as a.' .
d) For analysís from formulas:(i) specify k, w, h. -r:(n) compute ¿H'/I by (12); h'' —w-f Aw;(ÜÍ) compute R by{4);(iv) state skín deptíi;(v) compute PF by (14).
The PF computed as above, from formulas (4), (12)for all shape ratíos, has bx^n checked agaínst íhe "wíde"formula (44), v-'hich ís much closer if \v/h>\. For allthicknesses up to the squnre cross section, it is concludedthat the above (d) comes wiLhin 0.05 of PF, or wíthin0.015 of PFif f/A<0.5. -
VIII. CONCLUSIÓNThe ír-ansmission-line properties of a strip bet\vcen
pprallel planes are evalunccd in simple formulas, each oneadapted for all shape ratíos. The presence of a homoge-neous dielectric filling has a simple effect on the waveresisiance and speed ratio but no effect on the magneticPF which is usually the principal componen i of Iosses.The latter ís stated frora tíie vie\%-point of analysis, which¡s usuaily w'ñat is needed.
Tne advance over previous publications appears mainlym iwo áreas:
a) a relarior. ís expressed esplicitly by a single simpleformula for the entire range of shipe ratio;
b) the w'dth adjustmenc for íhíckness is formulated andused for evaluación of magnetic loss.
Each formula is an empírica! relatíon obtained by design-íng a gradual traiisítion bet'A'een knov/n simpie formulasfor both extremes of narrow and v/ide shapes.
All formulas are designed for ease of programmJng on asfiís.ll calculator such as the HP-25 or HP-97. Particularly,the dígita! cr-iculator enabíes the numericaí differention(for loss evaluación) which Ís here used to realize a greatsirnpiificationr\VhiIe beyond the scope of this article, iréwriter would welcome inquiries reiaíing to the prograr.,sfor the HP-25 or HP-97, some of which may be availableon request,
tn general, the subject Une presents problerns of evalua-tíon which are simpler ihan those of a strip near oneplañe. Somc of the approaches that were deveioped forihe other form are found ínterestmg and hclpful for thesubject líne, however simpler. j
APPENDIX A- - EXACT COMPUTATIOX or A THIK STRIP BY BISARY
STEPPISGFor the extreme of eíther a narrow strip or a v.ide stríp,
a simple formula is known which converges to any degrecof approximation. A simple iteralivc algorithm of e.xacítransforr.iations Ís available for nnalysís or synthesis of
195
ar.y shup¿ raijo ín the intermedíate range. The algorithminvolvcs binar,' stepping of the wave resísiance and acorrcspondlng (nonbinary) stcppíng of the slrip width.Spccifícaliy, onc inward step gives the second term of aconvergúíg .series, and each further síep gives anotheríenn. The iransformation for each stcp is made by the.same simple formula, which is reversible for stepping incíther scnsc, and is applicable to anuiysis or synthesís.
The b:ns.ry stepping will be derived here by a simplepaJr of inversions in conformal mapping. The stepping ísaccompUshcd without reference to the actual reiation be-tween th= shapc raíio and the wave resisiance. Then thelatleris íntroduced :o establish one end of the "slaircase."
Fig. 6 shows a pair of cases differing by a bínary step ofvavc resisiance (-R). Fig. 7 shows íhe pair oí myersions bywhich íhe corresponding step of shape ratio (H>//I) isderived. The latter will appear in "reversible" form adapt-able for analysís or synthesís.
The symbols used in this e.xercise are dífferent in these
Rr. R" =the (lesser» areater) valúes of wave resistance'• ' (2/T «/?")•"V, H'" =lhe corresponding (greaíer, lesser) valúes of
strip width (V>2H1").¿ =•»= reference height.
• O =half-angle of gap in pair of ares of a circle.
Fig. 6(a) shows íhe cross sectíon of any one width(H''//Í) of a tbin strip between parallel planes. Fig. 6(b)shows íh¿ strip of the lesser width (w"/h) to be derived.The wave resistance is doubled (R'x2= R"}.-
Fig. 6(cJ shows the mapping of one strip onto the uppersnd lower half-planes of a balanced strip line whichihrcfore has double the resistance. The mapping functionís re Vexp as Indicated. The lines of the parallel planesare folded out to form a single une and the strip is imagedto form a balanced pair.
Fig. 6(d) shows the mappíng of the other strip and itsshields on'.o a vertical Une by the exponential function asindicalcd. The shíeld becoines the lower half of an infinitelint. Tlic wave resistance is unc'nanged.
Fíg. 7 shows the inversión of the strips of dífferentwtdíhs onto the same ares of a círcle, thereby establishingíhe rdatíons for 2R' = R". The ares are symmetncal andare scparated by an angle (1.0} on the circle.
Coniparing Figs. 6(c) and 7(a):
tan G = exp — iv'/4.
Then comparing Figs. 6(d) and 7(b):
exp w"/2 _ I/tan 2g + tan 28cxp — M-"/2 tan 28
cxpH-"=( i/sin 2ef . ;(sin2¿?)2 = exp — w"; (eos 20)2= 1 — exp —w"
1exp H-" — 1
• (1/sinh H-y
2e.xp -H'V4 \l-exp--H>'/2J
W (b)
-J
(C) (d)
Ifig. 6. Dcscripüon of strip lincs of_rclatcd -And
I/ton B
' X'/ __í \. 7. The circular ares rclatcd to balanced and unbahnircJ i
by inversión.
exp w"~ l-f(sinh H-'/4)2=(cosh H''/4)'
exp H-"/2 = cosh w'/,4w" = 2 In cosh H-'/4
—— = — In cosh 4- ~rh ir 4 hJ_ H^_ 2_
'' 2 h 7T
Thís h the transformador) for double i"second form Ís prcferrcd for understanding and
196
, The f i rs t term is 1/2 the width, which is the principal1- for wíde strips. The two terms nave a smaíl dif-'..„« for narrow strips, gíving the asymptotic form:
w1
7T4h (23)
vnc-half the resistance can be obiaíned by the reverse..formation, which is easily stated from (21);
4 , 7T W"— acosh exp — -7TT 2 h
= 2— t--— ln j. ih TT \ h
. .isymptotic form For narrow strips. is:
(24)
(25)
(26)
¡he complete form for the direct or reverse transforma-n Ís exact so it survives the transitíon región in either
•cction between the extremes of wide and narrow strip.\ a matter of passing interest, the shapes diagraraed
¿=1/16 circle) give:
X =377/4 VI and R " = 377/2 V£ in a dielectric (/:).
i'he second term from the wide extreme is particularly«erestmg because it gives rhe interaction between the-posite edges of the strip. This effect becomes apparenti22) is rearranged as follows:
-h
J_2vr
exp — TTH'"//I i: - - - . (27)
"ií last term shown Ís the second term of the series, theCariare from 1/2 the effective width indicated in Fíg.'0. This Is the basis for Lhe interaction mentioned in
\ppendix B.The second term from the narrow extreme is interesting,
'••[«cially for comparison with just one plañe [3]. The firstipproximation for the extreme is: -
in\6h - = exp — 2-jrr". (28)
'ln¿ sícp inward (r — r"/2) gives the second approxima-'•".n:
i" 4 TT w" 4. = — acosh exp — —r- = —
T TT 2 h TT
= —(exp 2irr') + — exp —47T/H
frce space (A'= 1) the second term ís (H-'//íi)2X3.1 fi. In;V.mparison with jusc one plañe, this term is greater (in theMlio 7r2/6=1.64) and its associated wave resistance is
(by 27 Í2). The greater second term could haven evaluated by summing the series of images of the
of small wires that ¡s equivalent uva thin strip [3].
Fío?.- chart of biaary stcpping.
For eithef anal^-sis or symhesis, a practica! explicitalgorithm may be based on a prescribed number of binarysteps from eithe.r extreme. The one here propoícd is basedon 4 steps inward fruin íhe \vide extreme, íor these rca-
'sons:
a) the ",yidc" formula is simpíer (t'ree oí la or expfunctioní of 'be simpe ratio);
b) there is a practics.! iower bound of th.c vídth fiirAc-n-sion, bclow whích ihere is no interest in very cloreapproximaíiou for a trun strip;
c) the sec oF 4 stepi covers the ranae of íbe graph*(H*//i>0.1) witíi very s malí relative error (< !Q"6 cíR) for use In caccking approximate formulas.
The "wide" fcnnuía is ..oted here for use ín this algo-ríthm:
w'/h=\/2r
R'*
7T
.377/2^
>=*m/2R'Vk -^ ín lo (31)
(32)
— ln 16 = 0.832542.TT
Here the «,-ave reóistance of free ¿pace is taken to be 377 £2as a rerer=nce/or very cióse approximation.
Fig. 3 is a fio1^ charí. of the füüowtng procedures foranalysis and syniber.üs. Trie coordínales are those of Figs.2 and 3.
For anaiysis, "use this orocedure:
a) síep up the widíh raíío H--//I by (25) 4 times to gel
" b) compute A'**R/16 by (32);c) rnultiply by 16 to gct r.
For synthcsís, use thh proocdure:
a) divide R by 16 to geí A";b) from R', compute vt'/h by (31);c) siep down íhe width by Í22) 4 times to gct w/h.
Binar; stepping is inhcrcn'.ly a special case oí tlie G.IUSStransformaron ¡n the iíerc.uve evalualion of an clliplica.1
197
integra! by stepping from either extreme. In general, un-cqual s;eps are involved. Binan.1 stepping is a peculiarityof tlic ratio K' / K, which ís related to the subjcct confíg-uratiun. Bínary steppíng is seldom describid [ I I ] . Its de-rivation by inversions Ís peculiar ío this eonfiguration. • '
APPENDIX B( WIDE RECTANGULAR CROSS SECTION
A wide-strip between parallel planes has its two edgesísolated icí.such a degrec that their local effects have Üttleinteraciíon. This offcrs a major simplification rclative to astrip near a single, plañe. A use ful approximation is ob-tained from an exact analy.sis of a very wide strip, ignor-ing interacítüii bcíween the cdges.
Referring to one cdge of the strip in Fig. l(a), a convcn-tional analysis by conformal mapping can yield the edgea'djustrncnt for an equivalent thin stríp as ín Fig. í(b).Equlvalence is based on equal capacitanc-j, inductanceand w¿ve resistance (R) of perfect conduciors arld triesame homogcneous dielectríc (&). The thickness (/) cf theactual v.'ÍJih («i') Ís replaced by an extra width (A u-) of theequivalent thin strip (H'^w+Aw).
The height (/i) is the separation between ihe sirio andeither plañe. It is held the same for two reasons:
a) ia practice, it may be ihe thickness of r. dielectric.shtfet;
t) m theory, ít ímposes a fundamental limítation on thereduclion of the magnetic loss PF.
This rule may cause some confusión in the dííference ofspacing belwecu the parallel planes in the duferent equñ1-alent forms. Some sueh confusión cannot be avoided.
The sdge adjustment in Ihe limitíng case of a "wíde"strip Ís formulated as follows [10]:
maü'on for a "wide" strip is obtamed.
1S8.5R
In the üniít of a thin strip (///i->0):
This ;s the "wide""' term Ín formula-(12), (13). It Ís anappfoxiination For modérate thickness (t/h< I).
The isoiation between the two edges is measurcd by theratíc exp — 7r;r/A in the space between the strip and eítherplañe. The interaction is proporüonal lo this ratio and thefactor? of field distortion at the respective edges.
For a tilín strip, the fírst-ordcr interaction decreases thecffective wídlh by the amount
h '
In the intermedíate shape (>v = /i), this amount Ís 0.007 A,so the relatíve effect is a small fraction (about 0.004 of R~).
Thickness decreases the distortion at the edges, and alsomercases thc effecüve width, so the reí a ti ve cffcct is.stillless.
Taking into account the compícíe widíh adjustment (41)and ihe first-order interaction (27), a ver,' cióse approxi-
1
Tne relative error is < 0.002 if w/h>\, nnd increpe-slowly for lesser widíh. This formula for analysis f..t"wíde" strip Ís clcs::st for comparison wtth (-Í) and i ! ,which cover the en tire range of shape ratío. In par turuL-it is closcst for coiupiitation Of P, which is sensitive in i:.rderiva ti ve.
The square cross section i? a speeial case siiHvpmranalysis (but not cf e.-cplicit sinlhesis) from íormuLi i ifor the width adjusíroem. "Ine imcraction of thc ciL-t..small enough that a cíoss apuroximation is obmincJ u <tive error < 0.002 of /O for an.y width excccJuti: ;'showr. Ín Fig. 5 (w/h= i). Por any lesser width. ani.j .ihe circular cross icctiun und then apply the :ippÍK i» -one of these rules:
a) divide the width by 1,18 orb) increaseT? by 10 U
AFFfcNDIX CEXACT CoMtüT/xiíON BY CONFORMAL MAIM-I^"
As in the preceduig article [3] a complete comp'ii'!by conformal mapping orf-jts o direct evaluuuoi i «•! *•examples wíthout reiiricfiojí z.~ to shape of^-rn^ *i-(w/h,í/h}. It is neeJed íor the effecl of ihi iUtc-tenr.s of t/h and/yr //u-}. Thc examples are IIM-I •verification of app/ü^imale formulas. espccuilKrange of transition beiveen the extremes which .iti •approximated by simple forniuías. Mere again. - •ríthm is numérica! iníesnition cf ihe space jir.uH"elementary Ín contrasí wi'.h jiliotic integráis vUn*be adaptcd- to this coníigiifütion. ít does iu'icxpSicit formutatíon. Hc'e, howevtr. th¿ pr ins ; i i \aiion is the effect of thickness on the width « < 1 'alent thin stnp (for equai R}.
Fig. 9(a) shows the contour in space. wi lh iiU'1'of the singular points Ín the upper half-planc inates i^x+jy). Fig. 9(b) h a graph of ihe -p.^1 •on the boundaries ns mnpped on ^ straichi li'unate a). The mapping has quadrantal \ \ snn-*quadrant beir.g inciuded in thc _graph. A l l sr-!tt
thc s'tríp between planes (a) is mappe.il tm .ill --P-11'the coplanar strip in a gap Ín one plañe (b).
The space gradient Ís formulalcd by \n'*\^*follows:
f\^ul w1-'»! - - '
Vi u'iU ' ' 'Only the área ratios are signifícanl, so tnc M..a rb i t ra r i lv chosen.
198
-» «TERVALS
Fij. 10. Nurcírical íntegration »car one bound wbjch ís a hall-polc.
wVp
— -(b)i Coofonna] ma'pping of thc -jrass WJCH of Ihe sirip linc. (a)ívw ín spa.cc. (b) Space 2 radienL. (Each :,'£:• = one dimensión oa
r.iKitour ín space.)
-.-constant cocfficients are chosen ío give a unit poíe! ÍL r =±l . This ^ transíales LO a st''p of^V Ín íntegra-which malees A - f - f / 2 — KT or. the space_ contour.
-rfore:
* represen* - =
I/TT representa -7—"-T.T — ~r/—TT7Th-rí/2 n, t-r í/2
n/7T represents
•.ccenter (at u = G):
:"rcomparison with a thin sírip (r-»-0; U I2
(51)
(52)
(53)
* fs susceptible of simple analytir, ir.lcgration:
jT _ _ 1 +J/2 _ ,
, . , ., 1— exp —w'/2 2" ünh w' /4 = ;TT "-1 ^r- •1 + exp - w /2 • i sxp Z H.y ¿
(M)
1 is an explicit reversible formula nrlatíng íhe thin-strip;h ratio (wy/i) to the coplanar-stnp v/¡dth ratio (»2).^ numérica] Íntegration of tho r.reu (.) is complicaiedí>e half-pole (Veo ) at one bound. Some of the com-
mon rules faíl because they ínclude the end point. Takíngthe mklpoint of each interval. as shown in Fig. 10, thisdcfcct is avoidüd, but a íarge error remains in íhe área ofthe lasí. interval. The reiaüve error of the sum is of theorder of 1/V4/7 for any aumber of (/i) of intcrvals, sothere Ís slov,' convergence \\-ith increasing n. If the área ofthe end .intervaí is multiplied bv V2 , the residual errorbecomes proportional to I//:3'2, tripling the rate of con-vergence. The ordinary error from curvaíure is propor-tional to 1/n2. The latter converges more rapidly so theforme: maybe the doniinant component of residual error.
A further refinemem at tbe haíf-pole is to take íhe 2/2point instesd of ;he midpolnt, thís beíng the centroíd ofíhe área in the interval. For this point, the mulíiplyingfactor becomes V4/3-.
In eíther case, a still further refínement is provided. by asüghtly larger factor (1/O.S65Í for the 2/3 point).
The opposite díscontinuity (a half-zero VO) may ap-pear at the other faound, as ¡n Fig. 10. The miapoint áreais slighily too great, so u may be multiph'ed by V S/^ (or0.?4) as a fírst-orcicr corrección.
If the widlh of the thickness área (i/2—w,) is much lessthan the oíher Ínter/ais (2^,, I — w-,), there is a simple rulebased on one midpoint. as indicated in Fig. 10. Theaverage is .símpiy ír/2 times the midpoint.
A varíety of examples have been computed by numeri-cal integraííon according to Fig. 9, Each e.xample may bebased oa a specifíed valué of w'/h, for which RI can becomputed exactly by App^ndíx A or approximately ! y(4). This valué of w'/'n 'determines u2. Thc ihickncss rat.ct/h would then determine u,, bui there is no cíese expüci;Tormula. Insiead, a targec valué i'/h may be specífied,from which an approximate valué of u, can be comnutedby this formula: \-
The most sígnifícant ratío from this exercise is -iv,-/;.which is of íhe order of unity and is weakly depcndent oníhe thickness ratio ( ( / h ) and íhe width ratio (w/h orH-'/A). It is a small difference so its cióse appro.xiinai.ion isan achievement.
The integración of each arca may be performed with aninterval !/£ the wtdih of the thickness área shown in F>..10. This interval Icavcs a relative error < 0.01 of
199
for the \vidcst cases and much less for most cases. Itsoccurrencc and sense are such that it does not cause ancxccss over the error lolerance stated for (12), (13) incomparison Üierewith.
The usefnlness of numérica! integratíon decreascs withgrealer wfdlh because u, and uz approach the pole atu — 1 . This is found to decrease the rate of convergencewuh smaller intervals,
ACKNOWLEDGMENT
Thís study has beer. stimulated by the need for moreknowledge of the subject Une, whích ís used v/here thegreatest degree of refinement Ís afforded. Especially ít hasbeen responsíve to the opportunity aífordcd by-the "cíosesupport" avaUable from such small calculators as theHP-25 and the HP-97. They offer an alternative which hassome practioal advantages over reading a graph, thoughthey are most valuable for developir.g the formulasneeded üi any case. In reference to this and the precedingarticle,'the author is especiaiiy grateful to Gerri Fargnolífor ihe careful typing and to Walter Anderson for hisskillful preparation of the graphs.
REFERENCES[I] K. A- Wliccicr, TrausmlásuJii-Üüe propcftícs of paraUel wídc
siripi by a cGnformal-mapping approxínuiion," IEEE Trans, Mi-crovcce Theory Tech., vol. MTT-Í2. pp. 280-289, May 1964.
[2] , Tra.nsmiss¡on-lÍne properlies of parallel strips separaled bya diclectric sheeE," IEEE Trans. Microwacf Theo¡v Tech., voLMTT-13, pp- 172-135, Mar. 1965.
[?] , Transmission-line properties of a sirip on a diclectric shccton a plañe," IEEE Trans. Alicrowace TJieory Tech.t vol. MTT-25,pp. 631-647, Aug. 1977.
[41 —'—, "Forraulw for th= skin cITect," frac. ¡RE, vu Vi412-424, Scpt. 1942. (SVin Inss by the "increrarnul-,mlu., !rule.") ^Ut
[5] >, "Tratismission-Iinc impcdancc curves," Proc. tl>£ ,pp. 1400-1403. Dcc. 1950. ' " "
[6] , "Universal ;k.ín-cffcct chan for conduciins maíei^K- :frontes, vol. 25, no. 11, pp. 152-154. Nov. 1952.
[7] S. Cohn, "Problcms in stnp iransmissíon unes." I HE Trun\H-QC< Theor,- Tech., vol. NíTT-3, pp. 119-126, Mar. l'ju .».[.wjch line, thickacss, and loss.)
[8] H, A. V/heeler, "Skin resislancc of a iransrnisiion-ünc tuiij^oí polygon cross SÍCÜÜD." froc. ¡RE, vol. -O, pp. EOS Ni".1955. '
[9] , "The tTansmission-Ücc propcrtws oí a round >*irc N--,.paraílcl planes," ¡RE Tranx. Anlennos Prcpa^aí*, vol -1!' •203-207, Oci. 1955. (Prcviously published in moré 'jf.4
ViTiccler MonOjjraphs no. 19. \Vheeicr Labs., June 19J4 ][10] D. S. Lerner. (VtTiceJcr Labs., Inc.), unpubíishcd notes, N,-i .
(Ven,' wide slrip, wjdth adjustmenl for t'nickness. ! l a l f -« - . . . .typc comparcd vñih sanduich typc.}
[11] W. Hilberg, "From appro7Ímaüons 10 exact relations d > > .-,actcristic impcdaiices," ¡EEK Trans. Aí/trrtncjiv Tr.eor\r. *MTT-17, pp. 259-265, May 1969.
[12] . "Approximations for ihe cUiptic-ip.tcaral functiun A >.wa ve-resistan ce coraputation," A rch. ElekiroiK}'., vt>! '290-29S 1970.
[13] , "Charac: cris tic Quant-ües of Ekclrical Ctir,J".¡-Berüner Union Xohlhammer, 19"I2.
[14] H. Ho-A-e, Stripiine Circuí: Desígn. Artsch House, 1974[15] R. Crarnpagnc ¿t al., "Ar.aiysis and syníhesís of MIC if;in\-: »•
. lincs," A/ícroH-otí J., vol 20, no. 6, pp, 105-lCó. 126.. Jur.r(A thii. strip ic various configuraüuns; cv^iuatiou ot A í.
[16] C. A. Hachmcislcr, "Tbc imj«ílanr¿s and fíelas nf <-«••(modc transmission lincs," ASTIA Doc. AI:-160SO?.. M K l ^ •57, PIB-55U Apr. ¡958. (Rfctansular cro.',s scction N.IU,!-- ..leí planes, solution by cUipuc inícgrals. gr^phs a»d **"'' ••• •pies.)
[17] R. H. T. Bates, "The chan.cttnstic iinp.xianc'- -of ;he \hir--! -¡ine," JB.E Trans. Micrawax Thcory Tech., vol. MT1 -4. r!' • 'Jan. 1956. (Rectangular cross seciion beiv.\:en pjtalír •••
. solution by elliptic integráis, gn-phs and sonis cxamplr* •
Characteristic Impedance of a RectangularCoaxial Line with Offset Inner. Conductor
JOHN C. TIPPET, STUDENT MEMBER, IEEE, AND DAVID C. CHANO, SÉNIOR MEMBER. IKH
Abssmci—Tbe singular-integral-equalion Icchníij'jc Is us*--d to derivethe capaciujKe and, lii'ncc, cbaract cris líe impcdancc of » rectangularcoa.\Iaí line >iilh a zcro-lhicknc5s Ituicr conductor. Tbe posilíon of tbeInner conductor Is arbltrnry, but us oricntalíoa ís is-sumed lo be parallcl loihc top and bortonj «utls of the outer conductor. Simple yct ven1 accurateforrauUs for Ü>e canacitance and characieriscíc ImpcdaDce are found InIcrms oí complete elliplic integráis.
Manuscript rcceívcd Januar>- 31, 1973; rcviscd March 30, 1978. Thísvori: vu supponed by Ihc U.S. Dcparüncnt of Comraerce, NationalBurean of Süindards. vindcr Comract NOA.\CST-8393.
J. C. TJppet is whh TRW, Dcfcnsc and Spacc S>-stcms Group,'Re-dondo BciCh, CA 90278.
D. C. Chang is with Ihc Rlcctromagnclics Lahoratory, Dcpartment ofEleclrical Enginecring. IJniversiiy oí Colorado, Bouldcr, CU t¡0309.
I. INTRODUCTION
HpHE CROSS SECTION of the rectángula ;JL sion Une analyzed in this paper is sím^»
The zero-lhickness inner conductor is ai'biir.ir -but is parallel to the x axis, Both conductor* -|!í
conducting, and the médium between (he i^* 1 1
is a homogeneous dielectric.This type of transmisión line has" found «^ _
EMI mcasure'mcnl. systems [I] as a transí*"plíng EM energy froin the equípmenl undef •_• (
ínto the TEM mode of the transmission Ünc- ' t.usually locatcd between the inner and
0018-9480/78/1100-0876500.75 O1978 IEEE
200
BIBLIOGRAFÍA
1.- COLLIN, ROBERT .- Field theorv of gnided waves. New
York, Mc.Graw-Hill, 1.'960.
2.- ALTMAN JEROME .- Microwavw circuits, New Jersey, Prin-
ceton, 1.964.
3.'- REICH, HERBERT .- Microwave theorv and teGhnia-u.e3, New
York, Von Nostrand, 1.953.
4.- MARCUVITZ N. .- Wavegnide handbook. New York, Dover
Publication Inc, -1.951.
5.- JASIK HENRY .- Antenna' engineering handbook. New York,
Me. Graw-Hill.
6.- LIU JANE .- Linear svstems analysis, New York, Me. Graw
Hill.
201
; , " REFERENCIAS
ING. CEVALLOS MARIO .- Diseño por computador dp, -fi
stri-p-line. Anales de Ingeniería Eléctrica y Electrónica,
1.986, pág. 55. •
CLAUDE WEIL .- The characteristic inroedance of rectangular
line WÍth center _ conductor and air dielectric,
IEEE MTT-26 3abril/76.
TIPPET-CHANG .- A new a-p-proximation for the capacitance of a
rectangular coaxial strip transmission line, IEEE MTT, Sep/78
LEVY RALPH .- Synthesis of svmetrical branch-maide direc-
tional co-n^lers, IEEE MTT-12 N22 , Febrero/78.
MURAGÜCHI MASAHIRO .- Opjbimim design of 3dB Branch-line
ers iislne microstrip line, IEEE MTT-31 NOS , Agost/81 .
WHEELER HAROLD . - Transmission line -pro-perties _ o a
line between parallel clanes. IEEE MTT-26 NQ11, Nov/78.
- RIBLET GORDON .- A ditectional coupler with ' vsrv -fíat
coupling, IEEE MTT-26 N22 , .Febrero/78. -
- HIRAYAMA MASAHIRO .- A 20 Ghz integrated balancea mixer,
IEEE MTT-19 NQ7, Julio/71.
