UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE FISICA TESIS PRESENTADA EN OPCIÓN AL GRADO DE LICENCIADO EN CIENCIAS FÍSICAS INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE CUERDAS AUTOR: González Espinoza, Manuel Alberto ASESOR: Dr. Antonio Rivasplata Mendoza Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/ BIBLIOTECA DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS
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ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE FISICA
TESIS PRESENTADA EN OPCIÓN AL GRADO DE LICENCIADO EN CIENCIAS
FÍSICAS
INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE CUERDAS
AUTOR: González Espinoza, Manuel Alberto
ASESOR: Dr. Antonio Rivasplata Mendoza
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Alumno: González Espinoza, Manuel Alberto
14/06/2012
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1.3. Una breve historia de la teoría de cuerdas
.......................................................5
2. Coordenadas cono de luz
..................................................................................7
2.1. Relatividad
especial..............................................................................................8
2.4. Energía y momento cono de luz
............................................................................20
3. Cuerdas
relativistas...........................................................................................22
3.2. Invariancia de la reparametrización del área
..............................................................
27
3.3. Funcional de área para superficies en el espacio-tiempo
........................................... 31
3.4. La acción de Nambu-Goto
...........................................................................................
36
3.5. Ecuaciones de movimiento, condiciones de contorno y
D-branas.............................. 38
3.6. La estática de calibre
...................................................................................................
41
3.7. Tensión y energía de una cuerda
extendida................................................................
44
3.8. Acción en términos de la velocidad transversa
...........................................................
47
3.9. Movimiento para los extremos de las cuerdas
abiertas.............................................. 51
4. Resultados y Conclusiones
................................................................................53
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AS
1
Resumen El proyecto consiste en una revisión bibliográfica de la
Teoría de cuerdas,
comenzaremos una introducción histórica sobre el tema.
Luego se definirá una cuerda clásica y luego de presentar algunas
definiciones de relatividad definiremos una cuerda relativista, por
ultimo definiremos la acción de Nambu-Goto y se resolverá un
problema usando Teoría de Cuerdas.
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1.1 Fundamentación:
Nos encontramos en una época propicia para hacer física teórica, la
creación del Gran Acelerador de Hadrones (Large Hadron Collider –
LHC) nos brinda la posibilidad de probar la veracidad de teorías de
partículas elementales a muy altas energías (4 TeV).
Pero en Perú nos enfrentamos a la problemática de que la
bibliografía es escaza y está en idiomas extranjeros, la idea de
esta tesis es recopilar la mayor cantidad de información y
presentarla de forma didáctica, sin utilizar lenguaje matemático
complicado de manera que un estudiante de 5to ciclo la pueda
entender y se vaya familiarizando con conceptos básicos de la
física teórica, tales como relatividad, funcionales, estática de
calibre, etc. Aprovechando el gran interés que despierta esta
teoría en los físicos jóvenes, se les presenta con conceptos muy
útiles para aquellos que decidan dedicarse a la física teórica en
general, no necesariamente teoría de cuerdas.
1.2¿Qué es la Teoría de Cuerdas?
Actualmente existen dos teorías que explican cómo funciona nuestro
universo, por una parte tenemos a la mecánica cuántica y por la
otra a la relatividad general. Estas dos teorías funcionan a la
perfección cuando las tomamos por separado pero el problema ocurre
cuando tratamos de unificarlas, los resultados obtenidos son
incoherentes.
Por su parte la mecánica cuántica (Modelo Estándar) explica
correctamente a tres fuerzas fundamentales de la naturaleza:
La fuerza electromagnética, que estudia todos los procesos que se
relacionan con la electricidad (circuitos eléctricos, motores, el
mismo cuerpo humano, etc.). También estudia a los imanes y
propiedades. Y más importante la unificación de lo anterior, los
campos electromagnéticos (ondas electromagnéticas).
La fuerza nuclear fuerte, que es la encargada de mantener en el
núcleo del átomo a los protones y neutrones. Obviamente los
protones al tener el mismo signo deberían separarse pero es no
ocurre gracias a la fuerza nuclear.
La fuerza nuclear débil, sus efectos más conocidos son el
decaimiento beta y la radioactividad. Ahora bien ¿Por qué débil? Si
la comparamos con la fuerza nuclear fuertes es 1013 menor.
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Pero hay un problema con el modelo estándar, no logra explicar la
gravedad:
La fuerza de gravedad, dice que dos cuerpos masivos se atraen
mutuamente. En otras palabras es aquella que nos mantiene “con los
pies sobre la tierra”. Gracias a esta fuerza existe el sistema
solar, las estrellas, las galaxias y universo en sí.
¿Cuál es el problema?
Cuando incluimos los efectos cuánticos a la interacción
gravitatoria en procesos de muy altas energías, del orden de la
escala de Planck (presentes en el inicio del Universo a los 10-44
segundos, o equivalentemente 1017 veces más altas que las energías
disponibles en aceleradores de partículas).
Ahora bien, la física teoría actual se enfrenta a este problema de
poder unificar las cuatro fuerzas fundamentales y poder explicar
fenómenos tales como los agujeros negros o el Big Bang donde las
teorías fundamentales deben ser usadas al mismo tiempo.
La Teoría de Cuerdas
La idea fundamental de la teoría es muy simple, las partículas
elementales (electrones, quark, etc.) en lugar de ser pensadas como
puntuales se les considera como cuerdas vibrantes de energía y a
cada partícula elemental se corresponde un modo de vibración. El
tamaño de una cuerda es muy pequeño, mucho menor a las escalas
medidas mediante por medio de algún experimento (10-17 m). Son
aproximadamente del orden de la longitud de Planck (10-35 m) como
es en los agujeros negros, o en el Origen del Universo.
A pesar de la simplicidad de este argumento, el problema viene a la
hora de expresarla matemáticamente. La matemática que se usa es muy
complicada y ha traído como resultado conclusiones tan fuera de lo
común, como que vivimos en 11 dimensiones y la posible existencia
de universos paralelos, obviamente estos conceptos no han sido
comprobados experimentalmente. Así como tampoco ha sido comprobada
la existencia de la cuerda en sí, debido a que se necesitaría más
energía de la generada experimentalmente en los aceleradores de
partículas actuales.
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1.3 Una breve historia de la teoría de cuerdas
En el año 1968, Gabriele Veneziano, un físico teórico tenía
enfocados sus esfuerzos en
entender las propiedades de la fuerza nuclear fuerte, que habían
sido observadas
experimentalmente. Mientras hacia sus investigaciones en el CERN,
se dio cuenta que
una formula inventada dos siglos antes por el gran matemático
Leonard Euler (la
función beta) parecía coincidir con las propiedades de las
partículas que interaccionan
por medio de la fuerza nuclear fuerte.
Esta idea le sirvió como una poderosa herramienta matemática para
poder explicar
muchas de las características de la fuerza nuclear fuerte y puso en
marcha una serie de
investigaciones que trataban de utilizar la función beta de Euler,
y sus respectivas
generalizaciones, para explicar la relación que tenían la inmensa
cantidad de datos que
se tomaban de los diferentes aceleradores de partículas.
Desafortunadamente para Veneziano esta teoría estaba incompleta. La
fórmula de
Euler funcionaba pero nadie sabía por qué. No fue hasta 1970 cuando
las
investigaciones de Yoichiro Nambu, HolgerNielsen, y Leonard
Susskind. Estos físicos
demostraron que, si se construía un modelo en donde las partículas
son pequeñas
cuerdas vibrantes unidimensionales, la interacción nuclear fuerte
se podía describir
con toda exactitud utilizando la función beta de Euler. Lo que se
pensó, es que si las
cuerdas eran suficientemente pequeñas podían ser considerados como
partículas
puntuales y, por lo tanto tenían relación con las observaciones
experimentales.
A pesar de que esta teoría era sencilla y satisfactoria, no se
tardó mucho tiempo en
llegar a la demostración de que la idea, que la fuerza nuclear
fuerte funcionaba
mediante cuerdas fallaba. A inicios de los 70, unos experimentos de
altas energías
demostraron que el modelo de cuerdas predecía ciertos fenómenos,
que contradecían
a los experimentos. Por otra parte, se estaba desarrollando la
teoría cuántica de
campos aplicada a la cromodinamica cuántica, y su tremendo éxito a
la hora de
demostrar la fuerza nuclear fuerte, hizo que se dejara de lado la
teoría de cuerdas.
Casi ningún físico serio continuo con las investigaciones en este
campo. Entre los
pocos científicos se encontraba Schwarz, que dijo, “la estructura
matemática de la
teoría de cuerdas era tan bella y tenía tantas propiedades
milagrosas que tenía que
apuntar hacia algo profundo.” El problema con esta teoría era que a
pesar de que las
cuerdas vibrantes tienen propiedades semejantes a la de los gluones
(por eso se utilizó
en fuerza nuclear fuerte), poseía ciertas partículas mensajeras que
no fueron
detectadas a la hora de comparar con los datos de la fuerza nuclear
fuerte. Fue en
1974, que Schwarz y JoëlScherk afirmaron luego de estudiar con
detalle a estas
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misteriosas partículas mensajeras que sus propiedades coincidían a
la perfección con
la tan esquiva partícula mensajera de la fuerza gravitatoria: el
graviton.
Estas partículas mensajeras de la fuerza de la gravedad, nunca han
sido observadas
pero los físicos teóricos han predicho las características básicas
que deben tener,
además Scherk y Schwarz descubrieron que estas propiedades encajan
con ciertos
modelos vibratorios. Con esto en mente, Scherk y Schwarz sugirieron
que la teoría de
cuerdas había fallado en su primer intento por que se la estaba
limitando mucho, ya
que no solamente incluía a la fuerza nuclear fuerte sino también a
la gravedad.
Lamentablemente la comunidad científica no recibió esta propuesta
con entusiasmo.
Ya que se habían hecho muchos intentos para unificar todas las
fuerzas y todos estos
intentos habían fallado. Además entre los años 70 y 80 se demostró,
que la teoría de
cuerdas y la mecánica cuántica tenían algunos pequeños
conflictos.
No fue esta 1984. En una publicación contundente, después de 12
años de críticas, los
físicos Green y Schwarz demostraron que los problemas de la teoría
de cuerdas con
respecto a la mecánica cuántica se podían resolver. Además que esta
teoría era capaz
de unificar las 4 fuerzas fundamentales de la naturaleza. Desde ese
momento muchos
físicos se embarcaron esta gran aventura conocida como Teoría de
Cuerdas.
Variantes de la teoría
Se hizo mucha investigación en este campo y se encontró 5 variantes
para esta teoría
que después fueron unificadas, con la genialidad Edward Witten en
una sola teoría
conocida como la Teoria M. Las versiones de la teoría actualmente
existentes:
La teoría tipo I, donde aparecen tanto "cuerdas" y D-branas
abiertas como
cerradas, que se mueven sobre un espacio-tiempo de 10 dimensiones.
Las D-
branas tienen 1, 5 y 9 dimensiones espaciales.
La teoría tipo IIA, es también una teoría de 10 dimensiones pero
que emplea sólo
cuerdas y D-branas cerradas. Incorpora dos gravitines (partículas
teóricas
asociadas al gravitón mediante relaciones de supersimetría). Usa
D-branas de
dimensión 0, 2, 4, 6, y 8.
La teoría tipo IIB.
La teoría heterótica-O, basada en el grupo de simetría O(32).
La teoría heterótica-E, basada en el grupo de Lie excepcional E8.
Fue propuesta en
1987 por Gross, Harvey, Martinec y Rohm.
En la teoría M intervienen como objetos animados físicos
fundamentales no sólo
cuerdas unidimensionales, sino toda una variedad de objetos no
perturbativos,
extendidos en varias dimensiones, que se llaman colectivamente
p-branas (este
nombre es un apócope de "membrana").
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2.1 Relatividad especial
Relatividad especial está basada en el hecho experimental que la
velocidad de la luz (c≈3x108
m/s) es la misma para todos los observadores inerciales. Este hecho
nos conduce a unas
sorprendentes conclusiones. La idea de Newton acerca de la
naturaleza absoluta del tiempo, el
concepto de simultaneidad, y otras ideas familiares deben ser
revisadas.
Comparando las coordenadas de los eventos, dos observadores
inerciales, de aquí en adelante
observadores Lorentz, encuentran que las trasformaciones de
coordenadas necesarias
mezclan el espacio y el tiempo.
En relatividad especial, eventos se representan por los valores de
cuatro coordenadas: una
coordenada del tiempo t, y tres coordenadas espaciales x, y, z. Es
conveniente agruparlos de
forma vectorial (ct, x, y, z), donde la coordenada del tiempo esta
multiplicado por la velocidad
de la luz de manera que todas las coordenadas tienen unidades de
longitud. Para hacer la
notación más uniforme, usamos índices para renombrar las
coordenadas del espacio y tiempo,
es decir como sigue:
= (,,,) = ( (,,, (2.1.1)
Donde el superíndice µ toma los valores 0, 1,2 y 3.
Consideremos un sistema de referencia de Lorentz S en el cual dos
eventos están
representados por coordenadas xµ y xµ +Δxµ, respectivamente.
Consideremos ahora otra
sistema de referencia de Lorentz S’, donde los mismos eventos están
descritos por
coordenadas x’µ y x’µ +Δx’µ, respectivamente. En general, no
solamente las coordenadas xµ y
x’µ son diferentes, sino también las coordenadas Δxµ y Δx’µ son
diferentes. Pero por otra parte
ambos observadores coinciden en el valor del intervalo invariante
Δs2. Este intervalo es
definido por:
− ≡ ()− + () + () + () (2.1.2)
Note el signo menos enfrente de () , contrario al signo mas que
aparece antes de
diferencias espaciales () (i=1,2,3). Esto refleja la diferencia
básica entre coordenadas de
espacio y tiempo. La concordancia en los valores de los intervalos
esta expresada por:
()− + () + () + () = ()− + () + () + ()
(2.1.3)
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Clasificación del intervalo
Dado que tenemos una diferencia de signo entre la parte temporal y
espacial en el intervalo está claro que el intervalo podrá ser
negativo, nulo o positivo. Le vamos a poner nombre a cada
caso:
>0 lo que implica () > () + () + .() A este tipo de intervalo
lo
llamaremos tipo tiempo o intervalo temporal. Dos sucesos unidos por
una línea de
mundo (trayectoria en el espacio tiempo) de una partícula
moviéndose a velocidades
menores que la de la luz tienen intervalos de tipo tiempo. Estas
líneas de universo
(trayectorias en 4 dimensiones) siempre están contenidas dentro del
cono de luz asociado
al observador.
= 0A esto lo llamamos intervalo tipo nulo o intervalo nulo. Este
tipo de intervalo
identifica a las partículas que se mueven a la velocidad de la luz
y que conforman el cono de
luz.
<0 este intervalo se llama de tipo espacial o intervalo
espacial. Si dos sucesos están separados por un intervalo espacial
significa que están causalmente desconectados, no hay forma de
enviar información entre ellos porque para eso la velocidad de las
partículas conectando estos sucesos deberían de superar la
velocidad de la luz. Aquí estamos considerando transmisión de
partículas con masa en reposo real positiva o nula.
Sólo para sucesos separados por un intervalo temporal se puede
escribir: = √
Muchas veces es muy útil considerar eventos que son infinitamente
cercanos. Tales pequeñas
diferencias en las coordenadas son necesarias para definir
velocidades, y son muy útiles en
relatividad general. Estas coordenadas diferenciales son escritas
como dxµ, y estas asociadas
con el intervalo invariante ds2. De la ecuación (2.1.2)
tenemos:
− ≡ ()− + () + () + () (2.1.5)
O de manera equivalente:
Índices arriba, índices abajo
Uno puede definir los 4-vectores con índices arriba (como hemos
hecho hasta ahora) o con los
índices abajo. No entraremos por ahora en las sutilidades de esto
que las hay y son muy
interesantes desde el punto de vista matemático. Por ahora nos
interesa mostrar que dado un
objeto con índices arriba se puede convertir en un objeto con
índices abajo y viceversa con la
participación de la métrica. Todo esto será claro en lo que
sigue.
Definamos el objeto = (,,,) donde tendremos la siguiente relación
con
las componentes del objeto con los índices arriba:
≡ ,− ≡ , ≡ , ≡ (2.1.7)
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− = ()− + () + () + () (2.1.9)
Antes hemos visto como expresar−:
− = ()− + () + () + () (2.1.10)
Esto se puede reescribir como:
− = +
+ +
− = ∑
− = (2.1.13)
En la última parte de las igualdades mostradas hemos empleado el
convenio de suma de Einstein. Este convenio nos dice que cuando
tenemos un objeto con dos índices iguales, uno arriba y otro abajo,
hemos de sumar cada producto de cada componente. A estos índices
repetidos arriba y abajo e iguales lo llamamos índices mudos y
siempre podemos renombrarlos:
=
La métrica de Minkowski
Hemos de reconocer inmediatamente que la expresión (con el convenio
de suma de
Einstein) da como resultado la suma de la multiplicación de cada
componente (en caso de ser el mismo 4-vector, la suma de los
cuadrados de cada componente). Esto es esencialmente un producto
escalar. Cuando es posible hacer esto tenemos entre manos un
espacio que dispone de una métrica.
El intervalo se puede expresar como:
− = (2.1.15)
dondees la conocida como métrica de Minkowski. (Aquí tenemos dos
índices iguales y
repetidos, así que hemos de emplear el convenio de Einstein).
Este objeto es el que nos permite medir distancias, ángulos, áreas,
etc, en el espacio-tiempo.
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Propiedades de la métrica:
1.- La propiedad fundamental de la métrica es que es un objeto
simétrico, es decir, si intercambiamos sus índices el objeto
permanece igual:
= (2.1.16)
− = +
+ +
+ + (2.1.17)
Eso quiere decir que los elementos diagonales (los dos índices
iguales) son: -1 para la componente (00), y 1 para las componentes
(11), (22), (33).
En forma matricial la métrica se puede expresar:
=
(2.1.18)
3.- La métrica es el objeto que nos ayuda a subir y bajar índices.
Es fácil ver que si multiplicamos matricialmente la métrica por un
vector (en forma de columna) el resultado es lo que hemos definido
como el “vector” con índice abajo. En general tendremos que:
= (2.1.19)
Y en nuestro caso = .
Así el producto escalar entre dos 4-vectores a.b se puede escribir
como:
.= = = − + + + (2.1.20)
4.- Por último la métrica es invertible (es fácil comprobar que su
determinante es distinto de cero. Así definiremos la métrica
inversa (con los índices arriba):
=
=
−1 0 0 1
0 0 0 0
0 0 0 0
1 0 0 1
= (2.1.22)
en este caso la delta es la delta de Kronecker que toma un valor
igual a 1 cuando ambos índices toman el mismo valor, y un valor
cero en caso contrario como es fácilmente deducible de la expresión
anterior.
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2.2 Transformaciones de Lorentz
Estas son las herramientas que nos permiten comparar las medidas y
coordenadas efectuadas entre distintos sistemas de referencia
inerciales. En esta parte nos vamos a restringir al caso más simple
aunque no supone ninguna pérdida de generalidad.
1.- Tenemos un sistema de referencia S en el que estamos nosotros,
por lo tanto está en reposo relativo respecto a nosotros mismos.
(Figura 2.1)
2.- Ahora vemos otro sistema de referencia S’ que se mueve a lo
largo del semieje positivo en la dirección x del sistema S (el
nuestro) con velocidad constante .(figura 2.1)
Figura 2.1: Izquierda: un sistema de referencia en el que estamos
nosotros (S). Derecha: un sistema de referencia S’ con una
velocidad constante v y nuestro sistema de referencia.
3.- Todos los ejes de coordenadas son paralelos entre ambos
sistemas y cuando los orígenes coincidieron se sincronizaron los
relojes = 0.
Se dice entonces que al sistema S’ se le asigna un parámetro de
velocidad (desde el sistema S, notemos que si le preguntamos a S’
lo vería todo igual pero con nuestra velocidad en sentido
contrario).
La transformación de Lorentz que conecta a estos dos sistemas
es:
(2.2.1)
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AS
13
Si empleamos la notación con índices ) (
(
( (2.2.3)
Por lo que hemos visto, el intervalo ha de ser invariante
relativista:
() − () − () − () = () − () − () − () (2.2.4)
Invariancia Lorentz del intervalo relativista
Siendo un poco más formales podemos decir:
Las transformaciones de Lorentz son las transformaciones lineales
entre las coordenadas que mantienen el intervalo relativista
invariante.
Introduzcamos un poco de notación:
Las transformaciones entre coordenadas entre los sistemas S y S’ se
pueden escribir de este modo:
= L (2.2.5)
= h = h(L
L (2.2.8)
S por su parte calcularía el intervalo entre dos sucesos
como:
= h (2.2.9)
Comparando ambas expresiones, y dado que el intervalo es
invariante:
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= h (2.2.10)
Lo que nos indica es que la métrica es un elemento invariante, todo
observador inercial ve la misma métrica en el espaciotiempo. Además
vemos otra característica aquí, uno ha de introducir una
transformación de Lorentz por cada índice que tenga un objeto.
Pondremos un factorL para un vector y para la métrica hnecesitamos
dos factores .
Esta expresión se puede escribir como:
L hL
DondeLindica que hemos usado la matriz traspuesta de la
transformación. Recordemos que la traspuesta de una matriz es
cambiar filas por columnas.
Y por último calculemos el determinante de una matriz de
transformación Lorentz usando la expresión anterior.
det( LhL ) = det( h ) (2.2.13)
El determinante de un producto de matrices es el producto de
determinantes:
det( L) det( h ) det( L ) = det( h ) (2.2.14)
Simplificando el determinante de la métrica (que sabemos que da
-1):
det( L) det( L ) = 1 (2.2.15)
Dado que el determinante de una matriz y de su transpuesta es el
mismo:
det( L ) = 1 (2.2.16)
Por lo tanto: L = ±1
Dado que el determinante de una matriz de transformación Lorentz
nunca es nulo, las matrices son invertibles (como tiene que ser
porque eso significa que S tiene que ver a S’ y poder calcular sus
medidas y viceversa, S’ puede convertir las medidas y/o coordenadas
de S en las suyas propias, implicando eso transformaciones de
Lorentz inversas).
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2.3 Coordenadas Cono de Luz
Ahora discutiremos un sistema de coordenadas que será muy útil en
nuestro estudio de la
Teoría de Cuerdas. Este es el sistema de coordenadas cono de luz.
La cuantización de la cuerda
relativista puede ser trabajada más directamente usando coordenadas
cono de luz. Esta es la
forma en que nosotros cuantizaremos en este trabajo, así que ahora
es un buen momento
para introducir algunas de las características de las coordenadas
cono de luz. Hay otra forma
de cuantizar la cuerda relativista donde ninguna coordenada
especial es usada. Este método,
llamado Cuantizacioncovariante de Lorentz, es muy elegante, pero
una discusión correcta
requeriría desarrollar una base muy amplia.
Definiremos dos coordenadas cono de luz x+ y x- como combinaciones
linealmente
independientes de la coordenada temporal y una coordenada espacial,
generalmente
tomamos x1. Es decir:
(2.3.1)
Las coordenadas x2 y x3 no toman parte en esta definición. En el
sistema de coordenadas cono
de luz, () son cambiadas por ,() pero mantenemos las otras dos
coordenadas
.() Por lo tanto, las coordenadas cono de luz completas son
.()
Las nuevas coordenadas x+ y x- son llamadas coordenadas cono de luz
por que los ejes de
coordenada asociados son las líneas de universo (trayectoria en
cuatro dimensiones) para
rayos de luz emitidos desde el origen a lo largo del eje x1. Para
un rayo de luz recorriendo x1 en
la dirección positiva, tenemos x1=ct= x0, y por lo tanto x-=0. La
línea x-=0 es, por definición, el
eje x+ (Figura 2.2). Para un rayo de luz recorriendo x1 en la
dirección negativa, tenemos x1=-ct=-
x0, por lo tanto x+=0. Esto corresponde al eje x-. Los ejes ± con
líneas con 45º con respecto a
los ejes .
¿Podemos pensar que x+, o quizás x-, es la nueva coordenada
temporal? Si. De hecho, ambas
tienen igual derecho a ser llamadas coordenada temporal, aunque ni
una ni otra es una
coordenada temporal en el sentido estándar de la palabra.
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y x 0
representados como ejes ortogonales. También
se muestran las coordenadas cono de luz ± = 0. Las curvas con
flechas son las posibles líneas de
universo de las partículas.
El tiempo en las coordenadas cono de luz es diferente al tiempo
ordinario. Quizás la propiedad
más familiar del tiempo es que avanza cuando hay un movimiento
físico de una partícula. El
movimiento físico que comienza en el origen es representado en la
Figura 2.2 como curvas que
se mantienen en el cono de luz y cuyas pendientes jamás bajan de
45º. Para todas estas
curvas, cuando seguimos las flechas, x+ y x- aumentan. ¡La única
dificultad es que para rayos de
luz especiales el tiempo en las coordenadas cono de luz se
detendrá! Como vimos antes, para
rayos de luz en la dirección negativa de x1, x+ permanece
constante, mientras que para un rayo
de luz en la dirección positiva de x1, x- permanece
constante.
Por definición, tomaremos x+ como el tiempo en las coordenadas cono
de luz. De acuerdo con
esto, x- será una coordenada espacial. Por supuesto, este tiempo -
cono de luz y coordenadas
espaciales serán un poco extrañas.
Tomando los diferenciales de (2.3.1) encontramos que:
= ) )( ( ) ) (2.3.2)
Del intervalo invariante (2.1.5), expresado en términos de las
coordenadas cono de luz (2.3.1),
toma la forma:
) ) (2.3.3)
La simetría en las definiciones de x+ y x- es evidente aquí. Nótese
que dado ds2, resolviendo
para dx+ o para dx- no necesitamos tomar la raíz cuadrada.
¿Cómo representamos (2.3.3) con notación índice? Aun necesitamos
correr los índices sobre 4
valores, pero esta vez los valores se llamaran:
{+, −, 2 , 3} (2.3.4)
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(2.3.5)
Donde hemos introducido la métrica del cono de luz , también
definida para ser simétrica
bajo el intercambio de índices. Expandiendo esta ecuación y
comparando con (2.3.3),
encontramos:
= 0 (2.3.6)
En el (+,-) subespacio, la diagonal de los elementos de la métrica
del cono de luz desaparecen.
También encontramos que no acopla el subespacio (+,-) al subespacio
(2,3)
(2.3.7)
La matriz de representación de la métrica – cono luz es
(2.3.8)
Para cualquier vector aµ, sus componentes de cono de luz están
definidos en analogía con
(2.3.1). Tenemos:
(2.3.9)
El producto escalar entre vectores mostrado en (2.1.20) puede ser
escrito usando coordenadas
de cono de luz. Esta vez tenemos:
(2.3.10)
La ultima igualdad viene de sumar sobre los índices repetidos y
usando (2.3.8). La primera
igualdad necesita un pequeño cálculo. De hecho es suficiente
comprobar que:
(2.3.11)
Esto se hace rápidamente usando (2.3.9) y de manera análoga para ±.
También introducimos
índices abajo (de cono de luz). Consideremos , y expandimos la suma
sobre el
índice µ usando las coordenadas de cono de luz:
, (2.3.13)
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En cualquier marco de referencia de Lorentz cuando bajamos o
subimos el índice 0 obtenemos
un signo extra. En coordenadas cono de luz los índices cambian, y
obtenemos un signo extra.
Desde que la física descrita usando coordenadas cono de luz parece
inusual, debemos
desarrollarla de forma intuitiva. Para hacer esto consideraremos un
ejemplo donde los cálculos
son simple pero los resultados sorprendentes.
Consideremos una partícula moviéndose en el eje x1 con parámetro de
velocidad β=v/c.
Cuando t=0, las posiciones de x1,x2 y x3 son cero. Luego tenemos el
movimiento representado
cuando las posiciones están expresadas en función de tiempo:
() () () = 0 (2.3.14)
¿Qué pasa en coordenadas cono de luz? Desde que x+ es tiempo y
x2=x3=0, debemos expresar
simplemente x- en términos de x+. Usando (2.3.14), tenemos
(2.3.15)
(2.3.16)
Desde que esto relaciona posición – cono de luz y tiempo –cono de
luz, tenemos la razón entre
(2.3.17)
como velocidad – cono de luz. ¿Cuán extraña es esta velocidad –
cono de luz? Para luz
moviéndose hacia la derecha, β=1, esta velocidad es igual a cero.
En realidad, luz moviéndose
hacia la derecha tiene velocidad – cono de luz igual a 0 por que x-
no cambia. Esto se muestra
cono línea 1 en Figura 2.3. Supongamos que tenemos una partícula
moviéndose hacia la
derecha con una velocidad convencional muy alta, es decir β es
cercano a uno (línea 2 en la
figura). Su velocidad - cono de luz es entonces muy pequeña. Un
tiempo – cono de luz muy
largo debe pasar para que esta partícula se mueva un poco en la
dirección x-. Quizás más
interesante, una partícula estática en coordenadas estándar (línea
3) se está moviendo rápido
en coordenadas de cono de luz. Si β=0, tenemos una unidad de
velocidad cono de luz. Esta
velocidad cono de luz incrementa cuando β aumenta negativamente: el
numerador en (2.3.17)
es más grande que uno y se incrementa, mientras el denominador es
más pequeño que uno y
disminuye. Cuando β -1 (línea 5), la velocidad cono de luz se
vuelve infinita. Mientras esto
parece extraño, porque no hay nada parecido en relatividad
estándar. Simplemente las
velocidades cono de luz son inusuales. El cono de luz es un sistema
de referencia donde la
cinemática solo tiene parte relativista y las velocidades infinitas
son posibles.
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Figura 3: Líneas universo de partículas con varias velocidades cono
de luz. La partícula 1 tiene velocidad
cono de luz igual a 0. Las velocidades incrementan hasta la
velocidad de la partícula 5, que es infinita.
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2.4 Energía y momento cono de luz
Los componentes cono de luz p+ y p- del cuadrivector momento son
obtenidos usando la regla
(2.3.9):
(2.4.1)
¿Qué componente debe ser relacionado con la energía cono de luz?
Una respuesta podría ser
p+. Exactamente como el tiempo, en cualquier sistema de referencia
de Lorentz, energía es la
primera componente del cuadrivector momento. Por lo tanto como el
tiempo - cono de luz es
x+, podemos concluir que la energía cono de luz deber ser tomada
como p+. Sin embargo esto
es incorrecto. Como el sistema de referencia cono de luz no es
Lorentz, debemos ser cuidados
y examinar esta pregunta en detalle. Ambos ± podrían ser la energía
desde que ambos son
positivos para partículas físicas. En realidad, de (2.4.1), y con
m≠0, tenemos
(2.4.2)
Como resultado , y por lo tanto ± > 0. Mientras que ambos son
posibles
candidatos para la energía, la elección seria por un motivo
físico.
Para entender esto primero evaluemos , un valor que entrara en
nuestro argumento
físico. En coordenadas estándar,
(2.4.4)
Y en coordenadas estándar aparece junto con el tiempo x0. En
coordenadas
cono de luz p+ aparece junto con el tiempo – cono de luz x+. Por lo
tanto esperaríamos p+ ser la
energía – cono de luz con signo negativo.
¿Por qué estos dos números son significantes? Energía y tiempo son
variables conjugadas.
Como aprendimos en mecánica cuántica, el operador Hamiltoniano mide
energía, y genera
evolución en el tiempo. La función de onda de una partícula puntual
con energía E y momento
esta dado por,
(2.4.5)
En verdad, el valor propio del hamiltoniano coincide con E
(2.4.6)
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Para el Hamiltoniano y la energía – cono de luz , la ecuación
análoga seria:
(2.4.7)
El factor extra c en el lado derecho ha sido agregado porque x+,
contrario a t, tiene unidades de
longitud. Con el factor incluido, tiene unidades de energía. Para
encontrar la dependencia
de x+ con la función de onda recordemos que,
(2.4.8)
(2.4.10)
Esto confirma nuestra identificación de (-p+) con la energía – cono
de luz. Desde que
, es conveniente usar p- como la energía – cono de luz para
eliminar el signo de la
ecuación anterior:
(2.4.11)
Podemos chequear la relación de p- con la energía encaja con la
intuición que hemos
desarrollado para la velocidad cono de luz. Para esto, confirmamos
que una partícula con
velocidad - cono de luz pequeña tiene energía – cono de luz
pequeña. Supongamos que una
particula se mueve muy rápido en la dirección +x+. Como discutimos
antes (2.3.17), su
velocidad cono de luz muy pequeña. Como p1 es muy larga, la
ecuación (2.4.2) da:
(2.4.12)
La energía cono de luz de una partícula es por lo tanto:
(2.4.13)
Como anticipamos, p1 incrementa, y la velocidad cono de luz y
energía cono de luz decrecen.
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3.1 Funcional de área para superficies espaciales
La acción para una cuerda relativista debe ser un funcional de la
trayectoria de la cuerda. Así
como una partícula traza una línea en el espacio tiempo, una cuerda
traza una superficie. La
línea trazada por el espacio-tiempo es llamada la línea universo.
La superficie trazada por una
cuerda en el espacio-tiempo se le llamara lamina – universo (world
– sheet). Una cuerda
cerrada, por ejemplo, trazara un tubo, mientras que una cuerda
abierta trazara una superficie.
Estas laminas – universo de dos dimensiones se muestran en el
diagrama espacio tiempo de la
figura 3.1. Las líneas de constante x0 en estas superficies son las
cuerdas. Estos son los objetos
que un observador ve en un tiempo fijo x0. Son curvas abiertas por
la superficie que describe la
evolución de la cuerda abierta (izquierda), y son curvas cerradas
por la superficie que describe
la evolución de la cuerda cerrada (derecha).
Sabemos que la acción para una partícula está dada por el tiempo
propio asociado a su línea –
universo. El tiempo propio, multiplicado por c, es una “longitud”
invariante asociada a la línea
universo. Para cuerdas definiremos el invariante de Lorentz “área
propia” de una lamina –
universo.
La acción de la cuerda relativista será proporcional a su área
propia, y es llamada la acción de
Nambu-Goto.
x0
x1
Figura 3.1: Las laminas – universo trazadas por una cuerda abierta
y por una cuerda cerrada.
Los funcionales de área son muy útiles en otras aplicaciones: una
membrana de jabón entre
dos anillos, por ejemplo, automáticamente construye una superficie
de área mínima la cual
une un anillo con el otro, como en la figura 3.2. La
lamina-universo de una cuerda y una
burbuja de jabón entre dos anillos son dos tipos de superficies muy
diferentes. A cualquier
instante de tiempo un observador de Lorentz vera toda la superficie
de dos dimensiones de la
membrana de jabón, pero el observador puede ver solamente una
cuerda de la lamina-
universo de dos dimensiones. Imagina que la membrana de jabón es
estática en algún sistema
de referencia de Lorentz. En este caso, el tiempo no es relevante
para la descripción de la
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membrana, y imaginamos a la membrana como una superficie espacial,
es decir, una superficie
que se extiende a lo largo de dos dimensiones espaciales. La
superficie existe completamente a
cualquier instante de tiempo. Estudiaremos primero estas
superficies familiares, y entonces
aplicaremos nuestra experiencia para el caso de superficies en el
espacio-tiempo.
Una línea en el espacio puede ser parametrizada usando un solo
parámetro. Una superficie en
el espacio es de dos dimensiones, así que requiere dos parámetros
ξ1 y ξ2. Dada una superficie
parametrizada, podemos dibujar en la superficie las líneas de
constante ξ1 y las líneas de
constante ξ2. Estas líneas cubren la superficie con una
cuadricula.
Llamaremos el espacio objetivo al mundo donde las superficies
bidimensionales viven. En el
caso de una burbuja de jabón en tres dimensiones, el espacio
objetivo es el espacio
tridimensional x1, x2 y x3. La superficie parametrizada es descrita
por la colección de funciones.
(3.1.1)
El espacio del parámetro es definido por los rangos de los
parámetros ξ1 y ξ2. Este puede ser
una cuadrado, por ejemplo, si usamos los parámetros ξ1 , ξ2 [0,π].
La superficie real es la
imagen del espacio del parámetro bajo la función . La superficie
física es a superficie
en el espacio objetivo. Alternativamente, podemos ver los
parámetros ξ1 y ξ2 como
coordenadas en la superficie física, al menos localmente. La
función inversa de nos lleva de la
superficie al espacio del parámetro. Localmente esta función es uno
a uno y asigna a cada
punto en la superficie dos coordenadas: los valores del los
parámetros ξ1 y ξ2.
x1
x2
x3
Figura 3.2: Una superficie espacial que se entre dos anillos. Si la
superficie es una membrana de jabón,
sería un área de superficie mínima.
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Queremos calcular el área de un pequeño elemento del espacio
objetivo. Comencemos por
tomar un rectángulo infinitesimal en espacio del parámetro.
Denotamos los lados del cuadrado
por dξ1 y dξ2. Queremos encontrar dA, el área de la imagen de este
pequeño rectángulo en el
espacio objetivo. Como mostrado en la figura 3.3, esta es la área
de la verdadera parte de la
superficie que corresponde a un cuadrado infinitesimal en el
espacio del parámetro.
Por supuesto, no hay razón porque el elemento de área infinitesimal
deba ser ser un
rectángulo. En general, es un paralelogramo. Llamemos los
ξ2 x3
Figura 3.3: Lado izquierdo: el espacio del parámetro, con un
pequeño cuadrado. Una superficie en el
espacio objetivo con la imagen de un pequeño cuadrado: un
paralelogramo cuyos lados son los vectores
y (se muestra más grande al final de la flecha en zigzag).
Lados de este paralelogramo y . Que son las imágenes bajo la
función de los vectores
, 0) y ,( respectivamente. Podemos escribirlas como
(3.1.2)
Esto tiene sentido: , por ejemplo, representa la razón de variación
de coordenadas
espaciales con respecto a ξ1. Multiplicando esta razón por la
longitud dξ1 del lado horizontal del
pequeño parámetro espacial rectangular, esto nos da el vector
representando este lado
en el espacio objetivo. Ahora calculemos dA. Usando la fórmula para
el área de un
paralelogramo,
(3.1.3)
Donde θ es el ángulo entre los vectores y . En términos de el
producto escalar,
tenemos
(3.1.4)
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(3.1.5)
Esta es la expresión general para el elemento de área de una
superficie espacial
parametrizada. El funcional de área A es dado por
(3.1.6)
La integral se extiende sobre el rango de los parámetros dξ1 y dξ2.
La solución del problema de
la mínima área para una superficie espacial es la función ) que
minimiza el
funcional A.
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3.2 Invariancia de la reparametrización del área
Como hemos visto, la parametrización de una superficie nos permite
escribir el elemento de
área de una forma explícita. El área de la superficie, o aun más,
el área de una parte de la
superficie, debe ser independiente de la parametrización escogida
para calcularla. Esto es lo
que queremos decir cuando decimos que el área debe ser invariante a
la parametrización.
Porque pronto igualaremos la acción de una cuerda relativista a
alguna noción de área propia,
esta también, debe ser invariante a la parametrización. Esto
significa que seremos libres de
escoger la parametrización más útil sin cambiar la física
subyacente. Una buena elección de
parametrización nos permitirá resolver ecuaciones de movimiento de
una cuerda relativista
de una forma elegante.
La invariancia a la parametrización es por lo tanto un importante
concepto así que debe ser
entendido correctamente. Para este fin trataremos de mostrarlo en
nuestra formulación. El
objetivo del siguiente análisis es mostrar como esto puede ser
hecho.
Comencemos preguntando: ¿es el funcional de área A en (3.1.6) un
invariante a la
parametrización? De hecho, a primera vista parece ser invariante a
la parametrización.
Después de todo, si un valor reparametriza la superficie con ( y (
, entonces todas
las derivadas introducidas por la regla de de la cadena se cancelan
apropiadamente. Esta
reparametrización, sin embargo, es no completamente general por que
falla al mezclar las
coordenadas ξ1 y ξ2. Supongamos, en lugar, que hacemos una
reparametrización) y
( . Esta vez la podemos verificar, usando operaciones más
complicadas, que (3.1.6)
es invariante bajo tal reparametrización. Pero la invariancia ya no
es clara. Para hacer la
reparametrización invariante (3.1.6) entendible tenemos que
reescribir el funcional de área de
una manera diferente.
(3.2.1)
(3.2.2)
Donde ] es la matriz definida por . Combinando las ecuaciones
(3.2.1) y (3.2.2), vemos que
(3.2.3)
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Ahora consideremos como espacio objetivo a una superficie S,
descrita por la función
.( Dado un vector tangente a la superficie, y ds denota su
longitud. Entonces
podemos escribir:
(3.2.4)
Para superficies en el espacio, como estamos considerando, no es
costumbre agregar un signo
menos a la expresión ds2. El vector puede ser expresado en términos
de las derivadas
parciales de los diferenciales dξ1 y dξ2:
(3.2.5)
El índice repetido i toma los valores 1 y 2. De vuelta a
(3.2.4)
(3.2.6)
(3.2.7)
(3.2.8)
Donde es conocido como la métrica inducida en S. Es una métrica en
S por que, con ξi
haciendo el rol de coordenadas en S, la ecuación (3.2.7) determina
distancia en S. E inducida
porque usa la métrica en el espacio en la cual S “vive” para
determinar distancia en S. En
realidad, el producto escalar el cual aparece en la definición
(3.2.8) es usado en el espacio
donde S vive y por lo tanto presupone que una métrica existe en ese
espacio. Tenemos
solamente dos parámetros ξ1 y ξ2, así que su forma matricial toma
la forma:
(3.2.9)
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Ahora vemos algo verdaderamente sorprendente. El determinante de es
precisamente la
cantidad que aparece bajo la raíz cuadrada de (3.1.6).
Entonces
(3.2.10)
(3.2.11)
Esta es una formula elegante para el área en términos del
determinante de la métrica
inducida. En lugar de tratar de entender la invariancia a la
reparametrización de (3.1.6), ahora
nos concentramos en la equivalente pero mas simple (3.2.11)
Ahora estamos en posición de entender la invariancia del área en
términos de las propiedades
de transformación de la métrica . La clave para esto está en la
ecuación (3.2.7). La longitud
al cuadrado ds2 es una propiedad geométrica del vector que no debe
depender de una
parametrizacion particular usada para calcularla. Para otro
conjunto de parámetros y la
métrica ), la siguiente igualdad por lo tanto se mantiene:
(3.2.12)
Haciendo uso de la regla de la cadena para expresar los
diferenciales en términos de los
diferenciales ,
(3.2.13)
Desde que este resultado se mantiene para cualquier elección de
diferenciales ,
encontramos una relación entre la métrica en las coordenadas y
:
(3.2.14)
Haciendo uso de la definición de (3.2.2), escribimos la ecuación
anterior como:
(3.2.15)
En notación de matriz, el lado derecho es el producto de 3
matrices. Tomando el determinante
de usando la notación de (3.2.10) da:
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(3.2.17)
Obtenemos la propiedad de para la raíz cuadrada de el determinante
de la métrica.
Finalmente estamos listos para apreciar la invariancia en la
reparametrización de (3.2.11).
Haciendo uso de (3.2.1), (3.2.17) y (3.2.3) tenemos:
(3.2.18)
La cual prueba la invariancia en la parametrización para el
funcional de área. Para un ojo
entrenado la fórmula del área en (3.2.11) es claramente invariante
a la reparametrización. Es
decir, una vez que sabemos como la métrica se transforma, la
invariancia es razonablemente
simple de establecer. Ningún otro cálculo complicado es
necesario.
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3.3 Funcional de área para superficies en el espacio-tiempo
Ahora sigamos con el caso que nos interesa, el caso de las
superficies en el espacio-tiempo.
Estas superficies se obtienen representando en el espacio-tiempo la
historia de las cuerdas, de
la misma forma como en el espacio-tiempo una línea - universo se
obtiene por representar la
historia de una partícula. Para el caso de cuerdas, obtenemos una
superficie bidimensional
llamada lámina – universo de la cuerda. Superficies espacio-tiempo,
tales como una lamina-
universo, no son del todo diferentes de las superficies espaciales
que consideramos en la
sección previa. Estas son bidimensionales, y requieren dos
parámetros. En lugar de llamarlos
parámetros ξ1 y ξ2, y le damos los nombres especiales: τ y σ.
Dadas nuestras coordenadas espacio-tiempo usuales , la
superficie es descrita por las funciones:
(3.3.1)
Tomando una región del espacio de parámetros (τ, σ). Y siguiendo
una convención estándar en
teoría de cuerdas, cambiamos la notación ligeramente. Denotaremos
las funciones anteriores
con mayúsculas:
(3.3.2)
No estamos cambiando el significado de las funciones. Dado un punto
fijo (τ, σ) en el espacio
de los parámetros, a este punto le corresponde un punto con
coordenadas espacio-tiempo
(3.3.3)
¿Por qué usamos las letras mayúsculas X? Supongamos que usamos los
mismos símbolos para
denotar las coordenadas espacio-tiempo y funciones. Entonces aun
podríamos distinguir entre
estas escribiendo xµ o xµ(τ, σ), pero no podríamos obviar los (τ,
σ) argumentos. Por otra parte,
con Xµ podemos obviar los argumentos (τ, σ) y aun sabríamos que
estamos hablando de
funciones de la cuerda. Las llamaremos Xµ las coordenadas de la
cuerda.
Como antes, los parámetros τ y σ pueden ser vistos como coordenadas
en una lamina-
universo, al menos localmente. La función inversa de Xµ toma la
lamina-universo al espacio de
parámetros, y localmente asigna a cada punto en la superficie dos
coordenadas: los valores de
los parámetros τ y σ. Podría traer algo de confusión que lo físicos
también usen el termino
lamina-universo para denotar el espacio bidimensional de parámetros
cuya imagen bajo Xµ nos
da …. ¡Una lamina – universo! A menos que sea explícitamente dicho,
reservaremos el uso del
término lamina-universo para la superficie en el espacio-tiempo. En
la figura 3.4
consideraremos una cuerda abierta: en el lado izquierdo veremos un
espacio del parámetro de
superficie, y a la derecha, una superficie en el espacio
tiempo.
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AS
32
Figura 3.4: Izquierda: el espacio de parámetros (τ, σ), con un
pequeño cuadrado seleccionado. Derecha:
La superficie en el espacio-tiempo objetivo con la imagen de una
pequeño cuadrado: un paralelogramo
cuyos lados son los vectores
y
.
Para encontrar un elemento de área, procedemos como en el caso de
una superficie espacial,
esta vez usando notación relativista. Esta situación es ilustrada
en la Figura 3.4.
Un pequeño triangulo de lados dτ y dσ en el espacio de parámetros,
se vuelve un elemento de
área cuadrilátero. Este cuadrilátero esta abarcado por los
vectores
y
, Por otra parte,
(3.3.4)
El cual es análogo a su formula espacial (3.1.2). Ahora podemos
usar el análogo de (3.1.4)
como un candidato para el elemento de área dA:
(3.3.5)
Donde el punto es producto escalar relativista. Usando este
producto escalar nos aseguramos
que el elemento de área sea un invariante de Lorentz: Este es un
elemento propio de área.
Escribimos un símbolo de interrogación sobre el símbolo de igualdad
porque hay un problema.
Aunque esto no es obvio para nosotros aun, el signo de lo está
dentro de la raíz cuadrada es
negativo. Para poder hallar la raíz cuadrada debemos intercambiar
los dos términos bajo la
raíz. Este cambio de signo no tiene efecto en la invariancia de
Lorentz. Haciendo esto y usando
(3.3.4), encontramos que el área propia esta dado por:
(3.3.6)
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(3.3.7)
Para entender por qué el signo de la expresión anterior es correcto
debemos convencernos
que la expresión bajo la raíz cuadrada es positiva en cualquier
punto de la lamina-universo de
una cuerda.
¿Qué caracteriza localmente a la superficie en el espacio-tiempo
trazada por una cuerda? La
respuesta es muy interesante. Consideremos un punto en la
lamina-universo y el conjunto de
todos los vectores tangentes a la superficie en ese punto. Esos
vectores forman un espacio
vectorial bidimensional. Diremos que en este espacio vectorial esta
hecho de dos vectores, de
los cuales es espacial, y la otra temporal. Esto implica que a cada
punto sobre la lamina-
universo hay vectores dirección tangentes, temporales y
espaciales.
La existencia de una dirección espacial es fácil de visualizar: si
tomamos una fotografía en
cierto momento, todos los vectores tangentes a lo largo de la
cuerda apuntaran a una
dirección espacial. En verdad, en nuestro sistema de referencia,
los eventos que definen la
cuerda son simultáneos pero espacialmente separados.
Para apreciar la necesidad de un vector temporal en cualquier punto
sobre la lamina-universo,
consideremos primero la línea-universo de una partícula puntual. El
vector tangente a la línea
–universo es temporal. En cada punto sobre la línea-universo este
vector tangente puede ser
usado para producir que un observador de Lorentz por un instante
vea la partícula en reposo.
Supongamos que el vector tangente a la línea universo se vuelva
espacial en algún punto P.
Podemos imaginar que en P una infinita colección de observadores de
Lorentz con sus
orígenes (espaciales) en P, uno de cada posible velocidad. Ninguno
de ellos puede ver la
partícula en reposo en el origen, porque la línea universo es
temporal para todos los
observadores. Este es una situación sin significado físico.
El trabajo con cuerdas es un poco más complicado desde que no hay
manera de decir como las
partículas individuales sobre las cuerdas se están moviendo. La
cuerda no está hecha de
constituyentes cuya posición pueda seguirse (Con una excepción: uno
puede seguir la posición
los extremos de una cuerda abierta). Para la lamina-universo de una
cuerda cerrada, por
ejemplo, consideremos primero la posibilidad que por toda la cuerda
cerrada no hay vectores
tangentes temporales sobre la lamina-universo. Esto significa que
podemos poner todos los
posibles observadores de Lorentz en todos los puntos sobre la
cuerda, y ningún observador
puede hacer que algún punto sobre la cuerda parezca estar en
reposo. Un resulto sin sentido
físico similar ocurrirá si alguna parte de la cuerda falla en tener
vectores tangentes temporales
sobre la lamina-universo. Desde que los extremos en el resto de la
cuerda no pueden cerrarse
instantáneamente, una parte de la cuerda habría fallado en moverse
físicamente. Debemos
tener un vector tangente temporal a la lamina-universo en todos los
puntos sobre la cuerda.
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La existencia de vectores dirección temporales y espaciales en
cualquier punto sobre la lamina-
universo es nuestro criterio para un sentido físico. Esto garantiza
que la ecuación (3.3.6) tenga
sentido:
Afirmación: Para una superficie donde hay para cada punto P vector
dirección temporal y
vector dirección espacial, cantidad bajo la raíz cuadrada en
(3.3.6) es siempre positiva, es decir,
(3.3.8)
Prueba: Consideremos todos los vectores tangentes a la superficie
en algún punto P, y
mostremos que en este conjunto hay vectores temporales y vectores
temporales.
Primero parametrizemos todos los posibles vectores y entonces
busquemos el parámetro
espacial. La situación está ilustrada en la Figura 3.5.
Consideremos el conjunto de los vectores tangentes al punto
P:
(3.3.9)
Donde λ es un parámetro que va desde el infinito negativo al
infinito positivo. Desde que
y son vectores tangentes linealmente independientes, cuando
variamos λ
obtenemos, variando constantemente, todos los vectores tangentes a
P (ver Figura 3.5),
Figura 3.5: Izquierda: un conjunto de vectores tangentes v(λ) a un
punto P en la lamina-universo.
Derecha: el grafico de v 2 (λ) como una función de λ. El vector
v(λ) puede de tipo espacial o temporal
dependiendo del valor de λ.
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Con la excepción de la cual se obtiene en el limite λ ∞.Variaciones
, constantes no
interesan en la determinación de si un vector es temporal o
espacial. Para determinar si vµ(λ)
es temporal o espacial, consideramos su cuadrado:
(3.3.10)
Las derivadas de X que aparecen aquí son solamente números, asi que
tenemos un polinomio
cuadrático en λ. Para tener vectores tangentes temporales y
espaciales en P, v2(λ) debe tomar
valores positivos y negativos cuando variamos λ. En otras palabras,
la ecuación v2(λ)=0 debe
tomar dos raíces reales. Para que esto pase, el discriminante de la
ecuación cuadrática debe
ser positivo. De (3.3.10) vemos que este requiere que:
(3.3.11)
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3.4 La acción de Nambu-Goto
Ahora que estamos seguros que el funcional de área propia en
(3.3.7) está correctamente
definido, podemos introducir la acción de la cuerda relativista.
Esta acción es proporcional a al
área propia de una lamina-universo. Para tener las unidades de
acción debemos multiplicar el
funcional de área por algunas constantes apropiadas.
El funcional de área en (3.3.7) tiene unidades de longitud al
cuadrado, como debe ser. Esto es
porque Xµ tiene unidades de longitud, y cada término bajo la raíz
cuadrada tiene 4 “X”. Las
unidades de τ y σ se cancelan. Cada término en la raíz cuadrada
tiene dos derivadas de σ y dos
derivadas de τ. Sus unidades se cancelan con las unidades de los
diferenciales. Sin embargo,
tomaremos σ con unidades longitud y τ con unidades de tiempo. Para
resumir:
(3.4.1)
Debido a que S debe tener unidades de ML2/T y A tiene unidades de
L2, debemos multiplicar el
área propia por una cantidad con unidades de M/T. La tensión de la
cuerda T0 tiene unidades
de fuerza, y la fuerza dividida por la velocidad tiene unidades
deseadas de M/T.
Podemos por lo tanto multiplicar el área propia por T0/c para
obtener una cantidad con las
unidades de acción. Haciendo uso de (3.3.7) obtenemos la acción de
la cuerda igual a
(3.4.2)
Para escribir esta acción hemos introducido unas notaciones para
las derivadas:
(3.4.3)
Por supuesto, aun no hemos confirmado que el símbolo T0 en la
acción de la cuerda tiene la
precisa interpretación de la tensión, pero lo haremos más adelante.
También confirmaremos
que el signo negativo multiplicando la acción es correcto.
La acción S es la acción de Nambu-Goto para la cuerda
relativista.
Es crucial que la acción sea un invariante a la reparametrización.
Podemos proceder justo
como hicimos con las superficies espaciales para poder escribir la
acción de Nambu-Goto de
una forma claramente invariante a la reparametrización. En este
caso tenemos:
(3.4.4)
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Aquí ηµves la métrica del espacio objetivo. Como en nuestro caso de
superficies
bidimensionales, definimos una métrica γ = [γαβ] en la lámina –
universo:
(3.4.5)
Con ξ1=τ y ξ2=σ, la matriz de γαβ es:
(3.4.6)
Con la ayuda de esta métrica podemos escribir la acción de
Nambu-Goto en una forma que
claramente invariante a la reparametrizacion.
(3.4.7)
El análisis en la sección 3.2 de la invariancia en la
reparametrización para superficies espaciales
se mantiene sin cambio en el presente caso. No solo la acción
(3.4.7) es claramente invariante
a la reparametrización, también es más compacta. En esta forma, uno
ya puede generalizar la
acción de Nambu-Goto para describir la dinámica de objetos que
tienen más dimensiones que
las cuerdas. Una acción de este tipo es muy útil como una primera
aproximación a la dinámica
de las D-branas.
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6.5 Ecuaciones de movimiento, condiciones de contorno y
D-branas
Esta parte obtendremos las ecuaciones de movimiento que se debe a
la variación de la acción
de la cuerda. Haciendo esto tendremos una oportunidad de discutir
las diferentes condiciones
de contorno que pueden ser impuestas en los extremos de las cuerdas
abiertas. Condiciones
de contorno de Dirichlet serán interpretadas debido a que aparecen
cuando tratamos D-
branas.
Comencemos escribiendo la acción de Nambu-Goto (3.4.2) como la
doble integral de la
densidad de la LagrangianaL:
(3.5.2)
Podemos obtener las ecuaciones de movimiento para la cuerda
relativista poniendo la
variación de la acción (3.5.1) igual a cero. La variación
simplemente es:
(3.5.3)
Y una ecuación análoga para δX’µ.
Las cantidades ∂L/∂Xy∂L/∂aparecerán frecuentemente por todo lo que
queda de
nuestra discusión, así que es muy útil introducir nuevos símbolos
por estos:
(3.5.5)
(3.5.6)
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Usando esta notación, la variación de δS es (3.5.3) se convierte
en:
(3.5.7)
El primer término en el lado derecho, que es un derivada total en
τ, contribuirá términos
proporcionales a y . Si los estados inicial y final de una cuerda
están
especificadas, nos podemos restringir a variaciones para las cuales
= = 0.
Siempre asumiremos tales variaciones, así que no nos podemos
olvidar de estos términos. La
variación entonces se vuelve.
(3.5.8)
El primer término en el lado derecho tiene que ver con los extremos
de la cuerda. Hay dos
tipos de condiciones de contorno las cuales pueden ser impuestas a
los extremos. El primero
es las condiciones de contorno de Dirichlet, las cuales requieren
que los extremos de la cuerda
se mantengan fijos durante todo el movimiento.
(3.5.9)
Alternativamente, más que pedir que las derivadas de τ se anulen,
podemos simplemente
especificar valores contantes para ( ) y ( ). Si los extremos de la
cuerda están fijos,
las variaciones se introducen de forma que en los extremos se
anulen: ( ) = 0 , y
) ) = 0 . Esto garantizara que el primer término en δS se
anule.
Alternativamente, poniendo
(3.5.10)
también resultaría en la anulación de los términos de contorno.
Este es la condición de
contorno “extremos libres” para la cuerda relativista. De la misma
forma, las condiciones de
contorno de Dirichlet (3.5.9) implican la anulación de en los
extremos de la cuerda como
demostraremos mas adelante.
Las condiciones de contorno anteriores pueden ser impuestas de
muchas formas. No
necesitaremos usar las mismas condiciones de contorno para todos
los posibles valores del
índice µ. Algunas coordenadas de las cuerdas pueden tener una
condición tipo Dirichlet, y
otras tipo libre (Free boundarycondition).
Una Dp-brana es un objeto con p dimensiones espaciales. Desde que
los extremos de la cuerda
deben estar en la Dp-brana, un conjunto de condiciones de contorno
de Dirichlet son dadas. Un
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plano D2-brana en un espacio tridimensional, por ejemplo, dada un
condición, digamos x3=0
(veamos figura 3.6).
Figura 3.6: Una D2-brana graficada sobre el plano (x1,x2). Los
extremos de la cuerda abierta pueden
moverse libremente en el plano, pero se debe mantener atada a este.
La coordenada x 3
de los extremos
se deben anulan en todas las oportunidades. Esta es una condición
de contorno de Dirichlet por la
coordenada de la cuerda X 3 .
Esto quiere decir que las D2-branas se extienden sobre el plano
(x1, x2). Las condiciones de
contorno de Dirichlet aplicadas a coordenada de la cuerda X3, por
la cual deben fijarse los
extremos de la cuerda. Cuando el movimiento de los extremos de la
cuerda es libre por las
direcciones de la brana, las coordenadas de la cuerda X1 y X2
satisfacen las condiciones de
contorno libres. Y además cuando los extremos de una cuerda abierta
tienen condiciones de
contorno libre a lo largo de todas las direcciones, aun tendremos
una D-brana, pero esta vez
será una D-brana que llena el espacio. Las D-branas se extienden
por sobre todo el espacio, y
ya que los extremos de las cuerdas abiertas pueden estar en
cualquier lugar en la D-brana, los
extremos de las cuerdas abiertas son completamente libres.
Para cuerdas relativistas (cuánticas) la consistencia de las
condiciones de contorno de Dirichlet
nos permite descubrir las propiedades de D-branas. Las D-branas son
objetos físicos que
existen en una teoría de cuerdas, y no son simplemente
introducidas. Estas tienen densidades
de energía calculables, y una multitud de propiedades
remarcables.
Retornando después de esta desviación a la variación de la acción,
ya el segundo término en
(3.5.8) debe eliminar todas las variaciones del movimiento,
ponemos:
(3.5.11)
Esta es la ecuación de movimiento para la cuerda relativista,
abierta o cerrada. Una mirada
rápida a las definiciones (3.5.5) y (3.5.6) muestra que esta
ecuación es increíblemente
complicada. La clave para su solución está en la invariancia a la
reparametrización de la acción
de Nambu-Goto. Escogiendo una parametrizacion correcta
simplificaremos nuestro trabajo
enormemente.
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3.6 La estática de calibre
Para hacer un progreso en el entendimiento de la acción para la
cuerda relativista, debemos
parametrizar la superficie de la cuerda de una forma útil. Podemos
escoger libremente la
parametrización debido a invariancia a la reparametrización de la
acción de la cuerda. La
invariancia a la reparametrización en teoría de cuerdas es análoga
a la invariancia de calibre en
electrodinámica. Las ecuaciones de Maxwell poseen una simetría bajo
la transformación de
calibre que nos permiten usar diferentes potenciales Aµ para
representar los mismos campos
electromagnéticos y . Una elección correcta del calibre nos ayuda a
entender la física.
Similarmente, podemos usar diferentes rejillas en la lámina –
universo para describir el mismo
movimiento físico de la cuerda. Una elección correcta de la rejilla
puede fácilmente hacer
nuestra tarea más fácil. Una correcta elección de la
parametrización es útil aun para una
partícula puntual, su ecuación de movimiento es la más simple
cuando la trayectoria es
parametrizada por el tiempo propio.
Por ahora, discutiremos solamente una parametrización parcial en la
lamina – universo.
Fijaremos las líneas de constante τ relacionando τ a la coordenada
de tiempo X0=ct, el tiempo
en un sistema de referencia de Lorentz escogido.
Figura 3.7: Izquierda: Espacio de parámetros para una cuerda
abierta. El segmento vertical AB es la línea
τ=t0. Derecha: Lamina – universo para una cuerda abierta en el
espacio objetivo. La cuerda en el tiempo
t= t0 es la intersección de las lamina-universo con el hiperplano
t=t0. En la estatica de calibre, la cuerda
para un tiempo t=t0 es la imagen del τ=t0 (segmento AB).
Procedemos con en la Figura 3.7. Supongamos que dibujas un
hiperplano de constante t en el
espacio objetivo, digamos que el plano t=t0. Este plano intersecara
a la lamina-universo a lo
largo de una curva – la cuerda en un tiempo t0 de acuerdo a los
observadores en el sistema de
referencia de Lorentz escogido. Podemos afirmar que esta curva es
una curva de constante τ;
de hecho, podemos afirmar esta es la curva τ=t0. Extendiendo esta
definición a todos lo
tiempos t, afirmamos que para cualquier punto Q en la
lamina-universo
(3.6.1)
La elección la parametrización en τ se llama la estática de calibre
porque las líneas de contante
τ son “cuerdas estáticas” en el sistema de referencia de
Lorentz.
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