UNIVERSIDAD DE SEVILLA DEPARTAMENTO DE ESTADSTICA E INVESTIGACIN OPERATIVA PROGRAMA DE TEORA DE LA DECISIN ESTADSTICA TESIS DOCTORAL INTEGRACIN MONTECARLO EN LA DETERMINACIN DE ORBITALES ATMICOS Y MOLECULARES Memoria presentada porRosa Rodrguez Huertas para optar al ttulo de doctor en Ciencias Matemticas. Dirigida por los doctores D. Manuel Fernndez Nuez y D. Rafael Infante Macas i NDICE NDICE.................................................................................................................. i INTRODUCCIN ................................................................................................. 1 1.Estructura de los tomos y de las molculas........................................ 1 2.Metodos Montecarlo y Cuasimontecarlo............................................... 2 3.Algunas notas histricas sobre el mtodo Montecarlo.......................... 4 4.Descripcin del contenido de esta memoria......................................... 5 CAPITULO 1: INTEGRACIN MONTECARLO ......................................... 7 1.Fundamentos........................................................................................ 7 2.Eficiencia del Mtodo Montecarlo......................................................... 8 3.1.3. Integracin Montecarlo .................................................................. 9 3.1.Mtodo de xito-fracaso ................................................................. 9 3.2.Mtodo de la media muestral........................................................ 11 4.Tcnicas de reduccin de la varianza................................................. 13 4.1.Muestreo estratificado................................................................... 13 4.2.Mtodo de la funcin de peso....................................................... 14 4.3.Combinacin con integraciones exactas....................................... 15 4.4.Variables correladas ..................................................................... 15 4.5.Variables antitticas...................................................................... 16 CAPTULO 2: Obtencin de orbitales por el mtodo de Roothaan..... 17 1.La molcula. Ecuacin de Schrdinger. ............................................. 17 2.El principio variacional. ....................................................................... 19 ii 3.Estructura de las funciones de onda atmicas y moleculares. El determinante de Slater. ...................................................................... 21 4.Sistemas con un nmero par de electrones y orbitales ortonormales. 22 5.El mtodo Roothaan. .......................................................................... 23 CAPTULO 3:INTEGRALES MONOELECTRNICAS................................. 28 1.Introduccin. ....................................................................................... 28 2.Integrales de solapamiento................................................................. 28 3.Aplicacin del Mtodo de Montecarlo a la resolucin de las integrales de solapamiento. ................................................................................ 30 4.Estimacin del error estndar dela integral calculada. ..................... 32 5.Optimizacin de la parte radial de la funcin densidad....................... 33 6.Adaptacion para calcular las integrales de energia ............................ 37 7.Organigrama de un programa para calcular las integrales monoelectrnicas por Montecarlo....................................................... 38 8.Ejemplos de resultados del programa de clculo de integrales monoelectrnicas por el mtodo Montecarlo...................................... 39 CAPITULO 4:INTEGRALES BIELECTRNICAS......................................... 41 1.Introduccin........................................................................................ 41 2.Las integrales (pq|rs) .......................................................................... 41 3.Aplicacion del mtodo Montecarlo a la evaluacin de las integrales (pq|rs). ................................................................................................ 43 4.Organigrama de un programa para calcular integrales bielectrnicas por Montecarlo:................................................................................... 45 CAPTULO 5: MTODO DE ROOTHAAN PARA ORBITALES ATMICOS HELIOIDES.................................................................................... 47 1.Introduccin........................................................................................ 47 2.Evaluacin de la matriz de Fock......................................................... 47 iii 3.Manipulacion de las integrales (pq|rs) ............................................... 48 4.Expresion de las ecuaciones de Roothaan en forma matricial ........... 50 5.El programa ORBITN.......................................................................... 52 6.Ejemplo de fichero de resultados........................................................ 53 CAPTULO 6:EL MTODO ROOTHAAN CON INTEGRACIN MONTECARLO. APLICACIN AL TOMO DE HELIO.................................... 55 1.Introduccin........................................................................................ 55 2.El programa ORBITMC....................................................................... 55 3.Resultados de referencia para el tomo de helio ............................... 56 4.Resultados Roothaan-Montecarlo en el tomo de helio ..................... 58 5.Ejemplo de resultados del programa .................................................. 61 CAPTULO 7:EL MTODO DE CORRELACIN.......................................... 63 1.Introduccin. ....................................................................................... 63 2.Preliminares. Teorema del producto................................................... 64 3.Integracin analtica de con funciones gaussianas............................. 66 4.La transformada de Laplace............................................................... 67 5.Clculo de las integrales..................................................................... 67 5.1.Integrales de solapamiento........................................................... 68 5.2.Integrales de Energa Cintica...................................................... 69 5.3.Integrales de Repulsin ................................................................ 70 6.Desarrollo de los STO en funciones gaussianas ................................ 74 7.Aplicacin del mtodo de correlacin ................................................. 75 8.Comentarios sobre los resultados obtenidos usando el mtodo de correlacin con gaussianas. ............................................................... 75 CAPTULO 8:CLCULOS CON FUNCIN DE PESO POLIGONAL ........... 79 1.Introduccin........................................................................................ 79 2.Construccin de la funcin de peso poligonal+exponencial ............... 80 iv 3.Muestreo de nmeros aleatorios con funcin de peso pn(r) ............... 81 4.Aplicacin al clculo integrales monoelectrnicas.............................. 84 5.Aplicacin al clculo de integrales bielectrnicas ............................... 84 6.Resultados y comentarios .................................................................. 85 CAPITULO 9:MTODO CUASIMONTECARLO . ......................................... 91 1.Introduccin. ....................................................................................... 91 2.Fundamentos...................................................................................... 92 2.1.Caso unidimensional. Sucesin de Van der Corput...................... 92 2.2.Caso multidimensional. Sucesiones de Halton y conjunto de puntos Hammersley................................................................................. 95 3.Otras sucesiones uniformemente distribuidas.................................... 97 4.Conjuntos de puntos bien distribuidos................................................ 99 CAPITULO 10:COMPARACIN DE LOS METODOS MONTECARLO Y CUASIMONTECARLO.FUNCIONES DE BASE CON SIMETRA ESFRICA103 1.Aplicacin al clculo de integrales qumico cunticas con funciones de base de simetra esfrica............................................................. 103 2.Estudio de un conjunto de integrales................................................ 108 CAPITULO 11:METODO ROOTHAAN CON INTEGRACION ANALITICA. FUNCIONES DE BASE S, P Y D.......................................................... 111 1.Introduccin...................................................................................... 111 2.Notacin y frmulas complementarias.............................................. 112 3.Integrales de solapamiento o de recubrimiento. ............................... 113 3.1.Parte radial.................................................................................. 113 3.2.Parte angular .............................................................................. 114 4.Integrales monoelectrnicas............................................................. 114 5.Integrales bielectrnicas................................................................... 115 5.1.Parte radial.................................................................................. 116 v 5.2.Parte angular .............................................................................. 116 6.Algunas notas sobre la programacin realizada. .............................. 118 6.1.Descripcin del programa principal............................................. 119 6.2.Descripcin del calculo de las integrales .................................... 119 7.Expresiones complementarias.......................................................... 120 8.Resultados del programa.................................................................. 121 CAPITULO 12:COMPARACIN DE LOS MTODOSMONTECARLO Y CUASIMONTECARLO .FUNCIONES DE BASE S, P Y D ................. 123 1.Introduccin. ..................................................................................... 123 2.Resultados obtenidos sobreintegrales............................................ 124 3.Algunas pruebas con la subrutina DQAND de IMSL ........................ 131 4.Resultados obtenidos para la energa de varios tomos. ................. 133 CAPITULO 13:APLICACIN EN EL CLCULO DE ORBITALES MOLECULARES......................................................................................... 141 1.Introduccin. Mtodo Sto-nG. ........................................................... 141 2.Aplicacin del mtodo Roothaan en las molculas........................... 143 3.Resolucin analtica de algunas integrales policntricas entre funciones de Slater ........................................................................... 145 3.1.Integrales de solapamiento......................................................... 145 3.2.Otras integrales policntricas...................................................... 146 4.Aplicacin de los mtodos de integracin Montecarlo y Cuasi-Montecarlo a la determinacin de Orbitales Moleculares ................. 148 5.Resultados en el calculo de la energa y propiedades de molculas.150 RESUMEN, CONCLUSIONES Y PERSPECTIVAS......................................... 165 1.Principales resultados alcanzados en esta Tesis ............................. 165 2.Conclusiones. Ventajas y desventajas de los mtodos estudiados en este trabajo....................................................................................... 167 vi 3.Perspectivas ..................................................................................... 167 BIBLIOGRAFIA ............................................................................................... 169 1.Referencias ...................................................................................... 169 2.Metodo Montecarlo (aspectos generales)......................................... 172 3.Mtodo Montecarlo (integracin) ...................................................... 172 4.Programas estandar sobre integracion multiple ............................... 173 5.Mecnica Cuntica (textos generales).............................................. 174 6.Qumica Cuntica (textos generales)................................................ 174 7.Qumica Cuntica (artculos) ............................................................ 175 1 INTRODUCCIN 1.ESTRUCTURA DE LOS TOMOS Y DE LAS MOLCULAS. Laideamsextendidaacercadelaestructuradeltomoesconsiderarlo comoun"sistemaplanetario"enminiatura,conelncleoensucentroylos electrones dandovueltasalrededorde l, en rbitas bien determinadas anlogas a las que describenlos planetas alrededor del Sol. Elmodelo"planetario"deltomosedebe fundamentalmente al australiano ErnestRutherfordyaldansNielsBhryfueelaboradomuyalprincipiode nuestro siglo. Es un modelo fuertemente intuitivo y, por este motivo, es la imagen deltomomsconocida.Sinembargoslopermiteexplicaralgunasdelaspropiedadesdelos tomos, de manera que ha ido siendo sustituido por modelos basadosenlaecuacindeSchrdinger,enlosqueloselectronesyanorecorren unasrbitasperfectasalrededordelncleo,sinoquesemueven al azar alrededor de l, dando lugar a lo que suele denominarse "la nube electrnica". Este concepto puedeaplicarsetambinalasmolculas,queactualmenteyanoseconsideran conjuntos de tomos, sino conjuntos de ncleos y electrones. LosmodelosatmicosbasadosenlaecuacindeSchrdingersonmucho menosintuitivosqueeldeBhr,perotienenmuchomayoralcance:conellos puedenexplicarseprcticamentetodaslaspropiedadesdelostomosydelas molculas, y sus valores pueden calcularse por va terica con resultadosenmuybuen acuerdo con los experimentales. El problema actual de los fsicos atmicos ymoleculares ya no consiste en averiguarquerbitasrecorrenloselectrones,sinoendeterminarlasleyes estadsticasquerigensusmovimientos.Porestemotivo,elconceptoderbita 2 electrnicahasidosustituidohoyporunaciertafuncin,llamadaorbital,quesuministra informacinsobrelaprobabilidaddehallarnoal electrn en cada posicin del espacio, y que permite adems calcular las propiedades del tomo o la molcula,porejemplosuenerga,suformaosutamao,enelestado correspondiente a los orbitales asignados a sus electrones.La citada probabilidad viene determinadatotalmentepor las soluciones de laecuacindeSchrdinger.Lasdistribuciones de probabilidad obtenidas a partir de esta ecuacin tienen mximos situados en las proximidades de las rbitasquehabacalculado Bhr, y por eso las soluciones de la ecuacindeSchrdingerde loselectronesatmicosrecibenelnombrede"orbitales".Puedeconsiderarse-hastaciertopunto-queelmodelodeBhresunasimplificacingroseradela realidad,enelquelasrbitasmarcanlasposicionesmsprobablesdelos electrones. Segnlodichohastaaqu,paracalcularlasdistribucionesdeprobabilidad depresenciadeloselectronesencadapunto,bastaresolverlaecuacinde Schrdinger,queesunaecuacindiferencialenderivadasparcialesdesegundo orden.Sinembargo,setratadeunaecuacindifcilderesolver,paralaquedemomento solo se conocen soluciones exactas en un nmero reducido de casos.Lamayoradelasveceslaecuacinseresuelvecontcnicasde aproximacinbastantecomplicadas,unadelascuales,ladeRoothaan,ser empleada en este trabajo en combinacin con latcnica de integracin Montecarlo. 2.METODOS MONTECARLO Y CUASIMONTECARLO LaesenciadelmtodoMontecarloeslaexperimentacinconnmeros aleatorios.Elprocedimientousadoconsisteendisearjuegosdeazarconestos nmeros,esperandoobtenerdesuobservacinconclusionestilesparala resolucindelproblemaqueseestestudiando.Aunquesehanpublicado algunos trabajos relacionados con el mtodo de Montecarlo que no han precisado elusodeordenadores,lociertoesquelautilidaddelmtododeMontecarloseha visto enormemente incrementada con el usodelasmodernas computadoras. En 3 particular, sin el auxilio destas,eltrabajo presentado en esta memoria hubiera sido absolutamente impensable. Resultadifcildecreerquebasndoseenelazarpuedanobtenerse conclusionesquemerezcanlapenay,dehecho,algunosinvestigadores desconfan todava de las estimaciones que se consiguenconeste mtodo, a pesar de sus mltiples xitos en el campo de la Investigacin Operativa, de la Fsica y de otras ramas delasCiencias, como la Biologa, la Qumica, e incluso la Medicina. Los mtodos deMontecarlosuelenclasificarseendos tipos: probabilistas y deterministas. En el Montecarlo probabilista se simulan con nmeros aleatorios fenmenos quesonaleatoriosenlarealidad.Losnmerosseeligendetalformaque reproduzcanladistribucindeprobabilidaddelapoblacinestudiaday,desu observacin,sededucencaractersticasdesta.Porejemplo,laFsicaNuclear suministra las funciones que rigen el movimiento de los neutrones.Reproduciendo estasleyesconnmerosaleatoriossepuedesimularunreactornucleary experimentarconl,evitndolosproblemasde dinero, tiempo y seguridad que implicara experimentar conun reactor nuclear verdadero. EnelMontecarlodeterministaseresuelvenproblemasquenoson aleatoriosenlarealidad,asocindolosconalgnexperimentoaleatoriodiseado expresamenteconestepropsito.Unejemplodeestetipoeslaparteesencialde este trabajo:elclculo numrico de integrales definidas. ElmtodoCuasimontecarloseusatambinparaintegracinnumrica.El esquemadeaplicacinestotalmentesimilaraldeMontecarlo,distinguindose solamenteenlaformaenquesegeneranlospuntosenquehayqueevaluarel integrando. En este caso la generacin no pretende imitar distribuciones aleatorias, sinoqueseusannmerosdeterministas,diseadosespecialmenteparaqueestn bien distribuidos. 4 3.ALGUNAS NOTAS HISTRICAS SOBRE EL MTODO MONTECARLO El nombre y el comienzo deldesarrollosistemticodel mtodo Montecarlo datan aproximadamente de 1944, poca en la que se realizaron las investigaciones relacionadasconlasprimerasbombasatmicas.Entalesinvestigaciones, llevadas a cabo principalmenteenellaboratorio americanodeLosAlamos,losprocesosde absorcin de neutrones se simularon mediante un conjunto deruletas adecuadamente graduadas, que originaron el nombrede"Montecarlo" con el que Von Neuman y sus colaboradores designaron a esta tcnica. Sinembargo,yadesdeelsigloXVIIIesposibleencontraralgunosrastros delasideasquesubyacenenelmtodoMontecarlo.En1777elcondedeBuffon hizounestudiodeljuegosiguiente,demodaporaquellapoca:unaagujade longitud l ll l se arroja sobre un plano en el que hay dibujadas rectas paralelas con una distancia d (d > l ll l) entre ellas. Se gana si la aguja cae sobre algunadelasrectas paralelas.ElcondedeBuffondeterminlaprobabilidaddeganar(P) experimentalmente(abasedetirarlaagujaunagrancantidaddeveces),y analticamente , calculando para P la expresin: P = 2 l ll l/ d Aosmastarde,en1886,Laplacesugiriqueesteprocedimientopodra ser til para calcular experimentalmente elvalor del nmero pi. Este momento es consideradoenocasionescomoelpuntodepartidadelasaplicaciones"serias" del mtodo Montecarlo. Otros trabajos pioneros sobre Montecarlofueronlosde Thompson (=Lord Kelvin)en1901,sobrelaevaluacindealgunasintegralesdeusoenlateoradelosgases.Gosset-conel seudnimo de Student- aplic el mtodo Montecarlo para obtenerla distribucin del coeficiente de correlacin (1908). En 1930Fermi emple el mtodo Montecarlo para sus trabajos sobre difusinytransporte de los neutrones,queresultaronesencialesparaeldesarrollodelasbombasycentrales nucleares. 5 Como ya se ha apuntado, durantelasegunda guerra mundial se trabaj en estos temas. Aparte de Von Neuman , ya citado, cabe resaltar las aportaciones de Fermi,UlamyMetrpolis.Duranteesapoca,laaparicindelasprimerascomputadorasdigitalesdiounfuerteimpulsoaldesarrollodelmtodoMontecarlo. Paradjicamenteestostrabajospropiciaronalavezunciertodescrditodel mtodo,puesseaplicacasicualquiercosa,sintenerencuentaparanadalos problemas de eficienciainherentes al mtodo. Enlosltimosaos,debidoalavanceexperimentadoenelcampodelos ordenadores,alaaparicindediversastcnicasparareducirlavarianzadelas estimacionesobtenidas,yalmuestreodeMetrpolis,elmtododeMontecarlo parece haber entrado enun nuevo periodo de florecimiento. LosmetodosCuasimontecarlohancontribuidotambinamejorarlas estimaciones obtenidas bajo el esquema de Montecarlo, no solo en el campo de la integracin numrica, sino tambin en los problemas de simulacin y optimizacin. ElnombredelmtodofueusadoporprimeravezporRichtmyeren1951. Posteriormente tenemos trabajos de Zaremba, Sugihara, Murota, Neiderreiter... En elapartadodelospuntosbiendistribuidos,quehansidousadosenlas ltimas fasesdeestetrabajo,hemoscontadoespecialmenteconlascontribucionesde Korobov, Halwka, Zaremba y Neiderreiter. 4.DESCRIPCIN DEL CONTENIDO DE ESTA MEMORIA El resultado final de este trabajo ha sido la elaboracin de varios programas. Unodeellospermitecalcularorbitalesdemolculas,usando-attulodeprueba- funcionesdebasedeSlaterconpotenciasnoenterasycualquiernmerode centros.Tambinpresentamosunprogramaquepermitecalcularlasintegrales molecularesenqueaparecenestetipodefuncionesdebaseporprocedimientos basadosenlateoradepuntosbiendistribuidosdeKorobov.Ambosprogramas puedenmodificarsemuyfacilmenteparasustituirlasfuncionesdebasedeSlater por otras, lo que constituye un campo de investigacin de gran inters dentro de la Qumica Terica.6 Despus de este captulo introductorio,seexponenlos conceptos tericos necesariosparapodermanejarconconocimientodecausalasmetodologas Montecarlo y Roothaan(captulos1y2). Loscaptulos siguientes (3, 4, 5 y 6) son preparatorios, revisndose en ellos un caso simple: las integrales con funciones de base de tipo 1s y el clculo de los orbitales del tomo de helio. Enloscaptulos7y8sehanhechoalgunasexploracionesparamejorarla eficienciadelcalculoMontecarlo,usandounafuncindedensidadpoligonalyel mtododecorrelacin.Elrestodeloscaptulosserefierenprincipalmentealuso delmtodoCuasimontecarlo,ascomoacomparacionesrealizadasentrelos diversosmtodosparadeterminarcualeselmseficiente.Paraello,hemos consideradoimportanteelaborarunprogramaquerealicelosclculos analticamente, en los casos en que ello es posible. El clculo de orbitales atmicos por procedimientos analticos esta descrito en el captulo 11.Aunque no se trata de unproblemaestadstico,laelaboracindeesteprogramasehaconsiderado necesaria para la comprobacin de algunos de los resultados presentadosen este trabajo. En el captulo 12 se usan los diferentes mtodos que se han ensayado y se establecen comparaciones entre ellos. En el ltimo captulo, el 13, est integrada toda lainformacin que ha ido obtenindosealolargodeldesarrollodeltrabajo:secalculanlosorbitalesde diversasmolculas(H2 ,HeH+,H2O,CH4),obtenindoselasintegralesnecesarias porelmtodoCuasimontecarloempleandoelesquemadeKorobov,aunquecon diferentesparmetros..Secomparanestosresultadosconlosprocedentesde integracionesexactascuandoestoesposible,ocondesarrollosgaussianoso resultados experimentales en los restantes casos. 7 CAPITULO 1: INTEGRACIN MONTECARLO 1.FUNDAMENTOS LaevaluacindelasintegralesdefinidasporelMtododeMontecarlose basa en el siguiente teorema: Seanx1,x2,...,xn...variablesaleatoriasindependientes,idnticamente distribuidas, con funcin de densidad f(x). Si gi son funciones de xi, entonces: GNg xi iiN11( )(1) es una variable aleatoria que verifica: E GNE g xi iiN( ) ( ( )) 11(2) [ ] var( ) var ( ) GNg xi iiN121(3) En particular, cuando todas las g(xi) son idnticas, e iguales a g(x), se tiene que: E GNE g x E g xi iiN( ) ( ( )) ( ( )) 11(4) [ ] var( ) var ( ) var ( ) GNN g xNg x 1 12(5) 8 Envirtuddeladefinicindeesperanzamatemticadeg(x),laprimeradeestas expresiones, puedeescribirseenla forma: ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) E G ENg x g x f x dx E g xiN

_, 11(6) Esteresultadojustificalasiguienteformadeestimarunaintegraldefi-nida:Muestrear una serie de nmeros aleatoriosxiconfuncinde densidadf(x) y evaluarg(x)para cadax. La media de los valores obtenidos para g(x)es una estimacin de la integral. La varianza de esta estimacin decrece con el nmero de trminos, segn sededucede la expresin(5) paravar(G). Adems, el error estndar,raz cuadrada de la varianza, toma el valor: var gNN(7) loqueindicaqueparaobtenerunerrorestndarmenorqueunaciertacota prefijada se deber elegir unNque cumpla la condicin:N 22(8) La desigualdad de Tchebycheff,queenestecasotomara la forma: P G GgNcc '; var(9) suministra adems una cota para la probabilidad deobtenerunerror mayor que el propuesto en la estimacin del valor de la integral, pudindose siempre disminuir esteerror sin ms que aumentar el valor de N. 2.EFICIENCIA DEL MTODO MONTECARLO Se define la eficiencia del mtodo Montecarlo como: 9 Ef t . 2(10) siendoteltiempodeclculo.Comoelvalor detestfuertemente relacionado con el nmero de puntos usados en la computacin, sesuele dar tambin esta otra definicin para la eficiencia : Ef N ' . 2(11) LaeficienciarelativadedosmetodosMontecarloesel cociente: ENNr 1 122 22(12) SiEr < 1, entoncesel primer mtodo es mejorqueelsegundo.Siel nmero de puntos utilizados es el mismo, la eficiencia relativa queda reducida al cociente de las varianzas. 3.INTEGRACIN MONTECARLO Se consideran en este apartado dos procedimientos para calcular integrales definidas por el mtodoMontecarlo.Elprimerosellama "Mtodo Montecarlo de xito-fracaso",basadoenlainterpretacindeunaintegralcomounrea.El segundo se llama "mtodoMontecarlodela media muestral" y esta basado en la definicin de valormediodeuna variable aleatoria continua. 3.1.Mtodo de xito-fracaso Consideremoselproblemadecalcularunaintegralunidimensionaldonde supondremos que el integrando, g(x), es una funcin acotada: 0 g(x) c,x [a,b] Sea el rectngulo = {(x,y) R2 x [a,b],y [0,c]} = [a,b] x [0,c] 10 y sea (X,Y) unavariablealeatoriauniformementedistribuida sobre con funcin de densidad: f x yc b asi x yen otro casoxy( , )( )( , )'10(13) Cul es la probabilidad P de que el vector aleatorio (x,y) caiga en el rea situada por debajo de la curva g(x) ? Denotemos porS= { (x,y) y < g(x) } . se observa que el rea bajo g(x) es igual al rea de S ,que a su vez coincide con el valorde la integral ( ) I g x dxab (14) Con ayuda de la figura 1.1, se puede deducir que: g(x)a b* Fracaso* ExitocxS Figura 1.1Mtodo MC de xito-fracaso. 11 Pg x dxc b a c b aab area Sarea( )( ) ( )I SupongamosgeneradosNvectoresaleatoriosindependientes(X1,Y1),(X2 ,Y2).....(Xn ,Yn). El parmetro P puede ser estimado por: PNNH (15) siendoNHelnmerodevecesqueseverificag(xi)>yi,enlaseriedeensayos i=1,2,...N, por consiguiente una estimacin paraIsera entonces: I c b a P c b aNNH( ) ( ) (16) siendo E c b a ENNc b a PHI I

1]

1]1 ( ) ( ) (17) esdecir,queporesteprocedimientoseobtieneunestimadorcentradodela integralI. 3.2.Mtodo de la media muestral Otra forma de calcular la integral, es representarlacomoel valor esperado de una variable aleatoria. Reescribamos la integral en la forma: I g xf xf x dxab ( )( )( ) (18) siendo f(x) una funcin de densidad correspondiente a la variable aleatoria x. Entonces I

1]1Eg xf xx( )( )(19) 12 Supongamosquelavariablealeatoriasedistribuyesegnlafuncinde densidad siguiente: f xb asi a x benotrocaso( )