TesisdeLicenciatura ...cms.dm.uba.ar/academico/carreras/licenciatura/... · 10 CAPÍTULO 2. ÁLGEBRAS DE LIE Deﬁnición 2.1.3. Un morﬁsmo de álgebras de Lie entre g y h es un

UNIVERSIDAD DE BUENOS AIRESFacultad de Ciencias Exactas y Naturales

Departamento de Matemática

Tesis de Licenciatura

Deformaciones de álgebras envolventes de álgebras de Lie dedimensión 4

Sofía Nerina D’Alesio Souto

Directora: Andrea Solotar

Fecha de Presentación: 30 de marzo de 2015

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Índice general

Agradecimientos 3

1 Introducción 7

2 Álgebras de Lie 92.1 Resultados generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.1.1 Definiciones básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.1.2 Invariantes y coinvariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.1.3 El álgebra envolvente universal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2 Homología y Cohomología de álgebras de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2.1 La resolución de Chevalley-Eilenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.2.2 Extensiones y cohomología en grado 2 . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.3 Álgebras de Lie complejas de dimensión 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3 Homología de Hochschild y deformaciones 253.1 Homología y cohomología de Hochschild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.1.1 Cohomología de Hochschild de álgebras envolventes de álgebras deLie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.2 Deformaciones de Gerstenhaber de álgebras asociativas . . . . . . . . . . . 303.2.1 Integrabilidad y obstrucciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.2.2 Deformaciones triviales y equivalencia de deformaciones . . . . . . 333.2.3 Deformaciones de Gerstenhaber de un álgebra de Lie . . . . . . . . 343.2.4 Integrabilidad y obstrucciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4 Cálculo de la cohomología de Hochschild 374.1 Cálculos preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.2 Cálculo del centro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.3 Cálculo del primer grupo de cohomología . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.4 Cálculo del segundo grupo de cohomología . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.5 Cálculo del tercer grupo de cohomología . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664.6 Cálculo del cuarto grupo de cohomología . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

Bibliografía 74

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4 ÍNDICE GENERAL

Agradecimientos

En primer lugar quiero agradecer a mi familia por sostenerme económicamente y permi-tirme estudiar.

Gracias infinitas a Andrea y a Mariano, por su tiempo, y porque claramente esta tesisno existiría sin ellos.

Gracias a Nico y a Vendra, por leer la tesis, por las correcciones y por la buena onda.Gracias a Pablo, Quimey, Sergio y Panchito por su ayuda y consejos a lo largo de

estos años.Gracias a los docentes que tuve en la carrera, en especial a Matías Graña, Juan Pablo

Pinasco, Mariela Sued, Jonathan Barmak, Pablo Amster, Santiago Saglietti y GabrielMinian (y a Andrea y Mariano, obviamente).

Gracias a la UBA por la beca estímulo.Gracias a Pato, Gabi, Diana y Navas por ayudarme a comenzar este camino.Y por último, gracias a todos mis amigos que me acompañaron (acompañan y acom-

pañarán) en mi vida en la facultad. Gracias a Mati, Diego, Santi V y Euge por la ayudacon latex, ejercicios y el tiempo para explicarme lo que me hiciera falta. Gracias a Maxi yBru por estar ahí desde el primer día. Y gracias a Nati, Di, Aye, Kari, Jaz, Santi D, Rafa,Dani, Meli, Mari, Marce, Facu, Juanma, Pablo, Lucho, Mel (y más gente que me estoyolvidando, son muchos!) por los almuerzos, meriendas, mates, cursadas, viajes, tardes deestudio y etcéteras.

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6 ÍNDICE GENERAL

Capítulo 1

Introducción

Las álgebras de Lie complejas de dimensiones pequeñas constituyen aún un área muyactiva de investigación. La clasificación de las mismas en clases de isomorfismo es conocidapara dimensiones menores o iguales que 7, en los casos 5, 6 y 7 con restricciones en lostipos de álgebra estudiadas, ver [Rom89], [FP07], [BFNT13]. Dada un álgebra de Liecompleja g de dimensión n con base {e1, . . . , en}, el corchete entre dos elementos de labase determina n constantes γki,j tales que [ei, ej ] =

∑k γ

ki,jek. Estas constantes se llaman

constantes de estructura.El objetivo principal de este trabajo es estudiar la cohomología de Hochschild de

las álgebras envolventes de álgebras de Lie complejas de dimensión 4 con el propósitoposterior de estudiar sus deformaciones. Estas deformaciones pueden provenir o bien dedeformar la estructura de Lie, o bien de deformar la estructura asociativa, sin variar elcorchete. Las deformaciones de la primera clase y las relaciones entre las mismas hansido completamente estudiadas en los últimos años, ver por ejemplo [FP07].

Nos proponemos usar métodos homológicos para estudiar en particular las deforma-ciones de la estructura asociativa de las álgebras envolventes de las álgebras de Lie dedimensión 4 del tipo L4(α), según la clasificación dada por Agaoka [Aga02], donde α es unnúmero complejo no nulo. Esta familia esta incluida, según la clasificación de Fialowski yPenkava [FP07], en la de álgebras de Lie complejas de dimensión 4 del tipo d3(λ : µ) conλ = 1 y µ = α.

Las deformaciones de objetos algebraicos y analíticos son estudiadas desde hacemucho tanto en matemática como en física. El conjunto de clases de equivalencia deestructuras de álgebra de Lie sobre un espacio vectorial fijo es llamado el espacio de modulide álgebras de Lie sobre ese espacio vectorial. El espacio de moduli ha sido descriptocompletamente en el caso de un espacio vectorial complejo de dimensión 3, ver [Aga99],[TU92]. La estructura de este espacio de moduli es bastante simple: consiste de unafamilia 1-paramétrica de álgebras de Lie resolubles, y de tres álgebras de Lie especiales.

Es importante notar que todavía no se ha realizado una descripción de la familia dedeformaciones de las álgebras envolventes de álgebras de Lie complejas de dimensión 4que se obtienen al deformar la estructura asociativa.

Las deformaciones infinitesimales de un álgebra asociativa están parametrizadas por

7

8 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN

el segundo grupo de cohomología de Hochschild del álgebra, a coeficientes en el álgebraconsiderada como bimódulo sobre sí misma de la manera natural. Asimismo, las posiblesobstrucciones para continuar esta deformación infinitesimal en una verdadera deformaciónestán parametrizadas por el tercer grupo de cohomología de Hochschild del álgebra acoeficientes en ella misma.

En el Capítulo 2 se recuerdan algunas definiciones básicas sobre álgebras de Lie, sobreálgebras envolventes y también sobre homología y cohomología de álgebras de Lie, enparticular la resolución de Chevalley-Eilenberg. Luego se recuerda el resultado principaldel artículo de Agaoka [Aga02], es decir la clasificación de álgebras de Lie de dimensión 4a menos de isomorfismo.

El Capítulo 3 consiste de un resumen de resultados sobre homología y cohomología deHochschild de álgebras asociativas y en particular de álgebras envolventes de álgebras deLie.

En el Capítulo 4 comenzamos realizando algunos cálculos preliminares que seránútiles para describir la cohomología de Hochschild, para posteriormente estudiar lasdeformaciones. Completamos el cálculo de la cohomología para el caso en que α no es unnúmero racional negativo, ni natural, ni de la forma 1

m con m natural.

Capítulo 2

Álgebras de Lie

2.1 Resultados generales

A lo largo de las primeras secciones y hasta nuevo aviso, k será un anillo conmutativo conunidad. Los contenidos de las secciones 1 y 2 también fueron desarrollados en [Cho12].Para más detalles sobre los mismos puede consultarse [Wei94] y [CE56].

2.1.1 Definiciones básicas

Definición 2.1.1. Una estructura de álgebra de Lie en un k-módulo g es una aplicaciónbilineal [−,−] : g⊗k g −→ g, llamada corchete de Lie, que cumple

1. antisimetría: [x, y] = −[y, x], ∀x, y ∈ g,

2. identidad de Jacobi: [[x, y], z] = [x, [y, z]]− [y, [x, z]], ∀x, y, z ∈ g.

Ejemplos 2.1.2. 1. Dado un k-móduloM podemos definir un corchete enM mediante[x, y] := 0 para todos x, y ∈M . En este caso decimos que [−,−] es la estructura deálgebra de Lie abeliana sobre M .

2. Dada una k-álgebra asociativa A podemos definir [x, y] := xy − yx para todosx, y ∈ A. Es fácil chequear que [−,−] es antisimétrico y que cumple la identidad deJacobi. Notaremos con Lie(A) al k-módulo A con esta estructura de Lie.

3. Dada una k-álgebra A, consideramos Der(A) := {D ∈ Endk(A) : D(ab) = aD(b) +D(a)b, ∀a, b ∈ A}. Es fácil comprobar que Der(A) es un k-submódulo de Endk(A)que, con el corchete definido en el ejemplo anterior, resulta una subálgebra de Liede Lie(Endk(A)). A esta álgebra la denominaremos álgebra de derivaciones de A.

4. Dada una variedad diferenciable M notamos con X(M) a los campos diferenciablesdefinidos sobre ella. Si fijamos que [X,Y ](f) := X(Y (f)) − Y (X(f)) para todosX,Y ∈ X(M), X(M) resulta un álgebra de Lie.

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10 CAPÍTULO 2. ÁLGEBRAS DE LIE

Definición 2.1.3. Un morfismo de álgebras de Lie entre g y h es un morfismo de k-módulos ϕ : g −→ h que preserva el corchete, es decir, ϕ([g1, g2]g) = [ϕ(g1), ϕ(g2)]h paratodos g1, g2 ∈ g.

Definición 2.1.4. Sea g un álgebra de Lie y sea h un k-submódulo de g. Se dice queh es un ideal de g si [g, h] ∈ h para todos g ∈ g y h ∈ h. Observemos que tanto h comog/h tienen una estructura de álgebra de Lie inducida por la de g vía los morfismos deinclusión i : h −→ g y proyección π : g −→ g/h.

Notación. Si h1 y h2 son ideales de g notamos con [h1, h2] al k-submódulo generado porlos elementos de la forma [h1, h2] con h1 ∈ h1 y h2 ∈ h2.

Lema 2.1.5. Dados ideales h1 y h2 de g, el k-submódulo [h1, h2] también resulta un idealde g.

Demostración. Sean h1 ∈ h1, h2 ∈ h2 y g ∈ g. Por la identidad de Jacobi obtenemos

[g, [h1, h2]] = [[h2, g], h1] + [h2, [h1, g]] ∈ [h1, h2].

Notación. Dada un álgebra de Lie g notaremos con gab al álgebra de Lie abeliana definidacomo gab := g/[g, g].

Definición 2.1.6. Sea g una k-álgebra de Lie. Un g-módulo a izquierda M es un k-módulo a izquierda junto con un morfismo de álgebras de Lie ϕ : g −→ Lie(Endk(M))o, equivalentemente, un k-módulo junto con una aplicación bilineal g⊗kM −→M , a lacual notaremos x⊗m 7→ xm, que cumple [x, y]m = x(ym)− y(xm) para todos x, y ∈ g ym ∈M . Análogamente puede definirse un g-módulo a derecha.

Ejemplos 2.1.7. 1. Si A es un álgebra asociativa, g = Lie(A) y M es un A-módulo,M resulta un g-módulo de la forma obvia.

2. Dada un álgebra de Lie g, esta resulta un g-módulo vía x · y := [x, y] para todosx, y ∈ g.

3. Para cualquier k-módulo M y álgebra de Lie g podemos definir la estructura deg-módulo trivial en M vía x ·m = 0 para todos x ∈ g y m ∈M .

4. A todo g-módulo a izquierdaM puede dársele una estructura de g-módulo a derechavía m · x := −x ·m para todos x ∈ g y m ∈M .

5. Dado un k-módulo M , se define el módulo de derivaciones de g en M comoDer(g,M) := {D ∈ Homk(g,M) : D([x, y]) = xD(y) − yD(x), ∀x, y ∈ g}. SiM = g, Der(g,M) se nota simplemente Der(g).

6. Sea g una k-álgebra de Lie y M un g-módulo. Se define el producto semidirectoentre g y M como la k-álgebra de Lie M o g que tiene como k-módulo subyacentea M ⊕ g y cuyo corchete es [(m, g), (n, h)] := (h ·m− g · n, [g, h])

2.1. RESULTADOS GENERALES 11

Definición 2.1.8. Un morfismo de g-módulos M y N es un morfismo de k-módulosf : M −→ N que cumple f(xm) = xf(m) para todos x ∈ g y m ∈ M . Notaremos conHomg(M,N) al conjunto de todos los morfismos de g-módulos de M en N .

Notación. Escribiremos g-Mod cuando hablemos de la categoría de g-módulos a izquierda.

2.1.2 Invariantes y coinvariantes

Definición 2.1.9. Sea g un álgebra de Lie y M un g-módulo a izquierda. Definimos losinvariantes y coinvariantes de M como sigue.

• Invariantes: Mg := {m ∈M : xm = 0 para todo x ∈ g}.

• Coinvariantes: Mg := M/gM .

Veremos ahora que (−)g y (−)g son funtores de la categoría de g-Mod a valores enk-Mod.

Sean M y N dos g-módulos y sea f ∈ Homg(M,N). Si m ∈Mg, resulta que xf(m) =f(xm) = 0 para todo x ∈ g, como consecuencia, f se restringe a f |Mg : Mg −→ Ng. Sim ∈ gM , existen xi ∈ g y mi ∈ M tales que m =

∑ximi, y luego f(m) =

∑xif(mi),

que es un elemento de gN . Esto permite definir f : Mg −→ Ng como f(m) := f(m).Por otro lado, consideramos F : k-Mod −→ g-Mod el funtor trivial, es decir, el funtor

que a cada k-módulo M le asocia el g-módulo trivial M y tal que, dados M y N dosk-módulos y f : M −→ N un morfismo entre ellos, F (f)(m) := f(m) para todo m ∈M .Notar que F (f) resulta un morfismo de g-módulos, ya que tanto xm como xf(m) sonnulos para todos x ∈ g y m ∈M .

Observación 2.1.10. Si M es un g-módulo y consideramos a k como g-módulo trivial,entonces Mg ∼= Homg(k,M) vía la correspondencia

m ∈Mg ←→ 1ϕ7→ m.

Proposición 2.1.11. Los funtores (−)g y (−)g son adjuntos a derecha y a izquierda,respectivamente, del funtor trivial. En particular (−)g es exacto a izquierda y (−)g esexacto a derecha.

Demostración. Se deduce fácilmente de la descripción de los morfismos hecha anterior-mente.

2.1.3 El álgebra envolvente universal

Dada una k-álgebra de Lie g su álgebra envolvente será una k-álgebra asociativa, quenotaremos U(g) y que cumple una cierta propiedad universal. El rol que tiene esta álgebrarespecto de g es análogo al del álgebra de grupo kG respecto de un grupo G. Probaremosque las categorías de g-módulos y U(g)-módulos son isomorfas, lo que implicará queg-Mod tiene suficientes objetos inyectivos y proyectivos. A partir de este hecho, podremosdefinir la homología y cohomología de álgebras de Lie como los funtores derivados de (−)g

y (−)g respectivamente, tal como sucede con la homología y cohomología de grupos.


Definición 2.1.12. Dada un álgebra de Lie g consideramos su álgebra tensorial T (g) y elideal bilátero I de esta última generado por los elementos de la forma x⊗y−y⊗x− [x, y]para todos x, y ∈ g. Se define el álgebra envolvente universal de g como U(g) := T (g)/I.Notaremos con x1| · · · |xn a los elementos homogéneos de grado n (respecto de la graduaciónevidente) de T (g) y con x1 · · ·xn a su clase en U(g).

Observación 2.1.13. Podemos definir la aplicación i : g −→ Lie(U(g)) como la compo-sición de los morfismos de k-módulos g i−→ T (g)

π−→ U(g), donde i es la inclusión de gen la componente de grado 1 de T (g) y π es la proyección al cociente. La función i esun morfismo de álgebras de Lie que, en caso de que g sea libre como k-módulo, resultainyectivo debido al siguiente teorema.

Teorema 2.1.14. (Poincaré-Birkhoff-Witt) Sea g un álgebra de Lie libre como k-móduloy sea {ei}i∈J una base ordenada de g. Si notamos I = (i1 ≤ · · · ≤ il) a una sucesiónfinita y ordenada de elementos de J y eI = ei1 · · · eil, entonces el conjunto {eI}I⊂J esuna base de U(g) como k-módulo.

Demostración. Puede consultarse en [CE56], Capítulo XIII, Sección 3.

Haremos ahora algunas observaciones que nos permitirán seguir avanzando hacia elobjetivo deseado.

Observaciones 2.1.15. 1. Si g y h son dos álgebras de Lie, todo morfismo f de g enh, puede extenderse a un morfismo de álgebras asociativas f : T (g) −→ U(h) dondef(x1| · · · |xn) := f(x1) · · · f(xn). El morfismo f pasa al cociente por I obteniendo

T (g)f //

π

��

U(g).

U(g)

U(f)

;;

Queda así definido un funtor U(−) de la categoría de k-álgebras de Lie a la dek-álgebras asociativas.

2. Dada una k-álgebra asociativa A y un morfismo de k-álgebras de Lie f : g −→Lie(A), queda bien definido el morfismo f : U(g) −→ A tal que f(x1 · · ·xn) :=f(x1) · · · f(xn), donde el producto de la derecha es el producto en A. Por otrolado, dado un morfismo de k-álgebras asociativas h : U(g) −→ A la compo-sición h ◦ i : g −→ Lie(A) resulta un morfismo de k-álgebras de Lie ya queh(i([x, y])) = h([x, y]) = h(xy − yx) = h(x)h(y) − h(y)h(x) = [h(i(x)), h(i(y))].Estas asignaciones son mutuamente inversas y dan un isomorfismo natural de k-módulos entre HomLie(g,Lie(A)) y Homk−alg(U(g), A). Esto prueba que el funtorLie(−) es adjunto a izquierda de U(−).

2.2. HOMOLOGÍA Y COHOMOLOGÍA DE ÁLGEBRAS DE LIE 13

3. Dado un k-módulo M , tomando el álgebra asociativa A = Endk(M) en el ítemanterior, obtenemos

HomLie(g,Lie(Endk(M))) ∼= Homk−alg(U(g),Endk(M)).

Es decir que si M es además un g-módulo, se le puede dar una estructura deU(g)-módulo de forma natural y si es un U(g)-módulo, también resulta un g-módulo. Concretamente, si M es un g-módulo y x1 · · ·xn ∈ U(g), la fórmula(x1 · · ·xn)m := x1(x2(· · · (xnm) · · · )) da una estructura de U(g)-módulo a M y siM es un U(g)-módulo y x ∈ g, M resulta un g-módulo mediante xm := i(x)m.Es fácil ver que un morfismo de g-módulos resulta también de U(g)-módulos yviceversa.

Del último ítem de la observación se deduce el siguiente teorema.

Teorema 2.1.16. La categoría de U(g)-módulos es naturalmente isomorfa a la categoríade g-módulos. En particular esta última tiene suficientes objetos inyectivos y proyectivos.

Podemos considerar a k como U(g)-módulo trivial. Notaremos ε : U(g) −→ Endk(k) ∼=k al morfismo que da la acción y lo llamaremos aumentación. Notaremos tambiénJ := Ker(ε) al ideal conocido con el nombre de ideal de aumentación. Es fácil verificarque J es el ideal bilátero generado por i(g) en U(g), que coincide con U(g)g y quek ∼= U(g)/J .

2.2 Homología y Cohomología de álgebras de Lie

La Proposición 2.1.11 y el Teorema 2.1.16 nos permiten definir los funtores derivados de(−)g y (−)g.

Definición 2.2.1. Sea g una k-álgebra de Lie y M un g-módulo a izquierda. Se definenla homología y cohomología de álgebras de Lie de g con coeficientes en M como

HLie• (g,M) := L•(−g)(M), H•Lie(g,M) := R•(−g)(M).

Veremos ahora cómo relacionar estas definiciones con funtores derivados conocidos enla categoría de U(g)-módulos.

Teorema 2.2.2. Sea g una k-álgebra de Lie y M un k-módulo libre que además esg-módulo a izquierda. Existen isomorfismos naturales

HLie• (g,M) ∼= TorU(g)• (k,M) H•Lie(g,M) ∼= Ext•U(g)(k,M).

Observación 2.2.3. La estructura de k como U(g)-módulo es la inducida por el morfismode aumentación.


Demostración. La cohomología y la homología de álgebras de Lie se obtienen mediantefuntores derivados, de la misma forma que Ext•U(g)(k,−) y TorU(g)• (k,−) y por lo tantoresultan δ-funtores universales. Para ver entonces que hay isomorfismos naturales comolos del enunciado basta ver que hay isomorfismos naturales entre los funtores derivadosde grado 0. Dichos isomorfismos son los indicados a continuación.

• k ⊗U(g) M ∼= (U(g)/J )⊗U(g) M ∼= M/gM = Mg,

• HomU(g)(k,M) = Homg(k,M) ∼= Mg.

Corolario 2.2.4. Dada un álgebra de Lie g,

HnLie(g,U(g)) = HLie

n (g,U(g)) = 0 para todo n ∈ N.

Demostración. Como U(g) es libre como U(g)-módulo, los funtores derivados Tor y Extse anulan en grados positivos.

A continuación recordaremos una serie de lemas y resultados que permitirán calcularlos grupos de homología y cohomología en grados bajos. Dada una k-álgebra de Lie gconsideramos la sucesión exacta de U(g)-módulos

0 // J // U(g)ε // k // 0. (2.1)

Dado un g-módulo M , aplicando TorU(g)• (−,M) resulta

HLien (g,M) = TorU(g)n (k,M) ∼= Tor

U(g)n−1(J ,M) si n ≥ 2

y la sucesión exacta de U(g)-módulos

0 // HLie1 (g,M) // J ⊗U(g) M //M //Mg

// 0. (2.2)

Lema 2.2.5. Dada una k-álgebra de Lie g y el ideal de aumentación asociado J , resulta

J /J 2 ∼= gab.

Demostración. Consideremos la inclusión i : g −→ U(g). Es fácil ver que i([g, g]) ⊆ J 2,por lo cual queda inducida i : gab −→ J /J 2. En el otro sentido, fijado n ∈ N, definimosσn : g×n −→ gab como

σn(x1, · · · , xn) =

{0 si n ≥ 2

x si n = 1.

Pasamos cada σn al producto tensorial y luego al álgebra tensorial T (g). Como elmorfismo resultante se anula sobre I, se factoriza por el álgebra envolvente, obteniendoσ : U(g) −→ gab. Este morfismo cumple que σ(x) = x para todo x ∈ g y que σ�J 2 ≡ 0.Podemos definir entonces el morfismo σ : J /J 2 −→ gab, que resulta ser el inverso dei.


Teorema 2.2.6. Dada una k-álgebra de Lie g, H1(g, k) ∼= gab.

Demostración. De la sucesión exacta (2.2) y del Lema 2.2.5 se deducen los siguientesisomorfismos

H1(g, k) ∼= J ⊗U(g) k ∼= J ⊗U(g) U(g)/JU(g) ∼= J /J 2 ∼= gab.

Corolario 2.2.7. Dada una k-álgebra de Lie g y un g-módulo trivial M , H1(g,M) ∼=gab ⊗kM .

Demostración. Como M = Mg, de (2.2) obtenemos que

H1(g,M) ∼= J ⊗U(g) M ∼= (J ⊗U(g) k)⊗kM ∼= gab ⊗kM.

Para dar una descripción de los grupos de cohomología, fijemos un g-módulo M yapliquemos HomU(g)(−,M) a la sucesión exacta (2.1). De ello resulta que

Hn(g,M) ∼= Extn−1U(g)(J ,M) si n ≥ 2

y la sucesión exacta de U(g)-módulos

0 //Mg //Mα // Homg(J ,M) // H1

Lie(g,M) // 0. (2.3)

De esta sucesión exacta se deduce que

H1(g,M) ∼= Homg(J ,M)/α(M).

Veremos que Homg(J ,M) es isomorfo a Der(g,M) y daremos una caracterización deIm(α).

Definición 2.2.8. Dado un g-módulo M y un elemento m ∈ M , definimos Dm ∈Homk(g,M) como Dm(x) := xm para todo x ∈ g. El morfismo Dm resulta una derivaciónya que Dm([x, y]) = [x, y]m = x(ym)− y(xm). Notaremos DerInn(g,M) al k-submódulode Der(g,M) formado por las derivaciones de la forma Dm con m ∈ M , a las quellamaremos derivaciones interiores.

Lema 2.2.9. Los k-módulos Homg(J ,M) y Der(g,M) son naturalmente isomorfos.

Demostración. Dado ϕ ∈ Homg(J ,M), le asignamos el morfismo Dϕ ∈ Der(g,M) de-finido por Dϕ(x) := ϕ(i(x)) para todo x ∈ g. Si x, y ∈ g, Dϕ([x, y]) = ϕ(i(x)) =ϕ(xy − yx) = xϕ(y)− yϕ(x) = xDϕ(y)− yDϕ(x).

Dada D ∈ Der(g,M) consideramos el morfismo ϕ : U(g) ⊗k g −→ M definido porϕ(u⊗x) := uD(x). Como D es una derivación, resulta ϕ(u⊗ [x, y]−ux⊗ y+uy⊗x) = 0y por lo tanto existe un morfismo inducido f : J −→ M definido por f(x0 · · ·xn) =x0 · · ·xn−1D(xn). Es claro que f ∈ Homg(J ,M).

Estas asignaciones son morfismos de k-módulos mutuamente inversos.


Teorema 2.2.10. Dado un g-módulo M , resulta H1(g,M) ∼= Der(g,M)/DerInn(g,M).

Demostración. Para probar este resultado basta verificar que Im(α) ∼= DerInn(g,M).Siguiendo la construcción de la sucesión exacta (2.3), puede verse que α se factoriza como

M −→ Homg(U(g),M) −→ Homg(J ,M),

donde la primera flecha es la que a cada m ∈M le asigna el morfismo de g-módulos ϕmque cumple ϕm(1) = m y la segunda es la restricción a J . Por el isomorfismo del lemaanterior, podemos identificar el subconjunto α(M) de Homg(J ,M) con DerInn(g,M):dado m ∈M y x ∈ g, resulta Dα(m)(x) = Dϕm(x) = ϕm(i(x)) = xm = Dm(x).

2.2.1 La resolución de Chevalley-Eilenberg

Dada una k-álgebra de Lie g libre como k-módulo, podemos utilizar la resolución deChevalley-Eilenberg, que es una resolución de k como U(g)-módulo trivial, para calcularsus grupos de homología y cohomología.

De aquí en más, g será un k-módulo libre.

Definición 2.2.11. Para cada n ∈ N, se define la n-ésima potencia exterior de g como∧n g := g⊗n/J , donde J es el submódulo generado por los elementos de la formax1 ⊗ · · · ⊗ xn − (−1)σ(n)xσ(1) ⊗ · · · ⊗ xσ(n). Notaremos con x1 ∧ · · · ∧ xn a la clase dex1| · · · |xn y por convención,

∧0 g = k.

Observación 2.2.12. Si {ei}i∈I es una base ordenada de g como k-módulo, entoncespara cada n ∈ N, {ei1 ⊗ · · · ⊗ ein : ij ∈ I} es una base de g⊗n como k-módulo. Además,el conjunto {ei1 ∧ · · · ∧ ein : i1 < · · · < in, ij ∈ I} resulta una k-base de

∧n g.

Definición 2.2.13. Se define el complejo de Chevalley-Eilenberg de la siguiente manera

· · · // U(g)⊗∧3 g

d2 // U(g)⊗∧2 g

d1 // U(g)⊗ gd0 // U(g), (C•)

con los diferenciales dados por

dn(u⊗ x0 ∧ · · · ∧ xn) = θ1 + θ2,

donde

θ1 :=n∑i=0

(−1)iuxi ⊗ x0 ∧ · · · ∧ xi ∧ · · ·xn,

θ2 :=∑i<j

(−1)i+ju⊗ [xi, xj ] ∧ x0 · · · ∧ xi ∧ · · · ∧ xj ∧ · · · ∧ xn.

Proposición 2.2.14. El complejo de Chevalley-Eilenberg es un complejo de U(g)-móduloslibres.


Demostración. Veamos primero que es un complejo, es decir, que d◦d = 0. Para simplificarla notación, si i < j escribiremos xi : xj en lugar de x0 · · · ∧ xi ∧ · · · ∧ xj ∧ · · · ∧ xn, yanálogamente, si i < j < k escribiremos xi : xj : xk y si i < j < k < l escribiremosxi : xj : xk : xl. También notaremos

d(θ1) = θ1,1 + θ1,2,

d(θ2) = θ2,1 + θ2,2.

Resulta entonces que

d ◦ d(u⊗ x0 ∧ · · · ∧ xn) = θ1,1 + θ1,2 + θ2,1 + θ2,2.

Analicemos cada sumando por separado,

θ1,1 =n∑i=0

(−1)i

[i−1∑k=0

(−1)kuxixk ⊗ xk : xi +n∑

k=i+1

(−1)k−1uxixk ⊗ xi : xk

]=∑k<i

(−1)i+kuxixk ⊗ xk : xi +∑i<k

(−1)k+i−1uxixk ⊗ xi : xk

=∑i<k

(−1)i+kuxkxi ⊗ xi : xk −∑i<k

(−1)k+iuxixk ⊗ xi : xk

=∑i<k

(−1)i+ku[xk : xi]⊗ xi : xk.

θ1,2 =

n∑i=0

i−2∑j=0

i−1∑k=j+1

(−1)j+k+iuxi ⊗ [xj : xk] ∧ xj : xk : xi

+

n∑i=0

i−1∑j=0

n∑k=i+1

(−1)j+k+i−1uxi ⊗ [xj : xk] ∧ xj : xi : xk

+n∑i=0

n−1∑j=i+1

n∑k=j+1

(−1)j+k+iuxi ⊗ [xj : xk] ∧ xi : xj : xk.


θ2,1 =θ1

∑i<j

(−1)i+ju⊗ [xi, xj ] ∧ xi : xj

=∑i<j

(−1)i+j−1u[xi : xj ]⊗ xi : xj

+

n∑k=0

k−2∑i=0

k−1∑j=i+1

(−1)i+j+k+1uxk ⊗ [xi, xj ] ∧ xi : xj : xk

+

n∑k=0

k−1∑i=0

n∑j=k+1

(−1)i+j+kuxk ⊗ [xi, xj ] ∧ xi : xk : xj

+n∑k=0

n−1∑i=k+1

n∑j=i+1

(−1)i+j+k+1uxk ⊗ [xi, xj ] ∧ xk : xi : xj

De estas igualdades se deduce que θ1,1 + θ1,2 + θ2,1 = 0. Veamos que θ2,2 = 0.

θ2,2 =∑i<j<k

(−1)i+j+ku⊗ [[xi, xj ], xk] ∧ xi : xj : xk

+∑i<k<j

(−1)i+j+k−1u⊗ [[xi, xj ], xk] ∧ xi : xk : xj

+∑k<i<j

(−1)i+j+ku⊗ [[xi, xj ], xk] ∧ xk : xi : xj

+∑

k<l<i<j

(−1)i+j(−1)k+lu⊗ [xk : xl] ∧ [xi, xj ] ∧ xk : xl : xi : xj

+∑

k<i<l<j

(−1)i+j(−1)k+l−1u⊗ [xk : xl] ∧ [xi, xj ] ∧ xk : xi : xl : xj

+∑

k<i<j<l

(−1)i+j(−1)k+lu⊗ [xk : xl] ∧ [xi, xj ] ∧ xk : xi : xj : xl

+∑

i<k<l<j

(−1)i+j(−1)k+lu⊗ [xk : xl] ∧ [xi, xj ] ∧ xi : xk : xl : xj

+∑

i<k<j<l

(−1)i+j(−1)k+l−1u⊗ [xk : xl] ∧ [xi, xj ] ∧ xi : xk : xj : xl

+∑

i<j<k<l

(−1)i+j(−1)k+lu⊗ [xk : xl] ∧ [xi, xj ] ∧ xi : xj : xk : xl.

Las tres primeras sumatorias se cancelan entre sí por la identidad de Jacobi. En cuantoa las últimas seis, reordenando los índices y utilizando la antisimetría de

∧n g, se puedever que la cuarta sumatoria se cancela con la novena, la quinta con la octava y la sextacon la séptima.


Como∧n g es un k-módulo libre, existe un conjunto I tal que

∧n g ∼= k(I) como k-módulos. Resulta entonces que

∧n g⊗kU(g) ∼= k(I)⊗kU(g) ∼= U(g)(I) como U(g)-módulos,es decir,

∧n g⊗k U(g) es un U(g) módulo libre.

Proposición 2.2.15. El complejo (C•, d•) es una resolución libre de k como U(g)-módulo.

Demostración. Para probar que es una resolución es necesario ver que el complejo

· · · // U(g)⊗∧3 g

d2 // U(g)⊗∧2 g

d1 // U(g)⊗ gd0 // U(g)

ε // k

es exacto. Una prueba de este hecho puede encontrarse en [CE56], Capítulo XIII, Sección7. Notemos que ya probamos en la demostración anterior que cada Cn es libre comoU(g)-módulo.

Corolario 2.2.16. Sea g una k-álgebra de Lie de dimensión n. Dado m ∈ N, m mayorque n,

HmLie(g,−) = HLie

m (g,−) = 0.

Demostración. Como∧m g = 0 para todo m mayor que n, el complejo de Chevalley-

Eilenberg se anula a partir del término n-ésimo.

Corolario 2.2.17. Sea g una k-álgebra de Lie y sea M un g-módulo. El k-módulograduado H•Lie(g,M) es la cohomología del complejo

· · · Homk(∧2g,M)oo Homk(g,M)δ1oo M

δ0oo 0oo (2.4)

cuyos diferenciales están dados por

δn(f)(x0 ∧ · · · ∧ xn) =n∑i=0

(−1)ixi · f(x0 ∧ · · · ∧ xi ∧ · · · ∧ xn)

+∑i<j

(−1)i+jf([xi, xj ] ∧ x0 ∧ · · · ∧ xi ∧ · · · ∧ xj ∧ · · · ∧ xn).

Demostración. Como H•Lie(g,M) ∼= Ext•U(g)(k,M), basta con aplicar HomU(g)(−,M) a laresolución de Chevalley-Eilenberg e identificar de forma natural HomU(g)(U(g)⊗

∧• g,M)con Homk(

∧• g,M).

2.2.2 Extensiones y cohomología en grado 2

En esta sección daremos una caracterización de H2Lie(g,M) en términos de extensiones.

Definición 2.2.18. Sean g una k-álgebra de Lie y M una k-álgebra de Lie abeliana. Unaextensión de g por M es una sucesión exacta corta de álgebras de Lie

0 //Mi // n

π // g // 0. (2.5)


Definición 2.2.19. Sean 0 −→ M −→ n1 −→ g −→ 0 y 0 −→ M −→ n2 −→ g −→ 0dos extensiones de g por M . Diremos que estas extensiones son equivalentes si existe unisomorfismo de álgebras de Lie n1 ∼= n2 tal que el siguiente diagrama conmuta

0 //Mi1 // n1

π1 //

∼=��

g // 0

0 //Mi2 // n2

π2 // g // 0.

(2.6)

Observación 2.2.20. Bajo las condiciones de la Definición 2.2.18, podemos darle a Muna estructura de g-módulo de la siguiente forma. Si x ∈ g, m ∈M e y es una preimagenpor π de x, definimos x ∗m := i−1([i(m), y]). Dado que π([i(m), y]) = [π(i(m)), y] =[0, y] = 0, el elemento [i(m), y] pertenece a la imagen de i. Además, como i es unmonomorfismo, es un isomorfismo con su imagen. Y si y1, y2 ∈ n son dos preimágenes dex, entonces y1 − y2 ∈ Ker(π) = Im(i). Eligiendo n ∈ M tal que i(n) = y1 − y2 resulta[i(m), y1 − y2]) = [i(m), i(n)] = i([m,n]) = 0 pues M es abeliana.

Definición 2.2.21. Sean g una k-álgebra de Lie, M un g-módulo, que consideraremostambién k-álgebra de Lie abeliana, y sea 0 −→M −→ n −→ g −→ 0 una extensión de gpor M . Diremos que la extensión es compatible con M si la estrucura de g-módulo en Mque induce la extensión coincide con la estructura de g-módulo dada.

Proposición 2.2.22. Sea M un g-módulo. La extensión 0 −→M −→Mog −→ g −→ 0es compatible con M .

Demostración. Dados x ∈ g y m ∈M , basta observar que π(0, x) = x, i(m) = (m, 0) yx ∗m = i−1([(m, 0), (0, x)]) = i−1(x ·m, 0) = x ·m.

A esta extensión la llamaremos extensión trivial de g por M .

Proposición 2.2.23. Sean M un g-módulo y E : 0 −→ Mi−→ n

π−→ g −→ 0 unaextensión compatible de g por M . Las siguientes afirmaciones son equivalentes.

1. Existe un morfismo de álgebras de Lie σ : g −→ n tal que π ◦ σ = idg.

2. E es equivalente a la extensión trivial.

Demostración. Supongamos que existe un morfismo de álgebras de Lie σ como en 1.Definimos ϕ : M o g −→ n como ϕ(m,x) := i(m) + σ(x). Veamos que ϕ un morfismo deálgebras de Lie. Sean (m,x), (n, y) ∈M o g. Primero observemos que, como π(σ(x)) = x,π(σ(y)) = y y la extensión es compatible conM , resulta que x·n = x∗n = i−1([i(n), σ(x)])e y ·m = y ∗m = i−1([i(m), σ(y)])

ϕ([(m,x), (n, y)]) =i(y ·m− x · n) + σ([x, y])

=[i(m), σ(y)]− [i(n), σ(x)] + [σ(x), σ(y)]

=[i(m), σ(y)] + [σ(x), i(n)] + [σ(x), σ(y)]

=[i(m) + σ(x), i(n) + σ(y)]

=[ϕ(m,x), ϕ(n, y)].


Además, ϕ tiene una inversa dada por ϕ−1(e) = (i−1(e− σ ◦ π(e)), π(e)) y por lo tantoresulta un isomorfismo.

Supongamos ahora que existe un isomorfismo de álgebras de Lie ψ : M o g −→ ntal que la extensión trivial es equivalente a E mediante ψ. Definimos σ : g −→ n comoσ(x) := ψ(0, x). Es fácil ver que π(σ(x)) = πψ(0, x) = x.

Observación 2.2.24. Como estamos suponiendo que g es libre como k-módulo, siempreexiste σ : g −→ n sección k-lineal. Dada una de estas secciones, se verifica que

π ◦ σ([x, y]) = [x, y] = [π(σ(x)), π(σ(y))] = π([σ(x), σ(y)]),

es decir, queσ([x, y])− [σ(x), σ(y)] ∈ Ker(π) = Im(i).

Podemos definir entonces χσ :∧2 g −→ g como

χσ(x ∧ y) = i−1(σ([x, y])− [σ(x), σ(y)]).

Notemos que si σ además de ser una sección k-líneal es una sección de k-álgebras deLie, resulta que χσ = 0.

Proposición 2.2.25. Dadas E : 0 −→ M −→ n −→ g −→ 0 una extensión compatiblede g por M , σ : g −→ n una sección k-líneal, χσ definido en la observación anterior y losdiferenciales del complejo (2.4), valen las siquientes afirmaciones.

1. χσ ∈ Ker(δ2).

2. Si σ′ : g −→ n es otra sección k-líneal, entonces χσ − χσ′ ∈ Im(δ1).

Demostración. 1. Veremos primero que i ◦ δ2(χσ) = 0. Como i es un monomorfismo,esto implicará que δ2(χσ) = 0.

i(δ2(χσ)(x ∧ y ∧ z)) =i(x ∗ χσ(y ∧ z)− y ∗ χσ(x ∧ z) + z ∗ χσ(x ∧ y)]

− χσ([x, y] ∧ z) + χσ([x, z] ∧ y)− χσ([y, z] ∧ x)

=[σ([y, z]), σ(x)]− [[σ(y), σ(z)], σ(x)]

− [σ([x, z]), σ(y)] + [[σ(x), σ(z)], σ(y)]

+ [σ([x, y]), σ(z)]− [[σ(x), σ(y)], σ(z)]

+ σ([[x, y], z])− σ([[y, z], x]) + σ([[x, z], y])

− [σ([x, y]), σ(z)]− [σ([y, z]), σ(x)] + [σ([x, z]), σ(y)].

Algunos términos se cancelan trivialmente, y los restantes se anulan debido a laidentidad de Jacobi.


2. Dado x ∈ g, como π(σ(x)) = π(σ′(x)) = x, existe β(x) ∈ M tal que σ′(x) =σ(x) + i(β(x)). Como i es monomorfismo, β : g −→M así definido resulta k-líneal.

Dados x, y ∈ g, obtenemos que

χσ(x ∧ y)− χσ′(x ∧ y) =i−1(σ([x, y])− [σ(x), σ(y)]− σ′([x, y]) + [σ′(x), σ′(y)])

=i−1(−i(β([x, y])) + [σ(x), i(β(y))] + [i(β(x)), σ(y)]

=− β[x, y]− x ∗ β(y) + y ∗ β(x) = −δ1(β)(x ∧ y).

Aquí usamos una vez más que M es un álgebra de Lie abeliana.

Corolario 2.2.26. Existe una aplicación

Ψ : {Extensiones compatibles de g por M} −→ H2Lie(g,M)

que asigna a cada extensión la clase de χσ en H2Lie(g,M), para alguna sección k-lineal σ.

Observación 2.2.27. Si Ei : 0 −→M −→ ni −→ g −→ 0, i = 1, 2 son dos extensionesequivalentes provistas de secciones k-lineales σ1 y σ2 respectivamente, entonces existe unisomorfismo de álgebras de Lie ϕ : n1 −→ n2 que hace conmutar el siguiente diagrama

0 //Mi1 // n1

π1 //

ϕ

��

g //

σ1~~

0

0 //Mi2 // n2

π2 // g //

σ2

bb 0.

Notemos que ϕ−1σ2 es otra sección k-lineal de E1, y de la Proposición 2.2.25 se deduceque las clases en H2

Lie(g,M) de χσ1 y χϕ−1σ2 coinciden.Además, de la conmutatividad del diagrama resulta que

χσ2(x ∧ y)− χϕ−1σ2(x ∧ y) =i−12 (σ2([x, y])− [σ2(x), σ2(y)])

− i−11 (ϕ−1σ2([x, y])− [ϕ−1σ2(x), ϕ−1σ2(y)])

=i−12 (σ2([x, y])− [σ2(x), σ2(y)])

− i−11 ϕ−1(σ2([x, y])− [σ2(x), σ2(y)]) = 0.

Como extensiones equivalentes dan origen a 2-cociclos χσ1 y χσ2 tales que χσ1 = χσ2en H2

Lie(g,M), la aplicación Ψ defininida en el corolario anterior pasa al cociente por estarelación de equivalencia. Obtenemos entonces una aplicación

Ψ :

{Clases de extensiones

compatibles de g por M

}−→ H2

Lie(g,M).

El objetivo ahora será ver que Ψ es biyectiva.


Proposición 2.2.28. (Inyectividad de Ψ) Dadas dos extensiones compatibles de g porM , Ei : 0 −→ M −→ ni −→ g −→ 0, i = 1, 2 y secciones k-lineales σi : g −→ ni talesque χσ1 y χσ2 coinciden en H2

Lie(g,M), resulta que E1 es equivalente a E2.

Demostración. Sea β : g −→ M un morfismo que cumple que χσ2 = χσ1 + δ1(β). Sidefinimos σ1 := σ1 + i1 ◦ β, se verifica que π1σ1 = π1σ1 = idg. Además, resulta queχσ1 = χσ1 + δ1(β) = χσ2 , y por lo tanto podemos suponer que no solo las clases de χσ1 yχσ2 son iguales en el grupo de cohomología, sino que χσ1 = χσ2 . Notaremos simplementeχ a este elemento.

Daremos una estructura de álgebra de Lie a M ⊕ g que dependerá solo de χ y haráque

0 −→M −→ (M ⊕ g)χ −→ g −→ 0

sea equivalente a E1 y a E2.Sea ψ1 : n1 −→M ⊕ g el isomorfismo k-lineal dado por

ψ1(e) = (i−11 (e− σ1 ◦ π1(e)), π1(e)),

cuya inversa esψ−11 (m,x) = i1(m) + σ1(x).

Dando a M ⊕ g la estructura de álgebra de Lie que hace de ψ1 un isomorfismo de álgebrasde Lie, es decir

[(m,x), (n, y))]χ :=ϕ1([ψ−11 (m,x), ψ−11 (n, y)])

=ψ1([i1(m) + σ1(x), i1(n) + σ1(y)])

=ψ1(i1(y ·m− x · n) + [σ1(x), σ1(y)])

=(y ·m− x · n, 0) + ψ1([σ1(x), σ1(y)])

=(y ·m− x · n, 0) + i−1([σ1(x), σ1(y)]− σ1([x, y]), [x, y])

=(y ·m− x · n− χ(x ∧ y), [x, y]).

Obtenemos isomorfismos n1 ∼= n2 ∼= (M ⊕ g)χ de álgebras de Lie. Además, dados e ∈ n1y m ∈M vale que

π2 ◦ ψ−12 ◦ ψ1(e) = π1(e)

y queψ−12 ◦ ψ1 ◦ i1(m) = i2(m).

Por lo tanto E1 es equivalente a E2.

Proposición 2.2.29. La aplicación Ψ definida en la Observación 2.2.27 es sobreyectiva.

Demostración. Sea χ ∈ Ker(δ2). Como en la demostración anterior, daremos una estruc-tura de álgebra de Lie conveniente a M ⊕ g. Definimos en este k-módulo el corchete

[(m,x), (n, y))]χ := (y ·m− x · n− χ(x ∧ y), [x, y]).


Sean i : M −→M ⊕ g y σ : g −→M ⊕ g las inclusiones y π : M ⊕ g −→ g la proyecciónen la segunda coordenada. Es claro que σ es una sección k-lineal de π y se verifica que

χσ(x ∧ y) = i−1((0, [x, y])− [(0, x), (0, y)]) = i−1(χ(x ∧ y), 0) = χ(x ∧ y).

Por lo tanto, χ = Ψ(0 −→M −→ (M ⊕ g)χ −→ g −→ 0).

De las últimas dos proposiciones se deduce el siquiente teorema.

Teorema 2.2.30. Sea g una k-álgebra de Lie libre como k-módulo y sea M un g-módulo.El segundo grupo de cohomología de g con coeficientes en M , H2

Lie(g,M), está en biyeccióncon las clases de equivalencia de las extensiones compatibles de g por M .

2.3 Álgebras de Lie complejas de dimensión 4

En esta sección listaremos las C-álgebras de dimensión 4. Un algoritmo utilizado pararealizar su clasificación puede consultarse en [Aga02].

Teorema 2.3.1. Sea g una C-álgebra de Lie de dimensión 4. Existe una C-base{x, y, z, w} de g en la cual la expresión de los corchetes no nulos entre x, y, z y wes alguna de las indicadas en la siguiente tabla. La primera columna indica el nombre conel cual es conocida el álgebra correspondiente a los corchetes de la segunda columna.

L0

L1 [x, y] = z

L2 [x, y] = z, [x, z] = w

L3 [x, y] = y, [x, z] = z, [x,w] = w

L4(α) [x, y] = y, [x, z] = z, [x,w] = z + αw

L4(∞) [x, y] = y

L5 [x, y] = y, [x, z] = z, [x,w] = 2w, [y, z] = w

L6 [x, y] = y, [x, z] = −z, [y, z] = x

L7(α, β) [x, y] = y, [x, z] = y + αz, [x,w] = z + βw

L8(α) [x, y] = y, [x, z] = y + αz, [x,w] = (α+ 1)w, [y, z] = w

L9 [x, y] = y, [z, w] = w

Esta forma de describir las álgebras de Lie es conocida como forma normal.

Capítulo 3

Homología de Hochschild ydeformaciones

A lo largo de este capítulo k será un anillo conmutativo con unidad y A será una k-álgebraasociativa. Escribiremos | o ⊗ para referirnos a ⊗k.

3.1 Homología y cohomología de Hochschild

Definición 3.1.1. Dada una k-álgebra asociativa A se define su álgebra envolvente comoAe = A⊗k Aop, donde Aop indica al álgebra opuesta de A. El producto en Ae está dadopor (a⊗ b)(c⊗ d) = ac⊗ db.

Observación 3.1.2. Dadas dos k-álgebras asociativas A y B, tener un A-B-bimódulo Mes lo mismo que tener un A⊗Bop-módulo ya que si M es un k-módulo que además tieneestructura de A-B-bimódulo, m es un elemento de M , a ∈ A y b ∈ B, se puede definir(a⊗ b) ·m := (a ∗m) ∗ b = a ∗ (m ∗ b) y así M resulta un A⊗Bop-módulo a izquierda.

Recíprocamente, si M es un A⊗ Bop-módulo a izquierda, m es un elemento de M ,a ∈ A y b ∈ B, definimos estructuras de A-módulo a izquierda y B-módulo a derechacomo a∗m = (a⊗1B) ·m y m∗b := (1A⊗b) ·m. Es fácil verificar que estas dos estructurasson compatibles y que M resulta un A-B-bimódulo.

En particular, esto nos da una manera de identificar la categoría de A-A-bimóduloscon la categoría de Ae-módulos. Por lo tanto, siendo una categoría de módulos, tienesuficientes objetos proyectivos.

Definición 3.1.3. Dado un A-bimódulo M se definen la homología y cohomología deHochschild de A con coeficientes en M como

H•(A,M) := TorAe

• (A,M) H•(A,M) := Ext•Ae(A,M).

En el caso en que M = A, la homología y la cohomología de Hochschild se suelen notarcon HH•(A) y HH•(A) respectivamente.

Si miramos a A como Ae-módulo, siempre existe la siguiente resolución libre.

25

26 CAPÍTULO 3. HOMOLOGÍA DE HOCHSCHILD Y DEFORMACIONES

Definición 3.1.4. Dada A una k-álgebra asociativa, se puede definir el complejo Bar deAe-módulos

· · · // A|A⊗3|Ab′2 // A|A⊗2|A

b′1 // A|A|Ab′0 // A|A µ // A // 0. (3.1)

donde µ es la multiplicación en A y dado n, b′n está dado por

b′n(1|a0| · · · |an|1) = a0| · · · |an|1

+

n−1∑i=0

(−1)i+11|a0| · · · |aiai+1| · · · |an|1 + (−1)n+11|a0| · · · |an.

Proposición 3.1.5. El complejo Bar es una resolución libre de A como A-bimódulo.

Demostración. Se puede encontrar una demostración de este hecho en [CE56], CapítuloIX, Sección 6.

Utilizando la resolución Bar describiremos los complejos cuya homología y cohomologíaes la de Hochschild.

Para calcular la homología, dado un Ae-módulo M , aplicamos el funtor −⊗Ae M a(3.1). Identificando de forma natural A|A⊗n|A⊗Ae M con A⊗n|Ae ⊗Ae M , y luego esteúltimo con A⊗n|M , resulta el complejo

· · · // A⊗3|M b2 // A⊗2|M b1 // A|M b0 //M // 0, (A⊗•|M)

cuyos diferenciales son

bn(a0| · · · |an|m) =

a1| · · · |an|ma0 +n−1∑i=0

(−1)i+1a0| · · · |aiai+1| · · · |m+ (−1)n+1a0| · · · |an−1|anm.

Por otra parte, dado un Ae-módulo M , aplicamos el funtor HomAe(−,M) a laresolución Bar. Identificando HomAe(A|A⊗n|A,M) con HomAe(A

e|A⊗n,M) y este últimocon Homk(A

⊗n,M) obtenemos el complejo

· · · Homk(A⊗2,M)

δ2oo Homk(A,M)δ1oo M

δ0oo 0,oo (Homk(A⊗•,M))

cuyos diferenciales están dados por

δ0(m)(a) = am−ma,

y si n es mayor o igual que 1,

δn(f)(a0| · · · |an) =

a0f(a1| · · · |an) +

n−1∑i=0

(−1)i+1f(a0| · · · |aiai+1| · · · |an) + (−1)n+1f(a0| · · · |an−1)an.

Puede definirse en⊕∞

i=0 Homk(A⊗i, A) un producto que hace de Homk(A

⊗•, A) unálgebra diferencial graduada.

3.1. HOMOLOGÍA Y COHOMOLOGÍA DE HOCHSCHILD 27

Definición 3.1.6. Dados n,m ∈ N y elementos homogéneos ϕ ∈ Homk(A⊗n, A) y ψ ∈

Homk(A⊗m, A), el producto cup entre ϕ y ψ es el elemento ϕ ^ ψ ∈ Homk(A

⊗(n+m), A)definido por

ϕ ^ ψ(a1 · · · |an|an+1| · · · |am) = ϕ(a1| · · · |an)ψ(an+1| · · · |am).

Lema 3.1.7. Sean ϕ ∈ Homk(A⊗n, A) y ψ ∈ Homk(A

⊗m, A). El producto cup satisface

δn+m(ϕ ^ ψ) = δn(ϕ) ^ ψ + (−1)nmϕ ^ δm(ψ).

Demostración. Basta simplemente con calcular δn+m(ϕ ^ ψ).

Este producto induce una estructura de k-álgebra graduada en la cohomología deHochschild. También puede definirse en

⊕i∈N0

Homk(A⊗i, A) una estructura de álgebra

de Lie de la siguiente manera.

Definición 3.1.8. Dados n,m ∈ N, f ∈ Homk(A⊗n, A) y g ∈ Homk(A

⊗m, A), se defineel asociador entre f y g, f ◦ g ∈ Homk(A

⊗(n+m−1), A) como

f ◦ g(a1| · · · |an+m−1)

=n∑i=1

(−1)(i−1)(m−1)f(a1| · · · |ai−1|g(ai| · · · |ai+m−1)|ai+m| · · · |am+n−1)

y el corchete de Gerstenhaber como

[f, g] = f ◦ g − (−1)(n−1)(m−1)g ◦ f.

Lema 3.1.9. Dados n,m ∈ N, f ∈ Homk(A⊗n, A) y g ∈ Homk(A⊗m, A), vale la siguienteigualdad

δ(f ◦ g) = f ◦ δ(g) + (−1)m−1δ(f) ◦ (g) + (−1)m−1(g ^ f − (−1)nmf ^ g).

Demostración. Como en el lema anterior, basta realizar el cálculo.

Las identidades de los dos últimos lemas nos serán útiles en la próxima sección.Dado un k-espacio vectorial Z-graduado V =

⊕n∈Z Vn, se define V [1] como

V [1] :=⊕n∈Z

Vn[1]

donde Vn[1] = Vn+1.

Definición 3.1.10. Un álgebra de Gerstenhaber es un k-módulo graduado A, equipadocon dos operaciones · y [−,−] que cumplen las siquientes propiedades. Dados* La fórmulaque hay al final de la página 61, línea -3, se sale del margen. n,m, p ∈ N y elementoshomogéneos x, y y z de grados n, m y p respectivamente,


• El producto x · y es conmutativo graduado, es decir, x · y es homogéneo de gradon+m y x · y = (−1)nmy · x.

• [−,−] es un corchete de Lie graduado en A[1].

• [−, z] es una derivación de grado p−1, es decir, [x·y, z] = [x, z]·y+(−1)n(p−1)x·[y, z].

La cohomología de Hochschild de un álgebra A provista del producto cup y el corchetede Gerstenhaber inducido por la Definición 3.1.8 es un álgebra de Gerstenhaber.

3.1.1 Cohomología de Hochschild de álgebras envolventes de álgebrasde Lie

En esta sección veremos cómo, a partir de la resolución de Chevalley-Eilenberg de unálgebra de Lie, podemos calcular la cohomología de Hochschild de su álgebra envolvente.

Se define en U(g) la estructura de g-módulo a izquierda dada por

x · u = xu− ux

para x ∈ g y u ∈ U(g). Esta acción así definida se llama acción adjunta y cuandoconsideremos a U(g) con esta acción lo notaremos U(g)ad.

Proposición 3.1.11. Sea g una k-álgebra de Lie y sea A = U(g) su álgebra envolvente.Existen isomorfismos naturales

HH•(A) ∼= HLie• (g, Aad), HH•(A) ∼= H•Lie(g, A

ad).

Demostración. Daremos la prueba para la cohomología. La demostración para la homo-logía es análoga.

Ya vimos en el Teorema 2.2.2 que H•Lie(g, Aad) ∼= Ext•A(k,Aad), por lo cual para

probar la proposición, basta ver que Ext•A(k,Aad) es isomorfo a Ext•Ae(A,A). Paracalcular Ext•A(k,Aad) contamos con la resolución de Chevalley-Eilenberg de k, cuyosdiferenciales ya describimos en el capítulo anterior

· · · // A|∧3 g

d2 // A|∧2 g

d1 // A|g d0 // Aε // k // 0.

Aplicando el funtor HomA(−, Aad) a la resolución, obtenemos el complejo

· · · HomA(A|∧2 g, Aad)oo HomA(A|g, Aad)

δ1oo Aadδ0oo 0.oo

Identificando de forma natural HomA(A|∧n g, Aad) con Homk(

∧n g, Aad) resulta el com-plejo

· · · Homk(∧2 g, Aad)oo Homk(g, A

ad)δ1oo Aadδ0oo 0.oo (3.2)

3.1. HOMOLOGÍA Y COHOMOLOGÍA DE HOCHSCHILD 29

Si u ∈ Aad, xi ∈ g y n ∈ N, los diferenciales pueden escribirse como

δ0(u)(x0) = x0 · u

δn(f)(x0 ∧ · · · ∧ xn) =

n∑i=0

(−1)ixi · f(x0 ∧ · · · ∧ xi ∧ · · · ∧ xn)

+∑i<j

(−1)i+jf([xi, xj ] ∧ x0 ∧ · · · ∧ xi ∧ · · · ∧ xj ∧ · · · ∧ xn),

donde · denota la acción adjunta de g en A. Por lo tanto, Ext•A(k,Aad) es la homologíadel complejo (3.2). Veremos ahora que este complejo también se puede obtener aplicandoel funtor HomAe(−, A) a un complejo que será homotópicamente equivalente al complejoBar, lo que implicará que sus homologías coincidirán. Para construir el complejo quebuscamos, necesitaremos algunas definiciones.

Sea S : U(g) −→ U(g) la antípoda en la estructura usual de álgebra de Hopf enA. Consideremos ahora sobre Ae las siguientes estructuras de Ae-módulo a izquierda yA-módulo a derecha, respectivamente:

x⊗ y ⇀ a⊗ b : = xa⊗ by,

a⊗ b ↼ z : =∑

az1 ⊗ S(z2)b.

Es fácil verificar que con estas estructuras Ae resulta un Ae-A-bimódulo. Además, Ae

resulta un A-módulo proyectivo (ver Lema 8 de [Whi10]). Sea C• la resolución de Chevalley-Eilenberg. Como Ae es proyectivo como A-módulo a derecha, Ae⊗AC• resulta una sucesiónexacta. Si identificamos canónicamente Ae ⊗A A|

∧• g con Ae|∧• g y con A|

∧• g|A,y también identificamos a Ae ⊗A k con Ae ⊗A (A/Ker(ε)) y con Ae/(Ae Ker(ε)) =Ae/Ker(µ) ∼= A, donde µ : Ae −→ A denota la multiplicación, la sucesión Ae ⊗A C• setransforma en

· · · // A|∧3 g|A d2 // A|

∧2 g|A d1 // A|g|A d0 // Aeµ // A // 0, (3.3)

cuyos diferenciales son, para n > 0,

dn(1|x0 ∧ · · · ∧ xn|1)

=n∑i=0

(−1)i(xi|x0 ∧ · · · ∧ xi ∧ · · · ∧ xn|1− 1|x0 ∧ · · · ∧ xi ∧ · · · ∧ xn|xi)

+∑i<j

(−1)i+j1|[xi, xj ] ∧ x0 ∧ · · · ∧ xi ∧ · · · ∧ xj ∧ · · · ∧ xn|1, y

d0(1|x|1) = x|1− 1|x.

Se puede verificar que al aplicar el funtor HomAe(−, A) a esta resolución de A comoAe-módulo a izquierda, se obtiene el complejo (3.2), cuya homología es Ext•A(k,Aad).


Además, podemos comparar la resolución (3.3) de A con la resolución Bar, levantando laidentidad de A en ambos sentidos

· · · // A|∧3 g|A //

ϕ

��

A|∧2 g|A //

ϕ

��

A|g|A //

ϕ

��

Ae //

ϕ

��

A // 0

· · · // A|A⊗3|A //

η

OO

A|A⊗2|A //

η

OO

A|A|A //

η

OO

Ae //

η

OO

A // 0.

Las composiciones ϕ ◦ η y η ◦ ϕ son homotópicas a las respectivas identidades por serlevantados de la identidad. Por lo tanto, al aplicar HomAe(−, A), estos morfismos resultanmutuamente inversos a nivel homología, concluyendo la demostración.

Corolario 3.1.12. Si g es una k-álgebra de Lie de dimensión n y A es su álgebraenvolvente, entonces

HH i(A) = HHi(A) = 0

para todo i mayor que n.

Corolario 3.1.13. Sea g una k-álgebra de Lie y A = U(g) su álgebra envolvente. Existeun morfismo natural de k-módulos inducido por la inclusión i : g −→ A

H•Lie(g, g) −→ HH•(A).

Demostración. La inclusión i : g −→ A induce una transformación natural i∗ : F −→ Gentre los funtores F = HomA(−, g) y G = HomA(−, A). Luego, si notamos con C• a laresolución de Chevalley-Eilenberg, esta transformación natural induce un morfismo decomplejos Φ : F (C•) −→ G(C•) y por lo tanto un morfismo en la homología.

3.2 Deformaciones de Gerstenhaber de álgebras asociativas

El contenido de las próximas dos secciones puede encontrarse en [Ger64].Aquí k será un cuerpo algebraicamente cerrado de característica 0, A será una k-

álgebra asociativa y notaremos con A[[t]] al anillo de series formales con coeficientes enA.

Definición 3.2.1. Una familia uniparamétrica de deformaciones de A es un productoasociativo enA[[t]] determinado por la extensión k[[t]]-bilineal de una función ft : A×A −→A[[t]] dada por

ft(a, b) = ab+ F1(a, b)t+ F2(a, b)t2 + · · ·

donde Fi : A×A −→ A es una función k-lineal para todo i ∈ N.

Notaremos a esta álgebra At o Aft , y para abreviar, la llamaremos simplemente unadeformación de A.

3.2. DEFORMACIONES DE GERSTENHABER DE ÁLGEBRAS ASOCIATIVAS 31

3.2.1 Integrabilidad y obstrucciones

Dada una deformación At de A, será asociativa si se satisface que

ft(ft(a, b), c) = ft(a, ft(b, c))

para todos a, b, c ∈ A. Desarrollando la fórmula de ft y utilizando la bilinealidad, estacondición se traduce en ∑

i+j=s

Fi(Fj(a, b), c)− Fi(a, Fj(b, c)) = 0

para todos a, b, c ∈ A y para todo s ∈ N0. Aquí F0 denotará el producto en A, es decir,F0(a, b) = ab. Despejando los términos (0, s) y (s, 0) obtenemos que∑

i+j=si,j>0

Fi ◦ Fj = δ2(Fs)

para todo s ∈ N0, donde Fi ◦ Fj denota al asociador entre Fi y Fj , y δ2 es el morfismode grado 2 del complejo de Hochschild Homk(A

⊗•, A). Estas ecuaciones suelen llamarseecuaciones de deformación. Por lo tanto, ft será asociativo si y solo si se satisfacen lasecuaciones de deformación. Observemos que para s = 0, estas ecuaciones describen laasociatividad del producto en A, y para s = 1, se traducen en la condición δ2(F1) = 0, esdecir, que si ft es asociativo, F1 debe ser necesariamente un 2-cociclo de Hochschild. Másen general, vale el siguiente resultado.

Lema 3.2.2. Si ft una familia uniparamétrica de deformaciones de A tal que Fi = 0para todo i = 0, · · · , n− 1, entonces Fn es un 2-cociclo de Hochschild.

Demostración. Para s = n, las ecuaciones de deformación dicen que

δ2(Fn) =∑i+j=ni,j>0

Fi ◦ Fj = 0,

pues si i+ j = n y i, j > 0, entonces Fi = Fj = 0.

Una pregunta natural que surge es saber si dado un 2-cociclo de Hochschild existirá unproducto asociativo ft tal que dicho 2-cociclo sea su primer término no nulo. La respuestaes negativa, como veremos a continuación.

Definición 3.2.3. Sea F1 un 2-cociclo de Hochschild. Decimos que F1 es integrable siexiste una familia {Fi}i≥2 tal que verifica las ecuaciones de deformación, es decir, si existeuna familia uniparamétrica de deformaciones que empieza en F1.

Tomemos F1 ∈ HH2(A), llamemos también F1 a un representante de esta clase deequivalencia y tratemos de integrarlo a una familia de deformaciones. Como A es asociativa


y F1 es un cociclo, se cumplen las ecuaciones de deformación para s = 0, 1. Si F1 fueseintegrable, entonces la ecuación de deformación para s = 2 diría que F1 ◦ F1 = δ2(F1).

Por otro lado, δ3(F1 ◦ F1) = F1 ◦ δ2(F1)− δ2(F1) ◦ F1 + F1 ^ F1 − F1 ^ F1 = 0, esdecir, que F1 ◦ F1 es un 3-cociclo para todo F1 ∈ HH2(A); y si queremos que F1 seaintegrable, F1 ◦ F1 deberá ser cohomólogo a 0. En general vale el siguiente resultado.

Lema 3.2.4. Si F1, · · · , Fn ∈ Homk(A⊗A,A) son tales que∑i+j=si,j>0

Fi ◦ Fj = δ2(Fs)

para todo s = 1, · · · , n, entonces

G :=∑

i+j=n+1i,j>0

Fi ◦ Fj

es un 3-cociclo de Hochschild.

Demostración. Primero calculamos

δ3(G) =n∑i=1

Fi ◦ δ2(Fn−i)− δ2(Fi) ◦ Fn−i + Fi ^ Fn−1 − Fn−i ^ Fi

=n∑i=1

Fi ◦ δ2(Fn−i)− δ2(Fi) ◦ Fn−i

=

n∑i=1

(n−i−1∑k=1

Fi ◦ (Fk ◦ Fn−i−k)−i−1∑k=1

(Fk ◦ Fi−k) ◦ Fn−i

)=

∑i+j+k=ni,j,k>0

Fi ◦ (Fj ◦ Fk)− (Fi ◦ Fj) ◦ Fk.

Luego,

2δ3(G) =∑

i+j+k=ni,j,k>0

Fi ◦ (Fj ◦ Fk)− (Fi ◦ Fj) ◦ Fk + Fi ◦ (Fk ◦ Fj)− (Fi ◦ Fk) ◦ Fj

=∑

i+j+k=ni,j,k>0

Fi ◦ ((Fj + Fk) ◦ (Fj + Fh))− (Fi ◦ (Fj + Fk)) ◦ (Fj + Fk) = 0.

Como k tiene característica 0, G resulta un 3-cociclo.

De esta forma, se puede interpretar el tercer grupo de cohomología de Hochschildcomo el lugar donde viven las obstrucciones para poder integrar un 2-cociclo.


3.2.2 Deformaciones triviales y equivalencia de deformaciones

Definición 3.2.5. Dos familias de deformaciones ft y gt se dicen equivalentes si existeun isomorfismo de k[[t]]-álgebras Φt : Aft −→ Agt , dado por la extensión k[[t]]-lineal de

Φt(a) = a+ ϕ1(a)t+ ϕ2(a)t2 + · · · ,

donde ϕi : A −→ A es k-lineal para todo i ∈ N. Decimos que una familia ft es trivial sies equivalente a A con el producto usual, es decir, si es equivalente a la deformación nula.

Observación 3.2.6. Dada una deformación trivial ft, de la definición se sigue queΦt(ft(a, b)) = Φt(a)Φt(b). El término de la izquierda es

Φt(ft(a, b)) = ab+ (ϕ1(ab) + F1(a, b))t+O(t2),

y el de la derecha es

Φt(a)Φt(b) = ab+ (aϕ1(b) + ϕ1(a)b)t+O(t2),

por lo tanto, igualando los términos lineales, obtenemos que F1(a, b) = δ1(ϕ1)(a, b), esdecir, F1 es nulo en HH2(A).

En general, si ft es equivalente a gt, de la igualdad Φt(ft(a, b)) = gt(Φt(a),Φt(b)), sededuce que F1 = G1 + δ1(ϕ1).

Lema 3.2.7. Sean ft y gt dos deformaciones. El morfismo Φt : Aft −→ Agt dado porΦt(a) := idA + ϕ1(a)t+ ϕ2(a)t2 + · · · , es una equivalencia si y solo si∑

i+j=s

ϕi(Gj(a, b)) =∑

i+j+k=s

Fi(ϕj(a), ϕk(b))

para todos s ∈ N0 y a, b ∈ A.

Demostración. Se sigue de desarrollar la igualdad Φt(ft(a, b)) = gt(Φt(a),Φt(b)) y agruparsegún las distintas potencias de t.

Proposición 3.2.8. Sea ft una familia uniparamétrica no trivial de deformaciones deA. Existen n ≥ 2 y una familia uniparamétrica de deformaciones gt equivalente a ft quecumple que Gi = 0 para i = 0, · · · , n− 1 y que Gn es un 2-cociclo no cohomólogo a 0.

Demostración. Sea ft una deformación no trivial de A. Sea n ∈ N tal que Fi = 0 sii es menor que n y Fn 6= 0. Por el Lema 3.2.2, sabemos que Fn es un 2-cociclo. SiFn no es un coborde, concluye la demostración. En caso contrario, existe ϕ tal queFn = δ1(ϕ). Consideramos el morfismo Φt = idA − tnϕ y la deformación definidapor gt(a, b) := Φ−1t ft(Φt(a),Φt(b)), entonces gt es equivalente a ft y, si gt(a, b) = ab +G1(a, b)t+G2(a, b)t

2 + · · · , además cumple que

Φt(gt(a, b)) = Φt(ab+G1(a, b)t+G2(a, b)t2 + · · · )

= ab+G1(a, b)t+ · · · − tn(ϕ(ab) + ϕ(G1(a, b)t) + · · · ),


y por otro lado resulta

ft(Φt(a),Φt(b)) = ft(a− tnϕ(a), b− tnϕ(b))

=

∞∑i=0

Fi(a, b)ti −

( ∞∑i=0

Fi(a, ϕ(b)) + Fi(ϕ(a), b)ti+n

)+

∞∑i=0

Fi(ϕ(a), ϕ(b))t2n

= ab+ (Fn(a, b)− aϕ(b)− ϕ(a)b)tn +O(tn+1).

Igualando coeficiente a coeficiente, vemos que si i es menor que n, entonces Gi = 0 y queGn(a, b) − ϕ(ab) = Fn(a, b) − aϕ(b) − ϕ(a)b, y como δ1(ϕ) = Fn, se sigue que Gn = 0.Podemos ahora aplicar el mismo razonamiento a gt.

Podría suceder que el procedimiento no termine. En ese caso, podemos construir unasucesión de automorfismos Ψk := Φ1 ◦ Φ2 ◦ · · · ◦ Φk y proceder como en la Proposición3.2.18 de [Cho12].

Corolario 3.2.9. Si HH2(A) = 0, entonces toda deformación es trivial.

En estos casos, se dice que A es rígida.

3.2.3 Deformaciones de Gerstenhaber de un álgebra de Lie

En esta sección, k seguirá siendo un cuerpo algebraicamente cerrado de característica 0.

Definición 3.2.10. Sea g una k-álgebra de Lie. Dar una familia uniparamétrica dedeformaciones de g consiste en dar corchete de Lie en g[[t]] dado por la extensión k[[t]]-bilineal de ft :

∧2 g −→ g[[t]] como sigue

ft(v, w) = [v, w] + F1(v, w)t+ F2(v, w)t2 + · · · ,

donde Fi : g× g −→ g es k-lineal y alternado para todo i ∈ N.

Notaremos a esta álgebra de Lie con gt ó gft , dependiendo del caso.

Definición 3.2.11. Sea g una k-álgebra de Lie. Dos familias uniparamétricas de defor-maciones ft y gt de g se dirán equivalentes si existe un isomorfismo de k[[t]]-álgebras deLie, Φt : gft −→ ggt , dado por la extensión k[[t]]-lineal de

Φt(a) = a+ ϕ1(a)t+ ϕ2(a)t2 + · · · ,

donde cada ϕ : g× g −→ g es k-lineal.Sea f0 la deformación tal que Fi = 0 para todo i ∈ N. Decimos que una familia ft es

trivial si es equivalente a f0.


3.2.4 Integrabilidad y obstrucciones

Sea g una k-álgebra de Lie y sea ft una familia uniparamétrica de deformaciones. Lacondición de Jacobi en gt se expresa como

ft(ft(a, b), c) + ft(ft(b, c), a) + ft(ft(c, a), b) = 0,

que se traduce en∑i+j=s

Ft(Ft(a, b), c) + Ft(Ft(b, c), a) + Ft(Ft(c, a), b) = 0,

para todo s ∈ N0, donde F0 denota al corchete de g. Despejando los términos correspon-dientes a (s, 0) y (0, s) resulta∑

i+j=si,j>0

Ft(Ft(a, b), c) + Ft(Ft(b, c), a) + Ft(Ft(c, a), b) = δ2(Fs)(a, b, c),

donde δ2 es el diferencial del grado 2 del complejo Homk(∧• g, g) y s ∈ N0.

De estas ecuaciones se deduce que F1 es un 2-cociclo, y también se deducen lossiguientes resultados, cuyas demostraciones son similares a las del caso asociativo.

Proposición 3.2.12. Sean F1, · · · , Fn−1 ∈ Homk(g× g, g) tales que

δ2(Fs)(a, b, c) =∑i+j=si,j>0

Ft(Ft(a, b), c) + Ft(Ft(b, c), a) + Ft(Ft(c, a), b),

para s = 1, · · · , n− 1 y para todos a, b, c ∈ g. Si definimos G por

G(a, b, c) :=∑i+j=ni,j>0

Ft(Ft(a, b), c) + Ft(Ft(b, c), a) + Ft(Ft(c, a), b),

entonces G es un 3-cociclo del complejo Homk(∧• g, g).

Proposición 3.2.13. Sea g una k-álgebra de Lie y sea ft una deformación no trivial.Existen n ∈ N≥2 y una deformación gt tal que G1 = · · · = Gn−1 = 0, Gn no es un2-coborde y ft es equivalente a gt.

Corolario 3.2.14. Si g es una k-álgebra de Lie tal que H2Lie = 0, entonces toda defor-

mación de g es trivial.

En este caso se dice que el álgebra g es rígida.


Capítulo 4

Cálculo de la cohomología deHochschild

El objetivo de este capítulo es calcular la cohomología de Hochschild del álgebra envolventede un álgebra de Lie compleja de dimensión 4 para calcular en el futuro sus deformaciones.El álgebra estudiada es L4(α), con α 6= 0, que recordamos, es el álgebra de Lie con base{x, y, z, w}, y corchetes no nulos dados por [x, y] = y, [x, z] = z y [x,w] = z + αw.

A partir de cierto momento descartaremos el caso en que α es un número racionalnegativo. Escribiremos k para referirnos a C en reiteradas ocasiones. En adelante, g seráigual a L4(α).

La mayor diferencia con respecto al cálculo de la cohomología de Hochschild de unálgebra envolvente de un álgebra de Lie de dimensión 3 realizado en [Cho12] está dadapor la acción adjunta de x sobre U(g), que ya no es diagonal como en el caso de dimensión3. Esto hace que los cálculos sean mucho más complicado como puede apreciarse en estecapítulo.

4.1 Cálculos preliminares

El álgebra envolvente U(g) puede expresarse de la siguiente forma, en términos degeneradores y relaciones

U(g) =k〈x, y, z, w〉

(xy − yx− y, xz − zx− z, xw − wx− αw − z, yz − zy, yw − wy, zw − wz).

Usando la resolución de Chevalley-Eilenberg, y siguiendo la construcción de la Subsec-ción 3.1.1, la cohomología de Hochschild de U(g) es la cohomología del complejo

0∧4 g∗|U(g)oo

∧3 g∗|U(g)δ3oo

∧2 g∗|U(g)δ2oo g∗|U(g)

δ1oo U(g)δ0oo 0.oo

Notaremos con dx a dy∧dz∧dw y análogamente escribiremos dy, dz y dw. Los diferencialesdel complejo son

37

38 CAPÍTULO 4. CÁLCULO DE LA COHOMOLOGÍA DE HOCHSCHILD

δ0(u) = dx|x · u+ dy|y · u+ dz|z · u+ dw|w · u,δ1(dx|u1 + dy|u2 + dz|u3 + dw|u4)

=dx ∧ dy|(x · u2 − y · u1 − u2) + dx ∧ dz|(x · u3 − z · u1 − u3)+ dx ∧ dw|(x · u4 − w · u1 − u3 − αu4) + dy ∧ dz|(y · u3 − z · u2)+ dy ∧ dw|(y · u4 − w · u2) + dz ∧ dw|(z · u4 − w · u3),

δ2(dx ∧ dy|v12 + dx ∧ dz|v13 + dx ∧ dw|v14 + dy ∧ dz|v23 + dy ∧ dw|v24 + dz ∧ dw|v34)=dw|(z · v12 − y · v13 + x · v23 − 2v23)

+ dz|(w · v12 − y · v14 + x · v24 − (1 + α)v24 − v23)+ dy|(w · v13 − z · v14 + x · v34 − (1 + α)v34)

+ dx|(w · v23 − z · v24 + y · v34),δ3(dx|u1 + dy|u2 + dz|u3 + dw|u4)

= dx ∧ dy ∧ dz ∧ dw|(x · u1 − y · u2 + z · u3 − w · u4 − (2 + α)u1).

Para calcular la cohomología de Hochschild de U(g), probaremos primero una serie delemas preparatorios. El primero de ellos provee reglas de conmutación del álgebra U(g).

Lema 4.1.1. Dados i, j, k ∈ N0 y l ∈ N, valen las siguientes reglas de conmutación

yjx = (x− j)yj ,zkx = (x− k)zk,

wlx = (x− lα)wl − lzwl−1,yxi = (x− 1)iy,

zxi = (x− 1)iz,

wxi = (x− α)iw −

(i−1∑t=0

(x− α)t(x− 1)i−1−t

)z.

Demostración. Es inmediata, razonando por inducción en los exponentes.

Los dos lemas siguientes describen la acción adjunta de g en U(g).

Lema 4.1.2. La acción adjunta de x sobre un monomio xiyjzkwl en U(g), donde i, j, k, l ∈N0, está descripta por la siguente igualdad.

x · xiyjzkwl = (j + k + αl)xiyjzkwl + lxiyjzk+1wl−1.

No nos preocuparemos en distinguir si l es positivo o no, ya que el coeficiente queacompaña al monomio xiyjzk+1wl−1 es l.

4.1. CÁLCULOS PRELIMINARES 39

Demostración. Utilizando el Lema 4.1.1 simplemente calculamos

x · xiyjzkwl = xi+1yjzkwl − xiyjzkwlx= xi+1yjzkwl − xiyjzk[(x− lα)wl − lzwl−1]= xi+1yjzkwl − xiyjzkxwl + lαxiyjzkwl + lxiyjzk+1wl−1

= xi+1yjzkwl − xiyj(x− k)zkwl + lαxiyjzkwl + lxiyjzk+1wl−1

= xi+1yjzkwl − xiyjxzkwl + (k + lα)xiyjzkwl + lxiyjzk+1wl−1

= xi+1yjzkwl − xi(x− j)yjzkwl + (k + lα)xiyjzkwl + lxiyjzk+1wl−1

= xi+1yjzkwl − xi+1yjzkwl + (j + k + lα)xiyjzkwl + lxiyjzk+1wl−1

= (j + k + αl)xiyjzkwl + lxiyjzk+1wl−1.

Observación 4.1.3. El primer término proviene de una derivación euleriana correspon-diente a asignarle a y, z y w grado 1 y a x grado 0; y el segundo de la k[x, z]-derivaciónwl 7→ lzwl−1.

Lema 4.1.4. La acciones adjuntas de y y de z sobre U(g) están dadas, respectivamente,por las siguientes fórmulas. Dado p =

∑λi,j,k,lx

iyjzkwl en U(g),

y · p = (p(x− 1, y, z, w)− p(x, y, z, w))y,

z · p = (p(x− 1, y, z, w)− p(x, y, z, w))z.

Demostración.

y ·∑

λi,j,k,lxiyjzkwl =

∑λi,j,k,lyx

iyjzkwl −∑

λi,j,k,lxiyjzkwly

=∑

λi,j,k,l(x− 1)iyyjzkwl −∑

λi,j,k,lxiyjzkwly

=∑

λi,j,k,l(x− 1)iyjzkwly −∑

λi,j,k,lxiyjzkwly

= (p(x− 1, y, z, w)− p(x, y, z, w))y.

La otra igualdad se demuestra de forma análoga.

Lema 4.1.5. Si L es un cuerpo de característica 0, p es un polinomio en L[x] tal queexiste β ∈ L∗ que verifica p(x− β) = p(x), entonces p es constante.

Demostración. Supongamos que p no es constante. Sea L la clausura algebraica de L ysea r0 una raíz de p en L. Sabemos que

0 = p(r0) = p(r0 − β) = p(r0 − 2β).

Puede probarse fácilmente que p(r0 − nβ) = 0 para todo n ∈ N, y por lo tanto p tieneinfinitas raíces, lo que es absurdo.

Lema 4.1.6. Si p =∑λi,j,k,lx

iyjzkwl es un elemento de U(g) tal que y ·p = 0 o z ·p = 0,entonces λi,j,k,l = 0 para todo i 6= 0.


Demostración. Si 0 = y · p =∑λi,j,k,l[(x − 1)i − xi]yj+1zkwl, el teorema de Poincaré-

Birkhoff-Witt (Teorema 2.1.14), asegura que∑iλi,j,k,l[(x − 1)i − xi] = 0 para todos

j, k, l ∈ N0. Si denotamos qj,k,l(x) al polinomio∑iλi,j,k,lx

i, el lema anterior dice que qj,k,l

tiene que ser constante, es decir, que λi,j,k,l = 0 si i 6= 0.

4.2 Cálculo del centro

Sabemos que y, z y w conmutan entre sí, luego lo mismo sucede con los polinomios enestos tres generadores. El cálculo del centro se reduce a describir primero cuáles son loelementos del álgebra que conmutan con x y a ver después cuáles de estos están en elcentro. En el caso en que α no es racional negativo hacemos lo primero en el Lema 4.2.1y concluímos en la Proposición 4.2.3.

Sea B = {xiyjzkwl, i, j, k, l ∈ N0} una base de monomios de U(g), ordenada de lasiguiente forma: xiyjzkwl es menor que xi′yj′zk′wl′ si

• l < l′ o

• l = l′ y k < k′ o

• l = l′, k = k′ y j < j′

• l = l′, k = k′, j = j′ y i < i′.

Para cada n ∈ N0, sea Vn el subespacio vectorial de U(g) generado por el conjunto{xiyjzkwl : i+ j + k + l = n} y sea Bn = B ∩ Vn una base de monomios de Vn.

Observemos que si p ∈ Vn, el Lema 4.1.2 garantiza que x · p también lo está, por lotanto podemos considerar la aplicación lineal x · − : Vn −→ Vn; su matriz en la base

B va a ser de la forma M =

0 ∗

0 M ′

, donde M ′ es una matriz cuadrada de tamaño

dimkVn− 1, es triangular superior y en la diagonal tiene elementos de la forma j + k+αl,con j + k + αl = n− i+ (α− 1)l.

Lema 4.2.1. Dado n ∈ N0, la acción adjunta de x sobre U(g) se restringe a Vn. Denota-remos también a esta acción por x · − : Vn −→ Vn. Su núcleo es Ker(x · −) = 〈xn〉.Demostración. Es claro que xn ∈ Ker(x · −). Para demostrar la igualdad, veamos quedimk(Ker(x · −)) ≤ 1, o equivalentemente, que rg(x · −) ≥ dimkVn − 1. Sabemos querg(x · −) ≥ rg(M ′) y este último es igual a dimkVn − 1 si y solo si los elementos de ladiagonal de M ′ son no nulos. Como estos son de la forma j + k + αl = n− i+ (α− 1)l yα /∈ Q<0, estos nunca se anulan, lo que concluye la demostración.

Corolario 4.2.2. Si α ∈ C \Q<0, entonces el centro Z(U(g)) está incluido en k[x].

Proposición 4.2.3. Si α ∈ C \Q<0, entonces Z(U(g)) = k

Demostración. Sea p =∑λix

i ∈ Z(U(g)). Como y · p = 0 y U(g) es íntegra, el Lema4.1.6 garantiza que λi = 0 para todo i no nulo.

4.3. CÁLCULO DEL PRIMER GRUPO DE COHOMOLOGÍA 41

4.3 Cálculo del primer grupo de cohomología

Comenzaremos demostrando dos resultados generales, el primero sobre el anillo depolinomios k[x]. En el segundo lema exhibiremos otra base del k-espacio U(g).

Lema 4.3.1. Sea α ∈ C∗. La aplicación ∆α : k[x] −→ k[x] definida por ∆α(p) =p(x− α)− p(x) es sobreyectiva y su núcleo es el conjunto de los polinomios constantes.

Demostración. Fijado n ∈ N, sea kn[x] el subespacio de k[x] generado por los monomiosde grado menor o igual que n. Consideremos ∆α|kn[x] : kn[x] −→ kn−1[x]. Como laimagen por ∆α|kn[x] de la base {1, x, x2, · · ·xn} de kn[x] contiene n polinomios de distintogrado, resulta una base de kn−1[x] y por lo tanto luego ∆α|kn[x] es sobreyectiva. Comoesto es cierto para n cualquiera, la función ∆α es sobreyectiva.

Es claro que para todo n ∈ N, 〈1〉k está incluido en el núcleo de ∆α|kn[x], y como laaplicación es sobreyectiva, por el teorema de la dimensión vale la igualdad. Luego, dadoun polinomio p ∈ Ker(∆α) no nulo de grado n, es claro que pertenece a Ker(∆α|kn[x]) =〈1〉k.

Lema 4.3.2. El conjunto B′ = {((x − 1)i − xi)yjzkwl : i ∈ N, j, k, l ∈ N0} es una basede U(g).

Demostración. Usando que B = {xiyjzkwl, i, j, k, l ∈ N0} es una base de U(g) y el Lema4.3.1 para α = 1, se ve fácilmente que B′ es un sistema de generadores. Para ver que eslinealmente independiente, tomaremos una combinación lineal igualada a 0 y llegaremosa que todos los coeficientes son nulos. Sea r − 1 al grado en x de esa combinación lineal.Supongamos que existen coeficientes λi,j,k,l ∈ k tales que

0 =r∑i=1

∑j,k,l

λijkl((x− 1)i − xi)yjzkwl

=

r∑i=1

((x− 1)i − xi)∑j,k,l

λijklyjzkwl

=r∑i=1

i−1∑t=0

(i

t

)xt(−1)i−t

∑j,k,l

λijklyjzkwl

=r−1∑t=0

r∑i=t+1

(i

t

)xt(−1)i−t

∑j,k,l

λijklyjzkwl

=

r−1∑t=0

∑j,k,l

r∑i=t+1

(i

t

)(−1)i−tλijklx

tyjzkwl.

Como B es base del k-espacio U(g), resulta que

r∑i=t+1

(i

t

)(−1)i−tλijkl = 0


para todos los j, k, l que correspondan y para todo t = 0, · · · , r − 1. Fijando j, k y l, ypensando a la ecuación anterior como un sistema de r ecuaciones con r incógnitas (queya está triangulado), se puede ver que λijkl = 0 para todo i = 1, · · · , r.

Lema 4.3.3. Sea α ∈ C \ {0, 1}. Para todo i ∈ N vale la igualdad

i−1∑t=0

(x− α)t(x− 1)i−1−t =(x− α)i − (x− 1)i

1− α.

Demostración. Basta observar que (x− α)− (x− 1) = 1− α.

Observación 4.3.4. La aplicación ∆α nos permite expresar las acciones adjuntas de y,z y w sobre un polinomio p ∈ k[x] como

y · p = ∆1(p)y,

z · p = ∆1(p)z,

si α 6= 1, entonces w · p = ∆α(p)w − ∆α(p)−∆1(p)

1− αz,

y si α = 1 e i ∈ N, entonces w · xi = ∆1(xi)w − i(x− 1)i−1z.

Esta notación nos será muy útil más adelante.

Los lemas siguientes describen la imagen de la acciones adjuntas por los elementos dela base de g.

Lema 4.3.5. La imagen de x · − : U(g) −→ U(g) puede describirse como

Im(x · −) = U(g)y + U(g)z + U(g)w.

Demostración. Dado que la acción adjunta de x sobre U(g) es k−lineal, basta probarambas inclusiones para monomios. Sea p = xiyjzkwl un monomio en U(g).

Veamos primero que todo elemento de la imagen tiene grado positivo en y, z o w. Enel Lema 4.1.2 probamos que cualesquiera sean i, j, k, l ∈ N0

x · xiyjzkwl = (j + k + αl)xiyjzkwl + lxiyjzk+1wl−1.

Recordemos que y, z y w conmutan entre sí. Resumiremos en el siguiente cuadro quésucede con x · p en los diferentes casos.

Si. . . entonces

j > 0 x · p ∈ U(g)y,

j = 0 y k > 0 x · p ∈ U(g)z,

j = k = 0 y l > 0 x · p = αlwl + lzwl−1 ∈ U(g)z + U(g)w,

j = k = l = 0 x · p = 0.


Demostremos ahora la igualdad. Sea p ∈ U(g)y + U(g)z + U(g)w, p 6= 0 probaremos lainclusión que falta por inducción en l, que es el grado en w de p.

Si l = 0, entonces j + k 6= 0 y x · xiyjzk = (j + k)xiyjzk, de donde se deduce quex · p

j+k = p.Sea ahora l > 0 y supongamos que todo monomio en U(g) de grado menor o igual

que l − 1 en w está en Im(x · −). Veamos que los monomios de grado l en w tambiénpertenecen a Im(x · −). Como α ∈ C \Q<0, el coeficiente j + k + αl nunca se anula, yluego

x · xiyjzkwl

j + k + αl= xiyjzkwl +

l

j + k + αlxiyjzk+1wl−1

Por hipótesis inductiva, existe q ∈ U(g) tal que lj+k+αlx

iyjzk+1wl−1 = x · q, luego

x ·(

p

j + k + αl− q)

= p.

Lema 4.3.6. La imagen de la acción adjunta de y en U(g) es

Im(y · −) = U(g)y

y la imagen de la acción adjunta de z en U(g) es

Im(z · −) = U(g)z.

Demostración. Ambas inclusiones se siguen de los Lemas 4.1.4 y 4.3.1.

Lema 4.3.7. Sea p ∈ k[x]. Para todo l ≥ 1, pwl pertenece a Im(w · −) + Im(z · −).

Demostración. Por la Observación 4.3.4 sabemos que si i ∈ N y

• α 6= 1, entonces w · xi = ∆α(xi)w − ∆α(xi)−∆1(xi)

1− αz,

• α = 1, entonces w · xi = ∆1(xi)w − i(x− 1)i−1z.

Dados p ∈ k[x] y l ≥ 1, por el Lema 4.3.1 y lo dicho recién, existen q ∈ k[x] y u ∈ k[x]zwl−1

tales que w · qwl−1 = pwl + u. Se sigue además del Lema 4.3.6 que u ∈ Im(z · −).

El lema siguiente permite una primera aproximación al cálculo de HH1(U(g)).

Lema 4.3.8. Sean

u2 =∑

λi,j,k,lxiyjzkwl, u3 =

∑µi,j,k,lx

iyjzkwl

tales que y · u3 − z · u2 = 0. Los coeficientes respectivos cumplen las condiciones:

• si i, k ∈ N y j, l ∈ N0, entonces µi,j,k,l = λi,j+1,k−1,l,

• si i ∈ N y j, l ∈ N0, entonces µi,j,0,l = 0,


• si i ∈ N y k, l ∈ N0, entonces λi,0,k,l = 0.

Demostración. Utilizando el Lema 4.1.4, que nos dice cómo son las acciones adjuntas dez e y obtenemos∑

µi,j,k,l[(x− 1)i − xi]yj+1zkwl =∑

λi,j,k,l[(x− 1)i − xi]yjzk+1wl.

Por el Lema 4.3.2 tenemos que para todo i positivo vale la igualdad∑j,k,l

µi,j,k,lyj+1zkwl =

∑j,k,l

λi,j,k,lyjzk+1wl.

Mirando el coeficiente de z0 obtenemos que∑j,l

µi,j,0,lyj+1wl = 0,

es decir, que µi,j,0,l = 0 para todos j, l ∈ N0, y para todo i ∈ N. Los coeficientes de zk

con k positivo resultan ser∑j,l

µi,j,k,lyj+1wl =

∑j,l

λi,j,k−1,lyjwl

para todos j, l ∈ N0. Si convenimos que µi,−1,k,l = 0, mirando el coeficiente de yj en laecuación anterior obtenemos la igualdad∑

l

µi,j−1,k,lwl =

∑l

λi,j,k−1wl

para todo j ∈ N0, lo que implica que µi,j−1,k,l = λi,j,k−1,l para j, l ∈ N0 i, k ∈ N y concluyela demostración.

Para continuar con el cálculo de los grupos de cohomología definiremos dos endomor-fismos de U(g) y obtendremos información sobre sus núcleos y sus imágenes.

Lema 4.3.9. Sea ϕ : U(g) −→ U(g) el morfismo dado por ϕ(u) = x · u − u y seaα ∈ C \Q<0. Describimos el núcleo de ϕ de la siguiente forma.

1. Si α 6= 1m para todo m ∈ N, entonces Ker(ϕ) = k[x]y + k[x]z.

2. Si α = 1, entonces Ker(ϕ) = k[x]y + k[x]z.

3. Si α = 1m con m ∈ N≥2, entonces Ker(ϕ) = k[x]y+k[x]pm, donde pm = ( z

α−1 +w)m.

Demostración. De la fórmula para la acción adjunta de x que provee el Lema 4.1.2deducimos que si p =

∑λi,j,k,lx

iyjzkwl es un elemento de U(g) entonces

ϕ(p) =∑

λi,j,k,l[(j + k + αl − 1)xiyjzkwl + lxiyjzk+1wl−1]. (4.1)


Con esta escritura es fácil ver que k[x]y + k[x]z o k[x]y + k[x]pm, según el valor de α quecorresponda, está incluido en ker(ϕ). Para probar la inclusión restante separaremos encasos. Sea p =

∑λi,j,k,lx

iyjzkwl en Ker(ϕ), es decir,∑λi,j,k,l[(j + k + αl − 1)xiyjzkwl + lxiyjzk+1wl−1] = 0. (4.2)

Como en la demostración del Lema 4.3.8, iremos analizando los coeficientes de las potenciasde z, en este caso los de la igualdad (4.2).

1. Sea α 6= 1m para todo m ∈ N.

• Coeficiente de z0: ∑i,j,l

λi,j,0,l(j + αl − 1)xiyjwl = 0.

Esta igualdad implica que λi,j,0,l(j + αl− 1) = 0 para todos i, j, l ∈ N0. Comoα 6= 1

m para todo m ∈ N y no es un racional negativo, el coeficiente j + αl − 1se anula solo si j = 1 y l = 0, y por lo tanto los λi,j,0,l son todos nulos salvoeventualmente λi,1,0,0.

• Coeficiente de z1:∑i,j,l

λi,j,1,l(j + αl)xiyjwl + λi,j,0,llxiyjwl−1 = 0

Utilizando la información obtenida con el coeficiente anterior reducimos estaecuación a ∑

i,j,l

λi,j,1,l(j + αl)xiyjwl = 0.

Notar que el único λi,j,0,l que puede ser no nulo está multiplicado por un 0,correspondiente al índice l. Nuevamente, como α 6= 1

m para todo m ∈ N y noes un racional negativo, j + αl se anula solo si j = l = 0 y resulta que λi,j,1,lson todos nulos salvo eventualmente λi,0,1,0.


λi,j,2,l(j + 1 + αl)xiyjwl + λi,j,1,llxiyjwl−1 = 0

Análogamente al caso anterior, reducimos la ecuación a∑i,j,l

λi,j,2,l(j + 1 + αl)xiyjwl = 0.

Como α 6= 1m para todo m ∈ N y no es un racional negativo, es inmediato que

λi,j,2,l = 0 para todos i, j, l ∈ N0.

De la misma forma se prueba que λi,j,k,l = 0 para todos i, j, k, l ∈ N0 con k ≥ 2.Obtuvimos entonces p =

∑i λi,1,0,0x

iy +∑

i λi,0,1,0xiz, que es lo que queríamos

probar.


2. Para el caso α = 1 comenzamos de la misma forma. Analizando los coeficientes delas potencias de z de la igualdad (4.2) vemos lo siguiente.


λi,j,0,l(j + l − 1)xiyjwl = 0.

Esta igualdad implica que λi,j,0,l se anula salvo eventualmente cuando j = 0 yl = 1 o j = 1 y l = 0.


λi,j,1,l(j + l)xiyjwl + λi,j,0,llxiyjwl−1 = 0.

Con la información obtenida recién, la igualdad puede reducirse a∑i,j,l

λi,j,1,l(j + l)xiyjwl +∑i

λi,0,0,1xi = 0. (4.3)

Ahora analizaremos los coeficientes de las potencias de y de la igualdad (4.3).Si j > 0 vemos que ∑

i,l

λi,j,1,l(j + l)xiwl = 0.

Como en este caso j + l nunca se anula, resulta λi,j,1,l = 0. En cuanto a j = 0en (4.3), obtenemos ∑

i,l

λi,0,1,llxiwl +

∑i

λi,0,0,1xi = 0.

Mirando los coeficientes de las potencias positivas de w deducimos que λi,0,1,l =0 para todos i, l ∈ N0, l ≥ 1. Por último, en el coeficiente de w0 obtenemos∑

i

λi,0,0,1xi = 0,

lo que implica que λi,0,0,1 = 0 para todo i ∈ N0.En resumen, λi,j,1,l se anula salvo eventualmente cuando j = l = 0.


λi,j,2,l(j + l + 1)xiyjwl + λi,j,1,llxiyjwl−1 = 0.

Como el único λi,j,1,l no nulo corresponde a l = 0, la ecuación puede reducirsea ∑

i,j,l

λi,j,2,l(j + l + 1)xiyjwl,

y como j + l + 1 nunca se anula, resulta λi,j,2,l = 0 para todos i, j, l ∈ N0.


Análogamente se prueba que λi,j,k,l es nulo para todos i, j, k, l ∈ N0 con k esmayor o igual que 2. Esto demuestra el resultado deseado ya que resulta p =∑

i λi,1,0,0xiy +

∑i λi,0,1,0x

iz.

3. Consideremos finalmente el caso α = 1m con m ∈ N≥2. Como antes, analizaremos

las potencias de z en la igualdad (4.2). Para las potencias positivas escribiremos lasigualdades utilizando los resultados obtenidos de las ecuaciones de los coeficientesanteriores.


λi,j,0,l(j + αl − 1)xiyjwl = 0.

Como j + αl − 1 se anula si y solo si j = 1 y l = 0 o si j = 0 y l = 1α = m,

resulta λi,j,0,l = 0, exceptuando los dos casos mencionados recién.


λi,j,1,l(j + αl)xiyjwl +∑i

λi,0,0,mmxiwm−1 = 0.

Mirando las potencias positivas de y en esta ecuación y teniendo en cuentaque j +αl nunca se anula en esos casos, resulta λi,j,1,l = 0 para todos i, l ∈ N0,j ∈ N. En cuanto al coeficiente de y0,∑

i,l

λi,0,1,lαlxiwl +

∑i

λi,0,0,mmxiwm−1 = 0.

De aquí deducimos que, para l 6= m− 1, λi,0,1,l debe anularse; y que

λi,0,1,m−1α(m− 1) + λi,0,0,mm = 0.

Utilizando que αm = 1 obtenemos que λi,0,1,m−1 = λi,0,0,mm/(α− 1).


λi,j,2,l(j + αl + 1)xiyjwl +∑i

λi,0,1,m−1(m− 1)xiwm−2 = 0.

Como en el caso anterior, resulta λi,j,2,l = 0 para todos i, j, l ∈ N0 con jpositivo y λi,0,2,l = 0 para todos i, l ∈ N0 con l 6= m − 2. Para j = 0 yl = m− 2 nos queda λi,0,2,m−2(2− 2α) +λi,0,1,m−1(m− 1) = 0, de lo que juntocon lo visto en el ítem anterior se deduce que

λi,0,2,m−2 =λi,0,1,m−1(m− 1)

2(α− 1)=λi,0,0,mm(m− 1)

2(α− 1)2.



λi,j,3,l(j + αl + 2)xiyjwl +∑i

λi,0,2,m−2(m− 2)xiwm−3 = 0.

Repitiendo el razonamiento hecho anteriormente, se prueba que λi,j,3,l se anulasalvo en el caso en que j = 0 y l = m− 3. Para dichos valores obtenemos laigualdad λi,j,3,l(3− 3α) + λi,0,2,m−2(m− 2) = 0, de la que resulta

λi,j,3,m−3 =λi,0,2,m−2(m− 2)

3(α− 1)=λi,0,0,mm(m− 1)(m− 2)

3 · 2(α− 1)3=

(m

3

)λi,0,0,m

(α− 1)3.

Se prueba fácilmente por inducción que λi,j,k,l se anula salvo que j = 1 y k = l = 0o que j = 0 y l = m− k. Además, en el segundo caso vale

λi,j,k,l−k =

(m

k

)λi,0,0,m

(α− 1)k.

Obtuvimos entonces que

p =∑i

λi,1,0,0xiy +

∑i

λi,0,0,mxim∑k=0

(m

k

)(z

α− 1

)kwm−k

=∑i

λi,1,0,0xiy +

∑i

λi,0,0,mxi

(z

α− 1+ w

)m,

como queríamos.

Lema 4.3.10. Sea α ∈ C \ Q<0 y sea θα : U(g) −→ U(g) el morfismo definido porθα(u) = x · u− αu.

1. Si α /∈ N, entonces Ker(θα) ∩ {u ∈ U(g) : gry(u) ≥ 1} = 0.

2. Sea m ∈ N≥2, α = 1m , µ ∈ C y pm = ( z

α−1 + w)m. Si p es un polinomio en k[z, w]tal que θα(p) = µpm, entonces p = µ

1−αpm.

Demostración. Valiéndonos del Lema 4.1.2 obtenemos que si u =∑λi,j,k,lx

iyjzkwl

entonces

θα(u) =∑

λi,j,k,l[(j + k + α(l − 1))xiyjzkwl + lxiyjzk+1wl−1]. (4.4)

1. Sea u ∈ U(g) de la forma u = uy y tal que θα(u) = 0. Igualaremos la expresión(4.4) a 0 y analizaremos los coeficientes de las potencias de z.

La ecuación que resulta de igualar los coeficientes de z0 es∑i,j,l

λi,j,0,l(j + α(l − 1))xiyjwl = 0.


Como j es mayor que 0 y α no es un número natural ni un racional negativo,j + α(l − 1) nunca se anula, por lo cual resulta λi,j,0,l = 0 para todos i, l ∈ N0 yj ∈ N. Realizando una cuenta similar puede probarse fácilmente por inducción queλi,j,k,l = 0 para todos i, k, l ∈ N0 y j ∈ N.

2. Sea α = 1m , µ ∈ C y sea p =

∑νk,lz

kwl un polinomio en k[z, w] tal que θα(p) = µpm,es decir∑

k,l

νk,l[(k + α(l − 1))zkwl + lzk+1wl−1] = µm∑k=0

(m

k

)(1

α− 1

)kzkwm−k. (4.5)

De analizar los coeficientes de las potencias de z se deduce fácilmente que los únicosνk,l no nulos son los de la forma νk,m−k. Para simplicar la notación escribiremos

p =m∑k=0

νkzkwm−k,

la ecuación (4.5) se reduce entonces am∑k=0

νk[(k+1)(1−α)zkwm−k+(m−k)zk+1wm−k−1] = µm∑k=0

(m

k

)(1

α− 1

)kzkwm−k.

(4.6)

Usando la convención de que(mk

)= 0 si k > m, estamos en condiciones de probar

por inducción en k que νk = − µ(α−1)k+1

(mk

)para todo k ∈ N0. Si k = 0, obtenemos

que ν0(1− α) = µ. Supongamos que νk = − µ(α−1)k+1

(mk

)y veamos que la fórmula

vale para νk+1. De (4.6) y la hipótesis inductiva resulta

νk+1(k + 2)(1− α) + νk(m− k) =µ

(α− 1)k+1

(m

k + 1

),

νk+1(k + 2)(1− α) =µ

(α− 1)k+1

(m

k + 1

)+

µ(m− k)

(α− 1)k+1

(m

k

),

νk+1(k + 2) = − µ

(α− 1)k+2

[(m

k + 1

)+

(m

k

)(m− k)

],

νk+1 = − µ

(α− 1)k+2

(m

k + 1

),

que es lo que queríamos demostrar. Con esta fórmula para los coeficientes νk esinmediato probar que p = µ

1−αpm.

Damos ahora una base de HH1(U(g)) cuando α ∈ C \Q<0. Debemos considerar trescasos distintos, de acuerdo a los posibles valores de α.

Proposición 4.3.11. 1. Si α ∈ C \ Q<0 y α 6= 1m para todo m ∈ N≥2, entonces

HH1(U(g)) está generado por las clases de

dx|1, dy|z, dz|(1− α)y + dw|y, dz|z + dw|w, dz|(1− α)z + dw|z.


2. Si m ∈ N≥2 y α = 1m , entonces HH1(U(g)) está generado por las clases de

dx|1, dy|pm, dz|y + dw| y

1− α, dz|pm + dw| pm

1− α,

donde pm = ( zα−1 + w)m.

En todos los casos estas clases son, respectivamente, linealmente independientes.

Demostración. 1. Sea f = dx|u1 + dy|u2 + dz|u3 + dw|u4 ∈ Ker δ1. Por el Lema 4.3.5sabemos que existen elementos u ∈ U(g) y p ∈ k[x] tales que u1 = x · u + p(x).Podemos suponer, restando δ0(u), que f = dx|p+ dy|u2 + dz|u3 + dw|u4. Valen lassiguientes igualdades

x · u2 − u2 − y · p = 0, (4.7)x · u3 − u3 − z · p = 0, (4.8)

x · u4 − w · p− u3 − αu4 = 0, (4.9)y · u3 − z · u2 = 0, (4.10)y · u4 − w · u2 = 0, (4.11)z · u4 − w · u3 = 0. (4.12)

La ecuación (4.7) puede reescribirse como ϕ(u2) = y · p. Si u2 =∑qjy

j donde losqj son elementos de U(g) de grado 0 en y, de la fórmula (4.1) y el hecho de que y, zy w conmuten se deduce que

ϕ(u2) =∑

ϕ(qjyj) =

∑ϕ(qj)y

j .

El Lema 4.1.4 implica que y · p ∈ k[x]y y por lo tanto ϕ(qj)yj = 0 para todo j ∈ N0

distinto de 1. Dicho de otra forma, si j 6= 1 entonces

qjyj ∈ Ker(ϕ) ∩ {u ∈ U(g) : u = 0 o gry(u) 6= 1} = k[x]z.

Si j = 1 escribimos

q1 =∑

λi,k,lxizkwly y p =

∑βix

i

y obtenemos∑λi,k,l[(k + αl)xiyzkwl + lxiyzk+1wl−1] =

∑βi((x− 1)i − xi)y.

Mirando los coeficientes de z0 en esta igualdad deducimos que para l positivo, λi,0,lse anula. Además, de observar los coeficientes de w0 y el Lema 4.3.2, resulta queβi = 0 para i ∈ N. De analizar los coeficientes de las potencias de orden positivode z como en las demostraciones del Lema 4.3.9 se sigue que λi,k,l = 0 para todosi, l ∈ N0 y k ∈ N. Resulta entonces que

p = β0 ∈ C y u2 = r1(x)y + r2(x)z.


Por el Lema 4.3.1 existe q ∈ k[x] tal que y · q = r1(x)y. Restando δ0(q) a f podemossuponer que u2 = r2(x)z.

Dado que ahora z · β0 = 0, la ecuación (4.8) dice que u3 ∈ Ker(ϕ) = k[x]y + k[x]z.Luego, del Lema 4.3.8 y usando la ecuación (4.10) se sigue que u2 = λz y queu3 = µ1y + µ2z.

Por último, la ecuación (4.9) nos brinda la igualdad

x · u4 − αu4 = µ1y + µ2z.

El miembro de la derecha es suma de monomios de grado 1, y como x · − y restarα− son morfismos homogéneos, el grado de u4 debe ser también 1. Si escribimos

u4 = ν1x+ ν2y + ν3z + ν4w,

entonces

x · u4 − αu4 = ν2y + ν3z + ν4(z + αw)− α(ν1x+ ν2y + ν3z + ν4w)

= −αν1x+ (ν2 − αν2)y + (ν3 − αν3 + ν4)z

= µ1y + µ2z.

Igualando coeficientes obtenemos

ν1 = 0,

µ1 = (1− α)ν2,

µ2 = (1− α)ν3 + ν4.

Entonces

f =dx|β0 + dy|λz + dz|([(1− α)ν2]y + [(1− α)ν3 + ν4]z) + dw|(ν2y + ν3z + ν4w)

=β0dx|1 + λdy|z + ν2(dz|(1− α)y + dw|y)

+ ν3[dz|(1− α)z + dw|z] + ν4(dz|z + dw|w).

Queda probado que las clases de

dx|1, dy|z, dz|(1−α)y+dw|y, dz|z+dw|w y dz|(1−α)z+dw|z

generan HH1(U(g)). Para ver que son linealmente independientes supongamos queexisten u ∈ U(g) y βi ∈ C tales que

β1dx|1 + β2dy|z + β3(dz|(1− α)y + dw|y)

+ β4(dz|(1− α)z + dw|z) + β5(dz|z + dw|w) = δ0(u)

= dx|x · u+ dy|y · u+ dz|z · u+ dw|w · u.


Esta igualdad nos da un nuevo sistema de ecuaciones

β1 − x · u = 0, (4.13)β2z − y · u = 0, (4.14)

β3(1− α)y + [β4(1− α) + β5]z − z · u = 0, (4.15)β3y + β4z + β5w − w · u = 0. (4.16)

De (4.13) se deduce que si u =∑λi,j,k,lx

iyjzkwl entonces

β1 =∑

λi,j,k,l[(j + k + αl)xiyjzkwl + lxiyjzk+1wl−1].

Mirando los coeficientes de las potencias de z en esta igualdad llegamos a queu ∈ k[x] y a que β1 = 0. Luego, de (4.14) resulta

β2z =∑

λi,0,0,0((x− 1)i − xi)y

lo cual implica que β2 es nulo y que u ∈ C. Inmediatamente de (4.15) y (4.16) sesigue que βi = 0 para i = 3, 4, 5.

2. Como en el primer caso, notaremos f = dx|u1 + dy|u2 + dz|u3 + dw|u4 ∈ Ker(δ1)y valdrán las igualdades (4.8) a (4.12). La demostración comienza de la mismamanera, podemos suponer que u1 ∈ k[x] y u2 =

∑qjy

j , donde qj es un elementode U(g) de grado 0 en y para todo j ∈ N0. Para j = 1, como k + αl solo se anula sik = l = 0, obtenemos el mismo resultado: q1y ∈ k[x]y y u1 ∈ C. Si j 6= 1 en cambioresulta

qjyj ∈ Ker(ϕ) ∩ {u ∈ U(g) : u = 0 o gry(u) 6= 1} = k[x]pm,

lo que implica que u2 = r1(x)y + r2(x)pm. Por el Lema 4.3.1 existe u ∈ k[x] talque y · u = r1(x)y. Restando δ0(u) a f podemos suponer que u2 es simplementer2(x)pm.

De la ecuación (4.8) se deduce que u3 ∈ Ker(ϕ) y por lo tanto se puede escribircomo u3 = r3(x)y + r4(x)pm. Del Lema 4.3.8 y la ecuación (4.10) se sigue queu2 = λpm y luego que u3 = µ1y + µ2pm.

Para describir u4 primero observemos que la ecuación (4.11) quedó reducida ay · u4 = 0. El Lema 4.1.6 implica que el grado de u4 en x es nulo. Notemos ahorau4 =

∑j sjy

j donde sj es un polinomio en z y w de grado cero en y y analicemos laecuación (4.9), θα(u4) = u3. Por (4.4) y el hecho de que y, z y w conmutan entre síresulta

θα(u4) = θα(∑j

sj)yj = µ1y + µ2pm,

por lo tanto, para j ≥ 2 del Lema 4.3.10 se deduce

sjyj ∈ Ker(θα) ∩ {u ∈ U(g) : u = 0 o gry(u) ≥ 1} = 0.

4.4. CÁLCULO DEL SEGUNDO GRUPO DE COHOMOLOGÍA 53

Si s1 =∑νk,lz

kwl se sigue que

θα(s1y) =∑

νk,l[(1 + k + α(l − 1)zkwl + lzk+1wl−1]y = µ1y,

y si analizamos los coeficientes de las potencias de z obtenemos que νk,l = 0exceptuando el caso en que k = l = 0; además vale ν0,0(1 − α) = µ1. Dado queθα(s0) = µ2pm, del Lema 4.3.10 se sigue que s0 = µ2

1−αpm. Luego

u4 =µ1

1− αy +

µ21− α

pm =u3

1− αy

un elemento arbitrario de Ker(δ1) quedó descripto como

f = dx|β + dy|λpm + dz|(µ1y + µ2pm) + dw| 1

1− α(µ1y + µ2pm)

= β dx|1 + λ dy|pm + µ1

(dz|y + dw| y

1− α

)+ µ2

(dz|pm + dw| pm

1− α

).

La demostración de que las clases de

dx|1, dy|pm, dz|y + dw| y

1− αydz|pm + dw| pm

1− α

son linealmente independientes es análoga a la del primer caso.

4.4 Cálculo del segundo grupo de cohomología

Comenzaremos describiendo las imágenes de los morfismos ϕ y θα definidos en la secciónanterior.

Lema 4.4.1. Sea ϕ : U(g) −→ U(g) el morfismo dado por ϕ(u) = x·u−u, sea α ∈ C\Q<0.

1. Si j + k 6= 1, entonces para todo i ≥ 0 el monomio xiyjzk pertenece a la imagen deϕ.

2. Si l ≥ 1 y j + k 6= 0, entonces para todo i ≥ 0 el monomio xiyjzkwl pertenece a laimagen de ϕ.

3. Si l ≥ 2, i ≥ 0 y l 6= 1α , entonces el monomio xiwl pertenece a la imagen de ϕ.

4. Si α 6= 1 y p ∈ k[x], entonces el elemento p(w + zα−1) pertenece a la imagen de ϕ.

5. Si α = 1 y p ∈ k[x], entonces pz ∈ Im(ϕ).

Demostración. 1. Si xiyjzk es un monomio tal que j + k 6= 1, de la fórmula (4.1)resulta

ϕ

(xiyjzk

j + k − 1

)= xiyjzk.


2. Probaremos el resultado por inducción en l. Sea xiyjzkw un monomio tal quej + k 6= 0. De (4.1) resulta

ϕ(xizkyjw) = (j + k + α− 1)xiyjzkw + xiyjzk+1.

Como j+k es distinto de 0, del ítem anterior deducimos que ϕ(xiyjzk+1

j+k ) = xiyjzk+1.Como α 6= 0 y j + k − 1 ≥ 0, el denominador j + k + α − 1 nunca se anula yobtenemos

ϕ

xizkyjw − xiyjzk+1

j+k

j + k + α− 1

= xiyjzkw.

Sea ahora xiyjzkwl un monomio en U(g) tal que j + k 6= 0 y l ≥ 2, supongamosque todo monomio de grado l − 1 en w cuyos grados en y y z no sean ambos nulospertenece a Im(ϕ) y veamos que si j + k es mayor o igual que 1, entonces xiyjzkwl

también pertenece a la imagen. Nuevamente de (4.1) resulta

ϕ(xizkyjwl) = (j + k + αl − 1)xiyjzkwl + lxiyjzk+1wl−1.

Como j + k + 1 6= 0 y l ≥ 2, por hipótesis inductiva el segundo término pertenecea la imagen de ϕ. Sea u ∈ U(g) tal que ϕ(u) = lxizk+1wl−1. Como α no es unnúmero racional negativo y j + k ≥ 1, obtenemos

ϕ

(xiyjzkwl − uj + k + αl − 1

)= xiyjzkwl.

3. Sean i ∈ N0, l ≥ 2 tal que l 6= 1α . De la fórmula (4.1) resulta ϕ(xiwl) = (lα −

1)xiwl + lxizwl−1. Como l ≥ 2, por el ítem 2 sabemos que existe u ∈ U(g) tal queϕ(u) = lxizwl−1 y como l 6= 1

α resulta

ϕ

(xiwl − uαl − 1

)= xiwl.

4. Sea p ∈ k[x] y α 6= 1, de la fórmula (4.1) obtenemos ϕ(p wα−1) = p(w + z

α−1).

5. Sea p ∈ k[x] y α = 1, de la fórmula (4.1) obtenemos ϕ(pw) = pz.

Corolario 4.4.2. Sea α ∈ C \Q<0.

1. Si α 6= 1m para todo m ∈ N, entonces U(g) = k[x]y + k[x]z + Im(ϕ).

2. Si α = 1, entonces U(g) = k[x]y + k[x]w + Im(ϕ).

3. Si m ∈ N≥2 y α = 1m , entonces U(g) = k[x]y + k[x]z + k[x]wm + Im(ϕ).


Demostración. En el caso en que α 6= 1m para todo m ∈ N, se sigue inmediatamente del

lema anterior que U(g) = k[x]y + k[x]z + k[x]w + Im(ϕ). Observemos también que comop(w + z

α−1) ∈ Im(ϕ), resulta pw ∈ k[x]z + Im(ϕ).La demostración del ítem 3 es análoga y en el ítem 2 no hay nada que probar.

Observación 4.4.3. De la demostración del corolario anterior se deduce que si α 6= 1m

para todo m ∈ N, también vale que U(g) = k[x]y+k[x]z+ Im(ϕ). Algo parecido ocurre sim ∈ N≥2 y α = 1

m , U(g) puede expresarse como U(g) = k[x]y + k[x]w + k[x]wm + Im(ϕ).

Lema 4.4.4. Sea α ∈ C \ Q<0 y sea θα : U(g) −→ U(g) el morfismo definido porθα(u) = x · u− αu.

1. Si j + k 6= α, entonces para todo i ∈ N0 el monomio xiyjzk pertenece a la imagende θα.

2. Si j + k 6= α − 1 y j + k 6= 0, entonces para todo i ∈ N0 el monomio xiyjzkwpertenece a la imagen de θα.

3. Si l ≥ 2 y j + k + l 6= α, entonces para todo i ∈ N0 el monomio xiyjzkwl pertenecea la imagen de θα.

Demostración. Para los tres casos usaremos la fórmula (4.4) que describe como actúa θαsobre un elemento arbitrario de U(g).

1. En este caso θα(xiyjzk) = (j+ k−α)xiyjzk. Como j+ k−α es no nulo, dividiendopor ese coeficiente se obtiene el resultado deseado.

2. Aquíθα(xiyjzkw) = (j + k)xiyjzkw + xiyjzk+1.

Como j + k + 1 6= α, por el ítem anterior sabemos que existe u ∈ U(g) tal queθα(u) = xiyjzk+1. Además, como j + k 6= 0 resulta

θα

(xiyjzkw − u

j + k

)= xiyjzkw.

3. Probaremos este caso por inducción en l. Si l = 2 vale la siguiente fórmula

θα(xiyjzkw2) = (j + k + α)xiyjzkw2 + 2xiyjzk+1w.

Nuevamente por el ítem anterior, como j+k+ 1 es no nulo y j+k+ 2 es distinto deα, existe u ∈ U(g) tal que θα(u) = 2xiyjzk+1w. Además, como α no es un númeroracional negativo, j + k + α 6= 0 para todos j, k ∈ N0 por lo que resulta

θα

(xiyjzkw2 − uj + k + α

)= xiyjzkw2.

Sea ahora p = xiyjzkwl un monomio en U(g) tal que l ≥ 3 y j + k + l 6= α, ysupongamos que todo monomio de grado l − 1 en w tal que sus grados en y, z y w


no suman α pertenece a Im(θα) y veamos que entonces p pertenece a la imagen deθα. Recordemos que

θα(p) = (j + k + α(l − 1))xiyjzkwl + lxiyjzk+1wl−1.

Como j + (k + 1) + (l − 1) 6= α y l ≥ 3, por hipótesis inductiva el segundo términopertenece a Im(θα). Sea u ∈ U(g) tal que θα(u) = lxizk+1wl−1. Como α no es unnúmero racional negativo y l ≥ 3 obtenemos

θα

(xiyjzkwl − u

j + k + α(l − 1)

)= p.


1. Si α /∈ N, entonces U(g) = k[x]w + Im(θα).

2. Si α ∈ N, entonces U(g) =⊕

i≥0 xikα[y, z, w] + k[x]w + Im(θα), donde kα[y, z, w]

denota al k-espacio vectorial de polinomios en y, z y w homogéneos de grado α.

Demostración. Se sigue inmediatamente del lema anterior.

A continuación, introduciremos un nuevo morfismo. Conocer su núcleo ayudará alcálculo de HH2(U(g)).

Lema 4.4.6. Sea α ∈ C \ Q<0 y sea ψ : U(g) −→ U(g) el morfismo dado por ψ(u) =x · u− (1 + α)u. Describimos el núcleo de ψ de la siguiente forma.

1. Si α 6= 1m para todo m ∈ N y α /∈ N, entonces

Ker(ψ) = k[x]y

(w +

z

α− 1

)+ k[x]z

(w +

z

α− 1

).

2. Si α = 1, entonces Ker(ψ) = k[x]y2 + k[x]yz + k[x]z2.

3. Si α ∈ N≥2, entonces Ker(ψ) =⊕

i≥0 xikα+1[y, z]+k[x]y(w+ z

α−1)+k[x]z(w+ zα−1),

donde kα+1[y, z] es el k-espacio vectorial de polinomios en y y z homogéneos degrado α+ 1.

4. Si m ∈ N≥2 y α = 1m , entonces Ker(ψ) = k[x]y(w + z

α−1) + k[x]pm+1 dondepm = ( z

α−1 + w)m.

Demostración. La prueba es similar a la del Lema 4.3.9. Si p =∑λi,j,k,lx

iyjzkwl es unelemento de U(g), el Lema 4.1.2 nos da la siguiente fórmula

ψ(p) =∑

λi,j,k,l[(j + k − 1 + α(l − 1))xiyjzkwl + lxiyjzk+1wl−1], (4.17)

de la cual se deduce fácilmente que los miembros derechos de las igualdades del enunciadoestán contenidos en Ker(ψ). Para probar la otra inclusión separaremos en casos yanalizaremos los coeficientes de las potencias de z de la fórmula (4.17) igualada a 0.


1. • Coeficiente de z0: ∑i,j,l

λi,j,0,l(j − 1 + α(l − 1))xiyjwl = 0.

Como α 6= 1m para todo m ∈ N, no es un racional negativo ni un número

natural, j − 1 + α(l − 1) se anula si y solo si j = l = 1, lo que implica queλi,j,0,l = 0 para todos i, j, l ∈ N0 salvo eventualmente cuando j = l = 1.

• Coeficiente de z1: utilizando los cálculos realizados para el coeficiente de z0 laecuación se reduce a∑

i,j,l

λi,j,1,l(j + α(l − 1))xiyjwl +∑i

λi,1,0,1xiy = 0. (4.18)

Ahora analizaremos los coeficientes de las potencias de y en esta ecuación. Elcoeficiente de yj para j 6= 1 es∑

i,l

λi,j,1,l(j + α(l − 1))xiwl = 0.

Para j ≥ 2, como α no es un racional negativo ni un número natural, j+α(l−1)nunca se anula y luego λi,j,1,l = 0 para todos i, l ∈ N0. Para j = 0, α(l − 1) seanula solo si l = 1, implicando que λi,0,1,l = 0 para todo i ∈ N0 y para todol 6= 1. El coeficiente de y en (4.18) es∑

i,l

λi,1,1,l(1 + α(l − 1))xiwl +∑i

λi,1,0,1xi = 0,

de lo que deducimos que λi,1,1,l es nulo si l > 0 y que λi,1,1,0(1−α)+λi,1,0,1 = 0.Despejando, obtenemos la igualdad λi,1,1,0 =

λi,1,0,1α−1 .

• Coeficiente de z2: se reduce a∑i,j,l

λi,j,2,l(j + 1 + α(l − 1))xiyjwl +∑i

λi,0,1,1xi = 0.

Como α no es un racional negativo ni un número natural, j + 1 + α(l − 1)nunca se anula, lo que implica que si j + l > 0, λi,j,2,l = 0. Si j = l = 0 resultaλi,0,2,0(1− α) + λi,0,1,1 = 0. Despejando obtenemos λi,0,2,0 =

λi,0,1,1α−1 .

• Coeficiente de z3: como el único λi,j,2,l no nulo corresponde a l = 0, la ecuaciónse reduce a ∑

i,j,l

λi,j,3,l(j + 2 + α(l − 1))xiyjwl = 0.

Nuevamente, como α no es un racional negativo ni un número natural, j + 2 +α(l − 1) nunca se anula, lo que implica que λi,j,3,l = 0 para todos i, j, l ∈ N0.


Inductivamente se prueba que λi,j,k,l = 0 para todos i, j, l ∈ N0 y k ≥ 3. Obtuvimos

p =∑i

λi,1,0,1xiyw +

∑i

λi,0,1,1xizw +

∑i

λi,1,1,0xiyz +

∑i

λi,0,2,0xiz2

=∑i

λi,1,0,1xiyw +

∑i

λi,0,1,1xizw +

∑i

λi,1,0,1α− 1

xiyz +∑i

λi,0,1,1α− 1

xiz2

=∑i

λi,1,0,1xiy

(w +

z

α− 1

)+∑i

λi,0,1,1xiz

(w +

z

α− 1

).

2. Para α = 1 la fórmula (4.17) es

ψ(p) =∑

λi,j,k,l[(j + k + l − 2)xiyjzkwl + lxiyjzk+1wl−1]. (4.19)

Analizaremos los coeficientes de las potencias de z en la ecuación resultante deigualar la fórmula (4.19) a 0.


λi,j,0,l(j + l − 2)xiyjwl = 0.

De la ecuación deducimos que λi,j,0,l se anula para todos i, j, l ∈ N0 exceptuandotres casos: j = 2 y l = 0, j = l = 1 y j = 0 y l = 2.


λi,j,1,l(j + l − 1)xiyjwl +∑i

λi,1,0,1xiy +

∑i

λi,0,0,22xiw = 0.

Ahora analizaremos los coeficientes de las potencias de y. Para las potenciasmayores o iguales que 2 obtenemos∑

i,l

λi,j,1,l(j + l − 1)xiyjwl = 0,

y como en ese caso j + l − 1 es siempre positivo resulta λi,j,1,l = 0. Para j = 1los coeficientes son ∑

i,l

λi,1,1,llxiwl +

∑i

λi,1,0,1xi = 0,

de lo que se deduce que λi,1,1,l se anula si l es positivo y que λi,1,0,1 = 0 paratodo i ∈ N0. Para j = 0 obtenemos∑

i,l

λi,0,1,l(l − 1)xiwl +∑i

λi,0,0,22xiw = 0.

Esto implica que λi,0,1,l = 0 para l 6= 1 y que λi,0,0,2 = 0 para todo i ∈ N0.



λi,j,2,l(j + l)xiyjwl +∑i

λi,0,1,1xi = 0.

Mirando los coeficientes de las potencias de y se deduce que λi,j,2,l se anula si jes positivo y mirando luego los de las de w, que λi,0,2,l también se anula si l espositivo. Por otro lado, obtenemos también que λi,0,1,1 = 0 para todo i ∈ N0.

• Coeficiente de z3: queda simplemente∑i,j,l

λi,j,3,l(j + l + 1)xiyjwl,

de lo que se deduce que λi,j,3,l = 0 para todos i, j, l ∈ N0.

Inductivamente se puede probar que λi,j,k,l = 0 para todos i, j, l ∈ N0 y k ≥ 3.Obtuvimos

p =∑i

λi,2,0,0xiy2 +

∑i

λi,1,1,0xiyz +

∑i

λi,0,2,0xiz2,

que es lo que queríamos demostrar.

3. En este caso α ∈ N, α ≥ 2. Como siempre, analizaremos los coeficientes de lafórmula (4.17) igualada a 0.


λi,j,0,l(j − 1 + α(l − 1))xiyjwl = 0.

Como α ∈ N≥2, j − 1 + α(l− 1) se anula si y solo si j = l = 1 o si j = α+ 1 yl = 0, en los casos restantes resulta λi,j,0,l = 0.


λi,j,1,l(j + α(l − 1))xiyjwl +∑i

λi,1,0,1xiy = 0.

Ahora miraremos los coeficientes de las potencias de w en esta igualdad. Paralas potencias mayores que 0, resulta∑

i,j

λi,j,1,l(j + α(l − 1))xiyj = 0.

En este caso, el coeficiente j+α(l−1) se anula solo si j = 0 y l = 1, implicandoque λi,j,1,l = 0 para los valores de j y l restantes. En cuanto al coeficiente dew0 vale ∑

i,j

λi,j,1,0(j − α)xiyj +∑i

λi,1,0,1xiy = 0,

de lo que deducimos que para j 6= 1 y j 6= α, λi,j,1,0 debe anularse y que paraj = 1 resulta λi,1,1,0(1− α) + λi,1,0,1 = 0.



λi,j,2,l(j + 1 + α(l − 1))xiyjwl +∑i

λi,0,1,1xi = 0.

Si l es positivo, entonces lo mismo sucede con j + 1 + α(l − 1), lo que implicaque λi,j,2,l es nulo para todos i, j ∈ N0 y l ∈ N. Para l = 0 vale∑

i,j

λi,j,2,0(j + 1− α)xiyj +∑i

λi,0,1,1xi = 0,

lo que implica que λi,j,2,0 = 0 si j 6= 0 y j 6= α− 1. Si j = 0, deducimos queλi,0,2,0(1− α) + λi,0,1,1 = 0.


λi,j,3,l(j + 2 + α(l − 1))xiyjwl = 0.

Para l positivo resulta que λi,j,3,l = 0 para todos i, j ∈ N0, y en caso de quel = 0 obtenemos que λi,j,3,0 = 0 salvo eventualmente cuando j = α− 2.

Puede probarse por inducción que λi,j,k,l = 0 para todos i, j, k, l ∈ N0 con k ≥ 2y l ≥ 1; además λi,j,k,0 = 0 para todos i, j, k ∈ N0 exceptuando el caso en quej = α+ 1− k. Tenniendo en cuenta esto, p resulta de la forma

p =∑i

α+1∑k=0

λi,α+1−k,k,0xiyα+1−kzk +

∑i

λi,1,0,1xiyw +

∑i

λi,1,1,0xiyz

+∑i

λi,0,1,1xizw +

∑i

λi,0,2,0xiz2

=∑i

α+1∑k=0


∑i

λi,1,0,1xiyw +

∑i

λi,1,0,1α− 1

xiyz

+∑i

λi,0,1,1xizw +

∑i

λi,0,1,1α− 1

xiz2

=∑i

α+1∑k=0


∑i

λi,1,0,1xiy

(w +

z

α− 1

)+∑i

λi,0,1,1xiz

(w +

z

α− 1

).

4. Por último, consideramos el caso en que α = 1m con m ∈ N≥2. Una vez más, nos

remitimos a la fórmula (4.17) igualada a 0.



λi,j,0,l(j − 1 + α(l − 1))xiyjwl = 0.

En este caso j − 1 + α(l − 1) se anula si y solo si j = 1 y l = 1 o j = 0 yl = m+ 1, de lo cual se deduce que λi,j,0,l = 0 para todo i ∈ N0 y los demásvalores de j y l.

• Coeficiente de z1: queda reducido a∑i,j,l

λi,j,1,l(j+α(l−1))xiyjwl+∑i

λi,1,0,1xiy+

∑i

λi,0,0,m+1(m+1)xiwm = 0.

Ahora analizaremos los coeficientes de las potencias de y en esta ecuación.Para j ≥ 2, j + α(l − 1) nunca se anula, lo que implica que λi,j,1,l = 0 paratodos i, l ∈ N0 en ese caso. Para j = 1 obtenemos∑

i,l

λi,1,1,l(1 + α(l − 1))xiwl +∑i

λi,1,0,1xi = 0,

de lo que se deduce que para l > 0 y para todo i ∈ N0 resulta λi,1,1,l = 0. Sil = 0, deducimos que λi,1,1,0(1− α) + λi,1,0,1 = 0. Para j = 0 nos queda∑

i,l

λi,0,1,lα(l − 1)xiwl +∑i

λi,0,0,m+1(m+ 1)xiwm = 0.

Deducimos entonces que para l 6= m y l 6= 1, el coeficiente λi,0,1,l se anula paratodo i ∈ N0, y si l = m resulta λi,0,1,lα(m− 1) +λi,0,0,m+1(m+ 1) = 0; usandoque αm = 1 obtenemos

λi,0,1,m =λi,0,0,m+1(m+ 1)

α− 1.

• Coeficiente z2:∑i,j,l

λi,j,2,l(j + 1 + α(l − 1))xiyjwl +∑i

λi,0,1,mmxiwm−1 +

∑i

λi,0,1,1xi = 0.

De esta ecuación resulta que para j ≥ 1, λi,j,2,l se anula. Lo mismo ocurre encaso de que j = 0 y l 6= m− 1 y l 6= 0. Si j = 0 y l = m− 1 se deduce que

λi,0,2,m−1(1 + α(m− 2)) + λi,0,1,mm = 0,

lo que implica que

λi,0,2,m−1 =λi,0,1,mm

2(α− 1)=λi,0,0,m+1(m+ 1)m

2(α− 1)2.

Por último, en caso de que j = l = 0 deducimos que λi,0,1,1 = 0 para todoi ∈ N0.



λi,j,3,l(j + 2 + α(l − 1))xiyjwl +∑i

λi,0,2,m−1(m− 1)xiwm−2 = 0.

Igual que en el ítem anterior, deducimos que λi,j,3,l = 0 si j > 0 o si j = 0 yl 6= m− 2 y en caso de que j = 0 y l = m− 2 obtenemos

λi,0,3,m−2 =λi,0,2,m−1(m− 1)

3(α− 1)=λi,0,0,m+1(m+ 1)m(m− 1)

3 · 2(α− 1)3.

Puede probarse por inducción que λi,j,k,l = 0 para todos i, j, k, l ∈ N0 si k ≥ 2 yj > 0 y si k ≥ 2, j = 0 y l 6= m+ 1− k; y que en caso de que j = 0 y l = m+ 1− kvale

λi,0,k,m+1−k =

(m+ 1

k

)λi,0,0,m+1

(α− 1)k.

Resulta entonces

p =∑i

m+1∑k=0

λi,0,0,m+1

(m+ 1

k

)xi(

z

α− 1

)kwm+1−k

+∑i

λi,1,0,1xiyw +

∑i

λi,1,1,0xiyz

=∑i

λi,0,0,m+1xi

(z

α− 1+ w

)m+1

+∑i

λi,1,0,1xiy

(w +

z

α− 1

),

lo que concluye la demostración.

La siguiente proposición describe el segundo grupo de cohomología para algunosvalores de α. Pueden realizarse cálculos similares para otros valores contemplados en loslemas y corolarios anteriores.

Proposición 4.4.7. Sea α ∈ C \Q<0 tal que α 6= 2m para todo m ∈ N y α /∈ N, y sean

∆α,∆1 : k[x] −→ k[x] las aplicaciones definidas en el Lema 4.3.1. El k-espacio vectorialHH2(U(g)) está generado por las clases de

dx ∧ dy|y, dx ∧ dy|z,dx ∧ dz|y, dx ∧ dy|w,[(1− α)dy ∧ dz + dy ∧ dw]|a1,ixiy2, [(1− α)dy ∧ dz + dy ∧ dw]|a2,ixiyz,dy ∧ dz|a3,ixiyz + dy ∧ dw|a3,ixiyw, [(1− α)dy ∧ dz + dy ∧ dw]|a4,ixiz2,

dy ∧ dz|a5,ixiz2 + dy ∧ dw|a5,ixizw, dz ∧ dw|b1,ixiy(z

α− 1+ w),

dz ∧ dw|b2,ixiz(z

α− 1+ w),


donde i ∈ N0, aj,i, bj,i ∈ C y se cumplen las siguientes relaciones

∆α(∑

dixi) =

∆1(∑eix

i)−∆α(∑eix

i)

1− α,

∆1(∑

fixi) = (α− 1)∆α(

∑aix

i),

∆1(∑

gixi) = (α− 1)∆α(

∑bix

i)−∆α(∑

cixi) + ∆1(

∑cix

i).

Además, las clases de los cuatro primeros generadores son linealmente independientes, enparticular, no nulas.

Demostración. Sea

f =dx ∧ dy|v12 + dx ∧ dz|v13 + dx ∧ dw|v14+dy ∧ dz|v23 + dy ∧ dw|v24 + dz ∧ dw|v34.

Restando δ1(dy|u2 + dz|u3) con u2 y u3 adecuados, por el Corolario 4.4.2, que da infor-mación sobre la imagen de ϕ, podemos suponer que v12, v13 ∈ k[x]y + k[x]z. Restandoδ1(dx|u1) para u1 ∈ k[x] conveniente, por el Colorario 4.3.6 podemos suponer quev13 ∈ k[x]y. Por último, restando δ1(dw|u4) con u4 apropiado, por el Corolario 4.4.5, queda información sobre la imagen de θα, podemos suponer que v14 ∈ k[x]w.

Si f ∈ Ker(δ2) valen las siguientes igualdades:

z · v12 − y · v13 + x · v23 − 2v23 = 0, (4.20)w · v12 − y · v14 + x · v24 − (1 + α)v24 − v23 = 0, (4.21)

w · v13 − z · v14 + x · v34 − (1 + α)v34 = 0, (4.22)w · v23 − z · v24 + y · v34 = 0. (4.23)

Pasemos a analizar en detalle la ecuación (4.20), x · v23 − 2v23 = y · v13 − z · v12. Porlas reducciones hechas anteriormente, podemos escribir

v12 = p1(x)y + p2(x)z, v13 = p3(x)y,

y luego, por la Observación 4.3.4,

x · v23 − 2v23 = ∆1(p3)y2 −∆1(p1)(x)yz −∆1(p2)(x)z2.

Escribiendo v23 =∑λi,j,k,lx

iyjzkwl, como α 6= 2m para todo m ∈ N, y por lo tanto

tampoco es de la forma α 6= 1m para m ∈ N, y no es un racional negativo, analizando los

coeficientes de las potencias de z en la igualdad∑λi,j,k,l[(j+k−2+αl)xiyjzkwl+lxiyjzk+1wl−1] = ∆1(p3)y

2−∆1(p1)(x)yz−∆1(p2)(x)z2,

concluimos que v23 =∑λi,2,0,0x

iy2 +∑λi,1,1,0x

iyz +∑λi,0,2,0x

iz2. Notaremos a esteelemento con v23 = t1(x)y2 + t2(x)yz + t3(x)z2. Además, de la ecuación (4.20) se sigue


que ∆1(p1) = ∆1(p2) = ∆1(p3) = 0 y del Lema 4.3.1, que p1, p2, p3 ∈ C. Notaremos aestos elementos ξ1, ξ2 y ξ3 respectivamente.

Si escribimos v14 = p4(x)w, la ecuación (4.22) queda reducida a ψ(v34) = ∆1(p4)zw.Escribiendo v34 =

∑µi,j,k,lx

iyjzkwl, como α 6= 1m , no es un número natural ni un racional

negativo, analizando los coeficientes de las potencias de z y usando la fórmula (4.17), sededuce rápidamente que ∆1(p4) = 0. Este hecho implica que v34 está en el núcleo deψ y del Lema 4.4.6 se sigue que v34 =

∑µi,1,0,1x

iy( zα−1 + w) +

∑µi,0,1,1x

iz( zα−1 + w).

Además, del Lema 4.3.1 se deduce que que p4 ∈ C, y lo notaremos con ξ4.La ecuación (4.21) quedó reducida a ψ(v24) = v23. Escribiendo v24 =

∑νi,j,k,lx

iyjzkwl,analizando los coeficientes de las distintas potencias de z y usando nuevamente la fórmula(4.17), obtenemos que v24 ∈ k[x]y2 + k[x]yz + k[x]yw + k[x]z2 + k[x]zw y además losνi,j,k,l no nulos tienen relación con los coeficientes de t1,t2 y t3. Más precisamente, siv24 = r1y

2 + r2yz + r3yw + r4z2 + r5zw, entonces

t1 = r1(1− α),

t2 = r2(1− α) + r3,

t3 = r4(1− α) + r5.

Hasta el momento probamos que los vij son de la forma

v12 = ξ1y + ξ2z,

v13 = ξ3y,

v14 = ξ4w,

v23 = (1− α)r1y2 + [(1− α)r2 + r3]yz + [(1− α)r4 + r5]z

2,

v24 = r1y2 + r2yz + r3yw + r4z

2 + r5zw,

v34 = q1y

(z

α− 1+ w

)+ q2z

(z

α− 1+ w

),

donde ξ1, ξ2, ξ3 y ξ4 son números complejos, ri y qi son polinomios en k[x] tales quecumplen con las ecuaciones (4.20), (4.21) y (4.22). Resta dar condiciones sobre los qi y ripara que v23, v24 y v34 cumplan la ecuación (4.23). Nuevamente utilizando la notaciónde la Observación 4.3.4, reescribimos dicha ecuación y obtenemos

w · v23 − z · v24 + y · v34 =

(1− α)∆α(r1)y2w + [(1− α)∆α(r2) + ∆α(r3)]yzw + [(1− α)∆α(r4) + ∆α(r5)]z

2w

+ [∆1(r1)−∆α(r1)]y2z +

[∆1(r2)−∆α(r2) +

∆1(r3)−∆α(r3)

1− α

]yz2

+

[∆1(r4)−∆α(r4) +

∆1(r5)−∆α(r5)

1− α

]z3

−∆1(r1)y2z −∆1(r2)yz

2 −∆1(r3)yzw −∆1(r4)z3 −∆1(r5)z

2w

+∆1(q1)

α− 1y2z + ∆1(q1)y

2w +∆1(q2)

α− 1yz2 + ∆1(q2)yzw = 0.


Agrupando según las potencias de y, z y w, obtenemos el siguiente sistema deecuaciones

∆α(r4) =∆1(r5)−∆α(r5)

1− α,

∆1(q1) = (α− 1)∆α(r1),

∆1(q2) = (α− 1)∆α(r2)−∆α(r3) + ∆1(r3).

Llamando ai,j a los coeficientes de ri y bi,j a los de qi, se prueba que las clasespropuestas en el enunciado efectivamente generan HH2(U(g)).

Para ver que las clases de dx∧ dy|y, dx∧ dy|z, dx∧ dz|y y dx∧ dy|w son linealmenteindependientes, comencemos tomando una combinación lineal igualada a un coborde.Sean ξ1, ξ2, ξ3, ξ4 ∈ C y u1, u2, u3, u4 ∈ U(g) tales que

ξ1dx∧dy|y+ξ2dx∧dy|z+ξ3dx∧dz|y+ξ4dx∧dw|w = δ1(dx|u1 +dy|u2 +dz|u3 +dw|u4).

Restando δ0(u) para algún u adecuado, podemos suponer que el grado en y de u2 es nulo.Desarrollando el segundo miembro de la igualdad, obtenemos, entre otras, las siguientesecuaciones:

ξ1y + ξ2z = ϕ(u2)− y · u1, (4.24)ξ3y = ϕ(u3)− z · u1, (4.25)ξ4w = θα(u4)− w · u1 − u3. (4.26)

Como el grado en y de u2 es 0, el de ϕ(u2) es también nulo. Por lo tanto, de la ecuación(4.24) se sigue que

ξ2z = ϕ(u2), (4.27)ξ1y = −y · u1. (4.28)

Analizando los coeficientes de las distintas potencias de z en (4.27), se deduce que ξ2 = 0y que u2 ∈ k[x]z. Por otro lado, la ecuación (4.28) se traduce en ξ1y = −∆1(u1)y, lo queimplica que ξ1 = −∆1(u1) y por lo tanto, que u1 = −ξ1x+ b para algún b ∈ C.

La ecuación (4.25) puede expresarse ahora como ξ3y = ϕ(u3) + ξ1z. Nuevamente,analizando las potencias de z en esta igualdad, se prueba que u3 ∈ k[x]y + k[x]z y queξ3 = ξ1 = 0, y esto último implica que u1 ∈ C.

Por último, si p1, p2 ∈ k[x] y escribimos u3 = p1y + p2z, la ecuación (4.26) esξ4w = θα(u4)− p1y − p2z, de la cual se deduce rápidamente que ξ4 = 0.

Observación 4.4.8. Las ecuaciones

∆α(r4) =∆1(r5)−∆α(r5)

1− α,

∆1(q1) = (α− 1)∆α(r1),

∆1(q2) = (α− 1)∆α(r2)−∆α(r3) + ∆1(r3),

junto con el Lema 4.3.1, implican que dado r5 ∈ k[x], r4 queda unívocamente determinadosalvo constantes. Lo mismo ocurre entre r1 y q1, y dados r2 y r3 ∈ k[x], q2 quedadeterminado salvo constantes.


4.5 Cálculo del tercer grupo de cohomología

Los lemas siguientes y sus respectivos corolarios describen las imágenes de dos morfismosque aparecen naturalmente en el cálculo de los 3-cociclos.

Lema 4.5.1. Sea α ∈ C \ Q<0 y sea ψ : U(g) −→ U(g) el morfismo dado por ψ(u) =x · u− (1 + α)u.

1. Si j + k 6= α + 1, entonces para todo i ∈ N0 el monomio xiyjzk pertenece a laimagen de ψ.

2. Si j + k 6= α y j + k 6= 1, entonces para todo i ∈ N0 el monomio xiyjzkw pertenecea la imagen de ψ.

3. Si l ≥ 2, j + k + l 6= α + 1 y j + k 6= 0, entonces para todo i ∈ N0 el monomioxiyjzkwl pertenece a la imagen de ψ.

4. Si l ≥ 3, l 6= 1α +1 y l 6= α+1, entonces para todo i ∈ N0 el monomio xiwl pertenece

a la imagen de ψ.

5. Si α = 1 y q1, q2, q3 ∈ k[x], entonces el elemento q1yz + q2z2 + q3zw pertenece a la

imagen de ψ.

6. Si α 6= 1 y p ∈ k[x], entonces el elemento p(w + 2α−1z)w pertenece a la imagen de

ψ.

Demostración. Nos remitiremos a la fórmula (4.17) que muestra cómo actúa ψ sobre unelemento de U(g), en particular sobre los monomios.

1. Aquí ψ(xiyjzk) = (j + k − 1− α)xiyjzk y como j + k − 1− α 6= 0, resulta

ψ

(xiyjzk

j + k − 1− α

)= xiyjzk.

2. En este caso ψ(xiyjzkw) = (j + k− 1)xiyjzkw+ xiyjzk+1. Como j + k 6= α, por elítem anterior sabemos que existe u ∈ U(g) tal que ψ(u) = xiyjzk+1. Como ademásj + k − 1 6= 0 obtenemos

ψ

(xiyjzkw − uj + k − 1

)= xiyjzkw.

3. Probaremos este resultado por inducción en l. Sea xiyjzkw2 un monomio tal quej + k > 0 y j + k + 2 6= α + 1. Por la fórmula (4.17) resulta ψ(xiyjzkw2) =(j + k − 1 + α)xiyjzkw2 + 2xiyjzk+1w. Como j + k + 1 6= α y de 1, por el ítemanterior sabemos que el segundo término pertenece a la imagen de ψ. Sea u ∈ U(g)

4.5. CÁLCULO DEL TERCER GRUPO DE COHOMOLOGÍA 67

tal que ψ(u) = 2xiyjzk+1w. Además, como j + k − 1 + α 6= 0 para todos j, k ∈ N0

tales que j + k > 0, resulta

ψ

(xiyjzkw2 − uj + k − 1 + α

)= xiyjzkw2.

Sea ahora xiyjzkwl un monomio donde l ≥ 3, j + k > 0 y j + k + l 6= α + 1.Supongamos que todo monomio en U(g) cuyo grado en w es l − 1, sus grados eny y z no son ambos nulos y cuyos grados en y, z y w no suman α+ 1 pertenece aIm(ψ) y veamos que xiyjzkwl también. Nuevamente por la fórmula (4.17) resultaψ(xiyjzkwl) = (j + k − 1 + α(l − 1))xiyjzkwl + lxiyjzk+1wl−1. Como l ≥ 3,j + k + 1 > 0 y j + k + l 6= α+ 1, por hipótesis inductiva existe u ∈ U(g) tal queψ(u) = lxiyjzk+1wl−1. Como l ≥ 3 y j + k > 0, j + k− 1 +α(l− 1) nunca se anulay resulta

ψ

(xiyjzkwl − u

j + k − 1 + α(l − 1)

)= xiyjzkwl.

4. Sea i ∈ N0, l ≥ 3 tal que l 6= 1α + 1 y l 6= α + 1. De la fórmula (4.17) resulta

ψ(xiwl) = (α(l − 1) − 1)xiwl + lxizwl−1. Como l ≥ 3 y l 6= α + 1, por el ítem 3sabemos que existe u ∈ U(g) tal que ψ(u) = lxizwl−1 y como l 6= 1

α + 1 resulta

ψ

(xiwl − u

α(l − 1)− 1

)= xiwl.

5. Sean q1, q2, q3 ∈ k[x] y α = 1, de la fórmula (4.19) obtenemos la igualdad ψ(q1yw +q2zw + q3w

2) = q1yz + q2z2 + q3zw.

6. Sea p ∈ k[x] y α 6= 1, la igualdad ψ(p w2

α−1) = p(w + 2α−1z)w es consecuencia de la

fórmula (4.17).


1. Si α 6= 1m para todo m ∈ N y α /∈ N, entonces U(g) = Im(ψ) + k[x]yw + k[x]zw.

2. Si α = 1, entonces U(g) = Im(ψ) + k[x]y2 + k[x]yw + k[x]w2.

3. Si m ∈ N≥2 y α = 1m , entonces U(g) = Im(ψ) + k[x]yw + k[x]zw + k[x]wm+1.

4. Si α ∈ N≥2, entonces

U(g) =⊕i≥0

xikα[y, z, w] + k[x]zw + Im(ψ),

donde kα+1[y, z, w] denota al k-espacio vectorial de polinomios en y, z y w homogé-neos de grado α+ 1.


Demostración. La demostración es análoga a la del Corolario 4.4.2.

Definimos ahora el morfismo η : U(g) −→ U(g) el dado por η(u) = x ·u− 2u. El Lema4.1.1 nos permite describir su acción en un elemento u =

∑λi,j,k,lx

iyjzkwl como

η(u) =∑

λi,j,k,l[(j + k − 2 + αl)xiyjzkwl + lxiyjzk+1wl−1]. (4.29)

Observemos que η y ψ coinciden cuando α = 1, por lo cual en el lema siguiente obviaremosese valor de α.

Lema 4.5.3. Sea α ∈ C \Q<0 tal que α 6= 1 y sea η : U(g) −→ U(g) el morfismo dadopor η(u) = x · u− 2u.

1. Si j + k 6= 2, entonces para todo i ∈ N0 el monomio xiyjzk pertenece a la imagende η.

2. Si j + k 6= 1 y j + k 6= 2 − α, entonces para todo i ∈ N0 el monomio xiyjzkwpertenece a la imagen de η.

3. Si l ≥ 2 y j + k 6= 0, entonces para todo i ∈ N0 el monomio xiyjzkwl pertenece a laimagen de η.

4. Si l ≥ 2 y l 6= 2α , entonces para todo i ∈ N0 el monomio xiwl pertenece a la imagen

de η.

5. Si p1, p2 ∈ k[x], entonces p1(w + zα−1)y + p2(w + z

α−1)z pertenece a la imagen de η.

Demostración. 1. De la fórmula (4.29) obtenemos que η(xiyjzk) = (j + k − 2)xiyjzk.Como j + k 6= 2, resulta

η

(xiyjzk

j + k − 2

)= xiyjzk.

2. De la fórmula (4.29) se sigue que η(xiyjzkw) = (j + k − 2 + α)xiyjzkw + xiyjzk+1.Como j + k 6= 1, del ítem 1 se deduce que existe u ∈ U(g) tal que η(u) = xiyjzk+1,y como j + k 6= 2− α, resulta

η

(xiyjzkw − uj + k − 2 + α

)= xiyjzkw.

3. Probaremos este resultado por inducción en l. Si l = 2 y j y k no son ambosnulos, resulta η(xiyjzkw2) = (j + k − 2 + 2α)xiyjzkw2 + 2xiyjzk+1w. Notemosque como estamos suponiendo que α es distinto de 1 y j + k 6= 0, nunca sucedeque j + k + 1 = 2 − α. Por el ítem 2 sabemos que existe u ∈ U(g) tal queη(u) = 2xiyjzk+1w. Como α 6= 1, el coeficiente j + k − 2 + 2α nunca se anula yobtenemos

η

(xiyjzkw2 − uj + k − 2 + 2α

)= xiyjzkw2.


Sean ahora l ≥ 3 y j, k ∈ N0 no ambos nulos y supongamos que todo monomiode grado l − 1 en w cuyos grados en y y z no sean ambos nulos pertenece a laimagen de η, veremos que xiyjzkwl también pertenece a la imagen de η. De (4.29)se sigue que η(xiyjzkwl) = (j + k − 2 + lα)xiyjzkwl + lxiyjzk+1wl−1. Como l ≥ 3,por hipótesis inductiva existe u ∈ U(g) tal que η(u) = lxiyjzk+1wl−1. Como l ≥ 3,j + k − 2 + lα nunca se anula y resulta

η

(xiyjzkwl − uj + k − 2 + lα

)= xiyjzkwl.

4. Nuevamente de (4.29) se sigue que η(xiwl) = (lα − 2)xiwl + lxiz1wl−1. Comol ≥ 3, por el ítem 2 sabemos que existe u ∈ U(g) tal que η(u) = lxizwl−1, y comolα− 2 6= 0 resulta

η

(xiwl − ulα− 2

)= xiwl.

5. Si p1 y p2 son polinomios en x, de (4.29) se sigue que

η

(p1

yw

α− 1+ p2

zw

α− 1

)= p1

(w +

z

α− 1

)y + p2

(w +

z

α− 1

)z.

Del este lema, y la información obtenida sobre la imagen de ψ en el caso en que α = 1,se deduce el siguiente corolario.


1. Si α 6= 2m para todo m ∈ N, entonces U(g) = Im(η) + k[x]y2 + k[x]yz + k[x]z2.

2. Si α = 2, entonces U(g) = Im(η) + k[x]w + k[x]y2 + k[x]yz + k[x]z2.

3. Si α = 1, entonces U(g) = Im(η) + k[x]y2 + k[x]yw + k[x]w2.

4. Si m ∈ N≥3 y α = 2m , entonces U(g) = Im(η) + k[x]y2 + k[x]yz + k[x]z2 + k[x]wm.

El último lema de esta sección describirá el núcleo de un nuevo morfismo paraalgunos valores de α, que serán aquellos para los cuales calcularemos el tercer grupo decohomología.

Sea ρ : U(g) −→ U(g) el morfismo dado por ρ(u) = x · u− (2 + α)u. Del Lema (4.1.1)se deduce que su acción sobre un elemento u =

∑λi,j,k,lx

iyjzkwl está dada por

ρ(u) =∑

λi,j,k,l[(j + k − 2 + α(l − 1))xiyjzkwl + lxiyjzk+1wl−1]. (4.30)

Lema 4.5.5. Sean α ∈ C \ Q<0 y ρ(u) : U(g) −→ U(g) el morfismo dado por ρ(u) =x · u − (2 + α)u. Si α 6= 1

m , α 6= 2m para todo m ∈ N y α /∈ N, entonces Ker(ρ) =

k[x](w + zα−1)y2 + k[x](w + z

α−1)yz.


Demostración. Una de las inclusiones se prueba fácilmente utilizando la fórmula (4.30).Para demostrar la otra inclusión, analizaremos la fórmula (4.30) igualada a 0, teniendoen cuenta los coeficientes de las distintas potencias de z.


λi,j,0,l(j − 2 + α(l − 1))xiyjwl = 0.

Como α 6= 1m , α 6= 2

m para todo m ∈ N, no es un número natural ni un númeroracional negativo, j − 2 + α(l − 1) se anula solo sí j = 2 y l = 1, lo que implica queλi,j,0,l = 0 salvo, eventualmente, en ese caso.


λi,j,1,l(j − 1 + α(l − 1))xiyjwl + λi,2,0,1xiy2 = 0.

Si j 6= 1, 2, como α 6= 1m , α 6= 2

m para todo m ∈ N, no es un número natural ni unnúmero racional negativo, λi,j,1,l se anula para todos i, l ∈ N0. Si j = 1, λi,1,1,l seanula para todos i, l ∈ N0 salvo, eventualmente, en caso que l − 1. Si j = 2 y l 6= 0,también resulta λi,2,1,l para todo i ∈ N0. Por último, si j = 2 y l = 0 obtenemosλi,2,1,0 = λi,2,0,1/(α− 1).


λi,j,2,l(j + α(l − 1))xiyjwl + λi,1,1,1xiy = 0.

Si j 6= 1, λi,j,2,l se anula para todos i, l ∈ N0. Si j = 1 y l 6= 0 también resultaλi,1,2,l = 0 para todo i ∈ N0. Y si j = 1 y l = 0 obtenemos que λi,1,2,0 =λi,1,1,1/(α− 1).


λi,j,2,l(j + 1 + α(l − 1))xiyjwl = 0.

Como α /∈ N y no es un número racional negativo, λi,j,2,l se anula para todosi, j, l ∈ N0.

Puede probarse fácilmente por inducción que λi,j,k,l = 0 para todos i, j, l ∈ N0 y k ≥ 3.Un elemento del núcleo quedó descripto como∑

i

λi,2,0,1xiy2w +

λi,2,0,1α− 1

xiy2z + λi,1,1,1xiyzw +

λi,1,1,1α− 1

xiyz2

=∑i

λi,2,0,1xi

(w +

z

α− 1

)y2 +

∑i

λi,1,1,1xi

(w +

z

α− 1

)yz.


Proposición 4.5.6. Sea α ∈ C \ Q<0 tal que α 6= 2m para todo m ∈ N y α /∈ N. El

k-espacio vectorial HH3(U(g)) está generado por las clases de

dx|xi(w+z

α− 1)y2, dx|xi(w+

z

α− 1)yz, dy|yw, dz|yw, y dz|zw.

Además, las clases de los tres últimos elementos son linealmente independientes, enparticular, no nulas.

Demostración. 1. Sea f = dx|u1 + dy|u2 + dz|u3 + dw|u4. Restando δ2(dy ∧ dz|v23)con v23 conveniente, por el Corolario 4.5.4, que da información sobre la imagen deη, podemos suponer que u4 ∈ k[x]y2 + k[x]yz + k[x]z2. Restando δ2(dx ∧ dy|v12 +dx ∧ dz|v13) para algunos v12 y v13 adecuados, por el Lema 4.3.6 podemos suponerque u4 = 0. Ahora, por el Corolario 4.5.2, que describe la imagen de ψ, si restamosδ2(dy ∧ dw|v24 + dz ∧ dw|v34) para ciertos v24 y v34, podemos suponer que u2 y u3pertenecen a k[x]yw+k[x]zw. Por último, restando δ2(dx∧dw|v14) con v14 ∈ k[x]wadecuado, podemos suponer que u2 ∈ k[x]yw.

Si f ∈ Ker(δ3), entonces vale

x · u1 − (2 + α)u1 − y · u2 + z · u3 = 0. (4.31)

Si p1, p2, p3 ∈ k[x], escribimos u2 = p1yw, u3 = p2yw + p3zw y utilizamos lanotación de la Observación 4.3.4, la ecuación (4.31) es

ρ(u1) = ∆1(p1)y2w −∆1(p2)yzw −∆1(p3)z

2w. (4.32)

Utilizando la descripción de la acción de ρ dada en (4.30), se pueden analizar loscoeficientes de las potencias de z en (4.32) y concluir que ∆1(pi) = 0 para i = 1, 2, 3y que u1 ∈ Ker(ρ). Del Lema 4.1.6 se sigue que pi ∈ C para i = 1, 2, 3 y del Lema4.5.5 que u1 ∈ k[x](w + z

α−1)y2 + k[x](w + zα−1)yz.

Quedó probado entonces que f se puede escribir como

f = µ1dy|yw + µ2dz|yw + µ3dz|zw

+∑

λidx|xi(w +z

α− 1)y2 +

∑βidx|xi(w +

z

α− 1)yz,

con µi, λi y βi ∈ C.

Para probar que las clases de dy|yw, dz|yw y dz|zw son linealmente independientes,tomemos una combinación lineal igualada a un 2-coborde. Sean µ1, µ2µ3 ∈ C y vij ∈ U(g)tales que

µ1dy|yw + µ2dz|yw + µ3dz|zw =

δ2(dx ∧ dy|v12 + dx ∧ dz|v13 + dx ∧ dw|v14 + dy ∧ dz|v23 + dy ∧ dw|v24 + dz ∧ dw|v34).

Restando 1-cobordes podemos suponer que v12 ∈ k[x]y + k[x]z, que v13 ∈ k[x] y quev14 ∈ k[x]w. Desarrollando el miembro de la derecha de la igualdad, obtenemos, entreotras, las siguientes ecuaciones


0 = z · v12 − y · v13 + η(v23), (4.33)µ2yw + µ3zw = w · v12 − y · v14 + ψ(v24)− v23, (4.34)

µ1yw = w · v13 − z · v14 + ψ(v34). (4.35)

Al igual que en la demostración de Proposición 4.4.7, de la ecuación (4.33) se deduceque v12 ∈ ky + kz, que v13 ∈ ky y que v23 es de la forma v23 = q1y

2 + q2yz + q3z2, con

q1, q2, q3 ∈ k[x]. Luego, de la ecuación (4.35) se sigue que µ1 = 0 y que v14 ∈ kw. Porúltimo, la ecuación (4.34) quedó reducida a µ2yw + µ3zw = ψ(v24)− v23, de la cual sesigue, analizando los coeficientes de las potencias de z, que µ2 = µ3 = 0.

4.6 Cálculo del cuarto grupo de cohomología

Para finalizar con el cálculo de la cohomología de Hochschild, probaremos un último lemaque provee información sobre la imagen de ρ.

Lema 4.6.1. Sea α ∈ C \ Q<0 y sea ρ : U(g) −→ U(g) el morfismo definido porρ(u) = x · u− (2 + α)u.

1. Si j + k 6= 2 + α, para todo i ∈ N0 el monomio xiyjzk pertenece a la imagen de ρ.

2. Si j + k 6= 1 + α y j + k 6= 2, para todo i ∈ N0 el monomio xiyjzkw pertenece a laimagen de ρ.

3. Si j + k 6= α, j + k 6= 1 y j + k 6= 2 − α, para todo i ∈ N0 el monomio xiyjzkw2

pertenece a la imagen de ρ.

4. Si l ≥ 3, j + k 6= 0 y j + k + l 6= α + 2, para todo i ∈ N0 el monomio xiyjzkwl

pertenece a la imagen de ρ.

5. Si l ≥ 4, l 6= 2 + α y l 6= 2α + 1, para todo i ∈ N0 el monomio xiwl pertenece a la

imagen de ρ.

6. Si α 6= 1 y p, q, r ∈ k[x], los elementos p( 2zα−1 + w)yw, q( 2z

α−1 + w)zw y r( 3z2(α−1) +

w)w2 pertenecen a la imagen de ρ.

7. Si α = 1, i ∈ {1, · · · , 6} y pi ∈ k[x], los elementos p1zw2, p2z2w, p3z3, p4yzw,p5yz

2 y p6y2z pertenecen a la imagen de ρ.

Demostración. Usaremos la fórmula (4.30) que describe cómo actúa ρ sobre un elementoarbitrario de U(g).

1. En este caso, ρ(xiyjzk) = (j + k − 2− α)xiyjzk. Como j + k − α − 2 es no nulo,dividiendo por ese coeficiente se obtiene el resultado deseado.

4.6. CÁLCULO DEL CUARTO GRUPO DE COHOMOLOGÍA 73

2. Aquíρ(xiyjzkw) = (j + k − 2)xiyjzkw + xiyjzk+1.

Como j + k + 1 6= 2 + α, por el ítem anterior sabemos que existe u ∈ U(g) tal queρ(u) = xiyjzk+1. Además, como j + k − 2 6= 0 resulta

ρ

(xiyjzkw − uj + k − 2

)= xiyjzkw.

3. Como j + k 6= α y j + k 6= 1, por el ítem anterior existe u ∈ U(g) tal queρ(u) = 2xiyjzk+1w. Además, como j + k 6= 2− α, resulta

ρ

(xiyjzkw2 − uj + k − 2 + α

)= xiyjzkw2.

4. Probaremos este caso por inducción en l. Si l = 3 vale la siguiente fórmula

ρ(xiyjzkw3) = (j + k − 2 + 2α)xiyjzkw3 + 3xiyjzk+1w2.

Por el ítem anterior, como j + k 6= 0, j + k + 3 6= 2 + α y j + k 6= 1− α (la únicamanera es que eso pasase sería que α = 1 y j + k = 0, y esto último no sucede),existe u ∈ U(g) tal que ρ(u) = 3xiyjzk+1w2. Además, como j + k 6= 0 y α no es unnúmero racional negativo, j + k − 2 + 2α es no nulo, por lo que resulta

ρ

(xiyjzkw3 − uj + k − 2 + 2α

)= xiyjzkw3.

Sea ahora p = xiyjzkwl un monomio en U(g) tal que l ≥ 4, j+k 6= 0 y j+k+l 6= 2+α,y supongamos que todo monomio de grado l − 1 en w tal que sus grados en y, z yw no suman 2 + α y sus grados en y y z no son ambos nulos, pertenece a Im(ρ) yveamos que entonces p también pertenece a la imagen de ρ.

ρ(p) = (j + k − 2 + α(l − 1))xiyjzkwl + lxiyjzk+1wl−1.

Como j + (k + 1) + (l − 1) 6= 2 + α, j + k + 1 6= 0 y l ≥ 4, por hipótesis inductivael segundo término pertenece a Im(ρ). Sea u ∈ U(g) tal que ρ(u) = lxizk+1wl−1.Como α no es un número racional no negativo y l ≥ 4, j + k − 2 + α(l − 1) no seanula y obtenemos

ρ

(xiyjzkwl − u

j + k − 2 + α(l − 1)

)= p.

5. Sea l ≥ 4 e i ∈ N0. De la fórmula (4.30) resulta

ρ(xiwl) = (α(l − 1)− 2)xiwl + lxizwl−1.

Como l ≥ 4 y l 6= 2 + α, por el ítem 4 existe u ∈ U(g) tal que ρ(u) = lxizwl−1.Como l 6= 2

α + 1, α(l − 1)− 2 resulta no nulo y obtenemos

ρ

(xiwl − u

α(l − 1)− 2

)= xiwl.


6. Simplemente calculamos

ρ

(pyw2

α− 1

)= p

(yw2 +

2

α− 1yzw

)= p

(2z

α− 1+ w

)yw,

ρ

(qzw2

α− 1

)= q

(zw2 +

2

α− 1z2w

)= q

(2z

α− 1+ w

)zw,

ρ

(r

w3

2(α− 1)

)= p

(w3 +

3

2(α− 1)zw2

)= r

(3z

2(α− 1)+ w

)w2.

7. Como en ítem anterior, basta calcular

ρ

(p1w3

3

)= p1zw

2, ρ

(p2zw2

2

)= q2z

2w,

ρ(p3z2w) = p3z

3, ρ

(p4yw2

2

)= p4yzw,

ρ(p5yzw) = p5yz2, ρ(p6y

2w) = p6y2z.

De este lema se deduce el siguiente corolario.

Corolario 4.6.2. Sea α ∈ C \Q<0. Notaremos con kn[y, z, w] al k-espacio vectorial depolinomios homogéneos de grado n en y, z y w.

1. Si α 6= 2m para todo m ∈ N y α /∈ N, entonces U(g) = Im(ρ) + k[x]yzw + k[x]zw2.

2. Si α = 1, entonces U(g) = Im(ρ) + k[x]y3 + k[x]y2w + k[x]yw2 + k[x]w3.

3. Si α = 2, entonces U(g) = Im(ρ) + k[x]yzw+ k[x]zw2 + k[x]w2 +⊕

i≥0 xik4[y, z, w].

4. Si α ∈ N≥3, entonces U(g) = Im(ρ) + k[x]yzw + k[x]zw2 +⊕

i≥0 xik2+α[y, z, w].

5. Si m ∈ N≥3 y α = 2m , entonces U(g) = Im(ρ) + k[x]yzw + k[x]zw2 + k[x]wm+1.

Ahora estamos en condiciones de describir el cuarto grupo de cohomología.

Proposición 4.6.3. Para todo α ∈ C \Q<0 se verifica que HH4(U(g)) = 0.

Demostración. Sea f = dx ∧ dy ∧ dz ∧ dw|u ∈∧4 g∗ ⊗k U(g). Del Corolario 4.6.2 y los

Lemas 4.3.6 y 4.3.7 se deduce que U(g) = Im(ρ) + Im(y · −) + Im(z · −) + Im(w · −). Porlo tanto, todo elemento de

∧4 g∗ ⊗k U(g) es un borde.

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