Las funciones continuas son de suma importancia en matemática y en distintas aplicaciones. Sin embargo, no todas las funciones son continuas. Puede ocurrir que una función no sea continua en todo su dominio de definición. Si una función no es continua en un punto, se dice que la función tiene una discontinuidad en ese punto y que la función es discontinua. En este artículo se describe la clasificación de discontinuidades para el caso más simple de funciones de una sola variable real.

Considérese una función y= f(x), de variable real x, definida para todo valor de x excepto posiblemente para un cierto

valor x= a. Es decir, f(x) está definida para x < a y para x > a. Definamos también:

El límite por izquierda en a, es decir, el límite al aproximarse al valor x= a mediante valores menores de a, como:

El límite por derecha en a, es decir, el límite al aproximarse al valor x= a mediante valores mayores de a, como:

Si estos dos límites en el entorno del punto a existen y son iguales se dice que la función tiene límite en este

punto.

Si una función tiene límite en un punto y su valor coincide con el valor de la función en ese punto,

entonces la función es continua en ese punto:

en cualquier otro caso es discontinua en ese punto.

La discontinuidad de una función puede ser clasificada en:

[editar]Discontinuidad evitable

Si una función tiene límite en un punto, pero la función en ese punto tiene un valor distinto:

o no existe:

se dice que la discontinuidad es evitable, asignando a la función, en ese punto, el valor del límite:

[editar]Discontinuidad esencial o no evitable

Se dice que una función presenta una discontinuidad esencial cuando se produce algunas de las

siguientes situaciones:

1. Existen los límites laterales pero no coinciden.

2. Alguno de los límites laterales o ambos son infinitos. Ver asíntota.

3. No existe alguno de los límites laterales o ambos.

[editar]Discontinuidad de primera especie

En este tipo de discontinuidad existen tres tipos:

[editar]De salto finito

Existen el límite por la derecha y por la izquierda del punto, su valor es finito, pero no son iguales:

A este tipo de discontinuidad de primera especie se le llama salto finito, y el salto viene dado

por:

[editar]De salto infinito

Si uno de los límites laterales es infinito y el otro finito, tanto si el límite por la izquierda

es finito y el de la derecha infinito:

como en el caso de que el límite por la izquierda sea infinito y por la derecha finito:

Se dice que la discontinuidad es de salto infinito.

[editar]Discontinuidad asintótica

Si los dos límites laterales de la función en el punto x= a son infinitos:

A este tipo de discontinuidad de primera especie se le llama

discontinuidad asintótica, siendo x= a la asíntota.

[editar]Discontinuidad de segunda especie

Si la función no existe en uno de los lados del punto, o no existen

alguno, o ambos, de los límites laterales de la función en ese punto, se

dice que la función presenta una discontinuidad de segunda especie en

ese punto.