Capítulo 2. Matemáticas Capítulo 2. Matemáticas técnicastécnicas

Presentación PowerPoint dePresentación PowerPoint de

Paul E. Tippens, Profesor de FísicaPaul E. Tippens, Profesor de Física

Southern Polytechnic State Southern Polytechnic State UniversityUniversity© 2007

Las Las MATEMÁTICASMATEMÁTICAS son una son una herramienta herramienta esencial para el esencial para el científico o científico o ingeniero. Este ingeniero. Este capítulo es una capítulo es una revisión de las revisión de las habilidades habilidades necesarias para necesarias para entender y entender y aplicar la física. aplicar la física. Una revisión Una revisión exhaustiva es exhaustiva es esencial.esencial.

Matemáticas Matemáticas preparatoriaspreparatorias

Nota:Nota: Este módulo se Este módulo se puedepuede saltar saltar con base en las necesidades del con base en las necesidades del usuario.usuario.En general, para la física En general, para la física introductoria se suponen geometría introductoria se suponen geometría básica, álgebra, despeje de fórmulas, básica, álgebra, despeje de fórmulas, graficación, trigonometría y notación graficación, trigonometría y notación científica.científica.

Si no está seguro, al menos recorra el Si no está seguro, al menos recorra el repaso muy conciso de este módulo.repaso muy conciso de este módulo.

Objetivos: Después de Objetivos: Después de completar este módulo, completar este módulo, deberá:deberá:

• SumarSumar, , restarrestar, , multiplicarmultiplicar y y dividirdividir mediciones signadas.mediciones signadas.

• Resolver y evaluar Resolver y evaluar fórmulasfórmulas simples para simples para todos los parámetros en una ecuación.todos los parámetros en una ecuación.

• Problemas resueltos de Problemas resueltos de notación científicanotación científica..

• Construir y evaluar Construir y evaluar gráficasgráficas..

• Aplicar reglas de Aplicar reglas de geometríageometría y y trigonometríatrigonometría..

Suma de números Suma de números signadossignados

• Para sumar dos números de Para sumar dos números de igual signoigual signo, , sume los valores absolutos de los sume los valores absolutos de los números y asigne a la suma el signo números y asigne a la suma el signo común.común.

• Para sumar dos números de signo diferente, encuentre la diferencia de sus valores absolutos y asigne el signo del número más grande.

Ejemplo:Ejemplo: Sumar (-6) a (-3) Sumar (-6) a (-3) (-3) + (-6) = -(3 + 6) = -9 (-3) + (-6) = -(3 + 6) = -9

Ejemplo:Ejemplo: Sumar (-6) a (+3). Sumar (-6) a (+3). (+3) + (-6) = -(6 - 3) = -3(+3) + (-6) = -(6 - 3) = -3

Aritmética: ¡Vamos!, Aritmética: ¡Vamos!, hombre…hombre…

¡Qué onda con esto! No ¡Qué onda con esto! No tengo problemas con tengo problemas con sumas y restas. ¡Esto es sumas y restas. ¡Esto es escuela elemental, escuela elemental, hombre!hombre!

Ejemplo 1.Ejemplo 1. Una fuerza dirigida a la Una fuerza dirigida a la derecha es positiva y una fuerza hacia derecha es positiva y una fuerza hacia la izquierda es negativa. ¿Cuál es la la izquierda es negativa. ¿Cuál es la suma de A + B + C si suma de A + B + C si AA es es 100 lb100 lb, , derechaderecha; ; BB es es 50 lb50 lb, , izquierdaizquierda; y ; y CC es es 30 lb30 lb, , izquierdaizquierda..Dados:Dados: A = + 100 lb; B = - 50 lb; C = -30 lb

A + B + C = (100 lb) + (-50 lb) + (-30 lb)

A + B + C = (100 lb) + (-50 lb) + (-30 lb)

A + B + C = +20 lbA + B + C = +20 lb

Fuerza neta = 20 lb, derecha

Fuerza neta = 20 lb, derecha

100 lb-30 lb

-50 lb

A + B + C = +(100 lb - 50 lb - 30 lb)

Resta de números signadosResta de números signados

• Para restar un número signado b de otro número signado a, cambie el signo de b y súmelo a a; use la regla de la suma.

Ejemplos: Restar (-6) de (-3):

(-3) - (-6) = -3 + 6 = +3

Restar (+6) de (-3):Restar (+6) de (-3):

(-3) - (+6) = -3 - 6 = -9(-3) - (+6) = -3 - 6 = -9

Ejemplo 2.Ejemplo 2. En un día de invierno, la En un día de invierno, la temperatura cae de temperatura cae de 151500CC a una baja de a una baja de --101000CC. ¿Cuál es el cambio en . ¿Cuál es el cambio en temperatura?temperatura?

Dados:Dados: t0 = + 150C; tf = - 100C

150C

-100C

t = tf - t0

t = (-100C) - (+150C) = -100C - 150C = -25 C0

t = -25 C0t = -25 C0

¿Cuál es el cambio en temperatura si sube de nuevo a +150C? t = +25 C0t = +25 C0

Multiplicación: números Multiplicación: números signadossignados

(-12)(-6) = +72 ; (-12)(+6) = -72(-12)(-6) = +72 ; (-12)(+6) = -72

• Si dos números tienen Si dos números tienen signos igualessignos iguales, , su producto es su producto es positivopositivo..

• Si dos números tienen Si dos números tienen signos signos distintosdistintos, su producto es , su producto es negativonegativo..

Ejemplos:Ejemplos:

Regla de división para números Regla de división para números signadossignados

( 72) (-72)12; 12

( 6) (+6)

( 72) (-72)12; 12

( 6) (+6)

• Si dos números tienen Si dos números tienen signos igualessignos iguales, , su cociente es su cociente es positivopositivo..

• Si dos números tienen Si dos números tienen signos signos distintosdistintos, su cociente es , su cociente es negativonegativo..

Ejemplos:Ejemplos:

Extensión de la regla por factoresExtensión de la regla por factores

Ejemplos:Ejemplos:

• El resultado será positivo si todos los factores son positivos o si hay un número par de factores negativos.

• El resultado será negativo si hay un número impar de factores negativos.

( 2)( 4) (-2)(+4)(-3)4 ; 12

2 (-2)(-1)

( 2)( 4) (-2)(+4)(-3)4 ; 12

2 (-2)(-1)

Ejemplo 3:Ejemplo 3: Considere la siguiente Considere la siguiente fórmula y evalúe la expresión para fórmula y evalúe la expresión para xx cuando cuando a = -1a = -1, , b = -2b = -2, , c = 3c = 3, , d = d = -4-4..

2cbax cd

bc

2(3)( 2)( 1)(3)( 4)

( 2)(3)x

x = -1 + 48 x = +47x = +47

Trabajo con fórmulas:Trabajo con fórmulas:Muchas aplicaciones de la física requieren Muchas aplicaciones de la física requieren que uno resuelva y evalúe expresiones que uno resuelva y evalúe expresiones matemáticas llamadas matemáticas llamadas fórmulasfórmulas..

LW

H

Considere, por ejemplo, el Considere, por ejemplo, el Volumen Volumen V V ::

V = LWHV = LWH

Al aplicar Al aplicar leyes del álgebraleyes del álgebra, se puede resolver para , se puede resolver para LL, , WW o o HH::

VL

WH

VL

WH V

WLH

V

WLH

VH

LW

VH

LW

Repaso de álgebraRepaso de álgebra

Una Una fórmula fórmula expresa una expresa una igualdadigualdad, y , y dicha igualdad se debe conservar.dicha igualdad se debe conservar.

Si x + 1 = 5 entonces x debe ser igual a 4 para conservar la igualdad.

Si x + 1 = 5 entonces x debe ser igual a 4 para conservar la igualdad.

Cualquier cosa Cualquier cosa que se haga en que se haga en un lado de la un lado de la ecuación se ecuación se debe hacer al debe hacer al otro para otro para conservar la conservar la igualdad.igualdad.

Por ejemplo:• Sumar o restar el mismo valor en

ambos lados.

• Multiplicar o dividir ambos lados por el mismo valor.

• Elevar al cuadrado o sacar la raíz cuadrada de ambos lados.

Por ejemplo:• Sumar o restar el mismo valor en

ambos lados.

• Multiplicar o dividir ambos lados por el mismo valor.

• Elevar al cuadrado o sacar la raíz cuadrada de ambos lados.

Álgebra con ecuacionesÁlgebra con ecuacionesLas fórmulas se pueden resolver al realizar una Las fórmulas se pueden resolver al realizar una secuencia de operaciones idénticas en ambos secuencia de operaciones idénticas en ambos lados de una igualdad.lados de una igualdad.

• Se pueden sumar o restar términos de cada lado de una igualdad.

x = 2 - 4 + 6

x = +4x = +4

- 4 + 6 = -4 + 6Restar 4 y sumar Restar 4 y sumar 6 a cada lado6 a cada lado

x + 4 - 6 = 2 (Ejemplo)

Ecuaciones (Ecuaciones (contcont.).)

• Cada término en ambos lados se puede multiplicar o dividir por el mismo factor.

5x4; 4 5; 20

5 5

xx

5 155 15; ; 3

5 5

xx x

2x 6 42 6 4; ; 3 2; 5

2 2 2x x x

• Las mismas reglas se pueden aplicar a ecuaciones literales (a veces llamadas fórmulas).

Ecuaciones (Ecuaciones (contcont.).)

2 1F m g m g Resuelva para g:

Aísle g al factorizar: 2 1( )F g m m Divida ambos lados por: (m2 – m1)

Resuelto para g:)( 12 mm

Fg

Ecuaciones (Ecuaciones (contcont.).)

• Ahora observe uno más difícil. (Todo lo que se necesita es aislar la incógnita.)

2

; resuelva para gmv

F = mg + R

:2

Rmv

Reste mgR

mvF

2

Divida entre m: gRv

mF

2

Resuelto para g: Rv

mF

g2

Ecuaciones (Ecuaciones (contcont.).)

• Cada lado se puede elevar a una potencia o se puede sacar la raíz de cada lado.

; resuelva para vR

mvmgF

2

Reste mg:R

mvmgF

2

Divida por m; multiplique por R:2vgR

mFR

Resuelto para v: gRmFR

v

¡Esto se pone más duro!¡Esto se pone más duro!Hombre... La aritmética es Hombre... La aritmética es una cosa, pero necesitaré una cosa, pero necesitaré ayuda para resolver esas ayuda para resolver esas letras.letras.

Reordenamiento de Reordenamiento de fórmulasfórmulas

Considere la siguiente Considere la siguiente fórmula:fórmula:

A C

B D

Multiplique por Multiplique por BB para para resolver para resolver para AA::

BA BC

B D

Note que Note que BB se movió se movió arriba a la derechaarriba a la derecha..

1

A BC

D

BCA

D

BCA

D

Por tanto, la Por tanto, la solución para solución para AA es: es:

Ahora resuelva Ahora resuelva para para DD

A C

B D

1. Multiplique por 1. Multiplique por DD 2. Divida por 2. Divida por AA

3. Multiplique por 3. Multiplique por BB

4. Solución para 4. Solución para DD

DD se mueve arriba a la se mueve arriba a la izquierda.izquierda.

AA se mueve abajo a la se mueve abajo a la derecha.derecha.

BB se mueve arriba a la se mueve arriba a la derecha.derecha.

Entonces se aísla Entonces se aísla DD..

DA DC

B D

DA C

AB A

BD BC

B A

BCD

A

Cruces para factoresCruces para factoresCuando en una fórmula sólo hay Cuando en una fórmula sólo hay dos términosdos términos separados por un signo igual, se pueden usar los separados por un signo igual, se pueden usar los crucescruces..

AB DE

C F ¡¡CrucesCruces sólo sólo

para factores!para factores!

A continuación se dan ejemplos de A continuación se dan ejemplos de soluciones:soluciones:

1

A CDE

BF

1

F CDE

AB

1

ABF D

CE

Ejemplo 4:Ejemplo 4: Resolver para Resolver para n.n.

PV = nRT PV nRT

1 1=

R T=

PV n

1R T

R T

PVn

RT

PVn

RT

=PV n

1R T

SEÑAL DE SEÑAL DE ADVERTENCIA ADVERTENCIA

PARA PARA CRUCESCRUCES¡El método de ¡El método de crucescruces

SÓLO funciona para SÓLO funciona para FACTORES!FACTORES!( )a b c e

d f

La c no se puede mover a menos que se mueva todo el factor (b +

c).

Solución para Solución para aa::( )

eda

b c f

( )

eda

b c f

CautionCaution

Ejemplo 5:Ejemplo 5: Resolver para Resolver para f.f.

( )a b c e

d f

Primero mueva Primero mueva ff para tenerlo en el para tenerlo en el numerador.numerador.( )a b c ef

d

A continuación mueva A continuación mueva aa, d y (b + , d y (b + c)c)

( )

edf

a b c

( )

edf

a b c

Cuándo usar cruces:Cuándo usar cruces:

1. Los cruces sólo funcionan 1. Los cruces sólo funcionan cuando una fórmula tiene UN cuando una fórmula tiene UN término en cada lado de una término en cada lado de una igualdad.igualdad.

2. ¡Sólo se pueden mover 2. ¡Sólo se pueden mover FACTORES!FACTORES!

AB DE

C F

AVISO: ¡NO MUESTRE ESTE AVISO: ¡NO MUESTRE ESTE MÉTODO DE “CRUCES” A MÉTODO DE “CRUCES” A

UN MAESTRO DE UN MAESTRO DE MATEMÁTICAS!MATEMÁTICAS!

Use la técnica porque funciona y es efectiva.

Reconozca los problemas de confundir factores con

términos.

Use la técnica porque funciona y es efectiva.

Reconozca los problemas de confundir factores con

términos.

PERO... No espere que le guste a todos los profesores. Utilícela en secreto y no le

diga a nadie.

PERO... No espere que le guste a todos los profesores. Utilícela en secreto y no le

diga a nadie.

Con frecuencia es necesario Con frecuencia es necesario usar exponentes en usar exponentes en aplicaciones físicas.aplicaciones físicas.

E E = = mcmc22

E = m ( c E = m ( c c )c )

El exponente “2” El exponente “2” significa “ c” por significa “ c” por

“c”“c”

E = E = mcmc22

Cubo de

lado x

El volumen de un El volumen de un cubo de lado x es “x cubo de lado x es “x

x x x” o x” oV = xV = x33

¡ Camino escabroso por ¡ Camino escabroso por delante !delante !

Las reglas de Las reglas de exponentes y exponentes y radicales son difíciles radicales son difíciles de aplicar, pero de aplicar, pero necesarias en necesarias en notación física.notación física.Por favor, ábrase paso Por favor, ábrase paso a través de esta a través de esta revisión; pida ayuda si revisión; pida ayuda si es necesario.es necesario.

Exponentes y radicalesExponentes y radicalesReglas de multiplicaciónReglas de multiplicación

Cuando se multiplican dos cantidades Cuando se multiplican dos cantidades de la misma base, su producto se de la misma base, su producto se obtiene al sumar algebraicamente los obtiene al sumar algebraicamente los exponentes.exponentes.

Cuando se multiplican dos cantidades Cuando se multiplican dos cantidades de la misma base, su producto se de la misma base, su producto se obtiene al sumar algebraicamente los obtiene al sumar algebraicamente los exponentes.exponentes.

( )( )m n m na a a ( )( )m n m na a a

EjemplosEjemplos::3 5 3 5 82 2 2 2 4 1 5 6x x x x

Reglas de exponentesReglas de exponentes

Exponente negativo:Exponente negativo: Un término Un término distinto de cero puede tener un distinto de cero puede tener un exponente negativo como se define a exponente negativo como se define a continuación:continuación:

Exponente negativo:Exponente negativo: Un término Un término distinto de cero puede tener un distinto de cero puede tener un exponente negativo como se define a exponente negativo como se define a continuación:continuación:

1 1 or n n

n na a

a a

1 1

or n nn n

a aa a

EjemplosEjemplos::

22

12 0.25

2

2 3 3 4 7

4 2 2

x y y y y

y x x

Exponentes y Exponentes y radicalesradicales

Exponente ceroExponente ceroExponente cero:Exponente cero: Cualquier Cualquier cantidad elevada a la potencia cero cantidad elevada a la potencia cero es igual a 1.es igual a 1.

Exponente cero:Exponente cero: Cualquier Cualquier cantidad elevada a la potencia cero cantidad elevada a la potencia cero es igual a 1.es igual a 1.

SÍ, es correctoSÍ, es correcto

¡CUALQUIER ¡CUALQUIER COSA! COSA! Elevada a la Elevada a la

potencia cero es potencia cero es “1”“1”

01

0El exponente cero: a

Exponentes y Exponentes y radicalesradicales

Exponente ceroExponente ceroExponente cero:Exponente cero: Considere los Considere los siguientes ejemplos para exponentes siguientes ejemplos para exponentes cero.cero.

Exponente cero:Exponente cero: Considere los Considere los siguientes ejemplos para exponentes siguientes ejemplos para exponentes cero.cero.

0 3 0 3x y z y

03

4

0

10.333

3 3

xy

z

0El exponente cero: a

Otras reglas de exponentesOtras reglas de exponentes

Regla de división:Regla de división: Cuando se Cuando se dividen dos cantidades de la dividen dos cantidades de la misma base, su cociente se misma base, su cociente se obtiene al restar obtiene al restar algebraicamente los algebraicamente los exponentes.exponentes.

Regla de división:Regla de división: Cuando se Cuando se dividen dos cantidades de la dividen dos cantidades de la misma base, su cociente se misma base, su cociente se obtiene al restar obtiene al restar algebraicamente los algebraicamente los exponentes.exponentes.

mm n

n

aa

a

Ejemplo:Ejemplo:4 2 4 1 2 5 3 3 3

5 31 1

x y x y x y x

xy y

Reglas de exponentes Reglas de exponentes ((contcont.):.):

Potencia de una potencia:Potencia de una potencia: Cuando una cantidad Cuando una cantidad aamm se se eleva a la potencia eleva a la potencia mm::

Potencia de una potencia:Potencia de una potencia: Cuando una cantidad Cuando una cantidad aamm se se eleva a la potencia eleva a la potencia mm::

nm mna a

Ejemplos:Ejemplos:

3 5 (5)(3) 15 2 3 6( ) ; ( )x x x q q

Reglas de exponentes Reglas de exponentes ((contcont.):.):

Potencia de un producto: Se obtiene al aplicar el exponente a cada uno de los factores.

Potencia de un producto: Se obtiene al aplicar el exponente a cada uno de los factores.

Ejemplo:Ejemplo:12

3 2 4 (3)(4) ( 2)(4) 12 88

( )x

x y x y x yy

m m mab a b

Reglas de exponentes Reglas de exponentes ((contcont.):.):

Potencia de un cociente:Potencia de un cociente: Se Se obtiene al aplicar el exponente obtiene al aplicar el exponente a cada uno de los factores. a cada uno de los factores.

Potencia de un cociente:Potencia de un cociente: Se Se obtiene al aplicar el exponente obtiene al aplicar el exponente a cada uno de los factores. a cada uno de los factores.

n n

n

a a

b b

Ejemplo:Ejemplo:33 2 9 6 9 9

3 3 9 3 6

x y x y x p

qp q p q y

Raíces y radicalesRaíces y radicales

Raíces de un producto:Raíces de un producto: La La nn-ésima raíz de un producto -ésima raíz de un producto es igual al producto de las es igual al producto de las nn-ésimas raíces de cada -ésimas raíces de cada factor.factor.

Raíces de un producto:Raíces de un producto: La La nn-ésima raíz de un producto -ésima raíz de un producto es igual al producto de las es igual al producto de las nn-ésimas raíces de cada -ésimas raíces de cada factor.factor.

n n nab a b

3 3 38 27 8 27 2 3 6

Ejemplo:Ejemplo:

Raíces y radicales (Raíces y radicales (contcont.).)

Raíces de una potencia:Raíces de una potencia: Las raíces de una potencia Las raíces de una potencia se encuentran con la se encuentran con la definición de exponentes definición de exponentes fraccionarios:fraccionarios:

Raíces de una potencia:Raíces de una potencia: Las raíces de una potencia Las raíces de una potencia se encuentran con la se encuentran con la definición de exponentes definición de exponentes fraccionarios:fraccionarios:

/n m m na a

16 12 16/ 4 12/ 4 4 34 x y x y x y

Ejemplos:Ejemplos:

6 3 6/3 3/3 2

39 9/3 3

x y x y x y

z z z

Notación científicaNotación científica

0 000000001 10

0 000001 10

0 001 10

1 10

1000 10

1 000 000 10

1 000 000 000 10

9

6

3

0

3

6

9

.

.

.

, ,

, , ,

La La notación científicanotación científica proporciona un método abreviado para proporciona un método abreviado para expresar números o muy pequeños o muy grandes.expresar números o muy pequeños o muy grandes.

Ejemplos:

93,000,000 mi = 9.30 x 107 mi

0.00457 m = 4.57 x 10-3 m

2

-3

876 m 8.76 x 10 m

0.0037 s 3.7 x 10 sv

53.24 x 10 m/sv 53.24 x 10 m/sv

GráficasGráficas

Relación directaRelación directa

Valores crecientes en el eje horizontal causan un aumento proporcional en los valores del eje vertical.

Valores crecientes en el eje horizontal causan un aumento proporcional en los valores del eje vertical.

Valores crecientes en el eje horizontal causan una disminución proporcional en los valores del eje horizontal.

Valores crecientes en el eje horizontal causan una disminución proporcional en los valores del eje horizontal.

Relación indirectaRelación indirecta

GeometríaGeometríaLos Los ángulosángulos se miden en se miden en términos de grados, de términos de grados, de 0°0° a a 360360ºº..

Línea Línea ABAB es es perpendicularperpendicular a línea a línea CDCD

A

B

C D

AB CDAB CD

270º

180º 0º, 360º

90º

ángulo

A

B

C

D

Línea Línea ABAB eses paralela paralela a línea a línea CDCD

AB CDAB CD

Geometría (Geometría (contcont.).)Cuando Cuando dos líneas dos líneas rectas intersecanrectas intersecan, , forman ángulos forman ángulos opuestos iguales.opuestos iguales.

A A B

B

ángulo A = ángulo A

ángulo B = ángulo B

ángulo A = ángulo A

ángulo B = ángulo B

Cuando una Cuando una línea recta línea recta interseca dos líneas paralelasinterseca dos líneas paralelas, , los ángulos internos alternos los ángulos internos alternos son iguales.son iguales.

A

A

B B

ángulo A = ángulo A

ángulo B = ángulo B

ángulo A = ángulo A

ángulo B = ángulo B

Geometría (Geometría (contcont.).)Para todo triángulo, Para todo triángulo, la la suma de los suma de los ángulos internos es ángulos internos es 180º180º

Para todo Para todo triángulo recto, la triángulo recto, la suma de los dos suma de los dos ángulos más ángulos más pequeños es 90ºpequeños es 90º

A + B + C = 180°A + B + C = 180°

AC

B

A + B = 90°A + B = 90°

AC

B

Ejemplo 6:Ejemplo 6: Use geometría para Use geometría para determinar en la figura los ángulos determinar en la figura los ángulos desconocidos desconocidos y y ..

1. Dibuje líneas 1. Dibuje líneas auxiliares auxiliares ABAB y y CDCD..

500200

2. Note:2. Note: + 50 + 5000 = = 909000

A BC

D

3. Ángulos internos alternos son iguales:

4. ACD es ángulo recto:

200 + + 400 = 900

Trigonometría de triángulo Trigonometría de triángulo rectorecto

Con frecuencia, los ángulos se representan con letras griegas:

alfa beta gamma

theta phi delta

Con frecuencia, los ángulos se representan con letras griegas:

alfa beta gamma

theta phi delta

Teorema de PitágorasTeorema de Pitágoras

El cuadrado de la El cuadrado de la hipotenusa es igual a la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados suma de los cuadrados de los otros dos lados.de los otros dos lados.

Teorema de PitágorasTeorema de Pitágoras

El cuadrado de la El cuadrado de la hipotenusa es igual a la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados suma de los cuadrados de los otros dos lados.de los otros dos lados.

R

x

y

2 2 2

2 2

R x y

R x y

2 2 2

2 2

R x y

R x y

Trigonometría de triángulo Trigonometría de triángulo rectorecto

hip

ady

op

El valor El valor senoseno de un triángulo recto de un triángulo recto es igual a la razón de la longitud es igual a la razón de la longitud del lado del lado opuesto opuesto al ángulo, a la al ángulo, a la longitud de la longitud de la hipotenusahipotenusa del del triángulo.triángulo.

senOp

Hip

El valor El valor coseno coseno de un triángulo recto es igual a la de un triángulo recto es igual a la razón de la longitud del lado razón de la longitud del lado adyacenteadyacente al ángulo, al ángulo, a la longitud de la a la longitud de la hipotenusahipotenusa del triángulo. del triángulo.

cosAdy

Hip

El valor El valor tangentetangente de un triángulo recto es igual de un triángulo recto es igual a la razón de la longitud del lado a la razón de la longitud del lado opuestoopuesto al al ángulo, al lado ángulo, al lado adyacenteadyacente al ángulo. al ángulo.

tanOp

Ady

Ejemplo 5:Ejemplo 5: ¿Cuál es la distancia ¿Cuál es la distancia xx a través del lago y cuál el a través del lago y cuál el ángulo ángulo ??

x

20 m

12 m

RR = 20 m es la hipotenusa. = 20 m es la hipotenusa. Por el teorema de Pitágoras:Por el teorema de Pitágoras:

2 2 2(20) (12)x

400 144 256x

x = 16 mx = 16 m

53.10

53.10

12 mcos

20 m

ady

hip

ResumenResumen

• Para sumar dos números de Para sumar dos números de igual igual signosigno,, sume los valores absolutos de sume los valores absolutos de los números y asigne a la suma el los números y asigne a la suma el signo común.signo común.• Para sumar dos números de signo distinto, encuentre la diferencia de sus valores absolutos y asigne el signo del número más grande.

• Para Para restarrestar un número signado un número signado bb de de otro número signado otro número signado aa, cambie el signo , cambie el signo de de bb y súmelo a y súmelo a aa, con la regla de la , con la regla de la suma.suma.

Resumen (Resumen (contcont.).)

• Si dos números tienen Si dos números tienen signos signos distintosdistintos, su producto es , su producto es negativonegativo..

• Si dos números tienen Si dos números tienen signos signos igualesiguales, su producto es , su producto es positivopositivo..

• El resultado será positivo si todos los factores son positivos o si hay un número par de factores negativos.

• El resultado será negativo si hay un número impar de factores negativos.

ResumenResumen

1nn

aa

1n

na

a

0 1a 0 1a

1nn

aa1n

na

a

mm n

n

aa

a

mm n

n

aa

a nm mna a nm mna a( )( )m n m na a a ( )( )m n m na a a

Trabajo con ecuaciones:

• Sume o reste el mismo valor a ambos lados.

• Multiplique o divida ambos lados por el mismo valor.

• Eleve al cuadrado o saque raíz cuadrada a ambos lados.

Trabajo con ecuaciones:

• Sume o reste el mismo valor a ambos lados.

• Multiplique o divida ambos lados por el mismo valor.

• Eleve al cuadrado o saque raíz cuadrada a ambos lados.

Resumen (Resumen (contcont.).)

m m mab a bn n

n

a a

b b

n n nab a b

/n m m na a

Revise las secciones acerca Revise las secciones acerca de de notación científicanotación científica, , geometríageometría, , gráficasgráficas y y trigonometríatrigonometría según según requiera.requiera.

Revise las secciones acerca Revise las secciones acerca de de notación científicanotación científica, , geometríageometría, , gráficasgráficas y y trigonometríatrigonometría según según requiera.requiera.

Repaso de trigonometríaRepaso de trigonometría

• Se espera que sepa lo siguiente: Se espera que sepa lo siguiente:

y

x

R

y = R sen y = R sen

x = R cos x = R cos

cosx

R

tany

x R2 = x2 +

y2

R2 = x2 + y2

TrigonometríaTrigonometría seny

R

Conclusión del Capítulo 2Conclusión del Capítulo 2Matemáticas técnicasMatemáticas técnicas