Tippens Fisica 7e Soluciones 14

196 Tippens, Fsica, 7e. Manual de soluciones. Cap. 14 Copyright Glencoe/McGraw-Hill. Derechos reservados

Captulo 14. Movimiento armnico simple

Movimiento peridico, segunda ley de Newton y ley de Hooke

14-1. Una piedra oscila en crculos a rapidez constante en el extremo de una cuerda, describiendo

50 revoluciones en 30 s. Cules son la frecuencia y el periodo de este movimiento?

50 rev1.67 rev/s

30 sf = = ; f = 1.67 Hz 1 1

1.67 hzT

f= = ; T = 0.600 s

14-2. Un nio est sentado en el borde de una plataforma que gira a 30 rev/min. La plataforma

tiene 10 m de dimetro. Cul es el periodo del movimiento y cul es la rapidez del nio?

[R = (D/2) = 5 m.]

rev 1 min30 0.500 rev/s;

min 60 s

! "=# $

% & f = 0.500 Hz; 1 1

0.500 hzT

f= =

T = 2.00 s

2 2 (5 m)

2.00 s

Rv

T

! != = ;

v = 15.7 m/s

14-3. Una pelota de caucho oscila en un crculo horizontal de 2 m de dimetro y describe 20

revoluciones en 1 min. Una luz distante proyecta la sombra de la pelota sobre una pared.

Cules son la amplitud, la frecuencia y el periodo del movimiento de la sombra?

A = R = 1.00 m f = rev 1 min20 0.333 rev/s;min 60 s

! "=# $

% &

f = 0.333 Hz 1 10.333 hz

Tf

= = ;

T = 3.00 s

x -R +R 0

R


14-4. Una pelota se mueve en un crculo de 12 cm de radio a 300 rev/min. Cules son la

amplitud, la frecuencia y el periodo de la sombra de la pelota proyectada en una pared?

A = R = 12 cm f = rev 1 min300 5.00 rev/s;min 60 s

! "=# $

% & f = 5.00 Hz

T = 1/f = 1/5 s T = 0.200 s

14-5. Una masa oscila a la frecuencia de 3 Hz y con una amplitud de 6 cm. Cules sern sus

posiciones en los tiempos t = 0 y t = 3.22 s?

A t = 0: x = A cos (2ft) = (6 cm) cos [2(3 Hz)(0)]; x = 6.00 cm

A t = 2.5 s: x = A cos (2ft) = (6 cm) cos [2(3 Hz)(3.22 s)]; x = 3.22 cm

14-6. Una masa de 50 g oscila con un MAS cuya frecuencia es de 0.25 Hz. Suponga que t = 0

cuando la masa se encuentra en su desplazamiento mximo. En qu momento ser el

desplazamiento cero? En qu momento se encontrar la masa a la mitad de su amplitud?

[ = 0.25 s, T = 1/ = 4.0 s.]

Una vibracin completa toma 4 s, por tanto, la masa alcanza cero en un cuarto de ese

tiempo, o sea,

t = 4 s/4 = 1.00 s

Ahora encuentre el tiempo para alcanzar x = A/2:

1cos(2 ); cos(2 ft) 0.5; (2 ) cos (0.5) 1.047 rad2

Ax A ft ft! ! ! "= = = = =

2ft = 1.047 rad; 1.047 rad2 (0.25 Hz)

t!

= ;

t = 0.677 s

Note que el tiempo para alcanzar A/2 no es igual a la mitad del tiempo para alcanzar x =

0. Esto se debe a que la fuerza de restauracin no es constante. Llega a x = 0 en 1 s. Pero

cubre la mitad de esa distancia en un tiempo de 0.667 s.


14-7. Cuando una masa de 200 g cuelga de un resorte, la altura de ste desciende una distancia de

1.5 cm. Cul es la constante k del resorte? [F = mg; x = 1.5 cm = 0.015 m.] 2(0.200 kg)(9.8 m/s )

0.015 m

Fk

x= = ;

k = 131 N/m

14-8. Una masa adicional de 400 kg se aade a la masa inicial de 200 g del problema 14-7. Cul

ser el incremento del desplazamiento hacia abajo? (F se debe solamente a la masa

adicionada.) 2(0.400 kg)(9.8 m/s )

; 131 N/m

F Fk x

x k

! != ! = =!

;

x = 2.99 cm

14-9. Una masa de 1.5 kg oscila en el extremo de un resorte con MAS. La amplitud de la

vibracin es de 0.15 m y la constante del resorte es de 80 N/m. Cules son la magnitud y

la direccin de la aceleracin y de la fuerza sobre la masa cuando se ubica en los

desplazamientos siguientes: (a) 0.15 m, (b) 0.09 m, y (c) +0.05 m?

Recuerde que F = kx y a = kx/m.

(a) F = (80 N/m)(0.15 m) o F = 12.0 N 212 N o 8.00 m/s1.5 kg

Fa a

m

!= = = !

(b) F = 80 N/m)( 0.09 m) o F = +7.20 N; 27.20 N o 4.80 m/s1.5 kg

Fa a

m= = = +

(c) F = (80 N/m)(0.05 m) o F = 4.00 N; 24.0 N o 2.67 m/s1.5 kg

Fa a

m

!= = = !


14-10. Un resorte ligero y un bloque de 0.65 kg se hallan en una superficie horizontal sin

friccin. El resorte se comprime una distancia de 6 cm y se suelta para que vibre con

MAS. Si la constante del resorte es de 9 N/m, cul es la aceleracin inicial del bloque y

cul es la fuerza inicial sobre el bloque?

La aceleracin inicial sucede cuando x = +0.06 m, y F = ma en ese punto.

2(9 N/m)(0.06 m) ; 0.831 m/s0.65 kg

kxa a

m

! != = = ! ;

F = (0.65 kg)( 0.831 m/s2); F = 0.540 N

Trabajo y energa en el movimiento armnico simple

14-11. Se comprime un resorte a una distancia de 4 cm. Si su constante es de 200 N/m, cunto

trabajo realiza la fuerza de compresin? Cul es la energa potencial?

Trabajo = kx2= (200 N/m)(0.04 m)2;

La energa potencial es igual al trabajo realizado.

Trabajo = 0.16 J; U = Trabajo = 0.16 J

14-12. Una pistola de juguete funciona empujando una bola de plstico de 0.15 kg contra un

resorte, al que se comprime una distancia de 8 cm. La constante del resorte es de 400 N/m.

Si se suelta la bola, cul ser la velocidad cuando se aparte del extremo del resorte?

La energa total se conserva.

mv2 = kx2; al resolver para v se obtiene: 2 2(400 N/m)(0.08 m)

0.15 kg

kxv

m= = ;

v = 4.12 m/s


14-13. Una masa de 0.5 kg est unida a un resorte ligero cuya constante es de 25 N/m. La masa es

desplazada una distancia de 6 cm y luego se le suelta para que oscile con MAS sobre una

superficie horizontal sin friccin. (a) Cul es la energa total del sistema? (b) Cul es la

velocidad mxima? (c) Cul es la aceleracin mxima?

La energa total en x = A es la misma que en otros puntos.

(a) E = U + K = kA2 + 0 o E = (25 N/m)(0.06)2 = 45.0 mJ

(b) La velocidad mxima sucede cuando x = 0, as E = K desde U = 0

(c) La aceleracin maxima ocurre cuando x = A, as que

2

mx

25 N/m(0.06 m); 3.0 m/s

0.5 kg

ka x a

m= ! = ! =

14-14. Considere las mismas condiciones del problema 13. Cul ser la velocidad de una masa

de 0.5 kg cuando su posicin es x = +5 cm y cul ser su velocidad cuando x = 3 cm? 2 2 21 1 1

2 2 2kx mv kA+ = : k = 25 N/m, A = 0.06 m, m = 0.5 kg, x = 0.05 m y 0.03 m

Para x = 5 cm: 2 2 21 1 12 2 2(25 N/m)(0.05 m) (0.5 kg) (25 N/m)(0.06 m)v+ = ;

v = 0.234 m/s

Para x = 5 cm: 2 2 21 1 12 2 2(25 N/m)(-0.03 m) (0.5 kg) (25 N/m)(0.06 m)v+ = ;

v = 0.367 m/s

El mismo resultado se encuentra por sustitucin directa en:

( )2 2k

v A xm

= !

2 21 1mx2 2

45 mJ;mv kA= =2 2 2

mx

2(0.045 J)0.18 m /s

0.5 kgv = =


Velocidad en el movimiento armnico simple

14-15. Un cuerpo vibra con una frecuencia de 1.4 Hz y una amplitud de 4 cm. Cul es la

velocidad mxima? Cul es su posicin cuando la velocidad es cero?

v = 2fA sen(2ft); vmx ocurre cuando sen = 1, vmx= 2fA

vmx = 2(1.4 Hz)(4 cm); vmx = 35.2 cm/s

Cuando v = 0, x = A o x = 4.00 cm

14-16. Un objeto oscila con una frecuencia de 5 Hz y una amplitud de 6 cm. Cul es la

velocidad mxima?

vmx = 2fA = 2(5 Hz)(6 cm); vmx = 189 cm/s

14-17. Un bloque liso colocado sobre una superficie sin friccin est unido a un resorte; se tira de

l hacia la derecha una distancia de 4 cm y luego se suelta. Tres segundos despus regresa

al punto de partida. Cul es su frecuencia y cul es su rapidez mxima? [T = 3.00 s.]

f = 1/T = 0.333 Hz; vmx = 2fA = 2(0.333 Hz)(4 cm); vmx = 8.38 cm/s

14-18. En el problema 14-17, cules son la posicin y la velocidad 2.55 s despus de soltar el

bloque?

x = A cos(2ft) = (4 cm)cos[2(0.333 Hz)(2.55 s)];

x = 2.35 cm

v = 2fA sen(2ft) = 2(0.333 Hz)(4 cm)sen [2(0.333 Hz)(2.55 s);

v = 6.78 cm/s

La posicin es 2.35 cm a la derecha (+) del centro y el cuerpo se mueve a la derecha (+) a

6.78 cm/s.

*14-19. Una masa unida al extremo de un resorte oscila hacia arriba y hacia abajo con una

frecuencia de 0.600 Hz y una amplitud de 5 cm. Cul ser su desplazamiento 2.56 s

despus de alcanzar un mximo?

x = A cos(2ft) = (5 cm) cos [2(0.6 Hz)(2.56 s)];

x = 4.87 cm


*14.20. Un objeto vibra con una amplitud de 6 cm y una frecuencia de 0.490 Hz. Iniciando con

su mximo desplazamiento en direccin positiva, cundo ser la primera vez que se

desplace 2 cm?

x = A cos(2ft); 2 cmcos(2 ) 0.3336 cm

xft

A! = = = ; (2ft) = cos1(0.333);

2ft = 1.23 rad; 1.23 rad2 (0.490 Hz)

t!

= ;

t = 0.400 s

*14-21. Demuestre que la velocidad de un objeto con MAS se expresa como una funcin de su

amplitud y su desplazamiento. (Vase el crculo de referencia: = 2ft.)

sen 2 sen 2y y

v fA fAA A

! " ! "# $

= = % = % & '( )

; v = 2fy

Pero, 2 2y A x= ! por el teorema de Pitgoras, por lo que:

v f A x= !2 2 2"

Nota: Esta expresin tambin se deriva de los principios de la conservacin de la energa.

14-22. Use la relacin desarrollada en el problema 14-21 y verifique las respuestas obtenidas para

la posicin y la velocidad en el problema 14-18.

2 2 2 22 2 (0.333 Hz) (4 cm) (2.35 cm)v f A x! != " = " ;

v = 6.78 cm/s

14-23. Una masa que vibra a la frecuencia de 0.5 Hz tiene una velocidad de 5 cm/s al pasar por el

centro de oscilacin. Cules son la amplitud y el periodo de vibracin?

vmax = 2fA = 5 cm/s max5 cm/s

2 2 (0.5 Hz)

vA

f! != = ; A = 1.59 cm

1 1

0.5 HzT

f= ! ; T = 2.00 s

x

y A


*14-24. Un cuerpo vibra con una frecuencia de 8 Hz y una amplitud de 5 cm. En qu momento

despus de ser liberado de x = +5 cm ser su velocidad igual a +2.00 m/s?

v = 2fA sen(2ft); 2 m/ssen(2 ) 0.7962 2 (8 Hz)(0.05 m)

vft

fA!

! != = = "" "

;

(2ft) = sen1(0.796); 2ft = 0.920 0.9212 (8 Hz)

t!

="

; t = 18.3 ms

Nota: El signo negativo para el tiempo significa que la velocidad era +2 m/s, 18.3 ms

ANTES de su desplazamiento era +5 cm. Habrn dos momentos dentro del primer

periodo de la vibracin en los que la velocidad ser de +5 m/s. Uno es 18.3 ms antes de

llegar al extremo del primer periodo (t = 18.3 ms), el segundo es 18.3 s despus de

haber llegado a la mitad del primero. As, para encontrar el tiempo en que la velocidad

era de +2 m/s despus de la liberacin de +5 cm, debe SUMAR 18.3 ms a un medio del

periodo T.

1 10.125 s

8 HzT

f= = = , 125 ms18.3 ms 18.3 ms

2 2

Tt = + = +

t = 62.5 ms + 18.3 ms; t = 80.8 ms

Aceleracin en el movimiento armnico simple

14-25. Una masa de 400 g est unida a un resorte y hace que ste se alargue hasta una distancia

vertical de 2 cm. A continuacin, se tira de la masa hacia abajo hasta una distancia de 4

cm y se suelta para que vibre con MAS como se muestra en la figura 14-13. Cul es la

constante elstica? Cules son la magnitud y la direccin de la aceleracin cuando la

masa se halla 2 cm debajo de su posicin de equilibrio? 2(0.400 kg)(9.8 m/s )

0.02 mk = ;

k = 196 N/m

Considere hacia abajo como +.

(196 N/m)(0.02 m)

0.400 kg

ka x

m

!= ! =

a = 9.8 m/s2, hacia arriba


14-26. Cul es la aceleracin mxima para el sistema descrito en el problema 14-25 y cul es su

aceleracin cuando se encuentra 3 cm arriba de su posicin de equilibrio? (Hacia abajo +)

mx

(196 N/m)(0.04 m)

0.400 kg

ka A

m

!= ! =

a = 19.6 m/s2, hacia arriba

(196 N/m)( 0.03 m)

0.400 kg

ka x

m

! != ! =

a = 14.7 m/s2, hacia abajo

14-27. Un cuerpo describe una oscilacin completa en 0.5 s. Cul es su aceleracin cuando se

desplaza a una distancia de x = +2 cm de su posicin de equilibrio? (T = 0.5 s)

1 12.00 Hz

0.5 sfT

= = = ; a = 42f2x = 42(2 Hz)2(0.02 m);

a = 3.16 m/s2

14-28. Halle la velocidad mxima y la aceleracin mxima de un objeto que se mueve en un

MAS con una amplitud de 16 cm y una frecuencia de 2 Hz.

mx 2 2 (2 Hz)(0.16 m);v fA! != " = "

vmx = 2.01 m/s

amx = 42f2A = 42(2 Hz)2(0.16 m)

amx = 25.3 m/s2

*14-29. Un objeto que vibra con un periodo de 2 s es desviado hasta una distancia de x = +6 cm y

luego se suelta. Cules son su velocidad y su aceleracin 3.20 s despus de ser soltado?

[ = 1/T = 0.5 Hz]

2 sen (2 ) 2 (0.5 Hz)(0.06 m) sen[(2 (0.5 Hz)(3.2 s)];v fA ft! ! ! != " = "

v = +0.111 m/s;

v = +11.1 cm/s, en direccin positiva

a = 42f2A cos(2ft) = 42(0.5 Hz)2(0.06 m) cos [2(0.5 Hz)(3.2 s)]

a = +0.479 m/s2, en direccin positiva


14-30. Un cuerpo vibra con MAS cuyo periodo es de 1.5 s y su amplitud es de 6 in. Cules son

su velocidad y su aceleracin mxima? [ = 1/T = (1/1.5 s) = 0.667 Hz; A = 6 in = 0.5 ft]

mx 2 2 (0.667 Hz)(0.5 ft);v fA! != " = "

vmx = 2.09 ft/s

amx = 42f2A = 42(0.667 Hz)2(0.5 ft)

amx = 8.77 ft/s2

*14-31. En el caso del cuerpo descrito en el problema 14-30, cules son su velocidad y su

aceleracin despus de un tiempo de 7 s?

2 sen (2 ) 2 (0.667 Hz)(0.5 ft) sen[2 (0.667 Hz)(7 s)];v fA ft! ! ! != " = "

v = +1.81 ft/s;

v = +1.81 ft/s, en direccin positiva

a = 42f 2A cos(2ft) = 42(0.667 Hz)2(0.5 ft) cos [2(0.667 Hz)(7 s)]

a = +4.26 ft/s2, en direccin positiva

El periodo y la frecuencia

*14-32. Las puntas de un diapasn vibran con frecuencia de 330 Hz y amplitud de 2 mm. Cul

es la velocidad cuando el desplazamiento es de 1.5 mm? (Vase el problema 14.21.)

2 2 2 22 2 (330 Hz) (2.0 mm) (1.5 mm)v f A x! != " = "

v = 2743 mm/s;

v = 2.74 m/s


*14-33. Una masa de 400 g produce un estiramiento de 20 cm en un resorte. A continuacin, la

masa de 400 g es removida y sustituida por una masa m desconocida. Cuando se tira de

la masa desconocida para que descienda 5 cm y luego se suelta, vibra con un periodo de

0.1 s. Calcule la masa del objeto. 2(0.40 kg)(9.8 m/s )

19.6 N/m0.20 m

Fk

x= = =!

; 2 mTk

!=

2 22 2

2 2

(0.10 s) (19.6 N/m)4 ;

4 4

m T kT m

k!

! !

" #= = =$ %

& ';

m = 0.00496 kg = 4.96 g

*14-34. Un largo trozo de metal delgado est sujeto por su extremo inferior y tiene una bola de

2 kg unida a su extremo superior. Cuando se tira de la bola hacia un lado y luego se

suelta, vibra con un periodo de 1.5 s. Cul es la constante elstica de este dispositivo?

k = 35.1 N/m

*14-35. Un automvil y sus pasajeros tienen una masa total de 1600 kg. El armazn del vehculo

est sostenido por cuatro resortes, cada uno con una fuerza constante de 20 000 N/m.

Calcule la frecuencia de vibracin del automvil cuando pasa sobre un promontorio del

camino.

Cada resorte soporta (1600 kg) o 400 kg; k = 20,000 N/m

1 1 1 (20,000 N/m);

2 2 400 kg

kf fT m! !

= = = ;

f = 1.13 Hz

2 2 22

2 2

4 4 4 (2 kg)2 ; ; = ; ;

(1.5 s)

m m mT T k k

k k T

! ! !!= = =


El pndulo simple

14-36. Cules son el periodo y la frecuencia de un pndulo simple de 2 m de longitud?

2

2 m2 2

9.8 m/s

LT

g! != = ; T = 2.84 s;

f = 1/T; f = 0.352 Hz

*14-37. Un reloj de pndulo simple marca los segundos cada vez que su peso llega a su amplitud

mxima en cualquiera de los lados. Cul es el periodo de este movimiento? Cul debe

ser la longitud del pndulo en el punto en que g = 9.80 m/s2?

T = 2.00 s/vib; 2 2

2

2

42 ; ;

4

L L T gT T L

g g

!!

!= = =

2 2

2

(2.0 s) (9.8 m/s )

4L

!= ;

L = 0.993 m

14-38. Un trozo de cuerda de 10 m de longitud est unido a un peso de acero que cuelga del

techo. Cul es el periodo de su oscilacin natural?

2

10 m2 2

9.8 m/s

LT

g! != = ;

T = 6.35 s

*14-39. En la superficie de la Luna, la aceleracin de la gravedad es de slo 1.67 m/s2. Un reloj

de pndulo ajustado para la Tierra es colocado ese satlite. Qu fraccin de su longitud

en la Tierra deber ser su nueva longitud para mantenerse en el tiempo preciso?

2 ; 2 ;e me me m

L LT T

g g! != = el ajuste requiere que Te = Tm

2

2

1.67 m/s; 0.170

9.8 m/s

e m m m

e m e e

L L L g

g g L g= = = = ; Lm = 0.17 Le


*14-40. Un estudiante construye un pndulo de 3 m de longitud y determina que ste completa

50 vibraciones en 2 min, 54 s. Cul es la aceleracin de acuerdo a la gravedad en el

lugar donde est el estudiante? [2 min = 120 s; t = 120 s + 54 s = 174 s] 2

2174 s 4 3.48 s; 2 ;

50 vib

L LT T T

g g

!!= = = =

2 2

2 2

4 4 (3.0 m)

(3.48 s)

Lg

T

! != = ;

g = 9.78 m/s2

El pndulo de torsin

*14-41. Un pndulo de torsin oscila con una frecuencia de 0.55 Hz. Cul es el periodo de su

vibracin? Cul es la aceleracin angular cuando su desplazamiento angular es de 60?

T = (1/f) = 1.82 s; = I; = k; I = k Ik

!

"

#=

2 22

2 2

(1.82 s)2 ; ; 0.0837 s

' ' 4 4 '

I I T IT

k k k!

! != = = =

= 600(/180) = 0.333 y Ik

!

"

#=

2

0.333

0.837 s'

Ik

! "#

$ $= =

= 12.5 rad/s2

*14-42. La aceleracin angular mxima de un pndulo de torsin es de 20 rad/s2 si el

desplazamiento angular es de 70. Cul es la frecuencia de vibracin? (Vase el

problema 14-35.) 0

2

70 ( /180); 0.06109

' 20 rad/s '

I I

k k

! "

#

$ $= = =

$

22 2 0.06109 s

'

IT

k! != = ; T = 1.55 s

1fT

= f = 0.644 Hz


*14-43. Un disco de 20 cm de dimetro constituye la base de un pndulo de torsin. Una fuerza

de 20 N, aplicada al borde, hace que ste se tuerza en un ngulo de 12. Si el periodo de

la vibracin angular despus de soltar el borde es de 0.5 s, cul es el momento de

inercia del disco? [R = D/2 = 0.10 m ]

(20 N)(0.10 m) = 2.0 N m; ' 2.0 N mFR I k! ! " #= = = = $ = ;

0

2 N m 2 N m' 9.55 N m/rad

12 ( /180)k

! "= = = ;

2 22 ; 4

' '

I IT T

k k! !

" #= = $ %

& ';

2 2

2 2

' (0.5 s) (9.55 N m/rad)

4 4

T kI

! != = ;

I = 0.0605 kg m2

*14-44. Un objeto irregular est suspendido de un alambre como un pndulo de torsin. Un

momento de torsin de 40 lb ft hace que se tuerza hasta un ngulo de 15. Cuando el

objeto queda libre, oscila con una frecuencia de 3 Hz. Cul es el momento de inercia de

ese cuerpo irregular?

0

40 lb ft' 152.8 lb ft/rad

15 ( /180)k

!

" #= = = ; 2

2

1 ' ';

2 4

k kf f

I I! != =

2 2 2 2

' 152.8 lb ft/rad

4 4 (3 Hz)

kI

f! != = ;

I = 0.430 lb ft2

Problemas adicionales

14-45. La constante elstica de un resorte de metal es 2000 N/m. Qu masa har que este resorte

se estire hasta una distancia de 4 cm?

Dado: x = 0.04 m, k = 2000 N/m, F = mg

2

(2000 N/m)(0.04 m);

9.8 m/s

F mg kxk m

x x g

!= = = =!

;

m = 8.16 kg


14-46. Una masa de 4 kg cuelga de un resorte cuya constante k es de 400 N/m. Se tira de la masa

hacindola descender una distancia de 6 cm y luego se suelta. Cul es la aceleracin en el

instante en que se suelta? [x = 0.06 m, k = 400 N/m, m = 4 kg, F = ma = -kx]

(400 N/m)(0.06 m)

4 kg

kxa

m

! != = ;

a = 6.00 m/s2

14-47. Cul es la frecuencia natural de vibracin del sistema descrito en el problema 14-46?

Cul es la velocidad mxima?

1 1 400 N/m;

2 2 4 kg

kf

m! != =

f = 1.59 Hz

vmx = 2fA = 2(1.59 Hz)(0.06 m);

vmx= 59.9 cm/s

*14-48. Una masa de 50 g, colocada en el extremo de un resorte (k = 20 N/m) se mueve a una

velocidad de 120 cm/s cuando se coloca a una distancia de 10 cm de la posicin de

equilibrio. Cul es la amplitud de la vibracin? [v = 1.20 m/s, k = 20 N/m,

x = 0.10 m, m = 0.050 kg]

1 1 20 N/m3.18 Hz;

2 2 0.05 kg

kf

m! != = = (Vase ecuacin del problema 14-19)

v f A x= !2 2 2" ; v2 = 42f2(A2 x2); 2

2 2

2 24

vA x

f!= +

22 2

2 2

(1.20 m/s)(0.10 m)

4 (3.183 Hz)A

!= + ; 20.0136 mA = ;

A = 11.7 cm


*14-49. Una masa de 40 g est unida a un resorte (k = 10 N/m) y despus de desviarla de su

posicin de equilibrio se suelta, con una amplitud de 20 cm. Cul es la velocidad de la

masa cuando est a la mitad del camino hacia la posicin de equilibrio?

1 1 10 N/m2.516 Hz;

2 2 0.04 kg

kf

m! != = = v f A x= !2 2 2"

2

2 22 0.75 ; v= 2 (2.516 Hz)(0.866)2

Av f A A A! !

" #= $ = % &

' (

v= 2 (2.516 Hz)(0.866)(0.20 m)!

v = 2.74 m/s

14-50. Cul es la frecuencia del movimiento para la masa del problema 14-49?

1 1 10 N/m2.516 Hz;

2 2 0.04 kg

kf

m! != = =

f = 2.52 Hz

14-51. Una masa de 2 kg cuelga de un resorte ligero. Al mover la masa de su posicin de

equilibrio y soltarla, describe 20 oscilaciones en 25 s. Halle el periodo y la constante

elstica.

25 s

20 vibT = T = 1.25 s;

2

2 42 ;

m mT T

k k

!!= =

2 2

2 2

4 4 (2 kg)

(1.25 s)

mk

T

! != = ; k = 50.5 N/m

*14-52. Qu longitud debe tener el pndulo para que el periodo sea de 1.6 s en un punto donde

g = 9.80 m/s2? 2 2 2

2 2

(9.8 m/s )(1.6 s)2 ; L=

4 4

L gTT

g!

! != = ;

T = 63.5 cm


*14-53. Un objeto se mueve con un MAS de 20 cm de amplitud y 1.5 Hz de frecuencia. Cules

son la aceleracin y la velocidad mximas? [A = 0.20 m; f = 1.5 Hz] 2 2 2 24 4 (1.5 Hz) (0.20 m)a f A! != " = " ;

a = 17.8 m/s2

mx 2 2 (1.5 Hz)(0.20 m)v fA! != " = " ;

vmx = 1.88 m/s

*14-54. En el caso del objeto presentado en el problema 14-53, cules son la posicin, la

velocidad y la aceleracin 1.4 s despus de que el objeto llega a su mximo

desplazamiento? [f = 1.5 s; t = 1.4 s.]

x = A cos(2ft) = (20 cm) cos [2(1.5 Hz)(1.4 s)];

x = 16.2 cm

v = 2fA sen(2ft) = 2(1.5 Hz)(0.2 m)sen [2(1.5 Hz)(1.4 s);

v = 1.11 m/s 2 2 2 24 4 (1.5 Hz) (0.162 cm);a f x! != " = "

a = 14.4 m/s2

Preguntas para la reflexin crtica

*14-55. Una masa m unida al extremo de un resorte oscila con una frecuencia f = 2 Hz y una

amplitud A. Si la masa m se duplica, cul ser la nueva frecuencia para la misma

amplitud? Si la masa no cambia y la amplitud se duplica, cul ser la frecuencia?

21 1; ;

2

kf f

m m!= " f12m1 = f22m2

2 2

1 1 1 1

2

2 12

f m f mf

m m= =

1

2

2 Hz

1.4142

ff = = ;

f2 = 1.414 Hz

Puesto que la frecuencia no es una funcin de A, la frecuencia permanece:

f2 = 2.00 Hz


*14-56. Considere una masa de 2 kg unida a un resorte cuya constante es 400 N/m. Cul es la

frecuencia de vibracin natural? Si el sistema se estira +8 cm y luego se suelta, en qu

puntos se maximizarn su velocidad y su aceleracin? Llegar a la mitad de su

velocidad mxima cuando la amplitud llegue a la mitad? Calcule la velocidad mxima y

la velocidad en x = 4 cm para comprobar su respuesta.

1 1 400 N/m

2 2 2 kg

kf

m! != = ;

f = 2.25 Hz

La velocidad mxima ocurre en x = 0 porque la fuerza de restauracin ha estado

actuando en la misma direccin por el tiempo ms largo cuando x = 0,

x = 0

La aceleracin mxima ocurre cuando la fuerza de restauracin es mayor

x = 8 cm

*14-57. Una masa de 200 g est suspendida de un largo resorte en espiral. Cuando la masa se

desplaza hacia abajo 10 cm, se observa que vibra con un periodo de 2 s. Cul es la

constante elstica? Cules son su velocidad y su aceleracin cuando pasa hacia arriba

por el punto que se localiza +5 cm por arriba de su posicin de equilibrio? [f = 1/T =

0.500 Hz; x = +5 cm] 2 2

2 2

4 4 (0.2 kg)2 ;

(2 s)

m mT k

k T

! !!= = = ; k = 1.97 N/m

2 2 2 22 2 (0.5 Hz) (0.10 m) (0.05 m)v f A x! != " = "

v = + 0.272 m/s

(positiva porque el movimiento es hacia arriba)

(1.97 N/m)( 0.05 m)

0.200 kg

kxa

m

! ! += = ; a = 0.493 m/s2

La aceleracin es hacia abajo porque la fuerza de restauracin es hacia abajo.


*14-58. Un reloj de pndulo marca los segundos cada vez que el peso pasa por su punto ms

bajo. Cul deber ser la longitud del pndulo en un lugar donde g = 32.0 ft/s? Si el reloj

se lleva a un sitio donde g = 31.0 ft/s2, cunto tiempo se retrasar en un da?

T = 2.0 s; 2 2 2

2 2

(2 s) (32 ft/s )2 ;

4 4

L T gT L

g!

! != = = ; L = 3.24 ft

Si g = 32 ft/s2, vib/da = 86 400 s/da 43,200 vib/da2 s/vib

=

Si g = 31 ft/s2, 2

3.24 ft2 2 2.032 s/vib

31 ft/s

LT

g! != = =

Lo que significa que g = 31 ft/s, Vib/da = 86 400 s/da 42,520 vib/da2 s/vib

=

Vib. perdidas = 43,200 42,520 = 680 vibraciones

Tiempo perdido = (2 s/vib)(680 vib) = 1360 s;

Tiempo perdido = 22.7 min

*14-59. Una masa de 500 g est unida a un dispositivo cuya constante elstica es de 6 N/m. La

masa se desplaza hacia la derecha hasta una distancia x = +5 cm a partir de su posicin

de equilibrio y luego se suelta. Cules son su velocidad y su aceleracin cuando x = +3

cm y cuando x = 3 cm?

1 1 6 N/m

2 2 0.5 kg

kf

m! != = ; f = 0.551 Hz

2 2 2 22 2 (0.551 Hz) (0.05 m) (0.03 m)v f A x! != " = "

v = 0.139 m/s

La velocidad puede ser + o u otro +3 cm o a 3 cm.

A x = +3 cm: (6 N/m)( 0.03 m)0.500 kg

kxa

m

! ! += = ;

a = 0.360 m/s2

A x = 3 cm: (6 N/m)( 0.03 m)0.500 kg

kxa

m

! ! != = ;

a = +0.360 m/s2

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Tippens Fisica 7e Soluciones 14