TIRO PARABÓLICO: SOLUCIÓN DE LOS EJERCICIOS PARA ENTREGAR

Libro tema 4 ejercicio 50 página 64Una catapulta dispara proyectiles con una velocidad de 30m/s y ángulo 40⁰ sobre la horizontal contra una muralla. Esta tiene 12m de altura y está situada a 50m.a) ¿Pasarán los proyectiles por encima de la muralla?b) ¿A qué distancia de la base de la muralla caerán?

Como sabemos que x=50m, vamos a la ecuación de x para calcular el tiempo que tarda el proyectil en llegar a la muralla.

x=xo +voxt50m = 0m+ 30cos40m/s·t

t= 50m

30cos40m / st= 2,2s

Por tanto, tarda 2.2s en llegar a la muralla. Para calcular a qué altura está, vamos a la ecuación de “y” y calculamos su valor con ese t.

y=yo + voyt +1/2gt2

y= 0m + 30sen40m/s ·2.2s+ ½ (-9.8m/s2)(2.2s) 2

y=19mComo el proyectil va a 19m de altura y la muralla mide 12, no chocará sino que sobrepasará la muralla.

b) En este apartado lo que queremos saber es a que distancia cae de la muralla. Por tanto, necesitamos conocer el alcance.

Para calcular a qué distancia cae el proyectil desde el punto de lanzamiento, primero tenemos que saber cuánto tiempo tarda en caer. Para ello, sabemos que en el suelo la altura del proyectil es y=0m, por lo que sustituimos en la ecuación de “y”

y=yo + voyt +1/2gt2

0m= 0m + 30sen40m/s ·t+ ½ (-9.8m/s2)t 2

0m= t(30sen40m/s -4.9m/s2t)

t= 30 sen 40m /s4.9m /s2t= 3.9s

50 m

12mVo= 30m/s

40⁰

En el apartado a) nos preguntan si el proyectil pasa por encima de la muralla o choca contra ella. Para ello, lo que tenemos que saber es a qué altura (y) está el proyectil a los 50m de distancia del punto de lanzamiento. Es decir, cuál es el valor de y cuando x=12m

Vo= 30m/s

40⁰12m

50 m ¿? m

Como ya sabemos que tarda 3.9s en caer, podemos calcular con ese valor de t el valor de x

x=xo +voxtx = 0m+ 30cos40m/s·3.9s

x= 90m

Sin embargo, lo que nos pregunta el problema es la distancia a la que cae de la pared. Entonces, como sabemos que cae a 90m del punto de lanzamiento y que la muralla está a 50m de dicho punto de lanzamiento, la distancia entre el proyectil y la muralla será:

Alcance – distancia a muralla = 90m -50m = 40m

El proyectil cae a 40m de distancia de la muralla

Libro tema 4 ejercicio 54 página 64Desde una altura de 1m y con velocidad de 18m/s que forma un ángulo de 53⁰ con la horizontal se dispara una flecha. Esta pasa por encima de una tapia que está a 20m de distancia y se clava a 9m de altura en un árbol que se encuentra detrás. Calcula:a) Cuánto duró el vuelo de la flechab) Con qué velocidad llegó al árbol y con qué ángulo se clavóc) La altura máxima que debería tener la tapia para que la flecha no impactase en él

a) Nos preguntan cuánto tiempo tarda en chocar contra el árbol. Es decir nos preguntan cuál es la “t” cuando y=9m. Por tanto, sustituimos en la ecuación de y y calculamos el

tiempo, resolviendo para ello una ecuación de segundo grado

y=yo + voyt +1/2gt2

9m= 1m + 18sen53m/s ·t+ ½ (-9.8m/s2)t 2

8m= 14.4m/s·t -4.9m/s2t2

4.9t2 -14.4t+8 =0t1= 0.74st2=2.2s

Nos dan dos valores de tiempo que en un principio podrían ser ambos válidos. Es lógico porque como tiene forma de parábola, pasará dos veces por la misma altura. Para verificar cuál de los dos valores de t es el que realmente tenemos que coger, lo que hacemos es calcular el valor de x para cada uno de los tiempos.

- Cuando t=0.74s

yo=1my=9m

Vo= 18m/s

53⁰

x=xo +voxtx = 0m+ 18cos53m/s·0.74s

x= 8.0m

No nos sirve este tiempo, porque nos dice que el árbol está situado detrás de una tapia que se encuentra a 20m de distancia del punto de lanzamiento y a los 0.74s la flecha solo ha recorrido 8m en el eje x.

- Cuando t=2.2sx=xo +voxt

x = 0m+ 18cos53m/s·2.2sx= 24m

Por tanto, el vuelo duró 2.2s

b) Para calcular la velocidad con la que choca en el árbol, tenemos que calcular Vx y Vy.Sabemos que en el eje x la flecha tiene un m.r.u. por lo que siempre llevará la misma velocidad. Es decir,

Vx= Vox = 18cos53m/s = 11m/s

Para calcular Vy, tenemos una fórmula donde tenemos que introducir el tiempo. En este caso, como lo que buscamos es la velocidad cuando la flecha choca contra el árbol, el tiempo que tendremos que usar será el tiempo que tarda la flecha en llegar al árbol, es decir, t=2.2s

Vy=Voy +gtVy= 18sen53 m/s -9.8m/s2 · 2.2s

Vy=-7.2m/sLa velocidad es negativa porque la fleche está cayendo hacia abajo

Por tanto, el módulo de la velocidad total será:

V=√¿¿V=13m/s

Para calcular el ángulo con el que choca, como ya sabemos la velocidad total y la componente y, despejamos en la fórmula su velocidad

Vy= Vsenα-7.2ms = 13senα

α=-33.7⁰

y=9mx=8m t=0.74s

x=24m t=2.2s

Boletín ejercicio 26

Un jugador de fútbol lanza el balón en una falta con una velocidad de 10m/s, formando 45⁰ con el suelo. Si la barrera, situada a una yarda (9.15m) tiene una altura de 1.8m, ¿logrará superar la barrera?DATOS:Balón: Vo= 10m/s α=45⁰ xo=yo=0m Barrera: Xbarrera=9.15m Ybarrera=1.8m

Lo que nos pregunta el problema es si el balón pasará por encima de los jugadores que forman la barrera o chocará contra ellos, es decir, tenemos que ver en cuál de las dos siguientes situaciones nos encontramos:

Entonces, simplemente tenemos que calcular la altura que lleva el balón cuando se encuentra en la misma x que la barrera, es decir, debemos calcular y para x=9.15m. Para ello, calculamos primeramente el tiempo que tarda en llegar a dicho punto con la ecuación de x

x=xo +voxt9.15m = 0m+ 10cos45m/s·t

t= 9.15m

10cos45m / st= 1.29s

Con ese valor de tiempo, calculamos la altura, y

y=yo + voyt +1/2gt2

y= 0m + 10sen45m/s ·1.29s+ ½ (-9.8m/s2)(1.29s) 2

y=0.97m

Como la altura a la que va el balón (0.97m) es menor que la altura del a barrera (1.8m), el balón chocará con ella. Es decir, no logrará superar la barrera.

Boletín ejercicio 28

Un objeto es lanzado con un ángulo de elevación de 30.0⁰ y consigue llegar a una distancia horizontal de 866m. ¿Con qué velocidad fue lanzado?

Nos dicen que el alcance es 866m, es decir, que cuando llega al suelo (y=0m) x=866m. Por tanto, podemos sustituir en las ecuaciones de x e y, y con ello hacemos un sistema, de donde obtendremos la velocidad inicial y el tiempo que tarda en llegar al suelo.

x=xo +voxt866m = 0m+ vocos30m/s·t

y=yo + voyt +1/2gt2

0m= 0m + vosen30 ·t+ ½ (-9.8m/s2)t 2

0m= vosen30·t -4.9m/s2t2

Entonces tendremos el siguiente sistema (obviemos las unidades para facilitar el cálculo)

866=vo cos30t0= vosen30·t -4.9t2

Sustituimos vo en la segunda ecuación:

0= 866cos30 t

sen30 t -4.9t2 = 866tan30-4.9t2= 0

t2 = 866tan30/4.9t=10.1s

Sustituyendo en vo:

Vo=866/cos30t = 866m/ (cos30·10.1s) = 99m/s

En definitiva, el objeto fue lanzado con una velocidad de 99m/s

Boletín ejercicio 29Desde el suelo se lanza un objeto con una velocidad de 25m/s y con un ángulo de elevación de 60⁰. A una distancia horizontal de 48m hay un muro. ¿A qué distancia de dicho muro chocará el objeto?

Tenemos que saber a qué altura del muro choca el objeto, es decir, tenemos que calcular el valor de y cuando x=48m. Para ello, sustituimos en la ecuación de x y calculamos el tiempo que tarda en llegar al muro:x=xo +voxt

48m = 0m+ 25cos60m/s·t

t= 48m25cos60m /s

=3.8s

Por tanto, ahora podemos calcular la altura, y, para t=3.8s

Vo= ¿?m/s

30⁰

866m

Despejamos vo en la primera ecuación:Vo=866/cos30t

48m

y=yo + voyt +1/2gt2

y= 0m + 25sen60m/s ·3.8s+ ½ (-9.8m/s2)(3.8s) 2

y=11mPor tanto, el objeto chocará a una altura de 11m de la pared.