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Probabilidad y Estadística
Titular: Ing. Daniel Fernandez
JTP: Mg. Ing. Julio Ortigala
Notas de la clase utilizadas por el Ing. Julio Ortigala.Marzo 2011
Bibliografía
• Unidades 2 a 10: Probabilidad y Estadística para Ingenieros de Walpole Myers 8º Edición E. Pearson
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Unidad 2: Probabilidad
Si se mide la densidad de un producto químico no siempre obtendremos el mismo resultado. Los valores cambian debido a pequeñas variaciones en las variables que no están controladas en la experiencia, como son los cambios de temperatura ambiente, ligeras variaciones en el instrumento de medición, pequeñas impurezas en la composición química del producto en distintas partes del mismo, diferencias entre los distintos operarios, etc.
ExperimentoLos estadísticos utilizan la palabra experimento paradescribir cualquier proceso que genere un conjunto de datos.
Tirar un dado y ver que número sale, sería un experimento.
Si sacamos tres computaras de la línea de producción, ycorroboramos si son defectuosas o no, estamos realizandoun experimento estadístico.
Si medimos la velocidad de esas computadoras y anotamoslos resultados obtenidos, también estamos realizando unexperimento estadístico.
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Tipos de datos
Los datos obtenidos en un experimento aleatorio oestadístico reciben distintas denominaciones,según sus características.
Cuando medimos la velocidad de una reacciónquímica o la velocidad de una computadora,cuando medimos la altura de una botella, o eldiámetro de un pistón, obtenemos datoscuantitativos. Estos son aquellos que puedenexpresarse en números.
.
Datos cualitativos o categóricos: son aquellos que nopueden expresarse numéricamente.
Por ejemplo, si analizamos los productos fabricadoscon PVC y los clasificamos según su pureza en
minimamediaalta
Estamos generando datos cualitativos o categóricos. De lamisma manera que si analizamos el estado civil de losempleados de una organización.
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Datos dicotómicos: cuando solo hay dosresultados posibles. Por ejemplo: el sexo de las personas, si unapieza es defectuosa o no.
Si tiro el dado y observo si el número es paro impar.
Experimentos aleatorios
• Un experimento aleatorio es aquel que proporciona diferentes resultados aun cuando se repita siempre de la misma manera.
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Espacio muestral del experimento aleatorio
• Se denomina así al conjunto de los posibles resultados de un experimento aleatorio. El espacio muestral se denota con la letra S.
• Supóngase que se analiza un componente de polipropileno usado en bombas para líquidos corrosivos. Se considera si cumple o no con el grado de resistencia a la tracción establecido. El espacio muestral de este experimento tiene dos resultados posibles: si y no
{ }nosiS ;=
Espacio muestral
• Considérese el experimento donde se analizan dos componentes y se clasifican como defectuoso o no defectuoso, dependiendo si cumplen o no con el grado de pureza. Simbolizamos con D: defectuoso y D’: no defectuoso.
• El espacio muestral de este experimento está formado por cuatro resultados posibles:
{ }DDDDDDDDS ′′′′= ;;;
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Muestreo con o sin reemplazo
• En experimentos aleatorios que implican la selección de artículos de un lote, es necesario indicar si el artículo seleccionado será colocado de nuevo o no, en el lote antes de seleccionar el siguiente.
• Por ejemplo, si el lote contiene tres artículos y el experimento consiste en seleccionar dos de ellos sin remplazo, entonces el espacio muestral puede representarse como
{ }cba ,,
{ }cbcabcbaacabS ,,,,,=
Muestreo con reemplazo
• Sin embargo, si los artículos se devuelven al lote antes de seleccionar el siguiente, el muestreo se denomina con reemplazo.
• En este caso, los resultados posibles son
{ }cccbcabcbbbaacabaaS ,,,,,,,,=
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aplicación
• Suponga que se extraen tres artículos, en forma aleatoria (con reemplazo), de un proceso de fabricación. Cada artículo se inspecciona y se clasifica como defectuoso o sin defectos. ( ).
• Muestre el espacio muestral del experimento.
DD ′,
Espacio muestral discreto
• Un espacio muestral es discreto si tiene o pocos resultados posibles o infinitos contables
• Ej: tirar un dado y observar el número que sale
• Tirar el dado hasta que salga por primera vez un cinco.
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Espacio muestral continuo
Un espacio muestral es continuo, cuando tienemuchos resultados posibles. En un intervalo dado,se pueden encontrar infinitos resultados, sobretodo si se mide con algún instrumento de altaresolución
Por ejemplo: medir la altura de las botellasproducidas en un cristalería.
Evento
Se denomina así a cualquier subconjunto del espaciomuestral.
Para simbolizarlos utilizaremos las primeas letras del alfabeto,en mayúscula.
Suponga que se extraen dos componentes de la línea defabricación y se clasifican como defectuoso (D) o nodefectuoso (N), según cumplan o no con las especificacionesde pureza, densidad y peso. El espacio muestral tiene cuatroresultados posibles.
{ }DDDNNDNNS ,,,=
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El evento en el que ambos componentes sondefectuosos esta formado por solo un resultado
El evento C: al menos un elemento es defectuoso
C= { ND; DN; DD}
{ }DDB =
EventosSi nos interesa el evento donde
al menos uno de los componentes es no defectuoso, tenemos que
El evento donde se obtienen tres componentes defectuosos, es vacío.
C=Ø
{ }NNDNNDA ,,=
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Complemento de un evento
El complemento de un evento A con respectoa S, es el subconjunto de todos los elementosde S que no pertenecen a A.
El complemento de A es el conjunto
{ }DDA =′
Eventos
Si nuestro espacio muestral está formado por todoslos elementos químicos del grupo II de la TablaPeriódica y definimos el evento A como todos loselementos de S que tienen 20 o menos electronesen su átomo, el evento A esta formado por
El complemento de A es
{ }CaMgBeA ,,=
{ }RaBaSrA ,,=′
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Operaciones con eventos
Consideremos ciertas operaciones entre eventos que tendrán como resultado la formación de nuevoseventos.
Estos nuevos eventos serán subconjuntos del espaciomuestral como los eventos dados.
Si definimos el evento A: elementos químicospertenecientes al grupo I de la Tabla Periódica y elevento B elementos químicos pertenecientes alperiodo 6 de la Tabla, encontramos que el elemento Cs(cesio) pertenece a ambos eventos
La intersección de dos eventos A y B , simbolizada como A ∩ B, es el eventoque contiene a todos los elementos que soncomunes a A y B
A ∩ B = {Cs}
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Eventos mutuamente excluyentes o disjuntos
• Dos eventos son mutuamente excluyentes si no poseen elementos en común, es decir su intersección es vacía.
• Sea A: elementos químicos del grupo VIII de la Tabla Periódica (gases nobles) y el evento B: elementos con carácter metálico de la Tabla Periódica, el evento A ∩ B, no tiene elementos en común ya que ningún gas noble tiene características de metal, por lo que A y B son disjuntos o mutuamente excluyentes
• A ∩ B= { ø }
Unión de dos eventos
• La unión de dos eventos A y B, que se simboliza como A υ B, es el evento que contiene todos los elementos que pertenecen a A o a B o a ambos.
• Supongamos que A es el evento formado por los alumnos de Ing. Química de 2º año que no fuman y B el evento formado por los alumnos de Ing. Química de 2º año que no beben en exceso, entonces el evento A υ B es el conjunto de todos los alumnos de Ing. Química de 2º año que no fuman, que no beben en exceso o que no hacen ambas cosas.
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AplicaciónConsidere el espacio muestralS={ cobre, sodio, nitrógeno, potasio, uranio, oxigeno, cinc}
Y los eventosA= {cobre, cinc, sodio}B= {sodio, nitrógeno, potasio}C= {oxígeno}Ubique los elementos de los conjuntos en un diagrama deVennListe los elementos de los conjuntos que corresponden a loseventos siguientes b1) A ∩ Bb2) A ∩ Cb3) A ∩ B ∩ Cb4) A υ B υ Cb5) (A υ B υ C)´
Probabilidad de un eventoCon frecuencia es útil cuantificar la posibilidad de que sepresente un resultado de un experimento aleatorio. “Laposibilidad de que llueva hoy es de un 30 %”.
Es una afirmación que refleja la creencia sobre laposibilidad de que llueva.
La probabilidad de un resultado se cuantifica asignándoleun número del intervalo [0,1] o un porcentaje del 0 al 100%.
Mientras más grande sea el número, mayor es la posibilidadde que el evento ocurra. Un cero indica que el resultado nose presentará; un uno indica un resultado seguro
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La probabilidad de un resultado puede interpretarse como la probabilidad subjetiva o grado de creencia, de que ocurra el resultado.
Personas distintas no dudan en asignar probabilidades diferentes a los mismos resultados.
Probabilidad frecuencial de un evento
Otra interpretación de la probabilidad se basaen el modelo conceptual de la repetición delexperimento aleatorio.
La probabilidad del resultado se interpretacomo el valor límite de la proporción de vecesque el resultado aparece en n repeticiones delexperimento aleatorio, a medida que n crecesin cota alguna.
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Por ejemplo, se asigna la probabilidad de 0,25 al resultadodel evento, “aparece una molécula rara en una muestra deaire tomada en los alrededores de una planta de refinaciónde crudos”.
Este resultado puede surgir por la experiencia de muchosensayos realizados en la zona considerada.
Se debería esperar que en los próximos 1000 ensayosrealizados, en 250 aparezca una molécula rara.Este ejemplo proporciona una interpretación de frecuenciarelativa para la probabilidad.
Probabilidad de un evento
El modelo de la probabilidad establece que la suma de las probabilidades de todos los resultados de un experimento sea uno.
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Resultados igualmente probables
En muchos experimentos, como lanzar un dado no cargado o una moneda legal, todos los resultados tienen la misma probabilidad de ocurrencia.
Cada vez que un espacio muestral esté formado por N resultados igualmente probables, la probabilidad de cada uno de ellos será 1/N. Ejemplo: la probabilidad de que salga un cinco cuando tiramos un dado legal es 1/6
Definición clásica
Se basa en que todos los resultados son- igualmente probables o equiprobables.- mutuamente excluyentes- colectivamente exhaustivos
P(A)= n/NdondeP(A) es la probabilidad de ocurrencia del evento An= Número de resultados favorablesN= Número de resultados posibles
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Aplicación
En un deposito hay 500 contenedores con acido sulfúrico yse sabe que el 1% no cumple con las especificaciones en
cuanto a pureza.
Supóngase que se elige un contenedor al azar, ¿cual es laprobabilidad de que no cumpla con las especificaciones encuanto a pureza?
Eventos formados de varios resultados
A menudo es necesario asignar probabilidades a eventos que estén compuestos de variosresultados del mismo espacio muestral.
Para un espacio muestral discreto, laprobabilidad de un evento E, denotada por P(E), es igual a la suma de las probabilidadesde los resultado en E.
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Ejemplo: se estudia la probabilidad de fallas, por mes, en lasválvulas de un yacimiento de gas ubicado en el sur de laArgentina y se hallan los siguientes resultados:
La probabilidad de que no falle ninguna, en un mes, es 0,4La probabilidad de que falle 1, en un mes, es 0,3La probabilidad de que fallen 2 es 0,15La probabilidad de que fallen 3 es 0,1La probabilidad de que fallen 4 es 0,05.
Si E es el evento “fallan más de dos válvulas en un mesdeterminado”, la probabilidad de que ocurra E es P(E)= 0,1 + 0,05 = 0,15
Eventos formados de varios resultados
Si se sabe que cuando fallan más de una válvula en un mes, se registra una merma en la producción de gas, la probabilidad de que se registre una merma en la producción de gas es la probabilidad de ocurrencia del evento A: se registra una merma en la producción de gas.P(A)= 0,15 + 0,1+ 0,05= 0,3
O lo que es lo mismo, podemos afirmar que en 3 de cada 10 meses habrá una merma en la producción de gas
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Axiomas de la probabilidadAhora que se ha definido la probabilidad de unevento, es posible reunir las hipótesis realizadashasta el momento con respecto a las probabilidadesen un conjunto de axiomas que deben satisfacer lasprobabilidades de cualquier experimento aleatorio.
Los axiomas aseguran que las probabilidadesasignadas en un experimento pueden interpretarsecomo frecuencias relativas, y que son consistentescon el conocimiento intuitivo de las relaciones entrefrecuencias relativas
Axiomas de la Probabilidad
Si S es el espacio muestral y E es cualquierevento del experimento aleatorio, entonces:
• P(S) = 1• 0 ≤ P(E) ≤ 1• P(E) + P(E´) = 1 o P(E´)= 1 – P (E)
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Reglas aditivas
Si A y B son dos cualesquiera eventos, entoncesP(A υ B)= P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
Si A y B son mutuamente excluyentes, entoncesP(A υ B) = P(A) + P (B)
Para tres eventos:P(A υ B υ C) = P(A) + P (B) + P(C) – P(A ∩ B) –P(A ∩ C) – P (B ∩ C) +P (A ∩ B ∩ C)
Aplicación
La probabilidad de que una empresa cualquiera certifique Normas ISO 9001 es 2/3 y la probabilidad de que certifique ISO 14000 es 4/9. Si la probabilidad de que realice ambas certificaciones es ¼, ¿Cuál es la probabilidad de que la empresa certifique al menos una de las normas? ¿Cuál es la probabilidad de que solo certifique ISO 9001? De cada 1000 empresas ¿Cuántas no certificarán ninguna de estas normas?
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Probabilidad condicional
La probabilidad de que un evento B ocurra cuandose sabe que ya ocurrió algún evento A se llamaprobabilidad condicional y se denota por P (B │ A).
Este símbolo se lee “la probabilidad de que ocurra Bdado que ocurrió A” o la “probabilidad de B dado A”.
La probabilidad condicional de B dado A se calculacomo:
P (B │ A)=)(
)(AP
BAP ∩
Aplicación
Por experiencia pasada se sabe que el 70% de los alumnos de 2º año de Ing. Química promocionan Probabilidad y Estadística y el 55 % de los alumnos promocionan AMII. También se sabe que la probabilidad de que promocione ambas asignaturas es del 49%. Si se elige un alumno al azar y se sabe que promocionóProbabilidad y Estadística, ¿cuál es la probabilidad de que también haya promocionado AMII?
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Reglas multiplicativas
Si se reordena la fórmula dada para la probabilidad condicional, se obtiene una expresión para la intersección de dos eventos
P (A ∩ B) = P(A | B). P(B) = P (B | A). P(A)
Aplicación
La probabilidad de que la batería de un automóvil sujeta a altas temperaturas dentro del compartimiento del motor, reciba una carga mayor que la normal, es 0,7. La probabilidad de que la batería quede expuesta a altas temperaturas es 0,05.
Sean A: el evento donde la batería experimenta una corriente de carga mayor que la normal y B: el evento donde la batería está expuesta a altas temperaturas. ¿Cuál es la probabilidad de que la batería experimente tanto una corriente de carga mayor que la normal como una temperatura alta?
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Regla de probabilidad total
En ciertas ocasiones debemos calcular la probabilidad deocurrencia de un evento que depende de otros.
Por ejemplo, supóngase que durante el proceso defabricación de semiconductores, la probabilidad de que uncircuito integrado que esté sujeto a grandes niveles decontaminación sea causa de una falla en un producto es 0,1.
Por otra parte, la probabilidad de que un circuito que no estásujeto a altos niveles de contaminación durante el proceso defabricación, sea la causa de una falla es 0,005.
Regla de probabilidad total
En una corrida de producción particular, el 20 % de los circuitos están sujetos a altos niveles de contaminación. ¿Cuál es la probabilidad de que un producto que utilice alguno de estos circuitos integrados falle?
Es evidente que la probabilidad pedida depende de si el circuito estuvo o no expuesto a altos niveles de contaminación.
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Regla de probabilidad total
• Si designamos como F: el evento donde el producto falla y A: el evento donde el circuito está expuesto a altos niveles de contaminación. La probabilidad pedida es P (F) y la información proporcionada puede expresarse de la siguiente manera.
Regla de probabilidad total
P(F│A)=0,1P(F│A´)=0,005P(A)= 0,2 por consiguiente P(A´)=0,8El evento F depende de A y A´. Por lo que sepuede escribirF= (A ∩ F) υ ( A´∩ F)Si queremos calcular la probabilidad de F,debemos tener en cuenta que los eventosencerrados en los paréntesis son mutuamenteexcluyentes
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Regla de probabilidad total
P(F)= P(A ∩ F) + P(A´ ∩ F)
Por otro lado, P(A ∩ F)= P(F│A). P(A)Reemplazando en P(F)
P(F)= P(F│A).P(A) + P(F│A´). P(A´)Reemplazando por los datosP(F)= 0,1 (0,2) + 0,005(0,8)= 0,024
Regla de la probabilidad total para varios evento
Dados varios eventos en un espacio muestral S(E1, E2,…Ek) siendo estos mutuamenteexcluyentes y exhaustivos (significa que la uniónde todos ellos es S), y un evento D, que tieneelementos comunes con todos ellos, entonces
P (D)= P (D ∩ E1) + P (D ∩ E2) +… + P (D ∩ Ek) = = P (D │ E1). P (E1) + P (D │ E2). P (E2) + …+
P (D │ Ek ). P (Ek)
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IndependenciaEn ciertas ocasiones podemos observar que la ocurrencia deun evento A no tiene ninguna influencia sobre la ocurrencia delevento B. En este caso se dice que A y B son eventosindependientes.
Para formalizarlo matemáticamente, se dice que dos eventosA y B son independientes si y solo si, cualquiera de lassiguientes proposiciones es verdadera.P(A | B)= P(A)P(B | A)= P(B)P(A ∩ B) = P(A).P(B)Obsérvese que la tercera igualdad permite calcular laintersección de dos eventos cuando se sabe que sonindependientes.
Intersección de eventos no independientes
Si los eventos A1, A2, A3 no sonindependientes, para calcular la intersecciónentre ellos, debemos hacer
P (A1∩ A2 ∩ A3)= P(A1)P(A2| A1)P(A3| A1∩ A2)
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AplicaciónEn un almacén, se hallan 50 contenedores con acidosulfúrico. De éstos, el 90 % cumplen con losrequerimientos de humedad solicitados.
Si se extraen tres contenedores con reemplazo del stockexistente, ¿cuál es la probabilidad de que los tres cumplancon los requerimientos de humedad?
Si se extraen tres contenedores sin remplazo, ¿cual es laprobabilidad de que los tres cumplan con losrequerimientos de humedad?
Teorema o Regla de Bayes
• El Teorema o Regla de Bayes se utiliza cuando en un espacio muestral S se definen más de un evento mutuamente excluyentes y exhaustivos. A su vez existe un evento que tiene elementos en común con los eventos definidos en primer lugar.
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Teorema o Regla de Bayes
Supongamos que una bodega de Mendoza existen tres Proveedores de botellas. El proveedor 1 provee el 70% dela totalidad de las botellas, el proveedor 2, el 20 % y elproveedor 3 , el resto.
A su vez se sabe que en el caso del proveedor 1, el 95%de las botellas cumple con los requerimientos de calidad,el 90 % de las botellas del proveedor 2 cumple con losrequerimientos y el 80 % de las botellas del proveedor 3cumple con los requerimientos de calidad.
Suponga que en la línea de envasado se hallauna botella que no cumple con losrequerimientos y provoca un paro en la línea¿Cuál es la probabilidad de que sea una botellaprovista por el proveedor 3?
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Teorema o Regla de BayesSi definimos los eventos D: botella defectuosaE1= botella provista por 1E2= botella provista por 2E3= botella provista por 3
La preguntan que se nos efectúa es, sabiendo quela botella es defectuosa ¿cuál es la probabilidadde que sea del proveedor 3?
Teorema o Regla de Bayes
Simbólicamente: P (E3| D) Eso es una probabilidad condicional comolas que estamos acostumbrados a resolver
P (E3| D) = )()3(
DPDEP ∩
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Teorema o Regla de Bayes
La probabilidad de ocurrencia de D loobtenemos con la Regla de la ProbabilidadTotal
P (D) = P (D │ E1). P (E1) + P (D │ E2). P (E2) + …+ P (D │ Ek ). P (Ek)
Teorema o Regla de Bayes
ReemplazandoP(E3|D)=
)()3(
DPDEP ∩
)3().3|()2().2|()1().1|()3(
EPEDPEPEDPEPEDPDEP
++∩
=
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Teorema o Regla de Bayes
Si aplicamos las ecuaciones para nuestro ejemploP(E1)= 0,7P(E2)= 0,2 P(E3)= 0,1P(D |E1)= 0,05P(D |E2)= 0,1P(D |E3)= 0,2P (D)= 0,05.0.7 + 0,1.0.2 + 0,2.0,1= 0,075 Por lo tanto, el 7,5 % de todas las botellas esdefectuosa
Teorema o Regla de Bayes
• Reemplazando
• P(E3|D)=
• Interpretación: la probabilidad de que una botella defectuosa haya sido provista por el proveedor 3, es 0,27.
=∩
)()3(
DPDEP == 27,0
075,01,0.2,0
075,0)3().3|(
==EPEDP
