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revista informativa digital sobre teoria de control
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ED
ICIO
N 2
00
1
Revista Informativa sobre
Teoría de Control
Todo sobre :
Transformada Z
Métodos y
aplicaciones
Como emplear
software para el
calculo de
transformadas Z
“Haciendo del mundo nuestro campo de trabajo”
Transformada Z
Métodos para su Calculo (Transf. Z Inversa)
Teoremas y Propiedades
Software usados
Ecuaciones en diferencias
descubrimientos
análisisconocimientos
teorías
Transformada Z
La transformada Zeta es una herramienta útil en teoría de
control en tiempo discreto y su papel es análogo al que juega
la transformada de Laplace en tiempo continuo.
La TZ es un ejemplo más de Transformada, como lo son
la Transformada de Fourier para el caso de tiempo discreto y
las Transformada de Fourier y Laplace para el caso del
tiempo continuo. La importancia del modelo de la
Transformada Z radica en que permite reducir Ecuaciones en
Diferencias o ecuaciones recursivas con coeficientes
constantes a Ecuaciones Algebraicas lineales.
Además dicha transformada se logra definir tal cual se
definen algunas transformaciones integrales; es decir, de
manera unilateral y bilateral.
Transformada Z unilateral
En los casos en que x[n] está definida únicamente para n ≥ 0,
la transformada Z unilateral se define como
En el procesamiento de señales, se usa esta definición
cuando la señal es causal. En este caso, la Transformada Z
resulta una serie de Laurent, con ROC del tipo | z | > R ; es decir
que converge "hacia afuera".
Un ejemplo interesante de la TZ unilateral es la función de
generación de probabilidades, donde x[n] es la probabilidad que
toma una variable discreta aleatoria en el instante n, y la
función X(z) suele escribirse como X(s), ya que s = z−1. Las
propiedades de las transformadas Z son útiles en la teoría de la
probabilidad.
Transformada Z bilateral
La TZ bilateral de una señal definida en el dominio del tiempo
discreto x[n] es una función X(z) que se define
donde n es un entero y z es, en general, un número complejo de la
forma
z = Ae j ω donde A es el módulo de z, y ω es la frecuencia angular
en radianes por segundo (rad/s).
z = Ae j ω
Gracias al avance que se ha dado en la tecnología del software
maple, se han podido realizar avances en el estudio de los distintos
teoremas y propiedades de las transformadas integrales, en este
caso, de la transformada Z.
Si bien una transformada es usada como herramienta de
cálculos específicos, esta transformada z viene con la
incorporación de sus propiedades y teoremas propios.
* Linealidad:
Si X1[n] y X2[n] son dos secuencias discretas con transformadas
X[Z] y X2[Z], entonces:
Z(a1X1[n]+a2X2[n])=a1X1[Z]+a2X2[Z]
siendo a1 y a2 constantes arbitrarias.
Teoremas y Propiedades
•Desplazamiento temporal :
Sea X[n] una secuencia causal con transformada X[Z].
Entonces, dado cualquier entero n0>0, se tiene :
Ejemplo
Considere la ecuación en diferencia y[n]-1/2y[n-1]=d[n] y
la condición inicial y[-1]=3. Halle y[n] para n³0.
Solución
Tomando transformada Z a ambos lados de la ecuación, y
usando la propiedad de desplazamiento temporal, se tiene:
Y[Z]-1/2Z-1(Y[Z]+y[-1]Z)=1
Por tanto,
Usando la tabla de transformadas, se tiene que:
y[n]=5/2(1/2)n
•Multiplicación por an.
Si X[Z] es la transformada Z de X[n], entonces la transformada
Z de anX[n] está dada por X[a-1Z].
En los teoremas anteriores, estamos suponiendo que X[n]=0 para
n<0.
Ejemplo
Halle la transformada Z de X[n]=anU[n].
Solución
Como la trasformada de U[n] es :
es decir :
entonces
•Diferenciación con respecto a Z
Si se deriva la expresión
que es la transformada Z de una secuencia causal X[n],
respecto a Z se tiene:
De la expresión anterior se deduce que:
Se puede demostrar, derivando sucesivamente, que:
Ejemplo
Sea y[n]=n(n+1)U[n], halle y[Z].
Solución
y[n] se puede escribir como y[n]=n2U[n]+nU[n]
Aplicando el teorema anterior se tiene:
Por tanto,
•Teorema del Valor inicial
Dada una secuencia causal X[n] se tiene que
Desarrollando la sumatoria, se tiene que
X[Z]=X[0]+X[1]Z-1+ ... +X[n]Z-n
Se puede observar que cuando Z tiende a infinito, Z-n tiende a
cero para todo n, por tanto,
Ejemplo
Halle el valor inicial de una secuencia X[n] cuya
transformada Z es
Solución
Se puede observar que X[n]=U[n]
* Teorema del Valor final
Sea X[n] una secuencia causal. El valor final de X[n], esto es, el
valor de X[n] a medida que n tiende a infinito se puede dar por la
siguiente expresión:
siempre que el valor final exista, o sea que exista X[n] cuando n
tiende a infinito.
Ejemplo
Halle el valor final de una secuencia X[n] cuya transformada Z es:
Solución
Aplicando el Teorema del Valor final se tiene:
Hay que hacer notar que la ecuación inicial es la transformada Z
de X[n]=4-nU[n]
•Convolución
La convolución de dos secuencias causales X[n] y y[n] no es
más que el producto normal de las transformadas Z de ambas
secuencias, es decir, X[n]*y[n]=X[Z]y[Z]
En particular, si X[n] es la entrada de un sistema lineal invariante
con el tiempo y h[n] es la respuesta al impulso, entonces se tendrá
que:
Z[X[n]*h[n]]=y[Z]=X[Z]H[Z]
donde H[Z] es la transformada de h[n]. Para obtener la salida y[n]
bastará hallar la transformada inversa de y[Z] .
Ejemplo
Dadas las secuencias X[n]={1,3,-1,-2} y la respuesta la impulso
h[n]={1,2,0,-1,1}en un sistema lineal invariante con el tiempo.
Hallar la salida y[n].
Solución
y[n]=X[n]*h[n]
Aplicando la propiedad de convolución se tiene que:
y[Z]=X[Z]H[Z] donde
X[Z]=1+3Z-1-Z-2-2Z-3
H[Z]=1+2Z-1-Z-3+Z-4
Por tanto y[Z]=1+5Z-1+5Z-2-5Z-3-6Z-4+4Z-5+Z-6-2Z-7
Por tanto, la secuencia de salida es: y[n]={1,5,5,-5,-6,4,1,-2}
La transformada Z en sistemas de control de tiempo discreto
juega el mismo papel que la transformada de Laplace en sistemas
de control de tiempo continuo. Para que la transformada Z sea útil,
se debe estar familiarizado con los métodos para hallar la
transformada Z inversa.
La notación para la transformada Z inversa será Z-1. La
transformada Z inversa de X[Z] da como resultado la
correspondiente secuencia X[n].
Existen cuatro métodos para obtener la transformada Z inversa y
serán:
- Método de la División Directa.
- Método Computacional.
- Método de expansión en fracciones parciales.
- Método de la Integral de inversión.
Métodos de calculo para la
Transformada en Z
Método de la División Directa
Se obtiene mediante la expansión de x (z) en un serie infinita de
potencia Z-1, este método es útil cuando es difícil obtener la
expresión en forma cerrada para la transformada Z inversa o
cuando desea encontrar sólo algunos de los 1ros términos de x(K).
Este método se utiliza cuando es difícil encontrar una expresión
en forma cerrada de la transformada z inversa o si se desea
encontrar sólo algunos de los primeros términos de x(k)
Ejemplo
Halle X[n] para n = 0, 1, 2, 3, 4, cuando
Solución
Dividiendo el numerador por el denominador se obtiene:
X[Z]=10Z-1+17Z-2+18.4Z-3+18.68Z-4+ ...
Al comparar esta expansión X[Z] en una serie infinita
se obtiene: X[0]=0, X[1]=10, X[2]=17, X[3]=18.4, x[4]=18.68
Método computacional
En este método, la transformada z inversa se obtiene
utilizando la función delta de Kronecker δ 0( k T ), donde
δ 0( k T ) = 1 para k = 0
= 0 para k ≠ 0
Suponiendo que u ( k ) , la entrada al sistema G ( z ) es la
entrada Delta de Kronecker, la transformada z de la entrada
delta de Kronecker es U ( z ) = 1.
Además se puede utilizar Matlab para determinar la
transformada z inversa. A partir de una ecuación específica.
Este software tiene una cantidad de funciones y órdenes muy
útiles para resolver problemas de Ingeniería de Control tanto
para sistemas continuos como para sistemas discretos.
Una vez que se ha estudiado los aspectos teóricos se puede
utilizar MATLAB ya que tiene como ventaja que produce
soluciones numéricas que implican varios tipos de operaciones
incluyendo vectores y matrices.
Método de expansión en fracciones parciales
Es idéntico al que se utiliza en la transformada de Laplace, y
requiere que todos los términos de la expansión en fracciones
parciales se puedan reconocer fácilmente en la tabla de pares de
transformadas z. Si X( z ) tiene uno o más ceros en el origen (z =
0), entonces X ( z)/z ó X( z ) se expande en la suma de términos
sencillos de primer o segundo orden mediante la expansión en
fracciones parciales, y se emplea una tabla de transformadas z
para encontrar la función del tiempo correspondiente para cada
uno de los términos expandidos.
Ejemplo
Halle la transformada inversa de
mediante el método de expansión en fracciones parciales.
Solución
Expandiendo en fracciones parciales se tiene que:
Usando una tabla de transformadas, se tiene que:
X[n]=9n2n-1-2n+3 para n = 0, 1, 2,...
Método de la integral de inversión
El método de la integral de inversión, basado en la integral de
inversión, está basado en la teoría de variable compleja, siendo
necesario también revisar el teorema de los residuos. La
ecuación que da la transformada z inversa en términos de los
residuos se puede obtener como sigue:
x(k ⋅ T ) = k1 + k 2 + L + k m = ∑ residuo de X ( z ) ^z k - 1
en el polo z = z i de X ( z ) z k - 1
= Ζ −1 ( X ( z ) )
Además debe observarse que el método de la integral de
inversión se evalúa por residuos, siempre y cuando la función
X(z)zk-1 no tenga polos en el origen (z=0).
Se debe considerar también que:
• Si el polo pi es simple, entonces el residuo es:
[K i = ( z − pi )F ( z )z k −1]z = pi
Software de uso (MATLAB)
MATLAB es un entorno de computación y desarrollo de
aplicaciones totalmente integrado orientado para llevar a
cabo proyectos en donde se encuentren implicados elevados
cálculos matemáticos y la visualización gráfica de los mismos.
MATLAB dispone también en la actualidad de un amplio
abanico de programas de apoyo especializados, denominados
Toolboxes, que extienden significativamente el número
de funciones incorporadas en el programa principal. Estos
Toolboxes cubren en la actualidad prácticamente casi todas
las áreas principales en el mundo de la ingeniería y la
simulación, destacando entre ellos el 'toolbox' de proceso
de imágenes, señal, control robusto, estadística, análisis
financiero, matemáticas simbólicas, redes neurales, lógica difu
sa, identificación de sistemas, simulación de sistemas
dinámicos, etc. es un entorno de cálculo técnico.
MATLABintegra análisis numérico, cálculo matricial,
proceso de señal y visualización gráfica en un entorno
completo donde los problemas y sus soluciones son
expresados del mismo modo en que se escribirían
tradicionalmente, sin necesidad de hacer uso de
la programación tradicional.
De forma coherente y sin ningún tipo de fisuras, integra los
requisitos claves de un sistema de computación técnico:
cálculo numérico, gráficos, herramientas para aplicaciones
especificas y capacidad de ejecución en múltiples
plataformas. Esta familia de productos proporciona al
estudiante un medio de carácter único, para resolver los
problemas más complejos y difíciles.
MATLAB empleado en el calculo de Transformadas Z
Para realizar el cálculo de la Transformada Z Inversa se
hace uso de las siguientes funciones:
* zeros: determina el valor de una función en cero (0).
* filter: implementación de filtro directo.
Para realizar el cálculo de la Transformada Z Inversa de
una Función en Tiempo Discreto se realiza mediante el
estudio de la Respuesta de la Entrada Delta de Kronecker,
esta viene definida de la siguiente manera:
x(k) = 1, para k=0
x(k) = 0, para K<>0
La Transformada Z de la función Delta Kronecker es:
X(z) = 1
Esta entrada en el programa MATLAB se puede escribir
como:
X = [1 zeros(1,N)]
Donde N corresponde al final de la duración del proceso
discreto considerado.
Ecuaciones en Diferencias
Método de Transformada Z para la solución de
ecuaciones en diferencias.
Dada una ecuación en diferencias de orden n, utilizamos las
propiedades de la transformada Z, en especial las de
linealidad y desplazamiento, para transformarla en una
ecuación algebraica.
Ejemplo
Resuelva la siguiente ecuación en diferencias.
X[n+2]+3X[n+1]+2X[n]=0 con X[0]=0, X[1]=1
Solución
Al tomar la transformadas Z de ambos miembros de la
ecuación en diferencias dadas, se obtiene:
Z2X[Z]-Z2X[0]-ZX[1]+3ZX[Z]-3ZX[0]+2X[Z]=0
Al sustituir las condiciones iniciales y simplificar, se obtiene:
As nos queda:
por tanto, X[n]=[(-1)k-(-2)k]U[n]
Cabe acotar que se debe considerar un sistema en
tiempo discreto, lineal e invariante en el tiempo, caracterizado
por la ecuación en diferencias:
x(k) + a1x(k-1)+.......+anx(k-n)= b0u(k) + b1u(k-1)+........+bnu(k-
n)
donde u(k) es la entrada y y(k) la salida del sistema
respectivamente en la k-ésima iteración.
Esta revista digital
informativa fue
elaborada por :
Daniela Gorrin
Anais Rodríguez
estudiantes de la
carrera de Ingeniería
Electrica y cursante
actual de Teoría de
Control II de la
Universidad Fermín
Toro Sede de Ingeniería
Cabudare
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ICIO
N 2
001
