TOMO 1 DEL COMPULIBRO ESTADISTICA II DE CIR TOMO 1 ... · tipos de probabilidaes 12 aplicaciones 12 elementos de estadistica descriptiva 13 definiciÓn de estadÍstica 13 poblacion

TOMO 1 DEL COMPULIBRO ESTADISTICA II DE CIR

TOMO 1

COMPULIBRO

ESTADISTICA II DECIR

ESCRITO PORCARLOS IVAN

RESTREPO

EL LIBRO EN SU TOTALIDAD ESTA EN CD. DONDE ENCONTRARASEJERCICIO DE PROFUNDIZACION SI DESEAS EL CD LLAMAR AL 3006096633 O ESCRIBIR AL [email protected]

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AGRADESCO PRIMERO A DIOS A MI ESPOSA HIJOS Y NIETOSQUE ME BRINDAN EL ESPACIO DE DEDICARLE HORAS A LO

QUE MAS ME GUSTA QUE ES TRANSMITIR POR ESCRITOLO APRENDIDIO A TRAVES DE MIS AÑOS DE ENSEÑANZA DE

LA ESTADISTICA

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CONTENIDO

LA IMPORTANCIA DE LA ESTADISTICA 6CAPITULO 1 7RESUMEN 7FUNDAMENTOS DEL AREA DE MODELOS PROBABILISTICOS 7COMPETENCIASYHABILIDADESSOCIALES 91) COMPETENCIASESPECÍFICAS 92) COMPETENCIASTRANSVERSALES 9HISTORIA DE LA ESTADÍSTICA Y LA PROBABILIDAD 9TOMA DE DESICIONES 10TEORIA DE PROBABILIDADES 10TIPOS DE PROBABILIDAES 12APLICACIONES 12ELEMENTOS DE ESTADISTICA DESCRIPTIVA 13DEFINICIÓN DE ESTADÍSTICA 13POBLACION 13INDIVIDUO 13MUESTRA 13MUESTREO 14VALOR 14DATO 14DEFINICIÓN DE VARIABLE 14VARIABLE CUALITATIVA 14VARIABLE CUALITATIVA NOMINAL 14VARIABLE CUALITATIVA ORDINAL 14VARIABLE CUANTITATIVA 15a) VARIABLE DISCRETA 15b) VARIABLE CONTINÚA 15PRUEBA DE STURGES 15FACTORIAL DE UN NÚMERO NATURAL 17VARIACIONES 17VARIACIONES CON REPETICIÓN 18PERMUTACIONES 18PERMUTACIONES CON REPITICION 19COMBINACIONES 20COMBINACIONES CON REPETICIÓN 21ELEMENTOS DE PROBABILIDAD 22ZONA DE EJEMPLOS 23EJERCICIOS DE REPASO DEL CAPITULO 1 32CAPITULO II 42

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TOMO 1 DEL COMPULIBRO ESTADISTICA II DE CIR DISTRIBUCIONES 43I) LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL: B(n, p) 43ELEMENTOS DE ESTADISTICA PARA RESOLVER PRO 48II) DISTRIBUCIÓN DE POISSON 49III)DISTRIBUCION MULTINOMIAL 54IV) DISTRIBUCION HIPERGEOMETRICA 55V) DISTRIBUCION NORMAL 59PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCIÓN NORMAL 60VI) DISTRIBUCION GEOMETRICA 64VII) DISTRIBUCION EXPONENCIAL 67FUNCIÓN DE DENSIDAD O LEY DE PROBABILIDAD 70FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN 71DISTRIBUCIÓN UNIFORME 76DISTRIBUCION UNIFORME DISCRETA 77DISTRIBUCIÓN T STUDENT 78OTRAS DISTRIBUCIONES 801) DISTRIBUCIÓN DE CAUCHY 802) DISTRIBUCIÓN ERLANG 803) DISTRIBUCIÓN DE LAPLACE 814). DISTRIBUCIÓN DE PARETO 825.).DISTRIBUCIÓN LOGÍSTICA 826) DISTRIBUCIÓN DE GUMBEL 837) DISTRIBUCIÓN DE RAYLEIGH 838) DISTRIBUCIÓN DE WEIBULL 849) DISTRIBUCIÓN BETA 84EJERCICIOS DE REPASO CAPITULO II 85CAPITULO III 99ERROR MUESTRAL 99ESTIMACION 100ESTIMACIÓN DE UNA PROPORCIÓN 102LONGITUD DEL INTERVALO DE CONFIANZA 107MUESTREO 107LA ENCUESTA 108TIPOS DE ENCUESTAS 108TIPOS DE PREGUNTA 109REGLAS PARA LA ELABORACION DE UN CUESTIONARIO 110 LA ENTREVISTA 110TIPOS DE MUESTREO 111I. MUESTREO PROBABILÍSTICO 1112. MUESTREO ALEATORIO SIMPLE 1113. MUESTREO ALEATORIO SIN REPOSICIÓN 1124. MUESTREO ALEATORIO CON REPOSICIÓN 1135. MUESTREO ALEATORIO SISTEMÁTICO 1146. MUESTREO ALEATORIO ESTRATIFICADO 1157. MUESTREO POR CONGLOMERADO 115II MUESTREO NO PRIOBABILISTICO 1151.- MUESTREO POR CUOTAS 1162.- MUESTREO INTENCIONAL O DE CONVENIENCIA 117

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TOMO 1 DEL COMPULIBRO ESTADISTICA II DE CIR 3.- BOLA DE NIEVE: 117TAMAÑO DE MUESTRA 117CÁLCULO DEL TAMAÑO DE LA MUESTRA DE BASE 120DISTRIBUCIONES MUESTRALES 122TEOREMA DEL LÍMITE CENTRAL 125DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE MEDIAS 126VALOR ESPERADO 129DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LA MEDIA CON σ2DESCONOCIDA 131DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LA PROPORCIÓN 131DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE DIFERENCIA DE MEDIAS 133DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE DIFERENCIA DEPROPORCIONES 136DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE NÚMERO DE DEFECTOS 144EJERCICIO DE REPASO CAPITULO III 148LINKGRAFIA 161

LA IMPORTANCIA DE LA ESTADISTICA

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Se mostrara a través del libro la importancia de la estadística através de grandes frases sobre ella como se presenta acontinuación.

Una única muerte es una tragedia, un millón de muertes es unaestadística.Josef Stalin

En estadística, lo que desaparece detrás de los números es lamuerte.Günter Grass

Democracia: es una superstición muy difundida, un abuso de laestadística.Jorge Luis BorgesLa esencia de la vida es la improbabilidad estadística a escalacolosal.Richard DawkinsLa falacia del cuadro estadístico estriba en que es unilateral, en lamedida en que representa sólo el aspecto promedio de la realidady excluye el cuadro total. La concepción estadística del mundo esuna mera abstracción, y es incluso falaz, en particular cuandoatañe a la psicología del hombre.Carl JungConseguimos obtener así la fórmula estadística para conoceraproximadamente la posición de un eléctron en un instantedeterminado. Pero, personalmente, no creo que dios juegue a losdados.Albert Einstein

CAPITULO I

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TOMO 1 DEL COMPULIBRO ESTADISTICA II DE CIR ESTE CAPITULO TIENE COMO OBJETIVO ELEMENTOS QUEDEBEMOS APLICAR EN EL CURSO

ASPECTOS GENERALES

DE QUE TRATA EL CURSO

RESUMENSe describe una propuesta didáctica de enseñanza contextualizadapartiendo de que el estudiante debe conocer elementos deestadística inferencial como el concepto de probabilidades,propiedades y teorema total y de bayes y con uso del programa gSTAT STUDENT de las distribuciones muéstrales, aplicación depruebas de hipótesis y a las técnicas de regresión en el aula deestadística para ingenieros de segundo año universitario extendidoa cualquier otra carrera. Apropiándonos de la teoría de lasfunciones semióticas, desarrollada en la Universidad de LAUNIDAD CENTRAL DEL VALLE, caracterizamos los elementos designificado de las propiedades importantes de las distribucionesmuéstrales y evaluamos, mediante campos de problemasalgebraicos y de simulación, los errores o dificultades que losalumnos ponen de manifestó en las aplicaciones de simulación deprocesos en las ciencias de la ingeniería. Como consecuencia, alconsiderar los elementos de significado adquiridos en lasrespuestas de los estudiantes, proponemos la simulación paramuestras pequeñas y grandes de forma intuitiva, como primeracercamiento del alumno hacia la construcción del significado delas distribuciones muéstrales, usando el lenguaje gráficos conapoyo del computador, para posteriormente analizar con losestudiantes su forma algebraica según la naturaleza de lasvariables aleatorias contando para esto con una página base paradesarrollar sus dudas llamada de vitutor.Palabras clave: Enseñanza y aprendizaje de la estadística,distribuciones muéstrales, regresiones significado y comprensión,simulación.ALERTA : SIEMPRE QUE ENCUENTRES ESTA IMAGEN TE

PIDES QUE TERMNES EL EJEMPLO DADO

FUNDAMENTOS DEL AREA DE MODELOS PROBABILISTICOSSe describe el marco teórico empleado, que ha situado loselementos de significado institucional y personal de LADISTRIBUCIÓN MUESTRAL, PRUEBAS DE HIPOTESIS , DEANALISIS DE MUESTREO DE REGRESIONES LINEALES Y NOLINEALES Y LAS IMPLICACIONES DE LOS NUMEROS INDICES

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TOMO 1 DEL COMPULIBRO ESTADISTICA II DE CIR y a continuación alguna investigaciones previas relacionadas consus propiedades y la simulación en ingeniería. Significado y comprensión de la distribución y als aplicaciones de laregresiones lineales y no lineales, el análisis de las covarianzas delos números índices e asumen como una actividad humanaimplicada en la solución de cierta clase de situacionesproblemáticas de la cual emergen y evolucionan progresivamentelos objetos matemáticos. Se pretende elaborar un modelo de losprocesos de comprensión de las matemáticas que tenga en cuentalos factores institucionales y socioculturales implicados en losmismos. El autor considera diferentes entidades primarias comoconstituyentes del significado de un objeto matemático (porejemplo), que son las que se analizan en este trabajo:a) Problemas y situaciones que inducen actividades matemáticas

y definen el campo de problemas asociado al objeto.b) Procedimientos, algoritmos, operaciones. Cuando un sujeto seenfrenta a un problema y trata de resolverlo, realiza distintostipos de prácticas, que llegan a convertirse con el tiempo en objetode enseñanza.c) Representaciones materiales utilizadas en la actividad deresolución de problemas (términos, expresiones, símbolos, tablas,gráficos). d) Abstracciones (conceptos, proposiciones). Las definiciones ypropiedades características del objeto y sus relaciones con otrosconceptos.e) Demostraciones que empleamos para probar sus propiedades yque llegan a formar parte de su significado.Objetivosgenerales.Elalumnodebe:

a) Conocer y aplicar correctamente los procedimientos de análisis dedatos que mas habitualmente sonutilizadosenelprocesodeobtencióndeinformacióncientíficaenelámbitode la ingeniería.

b) Identificar la cuestión planteada y formularla en términos dehipótesiscientíficas.

c) Gestionar bases de datos informatizadas: Organizar, introducir yprocesarlosdatoscorrectamente.

d) Seleccionar las técnicas más adecuadas para responder a lascuestiones planteadas considerando las características de losdatos, conqueseopera.

e) Realizarloscálculosmedianteordenador.f) Interpretarlosresultadosyextraerlasconclusiones

COMPETENCIASYHABILIDADESSOCIALES.1) COMPETENCIASESPECÍFICAS.

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TOMO 1 DEL COMPULIBRO ESTADISTICA II DE CIR a) Competencianúmero1: Conocer los principios del método científico ylascaracterísticas de los diferentes métodos utilizados enen el área de lasingenierías ysustécnicasdeanálisis.b) Competencianúmero2: Sercapazdeaplicarelconocimientometodológicopararesolver los problemas planteados en la prácticaprofesional.c) Competencianúmero3: Ser capaz de analizar datos psicológicosmedianteprogramas estadísticos y otras tecnologías de lainformación.d) Competencianúmero4: Ser capaz de interpretar, valorar críticamente ycomunicarlosresultadosdelaevidenciaempírica.

2) COMPETENCIASTRANSVERSALES.a) Desarrollar habilidades de expresión oral y escrita encaminadas arealizar ypresentarenpúblicoinformescientíficos.b) Trabajarengrupo(adesarrollarenlasprácticasconordenador).c) Búsquedadefuentesbibliográficasydocumentación.

HISTORIA DE LA ESTADÍSTICA Y LA PROBABILIDAD

Se dice en el mundo de la arqueología que la presencia del huesoastrágalo de oveja o ciervo en las excavaciones arqueológicas másantiguas, parece confirmar que los juegos de azar tienen una antigüedadde más de 40.000 años, y la utilización del astrágalo en culturas másrecientes, ha sido ampliamente documentada. Pero no solo esa es unaseñal de la antigüedad de los juegos de azar, pues aquellos que hantenido la ocasión de visitar las pirámides de Egipto han podido detallarpinturas que muestran juegos de azar que datan del año 3.500 a. C. yHerodoto se refiere a la popularidad y difusión en su época de los juegosde azar, especialmente la tirada de astrágalos y dados. Los dados másantiguos se remontan a unos 3000 años antes de Cristo y se utilizaron enel juego como en ceremonias religiosas.Todo lo anterior conlleva a pensar que las civilizaciones antiguas,explicaban el azar mediante la voluntad divina como se puede apreciar enla civilización griega o romana que utilizaban la configuración resultantede tirar cuatro dados para predecir el futuro y revelar la voluntad favorableo desfavorable de los dioses. Pero no únicamente los griegos o losromanaos realizaban prácticas de juego de azar también se encontraronprácticas similares en culturas tan distintas como la tibetana, la india o lajudía..A medida que transcurre el tiempo y el cambios de periodos de lacivilización, en unos de esos periodos llamado renacimiento aparece unnuevo enfoque global de considerar al mundo, desde la perspectiva de unabandono progresivo de explicaciones teológicas los cuales conduce auna reconsideración de los experimentos aleatorios; y los matemáticositalianos del siglo XVI, comienzan a interpretar los resultados deexperimentos aleatorios simples. Cardano, establece la equiprobabilidadde aparición de las caras de un dado a largo plazo yes asi como a finalesdel siglo XVI, existía un intuitivo pero preciso análisis empírico de losresultados aleatorios que conllevo a el desarrollo del análisis matemático

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TOMO 1 DEL COMPULIBRO ESTADISTICA II DE CIR de los juegos de azar se produce lentamente durante los siglos XVI yXVII, y algunos autores consideran como origen del cálculo deprobabilidades la resolución del problema de los puntos en lacorrespondencia entre Pascal y Fermat en 165 lo que hace consolidar elcálculo de probabilidades como disciplina independiente en el períodoque transcurre desde la segunda mitad del siglo XVII hasta comienzos delsiglo XVIII donde la teoría de la probabilidad fue aplicada con buenosresultados a las mesas de juego y con el tiempo a otros problemassocioeconómicos.Pero es precisamente en el siglo XVIII que el cálculo de probabilidadesse extiende a problemas físicos y actuariales (seguros marítimos) siendoeste el principal impulsor de la astronomía y física donde surgenproblemas ligados a la contrastación empírica de la teoría de Newtondonde sus investigaciones toman gran importancia en el desarrollo de laEstadística.Ya en el siglo XX nace la industria de los seguros, la cual requería de unconocimiento exacto del riesgo de perder pues de lo contrario no sepodían calcular las pólizas lo que llevo muchos años después a que seincluyera en muchos centros de enseñanza, ele estudios de lasprobabilidades como un instrumento que les permitiría entender losfenómenos sociales que permitiera comparar con exactitud los datosobservados con la teoría requería un tratamiento riguroso del mismo, queva a dar lugar a la teoría de errores.Debido a esto aparecen matemáticos como D. Bernoulli, Abraham deMoivre, el reverendo Thomas Bayes y Joseph Lagrange inventaronfórmulas y técnicas de probabilidad y en una de esas formula Bernouilliproporciona la primera solución al problema de estimar una cantidaddesconocida a partir de un conjunto de mediciones de su valor que, por elerror experimental, presentan variabilidad. Fue pionero en la aplicacióndel cálculo infinitesimal al cálculo de probabilidades.Pero no únicamente los matemáticos mencionados anteriormentetrabajaron en el área de las probabilidades existieron otros como PierreSimon, Marqués de Laplace quien indujo la primera definición explícita deprobabilidad y desarrolló la ley normal como modelo para describir lavariabilidad de los errores de medida; también formuló y estimó el primermodelo explicativo estadístico y donde Gauss hace su aporte conrespecto a la estimación de modelos estadísticos.Continuando con esta lista encontramos, geólogo y astrónomo Bravais,que es el primero en considerar la relación entre errores de medidadependientes entre sí; a Benjamín Pierce que establece el primer criteriopara rechazar observaciones heterogéneas con el resto , y en el siglo xixaparece , el más famoso astrónomo americano llamado S. Newcomb queel que l introduce los primeros métodos de estimación cuando hay erroresfuertes en algunos datos (Estimación Robusta).

TOMA DE DECISIONES

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TOMO 1 DEL COMPULIBRO ESTADISTICA II DE CIR Hoy por hoy la teoría matemática de la probabilidad constituye elfundamento de las aplicaciones estadísticas tanto en la investigacióncientífica, económica, social, ingenieril como aspecto fundamental de latoma de decisiones la cual e hace que vivamos en un mundo inestabledonde somos incapaces de pronosticar el futuro con absoluta certeza apesar de los avances tecnológicos y donde la necesidad de sortear laincertidumbre nos lleva a estudiar y aplicar la teoría de la probabilidad. El concepto de la probabilidad pasa por la cabeza de cualquier ciudadanoy con algún conocimiento sobre los posibles resultados de una decisión.que nos permita reconocer nuestras suposiciones, de tal manera quepodamos comunicar a otros nuestro razonamiento y tomar una decisiónmás inteligente de la que lograríamos recurriendo a un método que nosea científico.Pero en un mundo globalizado donde los perfiles de los hombres son tandiferente ya que encontramos el hombre de negocios, el jugador depóquer o el estratega militar, etc. que deben tomar decisiones encondiciones de incertidumbre con respecto al futuro y para ello deberelacionar una probabilidad numérica con cada evento posible que puedainfluir en el resultado de sus decisiones, y que el tener éxito que tengaen la toma de decisiones, estará enlazada a la capacidad de tratarsistemáticamente con la incertidumbre misma mediante cuidadosasevaluaciones y aplicaciones de métodos estadísticos concernientes a lasactividades de los negocios.

LA TEORÍA DE LA PROBABILIDAD

Cuando se hable de probabilidad lo primero que debemos pensar es quela probabilidad está relacionada con un evento numérico comprendidoentre 0 y 1, el cual representa el riesgo o la posibilidad de que ocurra eseevento. Una probabilidad de (P = 0) significa que el evento es imposible ;si P = 0.50, es tan probable que el evento ocurra como que no ocurra; si P= 1, es seguro que suceda. Un aspecto importante es que el valor de P no puede ser negativo nimayor que uno y además se puede considerar que la probabilidad es lafrecuencia relativa de "éxitos" o aciertos (es decir, la ocurrencia de unevento determinado) en un proceso aleatorio en que se ha repetido ungran número de pruebas o ensayos. La frecuencia relativa es el númerode "éxitos" dividido entre el número de pruebas efectuadas.

FUENTES DE PROBABILIDADES Es posible estimar probabilidades mediante cualquiera de las tressiguientes maneras alternativas:

1. Frecuencia relativa de eventos pasados. Las probabilidadespueden estimarse a partir de las frecuencias relativas que seobserven en un experimento controlado, o mediante muestreo de

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TOMO 1 DEL COMPULIBRO ESTADISTICA II DE CIR un universo grande y finito. La probabilidad a priori (previa) sededuce de la experiencia obtenida de la observación prolongada. Donde las probabilidades de eventos complicados puedendeterminarse a partir de las probabilidades de eventos mássencillos, por medio de un método de simulación, utilizando unmodelo experimental diseñado para representar las condicionesreales del mismo.

2. Distribuciones teóricas. Las probabilidades pueden determinarsesin recurrir a las frecuencias relativas. Estas probabilidades puedendeterminarse a partir de la distribución binomial, sin recurrir aexperimentos o muestras basadas en la experiencia pasada. Lavalidez de dichas distribuciones teóricas depende de cuánfielmente las hipótesis representen la realidad.

3. Apreciación subjetiva. Si ninguno de los métodos anteriormentemencionados pueden utilizarse, el responsable de la toma dedecisiones debe estimar las probabilidades en base a su juicio ocriterio y experiencia. Una probabilidad subjetiva es una evaluaciónque una persona que toma decisiones hace acerca de la vero –similitud relativa de que ocurra un evento incierto, o sea,representa las "apuestas" que se hacen sobre la concurrencia deese evento. Tales apreciaciones son sumamente personales y, porlo tanto, dos individuos pueden asignar diferentes probabilidadessubjetivas al mismo evento.

TIPOS DE PROBABILIDADES

1. Probabilidad simple. Probabilidad de que el dato escogido tengauna característica.

2. Probabilidad conjunta. Probabilidad de escoger un dato con dos (omás) características específicas.

3. Probabilidad marginal (al margen de la tabla). No es más que laprobabilidad simple, vista con otro enfoque; o sea, mientras que laprobabilidad simple es un concepto singular, la probabilidadmarginal es esencialmente una suma de probabilidades conjuntas.

4. Probabilidad condicional. La característica específica del dato es lacondición (condiciona la probabilidad).

APLICACIONES

En estos tiempos modernos hace que la complejidad de los negocios enlos últimos años, ha incrementado el uso de la estadística para tomardecisiones en cualquier nivel de la administración.

Las aplicaciones de métodos estadísticos en las diferentes áreas sonnumerosas; por ejemplo: gráficas y tablas estadísticas son usadasfrecuentemente por gerentes de ventas para representar hechosnuméricos de ventas; métodos de muestreo son empleados porinvestigadores de mercado, al hacer encuestas sobre las preferencias del

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TOMO 1 DEL COMPULIBRO ESTADISTICA II DE CIR consumidor sobre ciertas marcas de artículos competitivos; métodos decontrol de calidad, aplicados en producción, etc.1

RECORDEMOS

ELEMENTOS DE ESTADISTICA DESCRIPTIVA

DEFINICIÓN DE ESTADÍSTICA

La Estadística trata del recuento, ordenación y clasificación de los datosobtenidos por las observaciones, para poder hacer comparaciones ysacar conclusiones.

Un estudio estadístico consta de las siguientes fases:

Recogida de datos.

Organización y representación de datos.

Análisis de datos.

Obtención de conclusiones.

Conceptos de Estadística

POBLACIÓN

Una población es el conjunto de todos los elementos a los que se sometea un estudio estadístico.

INDIVIDUO

Un individuo o unidad estadística es cada uno de los elementos quecomponen la población.

MUESTRA

Una muestra es un conjunto representativo de la población de referencia,el número de individuos de una muestra es menor que el de la población.

MUESTREO

El muestreo es la reunión de datos que se desea estudiar, obtenidos deuna proporción reducida y representativa de la población.

1 aprendeenlinea.udea.edu.co/lms/moodle/mod/.../view.php?...true...

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TOMO 1 DEL COMPULIBRO ESTADISTICA II DE CIR VALOR

Un valor es cada uno de los distintos resultados que se pueden obteneren un estudio estadístico. Si lanzamos una moneda al aire 5 vecesobtenemos dos valores: cara y sello.

DATO

Un dato es cada uno de los valores que se ha obtenido al realizar unestudio estadístico. Si lanzamos una moneda al aire 5 veces obtenemos 5datos: cara, cara, cruz, cara, cruz.

DEFINICIÓN DE VARIABLE

Una variable estadística es cada una de las características ocualidades que poseen los individuos de una población.

Tipos de variable estadísticas

VARIABLE CUALITATIVA

Las variables cualitativas se refieren a características ocualidades que no pueden ser medidas con números. Podemos distinguirdos tipos:

VARIABLE CUALITATIVA NOMINAL

Una variable cualitativa nominal presenta modalidades nonuméricas que no admiten un criterio de orden. Por ejemplo:

El estado civil, con las siguientes modalidades: soltero, casado, separado,divorciado y viudo.

VARIABLE CUALITATIVA ORDINAL O VARIABLECUASICUANTITATIVA

Una variable cualitativa ordinal presenta modalidades no númericas, enlas que existe un orden. Por ejemplo:

La nota en un examen: suspenso, aprobado, notable, sobresaliente.

Puesto conseguido en una prueba deportiva: 1º, 2º, 3º,...

Medallas de una prueba deportiva: oro, plata, bronce.

VARIABLE CUANTITATIVA

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TOMO 1 DEL COMPULIBRO ESTADISTICA II DE CIR Una variable cuantitativa es la que se expresa mediante un número, portanto se pueden realizar operaciones aritméticas con ella. Podemosdistinguir dos tipos:

a) VARIABLE DISCRETA

Una variable discreta es aquella que toma valores aislados, esdecir no admite valores intermedios entre dos valores específicos. Porejemplo:

El número de hermanos de 5 amigos: 2, 1, 0, 1, 3.

b) VARIABLE CONTINÚA

Una variable continua es aquella que puede tomar valores comprendidosentre dos números. Por ejemplo:

La altura de los 5 amigos: 1.73, 1.82, 1.77, 1.69, 1.75.

En la práctica medimos la altura con dos decimales, pero también sepodría dar con tres decimales.

PRUEBA DE STURGES

Se para disminuir un numero amplio de intervalos al azar y ser másprecisos a la hora de construir intervalos

Permite disminuir la aleatoridad de los intervalos a través:

¡) k= 1+3,3LogN

¡¡) RANGO INICIAL= DM-dm

¡¡¡) C¡= (amplitud de intervalo)

¡v) Cn= es la aproximación al dato entero que sigue si es discreta, ej. C¡=2,4= 3

v) RANGO NUEVO= Rn= (Cn)(k)

v¡) DIFERENCIA DE RANGOS= Rn-Ri

v¡¡) AJUSTE= DR-1 si es discreto

v¡¡¡) SESGO: -par, ajuste ÷ 2

-impar, ajuste se limita, ejm: 7= 3ó4 y 4ó3

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TOMO 1 DEL COMPULIBRO ESTADISTICA II DE CIR EJEMPLO 1.1

Distribuir en intervalos los siguientes datos:

4 8 12 16 20 24 5 6 7 8 910 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 22 23 24 15 15 15 15 5 7 99 9 11 11 11 11 13 15 16 17 1718 19 20 20 20 21 20 15 15 15 14

¡) K= 7

¡¡) Ri= 24-4= 20

iii) Ci=

iv) Cn= 3

v) Rn= (3)(7)= 21

vi) Dr= 21- 20= 1

vii) AJ= 1-1= 0

Intervalos Ni X´ ∑(x´ni)4-6 4 5 207-9 8 8 6410-12 8 11 8813-15 13 14 18216-18 8 |7 13619-21 10 20 20022-24 4 23 92∑ 55 98 782

Nota si es decimales el Cn será el decima que sigue y si es el dato esdiscreto se continua con en le Cn con el entero que sigue

FACTORIAL DE UN NÚMERO NATURAL

Es el producto de los “n” factores consecutivos desde “n” hasta 1.El factorial de un número se denota por n!.

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VARIACIONES

Se llama variaciones ordinarias de m elementos tomados de n en n (m ≥n) a los distintos grupos formados por n elementos de forma que:

No entran todos los elementos.

Sí importa el orden.

No se repiten los elementos.

También podemos calcular las variaciones mediantefactoriales:

Las variaciones se denotan por

EJEMPLO 1.2

Calcular las variaciones de 6 elementos tomados de tres en tres.

EJEMPLO 1.3

Cuántos números de tres cifras diferentes se puede formar con losdígitos: 1, 2, 3, 4, 5 ?

m = 5 n = 3 m ≥ n

No entran todos los elementos. De 5 dígitos entran sólo 3.

Sí importa el orden. Son números distintos el 123, 231, 321.

No se repiten los elementos. El enunciado nos pide que las cifrassean diferentes.

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VARIACIONES CON REPETICIÓN

Se llama variaciones con repetición de m elementos tomados de n en n alos distintos grupos formados por n elementos de manera que:

No entran todos los elementos si m > n. Sí pueden entrar todos loselementos si m ≤ n


Sí se repiten los elementos.

EJEMPLO 1.4

¿Cuántos números de tres cifras se puede formar con los dígitos: 1, 2, 3,4, 5 ?

m = 5 n = 3

No entran todos los elementos. De 5 dígitos entran sólo 3.

Sí importa el orden. Son números distintos el 123, 231, 321.


PERMUTACIONES

Sí entran todos los elementos.



EJEMPLO 1.5

¿Cuántos números de 5 cifras diferentes se puede formar con los dígitos:1, 2, 3, 4, 5?

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TOMO 1 DEL COMPULIBRO ESTADISTICA II DE CIR m = 5 n = 5



No se repiten los elementos. El enunciado nos pide que las cifras seandiferentes.

PERMUTACIONES CIRCULARES

Se utilizan cuando los elementos se han de ordenar "en círculo", (porejemplo, los comensales en una mesa), de modo que el primer elementoque "se sitúe" en la muestra determina el principio y el final de muestra.

EJEMPLO 1.6

Calcular las permutaciones circulares de 7 elementos.

PC7= (7 − 1)! = 6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720

PERMUTACIONES CON REPETICIÓN

Permutaciones con repetición de m elementos donde elprimerelemento se repite a veces , el segundo b veces , el tercero c veces, ...(m= a + b + c + ... = n) son los distintos grupos que pueden formarse conesos m elementos de forma que :




EJEMPLO 1.7

Con las cifras 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4; ¿cuántos números de nueve cifras sepueden formar?

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TOMO 1 DEL COMPULIBRO ESTADISTICA II DE CIR m = 9 a = 3 b = 4 c = 2 a + b + c = 9




COMBINACIONES

Se llama combinaciones de m elementos tomados de n en n (m ≥ n) atodas las agrupaciones posibles que pueden hacerse con los melementos de forma que:


No importa el orden.


También podemos calcular las combinaciones mediante factoriales:

EJMEPLO 1.8

En una clase de 35 alumnos se quiere elegir un comité formado por tresalumnos. ¿Cuántos comités diferentes se pueden formar?


No importa el orden: Juan, Ana.


COMBINACIONES CON REPETICIÓN

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TOMO 1 DEL COMPULIBRO ESTADISTICA II DE CIR Las combinaciones con repetición de m elementos tomados de n en n (m≥ n), son los distintos grupos formados por n elementos de manera que:


No importa el orden.


Números combinatorios

El número se llama también número combinatorio. Se representa

por y se lee "m sobre n".

Propiedades de los números combinatorios

1.

2.

3.

EJEMPLO 1.9

En una bodega hay cinco tipos diferentes de botellas. ¿De cuántasformas se pueden elegir cuatro botellas?

No entran todos los elementos. Sólo elije 4..

No importa el orden. Da igual que elija 2 botellas de anís y 2 de ron, que 2de ron y 2 de anís.

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TOMO 1 DEL COMPULIBRO ESTADISTICA II DE CIR Sí se repiten los elementos. Puede elegir más de una botella del mismotipo.

ELEMENTOS DE PROBABILIDAD

Probabilidad de la unión de sucesos incompatibles

A B =

p(A B) = p(A) + p(B)

Probabilidad de la unión de sucesos compatibles

A B ≠

p(A B) = p(A) + p(B) − p(A B)

Probabilidad condicionada

Probabilidad de la intersección de sucesos independientes

p(A B) = p(A) · p(B)

Probabilidad de la intersección de sucesos dependientes

p(A B) = p(A) · p(B/A)

Probabilidad de la diferencia de sucesos

Teorema de la probabilidad total

p(B) = p(A1) · p(B/A1) + p(A2) · p(B/A2 ) + ... + p(An) · p(B/An )

TEOREMA DE BAYES

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0 ≤ p(A) ≤ 1

p(E) = 1

ZONA DE EJEMPLOS

ALGUNOS EJEMPLOS TOMADOS DE http://www.vitutor.net/1/52.html

EJEMPLO 1.10

Se tira 2 dados, ¿Cuál es la probabilidad de que salga: 5, 7, 9, 10?

LEY DE LAPLACE

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)

(2,1)……………………………(2,6)

(3,1)…………………………....(3,6)

S= (4,1)……………………………(4,6)

(5,1)……………………………(5,6)

(6,1)……………………………(6,6)

Para 5: (1,4)(4,1)(2,3)(3,2)

P(5)= 4/36= 0,1111= 11,11%

Para 7:(1,6)(6,1)(2,5)(5,2)(3,4)(4,3)

P(7)= 6/36= 0,1667= 16,67%

Para 9: (4,5)(5,4)(3,6)(6,3)

P(9)= 4/36= 0,1111= 11,11%

Para 10: (5,5) (6,4)(4,6)

23

http://www.vitutor.net/1/52.html

TOMO 1 DEL COMPULIBRO ESTADISTICA II DE CIR P(10)= 3/36= 0,0833= 8,33%

EJEMPLO 1.11 Dada la función

½ para x>0

F(x)= ¾ para xx<2

1 para x>=2

Hallar

a) P(x>=0) SI P(X<0) =½ b) Hallar el complemento de P(x<0) c) P(x>=0)

SOLUCIONa) AXIOMA: P(x>=0)+P(x<0)= 1

P(x>=0)= 1-P(x<0)

= 1- ½= ½

ESTIMADO ESTUDIANTE REALIZAR B Y C

EJEMPLO 1.12

Dados los puntos (-20,0) y (30,1) hallar

a) La pendienteb) La ecuación de la recta que pasa por esos puntosc) La graficad) Dada la grafica escriba análisis a través de intervalos

SOLUCION

a) 50

1

)20(30

01

m

b) Y-Y1= m(X-X1)

24


CUAL ES EL VALOR DE bc)La grafica

d) Dada la función de la grafica:

f(x)= 0 si x<=-20

1 si x>10

EJEMPLO 1.13

Hallar la probabilidad de que al levantar unas fichas de dominó el maestroAlfonso Acuña obtenga un número de puntos mayores que 9 o que seamúltiplo de 4.

25


EJEMPLO 1.14

NEWTON lanza dos dados al aire y se anota la suma de los puntosobtenidos. Se pide:

1)La probabilidad de que salga el 7.

2) La probabilidad de que el número obtenido sea par.

3) La probabilidad de que el número obtenido sea múltiplo de tres.

EJEMPLO 1.15

De una urna que contiene 4 bolas verde, 5 blancas y 6 negras, se extraeuna bola ¿cuál es la probabilidad de que la bola sea verde o blanca?¿Cuál es la probabilidad de que no sea blanca?

EJEMPLO 1.16

Juan y Victoria son dos hermanos que salen de caza. El primero mata unpromedio de 2 piezas cada 5 disparos y el segundo una pieza cada 2

26

TOMO 1 DEL COMPULIBRO ESTADISTICA II DE CIR disparos. Si los dos disparan al mismo tiempo a una misma pieza, ¿cuáles la probabilidad de que la maten?

A= JUAN MATA 2 DE 5

B= VICTORIA UNA DE DOS

EJEMPLO 1.17

A una pareja de esposos cuarentones le realizaron un diagnostico desupervivencia y se encontró que la probabilidad de que un hombre viva 20años es ¼ y la de que su señora viva 20 años es 1/3. Se pide calcular laprobabilidad:

1)De que ambos vivan 20 años.

2)De que el hombre viva 20 años y su señora no.

3De que ambos mueran antes de los 20 años.

EJEMPLO 1.18

En la Uceva los estudiantes de las carreas ofrecidas por esta institucióneducativa pueden optar por cursar como lengua extranjera inglés oItaliano. En un determinado curso, el 90% de los alumnos estudia inglés yel resto italiano. El 30% de los que estudian inglés son chicos y de los queestudian italiano son chicos el 40%. El elegido un alumno al azar, ¿cuáles la probabilidad de que sea chica?

27


p(chica) = 0.9 · 0.7 + 0.1 · 0.6 = 0.69

EJEMPLO 1.19

El sociólogo Rubén Darío González de una baraja española de 48 cartasextrae simultáneamente dos de ellas. Calcular la probabilidad de que:

1 Las dos sean copas.

2Al menos una sea copas.

3Una sea copa y la otra espada.

EJEMPLO 1.20

En un taller de autos se sabe que por término medio acuden: por lamañana tres automóviles con problemas eléctricos, ocho con problemasmecánicos y tres con problemas de chapa, y por la tarde dos conproblemas eléctricos, tres con problemas mecánicos y uno con problemasde chapa.

1 Hacer una tabla ordenando los datos anteriores.

28


2Calcular el porcentaje de los que acuden por la tarde.

3Calcular el porcentaje de los que acuden por problemas mecánicos.

4Calcular la probabilidad de que un automóvil con problemaseléctricos acuda por la mañana.

EJEMPLO 1.21

Un estudiante dormilón cuenta, para un examen con la ayuda de undespertador, el cual consigue despertarlo en un 80% de los casos. Si oyeel despertador, la probabilidad de que realiza el examen es 0.9 y, en casocontrario, de 0.5.

1 Si va a realizar el examen, ¿cuál es la probabilidad de que haya oído eldespertador?

29

TOMO 1 DEL COMPULIBRO ESTADISTICA II DE CIR 2Si no realiza el examen, ¿cuál es la probabilidad de que no hayaoído el despertador?

EJEMPLO 1.22

En la biblioteca de la Uceva existe una sección de entretenimiento en lasestanterías donde hay 60 novelas y 20 libros de poesía. Una persona Aelige un libro al azar de la estantería y se lo lleva. A continuación otrapersona B elige otro libro al azar.

1 ¿Cuál es la probabilidad de que el libro seleccionado por B sea unanovela?

2Si se sabe que B eligió una novela, ¿cuál es la probabilidad de queel libro seleccionado por A sea de poesía?

30

TOMO 1 DEL COMPULIBRO ESTADISTICA II DE CIR EJEMPLOS 1.23 USANDO INTERNET

En estas direcciones encontraras mas ejemplos en videosexplicados en internet

1)http://www.youtube.com/watch?v=J-B-Enaphw42)http://www.youtube.com/watch?v=J-B-Enaphw43)http://www.youtube.com/watch?v=WY80AY6XU0Q&feature=related4)http://www.youtube.com/watch?v=qCKZKDWRXAA&feature=related5)http://www.youtube.com/watch?v=LGZbeW-vCW8&feature=related6)http://www.youtube.com/watch?v=v2autI4LAyA&feature=related7)http://www.youtube.com/watch?v=4O2waWg5cTg8)http://www.youtube.com/watch?v=v2autI4LAyA&feature=related9)http://www.youtube.com/watch?v=4hbNgJc-qR0&feature=related10)http://www.youtube.com/watch?v=cGT_YHZ7M7s&feature=related11)http://www.youtube.com/watch?v=VM8uBmr3EkQ&feature=related12)http://www.youtube.com/watch?v=VM8uBmr3EkQ&feature=related13)http://www.youtube.com/watch?v=-5EG28z2E0814)http://www.youtube.com/watch?v=fFbY6dPOacM&feature=relmfu15)http://www.youtube.com/watch?v=wJn-JqqKcu8&feature=relmfu

31

http://www.youtube.com/watch?v=wJn-JqqKcu8&feature=relmfu

http://www.youtube.com/watch?v=fFbY6dPOacM&feature=relmfu

http://www.youtube.com/watch?v=-5EG28z2E08

http://www.youtube.com/watch?v=VM8uBmr3EkQ&feature=related

http://www.youtube.com/watch?v=VM8uBmr3EkQ&feature=related

http://www.youtube.com/watch?v=cGT_YHZ7M7s&feature=related

http://www.youtube.com/watch?v=4hbNgJc-qR0&feature=related

http://www.youtube.com/watch?v=v2autI4LAyA&feature=related

http://www.youtube.com/watch?v=4O2waWg5cTg

http://www.youtube.com/watch?v=v2autI4LAyA&feature=related

http://www.youtube.com/watch?v=LGZbeW-vCW8&feature=related

http://www.youtube.com/watch?v=qCKZKDWRXAA&feature=related

http://www.youtube.com/watch?v=qCKZKDWRXAA&feature=related

http://www.youtube.com/watch?v=WY80AY6XU0Q&feature=related

http://www.youtube.com/watch?v=J-B-Enaphw4

http://www.youtube.com/watch?v=J-B-Enaphw4

TOMO 1 DEL COMPULIBRO ESTADISTICA II DE CIR EJERCICIOS DE REPASO DEL CAPITULO 1

NOTA SI TIENES DUDAS NO DUDES IR A VITUTOR PERO NOOLVIDES RESCRIBIR LA RESPUESTA CON ENUNCIADO

NOTA LOS EJERCICIOS DE 1 AL 9 TIENE UN OBJETIVO DERECORDAR ESTADISTICA DESCRIPTIVA

1) Indica que variables son cualitativas y cuales cuantitativas:

a. Comida Favorita.

b. Profesión que te gusta.

C, Número de goles marcados por tu equipo favorito en la últimatemporada.

d. Número de alumnos de tu Instituto.

e. El color de los ojos de tus compañeros de clase.

f. Coeficiente intelectual de tus compañeros de clase.

2. De las siguientes variables indica cuáles son discretas ycuales continuas.

a. Número de acciones vendidas cada día en la Bolsa.

b. Temperaturas registradas cada hora en un observatorio.

c. Período de duración de un automóvil.

d. El diámetro de las ruedas de varios coches.

e. Número de hijos de 50 familias.

f. Censo anual de los españoles.

3. Clasificar las siguientes variables en cuantitativas o cualitativas, endiscretas o continuas según el enunciado

a. La nacionalidad de una persona.

b Número de litros de agua contenidos en un depósito.

c Número de libros en un estante de librería.

d Suma de puntos tenidos en el lanzamiento de un par de dados.

e La profesión de una persona.

32

TOMO 1 DEL COMPULIBRO ESTADISTICA II DE CIR f El área de las distintas baldosas de un edificio.

4. Las calificaciones de 50 alumnos en Estadística han sido lassiguientes:

5, 2, 4, 9, 7, 4, 5, 6, 5, 7, 7, 5, 5, 2, 10, 5, 6, 5, 4, 5, 8, 8, 4, 0, 8, 4, 8, 6, 6,3, 6, 7, 6, 6, 7, 6, 7, 3, 5, 6, 9, 6, 1, 4, 6, 3, 5, 5, 6, 7.

Construir la tabla de distribución de frecuencias para dato no agrupados yagrupados aplicando le a los agrupados sturges y dibuja el diagrama debarras.

5. Los 40 estudiantes de una clase han obtenido las siguientespuntuaciones, sobre 50, en un examen de Estadística.

3, 15, 24, 28, 33, 35, 38, 42, 23, 38, 36, 34, 29, 25, 17, 7, 34, 36, 39, 44,31, 26, 20, 11, 13, 22, 27, 47, 39, 37, 34, 32, 35, 28, 38, 41, 48, 15, 32,13.

a. Construir la tabla de frecuencias aplicando sturges

b. Dibujar el histograma y el polígono de frecuencias.

9. Sea una distribución estadística que viene dada por la siguiente tabla:

xi 61 64 67 70 73

fi 5 18 42 27 8

Calcular:

1 La moda, mediana y media.

2 El rango, desviación media, varianza y desviación típica.

6.Calcular la media, la mediana y la moda de la siguiente serie denúmeros: 5, 3, 6, 5, 4, 5, 2, 8, 6, 5, 4, 8, 3, 4, 5, 4, 8, 2, 5, 4. Si agrupan

7. Hallar la varianza y la desviación típica de la siguiente serie de datos:

12, 6, 7, 3, 15, 10, 18, 5.

8. Hallar la media, mediana y moda de la siguiente serie de números:

3, 5, 2, 6, 5, 9, 5, 2, 8, 6.

16. Una distribución estadística viene dada por la siguiente tabla:

33


[10, 15) [15, 20) [20, 25) [25, 30) [30, 35)

fi 3 5 7 4 2

Hallar:

La moda, mediana y media.

El rango, desviación media y varianza.

Los cuartiles 1º y 3º.

Los deciles 3º y 6º.

Los percentiles 30 y 70.

9. Dada la distribución estadística:

[0,5)

[5,10)

[10,15)

[15,20)

[20,25)

[25,∞)

fi 3 5 7 8 2 6

Calcular:

La mediana y moda.

Cuartil 2º y 3º.

Media.

10) ¿Cuántos números de tres cifras diferentes se puede formar con losdígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5 ?R/100

11) En un concurso literario de la UCEVA se han presentado 10candidatos con sus novelas. El cuadro de honor lo forman el ganador, elfinalista y un accésit. ¿Cuántos cuadros de honor se pueden formar?R/720

12) ¿Cuántos números de tres cifras se puede formar con los dígitos: 0, 1,2, 3, 4, 5? R/ 180

13) ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse ocho personas en unafila de butacas? 40320

34

TOMO 1 DEL COMPULIBRO ESTADISTICA II DE CIR 14) ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse ocho personasalrededor de una mesa redonda?R/ 5040

15) En el palo central de un barco velero se pueden izar tres banderasrojas, dos azules y cuatro verdes. ¿Cuántas señales distintas puedenindicarse con la colocación de las nueve banderas? 1260

16) En una clase de 30 alumnos se quiere elegir un comité formado portres alumnos. ¿Cuántos comités diferentes se pueden formar?R/ 4060

17) En una bodega hay 5 botellas de vio diferente. ¿De cuántas formas sepueden elegir 4 botellas? R/70

18) ¿De cuántas formas diferentes se pueden cubrir los puestos depresidente, vocal y tesorero de un club de fútbol sabiendo que hay 12posibles candidatos? R/ 1320

19) Con las letras de la palabra libra, ¿cuántas ordenaciones distintas sepueden hacer que empiecen por vocal? R/48

20) ¿De cuántas formas pueden mezclarse los siete colores del arco iristomándolos de dos en dos? R/ 21

21) ¿Cuántos números de cinco cifras distintas se pueden formar con lascifras impares? R/ 120

22) ¿De cuántos partidos consta una liguilla formada por 6 equipos?30

23) A una reunión de directivos de la UCEVA asisten 10 personas y seintercambian saludos entre todos. ¿Cuántos saludos se hanintercambiado? R/45

24) Con las cifras 1, 2 y 3, ¿cuántos números de cinco cifras puedenformarse? R/ 243

25) ¿De cuántas formas pueden colocarse los 11 jugadores de un equipode fútbol teniendo en cuenta que en las reglas del futbol el portero nopuede ocupar otra posición distinta dl arco o portería? R/ 3628800

26) En la sala de ejecutivos existe la mesa de reuniones que está formadapor ocho personas, ¿de cuántas formas distintas se pueden sentar, si elpresidente y el secretario siempre van juntos/10080

27) Una comisión de negocios compuesto por cinco hombres y sietemujeres, forma un comité de 2 hombres y 3 mujeres. De cuántas formaspuede formarse, si:

35

TOMO 1 DEL COMPULIBRO ESTADISTICA II DE CIR 1. Puede pertenecer a él cualquier hombre o mujer/ 350

2. Una mujer determinada debe pertenecer al comité/ 150

3. Dos hombres determinados no pueden estar en el comité. R/ 105

28) Cuatro libros distintos de estadística, seis diferentes de física y dosdiferentes de química se colocan en un estante. De cuántas formasdistintas es posible ordenarlos si:

1. Los libros de cada asignatura deben estar todos juntos. R/ 207360

2. Solamente los libros de matemáticas deben estar juntos. R/ 8709120

29) Un colombiano tiene cinco monedas de distintos valores. ¿Cuántassumas diferentes de dinero puede formar con las cinco monedas?31

30) Se ordenan en una fila 5 bolas Verdes, 2 bolas Rojas y 3 bolasazules. Si las bolas de igual color no se distinguen entre sí, ¿de cuántasformas posibles pueden ordenarse? R/2520

31) Resolver las ecuaciones combinatorias:

1 . R/ X=6

2. R/ X=7

3. R/ X=7

4. R/ X=17

32) Resolver las siguientes ecuaciones

1) R/ X=12

2) R/ X=5

3) R/ X=5

4) R/ X=5

36


5) R/ X= 19

6) R/ X= 10

33) Se lanzan dos monedas al aire hallar la probabilidad de que salgandos caras/1/4

34). Calcular la probabilidad de que al lanzar un dado al aire, salga Unnúmero par. R/1/2

35) Se lanza un dado ccalcular la probabilidad de obtener un 2 ó un 5. R/1/3

36) Se lanza un dado calcular la probabilidad de obtener un múltiplo de 2ó un 6. R1/2

37) Calcular la probabilidad de obtener un 6 al tirar un dado sabiendo queha salido par. R/1/3

38) Se sortea un viaje a Panaca entre los 120 mejores clientes de unaagencia de automóviles. De ellos, 65 son mujeres, 80 están casados y 45son mujeres casadas. Se pide:

a) ¿Cuál será la probabilidad de que le toque el viaje a un hombresoltero? R/ 1/6

b) Si del afortunado se sabe que es casado, ¿cuál será la probabilidad deque sea una mujer? 56.25%

39) Sean A y B dos sucesos aleatorios con:

Hallar:

1 R/ 5/8

2 R/ 5/8

3 R/ 1/2

4 R/ 3/8

37


5 R/ 3/4

6 R/ 1/8

7 R/ 1/4

40) Sean A y B dos sucesos aleatorios con:

Hallar:

1 R/ 1/3

2 R/ 2/3

3 R/ 1/12

4 R/ 5/12

41) Se sacan dos bolas de una urna que se compone de una bola blanca,otra amarilla, otra verde y otra negra. Escribir el espacio muestralcuando:

A) La primera bola se devuelve a la urna antes de sacar la segunda R/16ELEMENTOS EN EL ESPACIO MUESTRAL

B) La primera bola no se devuelve R/ 12 ELEMENTOS EN EL ESPACIOMUESTRAL

42) Una urna tiene ocho bolas negras, 5 amarilla y siete azules. Si seextrae una bola al azar calcular la probabilidad de:

A) Sea negra. R/40% B) Sea azul . R/35% C) No seaamarilla R/75%

43) Una urna contiene tres bolas rojas y siete blancas. Se extraen dosbolas al azar. Escribir el espacio muestral y hallar la probabilidad de lossucesos:

a) Con reemplazamiento. R/

b) Sin reemplazamiento/ 6/90 21/90 21/90 42/90

38

TOMO 1 DEL COMPULIBRO ESTADISTICA II DE CIR 44) Se extrae una bola de una urna que contiene 4 bolas verdes, 5blancas y 6 negras, ¿cuál es la probabilidad de que la bola sea verde oblanca? ¿Cuál es la probabilidad de que no sea blanca? R/ 2/3

45) En la clase de estadística hay 10 alumnas rubias, 20 morenas, cincoalumnos rubios y 10 morenos. Un día asisten 45 alumnos, encontrar laprobabilidad de que un alumno: Sea hombre o mujer. R/ 1

46) Se lanzan dos dados al aire y se anota la suma de los puntosobtenidos. Se pide:

a) La probabilidad de que salga el 7.R/ 1/6

b) La probabilidad de que el número obtenido sea par. R/ ½c) La probabilidad de que el número obtenido sea múltiplo de tres. R/ 1/3

47) Un estudiante lanzan tres dados. Encontrar la probabilidad de queSalga 6 en todos R/ 1/216

48) Un jugador de azar si lanza al aire dos monedas, realiza el diagramade árbol Hallar la probabilidad de ganar si salen:

A) Salgan Dos caras. R/ 25%

B) Dos sellos R/ 25%

c) Una cara y un sello R/1/2

49) Sean A y B dos sucesos aleatorios con p(A) = 1/2, p(B) = 1/3, p(A B)= 1/4. Determinar:

a) R/ 75%

b) R/ 50%

c) R/ 7/12

d) R/ 5/8

e) R/ 5/6

50) En Colombia los alumnos pueden optar por cursar como lenguaextranjera inglés o francés. En un determinado curso, el 90% de losalumnos estudia inglés y el resto francés. El 30% de los que estudian

39

TOMO 1 DEL COMPULIBRO ESTADISTICA II DE CIR inglés son chicos y de los que estudian francés son chicos el 40%. Elelegido un alumno al azar

a) Realizando un diagrama de árbol mostrar las probabilidades posibles

b) ¿cuál es la probabilidad de que sea chica? R/ 69%

51) A veces ocurre que ante un examen, un alumno sólo haestudiado 15 de los 25 temas correspondientes a la materia del mismo.Éste se realiza extrayendo al azar dos temas y dejando que el alumnoescoja uno de los dos para ser examinado del mismo. Hallar laprobabilidad de que el alumno pueda elegir en el examen uno de lostemas estudiados. R/ 85%

52) En el taller de matecho donde llevan estadísticas de autos ingresadosse sabe que por término medio acuden: por la mañana tres automóvilescon problemas eléctricos, ocho con problemas mecánicos y tres conproblemas de chapa, y por la tarde dos con problemas eléctricos, tres conproblemas mecánicos y uno con problemas de chapa.

a) Hacer una tabla ordenando los datos anteriores.

b) Calcular el porcentaje de los que acuden por la tarde. R/ 30%

c) Calcular el porcentaje de los que acuden por problemas mecánicos. R/55%

d) Calcular la probabilidad de que un automóvil con problemas eléctricosacuda por la mañana. R/ 60%

53) Una clase de matemáticas consta de seis niñas y 10 niños. Si seescoge un comité de tres al azar, dibuje un diagrama de árbol y hallar laprobabilidad de:

a) Seleccionar tres niños. R/ 21.4%

b) Seleccionar exactamente dos niños y una niña. R/ 48,2%

c) Seleccionar por lo menos un niño. R/ 96.4%

d) Seleccionar exactamente dos niñas y un niño. R/ 26.8%

54) Una bolsa contiene tres monedas. Una moneda es corriente, otratiene dos caras y la otra está cargada de modo que la probabilidad deobtener cara es de 1/3. Se selecciona una moneda al azar y se lanza alaire dibuje su diagrama de árbol y Hallar la probabilidad de que salga

40

TOMO 1 DEL COMPULIBRO ESTADISTICA II DE CIR a) Cara. R/61.1%

b) Sello

55) El maestro Uriel Quitian tiene una urna contiene 5 bolas rojas y 8verdes. Se extrae una bola y se reemplaza por dos del otro color. Acontinuación, se extrae una segunda bola. Se pide:

a) Dibuje el diagrama de árbol

b) Probabilidad de que la segunda bola sea verde. R / 58.2%

C) Probabilidad de que las dos bolas extraídas sean del mismo color. R/41.8%

56) En una clase dirigida por Idelfonso Cobo y en un diagnosticoacostumbrado por el docente encontró que todos los estudiantes de sucurso practican algún deporte, donde el 60% de los alumnos juega alfútbol o al baloncesto y el 10% practica ambos deportes. Si además hayun 60% que no juega al fútbol, cuál será la probabilidad de que escogidoal azar un alumno de la clase:

A) Juegue sólo al fútbol. R/ 40%

B) Juegue sólo al baloncesto R/20%

C) Practique uno solo de los deportes. R/ 50%

57) En Tulua Colombia, el 40% de la población tiene cabellos castaños, el25% tiene ojos castaños y el 15% tiene cabellos y ojos castaños. Seescoge una persona al azar:

A) Si tiene los cabellos castaños, ¿cuál es la probabilidad de que tengatambién ojos castaños? R/ 37.5%

B) Si tiene ojos castaños, ¿cuál es la probabilidad de que no tengacabellos castaños R/ 40%

C) ¿Cuál es la probabilidad de que no tenga cabellos ni ojos castaños?

58) La federación de oftalmólogos supone que en Colombia 25 de cada100 hombres y 600 de cada 1000 mujeres usan gafas. Si el número demujeres es cuatro veces superior al de hombres, se pide la probabilidadde que:

a) Muestre las probabilidades a través de un diagrama de árbolb) Halla una persona sin gafas. R/47%

41

TOMO 1 DEL COMPULIBRO ESTADISTICA II DE CIR c) Halla una mujer con gafas/48%

59) Un edificio de 3 pisos hay tres llaveros A, B y C; el primero con cincollaves, el segundo con siete y el tercero con ocho, de las que sólo una decada llavero abre la puerta del trastero. Se escoge a Lázaro llavero y, deél, una llave intenta abrir el trastero. Se pide:

a) Muestre las probabilidades a través de un diagrama de árbol R/ 15.59%b) ¿Cuál será la probabilidad de que se acierte con la llave?R/15.59%c) ¿Cuál será la probabilidad de que el llavero escogido sea el tercero y lallave no abra? R/29.17%d)Y si la llave escogida es la correcta, ¿cuál será la probabilidad de quepertenezca al primer llavero A?42,75%

60) Tenemos tres urnas: A con 3 bolas verdes y 5 negras, B con 2 bolasverdes y 1 negra y C con 2 bolas verdes y 3 negras. Escogemos unaurna al azar y extraemos una bola. Si la bola ha sido verde , ¿cuál es laprobabilidad de haber sido extraída de la urna A? R/26%

61) El profesor Guillermo Vallecilla realiza un lanzamiento de un dado normal. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un 1 si se sabe que el resultado ha sido impar? R/ 33.3%

62) La empresa de Tornillos El 60% de los tornillos producidos por laempresa proceden de la maquina A y el 40% de la maquina B. Laproporción de defectuosos en A es 0.1 y en B es 0.5. ¿Cuál es laprobabilidad de que un tornillo de dicha fabrica sea defectuoso? ¿Cuál esla probabilidad de que, sabiendo que un tornillo es defectuoso, procedade la maquina A?.R/ 23.1%

63) En el Hospital Tomas Uribe de Tulua se encontró que un 15% de lospacientes atendidos son hipertensos, un 10% son obesos y un 3% sonhipertensos y obesos. ¿Qué probabilidad hay de que elegido un pacienteal azar sea obeso o hipertenso? R/ 22%

64) Se sabe por estudios previos que el 0,1% de la población Colombianatiene problemas vasculares. Un estudio sobre individuos con problemasvasculares revela que el 20% de ellos son placas de ateroma. Si el 10%de los individuos con placas de ateroma están expuestos a muerte súbitapor desprendimiento de trombos ¿qué probabilidad tiene un individuocualquiera de estar expuesto a muerte súbita por desprendimiento detrombos de una placa de ateroma. R/

65) La prevalencia de infarto cardíaco para hipertensos es del 0,3% ypara no hipertensos del 0,1%. Si la prevalencia de hipertensión en una

42

TOMO 1 DEL COMPULIBRO ESTADISTICA II DE CIR cierta población es del 25% ¿Cuál es la prevalencia del infarto en esapoblación? R/ 0,15%

66) Tenemos 5 cajones con productos de una cierta industria. Doscajones contienen cada uno 4 productos buenos y 1 fallado; otros doscajones contienen cada uno 3 productos buenos y 2 fallados; y el últimocajón contiene 6 productos buenos. Se elige al azar un cajón, del cual,también al azar, se extrae un producto. Calcular la probabilidad de que elproducto extraído resulte bueno. R/ 76%

67) e lanzan dos dados equilibrados con seis caras marcadas con losnúmeros del 1 al 6. Se pide:

a. Halla la probabilidad de que la suma de los valores que aparecenen la cara superior sea múltiplo de tres. R/ 33.3%

b. ¿Cuál es la probabilidad de que los valores obtenidos difieran enuna cantidad mayor de dos? R/ 33.3%

43


CAPITULO II

DISTRIBUCIONES

I) LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL: B(n, p)

Si en una experiencia aleatoria únicamente consideramos dosposibilidades: que ocurra el suceso A o que no ocurra ( que ocurra A’, elcomplementario de A ) , se trata de una experiencia dicotómica.

Al suceso A se le suele llamar Éxito y a la probabilidad de que ocurra, p.Es decir p=P(A).

A la probabilidad de que no ocurra A P(A’)=1-P(A) se le llama con la letraq. Es decir, q=1-p

Si repetimos n veces una experiencia dicotómica y lamamos X a lavariable que cuenta el número de éxitos, resulta que:

X es una variable discreta que puede tomar los valores:0,1,2,3,4,5,...........n.

Pues bien, a la distribución de probabilidad de la variable X se le llamaDistribución Binomial B(n,p).

La media es pn. y la desviación típica es qpn .. .

La probabilidad de que X tome el valor k es : knk qp

k

nkXP

..)(

Donde )!!.(

!

knk

n

k

n

y nnn ).1.......(5.4.3.2.1!

El número

k

n

se llama número combinatorio y representa todaslas combinaciones posibles de n elementos tomados de k en k. Esdecir: con n elementos, cuántos grupos distintos de k elementospueden formarse.

44

TOMO 1 DEL COMPULIBRO ESTADISTICA II DE CIR Llamamos experiencia aleatoria dicotómica a aquella que sólo puedetener dos posibles resultados A y A'. Usualmente A recibe el nombre deéxito, además representaremos como p = p(A) y q = 1-p=p(A').

A la función de probabilidad de una variable aleatoria X resultado decontar el número de éxitos al repetir n veces una experiencia aleatoriadicotómica con probabilidad de éxito p la llamamos distribución binomial yla representamos por

B (n, p)

Para esta distribución se verifica que, la variable X puede tomar losvalores:

0, 1, 2, ... , n

y que la variable toma cada uno de estos valores con probabilidad:

De acuerdo a lo anterior se puede definir la DISTRIBUCIÓN BINOMIALcomo una experiencia aleatoria dicotómica a aquella que sólo puedetener dos posibles resultados A y A'. Usualmente A recibe el nombre deéxito, además representaremos como p = p(A) y q = 1-p=p(A').

A la función de probabilidad de una variable aleatoria X resultado decontar el número de éxitos al repetir n veces una experiencia aleatoriadicotómica con probabilidad de éxito p la llamamos distribución binomial yla representamos por B (n, p)

Para esta distribución se verifica que, la variable X puede tomar losvalores:

0, 1, 2, ... , n y que la variable toma cada uno de estos valores conprobabilidad:

En donde: = nCx lo que implica que

45


EJEMPLO: 2.1

porqueMire10

3

5

EJEMPLO 2.2

SIMPLIFICAR:

EJEMPLO2.3:

Cuál es la probabilidad de obtener exactamente 2 caras en 6 tiradas demonedas?

X= salga exactamente 2 caras

Si n=6 x=2 p= 1/2 pruebe que f(2) = 0,2344

La probabilidad de obtener 2 caras en 6 lanzamientos es de 23,44%

EJEMPLO 2.4:

¿Cuál es la probabilidad de obtener al menos 4 caras en 6 tiradas?

46

TOMO 1 DEL COMPULIBRO ESTADISTICA II DE CIR n= 6

x= 4, 5, 6

PRUEBE SI ES CORRECTO

P(4)+P(5)+P(6)= 34,38% la probabilidad de obtener al menos 4 caras en 6tiradas es de 34,38%

EJEMPLO 2.5 EN VIDEOS

Mirar la explicación en los siguientes videos

a)http://www.youtube.com/watch?v=k_W_A-EqnRAb)http://www.youtube.com/watch?v=ANaWgIud0bc&feature=relatedc)http://www.youtube.com/watch?v=bfbp2WaMYV8&feature=relatedd)http://www.youtube.com/watch?v=bfbp2WaMYV8&feature=relatede)http://www.youtube.com/watch?v=nHeiIR_Gaug&feature=related

ELEMENTOS DE ESTADISTICA PARA RESOLVER PROBLEMAS DEPROBABILIDADES

Distribuciones discretas

Esperanza matemática o media

Varianza

47

http://www.youtube.com/watch?v=nHeiIR_Gaug&feature=related

http://www.youtube.com/watch?v=bfbp2WaMYV8&feature=related

http://www.youtube.com/watch?v=bfbp2WaMYV8&feature=related

http://www.youtube.com/watch?v=ANaWgIud0bc&feature=related

http://www.youtube.com/watch?v=k_W_A-EqnRA


Desviación típica

0 ≤ pi ≤ 1

p1 + p2 + p3 + · · · + pn = Σ pi = 1

Distribución binomial

n es el número de pruebas.

k es el número de éxitos.

p es la probabilidad de éxito.

q es la probabilidad de fracaso.

El número combinatorio

Media

Varianza

Desviación típica

II) DISTRIBUCIÓN DE POISSON.

Características:

En este tipo de experimentos los éxitos buscados son expresados porunidad de área, tiempo, pieza, etc, etc.,:

48

TOMO 1 DEL COMPULIBRO ESTADISTICA II DE CIR - # de defectos de una tela por m2

- # de aviones que aterrizan en un aeropuerto por día, hora, minuto, etc,etc.

- # de bacterias por cm2 de cultivo

- # de llamadas telefónicas a un conmutador por hora, minuto, etc, etc.

- # de llegadas de embarcaciones a un puerto por día, mes, etc, etc.

Para determinar la probabilidad de que ocurran x éxitos por unidad detiempo, área, o producto, la fórmula a utilizar sería:

Donde:

p(x, ) = probabilidad de que ocurran x éxitos, cuando el númeropromedio de ocurrencia de ellos es l

= media o promedio de éxitos por unidad de tiempo, área o producto

e = 2.718

x = variable que nos denota el número de éxitos que se desea que ocurra

Hay que hacer notar que en esta distribución el número de éxitos queocurren por unidad de tiempo, área o producto es totalmente al azar y quecada intervalo de tiempo es independiente de otro intervalo dado, asícomo cada área es independiente de otra área dada y cada producto esindependiente de otro producto dado.

Para que una variable siga una distribución de Poisson deben cumplirsevarias

Condiciones:

1. En un intervalo muy pequeño (p. e. de un milisegundo) la probabilidadde que ocurra un evento es proporcional al tamaño del intervalo.

2. La probabilidad de que ocurran dos o más eventos en un intervalo muypequeño es tan reducida que, a efectos prácticos, se puede considerarnula.

49

TOMO 1 DEL COMPULIBRO ESTADISTICA II DE CIR 3. El número de ocurrencias en un intervalo pequeño no depende de loque ocurra en cualquier otro intervalo pequeño que no se solape conaquél.

Estas propiedades pueden resumirse en que el proceso que genera unadistribución de Poisson es estable (produce, a largo plazo, un númeromedio de sucesos constante por unidad de observación) y no tienememoria (conocer el número de sucesos en un intervalo no ayuda apredecir el número de sucesos en el siguiente).

El parámetro de la distribución, lambda, representa el número promediode eventos esperados por unidad de tiempo o de espacio, por lo quetambién se suele hablar de lambda como “la tasa de ocurrencia” delfenómeno que se observa.

EJEMPLOS 2.6:

1. Si el banco BBVA recibe en promedio 6 cheques sin fondo pordía, ¿cuáles son las probabilidades de que reciba, a) cuatrocheques sin fondo en un día dado, b) 10 cheques sin fondos encualquiera de dos días consecutivos?

Solución:

a) x = variable que nos define el número de cheques sin fondo quellegan al banco en un día cualquiera = 0, 1, 2, 3, ....., etc, etc.

= 6 cheques sin fondo por día

e = 2.718

R/ El 13,39% los 6 cheques están sin fondo por día

b)x= variable que nos define el número de cheques sin fondo que llegan albanco en dos días consecutivos = 0, 1, 2, 3, ......, etc., etc.

= 6 x 2 = 12 cheques sin fondo en promedio que llegan al banco endos días consecutivos

Nota: siempre debe de estar en función de x siempre o dicho de otraforma, debe “hablar” de lo mismo que x.

50


EJEMPLO 2.7

En Grafiartes en el proceso de impresión, se realizo una inspección dehojalata producida por un proceso electrolítico continuo, donde seidentifican 0.2 imperfecciones en promedio por minuto. Determine lasprobabilidades de identificar a) una imperfección en 3 minutos, b) almenos dos imperfecciones en 5 minutos, c) cuando más una imperfecciónen 15 minutos.

Solución:

a) x = variable que nos define el número de imperfecciones en lahojalata por cada 3 minutos = 0, 1, 2, 3, ...., etc., etc.

= 0.2 x 3 =0.6 imperfecciones en promedio por cada 3 minutos enla hojalata

b) x = variable que nos define el número de imperfecciones en lahojalata por cada 5 minutos = 0, 1, 2, 3, ...., etc., etc.

= 0.2 x 5 =1 imperfección en promedio por cada 5 minutos en lahojalata

1-(0.367918+0.367918) = 0.26416

R/La imperfección en promedio por cada 5 minutos en la hojalata es de26,64%

c) x = variable que nos define el número de imperfecciones en lahojalata por cada 15 minutos = 0, 1, 2, 3, ....., etc., etc.

51

TOMO 1 DEL COMPULIBRO ESTADISTICA II DE CIR = 0.2 x 15 = 3 imperfecciones en promedio por cada 15 minutos en lahojalata

=0.0498026 + 0.149408 = 0.1992106

R/ 19,92% Presenta 3 imperfecciones en promedio por cada 15 minutosen la hojalata

NOTA

Por lo general se toma para muestras grandes, no indicando que no sepuede aplicar en muestras pequeñas y sino observemos los siguientesejemplos.

P(x)= x.e -λ donde: λ= n.p

X! λ es un promedio

EJEMPLO: 2.8

En la clínica Maria Angel la estadística muestra que la probabilidad deque un individuo sufra una reacción negativa de cierto suero es de 0,001.Hallar la probabilidad de que entre 300 individuos exactamente 3individuos sufra reacciones negativas.

Por poisson

Datos: n=300 λ= n.p x= 3

P= 0,001 λ= (300)(0,001) λ= 0,3

P(3)= = 0,003= 0,33%

R/ La probabilidad de que un individuo sufra una reacción negativa en laclínica Maria Angel de cierto suero es de 0.33%

Por distribución binomial:

52


(0,001)3 (0,999)297 planteamiento

Terminar el ejercicio

EJEMPLO 2.9

El 10% de tornillos producido en la fábrica metalúrgica Matecho sondefectuosos. Hallar la probabilidad de que una muestra de 10 tornillostomadas al azar exactamente 2 sean defectuosas.

n= 10 p= 0,1 q= 0,9 x= 2

λ= n.p λ= (10)(0,1) λ= 1

p(2)= = 0,1839= 18,39%

HACER EL MISMO EJERCICIO POR DISTRIBUCION BINOMIAL

EJEMPLO 2.10 EXPLICADOS EN VIDEOS USANDO INTERNET

1) http://www.youtube.com/watch?v=uAcWCOOPWa8&feature=related2)http://www.youtube.com/watch?v=xN-fxZKJ-js&feature=related3)http://www.youtube.com/watch?v=brykCv0HdRw&feature=related4)http://www.youtube.com/watch?v=hB4owTsqQIs&feature=related

53

http://www.youtube.com/watch?v=hB4owTsqQIs&feature=related

http://www.youtube.com/watch?v=brykCv0HdRw&feature=related

http://www.youtube.com/watch?v=xN-fxZKJ-js&feature=related

http://www.youtube.com/watch?v=uAcWCOOPWa8&feature=related

http://www.youtube.com/watch?v=uAcWCOOPWa8&feature=related

TOMO 1 DEL COMPULIBRO ESTADISTICA II DE CIR 5)http://www.youtube.com/watch?v=luEmVW_Bnn8&feature=related6)http://www.youtube.com/watch?v=U10yQnqsfas&feature=related7)http://www.youtube.com/watch?v=N8uW_mqc1r4&feature=related8)http://www.youtube.com/watch?v=J3lvuyArpEY&feature=related

III) DISTRIBUCIÓN MULTINOMIAL.

Características:

a) Al llevar a cabo un experimento con esta distribución se esperanmás de dos tipos de resultados.

b) Las probabilidades asociadas a cada uno de los resultados sonconstantes.

c) Cada uno de los ensayos o repeticiones del experimento sonindependientes.

d) El número de repeticiones del experimento, n es constante.

Si los sucesos E(1), E(2)……….. E(k) puede ocurrir con frecuencia P(1), P(2)

……….. P(k) respectivamente entonces la probabilidad de que E(1), E(2)………..E(k) ocurran X(1), X(2)……….. X(k), veces, se calcula por:

Al igual que hicimos con la distribución binomial, en este caso partiremosde un ejemplo para obtener la fórmula general para resolver problemasque tengan este tipo de distribución.

P(x)=

EJEMPLO 2.11

Se lanza un dado 12 veces cual es la probabilidad de obtener el 1, 2, 3, 4,5, 6, dos veces cada uno?

N= 12

X(1) =X(2) =X(3)=X(4)=X(5)=X(6)= 2

P(1) =P(2)=P(3)=P(4)=P(5)=P(6)= 1/6

54

http://www.youtube.com/watch?v=J3lvuyArpEY&feature=related

http://www.youtube.com/watch?v=N8uW_mqc1r4&feature=related

http://www.youtube.com/watch?v=U10yQnqsfas&feature=related

http://www.youtube.com/watch?v=luEmVW_Bnn8&feature=related


P(x)= ( )6= 0,0034= 0,34%

R/ Cada uno de los números del dado que puede salir 2 veces cada unoes del 34%

IV) DISTRIBUCION HIPERGEOMETRICA

Lo que se ha hecho hasta ahora es analizar distribuciones que modelizansituaciones en las que se realizaban pruebas que entrañaban unadicotomía (proceso de Bernouilli o binomial ) de manera que en cadaexperiencia la probabilidad de obtener cada uno de los dos posiblesresultados se mantenía constante. Si el proceso consistía en una serie deextracciones o selecciones ello implicaba la reposición de cada extraccióno selección, o bien la consideración de una población muy grande. Sinembargo si la población es pequeña y las extracciones no se remplazanlas probabilidades no se mantendrán constantes. En ese caso lasdistribuciones anteriores no nos servirán para la modelizar la situación. Ladistribución hipergeométrica viene a cubrir esta necesidad de modelizarprocesos de Bernouilli o binomiales con probabilidades no constantes (sinreemplazamiento)

La distribución hipergeométrica es de mucha aplicabilidad en aquelloscasos en los que se extraigan muestras o se realizan experienciasrepetidas sin devolución del elemento extraído o sin retornar a la situaciónexperimental inicial y donde se modeliza , de hecho, situaciones en lasque se repite un número determinado de veces una prueba dicotómica demanera que con cada sucesivo resultado se ve alterada la probabilidad deobtener en la siguiente prueba uno u otro resultado. Es unadistribución .fundamental en el estudio de muestras pequeñas depoblaciones .pequeñas y en el cálculo de probabilidades de, juegos deazar y tiene grandes aplicaciones en el control de calidad en otrosprocesos experimentales en los que no es posible retornar a la situaciónde partida.2

Los experimentos que tienen este tipo de distribución tienen las siguientescaracterísticas:

a) Al realizar un experimento con este tipo de distribución, se esperan dostipos de resultados.

b) Las probabilidades asociadas a cada uno de los resultados no sonconstantes.

2 http://www.uv.es/ceaces/base/modelos%20de%20probabilidad/hipergeometrica.htm

55

http://www.uv.es/ceaces/base/modelos%20de%20probabilidad/hipergeometrica.htm

TOMO 1 DEL COMPULIBRO ESTADISTICA II DE CIR c) Cada ensayo o repetición del experimento no es independiente de losdemás.

d) El número de repeticiones del experimento (n) es constante.

Se caracteriza por tener submuestras y su expresión está dada por:

P(x)= Donde “n” pertenece a la submuestras y “a+b=N”

y “N” es la población escogida, x pertenece a muestra

a

n-x pertenece b muestra b

EJEMPLO 2.12:

El siguiente ejemplo va por partes hasta que se aplica el concepto dedistribución hipergeometrica

De 16 vehículos de una transportadora de leche 5 tienen los frenosdañados cuantos no tienen los frenos dañados?

a= 5 frenos dañados N= 16 b= frenos buenos

5+b= 16

b= 11

¿Si de ese lote, 3 tienen los frenos dañados, escriba el elementocorrespondiente a la formula?

X= 3

¿Si se toman 7 camiones al azar, como se expresa?

n= 7

56

TOMO 1 DEL COMPULIBRO ESTADISTICA II DE CIR Ahora si construyamos el ejemplo en forma total

De 16 vehículos de una transportadora de leche 5 tienen los frenosdañados. Si de ese lote, 3 tienen los frenos dañados .Si se toman 7camiones al azar Cual es la probabilidad de que 3 o más tengan losfrenos dañados

Entonces:

P(3)=

7

11

4

11

3

5

= = = 0,2884= 28,84%

P(3)+ P(4)+ P(5)= 36,54% VERIFICAR SI LA RESPUESTA ESCORRECTA

EJEMPLO 2.13

Un extranjero al llegar a cualquier aeropuerto de Colombia es revisado.Si un extranjero X para evitar que lo descubran en la aduana, un viajeroha colocado 6 tabletas de narcótico en una botella que contiene 9píldoras de vitamina que son similares en apariencia. Si el oficial de laaduana selecciona 3 tabletas aleatoriamente para analizarlas, a) ¿Cuál esla probabilidad de que el viajero sea arrestado por posesión denarcóticos?, b) ¿Cuál es la probabilidad de que no sea arrestado porposesión de narcóticos?.

Solución:

a) N = 9+6 =15 total de tabletas

a = 6 tabletas de narcótico

n = 3 tabletas seleccionadas

57

TOMO 1 DEL COMPULIBRO ESTADISTICA II DE CIR x = 0, 1, 2, o 3 tabletas de narcótico = variable que nos indica el númerode tabletas de narcótico que se puede encontrar al seleccionar las 3tabletas

p(viajero sea arrestado por posesión de narcóticos) = p(de que entre las3 tabletas seleccionadas haya 1 o más tabletas de narcótico)

Otra forma de resolver;

p(el viajero sea arrestado por posesión de narcóticos) = 1 – p(de queentre las tabletas seleccionadas no haya una sola de narcótico)

b) p(no sea arrestado por posesión de narcóticos)

EJEMPLOS 2.14 EN VIDEOS

1)http://www.youtube.com/watch?v=xgVxHHMJbu02)http://www.youtube.com/watch?v=49dTucA-kHU&feature=related3)http://www.youtube.com/watch?v=wfEDEDRmAro&feature=related

V) DISTRIBUCION NORMAL

Variable aleatoria de la distribución normal

58

http://www.youtube.com/watch?v=wfEDEDRmAro&feature=related

http://www.youtube.com/watch?v=49dTucA-kHU&feature=related

http://www.youtube.com/watch?v=xgVxHHMJbu0

TOMO 1 DEL COMPULIBRO ESTADISTICA II DE CIR Una variable aleatoria continua, X, sigue una distribución normal de mediaμ y desviación típica σ, y se designa por N(μ, σ), si se cumplen lassiguientes condiciones:

1. La variable puede tomar cualquier valor: (-∞, +∞)

2. La función de densidad, es la expresión en términos de ecuaciónmatemática de la curva de Gauss:

Curva de la distribución normal

El campo de existencia es cualquier valor real, es decir, (-∞, +∞).

Es simétrica respecto a la media µ.

Tiene un máximo en la media µ.

Crece hasta la media µ y decrece a partir de ella.

En los puntos µ − σ y µ + σ presenta puntos de inflexión.

El eje de abscisas es una asíntota de la curva.

El área del recinto determinado por la función y el eje de abscisas es iguala la unidad.

Al ser simétrica respecto al eje que pasa por x = µ, deja un área igual a0.5 a la izquierda y otra igual a 0.5 a la derecha.

En estadística la distribución normal es una de las distribuciones másusadas e importantes porque se volvió una herramienta indispensable encualquier rama de la ciencia, la industria y el comercio. Muchos eventos

59

TOMO 1 DEL COMPULIBRO ESTADISTICA II DE CIR reales y naturales tienen una distribución de frecuencias cuya forma esmuy parecida a la distribución normal.La distribución normal es llamada también campana de Gauss por suforma acampanada.

PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCIÓN NORMAL

La distribución normal tiene forma de campana. La distribución normal es una distribución de probabilidad que tiene

media = 0 y desviación estándar = 1. El área bajo la curva o la probabilidad desde menos infinito a más

infinito vale 1. La distribución normal es simétrica, es decir cada mitad de curva tiene

un área de 0.5. La escala horizontal de la curva se mide en desviaciones estándar. La forma y la posición de una distribución normal dependen de los

parámetros y , en consecuencia hay un número infinito dedistribuciones normales.

Existe una relación del porcentaje de población a la desviación estándar.En la figura observamos por ejemplo que el área bajo la curva para 1

tiene un porcentaje de 68.26%, 2 = 95.46% y %73.993

60

Y

X

+1s +2s +3s -1s -2s -3s

68.26%

95.46%

99.73%


La población incluye todos los datos, la muestra es una porción de lapoblación.

La distribución normal estándar

El valor de zDetermina el número de desviaciones estándar entre algún valor X y lamedia de la población . Para calcular el valor de Z usamos la siguientefórmula.

X

Z

La distribución de probabilidad f (Z) es una distribución normal con media0 y desviación estándar 1; esto es Z se distribuye normalmente conmedia cero y desviación estándar = 1 Z~N(0,1): La gráfica de densidadde probabilidad se muestra en la figura.

61

Población

x x+s x+2s x+3s x - s x - 2s x - 3s x x+s x+2s x+3s x - s x - 2s x - 3s

X

Muestra

z0 1 2 3-1-2-3

z0 1 2 3-1-2-3 0 1 2 3-1-2-3

x x+ x+2 x+3x-x-2x-3 x x+ x+2 x+3x-x-2x-3

XX

La desviación estándarsigma representa la distancia de la media alpunto de inflexión de la curva normal


La distribución f (Z) se encuentra tabulada en la tabla de distribuciónnormal estándar. En esta tabla podemos determinar los valores de Z o laprobabilidad de determinado valor Z.

EJEMPLO 2.15Siendo el señor Jairo Marín el gerente de personal de una gran compañíade aluminios requiere que los solicitantes a un puesto efectúen ciertaprueba y alcancen una calificación de 500. Si las calificaciones de laprueba se distribuyen normalmente con media 485 y desviaciónestándar 30 ¿Qué porcentaje de los solicitantes pasará la prueba?

Calculando el valor de Z obtenemos:

X

Z=

5.030

485500

Buscamos el valor correspondiente Z en las tabla de distribución normal.Z0.5 = .69146 = 69.146%. siendo esta la probabilidad de que la calificaciónsea menor a 500 P (X<500). Dado que el porcentaje pedido es

)500( XP la solución es 1-.69146 =.3085 , 30.85% de los participantespasarán la prueba.

EJEMPLO 2.16:Encuentre las probabilidades siguientes usando la tabla Z.

62

4 8 5

Z . 0 5

3 0 . 8 5 %

1

0

Z

F(z)

TOMO 1 DEL COMPULIBRO ESTADISTICA II DE CIR a) P(-1.23 < Z > 0)

Solución: Buscamos el valor Z1..23 en las tablas siendo este = .89065.restando .89065-.05 = .3905, este valor es la probabilidad de 0 a 1.23 quees exactamente la misma de –1.23 a 0 por simetría. Por lo tanto laprobabilidad es .3905

EJEMPLO2.17:En un examen de Estadística la calificación media es de 72 y ladesviación típica 15. Determinar en unidades estándar las puntuacionesde los alumnos que obtuvieron 60.

Datos: ẋ= 72 x¡= 60 σ= 15

EJEMPLO 2.18El peso medio de 500 estudiantes de la Uceva es de 151 Lb y ladesviación típica es de 15 Lb y suponiendo que los pesos estánnormalmente distribuidos. Hallar cuantos estudiantes pesan entre 120 y155 Lb.

63

0

Z-1.23


A= 0,4803+0,1026= 0,5829

500 100%

X 58,29%

X= 291 la cantidad de estudiantes que pesan entre 120 y 155 LB es de291.

1. Los que pesan 128Lb exactamente?

64


0,4418

0,4332

A=0,4418-0,4332= 0,0086 0,86%

VI) DISTRIBUCION GEOMETRICA

La distribución geométrica es un modelo adecuado para aquellosprocesos en los que se repiten pruebas hasta la consecución del éxito aresultado deseado y tiene interesantes aplicaciones en los muestreosrealizados de esta manera. También implica la existencia de unadicotomía de posibles resultados y la independencia de las pruebas entresí.

Proceso experimental del que se puede hacer derivar

Esta distribución se puede hacer derivar de un proceso experimental puroo de Bernouilli en el que tengamos las siguientes características

El proceso consta de un número no definido de pruebas o experimentosseparados o separables. El proceso concluirá cuando se obtenga porprimera vez el resultado deseado (éxito).

· Cada prueba puede dar dos resultados mutuamente excluyentes : A y noA

· La probabilidad de obtener un resultado A en cada prueba es p y la deobtener un resultado no A es q siendo (p + q = 1).

65

TOMO 1 DEL COMPULIBRO ESTADISTICA II DE CIR Las probabilidades p y q son constantes en todas las pruebas, por tanto,las pruebas, son independientes (si se trata de un proceso de "extracción"éste se llevará a , cabo con devolución del individuo extraído) .

La distribución geométrica que se ha visto hasta ahora es que si se tirauna moneda (con p = P (cara ) n veces, entonces el numero de sellos sedistribuye como binomial.

Consideramos otro experimento relacionado.

Vamos a seguir tirando la moneda hasta que veamos el primer selloCuantas tiradas necesitamos?

Sea X el número de tiradas. Luego

P (X = 1) = p

P (X = 2) = (1 − p)p

P (X = 3) = (1 − p)2p

.

.

P (X = x) = (1 − p)x-1p

Donde P(x)= qx-1p

La distribución de X se llama la distribución geométrica.

EJEMPLO 2.19

Calcular la probabilidad de que salga el No. 5 a la tercera vez quelanzamos un dado.

Definir éxito: sale No. 5

x = 3

p = 1/6 = 0. 1666

q = (1 - 0.16660) = 0.8333

P(X=3) = (0.8333)2(0.1666) =0.1156

NOTA

OTRA FORMA DE INTERPRETAR LA DISTRIBUCION GEOMETRICA

66

TOMO 1 DEL COMPULIBRO ESTADISTICA II DE CIR En una secuencia de experimentos binarios independientes (A se observacon probabilidad P y deja de observarse con probabilidad 1-P), el númerode réplicas antes de la primera observación de A tiene una distribucióngeométrica o de Pascal, G(P). Para cada número natural r, la función deprobabilidad se define como

r)P1(P)r(f

siendo su función de distribución 1r)P1(1)r(F

La media y varianza de la distribución geométrica son

2P

P1)X(V1

P

1)X(E

Respectivamente.

De hecho, se trata de un caso especial de la distribución binomialnegativa tomando n=1.

Geométrica ( o de fracasos)

EJEMPLO 2.20

Calcular la probabilidad de que salga cara la 6ta ocasión que lanzamosuna moneda.

Definir éxito: salga cara

x = 6

p = 1/2= 0.5

q = 0.5

P(X=6) = (0.5)5(0.5)= 0.0156

VII) LA FUNCION DENSIDAD Y LA FUNCION DISTRIBUCION

FUNCIÓN DE DENSIDAD O LEY DE PROBABILIDAD

Es el conjunto de los valores de la variable aleatoria X y susprobabilidades respectivas f(x) = Pr(X=x).

Para el caso discreto se suele adoptar la forma de representación siguiente :

X X1 X2 X3 XI Xn

F(X) P1 P2 P3 PI Pn

67

TOMO 1 DEL COMPULIBRO ESTADISTICA II DE CIR Ante la equivalencia entre frecuencias relativas y probabilidades, se

verifica que : 11

n

inP

FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN

Del mismo modo que se definían las frecuencias acumuladas,denominamos función de distribución a : F(x) = Pr(X≤x)

MOMENTO ESPERANZA MATEMATICA Y Varianza

1) Momento ordinario k

kn

iK XP .1

2) Momento de orden central K

Ki

n

iik xExP ))((

1

En particular:

Esperanza matemática: Es el momento ordinario de orden 1 ( 1 ) ,

equivalente a la media aritmética.

i

n

iiXPXE

1

1)(

Varianza : Es el momento central de 2º orden

212

22

1

2

12 )())(()(

XEXPXEXPXV i

n

iii

n

iii

Desviación típica : Es la raíz cuadrada de la varianza.

)(XV

EJEMPLO 2.21

Germán segura victoria lanza cuatro monedas, considerando que elnúmero de sellos obtenidas. Calcular, de la variable aleatoria así definida:

a) Ley de probabilidad

b) Función de distribución

68

TOMO 1 DEL COMPULIBRO ESTADISTICA II DE CIR c) Esperanza matemática y varianza

d) Mediana y moda de la distribución

Del mismo modo que se definían las frecuencias acumuladas,denominamos función de distribución a : F(x) = Pr(X≤x)

SOLUCION

Lanzadas cuatro monedas, consideremos el número de sellos obtenidas.Calcular, de la variable aleatoria así definida:

a) Ley de probabilidad o función densidad

b) Función de distribución

c) Esperanza matemática y varianza

d) Mediana y moda de la distribución

Antes de desarrollar el ejercicio primero observemos el espacio muestal

CCCC Se obtienen 0 sellos =1

CCCs CCsC CsCC sCCC Se obtienen 3 caras y 1 sello =4

CCss CsCs CssC sCCs sCsC ssCC Se obtienen 2 caras y 2 sellos=6

Csss sCss ssCs sssC Se obtienen 1 cara y 3 sellos=4

ssss Se obtienen 4 sellos=1

AHORA SI CONTIMUEMOS

a) Ley de probabilidad o función de densidad:

X 0 1 2 3 4f(x)=Pr(X=x) 1/16 4/16 6/16 4/16 1/16

69


b) Función de distribución:

X 0 1 2 3 4f(x)=Pr(X=x) 1/16 4/16 6/16 4/16 1/16

)Pr()( xXxF 1/16 5/16 11/16 15/16 1/16

Donde mas concretamente la funcion F(x) se ecribira asi

41

4316/15

3216/11

2116/5

1016/1

00

)(

xPara

xPara

xPara

xPara

xpara

xpara

xF

c) Para el cálculo de la esperanza matemática y la varianza de una variable aleatoria

discreta, se aconseja construir la siguiente tabla auxiliar

X 0 1 2 3 4 TOTALES

70

TOMO 1 DEL COMPULIBRO ESTADISTICA II DE CIR P 1/16 4/16 6/16 4/16 1/16 1PX 0 4/16 12/16 12/16 4/16 32/16=2PX2 0 4/16 24/16 36/16 16/16 80/16=5

Definida la desviación típica como la raíz cuadrada de la varianza :

D(X) = 1 PORQUE LA DESVIACION DA UNOEXPLICALO QUERIDO AMIGO

Observando la ley de probabilidad o función de densidad, deducimos quela Moda = 2 (al tener X=2 la mayor probabilidad (6/16) )

Observando la función de distribución, deducimos que :

Mediana = 2 (al ser X=2 el valor para el que F(X) (=11/16) primero igualao supera a 0'5)

EJEMPLO 2.22

En la extracción simultánea de tres bolas de una urna que contiene 6bolas Rojas y cuatro verdes, Miguel observa el número de bolas blancasextraídas.

De la variable aleatoria así definida, calcular:

a) L a probabilidad de que las tres sean verdes, 1 roja y dos verdes, , 2rojas y una verde, 3 rojas ,

b) ley de probabilidad

c) Función de distribución

d) Esperanza matemática, varianza y desviación típica.

d) Mediana y moda de la distribución.

SOLUCION

71

TOMO 1 DEL COMPULIBRO ESTADISTICA II DE CIR a) AMIGO LECTOR USTED EN CAPACIDAD DE DESCUBRIR LASRESPUESTAS DADAS LA SUGERENCIADE DE RECORDAR LA

DISTRIBUCION HIPERGEOMETRICA

P(3VERDES)= 3.3%

P(1RY 2VERDES)=30%

P(2RY1V) =50%

P(3R)=16.7%

b) Ley de probabilidad o función de densidad :

X 0 1 2 3PROB 0.033 0.3 0.5 0.167

c) Función de distribución:

31

32833.0

21033.0

10033.0

00

)(

XSI

XSI

XSI

XSI

XSI

XF

d) Esperanza matemática, varianza y desviación típica:

X 0 1 2 3 TOTALESPROB=P 0.033 0.0 0.5 0.167PX 0 0.0 1 0.5 1.8PX2 0 0.3 2 1.5 3.8

POR LO TANTO PODEMOS DEDUCIR QUE

E( X ) = 1. 8 V ( X ) = 3. 8 - 1.8 2 = 0.56 D= 56.0

=0.748

Mediana y Moda:

Observando la función de distribución, deducimos que :

Mediana = 2 (al ser X=2 el valor para el que F(X) (= 0'8333) primeroiguala o supera a 0'5)

Observando la ley de probabilidad o función de densidad, deducimos que:

72

TOMO 1 DEL COMPULIBRO ESTADISTICA II DE CIR Moda = 2 (al tener X=2 la mayor probabilidad (0'5) )

EJEMPLO 2.23

El Dr Lores ha comprobado que el tiempo de vida de cierto tipo demarcapasos sigue una distribución exponencial con media de 16 años.¿Cuál es la probabilidad de que a una persona a la que se le haimplantado este marcapasos se le deba reimplantar otro antes de 20años? Si el marcapasos lleva funcionando correctamente 5 años en unpaciente,

Solución: Sea T la variable aleatoria que mide la duración de unmarcapasos en una persona.

VIII) DISTRIBUCION EXPONENCIAL

Distribución exponencial

La distribución exponencial se dice que es equivalente continuo de ladistribución geométrica discreta. Esta ley de distribución describeprocesos en los que:

Nos interesa saber el tiempo hasta que ocurre determinado evento,sabiendo que,

el tiempo que pueda ocurrir desde cualquier instante dado t, hastaque ello ocurra en un instante tf, no depende del tiempotranscurrido anteriormente en el que no ha pasado nada.

Ejemplos de este tipo de distribuciones son:

El tiempo que tarda una partícula radiactiva en desintegrarse. Elconocimiento de la ley que sigue este evento se utiliza en Cienciapara, por ejemplo, la datación de fósiles o cualquier materiaorgánica mediante la técnica del carbono 14, C14;

El tiempo que puede transcurrir en un servicio de urgencias, para lallegada de un paciente;

En un proceso de Poisson donde se repite sucesivamente unexperimento a intervalos de tiempo iguales, el tiempo quetranscurre entre la ocurrencia de dos sucesos consecutivos sigue

73

20

0

16/20 7135.01)()20( edttfTP

TOMO 1 DEL COMPULIBRO ESTADISTICA II DE CIR un modelo probabilístico exponencial. Por ejemplo, el tiempo quetranscurre entre que sufrimos dos veces una herida importante.

Concretando, si una v.a. continua X distribuida a lo largo de , es talque su función de densidad es

se dice que sigue una distribución exponencial de parámetro

, .

OJO CON EL ANALISIS QUE SIGUE

Figura: Función de densidad, f, de

una .

Un cálculo inmediato nos dice que si x>0,

luego la función de distribución es:

74


Figura: Función de distribución, F, de ,calculada como el área que deja por debajo de sí lafunción de densidad.

Para calcular el valor esperado y la varianza de la distribuciónexponencial, obtenemos en primer lugar la función característica

para después, derivando por primera vez

75


y derivando por segunda vez,

Entonces la varianza vale

ojo 3

IX) DISTRIBUCIÓN UNIFORME

Cuando tenemos una variable aleatoria X se dice que es uniforme en elintervalo [a, b] si su función de densidad es constante dentro de él. Ladistribución uniforme se puede modelizar de algún modo la incertidumbremás completa sobre una variable aleatoria continua lo que hace quetenga bastante importancia en el ámbito computacional, pues es a partirde ella que se pueden realizar simulaciones de cualquier otra variablealeatoria. La función de densidad de la distribución uniforme es

b,axab

1)x(f

)b,a(x

ab

ax)x(F

Su media y varianza son, respectivamente,

2)ab(12

1)x(V

2

ba)x(E

3T OMADO DE http://www.bioestadistica.uma.es/libro/node78.htm

76

http://www.bioestadistica.uma.es/libro/node78.htm

TOMO 1 DEL COMPULIBRO ESTADISTICA II DE CIR La distribución uniforme tiene una característica que es que puede tomarcualquier valor dentro de un intervalo, donde todos ellos tienen la mismaprobabilidad lo que la vuelve en una distribución continua ya que puedetomar cualquier valor y no únicamente un número determinado (comoocurre en las distribuciones discretas).

EJEMPLO 2.24

El precio medio del litro de ACPM durante el próximo año se estima quepuede oscilar entre 9140 y 9160 pesos. Podría ser, por tanto, de 9143pesos., o de 9143,4 pesos., o de 9143,45 pesos., o de 9143,455 pesos,etc. Hay infinitas posibilidades, todas ellas con la misma probabilidad.

Si deseamos obtener la función de densidad, que nos permite conocer laprobabilidad que tiene cada punto del intervalo, viene definida por:

ba

1)x(f

Donde, b: es el extremo superior (en el ejemplo, $9160, y a: es el extremoinferior (en el ejemplo, 9140 pesos). Por lo tanto, la función de distribucióndel ejemplo sería:

05.091409160

1)(

xf

Lo que implica que el valor final esté entre 9140 pesos y 9141 pesostiene un 5% de probabilidad, que esté entre 9141 y 9142, otro 5%, etc.

El valor medio de esta distribución se calcula: (a+b)/2

X)DISTRIBUCION UNIFORME DISCRETA

La distribución uniforme discreta es la que aparece en situaciones comoel lanzamiento de una moneda, de un dado o en la extracción de una bolanumerada de un urna de la lotería. En todos estos casos, si no hay truco,existe equiprobabilidad entre todos los sucesos elementales posibles: dosen el caso de la moneda, seis en el del dado y n en el caso de la urna dela lotería, siendo n el número de bolas. La función de probabilidad vienedada por

)n,...,1(x0)x(f)n,...,1(xn

1)x(f

y la de distribución por

77

TOMO 1 DEL COMPULIBRO ESTADISTICA II DE CIR n,1xn

x)x(F

Donde [x] la parte entera de x. La media y la varianza de esta distribuciónvienen dadas por, respectivamente

12

1n)X(V

2

n1)X(E

2

La función característica es

)ab(it

eedx

ab

1e)t(

itaitbb

a

itxx

Los momentos son

12

)ab()X(V

3

)ab()X(E

2

ab)X(E

232

XI) DISTRIBUCIÓN T STUDENT

En probabilidad y estadística, la distribución t (de Student) es unadistribución de probabilidad que surge del problema de estimar la mediade una población normalmente distribuida cuando el tamaño de lamuestra es pequeño

La distribución t difiere de la de Z en que la varianza de t depende deltamaño de la muestra y siempre es mayor a uno. Unicamente cuando eltamaño de la muestra tiende a infinito las dos distribuciones serán las

mismas Se acostumbra representar con el valor t por arriba del cual

78

TOMO 1 DEL COMPULIBRO ESTADISTICA II DE CIR se encuentra un área igual a . Como la distribución t es simétrica

alrededor de una media de cero, tenemos ; es decir, el

valor t que deja un área de a la derecha y por tanto un área de ala izquierda, es igual al valor t negativo que deja un área de en la coladerecha de la distribución. Esto es, t0.95 = -t0.05, t0.99=-t0.01, etc.

Para encontrar los valores de t se utilizará la tabla de valores críticos de ladistribución t del libro Probabilidad y Estadística para Ingenieros de losautores Walpole, Myers

EJEMPLO

Ejemplo:

Encuentre la probabilidad de –t0.025 < t < t0.05.

Solución:

Como t0.05 deja un área de 0.05 a la derecha, y –t0.025 deja un área de 0.025 a la izquierda, encontramos un área total de 1-0.05-0.025 = 0.925.

P( –t0.025 < t < t0.05) = 0.925

Para encontrar las unidades estándar se aplica

n

sux

t

OTRAS DISTRIBUCIONES

1) DISTRIBUCIÓN DE CAUCHY

La distribución de Cauchy, o de Lorentz, de parámetros a pertenece a losreales y b>0 es de uso frecuente en física para describir el patrón deimpactos de partículas sobre una recta. También es de interés teórico por

79

TOMO 1 DEL COMPULIBRO ESTADISTICA II DE CIR ser una distribución que carece de momentos. Sus funciones de densidady de distribución son

x

b

axarctan

1

2

1)x(F

b)ax(

b)x(f

22 ππ

Como queda dicho más arriba, la distribución de Cauchy no tiene nimedia ni varianza.

EJEMPLO 2.23

Se trata de un modelo continuo cuya función de densidad es:

Cuya integral nos proporciona la función de distribución:

)(arctan

2

1

)1(

1)(

2

xgdt

tXF

X

= POR FAVOR

AMIGO LECTOR COMPROBAR LA IGUALDAD DADA

2) DISTRIBUCIÓN ERLANG

La función de densidad de probabilidad,

f x x x x( ; , )( )

exp( / ),

101

En donde es un entero positivo. La variable aleatoria de Erlang es la

suma de variables independientes distribuidas exponencialmente, endonde cada valor se genera por

x Lnu

1

1

1/

La distribución de erlang es la misma distribución Gamma se ha utilizadofrecuentemente en variables tales como:

80

TOMO 1 DEL COMPULIBRO ESTADISTICA II DE CIR – El tiempo ( ó espacio) requerido para observar ? ocurrencias del eventoA en el intervalo t ( ó región del espacio ), sucesos del tipo Poisson.– Problemas de tráfico en líneas telefónicas, ERLANG, 1900.–Flujos máximos, MARKOVIC, 1965.– Resistencia de componentes del concreto reforzado, TICHY VARLIETK,1965.– Tiempo de falla de un sistema de α componentes, cada uno falla confrecuencia λ.–Ingresos familiares.

– Edad del hombre al contraer matrimonio por primera vez.– Tiempo total para completar una operación, sí ésta se lleva a caboen α subestaciones a una frecuencia λ .

3) DISTRIBUCIÓN DE LAPLACE

La distribución de Laplace de parámetros a pertenece a los reales y b>0se utiliza en ocasiones para modelar errores en observaciones de tiporeal, de forma similar a como se hace con la distribución normal. Lafunción de densidad es

b

xaexp

2

11)x(Fy

b

axexp

2

1)x(F

xb

axexp

b2

1)x(f

Si x es menor o igual, o a es mayor, respectivamente, que a. Su media esE[X]=a y su varianza V[X]=2b2.

4. DISTRIBUCIÓN DE PARETO

La distribución de Pareto de parámetros a>0 y b>0, es tal que algunos desus momentos existen cuando a supera cierta cota. Tiene aplicaciones enlas ciencias medioambientales y en la estadística industrial. Su función dedensidad es

bx0)x(f

bxxab)x(f 1aa

En la que se notará que toma valores no nulos para ),b(x . Lafunción de distribución toma la forma

81


bx0)x(F

bxx

b1)x(F

a

La esperanza y la varianza de la distribución de Pareto son

2asi)1a)(2a(

ab)X(Vy1asi

1a

ab)X(E

2

2

5...DISTRIBUCIÓN LOGÍSTICA

La distribución logística de parámetros a pertenece a los reales y b>0 seha llegado a utilizar como sustituta de la normal, debido a su formaacampanada y de más fácil manejo. Más frecuente es su uso en lamodelización de respuestas aleatorias binarias, como en la regresiónlogística. La función de densidad logística toma la forma

x

b

axexp1

1)x(F

x

b

axexp1b

b

axexp

)x(f

Por último, sus momentos son E(X)=a y 3

πb)X(V

22

6) DISTRIBUCIÓN DE GUMBEL

La distribución de Gumbel, o del valor extremo, de parámetros

0b,a se utiliza en el análisis de la distribución asintótica de losextremos muéstrales, con aplicaciones concretas en la predicción decatástrofes naturales y en el diseño de estructuras de ingeniería civil quevan a estar sometidas a condiciones climatológicas extremas. Su funciónde densidad es

82


xb

xaexpexp)X(F

xb

xaexp

b

xaexp

a

1)x(f

donde es la constante de Euler - Mascheroni, cuyo valor esaproximadamente 0.5772156649... Finalmente, la media y la varianza deesta distribución viene dada por la expresión

6

πb)X(Vyγba)X(E

22

7)DISTRIBUCIÓN DE RAYLEIGH

La distribución de Rayleigh de parámetro a > 0, es un caso particular de lade Weibull, estando su uso muy extendido en el contexto del análisis dedatos censurados. La función de densidad es

0x0)X(F

0xe1)X(F

0x0)x(f

0xxea2)x(f

22

22

xa

xa2

La media y la varianza de esta distribución son, respectivamente,

4

π1

a

1b)X(Vy

a2

π)X(E

2

8) DISTRIBUCIÓN DE WEIBULL

La variable aleatoria X tiene distribución de Weibull de parámetros a > 0 yb > 0 si su función de densidad es

0xeb

x

b

a)x(f

ab/x1a

La función de distribución, o de probabilidad acumulada, es

83


0xe1xXP)x(Fa)b/x(

Igual que en el caso de la distribución exponencial, la de Weibull se sueleutilizar como modelo paramétrico en problemas de análisis desupervivencia. En este ámbito, es de interés la probabilidad de que sepresente el fallo o muerte después de transcurrido un tiempo x; de ahí quese defina la función de supervivencia

0e)x(F1xXP)x(Sa)b/x(

Por último, la esperanza y la varianza de esta distribución son,respectivamente,

1

a

1Γ1

a

2Γb)X(Vy1

a

1bΓ)X(E 2

donde siendo dxex)P(

0

x1P

Γla función gamma de Euler con

P>0.

9) DISTRIBUCIÓN BETA

La distribución beta de parámetros a y b, ambos estrictamente positivos,tiene como soporte el intervalo (0,1), por lo que suele utilizarse en lamodelización de datos que se encuentren dentro de este rango. Lafunción de densidad es

)1,0(x)x1(x)b,a(

1)x(f 1b1a

β

y la de distribución

1x1)x(F

)1,0(xdu)u1(u)b,a(

1)X(F

0x,0)x(F1bx

0

1a

β

Siendo la función Beta de Euler. La media y la varianza de estadistribución son, respectivamente,

84


)1ba()ba(

ab)X(Vy

ba

a)X(E

2

ESTIMADO LECTOR QUE BUENO SERIA QUE INVESTIGARAS SOBREEJEMPLOS Y APLICACIONES DE CADA UNA DE LAS PTRASDISTRIBUCIONES

EJERCICIOS DE REPASO CAPITULO II

1) La media de los pesos de 500 estudiantes de un colegio es 70 kg y ladesviación típica 3 kg. Suponiendo que los pesos se distribuyennormalmente, hallar cuántos estudiantes pesan:

a) Entre 60 kg y 75 kg. R/476 b) Más de 90 kg. R/0 c) Menos de64 kg. R/11

2) Cuál es la probabilidad de obtener 6 caras al lanzar una moneda 10veces? R/20.5%

3) ¿Cuál es la probabilidad de obtener cuatro veces el número 3 allanzar un dado ocho veces? R/2.6%

4) La probabilidad de tener un accidente de tráfico el profesor Carlos Ivánes de 0,02 cada vez que viaja a Cali, si realiza 300 viajes a Cali, durante5 años ¿Cuál es la probabilidad de tener 3 accidentes? R/8.9%

5) La probabilidad de que un niño del físico Leonardo Campo nazcapelirrojo es de 0,012. ¿Cuál es la probabilidad de que entre 800 reciénnacidos haya 5 pelirrojos. R/4.6%

6) En una bolsa hay 7 bolas blancas y 5 negras. Se sacan 4 bolas ¿Cuáles la probabilidad de que 3 sean blancas? R/65.4%

7) En un evento familiar hay 20 personas: 14 casadas y 6 solteras. Seeligen 3 personas al azar ¿Cuál es la probabilidad de que las 3 seansolteras? R/1.75%

8) A unas elecciones se presentaron 2 partidos políticos: Los X queobtuvieron el 70% de los votos y Z el 30% restante. ¿Cuál es la

85

TOMO 1 DEL COMPULIBRO ESTADISTICA II DE CIR probabilidad de que al elegir 5 ciudadanos al azar, 4 de ellos hayanvotado por Z?

9) A unas elecciones se presentaron 4 partidos políticos: : La U queobtuvo un 40% de los votos, Los progresistas el 30%, el polo 20% y elconservador 10% restante. ¿Cuál es la probabilidad de que al elegir 5ciudadanos al azar, 3 hayan votado al por la U, 1 por progresista y 1 porel polo?

10) En un evento internacional, el 20% de los asistentes son españoles, el30% franceses, el 40% italiano y el 10% portugueses. En un pequeñogrupo se han reunido 4 invitados: ¿cuál es la probabilidad de que 2 seanespañoles y 2 italianos? R/3.84%

11) En una caja hay 7 bolas blancas, 3 verdes y 4 amarillas: ¿cuál es laprobabilidad de que al extraer 3 bolas sea cada una de un color distinto ?R/ 23.07%

12) Se lanza al aire una moneda cargada 8 veces, de tal manera que laprobabilidad de que aparezca cara es de 2/3, mientras que la probabilidadde que aparezca sello es de 1/3, Determine la probabilidad de que en elúltimo lanzamiento aparezca cara R/.0.0003048

13) Se supone que los resultados de un examen realizados Hugo Oroscosiguen una distribución normal con media 78 y desviación típica36. Sepide ¿Cuál es la probabilidad de que una persona que se presenta elexamen obtenga una calificación superior a 72? R/56.36%

14) Haciendo uso de la tabla que proporciona áreas a la izquierda decada valor z de la distribución normal tipificada, calcular lasprobabilidades (áreas) siguientes:

a) Pr(z<1'35) R/ 91.14% b) Pr(z<-0'338) R/ 36.69% c) Pr(z>2'1) R/1-78%

d) Pr(z>-1) R/ 84.13% e) Pr(-1'39<z≤-0'44) R/24.77%

f)Pr(-1'52≤z≤0'897)R/75.16%

14) Varios test de inteligencia realizados por Lucy Aponte dieron unapuntuación que sigue una ley normal con media 100 y desviación típica15.. Determinar el porcentaje de población que obtendría un coeficienteentre 95 y 110.R/37.8%

15) El ingeniero William Bolaños al visitar una empresa que haceproductos en línea Supone que la probabilidad de tener una unidad

86

TOMO 1 DEL COMPULIBRO ESTADISTICA II DE CIR defectuosa en una línea de ensamblaje es de 0.05. Si el conjunto deunidades terminadas constituye un conjunto de ensayos independientes:

a) Cuál es la probabilidad de que entre diez unidades dos se encuentrendefectuosas? R/ 4,76%

b).y de que a lo sumo dos se encuentren defectuosas? R/ 99.84%

c) ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos una se encuentredefectuosa? R/ 40.13%

7) Sí la probabilidad de que un cierto dispositivo de medición muestreuna desviación excesiva es de 0.05, ¿cuál es la probabilidad de que; a) elsexto de estos dispositivos de medición sometidos a prueba sea elprimero en mostrar una desviación excesiva? R/ 3.9% b) El séptimo deestos dispositivos de medición sometidos a prueba, sea el primero que nomuestre una desviación excesiva? R/0.0000000148

8) El nivel de colesterol en una persona adulta sana sigue una distribuciónnormal N(192, 12). Calcula la probabilidad de que una persona adultasana tenga un nivel de colesterol:

a) Superior a 200 unidades. R/25.14%

b) Entre 180 y 220 unidades. R/ 83.14%

9) Considerando que en la urna hay un total de 10 objetos, 3 de los cualesson defectuosos, si de seleccionan 4 objetos al azar, ¿cuál es laprobabilidad de que 2 sean defectuosos? R/ 30%

10) El Profesor Alejandro Londoño observa que en su salón hay 8alumnos de ojos cafés, 9 de ojos azules, 7 de ojos negros, y 10 de ojosverdes; si extraemos 6 alumnos, calcular la probabilidad de que esteúltimo tenga los ojos claros/0.9341%

11) Sólo 24 de los 200 alumnos de la Institución Moderna miden menosde 150 cm. Si la estatura media de dichos alumnos es de 164 cm., ¿ cuáles su varianza ?R/141.96

12) Juan Guillermo Valderrama lanza un par de dados y define la variablealeatoria X como la suma de las puntuaciones obtenidas. Hallar la funciónde probabilidad, la esperanza matemática y la desviación R/ 7desviación=2.415

87

TOMO 1 DEL COMPULIBRO ESTADISTICA II DE CIR 13) En Tulua cada tres familias posee teléfono fijo. Si se eligen al azar90 familias, calcular la probabilidad de que entre ellas haya por lo menos30 tengan teléfono fijo R//50%

14) Un tren de carga traen en un vagón de ferrocarril a 60 reses donde el20% de ellas están enfermas de vaca loca, si extraemos con propósito deinspección sanitaria una muestra del 10% de las reses ¿calcula laprobabilidad de que hayan 2 vacas con dicha enfermedad? R/25.65%

15) Guillermo Mondragón lanza un dado corriente. Si sale número primo,gana tantos cientos de euros como marca el dado, pero si no sale númeroprimo, pierde tantos cientos de euros como marca el dado. Determinar lafunción de probabilidad y la esperanza matemática del juego. R/ E=16.667

16) Sea X una variable aleatoria discreta cuya función de probabilidad es:

X p i

0 0,1

1 0,2

2 0,1

3 0,4

4 0,1

5 0,1

1. Calcular, representar gráficamente la función de distribución.

2. Calcular las siguientes probabilidades:

a) p (X < 4.5) R/90%b) p (X ≥ 3) R/60%c) p (3 ≤ X < 4.5) R/50%

17) Para ingresar a la Uceva en medicina se realiza un examentipo test de 200 preguntas de elección múltiple, cada pregunta tiene unarespuesta correcta y una incorrecta. Se aprueba si se contesta a más de

88

TOMO 1 DEL COMPULIBRO ESTADISTICA II DE CIR 110 respuestas correctas. Suponiendo que se contesta al azar, calcular laprobabilidad de aprobar el examen.R/ 7.9%

18) De 60 aspirantes a la Uceva a ingeniería industr ial 40 sonDE Tulua, si seleccionamos 20 aspirantes al azar ¿calcular laprobabil idad de que 10 sean de Tuluà ?

19) El gran maestro Efraín Vásquez lanza dos monedas. Gana 1 ó2 € si aparecen dos caras o una. Por otra parte pierde 5 € si no aparececara. Determinar la esperanza matemática del juego y si éste esfavorable. R/−1/4. Es desfavorable

20) El maestro internacional Luis Fernando Plazas lanza una monedacuatro veces. Calcular la probabilidad de que salgan más caras que sellosR/31.25%

21)) En la sala de juego Matecho se realiza la extracción simultánea detres bolas de una urna que contiene 6 bolas Rojas y cuatro negras,observamos el número de bolas blancas extraídas.

De la variable aleatoria así definida, calcular:

a) ley de probabilidad R/ Ley de probabilidad o función de densidad :

X 0 1 2 3Prob 0.033 0.3 0.5 0.167

b) función de distribución R/

31

32833.0

21333.0

10033.0

00

)(

xsi

xsi

xsi

xsi

xsi

xF

c) Esperanza matemática, varianza y desviación típica. E=1.8 V(x)=0.56D=0.748

d) Mediana y moda de la distribución.R/ Mediana = 2 Moda =2

22) Complete la ley de probabilidad siguiente, sabiendo que su esperanza matemática es

igual a 1.8:

X 0 1 2 3Prob 0.2 M N 0.3

Hallar los valores de m yn R/ m=0.1 y n= 0.4

23) Calcular la esperanza matemática, varianza, y la desviación de lavariable aleatoria que tiene como función de distribución:

89


81

8685.0

6455.0

422.0

20

)(

xsi

xsi

xsi

xsi

xsi

xF

R/ E(x)= 4.8 V(x)= 3.76 D=1.93

24) Si Victoria Duque plantea un proyecto para una sala de juegos,donde el proyecto consiste en lanzar dos dados y sumando los puntosobtenidos, los premios que ofrece el juego son los siguientes:

- Devolución de lo apostado: si la suma es inferior a 4 o superior a 10.

- Doble de lo apostado: si se obtiene 5 o 9.

- Cuatro veces lo apostado: si la suma de puntos es 7

- Pierde lo apostado Si la suma es mayor o igual a 4 y menor o igual a 10

Indicar a través de un análisis si el proyecto dado por victoria esfavorable o no para la sala de juegos

R/ No es favorable para la sala de juegos

25) Las puntuaciones de un examen para ingresar a la Usaca sedistribuyen normalmente con media 15 puntos. La puntuación A ha sidosuperada por un 23% de los alumnos. La puntuación B está situada a 5puntos diferenciales por debajo de la media. Entre B y la media seencuentra el 30% de los alumnos. Calcular:

a) La desviación típica de las notas. R/ 5.95

b) Las puntuaciones directas de A y B. A=20.21 y B=10

c) El porcentaje de alumnos entre A y B. R/57%

26) Un agente de seguros de la ciudad de Tulua vende pólizas a cincopersonas de la misma edad y que disfrutan de buena salud. Según lastablas actuales, la probabilidad de que una persona en estas condicionesviva 30 años o más es 2/3. Hállese la probabilidad de que, transcurridos30 años, vivan:

a) Las cinco personas R/13.2%

b) Al menos tres personas R/ 79.1%

c) Exactamente dos personas. R/ 16.4%

27) El maestro Julio Arroyabe calculó que el promedio de enfriamiento detodas las neveras de Tulua para una línea de cierta compañía, empleanuna temperatura de -4°C con una desviación típica de 1.2°C.

90

TOMO 1 DEL COMPULIBRO ESTADISTICA II DE CIR a. ¿Cuál es la probabilidad de que una nevera salga con una temperaturasuperior a -3°C? R/20.33%

b. ¿Cuál es la probabilidad de que una nevera salga con una temperaturamenor a - 5.5°C? R/ 10.56%

28) Si de 31 productos comprado por Fanny Romero para una anchetanavideña, determinar cuál es la probabilidad de que 20 de los productoscomprados por Fanny salgan defectuosos, si el 50% de los productosnormalmente sale defectuoso/3.97%

29) Se calcula que en la ciudad de Tulua el 20% de las personas tienendefecto de la vista si tomamos una muestra de 50 personas al azar¿Calcular la probabilidad de que 10 de ellos tengan defecto en la vista .R/12.51%

30) Un estudio realizado por el ingeniero Oscar Duque ha mostradoque, en un cierto barrio de Tulua el 60% de los hogares tienen al menosdos televisores Se elige al azar una muestra de 50 hogares en el citadobarrio. Se pide:

a. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 20 de los citados hogarestengan cuando menos dos televisores? R/ 99.81%

b. ¿Cuál es la probabilidad de que entre 35 y 40 hogares tengan cuandomenos dos televisores? R/ 7.16%

31) Un agente de seguros de Tulua Colombia vende pólizas a cincopersonas de la misma edad y que disfrutan de buena salud. Según lastablas actuales, la probabilidad de que una persona en estas condicionesviva 30 años o más es 2/3. Hállese la probabilidad de que, transcurridos30 años, vivan: a) Las cinco personas R/13.2% b) Al menos trespersonas. R/79.1% c) Exactamente dos personas R/16.4%

32) La tipografía Franciscos dirigida por francisco senen coloradoencontró que el 8% de sus impresiones presentan algún problema, paraello contrata un ingeniero industrial el cual toma una muestra de 40Impresiones ¿ Calcular probabilidad de que existan 5 impresiones conproblemas ?R/11.4%

33) El dueño de un criadero de árboles está especializado en laproducción de árboles de Navidad. Estos crecen en filas de 300. Se sabeque por término medio 6 árboles no son aptos para su venta. Asume quela cantidad de árboles aptos para la venta por fila plantada sigue unadistribución de Poisson.

91

TOMO 1 DEL COMPULIBRO ESTADISTICA II DE CIR a) Calcula la probabilidad de encontrar 2 árboles no vendibles en una filade árboles. R/4.46%

b) Calcula la probabilidad de encontrar 2 árboles no vendibles en mediafila de árboles. R/22.40%

34) En un estudio realizado por Héctor García de una pila X encontró quela vida media de operación de una pila de linterna es de 24 horas y estádistribuida normalmente con una desviación de 3 horas. ¿Cuál es laprobabilidad de que una muestra aleatoria de 100 pilas tenga una mediaque se desvíe por más de 30 minutos del promedio? R/4.85%

35) Una máquina para acuñar monedas es diseñada por el físicoLeonardo Campo toma 36 observaciones donde el espesor promedio delas monedas es de 0.20 c m y una desviación de 0.01 c m. ¿Cuál es laprobabilidad de que el promedio del espesor de las 36 monedas superelos 0.21 c m? R/ 0%

36) La densidad de cierta característica química de algunos compuestosviene dada por la función siguiente:

3.10

3.18.072.0

8.002

00

)(

xsi

xsi

xsix

xsi

xf

Calcular:

1. los tres primeros momentos ordinarios; los cuales son

E(x) =b

a

dxxfx )(. R/ 0.7193

E(x2) R/0.6092 E(x3) R/ 0.5714

2. Varianza;

Recordar que V(x)=E(x2)-- 2)(xE

37) En Vaiju un sitio turístico de Tulua hay 30 pericos rusos y 20 pericoschinos si extraemos 10 pericos al azar calcular posibilidad de que 3 deellos hablen chino R/22.6%

38) El maestro Carlos Gil construye una maquina que detecta fallas en losproductos que elabora una fabrica. Si los productos tienen unaprobabilidad de falla del 5%, calcular la probabilidad de que la maquinaencuentre su primer producto defectuoso en la octava ocasión queselecciona un producto para su inspección. R/3.49%

92

TOMO 1 DEL COMPULIBRO ESTADISTICA II DE CIR 39 En Tulua se estima que la temperatura máxima en el mes de juniosigue una distribución normal, con media 23° y desviación típica 5°.Calcular el número de días del mes en los que se espera alcanzarmáximas entre 21° y 27°R/ 13

40) El entrenador MILLER MEDINA de un equipo de baloncesto opina quelos jugadores A, B y C tienen similares aptitudes para ser titulares delequipo en la posición de base. Así, determina que jueguen el mismonúmero de minutos cada partido. Se sabe que el 40% de las canastas sonde C, mientras que A y B consiguen un 30% de encestes. Calcular laprobabilidad de que en un partido con 9 encestes de dos puntos, Aconsiguiera dos, B tres y C cuatro. R/ Multinomial

41) En el curso dirigido por el maestro Julio García de los 20 hombres y18 mujeres del salón el 50% réprobo el examen de estadística, sitomamos 10 alumnos al azar probabilidad. A) 4 alumnos reprobadosR/22.24% B) 3 mujeres reprobadas R/22.73%

42) Una empresa electrónica observa que el número de componentes quefallan antes de cumplir 100 horas de funcionamiento es una variablealeatoria de Poisson. Si el número promedio de estos fallos es ocho,

1. ¿Cuál es la probabilidad de que falle un componente en 25horas/27.06%

2. ¿y de que fallen no más de dos componentes en 50 horas? R/23.81%

3. ¿Cuál es la probabilidad de que fallen por lo menos diez en 125horas/41.7%

43) Para la siguiente situación, indica si sigue una distribución binomial.En caso afirmativo, identifica en ella los valores de n y p si la situaciónplantea que lanzamos cien veces un dado y nos preguntamos por elnúmero de unos que obtenemos. R/ : R/ si y n=100 y p=1/6

44) De un curso de mercadeo dirigido por Rodrigo Herrera el 60% de losalumnos son hombres, calcular probabilidad de extraer el 1er hombre a lacuarta ocasión que extraemos un alumno/3.84%

45) El ingeniero William Buitrago crea unos focos solares y afirma quesus focos durará un promedio de 500 horas de trabajo. Para conservareste promedio esta persona verifica 25 focos cada mes. Si el valor ycalculado cae entre –t 0.05 y t 0.05, él se encuentra satisfecho con estaafirmación. ¿Qué conclusión deberá él sacar de una muestra de 25 focoscuya duración fue?:

93

TOMO 1 DEL COMPULIBRO ESTADISTICA II DE CIR 500 521 511 513 510513 522 500 521 495496 488 500 502 512510 475 510 506 503505 521 500 493 520

R/ Se puede concluir que la media poblacional no es 500, porque lamuestra poblacional está por encima de esta, y por lo tanto debería estarpor encima de 500.

46). El matemático Héctor Mario Mosquera Supone que la probabilidad detener una unidad defectuosa en una línea de ensamblaje es de 0.05. Si elconjunto de unidades terminadas constituye un conjunto de ensayosindependientes:

1. ¿Cuál es la probabilidad de que entre diez unidades dos se encuentrendefectuosas? R/4.76%

2. ¿y de que a lo sumo dos se encuentren defectuosas? 99.84%

3. ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos una se encuentredefectuosa?40.13%

47) Lanzamos 5 veces una moneda no trucada es decir sesgada, ¿Cuáles la probabilidad de que obtengamos exactamente 2 caras?

48) En un juego de parques la probabilidad de ganar un chico es decirganar el juego es 0,8. Calcula la probabilidad de que un jugador quejuega 10 chicos las gane todas y la probabilidad de que gane al menos 8.

49) El Dr Milko Ferrer trae de la costa pantalones donde El 7% de lospantalones de una determinada marca le salen con algún defecto. Seempaquetan en caja 80 para distribuirlos a sus grandes amigos. ¿Cuál esla probabilidad de que en la caja haya más de 10 pantalones defectuososR/1.58%

50) Respondemos al azar a un test de 8 preguntas, cada una de lascuales tiene 4 opciones (solo una de ellas es verdadera). Para aprobarnecesitamos contestar correctamente al menos a 6 de ellas. ¿Cuál es laprobabilidad de aprobar?. ¿Y la probabilidad de fallar las 8?.

51) El maestro Carlos Quintero lanza 5 chinches y observa que elnúmero de ellas que caen con la punta hacia arriba. Al repetir laexperiencia 350 veces obtenemos:

94


nº de puntas hacia arriba 0 1 2 3 4 5

nº de veces en los 350lanzamientos

60 133 101 45 10 1

¿Ajustan los resultados a una distribución Binomial? ¿Cuál sería el valorde p en caso afirmativo?

52) La última novela García Márquez el autor ha tenido un gran éxito,hasta el punto de que el 80% de los lectores ya la han leído. Un grupo de4 amigos son aficionados a la lectura:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que en el grupo hayan leido la novela 2personas? 15,36%

b) ¿Y al menos 2? R/18,08%

53) Supongamos que la duración en minutos de las llamadas telefónicassigue una distribución dada por la función

022

1)(33

xtodoparaee

xF

xx

Calcular la probabilidad de que la

duración de una llamada cualquiera sea superior a 6 minutos R/ e-2

54) Si el maestro Orlando Flavio Millán tiene la información de que solo el3% de los alumnos de filosofía son muy inteligentes ¿Calcular laprobabilidad de que si Orlando toma 100 alumnos al azar 5 de ellos seanmuy inteligentes R/10.1%

55) La probabilidad de que Bernardo Tovar acierte en el blanco es 1/4.Si dispara 10 veces ¿cuál es la probabilidad de que acierte exactamenteen tres ocasiones? ¿Cuál es la probabilidad de que acierte por lo menosen una ocasión?

56) En las doble calzada Tulua- Buga en un reten de la policía se hizo spruebas de alcoholemia se ha observado que el 5% de los conductorescontrolados dan positivo en la prueba y que el 10% de los conductorescontrolados no llevan aprovechado el cinturón de seguridad. También seha observado que las dos infracciones son independientes. Un guardia detráfico para cinco conductores al azar. Si tenemos en cuenta que elnúmero de conductores es suficientemente importante como para estimarque la proporción de infractores no varía al hacer la selección.

95

TOMO 1 DEL COMPULIBRO ESTADISTICA II DE CIR A). Determinar la probabilidad a de que exactamente tres conductoreshayan cometido alguna de las dos infracciones/2.23%

B) Determine la probabilidad de que al menos uno de los conductorescontrolados haya cometido alguna de las dos infracciones/5.43%

57) Si el ingeniero Carlos Alberto Buitrago decide vender tv de marca Xcuya producción de televisores trae asociada una probabilidad de defectodel 2%, si se toma un lote o muestra de 85 televisores, obtener laprobabilidad de que existan 4 televisores con defectos R/6.35%

58) Si de 12am a 1 pm se admite que un número de teléfono de cadacinco está comunicando, ¿cuál es la probabilidad de que, cuando semarquen 10 números de teléfono elegidos al azar, sólo comuniquen dos?R/30.20%

59) Al centro turístico VAIJU trae en una jaula con 100 pericos 15 de elloshablan ruso calcular la probabilidad de que si tomamos 20 pericos al azar3 de ellos hablen ruso/22.40%

60) El laboratorio Ángel afirma que una droga causa de efectossecundarios en una proporción de 3 de cada 100 pacientes. Paracontrastar esta afirmación, otro laboratorio elige al azar a 5 pacientes alos que aplica la droga. ¿Cuál es la probabilidad de los siguientessucesos?

A) Ningún paciente tenga efectos secundarios/85.87%

B) Al menos dos tengan efectos secundarios/0,847%

C) Cuál es el número medio de pacientes que espera laboratorio quesufran efectos secundarios si elige 100 pacientes al azar? R/3

61) El Dr Saúl García Mendieta comprobó que el tiempo de vida decierto tipo de marcapasos sigue una distribución exponencial con mediade 16 años. a) ¿Cuál es la probabilidad de que a una persona a la que sele ha implantado este marcapasos se le deba reimplantar otro antes de 20años? R/71.35% b) Si el marcapasos lleva funcionando correctamente 5años en un paciente, ¿cuál es la probabilidad de que haya que cambiarloantes de 25 años? R/52.20%

62) Se sabe que el 7% de los útiles quirúrgicos en un lote de 100 nocumplen ciertas especificaciones de calidad. Tomada una muestra al azarde 10 unidades sin reemplazo, interesa conocer la probabilidad de que nomás de dos sean defectuosos. R/98%

96

TOMO 1 DEL COMPULIBRO ESTADISTICA II DE CIR 63) La probabilidad de que cierto examen médico dé lugar a una reacción“positiva” es igual a 0,8, ¿cuál es la probabilidad de que ocurran menosde 5 reacciones “negativas” antes de la primera positiva? R /99.97%

64) Se lanza dos monedas, construir una función distribucióndeterminando

Dada la función densidad:

0 si x<0

f(x)= 2X si 0≤x≤1

1 si x>1

Encontrar F(x):

65) Un sujeto responde al azar un examen de 5 preguntas, cada una con5 alternativas.

a) Obtener ρ. R/ ρ=0.2 b) Obtener E (X1) y σ2x R/ E (X1) = 0.2 y σ2

x

=0.16 c) Obtener E (X), 2x , E (P) y σ2

p R/ E (X)= 1 2x =0.8 , E (P)= 0.2

y σ2p=0.023 d) Obtener P (X ≤ 3) 98.75%

66) Encuentre el valor de k tal que P(k < t < -1.761) = 0.045, para unamuestra aleatoria de tamaño 15 que se selecciona de una distribuciónnormal. R/K= -2.977 Lolo que significa P(-2.977 < t < -1.761) = 0.045

67) El químico Diego Giraldo de la Institución Moderna afirma que elrendimiento medio de la población de cierto proceso en lotes es 500gramos por milímetro de materia prima. Para verificar esta afirmacióntoma una muestra de 25 lotes cada mes. Si el valor de t calculado caeentre –t0.05 y t0.05, queda satisfecho con su afirmación. ¿Qué conclusiónextraería de una muestra que tiene una media de 518 gramos pormilímetro y una desviación estándar de 40 gramos? Suponga que ladistribución de rendimientos es aproximadamente normal R/ Si se deseaobtener la probabilidad de obtener un valor de t con 24 grados de libertadigual o mayor a 2.25 se busca en la tabla y es aproximadamente de 0.02.De aquí que es probable que el fabricante concluya que el procesoproduce un mejor producto del que piensa.

68) En estudio realizado por el Dr RODRIGO BEVERRA sobre lamovilidad en Tulua encontró que 16 recorridos realizados de prueba unahora cada uno por la buseta se encontró que, el consumo de gasolina de

97

TOMO 1 DEL COMPULIBRO ESTADISTICA II DE CIR un motor es de 16.4 gal, con una desviación estándar de 2.1 gal.Demuestre que la afirmación que el consumo promedio de gasolina deeste motor es 12.0 gal/hora R/ Para el cual en las tablas, el valor det=8.38 corresponde un α=5% y 15 gl es insignificante, y por tanto sepuede concluir que el consumo de 12 gal/h es real

AYUDA SOLUCION DE ALGUNOS PROBLEMAS ESTAN ENhttp://www.vitutor.net/1/54.html

CAPITULO III

ERROR MUESTRAL

Cualquier medida conlleva algún error. Si se usa la media para medir,estimar, la media poblacional m, entonces la media muestral, comomedida, conlleva algún error. Por ejemplo, supongamos que se haobtenido una muestra aleatoria de tamaño 20 de una población con mediam = 10: si la media de la muestra es x=8, entonces a la diferenciaobservada x-μ = -2 se le denomina el error muestral. Una media muestralx puede pensarse como la suma de dos cantidades, la media poblacionalm y el error muestral; si e denota el error muestral, entonces: X = μ + e

EJEMPLO 3.1

Se toman muestras de tamaño 2 de una población consistente en tresvalores, 2,4 y 6, para simular una población “grande” de manera que elmuestreo pueda realizarse un gran número de veces, supondremos queéste se hace con reemplazo, es decir, el número elegido se reemplazaantes de seleccionar el siguiente, además, se seleccionan muestrasordenadas. En una muestra ordenada, el orden en que se seleccionan lasobservaciones es importante, por tanto, la muestra ordenada (2,4) esdistinta de la muestra ordenada (4,2). En la muestra (4,2), se seleccionóprimero 4 y después 2. La siguiente tabla contiene una lista de todas lasmuestras ordenadas de tamaño 2 que es posible seleccionar conreemplazo y también contiene las medias muestrales y loscorrespondientes errores muestrales. La media poblacional es igual a

98

http://www.vitutor.net/1/54.html

TOMO 1 DEL COMPULIBRO ESTADISTICA II DE CIR μ = (2+4+6)/3 = 4. Ver la tabla

La media de la colección de medias muestrales es 4, la media de lapoblación de la que se extraen las muestras. Si μx denota la media detodas las medias muestrales entonces tenemos:

μx = (2+3+4+4+5+6+5+4+3)/9 = 4

La suma de los errores muestrales es cero.

e1 + e2 + e3 + . . . + e9 = (-2) + (-1) + 0 + (-1) + 0 + 1 + 0 + 1 + 2 = 0

MUESTRAS ORDENADAS X e=x-μ

(2,2) 2 2 – 4 = -2

(2,4) 3 3 – 4 = -1

(2,6) 4 4 – 4 = 0

(4,2) 3 3 – 4 = -1

(4,4) 4 4 – 4 = 0

(4,6) 5 5 – 4 = 1

(6,2) 4 4 – 4 = 0

(6,4) 5 5 – 4 = 1

(6,6) 6 6 – 4 = 2

En consecuencia, si x se usa para medir, estimar, la media poblacionalμ, el promedio de todos los errores muestrales es cero.

ESTIMACION

Estimación de parámetros

Es el procedimiento utilizado para conocer las características de unparámetro poblacional, a partir del conocimiento de la muestra.

Con una muestra aleatoria, de tamaño n, podemos efectuar unaestimación de un valor de un parámetro de la población; pero tambiénnecesitamos precisar un:

Intervalo de confianza

99

TOMO 1 DEL COMPULIBRO ESTADISTICA II DE CIR Se llama así a un intervalo en el que sabemos que está un parámetro, conun nivel de confianza específico.

Nivel de confianza

Probabilidad de que el parámetro a estimar se encuentre en el intervalode confianza.

Estimación puntual y por intervalo

Las medias o desviaciones estándar calculadas de una muestra sedenominan ESTADÍSTICOS, podrían ser consideradas como un puntoestimado de la media y desviación estándar real de población o de losPARAMETROS.

¿Qué pasa si no deseamos una estimación puntual como media basadaen una muestra, qué otra cosa podríamos obtener como margen, algúntipo de error? R/ generaríamos “Un Intervalo de Confianza”

ESTIMADOR PUNTUAL: Utiliza un número único o valor para localizaruna estimación del parámetro.

ESTIMADOR POR INTERVALO DE CONFIANZA: Denota un rangodentro del cual se puede encontrar el parámetro y el nivel de confianzaque el intervalo contiene al parámetro.

LIMITES DE CONFIANZA: Son los límites del intervalo de confianzainferior (LIC) y superior (LSC), se determinan sumando y restando a la

media de la muestra X un cierto número Z (dependiendo del nivel o

coeficiente de confianza) de errores estándar de la media X .

INTERPRETACIÓN DEL INTERVALO DE CONFIANZA: Tener un 95% deconfianza en que la media poblacional real y desconocida se encuentraentre los valores LIC y LSC.

100

P(Z>= + Zexcel ) = alfa/2P(Z<= - Zexcel ) = alfa/2

Intervalo de confianza donde se encuentra el parámetro con un NC =1-


NIVEL DE SIGNIFICANCIA = 1- INTERVALO DE CONFIANZA = ERRORTIPO 1 = ALFA

Error de estimación admisible

Que estará relacionado con el radio del intervalo de confianza.

Estimación de la media de una población

El intervalo de confianza, para la media de una población, con un nivel deconfianza de 1 − α , siendo x la media de una muestra de tamaño n y σ ladesviación típica de la población, es:

El error máximo de estimación es:

Cuanto mayor sea el tamaño de la muestra, n, menor es el error.

Cuanto mayor sea el nivel de confianza, 1-α, mayor es el error.

EJEMPLO 3.1

El tiempo que tardan las cajeras de un supermercado en cobrar a losclientes sigue una ley normal con media desconocida y desviación típica0,5 minutos. Para una muestra aleatoria de 25 clientes se obtuvo untiempo medio de 5,2 minutos.

1. Calcula el intervalo de confianza al nivel del 95% para el tiempo medioque se tarda en cobrar a los clientes.

101


2. Indica el tamaño muestral necesario para estimar dicho tiempo mediocon un el error de ± 0,5 minutos y un nivel de confianza del 95%.

n ≥ 4

ESTIMACIÓN DE UNA PROPORCIÓN

Si en una población, una determinada característica se presenta en unaproporción p, la proporción p’, de individuos con dicha característica enlas muestras de tamaño n, se distribuirán según:

Intervalo de confianza para una proporción

El error máximo de estimación es:

OTRAS FORMULAS

areadeladprobabilidlaaa

ZZP

2

1)(

2

2IS LL

E

Cuando 30n la proporción de la muestra es una variable aleatoria que

se aproxima a una distribución normal );(

n

pqpN

EJEMPLO 3.2

102

TOMO 1 DEL COMPULIBRO ESTADISTICA II DE CIR El ingeniero Misael Hernández al visitar una fábrica de componenteselectrónicos, encontró que la proporción de componentes finalesdefectuosos era del 20%. Tras una serie de operaciones e inversionesdestinadas a mejorar el rendimiento se analizó una muestra aleatoria de500 componentes, encontrándose que 90 de ellos eran defectuosos.¿Qué nivel de confianza debe adoptarse para aceptar que el rendimientono ha sufrido variaciones?

p = 0.2 q = 1 - p =0.8 p'= 90/ 500 = 0.18

E = 0.2 - 0.18 = 0.02

P (1 - zα/2 <1.12) = 0.86861 - 0.8686 = 0.1314

0.8686 - 0.1314 = 0.737

Nivel de confianza: 73.72%

El error máximo de estimación esta dado por:

E= zα/2. Donde “n” es el tamaño de la muestra

EJEMPLO: 3.3

Se desea estimar la emisión promedio diaria en toneladas de óxido desulfuro emitidos por una planta industrial para este fin disponemos de losdatos siguientes que se constituyen en una muestra aleatoria de la plantade óxido de sulfuro en 40 días.

17 15 20 29 19 18 22 25 27 9

24 20 17 6 24 14 15 23 24 26

19 23 28 19 16 22 24 17 20 13

103

TOMO 1 DEL COMPULIBRO ESTADISTICA II DE CIR 19 10 23 18 31 13 20 17 24 14

a) Encontrar los intervalos por la prueba de sturges y hallar la media porcalculadora y por datos agrupados obtenidos.b) Que podemos decir con la probabilidad del 0,95 acerca del tamañomáximo de nuestro error.

SOLUCION

- K= 1+3,3Log40= 6,286= 6Ri= 31-6= 25

Ci=

Cn= 5Rn=(5)(6)= 30Dr= 30-25= 5A=5-1= 4Sesgo= 6-2= 4 y 31+2= 33

Intervalos Ni X´ Nix´4-8 1 6 69-13 4 11 4414-18 11 16 17619-23 13 21 27324-28 9 26 23429-33 2 31 62∑ 40 - 797

Promedio en la calculadora= 19,6

Promedio a mano=

a) E=

E= (0,475)(0,8717)

E= (1,96)(0,8717)

E= 1,71

El tamaño máximo de error es del 1,71 en toneladas de óxido de sulfurocon un nivel de confianza de 95%

104

TOMO 1 DEL COMPULIBRO ESTADISTICA II DE CIR INTERVALO DE CONFIANZA

Objetivo: es que al analizar una muestra, este debe caer en el intervalo,si no cae la muestra tomada no es significativa. El intervalo de confianzaesta dado por:

Ẋ-E≤ u ≤ + E

EJEMPLO: 3.4

Construya un intervalo de confianza del 95%con respecto a la emisióndiaria en promedio real de óxido de sulfuro de la planta.

DATOS: ẋ= 19,6 E=1,71

19,6 -1,71≤ U ≤ 19,6+ 1,71

17,89≤ U≤ 21,31

INTERVALO DE CONFIANZA DE UNA PROPORCIÓN

Proporción es una fracción, razón o porcentaje que indica la parte de lamuestra de la población que posee un rasgo de interés particular. Laproporción muestral viene dada por: p= x/n

Recordemos que π es el porcentaje de éxito en la distribución binomial y“p” es similar al concepto de π.

El intervalo de confianza para la proporción de una población es:

n

ppzp

)1(

En este caso, interesa construir un intervalo de confianza para unaproporción o un porcentaje poblacional (por ejemplo, el porcentaje depersonas con hipertensión, fumadoras, etc.)

Si el tamaño muestral n es grande, el Teorema Central del Límite nosasegura que:

O bien:

105


Donde p es el porcentaje de personas con la característica de interés en la población (o sea, es el parámetro de interés) y p es su estimador muestral.

Luego, procediendo en forma análoga al caso de la media, podemos construir un intervalo de 95% de confianza para la proporción poblacional p.

EJEMPLO 3.5

En un estudio de prevalencia de factores de riesgo en una cohorte de 412mujeres mayores de 15 años en el centro del valle, se encontró que el17.6% eran hipertensas. Un intervalo de 95% de confianza para laproporción de mujeres hipertensas del centro del valle está dado por:

Luego, la proporción de hipertensas varía entre (0,139 , 0,212) con unaconfianza de 95%

LONGITUD DEL INTERVALO DE CONFIANZA

Para responder a la pregunta se puede razonar diciendo que, fijos todoslos parámetros menos la longitud del intervalo, si se quiere mayor certezano queda más remedio que ampliar el intervalo, es decir, aumentar sulongitud. La manera rigurosa de justificar esto es recurriendo a la fórmula

del intervalo, que nos dice que su longitud es n

ZL

2

2

Ahora, si σ y n permanecen fijos, para estudiar cómo varía L al cambiar αbasta ver cómo varía el cuantil. Al intervalo del 95% le correspondería:

• α = (100-95)/100 = 0,05 → α disminuye

• Ahora la cantidad z

α/ 2 debe dejar menos área (probabilidad) a su derecha → zα/ 2aumenta. Por tanto, de la expresión anterior se ve que L aumenta.

MUESTREO

106

TOMO 1 DEL COMPULIBRO ESTADISTICA II DE CIR Antes de entrar al mundo de aplicaciones resaltaremos algunos deaspectos generales de un cuestionario pues son muy pocos libros queabarcan una teoría con respecto al modo de preguntar

A la hora de formular un cuestionario o encuesta como desarrollo de unainvestigación en el área social y, a manera de ejemplo se debe tener encuenta:

1. Tener en cuenta cuál es el objetivo de una investigación y delimitar suscaracterísticas dentro de un determinado contexto.2. Desarrollar el cuestionario de manera clara, concisa y concreta.3. Verificar que tipo de población se escogerá para la realización delcuestionario o encuesta

LA ENCUESTAEsta herramienta es la más utilizada en la investigación de ciencias y esel medio principal para allegarse información de tal que el sujetoencuestado plasme por sí mismo las respuestas en el papel.Es importantísimo que el investigador sólo proporcione la informaciónindispensable, la mínima para que sean comprendidas las preguntas. Másinformación, o información innecesaria, puede derivar en respuestas noveraces.De igual manera, al diseñar la encuesta y elaborar el cuestionario hay quetomar en cuenta los recursos (tanto humanos como materiales) de los quese disponen, tanto para la recopilación como para la lectura de lainformación, para así lograr un diseño funcionalmente eficaz.Según M. García Ferrando, "prácticamente todo fenómeno social puedeser estudiado a través de las encuestas", y podemos considerar lassiguientes cuatro razones para sustentar ésto:1. Las encuestas son una de las escasas técnicas de que se dispone parael estudio de las actitudes, valores, creencias y motivos.2. Las técnicas de encuesta se adaptan a todo tipo de información y acualquier población.3. Las encuestas permiten recuperar información sobre sucesosacontecidos a los entrevistados.4. Las encuestas permiten estandarizar los datos para un análisisposterior, obteniendo gran cantidad de datos a un precio bajo y en unperíodo de tiempo corto.

TIPOS DE ENCUESTAS Según Cadoche y sus colaboradores, las encuestas se pueden clasificaratendiendo al ámbito que abarcan, a la forma de obtener los datos y alcontenido, de la siguiente manera:

107

TOMO 1 DEL COMPULIBRO ESTADISTICA II DE CIR Encuestas exhaustivas y parciales: Se denomina exhaustiva cuandoabarca a todas las unidades estadísticas que componen el colectivo,universo, población o conjunto estudiado. Cuando una encuesta no esexhaustiva, se denomina parcial.Encuestas directas e indirectas: Una encuesta es directa cuando launidad estadística se observa a través de la investigación propuestaregistrándose en el cuestionario. Será indirecta cuando los datosobtenidos no corresponden al objetivo principal de la encuestapretendiendo averiguar algo distinto o bien son deducidos de losresultados de anteriores investigaciones estadísticas.Encuestas sobre hechos y encuestas de opinión: Las encuestas deopinión tienen por objetivo averiguar lo que el público en general piensaacerca de una determinada materia o lo que considera debe hacerse enuna circunstancia concreta. Se realizan con un procedimiento demuestreo y son aplicadas a una parte de la población ya que una de susventajas es la enorme rapidez con que se obtienen sus resultados.No obstante, las encuestas de opinión no indican necesariamente lo queel público piensa del tema, sino lo que pensaría si le planteásemos unapregunta a ese respecto, ya que hay personas que no tienen una opiniónformada sobre lo que se les pregunta y contestan con lo que dicen losperiódicos y las revistas.A veces las personas encuestadas tienen más de una respuesta a unamisma pregunta dependiendo del marco en que se le haga la encuesta ypor consecuencia las respuestas que se dan no tienen por qué sersinceras.Las encuestas sobre hechos se realizan sobre acontecimientos yaocurridos, hechos materiales.

TIPOS DE PREGUNTAComo los cuestionarios están formados por preguntas, consideremos lascaracterísticas que deben reunir, puesdeben excluyentes y exhaustivas, lo que se refiere a que una preguntano produzca dos respuestas y, simultáneamente, tenga respuesta. (Acada pregunta le corresponde una y sólo una respuesta.)Por otro lado, una manera de clasificar a las preguntas es por la forma desu respuesta:Preguntas cerradas: que consiste en proporcionar al sujeto observadouna serie de opciones para que escoja una como respuesta. Tienen laventaja de que pueden ser procesadas más fácilmente y su codificaciónse facilita; pero también tienen la desventaja de que si están maldiseñadas las opciones, el sujeto encuestado no encontrará la opción queél desearía y la información se viciaría. Una forma de evitar esto esrealizar primero un estudio piloto y así obtener las posibles opciones paralas respuestas de una manera más confiable.

108

TOMO 1 DEL COMPULIBRO ESTADISTICA II DE CIR También se consideran cerradas las preguntas que contienen una listade preferencias u ordenación de opciones, que consiste enproporcionar una lista de opciones al encuestado y éste las ordenará deacuerdo a sus interes, gustos, etcéteraPreguntas abiertas: que consisten en dejar totalmente libre al sujetoobservado para expresarse, según convenga. Tiene la ventaja deproporcionar una mayor riqueza en las respuestas; mas, por lo mismo,puede llegar a complicar el proceso de tratamiento y codificación de lainformación. Una posible manera de manipular las preguntas abiertas esllevando a cabo un proceso de categorización, el cual consiste enestudiar el total de respuestas abiertas obtenidas y clasificarlas encategorías de tal forma que respuestas semejantes entre sí queden en lamisma categoría.Preguntas de identificación: edad, sexo, profesión, nacionalidad,etcétera. Preguntas de hecho: referidas a acontecimientos concretos. Porejemplo: ¿terminó la educación básica?Preguntas de acción: referidas a actividades de los encuestados. Porejemplo: ¿ha tomado algún curso de capacitación?Preguntas de información: para conocer los conocimientos delencuestado. Por ejemplo: ¿sabe qué es un hipertexto?Preguntas de intención: para conocer la intención del encuestado. Porejemplo: ¿utilizará algún programa de computación para su próximaclase?i) Preguntas de opinión: para conocer la opinión del encuestado.Por ejemplo: ¿qué carrera cursarás después del bachillerato?Preguntas filtro: son aquéllas que se realizan previamente a otras paraeliminar a los que no les afecte. Por ejemplo: ¿Tiene usted coche?¿Piensa comprarse uno?Preguntas trampa o de control: son las que su utilizan para descubrir laintención con que se responde. Para ello se incluyen preguntas endiversos puntos del cuestionario que parecen independientes entre sí,pero en realidad buscan determinar la intencionalidad del encuestado alforzarlo a que las conteste coherentemente (ambas y por separado) en elcaso de que sea honesto, pues de lo contrario «caería» encontradicciones.Preguntas de introducción o rompehielos: utilizadas para comenzar elcuestionario o para enlazar un tema con otro.Preguntas muelle, colchón o amortiguadoras: son preguntas sobretemas peligrosos o inconvenientes, formuladas suavemente.Preguntas en batería: conjunto de preguntas encadenadas unas conotras complementándose.Preguntas embudo: se empieza por cuestiones generales hasta llegar alos puntos más esenciales.

REGLAS FUNDAMENTALES PARA LA ELABORACION DE UNCUESTIONARIO

109

TOMO 1 DEL COMPULIBRO ESTADISTICA II DE CIR Para la realización de un cuestionario eficaz y útil, Cadoche y su equipoproponen 17 reglas fundamentales para su elaboración:1Las preguntas han de ser pocas (no más de 30).2. Las preguntas preferentemente cerradas y numéricas.3. Redactar las preguntas con lenguaje sencillo4. Formular las preguntas de forma concreta y precisa.5. Evitar utilizar palabras abstractas y ambiguas.6. Formular las preguntas de forma neutral.7. En las preguntas abiertas no dar ninguna opción alternativa.8. No hacer preguntas que obliguen a esfuerzos de memoria.9. No hacer preguntas que obliguen a consultar archivos.10. No hacer preguntas que obliguen a cálculos numéricos complicados.11. No hacer preguntas indiscretas.12. Redactar las preguntas de forma personal y directa.13. Redactar las preguntas para que se contesten de forma directa einequívoca.14. Que no levanten prejuicios en los encuestados.15. Redactar las preguntas limitadas a una sola idea o referencia.16. Evitar preguntas condicionantes que conlleven una carga emocionalgrande.17. Evitar estimular una respuesta condicionada. Es el caso de preguntasque presentan varias respuestas alternativas y una de ellas va unida a unobjetivo tan altruista que difícilmente puede uno negarse. LA ENTREVISTA

La entrevista es muy utilizada también en investigación social, y suscaracterísticas son similares a las del cuestionario, siendo la principaldiferencia el hecho de que es el encuestador u observador quien anotalas respuestas a las preguntas conlleva a tener una mayor habilidad porparte del encuestador u observador en conducir el tema de la entrevista,debido a que las respuestas son por lo general abiertas y permitenimplementar nuevas preguntas no contempladas por el encuestadorinicialmente. Las recomendaciones en general y las referentes al tipo de preguntasutilizadas, son las mismas que las realizadas para el caso delcuestionario, aunque se le añade el uso de una grabadora (de audio o devídeo) para la posterior transcripción de los diálogos. 4

TIPOS DE MUESTREOEn el estudio de muestreo existen diferentes criterios de clasificación delos tipos de muestreo, pero por lo general pueden dividirse en dosgrandes grupos: métodos de muestreo probabilísticos y métodos demuestreo no probabilísticos.

4 http://www.rrppnet.com.ar/comohacerunaencuesta.htm

110

http://www.rrppnet.com.ar/comohacerunaencuesta.htm

TOMO 1 DEL COMPULIBRO ESTADISTICA II DE CIR I. MUESTREO PROBABILÍSTICO En estadística las técnicas o métodos de muestreo probabilísticos sonaquellos que se basan en el principio de equiprobabilidad donde todoslos individuos tienen la misma probabilidad de ser elegidos para formarparte de una muestra y, por lo tanto , todas las posibles muestras detamaño n tienen la misma probabilidad de ser seleccionadas. La ventajade los de métodos de muestreo probabilísticos nos aseguran larepresentatividad de la muestra extraída y son, por tanto, los másrecomendables. Y los encontramos de varios tipos:

2. MUESTREO ALEATORIO SIMPLE

El muestreo aleatorio simple se caracteriza por obtener una muestra,donde se numeran los elementos de la población y se seleccionan al azarlos n elementos que contiene la muestra.VENTAJAS Sencillo y de fácil comprensión. Cálculo rápido de medias y varianzas. Se basa en la teoría estadística, y por tanto existen paquetes informáticospara analizar los datosDESVENTAJASRequiere que se posea de antemano un listado completo de toda lapoblación. Cuando se trabaja con muestras pequeñas es posible que no representea la población adecuadamente

EJEMPLO3.6La facultad de ingeniería Industrial tiene 120 alumnos y se quiere extraeruna muestra de 30 alumnos. Explica cómo se obtiene la muestra:SOLUCION-Se enumeran los alumnos del 1 al 120.-Se sortean 30 números de entre los 120.-La muestra estará formada por los 30 alumnos a los que lescorrespondan los números obtenidos.

3. MUESTREO ALEATORIO SIN REPOSICIÓNLos elementos no son devueltos a la población. Sólo pueden apareceruna vez en la muestra y el número de muestras posibles se obtiene así

)!(

!, nN

NV nN

EJEMPLO

111

TOMO 1 DEL COMPULIBRO ESTADISTICA II DE CIR POBLACION PERSONA EDADA 1B 2C 3 DETERMINAR

a) μb) 2

c) El numero de muestras posibles si n=2d) COMPLETE EL SIGUIENTE CUADRO CON EL NUMERO DE

MUESTRAS OBTENIDAS EN EL PUNTO ANTERIORMUESTRA X1 X2 X S2 PROB1 1 2

SOLUCION

a) 23

321

b) 67.023

321 2222

2

c) 6!1

!32,3 V

d) CUADRO DE MUESTRAS SIN REPOSICION MUESTRA X1 X2 X S2 PROB1 1 2 1.5 0.25 1/62 1 3 2 1 1/63 2 1 1,5 0,25 1/64 2 3 2.5 0.25 1/65 3 1 2 1 1/66 3 2 2.5 0.25 1/6

ESTIMADO LECTOR VERIFICAR LOS DATOS OBTENIDOS EN ELCUADRO ANTERIOR 4. MUESTREO ALEATORIO CON REPOSICIÓNLos elementos son devueltos a la población. Pueden aparecer más deuna vez en la muestra. Muestreo aleatorio simple (muestreo aleatorio) Se puede calcular el

número de muestras posibles: nnN NV

112


En nuestro ejemplo anterior construya el cuadro con reposición para N=3y n=2MUESTREO ALEATORIO EN POBLACIÓN INFINITA• Se asume que la población tiene infinitos elementos. • El número de posibles muestras es infinito. • Muestreo aleatorio simple: 1. Con reposición. 2. En población infinita.5. MUESTREO ALEATORIO SISTEMÁTICO

Si se elige un individuo al azar y a partir de él, a intervalos constantes,se eligen los demás hasta completar la muestra.EJEMPLO 3.7Por ejemplo si tenemos una población formada por 100 elementos yqueremos extraer una muestra de 25 elementos, en primer lugar debemosestablecer el intervalo de selección que será igual a 100/25 = 4. Acontinuación elegimos el elemento de arranque, tomando aleatoriamenteun número entre el 1 y el 4, y a partir de él obtenemos los restanteselementos de la muestra.2, 6, 10, 14,..., 98VENTAJASDefine un intervalo k= N/nFácil de aplicar.

No siempre es necesario tener un listado de toda la población.

Cuando la población está ordenada siguiendo una tendencia conocida,asegura una cobertura de unidades de todos los tipos.

DESVENTAJAS

Si la constante de muestreo está asociada con el fenómeno de interés, lasestimaciones obtenidas a partir de la muestra pueden contener sesgo deselección

6.MUESTREO ALEATORIO ESTRATIFICADO

Se divide la población en clases o estratos y se escoge, aleatoriamente,un número de individuos de cada estrato proporcional al número decomponentes de cada estrato.

113

TOMO 1 DEL COMPULIBRO ESTADISTICA II DE CIR Un muestreo puede hacerse con o sin reposición, y la población departida puede ser infinita o finita.

En todo nuestro estudio vamos a limitarnos a una población departida infinita o a muestreo con reposición.Si consideremos todas las posibles muestras de tamaño n en unapoblación, para cada muestra podemos calcular un estadístico (media,desviación típica, proporción, ...) que variará de una a otra. Asíobtenemos una distribución del estadístico que se llama distribuciónmuestral.

VENTAJASTiende a asegurar que la muestra represente adecuadamente a lapoblación en función de unas variables seleccionadas. Se obtienen estimaciones más precisaSu objetivo es conseguir una muestra lo más semejante posible a lapoblación en lo que a la o las variables estratificadoras se refiere.DESVENTAJASSe ha de conocer la distribución en la población de las variables utilizadaspara la estratificaciónEJEMPLO 3.8

En una fábrica harinera que consta de 600 trabajadores queremos tomaruna muestra de 20. Sabemos que hay 200 trabajadores en la sección A,150 en la B, 150 en la C y 100 en la D. Cuantos trabajadores hay eb cadasesccion

COMPRUEBA QUE HAY5 TRABAJADORES EN LA SECCION B Y 5 EN C Y 3 EN D

7. MUESTREO POR CONGLOMERADO

El muestreo por conglomerados consiste en seleccionar aleatoriamenteun cierto número de conglomerados (el necesario para alcanzar el tamaño

114

TOMO 1 DEL COMPULIBRO ESTADISTICA II DE CIR muestral establecido) y en investigar después todos los elementospertenecientes a los conglomerados elegidos.Los métodos presentados hasta ahora están pensados para seleccionardirectamente los elementos de la población, es decir, que las unidadesmuéstrales son los elementos de la población. En el muestreo por conglomerados la unidad muestral es un grupo deelementos de la población que forman una unidad, a la que llamamosconglomerado. Las unidades hospitalarias, los departamentosuniversitarios, una caja de determinado producto, etc., sonconglomerados naturales. En otras ocasiones se pueden utilizarconglomerados no naturales como, por ejemplo, las urnas electorales.Cuando los conglomerados son áreas geográficas suele hablarse de"muestreo por áreas". En el campo de la investigación educativa, es frecuente obtener muestrasde alumnos, profesores, etc. Recurriendo a conglomerados tales comoaulas, centro, localidades. Usando este procedimiento evitamos ladispersión de unidades a la que nos conduciría un muestreo aleatoriosimple, y se reducirían los costes y el tiempo de un posible trabajo derecogida de datos.VENTAJASEs muy eficiente cuando la población es muy grande y dispersa. No es preciso tener un listado de toda la población, sólo de las unidadesprimarias de muestreo.DESVENTAJASEl error estándar es mayor que en el muestreo aleatorio simple oestratificado. El cálculo del error estándar es complejo

II. MÉTODOS DE MUESTREO NO PROBABILÍSTICOS A veces, para estudios exploratorios, el muestreo probabilístico resultaexcesivamente costoso y se acude a métodos no probabilísticos, aunsiendo conscientes de que no sirven para realizar generalizaciones(estimaciones inferenciales sobre la población), pues no se tiene certezade que la muestra extraída sea representativa, ya que no todos lossujetos de la población tienen la misma probabilidad de ser elegidos. En general se seleccionan a lossujetos siguiendo determinados criterios procurando, en la medida de loposible, que la muestra sea representativa. En algunas circunstancias los métodos estadísticos y epidemiológicospermiten resolver los problemas de representatividad aun en situacionesde muestreo no probabilístico, por ejemplo los estudios de caso-control,donde los casos no son seleccionados aleatoriamente de la población.

115

TOMO 1 DEL COMPULIBRO ESTADISTICA II DE CIR Entre los métodos de muestreo no probabilísticos más utilizados eninvestigación encontramos:1.- MUESTREO POR CUOTAS: También denominado en ocasiones "accidental". Se asienta generalmentesobre la base de un buen conocimiento de los estratos de la población y/ode los individuos más "representativos" o "adecuados" para los fines de lainvestigación. Mantiene, por tanto, semejanzas con el muestreo aleatorioestratificado, pero no tiene el carácter de aleatoriedad de aquél. En este tipo de muestreo se fijan unas "cuotas" que consisten en unnúmero de individuos que reúnen unas determinadas condiciones, porejemplo: 20 individuos de 25 a 40 años, de sexo femenino y residentes enTulua. Una vez determinada la cuota se eligen los primeros que seencuentren que cumplan esas características. Este método se utilizamucho en las encuestas de opinión.

2.- MUESTREO INTENCIONAL O DE CONVENIENCIA: Este tipo de muestreo se caracteriza por un esfuerzo deliberado deobtener muestras "representativas" mediante la inclusión en la muestra degrupos supuestamente típicos. Es muy frecuente su utilización ensondeos preelectorales de zonas que en anteriores votaciones hanmarcado tendencias de voto. También puede ser que el investigador seleccione directa eintencionadamente los individuos de la población. El caso más frecuentede este procedimiento el utilizar como muestra los individuos a los que setiene fácil acceso (los profesores de universidad emplean con muchafrecuencia a sus propios alumnos)

3.- BOLA DE NIEVE: Se localiza a algunos individuos, los cuales conducen a otros, y estos aotros, y así hasta conseguir una muestra suficiente. Este tipo se empleamuy frecuentemente cuando se hacen estudios con poblaciones"marginales", delincuentes, sectas, determinados tipos de enfermos, etc.

TAMAÑO DE MUESTRA

1) TAMAÑO DE MUESTRA PARA ESTIMAR LA MEDIA DE LAPOBLACIÓN

Para determinar el tamaño de muestra y estimar la media de lapoblación es necesario emplear el muestreo aleatorio simple. Paraello es necesario partir de dos supuestos: en primer lugar el nivel deconfianza al que queremos trabajar; en segundo lugar, cual es el error

116

TOMO 1 DEL COMPULIBRO ESTADISTICA II DE CIR máximo que estamos dispuestos a admitir en nuestra estimación. Asípues los pasos a seguir son:

1.- Obtener el tamaño muestral imaginando que :

Donde:

: z correspondiente al nivel de confianza elegido

: varianza poblacional

e: error máximo

NOTA: En el Tamaño de la muestra

Si aumentamos el nivel de confianza, aumenta el tamaño de lamuestra.

Si disminuimos el error, tenemos que aumentar el tamaño de lamuestra.

2.- Comprobar si se cumple

si esta condición se cumple el proceso termina aquí, y ese es eltamaño adecuado que debemos muestrear.

Si no se cumple, pasamos a una tercera fase: 3.- Obtener el tamaño de la muestra según la siguiente fórmula:

Veamos un ejemplo: El ministerio de trabajo en Colombia planea unestudio con el interés de conocer el promedio de horas semanalestrabajadas por las mujeres del servicio doméstico. La muestra será

117

TOMO 1 DEL COMPULIBRO ESTADISTICA II DE CIR extraída de una población de 10000 mujeres que figuran en losregistros de la Seguridad Social y de las cuales se conoce a través deun estudio piloto que su varianza es de 9.648. Trabajando con un nivelde confianza de 0.95 y estando dispuestos a admitir un error máximode 0,1, ¿cuál debe ser el tamaño muestral que empleemos?.

Buscamos en las tablas de la curva normal el valor de que

corresponde con el nivel de confianza elegido: = ±1.96 yseguimos los pasos propuestos arriba.

1.-

2.- Comprobamos que no se cumple , pues eneste caso

10000 < 3706 (3706 - 1); 10000 < 13730730

3.-

2) TAMAÑO DE MUESTRA PARA ESTIMAR LA PROPORCIÓN DE LAPOBLACIÓN

Para calcular el tamaño de muestra para la estimación deproporciones poblacionales hemos de tener en cuenta los mismosfactores que en el caso de la media. La fórmula que nos permitirádeterminar el tamaño muestral es la siguiente:

donde

: z correspondiente al nivel de confianza elegido P: proporción de una categoría de la variable

118

TOMO 1 DEL COMPULIBRO ESTADISTICA II DE CIR e: error máximo N: tamaño de la población

Siguiendo con el estudio planteado en el punto anterior, supongamosque tratamos de estimar la proporción de mujeres que trabajandiariamente 10 horas o más. De un estudio piloto se dedujo queP=0.30, fijamos el nivel de confianza en 0.95 y el error máximo 0.02.

OTRAS FORMAS DE TOMAR TAMAÑO DE MUESTRAEXPLICADOS EN INTERNET

http://www.youtube.com/watch?v=Y0XLJnGbFQs

3) CÁLCULO DEL TAMAÑO DE LA MUESTRA DE BASEEl tamaño adecuado de la muestra para una encuesta relativa a lapoblación está determinado en gran medida por tres factores: a)prevalencia estimada de la variable considerada b) nivel deseado defiabilidad; y c) margen de error aceptable y para ello vamos a presentardos fórmulas

a) Siendo la primera la que se aplica en el caso de que no se conozcacon precisión el tamaño de la población, y es:

2

2

2 *

E

QPZn

Lo que indica que el tamaño de la muestra para un diseño de encuestabasado en una muestra aleatoria simple, puede calcularse fórmulaanterior donde ::n = tamaño de la muestra requerido

2

Z = nivel de fiabilidad de 95% (valor estándar de 1,96)

p = prevalencia estimada en la zona del proyectoE = margen de error de 5% (valor estándar de 0,05)

EjemploEn el proyecto del Dr Patarroyo con respecto la vacuna contra la malariaen todo el pacifico colombiano, se ha calculado que cerca del 30% (0,3)de los niños de la zona del proyecto padecen de malaria. Este dato sebasa en estadísticas nacionales sobre malaria en las zonas rurales.

119

http://www.youtube.com/watch?v=Y0XLJnGbFQs

TOMO 1 DEL COMPULIBRO ESTADISTICA II DE CIR Utilizando los valores estándar indicados encontrar el tamaño de muestraideal para aplicar la vacuna:Cálculo:

SOLUCION

3235.0

)3.01(*3.096.12

2

n

b) La segunda formula se aplica en el caso de que sí se conozca el tamaño de la población entonces se aplica la siguiente fórmula:

donde

n es el tamaño de la muestra;Z es el nivel de confianza;p es la variabilidad positiva;q es la variabilidad negativa;N es el tamaño de la población;E es la precisión o el error.

La ventaja sobre la primera fórmula es que al conocer exactamente eltamaño de la población, el tamaño de la muestra resulta con mayorprecisión y se pueden incluso ahorrarse recursos y tiempo para laaplicación y desarrollo de una investigación.

EJEMPLO 3.9

En LA INSTITUCION EDUCATIVA MODERNA DE TULUA se desearealizar una investigación sobre los alumnos inscritos en los sextos , paralo cual se aplicará un cuestionario de manera aleatoria a una muestra,pues los recursos económicos y el tiempo para procesar la informaciónresultaría insuficiente en el caso de aplicársele a la población estudiantilcompleta.

En primera instancia, suponiendo que no se conoce el tamaño exacto dela población, pero con la seguridad de que ésta se encuentra cerca a losdiez millares, se aplicará la primera fórmula.

Se considerará una confianza del 95%, un porcentaje de error del 5% y lamáxima variabilidad por no existir antecedentes en la institución sobre lainvestigación y porque no se puede aplicar una prueba previa.

120

TOMO 1 DEL COMPULIBRO ESTADISTICA II DE CIR Primero habrá que obtener el valor de Z de tal forma que la confianza seadel 95%, es decir, buscar un valor de Z tal que P(-Z<z<Z)=0.95. Donde albuscar en la tabla nos arroja un resultado de Z=1.96.y por no tenerantecedente se supone un P=0.5

De esta manera se realiza la sustitución y se obtiene:

Esto quiere decir que el tamaño de la muestra es de 385 alumnos.

Supongamos ahora que sí se conoce el tamaño de la población estudiantily es de 9,408, entonces se aplicará la segunda fórmula. Utilizando losmismos parámetros la sustitución queda como:

Con lo que se tiene una cota mínima de 370 alumnos para la muestra yasí poder realizar la investigación sin más costo del necesario, pero con laseguridad de que las condiciones aceptadas para la generalización(confiabilidad, variabilidad y error) se mantienen.

DISTRIBUCIONES MUESTRALES La distribución de frecuencia de unestadístico muestral se denomina distribución muestral. En general, ladistribución muestral de un estadístico es la de todos sus valoresposibles calculados a partir de muestras del mismo tamaño.

Suponga que se han seleccionado muestras aleatorias de tamaño 20 enuna población grande. Se calcula la madia muestral x para cada muestra;la colección de todas estas medias muestrales recibe el nombre dedistribución muestral de medias, lo que se puede ilustrar en la siguientefigura:

121


EJEMPLO 3.7

Se eligen muestras ordenadas de tamaño 2, con reemplazo, de lapoblación de valores 0, 2, 4 y 6. Encuentre:

a) μ, la media poblacional

34

6420

b) σ, la desviación estándar poblacional.

Verificar que σ=2.2336

c) μx la media de la distribución muestral de medias.

A continuación se listan los elementos de la distribución muestral de lamedia y la correspondiente distribución de frecuencias.

Muestra media

(0,0) 0

(0,2) 1

(0,4) 2

(0,6) 3

122

TOMO 1 DEL COMPULIBRO ESTADISTICA II DE CIR (2,0) 1

(2,2) 2

(2,4) 3

(2,6) 4

(4,0) 2

(4,2) 3

(4,4) 4

(4,6) 5

(6,0) 3

(6,2) 4

(6,4) 5

(6,6) 6

Distribución de frecuencias de la media

X f

0 1

1 2

2 3

3 4

4 3

5 2

6 1

La media de la distribución muestral de medias es:

316

1*62*53*44*33*22*11*0

n

xfx d) σx, la desviación

estándar de la distribución muestral de medias.

123


n

x xx

COMPROBAR QUE ALAPLICAR LA FORMULA ANTERIOR

58.1X

Y QUE ESTE VALOR TAMBIEN SE PUEDE CALCULAR POR

nX

Como para cualquier variable aleatoria, la dsitribución muestral de mediastiene una media o valor esperado, una varianza y una desviaciónestándar, se puede demostrar que la distribución muestral de mediastiene una media igual a la media poblacional. Esto es: μx = E(x) = μ = 3

TEOREMA DEL LÍMITE CENTRAL

Si se seleccionan muestras aleatorias de n observaciones de unapoblación con media m y desviación estándar s, entonces, cuando n esgrande, la distribución muestral de medias tendrá aproximadamente unadistribución normal con unamedia igual a m y una desviación estándar de

n

. La aproximación será cada vez más exacta a medida de que n sea

cada vez mayor.

124

TOMO 1 DEL COMPULIBRO ESTADISTICA II DE CIR EJEMPLO 3.10

Para la distribución muestral de medias del ejercicio anterior, encuentre:

a) El error muestral de cada media

En la tabla siguiente se ven las muestras, las medias de las muestras ylos errores muestrales:

Muestra media Error muestral, e=x-m

(0,0) 0 0 - 3 = -3

(0,2) 1 1 - 3 = -2

(0,4) 2 2 - 3 = -1

(0,6) 3 3 – 3 = 0

(2,0) 1 1 – 3 = -2

(2,2) 2 2 – 3 = -1

(2,4) 3 3 – 3 = 0

(2,6) 4 4 – 3 = 1

(4,0) 2 2 – 3 = -1

(4,2) 3 3 – 3 = 0

(4,4) 4 4 – 3 = 1

(4,6) 5 5 – 3 = 2

(6,0) 3 3 – 3 = 0

(6,2) 4 4 – 3 = 1

(6,4) 5 5 – 3 = 2

(6,6) 6 6 – 3 = 3

Verifique que

125

TOMO 1 DEL COMPULIBRO ESTADISTICA II DE CIR a) La media de los errores muestrales es cero

b) La desviación estándar de la distribución de los errores muestrales

está dada por

N

fe ee

2

, y su resultado es 1.58

La desviación estándar de la distribución muestral de un estadístico seconoce como error estándar del estadístico. Para el ejercicio anterior el

error estándar de la media denotado por x , es 1.58. Con esto se puede

demostrar que si de una población se eligen muestras de tamaño n conreemplazo, entonces el error estándar de la media es igual a la desviaciónestándar de la distribución de los errores muestrales.

En general se tiene: ex

Cuando las muestras se toman de una población pequeña y sinreemplazo, se puede usar la formula siguiente para encontrar

1

N

nN

nx

donde σ es la desviación estándar de la población de donde se toman las

muestras, n es el tamaño de la muestra y N el de la población y la

expresión 1

N

nNse le denomina factor de correcion.

EJEMPLO 3.11

Suponga que la tabla siguiente muestra la antiguedad en años en eltrabajo de tres decanos de tres facultades distintas:

Decanos Antiguedad

A 6

B 4

C 2

Suponga además que se seleccionan muestras aleatorias de tamaño 2sin reemplazo. Calcule

a) La antigüedad media para cada muestra

126

TOMO 1 DEL COMPULIBRO ESTADISTICA II DE CIR Se pueden tener 3C2 =3 muestras posibles. La tabla lista todas lasmuestras posibles de tamaño 2, con sus respectivas medias muestrales.

Muestras Antigüedad Media Muestral

A,B (6,4) 5

A,C (6,2) 4

B,C (4,2) 3

43

642

b) La media de la distribución muestral

43

345

x

SE INVITA AL LECTOR QUE TERMINE LOS PUNTOS CY D YVERIFIQUE SUS RESPUESTAS

c) El error estándar, o la desviación estándar de la distribución muestralES 0.816

d) Que diferencia encuentra entre al aplicar la formula error estándar, o ladesviación estándar de la distribución muestral sin factor de correcion ycon factor de corrección

ERROR ESTANDAR SIN CORRECCION =1.152

ERRROR ESTANDAR CON CORRECION =0.816

DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE MEDIAS

Si recordamos a la distribución normal, esta es una distribución continua,en forma de campana en donde la media, la mediana y la moda tienen unmismo valor y es simétrica.

127

TOMO 1 DEL COMPULIBRO ESTADISTICA II DE CIR Con esta distribución podíamos calcular la probabilidad de algún eventorelacionado con la variable aleatoria, mediante la siguiente fórmula:

X

Z

En donde z es una variable estandarizada con media igual a cero yvarianza igual a uno. Con esta fórmula se pueden a hacer los cálculos deprobabilidad para cualquier ejercicio, utilizando la tabla de la distribuciónz.

Sabemos que cuando se extraen muestras de tamaño mayor a 30 o biende cualquier tamaño de una población normal, la distribución muestral demedias tiene un comportamiento aproximadamente normal, por lo que sepuede utilizar la formula de la distribución normal con XX

Y ,entonces la fórmula para calcular la probabilidad del comportamiento delestadístico, en este caso la media de la muestra , quedaría de la siguientemanera:

n

XZ

y para poblaciones finitas y muestro con reemplazo:

1

N

nN

n

xZ

EJEMPLO 3,12

Una empresa eléctrica fabrica de lámparas que tienen una duración quese distribuye aproximadamente en forma normal, con media de 800 horasy desviación estándar de 40 horas. Encuentre la probabilidad de que unamuestra aleatoriade 16 lámparas tenga una vida promedio de menos de775 horas.

128


La interpretación sería que la probabilidad de que la media de la muestrade 16 lámparas sea menor a 775 horas es de 0.0062.

VALOR ESPERADO

El valor esperado es el más importante concepto en el estudio de lasdistribuciones de probabilidad. Desde hace muchos años dicho conceptoha sido aplicado ampliamente en el negocio de seguros y en los últimosveinte años ha sido aplicado por otros profesionales que casi siempretoman decisiones en condiciones de incertidumbre.

Para encontrar el valor esperado de una variable aleatoria discreta,multiplicamos cada valor que ésta puede asumir por la probabilidad deocurrencia de ese valor y luego sumamos los productos. Es un promedioponderado de los resultados que se esperan en el futuro.

Sea X una Variable Aleatoria que toma valores en un conjunto discreto(en un conjunto finito de números en uno infinito como: los naturales, losenteros o los racionales), por ejemplo si la variable aleatoria X toma lossiguientes valores:

X = 0, 1, 2, 3, … decimos que es discreta

La probabilidad de que X tome cada uno de sus valores viene dada por lafunción de probabilidad:

P(X = i ), para i = 0, 1, 2, 3, ... ;

Sea P(X = i ) = pi para i = 0, 1, 2, 3, ... Se tiene que p1 + p2 + p3 +...+pn +... = 1

Se define el Valor Esperado de una Variable Aleatoria con distribucióndiscreta como:

µ = E(X) = )(XXf

129

TOMO 1 DEL COMPULIBRO ESTADISTICA II DE CIR Y para una variable aleatoria con distribución continua como

µ = E(X) =

dxxfx )((

EJEMPLO 3.13

La variable ‘edad de la clase’ tiene µ=20 y σ2=2. Asumiendo que X esnormal:

a) Tomamos todas las posibles muestras de n=4 y calcular la media y

Obtener E(

X ) y 2x

b) Obtener la probabilidad de encontrar un sujeto con X > 22

c) Obtener la probabilidad de encontrar una muestra con media > 22

SOLUCION

a) E(

X ) =μ=20 y 2x = 5.0

4

22

n

b) 41,12

2022

uxZ donde P(X>22)= P(Z>1.41)= 0.0973

Valor encontrado en la tabla de Z

c) 83,2

4

2

2022_

n

uXZ

P( 0023.0)83,2()22

ZPX

DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LA MEDIA CON σ2 DESCONOCIDA

En caso de que se desconozca σ2 entonces la distribución muestral puedecalcularse:

1

n

SX

Tn

Cuya distribución es t con n-1 grados de libertad en caso de muestrapequeña

DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LA PROPORCIÓN

130

TOMO 1 DEL COMPULIBRO ESTADISTICA II DE CIR n variables dicotómicas: X1, X2, ..., Xn tiene como

E(xi)=ρ y σ2=ρ(1-ρ) y donde será X=X1+X2+ + + + Xn=

n

iiX

1

y su

proporción será

P=X/n

NOTA: Cuando se vaya a tomar los valores dado y la proporción dada se pueden

diferenciar el valor esperado y la varianza a través de las siguientes expresiones

VALORES DADO DE X PROPORCION DADA P

E(X)=nρ E(P)=ρ

2 =nρ(1-ρ)n

P)1(2

NOTA

Parámetros estadísticos de una distribución muestral de las proporciones de tamaño n:

Una distribución muestral de las proporciones se comporta como una

distribución normal descrita por los parámetros N

EJEMPLO 3.14

Cuál es el valor esperado y la varianza entre 3 estudiantes de derecho dela UCEVA de primer semestre si se sabe que el 20% no les gusta lasmatemáticas por tener contenidos difíciles contestar

a) Encontrar el valor esperado y la varianza sise toma un estudiante alazar

b) Cual su proporción si resulto uno de los tres que no les gustabamatematicas

131

TOMO 1 DEL COMPULIBRO ESTADISTICA II DE CIR c) Encontrar el valor esperado y la varianza entre los tres estudiantes YLA PROPORCION de su valor esperado y la varianza con respecto al nogustarle las matemáticas

a) E=(X)=nρ=1*(0.2)=0.2 y 2 =nρ(1-ρ)= 1*0.2(0.8)=0.16

b) P=1/3= 0.33

C) E(X ) = nρ = 3(0,2) = 0,6 Y 2 =nρ(1-ρ)=3*0.2(0.8)=0.48

E(P)=ρ=0.2 y n

P)1(2

=0.2*0.8/3=0.05

2 =nρ(1-ρ)=3*0.2(1-0.2)=0.16

EJEMPLO 3.15

Suponga que se tiene un lote de 12 piezas, las cuales 4 sondefectuosos. Se van a seleccionar 5 artículos al azar de ese lote sinreemplazo. Genere la distribución muestral de proporciones para elnúmero de piezas defectuosas.

SOLUCION

Como se puede observar en este ejercicio la Proporción de artículosdefectuosos de esta población es 4/12=1/3. Por lo que podemos decir queel 33% de las piezas de este lote están defectuosas.

El número posible de muestras de tamaño 5 a extraer de una poblaciónde 12 elementos es 12C5=792, las cuales se pueden desglosar de lasiguiente manera:

ARTICULOS

BUENOS

ARTICULOS

MALOS

PROPORCIONDE ARTICULOS

DEFECTUOSOS

Nro DE MANERASQUE SE PUEDEOBTENER UNAMUESTRA

1 4 0.8 8

2 3 0.6 112

3 2 0.4 336

4 1 0.2 280

5 0 0 56

132


INDIQUE COMO SE OBTUVIERON LOS RESULTADOS DE LA COLUMNA 3 Y4

VERIFIQUE QUE

a) 3333.0p

b) 1681.0p

DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE DIFERENCIA DE MEDIAS

Partamos de que se tienen dos poblaciones distintas, la primera con

media 1 y desviación estándar 1, y la segunda con media 2 y

desviación estándar 2. Ahora bien si elegimos una muestra aleatoria detamaño n1 de la primera población y una muestra independiente aleatoriade tamaño n2 de la segunda población; se calcula la media muestral paracada muestra y la diferencia entre dichas medias. La colección de todasesas diferencias se llama distribución muestral de las diferencias

entre medias o la distribución muestral del estadístico

Ahora debemos recordar que la distribución es aproximadamente normalpara n1 30 y n2 30. Si las poblaciones son normales, se puede deducirque la distribución muestral de medias es normal sin importar lostamaños de las muestras.

133


En anteriores ejercicios del texto se había demostrado que y

que ,por lo que no es difícil deducir que

y que .

La fórmula que se utilizará para el cálculo de probabilidad del estadísticode diferencia de medias es:

EJEMPLO 3.16:

En un estudio para comparar los pesos promedio de niños y niñas desexto grado en una escuela primaria ANTONIO JOSE DE SUCRE seusará una muestra aleatoria de 20 niños y otra de 25 niñas. Se sabe quetanto para niños como para niñas los pesos siguen una distribuciónnormal. El promedio de los pesos de todos los niños de sexto grado deesa escuela es de 105 libras y su desviación estándar es de 14.152,mientras que el promedio de los pesos de todas las niñas del sexto gradode esa escuela es de 90 libras y su desviación estándar es de 12.257

libras. Si representa el promedio de los pesos de 20 niños y es elpromedio de los pesos de una muestra de 25 niñas, encuentre laprobabilidad de que el promedio de los pesos de los 20 niños sea almenos 20 libras más grande que el de las 25 niñas.

Solución:

Datos:

1 = 105 libras

2 = 90 libras

1 = 14.142 libras

2 = 12.247 libras

134


n1 = 20 niños

n2 = 25 niñas

= ?

25.1

2

)457.12(

20

)142.14(

)90105(2022

z

Por lo tanto, la probabilidad de que el promedio de los pesos de lamuestra de niños sea al menos 20 libras más grande que el de la muestrade las niñas es 0.1056.

EJEMPLO:3.17

Uno de los principales fabricantes de celulares compra simcard a doscompañías. Las simcard de la compañía A tienen una vida media de 7.2años con una desviación estándar de 0.8 años, mientras que los de la Btienen una vida media de 6.7 años con una desviación estándar de 0.7.Determine la probabilidad de que una muestra aleatoria de 34 simcard dela compañía A tenga una vida promedio de al menos un año más que lade una muestra aleatoria de 40 simcard de la compañía B.

Solución:

Datos:

A = 7.2 años

B = 6.7 años

A = 0.8 años

135


B = 0.7 años

nA = 34 simcard

nB = 40 simcard

= ?

EJEMPLO 3.18

Se prueba el rendimiento en km/L de 2 tipos de ETANOL , encontrándoseuna desviación estándar de 1.23km/L para el primer etanol y unadesviación estándar de 1.37km/L para el segundo etanol; se prueba elprimer etanol en 35 autos y el segundo en 42 autos.

a. ¿Cuál es la probabilidad de que el primer etanol de un rendimientopromedio mayor de 0.45km/L que el segundo etanol?

b. ¿Cuál es la probabilidad de que la diferencia en rendimientospromedio se encuentre entre 0.65 y 0.83km/L a favor del primeretanol?.

Solución:

En este ejercicio no se cuenta con los parámetros de las medias enninguna de las dos poblaciones, por lo que se supondrán que son iguales.

Datos:

1 = 1.23 Km/Lto

2 = 1.37 Km/Lto

136


n1 = 35 autos

n2 = 42 autos

a. = ?

b. ?

La probabilidad de que la diferencia en rendimientos promedio en lasmuestras se encuentre entre 0.65 y 0.83 Km/Lto a favor de la gasolina 1es de 0.0117.

DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE DIFERENCIA DE PROPORCIONES

137

TOMO 1 DEL COMPULIBRO ESTADISTICA II DE CIR Muchas aplicaciones involucran poblaciones de datos cualitativos quedeben compararse utilizando proporciones o porcentajes. A continuaciónse citan algunos ejemplos:

Educación.- ¿Es mayor la proporción de los estudiantes queaprueban matemáticas que las de los que aprueban Estadística?

Medicina.- ¿Es menor el porcentaje de los usuarios delmedicamento X que presentan una reacción adversa que el de losusuarios del fármaco Y que también presentan una reacción de esetipo?

Administración.- ¿Hay diferencia entre los porcentajes de hombresy mujeres en puestos administrativos.

Ingeniería.- ¿Existe diferencia entre la proporción de artículosdefectuosos que produce la máquina X a los que genera lamáquina Y?

Cuando el muestreo proviene de dos poblaciones binomiales y se trabajacon dos proporciones muestrales, la distribución muestral de diferencia deproporciones es aproximadamente normal para tamaños de muestragrande (n1p1 5, n1q1 5,n2p2 5 y n2q2 5). Entonces p1 y p2 tienendistribuciones muestrales aproximadamente normales, así que sudiferencia p1-p2 también tiene una distribución muestral aproximadamentenormal.

138

TOMO 1 DEL COMPULIBRO ESTADISTICA II DE CIR Cuando se estudió a la distribución muestral de proporciones se

comprobó que y que , por lo que no es difícil deducir

que y que .

La fórmula que se utilizará para el cálculo de probabilidad del estadísticode diferencia de proporciones es:

EJEMPLO 3.19

Los hombres y mujeres adultos radicados en Tulua difieren en susopiniones sobre la promulgación de la pena de muerte para personasculpables de violación de niños. Se cree que el 12% de los hombresadultos están a favor de la pena de muerte, mientras que sólo 10% de lasmujeres adultas lo están. Si se pregunta a dos muestras aleatorias de 100hombres y 100 mujeres su opinión sobre la promulgación de la pena demuerte, determine la probabilidad de que el porcentaje de hombres afavor sea al menos 3% mayor que el de las mujeres.

Solución:

Datos:

PH = 0.12

PM = 0.10

nH = 100

nM = 100

p(pH-pM 0.03) = ?

Se recuerda que se está incluyendo el factor de corrección de 0.5 por seruna distribución binomial y se está utilizando la distribución normal.

139


Se concluye que la probabilidad de que el porcentaje de hombres a favorde la pena de muerte, al menos 3% mayor que el de mujeres es de0.4562.

EJEMPLO 3.20

Una encuesta realizada por la sutev constó de 320 docentes del Valledel cauca fueron despedidos entre 2006 y 2011, encontró que 20%habían estado sin trabajo durante por lo menos dos años. Supóngase quetuviera que seleccionar otra muestra aleatoria de 320 docentes de entretodos los empleados despedidos entre 2006 y 2011. ¿Cuál sería laprobabilidad de que su porcentaje muestral de docentes sin empleodurante por lo menos dos años, difiera del porcentaje obtenido en laencuesta de la sutev , en 5% o más?

Solución:

En este ejercicio se tiene únicamente una población, de la cual se estánextrayendo dos muestras y se quiere saber la probabilidad de la diferenciade los porcentajes en esas dos muestras, por lo que se debe de utilizar ladistribución muestral de proporciones con P1= P2, ya que es una mismapoblación.

Otra de las situaciones con la cual nos topamos es que desconocemos laproporción de trabajadores despedidos entre 2006 y 2011 que estuvierondesempleados por un período de por lo menos dos años, sólo se conocela p1= 0.20 ya que al tomar una muestra de 320 trabajadores se observóesa proporción.

En la fórmula de la distribución muestral de proporciones para el cálculode probabilidad se debe saber las proporciones de las poblaciones, las

140

TOMO 1 DEL COMPULIBRO ESTADISTICA II DE CIR cuales en este ejercicio las desconocemos, por lo que se utilizará el valorde 0.20 como una estimación puntual de P. En el siguiente tema seabordará el tema de estimación estadística y se comprenderá el porqueestamos utilizando de esa manera el dato.

También debe de comprenderse la pregunta que nos hace este problema,¿cuál sería la probabilidad de que su porcentaje muestral de trabajadoressin empleo durante por lo menos dos años, difiera del porcentajeobtenido en la encuesta dela sutev, en 5% o más?, lapalabra difiera quiere decir que puede existir una diferencia a favor de lamuestra uno, o a favor de la muestra dos, por lo que se tendrán quecalcular dos áreas en la distribución y al final sumarlas.

Datos:

p1 = 0.20

n1 = 320 trabajadores

n2 = 320 trabajadores

P1 = P2

141

TOMO 1 DEL COMPULIBRO ESTADISTICA II DE CIR La probabilidad de que su proporción muestral de trabajadores sinempleo durante por lo menos dos años, difiera del porcentaje obtenido enla encuesta realizada por la sutev, en 0.05 o más es de 0.1260.

EJEMPLO 3.21

Se sabe que 3 de cada 6 productos fabricados por la máquina 1 sondefectuosos y que 2 de cada 5 objetos fabricados por la máquina 2 sondefectuosos; se toman muestras de 120 objetos de cada máquina:

a. ¿cuál es la probabilidad de que la proporción de artículosdefectuosos de la máquina 2 rebase a la máquina 1 en por lomenos 0.10?

b. ¿cuál es la probabilidad de que la proporción de artículosdefectuosos de la máquina 1 rebase a la máquina 2 en por lomenos 0.15?

Solución:

Datos:

P1 = 3/6 = 0.5

P2 = 2/5 = 0.4

n1 = 120 objetos

n2 = 120 objetos

a. p(p2-p1 0.10) = ?

142


Otra manera de hacer este ejercicio es poner P1-P2:

La probabilidad de que exista una diferencia de proporciones de artículosdefectuosos de por lo menos 10% a favor de la máquina 2 es de 0.0011.

b. p(p1-p2

0.15)=?

La probabilidad de que exista una diferencia de proporciones de artículosdefectuosos de por lo menos 15% a favor de la máquina 1 es de 0.2357.

143

TOMO 1 DEL COMPULIBRO ESTADISTICA II DE CIR DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE NÚMERO DE DEFECTOS

Cuando el mundo globalizado se habla de ontrol de calidad yespecíficamente en los gráficos de control "c" se aplica esta distribución,la cual consiste en que al extraer un artículo contabilicemos el número dedefectos que tiene ese artículo.

Esta distribución muestral proviene de la distribución de Poisson, en la

cual le media es y que en este caso es el número promedio de defectospor unidad. Como ya es conocido la varianza de la distribución de Poisson

es igual a por lo que se puede deducir la formula de la siguientemanera:

Para la distribución muestral de número de defectos la nomenclaturautilizada es:

c = número defectos por unidad de inspección

C = número de defectos promedio por unidad de inspección

Se debe de recordar que la distribución de Poisson es una distribucióndiscreta, y se esta utilizando la aproximación de la normal a la Poisson,debiendo aplicar el factor de corrección de ± 0.5 según sea el caso. Laformula para la dsitribución muestral de número de defectos quedaría dela siguiente manera:

EJEMPLO 3.22

En cierta empresa se fabrican productos con un promedio de 8 defectospor unidad. Determine la probabilidad de que el próximo productoinspeccionado tenga un número de defectos:

a. Mayor o igual a 6

b. Exactamente 7

c. Como máximo 9

a.

144


La probabilidad de que el siguiente producto inspeccionado tenga por lomenos 6 defectos es de 0.8106.

b.

La probabilidad de que el siguiente producto inspeccionado tengaexactamente 7 defectos es de 0.1344.

c.

145


La probabilidad de que el siguiente producto inspeccionado tenga a lomás 9 defectos es de 0.7019.

EJERCICIO DE REPASO CAPITULO III

1) Realiza 5 preguntas posibles de un cuestionario individual.

2) Realiza 5 preguntas cerradas de una investigación que pienseshacer.

3) Enuncia 5 preguntas abiertas de una investigación que pienses hacer.

4) Realice 2 preguntas correspondientes a cada tipo de pregunta

. Preguntas de identificación:

. Preguntas de hecho:

. Pregunta de acción:

. Preguntas de información:

. Preguntas de intención:

. Preguntas de opinión:

. Pregunta filtro:

. Preguntas trampa o de control:

. Preguntas de introducción ó rompe hielo:

. Preguntas muelle, colchón o amortiguadores:

. Preguntas en batería:

. Preguntas de embudo:

5) En el barrio Belén de Cali se quiere hacer un estudio para conocermejor el tipo de actividades de ocio que gustan más a sus habitantes.Para ello van a ser encuestados 100 individuos elegidos al azar.

146

TOMO 1 DEL COMPULIBRO ESTADISTICA II DE CIR 1. Explicar qué procedimiento de selección sería más adecuado utilizar:muestreo con o sin reposición. ¿Por qué?

2. Como los gustos cambian con la edad y se sabe que en el barrio Belénde Cali viven 2.500 niños, 7.000 adultos y 500 ancianos, posteriormentese decide elegir la muestra anterior utilizando un muestreo estratificado.

Determinar el tamaño muestral correspondiente a cada estrato. R/ 25niños; 70 adultos; 25 ancianos

3. Suponga que una compañía de servicio de televisión por cable estápensando en prestar el servicio al barrio belén y para ello; la compañíaplanea realizar un estudio para determinar el porcentaje de familias dedicho barrio que utilizarían sus servicios, como no es práctico preguntaren cada casa. Qué tipo de muestreo recomienda

6) La variable altura de las alumnas que estudian en la facultad deidiomas de la UCEVA sigue una distribución normal de media 1,62 m y ladesviación típica 0,12 m. ¿Cuál es la probabilidad de que la media de unamuestra aleatoria de 100 alumnas sea mayor que 1.60 m? 95.15%

7) Se ha tomado una muestra de los precios de un mismo productoalimenticio en 16 graneros de Tulua, elegidos al azar, y se hanencontrado los siguientes precios:

95, 108, 97, 112, 99, 106, 105, 100, 99, 98, 104, 110, 107, 111, 103, 110.

Suponiendo que los precios de este producto se distribuyen según una leynormal de varianza 25 y media desconocida:

1. ¿Cuál es la distribución de la media muestral? R/ 104

2. Determine el intervalo de confianza, al 95%, para la media poblacional.R/ (101.55; 106.45)

8. La media de las estaturas de una muestra aleatoria de 400 personasde Andalucía Valle es 1,75 m. Se sabe que la estatura de las personas deese Pueblo es una variable aleatoria que sigue una distribución normalcon varianza σ2 = 0,16 m2.

1. Construye un intervalo, de un 95% de confianza, para la media de lasestaturas de la población/ (1.7108, 1.7892)

2. ¿Cuál sería el mínimo tamaño muestral necesario para que puedadecirse que la verdadera media de las estaturas está a menos de 2 cm de

147

TOMO 1 DEL COMPULIBRO ESTADISTICA II DE CIR la media muestral, con un nivel de confianza del 90%? R/ La muestradebe tener al menos 1083 personas.

9. Las ventas mensuales de una tienda de electrodomésticos en las islascanarias se distribuyen según una ley normal, con desviación típica 900€. En un estudio estadístico de las ventas realizadas en los últimos nuevemeses, se ha encontrado un intervalo de confianza para la media mensualde las ventas, cuyos extremos son 4 663 € y 5 839 €.

1. ¿Cuál ha sido la media de las ventas en estos nueve meses? R/x=5251

2. ¿Cuál es el nivel de confianza para este intervalo? R/95%

10) Se desea estimar la proporción, p, de individuos daltónicos de unapoblación a través del porcentaje observado en una muestra aleatoria deindividuos, de tamaño n.

1. Si el porcentaje de docentes daltónicos de Tulua determinan unamuestra igual al 30%, calcula el valor de n para que, con un nivel deconfianza de 0,95, el error cometido en la estimación sea inferior al3,1%.R// Al menos 840 individuos.

2. Si el tamaño de la muestra es de 64 docentes, y el porcentaje dedocentes daltónicos en la muestra es del 35%, determina, usando unnivel de significación del 1%, el correspondiente intervalo de confianzapara la proporción de daltónicos de la población. R/(0,196 , 0.504)

11) En una población adulta con una variable aleatoria sigue una leynormal de media desconocida y desviación típica 2.

1. Observada una muestra de tamaño 400, tomada al azar, se haobtenido una media muestra al igual a 50. ¿Calcule un intervalo, con el 97% de confianza, para la media de la población. (49.783, 50.217)

2. Con el mismo nivel de confianza, ¿qué tamaño mínimo debe tener lamuestra para qué la amplitud del intervalo que se obtenga sea, comomáximo, 1? Sugerencia tome E=0.5 R/ 76n

12) En el comercial la herradura de Tulua trabajan 150 personas en eldepartamento de personal, 450 en el departamento de ventas, 200 en eldepartamento de contabilidad y 100 departamentos de atención al cliente.Con objeto de realizar una encuesta laboral, se quiere seleccionar unamuestra de 180 trabajadores.

148

TOMO 1 DEL COMPULIBRO ESTADISTICA II DE CIR 1. ¿Qué tipo de muestreo deberíamos utilizar para la selección de lamuestra si queremos que incluya a trabajadores de los cuatrodepartamentos mencionados?

2. ¿Qué número de trabajadores tendríamos que seleccionar en cadadepartamento atendiendo a un criterio de proporcionalidad? R/30 depersonal, 90 de ventas ,40 de contabilidad

13) La ciencia ha determinado que La cantidad de hemoglobina en sangredel hombre sigue una ley normal con una desviación típica de 2g/dl.Calcule el nivel de confianza de una muestra de 12 extracciones desangre que indique que la media poblacional de hemoglobina en sangreestá entre 13 y 15 g/dl. R/ 91.64%

14) En una fábrica de componentes electrónicos, la proporción decomponentes finales defectuosos era del 20%. Tras una serie deoperaciones e inversiones destinadas a mejorar el rendimiento se analizóuna muestra aleatoria de 500 componentes, encontrándose que 90 deellos eran defectuosos. ¿Qué nivel de confianza debe adoptarse paraaceptar que el rendimiento no ha sufrido variaciones? R/73.72%

15) Supongamos que se desea realizar una encuesta sobre la brucelosisovina en Barragan . Se estima una prevalencia del 15% y se requiere un5% de precisión sobre una población de 2.000.000 de cabezas. El nivelde confianza se fija en el 95%. Determinar el tamaño de la muestranecesario para dicha encuesta. R/ 196

16) La media de edad de los alumnos que se presentan a pruebas deingreso a la Uceva es de 18,1 años, y la desviación típica 0,6 años. a) De los alumnos anteriores se elige, al azar, una muestra de 100. ¿ Cuáles la probabilidad de que la media de la edad de la muestra estécomprendida entre 17,9 y 18,2 años?. R/95.21%

b) ¿Qué tamaño debe tener una muestra de dicha población para que sumedia esté comprendida entre 17,9 y 18,3 años, con una confianza del99,5%? R/ 72 personas

17) Las medidas de los diámetros de una muestra tomada al azar, de 200cojinetes de bolas, hechos por una determinada máquina en la litografíafranciscos, dieron una media de 2 cm y una desviación típica de 0,1 cm.Hallar los intervalos de confianza del :

68,26% R/ 12

Z (1,993,:2.007)

149


95,44% R/ 22

Z (1.986 , 2,014)

99,73% R/ (1.979; 2.021)

Para el diámetro de todos los cojinetes.

18) El Ingeniero de control de calidad de la fábrica de focos necesitaestimar la vida promedio de un gran embarque. Se sabe que la desviaciónestándar del proceso es de 100 horas. Una muestra aleatoria de 50 focosmostró una vida promedio de 350 horas. Estime un intervalo de confianzadel 95% de vida promedio real de los focos en este embarque R/ (322.27;377.72) La vida promedio real de los focos se encuentra entre 322.67 y377.72 horas

19) Supongamos que un curso exitoso d estadística 35 de 42 alumnosaprueban estadística. Estime un intervalo de confianza para la proporciónde la población del 5%.R/ (0.71; 0.94) es el intervalo de confianza para laproporción, es decir que entre el 71% y 94% aprobaron el examen, con unnivel de confianza del 95%

20) Las bolsas de sal envasadas por una máquina tienen μ = 500 g y σ =35 g. Las bolsas se empaquetaron en cajas de 100 unidades..Calcular laprobabilidad de que la media de los pesos de las bolsas de un paquetesea menor que 495 g. R/7.64%

21) Calcule el tamaño muestral de una encuesta realizada por UCEVAsobre que se conoce del decreto 1030 de la reforma si el error teórico erade + 2, con un intervalo de confianza de 95,5% y P=Q en el supuesto deun muestreo aleatorio simple. R/2500

22) Los siguientes datos son los puntajes obtenidos para 45 personas de una escala de

depresión (mayor puntaje significa mayor depresión).

2 5 6 8 8 9 9 10 11

11 11 13 13 14 14 14 14 14

14 15 15 16 16 16 16 16 16

16 16 17 17 17 18 18 18 19

19 19 19 19 19 19 19 20 20

Construir un intervalo de confianza para el puntaje promedio poblacional

150

TOMO 1 DEL COMPULIBRO ESTADISTICA II DE CIR R/ Luego, el intervalo de confianza para es (13,2, 15,8). Es decir, elpuntaje promedio poblacional se encuentra entre 13,2 y 15,8 con unaconfianza 95%.

23) Supongamos que se plantea la hipótesis de que el promedio de pesode nacimiento la marina es igual a la media nacional de 3250 gramos.Altomar una muestra de 30 recién nacidos de la población en estudio, seobtuvo:

= 2930s= 450n= 30

Construir un intervalo de 95% de confianza para la media poblacional

R/ Luego, el peso de nacimiento varía entre 2769 y 3091 gramos, con unaconfianza de 95%.

Como el intervalo no incluye el valor =3250 gramos planteado en lahipótesis, entonces esta es rechazada con confianza 95% (o un valor pmenor a 0,5).

24) La nota de una prueba de aptitud siguen una distribución normal condesviación típica 28,2. Una muestra aleatoria de nueve alumnos arroja losresultados siguientes:

n=9 13814810989

1

2

1

I

I

N

II XX

a) Hallar un intervalo de confianza al 90% para la media poblacional μR/106.5<μ<137.5

b) ¿Cuál será el tamaño de muestra mínimo necesario para obtener unintervalo al

90% de nivel de confianza, con longitud 10? (la longitud del intervalo es ladiferencia entre sus extremos).R/ 866

25 Una empresa tiene 6.100 empleados se quiere determinar cómoes el clima laboral en la empresa, usando una confiabilidad del 95%.un error admisible de 6% y considerando que la proporción deempleados no satisfechos es del 30%. Calcule el número deempleados a consultar. si se tiene en cuenta además. que se tienendiferentes categorías de empleados que pueden influir en la opiniónde los trabajadores. Se adicionó la siguiente información con

151

TOMO 1 DEL COMPULIBRO ESTADISTICA II DE CIR respecto al número de trabajadores: Contabilidad y Costos 80empleados, Administración 150. Operativos 5.600, seguridad 180 yotros cargos 90. R/216

26. La puntuación promedio de una muestra de 20 jueces de gimnasiarítmica, elegidos al azar, para una misma prueba presentó una media de9,8525 y una cuasi desviación típica muestral de 0,0965. Calcular unintervalo de confianza con un 95% para la nota media. (Se sobreentiendeque la puntuación de la prueba sigue una distribución normal) R/ 9.8079897

27 Un entrenador de fútbol está interesado en estimar, con un 99% deconfianza, la fuerza máxima de los músculos cuadriceps de los futbolistas.Admitiendo que dicha fuerza sigue una distribución normal, selecciona alazar una muestra de 25 futbolistas, para la que obtuvo una media de 85Nw y una cuasivarianza de 144. Determinar un intervalo de confianzapara la media .R/ 78287 91713

28 En una encuesta hecha por los alumnos y alumnas de un Instituto a untotal de 100 votantes elegidos al azar en su Ayuntamiento, se indica queel 55% volvería a votar por el alcalde actual. Calcular un intervalo deconfianza al 99% para la proporción de votantes favorables al alcaldeactual. R/= (0,422 , 0,677)

29 ¿Cuáles deben ser los tamaños muestrales en el sondeo del problemaanterior para tener, con los mismos niveles de confianza, la certeza deque el alcalde actual salga reelegido por mayoría absoluta, en el caso dearrojar la encuesta los mismos resultados/ n>891.

30. En una encuesta a 360 alumnos de un centro, elegidos al azar,resultaron 190 a favor de la política del actual equipo directivo. ¿Cuál esel intervalo de confianza, con nivel del 95%, para la proporción dealumnos que apoyan a esta dirección R/ (,04762 , 0, 5794)

31 Se lanza una moneda 100 veces y se obtienen 62 cruces. ¿Cuál es elintervalo de confianza para la proporción de cruces con un 99% de nivelde confianza?

R/ (0,495, 0, 745)

32. Para estimar el número de ranas que hay en un estanque procedemosa pescar cierta cantidad, 30, y las marcamos con un anillo, devolviéndolasal estanque. Transcurridos unos días volvemos a pescar otro montón yobservamos qué proporción están marcadas con la anilla. Es esta últimapesca obtenemos 100 ranas de las que 7 están marcadas. Calcular un

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TOMO 1 DEL COMPULIBRO ESTADISTICA II DE CIR intervalo al 99% de confianza para la proporción de ranas marcadas.R/(0,02816 0,11184)

33 - En una muestra de 65 sujetos las puntuaciones en una escala deextroversión tienen una media de 32,7 puntos y una desviación típica de12,64.

a) Calcule a partir de estos datos el correspondiente intervalo deconfianza, a un nivel del 90%, para la media de la población. R/( 30,06 ,35,34 )

b) Indique, con un nivel de confianza del 95%, cuál sería el máximo errorque podríamos cometer al tomar como media de la población el valorobtenido en la estimación puntual. R/luego el máximo error que se puedecometer, a este nivel de confianza, es: 3,16

34. En una muestra de 300 universitarios el 80% ha respondido que asistesemanalmente al cine. Entre que valores se encuentra, con un nivel deconfianza del 95%, la proporción de universitarios que acude todas lassemanas al cine.

R/( 0,755 ,, 0,845 )

35. El índice de resistencia a la rotura, expresado en kg, de undeterminado tipo de cuerda sigue una distribución Normal con desviacióntípica 15.6 kg. Con una muestra de 5 de estas cuerdas, seleccionadas alazar, se obtuvieron los siguientes índices: 280, 240, 270, 285, 270.

a) Obtenga un intervalo de confianza para la media del índice deresistencia a la rotura de este tipo de cuerdas, utilizando un nivel deconfianza del 95%. R/ (255,326 282,674)

b) Si, con el mismo nivel de confianza, se desea obtener un error máximoen la estimación de la media de 5 kg, ¿será suficiente con elegir unamuestra de 30 cuerdas? R/ 38 cuerdas

36. Un fabricante de pilas alcalinas sabe que el tiempo de duración, enhoras, de las pilas que fabrica sigue una distribución Normal de mediadesconocida y varianza 3 600. Con una muestra de su producción,elegida al azar, y un nivel de confianza del 95 % ha obtenido para lamedia el intervalo de confianza (372,6; 392,2). Calcule el valor que obtuvopara la media de la muestra y el tamaño muestral utilizado. R/ media382,4 y n =144

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TOMO 1 DEL COMPULIBRO ESTADISTICA II DE CIR 37. En un hospital se ha tomado la temperatura a una muestra de 64pacientes para estimar la temperatura media de sus enfermos. La mediade la muestra ha sido 37,1 ºC y se sabe que la desviación típica de toda lapoblación es 1,04 ºC.

a) Obtenga un intervalo de confianza, al 90 %, para la media poblacional.R/(36.89; 37,31)

b) ¿Con qué nivel de confianza podemos afirmar que la media de lapoblación está comprendida entre 36,8ºC y 37,4 ºC? R/97,92%SUGERENCIA no olvidar formula de la longitud

38. Se sabe que los estudiantes del Huila duermen un número de horasdiarias que se distribuye según una ley Normal de media µ horas ydesviación típica σ =2 horas.

a) A partir de una muestra de 64 alumnos se ha obtenido el siguienteintervalo de confianza (7.26, 8.14) para la media de la población.Determine el nivel de confianza con que se ha construido dicho intervalo.R/ 92.16% SUGERENCIA φ(Zα/2)=1-α y la formula de amplitud

b) Determine el tamaño muestral mínimo necesario para que el error quese cometa al estimar la media de la población por un intervalo deconfianza sea, como máximo, de 0.75 horas, con un nivel de confianzadel 98 %

39) Para controlar la calidad de los exámenes complementariosrealizados en un laboratorio clínico, el jefe de laboratorio decide repetirpersonalmente la prueba a 10 de las 250 extracciones de sangrerealizadas ese día. Cuál es el número entero que representa al intervalode selección si se realiza un muestreo sistemático R/ 25

40) Se asigna un número diferente a cada elemento del Universo y seseleccionan los que integrarán la muestra por medio de una Tabla denúmeros aleatorios o por fichas numeradas que se extraen de unbombo.

41) el jefe de laboratorio Ángel para controlar la calidad de los exámenescomplementarios realizados en su laboratorio clínico, decide repetirpersonalmente la prueba a 10 de las 250 extracciones de sangrerealizadas ese día.

N = 250 n =10 k =250/10 =25

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TOMO 1 DEL COMPULIBRO ESTADISTICA II DE CIR Se escoge como punto de arranque cualquier número entero entre 1 y 25para inicial la selección. Supongamos que se escoge el 8, la muestraquedará entonces integrada por las extracciones número: 8; 33; 58; 83;108; 133; 158; 183; 208 y 233.¿Que tipo de muestreo se aplico?

42) En una campaña contra el tabaquismo se quiere determinar laproporción de fumadores entre los pobladores de una comunidad, segúnel sexo. Se fijó que el tamaño de la muestra debe ser de 300 individuos.Si las mujeres representan el 55% de los habitantes y por tanto loshombres el 45% restante, se escogerían al azar para integrar la muestraun total de 165 mujeres y 135 hombres. Ellos representan el 55% y el45% respectivamente de 300.Que tipo de muestreo es el más adecuadopara determinar la proporción.

43) El ministerio de salud de Colombia para identificar los factores deriesgo vulnerables de la enfermedad ateroesclerótica en los trabajadoresagrícolas de Barragán, se seleccionan aleatoriamente un número decooperativas de producción agropecuaria y se estudian a todos lostrabajadores de dichos centros. Para seleccionar las cooperativas cual esmétodo de muestreo más aconsejable.

44) Entre 8 alumnos de la escuela matechana se pretende realizar 5pruebas de velocidad lectora eligiendo cada vez al azar a uno de ellos. Notenemos ningún inconveniente en que un alumno pueda ser elegido másde una vez para realizar la prueba, por lo que vamos a realizar unmuestreo aleatorio simple con reposición. a) ¿Cuántas muestrasordenadas posibles existen? R/ 32768 ¿Qué probabilidad se asocia acada una de ellas? R/ 0.0000305. ¿Qué probabilidad tenemos de que lamuestra esté constituida por alumnos que se encuentran entre los 5 demejor nivel en el área de lenguaje? R/0.0000305

45) A partir del listado alfabético de los 500 alumnos matriculados en launiversidad, se le pide a Bienestar universitario que construya unamuestra de 30 alumnos utilizando el procedimiento de muestreo aleatoriosistemático. ¿Qué alumnos debo incluir en la muestra R Una de lasposibles respuestas es 1, 18, 35, 52, hasta 485

46) Queremos extraer una muestra compuesta de 20 centros deEnseñanza de Cali respetando la estructura que presenta la poblaciónrespecto a la característica público-privado. Sabemos que de los 225centros existentes en esta ciudad, 201 son públicos y 24 de titularidadprivada. ¿Cuántas elegiremos de cada tipo si realizamos un muestreo

155

TOMO 1 DEL COMPULIBRO ESTADISTICA II DE CIR estratificado con asignación constante? R/10 y 10 públicos y 2 privados¿Y con asignación proporcional? R/ 18 y 20

47) Entre los 8 alumnos de la zona rural de Santa Lucia se pretende elegira 5 alumnos con el fin de medir su velocidad lectora. Para evitar que elprofesor del aula trate de que sus alumnos obtengan un buen resultado y,para ello, nos proponga a los 5 alumnos que mejores calificaciones suelenobtener en el área de lenguaje, vamos a realizar un muestreo aleatoriosimple sin reposición, ¿Cuántas muestras ordenadas posibles existen? R/6720 ¿Qué probabilidad se asocia a cada una de ellas? R/ 0,01488%¿Qué probabilidad tenemos de que la muestra, en contra de lo quepretendíamos, esté constituida por los 5 alumnos de mejor nivel en el áreade lenguaje? R/ 1,786%

48) Los datos presentados a continuación son los puntajes obtenidos para 45 personas de una escala de depresión (mayor puntaje significa mayor depresión).

2 5 6 8 8 9 9 10 1111 11 13 13 14 14 14 14 1414 15 15 16 16 16 16 16 1616 16 17 17 17 18 18 18 1919 19 19 19 19 19 19 20 20

Para construir un intervalo de confianza para el puntaje promedio poblacional, asumamos que los datos tienen distribución normal, con varianza poblacional desconocida., Encontrar, un intervalo de confianza R/ el intervalo de confianza para es (13,2, 15,8). Es decir, el puntaje promedio poblacional se encuentra entre 13,2 y 15,8 con una confianza 95%.

49) En el 2012 la Unidad Central del valle tiene 5453 estudiantes, en la tabla se muestra un detalle de la composición. Necesitamos una muestra de tamaño 20 de la población de estudiantes:

MUJERES HOMBRES TOTAL PREGRADO 2461 2848 5309POSGRADO 67 77 144TOTAL 2528 2925 5453

Elija muestras de tamaño 20 para 2 tipos de muestreo:

a. Muestreo Aleatorio Simple.

b. Muestreo Aleatorio Estratificado.

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TOMO 1 DEL COMPULIBRO ESTADISTICA II DE CIR 50) Una compañía de marketing saca una muestra aleatoria de la guía deteléfonos tomando 10 personas cuyos apellidos comiencen con letra A, 10 personas cuyos apellidos comiencen con la letra B, y así sucesivamente con cada letra del alfabeto, para una muestra total de 260 personas.

a. ¿Qué clase de diseño muestral se usó aquí? b. ¿Tienen todos los que están en la guía de teléfonos igual posibilidad de ser elegidos en la muestra?

51) En el centro de Tulua hay dos semáforos consecutivos de modo que2.5 minutos después de que el primero se ponga verde se pone rojo elsegundo. Ambos se cierran cada 2 minutos, permaneciendo cerrados 30segundos. Un conductor se ha detenido en el primero y el tiempo enrecorren la distancia entre ambos semáforos es de (1,4). ¿Cuál es laprobabilidad de que se pare en el segundo? R/0.166 %

62) Indicar que tipo de muestreo se aplico en cada uno de los siguientesenunciados

a) Suponga que nos interesa obtener una muestra de las opiniones de losprofesores de una gran universidad

b) Suponga que una compañía de servicio de televisión por cable estápensando en abrir una sucursal en una ciudad grande; la compañíaplanea realizar un estudio para determinar el porcentaje de familias queutilizarían sus servicios, como no es práctico preguntar en cada casa, laempresa decide seleccionar una parte de la ciudad al azar

c) Para obtener una muestra de suscriptores telefónicos en una ciudadgrande, puede obtenerse primero una muestra aleatoria de los númerosde las páginas del directorio telefónico; al elegir el vigésimo nombre decada página obtendríamos un muestreo sistemático, también podemosescoger un nombre de la primera página del directorio y despuésseleccionar cada nombre del lugar número cien a partir del yaseleccionado. Por ejemplo, podríamos seleccionar un número al azarentre los primeros 100; supongamos que el elegido es el 40, entoncesseleccionamos los nombres del directorio que corresponden a losnúmeros 40, 140, 240, 340 y así sucesivamente.

63) COMPLETAR

a) La distribución de frecuencia de un estadístico muestral sedenomina __________________________. En general, la distribución

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TOMO 1 DEL COMPULIBRO ESTADISTICA II DE CIR muestral de un estadístico es la de todos sus valores posiblescalculados a partir de muestras del mismo tamaño.

b) Suponga que se han seleccionado muestras aleatorias de tamaño 20en una población grande. Se calcula la media muestral x para cadamuestra; la colección de todas estas medias muestrales recibe el nombrede_________________________________________,

c) Mientras mayor sea el tamaño de la muestra, más cerca estará ladistribución muestral de ser ____________________________

64)Se sabe que la resistencia a la ruptura de cierto tipo de cadena sedistribuye normalmente con media de 2000 libras y una varianza de25,000 lbs Si se selecciona una muestra aleatoria de 100 cuerdas;determine la probabilidadde que en esa muestra:

a) La resistencia media encontrada sea de por lo menos 1958 libras.R/99.60%

b) La resistencia media se mayor de 2080 libras. R/0

65). Como parte de un proyecto general de mejoramiento de la calidad, elfabricante textil Duke decide controlar el número de imperfeccionesencontradas en cada pieza de tela. Se estima que el número promedio deimperfecciones por cada pieza de tela es de 12, determine la probabilidadde que en la próxima pieza de tela fabricada se encuentren:

a) Entre 10 y 12 imperfecciones. R/

b) Menos de 9 y más de 15 imperfecciones.

66). En una prueba de aptitud la puntuación media de los estudiantes deonce de Tulua es de 72 puntos y la desviación estándar es de 8 puntos.¿Cuál es la probabilidad de que dos grupos de estudiantes, formados de28 y 36 estudiantes, respectivamente, difieran en su puntuación media en:

a) 3 ó más puntos. b) 6 o más puntos. c) Entre 2 y 5 puntos.

67). Un especialista en genética ha detectado que el 26% de los hombresy el24% de las mujeres de cierta región de Colombia tiene un levedesorden sanguíneo; si se toman muestras de 150 hombres y 150mujeres, determine la probabilidad de que la diferencia muestral deproporciones que tienen ese leve desorden sanguíneo sea.. de:

a) Menos de 0.035 a favor de los hombres.

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TOMO 1 DEL COMPULIBRO ESTADISTICA II DE CIR b) Entre 0.01 y 0.04 a favor de los hombres.

70. La vida media de un computador es de siete años, con unadesviación estándar de un año. Suponga que las vidas de estas máquinassiguen aproximadamente una distribución normal, encuentre:

a) La probabilidad de que la vida media de una muestra aleatoria de 9 deestas máquinas caiga entre 6.4 y 7.2 años.

b) El valor de la media a la derecha del cual caería el 15% de las mediascalculadas de muestras aleatorias de tamaño nueve.

71). Se llevan a cabo dos experimentos independientes en lo que secomparan dos tipos diferentes de pintura. Se pintan 18 especímenes conel tipo A y en cada uno se registra el tiempo de secado en horas. Lomismo se hace con el tipo B. Se sabe que las desviaciones estándar de lapoblación son ambas 1.0. Suponga que el tiempo medio de secado esigual para los dos tipo de pintura. Encuentre la probabilidad de que ladiferencia de medias en el tiempo de secado sea mayor a uno a favor dela pintura A.R/0.13%

72) Las estaturas de 1000 estudiantes de colegio Occidente de Tuluaestán distribuidas aproximadamente en forma normal con una media de174.5 centímetros y una desviación estándar de 6.9 centímetros. Si seextraen 200 muestras aleatorias de tamaño 25 sin reemplazo de estapoblación, determine: a) El número de las medias muestrales que caenentre 172.5 y 175.8 centímetros.R/ 152 media muestrales b) El númerode medias muestrales que caen por debajo de 172 centímetros.R/ 7medias muestrales

73) Un Jarabe para el malestar estomacal tiene la advertencia de quealgunos usuarios pueden presentar una reacción adversa a él, más aún,se piensa que alrededor del 3% de los usuarios tienen tal reacción. Si unamuestra aleatoria de 150 personas con malestar estomacal usa el jarabe ,encuentre la probabilidad de que la proporción de la muestra de losusuarios que realmente presentan una reacción adversa, exceda el 4%.

a) Resolverlo mediante la aproximación de la normal a la binomialR/p(x>6) = 0.1685. Este valor significa que existe una probabilidad del17% de que al extraer una muestra de 150 personas, mas de 6presentarán una reacción adversa.

b) Resolverlo con la distribución muestral de proporciones R/ existe unaprobabilidad del 17% de que al tomar una muestrade 150 personas setenga una proporción mayor de 0.04 presentando una reacción adversa.

159

TOMO 1 DEL COMPULIBRO ESTADISTICA II DE CIR 74) Se ha determinado que 60% de los estudiantes Uceva fumancigarrillos. Se toma una muestra aleatoria de 800 estudiantes. Calcule laprobabilidad de que la proporción de la muestra de la gente que fumacigarrillos sea menor que 0.55.Realizarlo por 2 métodos R//Laprobabilidad del 0.17% de que al extraer una muestra de 800 estudiantes,menos de 440 fuman cigarrillos.

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LINKGRAFIA


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TOMO 1 DEL COMPULIBRO ESTADISTICA II DE CIR TOMO 1 ... · tipos de probabilidaes 12 aplicaciones 12 elementos de estadistica descriptiva 13 definiciÓn de estadÍstica 13 poblacion