Tomo II2.4 A nt iequivale cia var dades afine s-d omini finamente generados sobre k Un 3 idad I. Localización .1 Fra ciones 3.2 Producto tensorial. 3.3 Anillos y módulos de longitud

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO

PROGRAMA DE MAESTRÍA Y DOCTORADO EN CIENCIAS

MATEMÁTICAS Y DE LA ESPECIALIZACIÓN EN ESTADÍSTICA APLICADA

Tomo II

(Maestría en Ciencias Matemáticas)

Planes de Estudios

Maestría en Ciencias Matemáticas

Doctorado en Ciencias Matemáticas, presencial y a distancia

Especialización en Estadística Aplicada

Grados que se otorgan

Maestro en Ciencias

Doctor en Ciencias

Especialista en Estadística Aplicada

Campos de conocimiento que comprende

Álgebra

Análisis

Análisis Numérico y Computación Científica (incluyendo Modelación)

Ecuaciones Diferenciales (ordinarias y parciales)

Estadística

Finanzas Matemáticas

Geometría

Matemáticas Discretas

Probabilidad

Sistemas Continuos

Topología

Campos de conocimiento que comprende la especialización

Estadística

Entidades académicas participantes

Facultad de Ciencias

Instituto de Investigaciones en Matemáticas Aplicadas y en Sistemas

Instituto de Matemáticas

Centro de Ciencias matemáticas

Fechas de aprobación u opiniones

Adecuación y modificación del Programa de Maestría y Doctorado en Ciencias Matemáticas, y de la

Especialización en Estadística Aplicada.

Fecha de aprobación del Consejo Académico del Área de las Ciencias Físico Matemáticas y de las Ingenierías: 12 de agosto de 2009.

Errata al Programa aprobado el 12 de agosto de 2009 Incorporación de actividades académicas

correspondientes al campo de conocimiento Matemáticas Financieras.

Fecha de aprobación del Consejo Académico del Área de las Ciencias Físico Matemáticas y de las Ingenierías: 28 de octubre de 2009.

Corrección a la Errata aprobada el 28 de octubre de 2009:

Autorizada por la Coordinación del Consejo Académico del Área de las Ciencias Físico Matemáticas y de las Ingenierías: 8 de febrero de 2010.

3

Contenido ÁLGEBRA CONMUTATIVA .............................................................................................................................. 5

ÁLGEBRA MODERNA ....................................................................................................................................... 8

ANÁLISIS FUNCIONAL I ................................................................................................................................. 10

ANÁLISIS REAL I .............................................................................................................................................. 64

ANÁLISIS COMPLEJO I.................................................................................................................................... 67

SOLUCIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS I ........................................ 69

SOLUCIÓN NUMÉRICADE ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES (METODOS EN

DIFERENCIAS) .................................................................................................................................................. 72

ANÁLISIS ASINTÓTICO ................................................................................................................................... 75

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS ........................................................................................... 78

ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES .............................................................................................. 81

ANÁLISIS NUMÉRICO I ................................................................................................................................... 84

INFERENCIA BAYESIANA .............................................................................................................................. 87

INFERENCIA ESTADÍSTICA ........................................................................................................................... 90

TEORÍA DE LAS GRÁFICAS ........................................................................................................................... 92

TEORÍA DE MATROIDES ................................................................................................................................ 95

INTRODUCCIÓN A LA MECÁNICA ANALÍTICA ........................................................................................ 97

MODELACIÓN MATEMÁTICA DE SISTEMAS CONTINUOS ................................................................... 100

PROBABILIDAD II .......................................................................................................................................... 103

TOPOLOGÍA ALGEBRAICA .......................................................................................................................... 105

TOPOLOGÍA DIFERENCIAL .......................................................................................................................... 108

TOPOLOGÍA GENERAL ................................................................................................................................. 111

INTRODUCCIÓN A LOS MEDIOS CONTINUOS - ...................................................................................... 115

FINANZAS MATEMÁTICAS Y DERIVADOS EN TIEMPO DISCRETO .................................................... 117

TEORÍA DE RIESGO ....................................................................................................................................... 119

FINANZAS MATEMÁTICAS Y DERIVADOS EN TIEMPO CONTINUO ................................................... 121

CURSO AVANZADO DE ÁLGEBRA............................................................................................................. 123

CURSO AVANZADO DE ÁLGEBRA............................................................................................................. 125

SEMINARIO DE ÁLGEBRA ........................................................................................................................... 127

CURSO AVANZADO DE ANÁLISIS ............................................................................................................. 129

SEMINARIO DE ANÁLISIS ............................................................................................................................ 131

CURSO AVANZADO DE ANÁLISIS NUMÉRICO Y COMPUTACIÓN CIENTÍFICA (INCLUYENDO

MODELACIÓN) ............................................................................................................................................... 133

CURSO AVANZADO DE ESTADÍSTICA ...................................................................................................... 135

SEMINARIO DE ESTADÍSTICA ..................................................................................................................... 137

CURSO AVANZADO DE GEOMETRÍA ........................................................................................................ 139

CURSO AVANZADO DE GEOMETRÍA ........................................................................................................ 141

SEMINARIO DE GEOMETRÍA ....................................................................................................................... 143

CURSO AVANZADO DE MATEMÁTICAS DISCRETAS ........................................................................... 145

4

CURSO AVANZADO DE MATEMÁTICAS DISCRETAS ........................................................................... 147

CURSO AVANZADO DE PROBABILIDAD .................................................................................................. 149

CURSO AVANZADO DE PROBABILIDAD .................................................................................................. 151

SEMINARIO DE PROBABILIDAD ................................................................................................................. 153

CURSO AVANZADO DE SISTEMAS CONTINUOS .................................................................................... 155

CURSO AVANZADO DE SISTEMAS CONTINUOS .................................................................................... 157

SEMINARIO DE SISTEMAS CONTINUOS ................................................................................................... 159

CURSO AVANZADO DE TOPOLOGÍA ......................................................................................................... 161

CURSO AVANZADO DE ANÁLISIS NUMÉRICO Y COMPUTACIÓN CIENTÍFICA (INCLUYENDO

MODELACIÓN) ............................................................................................................................................... 166

CURSO AVANZADO DE ANÁLISIS ............................................................................................................. 168

CURSO AVANZADO DE ECUACIONES DIFERENCIALES (ORDINARIAS Y PARCIALES) ................ 170

CURSO AVANZADO DE ECUACIONES DIFERENCIALES (ORDINARIAS Y PARCIALES) ................ 172

CURSO AVANZADO DE TOPOLOGÍA ......................................................................................................... 174

SEMINARIO DE MATEMÁTICAS DISCRETAS ........................................................................................... 176

SEMINARIO DE TOPOLOGÍA ....................................................................................................................... 178

GEOMETRÍA DIFERENCIAL ......................................................................................................................... 180

PROBABILIDAD I ............................................................................................................................................ 183

GEOMETRÍA ALGEBRAICA ......................................................................................................................... 186

SEMINARIO DE ANÁLISIS NUMÉRICO Y COMPUTACIÓN CIENTÍFICA (INCLUYENDO

MODELACIÓN) ............................................................................................................................................... 189

CURSO AVANZADO DE FINANZAS MATEMATICAS .............................................................................. 190

MODELOS LINEALES .................................................................................................................................... 191

PROCESOS ESTOCÁSTICOS ......................................................................................................................... 194

CURSO AVANZADO DE ESTADÍSTICA ...................................................................................................... 197

CURSO AVANZADO DE FINANZAS MATEMATICAS .............................................................................. 198

SEMINARIO DE ECUACIONES DIFERENCIALES (ORDINARIAS Y PARCIALES) ............................... 199

SEMINARIO DE FINANZAS MATEMATICAS ............................................................................................ 200

5

6. Programas de las actividades académicas de los planes de estudio del Programa

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO PROGRAMA DE POSGRADO

PROGRAMA DE MTRÍA. Y DOC. EN CIENCIAS MATEMÁTICAS Y DE LA ESP. EN EST. APL.

Programa de actividad académica

Denominación: ÁLGEBRA CONMUTATIVA

Clave: 62538 Semestre(s):

1,2,3,4 Campo de Conocimiento: Álgebra No. Créditos: 9

Carácter: Obligatoria de elección Horas Horas por semana

Horas al Semestre

Tipo: Teórica Teoría: 4.5 Práctica: 0 4.5 72

Modalidad: Curso Básico Duración del programa: 16 semanas

Seriación: Sin Seriación ( X ) Obligatoria ( ) Indicativa ( )

Actividad académica antecedente:

Actividad académica subsecuente:

Objetivo general:

Presentar los fundamentos y conceptos básicos del Álgebra Conmutativa.

Objetivos específicos:

Familiarizar al estudiante con la teoría básica de anillos y nódulos para el estudio de las variedades algebraicas.

Índice Temático

Unidad Tema Horas

Teóricas Prácticas

1 Unidad I. 8 0

2 Unidad II. 8 0 3 Unidad III. 8 0

4 Unidad IV. 8 0

5 Unidad V. 8 0

6 Unidad VI. 8 0

7 Unidad VII. 8 0 8 Unidad VIII 8 0

9 Unidad IX. 8 0

Total de horas: 72 0

Suma total de horas: 72

Contenido Temático

Unidad Tema y Subtemas

1

Unidad I.

Variedades afines 1.1 Conjuntos algebraicos. 1.2 Topología de Zariski. 1.3 Componentes irreducibles. 1.4 Dimensión de Krull.

2

Unidad II.

Morfismos 2.1 Funciones regulares. 2.2 Campo de funciones. 2.3 Morfismos.

2.4 Antiequivalencia variedades afines-dominios finamente generados sobre k

3

Unidad III.

Localización 3.1 Fracciones. 3.2 Producto tensorial. 3.3 Anillos y módulos de longitud finita.

4

Unidad IV.

Descomposición primaria 4.1 Primos asociados. 4.2 Descomposición primaria. 4.3 Interpretación geométrica.

5

Unidad V.

Dependencia Integral

5.1 Teorema de Cayley-Hamilton y lema de Nakayama 5.2 Dominios normales 5.3 Primos en extensiones enteras 5.4 Teorema de ceros de Hilbert (Nullstellensatz)

6

Unidad VI.

Lema de Artin-Rees 6.1 Anillos y módulos graduados asociados. 6.2 El álgebra de la explosión (blowup). 6.3 Teorema de intersección de Krull.

7

Unidad VII.

Módulos planos 7.1 El funtor Tor y caracterizaciones de módulos planos.

8

Unidad VIII

Completaciones 8.1 Propiedades básicas. 8.2 Lema de Hensel. 8.3 Teoría de Cohen (sin demostraciones).

9

Unidad IX.

Teoría de dimensión (sin demostraciones) 9.1 Axiomas, anillos afines y hormalización de Noether. 9.2 Sistemas de parámetros y teorema de ideales

principales de Krull. 9.3 Polinomios de Hilbert.

Bibliografía Básica:

- EISENBUD, D., COMMUTATIVE ALGEBRA WITH A VIEW TOWARDS ALGEBRAIC GEOMETRY, SPRINGER-VERLAG, NEW YORK, 1995. - HARTSHORNE, R., ALGEBRAIC GEOMETRY, SPRING-VERLAG, NEW YORK, 1977. - MATSUMURA, H., COMMUTATIVE ALGEBRA, W.A. BENJAMIN, NEW YORK, 1970.

Bibliografía Complementaría:

- MATSUMURA, H., COMMUTATIVE RING THEORY. CAMBRIDGE UNIVERSITY PRESS., UNITED KINGDOM., 1986. - ATIYAH, M.F y I. G. MACDONALD, INTRODUCTION TO COMMUTATIVE ALGEBRA, ADDISON WESLEY, READING, - -------------------, 1969..

Sugerencias didácticas: Mecanismos de evaluación de aprendizaje de los

Exposición oral (X) Exposición audiovisual ( ) Ejercicios dentro de clase (X) Ejercicios fuera del aula (X) Seminarios (X) Lecturas obligatorias ( ) Trabajo de Investigación ( ) Prácticas de taller o laboratorio ( ) Prácticas de campo ( ) Otros:

alumnos: Exámenes Parciales (X) Examen final escrito (X) Trabajos y tareas fuera del aula ( ) Exposición de seminarios por los alumnos ( ) Participación en clase (X) Asistencia ( ) Seminario ( ) Otras:

Línea de investigación:

Perfil profesiográfico: Maestro o Doctor en Ciencias Matemáticas




Denominación:

ÁLGEBRA MODERNA




Horas al Semestre


Modalidad: Curso Básico Duración del programa: Semestral




Objetivo general:

Introducir al estudiante en la teoría general de la estructura Algebraica.

Objetivos específicos: Que el alumno adquiera los elementos que le permitan profundizar en el estudio del área o aplicarlos en otras ramas de la matemática.

Índice Temático

Unidad Tema Horas

Teóricas Prácticas 1 Unidad I. 24 0

2 Unidad II. 24 0

3 Unidad III. 24 0



Contenido Temático


1

Unidad I.

Grupos 1.1 Homomorfismos y teoremas de isomorfia. 1.2 Grupo simétrico. Clases de conjugación. Conjuntos de

generadores. 1.3 Acciones de grupos en conjuntos y representaciones

por permutaciones. 1.4 Automorfismos y productos semidirectos. 1.5 Teoremas de Sylow. Aplicaciones. 1.6 Series de composición, grupos solubles y nilpotentes. 1.7 Grupos libres y presentaciones. Definición y ejemplos. 1.8 Grupos abelianos divisibles (optativo).

2

Unidad II.

Anillos 2.1 Anillos de polinomios. 2.2 Dominios de ideales principales. 2.3 Estructura de módulos finamente generados sobre

dominios de ideales principales. 2.4 Teorema de factorización única en anillos de

polinomios.

3

Unidad III.

Campos 3.1 Extensiones. 3.2 Campos finitos. 3.3 Cerradura algebraica. 3.4 Teoría de Galois. 3.5 Aplicaciones de la teoría de Galois.


- ARTIN, E, GALOIS THEORY, NOTREDAME, ---------------------------, 1955. - ARTIN, M, ALGEBRA, PRENTICE HALL, -------------------------, 1991. - FRALEIGH, J. B., ALGEBRA ABSTRACTA, ADDISON WESLEY, -------------------------, 1988. - JACOBSON, N, BASIC ALGEBRA 2 VOLS, W.H. FREEMAN, ---------------------------, 1985/1989. - KAPLANSKY, I., FIELDS AND RINGS, UNIVERSITY OF CHICAGO PRESS, -----------------------, 1973. - LANGS, S, ALGEBRA, ADDISON WESLEY, -------------------------, 1993. - MORANDI, PATRICK, FIELD AND GALOIS THEORY, SPRINGER VERLAG, NEW YORK, 1996. - ALPERIN, J. L. y R.W.BELL, GROUPS AND REPRESENTATIONS, SPRINGER, ------------------------, 1995. - BIRKHOFF, G y S. MACLANE, ALGEBRA 2° EDICION, MACMILLAN, --------------------------, 1979.


- STEWART, I, GALOIS THEORY 2° EDITION, CHAPMAN AND HALL, ----------------------, 1989. - ZALDIVAR, F, TEORIA DE GALOIS, ANTHROPOS-UNAM, ----------------------, 1996. - ROTMAN, J, AN INTRODUCTION TO THE THEORY OF GROUPS, SPRINGER 4° EDICION, --------------------, 1995. - DUMMIT y FOOTE, ABSTRACT ALGEBRA, PRENTICE HALL, ----------------, 1991.

Sugerencias didácticas: Exposición oral (X) Exposición audiovisual ( ) Ejercicios dentro de clase (X) Ejercicios fuera del aula (X) Seminarios (X) Lecturas obligatorias ( ) Trabajo de Investigación ( ) Prácticas de taller o laboratorio ( ) Prácticas de campo ( ) Otros:

Mecanismos de evaluación de aprendizaje de los alumnos: Exámenes Parciales (X) Examen final escrito (X) Trabajos y tareas fuera del aula ( ) Exposición de seminarios por los alumnos ( ) Participación en clase (X) Asistencia ( ) Seminario ( ) Otras:






Denominación: ANÁLISIS FUNCIONAL I Clave: 62539

Semestre(s): 1,2,3,4

Campo de Conocimiento: Análisis No. Créditos: 9


Horas al Semestre






Objetivo general: Extender la noción de espacios de Banach a espacios más generales llamados espacios vectoriales topológicos, así

como estudiar los operadores lineales definidos sobre tales espacios.

Objetivos específicos: Hacer ver al alumno que se pueden generalizar la mayoría de resultados en espacios de Banach a los espacios vectoriales topológicos y que se pueden extender las nociones del análisis clásico a tales espacios.

Índice Temático

Unidad Tema Horas


1 Unidad I. 12 0

2 Unidad II. 12 0

3 Unidad III. 12 0 4 Unidad IV. 12 0

5 Unidad V. 12 0

6 Unidad VI. 12 0



Contenido Temático


1

Unidad I.

Espacios métricos 1.1 Definición. 1.2 Ejemplos. 1.3 Topología. 1.4 Convergencia. 1.5 Espacios completos.

2

Unidad II.

Espacios normados y de Banach 2.1 Definición. 2.2 Ejemplos. 2.3 Subespacios. 2.4 Bases. 2.5 Completitud. 2.6 Compacidad. 2.7 Lema de Riesz. 2.8 Operadores lineales y funcionales.

2.9 Operadores continuos y norma. 2.10 Ejemplos. 2.11 Espacio dual.

3

Unidad III.

Espacios de Hilbert 3.1 Definición. Ortogonalidad. Ejemplos. 3.2 Completitud. Subespacios. Complementos ortogonales. Proyección. 3.3 Conjuntos ortogonales y totales. 3.4 Bases. Desigualdad de Bessel. Espacios separables. 3.5 Ejemplos de bases. 3.6 Teorema de Riesz. 3.7 Aplicaciones: Lax Milgram, aproximación, splines. 3.8 Operadores adjuntos. 3.9 Operadores autoadjuntos, unitarios y normales.

4

Unidad IV.

Teoremas fundamentales 4.1 Teorema de Hahn Banach, duales y espacios reflexivos. 4.2 Teorema de acotamiento uniforme, ejemplos, convergencia débil y aplicaciones. Teorema de Banach- Alaogla. 4.3 Teorema de la aplicación abierta y de la gráfica cerrada. Operadores cerrados. 4.4 Teorema de punto fijo de Banach y aplicaciones.

5

Unidad V.

Teoría espectral de operadores acotados 5.1 Definiciones espectrales. Teorema espectral, analiticidad. 5.2 Operadores compactos, sucesiones de operadores compactos, adjunto y espectro. 5.3 Operadores de Fredholm y ascenso. 5.4 Alternativa de Fredholm y aplicaciones. 5.5 Operadores autoadjuntos. 5.6 Descomposición espectral. 5.7 Operadores positivos. 5.8 Análisis funcional de operadores y teorema espectral. 5.9 Aplicaciones.

6

Unidad VI.

Teoría espectral de operadores autoadjuntos 6.1 Operadores no acotados, cerrados y autoadjuntos. 6.2 Extensiones. 6.3 Propiedades espectrales. 6.4 Representación espectral de operadores unitarios y de operadores autoadjuntos. 6.5 Aplicaciones.


- KREYSZIG, E., INTRODUCTORY FUNCTIONAL ANALYSIS WITH APPLICATIONS, JOHN WILEY AND SONS, ------------ -----------, 1978. - SCHECHTER, M., PRINCIPLES OF FUCNTIONAL ANALYSIS, ACADEMIC PRESS, ----------------------, 1971. - RUDIN, W, FUCNTIONAL ANALYSIS, MCGRAW HILL, -----------------------, 1973. - T.HUSAIN, ORTHOGONAL SCHAUDER BASES, PURE AND APPLIED MATHEMATICS, M. DECKER, ---------------------, 1991. - AKHIEZER, N.I. y M. GLAZMAN, THEORY OF LINEAR OPERATOR IN HILBERT SPACES, UNGAR, 1966. - RIESZ, F y B SG-NAGY, FUNCTIONAL ANALYSIS, UNGAR, 1955.


- KENEVAN, S., TOPICS IN FUNTIONAL ANALYSIS AND APPLICATIONS, WILEY, -----------------------------, 1989.

- BREZIS, H, ANALYSE FONCTIONNELLE, MASON, ----------------------, 1983. - NIRENBERG, L. , FUNCTIONAL ANALYSIS, , CIMS LECTURE NOTES, -----------------------, 1961.

Sugerencias didácticas: Exposición oral (X) Exposición audiovisual ( ) Ejercicios dentro de clase (X) Ejercicios fuera del aula (X) Seminarios ( ) Lecturas obligatorias (X) Trabajo de Investigación ( ) Prácticas de taller o laboratorio ( ) Prácticas de campo ( ) Otros:

Mecanismos de evaluación de aprendizaje de los alumnos: Exámenes Parciales (X) Examen final escrito (X) Trabajos y tareas fuera del aula (X) Exposición de seminarios por los alumnos ( ) Participación en clase (X) Asistencia ( ) Seminario ( ) Otras:


Perfil profesiográfico: Maestro o Doctor en Ciencias Matemáticas.




Denominación: ANÁLISIS REAL I


1,2,3,4 Campo de Conocimiento: Análisis No. Créditos: 9


Horas al Semestre






Objetivo general: Extender la noción de integración de funciones definidas sobre espacios euclidianos, a dominios más generales llamados

espacios medibles. Estudiar los espacios de Hilbert y los operadores definidos sobre tales espacios.

Objetivos específicos: Familiarizar al alumno con las nociones de medida y de integral de Lebesgue, las cuales permiten ampliar la clase de funciones integrables. Hacer notar al alumno la variedad de resultados que permiten intercambiar los procesos de límite de funciones e integración.

Índice Temático

Unidad Tema Horas


1 Unidad I. 9 0 2 Unidad II. 9 0

3 Unidad III. 9 0

4 Unidad IV. 9 0

5 Unidad V. 9 0 6 Unidad VI. 9 0

7 Unidad VII. 9 0

8 Unidad VIII. 9 0



Contenido Temático


1

Unidad I.

Introducción 1.1 Topología, métricas y continuidad. 1.2 Topologías producto y compacidad. 1.3 Completez y compacidad en espacios métricos. 1.4 Algunos espacios métricos. 1.5 Completación de espacios métricos.

2

Unidad II.

Medidas abstractas 2.1 Anillos, álgebras y álgebras. 2.2 Espacios de medida. 2.3 Medidas exteriores.

2.4 Completación de medidas. 2.5 Medida de Lebesgue y conjuntos no medibles. 2.6 Medida de Lebesgue-Stieljes.

3

Unidad III.

Integración 3.1 Integral de funciones simples y de funciones no

negativas. 3.2 Integrabilidad de funciones con valores en los reales

extendidos. 3.3 Teorema de convergencia monótona. 3.4 Lema de Fatou. 3.5 Teorema de convergencia dominada.

4

Unidad IV.

Espacios L p

4.1 Definición de espacios L p 4.2 Desigualdades de Minkowski y Hölder 4.3 Normas y completez en L p 4.4 Convergencias puntual, casi en todas partes y en L p,

comparación entre ellas. 4.5 Inclusión de los espacios L p y relación entre dos

medidas 4.6 Medidas con signo, teoremas de Radon Nykodym y

representación de Riesz.

5

Unidad V.

Transformada de Fourier.

6

Unidad VI.

Otras medidas (Hausdorff, Wiener, Haar)

7

Unidad VII.

Distribuciones.

8

Unidad VIII.

Convexidad y espacios duales.


- DUDLEY, R.M., REAL ANALYSIS AND PROBABILITY, WADSWORTH AND BROOKS/COLE, BELMONT, 1989. - HALMOS, P.R., MEASURE THEORY, SPRINGER VERLAG, NEW YORK, 1974. - ROYDEN, H.L., ANALYSIS, COLLIER-MACMILLAN PRESS EDITORS, -----------------------, 1968. - RUDIN, W, REAL AND COMPLEX ANALYSIS, MCGRAW-HILL, ------------------------, 1977. - WHEEDEN, R.L. y A. SIGMUND, MEASURE AND INTEGRAL, MARCEL DEKKER INC, -------------------------, 1977.


- ASH, R.B., REAL ANALYSIS AND PROBABILITY, ACADEMIC PRESS, NEW YORK, 1972. - COHN, D.L., MEASURE THEORY, BIRKHAUSER, BOSTON, 1980. - DOOB, J.L., MEASURE THEORY, SPRINGER VERLAG, NEW YORK, 1994.

Sugerencias didácticas: Exposición oral (X) Exposición audiovisual ( ) Ejercicios dentro de clase (X) Ejercicios fuera del aula (X) Seminarios (X)

Mecanismos de evaluación de aprendizaje de los alumnos:

Exámenes Parciales (X) Examen final escrito (X) Trabajos y tareas fuera del aula (X) Exposición de seminarios por los alumnos ( )

Lecturas obligatorias ( ) Trabajo de Investigación ( ) Prácticas de taller o laboratorio ( ) Prácticas de campo ( ) Otros:

Participación en clase (X) Asistencia ( ) Seminario ( ) Otras:






Denominación: ANÁLISIS COMPLEJO I




Horas al Semestre






Objetivo general:

El alumno debe conocer los métodos, técnicas y resultados obtenidos en el estudio de funciones de variable compleja y establecer la diferencia con la teoría de funciones de variable real.

Objetivos específicos: Estudiar las propiedades de las funciones holomorfas definidas en el plano complejo. Estudiar la diferenciación e integración sobre curvas de tal clase de funciones. Aplicar el teorema del residuo para el cálculo de integrales, series y transformadas de Fourier de funciones.

Índice Temático

Unidad Tema Horas


1 Unidad I. 12 0


4 Unidad IV. 12 0

5 Unidad V. 12 0

6 Unidad VI. 12 0

Total de horas: 72 0 Suma total de horas: 72

Contenido Temático


1

Unidad I.

Funciones de variable compleja 1.1 Funciones analíticas en regiones. 1.2 Transformaciones lineales. 1.3 Superficies de Riemann elementales.

2

Unidad II.

Integración compleja 2.1 Singularidades removibles, ceros, polos y principio del

máximo. 2.2 La forma general del teorema de Cauchy. 2.3 Cálculo de residuos.

3 Unidad III.

Transformación conforme 3.1 El teorema de la transformación de Riemann. 3.2 La fórmula Schwarz-Christoffel. 3.3 Funciones armónicas. 3.4 El problema de Dirichlet. 3.5 Transformaciones canónicas de regiones

múltiplemente conexas.

4

Unidad IV.

Series y productos 4.1 Teorema de Weierstrass. 4.2 Series de Taylor y de Laurent. 4.3 Productos infinitos. 4.4 La función Gamma. 4.5 Funciones enteras.

5

Unidad V.

Funciones Elípticas

6

Unidad VI.

Aplicaciones


- AHLFORS, LARS V, COMPLEX ANALYSIS, MCGRAW HILL, ------------------, 1996. - CONWAY, JHN B, FUNCTIONS OF ONE COMPLEX VARIABLE, SPRINGER VERLAG GRADUATE TEXTS IN MATHEMATICS, ------------------, 1975. - NEHARI, ZEEV, CORFORMAL MAPPING, DOVER, 1975. - WHITTAKER, E.T. y G.N. WATSON, A COURSE OF MODERM ANALYSIS, CAMBRIDGE UNIVERSITY PRESS, ---------- -----------, 1973.


- TITCHMARSH, E.C, THE THEORY OF FUNCTIONS, OXFORD UNIVERSITY PRESS, ------------------------, 1939. - SIEGEL, CARL L, TOPICS IN COMPLEX FUNCTION THEORY, VOL I: ELLIPTIC FUNCIONS AND UNIFORMIZATION THEORY, WILEY INTERSCIENCE, -----------------------, 1969.


Mecanismos de evaluación de aprendizaje de los alumnos: Exámenes Parciales (X) Examen final escrito ( ) Trabajos y tareas fuera del aula (X) Exposición de seminarios por los alumnos ( ) Participación en clase (X) Asistencia ( ) Seminario ( ) Otras:






Denominación: SOLUCIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES

DIFERENCIALES ORDINARIAS I


1,2,3,4 Campo de Conocimiento: Análisis Numérico y Computación Científica (incluyendo Modelación)

No. Créditos: 9


Horas al Semestre






Objetivo general:

Que el estudiante conozca las características fundamentales que debe cumplir un esquema de discretización para resolver problemas de condiciones iniciales, y los resultados que relacionan los conceptos de consistencia y estabilidad con el de convergencia. Experimentar con esquemas que no necesariamente cumplen dichas características.


Que el estudiante conozca los principales grupos de métodos (Métodos lineales multipaso, métodos Predictor -Corrector, métodos Runge Kutta), para resolver problemas de condiciones iniciales en su desarrollo y características de orden de convergencia y estabilidad lineal. Que el estudiante conozca de esquemas para la estimación del error y en control automático de paso, y de su implementación. Que el estudiante experimente y conozca de las dificultades que se presentan al resolver los llamados problemas rígidos (stiff), los aprenda a reconocer y conozca acerca de las características que deben cumplir los métodos adecuados para estos problemas.

Índice Temático

Unidad Tema Horas


1 Unidad I. 12 0

2 Unidad II. 12 0

3 Unidad III. 12 0

4 Unidad IV. 12 0




Contenido Temático


1

Unidad I.

Introducción a los Métodos Numéricos 1.1 Conceptos básicos: discretización, errores local y

global, consistencia, estabilidad y convergencia.

2

Unidad II.

Métodos Lineales Multipaso 2.1 Errores local y global. 2.2 Cotas de error. 2.3 Teoría de estabilidad lineal.

2.4 Métodos BDF (Backward Differential Formula).

3

Unidad III.

Métodos Predictor-Corrector 3.1 Error local de truncamiento. 3.2 Teoría de estabilidad para los métodos predictor-

corrector. 3.3 Estrategias de paso variable (longitud).

4

Unidad IV.

Métodos de un paso 4.1 Introducción a los métodos de Runge-Kutta,

consistencia, error local, orden y convergencia. 4.2 Introducción a la teoría de Butcher, condiciones de

orden. 4.3 Métodos explícitos, implícitos y semi-implícitos. 4.4 Teoría de estabilidad para los métodos de Runge-

Kutta.

5

Unidad V.

Ecuaciones diferenciales Stiff, Teoría de estabilidad lineal 5.1 La naturaleza de stiffness. 5.2 Métodos implícitos en el contexto de stiffness. 5.3 Métodos lineales multipaso. 5.4 Métodos de Runge-Kutta. 5.5 Correlación con métodos en diferencias para

ecuaciones diferenciales. parciales

6

Unidad VI.

Ecuaciones Diferenciales Staff, Teoría de Estabilidad Nolineal

6.1 G-estabilidad. 6.2 Estabilidad nolineal para los métodos de Runge-Kutta. 6.3 B-convergencia.


- LAMBERT, J.D.., NUMERICAL METHODS FOR ORDINARY DIFFERENTIAL SYSTEMS. THE INITIAL VALUE PROBLEM, WILEY 2° EDITION, --------------------------------, 1991. - SHAMPINE, L.F., NUMERICAL SOLUTION OF ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS, CHAPMAN & HALL, ------------ ----------, 1994. - CELIA, M.A. y GRAY, W.G., NUMERICAL METHODS FOR DIFFERENTIAL EQUATIONS. FUNDAMENTAL CONCEPTS FOR SCIENTIFIC AND ENGINEERING APPLICATIONS, PRENTICE HALL, ----------------------, 1992. - HAIRER E y NORSETT S.P., WANNER G, SOLVING ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS I: NONSTIFF PROBLEMS, SPRINGER 2° EDITION, --------------------------, 1993.


- BUTCHER, J.C., THE NUMERICAL ANALYSIS OF ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS, WILEY, -----------------------, 1987. - HAIRER. E, NORSETT, S.P. y WANNER, G., SOLVING ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS II: STIFF AND DIFFERENTIAL-ALGEBRAIC PROBLEMS, SPRINGER, ------------------------, 1991.

Sugerencias didácticas: Exposición oral (X) Exposición audiovisual ( ) Ejercicios dentro de clase (X) Ejercicios fuera del aula (X) Seminarios (X) Lecturas obligatorias ( )


Exámenes Parciales (X) Examen final escrito (X) Trabajos y tareas fuera del aula (X) Exposición de seminarios por los alumnos ( ) Participación en clase (X)

Trabajo de Investigación ( ) Prácticas de taller o laboratorio ( ) Prácticas de campo ( ) Otros:

Asistencia ( ) Seminario ( ) Otras:






Denominación: SOLUCIÓN NUMÉRICADE ECUACIONES

DIFERENCIALES PARCIALES (METODOS EN DIFERENCIAS)



No. Créditos: 9


Horas al Semestre






Objetivo general: El alumno entenderá, con base en problemas concretos, que tipo de EDP es posible usar para formular un modelo correspondiente a un problema dado. Además, será capaz de formular esquemas adecuados para resolverlo y de realizar su estudio y análisis.

Objetivos específicos: El alumno deberá formular modelos matemáticos en EDP correspondientes a distintos problemas concretos.

Deberá de ser capaz de entender el tipo de EDP que está usando para modelar un problema, así como el grado de generalidad que tiene.

Deberá resolver problemas mediante diferentas finitas, realizar los códigos correspondientes y analizar los resultados.

Índice Temático

Unidad Tema Horas


1 Unidad I. 18 0

2 Unidad II. 18 0

3 Unidad III. 18 0

4 Unidad IV. 18 0


Contenido Temático


1

Unidad I.

Ecuaciones Parabólicas 1.1 Ecuaciones parabólicas en una dimensión,

convergencia y estabilidad. 1.2 Condiciones de frontera. 1.3 Ecuaciones parabólicas en dos dimensiones: métodos

explícitos e implícitos de dirección alternante (A.D.I.) 1.4 Métodos locales de una dimensión. 1.5 Ecuaciones parabólicas en tres dimensiones, métodos

explícitos e implícitos. 1.6 Esquemas en diferencias en tres niveles: explícitos e

implícitos. 1.7 Ecuaciones no lineales.

2

Unidad II.

Ecuaciones elípticas 2.1 Ecuaciones elípticas en dos dimensiones. 2.2 Ecuación de Laplace en un cuadrado. 2.3 El problema de Neumann. 2.4 Condiciones de frontera mixtas. 2.5 Regiones no rectangulares. 2.6 Ecuaciones elípticas autoadjuntas. 2.7 Otros métodos para construir esquemas en

diferencias. 2.8 Propiedades generales de los esquemas en

diferencias. 2.9 La ecuación biharmónica. 2.10 Métodos iterativos clásicos. 2.11 Métodos de gradientes conjugados. 2.13 Métodos A.D.I. 2.14 Problemas de eigenvalores.

3

Unidad III.

Ecuaciones Hiperbólicas 3.1 Ecuaciones hiperbólicas de primer orden, esquemas

en diferencias explícitas e implícitas. 3.2 Sistemas hiperbólicos de primer orden en una

dimensión. 3.3 Leyes de conservación. 3.4 Sistemas hiperbólicos de primer orden en dos

dimensiones. 3.5 Disipación y dispersión. 3.6 Estabilidad de problemas con valor inicial. 3.7 Inestabilidad no lineal. 3.8 Ecuaciones de segundo orden en una y dos

dimensiones.

4

Unidad IV.

Aplicaciones 4.1 Esquinas reentrantes y singularidades en la frontera. 4.2 Flujo viscoso incomprensible. 4.3 Flujo compresible. 4.4 Problemas con frontera libre. 4.5 Crecimiento del error en problemas de conducción-

convención.


- SMITH, G.D., NUMERICAL SOLUTION OF PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS: FINITE DIFFERENCE METHODS, CLARENDON PRESS, 3 TD EDITION, ------------------------, 1985. - STRIKWERDA, J.C., FINITE DIFFERENCE SCHEMES AND PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS, WADSWORT & BROOKS/COLE ADVANCED BOOKS & SOFTWARE, --------------------, 1989. - AMES, W.A., NUMERICAL METHODS FOR PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS, ACADEMIC PRESS, 3 TD EDITION, -----------------------, 1977. - MITCHELL, A.R. y GRIFFITHS, D.F., THE FINITE DIFFERENCE METHOD IN PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS, WILEY, --------------------, 1980. - LAPIDUS, L. y PINDER, G.F., NUMERICAL SOLUTION OF PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS IN SCIENCE AND ENGINEERING, WILEY, ----------------------, 1982. - MEIS, T. y MARCOWITZ, U, NUMERICAL SOLUTION OF PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS, SPRINGER APPLIED MATH. SCIES. SER 32, -------------------------, 1981.


- GODLEWSKI, E y RAVIAT, P., NUMERICAL APROXIMATION OF HYPERBOLIC SYSTEMS OF CONSERVATION LAWS, APPLIED MATH. SCIENCES, 118 SPRINGER VERLAG, -----------------------------, 1996.

- RICHTMYER, R.D. y MORTON, K.W., DIFFERENCE METHODS FOR INITIAL-VALUE PROBLEMS, WILEY, 2° EDITION, --------------------------, 1967.








Denominación: ANÁLISIS ASINTÓTICO


1,2,3,4 Campo de Conocimiento: Ecuaciones Diferenciales

(ordinarias y parciales) No. Créditos: 9


Horas al Semestre


Modalidad: Curso Básico Duración del programa: 16 semanas




Objetivo general:

El objetivo general de este curso es que el alumno adquiera conocimientos sobre los métodos del análisis asintótico y sus aplicaciones.

Objetivos específicos: El alumno aprenderá los resultados básicos sobre: 1) Asintótica de integrales de Fourier y Laplace; 2) Desarrollos uniformes; 3) Ecuaciones diferenciales ordinarias y elípticas con parámetros pequeños; 4) Oscilaciones no lineales; 5) Asintótica de problemas de valores propios.

Índice Temático

Unidad Tema Horas


1 Unidad I. 12 0


4 Unidad IV. 12 0

5 Unidad V. 12 0

6 Unidad VI. 12 0


Contenido Temático


1

Unidad I.

Asintótica de integrales de Fourier y Laplace 1.1 Estimaciones de Laplace. 1.2 Fase estacionaria. 1.3 Punto silla. 1.4 Velocidad de grupo y propagación de energía. 1.5 Asintóticas de problemas dispersivos en términos de

ondas moduladas.

2

Unidad II.

Desarrollos uniformes 2.1 Coalescencia de puntos silla. Cáusticas y frente de

onda. Aplicaciones a la aproximación de Kirchoff y propagación de singularidades en problemas hiperbólicos y dispersivos.

3

Unidad III.

Ecuaciones ordinarias con parámetros pequeños 3.1 Capa límite y acoplamiento de desarrollos asintóticos.

Aplicación a flujos viscosos y problemas de difusión térmica. 3.2 Capas internas y cáusticas. La aproximación WKB.

Aplicaciones a guías de onda, difracción y propagación de calor.

4

Unidad IV.

Asintótica de ecuaciones elípticas con parámetro pequeño 4.1 Capas límite en problemas de transporte. Teoría geométrica de difracción.

5

Unidad V.

Oscilaciones no lineales 5.1 Oscilaciones no lineales, premediación y escalas

múltiples. Problemas de frontera y elementos de bifurcación.

6

Unidad VI.

Valores propios 6.1 Asintótica para problemas de valores propios.

Aproximaciones variacionales y términos exponencialmente pequeños.


- HINCH, E.J., PERTURBATION METHODS, CAMBRIDGE UNIVERSITY PRESS, CAMBRIDGE, 1991. - HOLMES, M.H., INTRODUCTION TO PERTURBATION METHODS, SPRINGER-VERLAG, NEW YORK, 1995. - LAGERSTROM, P.A., MATCHED ASYMPTOTIC EXPANSIONS: IDEAS AND TECHNIQUES, SPRINGER- VERLAG, NEW YORK, 1988. - MURDOCK, J.A., PERTURBATIONS: THEORY AND METHODS, WILEY INTRSCIENCE, NEW YORK, 1991. - MURRAY, J.D., ASYMPTOTIC ANALYSIS, SPRINGER-VERLAG, NEW YORK, 1984. - NAYFEH, A.H., PERTURBATION METHODS, WILEY, NEW YORK, 1973. - BENDER, C.M. y S.A. ORZAG, ADVANCED MATHEMATICAL METHODS FOR SCIENTISTS AND ENGINEERS, MCGRAW HILL, NEW YORK, 1978. - KEVORKIAN, J y J.D. COLE, PERTURBATION MODEL IN APPLIED MATHEMATICS, SPRINGER-VERLAG, NEW YORK, 1981.


- VARGAS, C.A. FENOMEC, NOTAS DE PERTURBACIONES, CURSO OTOÑO, --------------------, 1996. - STORKE, J.J., NON LINEAR VIBRATIONS IN MECHANICAL AND ELECTRICAL SYSTEMS, WILEY INTERSCIENCE, NEW YORK, 1950. - SMITH, D.R., SINGULAR PERTURBATION METHODS: AN INTRODUCTION WITH APPLICATIONS, CAMBRIDGE UNIVERSITY PRESS, CAMBRIDGE, 1985. - O´MALLEY, R.E., SINGULAR PERTURBATION METHODS FOR ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS, SPRINGER-VERLAG, NEW YORK, 1991.

Sugerencias didácticas:








Denominación: ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS





Horas al Semestre






Objetivo general:

El objetivo general de este curso es el de reforzar y ampliar los conocimientos del alumno sobre Ecuaciones Diferenciales Ordinarias.


El alumno aprenderá los resultados básicos sobre: 1) Existencia y unicidad de las soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias 2) La teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales 3) Perturbaciones de sistemas lineales 4) Sistemas autónomos en el plano.

Índice Temático

Unidad Tema Horas


1 Unidad I. 12 0


4 Unidad IV. 12 0

5 Unidad V. 12 0

6 Unidad VI. 12 0


Contenido Temático


1

Unidad I.

Existencia y unicidad de soluciones 1.1 Contracciones. 1.2 Existencia de soluciones. 1.3 Desigualdad de Gronwall. 1.4 Unicidad. 1.5 Dependencia continua respecto a condiciones

iniciales y parámetros.

2

Unidad II.

Sistemas lineales 2.1 Sistemas con coeficientes constantes. 2.2 Clasificación de puntos críticos en el plano. 2.3 Sistemas con coeficientes periódicos en el plano. 2.4 Sistemas asintóticamente constantes. 2.5 Soluciones fundamentales.

2.6 Soluciones periódicas y su estabilidad. 2.7 Teoría de Floquet 2.8 Existencia de soluciones globales. 2.9 Problemas de Sturm-Liouville. 2.10 Teoremas de oscilación y comparación para

ecuaciones lineales de segundo orden.

3

Unidad III.

Perturbaciones de sistemas lineales 3.1 Sistemas no lineales. 3.2 Estabilidad lineal de puntos críticos. 3.3 Persistencia de nodos y focos no degenerados.

4

Unidad IV.

Sistemas autónomos en el plano 4.1 Sistemas conservativos: el péndulo, ondas viajeras

para KdV, ondas estacionarias para algunas ecuaciones de reacción y difusión. 4.2 Sistemas disipativas: campos vectoriales, gradiente,

funciones de Lyapunov, ondas viajeras para algunas ecuaciones de reacción y difusión. 4.3 La ecuación de Lotka y Volterra. Los osciladores de

Van der Pol y Duffing. 4.4 Puntos límite de trayectorias. Teorema de Poincaré-

Bendixson. Clasificación de conjuntos límite. 4.5 Soluciones globales. Variedades estables e inestables

de puntos críticos. 4.6 Sistemas no autónomos: las ecuaciones de Van der

Pol y Duffing con forzamiento.

5

Unidad V.

Temas opcionales: Métodos de perturbación 5.1 Perturbaciones regulares y singulares en la ecuación

de Van der Pol. 5.2 Promediación.

6

Unidad VI.

Variedades invariantes en dimensiones superiores 6.1 Soluciones globales. 6.2 Estudio de variedades invariantes locales.

Variedades estables e inestables de puntos críticos. 6.3 Variedad central. 6.4 Órbitas homoclínicas y heteroclínicas. 6.5 Variedad estable e inestable de una órbita periódica. 6.6 Teorema de Hartman.


- HALE, J, ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS, WILEY-INTERSCIENCE, --------------------, 1969. - HARTMAN, P, ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS, BIRKHÄUSER, -------------------, 1982. - BIRKHOFF, G y G.C. ROTA, ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS, 3° EDITION, JOHN WILEY AND SONS, ---------- -----------, 1978. - BRAUER, F y J. NOHEL, QUALITATIVE THEORY OF DIFFERENTIAL EQUATIONS, W.A. BENJAMIN, ------------------, 1969. - HALE, J. y HÜSEYIN KOCAK, DYNAMICS AND BIFURCATIONS, SPRINGER VERLAG, TEXTS IN APPLIED MATHEMATICS, ----------------------, 1991.


- GUCKENHEIMER, J. y P. HOLMES, NONLINEAR OSCILLATIONS, DYNAMICAL SYSTEMS AND BIFURCATIONS OF VECTOR FIELDS, SPRINGER-VERLAG, APPLIED MATHEMATICAL SCIENCES, ---------------------, 1983.

- CPDDINGTON, E y N. LEVINSON, THEORY OF ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS, MCGRAW HILL, --------------- --------, 1955.








Denominación: ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES





Horas al Semestre






Objetivo general:

El objetivo general de este curso es el de reforzar y ampliar los conocimientos del alumno sobre Ecuaciones Diferenciales Parciales.


El alumno aprenderá los resultados básicos sobre: 1) Ecuaciones fundamentales de la física matemática: ecuación de Laplace, ecuación de calor y ecuación de onda 2) Problemas bien y mal planteados. Problemas con valores iniciales y a la frontera 3) Nociones sobre diferentes conceptos de solución 4) ecuaciones de primer orden 5) Ecuaciones lineales de segundo orden 6) Representación de soluciones 7) Aproximación de soluciones.

Índice Temático

Unidad Tema Horas



3 Unidad III. 6 0

4 Unidad IV. 6 0


7 Unidad VII. 6 0

8 Unidad VII. 6 0

9 Unidad IX. 6 0

10 Unidad I. 6 0

11 Unidad XI. 4 0 12 Unidad XXI. 4 0

13 Unidad XXXI. 4 0



Contenido Temático


1

Unidad I.

Introducción 1.1 Deducción de ecuaciones en diferentes contextos:

físicos, matemáticos, biológicos, etc. Ejemplos. 1.2 Clasificación de ecuaciones. 1.3 Ecuaciones fundamentales de la física matemáticas

como modelos básicos de ecuaciones lineales de segundo orden: ecuaciones de Laplace, ecuación de calor y ecuación de ondas.

1.4 Problemas bien y mal planteados. Problemas con valores iniciales y a la frontera. El teorema de Cauchy- Kowaleski. 1.5 Nociones sobre diferentes conceptos de solución:

soluciones clásicas, soluciones débiles. Dificultades típicas que se encuentran al resolver ecuaciones diferenciales parciales.

2

Unidad II.

Ecuaciones de primer orden 2.1 Resolución por características: caso lineal. 2.2 Resolución por características: ejemplos no lineales.

Cono de Monge. Señalar las dificultades asociadas con este tipo de ecuaciones. Introducción a las ecuaciones de Hamilton-Jacobi. Existencia local en tiempo, existencia global. Formación de singularidades. Soluciones débiles. Condiciones de entropía. Problema de Riemann.

3

Unidad III.

Fórmulas explícitas de soluciones a ecuaciones lineales de segundo orden (métodos exactos) 3.1 Ecuación de Laplace. Fórmula de Poisson.

Propiedades de las funciones armónicas: principio del máximo, desigualdad de Harnack, métodos de energía. Problemas de contorno asociados. Ejemplos no lineales. 3.2 Ecuación de calor: núcleo de calor. Problemas con

valores iniciales. Ejemplos de problema mal planteado (Cauchy retrógrado). Métodos de energía. Pricipio del máximo. Ejemplos no lineales. 3.3 Ecuación de onda: fórmula de DÁlembert. Problemas

con valores iniciales. Métodos de energía. Función de Riemann. Propagación de singularidades. Sistemas hiperbólicos. Ejemplos no lineales.

4

Unidad IV.

Representación de soluciones 4.1 Separación de variables, soluciones autosimilares,

series de potencias y series de Fourier, ondas planas, ondas viajeras. 4.2 Transformadas integrales y otras transformaciones. 4.3 Soluciones fundamentales, funciones de Green.

Noción de solución débil. Problema de autovalores.

5

Unidad V.

Aproximación de soluciones 5.1 Método de perturbaciones. 5.2 Métodos asintóticos. 5.3 Métodos numéricos.

6

Unidad VI.

Métodos indirectos 6.1 Métodos variacionales. 6.2 Métodos topológicos. 6.3 Sub y supersoluciones. Cotas a priori. 6.4 Función implícita. 6.5 Bifurcación.

7

Unidad VII.

Comportamiento (métodos cualitativos) 7.1 Decaimiento. 7.2 Simetrías.

7.3 Formación de singularidades.

8

Unidad VII.

Temas Especiales: Dispersión inversa, solitones y sistemas integrables.

9

Unidad IX.

Temas Especiales: Ecuaciones de reacción-difusión, ondas viajeras, frentes, pulsos, formación de patrones.

10

Unidad X.

Temas Especiales: Sistemas de leyes de conservación.

11

Unidad XI.

Temas Especiales: Ecuaciones de tipo mixto.

12

Unidad XII.

Temas Especiales: Teoría del control.

13

Unidad XIII .

Temas Especiales: Aspectos probabilísticos: homogeneización.


- DI BENEDETTO, EMMANUELE, PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS, BIRKHÄUSER, BERLIN, 1995. - EVANS, LAWRENCE C, PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS,GRADUATE STUDIES IN MATHEMATICS VOL. 19 , AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY, ----------------------, 1998.


- TAYLOR, MICHAEL, PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS. BASIC THEORY, SPRINGER- VERLAG, ----------------------- -----------, 1996.








Denominación: ANÁLISIS NUMÉRICO I



No. Créditos: 9


Horas al Semestre






Objetivo general:

Presentar los fundamentos matemáticos de los métodos numéricos.

Objetivos específicos: 1. El estudio de los métodos directos numéricamente estables básicos de bajo costo computacional, como de los métodos interactivos rápidos y seguros. 2. Lograr que el estudiante sea capaz de diagnosticar cuando un problema matemático es de datos numéricamente bien ó mal-comportados. 3. Hacer que el estudiante realice experimentación numérica usando software profesional, ó bien desarrollando programas en Matlab y/o Fortran77, y/o C. 4. Entrenar al estudiante en la resolución numérica de problemas elementales de interés en las ciencias, la tecnología y los servicios.

Índice Temático

Unidad Tema Horas


1 Unidad I. 10 0

2 Unidad II. 10 0

3 Unidad III. 10 0

4 Unidad IV. 10 0


7 Unidad VII. 12 0



Contenido Temático


1

Unidad I.

Sistemas Numéricos de punto flotante

1.1 Condición de un problema numérico. 1.2 Estabilidad de un método. 1.3 Problemas bien y mal planteados.

2

Unidad II.

Solución de ecuaciones escalares

2.1 Métodos de bisección.

2.2 Newton. 2.3 Secante. 2.4 Aproximaciones sucesivas. 2.5 Puntos fijos. 2.6 Rapidez de convergencia.

3

Unidad III.

Algebra lineal numérica 3.1 Solución de sistemas de ecuaciones lineales. 3.2 Factorización LU. 3.3 Estrategias de pivoteo. 3.4 Estabilidad y condición. 3.5 Factorización de Cholesky.

4

Unidad IV.

Mínimo de cuadrados lineales 4.1 Ecuaciones normales de Euler. 4.2 Descomposición QR. 4.3 Problemas de rango deficiente. 4.4 Descomposición en valores singulares. 4.5 Análisis de error.

5

Unidad V.

Valores y vectores propios 5.1 Método de potencia. 5.2 Iteración inversa. 5.3 Método de Rayleigh. 5.4 Algoritmo QR.

6

Unidad VI.

Aproximación de funciones 6.1 Interpolación polinomial. 6.2 Diferencias divididas. 6.3 Interpolación de Hermite. 6.4 Iterpolación spline. 6.5 Iterpolación trigonométrica. 6.6 Transformada de Fourier rápida.

7

Unidad VII.

Diferenciación e integración numérica 7.1 Diferenciación numérica usando interpolación. 7.2 Reglas básicas de cuadratura. 7.3 Newton-Cotes. 7.4 Gaussiana. 7.5 Cuadratura adaptiva. 7.6 Teoría de Sard. 7.7 Método de Montecarlo.


- STOER, J. BULIRSCH, R., INTRODUCTION TO NUMERICAL ANALYSIS, 2° EDITION, SPRINGER-VERLAG, -------------- --------, 1994. - KINCAID, D y CHENEY, W, NUMERICAL ANALYSIS, BOOKS/COLE, ---------------------, 1991. - GOLUB, G.H. y ORTEGA, J.M., SCIENTIFIC COMPUTING AND DIFFERENTIAL EQUATIONS. AN INTRODUCTION TO NUMERICAL METHODS, ACADEMIC PRESS, -----------------------, 1992. - GOLUB, G.H. y VAN LOAN, MATRIX COMPUTATIONS, 3° EDITION, JOHN HOPKINS UNIVERSITY PRESS, USA, 1996. - HAMMERLIN, G y HOFFMAN, KK., NUMERICAL MATHEMATICS, SPRINGER-VERLAG UNDERGRADUATE TEXTS IN MATHEMATICS SERIES, -----------------------, 1991.


- NIEDERREITER, H., RANDOM NUMBER GENERATION AND QUASI-MONTECARLO METHODS, CBMS NS

REGIONAL CONFERENCE SER IN APPLIED MATHEMATICS, SIAM, --------------------, 1992. - KAHANER, D, NUMERICAL METHODS AND SOFTWARE, PRENTICE HALL, ----------------, 1989.








Denominación: INFERENCIA BAYESIANA


1,2,3,4 Campo de Conocimiento: Estadística No. Créditos: 6


Horas al Semestre

Tipo: Teórica Teoría: 3 Práctica: 0 3 48





Objetivo general:

Presentar los fundamentos matemáticos de la Estadística Bayesiana.

Objetivos específicos: Familiarizar al alumno con los elementos de la Teoría de la Decisión en Ambiente de Incertidumbre y su aplicación a la formalización de la Estadística Bayesiana así como a la resolución de problemas específicos de inferencia estadística desde el punto de vista Bayesiano.

Índice Temático

Unidad Tema Horas


1 Unidad I. 6 0

2 Unidad II. 6 0


5 Unidad V. 4 0

6 Unidad VI. 4 0

7 Unidad VII. 4 0

8 Unidad VII. 4 0

9 Unidad IX. 4 0 10 Unidad I. 4 0

11 Unidad XI. 4 0



Contenido Temático


1

Unidad I.

Introducción 1.1 Limitaciones de la Estadística frecuentista.

2

Unidad II.

Interpretaciones de la probabilidad 2.1 Clásica. 2.2 Frecuentista. 2.3 Subjetiva.

3

Unidad III.

Elementos de la Teoría de la Decisión 3.1 Estructura de un problema de decisión en ambiente

de incertidumbre. 3.2 Solución de un problema de decisión. 3.2.1 Criterio mínimas. 3.2.2 Criterio de la consecuencia más probable. 3.2.3 Criterio de la utilidad esperada máxima. 3.3 Procesos de inferencia como problemas de decisión. 3.4 Incorporación de información adicional en el proceso

de decisión. 3.5 Reglas de decisión. 3.6 Decisiones secuenciales.

4

Unidad IV.

Tratamiento axiomático de la decisión 4.1 Axiomas de coherencia. 4.2 Definiciones de probabilidad. 4.3 Definición de utilidad. 4.4 Principio de utilidad esperada máxima.

5

Unidad V.

Funciones de utilidad 5.1 Teoría de la utilidad. 5.2 Utilidad del dinero. 5.3 Funciones de pérdida.

6

Unidad VI.

Información inicial 6.1 Probabilidad sujeta. 6.2 Determinación de la probabilidad inicial. 6.3 Distribuciones iniciales no informativas. 6.4 Distribuciones iniciales conjugadas.

7

Unidad VII.

Inferencia estadística paramétrica bayesiana 7.1 Principio de verosimilitud. 7.2 Suficiencia. 7.3 Aproximación asintótica normal para la distribución

final. 7.4 Reglas de Jeffreys. 7.5 Construcción de familias conjugadas. 7.6 Reparametrizaciones. 7.7 Parámetros de interés y parámetros de ruido.

8

Unidad VII.

Estimación puntual 8.1 Solución bayesiana. 8.2 Comparación con resultados frecuentistas.

9

Unidad IX.

Contraste de hipótesis 9.1 Solución bayesiana. 9.2 Computación con resultados frecuentistas.

10

Unidad I.

Estimación por regiones 10.1 Regiones de probabilidad. 10.2 Regiones de máxima densidad. 10.3 Comparación con resultados frecuentistas.

Unidad XI.

Predicción

11 11.1 Distribución predictiva. 11.2 Predicción puntual. 11.3 Predicción por regiones. 11.4 Comparación con resultados frecuentistas.


- BERGER, J. O, STATISTICAL DECISION THEORY AND BAYESIAN ANALYSIS, 2° EDICION, SPRINGER-VERLAG, NEW YORK, 1985. - BERNARDO, J.M., BIOESTADISTICA: UNA PERSPECTIVA BAYESIANA, VICENS VIVES, BARCELONA, 1981. - DEGROOT, M.H., OPTIMAL STATISTICAL DECISIONS, MCGRAW HILL, NEW YORK, 1970. - O´HAGAN, A, KENDALL´S ADVANCED THEORY OF STATISTICS, VOL. 2 "BAYESIAN INFERENCE", EDWARD ARNOLD, CAMBRIDGE, 1994. - PRESS, S.J., BAYESIAN STATISTIC. PRINCIPLES, MODELS AND APPLICATIONS, WILEY, NEW YORK, 1989. - BERNARDO, J.M. y A.F.M. SMITH, BAYESIAN THEORY, WILEY, CHICHESTER, 1994.


- WINKLER, R.L., INTRODUCTION TO BAYESIAN INFERENCE AND DESICION, HOLT, RINEHART AND WINSTON, NEW YORK, 1972. - BOX, G.E.P. y G.C. TIAO, BAYESIAN INFERENCE IN STATISTICAL ANALYSIS, ADDISON-WESLEY, ----------------------- -, 1973.








Denominación: INFERENCIA ESTADÍSTICA




Horas al Semestre






Objetivo general:

Presentar los fundamentos de Inferencia Estadística.

Objetivos específicos: Familiarizar al alumno con los conceptos de suficiencia, insesgamiento, eficiencia, así como la obtención de estimadores puntuales y por intervalos y sus propiedades. También el alumno se familiarizara con la teoría de pruebas de hipótesis.

Índice Temático

Unidad Tema Horas


2 Unidad II. 8 0

3 Unidad III. 8 0

4 Unidad IV. 8 0




Contenido Temático


1

Unidad I.

Familias paramétricas 1.1 Suficiencia y reducción de información muestral. 1.2 El problema de estimación. 1.3 El problema de pruebas de hipótesis. 1.4 El problema de bondad de ajuste.

2

Unidad II.

Estimación paramétrica 2.1 Propiedades de estimadores. 2.2 Métodos usuales de estimación. 2.3 Teoría de Rao-Blackwell. 2.4 Teoría de Cramer-Roa. 2.5 Estimación bayesiana y problemas de decisión.

3

Unidad III.

Intervalos de confianza

3.1 Verosimilitud relativa. 3.2 Desarrollos de la verosimilitud. 3.3 Pivotales asintóticas. 3.4 Reparametrización. 3.5 Distribución fiducial.

4

Unidad IV.

Pruebas de hipótesis 4.1 Problema de hipótesis simples. 4.2 Lema de Neyman-Pearson. 4.3 Simple contra compuesta. Potencias. 4.4 Optimalidad y razón de verosimilitud. 4.5 Ejemplos de muestreo de la normal.

5

Unidad V.

Modelos lineales 5.1 Descripción general paramétrica. 5.2 Estimación. 5.3 Pruebas de hipótesis.

6

Unidad VI.

Estadísticas no paramétricas 6.1 Estimación. Teoría de Hoeffding. 6.2 Pruebas de bondad de ajuste.


- KALBFLEISCH, PROBABILITY AND STATISTICAL INFERENCE, VOL 2, SPRINGER-VERLAG, --------------------------------- -, 1985. - MOOD, GRAYBILL y BOES, INTRODUCTION TO THE THEORY OF STATISTICS, MCGRAW HILL, --------------------, 1974. - COX y HINKLEY, THEORETICAL STATISTICS, CHAPMAN AND HALL, ----------------------, 1974.


- MIGON H. y GAMMERMAN D., STATISTICAL INFERENCE. AN INTEGRATED APPROACH, ARNOLD, ----------------------, 1999.








Denominación: TEORÍA DE LAS GRÁFICAS


1,2,3,4 Campo de Conocimiento: Matemáticas Discretas No. Créditos: 9


Horas al Semestre






Objetivo general: - Profundizar y ampliar las bases de conocimiento adquiridas en la Licenciatura que son necesarias para la

comprensión de las ramas de las matemáticas que estudian estructuras que, básicamente, no involucran la noción de continuidad. Entre tales ramas tenemos la Teoría de las Gráficas, la Combinatoria, la Teoría de Matroides, la Teoría de la Computación y la Geometría Computacional.

-

Objetivos específicos: - Se profundiza y se amplía el estudio sobre los temas de isomorfismos, árboles, conexidad, apareamientos,

coloraciones, teoría extremal, planaridad y digráficas. -

Índice Temático

Unidad Tema Horas


2 Unidad II. 7 0

3 Unidad III. 7 0

4 Unidad IV. 7 0 5 Unidad V. 7 0

6 Unidad VI. 7 0

7 Unidad VII. 6 0

8 Unidad VII. 6 0

9 Unidad IX. 6 0

10 Unidad I. 6 0 11 Unidad XI. 6 0



Contenido Temático


1

Unidad I.

Gráficas y digráficas 1.1 Gráficas y gráficas orientadas. 1.2 Árboles y bosques. 1.3 Trayectorias y conexidad. 1.4 Subgráficas. 1.5 Homeomorfismos, homeomorfismos reflexivos,

isomorfismos de gráficas, automorfismos. 1.6 Productos de gráficas y digráficas, producto

cartesiano, normal o fuerte, composición de gráficas.

1.7 Gráficas de líneas, de clanes, árboles de bloques y puntos de corte.

2

Unidad II.

Recorrido de gráficas 2.1 El teorema de Euler. 2.2 Gráficas Hamiltonianas, el teorema de Ore. 2.3 El problema del cartero chino. 2.4 El problema del agente viajero.

3

Unidad III.

Gráficas planas 3.1 Gráficas planas y aplanables. 3.2 Gráficas duales. 3.3 La fórmula de Euler. 3.4 El teorema de Kuratowski. 3.5 Género de una gráfica. El teorema de Heawood.

4

Unidad IV.

Colaraciones de vértices y aristas 4.1 Número cromático. 4.2 Los teoremas de los cinco colores. 4.3 El teorema de Brook. 4.4 Polinomios cromáticos. 4.5 Coloraciones de aristas. 4.6 El teorema de Vizing.

5

Unidad V.

Conjuntos independientes y clanes 5.1 Conjuntos independientes. 5.2 El teorema de Ramsey. 5.3 El teorema de Turán.

6

Unidad VI.

Gráficas perfectas 6.1 El teorema de Lovász.

7

Unidad VII.

Apareamientos 7.1 Apareamientos. 7.2 Apareamientos y cubiertas en gráficas bipartitas. 7.3 Apareamientos perfectos. El teorema de Tutte. 7.4 El problema de asignación de personal.

8

Unidad VII.

Digráficas 8.1 Gráficas dirigidas. 8.2 Trayectorias dirigidas y ciclos dirigidos. 8.3 Torneos. 8.4 Núcleos.

9

Unidad IX.

Conexidad 9.1 El teorema de Menger. 9.2 Flujos. 9.3 El teorema de Ford-Fulkerson.

10

Unidad X.

Redes 10.1 Flujos. 10.2 Cortes.

10.3 El teorema de flujo máximo y el corte mínimo. 10.4 El teorema de Menger.

11

Unidad XI.

Ciclos y cociclos 11.1 Espacio de ciclos y cociclos. 11.2 Número ciclomático. 11.3 Grupo fundamental. 11.4 Cuello.


- ORE O., THEORY OF GRAPHS, AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY, ------------------------, 1962. - RINGEL, G., MAP COLOUR THEOREM, SPRINGER VERLAG, BERLIN, 1974. - LOVASZ, L., A CHARACTERIZATION OF PERFECT GRAPHS, JOURNAL OF COMBINATORIAL THEORY (B) 95-98, --- ---------------------, 1972. - CHARTRAND, G y L.LESNIAK, GRAPHS AND DIGRAPHS, WADSWOTH AND BROOKS/COLE OF MATHEMATICAL SERIES, -----------------------, 1986. - BONDY, J.A. y U.S.R. MURTY, GRAPH THEORY WITH APPLICATIONS, NORTH-HOLLAND, NEW YORK, 1976.


- HARAY F., GRAPH THEORY, ADDISON-WESLEY, ------------------------, 1969. - BERGER, C., GRAPHS, NORTH-HOLLAND, AMSTERDAM, 1986.








Denominación: TEORÍA DE MATROIDES




Horas al Semestre






Objetivo general:

- Profundizar y ampliar las bases de conocimiento adquiridas en la Licenciatura que son necesarias para la comprensión de las ramas de las matemáticas que estudian estructuras que, básicamente, no involucran la noción de continuidad. Entre tales ramas tenemos la Teoría de las Gráficas, la Combinatoria, la Teoría de Matroides, la Teoría de la Computación y la Geometría Computacional.

- Objetivos específicos:

- El curso da una introducción a la teoría de Matroides. Se dan diversas definiciones equivalentes de la noción de Matroide. Se estudian ejemplos de familias de Matroides como los Matroides gráficos, regulares, binarios, ternarios, transversales, uniformes y geometrías proyectivas. Se desarrolla las nociones de dualidad, representabilidad y conexidad en los Matroides.

-

Índice Temático

Unidad Tema Horas



3 Unidad III. 10 0

4 Unidad IV. 10 0

5 Unidad V. 10 0

6 Unidad VI. 10 0

7 Unidad VII. 10 0



Contenido Temático


1

Unidad I.

Introducción 1.1 Conjuntos independientes y circuitos. 1.2 Bases y rango. 1.3 Representaciones geométricas de matroides de rango pequeño. 1.4 El algoritmo glotón.

2

Unidad II.

Dualidad 2.1 Duales de matroides representables y de matroides gráficos.

3

Unidad III.

Menores 3.1 Contracciones. 3.2 Menores de matroides gráficas y de matroides F-

representables.

4

Unidad IV.

Conexidad 4.1 Conexidad en gráficas y matroides. 4.2 Teorema de Tutte.

5

Unidad V.

Matroides gráficos y cográficos 5.1 Representabilidad. 5.2 Dualidad. 5.3 Teorema de Whitney.

6

Unidad VI.

Matroides representables 6.1 Representaciones distintas. 6.2 Construcciones. 6.3 Representaciones sobre campos finitos. 6.4 Matroides regulares.

7

Unidad VII.

Matroides binarias 7.1 Caracterizaciones. 7.2 Espacios de circuitos y cocircuitos.


- OXLEY, J.G., MATROID THEORY, OXFORD INIVERSITY PRESS, ---------------------, 1992. - WILSON, R.J., AN INTRODUCTION TO MATROID THEORY, AMERICAN MATHEMATICAL MONTHLY 80, PGS 500- 525, ----------------------------, 1973.


- WELSH, D.J., MATROID THEORY, ACADEMIC PRESS, -------------------------, 1976.








Denominación: INTRODUCCIÓN A LA MECÁNICA

ANALÍTICA


1,2,3,4 Campo de Conocimiento: Sistemas Continuos No. Créditos: 9


Horas al Semestre






Objetivo general: Proveer las bases de las matemáticas que están relacionadas con fenómenos físicos, químicos, biológicos, etc. gobernados por ecuaciones diferenciales, integrodiferenciales, etc. Proveer la herramienta matemática de la mecánica.


Orientar en cuanto a la mecánica clásica en su modalidad de medios continuos lineal y nolineal (leyes de conservación, ecuaciones constitutivas: elasticidad, fluidos, viscoelasticidad, etc.) y discreta (una y muchas partículas, cuerpo rígido, etc.) Establecer conexiones de la mecánica con otras áreas del posgrado como ecuaciones diferenciales, análisis, numérico, geometría, principalmente.

Índice Temático

Unidad Tema Horas



3 Unidad III. 9 0

4 Unidad IV. 9 0


7 Unidad VII. 9 0

8 Unidad VIII 9 0



Contenido Temático


1

Unidad I.

Ecuaciones de movimiento 1.1 Mecánica de sistemas de partículas. Coordenadas generalizadas. 1.2 Principios de mínima de acción de Hamilton y de DÁlembert. 1.3 Ecuaciones de Euler-Lagrange. 1.4 Sistemas no conservativos y no holonómicos. 1.5 Formulación lagrangiana.

2

Unidad II.

Teoremas de conservación 2.1 Conservación de energía y teorema del virial.

2.2 Conservación del ímpetu. 2.3 Conservación del centro de masa. 2.4 Conservación del momento angular.

3

Unidad III.

El problema de dos cuerpos 3.1 Movimiento lineal. Masa reducida. 3.2 El problema del potencial central. 3.3 El problema de Kepler. Choque y dispersión partícula.

4

Unidad IV.

El problema del movimiento de un cuerpo sólido 4.1 Velocidad angular y el tensor de inercia. 4.2 Ecuaciones de movimiento del cuerpo rígido. 4.3 Ángulos de Euler y ecuaciones de Euler. 4.4 El problema del trompo simétrico. 4.5 Movimiento de un sistema de referencia no inercial.

5

Unidad V.

Pequeñas oscilaciones 5.1 Oscilaciones lineales: libres, forzadas y con amortiguamiento. 5.2 Oscilaciones lineales de un sistema de partículas. 5.3 Ideas sobre la teoría de perturbaciones. 5.4 El problema de la resonancia paramétrica, cálculo asintótico de las regiones de estabilidad. 5.5 Oscilaciones no lineales. 5.6 El método de Poincaré-Linsted. 5.7 Resonancia de osciladores no lineales. 5.8 El método de promedios y el método de escalas múltiples.

6

Unidad VI.

Ecuaciones de Hamilton 6.1 La transformación de Legendre y las ecuaciones de Hamilton. 6.2 Coordenadas cíclicas y teoremas de conservación. 6.3 Principio de mínima acción de Hamilton.

7

Unidad VII.

Transformaciones canónicas 7.1 Transformaciones canónicas e invariantes de Poincaré. 7.2 Teorema de Routh. 7.3 Paréntesis de Poisson y de Lagrange. 7.4 Transformaciones infinitesimales. 7.5 Perturbaciones canónicas y el método de Von Zeipel. 7.6 Constantes de movimiento y simetrías. 7.7 Invariantes andiabáticos y escalas múltiples. 7.8 Teorema de Liouville.

8

Unidad VIII

Teoría de Hamilton-Jacobi e integrabilidad 8.1 Función principal de Hamilton. 8.2 Función característica de Hamilton. 8.3 Variable de ángulo y acción. 8.4 El teorema de Liouville-Arnold. 8.5 El problema de Kepler y el cuerpo rígido. 8.6 Integrabilidad y la latiz de Toda para cuatro cuerpos. 8.7 Persistencia de estructuras integrables bajo perturbaciones canónicas.


- GOLDSTEIN, H, CLASSICAL MECHANICS, ADDISON WESLEY PUB, ----------------, 1965. - ARNOLD, V.I., MATHEMATICAL METHODS OF CLASSICAL MECHANICS, SPRINGER VERLAG, --------------------, 1978. - EGLIT M. y HODGE, D., CONTINIUM MECHANICS VIA PROBLEMS AND EXERCICES, WORLD SCIENCE, VOL. 19, WORLD SCIENTIFIC, --------------------, 1996.


- LANDAU, L.D. y E.M. LIFSCHITZ, MECANICA, CURSO DE FISICA TEORICA, ED. REVERTE, ------------------------, 1978.








Denominación: MODELACIÓN MATEMÁTICA DE SISTEMAS

CONTINUOS




Horas al Semestre






Objetivo general:

Proveer las bases de las matemáticas que están relacionadas con fenómenos físicos, químicos, biológicos, etc., gobernados por ecuaciones diferenciales, integrodiferenciales, etc. - Proveer las herramientas matemáticas que permitan dar respuesta significativa a problemas con una o más escalas. Establecer conexiones entre las matemáticas y otras ciencias.

Objetivos específicos: - Orientar en cuanto a la mecánica clásica en su modalidad de medios continuos lineal y nolineal (leyes de conservación, ecuaciones constitutivas: elasticidad, fluidos, viscoelasticidad, etc.) y discreta (una y muchas partículas, cuerpo rígido, etc.) - Establecer conexiones de la mecánica con otras áreas del posgrado como ecuaciones diferenciales, análisis, numérico, geometría, principalmente. - Establecer conexiones con otros posgrados: de física (electrodinámica, cuantica, etc.), materiales (medios continuos, elasticidad, reología, etc.), geofísica (sismología, física del interior de la Tierra, atmosfera, oceanografía, espacio exterior, etc.), ingeniería (sísmica, estructuras, fluidos, calor, etc.)

Índice Temático

Unidad Tema Horas


1 Unidad I. 8 0

2 Unidad II. 8 0


5 Unidad V. 8 0

6 Unidad VI. 8 0

7 Unidad VII. 8 0

8 Unidad VII. 8 0

9 Unidad IX. 8 0



Contenido Temático


1

Unidad I.

Método sistemático para la formulación de los modelos de sistemas continuos 1.1 Propiedades extensivas e intensivas. 1.2 Ecuaciones de balance. 1.3 Sistemas de una y de varias fases.

2

Unidad II.

Transporte

2.1 Ecuación general de transporte. 2.2 Transporte conservativo y no conservativo. 2.3 Transporte difusivo. 2.4 Transporte en medios porosos.

3

Unidad III.

Flujo de fluidos en medios porosos 3.1 Caracterización de un medio poroso. 3.2 Casos especiales: flujo incompresible, matriz incompresible.

4

Unidad IV.

La mecánica de los medios continuos 4.1 Ecuaciones de balance de masa, momento, momento angular y energía.

5

Unidad V.

Transporte de energía 5.1 Transferencia de calor. Ecuaciones gobernantes. 5.2 Técnicas de modelación aplicadas a sistemas

energéticos.

6

Unidad VI.

Flujo de fluidos libres 6.1 El tensor de esfuerzos. 6.2 Fluidos compresibles no viscosos. 6.3 Fluidos viscosos incompresibles. 6.4 Fluidos ideales.

7

Unidad VII.

Mecánica de sólidos 7.1 El tensor de esfuerzos. 7.2 El gradiente de deformaciones. 7.3 Sólido elástico. 7.4 Teoría lineal: dinámica y estática.

8

Unidad VII.

Sistemas de varias fases 8.1 Fase y componente. 8.2 Transporte con interacción química. 8.3 Procesos de adsorción. 8.4 Mecánica de yacimientos petroleros.

9

Unidad IX.

Simulación numérica 9.1 Modelos estacionarios. 9.2 Modelos difusivos. 9.3 Modelos no difusivos.


- HERRERA, I, ALLEN M, MODELACION COMPUTACIONAL DE SISTEMAS EN CEINCIAS E INGENIERIA, COMUNICACIONES TECNICAS, SERIE DOCENCIA Y DIVULGACION, NO. 9(D 17), INSTITUTO DE GEOFISICA, 1986. - ALLEN, M.B, HERRERA, I, PINDER, G.F., NUMERICAL MODELING IN SCIENCE AND ENGINEERING, JOHN WILEY, --------------------------, 1988. - MALVERN, L.E., INTRODUCTION TO THE MECHANICS OF A CONTINUOS MEDIUM, PRENTICE HALL, ------------------- -------, 1960. - HUYAKORN, P.S., PINDER, G.F, COMPUTATIONAL METHODS IN SUBSURFACE FLOW, --------------------------------------

--------------, -------------------------, --------------------------. - AZIZ, K, SETTARI A, PETROLEUM SIMULATION, APPLIED SCIENCE, PUBLISHERS, LONDON, 1979. - HERRERA, I, MONTALVO, A., MODELOS MATEMATICOS DE CAMPOS GEOMETRICOS, COMUNICACIONES TECNICAS, IIMAS-UNAM, AN 295, ---------------------------, 1982.


- KARASUDLI, P., FOUNDATIONS OF SOLID MECHANICS, KLUWER AC, -----------------------, 1991. - GURTIN, M.E., AN INTRODUCTION TO CONTINUM MECHANICS, ACADEMIC PRESS, ---------------------------, 1981. - WANG, C.C., MATHEMATICAL PRINCIPLES OF MECHANICS AND ELECTROMAGNETISM, PLENUM PRESS, ---------- -----------------, 1979.








Denominación: PROBABILIDAD II


1,2,3,4 Campo de Conocimiento: Probabilidad No. Créditos: 9


Horas al Semestre






Objetivo general:

Presentar los fundamentos matemáticos de la Teoría de la Probabilidad.

Objetivos específicos: Familiarizar al alumno con los elementos de la teoría de la medida y su aplicación al estudio de la probabilidad. Presentar aplicaciones describiendo su importancia en otras ramas de las matemáticas así como en otras áreas de la ciencia.

Índice Temático

Unidad Tema Horas


2 Unidad II. 14 0

3 Unidad III. 14 0

4 Unidad IV. 14 0

5 Unidad V. 15 0



Contenido Temático


1

Unidad I.

Funciones características 1.1 Definiciones y ejemplos. 1.2 Unicidad de la función característica. 1.3 Teorema de inversión de Fourier. 1.4 Teorema central de límite multivariado. 1.5 Arreglos triangulares y teorema de Lindeberg.

2

Unidad II.

Suma de variables aleatorias independientes 2.1 Teorema de equivalencia de Levy. 2.2 Teorema de las tres series.

3

Unidad III.

Teorema de continuidad de Levy y leyes estables e infinitamente divisibles 3.1 Teorema de continuidad de Levy. 3.2 Leyes infinitamente divisibles. 3.3 Fórmula de Levy-Khinchin.

3.4 Leyes estables.

4

Unidad IV.

El espacio C 4.1 Caracterizaciones de convergencia débil. 4.2 Convergencia débil y tensión de medidas en el espacio C. 4.3 Teorema de Donsker.

5

Unidad V.

El espacio D 5.1 Topología de Skorohod. 5.2 Completez del espacio D. 5.3 Convergencia débil y tensión en el espacio D. 5.4 Funciones de distribución empíricas. 5.5 Extensiones del teorema de Donsker.


- ASH, R.B., REALANALYSIS AND PROBABILITY, ACADEMIC PRESS, NEW YORK, 1972. - BILLINGSLEY, P, PROBABILITY AND MEASURE, JOHN WILEY AND SONS, NEW YORK, 1979. - DUDLEY, R.M., REAL ANALYSIS AND PROBABILITY, WADSWORTH AND BROOKS/COLE, BELMONT, 1989. - BILLINGSLEY, P, PROBABILITY AND MEASURE. J. WILEY AND SONS, NEW YORK, 1979. - BREIMAN, L, PROBABILITY, WILEY, NEW YORK, -----------------------. - CLARKE, L.E., RANDOM VARIABLES, -------------------------------------------------------------, LONDON, 1975. - CHOW, Y.S y TEICHER, H, PROBABILITY, WILEY CHICHESTER, ---------------------, 1988. - LAHA, R.G. y ROHATGI, V.K, PROBABILITY THEORY. WILEY, NEW YORK, 1979. - JACOD, J y PROTTER, P, PROBABILITY ESSENTIALS, SPRINGER-VERLAG, ------------------------, 2003.


- ASH, R.B., REAL ANAYLISIS AND PROBABILITY, ACADEMIC PRESS,, NEW YORK, 1972. - BORKAR, V.S., PROBABILITY THEORY AN ADVANCED COURSE. UNIVERSITEXT, SPRINGER,, NEW YORK, 1995. - DUDLEY, R.M., REAL ANALYSIS AND PROBABILITY, CAMBRIDGE UNIVERSITY PRESS, -------------------------, 2002. - DURRET, R., PROBABILITY: THEORY AND EXAMPLES. WADSWORTH&BROOKS/COLE, PACIFIC GROVE, ------------ -------------, 1991. - FELLER, W, AN INTRODUCTION TO PROBABILITY THEORY AND ITS APPLICATIONS, VOL. I AND II, WILEY, NEW YORK, 1971. - WILLIAMS, D, PROBABILITY WITH MARTINGALES. CAMBRIDGE UNIVERSITYPRESS, ------------------------------, 1991. - FRISTEDT, B y GRAY, L, A MODERN APPROACH TO PROBABILITY THEORY, BIRKHÄUSER, -------------------------------, 1997.








Denominación: TOPOLOGÍA ALGEBRAICA


1,2,3,4 Campo de Conocimiento: Topología No. Créditos: 9


Horas al Semestre






Objetivo general:

La topología algebraica estudia los espacios topológicos utilizando como herramienta al álgebra. A cada espacio topológico X, se le asocia un grupo H(X), y a cada función continua f de X en Y, se le asocia un homomorfismo H (f) de H(X) en H(Y). Estos invariantes deben ser invariantes topológicos, en el sentido de que, si el espacio X es homeomorfo al espacio Y, entonces los grupos H(X) y H(Y) deben ser isomorfos. El objetivo del curso es estudiar dos de los invariantes más importantes: los grupos de homotopía y los grupos de

homología.


Estudiar los grupos de homotopía y su relación con las aplicaciones cubrientes. Estudiar los grupos de homología y las propiedades que permiten caracterizar una teoría de homología. Calcular los grupos de homología de los espacios llamados complejos CW y ver algunas aplicaciones geométricas de estos cálculos.

Índice Temático

Unidad Tema Horas



3 Unidad III. 11 0

4 Unidad IV. 10 0

5 Unidad V. 10 0

6 Unidad VI. 10 0

7 Unidad VII. 9 0



Contenido Temático


1

Unidad I.

Grupo fundamental

1.1 Propiedades básicas. 1.2 Teorema de Seifert-Van Kampen.

2

Unidad II.

Espacios cubrientes

2.1 Ejemplos (R→ S¹ y X→X/G) 2.2 Teoremas del levantamiento y de existencia de espacios cubrientes. 2.3 Cálculo del grupo fundamental de S¹ y de RP

n

2.4 Aplicaciones. 2.4.1 Teoremas del punto fijo de Brouwer en dimensión de 2 y de Borsuk-Ulam para S²

3

Unidad III.

Espacios de lazos y grupos de homotropía □ⁿ (X, x0) si n es mayor o igual a 2. Definiciones y conmutatividad para estos grupos.

4

Unidad IV.

Homología singular 4.1 Invariancia homotópica. 4.2 Relación entre Relación entre □1 (X, x0) y H1(X)

5

Unidad V.

Sucesión exacta de homología 5.1 Teorema de escisión. 5.2 Sucesión de Mayer-Vietoris.

6

Unidad VI.

La homología de Sn

6.1 Aplicaciones. 6.1.1 Teoremas de campos vectoriales sobre S

n

6.1.2 Teorema de separación de Jordan- Brouwer. 6.1.3 Teorema de invariancia del dominio. 6.1.4 Teorema fundamental de álgebra. 6.1.5 Teorema de punto de Brouwer.

7

Unidad VII.

Complejos esféricos y celulares (CW- complejos) 7.1 Cálculo de la homología de RP

n, CP

n; y superficies

cerradas. 7.2 Números de Betti. 7.3 Característica de Euler-Poincaré.


- MASSEY, W, A BASIC COURSE IN ALGEBRAIC TOPOLOGY, SPRINGER-VERLAG, -------------------------, 1991. - SPANIER, E, ALGEBRAIC TOPOLOGY, SPRINGER-VERLAG, -------------------------, 1981. - AGUILAR, M. A., S. GITLER y C. PRIETO, TOPOLOGIA ALGEBRAICA: UN ENFOQUE HOMOTOPICO, MCGRAW HILL-UNAM, MEXICO, 1998.


- GREENBERG, M y J. HARPER, ALGEBRAIC TOPOLOGY, A FIRST COURSE, ADDISON WESLEY, -----------------------, 1981.

Sugerencias didácticas: Exposición oral (X) Exposición audiovisual ( ) Ejercicios dentro de clase (X) Ejercicios fuera del aula (X) Seminarios (X) Lecturas obligatorias ( ) Trabajo de Investigación ( ) Prácticas de taller o laboratorio ( ) Prácticas de campo ( )


Otros:






Denominación: TOPOLOGÍA DIFERENCIAL




Horas al Semestre






Objetivo general:

Dar los fundamentos de la Topología diferencial así como sus aplicaciones y soluciones a problemas fundamentales de la matemática. Objetivos específicos: El estudio de variedades diferenciables y mapeos entre ellos, haces tangentes y functores suaves entre ellos. Además de las formas canónicas de mapeos de rango constante y los teorema de Sard y encaje de Whitrey y sus aplicaciones. También la teoría de grado módulo 2 y el de grado de mapeos entre variedades orientadas y finalizar con la aplicación de estas teorías a la solución de teoremas esenciales en varias ramas de la matemática.

Índice Temático

Unidad Tema Horas


1 Unidad I. 9 0


4 Unidad IV. 9 0

5 Unidad V. 9 0

6 Unidad VI. 9 0

7 Unidad VII. 9 0 8 Unidad VIII 9 0



Contenido Temático


1

Unidad I.

Variedades topológicas y diferenciables 1.1 Definiciones básicas. Concepto de estructura diferencial. Estructuras no difeomorfas en S7 (opcional). 1.2 Subvariedades. Productos de variedades. 1.3 Variedades con frontera. 1.4 Funciones diferenciables.

2

Unidad II.

El haz tangente 2.1 Espacio tangente de una variedad de un punto (diferentes versiones) La derivada de una función en un punto. 2.2 Definición de haz vectorial y prehaz vectorial.

2.3 El haz tangente. La derivada de una función. Functores suaves. Nuevos haces vectoriales y fibrados: dual, tensor, cuña.

3

Unidad III.

Transversalidad 2.1 Valores regulares. 2.2 Transversalidad. 2.3 Teoremas de Sard y Thom.

4

Unidad IV.

Formas normales 4.1 Teoremas de inmersión, sumersión, función inversa, rango y rango constante. 4.2 Variedades encajadas.

5

Unidad V.

Teoremas de Whitney 5.1 Participaciones de la unidad. Funciones propias. 5.2 Teoremas de inmersión, inmersión inyector y encaje de Whitney (Topología W0).

6

Unidad VI.

Homotopía y estabilidad 6.1 Estabilidad de inmersiones, sumersiones, encaje, difeomorfismos y transversalidad. 6.2 Funciones de Morse.

7

Unidad VII.

Teoremas de vecindad tubular y collar.

8

Unidad VIII

Grado 8.1 El grado módulo 2. Teorema de Jordan- Brouwer y Borsuk- Ulam. 8.2 Orientación en variedades. El grado en general. Teorema de Lefschetz. 8.3 Característica de Euler y teorema de Poincaré-Hopf. 8.4 Caracterización de la homotopia por el grado. Teorema de Hopf.


- SPIVAK, M, A COMPREHENSIVE INTRODUCTION TI DIFFERENTIAL GEOMETRY, PUBLISH OR PERISH, INC, -------- -------------, 1979. - BRÖCKER, T y K.JÄNICH, INTRODUCTION TO DIFFERENTIAL TOPOLOGY, CAMBRIDGE UNIVERSITY PRESS, ------ ---------------------, 1982.


- GUILLEMIN, V. y A. POLLACK, DIFFERENTIAL TOPOLOGY, PRENTICE-HALL, -------------------------, 1974.


Exposición oral (X) Exposición audiovisual ( ) Ejercicios dentro de clase (X) Ejercicios fuera del aula (X) Seminarios (X) Lecturas obligatorias ( ) Trabajo de Investigación ( )

Mecanismos de evaluación de aprendizaje de los alumnos: Exámenes Parciales (X) Examen final escrito (X) Trabajos y tareas fuera del aula (X) Exposición de seminarios por los alumnos ( ) Participación en clase (X) Asistencia ( )

Prácticas de taller o laboratorio ( ) Prácticas de campo ( ) Otros:

Seminario ( ) Otras:






Denominación: TOPOLOGÍA GENERAL




Horas al Semestre






Objetivo general:

Que el alumno aprenda como generalizar los conceptos fundamentales del cálculo en R^n a espacios más abstractos como son los espacios métricos y los espacios topológicos. Además, que el alumno aprenda las ideas más globales o más geométricas en los teoremas centrales de cálculo y análisis.


Que el alumno conozca y maneje los temas fundamentales de topología General tales como la noción de un espacio topológico, continuidad de funciones entre espacios topológicos, compacidad, conexidad, axiomas de separación, metrizabilidad y compactaciones.

Índice Temático

Unidad Tema Horas



3 Unidad III. 6 0

4 Unidad IV. 6 0


7 Unidad VII. 6 0

8 Unidad VIII 6 0

9 Unidad IX. 6 0

10 Unidad X 6 0

11 Unidad XI 6 0 12 Unidad XII 6 0



Contenido Temático


1

Unidad I.

Conceptos básicos 1.1 Topologías, bases, sub-bases y vecindades. 1.2 Topología generada por una métrica. 1.3 Axiomas de numerabilidad. 1.4 Operadores topológicos. 1.5 Densidad. 1.6 Subespacios topológicos.

2

Unidad II.

Continuidad y convergencia

2.1 Propiedades equivalentes a la continuidad de las funciones. 2.2 Diversos tipos de funciones (abiertas, cerradas, homeomorfismos, encajes y retracciones) 2.3 Topologías inducidas por familias de funciones. 2.4 Convergencia de redes y filtros. 2.5 Caracterización de la continuidad de funciones mediante convergencia.

3

Unidad III.

Productos y cocientes 3.1 Producto topológico y su propiedad universal. 3.2 Funciones producto. 3.3 Topología cociente y diversas formas de obtener un espacio cociente. 3.4 Teorema de transgresión. 3.5 Topología suma (coherente) y suma directa de espacios topológicos.

4

Unidad IV.

Axiomas de separación 4.1 Espacios T-1 de Hausdorff, regulares y completamente regulares. 4.2 Espacios normales. 4.3 Teorema de Urysohn. 4.4 Teorema de extensión de Tietze.

5

Unidad V.

Compacidad 5.1 Caracterizaciones de la compacidad con redes y filtros. 5.2 Teorema de Tychonoff. 5.3 Compacidad y axiomas de separación. 5.4 Compacidad local. 5.5 Compactación por un punto y compactación de Stone- Cech.

6

Unidad VI.

Paracompacidad y metrizabilidad 6.1 Espacios paracompactos y axiomas de separación. 6.2 Participaciones de la unidad. 6.3 Espacios metrizables. 6.4 Teorema de Stone. 6.5 Teorema de metrización de Urysohn. 6.6 Teorema de matrización de Nagata-Simirnov- Bing.

7

Unidad VII.

Conexidad y homotopía 7.1 Conexidad y conexidad por trayectorias. 7.2 Conexidad local y local por trayectorias. 7.3 Relación de homotopía. 7.4 Espacios homotópicamente equivalentes y propiedades homotópicas. 7.5 Espacios contráctiles y retracto (fuerte) por deformación. 7.6 Teorema de extensión de homotopía de Borsuk.

8

Unidad VIII

Tema opcional: Más sobre conexidad

8.1 Teoremas de separación en espacios de Hausdorff.

8.2 Casos en que las quasi componentes son conexas □□ □ – conexidad y el teorema de Sierpinski. 8.3 El discontinuo de Cantor, propiedades y caracterización. 8.4 Espacios métricos con la propiedad S 8.5 Caracterizaciones del arco y de la curva cerrada simple.

9

Unidad IX.

Tema opcional : Uniformidades

9.1 Definición de uniformidad por conectores y por cubiertas, relación entre ellas. 9.2 Ejemplos fundamentales de espacios uniformes. 9.3 Uniformización de espacios topológicos. 9.4 Filtros de Cauchy y completez. 9.5 Extensión de funciones uniformemente continuas. 9.6 Completación de espacios uniformes. 9.7 Compactación y espacios totalmente acotados.

10

Unidad X.

Tema opcional: Grupos y espacios vectoriales topológicos

8.1 Breve introducción a los grupos topológicos. 8.2 Espacios vectoriales topológicos. 8.3 Convexidad local. 8.4 Espacios vectoriales normados.

11

Unidad XI.

Tema opcional: Construcciones especiales de espacios

11.1 Cono y suspensión de espacios. 11.2 Espacios de adjunción. 11.3 Cilindro y cono de una transformación. 11.4 CW-Complejos.

12

Unidad XII.

Tema opcional: Espacios de funciones

12.1 Topología de la convergencia puntual y topología compacto-abierta en C(X, Y). 12.2 Topologías admisibles. 12.3 Ley exponencial. 12.4 Topología de la convergencia uniforme. 12.5 Equicontinuidad, aproximaciones uniformes y puntuales en C(X,Y). 12.6 Teorema de Stone-Weierstrass y Arzela-Ascoli.


- ENGELKING, R., GENERAL TOPOLOGY, HELDERMANN VERLAG, BERLIN, 1989. - GARCIA MAYNEZ, A. y A. TAMARIZ, TOPOLOGIA GENERAL, PORRUA, MEXICO, 1988.


- NAGATA, J, MODERN GENERAL TOPOLOGY, NORTH-HOLLAND, AMSTERDAM, 1985.








Denominación: INTRODUCCIÓN A LOS MEDIOS CONTINUOS -




Horas al Semestre






Objetivo general:

- Proveer las herramientas matemáticas que permitan dar respuesta significativa a problemas con una o mas escalas. - Establecer conexiones entre las matemáticas y otras ciencias.


-Dar los elementos matemáticos fundamentales para el estudio de fluidos y elasticidad - Establecer conexiones con otros posgrados: de física (electrodinámica, cuantica, etc.), materiales (medios continuos,

elasticidad, reologia, etc.), geofísica (sismología, física del interior de la Tierra, atmosfera, oceanografía, espacio exterior, etc.), ingeniería (sísmica, estructuras, fluidos, calor, etc.)

Índice Temático

Unidad Tema Horas



3 Unidad III. 18 0

4 Unidad IV. 18 0


Contenido Temático


1

Unidad I.

Ecuaciones de Euler y Navier-Stokes para el movimiento de fluidos inviscidos y viscosos comprensibles.

1.1 Algunos flujos potenciales. Movimiento de vórtices inviscidos. Estabilidad para flujos inviscidos y la ecuación de Rayleigh. Movimientos de hojas de vórtices. 1.2 Flujos de Poiseuille Couette. Capa límite, Arrastre provocado por flujos viscosos. Fórmula de Stokes. Generación y transporte de verticidad. 1.3 Estabilidad de flujos viscosos. Ecuaciones de Orr- Sommerfeld.

2

Unidad II.

Ecuaciones para el movimiento de cuerpos elásticos

2.1 Balance de momento y relaciones constitutivas. Aproximaciones. Parta el movimiento de membranas,

placas y vigas. Soluciones de los problemas lineales clásicos. 2.2 Propagación de ondas elásticas en semiespacios. Dispersión y aplicaciones a ondas sísmicas.

3

Unidad III.

Elementos de elasticidad no lineal 3.1 Pandeo de vigas y placas. 3.2 Bifurcación estacionaría.

4

Unidad IV.

Flujo compresible 4.1 Hiperbolicidad y características. 4.2 Ondas de choque y saltos hidráulicos. 4.3 Aplicaciones a oleaje y flujo en canales.


- FUNG, Y.C., FOUNDATIONS OF SOLID MECHANICS, PRENTICE HALL, NEW JERSEY, 1965. - JONES, D.S., THE THEORY OF ELECTROMAGNETISM, PERGAMON P, LONDON, 1964. - JONES, D.S., ACOUSTIC AND ELECTROMAGNETIC WAVES, CLRENDON, OXFORD, 1986. - REKTORYS, K, VARIATIONAL METHODS IN MATHEMATICS, SCIENCE AND ENGINEERING, REIDEL PUB, HOLLAND, 1977. - SOKOLMIKOFF, I.S., MATHEMATICAL THEORY OF ELASTICITY, MCGRAW HILL, NEW YORK, 1956. - LANDAU, L.D. y LIFSCHITZ, E.M., FLUID MECHANICS, PERGAMON P., LONDON, 1959. - LANDAU, L.D. y LIFSCHITZ, E.M., THEORY OF ELASTICITY, PERGAMON P, LONDON, 1920.


- ACHENBACH, J.D, WAVE PROPAGATION IN ELASTIC SOLIDS, NORTH HOLLAND, OXFORD, 1975. - ANTMAN, S.S., NON LINEAR PROBLEMS OF ELASTICITY, SPRINGER-VERLAG, NEW YORK, 1995. - BATCHELOR, G.K., AN INTROCUCTION TO FLUID DYNAMICS, CAMBRIDGE UNIVERSITY PRESS, CAMBRIDGE, 1990.








Denominación: FINANZAS MATEMÁTICAS Y DERIVADOS EN

TIEMPO DISCRETO


1,2,3,4 Campo de Conocimiento: Finanzas Matemáticas No. Créditos: 6


Horas al Semestre






Objetivo general:

Introducir los modelos básicos en el área de finanzas en tiempo discreto enfocando en particular a valuación de opciones y modelos de interés.


Familiarizar al alumno con los conceptos básicos en finanzas tal como arbitraje, completez y cambios de media.

Índice Temático

Unidad Tema Horas


2 Unidad II. 16 0

3 Unidad III. 16 0



Contenido Temático


1

Unidad I.

Modelos de tasa de interés 1.1 Interés simple, compuesto, continuamente compuesto. 1.2 Bonos (descuento, add-on, cupones, Cetes, etc) 1.3 Estructuras de plazos (term-structure) 1.4 Contractos adelantados (forwards) y futuros. 1.5 Tasa forward. Curva de rendimientos (Yield curve) 1.6 Cobertura de futuros. 1.7 Swaps: tasa de interés, divisas.

2

Unidad II.

Precios de Valores en Mercados Financieros en Tiempo Discreto 2.1 El modelo de un periodo. 2.2 Valores y derivados. 2.3 Medida neutral de riesgo y ausencia de arbitraje. 2.4 Completez, cobertura y estrategias autofinanciables. 2.5 Modelo multi-periodo. 2.6 Medida de riesgo neutral, arbitraje y cobertura. 2.7 Valores europeos, americanos y paro óptimo. 2.8 Cálculo estocástico discreto: Integral, transformaciones de Esscher y Girsanov.

2.9 Valuación en mercados incompletos.

3

Unidad III.

El Modelo Black-Scholes como Límite Discreto 2.1 El modelo de Cox-Ross-Rubinstein (CRR) 2.2 El modelo Black-Scholes como límite de CRR. 2.3 Otros límites. 2.4 Introducción intuitiva al cálculo estocástico. 2.5 Fórmula de Ito. 2.6 Cobertura en tiempo continuo. 2.7 Griegas. 2.8 Estimación de parámetros en el modelo de Black- Scholes.


- MICHAEL U. DOTHAN, PRICES IN FINANCIAL MARKETS, OXFORD UNIVERSITY PRESS, ----------------------, 1990. - ROBERT C. MERTON, CONTINUOUS-TIME FINANCE, BLACKWELL, --------------------------------, 1990. - ALBERT N. SHIRYAEV, ESSENTIALS OF STOCHASTIC FINANCE, WORLD SCIENTIFIC, ---------------------------, 1999. - J.C. COX, R.A. ROSS, M. RUBINSTEIN y otros, OPTION PRICING: A SIMPLIFIED APPROACH, J. FINANCIAL ECONOMICS, ----------------------------, 1979. - D. LAMBERTON y B. LAPEYRE, INTRODUCTION TO STOCHASTIC CALCULUS APPLIED TO FINANCE, CHAPMAN & HALL, -----------------------, 1997.


- S. PLISKA, INTRODUCTION TO MATHEMATICAL FINANCE: DISCRETE TIME MODELS, BLACKWELL, -------------------- ---------------, 1997. - JOHN C. HULL, OPTIONS, FUTURES AND OTHER DERIVATIVES, PRENTICE HALL, --------------------------, 2002.








Denominación: TEORÍA DE RIESGO




Horas al Semestre






Objetivo general:

Introducir los modelos clásicos y modernos que se usan en el área de riesgo en seguros con el fin de obtener herramientas que complementan los métodos de finanzas matemáticas.

Objetivos específicos: Familiarizar al alumno con los métodos clásicos en la teoría de riesgo como primas, solvencia y probabilidades ruina utilizando herramientas de procesos de Markov.

Índice Temático

Unidad Tema Horas


1 Unidad I. 10 0

2 Unidad II. 10 0


5 Unidad V. 8 0



Contenido Temático


1

Unidad I.

Conceptos y modelos básicos en seguros y finanzas 1.1 El proceso del número de reclamaciones. 1.2 El proceso del tamaño de las reclamaciones. 1.3 Soluciones del Portafolio. 1.4 Reaseguro. 1.5 Problemas de la Ruina. 1.6 Distribuciones con Hazard rate monótonas. 1.7 Distribuciones de Colas Pesadas. 1.8 Detección de distribuciones de Colas Pesadas.

2

Unidad II.

Primas y Riesgos 2.1 Principios básicos del cálculo de primas. 2.1.1 Propiedades deseables de una buena prima. 2.1.2 Principios básicos de primas. 2.1.3 Cuantiles. 2.2 Orden Estocástico. 2.2.1 Funciones de Utilidad.

2.2.2 Orden Estocástico. 2.2.3 El principio de Utilidad cero.

3

Unidad III.

Procesos de Riesgo 3.1 Procesos de Riesgo dependientes del tiempo. 3.2 Procesos Poisson. 3.3 Probabilidades de Ruina: Proceso Poisson Compuesto. 3.4 Cotas y Aproximaciones. 3.5 Modelo Cramér-Lundberg. 3.6 Modelo Sparre-Andersen. 3.7 Transformación de Esscher y cambios de medida.

4

Unidad IV.

Riesgo y Portafolios 4.1 Medidas de Riesgo. 4.2 Optimización de Portafolios.

5

Unidad V.

Procesos de Markov 5.1 Cadenas de Markov. 5.2 Procesos de Markov. 5.3 Teoría de renovación. 5.4 Procesos escalonados. 5.5 Paro opcional de martingalas.


- J. GRANDELL, ASPECTS OF RISK THEORY, SPRINGER, -----------------------, 1991. - T. ROLSKI, H. SCHMIDLI, V. SCHMIDT, J.TEUGELS y Otros, STOCHASTIC PROCESSES FOR INSURANCE AND FINANCE, WILEY, ------------------------, 1998. - P. EMBRECHTS, C. KLÜPPELBERG, T. MIKOSCH y Otros, MODELLING EXTREMAL EVENTS, SPRINGER, -------------- ---------, 1997.


- S. ASMUSSEN, RUIN PROBABILITIES, WORLD SCIENTIFIC, -----------------------, 2000. - J. GALAMBOS, AYMPTOTIC THEORY OF EXTREME ORDER STATISTICS, 2 ND ED KRIEGER, ----------------------------, 1987.








Denominación: FINANZAS MATEMÁTICAS Y DERIVADOS EN

TIEMPO CONTINUO




Horas al Semestre






Objetivo general: Introducir los modelos básicos en el área de finanzas en tiempo continuo enfocando en particular a valuación de opciones y modelos de interés.

Objetivos específicos: Familiarizar al alumno con los conceptos básicos en finanzas continuas tal como arbitraje, completez y cambios de media.

Índice Temático

Unidad Tema Horas


1 Unidad I. 16 0

2 Unidad II. 16 0

3 Unidad III. 16 0



Contenido Temático


1

Unidad I.

Modelo de Black-Scholes en tiempo continuo 1.1 Integración con respecto al movimiento Browniano: construcción y resultados. 1.2 Formulación del modelo básico. 1.3 Medida de martingala. 1.4 Fórmula de Black-Scholes 1.5 Cobertura. Griegas. 1.6 La ecuación fundamental y la fórmula de Black-Scholes 1.7 Dividendos. 1.8 Opciones americanas. 1.9 Interés estocástico (Merton) 1.10 Derivados sobre futuros, divisas y otros instrumentos. 1.11 Opciones exóticas.

2

Unidad II.

Teoría de Arbitraje en tiempo continuo 2.1 Portafolios y estrategias auto-financiables. 2.2 Condiciones necesarias y suficientes de no-arbitraje. 2.3 Medidas de martingala en el caso de difusión: Girsanov. 2.4 Valuación en tiempo continuo (vía martingalas y ecuaciones dif. Fundamentales)

2.5 Algunos métodos numéricos (diferencias finitas, Crank-Nicholson)

3

Unidad III.

Modelos para instrumentos de ingresos fijos 3.1 Modelo de Vasicek. 3.2 Modelo de Cox-Ingersoll-Ross. 3.3 Modelo de Hull-White. 3.4 Modelos long-normales. 3.5 Modelo Ho-Lee. 3.6 Modelo Heath-Jarrow-Morton.


- ROBERT C. MERTON, CONTINUOUS-TIME FINANCE, BLACKWELL, ----------------------, 1990. - ALBERT N. SHIRYAEV, ESSENTIALS OF STOCHASTIC FINANCE, WORLD SCIENTIFIC, ------------------------, 1999. - MAREK MUSIELA, MAREK RUTKOWSKI, MARTINGALE METHODS IN FINANCIAL MODELLING, SPRINGER, ----------- ------------, 1997. - D.LAMBERTON y B. LAPEYRE, INTRODUCCTION TO STOCHASTIC CALCULUS APPLIED TO FINANCE, CHAPMAN & HALL, ------------------------, 1997.


- LARS T. NIELSEN, PRICING AND HEADGING OF DERIVATIVE SECURITIES, ----------------------------------------------------, OXFORD, 1999. - I.KARATZAS y S.E. SHREVE, BROWNINAN MOTION AND STOCHASTIC CALCULUS, SPRINGER, ------------------------, 1991.








Denominación: CURSO AVANZADO DE ÁLGEBRA



Carácter: Optativa Horas Horas por semana

Horas al Semestre


Modalidad: Curso Avanzado Duración del programa: Semestral




Objetivo general:


Índice Temático

Unidad Tema Horas


1 Unidad I. 72 0



Contenido Temático


1

Unidad I.

Cada semestre el profesor interesado elabora un programa y solicita al Comité Académico su autorización para impartirlo.










Denominación: CURSO AVANZADO DE ÁLGEBRA




Horas al Semestre






Objetivo general:


Índice Temático

Unidad Tema Horas


1 Unidad I. 48 0



Contenido Temático


1

Unidad I.











Denominación: SEMINARIO DE ÁLGEBRA




Horas al Semestre


Modalidad: Seminario Duración del programa: Semestral




Objetivo general:


Índice Temático

Unidad Tema Horas


1 Unidad I. 40 0



Contenido Temático


1

Unidad I.











Denominación: CURSO AVANZADO DE ANÁLISIS




Horas al Semestre






Objetivo general:


Índice Temático

Unidad Tema Horas


1 Unidad I. 72 0



Contenido Temático


1

Unidad I.











Denominación: SEMINARIO DE ANÁLISIS




Horas al Semestre






Objetivo general:


Índice Temático

Unidad Tema Horas


1 Unidad I. 40 0



Contenido Temático


1

Unidad I.











Denominación: CURSO AVANZADO DE ANÁLISIS NUMÉRICO

Y COMPUTACIÓN CIENTÍFICA (INCLUYENDO MODELACIÓN)


1,2,3,4 Campo de Conocimiento: Análisis Numérico y

Computación Científica (incluyendo Modelación) No. Créditos: 9


Horas al Semestre






Objetivo general:


Índice Temático

Unidad Tema Horas


1 Unidad I. 72 0



Contenido Temático


1

Unidad I.











Denominación: CURSO AVANZADO DE ESTADÍSTICA




Horas al Semestre






Objetivo general:


Índice Temático

Unidad Tema Horas


1 Unidad I. 48 0



Contenido Temático


1

Unidad I.

Cada semestre el profesor interesado elabora un programa y solicita al Comité Acádemico su autorización para impartirlo.










Denominación: SEMINARIO DE ESTADÍSTICA




Horas al Semestre






Objetivo general:


Índice Temático

Unidad Tema Horas


1 Unidad I. 40 0


Contenido Temático


1

Unidad I.











Denominación: CURSO AVANZADO DE GEOMETRÍA


1,2,3,4 Campo de Conocimiento: Geometría No. Créditos: 9


Horas al Semestre






Objetivo general:


Índice Temático

Unidad Tema Horas


1 Unidad I. 72 0


Contenido Temático


1

Unidad I.







Perfil profesiográfico:

Maestro o Doctor en Ciencias Matemáticas




Denominación: CURSO AVANZADO DE GEOMETRÍA




Horas al Semestre






Objetivo general:


Índice Temático

Unidad Tema Horas




Contenido Temático


1

Unidad I. Unidad I








Maestro o Doctor en Ciencias Matemáticas.




Denominación: SEMINARIO DE GEOMETRÍA




Horas al Semestre






Objetivo general:


Índice Temático

Unidad Tema Horas




Contenido Temático


1

Unidad I.








Maestro o Doctor en Ciencias Matemáticas




Denominación: CURSO AVANZADO DE MATEMÁTICAS

DISCRETAS




Horas al Semestre






Objetivo general:


Índice Temático

Unidad Tema Horas




Contenido Temático


1

Unidad I.












Denominación: CURSO AVANZADO DE MATEMÁTICAS

DISCRETAS




Horas al Semestre






Objetivo general:


Índice Temático

Unidad Tema Horas




Contenido Temático


1

Unidad I.






Exámenes Parciales (X) Examen final escrito (X) Trabajos y tareas fuera del aula (X) Exposición de seminarios por los alumnos ( ) Participación en clase (X) Asistencia ( ) Seminario ( ) Otras:







Denominación: CURSO AVANZADO DE PROBABILIDAD




Horas al Semestre






Objetivo general:


Índice Temático

Unidad Tema Horas




Contenido Temático


1

Unidad I.













Denominación: CURSO AVANZADO DE

PROBABILIDAD Clave: 62586


Campo de Conocimiento: Probabilidad No. Créditos: 6


Horas al Semestre






Objetivo general:


Índice Temático

Unidad Tema Horas




Contenido Temático


1

Unidad I.













Denominación: SEMINARIO DE PROBABILIDAD




Horas al Semestre






Objetivo general:


Índice Temático

Unidad Tema Horas




Contenido Temático


1

Unidad I.












Denominación: CURSO AVANZADO DE SISTEMAS

CONTINUOS




Horas al Semestre






Objetivo general:


Índice Temático

Unidad Tema Horas


1 Unidad I. 72 0


Contenido Temático


1

Unidad I.












Denominación: CURSO AVANZADO DE SISTEMAS

CONTINUOS




Horas al Semestre






Objetivo general:


Índice Temático

Unidad Tema Horas




Contenido Temático


1

Unidad I.

Cada semestre el profesor interesado elabora un programa y solicita al Comité Académico su autorización.











Denominación: SEMINARIO DE SISTEMAS CONTINUOS




Horas al Semestre






Objetivo general:


Índice Temático

Unidad Tema Horas




Contenido Temático


1

Unidad I.












Denominación: CURSO AVANZADO DE TOPOLOGÍA




Horas al Semestre






Objetivo general:


Índice Temático

Unidad Tema Horas




Contenido Temático


1

Unidad I. Unidad I













Denominación: CURSO AVANZADO DE ANÁLISIS NUMÉRICO

Y COMPUTACIÓN CIENTÍFICA (INCLUYENDO MODELACIÓN)



No. Créditos: 6


Horas al Semestre


Modalidad: Curso Avanzado Duración del programa: 16 semanas




Objetivo general:


Índice Temático

Unidad Tema Horas


1 Unidad I. 48 0



Contenido Temático Unidad Tema y Subtemas

1

Unidad I.











Denominación: CURSO AVANZADO DE ANÁLISIS




Horas al Semestre






Objetivo general:


Índice Temático

Unidad Tema Horas


1 Unidad I. 48 0



Contenido Temático


1

Unidad I.




Sugerencias didácticas: Exposición oral (X) Exposición audiovisual (X) Ejercicios dentro de clase ( ) Ejercicios fuera del aula (X) Seminarios (X) Lecturas obligatorias ( ) Trabajo de Investigación ( ) Prácticas de taller o laboratorio ( ) Prácticas de campo ( ) Otros:







Denominación: CURSO AVANZADO DE ECUACIONES

DIFERENCIALES (ORDINARIAS Y PARCIALES)





Horas al Semestre






Objetivo general:


Índice Temático

Unidad Tema Horas


1 Unidad I. 72 0



Contenido Temático


1

Unidad I.











Denominación: CURSO AVANZADO DE ECUACIONES






Horas al Semestre






Objetivo general:


Índice Temático

Unidad Tema Horas


1 Unidad I. 48 0



Contenido Temático


1

Unidad I.











Denominación: CURSO AVANZADO DE TOPOLOGÍA




Horas al Semestre






Objetivo general:


Índice Temático

Unidad Tema Horas


1 Unidad I. 48 0



Contenido Temático


1

Unidad I.












Denominación: SEMINARIO DE MATEMÁTICAS DISCRETAS




Horas al Semestre






Objetivo general:


Índice Temático

Unidad Tema Horas


1 Unidad I. 40 0



Contenido Temático


1

Unidad I.











Denominación: SEMINARIO DE TOPOLOGÍA




Horas al Semestre






Objetivo general:


Índice Temático

Unidad Tema Horas


1 Unidad I. 40 0



Contenido Temático


1

Unidad I.











Denominación: GEOMETRÍA DIFERENCIAL




Horas al Semestre






Objetivo general: Geometría Diferencial es una introducción a la Geometría Diferencial moderna y en particular, a algunos de los resultados importantes de la Geometría Riemanniana. Como herramientas fundamentales es necesario introducir el alumno a los conceptos básicos de variedades, haces vectoriales y tensores y formas que también se introducen en los cursos de Topología Diferencial y Álgebra tensorial.

Objetivos específicos: Desarrollar los conceptos de conexiones y geodésicas para llegar al de curvatura, que es una invariante geométrica de suma importancia. Otro objetivo es preparar al alumno para que pueda aplicar sus conocimientos básicos de la geometría diferencial en otras áreas de la matemática.

Índice Temático

Unidad Tema Horas


2 Unidad II. 15 0

3 Unidad III. 15 0

4 Unidad IV. 15 0

5 Unidad V. 12 0


Contenido Temático


1

Unidad I.

Variedades diferenciables 1.1 Variedades, haz tangente y transformaciones

diferenciables. 1.2 El teorema del rango; inmersiones, submersiones y

encajes. 1.3 Campos vectoriales, orientabilidad. 1.4 Flujo asociado a un campo vectorial; derivada de Lie.

2

Unidad II.

Haces vectoriales, formas diferenciables y tensores

2.1 Haces, subhaces, secciones e isomorfismos. 2.2 Operaciones con haces. 2.3 Álgebra multilineal, tensores, alternancia. 2.4 Formas diferenciales, derivada exterior. 2.5 Teorema de Stokes.

3

Unidad III.

Conexiones y geodésicas 3.1 Métricas y conexiones. La conexión Riemanniana. 3.2 Transporte paralelo y geodésicas. 3.3 Transformación exponencial, lema de Gauss. 3.4 Teorema de Hopf-Rinow.

4

Unidad IV.

Curvatura 4.1 Tensor de curvatura. 4.2 Curvaturas seccional, de Ricci y escalar. 4.3 Campos de Jacobi y puntos conjugados. 4.4 Teorema de Hadamard.

5

Unidad V.

Variaciones de la energía (opcional) 5.1 Primera y segunda variaciones, Teorema del índice 5.2 Teorema de Bonnet-Myers

N.B. El capítulo opcional no será incluido en el Examen

General.


- DO CARMO, M, RIEMANNIAN GEOMETRY, -------------------------------------------------------, BIRKHÄUSER, 1992. - DO CARMO, M, DIFFERENTIAL FORMS AND APPLICATIONS, ---------------------------------------------------------------, SPRINGER VERLAG, 1997. - LANG, S., DIFFERENTIAL AND RIEMANNIAN MANIFOLDS, SPRINGER VERLAG, ------------------------, 1995. - OŃEILL, B., SEMI-RIEMANNIAN GEOMETRY,, ACADEMIC PRESS, -------------------------, 1983. - PETERSEN, P, RIEMANNIAN GEOMETRY, GTM SPRINGER, -------------------, 1997. - SPIVAK, M. A, COMPREHENSIVE INTRODUCTION TO DIFFERENTIAL GEOMETRY, VOL. 1 Y 2,, PUBLISH OR PERISH, ---------------------, 1979. - WARNER, F., FOUNDATIONS OF DIFFERENTIABLE MANIFOLD AND LIE GROUPS, GTM SPRINGER, -------------------- -, 1983. - DO CARMO, M, RIEMANNIAN GEOMETRY,, BIRKHÄUSER, ---------------------, 1992. - DO CARMO, M, DIFFERENTIAL FORMS AND APPLICATIONS, SPRINGER VERLAG, ----------------------, 1997. - LANG, S., DIFFERENTIAL AND RIEMANNIAN MANIFOLDS, SPRINGER VERLAG, --------------------, 1995. - GUILLEMIN, V. y A. POLLACK, TOPOLOGÍA DIFERENCIAL, SMM, ------------------------, 2003. - KOBAYASHI, S y K. NOMIZU, FOUNDATIONS OF DIFFERENTIAL GEOMETRY, INTERSCIENCE, ----------------------, 1963.


- WARNER, F., FOUNDATIONS OF DIFFERENTIABLE MANIFOLD AND LIE GROUPS,, GTM SPRINGER, -------------------- -----, 1983. - SPIVAK, M. A, COMPREHENSIVE INTRODUCTION TO DIFFERENTIAL GEOMETRY, VOL. 1 Y 2,, PUBLISH OR PERISH, ------------------------, 1979. - PETERSEN, P., RIEMANNIAN GEOMETRY, GTM SPRINGER, -----------------------, 1997. - OŃEILL, B, SEMI-RIEMANNIAN GEOMETRY, ACADEMIC PRESS, --------------------------, 1983.


Exposición oral (X) Exposición audiovisual ( ) Ejercicios dentro de clase (X) Ejercicios fuera del aula (X) Seminarios (X) Lecturas obligatorias ( ) Trabajo de Investigación ( )

Mecanismos de evaluación de aprendizaje de los alumnos: Exámenes Parciales (X) Examen final escrito (X) Trabajos y tareas fuera del aula (X) Exposición de seminarios por los alumnos ( ) Participación en clase (X) Asistencia ( )

Prácticas de taller o laboratorio ( ) Prácticas de campo ( ) Otros:

Seminario ( ) Otras:






Denominación: PROBABILIDAD I




Horas al Semestre






Objetivo general: Presentar los fundamentos matemáticos de la Teoría de la Probabilidad.

Objetivos específicos: Familiarizar al alumno con los elementos de la teoría de la medida y su aplicación al estudio de la probabilidad. Presentar aplicaciones describiendo su importancia en otras ramas de las matemáticas así como en otras áreas de la ciencia.

Índice Temático

Unidad Tema Horas


1 Unidad I. 24 0

2 Unidad II. 24 0

3 Unidad III. 24 0



Contenido Temático


1

Unidad I.

Espacio de probabilidad, variables aleatorias y distribuciones

1.1 Definiciones básicas y ejemplos. 1.2 Lemas de clases monótonas. 1.3 Espacios de medida y de probabilidad. 1.3.1 Definiciones básicas y ejemplos. 1.3.2 Distribuciones o leyes de probabilidad. 1.3.3 Funciones de distribución. 1.3.4 Construcción del espacio de probabilidad asociado

a una función de distribución. (Opcional). 1.4 Espacios y medidas producto. Independencia 1.4.1 Lema de Borel Cantelli.

2

Unidad II.

Esperanza y momentos de variables aleatorias, probabilidad y esperanza condicional

2.1 Integral de Lebesgue, esperanzas de funciones de variables aleatorias.

2.2 Función característica, definición, propiedades. Aplicación a sumas de variables aleatorias independientes.

2.3 Probabilidad y Esperanza Condicional. 2.3.1 Esperanza Condicional y sus propiedades

elementales. 2.3.2 Esperanza Condicional con respecto a una v.a.,

con respecto a una sigma-álgebra, etc. 2.3.3 Probabilidad Condicional. 2.3.4 Distribuciones Condicionales.

3

Unidad III.

Leyes de los grandes números y el Teorema central del límite 3.1 Tipos de convergencia. 3.1.1 Convergencia casi segura, en probabilidad, en L p. 3.1.2 Convergencia débil, o en distribución. 3.1.3 Convergencia débil usando funciones

características. Teorema de continuidad de Lévy (sin demostración). 3.1.4 Relaciones entre los modos de convergencia. 3.2 Leyes de los grandes números. 3.2.1 Ley débil de los grandes números. 3.2.2 Ley fuerte de los grandes números. 3.3 El Teorema central del límite.


- ASH, R.B., REAL ANALYSIS AND PROBABILITY, ACADEMIC PRESS, NEW YORK, 1972. - BILLINGSLEY, P, PROBABILITY AND MEASURE, JOHN WILEY AND SONS, NEW YORK, 1979. - BREIMAN, L, PROBABILITY, JOHN WILEY AND SONS, NEW YORK, 1971. - CLARKE, L.E., RANDOM VARIABLES, LONGMAN, LONDON, 1975. - FELLER, W, AN INTRODUCTION TO PROBABILITY THEORY AND APPLICATIONS, (2 VOLS), JOHN WILEY AND SONS, NEW YORK, 1968/1971. - HOFFMAN-JORGENSEN, PROBABILITY WITH A VIEW TO WARD STATISTICS, VOL 1, CHAPMAN AND HALL, LONDON, 1994. - BILLINGSLEY, P, PROBABILITY AND MEASURE, J. WILEY AND SONS, NEW YORK, 1979. - BREIMAN, L, PROBABILITY, WILEY, NEW YORK, NEW YORK. - CLARKE, L.E., RANDOM VARIABLES, ----------------------------------------------------, LONDON, 1975. - CHOW, Y.S. y H. TEICHER, PROBABILITY THEORY, JOHN WILEY AND SONS, CHCHESTER, 1988. - CHOW, Y.S y TEICHER, H, PROBABILITY, WILEY CHICHESTER, ------------------------, 1988. - LAHA, R.G. y ROHATGI, V.K, PROBABILITY THEORY, WILEY, NEW YORK, 1979. - JACOD, J y PROTTER, P, PROBABILITY ESSENTIALS, SPRINGER-VERLAG, ------------------------------, 2003.


- ASH, R.B., REAL ANAYLISIS AND PROBABILITY, ACADEMIC PRESS, NEW YORK, 1972. - BORKAR, V.S., PROBABILITY THEORY AN ADVANCED COURSE.UNIVERSITEXT, SPRINGER,, NEW YORK, 1995. - DUDLEY, R.M., REAL ANALYSIS AND PROBABILITY, CAMBRIDGE UNIVERSITY PRESS, --------------------------, 2002. - DURRET, R., PROBABILITY: THEORY AND EXAMPLES, WADSWORTH&BROOKS/COLE, PACIFIC GROVE, ------------ -----------, 1991. - FELLER, W, AN INTRODUCTION TO PROBABILITY THEORY AND ITS APPLICATIONS, VOL. I AND II, WILEY, NEW YORK, 1971. - WILLIAMS, D, PROBABILITY WITH MARTINGALES, CAMBRIDGE UNIVERSITY PRESS, ----------------------------, 1991. - FRISTEDT, B y GRAY, L, A MODERN APPROACH TO PROBABILITY THEORY, BIRKHÄUSER, --------------------------, 1997.









Denominación: GEOMETRÍA ALGEBRAICA




Horas al Semestre






Objetivo general:

Es una introducción a la geometría algebraica moderna. Se presentan los elementos fundamentales que permiten el desarrollo de la herramienta necesaria y que abarcan el álgebra conmutativa, geometría afín y proyectiva.

Objetivos específicos: El objetivo del curso es dar al alumno el conocimiento suficiente para el uso que se hace de geometría algebraica en otras

áreas, o para abordar cursos avanzados y seminarios especializados en el área.

Índice Temático

Unidad Tema Horas


1 Unidad I. 15 0

2 Unidad II. 15 0


5 Unidad V. 12 0



Contenido Temático


1

Unidad I.

Variedades afines 1.1 Subvariedades afines y topología de Zariski. 1.2 Ideal asociado a una subvariedad afín. 1.3 Irreducibilidad. 1.4 El Nullstestellensatz. 1.5 El anillo de coordenadas. 1.6 Aplicaciones regulares. 1.7 Equivalencia entre variedades afines y k-álgebras

finitamente generadas reducidas. 1.8 Dimensión de Krull. Enunciado sobre la igualdad

de la dimensión de Krull de una variedad afín y el grado de trascendencia del campo de funciones de la variedad.

2

Unidad II.

Variedades proyectivas 2.1 Definición del espacio proyectivo. 2.2 Variedades proyectivas. 2.3 Ideal asociado a una variedad proyectiva.

2.4 El Nullstellensatz proyectivo. 2.5 Cerradura proyectiva, homogeneización. 2.6 Aplicaciones regulares. Aplicaciones racionales.

Campo de funciones racionales.

3

Unidad III.

Ejemplos y construcciones 3.1 Espacios lineales, hipersuperficies e intersecciones

completas. 3.2 La cúbica alabeada. 3.3 Producto de variedades. Ejemplo: la imagen de P

1

x P 1

en P 3

3.4 Encaje de Segre, Ejemplos. 3.5 Aplicación de Veronese, Ejemplos. 3.6 Explosión de la curva nodal en P

2

3.7 Proyecciones.

4

Unidad IV.

Propiedades locales 4.1 Anillo local de gérmenes de funciones regulares. 4.2 Espacio tangente de Zariski. 4.3 Puntos lisos y puntos singulares. Criterio Jacobiano.

Ejemplos. 4.4 Teorema de Bézout para curvas planas, multiplicidad

de intersección.

5

Unidad V.

Tópicos optativos (opcional) 5.1 Aplicaciones finitas. 5.2 Teorema sobre la dimensión de las fibras. 5.3 Definición del grado de una variedad. 5.4 Polinomio de Hilbert. 5.5 Correspondencia entre sistemas lineales y

aplicaciones racionales. 5.6 Grassmannianas: definición, coordenadas de

Plücker. 5.7 Transformaciones de Cremona.

N.B. El capitulo 5 no incluir en el examen general.


- R. HARTSHORNE, ALGEBRAIC GEOMETRY, SPRINGER, NEW YORK, 1977. - HULEK, KLAUSS, ELEMENTARY ALGEBRAIC GEOMETRY. STUDENT MATHEMATICAL LIBRARY, 20., AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY, PROVIDENCE, -------------------------, 2003. - D.MUMFORD, ALGEBRAIC GEOMETRY I: COMPLEX PROJECTIVE VARIETIES, SPRINGER, BERLIN, 1995. - PERRIN, DANIEL, ALGEBRAIC GEOMETRY: AN INTRODUCTION. UNIVERSITEX, SPRINGER VERLAG, ------------------ -----, 2007. - I. SHAFAREVICH, BASIC ALGEBRAIC GEOMETRY I., SPRINGER, BERLÍN, 1994. - K.E. SMITH, AND AL, AN INVITATION TO ALGEBRAIC GEOMETRY, SPRINGER VERLAG UNIVERSITEXT, NEW YORK, 2000.


- ATIYAH, MCDONALD, INTRODUCTION TO COMMUTATIVE ALGEBRA, READING, MASS: ADDISON-WESLWY, -------- ----------------, 1969. - W.FULTON, ALGEBRAIC CURVES: AN INTRODUCTION TO ALGEBRAIC GEOMETRY, W A. BENJAMIN, NEW YORK, 1969. - J. HARRIS, ALGEBRAIC GEOMETRY: A FIRST COURSE, SPRINGER, NEW YORK, 1992.

Sugerencias didácticas: Mecanismos de evaluación de aprendizaje de los Exposición oral (X) alumnos: Exposición audiovisual ( ) Exámenes Parciales (X) Ejercicios dentro de clase (X) Examen final escrito (X)

Ejercicios fuera del aula (X) Seminarios ( ) Lecturas obligatorias (X) Trabajo de Investigación ( ) Prácticas de taller o laboratorio ( ) Prácticas de campo ( ) Otros:

Trabajos y tareas fuera del aula (X) Exposición de seminarios por los alumnos ( ) Participación en clase (X) Asistencia ( ) Seminario ( ) Otras:




PROGRAMA DE MTRÍA. Y DOC. EN CIENCIAS MATEMÁTICAS Y DE LA ESP. EN EST. APL. Programa

de actividad académica

Denominación: SEMINARIO DE ANÁLISIS NUMÉRICO Y

COMPUTACIÓN CIENTÍFICA (INCLUYENDO MODELACIÓN)


1,2,3,4 Campo de Conocimiento: Análisis Numérico y

Computación Científica No. Créditos: 5


Horas al Semestre






Objetivo general:


Índice Temático

Unidad Tema Horas


1 Unidad I. 40 0



Contenido Temático


1

Unidad I.








UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO

PROGRAMA DE POSGRADO PROGRAMA DE MTRÍA. Y DOC. EN CIENCIAS MATEMÁTICAS Y DE

LA ESP. EN EST. APL. Programa de actividad académica

Denominación: CURSO AVANZADO DE FINANZAS

MATEMATICAS

Clave: Semestre(s):



Horas al Semestre






Objetivo general:


Índice Temático

Unidad Tema Horas


1 Unidad I. 72 0



Contenido Temático


1

Unidad I.











Denominación: MODELOS LINEALES




Horas al Semestre






Objetivo general:

Que al alumno conozca la teoría de los modelos lineales.

Objetivos específicos: El alumno se familiarice con la obtención de estimadores, sus propiedades y pruebas de hipótesis sobre los coeficientes del modelo de regresión, tanto de rango incompleto como completo.

Índice Temático

Unidad Tema Horas


2 Unidad II. 8 0

3 Unidad III. 8 0

4 Unidad IV. 8 0




Contenido Temático


1

Unidad I.

La distribución normal multivariadas 1.1 Distribuciones condicionales y su relación con el

concepto de regresión. 1.2 Distribución de formas cuadráticas: la Ji cuadrada y

la F no centrales.

2

Unidad II.

Modelo general de regresión 2.1 Con errores normales. Estimación del vector beta,

intervalos de confianza para beta, distribución de los estimadores, intervalos de confianza, pronósticos, pruebas de hipótesis.

2.2 Con errores arbitrarios. La teoría de Gauss-Markov 2.3 Ejemplos útiles. Caso lineal simple, múltiple, con

polinomios, con armónicos. 2.4 El caso cuando X es de rango incompleto. 2.5 Ejemplos de diseños: aleatorizado, en bloques,

cuadrado latino, etc. 2.6 Ajuste secuencial, actualizar el modelo cuando se

tengan nuevas observaciones. 2.7 Análisis de covarianza. 2.8 Selección de variables: hacia delante, hacia atrás,

por paso. Mejores subconjuntos.

3

Unidad III.

Verificación de supuestos 3.1 Bondad de ajuste del modelo. 3.2 Diagnósticos sobre observaciones discrepantes,

correlación en los errores, heterocedasticidad, no normalidad de los errores, no linealidad, cuasicolinealidad de las columnas de X.

4

Unidad IV.

Regresión Robusta 4.1 Ejemplos donde se ve que existen observaciones

que afectan el análisis de manera importante. 4.2 Definición de observaciones influyentes y

discrepantes, de punto de rompimiento y función de influencia.

4.3 Estimadores M 4.4 Estimadores L 4.5 Estimadores R

5

Unidad V.

Regresión no-paramétrica 5.1 Suavizadores de Spline. Compromiso entre una

medida de suavidad y una de bondad de ajuste. Selección del estimador por validación cruzada.

5.2 Suavizadores de Kernel con ancho de ventana fija y con número de vecinos cercanos fijo. Relación con los suavizadores Spline.

6

Unidad VI.

Regresión no lineal 6.1 Estimación por mínimos cuadrados. Aproximaciones

lineales. 6.2 Estimación por máxima verosimilitud. Con errores

normales y no normales.


- DRAPER, N.R, APPLIED REGRESSION ANALYSIS, ------------------------------------------------------------, NEW YORK, 1981. - GRAYBILL, F.A, AN INTRODUCTION TO LINEAR STATISTICAL MODELS, MCGRAW HILL, NEW YORK, 1961. - MONTGOMERY, D.C., PECK, E.A., INTROCUCTION TO LINEAR REGRESSION ANALYSIS, ------------------------------------ --------------, NEW YORK, 1992. - SEARLE, LINEAR MODELS, NEW YORK, WILEY, -----------------------, 1971. - SEBER, LINEAR REGRESSION ANALYSIS, NEW YORK, ----------------------------------------------------, WILEY, 1997. - CARROLL, R.J. y RUPPER, D, TRANSFORMATION AND WEIGHTING IN REGRESSION, CHAPMAN AND HALL, -------- ----------------, 1988. - GREEN, P.J. y SILVERMAN, B. W, NONPARAMETRIC REGRESSION AND GENERALIZED LINEAR MODELS, CHAPMAN AND HALL, ------------------------, 1994.


- ATKINSON, A.C. PLOTS, TRANSFORMATION AND REGRESSION: AN INTRODUCTION TO GRAPHICAL METHODS OF DIAGNOSTIC REGRESSION ANALYSIS, --------------------------------------------------, OXFORD, 1987. - HARDLE, APPLIED NON-PARAMETRIC REGRESSION, OXFORD UNIVERSITY PRESS, OXFORD, 1990. - SEBER, NONLINEAR REGRESSION, WILEY, NEW YORK, 1989. - ROSSEEW, P y LEROY, ROBUST REGRESSION & OUTLIER DETECTION, J. WILEY, NEW YORK, 1987.

- BATES, D.M y WALTTS, D.G, NONLINEAR REGRESSION ANALYSIS AND ITS APPLICATION, -------------------------------- ---------------------------, NEW YORK, 1988. - COOK, R.D y WEISBERG, S, RESIDUALS AND INFLUENCE IN REGRESSION, CHAPMAN AND HALL, --------------------- ---------, 1982.









Denominación: PROCESOS ESTOCÁSTICOS




Horas al Semestre






Objetivo general:

Introducir los elementos básicos para el estudio de los Procesos Estocásticos tanto en tiempo continuo como en tiempo discreto y sus aplicaciones en diversas áreas del conocimiento.

Objetivos específicos: El estudio de modelos de procesos estocásticos, sus propiedades probabilísticas y caracterizaciones, así como su aplicación a la Modelación de fenómenos en la naturaleza.

Índice Temático

Unidad Tema Horas


1 Unidad I. 18 0

2 Unidad II. 18 0




Contenido Temático


1

Unidad I.

Martingalas a tiempo discreto 1.1 Martingalas, submartingalas y supermartingalas,

niciones propiedades y ejemplos. 1.2 Tiempos de paro, teorema de muestreo opcional de

Doob, aplicaciones. 1.3 Desigualdades fundamentales. 1.4 Teorema de saltos de Doob y convergencia. 1.5 Integrabilidad Uniforme (*)

El carácter(*)) significa que el tema es opcional y por ende

no se considera material del examen general.

2

Unidad II.

Cadenas de Markov a tiempo continuo y con espacio de estados discreto 2.1 Repaso de Cadenas de Markov a tiempo discreto. 2.2 Cadenas de Markov a tiempo continuo, definiciones y

ejemplos. 2.3 Probabilidades de transición.

2.4 Generador infinitesimal. 2.5 Tiempos de paro y propiedad fuerte de Markov. 2.7 Clasificación de estados y distribuciones

estacionarias. 2.8 Ecuaciones de Kolmogorov (Backward y Forward).

3

Unidad III.

Procesos de Poisson 3.1 Procesos de conteo, definición y propiedades. 3.2 Procesos de Poisson. 3.2.1 Proceso de Poisson compuesto. 3.2.2 Proceso de Poisson no-homogéneo. 3.2.3 Propiedad de Markov del proceso de Poisson. 3.2.4 Martingalas asociadas a los procesos de Poisson y

Poisson compuesto. 3.3 Procesos de renovación, definición y propiedades. 3.3.1 Ecuación de renovación. 3.3.2 Proceso de renovación como un proceso de

conteo. 3.3.3 Proceso de Poisson como un proceso de

renovación.

4

Unidad IV.

4.1 Definiciones y ejemplos. 4.2 Propiedades de la distribución Normal multivariada. 4.3 Procesos en L

2 y funciones de covarianza.

4.4 Continuidad y diferenciabilidad de trayectorias. 4.5 Ejemplos. 4.6 Movimiento Browniano.


- WILLIAMS, D., PROBABILITY WITH MARTINGALES, CAMBRIDGE UNIVERSITY PRESS, ----------------------, 1991. - LAWLER,G., INTRODUCTION TOSTOCHASTICPROCESSES, CHAPMAN ANDHALL/CRC, -----------------------, 1995. - BREMAUD, P, MARKOV CHAINS, SPRINGER VERLAG, ------------------, 1998. - RESNICK, S.I, ADVENTURES IN STOCHASTIC PROCESSES, BIRKHUSER BOSTON, -----------------------, 2005. - NORRIS, J.R., MARKOV CHAINS, CAMBRIDGE UNIVERSITY PRESS, ----------------------------, 1998. - ABRAHAMSEN, P, A REVIEW OF GAUSSIAN RANDOM fiELDS AND CORRELATION FUNCTIONS, TECHNICAL REPORT 917, NORWEGIAN COMPUTING CENTER, OSLO, 1997. - ASH, R.B, PROBABILITY AND MEASURE THEORY, ACADEMIC PRESS, -------------------------, 2000. - HERNÁNDEZ-CASTAÑOS D.B. , CAMINATAS ALEATORIAS Y MOVIMIENTO BROWNIANO, MONOGRAFÍAS DEL INSTITUTO DE MATEMÁTICAS, N 9, UNAM, -------------------------, 1981. - LAHA, R.G. y ROHATGI, V.K, PROBABILITY THEORY, WILEY, ------------------------, 1979. - KARLIN, S. y TAYLOR, H., A FIRST COURSE IN STOCHASTIC PROCESSES, ACADEMIC PRESS, -----------------------, 1981. - KARLIN, S. y TAYLOR, H, A SECOND COURSE IN STOCHASTIC PROCESSES, ACADEMIC PRESS, ---------------------, 1981. - KARLIN, S. y TAYLOR, H, A FIRST COURSE IN STOCHASTIC PROCESSES, ACADEMIC PRESS, ----------------------, 1981. - HIDA, T. y HITSUDA, M, GAUSSIAN PROCESSES, AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY , ----------------------, 1993.


- BOGACHEV, V, GAUSSIAN MEASURES, MATHEMATICAL SURVEYS AND MONOGRAPHS, N 62, AMS, ------------------ ------, 1998. - LAMPERTI, J.W., STOCHASTIC PROCESSES: A SURVEY OF THE MATHEMATICAL THEORY, SPRINGER-VERLAG, ------------------------, 1977. - ROSS, S.M., INTRODUCTION TO PROBABILITY MODELS, NINTH EDITION, ACADEMIC PRESS, --------------------------, 2007. - ASH, R.B. y GARDNER, M.F, TOPICS IN STOCHASTIC PROCESSES, ACADEMIC PRESS, -------------------------, 1975.

Sugerencias didácticas: Exposición oral (X)


Exposición audiovisual ( ) Ejercicios dentro de clase (X) Ejercicios fuera del aula (X) Seminarios (X) Lecturas obligatorias ( ) Trabajo de Investigación ( ) Prácticas de taller o laboratorio ( ) Prácticas de campo ( ) Otros:







Denominación: CURSO AVANZADO DE ESTADÍSTICA


1,2,3,4 Campo de Conocimiento: Estadística No. Créditos:9


Horas al Semestre






Objetivo general:


Índice Temático

Unidad Tema Horas


1 Unidad I. 72 0



Contenido Temático


1

Unidad I.











Denominación: CURSO AVANZADO DE FINANZAS

MATEMATICAS Clave:


Campo de Conocimiento: Finanzas Matemáticas No. Créditos: 6


Horas al Semestre






Objetivo general:


Índice Temático

Unidad Tema Horas


1 Unidad I. 48 0



Contenido Temático


1

Unidad I.











Denominación: SEMINARIO DE ECUACIONES



1,2,3,4 Campo de Conocimiento: Ecuaciones Diferenciales No. Créditos:5


Horas al Semestre






Objetivo general:


Índice Temático

Unidad Tema Horas


1 Unidad I. 40 0



Contenido Temático


1

Unidad I.











Denominación: SEMINARIO DE FINANZAS

MATEMATICAS Clave:


Campo de Conocimiento: Finanzas Matemáticas No. Créditos: 5


Horas al Semestre






Objetivo general:


Índice Temático

Unidad Tema Horas


1 Unidad I. 40 0



Contenido Temático


1

Unidad I.








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Tomo II2.4 A nt iequivale cia var dades afine s-d omini finamente generados sobre k Un 3 idad I. Localización .1 Fra ciones 3.2 Producto tensorial. 3.3 Anillos y módulos de longitud