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Tópicos de Astronomía Simulando la distribución de galaxias Gaspar Galaz [email protected]

Tópicos de Astronomía Simulando la distribución de galaxias

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Tópicos de Astronomía Simulando la distribución de galaxias. Gaspar Galaz [email protected]. Formato del curso:. Habrá pocas clases y bastante trabajo personal. La nota de esta parte del curso será sólo la evaluación de un trabajo personal o grupal, - PowerPoint PPT Presentation

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Page 1: Tópicos de Astronomía Simulando la distribución de galaxias

Tópicos de Astronomía

Simulando la distribución de galaxias

Gaspar [email protected]

Page 2: Tópicos de Astronomía Simulando la distribución de galaxias

Formato del curso:

• Habrá pocas clases y bastante trabajo personal.• La nota de esta parte del curso será sólo la evaluación de un trabajo personal o grupal, dependiendo del número de computadores disponibles.• La duración será entre 3 y 4 semanas.

Page 3: Tópicos de Astronomía Simulando la distribución de galaxias

Introducción:

• En este curso estudiaremos las herramientas fundamentales para describir la distribución de galaxias en el espacio. • Estas herramientas nos permiten medir la distribución de las galaxias, corregiendo las distribuciones observadas de varios efectos indeseables, entre los cuales los más importantes son:

• Bias de Malmquist.• Efectos de selección cosmológicos.• Efectos de selección evolutivos. • Efectos de selección instrumentales.

• Las herramientas fundamentales son la Función de Luminosidad y la Función de Correlación.

Page 4: Tópicos de Astronomía Simulando la distribución de galaxias

Pregunta: ¿Cómo difiere la distribución espacial de galaxias de la distribución observada de ellas ?

1986: Se “descubre” el gran muro de galaxias.de Lapparent, Geller & Huchra 1986, ApJ 302, 1

Page 5: Tópicos de Astronomía Simulando la distribución de galaxias

¿Cuáles estructuras son reales y cuáles son efecto de las velocidades peculiares de las galaxias?

Es necesario ir lejos en el flijo de Hubble para despreciar las velocidades peculiares

Consideremos una galaxia a un redshift z pequeño. Entonces su magnitud absolutaSe puede escribir como:

25)/log(5 HoczmM

Supongamos que existe una velocidad peculiar que puede ser expresada en redshift pecczVpec

25]/)(log[5´ HozzcmM pec

Resulta: )/1log(5´ zzMM pec

Entonces la magnitud absoluta medida será:

Entonces sólo tendrá sentido relacionar las magnitudes absolutas y el redshift cuando seconozca Vpec ó cuando se tenga que

)/1log(5´ zzMM pec << errores fotométricos.

Page 6: Tópicos de Astronomía Simulando la distribución de galaxias

Por lo tanto para trazar la distribución real de galaxias debemos salir del Grupo Local yEn particular del flujo de Virgo del orden de 600 km/seg. Ejemplo: Las Campanas Redshift Survey (LCRS): 22,000 galaxias.

Notar Bias de Malmquisten el número de galaxiascomo función del redshift.

Notar las estructuras

Shectman et al. 1996, ApJ, 470, 172

Page 7: Tópicos de Astronomía Simulando la distribución de galaxias

Veamos una representación tridimensional...

Page 8: Tópicos de Astronomía Simulando la distribución de galaxias

Bias de Malmquist:

Dada una distribución de magnitudes absolutas, la magnitud absoluta promedio observadaserá más brillante a medida que las galaxias están más distantes.

80,000 galaxias

Page 9: Tópicos de Astronomía Simulando la distribución de galaxias

En el espacio de magnitudes absolutas se observa lo siguiente:

80,000 galaxias

Page 10: Tópicos de Astronomía Simulando la distribución de galaxias

La Función de Luminosidad

• Permite modelar la distribución observada de galaxias, y por lo tanto corregir el Bias de Malmquist.• Entrega el número de galaxias por unidad de volúmen comovil y por unidad de magnitud absoluta o luminosidad. • La comparación de FL obtenidas para diferentes muestras permite estudiar la evolución de galaxias suponiendo que las diferentes muestras han sido obtenidas de manera similar.

El número de galaxias por unidad de volúmen comóvil y por unidad de luminosidad:

)(

)( )(

LV

LLnLL

Schechter 1976:

**exp

*)(

L

Ld

L

L

L

LdLL

* Constante de normalización, expesada en 3Mpc

*L Luminosidad caracaterística, típicamente expresada en Lsolar.

Notar que se ha asumidoseparabilidad!

Page 11: Tópicos de Astronomía Simulando la distribución de galaxias

Ejemplo: ESS survey.

Page 12: Tópicos de Astronomía Simulando la distribución de galaxias

La función de Schechter se puede escribir en términos de la magnitud absoluta usando

*log5.2*

L

LMm

Resulta

*4.01*4.0 10exp10*10ln4.0)( MMMMM

La tarea es encontrar los parámetros y M*.

Notar que la cosmología entra en el cálculo de las magnitudes absolutas:

)()(log5 zezkdmM L

Con zqqzqqH

cdL 0002

00

2111

La distancia de luminosidad medida en Mpc.

Corrección ky correcciónpor evolución.

Page 13: Tópicos de Astronomía Simulando la distribución de galaxias

Correcciones K para el survey anterior presentan este aspecto:

80,000 galaxias

Page 14: Tópicos de Astronomía Simulando la distribución de galaxias

¿Y las correcciones por evolución?

E(z) depende fuertemente de la época de formación de las galaxias, de la tasa de formación estelar, y nada de la cosmología.

Page 15: Tópicos de Astronomía Simulando la distribución de galaxias

Existen una serie de métodos para calcular numéricamente la FL. Todos ellos arrojan valores que en general difieren un poco. Por lo tanto los métodos son llamadosestimadores. El hecho de que exista el bias de Malmquist dado por el límite en magnitud aparente (y el deseo de tomarlo en cuenta), nos fuerza a pensar que el sólo cálculo del número de galaxias por unidad de volúmen y por unidad de magnitud absoluta no sirve. Los estimadores más conocidos y usados son los siguientes:

• El estimador tradicional de Felten (1977).• Estimador de Davis & Huchra (1982).• Estimador de Sandage, Tammann & Yahil (1979) (STY). Estimadores de • Estimador de Efstathiou, Ellis & Peterson (1988) (EEP). máxima probabilidad

Nosotros nos vamos a concentrar en los estimadores STY y EEP....¿Por qué?

STY y EEP se basan en estimadores de máxima probabilidad, los cuales permiten corregirDe las inhomogeneidades en la distribución espacial de galaxias.

Sin embargo, un primer estimador que vale la pena ver es el llamado estimador 1/Vmax.Este estimador fue creado por Schmidt en 1968 para estudiar la distribución de cuasares. Un estudio posterior de Felten (1976) mostró que éste es un estimador de máxima probabilidad.

Page 16: Tópicos de Astronomía Simulando la distribución de galaxias

EL método asume que para una magnitud absoluta dada la función de luminosidad integradaen el espacio de volúmen se puede escribir como

,)(

1)(

1 max

gN

j jVM

Donde Vmax(j) es el volúmen correpondiente a la distancia máxima hasta la cual es posibledetectar la galaxia j y todavía ser incluída en el catálogo considerando el límite en magnitudaparente de éste.

La FL diferencial (es decir la FL por unidad de magnitud y de volúmen) se puede calcularsumando las galaxias por intervalo de magnitud y de volúmen, es decir

)(

)22()(

max

1

MV

dMMMdMMNM i

N

i

g

Ng es el número total de galaxias. La ventaja del método es que entrega simultáneamentela forma y la normalización para la FL. Sin embargo es fuertemente afectado por las fluctuaciones de densidad.

Page 17: Tópicos de Astronomía Simulando la distribución de galaxias

El método de máxima probabilidad (en inglés maximum likelihood).

Idea: las galaxias dejan de pertenecer al espacio de posiciones y magnitudes determinadas. En vez de eso, se asigna una probabilidad a cada galaxia de que ésta pueda ser detectada tomando en cuenta el límite de detección de mi muestra.

)(

)(

max

min

)(

)()|(

i

i

zM

zM

iiii

dMM

MzMpp

La probabilidad que una galaxia cualquiera i tenga una magnitud absoluta Mi está dadapor

Donde los límites en magnitud absoluta a zi son

).(log525)(

),(log525)(

max,max

min,min

iLii

iLii

zkdmzM

zkdmzM

i

i

Entonces la probabilidad se escribe como

N

iiNN pzzMMp

111 ),...,|,...,(L

Magnitud aparente límite del survey

Page 18: Tópicos de Astronomía Simulando la distribución de galaxias

O equivalentemente

.)(ln)(lnln1

)(

)(

max

min

N

i

zM

zM

i

i

i

dMMM L

En la ecuación anterior, (M) puede ser la FL de Schechter. Entonces el problema se reduce a encontrar el mínimo de L. Notar que a partir de la ecuación para (M) se haeliminado la normalización de la Fl, en caso de que ésta esté representada por *. Esta normalización debe ser determinada de manera independiente.

También es posible demostrar que los parámetros M* y describen una elipse en dichoplano. Esta elipse está dada por

.2

1lnln max

LL

Donde 2 es el cambio en 2 apropiado para el error tolerado en la distribución de

2 con 2 grados de libertad.

Page 19: Tópicos de Astronomía Simulando la distribución de galaxias

Pero es posible usar también un estimador de máxima probabilidad que no sea parametrizado.En ese caso se usa el llamado estimador de Efstathiou, Ellis & Peterson (1988), también Llamado EEP o Stepwise Maximum Likelihood (SWML). En este método se considera que la FL se puede escribir como la composición de varias FL pequeñitas que llamamos

22,)(

MMM

MMM kkk

Entonces se puede escribir

N

i

N

k

N

i

N

kiikkkki

p p

zMzMMMHMMW1 1 1 1

maxmin )(),(,lnln)(ln L

Donde W y H son funciones definidas como

valor otro cualquier

y si

valor otro Cualquier

Si

0

)(2

)(2

)(,2

max)(,2

min)(),(,

022

1)(

maxminminmaxmaxmin

ikikikikiik

kikki

zMM

MzMM

MzMM

MzMM

MzMzMMH

MMM

MMMMW

Page 20: Tópicos de Astronomía Simulando la distribución de galaxias

Tanto aquí como con el método STY, la normalización de los se esfuma de las ecuaciones.Usamos entonces una normalización ad-hoc:

,01)(

)(

1

pN

k f

kk MV

MVMg

Donde V(M) es el volúmen relativista en el cual una galaxia de magnitud M puede ser detectada en el survey dada la magnitud límite. Mf es una magnitud absoluta fiducial (quese puede aproximar a un valor estimativo), siendo similar a M*.

Es posible encontrar una expresión para los errores asociados a las funciones k

con el método de la máxima probabilidad. La demostración es complicada, pero despuésde mucho sufrimiento que ustedes se ahorrarán, se muestra que éstos están dados porla matriz de covariancia:

)(I)cov( 1kk

Page 21: Tópicos de Astronomía Simulando la distribución de galaxias

Donde la matriz )(I k se puede escribir como

kjii

jjijik

g

ggg

,

2

0

Lln

)(I

Es posible recuperar la distribución en redshift de las galaxias para las cuales se calculó laFL. Esto permite, además de reproducir la distribución espacial, verificar que los parámetrosObtenidos para la FL son los correctos. La distribución esperada está dada por

´.´

)()(2

1

max

min

2

1

´)(

´)(dMdz

dz

dVMzN

z

z

zM

zM

z

z

Donde V es el volúmen considerando efectos relativistas.

Page 22: Tópicos de Astronomía Simulando la distribución de galaxias

Otro útil estadístico que permite verificar la validez de la FL estimada es la recuperacióndel número de galaxias por grado cuadrado en el cielo y por unidad de magnitud:

MM

M

mm

mdMMdz

dz

dVmdn ´.´)()(

0

Page 23: Tópicos de Astronomía Simulando la distribución de galaxias

Estimación de la normalización

Como se vio anteriormente, los métodos de máxima probabilidad no permiten determinarla normalización para la FL. En el caso del método de STY, podemos encontrar el valorde * usando

.)(

*faint

bright

M

MdMM

n

El número promedio n está dado por la estimación de la densidad promedio.

Podemos usar, por ejemplo, el estimador de Davis & Huchra (1982):

,)(

max

0

3

z

T

dzzs

Nn

Con NT el número total de galaxias en el survey.

Page 24: Tópicos de Astronomía Simulando la distribución de galaxias

s(z) es la función de selección definida como

.)(

)()(

faint

bright

faint)(max

bright

),min(

M

M

MM

M

dMM

dMMzs

iz

También es posible usar otro estimador propuesto por Davis & Huchra:

.)()(

max

max

0

0

1

z

z

dzdzdV

dzzszN

n

En la última ecuación N(z) es el número de galaxias observadas. El problema de este métodoes que entrega mayor peso a las galaxias lejanas, que es donde s(z) es más incierta.

Page 25: Tópicos de Astronomía Simulando la distribución de galaxias

Notar que los valores que se obtienen para M* y para usando distintosmétodos varian.

Willmer (1997)

Page 26: Tópicos de Astronomía Simulando la distribución de galaxias

En la primera parte de este curso se obtendrá la FL de un catálogo galaxias. Estecatólogo consiste en un gran número de galaxias para las cuales se conoce el redshift, la magnitud aparente y la corrección K asociada a cada galaxia. El catalogo es accesibledesde mi página web.

En esta primera parte se pide:

• Elegir la cosmología más apropiada y determinar la magnitud absoluta para cada galaxia. • Estimar la FL usando el método de 1/Vmax.• Estimar la FL usando el método STY y EEP. • Encontrar la distribución esperada N(z) y compararla con la distribución observada Nobs(z).• Calcular la FL usando el método EEP. • Calcular el número esperado de galaxias por unidad de grado cuadrado. Asuma que el ángulo sólido del survey es 0.008275 strad. Comparar este resultado con el número observado de galaxias por grado cuadrado.