TOPOGRAFIA

CONCEPTOS UTILIZADOS EN TOPOGRAFIA

• Topografía.- Ciencia basada en las matemáticas y física; permite obtener los relieves del terreno en todos sus detalles, para representarlos en planos o cartas topográficas. Su campo de estudio es reducido máximo 25 Km.

• Geodesia.- Ciencia que estudia las dimensiones de la tierra así como su figura y localización precisa de puntos sobre la superficie terrestre. Se dice que es la topografía a gran escala.

• Gravimetría.- Ciencia que estudia la gravedad en todos los puntos de la tierra.

• Cartografía.- Estudia las reglas y principios de las matemáticas para el traza de mapas de modo que la deformación sea mínima.

• Fotometría.- Ciencia de interpretar la topografía del terreno partiendo de la toma de fotografía, las mismas que pueden ser terrenas o aéreas.

• Geoide.- Al realizarse medidas topográficas sobre la superficie terrestre, debe conocerse la forma que esta tiene; se le asume la forma de un elipsoide llamado GEOIDE, es un conjunto de líneas imaginarias que dan idea de la forma de la tierra.– SE= Semi eje Ecuatorial= 6 378 388 m– SP= Semi eje Polar= 6 356 912 m– R= Radio de la tierra= 6 367 650 m

• Punto Topográfico.- Es aquel desde el cual se realiza la medición de ángulos y distancias. Pueden ser: Permanentes o Temporales.

• Planimetría.- Estudia las proyecciones del terreno sobre el plano imaginario, que se supone que es la superficie media de la tierra.

• Altimetría.- Se ocupa de establecer la diferencia de altura entre puntos del terreno y su representación en un plano mediante curvas de nivel.

• Agrimensura.- Es el levantamiento de parcelas con fines de catastro. Se utiliza para la topografía de catastro que sirve para el estudio de linderos de un levantamiento urbano. Se expresa en un plano catastral.

• Medida.- llamada cantidad o magnitud, es todo aquello que puede conocerse con exactitud o aproximadamente.

• Unidad.- Es una unidad con la cual se compara la cantidad y que sirve para medir ésta.

• Carta.- Representación grafica detallada de las cosas y sus accidentes, acantilados bahías, ensenadas, faros, boyas, esta ultima se representa en navegación.

• Plano.- Representación de la superficie terrestre considerando a la tierra como un plano; pueden ser:1. Perimétricos.- Indican el perímetro del área

levantada.

2. Planimétricas.- Nos indica detalles de dentro y de fuera.

3. Altimétricos.- Dá la forma del relieve terrestre y se hace mediante las curvas de nivel.

• Escala.- Relación constante entre las medidas del terreno y las líneas homologas del dibujo.

• Escala numérica.- En los planos es la mas utilizada, se da en forma de quebrados.

• Escala grafica.- Viene a ser el segmento de recta dividido, esto nos representa la magnitud del terreno.

• Exactitud.- Es el grado de acercamiento a un patrón o modelo.

• Precisión.- Es el grado de perfección con que se hacen las mediciones.

• Nivelar.- Consiste en encontrar la diferencia entre dos puntos en el terreno.

• Vista atrás.- Es la lectura sobre la mira a puntos de altura conocida.

• Vista adelante.- Es la lectura de la mira a puntos de altura por conocer.

• Cota.- Altura de los puntos nivelados con referencia a un plano establecido.

• Pendiente.- Es la relación entre la distancia vertical y la distancia horizontal de dos puntos.

• Perfil transversal.- Se obtiene al trazar el plano vertical imaginario perpendicular al perfil longitudinal.

• Perfil longitudinal.- Es la traza del plano vertical que corta el terreno a lo largo de una alineación.

• Meridiano geográfico.- Es la línea imaginaria que pasa por los polos N y S geográficos de la tierra.

• Meridiano magnético.- Se determina con la brújula para cada punto de la tierra, su dirección varia.

TOPOGRAFIA

• Su objetivo es medir extensiones de tierra, tomando datos necesarios para representarlos sobre un plano, a escala, su forma y accidentes.

• Es el arte de medir distancias horizontales y verticales entre puntos sobre la superficie terrestre.

LEVANTAMIENTO TOPOGRÁFICO

• Comprende tres etapas:

Trabajo de campo

Trabajo de gabinete

Dibujo

TIPOS DE LEVANTAMIENTO

• LEVANTAMIENTOS TOPOGRAFICOS.-Los levantamientos topográficos se realizan para determinar la configuración del terreno y la posición sobre la superficie de la tierra, de elementos naturales o instalaciones construidas por el hombre.

• LEVANTAMIENTO GEODESICO.- Se toma en cuenta en la curvatura de la tierra; Se aplica en las grandes superficies, como por ejemplo para la confeccionar la carta de un país o de un departamento.

RAMAS DE LA TOPOGRAFIA

• PLANIMETRIA.- Tiene en cuenta la proyección del terreno sobre un plano horizontal imaginario que se supone es la superficie media de la tierra.

• ALTIMETRIA.- Tiene en cuenta las diferencias del nivel existentes entre los diferentes puntos de un terreno.

UNIDADES EMPLEADAS

• La unidades de medida en topografía son las longitudinales y angulares.

• La unidad de medición longitudinal es el Metro, con sus múltiplos y submúltiplos.

• Las áreas se expresas en metros cuadrados ( m2 ) y en hectáreas ( Ha). 1Ha = 10 000 m2

• Los volúmenes en metros cúbicos m3

• Las unidades angulares son:Sistema Sexagonal.- Este sistema divide la

circunferencia en 360 partes iguales ó grados sexagesimales(º); a su vez, cada grado esta dividido en 60 partes iguales ó minutos sexagesimales (') y cada minuto se divide en 60 partes iguales ó segundos sexagesimales (").

• 1º = 60'• 1' = 60"• 1º = 3600"• el ángulo α°=10º20'36" se lee:• 10 grados, 20 minutos, 36 segundos.

• Sistema Centesimal.- la circunferencia está dividida en 400 partes iguales o grados centesimales (c); cada grado centesimal se divide en 100 partes o minutos centesimales (m) y cada minuto en 100 partes o segundos centesimales (s).

• 1c = 100m• 1m = 100s• 1c = 10000s• el ángulo α=25c45m33s se lee:• 25 grados, 45 minutos, 33 segundos

• Sistema Radian.- En este sistema la unidad de medida es el radian, el cual se define como el ángulo al centro que forma un arco l cuya longitud es igual al radio.

• Siendo la longitud de la circunferencia 2πr, por la definición dada, en una circunferencia caben (2π)l o 2π(radianes) siendo π un número constante que vale π=3,141592654....

RELACION ENTRE LOS SISTEMAS

• Convertir al sistema centesimal y al sistema analítico el ángulo α=32º25'56".

• Convertir al sistema centesimal y al sexagesimal un ángulo α=0,483654 rad.

ERRORES

• Ninguna medida es exacta, toda magnitud observada o medida contiene errores.

• Consiste en mantener las mediciones dentro del limites de precisión y la finalidad del levantamiento.

CAUSA DE LOS ERRORES

1. Errores Instrumentales.- son imperfecciones en la construcción y ajustes de los instrumentos de medida y las expansiones y contracciones que puede sufrir el material de que aquellos están hechos.

2. Errores Naturales.- son las variaciones de ciertos fenómenos naturales, como la temperatura, el viento, la humedad, la gravedad, la refracción y la declinación magnética.

3. Errores Personales.- Provienen de la imperfección de los sentidos y de las distracciones o equivocaciones. Ejem: Puede cometerse un error al leer el circulo graduado de un teodolito.

VALOR VERDADERO

• El valor verdadero o absoluto de una magnitud no podrá conocerse nunca, ya que toda medida esta sujeta a un sinnúmero de errores, mucho de los cuales no controlables

INSTRUMENTOS TOPOGRAFICOS

• Cintas Métricas.- se utiliza para distancias cortas y en terrenos llanos. Pueden ser de Lona o metálica.

• Fichas.- Son varillas de acero de 30 cm de longitud; se usan en la medición de distancias para marcar las posiciones finales de la cinta y llevar el conteo del número de cintadas enteras que se han efectuado.

• Plomada.- Instrumento con forma de cono, construido en bronce, con un peso que varia entre 225 y 500 gr, que al dejarse colgar libremente de la cuerda sigue la dirección de la vertical del lugar, por lo que con su auxilio podemos proyectar el punto de terreno sobre la cinta métrica.

• Nivel de mano.- Es un instrumento que se sostiene en la mano y consta de tubo y un nivel de burbuja, de unos 12 cm de longitud.

• Barómetro o Altímetro.- Mide la presión del aire y convierte las lecturas de elevación en metros. Las lecturas tomadas dan alturas relativas.

• Nivel de ingeniero.- En las operaciones de nivelación, donde es necesario el calculo de las diferencias verticales o desniveles entre puntos, al nivel tórico se le anexa un telescopio, una base con tornillos nivelantes y un trípode.

• Miras.- Son reglas graduadas en metros y decímetros, generalmente fabricadas de madera, metal o fibra de vidrio; que en unión con el nivel sirve para hacer nivelaciones, se fabrican con longitud de 4 m divididas en 4 tramos plegables para facilidad de transporte y almacenamiento.

• BRÚJULA.- Instrumento magnético provisto de un visor; sirve para determinar el rumbo de la alineaciones; pueden agruparse en tres clases:1. Brújula de bolsillo.- Usualmente se

sostiene con la mano para hacer las observaciones.

2. Brújula de agrimensor.- va montada sobre un trípode y algunos modelos de un bastón de 1,50m de altura , se usa solo para levantamientos de poca precisión.

3. Declinatorio.- Es una brújula análoga a la de agrimensor, pero de mucha menor tamaño, montada en la plataforma de los teodolitos.

• Jalones.- Son tubos de madera o aluminio, con un diámetro de 2.5 cm y longitud que varia de 2 a 3 m. Los jalones vienen pintados con franjas alternas rojas y blancas de unos 30 cm y en su parte final poseen una punta de acero.

• El jalón se usa como instrumento auxiliar en la medida de distancias, localizando puntos y trazando alineaciones.

• Prismas.- son espejos formando un triedro que reflejan la señal emitida por el distanciométro. Se monta sobre los jalones y pueden llevar asociada una señal de puntería.

• TEODOLITOS.- El teodolito es un instrumento utilizado en la mayoría de las operaciones que se realizan en los trabajos topográficos.

• Directa o indirectamente, con el teodolito se pueden medir ángulos horizontales, ángulos verticales, distancias y desniveles.

• TEODOLITOS ELECTRÓNICOS.- Con sistemas digitales de lectura de ángulos sobre pantalla de cristal liquido, facilitando la lectura y la toma de datos mediante el uso en libretas electrónicas de campo o de tarjetas magnéticas; eliminando los errores de lectura y anotación y agilizando el trabajo de campo.

• ESTACIÓN TOTAL.- se pueden medir distancias verticales y horizontales, ángulos verticales y horizontales, calcular las coordenadas topográficas (norte, este, elevación) de los puntos visados. Estos instrumentos poseen también tarjetas magnéticas para almacenar datos, los cuales pueden ser cargados en el computador y utilizados con el programa de aplicación seleccionado.

Estación total Wild T-1000

MEDICIÓN CON CINTAS

• Es el método mas común de medir longitudes en topografía. Se presentan dos tipos de problemas:1. Medir una distancia entre dos puntos fijos.

2. Medir una distancia dada teniendo únicamente la posesión del punto de origen.

MEDICIÓN CON CINTAS

• Las medidas con cinta se realiza con los siguientes pasos:Alinear.Aplicar tensión.Colocar las plomadas.Marcar las longitudes de la cinta.Lectura de la cinta.Registrar la distancia.

MEDICIONES ENTRE DOS PUNTOS

a. En Terreno Plano.- Se necesitan 2 jalones. Los jalones se colocan en los puntos extremos y sirven para mantener el alineamiento.

b. En terrenos inclinados.- Es necesario mantener la cinta horizontal, cuando se requiere demasiada precisión se usa una plomada.

• Errores Sistemáticos– Pendiente– Graduación– Temperatura– Tensión– Catenaria

• Errores Aleatorios– Alineación– Verticalidad del marcado

• Errores Groseros– Confundir marcas en el terreno– Error de lectura– Error de anotación– Errores aritméticos al sumar distancias parciales

CORRECCIÓN DE ERRORES SISTEMÁTICOS

• Corrección por Pendiente.- Las distancias topográficas son distancias proyectadas sobre el plano horizontal.

• En el proceso de medición, dependiendo del tipo de terreno y de la longitudinal del tramo a medir, la distancia puede ser medida directamente en su proyección horizontal o inclinada paralela a la superficie del terreno.

• la distancia horizontal puede ser calculada:

Donde:DH = distancia horizontalDi = distancia inclinadaα = ángulo de inclinación de la cintaφ = ángulo cenitalDv = distancia vertical o desnivel

• Corrección por Graduación.- Para corregir estos errores, es necesario que la cinta sea comparada con una distancia patrón, medida con precisión sobre una base de longitud igual a la longitud de la cinta y bajo las condiciones normales especificadas por el fabricante. La longitud de la cinta puede ser mayor o menor, por lo que en la operación de medir una distancia en el campo la corrección puede ser positiva o negativa respectivamente.

• La corrección por graduación es lineal y se calcula por medio de la ecuación:

• Donde:Cg = corrección por graduaciónLa = longitud actual de la cintaLn = longitud nominal de la cintaD = distancia medidaDc = distancia corregida

• Corrección por Temperatura.- Recordemos, de los cursos de física, que los materiales al ser sometidos a cambios de temperatura, experimentan un cambio en sus dimensiones. Se define como dilatación lineal a la variación de longitud que experimenta un cuerpo al ser sometido a una variación de temperatura.

• La corrección por temperatura se calcula:

• Donde:Ct = corrección por temperatura en m t = temperatura de la cinta en el momento de la medición tc = temperatura de calibración en °CL = longitud de la medidaα = coeficiente de dilatación lineal;Para el acero α = 1,2

x 10-5 °C-1

• La temperatura de calibración, generalmente de 20°C.

• Corrección por Tensión.- Cuando una cinta es sometida a una tensión distinta a la tensión de calibración ésta se alarga o acorta según la tensión sea mayor o menor a la tensión de calibración.

• El cambio de longitud de una cinta sometida a tensiones distintas a la tensión de calibración se puede calcular con la siguiente ecuación:

• donde:T = tensión aplicada a la cinta al momento de la

medición, en kgTc = tensión de calibración en kgL = longitud de la medida en mA = área de la sección transversal en cm2

E = módulo de elasticidad de Young. Para el acero E = 2,1 x 106kg/cm2

• Corrección por Catenaria.- Una cinta sostenida solamente en sus extremos describe, debido a su propio peso, una curva o catenaria que introduce un error positivo en la medición de la distancia.

• La corrección por catenaria se calcula mediante la siguiente ecuación:

• Donde:Cc = corrección por catenariaw = peso de la cinta por unidad de longitud en kg/mL = longitud de la medida en mT = tensión aplicada a la cinta en el momento de la

medida en Kg.

CORRECCION DE ERRORES ALEATORIOS

• Error de Alineación.- Cuando la longitud de la distancia a medir es mayor que la longitud de la cinta métrica disponible, se hace necesario trazar en el campo un alineamiento con tramos parciales menores o iguales a la longitud de la cinta. Si este alineamiento es hecho a ojo, sólo con la ayuda de jalones, se puede introducir un error en el alineamiento que afecte el valor final de la medida.

• La distancia medida entre A y B será

• la distancia real entre AB será

• Luego, el error de alineamiento

• Error de Verticalidad.- Es el error que se comete al no proyectar perpendicularmente el punto del terreno sobre la cinta en posición horizontal. El error de verticalidad puede ser positivo o negativo, y dependiendo de la inclinación de la señal y de la altura (h) a la cual se realiza la medida, la magnitud del error puede ser apreciable.

El error de verticalidad se elimina mediante el auxilio de una plomada y de un jalón

ERRORES GROSEROS

• Los errores groseros son errores que se cometen por distracción del operador o por otras causas y son totalmente impredecibles.

• Las equivocaciones más comunes en la medición de distancias son las siguientes: Identificación errónea de un punto Error de lectura por transposición de números como por

ejemplo, leer 34,43 por 43,34. Error de anotación por transposición de números. Similar al

anterior pero al momento de anotar. Errores aritméticos al sumar mentalmente distancias en el

campo.

• La manera de minimizar la ocurrencia de los errores es estableciendo una rutina para el proceso de medición, como por ejemplo, la medida de la distancia en ambos sentidos.

Errores Accidentales

• Son aquellos que el operador no puede detectar ni con equipos ni con métodos determinados.

• Están presentes en todas las mediciones, sus causas son múltiples y no conocidas por lo que obedecen a las leyes del azar y deben ser tratados de acuerdo con las leyes de probabilidad.

• Nos permite determinar la bondad de las mediciones, seleccionar el método para lograr una mayor precisión y establecer las tolerancias relativas.

ANGULOS ,RUMBOS Y AZIMUTES

ANGULOS :

1. Meridiano Verdadero.- Se denomina a la línea de referencia respecto a la cual se toman las direcciones que pasa por los polos (N,S) geográficos de la tierra.

2. Meridiano Magnético.-Es la línea que pasa por los polos magnéticos.

3. Declinación Magnética.- Se le denomina al ángulo formado entre el meridiano verdadero y el magnético.

4. Inclinación Magnética.- Es el ángulo que hace la aguja con la horizontal.

RUMBO:

Es el ángulo agudo horizontal existente entre esa línea y el meridiano. El ángulo se mide partiendo del norte o del sur, hacia el este y oeste. El cuadrante correspondiente se designa por las letras N o S, procediendo el ángulo, y la letra E u O.

AZIMUTES:

Son ángulos que se miden en el sentido de las agujas del reloj, a partir de cualquier meridiano . Se miden generalmente en relación al norte, pueden ser verdaderos , magnéticos o arbitrarios, según el meridiano al cual se refieren , varían de 0° a 360°.

BRUJULA

• Las partes principales de una brújula son:

1. Un limbo graduado de 0° a 90° en ambos sentidos desde el N y desde el S, con los puntos E y W invertidos con el fin de leer directamente los rumbos.

2. Una línea de mira en la dirección de los puntos SN del limbo.

3. Una aguja que indica el rumbo magnético. Algunas brújulas traen el limbo graduado de 0° a 360° con la cual se determinan los azimutes. La mayoría tiene doble graduación con lo cual se pueden leer rumbos y/o azimutes.

1. Aguja Doblada.- Se elimina leyendo ambos extremos , encontrando el error y promediándolo.

2. Soporte De La Aguja Doblada.- O sea que el punto de giro no coincide con el centro geométrico del circulo. Se elimina igual que (1)

FUENTES DE ERROR EN TRABAJOS CON BRUJULA

3. Aguja Lenta( perezosa).- La aguja, al detenerse , no queda señalado la N-S magnética, hay que golpear ligeramente el vidrio para producir vibraciones y hacer que la aguja tome su verdadera posición.

4. Falta De Habilidad Del Observador.- Para leer el punto que sobre el circulo señala la aguja. Es menor el error cuando la aguja es mas larga , o sea el circulo graduado es mas grande.

5. Las Variaciones Magnéticas.- Son las principales fuentes de error.

Se debe tener cuidado en mantener alejados objetos de hierro o acero mientras se hacen las observaciones.

6. Denuncios Con Brújulas.- Se anuncia detalladamente en el folleto “ como buscar, denunciar y trabajar una mina”.

EL TEODOLITO

• Instrumento que tiene grandes aplicaciones , sus elementos fundamentales son:

- El limbo azimutal.

- El limbo eclímetro.

CORRECIONES AL TEODOLITO

1. Los ejes de los niveles del plato deben estar en un plano perpendicular al eje vertical del aparato.

2. El hilo vertical del retículo debe ser verdaderamente vertical .

3. El eje horizontal debe ser perpendicular al eje vertical del aparato.

4. La línea de vista debe ser horizontal cuando la burbuja del anteojo este centrada ( dentro de sus “reparos”)

5. Cuando la visual esta horizontal, el monio del circulo vertical debe leer 0° 00’ 00’’

USOS DEL TEODOLITO

• Determinación de una distancia entre dos puntos cuando no puede medirse directamente.

• Determinación de la intersección de dos líneas.

• Medición de un ángulo cuando el instrumento no se puede colocar en el vértice.

• Prolongación de una línea recta.

• Trazar la línea entre dos puntos.

• Medición de ángulos ( método de precisión).

CLASES DE NIVELACION

1. Nivelación Geométrica.- Es aquella que permite conocer rápidamente las diferencias de nivel por medio de lectura directa de distancias verticales, por medio de instrumentos llamados niveles. Se dividen en :

a. Simples.

b. Compuestas.

2. Nivelación Trigonométrica.- Las diferencias de alturas o cotas de dos puntos se calculan midiendo ángulos verticales y distancias.

3. Nivelación Barométrica.- Se realiza utilizando aparatos llamados barómetros que indican la diferencia de presión atmosférica. Con la que se puede calcular la diferencia de altura.

TRIANGULACION

• Es el conjunto de operaciones necesarios para establecer sobre el terreno una cadena de triángulos cuyos ángulos se miden por observación directa , la longitud de cuyos lados se determina por calculo trigonométrico.

TRABAJO DE CAMPO PARA UNA TRIANGULACION TOPOGRAFICA

1. Se debe hacer un reconocimiento del terreno para planear la triangulación.

2. Establecer las estaciones lo cual se llama “MATERIALIZARLAS”, para esto se emplea mojones o estacas

3. Se procede luego a la medición de la base.

4. Medición de ángulos

CURVAS DE NIVEL

• Una curva de nivel es una línea dibujada en un mapa o plano que conecta todos los puntos que tiene la misma altura con respecto a un plano de referencia.

• Es una línea imaginaria considerada sobre la superficie del terreno.

TRAZADOS DE LA CURVAS DE NIVEL

• Debe hacerse con líneas finas y de espesor uniforme, y por cada cinco líneas debe trazarse una mas gruesa; a intervalos regulares se marca numéricamente la altura o la elevación de las curvas en pies o en metros según el sistema, respecto al nivel del mar o a una elevación arbitraria, según sea el caso.

TAQUIMETRIA

• Se pueden medir indirectamente distancias horizontales y diferencias de nivel. Se emplea este sistema cuando las características del terreno hacen difícil y poco preciso el empleo de la cinta; constituye un proceso muy rápido.

Se requiere de un teodolito que tenga en su retículo hilos taquimétricos.

PROBLEMAS RESUELTOS

1. La medida de un determinado ángulo esta dado en grados sexagesimales y grados centesimales, la suma del numero de grados sexagesimales que mide y el numero de grados centesimales que mide es igual a 152. se pide encontrar la medida del ángulo en radianes.

• Solucion:

S + C = 152

180 R / π = 200 R / π = 152

• Resolviendo:

R = 152 π/ 380

R = 2 π/ 3

2. Un barco parte de un punto de 0 con dirección al norte, por efectos del viento de ha desviado de rumbo al Este; después de 90 km. De recorrido se encuentra que se ha desplazado 30 km. Mas el norte que el Este. Se pregunta cual es la dirección seguida por la nave

• Solución:

m - n = 30…… (1)

m = 90 cosβ.. (2)

n = 90 senβ.. (3)

(2) y (3) en (1) tenemos:

90 cosβ – 90 senβ = 30

cosβ - senβ = 1/3

Elevando el cuadrado ambos miembros:

cos²β – 2senβ cosβ + sen²β = 1/9

1 – sen 2β = 1/9

sen 2β = 8/9 donde β = 31° 22’ 1,12”

Rumbo: N 31° 22´ 1.12” E

3. Dos fuertes defendiendo un puesto están en dirección Este- Oeste; uno del otro, distanciados en dos millas. Uno de ellos divisa un acorazado exactamente al Sur y desde el otro a 15° Sur-Este. ¿A que distancia esta el acorazado desde el fuerte mas cerca a el ?

• Solución:

Distancia al fuerte más cerca : “x”

Donde:

x = m tg75°

x = 2(3, 732 0508)

x = 7, 464 millas.

6. En un momento se observan dos personas exactamente en línea al Norte-Este. Se desplazan exactamente al Este a uno 800 m. y ahora se ven a las dos personas una exactamente al Este y la otra al Nor-Oeste. ¿A que distancia estaban las personas del primer punto de observación?

• Solución:

0A = x ; entonces 0B = 2x

Luego: 0a = ab = 0´ A

Por triangulo rectángulo:

x² + x² = 800² donde x = 565,68 m.

Luego: 0B = 2x = 1 131, 36 m.

7. A las 8 de la mañana un barco que navega con dirección 41° Sur-Este con velocidad de 10 nudos, observa un fuerte 15° al Norte del Oeste. Hallar la distancia del fuerte al barco en cada observación.

• Solucion:

AF y BF (incognitas x e y)

AB = distancia recorrida en dos horas = 20 millas

Luego, en el grafico:

15° + θ + 41° = 90°

donde: θ = 34°

Ahora el triangulo formado es rectángulo, por lo tanto:

X= 20 tg34° = 13,49 millas.

por otro lado:

y = AB sec34°

y = 24,12 millas.

8. La distancia entre dos faros A y B es de 12 millas y la recta que los une tiene un rumbo de 75° al Nor-Este a la velocidad de 10 millas está exactamente al Nor-Este de a y al Nor-Oeste de b. halar la hora en que la embarcación cruzara la línea de los faros.

• Solución:

AB = 12 millas = x + y

R = posición (12 noche)

R' = punto de cruce

RR' = m ( de aquí se halla la hora)

Luego :

α = 45° - 15° = 30°

β = 45° + 15° = 60°

• En el triangulo ARR’ :

x = m ctg α = m ctg30° …(1)

y = m ctg β = m ctg60° ...(2)

(1) más (2) :

x + y = m ctg30° + m ctg60°

12 = m ( ctg30° + m ctg60° )

Donde m = 5, 19 millas.

Ahora t : e / v = 5, 19 / 10 horas

= 0,519 horas

= 31 min. 8,4 s.

9. En una pampa, un hombre parte con dirección 15° al Nor-Este una distancia de 40 m y luego cambia su dirección al norte 75° Oeste y camina una distancia de 30 m y se detiene. ¿ A que distancia del punto de partida se encuentra ?

Solución:

X² = 30² + 40²

X² = 2500

X = 50m

10. A las 12 del día un topógrafo ve una nube y su sombra. Por el centro de gravedad de la sombra traza una recta Norte-Sur, midiendo desde el centro de la sombra 90 m. al norte y 40 m. al sur. Desde estos puntos extremos miden los ángulos de elevación de la nube hallándolos complementarios. Se pide calcular la altura de la nube.

• Solución : Si son angulos complementarios

El AOB = 90° entonces :

tanθ = h/90 .......(1)

tan (90°-θ) = h/40 ..(2)

Además: tan(90° - θ )= cotθ

y cotθ = 1/tanθ

Remplazando : h/40 = 1/h/90 .

donde : h² = 60 m

11. Dos embarcaciones zarpan de un puerto con direcciones 28° al Sur-Oeste y el otro 62° al Sur-Este, con velocidades de 10 y 10,5 nudos respectivamente.

¿ Cual será la distancia que les separa tres horas después de la partida?

Solución:

Según el grafico el ángulo que forman entre si, es de 90°

Según esto :

D² = 30² + 31,5²

D = 43,5 millas.