1. Aplicacin de las curvas de nivel

Las curvas de nivel son el mtodo cartogrfico ms comn para representar la altitud de la superficie. A partir de las curvas de nivel, la variable Z del terreno puede ser expresada en un plano bidimensional.

Una curva de nivel es aquella lnea que en un mapa o imgen une todos los puntos que tienen igualdad de condiciones y de altura. Existen varias convenciones para la representaciin de estas curvas (como colores, tipos de lneas, sombreados) pero actualmente los formatos estandarizados son los formatos vectoriales. Se utilizan en una gran variedad de escalas y aplicaciones, desde la ingeniera a gran escala, a los dibujos y planos de arquitectura, pasando por mapas topogrficos, hasta los mapas a escala continental.

2. Calculo de pendientes

Atendiendo a la definicin de pendiente tenemos que:

DondeDv = Distancia vertical = Diferencia de nivelDh = Distancia horizontalP = pendiente buscada

La pendiente puede ser positiva o negativa dependiendo del lugar en que nos encontremos, por lo que el signo positivo o negativo indicar si el terreno baja o sube con respecto a nuestra posicin.

Podemos estimar que la cota del punto C es de 18.5 m y la del punto D es de 20.2 m, por lo que la distancia vertical que existe entre los dos (diferencia de nivel) es de 1.70 m. As mismo consideremos que la distancia que separa a estos dos puntos es de 19.66 m.Entonces la pendiente entre el punto C y D ser:

La pendiente entre los puntos A y B ser:Cota de A= 19 m, cota de B=21 m, distancia entre AB= 10.00 m

La pendiente entre los puntos B y F ser:Cota de B=21 m, cota de F=18.5 m, distancia BF=20.05 m.

3. Trazado de lneas de pendientes constantes

En terrenos con topografa accidentada ondulados, montaosos- para efectos de seleccionar la mejor ruta es necesario llevar a cabo estudios preliminares sobre planos o restituciones fotogramtricas. Desde el punto de vista tcnico, la seleccin de ruta se caracteriza por la llamada lnea de pendiente constante, con una inclinacin previamente definida sin exceder el valor mximo permitido que en general depende de la categora o importancia de la va. Una vez establecidas las diferentes rutas en los planos y su respectivo reconocimiento en el terreno, se procede a definir las lneas de pendiente con el fin de realizar una comparacin racional de las diferentes alternativas propuestas aportando criterios tcnicos que permitan seleccionar la mejor ruta.

Trazado de lneas de pendiente en un plano topogrfico:

Considerando dos puntos A y B, colocados sobre dos curvas de nivel sucesivas, la pendiente de la lnea que los une es:

Pendiente (P) = intervalo de nivel (Dv) / distancia horizontal (Dh)

Por lo tanto si se desea hallar la distancia necesaria para pasar de un punto situado sobre una curva de nivel a otro sobre una curva de nivel siguiente, - ms arriba o ms abajo, con una pendiente determinada se tiene que:

Distancia horizontal = Intervalo de Nivel / Pendiente Dh = Dv / P

La distancia horizontal obtenida se debe fijar en la abertura del comps en la escala del plano en que se est trabajando. Para trazar la lnea de ceros desde el punto A, con una pendiente definida, se coloca el centro del comps en este punto y se debe cortar la siguiente curva de nivel (mayor si se asciende o menor si se desciende), determinando el punto B; luego se ubica de nuevo el centro del comps en el punto B y se corta la siguiente curva determinando as el punto C.De forma similar se contina hasta que sea necesario modificar la direccin o la pendiente de la lnea.

Por ejemplo si se tiene un plano con curvas de nivel cada 2 metros y se quiere unir dos puntos sobre curvas de nivel sucesivas con una pendiente del 8.0 %, se requiere la siguiente distancia:

Distancia horizontal = 2.0 / 0.08 = 25.0 metros

Ahora si se requiere unir dos puntos distanciados varias curvas de nivel, la distancia hallada, reducida a la escala del plano, podr llevarse con un comps a partir del punto inicial, fijando una serie de puntos sucesivos que constituyen la lnea de pendiente o lnea de ceros.

Lo ideal es que esta lnea de pendiente sea uniforme, es decir, que al llevarse a cabo en el plano, debe ir sobre el terreno que ste representa, y no por encima ni por debajo de l.

Cuando esto se permita o se lleve a cabo significa que debern realizarse rellenos y cortes, respectivamente.

En la Figura 4.10 se tiene una topografa con curvas de nivel cada 5 metros y se han definido tres lneas de ceros con diferente pendiente.

Para la pendiente del 2.0% la abertura del comps sera:

Dh = 5.0 / 0.02 = 250.0 metros.

Se puede observar que como la abertura del comps es amplia y no permite ganar suficiente altura sobre la ladera. En un recorrido de 1750 metros (7 pasos x 250 metros) se ha ascendido un total de 35.0 metros (1750 x 0.02 o 7 x 5), desde la cota 120 hasta la 155 (puntos A y B).

Si partimos del mismo punto A pero con una pendiente del 4.0%, se ganara el doble de altura sobre la ladera por cada paso del comps. En este caso la abertura del comps sera la mitad:

Dh = 5.0 / 0.04 = 125.0 metros.

El recorrido desde el punto A hasta el punto C es de 1625 (13 pasos x 125.0 metros) y la altura ascendida es de 65 metros.

Por ltimo si se trabaja con una pendiente del 8.0% la abertura del comps sera la mitad de la anterior 62.5 y se ganara una altura de una forma ms rpida. Aqu la longitud recorrida es de tan solo 812.5 metros pero la altura que se asciende es igual a la anterior.

Forma de enlazar dos puntos obligados

Si se requiere unir dos puntos, el trazado de menor longitud ser el que utilice la pendiente mxima admisible o permitida. Al estudiar el enlace entre dos puntos con una lnea de pendiente uniforme, habr que determinar cul es la pendiente mxima estimada (PME) cuya forma de hallarla puede ser por tanteo, estimando una longitud aproximada y una diferencia de altura entre los dos puntos a unir. Otra forma ms precisa para determinarla es con lneas de pendiente parciales trazadas a partir de los puntos a unir. Basados en la Figura 4.11 se determinar la pendiente mxima estimada para unir los puntos A y B.

A partir del punto A se traza una lnea con pendiente p1 hasta el punto C, que como puede observarse est por debajo del punto B al cual se quiere llegar e indicando que est pendiente est por debajo de la PME. Luego es preciso trazar otra lnea a partir del punto B con una pendiente p2, mayor que p1, y que corta la primera en el punto D.

Si se observa ahora en la Figura 4.12 que la PME (Pendiente mxima Estimada, definida en clases como Pendiente mxima Posible) se puede calcular de la siguiente forma:

PME= (Y2+Y1)/(X2+X1)

X1 = Distancia horizontal entre A y D a lo largo de la primera lneaX2 = Distancia horizontal entre D y B a lo largo de la segunda lneaY1 = Diferencia de altura entre A y DY2 = Diferencia de altura entre D y B

Con el valor de PMPos se puede trazar una lnea de pendiente uniforme entre los puntos A y B, repitiendo el procedimiento si es necesario, hasta unir correctamente estos puntos.

Como en cada proyecto se debe definir una pendiente mxima permitida (PMP), determinada a partir de las especificaciones y categora de la va, entonces se pueden presentar dos casos:

1. PME > PMP.Cuando esto sucede significa que el trazado se debe realizar con la PMP y quiere decir que la longitud del recorrido total debe ser mayor que la obtenida con la PME. En la Figura 4.13 se tiene una lnea de ceros lc1 trazada con la PME pero como es mayor que la permitida es necesario obtener otros trazados con la pendiente mxima permitida que representar una mayor longitud de recorrido. Se ha obtenido las lneas de ceros lc2y lc3 despus de varios tanteos y de las cuales se debe elegir la ms apropiada de modo que se ajuste a las necesidades impuestas por la futura va, como por ejemplo, alineamiento horizontal, movimiento de tierra, estabilidad, cantidad de obras de drenaje.

2. PME < PMP.Cuando esto sucede significa que la lnea determinada a partir de la PME puede ser la de menor longitud, por lo tanto por razones econmicas de deber optar por esta.Se debe tener en cuenta que el procedimiento para obtener la PME es vlido para terrenos regulares, es decir, que desciendan o asciendan. Cuando el terreno es muy irregular se hace difcil obtener una lnea de ceros uniforme, lo que significa que no existe una pendiente mxima estimada. En estos casos es conveniente determinar cul es la pendiente apropiada para cada tipo de terreno que se vaya presentando de modo que no exceda la pendiente mxima permitida.

Trazado lnea de Pendiente Constante en el terreno

Cuando no se dispone de planos topogrficos o simplemente se desea localizar la lnea de ceros directamente en el terreno es necesario el uso de un nivel Abney (o clismetro) o de pendiente y una mira. La pendiente a utilizar se puede determinar por tramos y para calcularse se debe estimar la distancia a recorrer y la diferencia de altura entre los puntos extremos de cada tramo. El procedimiento, apoyado en la Figura 4.15, es el siguiente:

Se fija en el nivel Abney la pendiente deseada para la lnea de ceros.

Se ubica el nivel a una altura determinada y apropiada para el ojo sobre un jaln.

En el terreno se ubica el punto o puntos que tengan una lectura de mira igual a la altura del Abney o Clismetro sobre el jaln.

La superficie del terreno en la direccin observador menos lectura de mira tendr entonces una pendiente igual a la marcada en el nivel Abney.

El procedimiento anterior es vlido en terrenos muy regulares, pero en terrenos irregulares al ir ubicando los puntos que cumplan la altura de mira buscada probablemente se obtendrn direcciones que generen alineamientos errneos o defectuosos. Para evitar este problema el procedimiento a seguir es el siguiente:

Se definen ciertos lmites para corte y para lleno a lo largo de la lnea a trazar. Teniendo en cuenta el valor del corte o lleno estimado en un punto cualquiera la lectura de la mira ser variable de modo que la direccin general que debe llevar el alineamiento es ms fcil de controlar. Con el valor ledo en la mira se puede calcular la altura del lleno o del corte (Figura 4.16)

En la Figura 4.16 se tiene el punto A con un corte establecido Ca y una altura del ojo Ho y con la pendiente definida fija en el nivel Abney se obtiene una lectura en la mira en el punto B de Mb. Para calcular la altura de corte Cb en el punto B se tiene:

Cb = Ca + Ho Mb

Si la mira se ubica en el punto C donde se presenta un lleno, la altura de este sera:

LLc = Ca + Ho Mc

El valor para Cb es positivo mientras que el obtenido para LLc es negativo, significa que la expresin general para calcular el corte o lleno de un punto 2 a partir de un punto 1 es:

(Corte o Lleno)2 = Altura Ojo (Corte o Lleno)1 Lectura Mira

Al igual que el trazado en planos, la localizacin directa en el terreno puede presentar diferentes casos y situaciones lo que obliga a realizar diferentes tanteos con el fin de obtener la lnea de ceros ms apropiada. Esta serie de tanteos, ajustes y correcciones en el campo representan, adems de un alto costo, una gran demora en el estudio de la lnea de ceros, por lo tanto es recomendable, principalmente cuando se tienen terrenos muy irregulares o trazados relativamente largos, obtener la topografa de la franja o franjas de las diferentes rutas que se quieren estudiar. La obtencin de est topografa aunque tambin puede representar un alto costo es indispensable para desarrollar un buen estudio de alternativas y adems ser de mucha ayuda para las siguientes etapas dentro del trazado y diseo de la va.

4. Calculo de la cota de un punto

En algunos casos puede que necesitamos determinar con ms exactitud la cotade un punto comprendido entre dos curvas de nivel. Para ello emplearemos unmtodo de interpolacin.

Observando la figura inferior, necesitamos determinar lacota del punto P. No cabe duda que estar comprendida entre 500 y 600 metros,ya que se halla entre las curvas de nivel con esas cotas. La equidistancia entrecurvas de nivel, es en este caso 100 metros, y le llamamos eq.

Ahora mediremossobre el plano las distancias AP y AB con ayuda de una regla, para finalmenteaplicar la siguiente frmula: cota de P = cota de A + ( eq x AP / AB )Por ejemplo si:AB = 24 mm AP = 18 mm Cota de P = 500 + ( 100 x 18 / 24 ) = 500 + 75 = 575 m

5. Perfiles longitudinales

Otra forma de representar el terreno es a travs de perfiles o secciones, mostrando las inflexiones del terreno y sus puntos singulares. Los perfiles longitudinales nos dan la seccin del terreno a lo largo de un trazado lineal, y perpendiculares a este eje, cada determinada distancia, se realizan las secciones transversales, cuya longitud depender de la franja a representar a cada lado del eje longitudinal.

Muy utilizados en obras lineales, nos permiten estudiar los posibles trazados, y encajar las secciones tipo en el terreno, calculando as los volmenes de movimiento de tierras.

Los perfiles se realizan tambin para todo tipo de estudios hidrogrficos (clculos de caudales y avenidas), y son la mejor representacin de redes de saneamiento, abastecimiento o cualquier tipo de canalizacin, representando tanto el terreno en superficie como la rasante hidrulica.

6. Secciones trasversales

Proyectar con acierto la seccin transversal de un camino es problema delicado, al cual debe el ingeniero dedicar la mxima atencin. De la seccin transversal, depende en proporcin importante la capacidad de trfico del camino; y al mismo tiempo, la seccin transversal pesa, fundamentalmente, en el coste de construccin de la va. Por otra parte, para fijar con acierto una seccin transversal, es imprescindible prever el trfico futuro del camino; y en esta previsin, no sujeta a la rigidez de una frmula, es el buen sentido del proyectista el que ha de determinar la solucin ms conveniente. Visin amplia de porvenir y, al mismo tiempo, sentido econmico, para no hacer irrealizable, o al menos inconveniente desde el punto de vista econmico, el proyecto.

Para coordinar ambas necesidades, es aqu, tal vez ms claramente que en ningn otro problema de ingeniera, donde el proyectista ha de tener como gua el lema de mxima ambicin al proyectar, ejecutando de momento slo aquello que el momento exige, pero haciendo posible para el futuro una ampliacin fcil y econmica. Que la falta de visin no constituya en el porvenir un obstculo insuperable para la ampliacin. Vamos a ver cmo influyen cada uno de los factores que en la fijacin del perfil intervienen.

7. Clculos de volmenes a partir de las secciones transversales

Determina la frmula del rea de la seccin transversal. Las formas transversales comunes son cuadrados y crculos. Los cuadrados tienen la frmula del rea "A=s^2", donde "s" es la longitud del lado de los cuadrados. Los crculos tienen la frmula del rea "A=4 * pi * r^2" o "A = pi * d^2", donde "r" es el radio del crculo y "d" es el dimetro del crculo. Dependiendo de qu eje de la seccin transversal es perpendicular, la "s" y las variables "d" se reemplazarn con funciones de "x" o "y".

Encuentra la longitud del lado o dimetro en funcin de "x" o "y". Si el volumen que ests tratando de encontrar es de la misma forma de la seccin transversal, "s" y "d" puede ser simplemente reemplazado por "x" o "y". Si la seccin transversal no es la misma forma que la forma del volumen, tendrs que usar la ecuacin de la base de la forma de volumen. Si la seccin transversal es perpendicular al eje horizontal, resuelve la ecuacin de la base para "y". Esto te dar "s" o "d" en funcin de "x". Si la seccin transversal es perpendicular al eje vertical, resuelve la ecuacin de la base para "x".

Examina la grfica para encontrar los lmites de la integral. Estos sern los valores x o y de los extremos de la forma, dependiendo en qu variable el rea se expresa en trminos de qu. Si el rea se expresa en trminos de "x", el lmite inferior de la integral ser el valor x del extremo izquierdo de la forma, mientras que las integrales del lmite superior sern el valor x de la extrema derecha de la figura. Si el rea se expresa en trminos de "y", el lmite inferior de la integral ser el valor de "y" de la parte inferior de la forma y el lmite superior ser el valor de "y" de la parte superior de la forma.

Expresa y evala el volumen como una integral. El volumen ahora se puede establecer como la integral de la "A" con respecto a "x" o "y", donde "A" es el rea de la seccin transversal en trminos de "x" o "y".

8. Topografa modificada

El objeto de la topografa es el estudio de los principios y mtodos para representar una porcin de tierra con todos sus detalles naturales sin embargo, el hombre frecuentemente realiza acciones (movimientos de tierra) que varan o modifican la topografa natural de un rea, sto con el propsito de adaptarla para la ejecucin de infraestructuras viales o urbansticas; la representacin en planta de los terrenos que han sido alterados se conoce como Topografa Modificada o Terraceo. En vialidad es comn referirse a la topografa modificada como curvas de pavimento y en urbanismo se les conoce como terraceo.

Las aplicaciones directas de la topografa modificada recaen en el diseo y ubicacin de las estructuras de contencin y drenaje as como la determinacin de las reas de influencia del movimiento de tierras, de all la importancia de sta puesto que el terraceo permite entonces tener una visin general de las condiciones de estabilidad y resistencia a los trabajos posteriores, la posible deformacin del terreno as como la factibilidad econmica del proyecto por ende, al tener este conocimiento previo se podra evitar o corregir en el trazado los problemas que se presentan al efectuar los respectivos cortes y rellenos.

Sistema de Proyeccin que utiliza la Topografa Modificada.

Dado que una de las aplicaciones ms comunes de las curvas de nivel es la elaboracin de los planos de la topografa modificada o representacin grfico plano altimetra del proyecto sobre el rea en la cual se construir se puede deducir que el sistema de proyeccin que utiliza es entonces el sistema de proyeccin acotada o acotado, fundamentado en la proyeccin ortogonal.

La representacin final de la topografa modificada se hace sobre un plano de curvas de nivel donde se muestran los cambios que van a sufrir las lineas naturales del terreno, estos cambios son producto de los cortes o bnqueos y de los rellenos o tambin llamados terraplenes hechos al terreno.

Corte o Bnqueos: Es el rebajamiento o desmonte de un terreno hasta el nivel previsto en el estudio correspondiente.

Relleno o Terraplenes: El terraplenado se realiza cuando el terreno se encuentra por debajo del plano de referencia y es necesario llevarlo al mismo nivel.

9. Calculo del volumen de almacenamientos de agua de una represa o embalse a partir de las curvas de nivel

De la cuenca designada procedemos a realizar el clculo de los volmenes de los espejos de agua para cada nivel de cota del almacenamiento, dado que hemos dividido el plano en curvas de nivel tanto mayores y menores, para el cual las mayores estn divididas cada 10 m. y las menores cada 2 m.

Una vez calculadas las reas de los espejos de agua para cada curva de nivel, se procede a realizar el clculo de los aumentos de volumen de la presa por medio de la frmula:

Con la formula anterior encontramos el volumen del embalse para el conjunto total de curvas de nivel:

Con los valores de esta tabla y la anterior procedemos a realizar las grficas Volumen VS Cota y la de rea Vs Cota.

RESULTADOS:

GRAFICO I: rea (Ha) vs Cota Z (msnm)

Grafica II: Volumen (MMC) vs Cota Z (msnm)