Topologia - Entorno y Intervalo

8/15/2019 Topologia - Entorno y Intervalo

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Apunte de Teoria de Analisis matemático | Gras Lovatto Facu

Capítulo 2

Conocimientos previos - Introducción del Analisis atemático!n este capítulo veremos situaciones " conceptos las cuales no tenemos tan claras " son de vital

importancia para entender los conceptos del Analisis atemático

Intervalos " !ntornosLa #eometría analítica esta$lece una correspondencia entre puntos de una recta " n%meros reales&

de tal 'orma (ue a cada n%mero real le corresponde un punto de la recta " a cada punto de la recata un%nico n%mero real) La recta reci$e el nom$re de recta real o espacio de una dimensión " los t*rminos puntoo n%mero real se usan indistintamente)

!n la representación #rá+ca se indica un punto ori#en so$re la recta (ue corresponde al , " otropunto a su dereca para representar el 1& con lo cual (ueda esta$lecida la escala) La relación de orden

de+nida en R se interpreta #eom*tricamente considerando (ue si b>a & entonces el punto $ está ala dereca del punto a)

!sta correspondencia entre puntos " n%meros reales 'acilita la interpretación de mucasdemostraciones " constitu"e un au.iliar poderoso para su compresión) /in em$ar#o& de$e tenerse en cuenta(ue& si $ien cual(uier representación #rá+ca es 'uente de claridad& en nin#una demostración tiene valide0 lautili0ación de recursos #rá+cos puramente intuitivos)

A continuación se consideran al#unas de+niciones %tiles)

IntervalosLos intervalos de n%meros reales son conuntos de n%meros reales comprendidos entre dos n%meros

reales llamados e.tremos

A los intervalos por sus características se pueden a$reviar mediante una notación especial

/iendo a


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Gras Lovatto Facundo | 7tn Concordia

{ x x ϵ R ∧a


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Con 'recuencia se eli#e un intervalo (a , b) de modo (ue el punto x0 se alle en su punto

medio) !n este caso& el punto x0 reci$e el nom$re de centro del entorno " la ma#nitudb – a

2 se

denomina radio del entorno)

!ntorno de un punto

8ado un punto a " un n%mero real h>o & se llama entorno de centro a " radio h " se

indica E(a ,h) o E(a) al mismo intervalo (a−h , a+h) )

Otra forma de indicar el entorno de un punto:

Si x ε (a−h , a+h )=¿a−h


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E' (a , h)=(a−h , a )∪(a , a+h )

E ' (a , h )={ x x ε R∧0


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!s decir

a punto de acumulacion de C ⇔∀ E " (a )∃ x / ( xϵC ∧ xϵ E " (a ) )

9 a punto de acumulacion de C ⇔∀h>0∃ x / ( x ϵ C ∧0) !l conunto % de n%mero racionales tiene a todos los n%meros reales como puntos de

acumulación) !l conunto R de los n%meros reales tiene a los n%meros reales como

punto de acumulación)

?) !l conunto !={ x / x=n+5n ∧nϵ $ } tiene un %nico punto de acumulación (ue es el1 )


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@e#ación

:ara pro$ar (ue un punto no es de acumulación de una conunto& $asta encontrar un entornoreducido del mismo al cual no pertene0ca nin#%n elemente del conunto& como se a eco para pro$ar (ue

el conunto $ no tiene puntos de acumulación)

!s decir& ano es punto de acumulación del conunto C si " sólo si e.iste un entorno reducido de a al

cual no pertenece nin#%n punto del conunto& (ue es la ne#ación ló#ica de la de+nición de punto deacumulación)

a no es punto de acumulación de C ⇔∃ E " (a )/∀ x : ( x existe en C ⇒ x no existe en E " (a ) )

o a no es punto de acumulación de C ⇔∃ E " (a )/ E " ( a )#C =∅

!l recurso (ue se utili0ó para pro$ar (ue el conunto $ no tiene puntos de acumulación es

válido para demostrar (ue cual(uier conunto +nito no tiene puntos de acumulación& o su contrarrecíproco&se#%n el si#uiente teorema)

Teorema/i a es punto de acumulación del conunto C& entonces cual(uier entorno del punto a tiene in+nitas

puntos de C)

Demostración:

7tili0aremos un m*todo indirecto& por reducción al a$surdo)

/ea E " (a) un entorno reducido del punto a& al cual pertenecen solamente n elementos deC& o sea& un n%mero +nito de elementos de C)

!ntre los n puntos de E " (a) a" uno de ellos cu"a distancia al punto es minima) /ea x i

dico punto)

!s decir

∃ x i/∀n ≠i :| x i−a|≤| xn−a|

:or lo tanto& $asta considerar cual(uier entorno reducido del punto a cu"o radio sea menor (uedica distancia para ase#urarnos (ue dico entorno reducido no pertenece nin#%n punto de C)

!liamos& por eemplo& un entorno reducido cu"o radio sea la mitad de dica distancia) Al conunto

E "

(a ,

| x i−a|

2

)no pertenece nin#%n punto de C) esto implica (ue a no es punto de acumulación de C)

como por ipótesis a es punto de acumulacion de C& (ueda pro$ado el teorema por contradicción)

Como ta se a visto& el contrarrecípoco del teorema anterior permite deducir (ue si un conuntotiene un n%mero +nitio de elemntes& entonces no tiene puntos de acumulación)


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eri+cación

C 1=[2,3 )∪{4 }

/i x=2⇒∀ E' (2 ): E' (2)# C 1≠∅ )

Ba (ue comparten el semi-entorno dereco ∴ x=2ϵC 1

/i 22 no es punto de acumulación)

!ntonces los puntos de acumulación de C 1 son

C " [2,3 ]


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:unto Interior

7n punto a & perteneciente a un conunto C & es punto interior al mismo si " sólo si e.iste un

entorno de a totalmente incluido en C )

!s decir

a punto interior a C ⇔aϵC ∧∃ E (a ) E (a )⊆C

9 dado un conunto C " un punto a (ue pertenece a C , se dice (ue a es punto interior a

C ⇔aϵC ∧∃ E (a , & )∧& >0/ E (a , & ) #C = E (a , & ) )

Ejemplos:

1) Cual(uier n%mero real es interior al conunto R de los n%meros reales)

2) 7n n%mero racional no es interior al conunto % de los n%meros racionales pues en todo

entorno de un n%mero racional a" n%meros irracionales (ue no pertenecen a % ) Lue#o

%=∅ )

=) Todos los puntos de un intervalo a$ierto son interiores a *l)

:unto Aislado

7n punto a (ue pertenece a un conunto C es un punto de aislado si " sólo si e.iste un entorno

reducido de a al cual no pertenece nin#%n punto del conunto C .

!s decir

7n punto a de un conunto C se dice punto aislado de C ⇔∃ 5al menos e.ista uno6

E' ( a , & ) para al#%n & >0 E

' ( a , & ) #C =∅

Ejemplos:

1) Cada n%mero natural es un punto aislado en un conunto $ .

2) Lo mismo sucede con cada n%mero entero en el conunto de )

eri+cación

C 1={1 }∪[ 2,3 )


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x={ x x ϵ C ∧ ∧ & =12 / E" (1, 12 )#C =∅} x=1 :unto de Aislado/ea x ϵ [2,3 ] ; ∧ E " ( x , & )∧ & >0 : E " ( x , & )# C ≠∅ ∧ ϵ [2,3 ] no son :untos Aislados de C

:unto !.terior

7n punto a es e.terior a un conunto C si " sólo si e.iste un entorno del mismo al cual no

pertenece nin#%n punto del conunto C )

!s decir

8ado un conunto C " un punto e (ue no vive en C& se dice (ue e es punto e.terior a

C ⇔e∉C ∃un E ( e )/C # E (e)=∅ .

9$servece (ue en este caso el punto no pertenece al conunto)

Ejemplos:

1) !l punto 3 es e.terior al conunto de los ne#ativos

2) !l ori#en es e.terior al intervalo (5 ;8)

:unto Frontera

7n punto es 'rontera cuando no es e.terior ni interior al conunto considerado)

9 sea el punto a es punto 'rontera del conunto A si " sólo si en todo entorno del punto a a" al#%npunto (ue pertenece al conunto A " a" punto (ue pertenece a su complemente)

!s decir

Todos los puntos (ue no son e.terior ni interior a un conunto se los denomina punto 'rontera

( es un )unto (*onte*a deC

∧ E ( ( ) : + # E ( ( )≠∅

∧ E ( ( ) : # E ( ( ) ≠∅

Ejemplos:

1) !l punto Cero es 'rontera para los+¿ R

¿ " tam$ien para los−¿ R

¿

2) !n el conunto C =[2, 4 ) 2 - 4 son puntos 'ronteras) Desulta (ue un punto 'ronterapuede o no pertenecer al conunto)

=) Los puntos aislados son puntos 'ronteras


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Tipos de conuntos

Conuntos Acotados

8iremos (ue un conunto C ≠∅

está acotado superiormente ∧ ∧ un n%mero real

s/∧ x ε C : x ≤ S.

s se llama a la cota superior del conunto) /i un conunto está acotado superiormente& entonces

tiene in+nitas cotas superiores)

!l conunto de las cotas superiores se llama a"orante)

8iremos (ue un conunto C ≠∅ está acotado in'eriormente ⇔∃ un n%mero real

i /∧ x ε C : x ≤ i .

i se llama a la cota in'erior del conunto) /i un conunto está acotado in'eriormente& entonces

tiene in+nitas cotas in'eriores)

!l conunto de las cotas in'eriores se llama minorante)

7n conunto esta acotado posee cota superior " cota in'erior) Cun conunto C esta acotado

cuando ∃ un n%mero+¿/∀ x ε C :| x|≤ .

ε R0¿


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Conunto derivado

!l conunto 'ormado por todos los puntos de acumulación de un conunto C es el conunto

derivado de C " se desi#na CE)

8e acuerdo con los eemplos anteriores

1) C =[ a ; b ]⇒C ' =[ a ; b ] )

2) C =(a ; b )⇒C ' =[ a ; b ] )

=) $ ' =∅

>) %' = R R' = R

?) ! ={1 }

Conunto cerrado

7n conunto al cual le pertenecen todos sus puntos de acumulación se denomina cerrado) !s decir&un conunto es cerrado si " sólo si le pertenecen todos sus puntos de acumulación )

C ce**ado⇔∀a :(a )untode acu/ulaci0n de C ⇒aϵC )

!emplos

!l conunto R de los n%meros reales es cerrado& pues le pertenecen todos sus puntos de

acumulación (ue son los n%meros reales)

7n intervalo cerrado es& como su nom$re lo indica& un conunto cerrado)

Conunto compacto7n conunto es compacto si " sólo si es cerrado " acotado)

!emplos

7n intervalo cerrado es un conunto compacto)

R no es compacto pues no está acotado) $ no es compacto por la misma ra0ón)

!l conunto {a , b } es compacto& al i#ual (ue cual(uier conunto +nito

Conunto denso en sí

7n conunto es denso en sí si " sólo si todos sus puntos son de acumulación)

!s decir

C denso en sí aϵC ⇒a

⇔∀a: ¿ punto de acumulación deC ¿

⇔∀a :(aϵC ⇒aϵC ' )

:or lo tanto& un conunto es denso en sí si " sólo si está incluido en su conunto derivado


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C denso en sí ⇔C ⊆C '

!emplos

!l conunto R de los n%meros reales en denso en sí& pues todos sus puntos son de acumulación)

!l conunto % de los n%meros racionales tam$i*n es denso en sí& pues todos sus puntos son de

acumulación)

$ " no lo son& pues nin#uno de sus puntos es de acumulación)

Conunto per'ecto

7n conunto es per'ecto si " sólo si es cerrado " denso en sí)

!s decir& un conunto es per'ecto si es i#ual a su conunto derivado)

!n e'ecto& si C es cerrado& entonces su derivado está incluido en *l& " si C es denso en sí&

entonces su derivado lo inclu"e)

:or lo tanto

C ' ⊆C ∧C ⊆C '

Lue#o nos (ueda

C =C '

!emplos

R es un conunto per'ecto& pues R " = R )

7n intervalo cerrado es un conunto per'ecto& pues [ a ; b ] " =[ a ; b ]

% no es per'ecto& pues es denso en si pero no es cerrado)

" $ no son per'ecto& pues son cerrados pero no son densos en sí)

Conunto a$ierto

7n conunto ! es a$ierto si " sólo si todos sus puntos son interiores)

8e acuerdo con los eemplos anteriores& R es un conunto a$ierto " % no es un conunto

a$ierto)

!l intervalo a$ierto (a , b) es a$ierto)

!l intervalo semia$ierto ¿ no es a$ierto& pues b pertenece al conunto " no es un puntointerior al mismo)

!l conunto C no es a$ierto& pues& por eemplo 3ϵC " 3 no es interior a C)


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9$s*rvece (ue el conunto R de los n%meros reales es un conunto a$ierto " cerrado) Lo mismo

sucede con el conunto vacio)

!n cam$io& el intervalo (a , b ] no es ni a$ierto ni cerrado)

!.tremos/e llama e.tremo superior o supremo " lo indicaremos con E a la menor de las cotas superiores) 5/i

e.isten6) Ejemplo: para−¿

¿ es -1

/e llama e.tremo in'erior o in+mo " lo indicaremos con e a la ma"or de las cotas in'eriores) 5/i

e.isten6) Ejemplo: para+¿

¿ es 1

!n el conunto[−5,10 ) { E=10∉al con1untoe=−5ϵal con1unto

7n e.tremo puede o no pertenecer al conunto

á.imos " mínimos

/i el e.tremo ! pertenece (ϵ) al conunto& se llama má.imo " se lo indica con )

/i el e.tremo e pertenece (ϵ ) al conunto se lo llama mínimo " se lo indica con m)

!n el conunto (2,5 ] { E=5 2 ( 2axi/o)e=2/( El /ini/o no )e*tence al con1unto)

!n el conunto (3,7 ) { E=7 2 ( El 2axi/o no )e*tence al con1unto)e=3/( El /ini/o no )e*tence al con1unto)

!ercicios!scri$ir como intervalos los si#uientes conuntos " como entorno si esto es posi$le)

1) !={ x / x ϵ R∧2≤ x ≤4}

2) 3={ x / x ϵ R∧−1≤ x ≤3}

=) C ={ x / xϵ R∧−7≤ x ≤−2 }


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>) 4={ x / x ϵ R ∧−1

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