Topologıa Producto

Tomado del libro de Dudley “Real analysis and probability”

Una base para una topologıa T es una subcoleccion U ⊂ T tal que para todoV ∈ T , V =

⋃{U ∈ U : U ⊂ V } (pag,26).

Dado un espacio topologico (S, T ), una subcoleccion U ⊂ T es llamada subbasepara T si y solo si la coleccion de todas las intersecciones finitas de conjuntos en Uforman una base para T (pag, 37).

Teorema 1 (Teorema 2.2.6, p 37). Para cualquier conjunto X 6= ∅ y una coleccionU de subconjuntos de X, existe la mas pequena topologıa T que incluye a U , con Uuna subbsase de T . En particular, dada una topologıa T y U ⊂ T , U es una subbasede T si y solo si T es la mas pequena topologıa que incluye a U .

Demostracion. Sea B la clase que reune todas las intersecciones finitas de miembrosde U . Es decir

B ={ ⋂

V ∈V

V : V ⊂ U subcoleccion finita}.

Recordemos la habitual convencion de que⋂

V ∈∅ V = X.Sea T la coleccion de todas las uniones (arbitrarias) de miembros de B. Es decir

T ={ ⋃

C∈C

C : C ⊂ B}.

Mostraremos que T es una topologıa y B es una base.Primero X ∈ B y ∅ ∈ T , por lo tanto X, ∅ ∈ T . Por otra parte, es claro que

uniones de elementos de T estan tambien en T . Resta probar que T es cerrado paraintersecciones finitas. Primero observamos que B es cerrado bajo intersecciones finitas.Ahora sean C y D subcolecciones arbitrarias de B. Entonces( ⋃

C∈C

C)⋂( ⋃

D∈D

D)

=⋃C∈C

⋃D∈D

C ∩D,

y C∩D ∈ B. Esto muestra que T es una topologıa. Por otro lado, la propia definicionT determina a la clase B como una base, mientras que la definicion de B determinaa U como una subbase.

Finalmente, si alguna otra topologıa incluye a la clase U , entonces incluye a tambiena la clase B, y entonces tambien incluye a la topologıa T .

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Teorema 2 (Corolario 2.2.7. pag 37). (a) Si (S,V) y (X, T ) son espacios topologicos,U es una subbase de T , y f es una funcion de S en X, entonces f es continua si ysolo si f−1(U) ∈ V para cada U ∈ U .

(b) Si S e I son cualesquiera conjuntos, y para cada i ∈ I, fi es una funcion de S enXi, donde (Xi, Ti) es un espacio topologico, entonces existe la mas pequena topologıaT sobre S para la cual toda fi es continua. Una subbase de T esta dada por

{f−1i (U) : i ∈ I, U ∈ Ti},

y una base por intersecciones finitas de tales conjuntos para diferentes valores de i,donde cada clase Ti pues ser remplazada por una subbase o una base de sı misma.

Demostracion. Parte (a). La condicion necesaria (⇒) es evidente. Probaremos lacondicion suficiente (⇐). Sea U1, U2,..., Un una coleccion finita de miembros de U .Tenemos,

f−1( n⋂

i=1

Ui

)=

n⋂i=1

f−1(Ui) ∈ V ,

ası f−1(B) ∈ V para cada B en una base B de T . Entonces para cada W ∈ T , W esla union de alguna coleccion W ⊂ B. Ası,

f−1(W ) = f−1(⋃

W)

=⋃{f−1(B) : B ∈ W} ∈ V .

Parte (b). Hacemos U = {f−1i (U) : i ∈ I, U ∈ Ai}, donde Ai es una subbase paraTi, para cada i ∈ I. Por el teorema anterior existe una topologıa T mınima sobre Sque contiene a U como subbase. Ademas, para cada i ∈ I,

f−1i (Ai) = {f−1i (U) : U ∈ Ai} ⊂ U ⊂ T .

Ası, por la parte (a) de este teorema, fi es continua, para cada i ∈ I, respecto a latopologıa T .

Sea ahora Bi una base para la topologıa Ti, para cada i ∈ I, y definimos

U1 = {f−1i (B) : i ∈ I, B ∈ Bi}.

Sea T1 la mınima topologıa que contiene a U1 como subbbase y tal que cada fi escontinua.

Finalmente, sea U2 = {f−1i (U) : i ∈ I, U ∈ Ti} donde Ti es una topologıa sobre Xi,para cada i ∈ I. Por el teorema anterior, nuevamente, existe una topologıa mınimaT2 que contiene a U2 como subbase y tal que cada fi es continua.

Claramente T ⊂ T1 ⊂ T2 ⊂ T .

Sea (Xi, Ti), i ∈ I, un espacio topologico, y sea X =∏

i∈I Xi. Sea pi : X → Xi laproyeccion natural para cada i ∈ I. La mınima topologıa sobre X del teorema anteriorpara la cual las aplicaciones pi son continuas, es llamada topologıa producto.

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