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Asignatura: Matemática Eje: Geometría y medidas
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T.P. Nº3 – Razones Trigonométricas 3º Año – 1º Cuatrimestre 2021
Resolución de triángulos rectángulos
La resolución de triángulos rectángulos consiste en calcular las medidas de sus tres lados y el valor de sus
tres ángulos, cuando ya conocemos como mínimo dos de estos elementos.
Recordamos los elementos de un Triángulo Rectángulo
Utilizamos letras minúsculas para denotar a los lados de triángulo y letras mayúsculas para denotar a los
ángulos (también pueden utilizarse letras griegas).
Para resolver triángulos rectángulos debemos tener en cuenta las siguientes relaciones que existen entre
los lados y ángulos del triángulo
La suma de ángulos internos es 180º. Es decir, �̂� + �̂� + �̂� = 180°
Los lados están relacionados por el teorema de Pitágoras: 𝐻2 = (𝐶1)2 + (𝐶2)2
Los lados y los ángulos se relacionan mediante las razones trigonométricas,
Haciendo un repaso de lo visto en la clase anterior, con el Teorema de Pitágoras, recordemos que este
teorema se podía aplicar solamente en triángulos rectángulos y nos permitía averiguar la medida de un
lado conociendo la medida de los otros dos lados.
Pero ¿qué pasa si tengo un triángulo rectángulo, del cual no tengo como datos las medidas de dos de
sus lados? ¿Se podrá hacer algo?
Analicemos la siguiente situación: Halla la altura de un poste si se sabe
que la cuerda que lo sostiene al piso mide 15 metros, y que forma un
ángulo de 25° con éste.
Donde:
�̂�, �̂� 𝑦 �̂� son ángulos
a, b y c son lados
El lado más largo es la Hipotenusa
(b) y es opuesto al ángulo recto (�̂�)
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¿Podemos aplicar el Teorema de Pitágoras para encontrar la altura del poste? NOOO
¿Por qué? Nos falta el dato de la distancia en que está atada la cuerda al pie del poste.
¿Qué Hacemos? ¿Se puede resolver este problema?
La respuesta es SI, para este tipo de situaciones en las que tenemos como dato la medida de un lado y
valor de un ángulo agudo, son bienvenidas las razones trigonométricas.
Antes de desarrollar el concepto de razones trigonométricas, vamos a aprender una nueva forma de
denominar a los lados de un triángulo rectángulo en función a la posición en la que se encuentran
respecto a un ángulo de referencia.
Para ello, consideremos el siguiente Triángulo Rectángulo 𝐴𝐵�̂�,
En primer lugar, seleccionamos un ángulo agudo de referencia.
En este caso consideraremos al ángulo �̂�. En la gráfica podemos observar es el ángulo formado por los
lados “a” y “b”.
Entonces definimos:
El lado “c” recibirá el nombre de cateto opuesto al ángulo C. El cateto opuesto es el lado
que se ubica justo en frente al ángulo seleccionado.
El lado “a” recibirá el nombre de cateto adyacente al ángulo C. El cateto adyacente es
cateto que esta próximo/ unido al ángulo (OJO, no es la hipotenusa)
La Hipotenusa nunca va a cambiar de nombre y siempre va a estar ubicada en posición
opuesta al ángulo recto.
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Si tenemos en cuanta el mismo triangulo 𝐴𝐵�̂�, pero esta vez considerando al ángulo A,
observamos que el cateto opuesto y el adyacente no serán los mismos que en el caso anterior.
Entonces tendremos que:
El lado a recibirá el nombre de cateto opuesto al ángulo A.
El lado c recibirá el nombre de cateto adyacente al ángulo A.
Una vez presentada esta denominación de los lados de un triángulo rectángulo según el ángulo
considerado, vamos a lo que nos interesa las “Razones trigonométricas”
Se llaman Razones Trigonométricas a las expresiones que permiten relacionar los lados de un triángulo
rectángulo con los ángulos del mismo.
En un triángulo rectángulo se pueden definir las siguientes razones trigonométricas:
Seno Coseno Tangente
sin 𝐴 =𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎=
𝑎
𝑏 cos 𝐴 =
𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝐴𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎=
𝑐
𝑏 tan 𝐴 =
𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑂𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒=
𝑎
𝑐
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Resolvamos la primera situación problemática con la que nos encontramos al comenzar esta
clase.
Analizando la situación, podemos realizar el siguiente esquema
Para resolver este tipo de ejercicios, es conveniente formularnos preguntas que nos servirán de ayuda
para encontrar la razón trigonométrica que más se adecua a la situación planeada.
¿Qué datos tengo? Un ángulo y la medida de la hipotenusa
¿Qué necesito calcular? El cateto opuesto al ángulo dado
¿Qué razón trigonométrica me permite relacionar estos datos? La razón trigonometría que se
adecua a nuestra situación es el Seno. sin 𝐴 =𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
Una vez que encontramos la expresión, tenemos que reemplazar los datos ya conocidos:
𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎: 15 𝑚 �̂�: 25° 𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑂𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜: 𝑥
Reemplazando:
sin 25° =𝑥
15
Despejamos 𝑥 y resolvemos las operaciones
15 · sin 25° = 𝑥
15 · 0,423 = 𝑥
6,345 = 𝑥
Respuesta la medida del poste es de 6,345 m aproximadamente.
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Razones trigonométricas con la calculadora
Antes de empezar, echemos un vistaso de la parte del teclado de la calculadora que hay que tener en
cuenta para los ejercicios con razones trigonometricas.
Es fundamental corroborar que el modo de unidad angular en el que se trabaje sea DEG
Para ello deberás pulsar la secuencia de teclas
y elegir DEG para trabajar con grados sexagesimales.
Para calcular las razones trigonométricas de un ángulo agudo, pulsa la tecla correspondiente
y después el valor del ángulo.
Por ejemplo, calcular el valor de la tangente de 63º 34’ 18’’
El resultado es 2,011988117
Entonces 𝑡𝑎𝑛 63° 34’ 18’’ = 2,011988117
Otros ejemplos
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También es posible calcular el valor de la amplitud del ángulo agudo, conociendo el valor de una de sus
razones trigonométrica
Ejemplo: Encontrar el ángulo α, sabiendo que 𝑠𝑒𝑛 𝛼 = 0,5
Con la calculadora pulsamos las siguientes teclas
Obtenemos entonces que el ángulo 𝛼 = 30
Hay otras ocasiones en las que, al calcular el valor del ángulo en cuestión, obtenemos un número
decimal.
Por ejemplo ¿Cuál es el ángulo cuyo coseno es 0,187?
Verás que en pantalla aparece el número 79.22224085. Te da el resultado en grados decimales. Si quieres
el resultado en grados sexagesimales tendrás que pulsar la tecla de conversión
De este modo, obtenemos que el ángulo en cuestión es 𝛽 = 79°13′20,07′′
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PARTE PRÁCTICA
1) Calculen y completen
2) Escriban V (verdadero) o F (falso) según corresponda. Explicar sus respuestas
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3) Resolver las siguientes situaciones. Realizar un esquema representativo.
a) Una escalera de 3,5 m está apoyada sobre una pared. Si la base está a 2 m
de la pared, ¿cuál es el ángulo de inclinación de la escalera?
b) Se desea construir una rampa con un ángulo de inclinación de 20°. Si la altura de la
rampa debe ser de 0,50 m, ¿cuál será su longitud?
c) ¿Cuál es la altura de una torre de tensión si proyecta una sombra de 12 m cuando los
rayos del Sol forman un ángulo de 59° 2’ 10” con el suelo?
d) Julián observa el mástil de la escuela con un ángulo de elevación de 56°. Si está a 20 m
de distancia y mide 1,65, ¿cuál es la altura del mástil?
e) Dos personas A y B que miden 1,75 m de altura cada una se encuentran del mismo
lado respecto a un árbol. La persona A está a una distancia x del árbol y observa el
punto más alto con un ángulo de 35°. La persona B se encuentra a 10 m de A y observa
el punto más alto del árbol con un ángulo de 18°. ¿Cuál es la altura del árbol?
4) Teniendo en cuenta los datos de la imagen ¿Cuál es la distancia entre el velero y la base del
faro?
5) En un triángulo rectángulo el cateto b mide 7,4 cm y el ángulo opuesto a este
cateto mide 63°. Hallar la medida de los otros lados y ángulos del triángulo
¡ACLARACIÓN!
Todos los cálculos auxiliares deben estar en las hojas. De esta marera quedara constancia del
procedimiento realizado.
En caso de no cumplir con esta condición, deberán rehacer el trabajo.
a= Ȃ=
b= 7, 4 cm Ĉ=
c=
