Trabajo 2 ecuaciones_diferenciales

Universidad Nacional Abierta y a Distancia

Escuela De Ciencias Básicas, Tecnología E Ingeniería

Ecuaciones Diferenciales - 100412_34

ECUACIONES DIFERENCIALES

TRABAJO COLABORATIVO FASE 2

Presentado por: GRUPO: 100412_34

ALDEMAR AUSIQUE RAMIREZ CÒDIGO: 80132927

EDWIN DIDIER AGUDELO GORDILLO CÒDIGO: 80150095

DANIEL ANDRES CARDENAS COD: 80086442

FREDY OSWALDO CALVO COD 80.057.280

Presentado a:

JADIER ESTRADA

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA -UNAD-

BOGOTÁ D.C.

Octubre 2014




INTRODUCCION

Con el desarrollo de las siguiente actividad dejamos evidenciado el trabajo de l grupo propuesto para la solución

de los ejercicios propuestos en la guía y sus diferentes actividades para poder entender y tener la capacidad de

resolver los ejercicios y dar a entender el paso a paso de cada tema que contiene en específico la solución de

cada tema..

OBJETIVOS

Activación del conocimiento y análisis de los elementos propuestos

Investigación, construcción y apropiación de los elementos conceptuales

Socialización de la solución a la situación planteada a partir de los conceptos construidos

Evaluación: reflexión meta cognitiva de la solución planteada al problema propuesto




PRIMERA ACTIVIDAD

1. Indique cuales de las siguientes ecuaciones diferenciales son lineales homogéneas con

coeficientes constantes y cuales son diferenciales lineales no homogéneas y resuélvalas.

a) 𝑦′′ − 10𝑦′ + 25𝑦 = 0 (DANIEL ANDRES CARDENAS)

𝑚2 − 10𝑚 + 25 = 0

= (𝑚 − 5)2

𝑚1 = 𝑚2 = 5

𝑦 = 𝑐1 𝑒5𝑥 + 𝑐2 𝑒5𝑥

Es una ecuación diferencial lineal homogénea con coeficientes constantes.

b) 𝑦′′ − 𝑦′ − 6𝑦 = 0 (DANIEL ANDRES CARDENAS)

𝑚2 − 1𝑚 − 6 = 0

= (𝑚 + 2)(𝑚 − 3)

𝑚1 = 2 𝑚2 = −3

𝑦 = 𝑐1 𝑒2𝑥 + 𝑐2 𝑒−3𝑥

Es una ecuación diferencial lineal homogénea con coeficientes constantes.

c) 𝑦′′′ − 3𝑦′′ + 3𝑦′ − 𝑦 = −𝑥 + 16(FREDY OSWALDO CALVO)( ALDEMAR AUSIQUE)

d)

La ecuación es lineal no homogénea, para hallar su solución primero debemos hallar su solución

homogénea asociada y luego la solución particular.

Remplazamos

𝑟3 − 3𝑟2 + 3𝑟 − 1 = 0

𝑟3 − 1 − 3𝑟(𝑟 − 1) = 0

(𝑟 − 1)(𝑟2 + 𝑟 + 1) − 3𝑟(𝑟 − 1) = 0

(𝑟 − 1)(𝑟 − 1)(𝑟 − 1) = 0




𝑟1 = 1 𝑟2 = 1 𝑟3 = 1

𝑦ℎ = 𝑒𝑥 (𝐶1 + 𝐶2𝑥 + 𝐶3𝑥 2)

𝑦𝑝 = 𝐴0 + 𝐴1𝑥

(𝐴0 + 𝐴1𝑥)′′′ − 3(𝐴0 + 𝐴1𝑥)′′ + 3(𝐴0 + 𝐴1𝑥)′ − (𝐴0 + 𝐴1𝑥) = −𝑥 + 16

(𝐴0 + 𝐴1𝑥)′′′ − 3(𝐴0 + 𝐴1𝑥)′′ + 3(𝐴0 + 𝐴1𝑥)′ − (𝐴0 + 𝐴1𝑥) = −𝑥 + 16

3𝐴1 − 𝐴0 − 𝐴1𝑥 = −𝑥 + 16

3𝐴1 − 𝐴0 = 16

𝐴1 = +1

𝐴0 = −13

𝑦𝑝 = −13 + 𝑥

𝒚𝒈 = 𝒆𝒙(𝑪𝟏 + 𝑪𝟐𝒙 + 𝑪𝟑𝒙𝟐) + (𝒙 − 𝟏𝟑)

a) 𝑦" − 9𝑦 = 54(FREDY OSWALDO CALVO) (ALDEMAR AUSIQUE)

b)

𝑦′′ − 9𝑦 = 54 La ecuación diferencial lineal es no homogénea

La solución de una ecuación lineal no homogénea viene dada

𝑦 = 𝑦𝑐 + 𝑦𝑝 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑦𝑐 : 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑟𝑖𝑎

𝑦𝑝: 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟

Por lo tanto 𝑦𝑐

′′ − 9𝑦𝑐 = 0

𝑟2 − 9 = 0




𝒓 = ±𝟑

Luego: 𝑦𝑐 = 𝐴 𝑒 3𝑥 + 𝐵𝑒−3𝑥

Para determinar la función particular, se procede así:

𝑦𝑝 =54

−9

𝑦𝑝 = −6

Se deduce la solución

𝑦 = 𝐴𝑒3𝑥 + 𝐵𝑒−3𝑥 − 6

c) 𝑦" + 25𝑦 = 6𝑠𝑒𝑛𝑥(ALDEMAR AUSIQUE)

Ecuación Característica

𝑚2 + 25 = 0

𝑚 =0 ± √0 − (4 ∗ 1 ∗ 25)

2 ∗ 1

𝑚 =0 ± √−100

2

𝑚 =0 ± 10𝑖

2

𝑚1 = 5𝑖, 𝑚2 = −5𝑖

𝑦ℎ = 𝑐1 sin 5𝑥 + 𝑐2 cos 5𝑥

Particular

𝑦𝑝 = 𝐴 sin 𝑥 + 𝐵 cos 𝑥

𝑦𝑝′ = −𝐵 sin 𝑥 + 𝐴 cos 𝑥

𝑦𝑝′′ = −𝐴 sin 𝑥 − 𝐵 cos 𝑥

−𝐴 sin 𝑥 − 𝐵 cos 𝑥 + 25(𝐴 sin 𝑥 + 𝐵 cos 𝑥) = 6 sin 𝑥

−𝐴 sin 𝑥 + 25𝐴 sin 𝑥 − 𝐵 cos 𝑥 + 25𝐵 cos 𝑥 = 6 sin 𝑥

24𝐴 sin 𝑥 = 6 sin 𝑥




24𝐵 cos 𝑥 = 0

𝐴 =1

4

𝑦𝑝 =sin 𝑥

4

Solución General

𝑦 = 𝑐1 sin 5𝑥 + 𝑐2 cos 5𝑥 +sin 𝑥

4

Es una ecuación diferencial lineal no homogénea.

2. Demostrar que 𝑥 3 y |𝑥 3| son soluciones linealmente independientes de la siguiente ecuación

diferencial: (DANIEL CARDENAS)

𝑥 2𝑦´´ − 4𝑥𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 6𝑦 = 0 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 − ∞ <

Solución: Realizamos el proceso de derivación

𝑥2𝑦´´ − 4𝑥 𝑦´ + 6𝑦 = 0

Luego entonces 𝑦 = 𝑥3 𝑦´ = 3𝑥2

𝑦´´ = 6𝑥 Reemplazamos:

𝑥2(6𝑥) − 4𝑥(3𝑥2) + 6(𝑥3) = 0

6𝑥3 − 12𝑥3 + 6𝑥3 = 0 0=0 Entonces si x= 0, la derivada de |x|3 no existe.

Ahora comprobamos que |𝑥|3 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑥2𝑦′′ − 4𝑥𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 6𝑦 = 0




|𝑥| = {𝑥 𝑠𝑖 𝑥 > 00 𝑠𝑖 𝑥 = 0

−𝑥 𝑠𝑖 𝑥 < 0

𝐷𝑎𝑑𝑜 𝑥2𝑦′′ − 4𝑥𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 6𝑦 = 0 (1)

𝑎) 𝑝𝑎𝑟𝑎

|𝑥|3 = 𝑥3 𝑠𝑖 𝑥 > 0

𝑦𝑎 𝑠𝑒 ℎ𝑖𝑧𝑜 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑐𝑖ó𝑛

𝑏) 𝑝𝑎𝑟𝑎 |𝑥|3 = 0 𝑠𝑖 𝑥 = 0

𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒

0𝑦′′ − 4(0)𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 6𝑦 = 0

6𝑦 = 0

𝑠𝑒 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑦 = 0 𝑐) 𝑝𝑎𝑟𝑎

|𝑥|3 = −𝑥 3 𝑠𝑖 𝑥 < 0

𝑠𝑒𝑎 𝑦 = −𝑥3

𝑦′ = −3𝑥2

𝑦′′ = −6𝑥

𝑙𝑢𝑒𝑔𝑜 𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑛 (1)

𝑥2(−6𝑥) − 4𝑥(−3𝑥2) + 6(−𝑥3) = 0

−6𝑥3 + 12𝑥3 − 6𝑥3 = 0

𝑠𝑒 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 𝑡𝑎𝑚𝑏𝑖é𝑛 𝑝𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑖𝑔𝑢𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒:




𝑥3𝑦|𝑥|3 𝑠𝑜𝑛 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒

3. Resuelva la ecuación diferencial 𝑦′′ + 𝑦 = 𝑠𝑒𝑐𝑥 por el método de variación de parámetros:

(ALDEMAR AUSIQUE)

𝑦′′ + 𝑦 = 0

𝑟2 + 1 = 0

𝑟2 = −1

𝑟1 = 𝑖 𝑟2 = −𝑖

𝑦ℎ = 𝐶1𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝐶2𝑐𝑜𝑠𝑥

𝑊 = (𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 −𝑠𝑖𝑛𝑥

) = −𝑠𝑖𝑛2 𝑥 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = −1

𝑢1′ =|

0 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑠𝑒𝑐𝑥 −𝑠𝑖𝑛𝑥

|

𝑊=

−𝑠𝑒𝑐𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥

−1= 1

𝑢2′ =|𝑠𝑖𝑛𝑥 0𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑠𝑒𝑐𝑥

|

𝑊=

𝑠𝑒𝑐𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥

−1= −𝑡𝑎𝑛𝑥

Por esto se tiene que:

𝑢1 = ∫ 1 𝑑𝑥 = 𝑥

𝑢2 = ∫ −𝑡𝑎𝑛 𝑥𝑑𝑥 = −𝑙𝑛|𝑠𝑒𝑐𝑥|

𝑦ℎ = 𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥 − 𝑙𝑛|𝑠𝑒𝑐𝑥|𝑐𝑜𝑠𝑥

𝑦𝑔 = 𝐶1𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝐶2𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥 − 𝑙𝑛|𝑠𝑒𝑐𝑥|𝑐𝑜𝑠𝑥




4. Resolver la ecuación diferencial 𝑦′′′ − 5𝑦′′ + 6𝑦′ = 2𝑠𝑖𝑛𝑥 + 8 por el método de coeficientes

indeterminados (ALDEMAR AUSIQUE)

𝑦′′′ − 5𝑦′′ + 6𝑦′ = 0

𝑟3 − 5𝑟2 + 6𝑟 = 0

𝑟(𝑟2 − 5𝑟 + 6) = 0

𝑟(𝑟 − 3)(𝑟 − 2) = 0

𝑟1 = 0 𝑟2 = 3 𝑟3 = 2

Tenemos tres raíces reales, es decir que la solución de la parte homogénea es:

𝑦ℎ = 𝐶1𝑒2𝑥 + 𝐶2𝑒3𝑥 + 𝐶3

𝑦𝑝 = 𝐴𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝐵𝑐𝑜𝑠𝑥

(𝐴𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝐵𝑐𝑜𝑠𝑥)′′′ − 5(𝐴𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝐵𝑐𝑜𝑠𝑥)′′ + 6(𝐴𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝐵𝑐𝑜𝑠𝑥)′ = 2𝑠𝑖𝑛𝑥

−𝐴𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝐵𝑠𝑖𝑛𝑥 − 5(−𝐴𝑠𝑖𝑛𝑥 − 𝐵𝑐𝑜𝑠𝑥) + 6(𝐴𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝐵𝑠𝑖𝑛𝑥) = 2𝑠𝑖𝑛𝑥

𝑠𝑖𝑛𝑥(𝐵 − 6𝐵 + 5𝐴) + 𝑐𝑜𝑠𝑥(−𝐴 + 5𝐵 + 6𝐴) = 2𝑠𝑖𝑛𝑥

−5𝐵 + 5𝐴 = 2 ⇒ 5𝐴 + 5𝐴 = 10𝐴 = 2 ⇒ 𝐴 =1

5

5𝐵 + 5𝐴 = 0 ⇒ 𝐵 = −𝐴 =−1

5

𝑦𝑝 =1

5𝑠𝑖𝑛𝑥 −

1

5𝑐𝑜𝑠𝑥

𝑦𝑝 = 𝐴0




𝑦ℎ = 𝐶1𝑒2𝑥 + 𝐶2𝑒3𝑥 + 𝐶3 +1

5𝑠𝑖𝑛𝑥 −

1

5𝑐𝑜𝑠𝑥 +

4𝑥

3

5. Encontrar un operador diferencial que anule a:(ALDEMAR AUSIQUE)

𝒂. 𝒙𝒆𝒙

𝐷 = (𝑥𝑒𝑥 )

𝐷 = (𝑒𝑥 )

(𝐷 − 𝑎) = (𝑒𝑥 − 1)

(𝐷 − 0) = (𝑒0 − 1)

(𝐷 − 0) = 0

𝐸𝑙 𝑜𝑝𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑒𝑠 (𝐷 − 0)

𝒃. 𝟏 − 𝟓𝒙𝟐 + 𝟖𝒙𝟑

𝐷 = (1 − 5𝑥 2 + 8𝑥 3)

𝐷1 = (−10𝑥 + 24𝑥 2)

𝐷2 = (−10 + 48𝑥)

𝐷3 = (48)

𝐷4 = 0

𝐸𝑙 𝑜𝑝𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑒𝑠 𝐷4

6. Resolver la siguiente ecuación diferencial(ALDEMAR AUSIQUE)

𝒙𝟐𝒚" + 𝒙𝒚′ + 𝒚 = 𝟎

𝑥 𝑚−1 + 𝑥 𝑚 = 0

𝑚2 𝑥 𝑚 + 𝑥 𝑚 = 0

𝑥 𝑚(𝑚2 + 1) = 0

Como x es diferente de 0

𝑚2 + 1 = 0

𝑚 = ±𝑖

𝑥 𝑚 = 𝑒𝑚 ln 𝑥

𝑦 = 𝑐1(cos(ln 𝑥) + 𝑖 sin(ln 𝑥)) + 𝑐2(cos(ln 𝑥) − 𝑖 sin(ln 𝑥))

𝑦 = (𝑐1 + 𝑐2) cos(ln 𝑥) + (𝑐1 − 𝑐2)𝑖 sin(ln 𝑥)

𝑦 = 𝑐1 cos(ln 𝑥) + 𝑐2 sin(ln 𝑥)




CONCLUSIONES

3´´-2xy`+8y=0;y(0)=3,y´(0)=0

Resolver el problema de valor inicial a través del método de series de potencias:

3′ − 2𝑥𝑦′ + 8𝑦 = 0; 𝑦(0) = 3,(0) = 0

Se lanza un cuerpo de masa m hacia arriba de la tierra con velocidad inicial v0. Suponiendo que no hay resistencia del aire, pero tomando en cuenta la variación del campo gravitacional con la altura encontrar la menor velocidad inicial v0 que necesita el cuerpo para que no regrese a la tierra. Esta velocidad inicial v0 se le llama velocidad de escape.




REFERENTES BIBLIOGRÁFICOS

Lecturas UNAD

Campos, B., Chiralt, C. (2011). Ecuaciones diferenciales. Departamento de Matemáticas

Universidad Jaume I. Castellón de la Plana: Publicacions de la Universitat Jaume I. ISBN: 978-

84-693-9777-0 Recuperado de:

http://www.etnassoft.com/biblioteca/fundamentosmatematicos-de-la- ingenieria/

Cuartas, R., (2011). Módulo 4: ecuaciones diferenciales de orden superior. [Videos]. Disponible

en http://aula.tareasplus.com/RobertoCuartas/ECUACIONES-DIFERENCIALES

Cuartas, R., (2011). Módulo 5: aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de orden superior.

[Videos].

Disponible en http://aula.tareasplus.com/RobertoCuartas/ECUACIONES-DIFERENCIALES

Escobar, J. (2004). Ecuaciones diferenciales con aplicaciones en maple. Texto completo en

http://matematicas.udea.edu.co/~jescobar/Franquet, J. (2013).

Ecuaciones diferenciales ordinarias y en diferencias finitas. Texto completo en

http://www.eumed.net/libros-gratis/2014/1367/Zill, D. Cullen, M. (2009).




Ecuaciones Diferenciales con Problemas de Valores en la Frontera. Séptima Edición, México,

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Trabajo 2 ecuaciones_diferenciales