Electromagnetismo II.

Trabajo 2.

Jose Antonio Camargo Caballero

October 28, 2009

1 Introduccion

Las primeras fuentes de magnetismo fueron los imanes permanentes. Un mes despues de que Oerstedanunciara su descubrimiento de que la aguja de una brujula se desviaba por una corriente electricacercana, Jean Baptiste Biot y Felix Savart anunciaron los resultados de sus medidas de la torca en unmagneto colocado cerca de un alambre recto por el que se hacıa circular una corriente; analizaron susresultados en terminos del campo magnetico producido por cada elemento de corriente. Andre MarieAmpere extendio estos experimentos y mostro que los elementos de corriente tambien experiemntan unafuerza en presencia de un campo magnetico y que dos corrientes ejercen fuerzas una sobre la otra.

1.1 Magnetostatica

Imagine un conjunto de cargas moviendose en el espacio. En cualquier punto ~r del espacio y a cualquiertiempo t existira una fuerza de campo electrico ~E(~r, t) y una densidad de flujo magnetico ~B(~r, t) que sedefine como sigue. Si una carga q se mueve a velocidad ~v en (~r, t) en este campo, entonces sufrira unafuerza de Lorentz

~F = q(~E + ~v × ~B).

La fuerza electrica ~Fe = q~E es proporcional a q pero independiente de ~v, mientras que la fuerza magnetica~Fm = q~v × ~B es ortogonal a ~v y a ~B. La fuerza magnetica puede ser generalizada para un alambre deforma arbitraria en un campo magnetico. Si elegimos un elemento diferencial de alambre d~ y escribimosla fuerza magnetica en este segmento como d~Fm, tenemos

d~Fm = Id~× ~B.

Un campo magnetico solo puede existir si hay cargas electricas en movimiento. La magnetostaticaestudia los campos magneticos de corrientes electricas constantes. Ademas asume que la densidad decarga electrica ρ es constante tambien. Por lo tanto ∂ρ

∂t = 0, y dado que ∇ · ~J = −∂ρ∂t =⇒ ∇ · ~J = 0;

ademas asume que no hay materiales magneticos, ni materiales en movimiento en el campo.La fuerza de Coulomb sobre una carga q localizada en ~r debido a una carga q′ que se encuentra en el

origen esta dada por

Fe =1

4πε0qq′

r2~rr,

donde se considero implıcitamente que las dos cargas estaban en reposo. Pero si las cargas se movierancon velocidades constantes ~v y ~v′, respectivamente, existirıa demas una fuerza magnetica ~Fm ejercida porq y q′,

~Fm =µ0

4πqq′

r2~v ×

(~v′ ×

~rr

).

1

Figura 1: Circuito C por el que circula una corriente I y un punto P en su campo. En P , la densidad deflujo magnetico es ~B

Dado que ~Fm = q~v × ~B

=⇒ ~B =µ0

4πq′

r2~v′ ×

~rr.

La fuerza magnetica entre dos cargas es mas compleja que la fuerza electrica, debido a la dependenciacon respecto a la velocidad y los productos cruz. Primero, las semejanzas entre ellas son que ambasfuerzas dependen del producto de las cargas y del inverso del cuadrado de su separacion (ademas de unaconstante dimensional). Sin embargo, la direccion de la fuerza magnetica no es a lo largo de la lınea queune las partıculas (es decir, no es una fuerza central), a menos que ~v sea perpendicular a ~r. La fuerza estasiempre contenida en el plano definido por ~r y ~v′. Ma importante aun, la fuerza es siempre perpendiculara ~v; de ~Fm = q~v × ~B, ~v · ~Fm = 0 para cualquier campo ~B, de modo que una fuerza magnetica nuncaefectua trabajo sobre una partıcula cargada.

Para un par de partıculas dadas~Fm

~Fe

≤~vc

~v′

c.

Es decir, si las velocidades de las partıculas son pequenas comparadas con la velocidad de la luz, lainteraccion magnetica es mucho menor que la interaccion electrica. Debido a que ~Fm � ~Fe, parecerıaque la fuerza magnetica siempre puede despreciarse en comparacion con la electrica, pero hay sistemasde partıculas en los que esto no sucede. En particular, en una corriente de conduccion donde las cargaspositivas y negativas estan presentes con iguales densidades, el campo electrico macroscopico es cero, peroel campo magnetico de las cargas moviles no.

1.2 Densidad de flujo magnetico ~B. La ley de Biot-Savart

Cuando una carga puntual q se mueve con velocidad ~v, produce un campo magnetico en el espacio

~B =µ0

4πq~v × rr2

donde r es un vector unitario que apunta al punto P del campo desde la carga q que se esta moviendo avelocidad ~v, y µ0 es una contante de proporcionalidad llamada permeabilidad del vacıo, que vale exacta-mente

µ0 = 4π × 10−7[T ·m/A] = 4π × 10−7[N/A2].

Como vimos en la seccion anterior, podemos remplazar q~v por el elemento de corriente Id~; haciendolo mismo para el campo magnetico producido por un elemento de corriente, el campo magnetico d~B

2

producido por una elemento de corriente Id~ sera

d~B =µ0

4πId~× rr2

. (1)

El campo magnetico debido a la corriente total en un circuito puede ser calculada utilizando la ecuacion(1) para encontrar el campo debido a cada elemento de corriente y luego sumando (integrando) sobre todoslos elementos de corriente en el circuito. Si el circuito en cuestion se representa con el contorno C, alintegrar la ecuacion (1), tenemos

~B =µ0I

4π

∮C

d~× rr2

. (2)

Este calculo es difıcil casi siempre, con excepcion de los circuitos con geometrıas mas simples. A lasecuaciones (1) y (2) se les conoce como Ley de Biot-Savart.

Se ha asumido que la corriente I fluye por un alambre delgado1. Si la corriente fluye por un volumenfinito, se puede sustituir I por ~JdA, donde ~J es la densidad de corriente en [A/m2] en un punto y dA unelemento de area. Por lo que ~JdAd~= ~JdV y en el punto P ,

~B =µ0

4π

∫V

~J× rr2

dV, (3)

donde V es cualquier volumen que encierra a todas las corrientes y r es la distancia entre el elemento devolumen dV y el punto P . Como pasa con el campo electrico, en ocasiones es conveniente usar el conceptode flujo. El flujo magnetico a traves de una superficie de area A es

Φ =∫A

~B · dA, medida en webers.

La superficie suele ser abierta; si es cerrada, Φ = 0.El principio de superposicion aplica al campo magnetico al igual que al electrico: si existen varias

distribuciones de corriente, entonces el ~B neto es la suma vectorial de los ~Bi individuales.

1.3 Ley de Ampere

Entre 1820 y 1825, Ampere, con una serie de experimentos, llego a una serie de relaciones que describıanla accion de una corriente en otra. Sus extraordinarias investigaciones en este tema fueron publicadosen variados artıculos, siendo el mayor Memoire su la Theorie mathematique des Phenomenes electrody-namiques. Las conclusiones de Ampere se basaron en los siguientes resultados experimentales:

1. La accion de una corriente en otra (o en un elemento de corriente) no cambia en magnitud peroinvierte su direccion cuando la direccion de la corriente es invertida.

2. El efecto de un conductor doblado o retorcido de cualquier manera es equivalente a aquel de unorecto, siempre que sean atravesados por la misma corriente y el doblado se asemeje a uno recto.

3. La accion de un circuito cerrado sobre un elemento de corriente es siempre normal a este.

4. En circuitos similares situados similarmente y atravesados por corrientes iguales, las fuerzas soniguales.

Los resultados de esta serie de experimentos puede generalizarse y expresarse como

~F2 =µ0

4πI1I2

∮1

∮2

d~2 × [d~1 × (~r2 −~r1)]|~r2 −~r1|3

. (4)

3

Figura 2: Interaccion magnetica entre dos circuitos

La fuerza ~F2 es la fuerza ejercida sobre el circuito 2 debido a la influencia del circuito 1; los d~ y los ~r seexplican en la Figura 2. La ecuacion (4) aparentemente viola la tercera ley de Newton, debido a la faltade simetrıa. Sin embargo, puede demostrarse que es realmente simetrica, esto es, que ~F2 = −~F1. Paraello, basta demostrar que se cumple

~F2 = −µ0

4πI1I2

∮1

∮2

~r2 −~r1

|~r2 −~r1|3d~2 · d~1. (5)

Demostracion 1 De la ecuacion (4), podemos hacer el producto vectorial de la integral

∵ ~A× (~B× ~C) = ~B(~A · ~C)− ~C(~A · ~B)d~1 × [d~2 × (~r2 −~r1)] = d~2[d~1 · (~r2 −~r1)]− (~r2 −~r1)(d~1 · d~2)

Ası, tenemos~F2 = −µ0

4πI1I2

∮1

∮2

(~r2 −~r1)|~r2 −~r1|3

d~1 · d~2 +∮

2d~2

∮1∇(

1|~r2 −~r1|

)d~1

Pero dado que la integral de lınea se hace sobre una trayectoria cerrada,∮1∇(

1|~r2 −~r1|3

)d~1 = 0

Ası, obtenemos la expresion buscada

~F2 = −µ0

4πI1I2

∮1

∮2

~r2 −~r1

|~r2 −~r1|3d~2 · d~1.

Bibliografıa

[Lorrain-Corson] Lorrain, P. & Corson, D.R. Electromagnetic Fields and Waves. 3a edicion. W.H. Freemanand Company. New York, EUA, 1988.

[Mason] Mason M. & Weaver W.,The Electromagnetic Field, Dover Publications Inc. Chicago, Illinois,EUA, 1929.

[Reitz-Milford] Reitz J.R., Milford F.J. y Christy R.W. Fundamentos de la Teorıa Electromagnetica. 4a

edicion. Adison-Wesley Iberoamericana.

[Stratton] Stratton, Julius. Electromagnetic Theory.Wiley-Interscience, EUA, 2007.

1Delgado significa en este caso que la seccion transversal del alambre es despreciable comparada con las otras dimensionesinvolucradas

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