Trabajo 3 y 4 Unidad - Calculo Integral

8/16/2019 Trabajo 3 y 4 Unidad - Calculo Integral

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Instituto Tecnológico de Piedras Negras

Nombre: Roberto Alvarado Rodríguez

Materia: Calculo Integral

Trabajo 3 y 4 unidad

Maestro: orge Nagay Aguirre

!"#$%#!$&" PN#Coa'(


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)nidad 3

*reas:

El área es una medida de la extensión de una superfcie, expresada enunidades de medida denominadas superfciales. Para superfcies planas elconcepto es más intuitivo. Cualquier superfcie plana de lados rectospuede triangularse y se puede calcular su área como suma de las áreas dedichos triángulos. Ocasionalmente se usa el término área como sinónimo desuperfcie, cuando no existe con!usión entre el concepto geométrico en s"mismo #superfcie$ y la magnitud métrica asociada al concepto geométrico#área$.

%in em&argo, para calcular el área de superfcies curvas se requiere introducirmétodos de geometr"a di!erencial. Para poder defnir el área de una superfcieen general 'que es un concepto métrico, se tiene que ha&er defnido un tensormétrico so&re la superfcie en cuestión( cuando la superfcie está dentro deun espacio eucl"deo, la superfcie hereda una estructura métrica naturalinducida por la métrica eucl"dea.

).*.* +rea &ao la gráfca de una !unción.

+i , es una ,unción -ue asu.e valores tanto /ositivos co.o negativos sobre 0a1b21entonces la integral de,inida :

no re/resenta el rea bajo la gr,ica de , sobre el intervalo(

l valor de:

http://es.wikipedia.org/wiki/Superficie_(matem%C3%A1tica)http://es.wikipedia.org/wiki/Triangulaci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_diferencial_de_superficieshttp://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_m%C3%A9tricohttp://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_m%C3%A9tricohttp://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_m%C3%A9tricohttp://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_eucl%C3%ADdeohttp://es.wikipedia.org/wiki/Triangulaci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_diferencial_de_superficieshttp://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_m%C3%A9tricohttp://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_m%C3%A9tricohttp://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_m%C3%A9tricohttp://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_eucl%C3%ADdeohttp://es.wikipedia.org/wiki/Superficie_(matem%C3%A1tica)


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/uede inter/retarse co.o el rea neta con signo entre la gr,ica de , y el eje 5 sobre elintervalo 0a1b2(

+u/onga -ue la ,unción y 6 ,758 es continua sobre el intervalo 0a1b2 y -ue , 758 9$ sobre

0a1c8 y -ue , 758 # $ sobre 0c1b2(

l rea total es el rea de la región acotada /or las gr,icas de ,1 el eje 5 y las rectasverticales 56a y 56b(

Para encontrar el rea se e./lea el valor absoluto de la ,unción y6 ; ,758 ;1 -ue no esnegativa /ara toda en 5 en 0a1b2(

Ejemplo:


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).*.- +rea entre las gráfcas de !unciones

l rea bajo la gra,ica de una ,unción continua no negativa y 6 ,758 sobre unintervalo 0a1b2 /uede inter/retarse co.o el rea de la región(

+i , y g son ,unciones continuas sobre un intervalo 0a1b21 entonces el are A de laregión acotada /or sus gra,icas sobre el intervalo est dada /or:

Ejemplo:


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).- ongitud de curvas

Es la medida de la distancia o camino recorrido a lo largo de una curva odimensión lineal. /istóricamente, ha sido di!"cil determinar esta longituden segmentos irregulares0 aunque !ueron usados varios métodos paracurvas espec"fcas, la llegada del cálculo trao consigo la !órmula generalpara o&tener soluciones cerradas para algunos casos.

Ejemplo:


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).) Calculo de vol1menes de solidos de solidos derevolución

?> ? @A+ RANA?A+

)n cilindro recto se de,ine co.o un sólido acotado /or dos regiones /lanascongruentes1 en /lanos /aralelos y una su/er,icie lateral -ue es generada /or unseg.ento de recta /er/endicular a a.bos /lanos y cuyos e5tre.os constituyenlos lí.ites de las regiones /lanas(

+u volu.en B est dado /or la ,ór.ula:

v6 '

donde se denota el rea de una base 7el rea de las regiones /lanas8 y ' denotala altura del cilindro 7la distancia /er/endicular entre las regiones /lanas8(

)na rebanada es la intersección de sólido y un /lano(

Ejemplo:


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?> ? @A+ ARAN?@A+

)na rebanada /er/endicular al eje 5 del solido de revolución en 5D es una circularo anillo anular( Cuando el ele.ento rectangular del anc'o A5D gira alrededor deleje 51 genera una arandela(

l rea del anillo es:

a75D86 rea del circulo E rea del ori,icio

Ejemplo:


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?> ? @>+ CA+CAR>N+

+e denotan res/ectiva.ente los radios interior y e5terior del cascaron1 y ' es sualtura1 entonces su volu.en est dado /or la di,erencia(

Bolu.en del cilindro e5terior E volu.en del cilindro in,erior

Ejemplo:

ncuentre el volu.en del solido -ue se ,or.a al girar en el eje y


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).2 Calculo de centroides(

Definición:

Centroide es lo .is.o si 'ablra.os de Centro de Fravedad o Centro de


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Método de cálculo:

n /ri.er lugar1 se debe identi,icar la ,igura a la cual se le buscara el centroide(

n segundo lugar1 es de ver si la ,igura consta de ,or.as geo.Htricas de,inidas(

?es/uHs se le sacara el rea a cada ,or.a geo.Htrica encontrada( 7n este casose ocu/arn las,ór.ulas de rea del cuadrado1 rectngulo1 triangulo1 circulo1 etcM8

?es/uHs se debe ocu/ar las ecuaciones /ara encontrar el centroide en C y enOC cuyas ,or.ulas son:

C6 7A&&8 7A!!8 M# A&A!M(

OC6 7A&O&8 7A!O!8 M# A&A!M(

ueno las &1 !1 O&1 O! van a de/ender de la ,or.a geo.Htrica de cada reaencontrada1 /or-ue cada ,or.a geo.Htrica tiene su ,ór.ula

EJEMPLO DE COMO ENCON!"! EL CEN!O#DE$

&8 stablece.os los ejes(

!8 Co.o segundo /aso dividi.os la ,igura en reas .s si./les de centroideconocidas y trabaja.os con la .s sencilla(

38 @uego va.os a buscar el eje QO centroidal1 es decir el eje /aralelo al eje QO dere,erencia1 asu.iendo -ue cada rea es la carga y la distancia 5 de sus centroidessu brazo(

48 Sace.os lo .is.o /ara encontrar el eje centroidal Q 'aciendo .o.ento delas reas res/ecto al eje Q de re,erencia(

%8 Oa tene.os el centroide de la ,igura y sus ejes centroidales( n ocasiones co.oesta1 /uede estar ubicado ,uera de la ,igura(


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)nidad 4

%$& 'eries

)na serie es una sucesión de un conjunto de tHr.inos ,or.ados segJn una ley deter.ina(

Por eje./lo: &1411&"1!%

s la su.a indicada de los tHr.inos de una secesión( Así de las sucesiones anterioresobtene.os la serie:

&4&"!%

Cuando el nJ.ero de tHr.inos es li.itado1 se dice -ue la sucesión o serie es ,inita(Cuando el nJ.ero de tHr.inos es ili.itado1 la sucesión o serie de lla.a sucesión in,inita(l tHr.ino general o tHr.ino enHsi.o es una e5/resión -ue indica la ley de ,or.ación delos tHr.inos(

%$&$& 'erie #nfinita

@as series in,initas son a-uellas donde i to.a el valor de absoluta.ente todos losnJ.eros naturales(

+on series de la ,or.a + an 75 E 5$8 nG los nJ.eros reales a$1 a&1 (((( 1 an1 ((( son loscoe,icientes de la serie( +i 5$ 6 $ se obtiene la serie + an( 5n(Co.o toda serie + an 75 E 5$8 n /uede llevarse a la ,or.a + an (5U n 'aciendo 5U 6 5 E 5$Gsolo estudiare.os series de /otencias de este Jlti.o ti/o(+e /resentan tres situaciones /osibles: series -ue convergen sola.ente /ara 5 6 $G series-ue convergen /ara cual-uier nJ.ero real 5 y series -ue convergen /ara algunos valoresde 5 y divergen /ara otros( sto conduce al siguiente:

Teore.a:

+i la serie de /otencias + an (5n converge /ara el valor 5$ V $1 entonces converge en valor

absoluto /ara cual-uier 5 # W 5W 9 W 5$W (


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%$&$( 'erie )inita

+ucesión de nJ.eros tales -ue la /ro/orción entre cual-uier tHr.ino 7-ue no sea el/ri.ero8y el tHr.ino -ue le /recede es una cantidad ,ija lla.ada razón( Por eje./lo1 la secuenciade nJ.eros !1 41 X1 &"1 3!1 "41 &!X es una /rogresión geo.Htrica con razón !G y &1 &1 31 Y11 1 M 7&8 i1 es una /rogresión geo.Htrica con razón &( @a /ri.era es una /rogresión geo.Htrica ,inita con siete tHr.inosG la segunda es una/rogresión geo.Htrica in,inita(

%$( 'erie numérica * con+er,encia$ Prueba de ra-ón * ra.-$

)na secuencia es una lista ordenada de objetos 7o eventos8( Co.o un conjunto1 -uecontiene los .ie.bros 7ta.biHn lla.ados ele.entos o tHr.inos81 y el nJ.ero de tHr.inos7/osible.ente in,inita8 se lla.a la longitud de la secuencia( A di,erencia de un conjunto1 elorden i./orta1 y e5acta.ente los .is.os ele.entos /ueden a/arecer varias veces endi,erentes /osiciones en la secuencia( )na secuencia es una discreta ,unción(

%$/ 'erie de potencias

)na serie de /otencias alrededor de 56$ es una serie de la ,or.a:

)na serie de /otencias alrededor de 56c es una serie de la ,or.a:


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@la.a.os serie de /otencias a toda e5/resión del ti/o

donde s decir

s interesante saber cules son los valores de 5 Z R /ara los -ue lasres/ectivas series ,uncionales se convierten en series nu.Hricas convergentes(

%$0 'erie de a*lor

+i la ,unción , y sus /ri.eras n& derivadas son continuas1 en un intervalo -uecontiene a y 51 entonces el valor de la ,unción est dado /or:

Con ,recuencia es conveniente si./li,icar la serie de Taylor de,iniendo un /aso ' 6 5i& E5i e5/resando la serie de Taylor co.o:

http://2.bp.blogspot.com/-rhrN0l0st5s/T_0XOpDrlXI/AAAAAAAAAuw/10yPlNQGlrA/s1600/Imagen48.jpghttp://2.bp.blogspot.com/-rhrN0l0st5s/T_0XOpDrlXI/AAAAAAAAAuw/10yPlNQGlrA/s1600/Imagen48.jpg


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)so de la e5/ansión en serie de Taylor /ara a/ro5i.ar una ,unción con un nJ.ero in,initode derivadas(

%$1 !epresentación de funciones mediante serie de a*lor

+i la ,unción , y sus /ri.eras n& derivadas son continuas en un intervalo -ue contienea 7a8 y 7581 entonces el valor de la ,unción en un /unto 5 est dado /or:5isten series de Taylor /ara: [unción e5/onencial y ,unción Coseno(

[unción e(+e /uede a/licar la ecuación de las series de Taylor co.o .s sencillo le resulte a cada-uien1 una de tantas ,or.as la e5/licare a-uí(@o /ri.ero -ue se 'ace es derivar unas 3 o 4 veces la ,unción1 esto /or-ue algunas,unciones e./iezan a tener un /atrón re/etitivo des/uHs de cierto nJ.ero dederivaciones1 co.o la ,unción e(?es/uHs se tiene -ue sustituir \a\ en cada una de las derivadas1 /ero co.o se decidió -ue\a\ era $ se sustituye un $ en cada derivada y se observa -ue resultados da( ,7586e758(((( ,7o86&

%$1$ !epresentación de funciones mediante la serie de a*lor


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n .ate.ticas1 una serie de Taylor de una ,unción ,758 in,inita.ente derivable 7real oco./leja8 de,inida en un intervalo abierto 7aEr1 ar8(

+i esta serie converge /ara todo 5 /erteneciente al intervalo 7aEr1 ar8 y la su.a es igual a,7581 entonces la ,unción ,758 se lla.a analítica( Para co./robar si la serie converge a ,7581

se suele utilizar una esti.ación del resto del teore.a de Taylor( )na ,unción es analítica siy solo si se /uede re/resentar con una serie de /otenciasG los coe,icientes de esa serieson necesaria.ente los deter.inados en la ,ór.ula de la serie de Taylor( +i a 6 $1 a laserie se le lla.a serie de

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