MÉTODOS NUMÉRICOS PARA SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

Ruiz Pérez NorbertoInstituto Politécnico Nacional

Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica Unidad ZacatencoDepartamento de ingeniería eléctrica

Distrito Federal, México.ruizbeto11@hotmail.com

I. INTRODUCCIÓN

Los sistemas de ecuaciones lineales se utilizan para

resolver muchos problemas de la ciencia y la ingeniería.

La solución numérica de dichos sistemas la forman una

gran variedad de algoritmos, como eliminación de Gauss,

Gauss-Jordan, Gauss-Seidel, Montante, Jacobi, Lu y

Cholesky entre otros, que de una manera u otra resuelven

el sistema de ecuaciones lineales (si tiene solución). Sin

embargo, cuando se trata de problemas muy complejos en

donde intervienen muchas ecuaciones, se requiere de

muchas operaciones aritméticas que pueden provocar caer

en el tedio y el aburrimiento por tanto cálculo, entonces,

debe emplearse una alternativa para el aprendizaje.

Actualmente, los Métodos Numéricos tienen auge con la

llegada de las computadoras y en especial para resolver

sistemas de ecuaciones lineales que requieren cálculos

matemáticos extremadamente complejos.

1. Sistemas de ecuaciones lineales

Por sistema de ecuaciones lineales se entiende un conjunto de

ecuaciones que deben resolverse simultáneamente y que

presentan la siguiente estructura:

Este sistema de M ecuaciones algebraicas lineales con N

incógnitas puede escribirse en forma matricial como:

AM x N X B

Dónde:

La matriz de coeficientes A se llama matriz del sistema. La

matriz formada por A, a la que se le ha agregado el vector de

términos independientes B como última columna, se le llama

la matriz ampliada o matriz aumentada del sistema de

ecuaciones, que se representa por [A | B] y X es el vector de

incógnitas.

2. Método de gauss-jordan

Este método debe su nombre a Carl Friedrich Gauss y a

Wilhelm jordan. Se trata de una serie de algoritmos del

algebra lineal para determinar los resultados de un sistema de

ecuaciones lineales y así hallar matrices e inversas. El sistema

de Gauss se utiliza para resolver un sistema de ecuaciones y

obtener las soluciones por medio de la reducción del sistema

dado a otro que sea equivalente en el cual cada una de las

ecuaciones tendrá una incógnita menos que la anterior. La

matriz que resulta de este proceso lleva el nombre que se

conoce como forma escalonada.

Este método, permite resolver hasta 20 ecuaciones

simultáneas. Lo que lo diferencia del método Gaussiano es

que cuando es eliminada una incógnita, se eliminará de todas

las ecuaciones restantes, o sea, las que anteceden a la ecuación

principal así como de las que la siguen a continuación. De esta

manera el paso de eliminación forma una matriz identidad en

vez de una matriz triangular. No es necesario entonces utilizar

la sustitución hacia atrás para conseguir la solución.

Para resolver sistemas de ecuaciones lineales con el método

Gauss Jordan, debemos en primer lugar anotar los coeficientes

de las variables del sistema de ecuaciones lineales con la

notación matricial, por ejemplo:

También se le llama matriz aumentada.

Luego de realizado lo anterior procederemos a transformar

dicha matriz en una matriz identidad, o sea una matriz

equivalente a la inicial, de la forma

Logramos esto aplicando a las distintas columnas y filas de las

matrices, restas, sumas, multiplicaciones y divisiones.

Debemos tener en cuenta que las operaciones utilizadas se

aplicarán en todos los elementos de la fila.

En dicha matriz identidad no vemos los términos

independientes. Esto sucede ya que cuando la matriz original

alcance la matriz identidad, los términos serán la solución del

sistema y verificarán la igualdad para cada variable que se

corresponderán de la forma siguiente:

• d1 = x

• d2 = y

• d3 = z

Ahora teniendo clara esta base, analicemos

detalladamente este método con un ejemplo concreto.

Sea el siguiente sistema de ecuaciones:

Aplicaremos luego el primer paso, o sea que lo

anotaremos en forma matricial:

Realizado lo anterior, podemos operar con las distintas

columnas y filas de la matriz para así convertirla en la

matriz identidad, sin olvidar la forma del sistema:

Ahora debemos transformar el 2 de la primera fila de la

matriz original en el 1 de la primera fila de matriz

identidad. Para realizar este paso multiplicamos toda la

fila 1 por el inverso de 2, o sea ½. Veamos cómo nos

queda:

A continuación debemos obtener los dos ceros de la

primera columna de la matriz identidad. Para lograrlo

buscaremos el opuesto de los números que se encuentren

por debajo del 1 de la primera columna. El opuesto de 3

será -3 y el de 5 -5. Hecho esto multiplicaremos los

opuestos de estos números por cada uno de los elementos

de la fila primera y estos se adicionarán a los números de

sus respectivas columnas Por ejemplo en el caso de la

segunda fila, se multiplicará a -3 que es el opuesto de 3,

por cada uno de los elementos de la primera fila y se

añadirá el resultado con el número correspondiente de la

columna de la segunda fila. Veamos el ejemplo:

A medida que realicemos este procedimiento operando

con las distintas filas y columnas de la matriz,

observaremos como esta se transforma en el modelo de la

matriz identidad. Finalizado el proceso, encontraremos

finalmente en la cuarta columna los valores de las

variables. Veamos entonces como nos quedaría:

3. Método de gauss-seidel

Este método se basa en la aproximación iterativa

propuesta por Seidel en 1874 (Academia de Ciencias de

Munich). Para la aplicación al problema del flujo de

potencia, las ecuaciones de nodo y condiciones de

contorno se combinan, para el nodo k:

De donde se puede expresar la tensión Vk como:

La ecuación anterior es el corazón del algoritmo iterativo. La iteración comienza con una estimación de las magnitudes y ángulos de todas las barras del sistema, y se van recalculando las tensiones utilizando los mejores valores disponibles. Esto es, para calcular la tensión Vk se utilizan los V1...k-1 ya actualizados, y los Vk...n del paso anterior. El método tiene una convergencia extremadamente lenta pero segura (excepto para problemas mal condicionados, o sin convergencia posible.El método de Gauss-Seidel es un refinamiento del método de Jacobi que generalmente (pero no siempre) converge más rápido. El último valor de cada variable es sustituido en cada paso en el proceso iterativo. El método de Gauss-Seidel, es un método iterativo y por lo mismo, resulta ser un método bastante eficiente. A continuación se presenta un sistema de ecuaciones: 

De la ecuación 1 se despeja 1x , de la ecuación 2 despeja

2x , …, de la ecuación n se despeja nx. Resolviendo lo

anterior se obtiene el siguiente conjunto de ecuaciones: 

Este último conjunto de ecuaciones son las que forman las fórmulas iterativas. Para comenzar el proceso iterativo, le se le asigna el valor de cero a las variables

nxx ,,2 ; esto dará un primer valor para 1x . Más

precisamente, se tiene que: 

A continuación, se sustituye este valor de x2 en la

ecuación 2, y las variables x3 , .. . , xn siguen teniendo el

valor de cero. Esto nos da el siguiente valor para x2 :

Estos últimos valores de 1x y x2 , se sustituyen en la

ecuación 3, mientras que x4 ,. . ., xn siguen teniendo el

valor de cero; y así sucesivamente hasta llegar a la última

ecuación. Todo este paso, darán una lista de primeros

valores para las incógnitas, la cual conforma el primer

paso en el proceso iterativo. Digamos que se tiene: 

Se repite el proceso, pero ahora sustituyendo estos últimos datos en vez de ceros como al inicio, se obtendrá una segunda lista de valores para cada una de las incógnitas. Por lo tanto ahora se tiene: 

En este momento, se puede calcular los errores aproximados relativos, respecto a cada una de las incógnitas. Así, se tiene la lista de errores como sigue:

El proceso se vuelve a repetir hasta que: 

donde

∈s

es una cota suficiente prefijada. 

Criterio de Convergencia para el método de Gauss-Seidel

El método de Gauss-Seidel surgio como una modificación del método de Jacobi que acelera la convergencia de éste.El método de Gauss-Seidel recorta sustancialmente el número de iteraciones a realizar para obtener una cierta precisión en la solución. Evidentemente los criterios de convergencia son similares a los de Jacobi.

Este criterio no solo se aplica a las ecuaciones lineales que se resuelven con el método de Gauss-Seidel sino también para el método iterativo del punto fijo y el método de jacobi. Por tanto, al aplicar este criterio sobre las ecuaciones de Gauss-Seidel y evaluando con respecto a cada una de las incógnitas, obtenemos la expresión siguiente:

El valor absoluto de las pendientes en la ecuación, deben ser menor que la unidad para asegurar la convergencia.

Es decir, el elemento diagonal debe ser mayor que el elemento fuera de la diagonal para cada reglón de ecuaciones. La generalización del criterio anterior para un sistema de n ecuaciones es:

El método de Gauss-Seidel está basado en el concepto de punto fijo, es decir ( xi = gi (x), i = 1.. n), para resolver sistemas de ecuaciones lineales.Para garantizar la convergencia se debe de cumplir que el sistema tenga una diagonal dominante, es decir que se cumpla la desigualdad siguiente, si se cambió el orden de las ecuaciones esta puede divergir.

|a12

a11

|<1|a21

a22

|<1

|a11|>|a12||a22|>|a21|

|aii|>∑j=1j≠i

n

|ai , j|

¿ j≠i ¿¿¿n¿¿