REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAMINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSA

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA DE LA FUERZA ARMADA BOLIVARIANA

UNEFA – NÚCLEO DELTA AMACUROEXTENSIÓN TUCUPITA

PROFESORA: BACHILLERES:Carrizales Elizabeth

Glendys Mata Guillarte RafaelQuiñones noreannysRodríguez Luis DanielUrbaez Yafrannis

Ing. Civil 6º Semestre Sección A

DICIEMBRE 2014

ÍNDICE

Pág.

Introducción……………...……………………………………………………. 3

Método de los desplazamientos:……………………...……………………. 4

Indeterminación geométrica y grados de libertad…...................... 5 Sistemas de coordenadas…………………………………………... 8 Restricciones en los miembros: Rigidez axial infinita, rigidez a

flexión infinita………………………………………………………….. 9

Grados de libertad para sistemas formados por miembros sin restricciones…………………………………………………………… 10

Ecuaciones de rotación para miembros de eje recto……………. 11 Coeficientes de rigidez………………………………………………. 12 Formulación del método de las rotaciones………………………... 12 Aplicaciones a sistemas planos……………………………………. 13 Conclusión…………………………………………………………….. 14

Bibliografía ……………………………………………………………. 15

INTRODUCCIÓN

El estudio de los métodos clásicos es necesario para comprender el

comportamiento de los distintos tipos de estructuras que se tienen. Sin

embargo en el momento de analizar grandes estructuras la aplicación de

dichos métodos a mano se hace engorrosa y difícil.

El Método de las Fuerzas y el de los Desplazamientos constituyen los dos

grandes métodos del Análisis Estructural. La resolución de estructuras por el

primero de ellos normalmente se restringe a aplicaciones manuales con

pocas incógnitas. Precisamente, el número de estas está asociado al de los

vínculos en exceso con que cuenta la estructura respecto de los necesarios

para permanecer estable, y se lo conoce como “grado de indeterminación

estática”.

En este caso analizaremos el método de los desplazamientos que es el

método es el mas utilizado para la resolución de estructuras indeterminadas

en el campo de Ingeniería Civil, y abarca un grupo de métodos como son: el

método de las rotaciones, el método de Cross, el método de Las Juntas, el

método de Kani, el método de Rigidez, entre otros. En estos métodos se

aplican las denominadas Ecuaciones de Rotación que veremos más

adelante.

I. MÉTODO DE LOS DESPLAZAMIENTOS

El método de los desplazamientos se ocupa del análisis de las estructuras indeterminadas geométricamente; para ello utiliza las ecuaciones de equilibrio estático, teniendo como incógnitas los desplazamientos. El número de desplazamientos incógnitas es igual a la indeterminación geométrica que posee la estructura. Esta indeterminación geométrica depende a su vez si se consideran o no las deformaciones por fuerza axial respectivamente.

En este método se obtiene, primero, una estructura modificada, bloqueando los desplazamientos de todos los nudos que son fáciles de analizar. Luego, se superponen otras soluciones complementarias para determinar los verdaderos desplazamientos que ocurren en los nudos. El número de ecuaciones a resolver es igual al número del grado de indeterminación cinemática. Primero se aplica el principio de compatibilidad y luego el de equilibrio.

Los pasos generales que pueden usarse para analizar una estructura por el método de la rigidez son:

1. Identificar la estructura, numerar los nudos y determinar la orientación de los elementos.

2. Calcular los términos de las matrices de rigidez de los miembros, referidas a coordenadas generales.

3. Ensamblar la matriz de rigidez de la estructura, reordenándola para que queden separadas de una vez las fuerzas en los nudos libres y las reacciones de los apoyos.

4. Partir la matriz ensamblada y calcular los desplazamientos desconocidos.

5. Calcular las reacciones y verificar el equilibrio general de la estructura.

6. Calcular las fuerzas internas utilizando las matrices individuales y verificar, finalmente, el equilibrio de los nudos.

II. INDETERMINACIÓN GEOMÉTRICA Y GRADOS DE LIBERTAD

INDETERMINACION GEOMÉTRICA

Las estructuras, en cuanto concierne a su comportamiento estático, pueden clasificarse como estables e inestables. Las estructuras estables son aquellas capaces de soportar un sistema general de cargas cuyos valores tienen un límite de manera que no ocurra la falla por deformación excesiva. Las estructuras inestables por el contrario, no pueden sostener cargas a menos que estas sean de una naturaleza especial. Las estructuras estables pueden ser estáticamente determinadas o estáticamente indeterminadas también denominadas estructuras hiperestáticas, dependiendo de si las ecuaciones de equilibrio son por si solas suficientes para determinar tanto las

reacciones como las fuerzas internas. Si son suficientes, la estructura se clasifica simplemente como determinada; de lo contrario como indeterminada, la cual puede ser también externamente e internamente indeterminada. Si el número de las componentes de las reacciones es mayor que el número de ecuaciones independientes de equilibrio, se dice que la estructura es externamente indeterminada. Sin embargo, si algunas fuerzas internas del sistema no pueden determinarse por estática a pesar de que todas las reacciones sean conocidas, entonces la estructura se clasifica como internamente indeterminada. En cualquiera de los casos, su análisis depende de las propiedades físicas y geométricas, es decir, momentos de inercia, área y módulo de elasticidad de sus elementos.

La indeterminación implica restricciones o elementos adicionales a los mínimos requeridos para la estabilidad estática del sistema. A estas cantidades en exceso (reacciones o fuerzas internas en los elementos) se las denomina como redundantes, y su número representa el grado de indeterminación de la estructura. Consideremos por ejemplo, Las estructuras mostradas en las figuras 1.2-1, 1.2-2, 1.2-3, 1.2-4 y 1.2-5.

La estructura mostrada en la figura 1.2-1 es obviamente inestable debido a la falta de sujeción para prevenir el movimiento, mientras que en la figura 1.2-2 aunque exista un número adecuado de restricciones en los soportes su arreglo o distribución puede ser de tal forma que no pueda resistir el movimiento provocado por una carga arbitrariamente aplicada.

Figura 1.2-1 Estructura inestable debido a la carencia de soporte

Figura 1.2-2 Estructura inestable debido a la disposición de los apoyosFigura 1.2-3 Estructura estable Figura 1.2-4 Estructura externamente indeterminada Figura 1.2-5 Estructura internamente indeterminada

En resumen, el grado de indeterminación de una estructura es el número de componentes de las reacciones y fuerzas internas desconocidas que sobrepasan al número de ecuaciones de condición para el equilibrio estático.

GRADOS DE LIBERTAD

Se define como el número total de desplazamientos desconocidos en los nudos de la estructura. Como máximo un nudo pude tener seis desplazamientos desconocidos, tres rotacionales y tres lineales en los marcos rígidos tridimensionales; dos rotacionales y uno lineal en los reticulados o entramados; dos lineales y uno rotacional en los sistemas rígidos planos; dos y tres lineales en cerchas bi y tridimensionales. El grado de libertad puede determinarse, entonces, contando únicamente los desplazamientos desconocidos en los nudos.

El grado de libertad, por otra parte lo podemos extender la definición de grados de libertad a sistemas mecánicos que no tienen capacidad de moverse, llamados estructuras fijas. En el caso particular de estructuras de barras en d dimensiones, si n es el número de barras y existen m restricciones (uniones entre barras o apoyos) que eliminan cada una ri grados de libertad de movimiento; definimos el número de grados de libertad aparentes como:

GL: Grados de libertad del mecanismo.n: Número de elementos de barras de la estructura.ri: Número de grados de libertad eliminados por la restricción

En función de la anterior suma algebraica podemos hacer una clasificación de los sistemas mecánicos formados a base de barras:

Estructuras hiperestáticas, cuando GL < 0.Estructuras isostáticas, cuando GL = 0.Mecanismos, cuando GL > 0.

En resumen, el grado de indeterminación de una estructura es el número de componentes de las reacciones y fuerzas internas desconocidas que sobrepasan al número de ecuaciones de condición para el equilibrio estático. El grado de libertad es el número total de componentes de las deflexiones desconocidas de los nudos libres. Aunque estas dos cantidades se usan algunas veces para seleccionar el método matricial más adecuado para el análisis de una estructura dada, ninguno de los métodos matriciales hace discusión entre las estructuras determinadas e indeterminadas. Estos dos conceptos están involucrados en los métodos de tal modo que ni el Método de Flexibilidad ni el de

Rigidez alteran su curso o se modifican porque la estructura sea o no determinada. El grado de indeterminación o el grado de libertad determinan, respectivamente, el orden en que deben ser invertidas las matrices de flexibilidad y de rigidez. Considerando que la mayor parte del tiempo de análisis se gasta en la inversión (o solución) de estas matrices, el grado de libertad o de indeterminación puede usarse como un factor para la selección del Método de Análisis; fuera de lo cual no sirven para otro propósito.

III. SISTEMAS DE COORDENADAS

Tanto la estructura como cada uno de sus elementos se estudian respecto a un sistema de coordenadas ortogonales, cartesianas y de mano derecha.

Coordenadas globales: Son llamadas también coordenadas estructurales o de la estructura. Se denomina así debido a que respecto a estas se refieren todos los datos de la estructura en su conjunto, tales la posición de los nudos, las cargas que actúan sobre ellos, sus desplazamientos y las reacciones de los apoyos.

Coordenadas locales: Son llamadas también coordenadas particulares o del elemento. Se denominan así debido a que respecto a éstas se referencian todas las propiedades de los elementos, como las dimensiones y momentos de inercia, al igual que las cargas aplicadas sobre los mismos y las fuerzas internas a que se ven sometidos. Se definen colocando el eje x a lo largo del eje centroidal del elemento, colocando el origen del mismo en el nodo inicial. Los demás ejes (y, z) se definen teniendo en cuenta la ortogonalidad de los mismos. Con estas coordenadas queda definida la orientación de los elementos estructural.

Transformación de coordenadas: Cuando los miembros de una estructura están orientados en direcciones diferentes es necesario transformar las relaciones de rigidez de cada miembro, del sistema de coordenadas locales del mismo, hacia una sistema común de coordenadas globales. Luego se combinan las relaciones de rigidez de los miembros así obtenidas a fin de establecer las relaciones de rigidez para la estructura completa.

Dependiendo del tipo de elemento estructural, se obtendrá una matriz de transformación diferente.

IV. RESTRICCIONES EN LOS MIEMBROS: RIGIDEZ AXIAL INFINITA,

RIGIDEZ A FLEXIÓN INFINITA

RIGIDEZ AXIAL INFINITA

La rigidez axial de un prisma o barra recta, como por ejemplo una viga o un pilar es una medida de su capacidad para resistir intentos de alargamiento o acortamiento por la aplicación de cargas según su eje. En este caso la rigidez depende sólo del área de la sección transversal (A), el módulo de Young del material de la barra (E) y la longitud de la siguiente manera:

Un miembro cualquiera se considera infinitamente rígido axialmente, cuando es indeformable en la dirección de su eje longitudinal, ello equivale a establecer que no cambia de longitud, es decir:

Δl = uj – ui = 0 ui = uj, con lo cual el número de grados de libertad del miembro ij se ha reducido a cinco, y son:

RIGIDEZ A FLEXIÓN INFINITA

La rigidez flexional de una barra recta es la relación entre el momento flector aplicado en uno de sus extremos y el ángulo girado por ese extremo al deformarse cuando la barra está empotrada en el otro extremo. Para barras rectas de sección uniforme existen dos coeficientes de rigidez según el momento flector esté dirigido según una u otra dirección principal de inercia. Esta rigidez viene dada:

Donde  son los segundos momentos de área de la sección transversal de la barra.

Por otra parte tenemos también Rigidez flexional

Para una placa delgada (modelo de Love-Kircchoff) de espesor constante la única rigidez relevante es la que da cuenta de las deformaciones provocadas por la flexión bajo carga perpendicular a la placa. Esta rigidez se conoce como rigidez flexional de placas y viene dada por:

Donde: h espesor de la placa, E módulo de Young del material de la placa y ν coeficiente de Poisson del material de la placa.

V. GRADOS DE LIBERTAD PARA SISTEMAS FORMADOS POR

MIEMBROS SIN RESTRICCIONES

Un cuerpo aislado puede desplazarse libremente en un movimiento que se puede descomponer en 3 rotaciones y 3 traslaciones geométricas independientes (traslaciones y rotaciones respecto de ejes fijos en las 3 direcciones de una base referida a nuestro espacio de tres dimensiones).

Para un cuerpo unido mecánicamente a otros cuerpos (mediante pares cinemáticos), algunos de estos movimientos elementales desaparecen. Se conocen como grados de libertad los movimientos independientes que permanecen.

Más concretamente, los grados de libertad en un sistema libre sin estricciones son el número mínimo de velocidades generalizadas independientes necesarias para definir el estado cinemáticos de un mecanismo o sistema mecánico. El número de grados de libertad coincide con el número de ecuaciones necesarias para describir el movimiento. En caso de ser un sistema holónomo, coinciden los grados de libertad con las coordenadas independientes.

En mecánica clásica y lagrangiana, la dimensión d del espacio de configuración es igual a dos veces el número de grados de libertad GL, d = 2·GL.

VI. ECUACIONES DE ROTACIÓN PARA MIEMBROS DE EJE RECTO

VII. COEFICIENTES DE RIGIDEZ

Los coeficientes de rigidez son magnitudes físicas que cuantifican la rigidez de un elemento resistente bajo diversas configuraciones de carga. Normalmente las rigideces se calculan como la razón entre una fuerza aplicada y el desplazamiento obtenido por la aplicación de esa fuerza.

El comportamiento elástico de una barra sometida a pequeñas deformaciones está determinado por ocho coeficientes elásticos. Estos coeficientes elásticos o rigideces depende de:

La sección transversal, cuanto más gruesa sea la sección más fuerza será necesaria para deformarla.

El material del que esté fabricada la barra, si se fabrican dos barras de idénticas dimensiones geométricas, pero siendo una de acero y la otra de plástico la primera es más rígida porque el material tiene mayor Módulo De Young (E).

La longitud de la barra elástica (L), fijadas las fuerzas sobre una barra estas producen deformaciones proporcionales a las fuerzas y a las dimensiones geométricas. Como los desplazamientos, acortamientos o alargamientos son proporcionales al producto de deformaciones por la longitud de la barra entre dos barras de la misma sección transversal y fabricada del mismo material, la barra más larga sufrirá mayores desplazamientos y alargamientos, y por tanto mostrará menor resistencia absoluta a los cambios en las dimensiones.

VIII. FORMULACIÓN DEL MÉTODO DE LAS ROTACIONES

Existen dos métodos de rotaciones el método de rotaciones

ortogonales y el método de rotaciones oblicuas. Estos métodos se

fundamentan en el principio de la estructura simple y en ninguno de ellos la

rotación afecta a la bondad de ajuste de la solución factorial, pues aunque

cambie la matriz factorial, las comunalidades permanecen inalteradas. Sin

embargo, esta puede cambiar dependiendo del método seleccionado.

IX. APLICACIONES A SISTEMAS PLANOS

CONCLUSIÓN

En base a lo anterior, se puede resumir que la respuesta de una

estructura frente a acciones exteriores que perturban su estado inicial,

quedará expresada a partir del conocimiento de las fuerzas que la solicitan y

los desplazamientos asociados a ellas. Entre ambos existe una perfecta

correspondencia, al punto tal que conocidas las fuerzas será factible

determinar los desplazamientos y viceversa. Esta íntima relación ha dado

origen a los grandes métodos del análisis estructural, en este caso de los

Desplazamientos.

Además analizado profundamente del concepto de indeterminación

cinemática en estructuras, particularizándolo de modo especial a las

estructuras lineales o de barras. Para ellas se presentaron fórmulas

generales que permiten sistematizar la evaluación de los grados de libertad

según se trate de sistemas de alma llena, reticulados o mixtos, tanto en sus

disposiciones planas como espaciales. Dichas fórmulas se acompañaron con

ejemplos que validan su aplicación.

El método de diseño por desplazamientos es más racional desde el

punto de vista del comportamiento estructural. Esto implica un control de los

daños y de las demandas de ductilidades.Se destaca que con este método

se pueden alcanzar valores más reales del factor de sobre resistencia y con

ello optimizar el empleo de los recursos económicos en la inversión de la

construcción. Si bien en el presente trabajo se obtuvieron volúmenes de

armaduras similares, se podría haber obtenido un ahorro mucho mayor en el

método de desplazamiento si se hubiera completado el proceso iterativo de

convergencia al factor de sobre resistencia definitivo

BIBLIOGRAFIA

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=M%C3%A9todo_matricial_de_la_rigidez&action=edit

www.wikipedia.com