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TRABAJO DE ALGEBRA MOMENTO 2II PERIODO 2015 TEMAS VECTORES ALGEBRA LINEAL EJERCICIOS COMPLETOS
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TRABAJO COLABORATIVO FASE 1
GRUPO: 100408 _215
DIANA LUZ VILLADIEGO CAUSIL
CODIGO: 22494199
PRESENTADO AL TUTOR:
MANUEL ALEJANDRO GUTIERREZ
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD
ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA
ALGEBRA LINEAL
SEPTIEBRE DE 2015
INTRODUCCION
Este trabajo nos permite analizar y resolver los ejercicios de la primera unidad, para
obtener los conocimientos adquiridos y crear participación con los compañeros del
grupo, buscando la interacción de todos los integrantes del grupo y ver los diferentes
puntos de vista, utilizando la metodología y procedimientos explicados en el material
de estudio y así finiquitar el trabajo con éxito y el llevar a cabo el curso
satisfactoriamente.
OBJETIVOS
Adquirir y afianzar lo aprendido a los conocimientos propios a través de éste
estudio, permitiendo el debido desarrollo intelectual de cada una.
Una comunicación abierta e interiorizada nos lleva a comprender ésta unidad
para poder aplicarla en un futuro, utilizando las teorías y definiciones que
soportan este curso académico.
Realizar todos los ejercicios y responder en el foro respectivo cualquier
inquietud que esté a nuestro alcance, para el debido interés en el desarrollo
del trabajo.
Resolver los cinco problemas que se presentan a continuación, describiendo el
proceso paso por paso:
1. Dados los siguientes vectores dados en forma polar:
a. 0225;5 u
b. 060;3 v
Realice las siguientes operaciones
1.1 2�⃗� − 6𝑣
1.2 𝑣 − �⃗�
1.3 6𝑣 − 7�⃗�
Solución
Tenemos que |�⃗� | = 5 , 𝜃 = 225º 𝑦 |𝑣 | = 3 , 𝜃 = 60º
Sabemos que un vector A= (X ,Y) |𝐴| √𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟 y su forma en polar de
cada componente es x= r cos 𝜃 y y= r sen 𝜃
Así |�⃗� | = 𝑡 = 5, 𝜃 = 225º 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑥𝑢 = 5 cos 225
yu= 5 sen 225º cos 225º = −√2
2 ; 𝑠𝑒𝑛 225 =
−√2
2
Entonces Xu=5 (−√2
2) =
−5√2
2 , 𝑌𝑢 = 5 (
−√2
2) =
−5√2
2
Por lo tanto �⃗� = (−5√2
2, −
−5√2
2 )
Veamos con el vector 𝑣 , |𝑣 | = 𝑟 = 3, 𝜃 = 60º
Xv= rcos60º y Yv= r sen 60 Xv= 3 cos 60º = 3 1
2 =
3
2
Yv= r sen 60º = 3 √3
2= 3
√3
2 , asi 𝑣 = ( Xv, Yv) = (
3
2 ,
3√3
2)
Sabiendo que �⃗� = (−5 √2
2 ,
−5 √2
2 ) 𝑦 �⃗� = (
3
2 ,
3 √3
2 )
Realizamos los ejercicios
Solución
1.1 2�⃗� − 6𝑣 = (−5 √2
2 ,
−5 √2
2 ) − (
3
2 ,
3 √3
2 )
= (2.−5 √2
2 , 2.
−5 √2
2 ) − (63 .
3
21 , 63.
3 √3
21 )
= (−5√2 , −5√2) − ( 9, 9√3 )
Restemos componente a componente
= (−5√2 − 9 , −5√2 , 9√3 )
≈ (-16, 07, -22, 66)= 𝑟∗
Ahora con este nuevo vector hallemos su forma polar
|𝑟∗| = √(−16, 07)2 + (−22, 66)2 = √258, 24 + 513, 47
≈ √771 , 71
|𝑟∗| ≈ 27, 8
tan 𝜃∗ = 𝑦
𝑥 → tan 𝜃 = (
−22,66
−16,07) → tan 𝜃 = (
22,66
16,07)
𝜃 = 𝑎𝑟𝑐 tan(1,41) → 𝜃 ≈ 54º, 66`
Para terminar 22�⃗� − 6𝑣 = 𝑟∗ , 𝑐𝑜𝑛 =
|𝑟∗| = 27,8 , 𝜃 = 54º, 66`
(1.2) �⃗� − �⃗⃗� , �⃗⃗� =
(−5 √2
2 ,
−5 √2
2 ) , �⃗� (
3
2 ,
3 √3
2 )
�⃗� − �⃗⃗� = (3
2− (
−5 √2
2) ,
3 √3
2 − (
−5 √2
2))
= (3
2+
5 √2
2 ,
3 √3
2−
5 √2
2)
= (3+5 √2
2 ,
3√3+5√2
2 )
≈ ( 5, 6) = �⃗⃗�
�⃗⃗� = √52 + 62 = √25 + 36 = √61 ≈ 7,8
𝜃 = 𝑎𝑟𝑐 tan𝑦
𝑥→ , 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐 tan (
6
5)
𝜃 = arc tan (1
2) → 𝜃 = 26º , 6
(1.3) 6𝑉⃗⃗⃗⃗ ⃗ − 7𝑈⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (63.3
21 , 63
3√3
21) − (7 (
−5 √2
2) ∗ (7 (
−5 √2
2)) )
=(9, 9√3) − ( − 3 5 √2
2 ,
− 3 5 √2
2 )
= (9 − (− 3 5 √2
2) , 9 √3 − (
− 3 5 √2
2))
≈ (34 , 40) = �⃗⃗�
|�⃗⃗� | = √342 + 402 = √576 + 1600 = √2176 = 46.6
𝜃 = arctan (40
34) = arctan( 1.1764) ≁ 49º6
2. Encuentre el ángulo entre los siguientes vectores:
2.1. jiu ˆ9ˆ2
y jiv ˆ9ˆ6
2.2. jiw ˆˆ5
y jiz ˆ4ˆ7
cos α= �⃗⃗� . �⃗�
|�⃗⃗� | .|�⃗� |
�⃗� . 𝑣 = (𝑢1 . 𝑣1) + ( 𝑢2 . 𝑣2)
Se halla la norma
2.1 |�⃗� | = √(2)2 + (9)2 = √4 + 81 = √85
|𝑣 | = √(−6)2 + (9)2 = √36 + 81 = √117
u. v = (2) (-6) + (9) (9) = -12+81 =69
Cos α= 69
√117 √85=
69
√117 . 85=
69
√9945
cos α ≁ 69
99,72= cos α ≈ 0,7
α = arc cos (0,7) ≈ 46º α= 46º = < entre �⃗� 𝑦 𝑣
2.2 �⃗⃗� = −5𝑖 − 𝑗 ⃗⃗ , 𝑧 = −7𝑖 − 4𝑗
|�⃗⃗� | = √(−5)2 + (−1)2 = √25 + 1 = √26
|𝑧 | = √(−7)2 + (−4)2 = √49 + 16 = √65
�⃗⃗� . 𝑧 = (-5) . (-7) + (-4) . (-1) = 35+4 = 39
Cos α= 39
√26 . √65 =
39
√26 . 65=
39
√1690
Cos α ≁ 39
41,1→ cos α ≁ 0.95
α ≈ arc cos (0,95) α = 18◦,5
3. Dada la siguiente matriz, encuentre empleando para ello el método de Gauss – Jordán. (Describa el proceso paso por paso). NO SE ACEPTAN PROCEDIMIENTOS REALIZADOS POR PROGRAMAS DE CALCULO
(Si se presenta el caso, trabaje únicamente con números de la forma
y NO con sus representaciones decimales).
C= [2 8 0
−3 0 −18 1 −3
]
𝐶−1 = [2 8 0
−3 0 −18 1 −3
⋮1 0 00 1 00 0 1
] 1
2 * f1
𝐶−1 = [1 4 0−3 0 −18 1 −3
⋮1/2 0 00 1 00 0 1
] 3*f1+f2
𝐶−1 = [1 4 00 12 −18 1 −3
⋮1/2 0 03/2 1 00 0 1
] -8 * f1+f2
𝐶−1 = [1 4 00 12 −10 −31 −3
⋮1/2 0 03/2 1 0−4 0 1
] 1
12 * f2
𝐶−1 = [1 4 00 1 −1/120 −31 −3
⋮1/2 0 01/8 1/12 0−4 0 1
] -4 * f1+f2
1A
b
a
𝐶−1 = [1 0 1/30 1 −1/120 −31 −3
⋮0 −1/3 0
1/8 1/12 0−4 0 1
] 31* f2+f3
𝐶−1 = [
1 0 1/30 1 −1/120 0 −67/12
⋮
0 −1/3 01/8 1/12 0
−1/8 31/12 1] -
12
67∗ f3
𝐶−1 = [1 0 1/30 1 −1/120 0 1
⋮
0 −1/3 01/8 1/12 0
3/134 −31/67 −12/67]
1
12∗ f3+f2
𝐶−1 = [1 0 1/30 1 00 0 1
⋮
0 −1/3 017/134 3/67 −1/673/134 −31/67 −12/67
] -1
3 * f2+f1
𝐶−1 = [1 0 00 1 00 0 1
⋮
−1/134 −12/67 4/6717/134 3/67 −1/673/134 −31/67 −12/67
]
4. Encuentre el determinante de la siguiente matriz describiendo paso a paso la operación que lo va modificando (sugerencia: emplee las propiedades e intente transformarlo en una matriz triangular). NO SE ACEPTAN PROCEDIMIENTOS REALIZADOS POR PROGRAMAS DE CALCULO
(Si se presenta el caso, trabaje únicamente con números de la forma
y NO con sus representaciones decimales).
b
a
13210
21000
12465
14338
12901
A
A=
[
−1 0 9 2 18 3 3 −4 1
500
60
−1
−402
21
−3
1−21 ]
= |𝐴|
[
−1 0 9 2 18 3 3 −4 1
500
60
−1
−402
21
−3
1−21 ]
Se pasará la matriz a una matriz triangular, se debe llevar a ceros las entradas que
están por debajo de la diagonal principal.
[
−1 0 9 2 18 3 3 −4 1
500
60
−1
−402
21
−3
1−21 ]
F2 + 8F1 =
[ −1 0 9 2 10 3 75 12 9500
00
−1
802
−161
−3
7−21 ]
= F3 + 5F1
[ −1 0 9 2 10 3 75 12 9
000
00
−3
5306
−61
−9
12−23 ]
=
[ −1 0 9 2 10 3 75 12 9000
000
53081
−613
12−212]
=
[ −1 0 9 2 10 3 75 12 9000
000
53027
−611
12−24 ]
=
[ −1 0 9 2 10 3 75 12 9000
000
53027
−610
12−26 ]
F3 +
6F5
F3 x 3
F5 + F3 F5 x
1
3
F5 + F4 F5 x
1
3
[ −1 0 9 2 10 3 75 12 9000
000
5309
−610
12−22 ]
=
[ −1 0 9 2 10 3 75 12 9000
000
5309
010
0−22 ]
[ −1 0 9 2 10 1 25 4 3000
000
109
010
0−22 ]
[ −1 0 9 2 10 1 25 4 3000
000
100
010
0−22 ]
Se multiplica su diagonal principal y se anexa el multiplicado por 3, 3 y 53, ya que
dividimos, se observa a continuación:
Det (A) = (-1) (1) (1) (1) (2) (3) (3)(53) = -954
5. Encuentre la inversa de la siguiente matriz, empleando para ello
determinantes (Recuerde: )
Nota: Describa el proceso paso por paso
(Si se presenta el caso, trabaje únicamente con números de la forma
y NO con sus representaciones decimales).
|𝐶| = [−2 5 −13 0 −43 1 −5
] [−2 53 03 1
] = (0 − 60 − 3) − (0 + 8 − 75)
= −63 − (−67)
= −63 + 67
= 4
Después resulta det (A) ≠ 0 donde se demuestra que la matriz tiene inversa, se
busca entonces la matriz de cofactor
AdjADetA
A *11
b
a
F3 +
6F4
F3 x 1
53
F5 +
9F4
−11+1 [0 −41 −5
] −11+2 [3 −43 −5
] −11+3 [3 03 1
]
−12+1 [5 −11 −5
] −12+2 [−2 −13 −5
] −12+3 [−2 53 1
]
−13+1 [5 −10 −4
] −13+2 [−2 −13 −4
] −13+3 [−2 53 0
]
C= [4 3 324 13 17
−20 −11 −15]
Para poder hallar el resultado de adj de A solo hallamos la matriz de cofactores
ADJ A = [4 24 −203 13 −113 17 −15
]
Se utiliza formula 𝐴−1 =1
𝐷𝐸𝐿𝑇𝐴 * ADJ A
𝐴−1 = 1
4 . [
4 24 −203 13 −113 17 −15
]
𝐴−1 = [1 6 −5
3/4 13/4 −11/43/4 17/4 −15/4
]
BIBLIOGRAFIA
http://datateca.unad.edu.co/contenidos/208046/ALGEBRA%20LINEAL%20-
%20MODULO%203%20CREDITOS%20-%20DEFINITIVO.pdf tomado 9 de
septiembre de 2015. 10:30 p.m.
https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1ticas) 16 de septiembre de
2015. 9:30 p.m.
https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_lineal#Vectores_en_Rn tomado
12 de septiembre de 2015 9:30 p.m.