ε-δ ε-δ ε-δ δ≥0→

En los ejercicicos del 1 al 16 aplicando la definición (ε-δ) determinar los números δ≥0 para los ε dados

2.- limx→−3

(2 x2−1 )=17 , ε=0.02

limx→-3(2x2-1) =17 , ε=0.02

De la definición (ε-δ)

∀ε˃0 ∃ δ tal que

0˂ǀx+3ǀ˂ δ ⇒ ǀ2x2-18ǀ ˂ ε , dom f(x)=R

Transfomando ǀ2x2-18ǀ en factores que contengan ǀx+3ǀ

2ǀx+3ǀǀx-3ǀ acotando ǀx-3ǀ para un δ1=1

ǀx+3ǀ˂1 -7 ˂x-3 ˂ -5 →ǀx-3ǀ˂5 cota superior

2ǀx+3ǀǀx-3ǀ ˂ ε → ǀx+3ǀ˂ ε ∕10 δ2

δ ≤ 0.002 rpta

GRUPO 10

Sea f y g funcionesreales devariables reales .Si limx→0

f ( x )=L ,ϵ R+¿¿ y limX→0

g ( x )=L2R+¿¿

demostrar que existen a y b δ ε R, tales que, si

0<|x−x0|<δ , x ϵ Dom (f /g )⟹α<f ( x )g ( x )

<b

De (ϵ−δ ) se tiene

limx→0

f (x)g(x )

=L1

L2 Se tiene

0<|x|<δ⇒| f (x)g (g )−

L1

L2|<ϵ x∈Domf / g

| f (x )g(x)|−|L1

L2|<ϵ ; L1

L2(positivo)

| f (x )g(x)|<∈+L1

L2⟹−(ϵ+ L1

L2)< f (x )

g(x )<∈+

L1

L2

α=−(ϵ+ L1

L2)

b=∈+L1

L2

RPTA : si existeα ,b , δ

GRUPO 11

limh→ 0

f (a−2h )−f (a)h , si f ( x )= 1

3√ x2, x ≠0

f (a−2a )− f (a )h

=g (h )

∴ f (a−2h )=a−2h−1a−2h

∴ f (a )=a−1a

En g (h) se tiene:

g (h )=( a−2h−1

a−2h )−( a−1a )

h

g (h )=a−2ha−a−(a−1 ) (a−2h )a (a−2h )h

= −2a (a−2h )

limh→ 0

f (a−2h )−f (a)h =lim

h→0g (h )=−2

a2

GRUPO 12

34.- lim

x→ 1−¿( x4−1x3+

3√|x|−1)¿¿

Analizando, máximo entero x−1−¿ ¿

|x|=n ;n≤ x<1+n

n=0

limx→1−¿ (x2+1 )(x+1 )(x−1)

(x−1)(x2+ x+1)=

(x2+1)(x+1)(x2+ x+1)

=43 ¿

¿

GRUPO 13

44.- limx→1

1+x3

sen (1−x4 )=

( x+1 ) ( x2−x−1 )sen¿¿

(1+ x ) (x2−x+1 ) (1−x ) ( 1+x2 )sen [ ( 1−x2 ) (1+x ) ] (1−x ) ( 1+ x2 )

¿ x2−x−1(1−x ) (1+x2 )

= x2−x+1(1−x ) ( 1+ x2 )

=(−12 )−(−1 )+1

¿¿

rpta=34

94.- limx→0

x2arcSen x+ tan x−sen xx3

limX→ 0

arc sen xx

+ sen xx3 cos x

− sen xx3

¿1+ sen xx

(1−cosx )x2

1cos x

¿1+ 12

rpta¿3/2

GRUPO

98.- limx→0 ( x2

3√8+x3−√4 x+x2 )Por conveniencia hallamos el límite su inversa

limx→0

3√8+x3

x2 −√4+XX2 sumanos y restamos2

3√8+x3−2x2 −

(√x2+4−2)x2 racionalizando

x3

x2 FR(a ,b)− x2

x2 FR(a ,b)2

0FR (a ,b)

− 1FR(a ,b)2

=−14

=L1

L1= 1

L

∴L=−4

GRUPO 14

20.- limx→±∞

(√ x2+3 x−x )racionalizando f ( x )

Por limites laterales

limx→±∞

¿ 3 x√ x2+3 x+x

3 x

|x|(√1+ 3x+1)

= 3

√1+ 3x+1

∴L1=3 /2

limx→±∞

3

(−1)(√1+ 3x+1)

=−32

∴L2=−3/2

como L1≠ L2Notiene limite

GUPO 15

2.- lim

x→ 4+¿ √16−x2

x−4 ¿

¿

√( 4−x ) ( 4+x )x−4

=−√4+xx−4

=−√80

=−∞

limx→ 4+¿ √16−x2

x−4 =−∞¿

¿

GRUPO 16

22.- limx→1

x3+x2−x+1( x−1 )3

limx→1

( x−1 )2 ( x+1 )( x−1 )3

= x+1x−1

=−∞

definicion (ε−δ )∀M≫0∃δ>0 con x∈Domf ( x )tal que x∈ ⟨−∞ ,1 ⟩

0<|x−1|<δ 1⟹1+ xx−1

←M

2x−1

+1←M

2X−1

<1−M

X−12

> 11−M

X−1> 21−M

−δ 1=2

1−M

δ 1=2

M−1

GRUPO 17

37.-f ( x )={ x2

√x2−4,|x|>2………f 1

x3

4−x2 ,|x|<2………f 2

i) para f 1 Doom ⟨−∞,2 ⟩U ⟨2 ,+∞ ⟩ f 1es uaecuacion simetricaconrespecto al eje y asintotas verticales

f ( x )= x2

√(x+2)(x−2)

limx→−2−¿ 4

0−¿ (−4) =+∞¿¿

¿

limx→2+¿ 4

√4¿¿ ¿¿¿

¿

no tiene asintotahorizoontal asintota oblicua 1

M 1= limX→+∞

f 1 ( x )x

limx→+∞ ( x

√x2−4 )=1

b1= limx→+∞

[ f ( x )−mx ]=[ x2

√x2−x ]

limx→+∞

4 x

√x2−4 (x+√x2−4 )=0

∴ y=x (asintotaoblicua)

asintota oblicua2

M 2= limX→−∞

x√ x2−4

=−1

b2= limx→−∞

4 x

√x2−4 (x+√ x2−4 )=0

∴ y=−x asintotaizquierda

ii) para f 1 Dom ⟨−2,2 ⟩ f 2es simetria respectoal origen f 2 (−x )=−f 2 ( x ) y=0⟹ x=0

asimetrias verticales f 2 ( x )= x2

(2−x)(2+ x)

limx→−2+¿ x2

(2−x)(2+ x)=−∞; lim

x →2−¿ x2

(2−x)(2 +x)=+∞ ¿

¿¿

¿

no tiene simetriahorizontal∋oblicua por quex tiendea±∞

19.- limX→+∞ ( 5+X+X2

2+X2 )2x

por el calculodirecto obtnemos la formaineterminadamente 1+∞luego :

f ( x )= x2+ x+1x2+2

h ( x )+1=f ( x )−1

para limx→∞

[ (1+h( x))1/n (x)]g ( x ). h(x)

limx→∞

℮2 x (f ( x )−1)

tenemos limx→∞

2 x ( x+5 x−2x2+2 )

limx→∞

2x2+10 x−4

x2+2=2

RPTA :℮2

GRUPO 20

4.- sea f una funcion tal que ∀∈>,∃δ>0 , si0<|h|<δ⟹|f (x0+h )−f (x0−h )|<∈analizar la continuidad de f en x0

limx→x0

f (x )=L= limh→∨¿ f (x0+h )

¿¿

analizando se tiene:

0<|h|<δ⟹¿

∴L=f (x0−h)

f (x0 )≠ f ¿)

noexiste continuidad en x0

GRUPO 21

19.-estudiar la continuidad de la funcion(x)

2 x2x− [2 x ]−1

, en [0 , 32 ]

analizamos ⟦2 x ⟧

2 x∈ [0,3 ]

[ 0 , 12 ⟩⟹ ⟦2x ⟧=0

[12,1 ⟩ ⟹ ⟦2 x ⟧=1

[1, 32 ]⟹ ⟦2 x ⟧=2

entonces queda :

{2xx−1

x ϵ [1 , 12 ⟩

xx−1

x ϵ [12,1 ⟩

2 x2 x−3

x ϵ [1 , 32 ]

analizamos 12y1

para x=12

f ( 12 )=lim

x→12

f ( x ) ; f (12 )=−1

limx→ 1

2

−¿

¿ 2¿

¿

limx→ 1

2

+¿

=−1¿

¿

f ( 12 )≠ lim

1→12

f ( x ) ;noes continuo x=12

para x=1

f (1) limx→1−¿ f ( x ) ;f (1)=−2¿

¿

limx→ 1−¿ f ( x )=−∞¿

¿

limx→ 1+¿ f ( x )=−2 ¿

¿

f (1 )≠ limx→1

f (x )noes continuoen x=1