TRABAJO COLABORATIVO 2

SONIA MILENA PACHECO - CODIGO: 46456204

YOLFENY MARIA AMAYA MEJIA - CODIGO: 40933.041

YERITZE RODRIGUEZ- CODIGO:

LUIS CARLOS CUELLO DIAZ – CÓDIGO: 84104815

GRUPO: 100413_404

CURSO: CÁLCULO DIFERENCIAL TUTOR: JAIRO ALBERTO ZUÑIGA

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD

ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGÍA E INGENIERÍA ECBTI

INGENIERIA DE ALIMENTOS

27 DE OCTUBRE DE 2.014

INTRODUCCIÓN

Uno de los intereses principales en el estudio del movimiento de cuerpos fue el de

comprender y calcular la velocidad y la aceleración instantáneas de un cuerpo. La

dificultad principal estaba en aquellos movimientos en los cuales la velocidad y la

aceleración variaban de instante en instante. La aceleración era un concepto novedoso.

Se definía como la razón de cambio de la velocidad respecto al tiempo, para un instante

dado. Inicialmente, la concepción de razón de cambio instantáneo fue bastante confusa.

Poco a poco se vio la necesidad de precisar la noción de límite que yacía detrás del

concepto de razón de cambio. Pero la definición precisa de límite demoró mucho en

formularse. El concepto de límite de una función es fundamental en todos los campos

del cálculo. Basta decir que la derivada, que es el tema principal del curso de Cálculo

Diferencial, es por definición un límite. Una posible estrategia para calcular límites es

relacionarlos con el concepto de continuidad. Así, si la función es continua en un punto,

el límite de la función en dicho punto coincide con su valor a través de f.

El desarrollo de siguiente trabajo está planeado para ser el primer contacto que se tenga

con la noción de límite de una función y continuidad. Con el propósito de entender y

comprender de la manera más sencilla posible, los conceptos vistos en la unidad dos de

cálculo diferencial y desarrollar unas primeras intuiciones claras al respecto. En fin, en

este trabajo se reflejará el desarrollo de los ejercicios planteados, lo cual nos ayuda

como estudiantes a destacar lo aprendido en el módulo de cálculo diferencial a través de

la comprensión de diferentes temas, generando el buen aprendizaje por lo que se podrá

ver en la aplicación de los conocimientos adquiridos y un buen desenvolvimiento en

dicha materia, también se dará a reconocer la habilidad de cómo el estudiante destaca

los dotes, de acuerdo a lo leído, y como trata de analizar comprender cada uno de los

ejercicios efectuados.

OBJETIVO

Determinar límites y continuidad, y realizar su respectivo desarrollo utilizando

determinada fórmula de manera adecuada y así obtener destreza en el desarrollo

de ejercicios a través de la práctica.

1. limx→0

√9+x−3x

Primero se racionaliza el numerador y se convierte en la diferencia de cuadrados perfectos, con el fin de quitar el radical y eliminar la indeterminación. Para esto se multiplica y se divide por (√9+x )+3 para que no se altere la expresión

limx→0

√9+x−3x

=limx→0

(√9+x )−3x

∗(√9+x)+3

(√9+x)+3

¿ limx→0

(√9+x)2−9

x∗(√9+x+3)

¿ limx→0

9+x−9x∗(√9+x+3)

¿ limx→ 0

xx∗(√9+x+3)

¿ limx→0

1

√9+x+3= 1

√ limx→0

(9+x )+3

¿ 1

√9+0+3= 1

√9+3= 1

3+3

2. limx→4

√x−2x3−64

Se factoriza el denominador y se racionaliza el numerador para eliminar la indeterminación.

limx→4

√ x−2x3−64

=limx→4

√x−2(x−4)( x2+4 x+16)

¿ limx→ 4

(√x )−2

(x−4 )(x2+4 x+16)∗¿

(√x )+2(√x )+2

¿

¿ limx→4

(x−4)( x−4 ) (x2+4 x+16 )(√ x+2)

limx→0

√9+x−3x

=16

¿ limx→ 4

1

(x2+4 x+16 )(√ x+2)

3) lim ¿ x→0

1x+3

−13

x=

10+3

−13

0=

00

lim ¿ x→0

1x+3

−13

x=lim ¿ x→0

3−(x+3)3(x+3)x

=lim ¿x→0

3−x−33(x+3)x

lim ¿ x→0−x

3 x (x+3)=lim ¿ x→0

−13(x+3)

= −13(0+3)

= −13(3)

=−19

4) lim ¿ x→4 √1+2x−3

√ x−2−√2=√1+2(4)−3

√4−2−√2= √9−3

√2−√2=0

0

¿ lim ¿ x→4 √1+2x−3√x−2−√2

× √1+2 x+3√1−2 x+3

× √ x−2+√2√ x−2+√2

¿ lim ¿ x→4¿¿

¿ lim ¿ x→4[ 2x−8 ] [√ x−2+√2 ]

[x−4 ] [√1+2x+3 ]=lim ¿ x→4

2 [ x−4 ] [√x−2+√2 ][x−4 ] [√1+2x+3 ]

= lim ¿ x→42 [√x−2+√2 ][√1+2x+3 ]

¿2 [√4−2+√2 ]

[√1+24+3 ]=

[√2+√2 ]√9+3

=2 [2√2 ]3+3

= 4√26

=2√23

5) lim ¿ x→π π−xsen x

= π−πsen π

=00

Aplicamoscambio devble

siU=π−x→x=π−U

si x→π→U→π−π=0

U→0

Reemplazandoen≤limite inicial

¿ lim ¿U→0U

sen (π−u)

¿ lim ¿U→0U

sen π .cosu−cos π . senu

¿ lim ¿U→0U

(0 ) ¿¿

¿ lim ¿U→0Usenu

=lim ¿U→0( senuu )−1

¿( lim ¿U→0senuu )

−1

=¿

6) lim ¿ x→0tan xsen4 x

=tan(0)sen (4.0)

=00

¿ lim ¿ x→0

sen xcos xsen 4 x

1

=lim ¿ x→0sen x

cos x sen4 x=¿

¿ lim ¿ x→0

x . sen xx

cos x .4 x .sen4 x

4 x1

¿¿

¿ lim xx→0

lim 4 xx→0

=lim ¿ x→0 ( x4 x )=¿

¿lim ( 1

4 )x→0

= 14

7) lim ¿ x→∞ √ x2−33√ x3+1

=√∞2−3

√∞3+1=∞∞

⟹ lim ¿ x→∞

√ x2−3x

3√x3+1x

=lim ¿ x→∞ √ x2

x2− 3

x2

3√ x3

x3 +¿ 1x3 ¿

¿ lim ¿x→∞ √1− 3x2

3√1+ 1x3

=√1− 3∞2

3√1+ 1∞3

¿ √1−03√1+0

=√13√1

=11=1

8. limx→∞

√ x2+4 x−x

limx→∞

√ x2+4 x−x=limx→∞

(√x2+4 x−x)∗(√ x2+4 x+x)

(√ x2+4 x+ x)

¿ limx→∞

(√ x2+4 x )2−x2

√x2+4+x= limx→∞

x2+4 x−x2

√ x2+4+x

¿ limx→∞

4 x

√x2+4 x+x=limx→∞

4 xx

√x2+4 x+xx

= limx→∞

4

√ x2

x2 +4 x

x2 +xx

= limx→∞

4

√1+ 4x+1

=4

√ limx→∞ (1+ 4

x )+1

=4

√(1+ 4∞ )+1

=4

√ (1+0 )+1

limx→∞

√ x2+4 x−x=42=2

9.limx→∞ ( 1

x2−3 x )1x

limx→∞ ( 1

x2−3 x )1∞=1

10. Demostrar quelimx→0

sin x

x=1

limx→0

cos x

1=1

limx→0

cos0=1

CONCLUSIONES

A través del desarrollo de este trabajo se reconoció el concepto de límite de una

función, aplicándolo en ejercicios mediante la solución teórica, tanto para

límites, limites infinitos, límite de las funciones trigonométricas, limites

unilaterales, teniendo en cuenta las leyes para cada caso.

Con este tipo de trabajos se nos permitió afianzar, aprender algunos de los

conceptos fundamentales necesarios para el cálculo. Además comprender los

conceptos y herramientas del cálculo diferencial y relacionarlos unos con otros y

con el álgebra y la geometría analítica, para poder así aplicarlos en la solución

de problemas de diferentes disciplinas como física, ingeniería, economía etc. y

sobretodo permite desarrollar una estructura lógica de pensamiento para

aplicarla en la resolución de problemas de la disciplina que se estudia y para

poder comunicarse de manera coherente en forma oral y escrita.- Para todo

profesional de cualquier disciplina es de gran ayuda su conocimiento sobre la

forma de solucionar algún problema que trate sobre los límites y la continuidad.-

BIBLIOGRAFIAS

RONDON DURAN, Jorge Eliecer, Modulo de cálculo diferencial, Universidad

Nacional Abierta y a Distancia. UNAD; Bogotá D.C. 2011.

ESCARTIN, R. C-todo/ matemáticas, Tema equipo editorial, Colombia. 2008

http://www.sites.google.com/site/aprenderjojo/inicio/calculo.../unidad-3