UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA

PROBABILIDAD

TRABAJO COLABORATIVO 2APORTE INDIVIDUAL

ALUMNO: GERMAN ALFREDO MEZA REYCOD: 91207081

LINA MARITZA GÓMEZ ACOSTA COD. 53.164.548

ERNESTINA TELLEZ PRADA 23454336

TUTOR: ING. GENARO PENAGOS

ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIAINGENIERIA DE ALIMENTOS

CEAD SOGAMOSOMAYO DEL 2010

EJERCICIOS DE PROBABILIDAD

1. Determine el valor de e de manera que cada una de las siguientes funciones pueda servir como distribución de probabilidad de la variable aleatoria discreta X

a) f (x) = e (x2 + 4) x = 0, 1, 2, 3

b) f(x) = e ( 2C x) (3C3-x) para x = 0,1,2

a) f (x) = e ( + 4) x = 0, 1, 2, 3

x 0 1 2 34c 5c 8c 13c

= e ( 4)=4e

= e ( +4)=5e

= e ( +4)=8e

= e ( +4)=13e

4e+5e+8e+13e = 1

30e =1

e=

b) = e( 2C x) (3C3-x) para x = 0,1,2

x 0 1 2e 6e 3e

= e (2C0)( 3C3)=C( )( ) = C(1)(1) = e

= e (2C1)( 3C2) = C( )( ) = C(2)(3) =6e

= e (2C0)( 3C1) = C( )( ) = C(1)(3) =3e

e+6e+3e =1

10e =1

e=

4. Un jugador lanza un dado corriente. Si sale número primo, gana tantos cientos de dólares como marca el dado, pero si no sale número primo, pierde tantos cientos de dólares como marca el dado. Determinar la función de probabilidad y la esperanza matemática del juego.

x -1 2 3 -4 5 -6

f(x) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

µx = E(x) = ∑ xi.f (x) = 1/6. (-1.2.3.-4.5.-6) = - 1/6

Como el valor esperado es negativo, el juego no es favorable para el apostador

5. El experimento aleatorio consiste en lanzar una moneda 3 veces, Defina X la variable aleatoria que representa el número de caras observadas. Encuentre f(X), E(X), V(X) y desviación estándar.

X = variable aleatoria que expresa el nº de caras en los tres lanzamientos.

X = {CCC, CCX, CXC, XCC, XXC, XCX, CXX, XXX}

x=0 → {XXX}

x=1 → {XXC, XCX, CXX}

x=2 → {CCX, CXC, XCC}

x=3 → {CCC}

Número esperado de caras al lanzar la moneda.

Hallar la desviación típica de x

o bien:

7. A un dependiente de un autolavado se le paga de acuerdo con el número de automóviles que lava. Suponga que las probabilidades son 1/12, 1/12. ¼,

¼, 1/6 y 1/6 respectivamente de que el dependiente reciba $5, $7, $9, $ 11, $ 13 o $ 17 entre las 4 y 5 de la tarde en un día soleado. Encuentre las ganancias que espera el dependiente para este periodo específico.

x 1/12 1/12 1/4 1/4 1/6 1/6

fx 5 7 9 11 13 17

µx = E (X) = (5x1/12) + (7X1/12) + (9X1/4) + (11X1/4) + (13X1/6) + (17X1/6)

µx = E (X) = 404

8. Una persona pide prestado un llavero con cinco llaves, y no sabe cuál es la que abre un candado. Por tanto, intenta con cada llave hasta que consigue abrirlo. Sea la variable aleatoria X que representa el número de intentos necesarios para abrir el candado.

a.- Determine la función de probabilidad de X.

b.- ¿Cual es el valor de P (X ≤ 1)

=0.04

=0.002

x 1 2 3 4 5

0.2 0.04 0.002 0.000083 0.758

11. Suponga que un comerciante de joyería antigua esta interesado en comprar una gargantilla de oro para la cual las probabilidades de poder venderla con una ganancia de $ 250, $ 100, al costo, o bien con una pérdida de $150 son: respectivamente: 0.22, 0.36, 0.28, 0.14. ¿cuál es la ganancia esperada del comerciante?

16. Un ama de casa permite a sus hijos pequeños mirar la televisión un máximo de 200 horas por mes y sólo después de terminar sus tareas escolares. Ella lleva un control riguroso del tiempo que sus hijos mantienen la televisión encendida cada mes, de modo que se trata de una variable continua, que medida en unidades de 100 horas, tiene la siguiente función de densidad:

x 0 ≤ X ≤ 1

f (x) = 2 - x 1 ≤ X ≤ 2

0 en otro caso

Determine la probabilidad de que, durante un mes cualquiera, los niños vean la televisión:

a) entre 50 y 100 horas

b) entre 120 y 150 horas, lo haremos para 120 horas

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS Y CONTINUAS

17. En una clase de ciencias naturales de 12 alumnos se elegirá un representante de grupo, para lo cual se usará el número de lista de cada alumno. Se anotan 12 papeles con números del 1 al 12 respectivamente se doblan y se meten en un frasco. Luego se extrae al azar un papel para designar al representante. Determine la probabilidad de que el numero que salga sea menor que 5; determine la probabilidad de que el numero sea mayor que 3 pero menor que 7.

N=12 n=1 p=1/12 =0.083 q=1-1/12=11/12

P(X≤5) P(3<X<7)

P(X≤x)=F(x;p;n)=∑ n piqn-i

i P(X<5) =∑ 12 p4q12-4 + 12 p3q12-3 + 12 p2q12-2 + 12 p1q12-1

4 3 2 1

= 495(1/12) 4 (11/12) 8+ 220(1/12) 3 (11/12) 9 + 66(1/12) 2 (11/12) 10 + 12(1/12) 1

(11/12)11

= 0.01190+ 0.05818+ 0.1919+0.3839 = 0.6459

P(3<X<7)= F(x;p;n)=∑ n piqn-i

iCon intervalo sumatoria de 3 a 7, sin incluir e 3 y el 7 P(3<X<7) =∑ 12 p4q12-4 + 12 p5q12-5 + 12 p6q12-6

4 5 6

= 495(1/12) 4 (11/12) 8+ 792(1/12) 5 (11/12) 7 + 924(1/12) 6 (11/12) 6

= 0.01190+ 0.0017310+ 0.000183 = 0.01381

19. Un ingeniero de control de calidad inspecciona una muestra, tomada al azar, de dos calculadoras manuales, de cada lote que llega de 18, y acepta el lote si ambas están en buenas condiciones de trabajo; de otra manera, se inspecciona todo el lote y el costo se carga al vendedor, determine la probabilidad de que un lote se acepta sin inspección adicional, si contiene:

a. Cuatro calculadoras que no están en buenas condiciones de trabajo

N=18 n=2 r=2 y=4

14 4 14 4 Y 2-y 2 2-2

P(Y)= . = . . = 91 * 1 = 0.59 se acepta el lote teniendo 4 defectuosas 153 18 18 2 2

b. Ocho calculadoras que no están en buenas condiciones de trabajo

10 8 10 8 Y 2-y 2 2-2

P(Y)= . = . . = 45 * 1 = 0.29 se acepta el lote teniendo 8 defectuosas 153 18 18

20.- Una florería tiene 15 vehículos de reparto, que se utilizan principalmente para llevar flores y arreglos florales en una ciudad, suponga que seis de los 15 camiones tienen problemas con los frenos. Se seleccionaron cinco vehículos al azar para probarlos, cual es la probabilidad de que dos de los camionesprobados tengan frenos defectuosos?

X= posibles vehículos defectuoso de una muestra n= 5 es la muestra N= 15 vehículos en el lote K= 6 vehículos defectuosos

Por distribución Hipergeométrica: ; Resolviendo por

combinatoria

Que es la probabilidad de encontrar 2 autos defectuosos en una muestra de 5.

21. - En una fábrica de circuitos electrónicos, se afirma que la proporción de unidades defectuosas de cierto componente que esta produce es del 5%¿Cuál es la probabilidad de que un comprador al revisar 15 unidades al azar encuentre cuatro defectuosas?

p= 5%, son los defectuosos y equivale a 0.05 n= 15 al azar X= 4 P=?

Por Distribución de Poisson con distribución Binomial: la

probabilidad que sean 4 es de:

22. Un investigador inyecta un germen patógeno a varios ratones a la vez, hasta que haya 2 que han contraído la enfermedad. Si la probabilidad de contraer el padecimiento es de 1/6 ¿cuál es la probabilidad de que sean necesarios 8 ratones? X= 2 n=8 ratones p=1/6=0.1666

q=1-p=1-0,1666=0,8333

Por distribución Binomial: la probabilidad es de:

23. Según los registros universitarios fracasa el 5% de los alumnos de cierto curso. ¿cuál es la probabilidad de que de 6 estudiantes seleccionados al azar, menos de 3 hayan fracasado? p= 5% promedio de fracaso n=6 x<3 de que fracasen P=?

Por distribución de Poisson:

24. Según un estudio publicado por un grupo de sociólogos de la Universidad de Massachusetts, aproximadamente el 60% de los consumidores del tranquilizante Valium en dicho estado, tomaron el fármaco por problemas psicológicos, Determine la probabilidad de que entre los siguientes 8 consumidores entrevistados en este estado, por lo menos 5 hayan comenzado a tomarlo por problemas psicológicos.

p= 60% = 0.6 P=? X>5 n=8 q= 1-p= 1-0,6= 0,4

Por distribución Binomial se tiene:

Que es la probabilidad de que los siguientes 8 entrevistados tengan la misma sintomatología.

25. La probabilidad de que una persona que vive en cierta ciudad tenga un perro se estima en 0.3. Determine la probabilidad de que la décima persona entrevistada al azar en dicha ciudad sea la quinta en poseer un perro.

p= 0,3 P=? X=10 r=5 q= 1-0,3= 0,7

X es la variable Binomial negativa, por lo que se tiene:

26. Suponga que cierto estudiante tiene una probabilidad de 0,75 de aprobar el examen de inglés en cualquier intento que haga. Cual es la probabilidad de que lo logre aprobar en el cuarto intento?

p= 0,75 Promedio de aprobaciones P=? X=4 q= 1-0,75= 0,25

Por distribución geométrica se tiene:

Que es la probabilidad de que apruebe en el cuarto intento, igual el promedio es muy bajo.

27. De acuerdo con un reporte de la secretaria de movilidad, en Bogotá se registran en promedio 7,5 peatones atropellados a la semana (7 días).Determine la probabilidad de que en tres días de una semana cualquiera ocurran entre 6 y 8 casos de personas atropelladas en la ciudad.

λ=7,5 promedio de atropellados en una semana P=?

Haciendo el cálculo por distribución de Poisson:

Resultado para el caso semanal. Luego para saber el resultado en los tres días y asumiendo que la tasa de incremento es constante:

28. El numero de camiones en promedio que llegan a una central de abastos en cierta ciudad, es de 12 por día. ¿Cuál es la probabilidad de que en un día cualquiera lleguen menos de nueve camiones a esa central de abastos? λ= 12 camiones por día en promedio P=? X<9

Para lo cual hacemos: ; que es la

probabilidad de que lleguen solo 9 camiones por día, indica que está lejos del promedio.

30. Si la variable aleatoria Z tiene una distribución normal tipificada, encuentre la mejor aproximación de las tablas para el valor de k, tal que:a. P ( Z > K ) = 0,3500b. P ( Z < K ) = 0,5500c. (Ko < Z < k1) = 0,9500\

a) Usamos las tablas de distribución normal tipificada

Luego podemos encontrar que el valor adecuado para K en P(Z>K)=0,3500 es: 0,6368

b). Así mismo usando las tablas podemos hallar el valor más adecuado para P(Z<K)=0,5500; el cual da en la tabla: K=0,7088

c). Ahora para el valor más aproximado para P(K0<Z<K1)=0,9500; es K= 0,8289