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Universidad Nacional Experimental Politécnica
“Antonio José de Sucre”
Departamento de Ing. Electrónica
Vicerrectorado Barquisimeto
Teoría de control I
Trabajo de sistema de control
Eibar Hernández
CI: 21126832
Expte: 20101-0083
Prof. Lenin Becerra
Sistema a Simular
Diagrama de bloques en Simulink
Dado el sistema de control, se obtiene la función de transferencia a lazo cerrado
para una entrada (Valor deseado):
Luego,
Entonces,
Además, se puede calcular C(s) sólo para la perturbación, suponiendo que el
sistema está inicalmente relajado y con un error de cero:
Por lo tanto la respuesta de la aplicación simultanea de la perturbación uy el valor
deseado será:
Nótese la presencia de un controlador proporcional en este sistema. Se calculará el
valor de la ganancia del mismo para el cual el sistema esté en el límite de estabilidad
(Kcrítica).
Obtención de kcrítico por análisis del lugar de las raíces
Se tiene que:
Tomando los valores de la tabla asignada:
Introduciendo los valores correspondientes en Matlab se obtiene el siguiente
diagrama del lugar de las raíces de :
Comando utilizado:
>> num =[0 0 0 1];
>>den =[7.28 12.68 6.4 1];
>>rlocus(num,den)
Gráfico del lugar de las ráices en Matlab
En Efecto en el Gráfico del lugar de las raíces se observa el valor límite de K para la
estabilidad del sistema:
Cálculo de Crítico por medio del Criterio de Routh
Para implementar este método es necesario obtener la función de transferencia
del sistema de la siguiente forma
Así, multiplicando y dividiendo por el factor que se muestra a continuación:
Entonces, se tiene escrito en forma polinómica:
Aplicando el criterio de Ruth
7,28 6,4 0 12,64 0
Cálculo de
El lugar de las raíces tendrá todos sus polos en el semiplano izquierdo del plano s si
todos los elementos de la primera columna del arreglo anterior son positivos, tal que:
Cálculo de
Cálculo de
En conclusión para el sistema es estable, lo cual concuerda con el
valor de obtenido del gráfico del lugar de las raíces.
Incidencia de la variación de la ganancia k sobre el lazo de control
Tomando
Diagrama de bode
Curvas de bode para k=2,535
Margen de fase y ganancia
Margen de ganancia:
Margen de fase:
Error en estado estacionario
Por ser un sistema de tipo cero (no posee polos en el origen), el error de estado
estacionario se define como:
Donde (Amplitud de la entrada escalón)
Así:
Gráficamente:
a) Gráfico de función de salida del sistema
b) Zoom en Gráfico de función de salida del sistema
Máximo sobreimpulso
Zoom en Gráfico de función de salida del sistema
De la figura se observa que el máximo sobreimpulso:
Tiempo de establecimiento
Cabe destacar que el controlador se mantiene estable en el valor 0,7168 por lo
tanto el tiempo de establecimiento al 5% será el tiempo en el cual la respuesta se
mantiene en
Realizando un acercamiento al grafico se puede observar que al cruzar por 0,6808
se mantiene acotado entre 0,6808 y 0,7528
En este orden de ideas el tiempo de establecimiento es
Tomando
Curvas de Bode para K=5,07
Margen de fase y ganancia
Margen de ganancia:
Margen de fase:
Error en estado estacionario
Análogamente
Gráficamente:
a) Gráfico de función de salida del sistema
b) Zoom en Gráfico de función de salida del sistema
Máximo sobreimpulso
Zoom en Gráfico de función de salida del sistema
De la figura se observa que el máximo sobreimpulso:
Tiempo de establecimiento
Análogamente el tiempo de establecimiento al 5% será el tiempo en el cual la
respuesta se mantiene entre los siguientes valores:
Realizando un acercamiento al grafico se puede observar que al cruzar por se
mantiene acotado entre y
En este orden de ideas el tiempo de establecimiento es
Tomando
Curvas de Bode para K=7,605.
Margen de fase y ganancia
Margen de ganancia =
Margen de fase
Error en estado estacionario
Análogamente:
Gráficamente:
a) Gráfico de función de salida del sistema.
b) Zoom en Gráfico de función de salida del sistema.
Máximo sobreimpulso
Análogamente:
Zoom en Gráfico de función de salida del sistema
De la figura se observa que el máximo sobreimpulso:
Tiempo de establecimiento
Análogamente el tiempo de establecimiento al 5% será el tiempo en el cual la
respuesta se mantiene entre los siguientes valores:
Realizando un acercamiento al grafico se puede observar que al cruzar por se
mantiene acotado entre y
En este orden de ideas el tiempo de establecimiento es
A continuación se muestra un cuadro con cada uno de los parámetros
determinados para cada valor de la ganancia del controlador proporcional (k)
Ganancia del
controlador
Porcentaje de
Margen de fase
Margen de
Ganancia
Error en estado
Estacionario
Máximo Sobreimpulso
Tiempo de Establecimiento
Analizando los resultados obtenidos se concluye que el incremento de la ganancia
del controlador proporcional produce una reducción en el error de estado estacionario
haciendo el sistema más exacto. Por otra parte se ve un incremento en el máximo
sobreimpulso y sobre el tiempo de establecimiento.
Estas dos últimas observaciones se deben a que al aumentar el valor de k,
apoyándose en el gráfico del lugar de las raíces, se presentan oscilaciones de mayor
amplitud en el sistema (debido a que la componente del eje imaginario es mayor), y el
sistema se encuentra cada vez más cerca de la zona de operación inestable. Todo esto se
traduce en un mayor tiempo de establecimiento ya que al sistema le es más difícil regular
dichas oscilaciones, lo que produce a su vez un incremento en el máximo sobreimpulso.
Además se puede observar que el incremento de los parámetros del sistema de
control no es lineal respecto a la ganancia k.
Al aumentar la ganancia progresivamente desde 0,25kcíitico hasta 0,75kcrítico, se
nota una disminución en el margen de fase para el lazo de control, por otra parte el
margen de ganancia se mantiene en infinito
Incidencia de la variación del valor de la constante de tiempo del sensor y transmisor
sobre el lazo de control
En esta sección del trabajo se tomará y variando la
constante de tiempo del transmisor y sensor se re recopilaran algunos parámetros del
sistema de control para su análisis.
Considerando , se obtiene la gráfica de salida
del sistema a lazo cerrado utilizando como entrada un escalón unitario.
Gráfica de salida del sistema a lazo cerrado
Error en estado estacionario
a) Gráfico de función de salida del sistema.
b) Zoom en Gráfico de función de salida del sistema.
Máximo sobreimpulso
Zoom en Gráfico de función de salida del sistema
De la figura se observa que el máximo sobreimpulso:
Tiempo de establecimiento
Análogamente el tiempo de establecimiento al 5% será el tiempo en el cual la
respuesta se mantiene entre los siguientes valores:
Realizando un acercamiento al grafico se puede observar que al cruzar con tasa de cambio
positiva por se mantiene acotado entre y
En este orden de ideas el tiempo de establecimiento es
Considerando , se obtiene la gráfica de salida del
sistema a lazo cerrado utilizando como entrada un escalón unitario.
Gráfica de salida del sistema a lazo cerrado
Error en estado estacionario
a) Gráfico de función de salida del sistema.
b) Zoom en Gráfico de función de salida del sistema.
Máximo sobreimpulso
Zoom en Gráfico de función de salida del sistema
De la figura se observa que el máximo sobreimpulso:
Tiempo de establecimiento
Análogamente el tiempo de establecimiento al 5% será el tiempo en el cual la
respuesta se mantiene entre los siguientes valores:
Realizando un acercamiento al grafico se puede observar que al cruzar con tasa de
cambio positiva por se mantiene acotado entre y
En este orden de ideas el tiempo de establecimiento es
Considerando , se obtiene la gráfica de salida del
sistema a lazo cerrado utilizando como entrada un escalón unitario.
Gráfica de salida del sistema a lazo cerrado
Máximo sobreimpulso
Zoom en Gráfico de función de salida del sistema
De la figura se observa que el máximo sobreimpulso:
Tiempo de establecimiento
Análogamente el tiempo de establecimiento al 5% será el tiempo en el cual la
respuesta se mantiene entre los siguientes valores:
Realizando un acercamiento al grafico se puede observar que al cruzar con tasa de
cambio negativa por se mantiene acotado entre y
En este orden de ideas el tiempo de establecimiento es
A continuación se muestra un cuadro con cada uno de los parámetros
determinados para cada valor de la constante del transmisor y sensor:
Ganancia del
controlador
Constante del sensor
y transmisor
Porcentaje de
variación
Error en estado
Estacionario
Máximo Sobreimpulso
Tiempo de Establecimiento
100%
50%
120%
Analizando el cuadro comparativo, se concluye que variar la constante del sensor y
transmisor se traduce en variaciones del máximo sobreimpulso y del tiempo de
establecimiento, mientras que el error de estado estacionario permanece constante. Es
decir, variar Tm no afecta al set point del lazo de control ni a la salida en estado
estacionario del sistema.
Estas variaciones se deben al movimiento de los polos en el lugar de las raíces, que,
manteniendo la ganancia constantes afecta la estabilidad y exactitud del sistema
colocándolo en otro punto de operación sobre la curva(del diagrama), haciendo que varíe
la cantidad (el módulo) de las oscilaciones para cada valor de Tm1.
Acción de control P, PI y PID
En esta sección del trabajo se calcularán los parámetros del controlador para las
accione P, PI y PID por el método de la curva de reacción para determinar los parámetros
del sistema a partir del gráfico de salida del mismo. Posteriormente se variarán los
tiempos de integración y derivación para ver los efectos sobre el lazo de control.
Cálculo de parámetros por el método de la Curva de reacción
Gráfico del método
Sustituyendo los valores en la tabla se obtienen los parámetros para cada
controlador
Tipo de controlador
Gráfico de la función de salida para el controlador PI:
Error de estado estacionario
De la gráfica se observa cómo
Máximo sobreimpulso
Zoom en Gráfico de función de salida del sistema
De la figura se observa que el máximo sobreimpulso:
Tiempo de establecimiento
Análogamente el tiempo de establecimiento al 5% será el tiempo en el cual la
respuesta se mantiene entre los siguientes valores:
Realizando un acercamiento al grafico se puede observar que al cruzar con tasa de
cambio negativa por e mantiene acotado entre y
En este orden de ideas el tiempo de establecimiento es
Gráfico de la función de salida para el controlador PID
Error de estado estacionario
De la gráfica se observa cómo
Máximo sobreimpulso
De la figura se observa que el máximo sobreimpulso:
Tiempo de establecimiento
Análogamente el tiempo de establecimiento al 5% será el tiempo en el cual la
respuesta se mantiene entre los siguientes valores:
Realizando un acercamiento al grafico se puede observar que al cruzar con tasa de
cambio negativa por se mantiene acotado entre y .
En este orden de ideas el tiempo de establecimiento es:
A continuación se muestra un cuadro con cada uno de los parámetros
determinados para cada tipo de controlador
Tipo de controlador
0 0 0,77
Del cuadro comparativo se concluye que la acción de control PID es la más
avanzada en lo que respecta a la optimización de los parámetros del lazo de control; tal
que, tiene un tiempo de asentamiento reducido, más que para la opción P y P, elimina el
error en estado estacionario y tiene menor sobreimpulso que PI, pero sin embargo mayor
que PD, pero a pesar de este contra es la opción mas fuerte en lo que respecta a acciones
de control de regulación.
El controlador PD proporciona una eliminación del error en estado estacionario
pero tiene un lento tiempo de asentamiento en comparación al PID.
Efecto sobre el lazo de control por variación de la constante integrativa
Considerando
Máximo sobreimpulso
De la figura se observa que el máximo sobreimpulso:
Tiempo de establecimiento
Análogamente el tiempo de establecimiento al 5% será el tiempo en el cual la
respuesta se mantiene entre los siguientes valores:
Realizando un acercamiento al grafico se puede observar que al cruzar con tasa de
cambio negativa por se mantiene acotado entre y .
En este orden de ideas el tiempo de establecimiento es:
Considerando
Máximo sobreimpulso
De la figura se observa que el máximo sobreimpulso:
Tiempo de establecimiento
Análogamente el tiempo de establecimiento al 5% será el tiempo en el cual la
respuesta se mantiene entre los siguientes valores:
Realizando un acercamiento al grafico se puede observar que al cruzar con tasa de
cambio negativa por se mantiene acotado entre y .
En este orden de ideas el tiempo de establecimiento es:
A continuación se muestra un cuadro con cada uno de los parámetros
determinados para cada valor de la constante de integración suministrado:
Tipo de controlador
Observación
D 0
Analizando el cuadro comparativo se concluye que al variar Ti (la constante de
acción integrativa del controlador PID) se ven afectados el máximo sobreimpulso y el
tiempo de establecimiento; el error de estado estacionario permanece en cero.
Se observa que la variación del máximo sobreimpulso es no lineal, pero al
aumentar Ti esta disminuye y al disminuirla éste aumenta. La variación del tiempo de
establecimiento tampoco es lineal y al disminuir Ti a la mitad ts se aumentó casi 10 veces.
Esto se debe a que la ganancia del control proporcional aumentó generando mayor
cantidad de oscilaciones en el lazo de control que más tarde que temprano la acción
proporcional derivativa logró estabilizar (recuérdese que el controlador PI también tuvo
un ts alto y mayor cantidad de oscilaciones pero con una menor ganancia integrativa).
Este análisis permite concientizar qué parámetro se ha de ajustar para obtener la
respuesta que se quiere del controlador y del sistema. Por ejemplo si se quiere mejorar el
tiempo de establecimiento se puede aumentar la constante de acción integrativa, la cual
con un poco mas de sobreimpulso acortará ts.
Efecto sobre el lazo de control por variación de la constante derivativa
Considerando
Gráfico de función de salida
Máximo sobreimpulso
De la figura se observa que el máximo sobreimpulso:
Tiempo de establecimiento
Análogamente el tiempo de establecimiento al 5% será el tiempo en el cual la
respuesta se mantiene entre los siguientes valores:
Realizando un acercamiento al grafico se puede observar que al cruzar con tasa de
cambio negativa por se mantiene acotado entre y .
En este orden de ideas el tiempo de establecimiento es:
Considerando
Gráfico de función de salida
Máximo sobreimpulso
De la figura se observa que el máximo sobreimpulso:
Tiempo de establecimiento
Análogamente el tiempo de establecimiento al 5% será el tiempo en el cual la
respuesta se mantiene entre los siguientes valores:
Realizando un acercamiento al grafico se puede observar que al cruzar con tasa de
cambio positiva por se mantiene acotado entre y .
En este orden de ideas el tiempo de establecimiento es:
Tipo de controlador
Observación
Valor inicial aumento D 0 disminución
Analizando los resultados obtenidos en el cuadro comparativo, se concluye que un
leve aumento del 3% en la constante de tiempo derivativa logra disminuir
considerablemente el tiempo de asentamiento, llevándolo desde 22,5 hasta 10. Además
este leve aumento de Td produjo una disminución en el máximo sobreimpulso, es decir
fue favorable.
Por otra parte la disminución de td hasta la mitad del valor inicial, fue
desfavorable, tuvo como consecuencia un aumento de oscilaciones y por ende, un mayor
tiempo de establecimiento llevándolo desde 22,5 a 54,4. También se presentó un
aumento considerable en el máximo sobreimpulso.