Trabajo Cooperativo 3 - EMA

8/18/2019 Trabajo Cooperativo 3 - EMA

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UNIDAD VI: Inducción electromagnética y circuitos de corriente

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Electricidad y Magnetismo

Inducción electromagnética y circuitos de corriente alterna

Empezaremos definiendo conceptos básicos acerca del contenido tales

como:

La inducción electromagnética es el fenómeno que origina la producciónde una fuerza electromotriz (f.e.m.) en cuerpo expuesto a un campo

magnético variable, es decir se crea una f.e.m. inducida sin necesidad de

una corriente eléctrica. Esto pudo ser comprobado mediante uno de los

experimentos de Faraday, el creador de esta ley de inducción, que

consistía en una espira circular conectada a un galvanómetro y al acercar

el imán, observaba que el galvanómetro marcaba algo.

1. Circuito Resistivo de una sola malla

Consideraremos tres circuitos incluidos en circuitos de corriente

alterna, el primero de ellos con una f.e.m. externa y un elemento de

circuito R (resistencia).

Tenemos una ventaja básica cuando trabajamos con circuitos de

corriente alterna y es que como la corriente es alterna, por ende

también se alternará el campo magnético que rodea el conductor.

Por consiguiente deberemos exponer conceptos incluidos en uncircuito tales como:

Frecuencia angular ( ): es igual a la velocidad angular con la queel conductor gira en el campo magnético. = 2 π f, f= frecuencia.Constante de fase (): la constante de fase depende del circuito alcual está conectado el generador.


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Amplitud de f.e.m. (): es el voltaje de pico del generador decorriente alterna, aquí es igual a la amplitud de voltaje . Amplitud de corriente (): es el valor máximo que esa corriente otensión alcanza.

Entonces en un circuito de corriente alterna con una f.e.m. inducida

tenemos:

Por la regla de Kirchoff tenemos que:

Como la amplitud de la diferencia de potencial alterna de laresistencia es igual a la amplitud de la f.e.m. alterna, nos queda:

Pero como

Por finalidad encontramos que la amplitud de voltaje y la amplitud

de corriente están relacionadas por:


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1.1 Gráficos V – t e I – t

La corriente varía también de forma senoidal con la misma fase que

la tensión.

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Diagrama de fasores

Las cantidades e , que varían con el tiempo, son funciones de con . Entonces vemos que estas dos cantidadesestán en fase, lo que significa que tienen máximos y mínimos y estos

se presentan a los mismos tiempos.

Las cantidades e , que varían con el tiempo, se puedenrepresentar geométricamente por fasores, los fasores son vectores

que giran alrededor de un origen.


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Estos fasores tienen las siguientes propiedades:

Velocidad angular: ambos fasores giran, en sentido anti horario,alrededor del origen con una velocidad angular igual a la

frecuencia angular de e .Longitud: la longitud de cada fasor representa la amplitud de lacantidad alterna en el tiempo t, siendo corriente alterna esta varia

senoidalmente teniendo máximos y mínimos, derivándose de ahí el

voltaje de pico a pico y la amplitud.

Proyección: la proyección de cada fasor sobre el eje verticalrepresenta el valor de la cantidad alterna en el tiempo t.

Ángulo de rotación: el ángulo de rotación de cada fasor es igual ala fase de la cantidad alterna en el tiempo t.

Diagrama de fasores para el circuito resistivo, que muestra que la

corriente está en fase con el voltaje. Las proyecciones de los

vectores sobre el eje vertical representan los valores instantáneos de

e

.


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2. Circuito inductivo de una sola malla

Ahora veremos el segundo de los tres circuitos de corriente alterna,

consiste en una f.e.m. externa y un elemento de circuito L(inductancia).

Utilizaremos expresiones similares a las del circuito resistivo, solo queesta vez serán en función de la inductancia, tales como: Frecuenciaangular ( ), Constante de fase (), Amplitud de corriente (),Amplitud de voltaje ().Se relacionará una nueva expresión conocida como:

Reactancia inductiva ( ): la fuente es de corriente alterna y uninductor también presenta una resistencia al paso de la corriente

denominada reactancia inductiva.

La diferencia de potenciales en los terminales de la inductancia es:

Donde es la amplitud de , podemos escribir la diferencia depotencial entre los terminales de una inductancia L, en la que la

corriente está cambiando a razón de .

Ahora sustituiremos por la expresión , tendremos:


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Se integrará la ecuación de la corriente en función del tiempo:

Utilizamos la identidad trigonométrica

Al ver esta ecuación se observa que la corriente esta fuera de fase

respecto del voltaje por rad o , esto quiere decir que para unvoltaje senoidal aplicado, la corriente siempre se atrasa son respectoal voltaje en a través de un inductor.Por consiguiente llegamos a una expresión final:

2.1 Reactancia Inductiva

De la expresión anterior definiremos matemáticamente como seobtiene la reactancia inductiva:

Entonces la expresión que relaciona la amplitud de corriente y

amplitud de voltaje queda expresada como:

La reactancia de un inductor aumenta al incrementarse la

frecuencia. Esto se debe a que a frecuencias altas, la corriente

debe cambiar más rápido, lo que ocasiona un incremento de la

f.e.m. inducida asociada con una determinada corriente de pico.


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Gráfica de la corriente y del voltaje a través del inductor como una

función del tiempo. El voltaje se adelanta a la corriente en .

2.2 Diagrama de fasores

Diagrama de fasores de un circuito inductor. Las proyecciones de las

representaciones vectoriales sobre el eje vertical de los valores

instantáneos e .


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3 Circuito capacitivo de una sola malla

Finalmente veremos el último de los tres circuitos de corriente alterna,

este al igual que los anteriores consisten en una f.e.m. externa y unelemento de circuito C (capacitancia).

Por ende siempre usaremos las mismas expresiones utilizadas

anteriormente, pero esta vez serán en función de la capacitancia,tales como: Frecuencia angular ( ), Constante de fase (),Amplitud de corriente (), Amplitud de voltaje ().En este tipo de circuito saldrá una expresión denominada como:

Reactancia capacitiva ( ): En corriente alterna y en este tipo decircuito siempre habrá una resistencia al paso de la corriente

denominada reactancia capacitiva, que depende de la capacidad

y de la frecuencia.

La diferencia de potencial en los terminales del capacitor es:

Donde es la caída instantánea de voltaje a través del capacitor y es la amplitud de voltaje alterno entre los terminales delcapacitor. Como sabemos que la capacitancia es ,sustituyendo tenemos:


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Como , al diferenciar la ecuación anterior obtendremos lacorriente instantánea.

Nuevamente, observamos que la corriente no está en fase con la

caída de voltaje a través del capacitor. Utilizaremos la identidad

trigonométrica tendremos:

Se observa que la corriente está fuera de fase respecto al voltajea través del capacitor.

Se puede ver también que la corriente de pico en el circuito es:

Donde se denomina reactancia capacitiva.3.1 Reactancia capacitiva

La reactancia capacitiva se puede calcular matemáticamente

como el inverso del producto de la frecuencia angular ( ) por elvalor del capacitor (C).

Entonces la amplitud de corriente () y amplitud de voltaje ()están relacionadas mediante:


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4. Circuitos RLC de una sola malla

En este tipo de circuito se combinan los circuitos inductivos,

capacitivos y resistivos, es decir, el circuito posee una resistencia, uninductor y un capacitor conectados a través de una fuente de

voltaje AC. Este circuito tendrá nuevas propiedades cuando estos

elementos se combinan.

Suponemos que el voltaje aplicado de la f.e.m. varía senoidalmente

con el tiempo. Entonces el voltaje aplicado de la f.e.m. está dado

por:

Como R, L y C están en serie, la misma corriente circula en estos tres

elementos:

La cantidad es el ángulo de fase entre la corriente y el voltajeaplicado.

Todos los puntos en un circuito AC en serie tiene la misma amplitud yfase, entonces el voltaje a través de cada elemento(R, L y C) tendrá

diferente amplitud y fase.


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La amplitud de corriente

Los fasores representan los voltajes entre los terminales de R, L y C en

el mismo tiempo t.Cuando solo la f.e.m. está conectada con un elemento de circuito

R, L o C tenemos:

Resistor: La corriente y el voltaje están en fase, el ángulo de rotación

del fasor de voltaje es el mismo que el del fasor .Condensador: La corriente se adelanta al voltaje, de modo queel ángulo de rotación del fasor de voltaje es menor que el dedel fasor .Inductor: La corriente se atrasa

al voltaje, de modo que el ángulo

de rotación del fasor es mayor que el del fasor .

De la regla de kirchoff sabemos que en cualquier instante la suma de los

voltajes es igual a la f.e.m. aplicada .

Entonces, en el tiempo t la proyección f.e.m. es igual a la suma algebraica

de las proyecciones . De hecho como los fasores giran juntos,esta igualdad siempre se cumple. Esto significa que el fasor debe serigual a la suma vectorial de los tres fasores de voltaje .Como se mencionaba antes, el voltaje a través de la resistencia está en


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fase con la corriente, el voltaje a través del inductor se adelanta a la

corriente en , y finalmente, el voltaje a través del capacitor se atrasarespecto a la corriente . Utilizando la relación que existe entre las fases, la caída instantánea de

voltaje de los tres elementos puede expresarse como:

Donde son los voltajes de pico a través de cada elementodado por:

El fasor está trazado como la suma de fasores . Como losfasores tienen direcciones opuestas, simplificamos la sumavectorial al combinar primero para formar el fasor individual


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y luego combinamos este fasor individual con para hallar elfasor neto.

Como resulta un triángulo rectángulo procedemos a aplicar el teorema de

Pitágoras y resulta:

Donde el denominador de la ecuación anterior se denomina impedancia

(Z) del circuito.

4.1 Impedancia

La impedancia puede definirse como la resistencia al flujo de corriente

alterna.

Podemos calcularla mediante la expresión definida en la ecuación

anterior:

Entonces la ecuación que relaciona la f.e.m. y la corriente del circuito nosqueda como:

Las unidades de la impedancia en el sistema internacional es el ohm .


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La constante de fase

Del triángulo rectángulo utilizando la razón trigonométrica tangente

obtenemos:

Si analizamos, la constante de fase nos da tres resultados diferentes,

dependiendo de los valores relativos de . : Se dice que el circuito es más inductivo que capacitivo. Lo quesignifica que la constante de fase es positiva, lo que indica que el fasor gira detrás del fasor . : Se dice que el circuito es más capacitivo que inductivo. Lo quesignifica que la constante de fase es negativa, lo que indica que el fasor gira adelante del fasor , osea que la corriente se adelanta al voltajeaplicado. : Cuando esto sucede se dice que el circuito está en resonancia.Lo que indica que la constante de fase es cero. En este caso, laimpedancia es igual a la resistencia y la corriente viene dada por . Lafrecuencia en la cual ocurre esto se llama frecuencia de resonancia.


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5. Potencia en un circuito de corriente alterna

En un circuito RLC, la fuente de energía es el generador de corriente

alterna. Parte de la energía que proporciona se almacena en el campo

eléctrico del capacitor, en el campo magnético del inductor y otra parte

se disipa como energía térmica en el resistor. El promedio de energía

almacenada en el capacitor e inductor juntos permanece constante. La

transferencia neta de energía es, del generador al resistor, donde la

energía electromagnética se disipa como energía térmica.

De forma análoga, la fuente debe hacer trabajo oponiéndose a la f.e.m.

del inductor, por el cual circula una corriente. Cuando la corriente alcanza

su valor de pico, la energía almacenada en el inductor es máxima.

Cuando la corriente comienza a disminuir en el circuito, esta energíaalmacenada regresa a la fuente mientras que el inductor trata de

mantener la corriente en el circuito.

La cantidad recibe el nombre de raíz cuadrática media (rms),entonces el valor de la corriente i:

Si cambiamos la corriente rms, podemos calcular el promedio de rapidez

de disipación de energía para circuitos de corriente alterna.

También podemos definir los valores rms de voltajes y f.e.m. para circuitos

de corriente alterna:


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Como el factor de proporcionalidad para las variables , y es el mismo, podemos reescribir:

Podemos emplear la relación para darle una nueva forma ala potencia promedio en una forma equivalente:

Pero como sabemos que R/Z es exactamente el coseno de la constante

de fase :

Finalmente obtenemos una expresión final para la potencia promedio:

En donde el término se llama factor de potencia. Debido a que, esto quiere decir que la potencia promedio esindependiente del signo de la constante de fase .


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6. Resonancia en un circuito RLC

Un circuito RLC de una sola malla se dice que está en resonancia cuando

la corriente alcanza su valor de pico. La corriente rms se puede expresar

de la siguiente manera:

Como la impedancia depende de la frecuencia de la fuente, la corriente

en el circuito RLC. La corriente alcanza su valor de pico cuando ,que corresponde a Z=R. La frecuencia en la cual ocurre esto se llamafrecuencia de resonancia del circuito.

Entonces, en un circuito RLC, la resonancia y la máxima amplitud de

corriente se presenta cuando:


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Cuestionario

1. En un circuito de corriente alterna ¿Cómo afecta a las magnitudes R,

L, C, XL y XC el aumentar la frecuencia de la fem? Explique.

Según lo investigado la frecuencia de la fem no afecta a R, L, C pero

si afecta a XL y XC de la siguiente manera:

XL: Aumenta directamente proporcional a frecuencia de la

fem.

XC: Disminuye proporcionalmente a la frecuencia de la fem.

2.

Defina cualitativamente y operacionalmente la impedancia Z de un

circuito serie RLC.

La impedancia de un circuito es la relación entre (los fasores) voltajey corriente, donde Z es la impedancia. Para un circuito RLCSerie.

La impedancia puede definirse como la resistencia al flujo decorriente alterna.

Podemos calcularla mediante la expresión definida en la ecuación

anterior:

3.

¿Cómo se obtiene y que representa la frecuencia de resonancia de

un circuito RLC?

Como la impedancia depende de la frecuencia de la fuente, la

corriente en el circuito RLC. La corriente alcanza su valor de pico

cuando , que corresponde a Z=R La frecuencia en la cualocurre esto se llama frecuencia de resonancia del circuito.


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Entonces, en un circuito RLC, la resonancia y la máxima amplitud de

corriente se presenta cuando: 4.

¿Qué tipo de energía se asocia a cada uno de los elementos R, L y C

qué diferencia hay entre ellas?

Los 3 elementos están asociados con energía eléctrica.

R: En la resistencia transforma la energía eléctrica lo hace en

forma de calor.

L: Almacena energía eléctrica en forma de campo eléctrico

cuando aumenta la intensidad de corriente.

C: Almacena energía eléctrica en forma de campo eléctricocuando aumenta la diferencia de potencial en sus terminales.

5. Un circuito serie RLC con R= 5Ω, L= 10mH y C= 2μF está conectado a

un generador de ε= 100v y una ω variable.

Determinar:

a)

La frecuencia de resonanciaω0

μ

b) La Im de resonancia


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c) XL y XC si

μ

d) Im para el literal anterior y el ángulo de fase φ

e) El factor de potencia


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Bibliografía:

Física tomo II Tercera Edición Raymond A. Serway

Fundamentos de Física Sexta Edición vol. 2 David

Halliday/Robert Resnick/ Jearl Walker

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