Trabajo Correctooo

7/22/2019 Trabajo Correctooo

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Fenmeno aleatorioEnestadstica,un experimento aleatorioes aquel que bajo el mismoconjunto aparente de condiciones iniciales, puede presentar resultadosdiferentes, es decir, no se puede predecir el resultado exacto de cada

experiencia particular. (Ej: Lanzamiento de un dado). Este tipo defenmeno es opuesto alfenmeno determinista,en el que conocer todos losfactores de un experimento nos hace predecir exactamente el resultado delmismo. Por ejemplo, conociendo la altura desde la que se arroja un mviles posible saber exactamente el tiempo que tardar en llegar al suelo encondiciones de vaco.

PropiedadesUn experimento se dice aleatorio si verifica las siguientes condiciones:

Si los resultados se pueden contar se le llama experimento aleatorionumerable; y si no se pueden contar, se le llama experimentoaleatorio no numerable.

Si es posible conocer previamente todos los posibles resultados (elespacio muestral,constituido por diferentessucesos) o por lo menosnombrar al ltimo resultado se le llama experimento aleatoriofinito; y si no se puede nombrar al ltimo resultado, se le llamaexperimento aleatorio infinito.

Es imposible predecir el resultado exactodel mismo antes derealizarlo.

A cada realizacin de un experimento se le llama experienciaoprueba.Distribucin de probabilidad

Ladistribucin Normal suele conocerse como la "campana de gauss".

Enteora de la probabilidadyestadstica,la distribucin deprobabilidadde unavariable aleatoria es unafuncin que asigna acada suceso definido sobre la variable aleatoria laprobabilidad de quedicho suceso ocurra. La distribucin de probabilidad est definida sobreel conjunto de todos los eventos rango de valores de la variable aleatoria.
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Cuando la variable aleatoria toma valores en el conjunto de los nmerosreales, la distribucin de probabilidad est completamente especificadapor la funcin de distribucin, cuyo valor en cada real xes laprobabilidad de que la variable aleatoria sea menor o igual que x.

Definicin de funcin de distribucinDada unavariable aleatoria todos son puntos , su funcin dedistribucin, , es

Por simplicidad, cuando no hay lugar a confusin, suele omitirse elsubndice y se escribe, simplemente , .

PropiedadesComo consecuencia casi inmediata de la definicin, la funcin dedistribucin:

Es una funcincontinua por la derecha. Es una funcinmontona no decreciente.

Adems, cumple

y

Para dos nmeros reales cualesquiera ay btal que (a< b), los sucesos

y son mutuamente excluyentes y su unin es el

suceso , por lo que tenemos entonces que:

y finalmente

Por lo tanto una vez conocida la funcin de distribucin F(x) para todoslos valores de la variable aleatoria xconoceremos completamente ladistribucin de probabilidad de la variable.
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Para realizar clculos es ms cmodo conocer la distribucin deprobabilidad, y sin embargo para ver una representacin grfica de laprobabilidad es ms prctico el uso de la funcin de densidad.

Distribuciones de variable discreta

Distribucin binomial.

Se denomina distribucin de variable discreta a aquella cuya funcin deprobabilidad slo toma valores positivos en un conjunto de valores de Xfinito oinfinito numerable.A dicha funcin se le llama funcin de masade probabilidad. En este caso la distribucin de probabilidad es el

sumatorio de la funcin de masa, por lo que tenemos entonces que:

Y, tal como corresponde a la definicin de distribucin de probabilidad,esta expresin representa la suma de todas las probabilidades desdehasta el valor x.

Distribuciones de variable discreta ms importantesLas distribuciones de variable discreta ms importantes son las siguientes:

Distribucin binomial Distribucin binomial negativa Distribucin Poisson Distribucin geomtrica Distribucin hipergeomtrica Distribucin de Bernoulli Distribucin Rademacher,que toma el valor 1 con probabilidad 1 /

2 y el valor -1 con probabilidad 1 / 2. Distribucin uniforme discreta,donde todos los elementos de un

conjunto finito son equiprobables.
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Distribuciones de variable continua

Distribucin normal.

Se denomina variable continua a aquella que puede tomar cualquiera delos infinitos valores existentes dentro de un intervalo. En el caso devariable continua la distribucin de probabilidad es la integral de lafuncin de densidad, por lo que tenemos entonces que:

Espacio muestralEn lateora de probabilidades,el espacio muestralo espacio de muestreo(denotado E, S, o U) consiste en elconjunto de todos los posiblesresultados individuales de unexperimento aleatorio.

Por ejemplo, si el experimento consiste en lanzar dos monedas, el espaciode muestreo es el conjunto {(cara, cara), (cara, cruz), (cruz, cara) y(cruz, cruz)}. Unevento o suceso es cualquier subconjunto del espaciomuestral, llamndose a los sucesos que contengan un nico elementosucesos elementales. En el ejemplo, el suceso "sacar cara en el primerlanzamiento", o {(cara, cara), (cara, cruz)}, estara formado por lossucesos elementales {(cara, cara)} y {(cara, cruz)}.

Para algunos tipos de experimento puede haber dos o ms espacios demuestreo posibles. Por ejemplo, cuando se toma una carta de un mazonormal de 52cartas,una posibilidad del espacio de muestreo podra serel nmero (del as al rey), mientras que otra posibilidad sera el palo(diamantes, trboles, corazones y picas). Una descripcin completa de losresultados, sin embargo, especificara ambos valores, nmero y palo, y sepodra construir un espacio de muestreo que describiese cada cartaindividual como elproducto cartesiano de los dos espacios de muestreodescritos.

Los espacios de muestreo aparecen de forma natural en unaaproximacin elemental a laprobabilidad,pero son tambin importantes
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enespacios de probabilidad.Un espacio de probabilidad (, F, P)incorpora un espacio de muestreo de resultados, , pero define unconjunto de sucesos de inters, la-lgebra F, por la cual se define lamedida de probabilidad P.

ProbabilidadLa probabilidadmide la frecuencia con la que se obtiene unresultado (o conjunto de resultados) al llevar a cabo unexperimento aleatorio, del que se conocen todos los resultadosposibles, bajo condiciones suficientementeestables. Lateora de laprobabilidad se usa extensamente en reas como laestadstica,lafsica,lamatemtica,lacienciay lafilosofa para sacarconclusiones sobre la probabilidad de sucesos potenciales y lamecnica subyacente de sistemas complejos.

TeoraLa probabilidad constituye un importante parmetro en ladeterminacin de las diversas casualidades obtenidas tras una serie deeventos esperados dentro de un rango estadstico.

Existen diversas formas como mtodo abstracto, como lateora Dempster-

Shafery la numrica, estaltima con un alto grado de aceptacin si setoma en cuenta que disminuye considerablemente las posibilidades hastaun nivel mnimo ya que somete a todas las antiguas reglas a una simpleley de relatividad.[cita requerida]

La probabilidad de un evento se denota con la letrapy se expresa entrminos de una fraccin y no en porcentajes, por lo que el valor depcaeentre 0 y 1. Por otra parte, la probabilidad de que un evento "no ocurra"equivale a 1 menos el valor depy se denota con la letra q:

Los tres mtodos para calcular las probabilidades son la regla de laadicin, la regla de la multiplicacin y ladistribucin binomial.

Regla de la adicinLa regla de la adicin o regla de la suma establece que la probabilidadde ocurrencia de cualquier evento en particular es igual a la suma de lasprobabilidades individuales, si es que los eventos son mutuamenteexcluyentes, es decir, que dos no pueden ocurrir al mismo tiempo.
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Regla de la multiplicacinLa regla de la multiplicacin establece que la probabilidad de ocurrenciade dos o ms eventos estadsticamente independientes es igual al productode sus probabilidades individuales.

Distribucin binomialLa probabilidad de ocurrencia de una combinacin especfica de eventosindependientes y mutuamente excluyentes se determina con ladistribucin binomial, que es aquella donde hay solo dos posibilidades,tales como masculino/femenino o si/no.

Funcin de densidad de probabilidad

Funcin de densidad de probabilidad para ladistribucin normal.

Enteora de la probabilidad,la funcin de densidad de probabilidad,funcin de densidad, o, simplemente, densidadde unavariable aleatoriacontinua es una funcin, usualmente denominada f(x)que describe ladensidad de la probabilidad en cada punto del espacio de tal maneraque la probabilidad de que la variable aleatoria tome un valor dentro deun determinado conjunto sea la integral de la funcin de densidad sobredicho conjunto.

PropiedadesDe laspropiedades de la funcin de distribucin se siguen las siguientespropiedades de la fdp (a veces visto comopdf del ingls):

para toda x. El rea total encerrada bajo la curva es igual a 1:
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La probabilidad de que Xtome un valor en el intervalo [a,b] es elrea bajo la curva de la funcin de densidad en ese intervalo o loque es lo mismo, la integral definida en dicho intervalo. La grficaf(x) se conoce a veces como curva de densidad.

Algunas FDP estn declaradas en rangos de a , como la de ladistribucin normal.

Esperanza matemticaEnestadstica la esperanza matemtica(tambin llamada esperanza,valor esperado, media poblacionalo media) de unavariable aleatoria X,es el nmero que formaliza la idea de valor mediode un fenmenoaleatorio.

Cuando la variable aleatoria es discreta, la esperanza es igual a la sumade la probabilidad de cada posiblesuceso aleatorio multiplicado por elvalor de dicho suceso. Por lo tanto, representa la cantidad media que se"espera" como resultado de un experimento aleatorio cuando laprobabilidad de cada suceso se mantiene constante y el experimento serepite un elevado nmero de veces. Cabe decir que el valor que toma laesperanza matemtica en algunos casos puede no ser "esperado" en elsentido ms general de la palabra - el valor de la esperanza puede ser

improbable o incluso imposible.

Por ejemplo, el valor esperado cuando tiramos un dado equilibrado de 6caras es 3,5. Podemos hacer el clculo

y cabe destacar que 3,5 no es un valor posible al rodar el dado. En estecaso, en el que todos los sucesos son de igual probabilidad, la esperanza esigual a lamedia aritmtica.

DefinicinPara una variable aleatoria discreta con valores posibles ysus probabilidades representadas por lafuncin de probabilidadp(x

i) la

esperanza se calcula como:
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Para una variable aleatoria continua la esperanza se calcula mediante

la integral de todos los valores y lafuncin de densidad :

La definicin general de esperanza se basa, como toda lateora de laprobabilidad,en el marco de lateora de la mediday se define como lasiguienteintegral:

La esperanza tambin se suele simbolizar con

Las esperanzas para se llaman momentosde orden .Ms importantes son losmomentos centrados .

No todas las variables aleatorias tienen un valor esperado. Por ejemplo, ladistribucin de Cauchy no lo tiene.

PropiedadesLa esperanza es unoperador lineal,ya que:

Combinando estas propiedades, podemos ver que -

Donde e son variables aleatorias y y y son tres constantescualesquiera.

Valor Esperado

(Redirigido desde Esperanza matemtica)

En estadstica el valor esperado o esperanza matemtica (o simplemente

esperanza) de una variable aleatoria es la suma de la probabilidad de

cada suceso multiplicado por su valor. Por ejemplo en un juego de azar el
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valor esperado es el beneficio medio. Si todos los sucesos son de igual

probabilidad la esperanza es la media aritmtica. Definicin Para una

variable aleatoria discreta con valores posibles y sus posibilidades

representadas por la funcin de masa p(xi) la esperanza se calcula con

Para una variable aleatoria continua la esperanza se calcula mediante

la integral de todos valores y la funcin de densidad f(x):

Las esperanzas E [Xk] para k = 0,1,2 se llaman momentos de orden k. Ms

importantes son los momentos centrados E[(X E[X])k]. No todas las

variables aleatorias tienen un valor esperado (por ejemplo la distribucin

de Cauchy). El valor esperado es una funcin lineal. Por eso E [aX + b] =

aE[X] + b

VarianzaEnteora de probabilidad,la varianza(que suele representarse como 2)de unavariable aleatoria es unamedida de su dispersin definida comolaesperanza del cuadrado de la desviacin de dicha variable respecto asu media.

Est medida en unidades distintas de las de la variable. Por ejemplo, si lavariable mide una distancia en metros, la varianza se expresa en metrosal cuadrado. Ladesviacin estndar,la raz cuadrada de la varianza

(note que la varianza nunca puede ser negativa), es una medida dedispersin alternativa expresada en las mismas unidades.

Hay que tener en cuenta que la varianza puede verse muy influida por losvalores atpicosy se desaconseja su uso cuando las distribuciones de lasvariables aleatorias tienen colas pesadas. En tales casos se recomienda eluso de otras medidas de dispersin msrobustas.

El trmino varianzafue acuado porRonald Fisher en un artculo de1918 titulado The Correlation Between Relatives on the Supposition ofMendelian Inheritance.

DefinicinDada una variable aleatoria Xconmedia = E(X), se define su varianza,Var(X) (tambin representada como o, simplemente 2), como
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Desarrollando la definicin anterior, se obtiene la siguiente definicinalternativa (y equivalente):

Si una distribucin no tiene esperanza, como ocurre con la deCauchy,tampoco tiene varianza. Existen otras distribuciones que, aun teniendoesperanza, carecen de varianza. Un ejemplo de ellas es la deParetocuando su ndice ksatisface 1 < k 2.

Distribucin binomial

Distribucin binomial

Funcin de probabilidad

Funcin de distribucin de probabilidad
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Parmetros nmero de ensayos(entero)

probabilidad de

xito (real)

DominioFuncin de

probabilidadfp)

Funcin dedistribucincdf)

MediaMediana Uno de 1

ModaVarianza

Coeficiente desimetra

Curtosis

Entropa
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Funcingeneradorade momentos

mgf)Funcin

caracterstica

Enestadstica,la distribucin binomiales unadistribucin deprobabilidad discreta que mide el nmero de xitos en una secuencia denensayos independientes deBernoulli con una probabilidad fijapdeocurrencia del xito entre los ensayos.

Un experimento de Bernoulli se caracteriza por ser dicotmico, esto es,

slo son posibles dos resultados. A uno de estos se denomina xito y tieneuna probabilidad de ocurrenciapy al otro, fracaso, con unaprobabilidad q= 1 -p. En la distribucin binomial el anteriorexperimento se repite nveces, de forma independiente, y se trata decalcular la probabilidad de un determinado nmero de xitos. Para n=1, la binomial se convierte, de hecho, en unadistribucin de Bernoulli.

Para representar que unavariable aleatoria Xsigue una distribucinbinomial de parmetros nyp, se escribe:

La distribucin binomial es la base deltest binomial designificacinestadstica.

Distribucin de Poisson

Distribucion De PoissonFuncin de probabilidad
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El eje horizontal es el ndice k. La funcin solamente est

definida en valores enteros de k. Las lneas que conectan

los puntos son solo guas para el ojo y no indicancontinuidad.


El eje horizontal es el ndice k.

ParmetrosDominio

Funcin deprobabilidad

fp)Funcin dedistribucin

cdf) (dnde (x,y) es laFuncin gamma incompleta)
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MediaMediana

ModaVarianza

Coeficiente desimetraCurtosis

Entropa

Funcingeneradorade momentos

mgf)Funcin

caracterstica

Enteora de probabilidadyestadstica,la distribucin de Poissones unadistribucin de probabilidaddiscreta que expresa, a partir de unafrecuencia de ocurrencia media, la probabilidad que ocurra undeterminado nmero de eventos durante cierto periodo de tiempo.

Fue descubierta porSimon-Denis Poisson,que la dio a conocer en1838 ensu trabajo Recherches sur la probabilit des jugements en matirescriminelles et matire civile(Investigacin sobre la probabilidad de los

juicios en materias criminales y civiles).

PropiedadesLa funcin de masa de la distribucin de Poisson es

Donde
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kes el nmero de ocurrencias del evento o fenmeno (la funcinnos da la probabilidad de que el evento suceda precisamente kveces).

es un parmetro positivo que representa el nmero de veces que seespera que ocurra el fenmeno durante un intervalo dado. Por

ejemplo, si el suceso estudiado tiene lugar en promedio 4 veces porminuto y estamos interesados en la probabilidad de que ocurra kveces dentro de un intervalo de 10 minutos, usaremos un modelo dedistribucin de Poisson con = 104 = 40.

ees la base de los logaritmos naturales (e = 2,71828 ...)Tanto elvalor esperado como lavarianza de una variable aleatoria condistribucin de Poisson son iguales a . Losmomentos de orden superiorsonpolinomios de Touchard en cuyos coeficientes tienen unainterpretacincombinatoria.De hecho, cuando el valor esperado de ladistribucin de Poisson es 1, entonces segn lafrmula de Dobinski,el n-

simo momento iguala al nmero departiciones de tamao n.

Lamoda de una variable aleatoria de distribucin de Poisson con un no entero es igual a , el mayor de los enteros menores que (los smbolos

representan lafuncin parte entera). Cuando es un entero positivo, lasmodas son y 1.

Lafuncin generadora de momentos de la distribucin de Poisson convalor esperado es

Las variables aleatorias de Poisson tienen la propiedad de serinfinitamente divisibles.

Ladivergencia Kullback-Leibler desde una variable aleatoria de Poissonde parmetro

0a otra de parmetro es

Relacin con otras distribucionesSumas de variables aleatorias de PoissonLa suma de variables aleatorias de Poisson independientes es otravariable aleatoria de Poisson cuyo parmetro es la suma de losparmetros de las originales. Dicho de otra manera, si
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son Nvariables aleatorias de Poissonindependientes,entonces

.

Distribucin binomialLa distribucin de Poisson es el caso lmite de ladistribucin binomial.Dehecho, si los parmetros ny de una distribucin binomial tienden ainfinito y a cero de manera que se mantenga constante, ladistribucin lmite obtenida es de Poisson.

Aproximacin normalComo consecuencia delteorema central del lmite,para valores grandesde , una variable aleatoria de Poisson Xpuede aproximarse por otranormal dado que el cociente

converge a una distribucin normal de media nula y varianza 1.

Distribucin exponencialSupngase que para cada valor t> 0, que representa el tiempo, el nmerode sucesos de cierto fenmeno aleatorio sigue una distribucin de Poissonde parmetro t. Entonces, los tiempos discurridos entre dos sucesossucesivos sigue ladistribucin exponencial.

Procesos de PoissonLa distribucin de Poisson se aplica a varios fenmenos discretos de la

naturaleza (esto es, aquellos fenmenos que ocurren 0, 1, 2, 3,... vecesdurante un periodo definido de tiempo o en un rea determinada)cuando la probabilidad de ocurrencia del fenmeno es constante en eltiempo o el espacio. Ejemplos de estos eventos que pueden ser modelados porla distribucin de Poisson incluyen:

El nmero de autos que pasan a travs de un cierto punto en unaruta (suficientemente distantes de los semforos) durante unperiodo definido de tiempo.

El nmero de errores de ortografa que uno comete al escribir unanica pgina.

El nmero de llamadas telefnicas en una central telefnica porminuto.
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El nmero deservidores web accedidos por minuto. El nmero de animales muertos encontrados por unidad de

longitud de ruta. El nmero de mutaciones de determinada cadena deADN despus

de cierta cantidad de radiacin.

El nmero de ncleos atmicos inestables que decayeron en undeterminado perodo en una porcin de sustancia radiactiva. Laradiactividad de la sustancia se debilitar con el tiempo, por lotanto el tiempo total del intervalo usado en el modelo debe sersignificativamente menor que lavida media de la sustancia.

El nmero de estrellas en un determinado volumen de espacio. La distribucin de receptores visuales en laretina del ojo humano. Lainventiva de un inventor a lo largo de su carrera.

Distribucin normal

Distribucin normal


La lnea verde corresponde a ladistribucin normal estandar

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Parmetros> 0Dominio

Funcin dedensidad pdf)Funcin dedistribucincdf)

MediaMediana

ModaVarianza

Coeficiente desimetra 0

Curtosis 0EntropaFuncingeneradora demomentos mgf)Funcincaracterstica
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Enestadsticayprobabilidad se llama distribucin normal, distribucinde Gausso distribucin gaussiana, a una de lasdistribuciones deprobabilidad devariable continua que con ms frecuencia aparece enfenmenos reales.

Lagrfica de sufuncin de densidad tiene una forma acampanada y essimtrica respecto de un determinadoparmetro.Esta curva se conocecomocampana de Gauss.

La importancia de esta distribucin radica en que permitemodelarnumerosos fenmenos naturales, sociales y psicolgicos. Mientras que losmecanismos que subyacen a gran parte de este tipo de fenmenos sondesconocidos, por la enorme cantidad de variables incontrolables que enellos intervienen, el uso del modelo normal puede justificarse asumiendoque cada observacin se obtiene como la suma de unas pocas causasindependientes.

De hecho, la estadstica es un modelo matemtico que slo permitedescribir un fenmeno, sin explicacin alguna. Para la explicacincausal es preciso el diseo experimental, de ah que al uso de laestadstica en psicologa y sociologa sea conocido como mtodocorrelacional.

La distribucin normal tambin es importante por su relacin con laestimacin pormnimos cuadrados,uno de los mtodos de estimacinms simples y antiguos.

Algunos ejemplos de variables asociadas a fenmenos naturales quesiguen el modelo de la normal son:

caracteresmorfolgicos de individuos como laestatura; caracteresfisiolgicos como el efecto de unfrmaco; caracteressociolgicos como elconsumo de cierto producto por un

mismo grupo de individuos; caracterespsicolgicos como elcociente intelectual; nivel deruido entelecomunicaciones; errores cometidos al medir ciertas magnitudes;

etc.

La distribucin normal tambin aparece en muchas reas de la propiaestadstica. Por ejemplo, ladistribucin muestral de lasmedias muestraleses aproximadamente normal, cuando la distribucin de la poblacin dela cual se extrae la muestra no es normal.1Adems, la distribucinnormal maximiza laentropa entre todas las distribuciones con media yvarianza conocidas, lo cual la convierte en la eleccin natural de ladistribucin subyacente a una lista de datos resumidos en trminos demedia muestral y varianza. La distribucin normal es la ms extendidaen estadstica y muchos tests estadsticos estn basados en una supuesta

"normalidad".
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20/22

En probabilidad, la distribucin normal aparece como el lmite de variasdistribuciones de probabilidadcontinuasydiscretas

Distribucin gamma

Distribucin gamma.

Enestadstica la distribucin gammaes unadistribucin deprobabilidad continua con dos parmetros ky cuyafuncin dedensidad para valores x> 0 es

Aqu ees elnmero ey es lafuncin gamma.Para valoresla aquella es (k) = (k1)! (elfactorial de k1). En este caso - porejemplo para describir unproceso de Poisson - se llaman la distribucindistribucin Erlang con un parmetro = 1 / .

Elvalor esperadoy lavarianza de unavariable aleatoria X dedistribucin gamma son

E[X] = k/ = kV[X] = k/ 2= k2

RelacionesEl tiempo hasta que el suceso nmero kocurre en unProceso de Poisson deintensidad es una variable aleatoria con distribucin gamma. Eso es lasuma de kvariables aleatorias independientes dedistribucinexponencial con parmetro .

Distribucin beta

Beta

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21/22


Parmetros > 0 forma (real)> 0 forma (real)

DominioFuncin dedensidadpdf)Funcin dedistribucincdf)

MediaMediana

Moda para > 1,> 1
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Varianza

Coeficiente desimetraCurtosis

EntropaFuncingeneradorade momentosmgf)Funcincaracterstica

Enestadstica la distribucin betaes unadistribucin de probabilidadcontinua con dos parmetros ay bcuyafuncin de densidad para valores0 < x< 1 es

Aqu es lafuncin gamma.

Elvalor esperadoy lavarianza de unavariable aleatoria X condistribucin beta son

.

Un caso especial de la distribucin beta con a= 1 y b= 1 es ladistribucinuniforme en el intervalo [0, 1].

Para relacionar con la muestra se iguala E [X] a la media y V[X] a lavarianza y de despejan a y b.
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