Trabajo de Anillo de Polinomio-Determinante-transformacion Lineal

8/18/2019 Trabajo de Anillo de Polinomio-Determinante-transformacion Lineal

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Anillo de Polinomios

Defnición 1: (Defnición ormal de un polinomio)

Sea A un anillo, se llama un polinomio en la indeterminada x con

coefcientes en el anillo A, a la suma ormal

( )0

,n

i

i

i

p x a x=

= ∑donde

ia A∈

,

∀ i=0,1 ….,n∈ N ∪ {0 }

En otras palabras,

p ( x )=a0+a1 x+a2 x2+…+an x

n=∑i=0

n

ai xi , ai∈ A , ∀ i=0,1 ….,n∈ N ∪ {0 }

El conjunto de todos los polinomios en x con coefcientes sobre el anillo A,

se denota por

A [ x ]={∑i=0

n

a i xi: ai∈ A ,∀ i=0,1 ….,n∈ N }

Defnición 2:

Sea

( ) 1 0...n

n p x a x a x a= + + + un polinomio en

[ ] A x entonces los

ia A∈

,

∀ i=0,1 ….,n∈ N , se llaman coefcientes del polinomio.

Defnición 3:


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Sea

( ) p x

un polinomio en

[ ] A x que tiene todos sus coefcientes iguales a 0

(cero), se llama polinomio nulo o polinomio cero se denota por cero.

Es decir, si0 1 2 ... 0na a a a A= = = = = ∈ , se tiene que si

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 10 10

... 0 1 0 ... 0 0 0 ... 0 0n

i n n

i n

i

p x a x a x a x a x x x=

= = + + + = + + + = + + + =∑

!uego, p( x)=0

Defnición 4:

Si un polinomio

( ) p x

en

[ ] A x que tiene todos sus coefcientes

ia

iguales a

cero, para1i ≥

, se llama polinomio constante.

De otra manera, sea1 2 ... 0na a a A= = = = ∈

consideremos0a b A= ∈

, as"

( ) ( ) ( ) ( )0 10 10

... 1 0 ... 0 0 ... 0n

i n n

i n

i

p x a x a x a x a x b x x b b=

= = + + + = + + + = + + + =∑

!uego,

( ) p x b=

#dem$s si su primer coefciente es uno (%) los dem$s ceros (0) llamaremos al

polinomio &polinomio identidad' denotado por

I ( x )=1+0 x+0 x2+…+0 xn=1


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Defnición 5:

Dados dos polinomios

( ) [ ]0

ni

i

i

p x a x A x=

= ∈∑

( ) [ ]0

mi

i

i

q x b x A x=

= ∈∑, diremos

que son iguales lo denotamos por p(x)q(x), s" sólo sii ia b=

∀ i=0,1 ….,n∈ N .

En

[ ] A x se defnindoos operaciones* la suma la multiplicación de

polinomios.

Defnición 6:

Sea # un anillo, entonces*

i) Sean

( )0

ni

i

i

p x a x=

= ∑

( )0

mi

i

i

q x b x=

= ∑ dos polinomios en

[ ] A x, supongamos

quem n>

, se defne la suma de los polinomios p(x) q(x) como el polinomio.

( ) ( ) ( )110

... ,n

m n i

m n i i

i

p x q x b x b x a b x++=

+ = + + + +∑ ∀ i=0,1 … .,n∈ N

Si

m n=

, entonces

( ) ( ) ( )0

,n

i

i i

i

p x q x a b x=

+ = +∑ ∀ i=0,1 … . , n∈ N

ii) Sean

( )0

ni

i

i

p x a x=

= ∑

( )0

m j

j

j

q x b x=

= ∑ dos polinomios en

[ ] A x, se defne la

multiplicación de los polinomios p(x) q(x) como el polinomio.


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( ) ( ) ( )0

,n m n m

i j k

i j k

i o j o k

p x q x a x b x c x+

= = =

× = × = ÷ ÷ ∑ ∑ ∑ talque k i j

i j k

c a b+ =

= ×∑

ck =a0 bk +a1 bk −1+…+al bk −l+…ak −1b1+ak b0

Defnición 7:

Sea # un anillo conmutati+o el polinomio

( ) [ ]0

ni

i

i

p x a x A x=

= ∈∑ no nulo,

entonces el grado de p(x), denotado por

( )( ) g p x, es el maor entero no

negati+o n, tal que

0na ≠, as"

( )( ) g p x n=

Observación 1:

i) #l elementoia A∈

se le llama coefciente de grado i, a la expresión

i

ia x

trmino de grado i.

ii) El coefciente de grado n de un polinomio de grado n se le llama coefciente

principal a la expresión

n

na x

trmino principal.

iii) El coefciente de grado cero de un polinomio p(x) se llama trmino

independiente

i+) n polinomio p(x) cuo coefciente principal +alga % se dice que es un

polinomio mónico, es decir,

( ) [ ]1 0...n p x x a x a A x= + + + ∈


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Observación 2:

Si

( )( ) g p x n=, entonces

0k a =, para todo - n escribimos

( ) [ ]1 0...n

n p x a x a x a A x= + + + ∈

Es decir, no se colocan aquellos trminos

i

ia x

con i n, pues son todos

nulos.

Observación 3:

Si

( ) [ ] p x A x∈ es un polinomio constante no nulo, entonces

( )( ) 0 g p x =.

Observación 4:

El grado del polinomio 0 lo defnimos mediante el s"mbolo especial−∞

, de

acuerdo a las siguientes condiciones*

i) −∞


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i)+¿

g ( p ( x )+q ( x ) ) ≤ m á x {n ,m} ,conn,m∈ N ¿

ii)+¿

g ( p ( x ) ∙q ( x ) )=n+m,conn.m∈ N ¿

Demostración:

i) Supongamos que n m, entonces el coefciente principal de

( ) ( ) p x q x+

esigual al coefciente de p(x) por lo tanto

( ) ( )( ) ( )( ) { }, g p x q x g p x n máx n m+ = = =.

Si suponemos quen m=

, entonces pueden ocurrir dos casos*

/aso * la suma de los coefcientes de p(x) q(x) sea cero, esto implica que

( ) ( ) 0 p x q x+ =, luego por la obser+ación (1)

( ) ( )( ) g p x q x+ = −∞ pero,

g ( p ( x )+q ( x ) )=−∞


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ii) 2ara calcular el grado del producto, consideremos

( )0

ni

i

i

p x a x=

= ∑

( )0

m

j j

j

q x b x=

= ∑en

[ ] A x, entonces desarrollemos la multiplicación, de la cual

se obtiene que

( ) ( )0

,n m

k

i j

k i j k

p x q x a b x+

= + =

× = × ÷

∑ ∑

de igual manera se originan

dos casos*

/aso * si - n 3 m, como

0n

a ≠

0n

b ≠

esto implica que

0n n

a b× ≠

, por ser

# un dominio de integridad, entonces se conclue

0n m n mc a b+ = × ≠ as"

0k c ≠

, por

lo tanto

( ) ( )( ). g p x q x k n m= = + a que

c l=0 , ∀ l>n+m

/aso * si - n 3 m, sabemos que

k i j

i j k

c a b+ =

= ×∑, luego por obser+ación (4)

cada terminoi ja b×

en dic5a suma es igual a cero, pues se debe tener in o

bien jm, lo cual implica

0ia =ó bien

0 jb =

. 2or lo tanto

0k c =

parak >m+n ,

as" el grado de

( ) ( )( ). g p x q x n m= +

.

6inalmente, del caso , 5emos probado que

( ) ( )( ). g p x q x n m= +.


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Eem!lo 1

Sea p ( x )=1+ x− x2

y q ( x )=2+ x2+ x3

Determinar*

a .¿ p ( x )+q ( x)

b .¿ p ( x) ∙q ( x)

Solución*

2arte a*

7eamos8

p ( x )+q ( x )=( 1+ x− x2 )+( 2+ x2+ x3 ) sustituyendo

p ( x )+q ( x )= (1+2 )+(1+0 ) x+ (−1+1 ) x2+ (0+1 ) x3 definición 6 (i)

p ( x )+q ( x )=3+ x+0 x2+ x3 sumaen

∴ p ( x )+q ( x )=3+ x+ x3

2arte b*

semos la defnición 9 (ii)

/omo p ( x )=1+ x− x2

q ( x )=2+ x2

+ x3

, entonces8

a0=1, a

1=1, a

2=−1, a

3=a

4=a

5=0

b0=2,b

1=0, b

2=1, b

3=1, b

4=b

5=0


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!uego8

p ( x ) ∙ q ( x )=∑k =0

5

ck xk =c0+c1 x+c2 x

2+c3 x3+c4 x

4+c5 x5

7eamos los coefcientes*

c0=a

0b

0=1 ∙2=2

∴c0=2

c1=a

0b

1+a

1b

0=1 ∙0+1∙ 2=0+2=2

∴c1=2

c2=a

2b

0+a

1b

1+a

0b

2= (−1 ) ∙2+1 ∙ 0+1∙ 1=−2+0+1=−1

∴c2=−1

c3=a

3b

0+a

2b

1+a

1b

2+a

0b

3=0 ∙2+ (−1 ) ∙0+1∙ 1+1∙ 1=0+0+1+1=2

∴c3=2

c4=a

4b

0+a

3b

1+a

2b

2+a

1b

3+a

0b

4=0 ∙2+0 ∙ 0+(−1 ) ∙ 1+1∙ 1+1 ∙0=0+0−1+1+0=0

∴c4=0

c5=a5b0+a4 b1+a3 b2+a2 b3+a1 b4+a0 b5=0 ∙2+0 ∙ 0+0 ∙ 1+ (−1 ) ∙1+1 ∙ 0+1∙ 0=0+0+0−1+0+0=−1

∴c5=−1

#s", el polinomio pedido es*


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p ( x ) ∙ q ( x )=c0+c1 x+c2 x2+c3 x

3+c4 x4+c5 x

5

¿2+2 x− x2+2 x3+0 x4− x5

∴ p ( x ) ∙ q ( x )=2+2 x− x2+2 x3− x5

Teorema 2:

El conjunto

[ ] A x de polinomio sobre un anillo #, es un anillo con las

operaciones de suma producto de polinomios. Si # es un anillo conmutati+o

unitario, entonces

[ ] A x es un anillo conmutati+o unitario.

Demostración:

7eamos si A [ x ] cumple con todas las condiciones de anillos.

Sea

p ( x )=∑i=0

n

ai xi, q ( x )=∑

i=0

m

b i xi

Luego;

p ( x )+q ( x )=∑i=0

s

(a i+bi) xi

, donde s=m á x {n ,m }

2or lo tanto8 p ( x )+q ( x )∈ A [ x ](i)

7eamos la multiplicación de polinomios


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p ( x ) ∙ q ( x )=∑k =0

m+n

(∑k =i+ !

❑

a ib !) xk

2or lo tanto8 p ( x ) ∙ q ( x )∈ A [ x ]( ii)

7eamos si +¿ es asociati+a en A [ x ]

Sean

p ( x )=∑i=0

n

ai xi, q ( x )=∑

i=0

m

b i xi," ( x )=∑

i=0

#

ci xi

Supongamos que m≤n≤# , así;

[ p ( x )+q ( x)]+" ( x )=[∑i=0

n

ai xi+∑

i=0

m

b i xi]+∑

i=0

#

c i xisustituyendo

¿∑i=0

m

(ai+b i) xi+∑

i=0

#

c i xi+en A [ x ]

¿∑i=0

#

[ (a i+bi )+c i ] xi+en A [ x ]

¿∑i

#

[ai+(bi+c i)] xi+esasoc . en A anillo

¿∑i=0

n

ai xi+∑

i=0

#

(bi+ci ) xi+en A [ x ]

¿∑i=0

n

ai xi+[∑

i=0

m

bi xi+∑

i=0

#

c i xi]+en A[ x ]


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¿ p ( x )+[q ( x )+" ( x )] sustituyendo

∴∀ p ( x ) , q ( x ) ," ( x )∈ A [ x ] : [ p ( x )+q ( x)]+" ( x )= p ( x )+[q ( x )+" ( x )](iii)

7eamos si ∙ es asociati+o en A [ x ]

Sean

p ( x )=∑i=0

n

ai xi,q ( x )=∑

!=0

m

b ! x !," ( x )=∑

t =0

#

ct xt

[ p ( x) ∙ q( x )] ∙ " ( x )=[(∑i=0n

ai xi

)∙

(∑ !=0m

b ! x !

)]∙

(∑t =0#

c t xt

)sustituyendo

¿[∑k =0n+m

( ∑k =i+ !

❑

ai b !) xk ]∙(∑t =0#

c t xt ) ∙enA [ x ]

¿ ∑l=0

(n+m)+#

[ ∑l= (i+ ! )+t ❑

(∑i+ !

❑

(ai b !))∙ c t ] x l ∙ en A [ x ]

¿ ∑l=0

(n+m)+#

[ ∑l=(i+ ! )+t ❑

(∑i+ !

❑

((ai ∙ b ! ) ∙ c t ))] x l dist .en Aanillo

¿ ∑l=0

n+(m+# )

[ ∑l=i+( !+ t )❑

(∑ !+t

❑

a i(b !c t ))] x l ag"upandote"minos

¿ ∑l=0

n+(m+# )

[ ∑l=i+( !+ t )❑

(ai( ∑$= !+ t ❑

b ! c t ))] x ldist . ena a nillo


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¿(∑i=0

n

ai xi)∙[∑$=0

m+#

(∑$= !+t

❑

b ! c t ) x$]∙enA [ x]

¿(∑i=0n

ai x i

)[(∑ !=0m

b ! x !

)(∑t =0#

ct xt

)]∙ en A [ x ]

¿ p ( x ) ∙ [q ( x ) ∙" ( x ) ] sustituyendo

∴∀ p ( x ) , q ( x ) ," ( x )∈ A [ x ] : [ p ( x ) ∙ q ( x)] ∙" ( x )= p ( x ) ∙ [q ( x ) ∙ " ( x )] ( i% )

7eamos si +¿ es conmutati+a en A [ x ]

Sean

p ( x )=∑i=0

n

ai xi, q ( x )=∑

i=0

m

b i xiconn≤m

p ( x )+q ( x )=∑i=0

n

ai xi+∑i=0

m

b i x i sustituyendo

¿∑i=0

m

(ai+bi ) xi+en A [ x ]

¿∑i=0

m

(bi+ai ) xi+es conmutati%aen A anillo

¿∑i=0

m

bi xi+∑

i=0

n

ai xi+en A [ x ]

¿q ( x )+ p ( x ) sustituyendo


14/85

∴∀ p ( x ) , q ( x )∈ A [ x ] : p ( x )+q ( x )=q ( x )+ p ( x )(% )

7eamos si A [ x ] tiene neutro con +¿

Sea

p ( x )=∑i=0

n

ai xi

Sea

e ( x )=0=∑i=0

n

0 xi

!uego8

p ( x )+e ( x )=∑i=0

n

ai xi+∑

i=0

n

0 xisustituyendo

¿∑i=0

n

(ai+0 ) xi+en A [ x ]

¿∑i=0

n

ai xineut"o de+en A anillo

¿ p ( x ) sustituyendo

∴∃ e ( x )=0=∑i=0

n

0 xi∈ A [ x ] ,∀ p ( x )∈ A [ x ] t . q . : p ( x )+e ( x )= p ( x )(%i)

7eamos si los elementos de A [ x ] tienen simtrico con respecto a +¿ *


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Sea

p ( x )=

∑i=0

n

ai x

i

#s"8

− p ( x )=∑i=0

n

(−ai) xi

Luego;

p ( x )+ [− p ( x)]=∑i=0

n

ai xi+∑

i=0

n

(−ai) xisustituyendo

¿∑i=0

n

(ai+ (−ai ) ) xi+en A [ x]

¿∑i=0

n

0 xisimet"icode+en A anillo

¿0≝ .de polinomionulo

¿e ( x ) sustituyendo

∴∀ p ( x )∈ A [ x ] ,∃ [− p( x) ]∈ A [ x ] : p ( x )+[− p( x) ]=e ( x )(%ii)

7eamos si ∙ conmuta en A [ x ] si A es un anillo conmutati+o. Sean

p ( x )=∑i=0

n

ai xi,q ( x )=∑

!=0

m

b ! x !

Así;


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p ( x ) ∙ q ( x )=(∑i=0

n

ai xi)(∑

!=0

m

b ! x !)sustituyendo

¿∑k =0

n+m

[ ∑k =i+ !❑

ai b !

] x

k

≝.de∙enA [ x]

¿∑k =0

m+n

[ ∑k = !+i

❑

b ! ai] xk ∙ conmutaen A anillo

¿(∑ !=0

m

b ! x !)(∑

i=0

n

a i xi)≝.de∙enA [ x ]

¿q ( x ) ∙ p ( x ) sustituyendo

∴∀ p ( x ) , q ( x )∈ A [ x ] : p ( x ) ∙ q ( x )=q ( x ) ∙ p ( x )(%iii)

7eamos si ∙ distribue con respecto a +¿ en A [ x ]

Sean

p ( x )=∑i=0

n

ai xi,q ( x )=∑

!=0

m

b ! x !," ( x )=∑

t =0

#

ct xt conm≤#

p ( x ) ∙ [ q ( x )+" ( x ) ]=(∑i=0

n

ai xi) ∙[(∑

!=0

m

b ! x !)+(∑

t =0

#

c t xt )]sustituyendo

¿(∑i=0n

ai xi

)∙

(∑ !=0#

(b !+c ! ) x !

)+en A [ x]

¿∑k =0

n+#

( ∑k =i+ !

❑

ai ∙ (b !+c ! )) xk ≝.de∙ en A [ x ]


17/85

¿∑k =0

n+#

( ∑k =i+ !

❑

(ai ∙b !+a ic ! )) xk ∙ dist con+en A anilo

¿∑k =0

n+#

( ∑k =i+ !❑

(ai ∙b ! )) x

k

+∑k =0

n+#

(∑k =i+ !❑

(ai c ! )) x

k

∝ . de∑❑

¿(∑i=0

n

ai xi)(∑

!=0

#

b ! x !)+(∑

i=0

n

ai xi)(∑

t =0

#

c t xt ) ∙enA [ x]

¿(∑i=0

n

ai xi)(∑

!=0

m

b ! x !)+(∑

i=0

n

ai xi)(∑

t =0

#

c t xt )b !=0, !>m

¿ p ( x ) ∙q ( x )+ p ( x ) ∙ " ( x ) susti tuyendo

∴∀ p ( x ) , q ( x ) ," ( x )∈ A [ x ] : p ( x ) ∙ [q ( x )+" ( x ) ]= p ( x ) ∙ q ( x )+ p ( x ) ∙ " ( x )(ix)

7eamos si A [ x ] tiene elemento unidad con ∙ si A tiene como elemento

unidad 1 con ∙

Sean

p ( x )=∑i=0

n

ai xicualquie"a y

I ( x )=1=∑ !=0

m

b ! x !,dondeb !={1 si !=00 si !>0

!uego, al multiplicar los polinomios tenemos que*

p ( x ) ∙ I ( x )=∑k =0

n+m

ck xk

,dondeck =∑k =i+ !

❑

ai b !


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7eamos8

ck =ak b0+ak −1 b1+…+a1 bk −1+a0 bk

/omo b !=0 para !>0 b0=1 , entonces

ck =ak ∙ 1+a1 ∙ 0+…+a1∙ 0+a0∙ 0

ck =ak +0+…+0+0

ck =ak

/omo ak =0 pa"a k >n entonces

p ( x ) ∙ I ( x )=∑i=0

n

ai xi

¿ p ( x)

∴∃ I ( x )=1∈ A [ x ] ,∀ p ( x )∈ A [ x ] : p ( x ) ∙ I ( x )= p ( x )( x)

De ( i ) , ( ii ) , (iii ) , ( i% ) , ( % ) , ( %i ) , (%ii ) , ( %ii) , (ix ) y( x ) se tiene que

( A [ x ] ,+, ∙ ) esunanillo comunita"ioconmutati%o

Teorema 3:


19/85

Sean p(x) q(x) polinomios no nulos en

[ ] A x, entonces

( )( ) ( ) ( )( ). g p x g p x q x≤

Demostración

De acuerdo al teorema %(ii), se tiene que

( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ). g p x g q x g p x q x+ =(:)

luego

g (q ( x ) )& 0

g ( p ( x ) )+g (q ( x ) ) & g ( p ( x ) ) sumandog ( p ( x ) )enamboslados

g ( p ( x ) ∙q ( x ) )& g ( p ( x ) ) sustituyendo(¿)

∴g ( p ( x ) )≤ g( p( x )∙ q ( x))

Esto es +$lido, debido a que el grado de los polinomios pertenece 5a

+¿∪ {0 } N

¿ .

Teorema 4:

Si el anillo # es un dominio de integridad, entonces el anillo

[ ] A x

es undominio de integridad.

Demostración


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2or teorema 4 es claro que

[ ] A x es un anillo conmutati+o unitario.

2or otro lado, p(x) q(x) dos polinomios en

[ ] A x, tal que

( ) ( ) ( ). 0 p x q x = ∗.

#5ora por el teorema ;, si

( ) ( )0 0 p x y q x≠ ≠se tiene

( )( ) ( ) ( )( ). g p x g p x q x≤

, esto implica que

( )( ) ( ) ( )( )

( ) ( )

.

0

4

g p x g p x q x

g por

Observación

≤

= ∗

= −∞

De lo cual se deduce que

( )( ) g p x = −∞ por lo tanto

( ) 0 p x =, lo cual es una

contradicción a que

( ) 0 p x ≠. #s"

( ) ( )0 0 p x y q x= =

A"#O$%T&O DE D%'%(%)*

/onsideraremos el anillo de polinomios sobre un cuerpo


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( ) ( ) ( ) ( ) p x q x c x r x= × +

/on

( ) 0r x = ó

( )( ) ( )( ) g r x g q x<

Demostración

Si

( ) 0 p x =, tomamos entonces

( ) 0c x =

( ) 0r x =.

Si

( )( ) ( )( ) g p x g q x<, tomamos

( ) 0c x =

( ) ( )r x p x=.

Supongamos entonces que

( )( ) ( )( ) g p x g q x≥ consideremos

( )0

n

ii

i

p x a x=

= ∑

( )0

m j

j

j

q x b x=

= ∑ con

n m≥.

Entonces podemos usar inducción sobre n para obtener el resultado.

Si0n =

, se tiene que

( ) 0 p x a=,

( ) 0q x b= luego

p ( x )=a0sustituyendo p( x)

¿a0∙1 neut"omult . en A anillo

¿a0 ∙ b0−1

∙ b0( A ,+ ,∙)esunallino

¿a0 ∙ b0−1

∙ b0+0 ( A ,+, ∙)esunallino

¿a0 ∙ b0−1

∙ q ( x )+0 sustituyendo q ( x)


22/85

Entonces,

( ) ( )10 0 0 p x a b q x−= +

a5ora tomando

( ) 10 0c x a b−=

( ) 0r x =, se

obtiene el resultado.

Supóngase que el teorema es cierto para todo polinomio de grado -, con -

= n. luego,

( ) 1 ( )n mn m p x a b x q x− −−

(>ipótesis de nducción)

Es un polinomio de grado menor que n por la 5ipótesis de inducción

existen un( )c x′

( )r x′

tales que( ) ( ) ( )

1

( ) ( )n m

n m p x a b x q x q x c x r x− −

′ ′− = + con

( ) 0r x′ = ó

( )( ) ( )( ) g r x g q x′ <, por lo tanto tenemos

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

1

1

( ) ( )n mn mn m

n m

p x q x c x a b x q x r x

p x q x c x a b x r x

− −

− −

′ ′= + +

′ ′ = + +

>aciendo

( ) ( ) 1 n mn mc x c x a b x− −′= +

( ) ( )r x r x′=, as" se obtiene el resultado

deseado.

Observación 5:

!os polinomios

( )c x

( )r x

se llaman respecti+amente cociente resto de

la di+isión de

( ) p x

entre

( )q x

.


23/85

Defnición +:

Sea < un cuerpo

( ) p x

,

( )q x

en[ ] K x

. Diremos que el polinomio

( ) p x

es

di+isible entre

( )q x

o

( )q x

es m?ltiplo de

( ) p x

, si existe otro polinomio

( )m x

en[ ] K x

, tal que

( ) ( ) ( ) p x q x m x= ×

Defnición ,: (@$ximo /om?n Di+isor)

Sea < un cuerpo

( ) p x

,

( )q x

en[ ] K x


( )m x es

un m-.imo com/n divisor de

( ) p x

( )q x

si*

i)( )m x

di+ide a( ) p x

( )m x

di+ide a( )q x

.

ii) Si existe un

( )n x

en

[ ] K x

, tal que n(x) di+ide a p(x) n(x) di+ide a q(x),

entonces n(x) di+ide a m(x).

#l m$ximo com?n di+isor de

( ) p x

( )q x

lo denotamos por

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ){ }, . . ,m x p x q x m c d p x q x= =

Defnición 10: (@"nimo /om?n @?ltiplo)


24/85

Sea < un cuerpo

( ) p x

,

( )q x

en[ ] K x


( )m x

es

un mnimo com/n m/lti!lo de

( ) p x

( )q x

si*

iii)

( ) p x

di+ide a

( )m x

( )q x

di+ide a

( )m x

.

i+) Si existe un

( )n x

en

[ ] K x

, tal que p(x) di+ide a n(x) q(x) di+ide a p(x),

entonces m(x) di+ide a n(x).

#l m"nimo com?n m?ltiplo de

( ) p x

( )q x

lo denotamos por

( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }, . . ,m x p x q x m c m p x q x= =

Defnición 11:

Sea < un cuerpo

i) Sea

( ) 1 0...n

n p x a x a x a= + + +

un polinomio en

[ ] K x

, entonces s"

K λ ∈

, el

+alor del polinomio p(x) en el elementoλ

, denotado por

( ) p λ

es el

elemento de < que +iene dado por

( ) 1 0...n

n p a a aλ λ λ = + + +

ii) na ra"A o un cero de un polinomio

( ) [ ] p x K x∈

es un elemento

λ

de


25/85

Teorema 6: (Beorema del Cesto)

Sea

( ) p x

un polinomio en

[ ] K x

K λ ∈8 el resto de la di+isión de

( ) p x

entre x λ −

es

( ) p λ

.

Demostración:

2or el teorema de la di+isión se tiene que

( ) ( ) ( )( ) p x x c x r xλ = − × + con

( ) 0r x = ó

( )( ) ( ) 1 g r x g x λ < − =. #s"

" ( x )=k , con - constante.

#5ora, el +alor del polinomio p(x) en el elementoλ

+iene dada por

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0 0 p c r c r r r λ λ λ λ λ λ λ λ λ = − × + = + = + =

#s"

( ) ( )r pλ λ =

.

/omo " ( ' )=k , entonces " ( x )= (( ') , por lo tanto8 el resto de la di+isión de

( ) p x

entre x λ −

es

( ) p λ

.

Teorema 7: (Beorema del 6actor)

Sea

( ) p x

un polinomio en[ ] K x

K λ ∈

8 x λ −

di+ide a

( ) p x

si, sólo si,λ

es ra"A de

( ) p x

.


26/85

Demostración

/omo x λ −

di+ide a

( ) p x

entonces por defnición , se tiene que existe un

( )m x en

[ ] K x

tal que

( ) ( ) ( ) p x x m xλ = −, as" el cociente +iene dado por

( ) ( )c x m x= el residuo es

( ) 0r x =, en consecuencia

( ) 0r λ =, seg?n el

teorema del residuo

( ) ( )r pλ λ =, esto implica que

( ) 0 p λ = si sólo si por

defnición %%(ii) se deduce queλ

es ra"A de( ) p x

.

Teorema +:

Sea

( ) p x


K λ ∈

una ra"A de

( ) p x

, entonces

( ) p x

se

actoriAa en[ ] K x

( ) ( ) ( ) p x x q xλ = −

Donde

( )q x

es un polinomio de grado igual al grado de

( ) p x

menos uno.

Demostración


27/85

/omoλ

es ra"A de

( ) p x

, entonces para p( x)

x λ −

, por el algoritmo de

la di+isión existen polinomios q(x) r(x) en[ ] K x

, tales que

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) p x x q x r xλ = − + ∗, con

( ) 0r x = ó

( )( ) ( ) 1 g r x g x λ < − =.

!uego el grado de

( )r x

debe ser cero por lo tanto es un polinomio

constante

( )r x α =, con

K α ∈, m$s aun,

¿∗¿" ( ' )=) ¿

>aciendo la e+aluación del polinomio

( )∗ en el +alor

λ , se tiene

p ( ' )=( '− ' )q ( ' )+" ( ')

¿∗¿ p ( ' )=0 ∙ q ( ' )+) po"¿

p ( ' )=0+)

p ( ' )=)

/omo ' es una ra"A de p( x) , entonces p ( ' )=0 , as" obtenemos que

0α =

, por lo tanto

( ) 0r x =

, as" sustituendo en

( )∗

se sigue que

( ) ( ) ( ) p x x q xλ = −

Defnición 12:


28/85

Sea

( ) p x


diremos que

( ) p x

se actoriAa

completamente en[ ] K x

si existen ra"ces1 2, ,..., n K λ λ λ ∈

, tales que

( ) ( ) ( ) ( )1 2 ...n n p x a x x xλ λ λ = − − −, con

na K ∈

Defnición 13:

na ra"A

λ

de

( ) p x

en

[ ] K x

, se dice que tiene multiplicidad en


29/85

( ) p x

entonces

( ) 0 p λ αλ β = + = por lo tanto

β λ

α

−=

, as" existe una ?nica

ra"A.

Supongamos que el teorema es cierto para todo polinomio de grado menor

que n, sea p(x) de grado n < un cuerpo, entonces si p(x) no tiene ra"A


30/85

Kótese que

( )q z

es una unción acotada en todo el plano complejo, pues en

particular

( )q z

es acotada en cualquier conjunto de la orma*

-"= { *∈ :| *|≤ " }

#dem$s, si 5acemos

z r =, se puede probar que

( )q z

es acotado en todo el

plano el complejo, pues se tiene

( ) ( )

10

lim limr z q z p z →∞ →∞

= =

#5ora, si anunciamos el teorema de !iou+ille de las unciones anal"ticas, el

cual afrma* &Boda unción anal"tica en todo el plano complejo, es constante',

entonces se conclue que

( )q z

es una unción constante, lo cual es una

contradicción. 2or lo tanto ( )0 0 p z = para alg?n

*0∈ .

%$$EDT%%"%DAD DE PO"%*O&%O(

Bodo n?mero entero positi+o puede descomponerse en un producto de

n?meros primos8 ste es el teorema undamental de la aritmtica. #lgo similar

ocurre en algunos anillos de polinomios. !os elementos primos de un anillo de

polinomios ser$n llamados polinomios irreducibles. En caso contrario diremos

que el polinomio es reducible. En esta sección estudiaremos algunos criterios

de irreductibilidad para polinomios en LxF, MxF, CxF /xF, en algunos casos

la reductibilidad o irreductibilidad de un polinomio puede estudiarse mirando

sus ra"ces, por lo que tambin +eremos cómo encontrar ra"ces de polinomios

en algunos casos particulares.


31/85

Defnición 14:

Sea # un anillo conmutati+o unitario un polinomio

( ) p x

en

[ ] A x

, se diceque p(x) es irreducible si para cada descomposición de la orma

( ) ( ) ( ) p x q x m x= × con

( ) ( ) [ ],q x m x A x∈, se tiene que

( )( ) ( )( )0 0 g q x ó g m x= =.

n polinomio que no es irreducible, se dice que es reducible.

Observación 6:

!a irreductibilidad de un polinomio depende del anillo que se considere.

Teorema 11: (Beorema de 6actoriAación de polinomios irreducibles)

Sea < un cuerpo, ( ) [ ] p x K x∈

no constante. Entonces p(x) se expresa de

orma ?nica como

( ) ( ) ( ) ( )1 2 ...n n p x a p x p x p x=

Donde

na K ∈

( ) , 1,..,i p x i n∀ =

es un polinomio mónico e irreducible.

Demostración:


32/85

2or el teorema %0, existen exactamente n ra"ces en , sean

) 1, )

2,…,) n∈ dic5as ra"ces.

!uego por la defnición %4 se cumple que*

p ( x )=an ∙ ( x−) 1 ) ( x−) 2 )∙⋯ ∙ ( x−) n )

Donde an∈ / . !uego si 5acemos pi ( x )= x−) i ,∀ i∈ {1,2, …,n } , se tiene que8

p ( x )=an ∙ p1 ( x ) ∙ p2 ( x ) ∙⋯∙ pn ( x ) ,conan∈ / y pi ( x ) es un polinomio mónico e

irreducible, para todo i=1,2, … , n

Criterios de Factorización:

Sea

( ) [ ]1 0...n

n p x a x a x a A x= + + + ∈, tratemos de actoriAar p(x) considerando

distintos anillos cuerpos.

i) Si A= , Un número entero a∈ es una raíz de p(x) si divide al término

independiente de p(x), es decir, si0a a

.

ii) Si A=0 : Un número racionala

b∈0 es una raíz de p(x) si a divide al término

independiente de p(x) ! " divide el coe#iciente principal de p(x), es decir, si0a a

y

nb a

. $omo consecuencia todo polinomio m%nico carece de raíces #raccionarias.


33/85

iii) Si A= 1 : &os polinomios irreduci"les reales son, "ien los de 'rado 1, "ien los de

'rado 2 ue no tienen raíces reales, es decir, los polinomios de la #orma

2ax bx c+ +

con

24 0b ac− <

.

iv) Si A= Si un número compleo a+bi∈ es una raíz de p(x) entonces su

conu'ado a * "i tam"ién es una raíz de p(x).


34/85

Ejercicios:

1. +etermine el resto de dividir p( x) entre q( x) en cada caso

a. p ( x )= x3−2 x2+6 x−1 ! q ( x )= x−2

". p ( x )=2

3 x

2−5

3 x+

1

2 !q ( x )= x+1

Soluci%n

-arte a

acemos q ( x )=0

x−2=0

x=2

&ue'o, evaluamos x=2 en p( x) ! o"tenemos ue/

p (2 )=23−2 ∙22+6 ∙ 2−1

¿8−2∙ 4+12−1

¿8−8+12−1

p (2 )=11

-or el teorema (eorema del resto), se cumple ue

l resto es 11.

-arte "

acemos q ( x )=0

x+1=0

x=−1

&ue'o, evaluamos x=−1 en p( x) ! o"tenemos ue


35/85

p (−1 )=23

∙(−1)2−5

3∙ (−1 )+ 1

2

¿2

3∙1−

5

3∙ (−1 )+1

2

¿2

3+

5

3+

1

2

p (−1 )=176

-or el teorema (eorema del resto), se cumple ue

l resto es17

6

2. +etermine el valor de la letra k tal ue la divisi%n de x3+2 x2+kx+2 entre

x+2 sea exacta.

Soluci%n

Sea p ( x )= x3+2 x2+kx+2 . +eseamos ue al dividir p( x) entre x+2 , dic3a

divisi%n sea exacta, es decir, dee como resto cero (0). -or el teorema (eorema del

resto) se cumple ue p (−2 )=0 , lue'o/

p (−2 )=0

(−2)3+2 ∙(−2)2+k ∙ (−2 )+2=0

8+2 ∙ 4−2 k +2=0

8+8−2 k +2=0

18−2 k =0

18=2 k


36/85

18

2=k

k =9

l valor de es 5, así/ la divisi%n x3+2 x2+9 x+2 entre x+2 es exacta.

6. Escribir un polinomio de grado tres, donde el coefciente de maor

grado sea igual a uno que los restos que se obtienen al di+idirlos

en orma sucesi+a por ( x+3 ) , ( x+2 ) y ( x+1 ) son %0, 40

respecti+amente.

Solución*

Sea p ( x )= x3+a x2+bx+c el polinomio pedido.

/omo el resto de di+idir p( x) entre x+3 es %0, por el teorema 9

se tiene que*

p (−3 )=6

(−3)3+a(−3)2+b (−3 )+c=6

−27+9 a−3 b+c=6

9 a−3 b+c=6+27

9 a−3 b+c=33 ( I )

$omo el resto de dividir p( x) entre x+2 es 20, por el teorema se tiene ue

p (−2 )=20

(−2)3+a (−2)2+b (−2 )+c=20

−8+4 a−2 b+c=20

4 a−2 b+c=20+8


37/85

4 a−2 b+c=28( II )

$omo el resto de dividir p( x) entre x+1 es 7, por el teorema se tiene ue

p (−1 )=6

(−1)3+a(−1)2+b (−1 )+c=6

−1+a∙ 1−b+c=6

a−b+c=6+1

a−b+c=7( I II )

+e ( I ) y ( II ) se tiene ue

{9 a−3 b+c=334 a−2 b+c=288estando las ecuaciones tenemos ue

5 a−b=5 ( I2 )

+e

( II ) y ( III )

se tiene ue

{4 a−2 b+c=28a−b+c=78estando las ecuaciones tenemos ue

3 a−b=21(2 )

+e ( I2 ) y (2 ) se tiene ue

{5 a−b=5

3 a−b=21

8estando las ecuaciones tenemos ue

2 a=−16


38/85

a=−16

2

a=−8(2I )

Sustitu!endo (2I ) en (2 ) tenemos ue

3 ∙ (−8 )−b=21

−24−21=b

b=−45(2II )

Sustitu!endo (2I ) y (2II ) en ( III ) tenemos ue

−8−(−45)+c=7

c=7+8−45

c=−30

9sí, el polinomio pedido es

p ( x )= x3−8 x2−45 x−30

1. Dado el siguiente polinomio en [ x ] *3 x

5−20 x 4+34 x3+42 x2−185 x+150

a 6actoriAar dic5o polinomio.

b CealiAar el estudio completo de la irreductibilidad en 0 .

Soluci%n

-arte a

Utilicemos 8u##ini

3 x5−20 x 4+34 x3+42 x2−185 x+150

6 :20 64 42 :17; 1;0

6 5 :66 6 16; :1;0

6 :11 1 4; :;0 0

:2 : 64 :


39/85

6 :1< 6; :2; 0

5

3 ; :20 2;

6 :12 1; 0

#s", por la defnición %4 el teorema %% podemos decir que*

3 x5−20 x 4+34 x3+42 x2−185 x+150= ( x−3 ) ( x+2 )( x−53 ) (3 x2−12 x+15 )

¿ ( x−3 ) ( x+2 )

( x−

5

3

)3 ( x2−4 x+5)

∴3 x5−20 x4+34 x3+42 x2−185 x+150=( x−3 ) ( x+2 ) (3 x−5 )( x2−4 x+5)

-or lo ue podemos concluir ue el polinomio es reduci"le en 0 ! por ende lo es en

N y


40/85

DETERMINANTE

Se defne el determinante como una orma multilineal alternada de un

cuerpo.

-ara el c=lculo de determinantes de matrices de cualuier orden, existe una re'la recursiva(teorema de &aplace) ue reduce el c=lculo a sumas ! restas de varios determinantes de unorden in#erior. ste proceso se puede repetir tantas veces como sea necesario 3asta reducirel pro"lema al c=lculo de múltiples determinantes de orden tan peue>o como se uiera.Sa"iendo ue el determinante de un escalar es el propio escalar, es posi"le calcular eldeterminante de cualuier matriz aplicando dic3o teorema.

9dem=s de esta re'la, para calcular determinantes de matrices de cualuier orden podemosusar otra de#inici%n de determinante conocida como ?%rmula de &ei"niz.

&a #%rmula de &ei"niz para el determinante de una matriz cuadrada A de orden n es

det ( A )=| A|=∑3 ∈ (

n

sgn(3 )∏i=1

n

ai , 3 i

donde la suma se calcula so"re todas las permutaciones @ del conunto {1,2,. .., n }. &a

posici%n del elemento i después de la permutaci%n @ se denota como 3 i . l conunto de

todas las permutaciones es ( n . -ara cada @, sgn (3 ) es la signatura de @, esto es

+1 si la permutaci%n es par y−1 si es impar (ver -aridad de permutaciones).

n cualuiera de los n 4 sumandos, el término

∏i=1

n

ai ,3 i

denota el producto de las entradas en la posici%n (i , 3 i) , donde i va desde 1 3asta n

a1, 3 1

∙a2,3 2

∙⋯∙ an , 3 n

http://es.wikipedia.org/wiki/Forma_multilinealhttp://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%B3rmula_de_Leibniz_para_el_c%C3%A1lculo_de_determinanteshttp://es.wikipedia.org/wiki/Permutaci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Permutaci%C3%B3n#Descomposici.C3.B3n_de_una_permutaci.C3.B3n_en_trasposicioneshttp://es.wikipedia.org/wiki/Permutaci%C3%B3n#Permutaci.C3.B3n_par_y_permutaci.C3.B3n_imparhttp://es.wikipedia.org/wiki/Permutaci%C3%B3n#Permutaci.C3.B3n_par_y_permutaci.C3.B3n_imparhttp://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%B3rmula_de_Leibniz_para_el_c%C3%A1lculo_de_determinanteshttp://es.wikipedia.org/wiki/Permutaci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Permutaci%C3%B3n#Descomposici.C3.B3n_de_una_permutaci.C3.B3n_en_trasposicioneshttp://es.wikipedia.org/wiki/Permutaci%C3%B3n#Permutaci.C3.B3n_par_y_permutaci.C3.B3n_imparhttp://es.wikipedia.org/wiki/Forma_multilineal


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&a #%rmula de &ei"niz es útil como de#inici%n de determinante/ pero, excepto en casos mu! peue>os, no es una #orma pr=ctica de calcularlo 3a! ue llevar a ca"o nA productos de n#actores ! sumar nA elementos. Bo se suele usar para calcular el determinante si la matriztiene m=s de tres #ilas.

Matrices de orden inferior

Una matriz de orden uno, es un caso trivial, pero lo trataremos para completar todos loscasos. Una matriz de orden uno puede ser tratada como un escalar, pero auí laconsideraremos una matriz cuadrada de orden uno

A=( a11)

l valor del determinante es i'ual al único término de la matriz

det ( A )=det (a11)=|a11|=a11

&os determinantes de una matriz de orden 2

A=(a11 a12a

21 a

22)se calculan con la si'uiente #%rmula

det ( A )=det (a11 a12a21

a22)=|a11 a12a

21 a

22|=a11 a22−a12 a21

+ada una matriz de orden 6

A=(a

11 a

12 a

13

a21

a22

a23

a31

a32

a33

)n determinante de orden 6 se calcula mediante la re'la de Sarrus

http://es.wikipedia.org/wiki/Regla_de_Sarrushttp://es.wikipedia.org/wiki/Regla_de_Sarrus


42/85

det (a

11 a

12 a

13

a21

a22

a23

a31

a32

a33

)=|a

11 a

12 a

13

a21

a22

a23

a31

a32

a33

|det ( A)=a11a22 a33+a12 a23a31+a13a21 a32−a31 a22 a13−a32 a23 a11−a33a21a12

sta #%rmula se puede resumir con el si'uiente método 'ra#ico

ercicios

+etermine el determinante de las si'uientes matrices

A=( 1 −2−3 2 )


43/85

-=(1 2 31 −2 32 1 −4)

Soluci%n

det ( A )=| 1 −2−3 2 |=1∙ 2−(−2 ) (−3 )=2−6=−4

∴det ( A )=−4

det ( - )=|1 2 31 −2 32 1 −4|

¿1∙ (−2 ) ∙ (−4 )+2 ∙ 3∙ 2+3 ∙1 ∙ 1−3 ∙ (−2 ) ∙2−3∙ 1 ∙1−(−4) ∙ 1∙ 2

¿8+12+3+12−3+8=40

∴det (- )=40

n lo ue si'ue consideraremos A como una matriz cuadrada de orden n , 6 i !

! una #ila ! una columna cualesuiera de esa matriz. l determinante de una matriz lo

podemos ver como una #unci%n de sus #ilas

det ( A )=| A|=det ( 6 1,6

2, … , 6 n)

o de sus columnas


44/85

det ( A )=| A|=det ( 1,

2,…, n)

&as propiedades m=s importantes de los determinantes son

1. l determinante de una matriz cuadrada es i'ual al determinante de su matriz traspuesta.

det ( A )=det ( A7 )

Ejemplo:

Sea A=[2 3 03 2 72 1 6

]

A7 =[2 3 23 2 1

0 7 6]

&ue'o/

| A|=2∙ 2 ∙6+3 ∙7 ∙ 2+0 ∙3 ∙ 1−2 ∙2 ∙ 0−3 ∙ 3∙ 6−2 ∙1 ∙7

| A|=24+0+0−0−54−14

| A|=−2

C tam"ién/

| A7 |=2 ∙ 2∙ 6+3 ∙1 ∙ 0+2 ∙3 ∙ 7−2 ∙ 2∙ 0−1∙ 7 ∙2−6 ∙3 ∙ 3


45/85

| A7 |=24+0+42−0−14−54

| A7 |=−2

-or lo ue/ | A7 |=| A|=−2

2. Si los elementos de una línea o columna de una matriz se multiplican por un número, el

determinante de la matriz ueda multiplicado por dic3o número

det ( 1 , 2 ,…, t ∙ ! ,…, n )=t ∙det ( 1, 2 ,…, ! ,…, n )

det ( 6 1 ,6 2 ,…, t ∙6 i ,…,6 n )=t∙det ( 6 1 , 6 2, … , 6 i ,…,6 n )

Ejemplo:

Sean A=[1 −12 3 ] ! -=[2 −14 3 ]

- se o"tiene al multiplicar la primera columna de la matriz A por 2.

93ora/

| A|=1∙ 3−(−1 ) ∙2=3+2=5

∴| A|=5

C tam"ién/

|-|=2∙ 3−(−1 ) ∙ 4=6+4=10


46/85

∴|-|=10

$omo 10=2 ∙ 5 entonces |-|=2∙| A|

6. Si todas las líneas de una matriz de orden n est=n multiplicadas por un mismo número

el determinante de la matriz ueda multiplicado por t n

|t ∙ A|=t n ∙| A|

Ejemplo:

Sean A=[1 −13 2 ]

3 ∙ A=[3 −39 6 ]

&ue'o/

|3 ∙ A|=|3 −39 6 |=3 ∙6−(−3 ) ∙ 9=18+27=45

∴|3 A|=45(¿)

am"ién

| A|=|1 −13 2 |=1∙ 2− (−1 ) ∙3=2+3=5


47/85

∴| A|=5

9sí/

32| A|=9 ∙5=45

¿∗¿∴3

2| A|=45¿

+e (¿) !¿∗¿¿ se cumple ue/

|3 ∙ A|=32∙| A|

4. Si una matriz de orden n en la #ila i o columna ! los podemos ver como

6 i+ 6 i 8 % !+ ! 8 respectivamente, el determinante de dic3a matriz es la suma de los

determinantes de dos matrices donde la primera matriz tiene en la #ila i los elementos 6 i

! en la se'unda los elementos 6 i 8 (respectivamente si la primera matriz tiene en la

columna los elementos ! ! en la se'unda los elementos ! 8 ).

det ( 1 , 2 ,…, !+ !8 ,…, n )=det ( 1 , 2 ,…, ! ,… , n )+det ( 1, 2,… , !

8 ,…, n )

D respectivamente/

det ( 6 1 ,6 2 ,…,6 i+ 6 i8 ,… ,6 n )=det ( 6 1 , 6 2, … , 6 i , … , 6 n )+det ( 6 1 ,6 2, … , 6 i

8 , … , 6 n )

Ejemplo:


48/85

Sean A=[1 21 3], -=[1 22 −1] ! =[1 23 2]

D"servemos ue la #ila dos de la matriz 9 mas la #ila dos de la matriz E (Se suman cada

elemento en su respectiva posici%n de 9 con los de E) nos da la se'unda #ila de la matriz $.

93ora/

| A|=|1 21 3|=1 ∙3−1 ∙2=3−2=1

∴| A|=1

C tam"ién/

|-|=|1 22 −1|=1 ∙ (−1 )−2 ∙ 2=−1−4=−5

∴|-|=−5

&ue'o/

| A|+|-|=1−5=−4

∴| A|+|-|=−4(¿)

-or otra parte/

| |=|1 23 2|=1∙ 2−2 ∙3=2−6=−4


49/85

¿∗¿∴| |=−4¿

+e (¿) !¿∗¿¿ se tiene ue/

| A|+|-|=| |

;. l determinante del producto de dos matrices cuadradas es i'ual al producto de los

determinantes de am"as matrices

det ( A∙- )=det ( A ) ∙det (- )

Ejemplo:

Sean A=[1 −12 1 ] ! -=[2 13 −1]

A ∙-=[1

−1

2 1 ]∙

[2 1

3 −1]=[1∙ 2

+(−1

)∙ 3 1 ∙1

+(−

1 ) ∙(−

1

)2∙ 2+1 ∙3 2 ∙1+1 ∙(−1) ] A ∙ -=[2−3 1+14+3 2−1]

∴ A ∙-=[−1 27 1]

93ora/

| A ∙-|=|−1 27 1|=(−1 ) ∙ 1−2∙ 7=−1−14=−15


50/85

∴| A ∙ -|=−15(¿)

-or otra parte/

| A|=|1 −12 1 |=1∙ 1−(−1 ) ∙ 2=1+2=3

∴| A|=3

C tam"ién/

|-|=|2 13 −1|=

2∙ (−1 )−1∙ 3=−2−3=−5

∴|-|=−5

9sí/

| A|∙|-|=3 ∙ (−5 )=−15

¿∗¿∴| A|∙|-|=−15¿

+e (¿ ) !¿∗¿¿ se cumple ue | A ∙ -|=| A|∙|-|

. Si en una matriz cuadrada se permutan dos líneas, su determinante cam"ia de si'no

det ( 6 1 ,6 2 ,…,6 i , … , 6 ! ,…,6 n )=−det ( 6 1 ,6 2 ,…,6 ! …,6 i ,…,6 n )


51/85

Ejemplo:

Sean A=

[

2 1 2

1 2 0

3 5 6

] ! -=

[

1 2 0

2 1 2

3 5 6

]- resulta de intercam"iar la #ila 1 con la #ila 2 de A , a3ora/| A|=2∙ 2 ∙6+1∙ 0 ∙3+2∙ 1∙ 5−2∙ 2∙ 3−0 ∙5 ∙ 2−6 ∙ 1∙ 1

| A|=24+0+10−12−0−6=16

| A|=16

-or otra parte/

|-|=1 ∙ 1∙ 6+2 ∙2 ∙ 3+0 ∙2 ∙ 5−0 ∙ 1∙ 3−2∙ 5 ∙1−6 ∙2 ∙2

|-|=6+12+0−0−10−24=−16

|-|=−16

9sí/ |-|=−| A|


52/85

Sea A=[2 3 21 2 43 5 6

]-odemos notar ue la #ila 6 es la suma de la #ila 1 con la #ila 2, lue'o/

| A|=2∙ 2 ∙6+3 ∙ 4 ∙3+2∙ 1∙ 5−2∙ 2∙ 3−2∙ 4 ∙ 5−3∙ 1 ∙6

| A|=24+36+10−12−40−18

| A|=30−30=0

∴| A|=0

. Si a los elementos de una línea de una matriz cuadrada se les suma una com"inaci%n

lineal de las líneas restantes, su determinante no varía.

det ( 6 1 ,6 2 ,…,6 i , … , 6 ! …, 6 n )=det ( 6 1, 6 2 ,…,6 i+) ∙ 6 ! ,…6 ! ,… 6 n )

l metodo de $3ío consiste en 3acer cero el ma!or número posi"le de elementos de unalínea utilizando las propiedades anteriores de los determinantes ! posteriormente desarrollar

el determinante por los aduntos de los elementos de esa línea en la ue 3emos 3ec3o ceros.

Ejemplo:

Sean A=[ 2 1−1 5] ! -=[2 13 7]

&a matriz - nace de cam"iar la se'unda #ila de la matriz A por la se'unda #ila de

ella mas 2 veces la primera #ila.

93ora/


53/85

| A|=| 2 1−1 5|=2∙ 5−1∙ (−1 )=10+1=11

∴| A|=11

am"ién/

|-|=|2 13 7|=2 ∙7−1 ∙3=14−3=11

∴|-|=11

9sí podemos decir ue

| A|=|-|

5. si una matriz tiene dos #ilas o columnas i'uales, su determinante da cero.

Ejemplo:

Sea A=[2 3 2

3 2 3

2 3 2]| A|=2∙ 2 ∙2+3 ∙ 3 ∙2+2 ∙3 ∙ 3−2∙ 2∙ 2−3 ∙ 3 ∙2−2∙ 3 ∙3


54/85

| A|=8+18+18−8−18−18=0

∴| A|=0

10. Si una matriz tiene una #ila o columna nula (todos sus elementos son ceros) entonces su

determinante vale cero.

Ejemplo:

Sea A=[2 3 23 2 30 0 0

]| A|=2∙ 2 ∙0+3∙ 3 ∙ 0+2∙ 3 ∙ 0−2 ∙ 2∙ 0−2∙ 3 ∙0−3 ∙3 ∙ 0

| A|=0+0+0−0−0−0=0

∴| A|=0

11. el determinante de una matriz trian'ular (superior o in#erior) es i'ual al producto de los

elementos de su dia'onal principal.

Ejemplo:


55/85

Sea A=[2 0 01 2 03 5 6

] A es una matriz trian'ular superior, a3ora/

| A|=2∙ 2 ∙6+0 ∙0 ∙ 3+0 ∙ 1∙ 5−0∙ 2 ∙3−2∙ 0 ∙ 5−0 ∙ 1∙ 6

| A|=2∙ 2 ∙6+0+0−0−0−0

| A|=2∙ 2 ∙6

l cual es el producto de los elementos de la dia'onal principal de A . &ue'o/

| A|=24


56/85

TRASNFORMACIONES INEAES

Definici!n "#

Sean (2 ,+, / , ∙) ! (9 ,+, / , ∙) espacios vectoriales. &a #unci%n 7 :2 :9 es una

rans#ormaci%n &ineal (.&.) si ! solo si

i.) ∀ x , y∈2 : 7 ( x+ y )=7 ( x )+7 ( y ) …………( Aditi%idad)

ii.) ∀ x∈2 ,∀ ) ∈ / : 7 () ∙ x )=) ∙ 7 ( x ) … … … …( ;omogeneidad)

Ejemplo:

Sea 7 : 13:1

2

de#inida por 7 ( x , y , * )=( x+ y , 2 * )

FSera 7 una trans#ormaci%n linealG

Soluci%n

Heamos si 7 es aditiva/

Sean %1 , %2ϵ 13

cualesuiera.

%1=( x1 , y1 , *1 ) , %2=( x2 , y2 , *2)

&ue'o/

7 ( %1+%2 )=7 ( ( x1, y1 , *1 )+( x2 , y2 , *2 ) )


57/85

¿ (( x1+ x2)+ ( y1+ y2) , 2 ( *1+ *2 ) )≝.de7

¿ (( x1+ y1 )+( x2+ y2) , 2 *1+2 *2)∝ .asoc. conm. y dist . en1

¿ ( x1+ y1 , 2 *1 )+( x2+ y2 ,2 *2)+en 12

¿7 ( x1, y1 , *1 )+7 ( x2 , y2, *2 )≝.de7

¿7 ( %1)+7 (%2 )


58/85

∴= % = 13, = ) = 1 :7 () ∙% )=) ∙ 7 ( % )( II )

+e ( I ) ! ( II ) se tiene ue/

7 es una trans#ormaci%n lineal.

l si'uiente teorema es una #orma m=s vers=til de determinar si una #unci%n vectorial esuna trans#ormaci%n lineal o no en un solo paso.

Teorema "$

Sean (2 ,+, / , ∙) ! (9 ,+, / , ∙) espacios vectoriales. Sea 7 : 2 :9 . ntonces

7 es una trans#ormaci%n lineal si ! solo si

= x , y = 2 , = )= / : 7 ( x+) ∙ y )=7 ( x )+) ∙7 ( y )

+emostraci%n

(⟹)

Sean x , y∈2 ! >∈ / cualesuiera

7 ( x+) ∙ y )=7 ( x )+7 () ∙ y ) 7 eslineal ,esaditi%a

¿7 ( x )+) ∙ 7 ( y )7 eslineal , es$omogenea

∴= x , y = 2 , = ) = / : 7 ( x+) ∙ y )=7 ( x )+) ∙7 ( y)

(⟸)

Sa"emos ue ∀ x , y∈2 ,∀) ∈ / : 7 ( x+) ∙ y )=7 ( x )+) ∙7 ( y )


59/85

-ara ) =1 tenemos ue

7 ( x+1∙ y )=7 ( x )+1 ∙7 ( y )

$omo 2 ! 9 son espacios vectoriales 1∙ %=% ! 1∙?=? = % = 2 ,?= 9 ,así/

7 ( x+ y )=7 ( x )+7 ( y )( I )

93ora pro"emos ue 7 (0% )=0?

n e#ecto

-ara x= y=0% en ( I ) tenemos ue

7 (0%+0% )=7 (0%)+7 (0%)

$omo 0%+0%=0% entonces

7 (0% )=7 ( 0% )+7 ( 0% )

Sumando −7 (0% ) en am"os lados tenemos ue/

7 (0% )+[−7 (0%) ]=[7 (0% )+7 ( 0% ) ]+[−7 ( 0% )]

9sociando en +¿ de 9 tenemos ue/

7 (0% )+[−7 (0%) ]=7 ( 0% )+[7 (0% )+[−7 ( 0% ) ] ]

$omo 7 (0% )+[−7 (0%) ]=0? entonces

0?=7 (0%)+0?

$omo 0? es el neutro de I en 9 tenemos ue/


60/85

7 (0% )=0?(¿)

93ora/

-ara

x=0% en la 3ip%tesis tenemos ue/

7 (0%+) ∙ y )=7 ( 0% )+) ∙7 ( y)

-or (¿) tenemos ue/

7 (0%+) ∙ y )=0?+) ∙7 ( y )

$omo 0% ! 0? son los neutros de I en 2 ! 9 respectivamente, entonces/

7 () ∙ y )=) ∙7 ( y )

9sí/

= y= 2 , = )= / ,7 ( ) ∙ y )=) ∙7 ( y )( II )

+e ( I ) ! ( II ) tenemos ue 7 es una trans#ormaci%n lineal.

Ejemplo:

Sea 7 : [a ,b]:1 de#inida por

7 [ f ]=∫a

b

f ( x )dx

$on a , b∈ 1 , a ≤ b .

+etermine si 7 es una trans#ormaci%n lineal.

Soluci%n


61/85

Sean f , g∈ [a , b] ! ) ∈ 1 cualesuiera.

7 ( f +) ∙g )=∫a

b

[ f +) ∙g ]( x )dx≝.de7

¿∫a

b

[ f ( x )+ () ∙g )( x)] dx≝de+es [a , b]

¿∫a

b

[ f ( x )+) ∙g ( x)] dx≝de∙en [a ,b]

¿∫a

b

f ( x )dx+∫a

b

[) ∙g( x )] dx∝.sumadeimteg"ales

¿∫a

b

f ( x )dx+) ∙∫a

b

g( x)dx∝.de∙deunesc.en∫ .

¿7 ( f )+) ∙7 (g )≝.de7

∴∀ f , g∈ [a,b ] ,∀) ∈ / ,7 ( f +) ∙ g )=7 ( f )+) ∙7 (g)

-or el teorema 12 se tiene ue 7 es una trans#ormaci%n lineal.

Teorema "%

Sean (2 ,+, / , ∙) ! (9 ,+, / , ∙ ) espacios vectoriales. Sea 7 :2 :9 una

trans#ormaci%n lineal. ntonces

a .7 (0%)=0? b .7 (− x )=−7 ( x ) ,∀ x∈2

c .7 (∑i=1

n

a i x i)=∑i=1

n

(a i7 ( xi)) , ai∈ / ,x i∈2 , i=1, …,n


62/85

+emostraci%n

-arte a

Sea x∈2

Sa"emos ue 0 ∙ x=0% , lue'o/

7 (0 ∙ x )=0 ∙7 ( x ) 7 eslineal , es$omogenea

7 (0% )=0? yaque 0∙ x=0? y 0 ∙7 ( x )=0?

∴7 (0% )=0?

-arte "

Sea x∈2 cualuiera

Sa"emos ue x+ (− x )=0% , aplicando en am"os lados tenemos ue

7 ( x+ (− x ) )=7 (0% )

$omo es lineal, es aditiva ! por la parte a tenemos ue7 ( x )+7 (− x )=0?

Sumando @ 7 ( x) en am"os lados tenemos ue

−7 ( x )+[7 ( x )+7 (− x )]=−7 ( x )+0?

[−7 ( x )+7 ( x) ]+7 (− x )=−7 ( x)

0?+7 (− x )=−7 ( x)

7 (− x )=−7 ( x )


63/85

∴∀ x∈2 : 7 (− x )=−7 ( x)

-arte c

-rocedemos por inducci%n matem=tica so"re n

-aso 1 pro"emos ue se cumple para n=2

7 (∑i=1

2

ai xi)=7 (a1 x1+a2 x2 ) desa""ollandosumato"ia

¿7 (a1 x1 )+7 (a2 x2 )7 eslineal , esaditi%a

¿a1 7 ( x1 )+a2 7 ( x2 )7 eslineal , es$omogenea

¿∑i=1

2

ai 7 ( x i)desa""ollando sumato"ia

∴7 (∑i=1

2

ai x i)=∑i=1

2

ai 7 ( xi)

Se cumple para n=2 .

-aso 2 supon'amos ue se cumpla para n=k , es decir/

7 (∑i=1

k

ai xi)=∑i=1

k

ai7 ( x i) ; .I .

-aso 6 pro"emos ue se cumple para n=k +1

n e#ecto

7 (∑i=1

k +1

ai xi)=7 (∑i=1

k

ai x i+ak +1 xk +1)desa""ollandosumato"ia


64/85

¿7 (∑i=1

k

ai xi)+7 (ak +1 xk +1 ) 7 eslineal , esaditi%a

¿7

(∑i=1

k

ai x

i

)+a

k +17

( x

k +1 )7 eslineal , es$omogenea

¿∑i=1

k

ai 7 ( x i)+ak +1 7 ( xk +1 ) ; . I .

¿∑i=1

k +1

ai 7 ( x i) esa""ollandosumato"ia

∴7 (∑i=1k +1

ai x i)=∑i=1k +1

ai 7 ( xi)

Se cumple para n=k +1

-or el proceso de inducci%n matem=tica

∀ n∈ N ,∀a i∈ / ,∀ x i∈2 , i=1, …,nB7 (∑i=1

n

ai x i)=∑i=1

n

a i7 ( x i)

Definici!n "&


trans#ormaci%n lineal. Se de#ine como el núcleo de 7 , denotado por N (7 ) %

/e"7 , al conunto no vacio de los vectores del dominio cu!as im='enes por 7 es el

vector nulo de codominio, es decir/

N (7 )= { x∈2 : 7 ( x )=0? }

Definici!n "'

Sean (2 ,+, / , ∙) ! (9 ,+, / , ∙) espacios vectoriales. Sea 7 : 2 :9 una

trans#ormaci%n lineal. Se de#ine como conunto ima'en de 7 % recorrido de 7 al


65/85

su"conunto no vacio de 9 #ormando por todas las im='enes a través de 7 de los

elementos de 2 , es decir/

1 (7 )=ℑ (7 )={ y∈9 , ∃ x∈2 : 7 ( x )= y }

Definici!n "(


trans#ormaci%n lineal.

i) +iremos ue 7 es in!ectiva si ! solos si

∀ x , y∈2 : 7 ( x)=7 ( y )⟹ x= y

J euivalentemente x+ y⟹7 ( x)+7 ( y )

ii. +iremos ue 7 es so"re!ectiva si ! solo si

∀ ?∈9 ,∃ %∈2 t . q .7 (% )=?

iii. +iremos ue 7 es "i!ectiva si ! solo si 7 es in!ectiva ! so"re!ectiva

Ejemplo:

Sea 7 : 13:1

2

de#inida por 7 ( x , y , * )=( x+ y , 2 * ) . Sa"emos ue 7 es lineal.

+eterminar su Búcleo ! 8ecorrido. 9dem=s determine si 7 es in!ectiva ! so"re!ectiva.

Soluci%n

Eusuemos su núcleo

N (7 )= {( x , y , * )∈ 13 : 7 ( x , y , * )=(0,0)}≝.denCcleo

N (7 )= {( x , y , * )∈ 13 :( x+ y , 2 * )=(0,0) }≝.de7

N (7 )= {( x , y , * )∈ 13 : x+ y=0∧2 *=0 }igualdad en12


66/85

N (7 )= {( x , y , * )∈ 13 : y=− x∧ *=0}ope"ando en1

N (7 )= {( x ,− x , 0 ) , x∈ 1 }


67/85

7 (%2 )=7 (1,4,0 )=(1+4,2 ∙0 )=(5,0)

-or lo ue 7 ( %1)=7 (%2) pero %1 + %2 , por lo tanto/

7 no es in!ectiva.

Heamos si 7 es so"re!ectiva

Sea ?=(a ,b)∈ 12

cualuiera

F ∃ %=( x , y , * )∈ 13t . q . 7 ( % )=? G

Heamos7 ( % )=? :7 ( x , y , *)=(a ,b ) sustituyendo

: ( x+ y , 2 * )=( a ,b )≝.de7

:x+ y=a , 2 *=b igualando en 12

: y=a− x , *=b

2ope"andoen 1

-ara x∈ 1 cualuiera tenemos ue y=a− x ! *=b /2 , por lo ue

-ara ?=(a , b) , existe %=( x , a− x , b/2) tal ue

7 ( % )=7 ( x , a− x , b2 )sustituyendo

7 ( % )=( x+a− x , 2∙ (b /2 ) )≝.de7

7 ( % )=(a ,b ) ope"andoen 1

7 ( % )=?


68/85

-or lo tanto/

∀ ?∈ 13

:∃ %∈ 12t .q .7 ( % )=?

-or lo ue 7 es so"re!ectiva.

Teorema "*


trans#ormaci%n lineal. ntonces

a. 7 es in!ectiva si ! solo si N (7 )= {0% }

". 7 es so"re!ectiva si ! solo si 1 (7 )=9

+emostraci%n

-arte a

(⟹ )

$omo 7 es lineal, por el teorema 16 parte a, 7 (0% )=0? por lo ue {0% }⊆ N (7 )(1)

-or otra parte/

Sea x∈ N (7 )

x∈ N (7 ):7 ( x )=0%≝.de7

:7 ( x )=7 (0%)7eo .13 a

:x=0% 7 esinyecti%a

: x∈ {0% }≝. de con!untounita"io

-or lo tanto N (7 )⊆ {0% }(2)


69/85

+e (1) ! (2) se cumple ue N (7 )={0% }

(⟸ )

Sean x , y∈2 tales ue 7 ( x )=7 ( y)

7 ( x )=7 ( y )⟹7 ( x )−7 ( y )=0?9 esesp . %ect.

⟹7 ( x )+7 (− y )=0? 7eo .13 b

⟹7 ( x+ (− y ) )=0? 7 es lineal , es aditi%a

⟹ x+(− y )∈ N (7 )≝.de nCcleo

⟹ x+(− y )∈ {0% }$i potesis

⟹ x+(− y )=0%≝. de con!untounita"io

⟹ x= y 2 es un esp . %ect .

∴7 ( x )=7 ( y )

⟹ x= y

-or lo tanto, 7 es in!ectiva.

-arte "

(⟹ )

-or de#inici%n de recorrido, 1 (7 )⊆9 (3)

Sea y∈9

$omo 7 es so"re!ectiva/

∃ x∈2 talque7 ( x )= y


70/85

&ue'o, por de#inici%n de recorrido o"tenemos ue y∈ 1(7 )

-or lo tanto, 9 ⊆ 1 (7 )(4)

+e (3 ) ! (4 ) se tiene ue 1 (7 )=9

(⟸ )

Sea y∈9 cualuiera. $omo 1 (7 )=9 entonces y∈ 1(7 ) , así por de#inici%n de

recorrido/

∃ x∈2 talque7 ( x )= y

-or lo tanto/

∀ y∈9 ,∃ x∈2 talque7 ( x )= y

n consecuencia/

7 es so"re!ectiva.

Definici!n "+


trans#ormaci%n lineal. Si N (7 ) ! 1(7 ) son de dimensi%n #inita, entonces se de#ine

la nulidad de 7 , denotada por null(T) ! el ran'o de 7 , denotada por Rgo(T) a la

dimensi%n del N (7 ) ! 1(7 ) respectivamente, esto es

null (7 )=dim ( N (7 )) y 1go (7 )=dim ( 1(7 ))

Teorema "# ,Teorema de la Dimensi!n-


71/85


trans#ormaci%n lineal. Si 2 es de dimensi%n, entonces

dim ( N (7 ))+dim ( 1 (7 ))=dim (2 ) .

+emostraci%n

Supon'amos ue -k ={ x1 , x2 ,…,xk } es una "ase de N (7 ) ! adem=s ue la

dim (2 )=n .

$ompletemos -k para o"tener una "ase de 2 , di'amos

-n={ x1 , x2 ,…,xk , xk +1, … , xn }.

-ro"emos ue D = 7 ( xk +1 ) ,…,7 ( xn)} es una "ase de 1(7 ) .

Heamos si D es linealmente independiente.

Sea ak +1 , … , an∈ / tales ue ak +17 ( xk +1 )+…+an7 ( xn )=0?

ak +17 ( xk +1 )+…+an7 ( xn )=0?: 7 (ak +1 xk +1+…an xn)=0?7eo .13 c

:ak +1 xk +1+…+an xn∈ N (7 )≝.denCcleo

:ak +1 xk +1+…+an xn=a1 x1+…ak xk -k es basede N (7 )

: (−a1 ) x1+(−a2 ) x2+…+(−ak ) xk +ak +1 xk +1+…+an xn=0? 9 es esp .%ect .

:−a1=0,−a

2=0, …,−ak =0,ak +1=0,…,an=0 -n esbase , esl−i

∴ak +1=0, …,an=0

-or lo ue D es linealmente independiente (1)


72/85

Heamos si D 'enera a 1(7 ) , esto es


73/85

$omoD = {7 ( xk +1 ) , … , 7 ( xn)} , por de#inici%n de recorrido D ⊆ 1 (7 ) así/


74/85

C por 3ip%tesis dim (2 )=dim (9 )(¿∗¿)

+e

¿∗¿¿

(¿ ) ,¿ se cumple ue

0+dim ( 1 (7 ) )=dim (9 )

dim ( 1 (7 ) )=dim (9 )(1)

$omo 1 (7 )⊆9 (2) por de#inici%n de recorrido, entonces de (1) ! (2) se cumple

ue

1 (7 )=9

&ue'o por el teorema 14 parte " tenemos ue 7 es so"re!ectiva

(⟸ )

7 es so"re!ectiva ⟹ 1 (7 )=9 teo .14 b

⟹dim ( 1 (7 ) )=dim(9 )≝.dedimensión

⟹dim ( 1 (7 ) )=dim(2 )( I ) ya quedim (2 )=dim (9 )

-or otra parte/ por el teorema de la dimensi%n (teorema 1;) se tiene ue

dim ( N (7 ) )+dim( 1 (7 ) )=dim (2 )( II )

+e ( I ) ! ( II ) se tiene ue

dim ( N (7 ) )+dim ( 1 (7 ) )=dim ( 1(7 ))

$ancelando tenemos ue/

dim ( N (7 ) )=0


75/85

s decir, la "ase de N (7 ) es vacio, ! el único su"espacio vectorial de 2 cu!a "ase

sea vacio es {0% } , por lo tanto

N (7 )={0

% }

&ue'o, por el teorema 14 parte a se cumple ue

7 es in!ectiva.

ercicio

Sea7 : 1

2:1

2

de#inida por7 ( x , y )=(2 y ,3 x− y )

.+etermine si

a. 7 es una trans#ormaci%n lineal.

". 7 es in!ectiva.

c. 7 es so"re!ectiva.

Soluci%n

-arte a

Sean %1 , %2∈ 12

! a∈ 1 cualesuiera.

%1=( x1 , y1 ), %2=( x2 , y2)

7 ( %1+a%2 )=7 (( x1 , y1 )+a ( x2 , y2) ) sustituyend o

¿7 (( x1 , y1)+ (a x2, a y2 ) )mult. deunescala" po"un%ecto" en 12

¿7 ( x1+a x2 , y1+a y2 )+en 12

¿ (2 ( y1+a y2 ) ,3 ( x1+a x2 )−( y1+a y2 ) )≝.de7


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¿ (2 y1+2 a y2 ,3 x1+3 a x2− y1−a y2 ) dist .en1

¿ (2 y1+2a y2 , (3 x1− y1)+ (3 a x2−a y2 ) )asoc .+en 1

¿ (2 y1+a ∙2 y2 ,(3 x1− y1 )+a (3 x2− y2 ) ) dist. en 1

¿ (2 y1 , 3 x1− y1)+ (a ∙ 2 y2 , a (3 x2− y2 ) )+en 12

¿ (2 y1, 3 x1− y1)+a (2 y2, 3 x2− y2 )mult . deunescala" en 12

¿7 ( x1, y1 )+a7 ( x2, y2 )≝.de7

¿7 ( %1)+a7 (%2)


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∴ N (7 )={(0,0)}

&ue'o por el teorema 14 parte a se cumple ue 7 es in!ectiva

93ora como dim (2 )=dim (9 )=dim ( 12

)=2 por el teorema 1 se tiene ue

7 es so"re!ectiva.

Teorema "' ,teorema fundamental de las transformaciones lineales-

Sean (2 ,+, / , ∙) ! (9 ,+, / , ∙ ) espacios vectoriales con 2 de dimensi%n #inita

n . +ada una "ase -={ %1 , %2 , … , %n } de 2 ! vectores l:i cualesuiera

?1,?

2,…,?n∈9 , entonces existe una única trans#ormaci%n lineal 7 :2 :9 tal

ue 7 ( %i )=? i , para cada i=1,... , n .

+emostraci%n

+e#inimos 7 :2 :9 como 7 (a1 %1+a2 %2+…+an %n)=a1 ?1+a2 ?2+…+an ?n

-ro"emos ue 7 es lineal.

Sean x , y∈

2 ! a∈

/ cualesuiera.

$omo - es una "ase de 2 entonces, existen escalares

a1,a

2,…,an ,b1 , b2 ,…,bn∈ / tales ue x=a1 %1+a2 %2+…+an %n∗¿ !

y=b1%

1+b

2%

2+…+bn %n∗¿


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93ora

7 ( x+ay )=7 ( (a1%1+a2 %2+…+an %n )+a (b1 %1+b2 %2+…+bn %n ) )de∗ y∗¿

¿7 (a1 %1+a2 %2+…+an %n+a b1 %1+ab2 %2+…+abn %n)

¿7 (( a1+ab1 )%1+( a2+a b2 )%2+…+(an+a bn )%n )

¿ (a1+ab1 ) ?1+(a2+ab2 ) ?2+…+( an+abn ) ?n≝de7

¿a1?

1+a b

1?

1+a

2?

2+ab

2?

2+…+an ?n+abn?n

¿(a

1

?1

+a2

?2

+…+an

?n )+(ab

1

?1

+ab2

?2

+…abn

?n

)

¿ (a1 ?1+a2 ?2+…+an ?n )+a ((b1 ?1+b2 ?2+…+bn ?n ))

¿7 (a1 %1+a2 %2+…+an %n )+a7 (b1 %1+b2 %2+…+bn %n )≝.de7

¿7 ( x )+a7 ( y )


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am"ién,

7 (%2 )=7 (0 ∙ %1+1∙ %2+…+0∙ %n)

¿0 ∙?1+1∙?

2+…+0 ∙?n≝.de7

¿0?+?2+…+0?

¿?2

∴7 (%2 )=?2

C así sucesivamente/

⋮

7 ( %n )=7 (0 ∙ %1+0 ∙ %2+…+1∙ %n)

¿0 ∙?1+0 ∙ ?

2+…+1 ∙?n≝.de7

¿0?+0?+…+?n

¿?n

∴7 (%n )=?n

9sí

∀ i=1,…,nB7 ( % i )=?i

-or lo ue, existe una trans#ormaci%n lineal 7 :2 :9 tal ue 7 (% i )=? i ,i=1, …,n

-ro"emos ue 7 es única.

Supon'amos ue existe otra trans#ormaci%n lineal E: 2 : 9 tal ue


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E ( % i )=?i ,i=1,…,n

Sea x∈2 cualuiera.

$omo - es "ase de 2 , existen escalares a1 ,a2 ,…,an∈ / tales ue

x=a1 %1+a2 %2+…+an %n(=)

&ue'o

E ( x )= E (a1 %1+a2 %2+…+an %n ) po" (=)

¿a1 E ( %1 )+a2 E( %2 )+…+an E (%n) E es lineal

¿a1?

1+a

2?

2+…+an?n E ( % i)=? i

¿a17 ( %1 )+a27 (%2 )+…+an 7 ( %n) 7 (% i )=?i

¿7 (a1 %1+a2 %2+…+an %n ) 7 eslineal

¿7 ( x ) po" (∎)

∴ E ( x )=7 ( x ) ,∀ x∈2

∴ E=7

7 es única.

-or lo tanto/

xiste una única trans#ormaci%n lineal 7 :2 :9 tal ue 7 ( % i )=? i ,i=1, …,n .

ercicio


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ncontrar una trans#ormaci%n lineal 7 : 12:1

3

tal ue 7 (1,0 )=(3,0,1) !

7 (0,1 )=(0,1,−2) .

Soluci%n

Sea -={(1,0 ) ,(0,1)} , vemos claramente ue - es la "ase canoníca de 12

, por lo

tanto - es "ase de 12

.

Sea A= {(3,0,1 ),(0,1,−2)}⊆ 13

Heamos si A es l:i.

Sean a , b∈ 1 tales ue a (3,0,1)+b (0,1,−2 )=(0,0,0)

a (3,0,1 )+b (0,1,−2 )=(0,0,0 )⟹ (3 a , 0, a )+(0, b ,−2b )=(0,0,0 )

⟹ (3 a,b ,a−2 b )= (0,0,0)+en 13

⟹3 a=0, b=0, a−2b=0

= a=0,b=0, a=2b

⟹a=0,b=0,0=2∙ 0

= a=0 ,b=0

-or lo tanto, A es linealmente independiente

-or el teorema 1< (.?. de las .&.) existe una única trans#ormaci%n lineal 7 : 12

:1

3

tal

ue 7 (1,0)=(3,0,1) ! 7 (0,1 )=(0,1,−2) .

Eusuemos dic3a trans#ormaci%n lineal.

Sa"emos ue ( x , y )= x (1,0 )+ y (0,1)


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9plicando 7 en am"os lados, tenemos ue/

7 ( x , y )=7 [ x (1,0 )+ y (0,1 ) ]

$omo 7 es lineal, por el teorema 16 parte c, se tiene ue/

7 ( x , y )= x7 (1,0 )+ y7 (0,1)

$omo 7 (1,0 )=(3,0,1) ! 7 (0,1 )=(0,1,−2) , entonces/

7 ( x , y )= x (3,0,1 )+ y (0,1,−2)

7 ( x , y )=(3 x , 0, x )+(0, y ,−2 y )

7 ( x , y )=(3 x+0,0+ y , x−2 y )

∴7 ( x , y )=(3 x , y , x−2 y )


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EKE&KDL89?K9S

.E/:

3ttpes.Miipedia.or'Mii+eterminanteN(matemO$6O91tica)

TE0TO:

Alge1ra I

9rmando D. 8oo

17P edici%n

ditorial l 9teneo

9>o 155

Euenos 9ires, 9r'entina.

http://es.wikipedia.org/wiki/Determinante_(matem%C3%A1tica)http://es.wikipedia.org/wiki/Determinante_(matem%C3%A1tica)


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CONC2SI3N

emos realizado este tra"ao con la #inalidad de aduirir ma!or conocimiento en los

anillos de -olinomios, determinantes de matrices cuadradas, trans#ormaciones lineales

! sus utilidades en el campo del al'e"ra. -ara ellos desarrollamos la estructura de anillo

! todas sus propiedades, determinante de matrices cuadradas con sus propiedades !

trans#ormaciones lineales para realizar la demostraciones de los teorema relacionados

en este tema como lo son el teorema del resto ! el teorema #undamental del al'e"ra ue

nos 'arantiza el número exacto de raíces en un polinomio, determinante de matrices de

orden 2x2, 6x6,Q entre otros ! so"re todo los teoremas mas importantes relacionados

con las trans#ormaciones lineales. $ada punto de los ue se trata en este tra"ao se le

anexo un eemplo para así entender con ma!or #acilidad su utilidad ! aplicaci%n.stos ! otros resultados nos permiten entender meor las aplicaciones de estos

teoremas en las matem=ticas ue us="amos en "ac3illerato ! otros cursos "=sicos

universitarios.


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%*T$OD%)*

8ealizaremos este tra"ao con la #inalidad de aduirir ma!or conocimiento en el

campo del al'e"ra con relaci%n a los temas de los anillos de polinomios, determinante dematrices cuadradas ! trans#ormaciones lineales con toda la utilidad ue poseen para

resolver diversos pro"lemas con el uso de polinomios, matrices ! aplicaciones vectoriales

se'ún se planteen. -ara ello vamos a estudiar primeramente la estructura de anillo en los

polinomios ! su aplicaci%n para demostrar los teoremas m=s conocidos relacionados con el

tema como son l eorema del 8esto ! l eorema ?undamental del 9l'e"ra. n los

determinantes estudiaremos su #ormula 'eneral ! aplicaciones para entender meor sus

propiedades ! en las trans#ormaciones lineales desarrollaremos una teoría #undamental para

#acilitar el c=lculo o veri#icaci%n de una trans#ormaci%n lineal, so"re todo el teorema

#undamental de las trans#ormaciones lineales ue nos a!udara a encontrar una #%rmula de

una .&. con al'unos elementos importante de ella, entre otros teoremas importantes para el

al'e"ra.

Documents

Trabajo de Anillo de Polinomio-Determinante-transformacion Lineal