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8/17/2019 Trabajo de Derivada Direccional
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UNIVERSIDAD CÉSAR VALLEJO
FACULTAD DE INGENIERÍA
ESCUELA ACADÉMICA PROFESIONAL DE INGENIERÍA
INDUSTRIAL
Asignatura : MATEMÁTICA III
Docente : ELVIS SOTO APOLITANO
Tema : DERIVADA DIRECCIONAL Y EL VECTOR GRADIENTE
Estudiante : ROMERO BUSTOS, ROSHELL
Ciclo : III
2016
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Derivada direccional
Definiciones y formulas:
La derivada direccional de una función multivariable en la dirección un vector dado,representa la tasa de cambio de la función en la dirección de dicho vector. Este
concepto generaliza las derivadas parciales, puesto que estas son derivadas
direccionales según la dirección de los respectivos ejes coordenados.
-Sea una función escalar y sean un vectorunitario, entonces la derivada direccional de en en la dirección del vectorunitario , esta dado por:
-Sea una función escalar diferenciable en , entonces tienederivada direccional en la dirección de cualquier vector no nulo y esta dadapor:
-Dado un vector unitario y el vector gradiente de la funcion en el punto, que denotamos por podemos calcular la derivada direccionaasociada al vector en dicho punto, realizando el producto escalar del gradiente con Sean una funcion diferenciable en un punto abierto , donde y es un vector unitarioL a derivada direccional de la funcion diferenciable en un punto con respectoal vector unitario viene dada por:
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Sea f: → R definida al menos en un entorno de y sea un vector de tal que Se define entonces la derivada direccional de en la dirección de en elpunto como el límite:
Si la función f(x, y) es diferenciable, entonces la derivada direccional se calcula por la
fórmula:
Es decir la suma de los productos de las parciales por las componentes de un vector unitario.
Ejemplos:
1. Calcule la derivada direccional si y
con . Calcule
Solución:
De donde
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2. Usando la definición de , determina cuando: En este ejercicio tenemos el vector unitario:
a)
;
Solución:
Reemplazando:
+ Respuesta:
b) f(x, y) = senxy ; u=
(-2,3) Solución:
FORMULA:
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Reemplazando:
Respuesta:
c) En este caso es cuando el vector unitario no existe pero si te dan los puntos de P y
Q .
Sea el punto P (3.4) en la dirección de Q (5,7); Solución:
NORMA:
VECTOR
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24* Respuesta:
Grafico de una derivada direccional:
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El vector gradiente
Definición y formulas:
El gradiente o también conocido como vector gradiente denotado de un campoescalar es un campo vectorial. El vector gradiente de evaluado en un puntogenérico del dominio de , indica la dirección en la cual el campo varía másrápidamente y su módulo representa el ritmo de variación de en la dirección dedicho vector gradiente.
El gradiente se representa con el operador diferencial nabla seguido de la función(cuidado de no confundir el gradiente con la divergencia, ésta última se denota con un
punto de producto escalar entre el operador nabla y el campo). También puede
representarse mediante
, o usando la notación
.La generalización del
concepto de gradiente a campos vectoriales es el concepto de matriz Jacobiana.
Sea es una función(o campo) escalar diferenciable en una región R,entonces la función (o campo) gradiente de es la función vectorial definida por
En el caso
En el caso
GRADIENTE EN EL PLANO:
Para un campo escalar plano (x, y) f (x, y), que sea diferenciable en un puntoa = (, ), tendremos: , , ,
GRADIENTE EN EL ESPACIO:
Análogamente, si (x, y, z)
f (x, y, z) es un campo escalar en el espacio, diferenciable
en un punto a = (, ), tendremos:
https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_escalarhttps://es.wikipedia.org/wiki/Campo_escalarhttps://es.wikipedia.org/wiki/Campo_escalarhttps://es.wikipedia.org/wiki/Campo_vectorialhttps://es.wikipedia.org/wiki/Nablahttps://es.wikipedia.org/wiki/Divergencia_(matem%C3%A1tica)https://es.wikipedia.org/wiki/Jacobianohttps://es.wikipedia.org/wiki/Jacobianohttps://es.wikipedia.org/wiki/Divergencia_(matem%C3%A1tica)https://es.wikipedia.org/wiki/Nablahttps://es.wikipedia.org/wiki/Campo_vectorialhttps://es.wikipedia.org/wiki/Campo_escalarhttps://es.wikipedia.org/wiki/Campo_escalar
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( , ) = = , , , k
Ejemplos:
1. Si Solución:
El gradiente esta dado por:
y evaluando
2.Si Solución:
Excepto en la circunferencia
(curva de nivel z=0), se puede calcular
Grafico de una gradiente de dos variables
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Referencias bibliográficas
MORA, Walter. Cálculo en varias variables. Revista digital Matemática. Costa
Rica.2012.
ISBN: 978996864128
GEORGE, Thomas. Cálculos varias variables, 11va.ed.México: Pearson Educación,
2006.
ISBN: 9702606446
MORMAN, Haaser. Análisis matemático, 2da.ed.México: Trillas, 2010.
ISBN: 9809682438820