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TRABAJO DE ESTADÍSTICA
Presentado por:
YENIFER DE LOS REYES CASSIANIDAYANA ORTIZ ALCÁZAR
Presentado a:
LIC. EDGARDO CASTRO
INSTITUCIÓN EDUCATIVA “FERNANDO HOTOS RIPOLL”CURSO: 10°E
ASIGNATURA: ESTADÍSTICA
SABANALARGA, 19 de Noviembre del 2013.
TRABAJO DE ESTADÍSTICA
1. DEFINE:
a) FRECUENCIA RELATIVA: La frecuencia es el número de veces que se repite un valor o dato de análisis en una tabla. La frecuencia relativa se obtiene dividiendo la frecuencia entre el número total de datos.
b) HISTOGRAMA: Es la gráfica que muestra la frecuencia de los datos, en la que el eje horizontal representa unidades discretas, ciertos rangos, o intervalos, en tanto que el eje vertical representa la frecuencia. Frecuentemente, se dibujan barras rectangulares con sus áreas proporcionales a las frecuencias dentro de los rangos o de los intervalos. . El histograma, siendo un gráfico de barras especial, se utiliza para mostrar las variaciones cuando se proporcionan datos continuos como tiempo, peso, tamaño, temperatura, frecuencia, etc.
El histograma permite reconocer y analizar patrones de comportamiento en la información que no son aparentes a primera vista al calcular un porcentaje o la media.
c) POLÍGONO DE FRECUENCIAS ACUMULADAS: Su objetivo, al igual que el histograma y el polígono de frecuencias es representar distribuciones de frecuencias de variables cuantitativas continuas, pero sólo para frecuencias acumuladas.
No se utilizan barras en su confección, sino segmentos de recta, por ello no sólo es útil para representar una distribución de frecuencias sino también cuando se quiere mostrar más de una distribución o una clasificación cruzada de una variable cuantitativa continua con una cualitativa o cuantitativa discreta.
2. RESPONDE:
a) ¿Cómo se denomina también el polígono de frecuencias acumuladas? El polígono de frecuencias acumuladas se le conoce también como OJIVA.
b) ¿Qué nombre recibe el valor promedio de los límites de un intervalo en una distribución de frecuencias? Recibe el nombre de MARCA DE CLASE, que es el punto medio de cada intervalo, es el valor que representa a todo el intervalo para el cálculo de algunos parámetros como la media aritmética o la desviación estándar.
c) ¿A qué es siempre igual el máximo valor que puede tomar la frecuencia absoluta acumulada?El máximo valor que puede tomar la frecuencia absoluta acumulada siempre será la última de ellas, y equivaldrá a la suma del total de los datos.
3. En una empresa se efectuó una prueba para analizar el cociente intelectual de 40 trabajadores. Se registraron los puntajes siguientes:
140 142 146 136 147 126 145 150135 149 147 146 135 153 173 165135 138 144 142 158 148 128 157152 178 168 163 150 125 156 138161 144 132 164 118 145 154 140
Con base en los datos anteriores:
a) Elabora una distribución apropiada de frecuencias, con un cuadro en el que aparezcan las siguientes columnas:
IntervaloLímitesreales x f f ∙ x F h H
Para empezar organizamos los datos:
118 125 126 128 132 135 135 135136 138 138 140 140 142 142 144144 145 145 146 146 147 147 148149 150 150 152 153 154 156 157158 161 163 164 165 168 173 178
Ahora realizamos los pasos para agrupar datos:
1) Determinamos el rango o recorrido (R) de los datos:
R=Xmáx−Xmín=178−118=60
2) Calculamos el número de intervalos. Sabemos que n=40 puesto que son 40 datos, entonces:
ni=1+3,3∙ log (n )=1+3,3 ∙ log ( 40 )=6,287 ≈6
3) Calculando la amplitud (A) se obtiene:
A=Rn i
=606
=10
Ahora se construyen las clases o intervalos, teniendo en cuenta la amplitud es 10, o sea que cada clase debe
contener 10 números por lo cual a los límites inferiores se les sumará A−1=(10)−1=9. Por tal razón, la
primera clase tendrá como límite inferior a X mí n=118, y sus números serian 118, 119, 120, 121, 122, 123,
124, 125, 126, 127.
Por tal razón el último número será el límite superior de la primera clase, y el límite inferior de la segunda será el límite superior de la primera más la unidad, es decir, 127+1=128; y su límite superior será
128+9=137, y así sucesivamente. Por tanto formamos los intervalos de clase, comenzando por el X mí n del
rango, y obtenemos:
118 – 127 118 118+10−1=127
128 – 137 127+1=128 127+10=137
138 – 147 137+1=138 137+10=147
148 – 157 147+1=148 147+10=157
158 – 167 157+1=158 157+10=167
168 – 177 167+1=168 167+10=177
Ahora calculamos los límites reales de clase, restando y sumando media unidad (0,5) a los límites inferiores y superiores, respectivamente. Es decir que las clases quedarían:
117,5 – 127,5 118−0,5=117,5 127+0,5=127,5
127,5 – 137,5 128−0,5=127,5 137+0,5=137,5
137,5 – 147,5 138−0,5=137,5 147+0,5=147,5
147,5 – 157,5 148−0,5=147,5 157+0,5=157,5
157,5 – 167,5 158−0,5=157,5 167+0,5=167,5
167,5 – 177,5 168−0,5=167,5 177+0,5=177,5
Realizando el conteo de datos que cae dentro de cada clase, calculando la marca de clase y las frecuencias se obtiene:
Intervalo Límitesreales x f f ∙ x F h H
118 – 127 117,5 – 127,5 117,5+127,52
=122,5 3 367,5 3 0,075 0,075
128 – 137 127,5 – 137,5 127,5+137,52
=132,5 6 795 9 0,15 0,225
138 – 147 137,5 – 147,5 137,5+147,52
=142,5 14 1.995 23 0,35 0,575
148 – 157 147,5 – 157,5 147,5+157,52
=152,5 9 1.372,5 32 0,225 0,8
158 – 167 157,5 – 167,5 157,5+167,52
=162,5 5 812,5 37 0,125 0,925
168 – 177 167,5 – 177,5 167,5+177,52
=172,5 3 517,5 40 0,075 1
TOTALES 885 40 5.860 – 1 –
b) Determina cuál es el valor de la media aritmética y cual el valor de la moda para esa distribución de frecuencias:
Aplicamos la fórmula de la media aritmética para una distribución de frecuencias, entonces:
Teniendo en cuenta que: 𝑥= Marca de clase 𝑓= frecuencia absoluta 𝐹= frecuencia absoluta acumulada ℎ = frecuencia relativa 𝐻= frecuencia relativa acumulada
𝑥𝑖 ∙𝑓𝑖𝑘𝑖=1
x= xxxxxxxxxn
=(122,5 ∙3 )+ (132,5 ∙ 6 )+(142,5 ∙ 14 )+(152,5 ∙9 )+(162,5 ∙5 )+ (172,5∙ 3 )
40
¿ 367,5+795+1.995+1.372,5+812,5+517,540
¿ 5.86040
⇒ x=146,5
Para hallar la moda tenemos en cuenta la clase modal que es la que tiene mayor número de datos, y la fórmula para hallar la moda que es:
Moda=Lmod+ A( Da
Da+Db)
donde:
Lmod ¿ Límite real inferior de la clase que contiene a la moda.
Da ¿ Es la diferencia entre la frecuencia de la clase que contiene a la moda y la frecuencia de la clase anterior.
Db ¿ Es la diferencia entre la frecuencia de la clase que contiene a la moda y la frecuencia de la clase que le sigue.
A ¿ Amplitud real de la clase que contiene a la moda
Observando la tabla nos damos cuenta que la clase que contiene a la moda es la que tiene frecuencia absoluta 14, o sea, la clase (137,5 – 147,5) entonces:
Lmod ¿ 137,5
Da ¿ 14−6=8
Db ¿ 14−9=5
A ¿ 10
Ahora sí aplicamos la fórmula para la moda:
Moda=137,5+10( 88+5 )=137,5+10 ( 8
13 )=143,6538462 …
⇒Moda≈ 143,65
c) Construye un diagrama circular para los valores de la frecuencia absoluta
Empleando las frecuencias relativas de cada intervalo o clase, tenemos que:
Clases Frec. Absoluta
Frec. relativa
117,5 – 127,5 3 0,075 0,075 x 360° = 27°
127,5 – 137,5 6 0,15 0,15 x 360° = 54°
137,5 – 147,5 14 0,35 0,35 x 360° = 126°
147,5 – 157,5 9 0,225 0,225 x 360° = 81°
157,5 – 167,5 5 0,125 0,125 x 360° = 45°
167,5 – 177,5 3 0,075 0,075 x 360° = 27°
Totales 40 1 360°
Entonces el diagrama circular será:
d) Construye el polígono de frecuencias acumuladas
Teniendo en cuenta las frecuencias absolutas acumuladas:
Clases Frec. Absoluta
Frec. Abs. Acumulada
117,5 – 127,5 3 3
127,5 – 137,5 6 9
137,5 – 147,5 14 23
147,5 – 157,5 9 32
157,5 – 167,5 5 37
167,5 – 177,5 3 40
Total 40 –
El polígono de frecuencias acumuladas u ojiva, nos quedaría así:
e) Construya el histograma correspondiente a los valores de las frecuencias relativas
Teniendo en cuenta las frecuencias relativas acumuladas:
Clases Frec. relativa
Frec. Rel. Acumulada
117,5 – 127,5 0,075 0,075
127,5 – 137,5 0,15 0,225
137,5 – 147,5 0,35 0,575
147,5 – 157,5 0,225 0,8
157,5 – 167,5 0,125 0,925
167,5 – 177,5 0,075 1
Total 1 –
El histograma nos quedaría de la siguiente manera:
4. HALLAR EL RANGO DE CADA UNA DE LAS SIGUIENTES SERIES DE DATOS:
a) 16, 20, 4, 9, 7, 5
Lo primero que toca es ordenar los datos
4, 5, 7, 9, 16, 20
Y ahora sí, determinamos el rango o recorrido (R) de los datos:
R=Xmáx−Xmín=20−4=16
b) 6, 6, 7, 8, 5, 4
Ordenando los datos
4, 5, 6, 6, 7, 8
Hallamos el rango o recorrido (R) de los datos:
R=Xmáx−Xmín=8−4=4
c) 12, 14, 5, 16, 16, 20
Ordenando los datos nos quedarían: 5, 12, 14, 16, 16, 20
Ahora hallamos el rango o recorrido (R) de los datos:
R=Xmáx−Xmín=20−5=15
5. GRAFICA EL HISTOGRAMA CORRESPONDIENTE AL CUADRO SIGUIENTE:
Límites reales x h
40 – 48 44 3
48 – 56 52 5
56 – 64 60 8
64 – 72 68 4
72 – 80 76 6
80 – 88 84 7
88 – 96 92 9
96 – 104 100 3
En el cuadro nos dan los límites reales de los intervalos de datos agrupados, la marca de clase de cada uno y sus respectivas frecuencias absolutas. Teniendo en cuenta la tabla de frecuencias que nos dan entonces la nueva tabla quedaría:
Límites reales x h Frec. Abs. Acum.
Frecuencia Relativa
Frec. Rel. Acum.
40 – 48 44 3 3 0,066666667 0,066666667
48 – 56 52 5 8 0,111111111 0,177777778
56 – 64 60 8 16 0,177777778 0,355555556
64 – 72 68 4 20 0,088888889 0,444444444
72 – 80 76 6 26 0,133333333 0,577777778
80 – 88 84 7 33 0,155555556 0,733333333
88 – 96 92 9 42 0,2 0,933333333
96 – 104 100 3 45 0,066666667 1
TOTALES 576 45 – 1 –
Sacamos entonces las frecuencias absolutas para poder construir el histograma, el cual sería de la siguiente manera:
6. UTILIZA EL CUADRO DEL EJERICIO ANTERIOR PARA:
a) GRAFICAR EL POLÍGONO DE FRECUENCIAS
Como ya se graficó el histograma de frecuencias absolutas, ahora simplemente unimos los puntos medios de cada intervalo de clase para obtener el polígono de frecuencias absolutas:
b) HALLAR EL VALOR PARA LA MEDIA ARITMÉTICA
Aplicamos la fórmula de la media aritmética para una distribución de frecuencias, teniendo en cuenta las marcas de clase y las frecuencias absolutas de cada una. Entonces:
x= xxxxxxxxxn
=(44 ∙3 )+(52 ∙ 5 )+(60 ∙8 )+ (68∙ 4 )+(76 ∙ 6 )+(84 ∙7 )+ (92∙ 9 )+(100 ∙ 3 )
45
¿ 132+260+480+456+588+828+30045
¿ 3.04445
⇒ x=67,64
c) ENCONTRAR LA MODA PARA ESA DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS
Recordamos que:
Moda=Lmod+ A( Da
Da+Db)
Observando la tabla nos damos cuenta que la clase que contiene a la moda es la que tiene frecuencia absoluta 9, o sea, la clase (88 – 96) entonces:
Lmod ¿ 88
Da ¿ 9−7=1
Db ¿ 9−3=6
A ¿ 8
Ahora sí aplicamos la fórmula para la moda:
Moda=88+8 ( 11+6 )=88+ 8
7=89,14285714 …
⇒Moda≈ 89,143
d) HALLAR LOS VALORES CORRESPONDIENTES A LA FRECUENCIA RELATIVA
𝑥𝑖 ∙𝑓𝑖𝑘𝑖=1
Ya los tenemos en la tabla:
Límites reales x h Frec. Abs. Acum.
FRECUENCIA
RELATIVAFrec. Rel.
Acum.
40 – 48 44 3 3 0,06666666 0,06666666
48 – 56 52 5 8 0,111111111 0,17777777
56 – 64 60 8 16 0,17777777 0,35555555
64 – 72 68 4 20 0,08888888 0,444444444
72 – 80 76 6 26 0,133333333 0,577777777
80 – 88 84 7 33 0,15555555 0,733333333
88 – 96 92 9 42 0,2 0,933333333
96 – 104 100 3 45 0,06666666 1
TOTALES 576 45 – 1 –
e) DIBUJAR LA OJIVA PARA LAS FRECUENCIAS ACUMULADAS
El polígono de frecuencias acumuladas u ojiva, nos quedaría así:
f) ¿CUÁL ES LA AMPLITUD DEL INTERVALO?
La amplitud de cada intervalo es de 8, ya que al dividir en cada uno los límites superior e inferior, se obtiene 8. Además en todas las gráficas realizadas lo podemos observar.
7. CONTESTA FALSO (F) O VERDADERO (V) EN CADA UNA DE LAS SIGUIENTES AFIRMACIONES:
a) EL RANGO ES LA DIFERENCIA ENTRE EL LÍMITE INFERIOR Y EL LÍMITE SUPERIOR.
FALSO, porque el rango es la diferencia entre el dato mayor y el dato menor, y no entre el límite inferior y el límite superior.
b) EL MÁXIMO VALOR DE LA FRECUENCIA ABSOLUTA ACUMULADA SIEMPRE ES IGUAL AL VALOR DE LA MUESTRA.
VERDADERO.
c) LA OJIVA PERMITE VISUALIZAR LOS DATOS CORRESPONDIENTES A LA FRECUENCIA ABSOLUTA.
FALSO, porque la ojiva se forma con las frecuencias acumuladas, ya sea la absoluta acumulada o la relativa acumulada, y por tanto no permite ver la frecuencia correspondiente a cada intervalo o clase.
d) LA FRECUENCIA RELATIVA ES EL COCIENTE ENTRE EL VALOR DE LA FRECUENCIA ABSOLUTA Y EL TOTAL DE LA MUESTRA.
VERDADERO.
e) LA FRECUENCIA RELATIVA ACUMULADA ES EL RESULTADO DE SUMAR ENTRE SÍ LAS FRECUENCIAS ABSOLUTAS.
FALSO, porque la frecuencia relativa acumulada es el resultado de sumar entre sí las frecuencias relativas, no las acumuladas.
8. EL EDITOR DEL PERIÓDICO ESCOLAR REALIZÓ UNA ENCUESTA ENTRE LOS ESTUDIANTES PARA SABER SUS PASATIEMPOS. LA INFORMACIÓN ES PRESENTADA COMO UNA DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS. LA FRECUENCIA REPRESENTA EL NÚMERO DE PERSONAS LISTADAS POR PASATIEMPOS.
Pasatiempos Conteo Frecuencia
Coleccionar objetos |||| |||| |||| 14
Leer o escribir |||| || 7
Pintar |||| |||| || 12
Practicar deportes |||| |||| 10
Oír música |||| ||| 8
Otros |||| 5
a) CONSTRUYE UN GRÁFICO DE BARRAS PARA REPRESENTAR LA DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS.
Teniendo en cuenta las frecuencias absolutas que muestra la tabla, nuestro gráfico quedaría así:
b) Da la frecuencia de cada pasatiempo.
Teniendo en cuenta el conteo manual que demuestra la tabla, tendríamos que la frecuencia real de cada pasatiempo sería:
Pasatiempos Conteo Frecuencia realColeccionar objetos |||| |||| |||| 12
Leer o escribir |||| || 6
Pintar |||| |||| || 10
Practicar deportes |||| |||| 8
Oír música |||| ||| 7
Otros |||| 4
c) ¿CUÁL ES EL TOTAL DE TODAS LAS FRECUENCIAS? ¿QUÉ REPRESENTA ESTE NÚMERO?
Sumando todas las frecuencias absolutas dadas por el conteo real, tenemos:
12+6+10+8+7+4=47
Este número está representando el número total de estudiantes encuestados por el editor del periódico escolar.
d) ¿QUÉ PASATIEMPOS TIENE LA FRECUENCIA MAYOR?
El pasatiempos “coleccionar objetos” tiene la mayor e las frecuencias por lo tanto también representa la moda de entre los mismos.
e) ¿CUÁL ES LA POBLACIÓN?
La población la constituyen los estudiantes encuestados por el editor del periódico escolar, que en este caso es la misma muestra (los 47 estudiantes).
f) ¿CUÁL ES LA MODA?
El pasatiempos “coleccionar objetos” el cual tiene como frecuencia 12.
9. EN UN GRUPO DE 8° GRADO SE OBTUVIERON LOS SIGUIENTES PESOS ENTRE LOS 60 ALUMNOS:
Peso en kg. Frecuencia31 – 35 3
36 – 40 5
41 – 45 10
46 – 50 20
51 – 55 15
56 – 60 5
61 – 65 2
a) ELABORA EL HISTOGRAMA CORRESPONDIENTE AL CUADRO ANTERIOR.
Con las frecuencias absolutas para poder construir el histograma, el cual sería de la siguiente manera:
b) CONSTRUYE EL POLÍGONO DE FRECUENCIAS ACUMULADAS.
Calculamos para tener las frecuencias absolutas acumuladas:
Clases Frec. Absoluta
Frec. Abs. Acumulada
31 – 35 3 3
36 – 40 5 8
41 – 45 10 18
46 – 50 20 38
51 – 55 15 53
56 – 60 5 58
61 – 65 2 60
Total 60 –
El polígono de frecuencias acumuladas u ojiva, nos quedaría entonces así:
c) DETERMINA LAS FRECUENCIAS RELATIVAS ACUMULADAS.
Completamos la tabla entonces para tener las frecuencias relativas acumuladas:
Clases Frec. Absoluta
Frec. Abs. Acumulada Frec. Relativa Frec. Relativa
Acumulada
31 – 35 3 3 0,05 0,05
36 – 40 5 8 0,083333333 0,133333333
41 – 45 10 18 0,166666666 0,3
46 – 50 20 38 0,333333333 0,633333333
51 – 55 15 53 0,25 0,883333333
56 – 60 5 58 0,083333333 0,966666666
61 – 65 2 60 0,033333333 1
Total 60 – 1 –
d) ¿CUÁL ES LA POBLACIÓN?
La población la constituyen todos los estudiantes de 8° grado.
e) ¿CUÁL ES MUESTRA?
La muestra la constituyen los 60 estudiantes que fueron pesados en el grado 8°.
f) ¿QUÉ TIPO DE VARIABLES SE UTILIZARON?
Se utilizaron variables cuantitativas, ya que se utilizaron solamente números reales, en este caso números enteros, por lo cual son también variables discretas.
g) ¿CUÁNTOS ELEMENTOS TIENE LA MUESTRA?
La muestra consta de 60 estudiantes, es decir, de 60 elementos
h) ¿CUÁNTOS INTERVALOS HAY?
Hay 7 intervalos.
i) ¿CUÁL ES LA MODA?
Recordamos que:
Moda=Lmod+ A( Da
Da+Db)
Observando la tabla nos damos cuenta que cada intervalo tiene una amplitud de 4 unidades, y que la clase que contiene a la moda es la que tiene frecuencia absoluta 20, o sea, la clase (46 – 50) entonces:
Lmod ¿ 46
Da ¿ 20−10=10
Db ¿ 20−15=5
A ¿ 4
Ahora sí aplicamos la fórmula para la moda:
Moda=46+4 ( 1010+5 )=46+ 40
15=48,666666666 …
⇒Moda≈ 48,67
j) ¿CUÁL ES LA MEDIA ARITMÉTICA?
Para encontrar la media aritmética primero toca hallar las marcas de clase de los intervalos que nos dan, para tenerlas en cuenta con las respectivas frecuencias absolutas. Entonces tenemos que:
Clases Marcas de clase Frec. Absoluta
31 – 3531+35
2=33 3
36 – 4036+40
2=38 5
41 – 4541+45
2=43 10
46 – 5046+50
2=48 20
51 – 5551+55
2=53 15
56 – 6056+60
2=58 5
61 – 6561+65
2=63 2
Total – 60
Aplicamos la fórmula de la media aritmética para una distribución de frecuencias, teniendo en cuenta las marcas de clase y las frecuencias absolutas de cada una. Entonces:
x= xxxxxxxxxn
=(33 ∙3 )+ (38∙5 )+( 43∙ 10 )+( 48∙ 20 )+(53 ∙ 15 )+(58 ∙5 )+ (63∙ 2 )
60
¿ 99+190+430+960+795+290+12660
¿ 2.89060
⇒ x=48,16666 …
10. DADA LA SIGUIENTE TABLA, COMPLÉTALA CON LOS DATOS PEDIDOS:
𝑥𝑖 ∙𝑓𝑖𝑘𝑖=1
Realizando el conteo de los datos correspondientes según la frecuencia absoluta que nos dan, tenemos entonces que:
Límite Frecuencia x f f ∙ x F h H
40 – 46 13
46 – 52 18
52 – 58 15
58 – 64 10
64 – 70 5
64 – 76 9
76 – 82 8
82 – 88 2
Realizando el conteo de los datos correspondientes según la frecuencia absoluta que nos dan, tenemos entonces que:
Límite Frecuencia x f ∙ x F h H
40 – 46 1340+46
2=43 13 ∙ 43=559 13
1380
=0,1625 0,1625
46 – 52 1846+52
2=49 18 ∙ 49=882 31
1880
=0,225 0,3875
52 – 58 1552+58
2=55 15 ∙55=825 46
1580
=0,1875 0,575
58 – 64 1058+64
2=61 10 ∙ 61=610 56
1080
=0,125 0,7
64 – 70 564+70
2=67 5 ∙67=335 61
580
=0,0625 0,7625
64 – 76 970+76
2=73 9 ∙73=657 70
980
=0,1125 0,875
76 – 82 876+82
2=79 8 ∙79=632 78
880
=0,1 0,975
82 – 88 282+88
2=85 2 ∙85=170 80
280
=0,025 1
TOTALES 80 --- --- --- 1 ---