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-
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#$$
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-
! " ! ! #
# $ % # &
% " &
" # (%
-
PARTE I
Filtro 1
Parte terica
Clculo de la funcin de transferencia
Para calcular la funcin de transferencia, llevamos el circuito
al dominio de la frecuencia compleja:
Por divisor de voltaje:
Luego:
Como se tiene una fuente senoidal, s = j*w
Expresndolo en polar:
!"# $%
& &() * +,- $.
/0 /
12 13 * !"# $%
Clculo de las frecuencias w0 , wc1 y wc2
w0 : Como tenemos una resistencia y una bobina, no hay la
posibilidad de que la impedancia de entrada sea real, por lo que no
existe w0 para este circuito.
Ahora evaluamos: 456789 /0 / y 45678: /0 / para ver cmo se
comporta el filtro
456789
/0 / 456789
11211 456
78:/0 / 456
78:
1
;111
-
Debido a que el circuito empieza en cero y tiende a uno en el
infinito, entonces es pasa alta, por lo que slo existe una
frecuencia de corte
wc: Para calcular la frecuencia de mitad de potencia, utilizamos
la frmula:
/0 ?
@A
De acuerdo a los lmites, el valor mximo de /0 / es 1, por lo que
/0 /=>? ;
Luego: /0 D
@
;
@A
;A
A
8 E
1
Como solo existe una sola frecuencia de mitad de potencia, no
hay ancho de banda para este circuito.
B. Parte numrica y grficas
Para este filtro se escogi: FGH1I1 ;0 , para que: E
JK
. JKLMNO
Circuito con los valores escogidos
Funcin de transferencia, en polar, con los valores escogidos de
R y L
La funcin de transferencia para este circuito es:
&J))) &() * +,- $.
J)))
-
Haciendo una tabla de variacin :
w(rad/s) /0 / (w) AdB
10 0.00333 89.80901 -49.54247
30 0.01000 89.42706 -40.00043
60 0.02000 88.85424 -33.98114
100 0.03331 88.09085 -29.54725
250 0.08305 85.23636 -21.61368
500 0.16440 80.53768 -15.68202
700 0.22723 76.86598 -12.87070
1000 0.31623 71.56505 -10.00000
1500 0.44721 63.43495 -6.98970
2000 0.55470 56.30993 -5.11883
2500 0.64018 50.19443 -3.87390
3000 0.70711 45.00000 -3.01030
4000 0.80000 36.86990 -1.93820
5000 0.85749 30.96376 -1.33539
7000 0.91915 23.19859 -0.73232
10000 0.95783 16.69924 -0.37426
15000 0.98058 11.30993 -0.17033
20000 0.98894 8.53077 -0.09663
40000 0.99720 4.28915 -0.02436
60000 0.99875 2.86241 -0.01084
80000 0.99930 2.14759 -0.00610
100000 0.99955 1.71836 -0.00391
200000 0.99989 0.85937 -0.00098
300000 0.99995 0.57294 -0.00043
1000000 1.00000 0.17189 -0.00004
A continuacin se presentarn los grficos:
-
Filtro 2
A. Parte Terica Se procede a buscar la funcin de transferencia
donde V0 es el voltaje del capacitor.
Se procede a pasar los elementos a impedancia en el dominio de
la frecuencia compleja y se usa divisor de voltaje:
La funcin de transferencia simplificada algebraicamente
queda:
Se reemplaza S=j y se expresa la funcin de transferencia en
forma polar
! "# $%&
La magnitud es:
!
Dominio de la frecuencia compleja Dominio del tiempo
-
El ngulo es: ( # )*+ ,
Se observa que solo est presente en el denominador haciendo que
conforme vaya aumentando su valor, la magnitud va a ir
disminuyendo. Esto significa que no hay picos.
Para no basarnos solo en esto, podemos obtener la derivada de la
magnitud con respecto a w, igualar a 0 y resolver para w.
- . . ! .
. / 0.
Resolviendo para . obtenemos que la nica solucin real es . 1
Se realiza tambin el siguiente anlisis en los lmites:
Evaluando para =0
1
2
y para 3 4 5 3 4 1
Esto comprueba matemticamente que el valor mximo est en . 1 y es
1.
Es un filtro pasa baja.
Ya que es un pasa baja, la nica frecuencia de corte debe ser el
valor mximo de la
magnitud dividido entre 20 y procedemos a buscarla de la
siguiente manera sabiendo que el mximo valor es 1:
!
20
6207
8 ! 9
0
0
-
:
B. Parte prctica
Tenemos que nuestra frecuencia de corte, para este filtro es :
;
-
Tabla de valores para las grficas del filtro 2
w |H(w)| (w) AdB
1 0.999999 -0.07161969 -6.78585E-06
5 0.99998 -0.35809396 -0.000169643
10 0.999922 -0.71615995 -0.000678532
15 0.999824 -1.07417 -0.001526548
100 0.992278 -7.12501635 -0.067333827
150 0.982872 -10.6196553 -0.150059086
200 0.970143 -14.0362435 -0.263289387
250 0.95448 -17.3540246 -0.404663546
300 0.936329 -20.5560452 -0.571428861
500 0.847998 -32.0053832 -1.432100327
600 0.8 -36.8698976 -1.93820026
800 0.707107 -45 -3.010299957
1000 0.624695 -51.3401917 -4.086638741
1500 0.470588 -61.9275131 -6.547178688
2000 0.371391 -68.1985905 -8.603380066
2500 0.304776 -72.2553284 -10.32039248
3000 0.257663 -75.0685828 -11.7789706
4000 0.196116 -78.6900675 -14.14973348
5000 0.157991 -80.9097231 -16.02738047
6000 0.132164 -82.4053566 -17.57775491
8000 0.099504 -84.2894069 -20.04321374
10000 0.079745 -85.4260787 -21.96590654
20000 0.039968 -87.70939 -27.96574333
30000 0.026657 -88.4724746 -31.48371257
80000 0.01 -89.4270613 -40.00043427
A continuacin, estn las grficas:
-
Filtro 3
Sabemos que:
Donde
A. Calcular funcin de transferencia V0(t)/V i(t) Para calcular
esta funcin de transferencia, transformaremos este circuito al
dominio de la frecuencia compleja: Donde:
Para obtener el voltaje de la resistencia, usaremos divisor de
tensin, que nos indica que el voltaje en una resistencia o
impedancia en serie con una fuente de tensin es igual a el voltaje
de la fuente multiplicado por la impedancia y dividida entre la
suma de todas las impedancias en serie con la fuente. En este
circuito sera:
Vi(t) R
C L
R
Cs Ls
-
Reemplazando ZC y ZL obtenemos:
! "
# $
Para encontrar nuestra funcin de transferencia H(s), Dividimos
Nuestro voltaje V0 entre el voltaje de la fuente:
Expresamos nuestra funcin de transferencia:
%&
()&
* )+& , ()&
Como estamos trabajando con una fuente senoidal de frecuencia w,
se puede decir que: s=jw;
- . /
/ # /
/ 0 # /
Pasamos a polar; funcin de transferencia polar:
- 1. 23
4 0 5 # # # 673 0 89: ; ()>
4 ) , +, > ? ( , ) , 0 ,)+ > , * @AB3 0 CDE;*
()>* 0 )+> ,
-
Podemos ahora expresar nuestra magnitud y fase en funcin de
w:
F- . F G.
4 H H. I J GH H;# . HJ< K. 73 0 89: ;
+ !
-
ABC D 1#
#
$ !
#
%
#
ABC
#
( !
#
( !
#
(
Ahora que conocemos la Magnitud de Transferencia mxima, podemos
encontrar las frecuencias de corte:
ABC#>
#>
+ !
+ ! #> ; ! >
! > ! ; !
! < +
-
Como las frecuencias solo pueden ser nmeros positivos,
entonces:
2 I ! # J
2. Con signo negativo
E F G :" ; ! ! : Le llamaremos w2.
F < #F ! HEG
>E;
< # H >
< # H
>
Como las frecuencias solo pueden ser nmeros positivos,
entonces:
2 I # J
Para el Ancho de Banda, se obtiene la diferencia entre w2 y
w1.
K ! 1 $ # H
>% ! $
! # H >
% >
>
Tipo de filtro Para encontrar el tipo de filtro, debemos conocer
el comportamiento de los mismos: Un filtro pasa baja, es aquel que
inicia con un valor alto de magnitud de transferencia cuando es
pequea, pero conforme w se hace grande, el disminuye hasta tender a
cero. Un filtro pasa alta es aquel en el que la magnitud de
transferencia es muy baja cuando la frecuencia tambin lo es, pero
cuando w tiende a infinito, esta transferencia se hace ms grande.
El filtro rechaza banda es aquel que inicia con una magnitud de
transferencia en valores pequeos de w, y termina con la misma
magnitud de transferencia cuando w se hace gigante.
-
El filtro pasa banda inicia con una magnitud de transferencia
muy pequea cuando w es muy pequeo, y cuando se incrementa de manera
exagerada el valor de w, el sigue estando con una magnitud de
transferencia muy pequea. Someteremos nuestro filtro a estas
condiciones y evaluaremos su comportamiento.
LMNO
+ !
:
+ ! : : :
LMNOP
+ ! Q LMN
OP
:
EL FILTRO 4 ES PASA BANDA
B. Parte Numrica y grficas
Parte de la asignacin para el filtro 4, es encontrar los valores
de R, L y C que hagan posibles una frecuencia de corte 1 igual a
8Mrad.s-1. Para lograr esto, escogeremos valores comunes de R y C
utilizados en circuitos, y despejaremos la impedancia. Partimos de
esta ecuacin:
1 ! # H
>
B.1. Clculo de los valores de L, R y C
Reemplazando los valores de w1, R y C por 8Mrad.s-1, 57k y 5.6pF
respectivamente,
obtenemos:
RS ! + H TUV TWXY
>TUVTWXY; RS > TUV TWXY + H TUV TWXY
RS > TUV TWXY H TUV TWXY
RS > TUV TWXY Z H TUV TWXY
RS > TUV TWXY ! Z H TUV TWXY
RS > TUV TWXY ! H TUV TWXY ;
H TUV TWXY
) RS > TUV TWXY *
!
H TUV TWXY
) RS > TUV TWXY *
! >W::T::[::H[T>U\
Por lo tanto, la impedancia L=2.005mH.
Ahora, podemos dibujar el circuito con los valores
seleccionados:
-
La funcin de transferencia en forma polar, quedar de esta
forma:
& &3,
+ ! 5-./ 01
!
& &3, >W::T\
+ TUV ! >W::T\TWXY >W::T\ 5-./ 01
TUV ! >W::T\TWXY
>W::T\
& 2 &342 Q]W ]^]_ a2
#2 J ! W a^]_ J 2 bW c]]_ b56780 $
!]W c_ 0b 2 ! ^W ca]_ ]
2%
Para las grficas, no utilizare los valores aproximados, sino los
exactos para intentar obtener una mayor precisin.
Frecuencias de corte y resonancia.
Dada la frecuencia de corte:
2 ^defg
Solo queda encontrar las siguientes frecuencias:
La frecuencia de corte w2 sera:
2 # J
W ]^defgW 0
La frecuencia de resonancia en HMAX , wo sera:
2 =
# cW J]b]_ adefgW 0
El ancho de Banda:
K 2 ! 2 ]W ]^]defgW 0
R1
57k
C15.6pF
L12.005mHVi(t)
-
Tabla de Variacin.
A continuacin, las grficas:
w( rad/s) H(w) AdB 4 2
100000 0.003518 -49.0742 89.79844
200000 0.007038 -43.0509 89.59674
500000 0.017635 -35.0727 88.98956
1000000 0.035553 -28.9826 87.96256
2000000 0.07346 -22.6789 85.78724
3000000 0.116589 -18.6669 83.30473
4000000 0.169046 -15.4399 80.26762
5000000 0.237516 -12.4861 76.26002
6100000 0.345812 -9.22321 69.76866
7000000 0.480159 -6.3723 61.30422
7500000 0.5822 -4.69856 54.39459
8000000 0.707107 -3.0103 45
8500000 0.845571 -1.457 32.26687
9437301.34 1 0 -8.7E-12
10500000 0.840705 -1.50713 -32.7854
11132832.1 0.707107 -3.0103 -45
11800000 0.593143 -4.53681 -53.6196
12600000 0.49281 -6.14642 -60.4746
14000000 0.379467 -8.41652 -67.6993
16000000 0.28758 -10.8248 -73.2869
20000000 0.197538 -14.087 -78.607
26000000 0.13746 -17.2365 -82.0991
35000000 0.096081 -20.3473 -84.4865
50000000 0.064835 -23.7639 -86.2826
100000000 0.031594 -30.0079 -88.1895
200000000 0.015697 -36.0836 -89.1006
500000000 0.006268 -44.0577 -89.6409
1000000000 0.003133 -50.0805 -89.8205
-
Filtro 5
Sabemos que:
Donde
A. Parte Terica
Calculo de la funcin de transferencia.
Pasamos al dominio de la frecuencia:
Aplicamos divisor de voltaje:
Expresamos nuestra funcin de transferencia:
! " #
$%!&
($! $%! &
$%!& $%!& ($!
Sabemos que para fuentes senoidales:
)
-
Entonces:
* +, -) .
- ) . )
/ - .
/ - . )
Pasamos a polar; funcin de transferencia en polar:
* +, / - . 01
2 / - . . . 345678
/ .
Nos queda que:
9: / $;: &
2 $&; &: < ( &$& / &$; : &
=>?@7
($:$;: & /
Podemos ahora expresar nuestra magnitud y fase en funcin de
w:
A* , A 87B, C
2 C C, DE FC C7. , CE8 G, 456 78
F,
78
Lo siguiente es evaluar el comportamiento de nuestro filtro
analizando la magnitud del mismo en cero e infinito:
HIJ,K
A* , A HIJ,KL
/ - .
2 . . M . . / N . L
HIJ,KO
A* , A HIJ,KOL
/ - .
2 . . M . . / N . L
HIJ,KO
PP
. / -
Q . . . . / N
.
MPP HIJ
,KOR/
R
Vemos que la magnitud empieza y termina en el mismo nmero, el
cual es uno, por lo que podemos decir que es rechaza banda.
Para calcular las frecuencias de corte de un rechaza banda,
recordamos que para un RLC serie las ecuaciones son:
STSC UV W
NXY
.
Z
NX[
Ahora necesitamos la frecuencia de resonancia y la calidad de
nuestro circuito.
-
Recordamos que para un RLC serie la frecuencia de resonancia y
la calidad son:
Frecuencia de resonancia: 8
\
Calidad: X , ]
F
8
FQ
Entonces nuestras frecuencias de corte son:
STSC
\
^___
a
b
c
N
Q d
e
.
Z
N
Q f
gggh
Reducimos:
: i i &
\ ;$UV
-
Expresamos nuestra funcin de transferencia:
* +, / km .
2 m . k . M Nk . m . / Nmk . =45678
Nkmmk . /
* +, / .
\ M N . =45678
N . /
9: / : &
: & =>?@7
&:: & /
Para graficar buscamos nuestras frecuencias de corte:
STSC 2 o N NZ
N
Qo k m Nk Nm NZ Nkm
Nkm
Entonces:
: i / \ & p "q
-
Parte II
MODIFICACION DE LA RESPUESTA VARIANDO EL VALOR DE UN
ELEMENTO
Debemos encontrar la funcin de transferencia
Por divisor de voltaje:
Donde Z representa la impedancia equivalente de la rama L, R y C
en paralelo.
Calculando Z:
Luego:
Calculando la magnitud:
Asignando valores para R, L y C:
R = 100
L = 10H
C = 1x10-6F
Entonces la magnitud de la funcin de transferencia es:
Vi (t)
R
R CV0 (t)
L
-
Primera Parte
La magnitud de la funcin de transferencia, con el valor del
inductor y la resistencia constante (L = 10H y R = 100 ) y variando
la capacitancia es:
Los 5 valores del capacitor que se utilizaron son:
C1= 1x10-6F ; C2=1x10-5F ; C3=1x10-4F ; C4=1x10-3F ;
C5=1x10-2F
La grfica para esta funcin de transferencia para cada valor del
capacitor es el siguiente:
En la grfica se aprecia que conforme el capacitor aumenta su
valor, el ancho de banda disminuye, la frecuencia de corte wc1 se
mantiene constante, la frecuencia de corte wc2 disminuye y la
frecuencia de resonancia disminuye.
Segunda Parte
La magnitud de la funcin de transferencia, con el valor de la
resistencia y el capacitor constante (R = 100 y C = 1x10-6F) y
variando el inductor es:
Los 5 valores del inductor que se utilizaron son:
-
L1= 0.01H ; L2=0.1H ; L3=1H ; L4=10H ; L5=100H
La grfica para esta funcin de transferencia para cada valor del
inductor es el siguiente:
En la grfica se aprecia que conforme el inductor aumenta su
valor, el ancho de banda aumenta, la frecuencia de corte wc1
disminuye, la frecuencia de corte wc2 se mantiene constante y la
frecuencia de resonancia disminuye.
Tercera Parte
La magnitud de la funcin de transferencia, con el valor de la
inductancia y el capacitor constante (L = 10H y C = 1x10-6F) y
variando la resistencia es:
!
Los 5 valores de la resistencia que se utilizaron son:
R1=1; R2=10; R3=100 ; R4=1000 ; R5=10000
La grfica para esta funcin de transferencia para cada valor del
resistor es la siguiente:
-
En la grfica se aprecia que conforme el resistor aumenta su
valor, el ancho de banda disminuye, la frecuencia de corte wc1
aumenta, la frecuencia de corte wc2 disminuye y la frecuencia de
resonancia es constante.
-
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