Flujos unidimensional, bidimensional y tridimensional

En general, el flujo de un fluido es un complejo fenómeno unidimensional, bidimensional y tridimensional dependiendo del tiempo: V = V(x, y, z, t). Sin embargo, en muchas situaciones es posible establecer hipótesis simplificadoras que permiten una comprensión mucho más sencilla del problema sin sacrificar exactitud necesaria. Una de las simplificaciones requiere aproximar un flujo real como un flujo unidimensional o bidimensional más simple. En casi cualquier situación de flujo, el campo de velocidad en realidad contiene las tres componentes de velocidad (u, v y w, por ejemplo). En muchas situaciones, las características del flujo tridimensional son importantes en término de los efectos que producen. Para estas situaciones es necesario analizar el flujo en su carácter tridimensional completo. Ignorar una o dos de los componentes de velocidad en estos casos podría originar una representación equivocada considerable de los efectos producidos por el flujo real. El flujo de aire que pasa por el ala de un avión constituye un ejemplo de un flujo tridimensional complejo. Una aproximación a la estructura tridimensional de esos flujos se puede percibir estudiando superficie aerodinamica, que es una fotografía del flujo que pasa por una superficie aerodinámica modelo; el flujo se ha hecho visible usando una técnica de representación de flujo. En muchas situaciones una de las componentes de la velocidad puede ser pequeña (en cierto sentido) con respecto a las otras dos componentes. En situaciones así podría ser razonable ignorar la componente más pequeña y suponer flujo bidimensional. Es decir, V = ui + vj, donde u y v son funciones de x y y (y posiblemente del tiempo, t). Algunas veces es posible simplificar todavía más un análisis de flujo suponiendo que dos de las componentes de velocidad son insignificantes, de modo que el campo de velocidad se puede aproximar como un campo de flujo unidimensional. Es decir, V = ui. Como se aprenderá de los ejemplos presentados en el resto del libro, aunque hay muy pocos, en el caso de haberlos, flujo que realmente son unidimensionales, existen muchos campos de flujos para los cuales la hipótesis de flujo unidimensional constituye una aproximación razonable. También existen muchas situaciones de flujo para las cuales el uso de la hipótesis de campo de flujo unidimensional proporciona resultados completamente erróneos. Un ejemplo de las aproximaciones de flujos unidimensional, bidimensional o tridimensional esta dado por el flujo de un río serpenteante. Casi todos los ríos tienden a producir lechos con meandros o curvos, como los que se indican en la fotografía. El campo de velocidad

real en un río es muy complejo y tridimensional. Sin embargo, para ciertos análisis es posible aproximar el campo de velocidad como un simple flujo unidimensional definido por V = V0 i, donde la dirección x apunta “corriente abajo” y V0 es la “velocidad media” del río., esta aproximación unidimensional no es válida estrictamente, ya que la velocidad del agua no es constante a través de la sección transversal del río. Una mejor aproximación sería V =u (y, z) i, donde la abscisa y es normal a la orilla del río. Además, si el transcurso del río es curvo, el flujo no es solo en la dirección x. Debido a los efectos centrífugos, en el plano de la sección transversal se produce un flujo secundario. Es decir, el campo de flujos es realmente tridimensional, V =ui +vj +wk. De hecho, es este flujo secundario (el carácter tridimensional representado por v y w) el que produce los meandros de los ríos. El flujo transversal (flujo secundario) retira material de la orilla sobre el borde exterior de la curva y lo deposita en la orilla sobre el borde interior de la curva. El serpenteo crece (se vuelve más pronunciado) debido a este efecto tridimensional del flujo. Si se desea estudiar el serpenteo del río, es necesario incluir efectos tridimensionales. Si solo se desea conocer el caudal en el río, puede bastar. Un análisis unidimensional más sencillo.

Al estudiar el movimiento de los fluidos, necesariamente tendremos que considerar la descripción de un campo de velocidades. la velocidad del fluido en un punto C (cualquiera) se define como la velocidad instantánea del centro de gravedad del volumen dV que instantáneamente rodea al punto C. Por lo tanto, si definimos una partícula de fluido como la pequeña masa de fluido completamente identificada que ocupa el volumen dV, podemos definir la velocidad en el punto C como la velocidad instantánea de la partícula de fluido, que en el instante dado, está pasando a través del punto C. La velocidad en cualquier otro punto del campo de flujo se puede definir de manera semejante. En un instante dado el campo de velocidades, V, es una función de las coordenadas del espacio x, y, z, es decir V = V(x, y, z). La velocidad en cualquier punto del campo de flujo puede cambiar de un instante a otro. Por lo tanto, la representación completa de la velocidad (es decir, del campo de velocidades) está dado por

V = V(x, y, z, t) ecuación ***

Si las propiedades de fluido en un punto en un campo no cambian con el tiempo, se dice que el flujo es estacionario. Matemáticamente, el flujo estacionario se define como

σn / σt = 0

donde representa cualquier propiedad de fluido.

Se concluye entonces que las propiedades en un flujo estacionario pueden variar de un punto a otro del campo pero deben permanecer constantes respecto al tiempo en cualquiera de los puntos.

La ecuación *** establece que el campo de velocidades es una función en las tres coordenadas del espacio y del tiempo. Un flujo de tal naturaleza se denomina tridimensional (también constituye un flujo no estacionario) debido a que la velocidad de cualquier punto del campo del flujo depende de las tres coordenadas necesarias para poder localizar un punto en el espacio.

No todos los campos de flujo son tridimensionales. Considérese por ejemplo el flujo a través de un tubo recto y largo de sección transversal constante. A una distancia suficientemente alejada de la entrada del tubo.

Un flujo se clasifica como de una, dos o tres dimensiones dependiendo del número de coordenadas espaciales necesarias para especificar el campo de velocidades.

En numerosos problemas que se encuentran en ingeniería el análisis unidimensional sirve para proporcionar soluciones aproximadas adecuadas.

Puesto que todos los fluidos que satisfacen la hipótesis del medio continuo deben tener una velocidad cero relativa a una superficie sólida (con objeto de satisfacer la condición de no deslizamiento), la mayor parte de los flujos son intrínsecamente de dos o tres dimensiones. Sin embargo, para propósitos de análisis muchas veces resulta conveniente introducir la idea de un flujo uniforme en una sección transversal dada. Se dice que un flujo es uniforme en una sección transversal dada, si la velocidad es constante en toda la extensión de la sección transversal normal al flujo

El término campo de flujo uniforme (opuesto al flujo uniforme en una sección transversal) se emplea para describir un flujo en el cual la magnitud y la dirección del vector velocidad son constantes, es decir, independiente de todas las coordenadas espaciales en todo el campo de flujo.

Flujo unidimensional: Es un flujo en el que el vector de velocidad sólo depende de una variable espacial, es decir que se desprecian los cambios de velocidad

transversales a la dirección principal del escurrimiento. Dichos flujos se dan en tuberías largas y rectas o entre placas paralelas. Es donde las propiedades varían en una dirección. Es decir para una sección perpendicular del flujo, se mantienen constantes todas las propiedades, pero pueden variar de modulo en cualesquiera otra sección perpendicular al fluido

En un flujo unidimensional el cambio de variables del fluido (velocidad, presión, entre otros) perpendicular (a través) de una línea de corriente, es despreciable en comparación con el cambio a lo largo de esa línea de corriente. En la práctica, para un tubo de corriente de área finita de sección transversal, esto significa que todas las propiedades del fluido se consideran uniformes a través de cualquier sección transversal. Se considera que el flujo en tubos por lo general es precisamente unidimensional porque las variaciones a través del tubo se desvanecen en este límite (al aproximarse el área a cero). Así el flujo a lo largo de línea de corriente individual (aunque sean curvas) es unidimensional (midiéndose la dimensión a lo largo de la línea de corriente). El concepto del flujo unidimensional es en extremo poderoso y práctico, y produce sencillez en el análisis y resultados de ingeniería precisos para una amplia gama de problemas.

Flujo Permanente Unidimensional

La aplicación del principio de conservación de la masa a un flujo permanente, en un tubo de corriente, tiene como consecuencia la ecuación de continuidad, la que expresa la continuidad del flujo de sección a sección del tubo de corriente. Considérese un sistema físico, como el de un conjunto particular de materia que se identifique y observe como separado de todo lo que sea exterior al mismo, por un límite cerrado, imaginario o real. La masa del sistema se conserva, pero infortunadamente, un sistema de fluido es, en un flujo de fluido, tanto móvil como

deformable. El sistema fluido retine su masa, pero no su posición ni su forma. Esto sugiere la necesidad de definir un objeto más conveniente para el análisis. Este objeto consiste de un volumen fijo en el espacio al que se denomina volumen de control, y a través de cuyo límite pueden fluir la materia, masa momentun, energía y similares. El volumen de control fijo puede ser de cualquier tamaño y forma útiles (finito o infinitesimal), provisto solo que la superficie límite de control sea un límite cerrado (completamente envolvente). Ni el volumen de control ni la superficie de control cambian de forma o de posición con el transcurso del tiempo.

Un sistema de fluido se define como el fluido contenido dentro del volumen de control (I + R) en el tiempo t.Por conservación de la masa del sistema:(m1 + mR)t=(mR + mO)t+dt

(Masa de fluido en las zonas I y R en el tiempo t) = (masa de fluido en O+R)

Para flujos de gases y líquidos en los cuales es despreciable la variación de peso específico, la ecuación de continuidad se reduce a:

Q= A1V1=A2V2

Se ve así que para los fluidos de densidad constante a lo largo de un tubo de corriente, el producto del área de sección transversal por la velocidad, será constante. Este producto, Q se designa como régimen de flujo (volumétrico) o caudal o gasto, y tiene dimensiones de metros cúbicos por segundo. Por supuesto, esta cantidad puede calcularse en problemas de flujo compresible, aunque generalmente no es útil debido a sus variaciones de sección a sección a lo largo del tubo de corriente.

Para flujos bidimensionales el régimen, de flujo se expresa generalmente por unidad de distancia normal al plano del flujo.

Flujo Unidimensional

La Ecuación de Euler y la Ecuación de la Energía

El desarrollo de la Ecuación de Euler para el flujo unidimensional de un fluido ideal compresible, es el mismo que el realizado para el de un fluido incompresible. Aunque la densidad del fluido variará a lo largo de la línea de corriente, la densidad promedio del sistema diferencial de fluido mostrado, difiere muy poco

(despreciablemente) de la existente en sus extremos y, por lo tanto se puede tomar como constante a través de todo el sistema.

Por lo tanto la ecuación de Euler es:dpρ

+VdV+gndz=0

Sin embargo, para el flujo compresible, generalmente se desprecia el término gndz y la ecuación de Euler se escribe:dpρ

+VdV=0

Esta simplificación se justifica por el hecho de que los problemas de flujo compresible se relacionan en general con gases de peso ligero y con flujos de pequeña extensión vertical, en los cuales son predominantes los cambios de presión y velocidad, y por comparación, son despreciables los cambios de elevación; otro modo de justificar la simplificación, es el de suponer que gn vale cero, lo que equivale a despreciar el peso (aunque no la masa) del fluido.

La ecuación de energía: dpρ

+VdV=0

Se deduce que la ecuación de Euler es igual a la ecuación de energía para el flujo isotrópico.

Integración de la Ecuación de Euler

Cuando se integra la ecuación de Euler a lo largo de la línea de corriente (o tuve de corriente pequeño) para flujo isotrópico de gases perfectos, esta se vuelve:

(V 2 )2−(V 1 )2

2=∫p2

p1

dp/p= p1p2

kk−1

¿(k-1)/k

En la cual se a realizado la integración por sustitución de la relación p1/ρ1k=¿p2/ρ2k.

La ecuación (CpT + V2/2) es constante a lo largo de una línea de corriente cualquiera en un flujo adiabático, se escribe con frecuencia:

CpT1 +(V1)2/2 = CpT2 +(V2)2/2 = CpT

En un punto de estancamiento en el que V es cero, T es la temperatura de estancamiento, Ts que se ve es constante para todos los puntos sobre la línea de corriente.Para el flujo isotrópico de vapores diferentes de los gases perfectos; la entalpia h es una función de la presión y de la temperatura, y se puede obtener de tablas de los diagramas apropiados; para el flujo isotrópico, deben usarse los valores de h1 y de h2 para la misma entropía.

Flujo bidimensional: Es un flujo en el que el vector velocidad sólo depende de dos variables espaciales., Es donde las propiedades varían en dos direcciones, es la clave del flujo laminal

En este tipo de flujo se supone que todas las partículas fluyen sobre planos paralelos a lo largo de trayectorias que resultan idénticas si se comparan los planos entre si, no existiendo, por tanto, cambio alguno en dirección perpendicular a los planos.

Ecuación de Continuidad - F1ujo Permanente : Bidimensional Para el flujo bidimensional se puede derivar la ecuación de Continuidad considerando un volumen de control general, y repitiendo el tipo de análisis que se hizo para el flujo unidimensional. Considérese el flujo y el volumen de control de la Fig. de abajo. AI moverse el sistema, que consiste del fluido en el volumen de control en el tiempo t, hacia afuera de ese volumen de control y hacia adentro de la zona 0, fluye fluido nuevo dentro del volumen de control, llenando la zona I. Parte del sistema permanece en la zona R del volumen de control. Por conservación de la masa,

La masa en O es la integral de las masas que se mueven hacia afuera a través de todas las áreas incrementales dA de la superficie de control en el tiempo dt (vease el inserto del lado derecho en la Fig. de abajo)

ya que el volumen del pequeño prisma es el producto del área de su base y de su altura (perpendicular a la base). La distancia

que mueve el Iimite del sistema a lo largo de una línea de corriente, es ds = V dt, de manera que

Nótese que V cos () es la magnitud de la componente de velocidad normal a la superficie de control en dA; así; el flujo neto hacia afuera del volumen de control se determina, no por la velocidad total, sino por la componente normal de velocidad. La componente tangencial no contribuye al flujo a través de la superficie.· En términos vectoriales, si n es el vector unitario normal hacia afuera en dA

donde dA = n dA se define como el elemento de área dirigido. Se deduce que el flujo de masa hacia dentro de I es

ya que n es la normal hacia afuera y I está dirigida en "contra" del flujo de ENTRADA (vease el inserto del lado Izquierdo en la Fig. 3.10). Ya que Ias masas de ENTRADA y de SALIDA son iguales, dividiendo por dt, se obtiene

en las cuales el símbolo de circulo y flecha sobre el signo de integral, indica que la integral se tomara una vez alrededor de la superficie de control en sentido lev6gino. Así, a través de toda la superficie de control, la suma de todos los regímenes de flujo de masa normales a la superficie vale cero, esto es, en un flujo permanente el régimen de flujo de masa de entrada debe ser exactamente igual al régimen de flujo de masa de salida. La ecuación integral de continuidad, es valida para volúmenes de control finitos 0 infinitesimales. Las formas diferenciales se obtienen fácilmente a partir de la ecuación integral de continuidad. Para el

volumen infinitesimal de control de la Fig. 3.11a, los regímenes de flujo de masa sobre los lados son

Ecuación integral de continuidad

Sustituyendo los valores de los regímenes de flujo en términos diferenciales, desarrollando los productos, y reteniendo solo los terminas de grado mas bajo (del orden de magnitud mas grande), se tiene

La anterior ecuación de continuidad para flujo compresible, permanente, bidimensional, se puede también escribir como

Flujos Bidimensionales (flujos en movimiento)

La solución de problemas de campos de flujo es mucho más complicada quela solución de-problemas de flujo unidimensional. De manera Invariable se requieren ecuaciones diferenciales parciales para un estudio formal de tales problemas

Ecuación de Euler

Las ecuaciones de Euler para un campo de flujo bidimensional vertical, se pueden derivar aplicando a un sistema básico diferencial de fluido, de dimensiones dx por dz la segunda ley deNewton. Identificando las fuerzas dF", y dFz sobre este sistema elemental, y con la sustitución de las presiones apropiadas, estas se reducen a

Habiéndose derivado las aceleraciones del sistema para flujo permanente da como resultado

Esta derivación está basada con la ilustración pertinente

Aplicando la segunda ley de Newton, por igualación de las fuerzas diferenciales a los productos de la masa del sistema y de las respectivas aceleraciones, se obtiene

y por la cancelación de dx y dz y una ligera redisposición, las ecuaciones de Euler para un flujo bidimensional en un plano vertical, son

Acompañadas por la ecuación de continuidad

Las ecuaciones de Euler forman un sistema de tres ecuaciones sirnultáneas diferenciales parciales, que son básicas para la solución de problemas de campos de flujo bidimensionales, la solución completa de estas ecuaciones da p, u y w, como funciones de x y z, lo que permite la predicci6n de la presión y de la velocidad en cualquier pun to del campo de flujo.

Ecuación de Bernoulli

Por la integración de las ecuaciones de Euler se puede derivar la ecuaci6n de Bernoulli para un flujo de densidad uniforme. Multiplicando la primera ecuación por dx y la segunda ecuación por dz, y sumándolas, se obtiene

Se suman y se sustraen del lado derecho de la ecuación los términos y después se redisponen según el siguiente modelo

El corchete en el lado izquierdo de esta ecuación, es la diferencia total dp. Se demuestra fácilmente que la suma de los dos primeros corchetes del lado derecho, es d( u2 + w2 ) /2 y el tercer corchete es la vorticidad, E. Reduciendo la ecuación de acuerdo a lo anterior y dividiéndola por g, se llega a

Y después de la

integración a

En la cual H es la constante de integración, Debido a que la magnitud de la velocidad resultante V en cualquier punto del campo de flujo se relaciona con sus

componentes u y W, por V2 = u2 + W2, la ecuación se simplifica adicionalmente como

Esta ecuación muestra así que la suma de los términos de Bernoulli en cualquier punto en un campo de flujo será una constantes H, si la vorticidad es cero, esto es, si el campo de flujo es un campo irrotacional (0 potencial).

EI estudio de los campos de flujo bidimensionales del flujo compresible, presente a las mismas dificultades que el del flujo incompresible Y una complicaci6n adicional: la variación de densidad a _través del campo de flujo lo que significa otra variable en las ecuaciones, y una mayor dificultad en la solución. Aunque en tales problemas no es posible una solución matemática formal, se han inventado, para la solución de ciertos problemas de interés en la ingeniería, técnicas especiales (particularmente la solución numérica de problemas en computadoras digitales); sin embargo, la revisión de esos métodos se encuentra fuera del alcance de un texto elemental. El intento del siguiente estudio, es solamente el de desarrollar las ecuaciones básicas, describir algunos de los campos de flujo, y estudiar la aplicabilidad y las limitaciones de las ecuaciones.

Flujo tridimensional: El vector velocidad depende de tres coordenadas espaciales, es el caso más general en que las componentes de la velocidad en tres direcciones mutuamente perpendiculares son función de las coordenadas espaciales x, y, z, y del tiempo t. Es donde las propiedades varían en tres direcciones, es el caso del flujo turbulento, si además las propiedades varían con el tiempo se denominan flujo transitorio, o sino flujo permanente o estacionario

Los flujos bidimensionales y tridimensionales, son campos de flujos, en estos modelos las velocidades, presiones y similares, varían a través del campo de flujo y, por lo tanto, son funciones de la posición en el campo. Tales flujos bidimensionales son aproximaciones a la realidad, ya que sólo son estrictamente largos en dirección perpendiculares al plano del papel. El flujo se describe completamente, hasta el grado en el que tales aproximaciones son válidas, por la imagen de líneas de corriente dibujada sobre un solo plano. En los flujos Tridimensionales, se pueden trazar planos a través de los ejes de estos flujos, se pueden trazar imágenes de líneas de corrientes que semejan superficialmente flujos bidimensionales; tales imágenes se pueden utilizar con provecho para la visualización de las líneas de corriente, pero no representan una reducción de un problema tridimensional a uno bidimensional, porque las descripciones matemáticas de los flujos bidimensionales y de los tridimensionales no son las mismas. Como la velocidad es un vector, tiene tres componentes, una para cada coordenada espacial. En muchos casos, todos los vectores velocidad son paralelos, o prácticamente paralelos, y se puede tomar como escalar. Este caso, más sencillo que el campo vectorial general, recibe el nombre de Flujo Unidimensional, y será al que se haga referencia.

CONCLUSION

Hemos llegado a la conclusión de que los problemas de campo del flujo bidimensional son más complicados que los problemas de flujo unidimensional, ya que se requiere la aplicación de ecuaciones diferenciales parciales para un estudio formal de tales problemas.

Los flujos tridimensionales son mas difíciles de visualizar y los mas difíciles de predecir que los flujos unidimensionales y bidimensionales.

El flujo tridimensional es uno de los más complicados de manejar desde el punto de vista matemático y solo se pueden expresar fácilmente aquellos escurrimientos con frontera de geometría sencilla.

El flujo unidimensional solo depende de una varilla especial, se desprecian los cambios de velocidad.

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PANAMÁ

CENTRO REGIONAL DE PANAMÁ OESTEFACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA

MECANICA DE FLUIDOS

TEMA:

FLUJO UNIDIMENSIONAL, BIDIMENSIONAL Y TRIDIMENSIONAL

PRESENTADO A:

PROF. ALEX CASTILLO

PREPARADO POR:ÁVILA, AMADA 8-842-670

CERVERA, LUIS 8-835-1524MORAN, ANDRES 8-847-106OSORIO, CESAR 2-726-1335

FECHA DE ENTREGA:

Jueves, 2de junio de 2011