UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO

FACULTAD DE INGENIERIA

Matemática VProf. Dr. Amado Méndez Cruz

APLICACIÓN DE LAS APLICACIONES CONFORMES AL FLUJO DE FLUIDOS

I. INTRODUCCIÓN

•El método de transformación fue usado por primera vez porPtolomeo hace 1800 años.

•El método de la aplicación es utilizado en la solución de problemasde la ciencia y la tecnología.

•Es de fundamental importancia que uno pueda ser capaz deencontrar soluciones a los problemas, es mas, de encontrar unaúnica solución.

•Existen muchas aplicaciones de la aplicaciones conformes.

1. Dejar claro los conceptos que seránnecesarios para el desarrollo del trabajo.

2. Aplicar todo lo aprendido en la solución deproblemas de flujo de fluidos.

3. Dejar en claro la importancia del uso de lamatemática para la solución de problemas enla ingeniería.

1. Flujo bidimensional

2. Flujo estacionario o uniforme

3. Circulación del fluido

4. Flujo incomprensible

5. Flujo viscoso

6. Flujo no viscoso

7. Flujo rotacional

8. Punto de estancamiento

1.FLUJO BIDIMENSIONAL

el movimiento del fluido se supone idéntico en todos los planos paralelos al plano x-y (plano Z).

2.FLUJO ESTACIONARIO, PERMANENTE O

UNIFORME

Cuando la velocidad del fluido depende de la posición(x,y) y no del tiempo; es decir la velocidad en cada punto es la misma para cualquier instante de tiempo.

3. CIRCULACION DEL FLUIDO

La circulación del fluido a lo largo de una curva suave C se define como el valor de la integral, con respecto a la longitud de arco s, de la componente tangencial VT(x,y) del vector velocidad a lo largo de C:

Donde VT es la componente de la velocidad que es tangente a C.

CT dsyxV ),(

4. FLUJO INCOMPRESIBLE:

Cuando la densidad o masa por unidad de volumen del fluido es contante. Ejemplos de este tipo de fluidos son el agua y el aceite en tanto que el aire es comprensible. Más adelante la definiremos matemáticamente.

5. FLUJO VISCOSO:

Un movimiento de un fluidoviscoso tiene a adherirse a lasuperficie de un obstáculocolocado en un camino.

6. FLUJO NO VISCOSO:

Cuando no hay viscosidad, las fuerzas de presiónsobre la superficie son perpendiculares a lasuperficie. Un fluido que es no viscoso eincomprensible, se llama frecuentemente unfluido ideal. Se debe observar que tal fluido essolamente un modelo matemático de un fluidoreal, en el cual seguramente, tales efectos sesupone, son insignificantes.

7. FLUJO ROTACIONAL:

la rotación del fluidoW(x,y), representa la velocidadangular límite de un elementocircular del fluido, cuando sucircunferencia se contrae hacia sucentro (x,y), que es el punto donde wes evaluada

8. PUNTO DE ESTANCAMIENTO

Son todos los puntos de la curva Cdonde la velocidad del fluido escero.

El flujo de fluido esbidimensional, uniforme, irrotacional, incomprensible, no viscoso. Y que eldominio de la curva C es simplementeconexo.

Vector representante de la velocidad de una partícula en cualquier punto:

V=p+iq

La circulación del fluido:

CT dyxV ),(

También:

Por el teorema de Green:

Entonces:

CCT dyyxqdxyxpdyxV ),(),(),(

Ryx

CdAyxpyxqdyyxqdxyxp ),(),(),(),(

C RyxT dAyxpyxqdyxV ),(),(),(

Sea una circunferencia de radio “r” centrada en w0(x0,y0), entonces

W(x0,y0)m=

Esta es también la expresión del valor medio de la función:

se conoce como rotación del fluido.

=0 (por hipótesis), entonces

Ryx dAyxpyxq

r

l),(),(

2

12

),(),(2

1),( yxpyxqyxw yx

),( yxw

),( yxw xy qp

esta relación implica que:

Entre dos puntos y es independiente del camino.

La nueva función:

Tomando derivadas parciales en ambos lados de esta ecuación resulta:

De la ultima ecuación es fácil darse cuenta que el

vector velocidad V es el gradiente de

xy qp

Cdttsqdstsp ),(),(

00 , yx yx,

),(

),( 00

),(),(),(yx

yxdttsqdstspyx

),(),(),,(),( yxqyxyxpyx yx

Por hipótesis es constante, un caso particular del teorema de Bernoulli:

teconsVP

tan2

1 2

Tenemos que la velocidad de un infinitesimal de fluido en un

punto (x,y) es:

Utilizamos una de las suposiciones:

Con lo que se tiene que:

Yyxx VyxVyx ),(),(

0y

V

x

VV

yx

0),(),( yxyx yyxx

Y podemos decir que existe un función que es la conjugada armónica denotada por: de esta función y además también tenemos una función tal que cumple con lo siguiente:

La cual se denomina:

“ LA FUNCIÓN POTENCIAL COMPLEJO”

),( yx

),(),()( yxiyxz

Al derivar la función tenemos que:

De tal manera que la velocidad se puede escribir como

Y su magnitud es:

Los puntos donde: son puntos estacionarios.

dz

dyX iVV

)(zdz

d

)(z

0)(z

Se le llama función corriente y representa las trayectorias que puede tomar un infinitesimal de fluido que va moviéndose a través de un campo potencial dado Ω(z)

Se le llama función velocidad potencial y representa las curvas por las que el infinitesimal de fluido cruza y va adquiriendo una determinada velocidad para cada punto.

),( yx

),( yx

Hasta ahora solo se ha tratado a las funciones que modelan al flujo de un fluido como funciones analíticas sobre la región donde se analizaba el flujo. Pero si ahora consideramos hechos como la existencia de puntos en el plano Z en donde el fluido aparezca o desaparezca, ¿qué sucedería?. Para estudiar esto observamos que las ecuaciones anteriores si valen para regiones que excluyan estos puntos.

FUENTES: Fuente en z=a

Como su nombre lo indica estos son

puntos donde el fluido aparece desde el

punto z=a y se tiene que la función

potencial complejo es:

)()( azkLnz

SUMIDEROS: Sumidero en z=a

Como su nombre también lo indica estos

son puntos donde el fluido desaparece en

el punto z=a y se tiene que la función

potencial complejo es:

)()( azkLnz

ALGUNOS FLUJOS ESPECIALES

FLUJO UNIFORME: Consideramos un fluido con

velocidad constante en una dirección que hace

un ángulo con la dirección x positiva. Su función

potencial compleja viene dada por:

zeVz i

0)(

FLUJO CON CIRCULACIÓN: Si se tiene el

siguiente potencial complejo:

en el que la magnitud de la velocidad del flujo en

un punto es inversamente proporcional a la

distancia de a:

El punto Z=a se llama “Vórtice ” y K se llama

fuerza. También es importante observar que si se

cambia por el movimiento será en la dirección de

las manecillas del reloj.

)()( azikLnz

22 yx

kV

Ademas:

Esto se logra al reemplazar y e integrar de 0 a 2π .

Representación de un flujo con circulación:

kdyyx

kxdx

yx

kydyVdxV

C c

Yx 22222

)cos(rx )(rseny

SUPERPOSICIÓN DE FLUJOS:

Para el estudio de fluidos mas complejos que se

pueden considerar la combinación de dos flujos y

se puede sumar las potenciales obteniendo la

superposición de flujos como por ejemplo al

considerar el flujo debido a una fuente en Z=-a y un

sumidero de igual fuerza en Z=a

se tiene que el potencial complejo se da por

)()()()(az

azkLnazkLnazkLnz

IX. FLUJO ALREDEDOR DE OBSTACULOS:

Un principio general que interviene en este problema, es diseñar un potencial complejo que tenga la forma:

(esto si el flujo esta en el plano z) donde G(Z) es tal que

EJEMPLO.

X. FLUJO EN TORNO A UNA ESQUINA Y A UN

CILINDRO

),(),()( yxivyxuzfw

Entonces, si es un potencial y una función decorriente Dw del plano uv es la imagen de un dominioDz bajo una transformación

Donde f es analítica.

),(),()( vuivuwF

Sí:

Entonces la función compuesta sera:

),(),,(),(),,()( yxvyxuiyxvyxuzfF

XI. TEOREMA DE BERNOULLI

Si P denota la presión de un fluido y Ves la velocidad del fluido, entonces el teorema de Bernoulli dice que:

donde es la densidad del fluido y K es una constante a lo largo de la trayectoria.

XII. TEOREMA DE BLASIUS Sean X y Y las fuerzas netas, en las direcciones x y y

positivas respectivamente, debidas a la presión de unfluido sobre la superficie de un obstáculo acotado por unacurva simple cerrada C. Entonces, si Ω es el potencialcomplejo para el flujo,

Si M es el momento con respecto al origen de la presiónsobre el obstáculo, entonces

XIII. EJEMPLO:

Encontrar el potencial complejo debido a una fuente en y un sumidero en de iguales fuerzas .

Determinar las líneas equipotenciales y trayectorias y representarlas gráficamente.

Hallar la velocidad del fluido en cualquier punto.

XV. CONCLUSIONES:

El dominio de este tema es de suma importancia ya que tiene muchas aplicaciones a la ingeniería, y su entendimiento nos ayudara a entender muchos fenómenos físicos.

Este trabajo nos sirvió de base para tener nociones de los cursos que llevaremos más adelante, como es el caso de MECÁNICA DE FLUIDOS.

Lo más importante es que nos dimos cuenta de la necesidad que tenemos de aprender matemática, para poder ser excelentes ingenieros.

XVI. EXPOSITORES:

JUSTO ALBERTO GUERRA INCA

LUIS MANTILLA VITON

CARLOS LEON CHACON

OSCAR ROJAS FLORES

ORLANDO CARRILLO ACOSTA

RONY ROBLES RODRIGUEZ

GRACIAS