MATEMÁTICA DE OCTAVO AÑO BÁSICOPRIMER BLOQUE CURRICULAR

TRABAJO REALIZADO POR:

CAROLINA ESMERALDAS ARIASYURI GRANIZO GALAGUER

JORGE RIZZO LIMONESMARIELA CARBO OLMEDO

BLOQUE N° MÓDULO N° 11NÚMEROS ENTEROS

• Conjunto de números enteros

• Representación sobre la recta numérica• Valor absoluto de un número entero• Ordenación de los números enteros.

A la reunión, agrupación o colección de elementos biendefinidos que tienen una propiedad en común, este fueinventado por Georg Cantor hace 100 años

ENTENDEMOS POR CONJUNTO

• Es un concepto que expresa una cantidad en relación a su unidad.

• En sentido amplio, indica el carácter gráfico que sirve pararepresentarlo; dicho signo gráfico de un número recibe el nombre denumeral o cifra.

• El que se escribe con un solo guarismo se llama dígito

¿QUÉ ES NÚMERO?

, , ,A=

Los números enteros están formados por un conjuntode enteros positivos, el cero y los negativos, se losrepresenta con la letra Z.

CONJUNTO DE NÚMEROS ENTEROS.

REPRESENTACIÓN SOBRE LA RECTA.

En la recta numérica, a partir del 0 y hacia la derecha,situamos los sucesivos números enteros positivos;hacia la izquierda del 0, ubicamos los sucesivosnúmeros enteros negativos.

VALOR ABSOLUTO.

El valor absoluto de un número entero positivo o negativo enel número natural que se obtiene si suprimimos su signo.

Número entero

Número natural

-6 6

+6 6

Notación

Cualquier número a tiene su representación en la recta real. El valor absoluto de un número representa la distancia desde ese número al origen.

ORDENACIÓN DE NÚMEROS ENTEROSDado dos números enteros cualesquiera, en mayor el queestá representado más a la derecha sobre la recta

Cualquier númeroentero positivo esmayor quecualquier numeroentero negativo

El 0 es menor quecualquier numeroentero positivo ymayor quecualquier númeroentero negativo

El mayor de dosnúmeros enterosnegativos en elque tiene menorvalor absoluto.

El mayor de dosnúmeros enterospositivos en elque tiene mayorvalor absoluto.

0 2 4 6 -2-6 0-4

OPERACIONES DE NÚMEROS ENTEROS

• Adición y sustracción• Sucesiones con adiciones y sustracciones• Multiplicación y división exacta• Potenciación y radicación.

BLOQUE N° MÓDULO N° 2ROS

ADICIÓN O SUMA

ADICIÓN DE DOS NÚMEROS ENTEROS DEL MISMO SIGNO

Al sumar dos números enteros del mismo signo:

• Se suman los valores absolutos de los sumandos.• Se escribe el mismo signo de los sumandos

La adición o suma es el proceso de contar los elementos de unevento seleccionado y obtener el total de los elementos que lointegran, a este total se le llama resultado, se le representa

con el signo (+).

+4 + +2 = +6

-4 + -2 = -6

ADICIÓN DE DOS NÚMEROS ENTEROS DE DISTINTOS SIGNOSAl sumar dos números enteros de distinto signo:

• Se restan los valores absolutos de los sumandos.• Se escribe el signo del sumando mayor

+4 + -2 = +2

-4 + 2 = -2

+2 + -4 = -2

-2 + +4 = 2

ADICIÓN DE VARIOS NÚMEROS ENTEROS DE DISTINTOS SIGNOS

Para sumar varios números enteros podemos proceder de dos maneras:

1. Se efectúa las sumas en el orden que aparecen.

2. Reordenamos los sumandos. Primero escribimos los enteros positivos y luego los enteros negativos; luego efectuamos la suma de cada grupo por separado y por último sumamos los resultados

PROPIEDADES DE LA ADICIÓN

CONMUTATIVA

ASOCIATIVA

Al cambiar el orden de los sumandos, el resultado no se altera

En una adición de varios sumandos, el resultado no depende de como agrupemos los términos

a + b = b + a (+5) + (-3) = (-3) + (+5)(+2) = (+2)

(a + b) + c = a+ (b + c) [(+5) + (-3)]+(+4) = (+5)+[(-3) + (+4)]

(+5)+ (+1) = (+5)+ (+1)(+6) = (+6)

PROPIEDADES DE LA ADICIÓN

ELEMENTO OPUESTO

ELEMENTO NEUTRO

El cero (0) es el elemento neutro de la adición, pues al sumar 0 a cualquier número entero se obtiene dicho número

Todo número entero tiene su opuesto, el entero que sumado a él da 0

a + 0 = a(+2) + 0 = (+2 )

(a + op(a) = 0

op(+5) = (-5)

(-2 ) + 0 = (-2 )

op(-5) = (+5)

El opuesto es el propio número cambiado de signo

SUSTRACCIÓN O RESTA

Para restar dos números enteros, se suma alprimero el opuesto del segundo

Es una operación matemática contraria a la suma.

5 – 2 = 3

(+7) –(+ 5) = (+7) +op(+5)

= (+7) +(-5) = 2

ADICIONES Y SUSTRACCIONES COMBINADAS

Antes de efectuar adiciones y sustracciones combinadas de números enteros, simplificamos la escritura, eliminando los paréntesis y los signos innecesarios:

Se efectúan las operaciones en el orden que aparecen.

Luego se puede proceder de dos maneras:Se escribe en primer lugar los números precedidos positivos y luego los números precedidos del signo negativo; luego efectuamos la suma de cada grupo por separado y por último restamos los resultados.

7 - 6 - 8 + 9 =1 – 8 + 9 =

-7 + 9 = 2

7 - 6 - 8 + 9 =+ 9 + 7 - 6 - 8 =

+ 16 - 14 = 2

EL USO DEL PARÉNTESIS

Si en una serie de adiciones y sustracciones combinadas aparecenparéntesis, podemos proceder de dos maneras

Se efectúan las operaciones dentro de los paréntesis.

17 + (- 6 + 8) + (-9 + 3) - 4 =17 + ( + 2 ) + ( -6 ) - 4 =

17 + 2 - 6 - 4 = 9

Se eliminan previamente los paréntesis.

17 + (- 6 + 8) + (-9 + 3) - 4 =

17 - 6 + 8 - 9 + 3 - 4 =

17 + 8 + 3 - 6 - 9 - 4 =9

Se efectúan las operaciones indicadas.

1 2

EL USO DEL CORCHETE

Cuando nos encontramos con expresiones que contienen paréntesis dentro de otros paréntesis, se acostumbra a sustituir los externos por corchetes[], y otros más externos por llaves{}.

17 + [(- 6 + 8) + (-9 + 3)] – [4 +( 5 – 2) – 6] =

En estos casos, se efectúan primero las operaciones dentro de los paréntesis, luego los corchetes. Es decir se procede a eliminar los signos de agrupación desde la parte interna a la externa

17 + [(- 8 + (-9 + 3) – [4 +( 5 – 2) – 6] =

17 + ( - 8 - 9 + 3) – (4 + 5 – 2 – 6) =17 - 8 - 9 + 3 – 4 + 5 – 2 – 6 =

17 + 3 + 5 - 8 - 9 – 4 – 2 – 6 = -1

SUCESIONES CON ADICIONES Y SUSTRACCIONES

¿Qué es una sucesión? Una sucesión es un conjunto de cosas (normalmente números) una detrás de otra, en un cierto orden.

Los términos de una sucesiónse encuentran relacionadosunos con otros por lo cual sepuede encontrar un término apartir del anterior

0 3 6 9 12 15 … Para encontrar una sucesión, restamos altérmino de la izquierda el término anterior yesa constante la sumamos al término paraobtener el siguiente término de la derecha.

12 – 9 = 3

3 + 12 = 15

9 – 6 = 3

3 + 9 = 15

SUCESIONES CON ADICIONES Y SUSTRACCIONES

Las sucesiones pueden ser:

INFINITAS

FINITAS

0 4 8 12 16 20 … … -10 -8 -6 -4 -2 0

20 15 10 5 0 -12 -9 -6 -3 0

CRECIENTES

DECRECIENTES

LA MULTIPLICACIÓN

La multiplicación es una operación matemáticaque consiste en sumar un número tantas vecescomo indica otro número.

x + -

+ + -

- - +

Al multiplicar dos números, si tienen signosiguales son positivos y signos diferentes sonnegativos.

(+5).(+4) = +20

(-5).(-4) = +20

(+5).(-4) = -20

(-5).(+4) = -20

PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN

CONMUTATIVA

ASOCIATIVA

Si cambiamos el orden de losfactores, el producto no se altera

a . b = b . a

(-4). (+3) = (+3).(-4)

-12 = -12

En la multiplicación de variosfactores, el producto no depende decomo los agrupemos

a . (b . c) = (a . b). c

(-2). [(+3).(-4) = [(-2).(+3)].(-4)

(-2). (-12) = (-2).(-12)

24 = 24

MODULATIVA

Todo número entero multiplicado por1 da como resultado el mismo entero

DISTRIBUTIVA CON RESPECTO A LA SUMA Y LA RESTA

a . (b + c) = (a . b)+ (a . c)

a . 1 = a

(-5) . 1 = -5

(5+) . 1 = +5

El producto de un número entero por una suma indicada de números enteros es igual a lasuma de los productos del número entero por cada un de los sumandos

(+3) . [(+2) +(-4)] = (+3) . (+2) + (+3) . (-4)

(+3) . (-2) = (+6) + (-12)

(-6) = (-6)

DIVISIÓN

La división es una operación aritmética dedescomposición que consiste en averiguar cuántasveces un número (divisor) está contenido en otronúmero (dividendo).

÷ + -

+ + -

- - +

Al dividir dos números, si tienen signos igualesson positivos y signos diferentes son negativos.

(-35) ÷ (-7) = +5

(+35) ÷ (-7) = -5

(-35) ÷ (+7) = -5

OPERACIONES COMBINADAS

En primer lugar se efectúan las multiplicaciones y divisiones en el orden queaparecen.A continuación se realizan las sumas y las restas.

(+5) . (-6) +(+10) –(+2)÷ (+7) – (+3)

(-30) + (+8) ÷ (+4)(-30) + 2

-28

POTENCIACIÓN

La potenciación es una multiplicación abreviada; en donde todoslos factores son iguales.

Potencia. De una expresión algebraica es el resultado de tomarlacomo factor dos o más veces.

BASE EXPONENTE POTENCIA EJEMPLO

POSITIVAPAR

IMPARPOSITIVA

52 = 5 X 5 = 25

53 = 5 X 5 X 5 = 125

NEGATIVAPAR

IMPAR

POSITIVA

NEGATIVA

-24 = 2 X 2 X 2 X 2 = 16

-23 = 2 X 2 X 2 = -3

LEY DE LOS SIGNOS

PROPIEDAD ENUNCIADO EJEMPLOProducto de

potencias de

igual base

Divisiónde

potencias de

igual base

Potencia de

potencias

Potencia de

exponente 1

Potencia de

exponente 0

Potencia de

exponente

negativo

PROPIEDADES DE LA RADICACIÓN

RADICACIÓNLa radicación es la operación inversa a la potenciación. Y consiste en que dados dosnúmeros, llamados cantidad subradical o radicando e índice, hallar un tercero, llamadoraíz, tal que, elevado al índice, sea igual al radicando.

ÍNDICE RADICANDO RAIZ EJEMPLO

IMPARPOSITIVO

NEGATIVO

POSITIVA

NEGATIVA

PAR

POSITIVO

NEGATIVO

Dos raíces con el mismo valor absoluto, pero de distintos signos

No es elemento del conjunto de los números reales

También son conocidas como cantidades imaginarias No hay solución en elconjunto de los númerosreales.

25 10 xx

25 10 xx

LEY DE LOS SIGNOS