GRÁFICO

DE FUNCIONES

NOMBRE=YESSENIA CORTES

FECHA= 20-07-2015

ASIGNATURA= INGENIERIA COMERCIAL

2)

Función raíz cuadrada

La función raíz cuadrada de un número, es el número mayor o igual que cero, que elevado

al cuadrado se obtiene el primer número. Su notación es ƒ(x)= √ x

La gráfica de una función raíz cuadrada corresponde a la mitad de una parábola como las que

conocemos de la función cuadrática, pero en este caso el eje de simetría de la media parábola es

horizontal (paralelo al eje de las abscisas).

Es importante el número obtenido debía ser mayor o igual a cero,

Si el valor de x fuese negativo no sería una función raíz cuadrada.

El dominio es muy importante porque la función raíz cuadrada no está definida si la expresión dentro

del signo del radical (o, sencillamente, dentro de la raíz cuadrada) es negativa. La región (o conjunto)

de valores de x que hacen que dicha expresión dentro de la raíz cuadrada sea negativa, no pertence,

definitivamente, al dominio de la función. Como resultado, no habrá gráfica alguna para esa región (o

conjunto) de valores de x.

√4 = √4 = 2

√25 = √25 = 5

√−¿9¿ = √−¿9¿ no definida en IR , su solución es un número complejo.

Tabla :

Sólo algunos de ellos son valores exactos, que son los que nos ayudarán a trazar su grafica

x=0 x=1 x=2 x=3 x=4 X=5 X=6 X=7 X=8 X=9

ƒ(x) √ 0 √ 1 √ 2 √ 3 √ 4 √ 5 √ 6 √ 7 √ 8 √ 9

0 1 2 3

El gráfico de la función raíz cuadrada, es semiparabolica se encuentra en el primer

cuadrante

Las gráficas de funciones raíz cuadrada son siempre líneas curva

Dominio

Se llama dominio de f al conjunto de valores que toma la variable independiente, x. Se indica como

Dom f. El dominio está formado, por tanto, por los valores de x para los que existe la función, es

decir, para los que hay un f(x).

Son todos los números reales positivos (0, ∞), lo cual significa que x no puede ser negativo

Dom f = 0,∞

Recorrido

El recorrido es el conjunto de valores que puede tomar la variable dependiente, y, esto es el

conjunto de las imágenes. Se representa como Im f.

Rec f = 0,∞

TABLA

x 2.5 3 4 5 6

f(x) 0 1 1.73 2.24 2.65

DOMINIO[2.5,+

∞

]

RECORRIDO [0,+∞ ¿

ASINTOTA: No tiene ya que su grafica es semiparabolica y nunca deja de subir

Tanto los valores del dominio como recorrido cambiarán de acuerdo la función raíz

que ocupemos.

CRECIENTE: A medida que aumentan los valores del dominio,los valores de las imágenes también

aumentan

Traslación de gráficas

A este gráfico le podemos aplicar traslaciones horizontales, hacia la derecha si hacemos x − 1, y hacia

de izquierda si hacemos x + 1.

Por ejemplo :

el gráfico de muestra que se ha trasladado una unidad hacia la derecha

Su grafica es: ejemplo: Traslado tres unidades hacia la izquierda

Las funciones raíz cuadrada que son múltiplos una de otra.

Graficar las funciones en la misma gráfica.

Graficar las funciones en la misma gráfica.

Si multiplicamos la función por una constante negativa, la función raíz cuadrada se refleja con

respecto al eje .

Graficar las funciones en la misma gráfica

Graficar las funciones en la misma gráfica

Ahora, veamos lo que le ocurre a la función raíz cuadrada cuando sumamos constantes positivas y

negativas a la función

Graficar las funciones .

Solución

3)

Función exponencial

Una función exponencial es una función de la forma y = ax, donde a>0 y a es diferente de uno.

Cuando (la base) a > 1 entonces la función exponencial es una función creciente, como lo es f(x) = 2x.

Mientras que cuando a < 1, la función exponencial es una función decreciente, como lo es f(x) = 2-x.

La función exponencial es de la forma y=ax, siendo a un número real positivo.

La función exponencial puede considerarse como la inversa de lafunción logarítmica, por cuanto se

cumple que:

El dominio natural de la función exponencial es el conjunto de los números Reales dom( f ) = ℜ.

En el domino las características y la forma de la gráfica de una función potencial dependen mucho de

cuál sea el exponente

Dominio son todos los valores que puede tomar la x para que la función tenga sentido; por ejemplo,

si f(x)=raíz de x, la x no puede tomar valores negativos (no puedes hacer la raíz de un numero

negativo) o, si f(x)=1/x, el dominio es todos los números menos el cero (porque no existe 1/0).

Recorrido son los reales positivos Im( f ) = ℜ > 0 , son los reales positivos

Son los valores que puede tomar f(x) según le das valores a x. Por ejemplo, si f(x)=x, el recorrido es

todos los números pero, si f(x)=x², el recorrido son los números mayores o iguales que cero (porque

si elevas un numero al cuadrado siempre te va a dar positivo) o, si f(x)=1, el recorrido es 1, que es el

único valor que puedes obtener para f(x) aunque le des cualquier valor a x.

La función exponencial Siempre es creciente si a > 1 Las curvas son crecientes, y crecen tanto más

rápido cuanto mayor sea la base.

Características de las funciones exponenciales crecientes:

1) El dominio es el conjunto de los números reales.

2) El recorrido es el conjunto de los números reales positivos.

3) El valor de y se acerca a cero pero nunca será cero, cuando x toma valores negativos.

4) Todas las funciones intersecan al eje y en el punto (0,1).

5) Son funciones continuas.

La función exponencial siempre es decreciente si 0 < a

Algunas características de las funciones exponenciales decrecientes:

1) El dominio es el conjunto de los números reales.

2) El recorrido es el conjunto de los números reales positivos.

3) El valor de y se acerca a cero pero nunca será cero, cuando x toma valores positivos.

4) Todas las funciones intersecan al eje y en el punto (0,1).

5) Son funciones continuas

Asíntota siendo el eje de las abscisas una horizontal, la función no tiene raíces. El eje OX es asíntota.

• No cruza al eje x , siempre corta al eje y en el punto P(0,1) y pasa por el punto P(1 a, )

• La curva no corta al eje de las abscisas, osea que tiene la misma asíntota y esta es y = 0

En la figura se ve el trazado de la gráfica de y=2x.

X -3 -2 -1 0 1 2 3 -0,5

Y 0,125 0,25 0,5 1 2 4 8 -2

En los gráficos inferiores se puede ver como cambia la

gráfica al variar a. Observa que las gráficas de y=ax y de y=(1/a)x=a-x son simétricas respecto del eje

OY.

Traslación verticaL:

La función exponencial de la forma f (x) = ax + b, es una traslación vertical de la función genérica g(x)

= ax

Ejemplo funcione exponencial:

f(x) = 2x + 3; t(x) = 2x – 1, y su función genérica es g(x) = 2x.

x g (x)=2x f (x)=2x t (x)=2x-1

-3 2−3=18

18+3=−25

818−1=−7

8

-2 2−2= 14

134

−34

-1 2−1=12

72

−12

0 20=1 5 0

1 21=2 5 1

2 24=4 7 3

3 23=8 11 7

GRAFICA:

Traslación horizontal La función exponencial de la forma f (x) = a (x-c), es una traslación

horizontal de la función genérica g(x) = ax.

Para ello graficaremos las siguientes funciones exponenciales:

f(x) = 2(x+2); t(x) = 2(x-1), y su función genérica es g(x) = 2x.

GRAFICA:

4)

Función logarítmica

La función logarítmica es la función inversa de la exponencial. Dada una función inyectiva, y=f(x), se

llama función inversa de f a otra función, g, tal que g(y)=x. En la Para cada x se obtiene ax. Al valor

obtenido lo llamamos y o f(x). La función inversa de la exponencial es la que cumple que g(y)=x.y, es

simétrica de la función exponencial con respecto a la bisectriz del primer y tercer cuadrantes

.

Una función logarítmica es aquella que genéricamente se expresa como f (x) = logax, siendo a

la base de esta función, que ha de ser positiva y distinta de 1

Denota de la siguiente manera:

y = logax, con a>0 y distinto de 1.En la figura se representa la gráfica de y=log2x de

forma similar a como se hizo con la exponencial. Sus

propiedades son "simétricas".

X 0,125 0,25 0,5 1 2 4 8

F(x) -3 -2 -1 0 1 2 3

El dominio son los reales positivos Dom(f) = Dom(g) = (0, + ∞

recorrido sontodos los reales. Im(f) = Im(g) = R

•

La función es creciente ya que a> 1 Si a > 1, la función f(x) = loga (x) es creciente

f(x) = log2(x) . Su dominio son todos los reales positivos, es creciente

La función es decreciente si 0<a<1 la función f(x) = loga (x) es decreciente

F(x) = log1/2 (X), s

La Funcion tiene una asistota en el eje y

En las gráficas de la derecha se puede ver como al multiplicar por una constante y=k·logax cambia la

rapidez con que la función crece o decrece (k<0).Al sumar (o restar) una constante la gráfica se

desplaza hacia arriba (o hacia abajo) b unidades, cambiando el punto de corte con el eje de abscisas.

Traslaciones:

Horizontal: Se apl icara desplazamiento horizontal a,

y = log a x y = log a (x-b)

Vertical: el desplazamiento de

y = log a x y = log a (x+c)

y = logy = log22 y = logy = log2 2 (x – (x –

3)3)

X = 0

x = - x = - 44

y = logy = log2 2 x + 3x + 3 y = logy = log2 2 xx

y = logy = log 2 2 x - 2 x - 2