Trabajo de Mecánica

DEPARTAMENTO DE FÍSICA.

Indice

• Las Leyes de Kepler.• Las Tres Leyes del movimiento de Newton.• El Fenomeno de las Mareas.• La Fuerza de Gravedad.• Orbita de Transferencia.• Medida de la Velocidad de la Luz.• Movimiento de los Cuerpos Celestes.• Fuerza Central y Conservativa.

Introducción.

• En el presente trabajo se llevó a cabo un exaustuosa investigación para poder entender cada uno de los principios que aquí se mencionan:

• Las Leyes de Kepler: las leyes de kepler son un conjunto de estudios que realizó Johannes Kepler para poder descubir de que los planetas giran entorno al sol, no explican que produce tal movimiento.

1.-Los planetas describen órbitas elípticas estando el Sol en uno de sus focos. 2.-El vector posición de cualquier planeta con respecto del Sol, barre áreas iguales de

la elipse en tiempos iguales. 3.-Los cuadrados de los periodos de revolución son proporcionales a los cubos de los

semiejes de la elipse.– Las leyes de Newton, no solamente explican las leyes de Kepler sino que predicen

otras trayectorias para los cuerpos celestes: las parábolas y las hipérbolas. En general, un cuerpo bajo la acción de la fuerza de atracción gravitatoria describirá una trayectoria plana que es una cónica

Introducción.

Las Tres Leyes del Movimiento de Newton: este conjunto de leyes escritas por Isaac Newton , son la base de la base de la Dinámica.

El Fenomeno de las Mareas: son el ascenso y descenso de las aguas de las costas, ríos,lagos,etc, lo cual ocurre debido a la acción gravitatoria de la luna(lunares) op la acción gravitatoria del sol(solares)

La Fuerza de Gravedad:La gravedad es una fuerza invisible, que no podemos tocar, atrapar, acumular, retener, ni por el presente dominar o manipular, pero si podemos sentir como existe esa fuerza que nos atrae a la superficie haciéndonos pesar en una proporción a la intensidad del cuerpo que desarrolla la gravedad. La fuerza que domina en el Universo a gran escala es la gravitacional. No solamente nos mantiene unidos a la Tierra, sino que imprime cohesión a las galaxias y demás estructuras cósmicas.

Introducción.

• Orbita de Transferencia: esta dividida en tres partes las cuales son:

» Orbita circular interior: es la órbita del punto A, es el punto en donde se encuentran, por ejemplo, las naves espaciales y los satelites antes de traspasar a las orbitas del punto B, el punto al cual deben ir. Para calcular esta órbita debemos utilizar la mecánica del Movimiento Circular Uniforme (fuerza = masa por aceleración normal.) .

» Órbita Semielíptica de Transferencia: es la parte intermedia entre el punto A y el punto B, en la cual los cohetes o satélites pueden comenzar a transferirse a la orbita de donde van a estar. En esta orbita se aplican las propiedades de la fuerza de atracción , ya que se ejerce una fuerza central y conservativa.

» Órbita circular exterior: cuando se llega a esta orbita hay que cambiar la velocidad utilizando la misma dinámica de Movimiento Circular Uniforme.

Introducción.

• Medida de la Velocidad de la Luz: es la forma en que los antiguos cientificos creían que era la Luz hasta que algunos empezron a comprobar que era todo lo contrario de lo que ellos pensaban, por lo tanto siempre iban en contra de la corriente.

– Pierre Fermat dedujo la ley de la refracción, a partir del principio del tiempo mínimo. La luz se propaga de un punto a otro a lo largo del camino que tarda un tiempo mínimo, aunque este no sea el camino de menor longitud.

– Hooke fue el primero en estudiar las interferencias generadas por películas delgadas. Propuso la idea de que la luz era un movimiento vibratorio rápido del medio propagándose a gran velocidad.

– Sin embargo, Huygens, se inclinó por la teoría ondulatoria, dedujo las leyes de la reflexión y de la refracción e incluso explicó la doble refracción de la calcita, usando a partir del modelo ondulatorio.

– En aquella época, la luz era un chorro de partículas o una rápida ondulación de materia etérea. En cualquier caso, se estaba de acuerdo en que la velocidad de propagación era excesivamente grande. Roemer en 1676 midió la velocidad de la luz siguiendo el procedimiento que lleva su nombre, el cual se explicaría más adelante.

Introducción.

• Movimiento de los Cuerpos Celestes: Como se ha comentado, las propiedades central y conservativa de la fuerza de atracción entre un cuerpo celeste y el Sol, determinan un sistema de dos ecuaciones diferenciales de primer orden, que cuando se expresan en coordenadas polares, conducen a la ecuación de la trayectoria, una cónica.

– El programa interactivo procede de otro modo, calcula las componentes de la aceleración a lo largo del eje X, y a lo largo del eje Y, dando lugar a un sistema de dos ecuaciones diferenciales de segundo orden.

– El cuerpo celeste de masa m está sometido a una fuerza atractiva F cuya dirección es radial y apuntando hacia el centro del Sol, cuya masa es M.  El módulo de la fuerza viene dado por la ley de la Gravitación Universal

– 1.-Los planetas describen órbitas elípticas estando el Sol en uno de sus focos. – 2.-El vector posición de cualquier planeta con respecto del Sol, barre áreas iguales de la elipse en

tiempos iguales. – 3.-Los cuadrados de los periodos de revolución son proporcionales a los cubos de los semiejes de la

elipse.

Introducción.

• Fuerza Central y Conservativa: es la fuerza de atracción de los cuerpos.

• La interacción entre dos cuerpos de masa M y m se describe en término de una fuerza atractiva, cuya dirección es la recta que pasa por el centro de los dos cuerpos y cuyo módulo viene dado por la expresión

• G es la constante de la gravitación universal G=6.67·10-11 Nm2/kg2, y r es la distancia entre los centros de los cuerpos.

Introducción.Aceleración de la

gravedad • Se llama aceleración

de la gravedad g, en un punto P distante de r, del centro del planeta de masa M, a la fuerza sobre la unidad de masa situada en el punto P.

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Las Leyes De Kepler.

• Leyes de Kepler

Indice.

• Primera Ley

Segunda Ley

Tercera Ley

Leyes De Kepler.

Las leyes de Kepler describen el movimiento de los planetas en torno del Sol, sin indagar en las causas que producen tal

movimiento.

Las Tres Leyes De Kepler.

Las leyes de Kepler describen la cinemática del movimiento de los

planetas en torno al Sol.

Primera Ley•  Los planetas describen órbitas elípticas

estando el Sol en uno de sus focos

Primera Ley

• Una elipse es una figura geométrica que tiene las siguientes características:

Semieje mayor a Semieje menor b Semidistancia focal c La relación entre los semiejes es a2=b2+c2 La excentricidad se define como el cociente e=c/a r1 es la distancia más cercana al foco (cuando q=0) y r2 es

la distancia más alejada del foco (cuando q=p). Vemos en la figura que r2+r1=2a, y que r2-r1=2c

Segunda Ley• El vector posición de cualquier planeta respecto

del Sol, barre áreas iguales de la elipse en tiempos iguales.

• La ley de las áreas es equivalente a la constancia del momento angular, es decir, cuando el planeta está más alejado del Sol (afelio) su velocidad es menor que cuando está más cercano al Sol (perihelio). En el afelio y en el perihelio, el momento angular es el producto de la masa del planeta, por su velocidad y por su distancia al centro del Sol.

Tercera Ley

• Los cuadrados de los periodos de revolución son proporcionales a los cubos de los semiejes mayores de la elipse.

• Como podemos apreciar, el periodo de los planetas depende solamente del eje mayor de la elipse. Los tres planetas de la animación tienen el mismo eje mayor 2 a=6 unidades, por tanto, tienen el mismo periodo.

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Las Tres Leyes Del Movimiento De Newton.

Con La Formulación De Las Tres Leyes Del Movimiento, Isaac Newton Estableció Las Bases

De La Dinámica.

Indice.

• Primera Ley

• Segunda Ley

• Rozamiento

• Tercera Ley

Primera Ley

• La primera ley de Newton afirma que la aceleración de un objeto es proporcional a la fuerza neta a que está sometido. Si la fuerza neta es nula, la ley de Newton indica que no puede haber aceleración. Un libro situado sobre una mesa experimenta una fuerza hacia abajo debida a la gravedad, y una fuerza hacia arriba ejercida por la mesa (denominada fuerza normal). Ambas fuerzas se compensan exactamente, por lo que el libro permanece en reposo.

Segunda Ley• La segunda ley de Newton relaciona la fuerza total y la aceleración. Una fuerza neta

ejercida sobre un objeto lo acelerará, es decir, cambiará su velocidad. La aceleración será proporcional a la magnitud de la fuerza total y tendrá la misma dirección y sentido que ésta. La constante de proporcionalidad es la masa m del objeto

• En el Sistema Internacional de unidades (conocido también como SI), la aceleración a se mide en metros por segundo cuadrado, la masa m se mide en kilogramos, y la fuerza F en newtons. Un newton se define como la fuerza necesaria para suministrar a una masa de 1 kg una aceleración de 1 metro por segundo cada segundo; esta fuerza es aproximadamente igual al peso de un objeto de 100 gramos.

• Un objeto con más masa requerirá una fuerza mayor para una aceleración dada que uno con menos masa. Lo asombroso es que la masa, que mide la inercia de un objeto (su resistencia a cambiar la velocidad), también mide la atracción gravitacional que ejerce sobre otros objetos. Resulta sorprendente, y tiene consecuencias profundas, que la propiedad inercial y la propiedad gravitacional estén determinadas por una misma cosa. Este fenómeno supone que es imposible distinguir si un punto determinado está en un campo gravitatorio o en un sistema de referencia acelerado. Einstein hizo de esto una de las piedras angulares de su teoría general de la relatividad, que es la teoría de la gravitación actualmente aceptada.

F = ma

Rozamiento.

• El rozamiento se debe a las irregularidades microscópicas de las superficies. Cuando dos superficies están en contacto, sus irregularidades tienden a encajarse, lo que impide que ambas superficies se deslicen suavemente una sobre otra. Un lubricante eficaz forma una capa entre las superficies que impide que las irregularidades entren en contacto.

Rozamiento.• El rozamiento, generalmente, actúa como una fuerza aplicada en

sentido opuesto a la velocidad de un objeto. En el caso de deslizamiento en seco, cuando no existe lubricación, la fuerza de rozamiento es casi independiente de la velocidad. La fuerza de rozamiento tampoco depende del área aparente de contacto entre un objeto y la superficie sobre la cual se desliza. El área real de contacto —esto es, la superficie en la que las rugosidades microscópicas del objeto y de la superficie de deslizamiento se tocan realmente— es relativamente pequeña. Cuando un objeto se mueve por encima de la superficie de deslizamiento, las minúsculas rugosidades del objeto y la superficie chocan entre sí, y se necesita fuerza para hacer que se sigan moviendo. El área real de contacto depende de la fuerza perpendicular entre el objeto y la superficie de deslizamiento. Frecuentemente, esta fuerza no es sino el peso del objeto que se desliza. Si se empuja el objeto formando un ángulo con la horizontal, la componente vertical de la fuerza dirigida hacia abajo se sumará al peso del objeto. La fuerza de rozamiento es proporcional a la fuerza perpendicular total.

Rozamiento.• Cuando hay rozamiento, la segunda ley de Newton puede ampliarse a

• Sin embargo, cuando un objeto se desplaza a través de un fluido, el valor del rozamiento depende de la velocidad. En la mayoría de los objetos de tamaño humano que se mueven en agua o aire (a velocidades menores que la del sonido), la fricción es proporcional al cuadrado de la velocidad. En ese caso, la segunda ley de Newton se convierte en

• La constante de proporcionalidad k es característica de los dos materiales en cuestión y depende del área de contacto entre ambas superficies, y de la forma más o menos aerodinámica del objeto en movimiento.

Tercera ley

•  La tercera ley de Newton afirma que cuando un objeto ejerce una fuerza sobre otro, este otro objeto ejerce también una fuerza sobre el primero. La fuerza que ejerce el primer objeto sobre el segundo debe tener la misma magnitud que la fuerza que el segundo objeto ejerce sobre el primero, pero con sentido opuesto. Por ejemplo, en una pista de patinaje sobre hielo, si un adulto empuja suavemente a un niño, no sólo existe la fuerza que el adulto ejerce sobre el niño, sino que el niño ejerce una fuerza igual pero de sentido opuesto sobre el adulto. Sin embargo, como la masa del adulto es mayor, su aceleración será menor.

Tercera ley• La tercera ley de Newton también implica la conservación

del momento lineal, el producto de la masa por la velocidad. En un sistema aislado, sobre el que no actúan fuerzas externas, el momento debe ser constante. En el ejemplo del adulto y el niño en la pista de patinaje, sus velocidades iniciales son cero, por lo que el momento inicial del sistema es cero. Durante la interacción operan fuerzas internas entre el adulto y el niño, pero la suma de las fuerzas externas es cero. Por tanto, el momento del sistema tiene que seguir siendo nulo. Después de que el adulto empuje al niño, el producto de la masa grande y la velocidad pequeña del adulto debe ser igual al de la masa pequeña y la velocidad grande del niño. Los momentos respectivos son iguales en magnitud pero de sentido opuesto, por lo que su suma es cero.

Tercera ley

• Otra magnitud que se conserva es el momento angular o cinético. El momento angular de un objeto en rotación depende de su velocidad angular, su masa y su distancia al eje. Cuando un patinador da vueltas cada vez más rápido sobre el hielo, prácticamente sin rozamiento, el momento angular se conserva a pesar de que la velocidad aumenta. Al principio del giro, el patinador tiene los brazos extendidos. Parte de la masa del patinador tiene por tanto un radio de giro grande. Cuando el patinador baja los brazos, reduciendo su distancia del eje de rotación, la velocidad angular debe aumentar para mantener constante el momento angular.

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El Fenomeno De Las Mareas.Marea, ascenso y descenso periódicos de todas las aguas oceánicas, incluyendo las del mar abierto, los golfos y las bahías, resultado de la atracción gravitatoria de la Luna y del Sol sobre el agua y la propia Tierra.

Indice.

• Las Mareas se dividen en 2 tipos: – Mareas Lunares.

– Mareas Solares.

• Charca Residual producida por las mareas.

• Corrientes y Olas de Mareas.

• Energía Mareomotriz.

Las Mareas se dividen en 2 tipos:

• Mareas Lunares: Se producen al estar la luna mucho más cerca de la Tierra que el Sol, es la causa principal de las mareas. Cuando la Luna está justo encima de un punto dado de la superficie terrestre, ejerce una fuerza de atracción sobre el agua, que, por lo tanto, se eleva sobre su nivel normal. El agua que cubre la porción de Tierra más lejana de la Luna también está sometida a atracción; se forma así otra elevación que proporciona el fundamento de una segunda onda. La cresta de onda situada bajo la Luna se llama marea directa, y la del lado diametralmente opuesto de la Tierra se llama marea opuesta. En ambas crestas, prevalece la condición conocida como de marea alta, mientras que a lo largo de la circunferencia formada por las zonas perpendiculares al eje de mareas directa y opuesta se producen fases de marea baja.

• Las mareas alta y baja se alternan en un ciclo continuo. Las variaciones producidas de forma natural entre los niveles de marea alta y baja se denominan amplitud de la marea. En la mayoría de las costas del mundo se producen dos mareas altas y dos bajas cada día lunar, siendo la duración media de un día lunar 24 h, 50 min y 28 s. Una de las mareas altas está provocada por la cresta de marea directa y la otra por la cresta de marea opuesta. En general, dos mareas altas o bajas sucesivas tienen casi la misma altura. Sin embargo, en algunos lugares fuera del océano Atlántico estas alturas varían de forma considerable; este fenómeno, conocido como desigualdad diurna, todavía no se comprende bien en la actualidad.

• Mareas Solares: Asimismo, el Sol provoca el ascenso de dos crestas de onda opuestas, pero como el Sol está más alejado de la Tierra, su fuerza para crear mareas es un 46% menor que la de la Luna. El resultado de la suma de las fuerzas ejercidas por la Luna y el Sol es una onda compuesta por dos crestas, cuya posición depende de las posiciones relativas del Sol y de la Luna en un instante dado. Durante los periodos de Luna nueva y llena, cuando el Sol, la Luna y la Tierra están alineadas, las ondas solar y lunar coinciden. Resulta un estado conocido como mareas de primavera; en ellas las mareas altas ascienden más y las mareas bajas descienden más de lo habitual. Cuando la Luna está en el primer o tercer cuadrante, forma un ángulo recto con respecto a la línea Tierra-Sol y las ondas quedan sometidas a fuerzas opuestas del Sol y de la Luna. Este estado es el de marea muerta: la marea alta es más baja y la baja más alta de lo normal. Las mareas de primavera y muerta se producen 60 h después de las fases correspondientes de la Luna; este periodo se llama edad de la marea o de la fase de desigualdad. El intervalo entre el instante en que la Luna cruza un meridiano en un punto y cuando la siguiente marea alta llega a ese punto se llama intervalo Luna-marea, o de marea alta. El intervalo de marea baja es el periodo entre el instante en que la Luna cruza un meridiano y cuando llega la siguiente marea baja. Los valores medios entre los intervalos Luna-marea durante los periodos de Luna nueva y llena se conocen como establecimiento de puerto. Los valores de los intervalos durante otros periodos del mes se denominan, a veces, establecimientos corregidos.

Charca Residual Producida por la Marea.

Corrientes y Olas de Marea.

• Junto al ascenso y descenso vertical de agua, hay varios movimientos horizontales o laterales llamados comúnmente corrientes de marea, muy diferentes de las corrientes oceánicas normales (véase Océanos y oceanografía). En zonas cerradas, una corriente de marea fluye durante unas 6 h y 12 min aguas arriba, o hacia la costa, en correspondencia con la marea alta; después se invierte y fluye, durante casi el mismo tiempo, en dirección contraria, y se corresponde con la marea baja. Durante el periodo de inversión, el agua se caracteriza por un estado de inmovilidad, o calma, llamado repunte de la marea. Una corriente que fluye hacia la costa se califica como de avenida; y la que se aleja de la misma, reflujo.

• A veces, en mar abierto, olas marinas gigantes, llamadas tsunamis u olas de marea (véase Tsunami), se precipitan sobre las costas circundantes con una fuerza tremenda, causando considerables daños humanos y materiales. Estas olas no se producen por fenómenos naturales de marea, sino por terremotos, erupciones volcánicas oceánicas o perturbaciones atmosféricas intensas. Véase Terremoto; Volcán.

• Otro fenómeno relacionado es el seiche, que suele producirse en mares rodeados de tierra o en lagos, como la bahía de San Francisco en California y el lago Léman en Ginebra (Suiza). Se observa que la superficie del agua oscila desde unos pocos centímetros hasta varios metros; esto es debido a las variaciones locales de presión atmosférica junto a vientos fuertes, pero a veces se debe a sacudidas sísmicas lejanas. El movimiento del agua se produce en olas largas y puede durar desde unos pocos minutos hasta varias horas.

Energía Mareomotriz.

• La energía de las mareas puede emplearse para producir electricidad. En el verano de 1966 se puso en marcha una planta de energía mareomotriz de 240.000 kW en el río Rance, un estuario del canal de la Mancha, en el noroeste de Francia. La marea ascendente del río fluye a través de un dique, mueve unas turbinas y luego queda retenida tras él. Cuando la marea desciende, el agua atrapada se libera, atraviesa el dique y mueve de nuevo las turbinas. Estas plantas de energía mareomotriz desarrollan su máxima eficiencia cuando la diferencia entre las mareas alta y baja es grande, como en el estuario de Rance, donde es de 8,5 metros. Las mareas altas mayores del mundo se producen en la bahía de Fundy en Canadá, donde hay una diferencia de unos 18 metros.

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La Fuerza De Gravedad

La fuerza que domina en el Universo a gran escala es la

gravitacional. No solamente nos mantiene

unidos a la Tierra, sino que imprime cohesión a las

galaxias y demás estructuras cósmicas.

Indice.

• ¿Cúales son las propiedades de la gravedad?

• Ejemplos de como la Gravedad afecta a todo el Universo.

• ¿Cómo está compuesta la gravedad?

• ¿Qué produce la Fuerza de Gravedad?

• ¿De qué tamaño es?

¿Cúales son las propiedades de la gravedad?

• La fuerza que atrae a todos los cuerpos hacia el centro de la Tierra es la de gravedad. Los científicos han descubierto que es una fuerza central; esto significa que atrae igual en todas direcciones, de ahí que muchos astros tengan forma esférica: la Tierra, la Luna, el Sol, las estrellas, los cúmulos globulares, etcétera.

• Depende de la masa del cuerpo que atrae. Por ejemplo, si el lector pesa 40 kg en la Tierra, pesaría ocho veces menos en la Luna (5 kg), puesto que nuestro satélite es menos masivo. En Júpiter pesaría más de 100 kg y en un asteroide casi nada.

• La fuerza de gravedad se siente a distancia. El Sol atrae todos los cuerpos del Sistema Solar y por eso se mantiene unido. Y la Galaxia mantiene unidas a las estrellas que la forman.

• La fuerza de gravedad es tal que disminuye rápidamente con la distancia. Así, aunque haya hoyos negros que atraen poderosamente toda la materia situada en su vecindad, nosotros no logramos detectar su atracción gravitacional porque no hay ninguno cerca de la Tierra.

Si las galaxias giran con sus brazos entorno a su núcleo, es debido a la fuerza de gravedad.

Si las estrellas evolucionan y existen en el Universo, es debido a la fuerza de gravedad.

Si los planetas desarrollan sus movimientos de rotación, es debido a la fuerza de gravedad.

Si sobre la superficie de los distintos cuerpos se produce la fuerza de atracción de la masa (peso), es debido a la fuerza de gravedad.

Si todos los cuerpos desarrollan el movimiento de traslación alrededor del Sol, es debido a la fuerza de gravedad.

Si en las estrellas se desarrolla la Termofusión-nuclear, es debido precisamente a la fuerza de gravedad.

Si en el Universo no impera el caos y el desorden, es debido a la fuerza de gravedad.

Ejemplos De Como La Gravedad Afecta a Todo El Universo.

¿Cómo Está Compuesta La Gravedad?

• Hoy tenemos la creencia de que la gravedad es solo una fuerza y eso no es verdad, en realidad son dos fuerzas en una, es decir, la gravedad es el resultado de la acción que producen dos ondas electromagnéticas a la vez (las ondas de atracción y las ondas de repulsión) El conjunto de estas dos ondas forma una fuerza distinta, que conocemos como gravedad. Esta fuerza, a su vez produce todas y cada una de las fuerzas que se derivan de la gravedad.

¿Qué Produce La Fuerza De Gravedad?

• No sabemos que produce la fuerza de atracción gravitatoria entre los cuerpos. A pesar de esto, podemos describirla y predecir cómo actuará. Gracias a ello es posible calcular la trayectoria de un proyectil o la probabilidad de que un cometa choque contra la Tierra.

¿De Qué Tamaño Es La Fuerza De Gravedad?

• La fuerza de gravedad es muy pequeña si se compara con otras como, por ejemplo, la electromagnética. Pensemos en un imán de refrigerador. La fuerza de atracción magnética del imán es más fuerte que la atracción gravitatoria de toda la Tierra junta sobre el imán; por eso se mantiene pegado y no se cae. A pesar de lo anterior, el Universo es tan grande y hay tantos cuerpos masivos que la fuerza de gravedad es importantísima para entender la evolución cósmica.

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Indice.

Orbita de Transferencia.

• Descripción

– Orbita Circular Interior.

– Orbita Semielíptica de transferencia

– Orbita Circular Exterior.

• Combustible Gastado por la nave espacial.

•Supongamos que queremos enviar una nave espacial desde la órbita de un planeta a la de otro, por ejemplo desde la Tierra a Marte, o bien, elevar un satélite de comunicaciones desde una órbita circular ecuatorial de baja altura a otra órbita coplanar y circular de mayor altura.

•Para economizar el combustible, es necesario seguir una órbita de trasferencia semielíptica y proporcionar dos impulsos uno en el punto A cuando la nave espacial pasa de la órbita circular interior a la órbita de trasferencia, y otro impulso en la posición B, cuando la nave espacial pasa de la órbita de transferencia a la órbita circular exterior. Podremos, además, calcular la cantidad de combustible que deberá quemar la nave en dichos impulsos.

Orbita de Transferencia

Descripción

Para resolver el problema propuesto solamente es necesario hacer uso de las propiedades de la fuerza de atracción gravitatoria que hemos

estudiado en otras secciones, y de la dinámica del movimiento circular uniforme. volver

Órbita Circular Interior.

• Cuando la nave espacial describe una órbita circular de radio rA, el módulo de

la velocidad vA se puede calcular

aplicando la dinámica del movimiento circular uniforme: fuerza igual a masa por aceleración normal.

• Donde M es la masa de la Tierra, G es la constante de la gravitación universal, y m es la masa de la nave que se simplifica en las ecuaciones del

movimiento. volver

Órbita Semielíptica de Transferencia.

• Para calcular la velocidad que debe llevar la nave espacial en el punto A para que alcance la órbita exterior en B, basta aplicar las propiedades de la fuerza de atracción, se trata de una fuerza central y conservativa.

• Por la propiedad de la fuerza central, el momento angular es constante y por tanto, tiene el mismo valor en A que en B.

• Por la propiedad de fuerza conservativa, la energía es constante en todos los puntos de la trayectoria, y en particular es la misma en A que en B.

• Conocidos rA y rB podemos calcular en este par de ecuaciones las incógnitas v’A y vB.

• La energía que hemos de suministrar al satélite en la posición A para que pase de la órbita circular a la trayectoria de transferencia es:

, , , volver

Órbita Circular Exterior.

• Una vez que la nave espacial llega al punto B, ha de cambiar su velocidad para seguir la trayectoria circular de radio rB. De nuevo aplicando la dinámica del movimiento circular uniforme tenemos.

• La energía que hemos de suministrar al satélite para que pase de la órbita de transferencia elíptica a la órbita circular de radio rB es

• El semiperiodo o tiempo que tarda la nave espacial en pasar del punto A al punto B principio y fin de la trayectoria de transferencia, viene dado por.

• Siendo a, el semieje mayor de la elipse. volver

Combustible Gastado por la Nave Espacial.

• Supondremos que la nave espacial cambia de velocidad en los puntos A y B mediante sendos impulsos, de duración muy corta, por lo que no tendremos en cuenta la acción del peso.

• Al estudiar la dinámica de un cohete, calculamos la cantidad de combustible m0-m que ha de gastar una nave espacial para incrementar su velocidad en v-v0

• donde u es la velocidad de escape de los gases al quemarse el combustible, m0 es la masa inicial y m es la masa final.

• La variación total de velocidad que experimenta la nave espacial en los puntos A y B es la suma

• A partir de la expresión anterior podemos hallar la masa final m conocida la masa inicial m0, y la cantidad de combustible gastado. volver

Medida de La Velocidad de la Luz.

El Procedimiento de Roemer

Retraso en la llegada de la luz debido al Movimiento Orbital de Júpiter

Retraso en la llegada de la luz debido al incremento en la distancia entre la Tierra y Júpiter

El Procedimiento de Roemer

• La órbita del satélite más cercano de Júpiter, Io, está situada prácticamente en el plano de la órbita de Júpiter alrededor del Sol. El satélite Io queda oculto por la sombra que proyecta el planeta Júpiter, y se puede detectar fácilmente el momento en el que el satélite aparece de nuevo tras desaparecer brevemente de la vista del observador terrestre.

• Roemer encontró que el intervalo P entre eclipses sucesivos del satélite cuando éste pasa por la sombra de Júpiter aumentaba cuando la distancia Tierra-Júpiter estaba aumentando. Dedujo que si la separación entre los planetas aumentaba una distancia d, durante una revolución de la luna Joviana, P excederá el periodo real P0 en una cantidad d/c donde c es la velocidad de la luz. Roemer encontró un valor aproximado de c=214.000 km/h.

• Veamos ahora algunos datos relativos a los planetas del Sistema que vamos a estudiar: el Sol, la Tierra, Júpiter y su satélite Io.

El Procedimiento de Roemer

• Masa del Sol 1.98 1030 kg

• Constante G=6.67 10-11 Nm2/kg2

Planeta Semieje mayor

Excentricidad

Periodo

Masa kg

Tierra 1.496 1011 m 0.017 365,26 días

5.98 1024

Júpiter 7.78 1011 m 0.048 11.86 años

1.901 1027

El Procedimiento de Roemer

• Y al satélite Io de JúpiterSatélite Radio

órbita mPeriodo

Io 4.216 108 1.769 días

Si la Tierra y Júpiter estuviesen a la misma distancia en reposo, el tiempo que mediríamos entre dos apariciones consecutivas de Io tras su ocultación en la sombra del planeta Júpiter sería de 1.769 días, y este tiempo permanecería invariable.

Retraso en la llegada de la luz debido al movimiento orbital de Júpiter

• Ahora bien la Tierra, Júpiter y su satélite Io se mueven. La Tierra y Júpiter describen órbitas elípticas en uno de cuyos focos está el Sol. El satélite Io describe una órbita circular situada en el plano de la órbita de Júpiter alrededor del Sol.

• Consideremos que la Tierra y Júpiter están en la situación inicial de máxima aproximación, y que el satélite Io está alineado con la Tierra y Júpiter oculto en la sombra de éste último. La anchura de la sombra es igual al diámetro de Júpiter, cuyo radio es de 71 398 km.

Retraso en la llegada de la luz debido al movimiento orbital de Júpiter

• El desplazamiento angular a de Io en la sombra del planeta Júpiter se calcula tal como se indica en la figura

Retraso en la llegada de la luz debido al movimiento orbital de Júpiter

• Sabiendo que la velocidad angular de Io es el cociente entre 2p (una vuelta) y el periodo de revolución PIo, el tiempo que Io permanece en

la sombra del planeta Júpiter es

• A medida que se mueve el planeta Júpiter su sombra va cambiando de orientación un ángulo q  igual al que forma el radio vector que une el Sol con el planeta y la horizontal, tal como puede verse en la figura. Por tanto, su satélite Io aparecerá cada vez más tarde, el retraso Dt debido al movimiento orbital de Júpiter cuando éste se encuentra en la posición angular q será.

Retraso en la llegada de la luz debido al incremento de la

distancia entre la Tierra y Jupiter

• La segunda causa por la que el satélite Io aparece cada vez más tarde se debe al incremento entre la distancia entre la Tierra y el planeta Júpiter. Despreciaremos aquí el radio de la órbita de Io frente a la distancia Tierra-Júpiter mil veces mayor.

• El tiempo que tarda la luz en llegar desde Io a la Tierra es aproximadamente d/c siendo d la distancia entre la Tierra y Júpiter y c la velocidad de la luz.

Retraso en la llegada de la luz debido al incremento de la distancia entre la Tierra y Jupiter.

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Movimiento de Los Cuerpos Celestes.

•Descripción

Descripción

• Siendo r la distancia entre el centro del cuerpo celeste y el centro del Sol, y x e y su posición respecto del sistema de referencia cuyo origen está situado en el Sol.

• Las componentes de la fuerza son

Descripción

• Aplicando la segunda ley de Newton, y expresando la aceleración como derivada segunda de la posición, tenemos un sistema de dos ecuaciones diferenciales de segundo orden.

• Dadas las condiciones iniciales (posición y velocidad inicial), el sistema de dos ecuaciones diferenciales se puede integrar aplicando un procedimiento numérico, en nuestro se ha considerado más adecuado el procedimiento de Runge-Kutta.

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Fuerza Central Y Conservativa

•Fuerza Central •Fuerza Conservativa

•Ecuación de la Trayectoria

Fuerza Central.

• La fuerza de atracción entre un planeta y el Sol es central y conservativa. La fuerza de repulsión entre una partícula alfa y un núcleo es también central y conservativa.

• En este apartado estudiaremos la primera, dejando para más adelante la segunda, en el estudio del fenómeno de la dispersión, que tanta importancia tuvo en el descubrimiento de la estructura atómica.

Fuerza Central

• Una fuerza es central, cuando el vector posición r es paralelo al vector fuerza F. El momento de la fuerza M=r F=0  y de la relación entre le momento de las fuerzas que actúa sobre una partícula y el momento angular, (Teorema del momento angular) se concluye que

• El momento angular permanece constante en módulo, dirección y sentido.

Fuerza Central.

• El momento angular L de una partícula es el vector producto

vectorial L=r´mv, perpendicular al plano determinado por el vector

posición r y el vector velocidad v. Como el vector L permanece

constante en dirección, r y v estarán en un plano perpendicular a la

dirección fija de L.• De aquí, se concluye que la

trayectoria del móvil estará contenida en un plano

perpendicular al vector momento angular L

Fuerza Conservativa

Supongamos que una partícula de masa m se mueve desde la posición A hasta la posición B en las proximidades de un cuerpo fijo de masa M.

Fuerza Conservativa

Vamos a calcular el trabajo realizado por la fuerza de atracción F.

El trabajo infinitesimal es el producto escalar del vector fuerza F por el vector desplazamiento dl, tangente a la trayectoria. dW=F·dl=F·dl·cos(180-θ)=-F·dl·cosθ=-F·dr. donde dr es el desplazamiento infinitesimal de la partícula en la dirección radial.

F=-G Mm r r2

Fuerza Conservativa

Para calcular el trabajo total, integramos entre la posición inicial A, distante rA del centro de fuerzas

y la posición final B, distante rB del centro fijo de

fuerzas.

Fuerza Conservativa

El trabajo W no depende del camino seguido por la partícula para ir desde la posición A a la posición B. La fuerza de atracción F, que ejerce el cuerpo fijo de masa M sobre la partícula de masa m es conservativa.  La fórmula de la energía potencial es:

MmEp = -G r

Fuerza Conservativa.

• El nivel cero de energía potencial se ha establecido en el infinito, para r=∞, Ep=0

• El hecho de que la fuerza de atracción sea conservativa, implica que la energía total (cinética más potencial) de la partícula es constante, en cualquier punto de la trayectoria.

Ecuación de la Trayectoria.

• Para obtener ecuación de la trayectoria r=r(q) se expresa el momento angular y la energía en coordenadas polares y se integra la ecuación diferencial resultante, tal como veremos en la siguiente página

Ecuación de la Trayectoria.

• El resultado es una cónica cuyo parámetro denominado excentricidad define el tipo de trayectoria.t

Ecuación de la Trayectoria.

Clase de cónica Descripción geométrica Descripción física

Elipse E<0

Parábola E=0

Hipérbola E>0

•Así, una elipse se define en geometría como el tipo de cónica cuya excentricidad es menor que la unidad.

Ecuación De La Trayectoria.

• Para que una partícula sometida a una fuerza central, atractiva, inversamente proporcional al cuadrado de las distancias al centro de fuerzas, describa dicha trayectoria tiene que tener una energía total negativa (E<0).

Ecuación De La Trayectoria.

Volviendo a la geometría de la elipse en la primera ley de Kepler, la posición más cercana al foco r1 se

obtiene cuando q=0 y la posición más alejada r2 se

obtiene cuando q=p. Es decir,

Los semiejes a y b de la elipse valen :

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Conclusión

• Se pude Concluir que las personas que promovieron estas leyes eran personas que tenían una firme convicción de lo que hacían, ya que para la época en que descubrieron estas teorías, la gente estaba en contra de todo lo que hacían porque significaba que ya la tierra no era el centro del Universo, que la luz no era plana, etc.

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