Trabajo de Portafolio

8/18/2019 Trabajo de Portafolio

1/11

UNIVERSIDAD CATÓLICA SANTO TORIBIO DE MOGROVEJO

FACULTAD DE CIENCIAS EMPRESARIALES

ESCUELA DE ECONOMÍA

TÍTULO:

TRABAJO DE PORTAFOLIO

ESTUDIANTE:

Diego Javier Saavedra Guerrero

DOCENTE:

Ciro Eduardo Bazán Navarro

ASIGNATURA:

Modelos de Optimización

CICLO:

IV

Chiclayo, octubre

2015


2/11

I. Introducción al problema:

En agosto del 2015 (t=0), un inver sionista posee un monto “M” de

S/. 1’000,000.00 que desea invertir al plazo de un año en un

portafolio de inversión que está constituido por tres empresas quecotizan en NASDAQ. Se tiene como datos las rentabilidades

mensuales de las tres empresas en los 12 meses anteriores a t=0

(Agosto 2014 – Julio 2015), que se muestran en la tabla 1.

Tabla N°1

Mes

Empresas

Apple Inc.

(A1)

LogitechInternational S.A.

(A2)

Facebook Inc.

(A3)

Julio -0.001156513 -0.000765295 0.004297849

Junio -0.001841961 -0.003972788 0.003700768

Mayo 0.001765629 0.003667374 0.000146843

Abril 0.000456338 0.006422703 -0.001816503

Marzo -0.001381284 -0.005281042 0.001597255

Febrero 0.004939843 0.000663998 0.001992581

Enero 0.002869076 0.004111664 -0.001120743

Diciembre -0.00284608 -0.004298259 0.000717919

Noviembre 0.00517191 0.002678527 0.001919274

Octubre 0.003090629 0.00491414 -0.002178748

Setiembre -0.000818081 -0.003529464 0.002931157

Agosto 0.003036866 -0.003158875 0.0008251

Rentabilidad

Anual0.001107198 0.000121057 0.001084396

A partir de los datos se pide:

a) Determinar la cartera (portafolio) óptimo para la que se

minimiza el riesgo (utilizaremos la varianza como medida de

riesgo) de la rentabilidad anual del portafolio consiguiéndose

una rentabilidad promedio anual de r* = 0.0009 (0.09%).

b) Sea “V*” la varianza mínima obtenida en el apartado

anterior. Encontrar la cartera óptima si se quiere maximizar


3/11

la rentabilidad promedio, siendo la varianza de la

rentabilidad anual de la cartera igual a “V*”.

Para desarrollar el problema se supondremos que:

Se permiten compras en corto (El inversionista puede prestar

dinero a entidades financieras para comprar activos).

No es posible obtener un beneficio positivo sin invertir dinero.

El inversionista invertirá el total de su dinero.

Es más rentable invertir en activos que depositar el dinero a un

plazo fijo en una entidad financiera.

El agente inversor es adverso al riesgo.

Se permiten comprar fracciones de acciones teniendo en cuenta

que la suma de estas fracciones debe ser igual a la unidad.

= + + 1 ( 1)

Teniendo en cuenta (1), la rentabilidad “R” del portafolio viene dada por:

∑ = ∑ = = + + (2)

Donde “Ri” es la rentabilidad anual de cada sol invertido en la acción “A i” para i= 1,2,3.

La varianza de la rentabilidad “R” anual del portafolio viene dada por:

() () − () () − () ( 3) Aplicando simples operaciones matemáticas obtenemos:

() + + + 2 + 2 + 2 ( 4)Que puede ser expresado como:

()

= + 2

≠

( 5)


4/11

Si definimos el vector de participaciones como ⃗ y la matriz simétrica de varianzas ycovarianzas como ∑, tenemos:

⃗ ⟹ ⃗ ( 6)

∑ (1) (1, 2) (1, 3) (2, 1) (2) (2, 3) (3, 1) (3, 2) (3) 12 12 1321 22 2331 32 32

( 7)

Por lo tanto, la varianza de la rentabilidad anual del portafolio se puede expresar en

forma matricial de la siguiente manera:

() ⃗ ∑ ⃗ ′ ( 8)a) Primal

El problema primal viene definido por: ⃗ ∑ ⃗ ′ . ⃗ ℰ ∗⃗ 1

( 9)

Teniendo:

111 (10)

ℰ

⌈0.0011071980.0001210570.001084396⌉

(11)

∑ 0.0000074708732 0.0000066309318 −0.00000191692020.0000066309318 0.0000171239633 −0.0000058198889−0.0000019169202 −0.0000058198889 0.0000043066880 (12)

∗ 0.0009 (13)


5/11

Procedemos a usar el método de la matriz inversa:

Una vez calculada la matriz ⃗ podemos proceder a realizar el cálculo de la varianzamínima utilizando la igualdad planteada en la ecuación (8):

Ahora con el vector ⃗ ∗ :

⃗ ∗ ∗ ∗ ∗ 0.166 0.195 0.639

Procedemos a calcular la cantidad de dinero a invertir en cada acción,

esto es posible gracias al producto del monto “M” con cada ∗ dondei=1,2,3.

(14)

1 000 000 (15)⃗ ∗ ∗ ∗ ∗ 165855.7509 195338.9915 638805.2577

Y con todos los datos ya dados podemos comprobar que la rentabilidadanual esperada del portafolio es “0.0009”, como se muestra a

continuación:

(16)

0.166 ∗ 0.0011071 + 0.195 ∗ 0.0001210 + 0.639 ∗ 0.0010843 0.0009 (17)


6/11

Después de haber comprobado que la rentabilidad esperada se cumple,

procederemos a comprobar si efectivamente el valor calculado de la varianza es

un mínimo local, esto lo haremos utilizando el método del Hessiano Orlado, que

se expresa de la siguiente manera:

ℒℒℒ

ℒℒℒℒ ℒ ℒℒ ℒ ℒℒ ℒ ℒℒ ℒ ℒ ℒ ℒℒ ℒ ℒ ℒ ℒ

(18)

Utilizando las condiciones de primer orden que obtuvimos en el gradiente

procedemos a sacar las segundas derivadas correspondientes y con esto

estaremos desarrollando el Hessiano Orlado. A continuación, se denotarán las

restricciones para que sirvan de referencia al lector.

A continuación se muestran los resultados del cálculo de las segundas derivadas:

(19)

[

00(1)001

(1) (2) (3)1 1 12 2 2(2) 1 2 2 2(3) 1 2 2 2 ]

Reemplazando nuestros datos obtenidos en las ecuaciones (11) y (12), tenemos:

(20)

[

000.0011071976001

0.0011071976 0.0001210568 0.00108439591 1 10.0000149417 0.0000132619 −0.00000383380.0001210568 1 0.0000132619 0.0000342479 −0.00001163980.0010843959 1 −0.0000038338 −0.0000116398 0.0000086134]

Para saber si es un mínimo local, tenemos que hallar el determinante del Hessiano

Orlado:

(21)


7/11

|000.0011071976

0010.0011071976 0.0001210568 0.00108439591 1 10.0000149417 0.0000132619 −0.00000383380.0001210568 1 0.0000132619 0.0000342479 −0.0000116398

0.0010843959 1 −0.0000038338 −0.0000116398 0.0000086134

| (22)

() 0.000000000030651 (23)Como el determinante es mayor que cero, podemos concluir afirmando que la

función objetivo es una función convexa (no cóncava), por lo que los valores

calculados son mínimos y están minimizando la varianza (en este caso el riesgo)

del portafolio.

b) Dual

El problema dual viene definido por:

() 1(1) + 2(2) + 3(3) . () ⃗ ∑⃗ ′ ∗ 0.000001187⃗ 1 Nuestro Langrangiano de (24) viene definido por:

(24)

ℓ 1(1) + 2(2) + 3(3) + (12

12

+ 22

22

+ 32

32

+21212 + 21313 + 22323 − ∗)1 + (1 + 2 +3 −1)2 (25)

Escriba aquí la ecuación. (26)

Dado que las CPO no son lineales se procede a aplicar el método de sustitución,

después de realizar unas simples manipulaciones algebraicas obtenemos:


8/11

2( − )

2( −

)

2( − ) 2( − ) 2( − ) 2( − ) () − ()() − ()

(27)

ℎ − − + ( − ) ( − ) + − − + ( − )

(28)

(1 + ) + + − 2(1 + ) − 2(1 + ) +2

2 ℎ

+2ℎ

+ 2(1 − ℎ)

+ 2 − ℎ(1 + 2 )

− 2(1 − ℎ)(1 + )

( 1 − ℎ ) + ℎ + 2ℎ(1 − ℎ) − ∗ (29)

1 − − − ± √ −42 ∈ ℜ ⟺ − 4 ≥ 0 ℎ +

(30)

Ahora utilizando los datos de la ecuación (12) y la V*= 0.000001187 procedemos acalcular (27), (28), (29) y (30):

Tabla N°2


9/11

Tabla N°3

Tabla N°5

Como podemos darnos cuenta, los valores son iguales a los obtenidos en el

problema primal por lo que se deduce que el problema ha sido resuelto de forma

correcta. Además de esto, también podemos hallar la rentabilidad del portafolio

aplicando la ecuación (2).

0.0009 Ahora, igual que en el problema primal, procederemos a calcular las condiciones

de segundo orden a través del Hessiano Orlado construido con los datos delproblema. Cabe indicar que el Hessiano Orlado tiene la forma que se muestra en

la ecuación (18). Desarrollando las segundas derivadas correspondientes,

obtenemos:

[

00001

1 1 12 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2]

(31)

Tabla N°4


10/11

Donde:

2 + 2 + 2

2

+ 2 + 2

2 + 2 + 2 Para hallar el Hessiano Orlado necesitamos saber el valor de , ya que gran parte delos términos dependen del valor de este. Para hacer esto utilizaremos una igualdad

que apareció en el desarrollo del método de sustitución usado para calcular "",entonces tenemos:

(32)

Sustituyendo los datos (11), (12) y la tabla N°5 obtenemos:

λ −845.967611 (33)Ahora procederemos a calcular los elementos del Hessiano Orlado:

000.000001395 001 0.000001395 0.000001454 0.0000025931 1 1−0.012640233 −0.011219107 0.0032433050.000001454 1 −0.011219107 −0.028972637 0.0098468750.000002593 1 0.003243305 0.009846875 −0.007286637

(34)

Para determinar si estamos ante un máximo local tenemos que sacarle el

determinante al Hessiano Orlado:

() |000.000001395

001

0.000001395 0.000001454 0.0000025931 1 1−0.012640233 −0.011219107 0.0032433050.000001454 1 −0.011219107 −0.028972637 0.0098468750.000002593 1 0.003243305 0.009846875 −0.007286637 |

(35)

() −0.0000000000000283224Como era de esperarse el determinante es negativo, por lo que podemos afirmar que

nos encontramos ante un máximo local y por ende se estaría maximizando la función

objetivo (Maximización de Beneficios).

(36)


11/11

*La resolución numérica de este ejercicio viene adjunta en un archivo “.xls” (Excel) por

separado.

Chiclayo, 06 de Octubre del 2015.

Documents

Trabajo de Portafolio