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RELACIONES Y FUNCIONES

Relación es la correspondencia de un primer conjunto, llamado Dominio, con un segundo conjunto, llamado Recorrido o Rango, de manera que a cada elemento del Dominio le corresponde uno o más elementos del Recorrido o Rango.

DOMINIO Y RANGO DE UNA RELACIÓN

El dominio de una relación es el conjunto de pre-imágenes; es decir, el conjunto formado por los elementos del conjunto de partida que están relacionados. Al conjunto de imágenes, esto es, elementos del conjunto de llegada que están relacionados, se le denomina recorrido o rango.

Ejemplo: Sea A = {1, 2, 3, 4}  y B = {4, 5, 6, 7, 8} y R la relación definida de A en B determinada por la regla “y  es el doble de x” o  “y = 2x”, encontrar dominio y rango de la relación.Una Función es una relación a la cual se añade la condición de que a cada valor del Dominio le corresponde uno y sólo un valor del Recorrido.

PAR ORDENADO

En matemáticas, un par ordenado es una pareja de objetos matemáticos, en la que se distingue un primer elemento y un segundo elemento. El par ordenado cuyo primer elemento es a y cuyo segundo elemento es b se denota como (a, b).

Un par ordenado (a, b) no es el conjunto que contiene a a y b, {a, b}. Un conjunto está definido únicamente por sus elementos, mientras que en un par ordenado el orden de estos es también parte de su definición. Por ejemplo, los conjuntos {0, 1} y {1, 0} son idénticos, pero los pares ordenados (0, 1) y (1, 0) son distintos.

Los pares ordenados también se denominan 2-tuplas o vectores 2-dimensionales. La noción de una colección finita de objetos ordenada puede generalizarse a más de dos objetos, dando lugar al concepto de n-tupla.

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SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS:

Para ubicar un punto en el plano Cartesiano se usa un sistema de coordenadas cartesianas o gráfico cartesiano, el cual está determinado por dos rectas perpendiculares llamados ejes cartesianos.                                                     El punto en que se cortan los ejes cartesianos es el origen de coordenadas.En el eje horizontal, llamado eje de las abscisas, se representa el primer elemento del par ordenado (x).

En el eje vertical, llamado eje de las ordenadas, se representa el segundo elemento del par ordenado (y).

A cada punto del plano se le asignan sus coordenadas cartesianas, que son un par ordenado de números.

Al punto “a” le corresponde el siguiente par ordenado:

                                1º elemento                         2º elemento                        

  a¬ = (3; 2)

           Abscisa                           ordenada

Los   ejes cartesianos determinan en un plano cuatro partes llamadas 1º, 2º, 3º, y 4º cuadrantes.

Un punto puede pertenecer a uno de los cuatro cuadrantes, por lo tanto su abscisa y su ordenada pueden ser positivas o negativas.

Si un punto pertenece al eje de las abscisas o al eje de las ordenadas, el par ordenado tendrá un cero en uno de sus dos elementos; y si el punto es el origen de coordenadas, el par ordenado tendrá dos ceros.

1º cuadrante:  a ( 3 ;  1)2º cuadrante:  b ( -2 ;  3)

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3º cuadrante:  c ( -3 ; -4)4º cuadrante:  d (  2 ; -2)Un punto sobre el eje de abscisas: e (4 ; 0)   Un punto sobre el eje de ordenadas: f ( 0 ; 4)   Origen de coordenadas:   g (0 ; 0)

PROPIEDADES RELACIONES:

PROPIEDAD SIMÉTRICA

Definición:Diremos que R es simétrica si " a, b ÎA: a R b Þ b R a.

Ejemplo:1) En Z la relación R definida por: “a R b Û a – b es múltiplo de 2”.

Es simétrica ya que si a R b Þ hay pÎZ tal que a – b = 2p. Þ b – a = 2(-p) con -p Î Z Þ b R a.

2) En N la relación R definida por: “x R y Û x divide a y”.No es simétrica ya que 2 R 4 porque 2 divide a 4 pero 4 no divide a 2 por lo tanto (4,2) ÏR.

Representación Cartesiana

Si la relación R es simétrica sobre A entonces los pares relacionados se reflejan respecto a la diagonal principal.

PROPIEDAD TRANSITIVA

Definición:

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1. En N la relación R definida por: “x R y Û x divide a y” es transitiva ya que si a R b y b R c entonces existen n, m ÎN tales que: b = an y c = bm., combinándolas, c = bm = (a.n).m= a(n.m) con n.m ÎN Þ b R c.

2. En N la relación R definida por: “a R b Û a es el doble de b”, no es transitiva ya que (4, 2) Î R y (2, 1) Î R puesto que 4 es el doble de 2 y 2 es el doble de 1, sin embargo 4 no es el doble de 1, de donde (4,1)Ï R.

Representación Sagital:

La relación R es transitiva si cada vez que hay un camino entre tres elementos, también está la flecha que comienza en el principio del camino y va al elemento que es final del camino.

PROPIEDAD REFLEXIVA:

Definición:

Sea R una relación binaria R en A, (A ¹ Æ). Diremos que R es reflexiva si "aÎA, a R a

Ejemplo:

1) En N la relación R definida por: “x R y Û x divide a y” es reflexiva ya que "xÎN, x R x porque x divide a x

2) En N la relación R definida por: “a R b Û a es el doble de b”, no es reflexiva ya que (1, 1) ÏR puesto que 1 no es el doble de 1.

Representación Cartesiana

Si la relación R es reflexiva entonces la diagonal pertenece a la relación.

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PROPIEDAD ANTISIMÉTRICA

Definición:Diremos que R es antisimétrica si " a, b ÎA: [a R b Ù b R a] Þ a = bOtra manera de expresarlo: Si a¹b Þ [(a,b) Ï R Ú (b,a) Ï R ] Ejemplo:

1) En N la relación R definida por: “x R y Û x divide a y” es antisimétrica ya que si a R b y b R a entonces existen n, m ÎN tales que: b = an y a = bm. Combinándolas, a = bm = (a.n).m Þ n.m = 1 Þ n = m = 1 Þ a = b.

2) En Z la relación R definida por: “a R b Û a – b es múltiplo de 2”, no es antisimétrica ya que 2R4 y 4R2, pero 2¹4

Diremos que R es transitiva si " a, b, c ÎA: [a R b Ù b R c] Þ a R c

Relación de orden

Diremos que una relación binaria sobre A, es una relación de orden parcial si satisface las tres propiedades:

R es reflexiva R es antisimétrica R es transitiva

En este caso diremos que el conjunto A está parcialmente ordenado.

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Ejemplos:1) En D60, el conjunto de todos los divisores de 60, la relación R definida

por: a R b Û a divide a b.

2) En R, la relación definida por a R b Û a £ b.

Demuestra que estas son relaciones de orden.

CARACTERÍSTICAS PRINCIPALES DE LAS FUNCIONES:

En 1755 Leonard Euler definió a la función de la siguiente manera "Si algunas cantidades dependen de otras cantidades de tal manera que si las ultimas cambian las primeras también cambian, entonces las primeras cantidades se llaman funciones de las ultimas".

Esta definición de Euler nos quiso decir que una función es la relación que existe entre dos conjuntos cualesquiera, donde uno es totalmente dependiente del otro.

En una función donde tenemos un dominio que son todos los valores que puede tomar la variable independiente determinado por "x", y un rango o recorrido que son los valores que toma la variable dependiente determinado por "y" formando de esta manera la grafica o imagen de la función.

Las funciones tienen notación que nos indica de manera directa a la variable independiente "x" y la variable dependiente como una letra manuscrita (por lo general se utiliza f) y con la variable independiente entre paréntesis quedando de la siguiente manera f(x). Al querer evaluar la función, sustituiremos la variable independiente "x" por un valor que pertenezca al dominio "a" el cual lo indicaremos dentro de los paréntesis f(a), y la variable independiente tendrá ese valor en cada lugar donde aparezca "x" en la expresión original.

FUNCIONES Y SUS GRÁFICAS:

FUNCIÓN LINEAL

Definición: y = f (x) = m x + n es una función lineal. La grafica de una función lineal es una recta donde m = pendiente y n

= intersección en el eje y. Dominio y recorrido de la función lineal , dominio: IR , Rec: IR con m ≠0

Grafica de una función lineal.

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FUNCIÓN CONSTANTE:

Se llama función constante a aquella función matemática que toma el mismo valor para cualquier valor de la variable. Se la representa de la forma:1

Donde c es la constante.

FUNCIÓN DE IDENTIDAD:

Una función identidad es una función matemática de un conjunto M a sí mismo, que devuelve su propio argumento.

La función identidad puede describirse de la forma siguiente:

La función identidad es trivialmente idempotente, es decir:

Ejemplos

La función de en tiene como representación gráfica en el eje de coordenadas la línea recta que cruza el origen subiendo en un ángulo de 45° hacia la derecha.

La función identidad en (el plano de los reales tomando las coordenadas polares) es la función determinada por la ecuación : una espiral que se aleja del origen uniformemente en el sentido contrario a las agujas del reloj.

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La función identidad en es la doble negación, expresada por .

FUNCIÓN POLINOMIAL:

Def : una función f se llama función polinomial siF(x) = an xn +an – 1x n-1+…..+a1x +a0

Ejemplos:F(x) = 6x2 + 7x -2F(x)= 2x +3F(x) = 6

Las funciones polinomiales están entre las expresiones más sencillas del álgebra. Es fácil evaluarlas, solo requieren sumas multiplicaciones repetidas. Debido a esto, con frecuencia se usan para aproximar otras funciones más complicadas. Una función polinomial es una función cuya regla está dada por un polinomio en una variable. El grado de una función polinomial es el grado del polinomio en una variable, es decir, la potencia más alta que aparece de x.

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FUNCIÓN CUADRÁTICA

Definición: una función polinomial de grado n = 2 f (x)= a2x2+ a1x + a0x La grafica de una función cuadrática es una parábola.Ejemplo: F(x) = x2 + 2x + 1

RADICAL SIMPLE Y RACIONAL:

Las funciones radicales son aquellas en las que la variable se encuentra bajo el

signo radical. En esta práctica estudiaremos las funciones del tipo

y también las que tienen como expresión general .

PLANOS Y SEMIPLANOS:

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SemiplanoToda recta perteneciente a un plano separa al mismo en dos porciones, cada uno de ellos recibe el nombre de semiplano. A la recta que da lugar a los dos semiplanos se la llama frontera o recta de división.

FUNCIÓN INVERSA:

Se llama función inversa o reciproca de f a otra función f−1 que cumple que:

Si f(a) = b, entonces f−1(b) = a.

Podemos observar que:El dominio de f−1 es el recorrido de f.El recorrido de f−1 es el dominio de f.Si queremos hallar el recorrido de una función tenemos que hallar el dominio de su función inversa.

Si dos funciones son inversas su composición es la función identidad.(f o f −1) (x) = (f −1 o f) (x) = xLas gráficas de f y f -1 son simétricas respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrante.

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FUNCIÓN EXPONENCIAL:

Definición: una función exponencial es una función de la forma:F( x) = a x donde a es una constante positiva ≠1.

Propiedades

La función exponencial satisface las siguientes propiedades generales.

Son las únicas funciones que son igual a su derivada (multiplicada por una constante, en el caso de que tengan una base distinta a e)

FUNCIÓN LOGARÍTMICA:

Se define la función logarítmica como a la función inversa de la función exponencial.

F(x) = loga x, esta es una función logarítmica con base “a”.

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FUNCIÓN COMPUESTA:

En matemática, una función compuesta es una función formada por la composición o aplicación sucesiva de otras dos funciones. Para ello, se aplica sobre el argumento la función más próxima al mismo, y al resultado del cálculo anterior se le aplica finalmente la función restante.

Usando la notación matemática, la función compuesta g ∘ f: X → Z expresa que (g ∘ f)(x) = g(f(x)) para todo x perteneciente X.

A g ∘ f se le llama composición de f y g. Nótese que se nombra no siguiendo el orden de escritura, sino el orden en que se aplican las funciones a su argumento.

Propiedades La composición de funciones es asociativa, es decir:

.

La composición de funciones en general no es conmutativa, es decir:

.

UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALAFACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICASAREA COMUNMATEMATICAS II

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RELACIONES Y FUNCIONES

200711712 - ZULEMA ANDREA SUBUYUJ CELADASALON 102 / EDIFICIO S-9LIC. SERGIO CHANGGUATEMALA 12 DE FEBRERO DE 2013